16/3/2017

1

BIOFÍSICA

Clase 9. Unidad 3

HidrostáticaCurso de Ingreso a FCM-UNSE

2017

Los seres humanos somos una gran tubería caminando. Por dentro estamos llenos de caños, tubos, mangueras, fuelles, bolsas y otro conjunto de espacios anatómicos que contienen fluidos.

De modo que si queremos entender el funcionamiento del cuerpo humano u otro ser vivo debemos comenzar por el estudio de una serie de propiedades biofísicas que nos permitirán comprenderlo.

Introducción

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2

Fluidos Principales

Líquido Gas

Somos 75% aguaSANGRE

Volemia: 5 litros

PULMONESAire: 6 litros en

inspiración profunda

.

3

3

2

2

1

1cte

V

m

V

m

V

m===

V

m=δ

[ ] ...

3etc

l

mg

dm

kg

mL

g

L

kg=====

µδ

DensidadRelación entre la masa y el volumen de una

sustancia

En ecuaciones

δ = letra griega denominada “delta”

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3

V

P

r

=ρ

gmP ×=

r

gV

gm ×=

×

= δρ

Peso EspecíficoRelación entre el peso y el volumen de

una sustancia

En ecuaciones

ρ = letra griega denominada “rho”

[ ]33

2

m

N

m

seg

mkg

=

×

=ρ

Densidad y Peso Específico de Diferentes Sustancias

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A

F P

r

=

[ ] Ketcm

N

cm

dina

cm

kgf P ====

222

2cm

dina Baria =

Presión

Fuerza

sobre

área

Es la fuerza ejercida por unidad de área

En ecuaciones

2m

N Pascal =

Interesa el módulo de la fuerza, no su dirección (por eso aparece su módulo entre

líneas verticales)

hPaTorrmmHgAtm 1013760760 ===

( )( )2cm

dyndinaBa Baria =

Unidades de PresiónEs la fuerza ejercida por unidad de área

( )2

m

N Pa Pascal =

( ) BaBar Bar6

10=

( ) ( )PaPascalBa Barias10 1=

g1g1r

≠

Nseg

m9,800,001kga0,001kgg1

20098,0=×=×=

r

El gramo (g) es una medida de masa, y el gramo fuerza, de peso (fuerza)

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5

Presión Hidrostática

Es un principio basado en la conservación de la energía

hg P ××= δ

h P ×= ρ

h P ∆ρ∆ ×=

Teorema General de la Hidrostática

Nótese que la presión en el seno de un líquido es independiente del ancho de lacolumna de líquido, sólo depende de la profundidad. Por ende, existe la mismapresión en el fondo de un tubo vertical lleno de agua de 15 metros de alto y 5cm de diámetro que en el fondo de un lago de 15 metros de profundidad.

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¿Qué fuerza ejerce el agua sobre nuestros tímpanos cuando nos sumergimos a4 metros de profundidad? Dato: considere que el área del tímpano es dealrededor de 3 cm².

Ejemplo

A

F P

r

= A PF ×=

r

( ) ( )Ah g F ×××= δr

( )223

34101 cm mseg

m

cm

gF ×

××=

r( )( )

( )( )22

232

3

103410

10

101 m m

seg

m

m

kgF −

−

−

×

××=

r

( )24

236

3

10341010

101 m m

seg

m

m

kgF −

−

−

××

××=

r

( )24

23

310341010 m m

seg

m

m

kgF −××

××=

r

( )34

23

410104 m3 m

seg

m

m

kgF

−××

×××=

r

N F 12=

r

Sustituimos por los valores del problema Colocamos las unidades en el SI

Resolvemos!

Principio de Pascal

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7

21PP =

2

2

1

1

A

F

A

Frr

=

1

21

2

A

AFF

×

=

r

r

Prensa Hidráulica

P1P2

BAPP =

hP HgB ×= ρ

3280133

m

N.

Hg=ρ

m,mmh 760760 ==

( )m,m

N.P

B760280133

3×

=

Pa.PB

300101=

Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físicoitaliano, fue el primero en medir la presión que ejercela atmósfera sobre nuestros cuerpos. ¿Cómo hizoTorricelli para medir esa presión?

Presión Atmosférica y Experimento de Torricelli

Presión atmosférica

Patm

vacío

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8

21PP ∆∆ =

2211hh ∆ρ∆ρ ×=×

2211hghg ∆δ∆δ ××=××

2211hh ∆δ∆δ ×=×

Tubo en U y Densidad

Aplicando entonces el teoremageneral de la hidrostática enambas columnas tenemos

Tomamos dos líquidos de distintadensidad, representados por distintoscolores.

Presión absoluta = Presión relativa + Presión atmosférica

Presión barométrica = Presión manométrica + Presión atmosférica

Presión Absoluta y Relativa

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Arquímedes de Siracusa (287 AC - 212 AC) fue un físico y matemático griegoconsiderado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica(quizá el primero!). Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentosen hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca.

Principio de Arquímedes

Eureka !!!!

Principio de ArquímedesEl principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo

sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

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Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluidoexperimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluidodesalojado. Fíjense que el peso de la balanza colgante, es transferido al dela balanza inferior, siendo su suma, la misma que cada uno por separado.

Arquímedes elaboró el concepto de Empuje (E)

Principio de Arquímedes

Se llama empuje a la fuerza que el líquido ejerce sobre uncuerpo, y que es igual al peso del líquido desplazado (Pld)por el cuerpo.

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CPEr

= ldPEr

=

ldCPPrr

=

ldldCCVV ×=× δδ

SldCChh ×=× ρρ

donde hc

es la altura del cuerpo y hs

es su porción sumergida.

