curso de gemetria

VECTORES LIBRES

En ciencias, cantidades físicas tales como fuerza, velocidad, desplazamiento (movimiento de una partícula de un lugar a otro) y la aceleración se describen por medio de una magnitud y una dirección. El término vector se emplea para identificar dichas cantidades. Para ayudar a construir la idea intuitiva iniciemos con una analogía entre los números

racionales y los vectores. Sabemos que las razones etc., son razones distintas que representan un mismo número racional. Veremos en la figura 3.1. que diferentes segmentos de recta dirigidos pueden representar un mismo vector.

Usualmente representamos un número racional con la razón simplificada, en este caso

escogemos

Geométricamente un vector puede representarse como un segmento dirigido o flecha. La longitud del segmento denota la magnitud del vector, por ejemplo una fuerza de 8 Newton puede representarse por una flecha de 8 unidades de largo y en la misma dirección de la fuerza. Todos esos segmentos de línea dirigidos representan el mismo vector. Geométricamente son distintos conjuntos de puntos pero como representaciones de vectores son iguales.

Fig 3.1

DEFINICIÓN 3.1

Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo vector si y sólo si tienen la misma longitud y la misma dirección. Para denotar los vectores

libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector

son los puntos A y B respectivamente, también podemos escribir

Fig 3.2

SUMA DE VECTORES

Existen dos procedimientos que se pueden emplear para la suma de vectores. Como se

observa en la figura 3.3, se dibuja el vector desde el punto terminal de se dibuja el

vector , el vector es el vector que va desde el punto inicial de hasta el punto

terminal de . Este método de suma de vectores se conoce como la REGLA DEL TRIÁNGULO.

Un método alternativo equivalente es la REGLA DEL PARALELOGRAMO (figura 3.3)

dibujamos las representantes de los vectores y desde el mismo punto (se hacen coincidir

los puntos iniciales de y ) y se completa el paralelogramo, la diagonal trazada desde el

punto común representa la suma .

Metodo del triangulo

Metodo del paralelogramo

Fig 3.3

En la figura 3.3 podemos observar de la regla del triángulo que la suma de vectores es

conmutativa, es decir, .

La magnitud o longitud del vector se denota por . La dirección del vector se denota

por dir . Si y son vectores tales que dibujados desde un mismo punto inicial forman un

ángulo de 180º escribiremos que y diremos que la dirección de es opuesta a

la dirección de .

Fig. 3.4

El vector cero representado por , es un vector que tiene longitud cero. El vector cero no

tiene dirección. Por la regla del triángulo para la suma tenemos que .

Para cualquier vector , diferente del vector cero definimos (se lee “menos ”, opuesto de v o inverso aditivo de v) como el vector tal que cumple las siguientes condiciones:

a.

b.

Si , entonces .

De la regla del triángulo para la suma de vectores tenemos que .

Fig. 3.5

Si dos vectores libres y son paralelos y tienen igual longitud, entonces o .

Observando las direcciones de las flechas podemos deducir si o .

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Como todo vector libre tiene un inverso aditivo podemos definir la resta de los vectores y

asi

Fig. 3.6

Una forma alternativa de hacer la resta de los vectores y

Fig. 3.7

La figura 3.7 se obtiene al complementar el paralelogramo en la figura 3.6 por lo tanto para

hacer la diferencia de los vectores y se puede proceder así:

a. Construimos los vectores y de tal manera que sus puntos iniciales coincidan.

b. El vector diferencia es un vector que tiene por punto inicial al punto terminal

del vector (vector sustraendo) y por punto terminal al punto terminal del vector (vector minuendo).

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

OBSERVACIÓN.

En la práctica para hallar la magnitud y la dirección de la resultante de la suma o diferencia de dos vectores se hace en la mayoría de los casos resolviendo un triángulo en el cual se conocen las longitudes de dos de sus lados y un ángulo. Las longitudes de los lados son las

magnitudes de los vectores que se operan.

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

De la suma de vectores se tiene que es un vector con magnitud igual al doble de la

magnitud de y con la misma dirección de . Si escribimos , entonces es un

vector con y dirección de igual a la dirección de . De forma

similar es un vector cuya magnitud es tres veces la magnitud de y si escribimos

entonces es un vector tal que y . De la suma de

vectores también tenemos que es un vector el doble de longitud que y con

dirección contraria a la de . Si escribimos , entonces es un vector tal

que y .

Fig. 3.16

Las anteriores observaciones motivan la siguiente definición.

DEFINICIÓN 3.2(Multiplicación por un escalar).

Si es un número real (escalar) y es un vector libre, entonces es un vector que cumple una de las siguientes condiciones

a. Si , entonces y

b. Si , entonces

c. Si , entonces y

OBSERVACIÓN

No se asignará ningún valor a la expresión , es decir, siempre se escribirá el número real a la izquierda del vector cuando se multiplique un vector por un número real (escalar). Para denotar números reales (escalares) siempre se usarán letras griegas como

Ejemplo 9

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Dados dos vectores y y dos escalares y . Entonces

1. El producto es un vector determinado de manera única.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

APLICACION DE LOS VECTORES LIBRES

En esta sección se enunciará y se demostrará el teorema de las proporciones y el teorema de la base. El teorema de las proporciones se usa para resolver problemas de mecánica. Tanto el teorema de las proporciones como el teorema de la base se usan para demostrar resultados de la geometría plana.

DEFINICIÓN 3.3

Dos vectores no nulos y son paralelos si y solo si existe un escalar tal que

( es un múltiplo escalar de ). Si y son vectores paralelos denotaremos este

hecho por .

CORRESPONDENCIA ENTRE LOS PUNTOS DEL PLANO (O ESPACIO) Y LOS VECTORES.

Si escogemos un punto O fijo, el vector localizado (vector fijo) de un punto A del plano (o

espacio) relativo al origen O es el vector con punto inicial en O y punto terminal en A.

Dado el punto A el vector localizado está determinado de forma única; igualmente cualquier vector con punto inicial en O determina de forma única un punto A en el plano (o espacio) extremo del vector. Por tanto existe una correspondencia uno a uno entre los

puntos y los vectores localizados. Denotaremos por el vector localizado correspondiente

al punto A, es decir, .

Fig 3.20

TEOREMA 3.1(Teorema de Proporción)

Si A y B son puntos y P es un punto del vector que divide al segmento en la

proporción tal que , entonces,

donde el origen O puede ser escogido de forma arbitraria teniendo en cuenta que no sea colineal con los puntos A y B.

DEMOSTRACION

Fig 3.21

Por el punto P trazamos una paralela al segmento OB que corta al segmento OA en Q.

Por la definición de suma de vectores tenemos que como y ,

entonces existen escalares y tales que y y son números positivos ya

que y .Entonces .

Los triángulos y son semejantes (por ser )

por tanto, , como , porque los puntos A, B y O no son colineales,

tenemos que .

Se tiene además que .

Entonces , pero como , entonces se tiene que

y por lo tanto,

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Ejemplo 17

Ejemplo 18

DEFINICIÓN 3.4

Una combinación lineal de los vectores y es cualquier vector de la forma

donde y son escalares.

TEOREMA 3.2 Teorema de la base) Si y son vectores no nulos y no paralelos,

entonces cualquier vector del plano determinado por O, y es una combinación lineal

de y . Esta combinación lineal es única ya que si entonces

y .

DEMOSTRACIÓN. Sea y . Se traza por W una línea l paralela a

(ver figura 3.26). Se prolonga en ambas direcciones. l y la recta determinada por y

que pasa por O, se cruzan en un punto P, ya que y no son paralelas.

Fig 3.26

para algún escalar y para algún escalar . Además,

. Entonces es una combinación lineal de y .