Principio de Arquímedes

Por lo tanto, si expresamos los pesos a través de sus densidades, resulta:

ldldCCVgVg ××=×× δδ

Si el cuerpo tiene simetría vertical, lo anterior equivale a:

CPr

Peso del cuerpo

ldPr

Peso del líquido desplazado

El empuje es un equilibrio

ldCPPrr

>

ldCδδ >

ldCδδ <

→ se hunde

¿Flota o se Hunde?

→ flota

Ahora, cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igualal del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambosmiembros por el volumen y se obtiene

ldCPPrr

<

→ se hunde

→ flota

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BIOFÍSICA

Clase 10. Unidad 3

HidrodinámicaCurso de Ingreso a FCM-UNSE

2017

Fluidos Ideales

No tienen viscosidad

Son incompresibles

Circulan con un flujo que llamamos laminar

La velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de tubería es la misma.

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Tipos de Fluido y de Flujo

Laminar

Turbulento

Caudal

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t

mQ

tiempo

masacaudal

∆==

t

VolQ

tiempo

volumencaudal

∆==

(caudal de masa)

[ ]seg

mQ

3

= [ ]h

mL

min

LQ ==

Caudal

(caudal de volumen)

El caudal se relaciona con la velocidad a la que se desplaza el fluido.

xAV ∆×=

t

VQ

∆=

t

xAQ

∆

∆×=

vAQ ×=

Dado que Δx/Δt es una velocidad (v) queda,

Principio de Continuidad

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21QQ =

2211vAvA ×=×

Principio de Continuidad

Q1

Q2

El Principio de Bernoulli es el Principio de Conservación de la Energía Mecánica para los fluidos y se llega a él dividiendo la energía mecánica del fluido por su

volumen.

constanteEM=

constanteEEECPM=+=

constantevhgP =××+××+2

2

1δδ

Principio de Bernoulli

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16

constantevhgP =××+××+2

2

1δδ

22

2

1

2

1

BBBAAAvhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ

220

2

10

2

1××+××+=××+××+ δδδδ

BBAAhgPhgP

BBAAhgPhgP ××+=××+ δδ

ABBAhghgPP ××−××=− δδ

Si es así, vA

= vB

= 0, lo que hace desaparecer los términos de energía cinética:

Reagrupando:

( )ABBA

hhgP −××=−

δ∆hgP

BA∆δ∆ ××=

−

Bernoulli y el Teorema General de la Hidrostática

22

2

1

2

1

BBBAAAvhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ

22

2

1

2

1

BBAAvhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ

22

2

1

2

1

BBAAvPvP ××+=××+ δδ

Cuando hA

es igual a hB, los segundos

términos se cancelan:

Si hA

= hB= h

Otras Aplicaciones del Teorema de Bernoulli

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17

Otras Aplicaciones del Teorema de Bernoulli

y1

y2

●

●

horificio pequeño

v2

s1

Ecuación de Torricelli

21ss >> 0

12≈>> vv 21

pppatm

==

2

2

21

2

1

2

1

2

1ygvpygvp

atmatm××+××+=××+××+ δδδδ

2

2

21

2

1ygvyg ××+××=×× δδδ

( )

hgv

hgv

yygv

××=

××=

−×××=

2

2

2

2

2

2

21

2

2δ

δ

Fluidos Reales

Aprendiendo a dejar ir a las circunstancias ideales

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Consideraremos reales a los fluidos que circulen en régimen laminar perotengan viscosidad, siendo la viscosidad una medida de la dificultad paramoverse estando en contacto con las paredes de los recipientes que loscontienen. Es de alguna manera, análoga al rozamiento.

hRQP ×=∆

Ley de Ohm hidrodinámica

[ ][ ][ ]

33

33m/sPamsPa

m

sPa

s/m

Pa

Q

PR

h⋅=⋅⋅=

⋅

===−

∆

Fluidos Reales

La resistencia hidrodinámica es inversamente proporcional al área através de la cual circula el líquido (imagínense que cuanto más grande,menos roza con las paredes), y es directamente proporcional a laviscosidad (η) y a la longitud del tubo (l).

2

8

A

lR

h

πη=

4

8

r

lR

h

π

η=

Las unidades de viscosidad en el Sistema Internacional son:

[ ][ ] [ ]

sPamm

msPa

l

rRh

⋅=

×

××

=

×

=3

44

8η

Ley de Poiseuille

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19

4

8

r

lRh

π

η=

Ley de Poiseuille

hRQP ×=∆

Asociación de Resistencias en Hidrodinámica

ntotalRRRRR ++++= L

321

ntotalQQQQQ ++++= L

321

Asociación en serie

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20

Asociación de Resistencias en Hidrodinámica

ntotalRRRRR

11111

321

++++= L

ntotalPPPPP ∆∆∆∆∆ ===== L

321

Asociación en paralelo

QPPot ×= ∆

2

2

R

PQRPot

∆=×=

Potencia y Trabajo

VPtt

VPW ×=××= ∆∆

∆∆

Potencia: es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo

Trabajo: es una fuerza aplicada por una distancia

tQPtPotW ∆∆∆ ××=×=

( ) dFdAA

FVPW ×=××

=×=→

→

∆

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Esa diferencia de presión es igual a la que disipa elcircuito debido a su resistencia hidrodinámica, acárepresentada como una única resistencia que recibe elnombre de resistencia periférica total (RPT). En sereshumanos ΔP = 100 mmHg, y RPT = 1,6.108 Pa.s/m3

Sistema Cardiovascular Humano

Sistema Cardiovascular Humano

Variación de la viscosidad de la sangre

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BIOFÍSICA

Clase 11. Unidad 3

GasesCurso de Ingreso a FCM-UNSE

2017

Gases

El aire ingresa al organismo a través de la nariz y se desplaza hasta los pulmones, donde se realiza el intercambio gaseoso de oxígeno (O2) y dióxido de carbono (CO2) entre el torrente sanguíneo y los pulmones.