Ahora, supongamos que . Entonces se tiene que

ó .

Si y no son ambos ceros, se podría entonces escribir como un múltiplo

escalar de , o viceversa. (Multiplique cada término de la ecuación por el inverso

multiplicativo del escalar diferente de cero). Como no es paralelo a , debemos concluir

que y de donde y .

Ejemplo 19

Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:

Ejemplo 13

VECTORES COORDENADOS (Rn)

Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano y una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una

representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas. Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas, al igual que en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados como puntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas ordenadas como puntos en el espacio de n dimensiones.

Fig 3.31a

Fig 3.31b

Fig 3.31c

DEFINICIÓN 3.5

Una n-tupla de números reales se denota por donde cada xi es un número real.

Las n-tuplas de números reales y son iguales si

.

El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales ordenadas se denota por , es decir

DEFINICIÓN 3.6

Si y son n-tuplas de números reales, se define la suma

como la n-tupla

se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos anteriormente a

cada punto del plano coordenado se le puede asociar un vector fijo. Si es una

pareja ordenada de números reales (un vector de ) le podemos asociar el vector libre OX que tiene por punto inicial el origen de coordenadas O y por punto terminal X.

Fig 3.32

Ejemplo 20

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA EN R2

Sean y , entonces

Fig 3.33

A la suma de dos parejas ordenadas, se le puede asociar el vector fijo que

tiene por punto inicial el origen y por punto terminal el punto que es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores fijos OX y OY.

DEFINICIÓN 3.7 (Multiplicación por un escalar)

Sean un elemento de y un escalar (número real), el producto del

escalar por la n-tupla x se denota por .

es una n-tupla de que se obtiene multiplicando cada una de las componentes de la n-

tupla por el escalar .

Sea

Fig 3.34a

Fig 3.34b

TEOREMA 3.3PROPIEDADES DE LA SUMA DE N-TUPLAS EN Rn

Sean pertenecientes a y escalares (números reales). Entonces

P1. es un elemento de Rn Clausurativa

P2. Conmutativa P3. donde 0 = (0,...,0) Modulativa

P4. Asociativa

P5. Invertiva

se llama inverso aditivo

P6. es un elemento de

P7.

Distributiva de la suma de escalares con respecto al producto por un escalar.

P8.

Distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de dos n-tuplas.

P9.Asociatividad del producto por un escalar.

P10.Identidad escalar.

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P2

Por Definición 3.6

Por la propiedad conmutativa de la suma de números reales.

Por Definición 3.6

luego


Definición 3.6

Propiedad invertiva de la suma de números reales. =0Luego


Definición 3.7

Distributividad del producto con respecto a la suma de los números reales.

Definición 3.6

Definición 3.7

luego se tiene que


Definición 3.7

Definición 3.7

Asociatividad de la multiplicación de números reales.

Definición 3.7.

y por tanto

DEFINICIÓN 3.8

Si x y y son elementos de Rn , definimos la resta como donde -y es el inverso aditivo de y. En matemáticas encontraremos sistemas matemáticos que satisfacen las 10 propiedades del teorema 3.3, estos sistemas se llaman espacios vectoriales.

DEFINICIÓN 3.9(Espacio vectorial).

Un conjunto V no vacío en el cual hay definidas dos operaciones, una suma en V y un producto por un escalar (un número real por un elemento de V) que cumpla las propiedades del teorema 3.3 se llama espacio vectorial y los elementos de V se llaman vectores.

Rncon las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial y por lo tanto las n-tuplas se pueden considerar como vectores.

Usaremos la notación para indicar que es el punto terminal del vector fijo

. Si es un vector localizado en el espacio la notación indica que

es el punto terminal del vector fijo .

Fig 3.35a

Fig 3.35b

Otra manera de denotar vectores fijos en el plano y el espacio es la siguiente:

Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0,

1). Entonces si P es un punto del plano de coordenadas , podemos escribir el vector

fijo como .

Fig 3.36

Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0, 0), el vector fijo cuyo punto terminal es

(0, 1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 0, 1). Entonces si P es un punto del

espacio de coordenadas , podemos escribir el vector fijo como .

Fig 3.37

Ejemplo 21

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Ejemplo 24

LONGITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR COORDENADO

Fig 3.37El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3.

Si del teorema de Pitágoras se tiene que

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que y remplazando esta última ecuación en la primera se tiene que

como la norma de un vector es no negativa tenemos que

DEFINICIÓN 3.10(Longitud, magnitud o norma de un vector)

La longitud del vector de Rn se denota por y se define como

Ejemplo 25

Ejemplo 26

DEFINICIÓN 3.11 (Ángulos directores).

Los ángulos directores de un vector fijo OA y del vector coordenado

son los ángulos y , donde es el ángulo formado por el

semieje positivo de las x y el vector OA, es el ángulo formado por el eje positivo de las y y el vector OA y es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0o y 180o.

DEFINICIÓN 3.12 (Cosenos directores).

Los cosenos directores del vector fijo OA o del vector coordenado son los

cosenos de los ángulos directores del vector A y . Podemos encontrar una fórmula para determinar los cosenos directores del vector OA.

Fig 3.46

El ángulo es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR.

de forma similar se tiene que

Veamos que

Ejemplo 27

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES EN R2 Y R3

DEFINICION 3.13

Sean A y B dos vectores de R3 o (R2) no nulos, el ángulo entre los vectores A y B coordenados es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde es un ángulo entre 0o y 180o.

TEOREMA 3.4

Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces

DEMOSTRACIÓN

Fig 3.46a

Por la ley de los cosenos se tiene que

Si y son vectores de R3, entonces

Remplazando se tiene que

Ejemplo 28

Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios: PRODUCTO ESCALAR

Si y son vectores no nulos de , se vio en la sección 3.3

que , donde es el ángulo entre los vectores A y B.

El término del numerador en la expresión anterior es de gran importancia y se llama producto escalar o producto punto de los vectores A y B. La noción de producto escalar en

se puede generalizar para , como se hace a continuación.

Ejemplo 29

DEFINICIÓN 3.14 (Producto escalar o producto punto).

Si y , el producto escalar o producto punto se define así

En y el coseno del ángulo formado por los vectores no nulos A y B se puede escribir como

esta fórmula también se usa para definir el ángulo entre dos vectores en A y B no nulos.

TEOREMA 3.5 (Desigualdad de Schwarz)

Sean A y B dos vectores en . Entonces

DEMOSTRACIÓN.

Sean y vectores de por el ejercicio se tiene que

El lado derecho de esta igualdad es mayor o igual que cero, por lo tanto

, es decir, por tanto,

luego,

DEFINICIÓN 3.15 (Vectores ortogonales o perpendiculares).

Si A y B son vectores no nulos de , decimos que A y B son ortogonales o perpendiculares si y sólo si A.B = 0 .

Ejemplo 30

TEOREMA 3.6 (Propiedades del producto escalar)

Sean A, B y C vectores de y y escalares, entonces

1. El producto A.B es un único escalar.2. A.B = B.A Propiedad conmutativa.

3.

4. Propiedad distributiva

5. si A es no nulo y si y solo si

DEMOSTRACIÓN

(Queda como ejercicio)

Ejemplo 31

TEOREMA 3.7 (Propiedades de la norma de un vector en ).

Sean A, B vectores de y un número real. Entonces

1. si y sólo si A = 0.

2.

3. (Desigualdad MINKOWSKI) o desigualdad generalizada del triángulo.

DEMOSTRACIÓN

3. Sean A y B vectores de , entonces:

Propiedad distributivaPor distributiva

Por conmutativa

Por conmutatividad

Desigualdad de Schawrz

Luego se tiene que

Como y son números no negativos se tiene que

Ejemplo 32

DEFINICIÓN 3.16 (Distancia en ).