Para poder comprender el comportamiento del O

2y el CO

2en el

sistema respiratorio, conoceremos primero algunas de sus propiedades fundamentales como gases.

1 mol de aire seco (sin considerar su humedad) contiene

0,78 moles de N2 (78%)

0,21 moles de O2 (21%)

0,009 moles de Ar (0,9%)

0,0004 moles de (CO2) (0,04%)

Trazas de otros gases

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Gases IdealesSon el modelo más simple de gases. Se considera a un gas como ideal cuando:

•Sus partículas son elementos puntuales

•Las moléculas que lo componen se mueven aleatoriamente y no interactúan entre sí

•Su comportamiento corresponde al predicho por la ecuación de estado de los gases ideales

En condiciones normales (273 K, 1 atm) y en condiciones estándar (298 K, 1 atm), la mayoría de los gases presentan

comportamiento de gases ideales

•Presión:

• Volumen (V): espacio ocupado por la masa gaseosa

• Temperatura (T): relacionada con la energía cinética de las moléculas que constituyen el gas

S

FP =

N/m2= Pascal (Pa), dina/cm2= Baria, atm, mm Hg

m3, dm3≡ L, cm3

≡ ml

°C, K)(16,273)( CTKT °+=

rM

mn =

Número de moles (n) = masa/masa molar relativa (Mr)

• Composición: tipo y cantidad de sustancia en la masa gaseosa

Variables de Estado

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La presión de un gas en un recipiente cerrado esinversamente proporcional al volumen del recipiente,manteniendo la temperatura constante.

cteVP =×

Ley de Boyle-Mariotte

Ms. Mogck's Classroom

La ley de Boyle-Mariotte, o leyde Boyle, formulada en formaindependiente por el físico yquímico anglo-irlandés RobertBoyle (1662) y el físico ybotánico francés Edme Mariotte(1676).

VP

1∝

cteVP =×

2211VPVP ×=×

Ley de Boyle-Mariotte

VP

1∝

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Si una cierta cantidad de gas a presión constante seexpone a mayor temperatura, el volumen del gas aumenta yal disminuir la temperatura, ocurre lo contrario.

cteT

V=

2

2

1

1

T

V

T

V=

Ley de Charles-Gay Lussac

Ms. Mogck's Classroom

cteT

V=

cteT

V=

2

2

1

1

T

V

T

V=

Ley de Charles-Gay Lussac

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26

cteT

VP=

×

2

22

1

11

T

VP

T

VP ×

=

×

cten

V=

2

2

1

1

n

V

n

V=

La Ley de Avogadro establece que el volumen de un gasmantenido a presión y temperatura constantes, esdirectamente proporcional al número de moles del gaspresentes

Ley de Avogadro

Los experimentos demuestran que a condiciones normales de presión ytemperatura (CNPT), 1 mol de una sustancia gaseosa cualquiera, ocupa unvolumen de 22,4 L.

ctenRTPV ==

La nueva constante de proporcionalidad se denomina R, o constante universal delos gases ideales, que tiene el mismo valor para todas las sustancias gaseosas.En general, utilizaremos la constante R en unidades de L atm/ K mol, siendoentonces igual a 0,082 L atm/K mol.

Ecuación de Estado de los Gases Ideales

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John Dalton (1766-1844), químico y físico británico, desarrolló la teoríaatómica en la que se basa la ciencia física moderna conocida como Ley de lasPresiones Parciales o Ley de Dalton.

Esta ley establece que cada componente de la mezcla aporta a la presióntotal un porcentaje igual al porcentaje en que están presentes susmoléculas, es decir, igual a su fracción molar.

t

i

t

i

P

P

n

n=

Ley de Dalton

∑=

=

n

i

iPP

1

Presiones parciales en hPa

1

Ejercicios Unidad 3

Hidrostática, Hidrodinámica y Gases

Ejercicios Resueltos Unidad 3 – Parte Hidrostática

1. Calcular el peso específico de un cuerpo de 11 cm3 que pesa 33 g

(gramos

fuerza). Expresar el resultado en g

/cm3.

Sabemos que el peso especifico es x g (donde la aceleración de la gravedad “g”

la tomaremos como 10 m/s2). Por lo tanto, si el peso del cuerpo es 33 g

, y su

volumen 11 cm3, el peso específico será:

333

11

33

cm

g

cm

g

V

P

Nota: Nótese que el g

y el g (gramo), representan distintas unidades, siendo g

una

unidad de fuerza del sistema técnico y el gramo una unidad de masa del sistema

CGS.

2. Al sumergir un tubo de vidrio en una cubeta conteniendo mercurio (Hg), éste

asciende 760 mm cuando se encuentra expuesto al aire. ¿Cuál es la presión

atmosférica expresada en barias, si el peso específico del Hg () es 13,6 g

/cm3?

Previo a la resolución del problema, siempre identifique si la unidad “g”, es la unidad

de masa, o peso fuerza “ g

”. Se quiere averiguar la presión (P) atmosférica que

será igual a la ejercida por la columna de Hg. Recordando el experimento de

Torricelli (hacer el esquema para ayudarse).

Datos: altura (h) = 760 mm = 76 cm; Hg = 13,6 g

/cm3 = x a, donde a = 10 m/s2 =

1000 cm/s2. A la vez, numéricamente hablando, el valor de la expresado en g/cm3,

es igual al expresado en la unidad técnica, g

/cm3. Es decir, que la Hg es 13,6

g/cm3. Dado que el resultado final debe expresarse en Barias, sistema CGS,

trabajaremos en ese sistema.

2

Ba..cms

cm

cm

g,hghP 6000331761000613

23

3. Una columna líquida de 60 cm de altura ejerce una presión de 310 dinas/cm2.

¿Cuál es el peso específico del líquido en g

/cm3?