Sean A y B dos vectores en . La distancia entre los puntos A y B, d(A,B), se define así:

Ejemplo 33

TEOREMA 3.8 (Propiedades de la distancia o norma).

Sean A, B y C vectores de

1. , si y solo si .

2. , simetría.

3.

DEMOSTRACIÓN

Fig. 3.48

para C en

desigualdad de Minkowski

por tanto

DEFINICIÓN 3.17

Dos vectores coordenados no nulos A y B en , tienen la misma dirección si y solo si

para algún escalar mayor que cero. A y B tienen direcciones opuestas si y solo si

para algún escalar negativo .

DEFINICIÓN 3.18 (Vector unitario).

En el ejemplo 4.32 se vió que si , es un vector unitario en la dirección de A. El proceso de encontrar un vector unitario en la dirección de un vector dado se llama normalización del vector dado.

Ejemplo 34

Ejemplo 35


PRODUCTO ESCALAR

Si y son vectores no nulos de , se vio en la sección 3.3

que , donde es el ángulo entre los vectores A y B.

El término del numerador en la expresión anterior es de gran importancia y se llama producto escalar o producto punto de los vectores A y B. La noción de producto escalar en

se puede generalizar para , como se hace a continuación.

Ejemplo 29

DEFINICIÓN 3.14 (Producto escalar o producto punto).

Si y , el producto escalar o producto punto se define así

En y el coseno del ángulo formado por los vectores no nulos A y B se puede escribir como

esta fórmula también se usa para definir el ángulo entre dos vectores en A y B no nulos.

TEOREMA 3.5 (Desigualdad de Schwarz)

Sean A y B dos vectores en . Entonces

DEMOSTRACIÓN.

Sean y vectores de por el ejercicio se tiene que

El lado derecho de esta igualdad es mayor o igual que cero, por lo tanto

, es decir, por tanto,

luego,

DEFINICIÓN 3.15 (Vectores ortogonales o perpendiculares).

Si A y B son vectores no nulos de , decimos que A y B son ortogonales o perpendiculares si y sólo si A.B = 0 .

Ejemplo 30

TEOREMA 3.6 (Propiedades del producto escalar)

Sean A, B y C vectores de y y escalares, entonces

1. El producto A.B es un único escalar.2. A.B = B.A Propiedad conmutativa.

3.

4. Propiedad distributiva

5. si A es no nulo y si y solo si

DEMOSTRACIÓN

(Queda como ejercicio)

Ejemplo 31

TEOREMA 3.7 (Propiedades de la norma de un vector en ).

Sean A, B vectores de y un número real. Entonces

1. si y sólo si A = 0.

2.

3. (Desigualdad MINKOWSKI) o desigualdad generalizada del triángulo.

DEMOSTRACIÓN

3. Sean A y B vectores de , entonces:

Propiedad distributivaPor distributiva

Por conmutativa

Por conmutatividad

Desigualdad de Schawrz

Luego se tiene que

Como y son números no negativos se tiene que

Ejemplo 32

DEFINICIÓN 3.16 (Distancia en ).

Sean A y B dos vectores en . La distancia entre los puntos A y B, d(A,B), se define así:

Ejemplo 33

TEOREMA 3.8 (Propiedades de la distancia o norma).

Sean A, B y C vectores de

1. , si y solo si .

2. , simetría.

3.

DEMOSTRACIÓN

Fig. 3.48

para C en

desigualdad de Minkowski

por tanto

DEFINICIÓN 3.17

Dos vectores coordenados no nulos A y B en , tienen la misma dirección si y solo si

para algún escalar mayor que cero. A y B tienen direcciones opuestas si y solo si

para algún escalar negativo .

DEFINICIÓN 3.18 (Vector unitario).