Recordamos nuevamente que la presión de la columna líquida es el peso (fuerza) del

líquido, por lo que el experimento de Torricelli establece que

3

2

1666560

310

cm

dinas,

cm

cm

dinas

h

P

hP

Ahora bien, averiguaremos cuál es la masa en g que provoca esa fuerza en dinas:

g,m

seg

cm

seg

cmg,

ma

seg

cmg,

amdinas,

3

2

2

2

10175

1000

175

175

175

Es decir que, por definición, si la masa es de 5,17 x 10-3 g, el peso en gramos fuerza

es 5,17 x 10-3 g

. Por lo tanto, el peso específico expresado en gramos fuerza/cm3

3

310175cm

g,

4. El agua que llena un recipiente cilíndrico pesa 0,050 k g

, el radio de la base es 1

cm. Calcule la altura (H2O = 1 g

/cm3).

El siguiente problema es simplemente un recordatorio matemático para calcular el

peso del recipiente, a partir de lo cual se puede extraer la información requerida.

La masa de agua dentro del cilindro es 0,050 kg, para un volumen de agua de

3

2

2

r

Volh

hralturabaseVol

cilindro

cilindro

Dado que el volumen del cilindro no es dato, tiene que salir del peso de la masa

líquida que sí es dato y surge de

3

3

3

501

10050

2

cmcmg

g,PesoVol

gVolgmasaPeso

OH

cilindrocilindro

cilindrocilindro

cmcm,cm

cm

,r

Volh cilindro 16915

1143

502

3

22

5. Calcular la fuerza que ejerce el agua en un recipiente cilíndrico cuya base tiene

4 cm de radio y 31 cm de altura.

dinas..cmcm

dinas,.rPAPF

cm

dinas.cm

s

cm

cm

ghgP

APF

A

FP

4405571414300031

000313110001

2

2

22

223

6. ¿Cuál es la presión (en hPa) ejercida por una columna de agua ( = 1 g/cm3) de 50

m de altura? ¿Cuál es la altura que alcanzaría una columna de alcohol ( = 0,85

g/cm3) para ejercer la misma presión? g = 9,8 m/s2.

Para resolver este problema, primero dividámoslo en dos partes, siendo lo primera

que se pregunta cuál es la presión (P) de una columna de agua de 50 m de altura.

4

Como dato tenemos la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2. Recordemos que el

principio de Torricelli nos dice que P = x h, donde es el peso específico del

líquido. Sabiendo que la densidad es = 1 g/cm3, entonces

hPa.Ba..cm

dinas..P

cms

cm

cm

ghgP

900400090040009004

50009801

2

23

Recordando que 1 Pa = 10 Ba; 1 hecto-Pascal, hPa = 100 Pa.

La segunda parte del problema, nos pregunta cuál es la altura que alcanzaría la

columna, para un líquido (alcohol) que tiene una densidad menor. Nuevamente, P =

x g x h, donde “h” es la incógnita. Por lo tanto h = P/ x g. Reemplazando valores,

tenemos

cm.

s

cm

cm

gcm

dinas

,

..

g

Ph

hP

8825980850

009004

23

2

7. El agua en el interior de una manguera se comporta como un fluido ideal.

Consideremos una manguera de 2 cm de diámetro interno, por la que fluye agua a

0,5 m/s.

a) ¿Cuál es el caudal de agua que sale de la manguera?

Para resolver este problema, debemos recordar el concepto de caudal (Q), y sus diversas

expresiones. Una de ellas es volumen por unidad de tiempo.

s

cm

s

cmcm,vrvA

A

VQ

3222 157501143

b) ¿Qué volumen sale de la manguera en 1 minuto?

Esto surge directamente del caudal obtenido, multiplicado por el tiempo (60 s en 1

min).

333

1042960157 cm,ss

cmAQV

5

8. Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmósfera por su parte superior,

tiene un pequeño orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del

líquido

(a) ¿Con qué velocidad sale agua por el orificio?

Para resolver este problema, podemos aplicar el teorema de Bernoulli, del cual se

puede deducir el teorema de Torricelli, que establece que la velocidad, v, de un

líquido que fluye bajo la fuerza de la gravedad fuera de una abertura en un tanque

es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia vertical, h, entre la superficie del

líquido y el centro de la apertura y la raíz cuadrada del doble de la aceleración

causada por la gravedad, 2g, o simplemente

22951061022

s

m,m

s

mhgv

Usamos como dato que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra

es de 10 m /s2.

(b) Si el área del orificio es 1,3 cm2, ¿cuál es el caudal de agua que sale por el

recipiente?

Acá repasamos lo que ya vimos en el problema 7, donde el caudal Q = Área x

velocidad

s

cm,.

s

cmcm,vAQ

32 54231109531

9. El agua fluye con un caudal de 6 m3/min a través de una pequeña abertura en el

fondo de un tanque cilíndrico, que está abierto a la atmósfera en la parte superior.

El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. ¿Con qué velocidad sale el chorro de

agua por la abertura?

Este problema es similar al número 8, donde aplicamos la ecuación de Torricelli.

Nuevamente,

s

m,m

s

mhgv 114101022

2

10. Dos vasos A y B contienen agua en equilibrio. El vaso A tiene una base de 2 cm²

y contiene agua hasta 10 cm de altura. El B, tiene una base de 4 cm² y la altura de

agua es de 5 cm. ¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de

profundidad? ¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso?

¿Las presiones calculadas en a) y b) son las presiones totales?

6

¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad?

La presión en un punto cualquiera de un líquido en reposo es directamente

proporcional a la densidad del líquido y a la profundidad a la que se halla el punto,

expresión que se conoce como Teorema general de la hidrostática. Una

consecuencia del teorema es que dos puntos a igual profundidad en un mismo

líquido en reposo, se hallarán sometidos a la misma presión, es decir que la

diferencia de presión entre dos puntos situados a diferentes profundidades puede

expresarse como:

hP

Por lo tanto, la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad

va a ser la misma, independiente de cuán ancha sea la base del recipiente:

Pam

Nm

seg

m

m

kghghP 400400104101000

223

2

¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso?

aB.cm

dinas.cm

seg

cm

cm

ghghPA 00010000101010001

223

aB.cm

dinas.cm

seg

cm

cm

ghghPB 00050005510001

223

¿Las presiones calculadas en A y B son las presiones totales?

A las presiones calculadas hay que sumarles la presión atmosférica para hacerlas

presiones totales.

7

11. En una jeringa el émbolo tiene un área de 2,5 cm² y el líquido pasa por una aguja

de 0,8 mm² de sección transversal. ¿Qué fuerza mínima debe aplicarse al émbolo

para inyectar el líquido en una vena en la que la presión sanguínea es de 1 cmHg?

Para resolver este problema, lo primero que tenemos que recordar es que la

presión P, se define como una fuerza aplicada (F) sobre una superficie (área, A).

A

FP

Ahora, la fuerza requerida de la mano para presionar en el émbolo tiene que vencer

una presión interna (de la vena), de 1 cmHg, o 10 mmHg. Lo primero que debemos

hacer es convertir la presión en mmHg a unidades que conozcamos. Recordamos el

experimento de Torricelli y su definición de presión atmosférica. Sabemos por su

famoso experimento que 76 cmHg equivalen a 1 atm, que es igual a 101.300 Pa, por

lo que 1 cmHg valdrá 101.300 Pa / 76 cmHg, o sea 1.333 Pa. También nos conviene

recordar que 1 Pa = 1 N / 1 m2 (fuerza en Newton y superficie en m2), así que la

superficie del émbolo de 2,5 cm² de área, la convertimos en 2,5 x 10-4 m².

N,mm

N,,FAP

A

FP 333010523331 2

2

4

12. Las suelas de los zapatos de una persona de 70 kilos tienen un área de 100 cm²

cada una. ¿Qué presión ejerce la persona sobre el suelo cuando está de pie?

Expresar el resultado en Pa.

Recordamos como en el problema anterior, que la presión es la relación entra una

fuerza y un área dada. En este caso, tenemos la masa, 70 kg del cuerpo, que

debemos convertir en peso (fuerza) antes de hacer el cálculo. Para ello, debemos

multiplicar esa masa, por la aceleración de la gravedad en la Tierra, o sea 10 m/s2

(y obtener el peso en Newton!). Tengamos en cuenta que si cada zapato tiene un

área de 100 cm2, el área total será del doble (200 cm2 ó 2 x 10-2 m2)

Pa.m

seg

mkg

A

FP 00035

102

10702

2

2

8

13. Un líquido se encuentra en equilibrio dentro de un recipiente de sección

uniforme, cuya base tiene un área de 100 cm². La presión hidrostática debida al

líquido sobre el fondo del recipiente es de 0,2 atm. Si se trasvasa el líquido a un

recipiente semejante pero de 50 cm² de base, la presión ejercida por el líquido en

el fondo será de:

a) 0,05 atm b) 0,1 atm c) 0,2 atm

d) 0,4 atm e) 0,8 atm f) 1,6 atm

Este problema es simplemente aritmético, recordando que la presión es

directamente proporcional a la altura. Al cambiar la base del cilindro, la altura va a

cambiar, pero cuánto? El volumen del cilindro es Área h, por lo que si la base es la

mitad, su altura tendrá que duplicarse, para mantener el mismo volumen. Al

duplicarse la altura, la presión del líquido será proporcionalmente mayor, y en este

caso la respuesta es d) 0,4 atm.

14. El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que

no presenta ramificaciones es de 1 litro por minuto. Considerando la densidad

aproximada de la sangre 1 kg/L.

a) ¿Cuál es la velocidad media de la sangre en un tramo en el que el vaso tiene un

radio interior de 0,5 cm?

Acá repasamos lo que ya vimos en el problema 8, donde el caudal Q = Área x

velocidad

s

cm,

cm

min

s

min

cm

cm,r

Q

A

Qv

3

2

3

22221

60

1

50

1000

b) ¿Y si el radio interior del vaso es de 0,25 cm?

s

cm,

cm

min

s

min

cm

cm,r

Q

A

Qv

3

2

3

22984

60

1

250

1000

15. ¿Cuál es el trabajo requerido para bombear 1,4 m³ de agua por un tubo de 13

mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es

de 1,2 atm?

9

El trabajo total de la fuerza -o la energía necesaria para realizar un trabajo

hidrodinámico puede calcularse como

J.mN.mm

N.mPa.

matmatm

Pa,,.matm,,VPW

184170184170184170184170

41213001014121

3

2

3

33

¿Qué potencia se debe entregar para mantener el caudal igual a 0,03 m³ por

segundo?

Watt,.s

J,.

s

m

m

N,.

s

mPa,.QPPot 864638646386463030560121

3

2

3

16. Un líquido de densidad 1 kg/L se mueve a razón de 3 mm/s por un tubo

horizontal de 2 cm de diámetro. En cierta parte, el tubo reduce su diámetro a 0,5

cm.

a) ¿Cuál es la velocidad del líquido en la parte angosta del tubo?

Recordar nuevamente que una superficie circular es igual a: A = π r2, por lo que

2222

2222

1960250

1431

cm,cm,rA

cm,cmrA

SS

EE

b) ¿Cuál es la diferencia de presión del líquido a ambos lados del angostamiento?