En el ejemplo 4.32 se vió que si , es un vector unitario en la dirección de A. El proceso de encontrar un vector unitario en la dirección de un vector dado se llama normalización del vector dado.

Ejemplo 34

Ejemplo 35


EJERCICIOS

3.5 APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR

PROYECCIONES.Si P es un punto y l es una recta, entonces la proyección del punto P sobre la recta l es el punto P’ en la base de la perpendicular trazada de P a l.

Ahora ampliaremos la idea de proyección de un punto a una recta a la de un vector sobre otro vector.

La proyección de un vector sobre otro tiene múltiples aplicaciones en matemáticas y

física. Para proyectar un vector sobre una recta l se proyectan los puntos inicial P y

final Q de l,el vector ’ es la proyección del vector sobre la recta l.

Si seleccionamos un punto O como origen y si son los vectores localizados no nulos

de A y B respectivamente, la proyección(vectorial) de sobre es el vector donde V es la proyección del punto A sobre la línea recta determinada por el origen O y el punto B.

es un número real.

Dados los vectores fijos y no nulos es posible proyectar el vector sobre el vector y

sobre un vector fijo perpendicular a como se indica en la figura.

Como se observa en la figura ,donde es la proyección de sobre y es la

proyección ortogonal de sobre .

TEOREMA 3.9(Propiedades de la proyección de un vector)

1. para algún escalar ( es paralelo a . )

2.

3.

Podemos definir el producto escalar de dos vectores libres y como el producto escalar de sus correspondientes vectores coordenados. O de otra forma podemos usar la

definición

Sin tener en cuenta las coordenadas, donde es el ángulo formado por y , no nulos.

El ángulo formado por dos vectores libres y no nulos es el ángulo entre los vectores localizados equivalentes. OA y OB respectivamente.

Si o es un vector nulo, entonces al ángulo se le puede asignar cualquier valor entre 00

y 1800. FÓRMULA PARA CALCULAR LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO

Teorema 3.9 parte (2).

Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a+.


Propiedad modulativa de la suma.



De lo anterior se tiene que

para algún escalar

La proyección de por sobre se puede escribir como

La proyección ortogonal de sobre se puede escribir

La longitud de la proyección de sobre es

donde el signo menos indica que la dirección de la proyección es contraria a la del

vector y el signo + indica que la dirección del vector proyección es igual a la del

vector .

Como , la proyección escalar de sobre se puede escribir como

donde es el ángulo entre y .

La noción de proyección vectorial se puede generalizar a .

DEFINICIÓN 3.19 Dados dos vectores A y B en , la proyección vertical de A sobre B es el vector

El vector Que es perpendicular a B se llama la proyección ortogonal de a sobre b. Un plano en el espacio queda determinado por un punto en el plano y un vector perpendicular a el. Dicho vector se llama vector normal al plano.

Ejemplo 36 Ejemplo 37 Ejemplo 38 Ejemplo 39 Ejemplo 40


EJERCICIOS

3.6 EL PRODUCTO VECTORIAL

Consideremos el problema de encontrar un vector perpendicular a dos

vectores no nulos y no paralelos y . Como

, el problema se reduce a la solución del siguiente sistema de ecuaciones

podemos eliminar z multiplicando la primera ecuación por y la segunda por y luego sumando ambas para obtener

(1)

En forma semejante, se puede eliminar y para obtener

(2)

se ve fácilmente que para cualquier constante de k, ,

y es una solución para el sistema formado (1) y (2) como se puede ver hay infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares.

Cuando k = 1 la solución se define como el producto vectorial A x B. Por lo anterior,A x B es un vector perpendicular tanto A como a B.

DEFINICIÓN 3.20(Producto Vectorial) Para cualquier par de vectores A y B de R3 el producto vectorial de A por B se define así:

.