Ahora, el principio de continuidad (conservación de la cantidad de materia) nos

dice que:

10

s

mm

cm

cms

mm

,

,

A

vAv

vAvA

QQ

S

EES

SSEE

SE

481960

14332

2

17. Por un caño horizontal fluye un líquido de viscosidad insignificante, densidad =

1000 kg/m3 y velocidad 2 m/s. En un tramo la cañería se angosta disminuyendo su

diámetro a la mitad.

Entonces, la presión en la parte ancha de la cañería:

a) es inferior a la presión en la parte angosta en 6 kPa,

b) es inferior a la presión en la parte angosta en 30 kPa,

c) es igual a la presión en la parte angosta,

d) excede a la presión en la parte angosta en 6 kPa,

e) excede a la presión en la parte angosta en 12 kPa,

f) excede a la presión en la parte angosta en 30 kPa.

Este es otro problema de conservación de la energía (Bernoulli).

El principio de continuidad relaciona los caudales en ambos sectores del caño, que

tienen que ser iguales, por lo tanto,

BA QQ

Por lo que también relaciona velocidades y áreas, donde el área es menor, la

velocidad tendrá que ser proporcionalmente mayor (y viceversa). Ahora, el

enunciado del problema no relaciona áreas sino los diámetros, d.

BA dd 2

Por lo que a los radios debe pasarles lo mismo:

BA rr 2

Por lo tanto si:

11

2222422 BABABA rrrrrr

Recordando que las áreas se calculan como x r2, multiplicamos ambos por

BA

BA

AA

rr

4

422

Aplicando el principio de continuidad, tenemos

BA

BBAB

BBAA

vv

vAvA

vAvA

4

4

Aplicando el teorema de Bernoulli, y teniendo en cuenta que un término relacionado

a las alturas es inexistente (es un caño horizontal), tenemos

22

2

1

2

1BBAA vPvP

reordenando,

22

22

2

1

2

1

2

1

ABBA

ABBA

vvP

vvPP

Recordando que la relación entre velocidades es

22221644 BABABA vvvvvv

Lo que se introduce en el teorema de Bernoulli que nos da:

12

kPas

m

m

kg.P

vP

vvP

vvP

BA

ABA

AABA

ABBA

3041500012

1

152

1

162

1

2

1

2

2

3

2

22

22

Respuesta f)

18. Una sección de cañería, por donde circula un fluido viscoso, está formada por

dos caños rectos de la misma longitud y material cuyas secciones son de 3 cm² y 4

cm² respectivamente, y que están conectados en paralelo. Se desea reemplazarlos

por un único caño de la misma longitud. ¿Cuál debería ser su sección para que

ofrezca la misma resistencia hidrodinámica?

a) 1 cm² b) 7 cm² c) 3,5 cm2 d) 4 cm² e) 5 cm² f) 12 cm²

La ecuación de Poiseuille indica que las resistencias hidrodinámicas dependen de los

siguientes factores:

2

8

A

lR

Dado que los tres caños, los dos de sección conocida y el que va a reemplazar a

ambos –cuyo área queremos conocer- tienen la misma longitud, la misma forma

cilíndrica y serán recorridos por el mismo fluido, estos factores que aparecen en la

ecuación serán constantes en todas las ecuaciones. Lo único que cambia entre los

tres es el valor numérico del área, A. Todos los factores que son constantes se

pueden convertir en una constante, que llamaremos K, para usar en las tres

ecuaciones. De modo que tanto la resistencia hidrodinámica del caño de 3 cm², que

llamaremos R1, como la del caño de 4 cm², R2, pueden expresarse de la siguiente

manera:

4222422

116493 cm

K

cm

KR;

cm

K

cm

KR

El caño de reemplazo, cuya resistencia debe ser equivalente al par inicial que se

halla en paralelo, tendrá una resistencia RE que será, con el mismo criterio,

2A

KRE

13

Donde AE va a representar sólo el valor numérico de la sección, ya que las unidades

están contenidas dentro de K, y por reemplazar un sistema de resistencias en

paralelo su inversa valdrá:

24

4442

442

21

525

25169

169

111

cmcmA

cmcmcmA

K

cm

K

cm

K

A

RRR

E

E

E

E

Respuesta e).

19. Calcular el caudal (C) y la velocidad (v) de circulación del agua (viscosidad = =

1 centipoise (cp)) que circula por un tubo de 0,09 cm2 de sección y 10 m de longitud,

bajo una diferencia de presión de 20 mm Hg ( = 13,6 ḡ/cm3).

Dato útil: 10 Poise (se pronuncia “Puá”) es igual a 1 Pascal x segundo. La unidad más

usada es la centésima parte, o centi-Poise (cp).

Para resolver este problema, debemos recordar la relación

l

rPQ

8

4

descripta por la ecuación de Poiseuille. Recordar que las unidades deben

pertenecer todas al mismo sistema!!!!

2

2

2

2

2

6

010101

100010

090

5792620

10011760

cm

sdinas,)poise(pcp

cmm

cm,A

cm

dinas.mmHg

cm

dinas,mmHg

El radio r sale de recordar que el área es 2rA . Por lo tanto, r = 0,169 cm. El

caudal es entonces,

14

s

cm,

cm

sdinascm

cmcm

dinas

,cm,.Q

l

rPQ

3

2

4

23

4

4

85101

010108

1169057926

8

Para calcular la velocidad, v, recordemos la ecuación de continuidad, C = v x A.

Usando el valor calculado de C, y el de la sección, como dato, tenemos

s

cm,

cms

cm

,

,

A

Cv 469

1

090

85102

3

20. Por un tubo cilíndrico de 28 m de longitud circula glicerina = 2 cp. ¿Cuál es el

diámetro de dicho tubo, sabiendo que al aplicar una diferencia de presión de 300

Ba se obtienen 100 cm3/s de caudal?

Este problema se resuelve utilizando la “Ley de Ohm hidrodinámica” donde el

caudal representa el flujo, que es proporcional al potencial que genera la fuerza, en

este caso la diferencia de presiones P, y el factor de proporcionalidad es la

inversa de la resistencia hidrodinámica que se viera en problemas anteriores.

La relación es

l

rP

R

PQ

8

4 4

Para obtener el diámetro del tubo, requerimos el radio, que se incluye entre los

parámetros de la resistencia hidrodinámica. Para obtenerlo lo despejamos de la

ecuación,

cm,cm,rd

cm,cm,r

,.

.r

cm

dinascm

gcm

s

cm

,.

P

lQr

l

rP

R

PQ

839122

91811

89117683

80044

4300

02080028100

4

8

8

4

4 4

4

2

3

4

4

15

21. Dos tanques contienen un líquido viscoso hasta diferentes alturas (hA y hB),

que se conectan por abajo, por un tubo de 75 cm de largo y sección transversal S,

que posee una llave que está deteniendo el flujo. Las secciones de los tanques son

tan grandes que el líquido en ellos se puede considerar casi quieto en todo

momento. ¿Para qué opción ofrecida será mayor el caudal en el caño cuando se abra

la llave?

Lo primero que debe quedar en claro es qué se pregunta: al abrirse la llave del caño

horizontal que une los tanques por abajo, va a haber un caudal de líquido de un

tanque a otro. Dependiendo de las alturas de líquido en cada tanque y del ancho del

caño, el caudal Q va a ser mayor o menor. Se nos pide que identifiquemos en cuál

de las situaciones que aparecen en la tabla, vamos a tener el mayor caudal.

Estamos tratando con fluidos reales, ya que aparece la viscosidad como una

propiedad del fluido. Los tanques están llenos de un líquido viscoso, que circulará

por el caño, cuyo caudal será descripto por la Ley de Poiseuille:

R

PQ

El caudal, Q, es directamente proporcional a la diferencia de presión entre sus

extremos, ΔP, que lo impulsa, e inversamente proporcional a la resistencia

hidrodinámica, R, que lo frena. A su vez, la resistencia hidrodinámica es

inversamente proporcional al cuadrado del área (o sección) del caño:

2A

kQ

16

En este caso, la constante k depende de la viscosidad, el largo del caño y el factor

8, que se presenta en todas las situaciones que se nos pide comparar, por lo que

se resumen en la letra k. En definitiva los caudales en cada caso los vamos a

comparar con la expresión:

k

APQ

2

La diferencia de presión, ΔP, depende exclusivamente de la diferencia de alturas

del líquido en los tanques, tal como lo estipula el Principio Fundamental de la

Hidrostática: P g h Si juntamos las nuevas constantes que aparecen, x g,

con la anterior, tenemos:

k

gc

Donde c es una constante cuyo valor no nos interesa porque no cambia en los seis

casos que tenemos que comparar, dado que vale lo mismo para todos. La ecuación

de Poiseuille queda así:

2AhhcQ BA

En la que vemos que el caudal será mayor cuanto más grande sea el producto entre

la diferencia de altura, hA - hB, y el área al cuadrado, A2. Para comparar, hacemos

los cálculos para cada uno de los casos:

Podemos observar que el producto del módulo de la diferencia de alturas por el

cuadrado de la sección, muestra la importancia de ésta en el cálculo, y que,

finalmente, la condición “e” es la que genera el mayor caudal.

22. Suponga que la sección de un vaso sanguíneo disminuye por contracción de la

musculatura lisa de su pared a la mitad. ¿Cómo se modifica la velocidad de la

sangre cuando se mantienen constantes todos los otros factores?

Respuesta: Se duplica la velocidad. Recuerde el principio de continuidad:

17

AvQ

23. Un líquido ( = 1,1 g/cm3 y = 1,2 cp) circula en régimen laminar por un

dispositivo como el de la figura. Se midieron las alturas del fluido en los tubos

transversales (manómetros) en los puntos indicados. La distancia entre

manómetros es de 5 cm y el caudal medido fue de 240 ml/mm. Los resultados

obtenidos fueron:

a) Grafique en papel milimetrado la presión (P) en cada manómetro vs. longitud (1),

y a partir del mismo determine la velocidad de circulación del liquido.

b) Si el diámetro del cauce se incrementa al doble ¿Cómo se modifica la velocidad y

la pendiente de la relación anterior?

Para graficar la presión P vs. la distancia l, debemos calcular la presión en cada

punto, que es, por el principio de Torricelli, r x h, siendo h la altura del líquido en

cada manómetro. Siendo r = d x a (ver problemas anteriores) = 1,1 x 980 [(g/cm3) x

(cm/s2)] = 1078 dinas/cm3, obtenemos multiplicando por h en el punto uno, como

ejemplo, 10.780 dinas/cm2 = 10780 Ba = 10,8 hPa. Lo mismo se repite para cada una

de las otras posiciones, teniendo una nueva tabla a partir de la dada en el ejercicio:

18

Se construye un gráfico del cambio de presión (eje de ordenadas) en función de la

distancia “l”, como el de arriba, que muestra una caída más o menos lineal de la

presión en función de la distancia. Una mirada al gráfico nos indica la caída de la

presión, de tal manera que cuanto más alejada sea la distancia del punto de origen,

más cae la presión en forma lineal.

Como la diferencia entre la presión inicial y la de una en un punto posterior P = C x

R (Ley de Ohm hidrodinámica) es cada vez mayor, y sabiendo que el caudal C a

través del tubo horizontal es constante, P/R tiene que ser constante, por lo que a

una caída en P (valor mayor), tiene que estar acompañado por un incremento en R.