De forma similar se define el producto vectorial de dos vectores localizados como el vector localizado (vector fijo) A x B. SiA o B es cero, entones es claro que A x B = 0. Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces para algún escalar , por tanto

Se tiene entonces que si A x B son vectores paralelos, entonces A x B = 0. Recíprocamente se tiene que, si A x B = 0, entonces los vectores A y B son paralelos, siempre que A y B sean no nulos. Usando la notación de determinantes y la definición del producto vectorial tenemos que

Definición 4.20

Definición de determinante

por tanto tenemos que

OBSERVACIONES

1. El miembro derecho de esta última igualdad se puede desarrollar como un determinante de orden 3 por la primera fila (solo por la primera fila).

2.El miembro de la derecha de la última igualdad se llama seudodeterminante, puesto que hablando en un sentido estricto no es un determinante ya que las entradas de la primera fila son vectores y no escalares.

3.Los vectores son los vectores localizados (fijos) asociados a los vectores coordenados (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente.

Ejemplo 41

OBSERVACIONES 1.En la parte (a) y (b) se observa que .

2.En las partes (d) y (e) observamos que

3.En las partes (f) y (g) observamos que TEOREMA 3.10 (Propiedades del producto cruz) Si A, B y C son vectores de R3 y un número real. 1.

2. 3. Anticonmutatividad

4.

5.

Como vimos en el ejemplo anterior, el producto cruz en general no cumple la propiedad

asociativa, es decir, .

Para los vectores tenemos

Del gráfico notamos que el producto de dos vectores consecutivos en el orden indicado en la figura es el vector siguiente y si el orden es contrario da el vector con signo negativo.

TEOREMA 3.11 Si A y B son vectores de R3 y es el ángulo entre los vectores A y B,entonces

DEMOSTRACIÓN

(Ejercicio 3.6 (7))

Definición del ángulo entre dos vectores

por lo tanto

ya que

Interpretación geométrica del teorema 4.11.

La fórmula anterior para tiene una interpretación geométrica para lo cual determinaremos el paralelogramo determinado por A y B.

El área de un paralelogramo es base por la altura, donde la base es y la altura es

entonces el área del paralelogramo es

luego el área del paralelogramo determinado por A y B es , los otros vértices son O y A + B. DEFINICIÓN 3.21 (Triple producto escalar).

Sean A, B y C vectores de R3, llamamos triple producto escalar al número real

. Al producto se llama triple producto vectorial.

TEOREMA 3.12 Sean A, B y C vectores de R3, entonces

1.

2.

DEMOSTRACIÓN (Ejercicios al lector)

Ejemplo 42


EJERCICIOS

ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS DE RECTAS Y PLANOS

Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta.

Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un vector paralelo a l.

Un punto estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es decir, para

cualquier . Observe que si , entonces A = P, si colocamos un sistema

coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .

Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como

(1)La ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que pasa por el

punto A y es paralela al vector .

Si , y , entonces

de la igualdad anterior se tiene que

(2)

Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por el punto

A y es paralela al vector . Al darle valores a obtenemos un punto específico.

Si en las ecuaciones (2) despejamos el parámetro tenemos que

Por consiguiente, (3)Las ecuaciones (3) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto

A y es paralela al vector .Ejemplo 43Ejemplo 44Ejemplo 45 Ejemplo 46

Un plano queda determinado si conocemos un punto A del plano y dos vectores paralelos al

plano y no paralelos entre si, y .

Sea p un punto cualquiera del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores y ( no

es múltiplo escalar de puesto que y no son paralelos) el plano determinado por los

puntos o, V y W es el conjunto de todos los puntos que son combinaciones lineales de y

.

El plano paralelo a y contiene al punto A puede verse como una traslación del plano

hasta A. De esta manera

visto en términos de vectores coordenados es

Es la ecuación vectorial del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores no paralelos

y . Las ecuaciones paramétricas del plano

Ejemplo 47 Ejemplo 48

curso de gemetria

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