Esta R, como recordarán de los parámetros de la R, tiene una sola variable, que es

la longitud “l”, de forma tal que cuanto mayor “l”, mayor será la R. Esto surge de la

definición de la ecuación de una recta de pendiente negativa, como se observa en el

gráfico, donde la ordenada al origen es la Pi, y la pendiente es el caudal C, afectado

por los distintos parámetros de la resistencia R (de los cuales el único que varía es

“l”).

Respuesta: 65 cm/s

b) Si el diámetro del cauce se incrementa al doble ¿Cómo se modifica la velocidad y

la pendiente de la relación anterior?

19

Para responder esta segunda parte, volvemos a mirar el gráfico, y las ecuaciones.

Vemos que C es igual a A x v. Dado que A = x r2, al duplicar el diámetro, d2 =2 x

d1, por lo tanto, es igual a 4 x r1. Siendo r2 = 2 x r1, la velocidad cae a un cuarto de

la original, y la pendiente de la recta es 16 veces más lenta que la original.

24. Una persona respira aire enriquecido con oxígeno de un tubo de 17 dm3, que lo

contiene comprimido a una presión de 150 kgf/cm2 a una temperatura de 20°C.

a) ¿Qué volumen ocuparía ese gas a la misma temperatura y a presión atmosférica?

2211 VPVP

Recordar también que;

1 kgf = 9,8 N

150 kgf = 15,3 N

15,3 N/cm2 = 15,3 N / 10-4 m2 = 153.061 N/m2 = 153.061 Pa

101.300 Pa = 1 atm

153.061 Pa = 1,51 atm

l,l

latm,V

Vatmlatm,

VPVP

7221

15511

115511

2

2

2211

b) ¿Durante cuánto tiempo se podrá utilizar el tubo, si la persona consume 8 litros

de aire por minuto?

8 l ---- 1 min

22,7 l --- x = 2,8 min

25. Un gas ideal está en recipiente cerrado de 0,25 L, que se encuentra a 4 atm y

300 K. Si se coloca el gas en otro recipiente de 0,5 L y se aumenta la temperatura

a 600 K, la presión del gas será de:

a) 1 atm b) 2 atm c) 4 atm

d) 6 atm e) 8 atm f) 16 atm

Se trata, casi, de un repaso liviano de las leyes de los gases ideales (o sea, esos que

no hacen ruido). Dos estados cualesquiera de una misma masa gaseosa cumplen que:

2

22

1

11

T

VP

T

VP

20

Si entre los dos estados una de las variables se mantiene constante podemos

cancelarla y aparece una proporcionalidad entre dos variables solas. En la primera

pregunta, la que no varía es la presión (no se dice, pero se infiere). Tanto en esta

como en la siguiente pregunta voy a llamar 1 al primer estado y 2 al posterior.

Entonces:

atmKL

KLatm

,

,

VT

TVPP 4

30050

6002504

21

2112

Respuesta c).

26. Si se respira aire atmosférico con un 21% de oxígeno a 30 m de profundidad, la

presión parcial del oxígeno será, comparada con la que ejerce a nivel de la

superficie:

a) la misma b) el triple c) un tercio

d) la cuarta parte e) el cuádruple f) el doble

Debemos recordar que vivimos sumergidos en un mar de aire atmosférico cuya

presión vale 1 atm. En otras palabras: la superficie del mar de agua se contacta con

el fondo del mar de aire. El Principio General de la Hidrostática afirma que:

hP OH 2

donde ΔP es el aumento de profundidad; agua es el peso específico del agua, que

vale 10.000 N/m3; y Δh es la profundidad, que en este caso vale 30 metros.

atmPa.P 3000300

Si a 30 metros la presión aumenta en 3 atm, y en la superficie vale 1 atm...

entonces su valor a esa profundidad debe ser... 4 atm y eso es... ¡4 veces mayor que

en la superficie! Ahora bien, si el aire que tienen embotellado los buzos es el mismo

que el nuestro (atmosférico), la proporción de los componentes gaseosos no cambia.

Tiene un 21 % acá arriba y también un 21 % allá abajo. Su presión parcial acá arriba

es el 21 % de la presión total acá arriba, o sea, 1 atm; y allá abajo el 21 % de la

total abajo, que vale 4 atm.

La respuesta es el cuádruple, respuesta e)

Nota: Si alguien te pidiera que justifiques el último razonamiento, tendrás que

apelar a la Ley de Dalton, que resumidamente dice que el cociente entre la presión

parcial de un gas y la presión total de la mezcla es igual a la fracción molar de ese

gas.

27. ¿Qué le pasaría a un gas ideal en un depósito de volumen fijo a 2 atm de

presión si se eleva su temperatura de 30°C a 60°C? (Los valores de las alternativas

son aproximados.)

21

a) disminuiría su presión en un 50%

b) aumentaría su presión en un 50%

c) aumentaría su presión en un 100%

d) mantendría su presión anterior, de 2 atm

e) disminuiría su presión en un 10%

f) aumentaría su presión en un 10%

De 303 K (30ºC) a 333 K (60ºC) hay apenas un aumento de un 10%. Ahora

TRnVP

De las tres variables una permanece constante, el volumen. Luego: si la

temperatura aumenta un 10%, la presión (la única otra cosa que puede variar)

también deberá aumentar un 10%.

Veamos, si llamamos 1 al estado inicial y 2 al final, tenemos,

22

11

TRnVP

TRnVP

Al volumen no se le pone subíndice porque no cambia. Tampoco cambia el número de

moles, n. Por otro lado tenemos que la segunda temperatura es un 10% mayor que la

primera; eso se puede escribir así:

12 11 T,T

Si reemplazamos en la ecuación de estado 2... resulta:

12

12

12

11

11

11

P,P

VP,VP

T,RnVP

f) aumentaría su presión en un 10%