Gravitação

Programa

1. Gravitação 2. Equilíbrio e elasticidade3. Fluidos 4. Oscilações (duas aulas)5. Ondas (três aulas)7. Temperatura, Calor e 1a lei da termodinâmica8. Teoria cinética dos gases 9. Entropia e 2a lei da termodinâmica

Aula-1 Gravitação

Olhando o céu...• Desde a antiguidade (Grécia) dois problemas

preocupavam ao humanidade:– A queda dos corpos na Terra– O movimento dos planetas, Sol, Lua....

• Platão e Eudoxo e as esferas celestes

• Ptolomeu ( século II a.C.) desenvolveu um sistema geocêntrico (centrado na Terra) para o sistema solar

• Copérnico no século XVI propôs o sistema heliocêntrico (centrado no Sol)

Ptolomeu• Claudius Ptolemaeus (20 século A.C.) propôs o

sistema geocêntrico (centrado na Terra) para o movimento dos planetas do sistema solar.

• Usou o conceito dos epiciclos para explicar as órbitas que não eram circulares quando vistas da Terra

Copérnico• Nikolaus Kopernik (1473-1543 ) viveu

na época do Renascimento e da Reforma, período de questionamento das idéias anteriormente aceitas.

• As navegações exigiam dados mais precisos que os do sistema de Ptolomeu.

• Trabalhando com dados astronômicos da antiguidade propôs o sistema heliocêntrico (centrado no Sol) para o movimento dos planetas do sistema solar.

Ptolomeu X Copérnico• Ptolomeu, sistema

geocêntrico, epiciclos e deferentes

• Copérnico , sistema heliocêntrico

• A obra de Copérnico “De Revolutionibus Orbium Celestium” (Sobre as revoluções das Esferas Celestes de 1543) simplificou o entendimento do céu!!

Copérnico• Copérnico deduziu a escala relativa de distâncias no sistema

solar. rT , a distância Sol-Terra é hoje a unidade astronômica (U.A.).

• O eixo da Terra tem uma direção fixa no espaço (23,50 com a normal). É verão no hemisfério sul quando o Sol está mais próximo do Trópico de Capricórnio

Tycho Brahe• Tycho Brahe (1546-1601)

dinamarquês, fez as primeiras observações novas no século 16.

• TB montou um grande observatório em Uraniborg com o apoio do rei Frederico II. Projeto comparável aos grandes aceleradores de hoje.

• Observações feitas a olho nu, porém com instrumentos de grandes proporções e precisão.

• TB dedicou a vida a estas medidas.

Kepler• Johannes Kepler (1571-1630) foi assistente de

Tycho Brahe e seu sucessor no observatório.

• Tycho Brahe morreu um ano após o início da colaboração deixando seu legado de observações.

• Após 4 anos de trabalhos mostrou que se usasse o Sol como centro do sistema planetário obtinha melhor acordo com a experiência.

• Porém Marte apresentava um problema.....

Kepler• Na órbita de Marte existia um erro e 8 minutos de arco. As

medidas de Brahe eram precisas em pelo menos 4 minutos de arco.

• Este erro é muito pequeno, porém Kepler se baseou nele para criar o seu modelo. Afirmou: “Construirei uma teoria do universo baseada na discrepância de 8 minutos de arco”.

• Kepler trabalhou por dois anos e abandonou idéias pré - concebidas como as órbitas circulares do modelo platônico.

• O resultado foi que a órbita de Marte seria uma elipse com o Sol em um dos seus focos. Este mesmo resultado valeria para outros planetas

As Leis de Kepler• 1a lei de Kepler (lei das órbitas):

– “As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses com o Sol num dos seus focos”.

• A razão e = c/a chama-se excentricidade. Se e = 0 temos órbita circular.

• A órbita de Mercúrio era pouco conhecida na época!!!!

As Leis de Kepler

• 2a lei de Kepler (lei das órbitas):– “O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas

iguais em tempos iguais”.

• Órbita maior no periélio (perto do Sol) que no afélio

• As duas primeiras leis foram publicadas no livro “Astronomia Nova” (1609)

As Leis de Kepler• 3a lei de Kepler (lei das órbitas):

– “Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas estão entre si como os cubos de suas distâncias ao Sol”.

• Sejam T1 e T2 os períodos e R1 e R2 os raios, então

3

2

1

2

2

1

RR

TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Galileu• Galileu Galilei (1564-1642) construiu em 1609 um telescópio que

ampliava de um fator 1000 o poder de observação.

• Observando Júpiter descobriu que o planeta tinha quatro luas

• Notou que Júpiter apresentava fases como a lua concluindo que não tinha luz própria

• Publicou estas descobertas em “Sidereus Nuncius” ( O Mensageiro das Estrelas” em 1610)

• Em 1632 publicou “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, o Ptolomaico e o Copernicano” onde defendia o ponto de vista de Copérnico

• Em 1633 Galileu foi julgado pelo Santo Ofício e obrigado a abjurar seus “erros e heresias”. Foi condenado à prisão domiciliar. Neste período de 9 anos até sua morte escreveu secretamente “Diálogos sobre Duas Novas Ciências”.

Newton

• Isaac Newton (1642-1727) se formou em Cambridge em 1665, neste ano a peste se alastrou por Londres matando 70.000 pessoas. Isto provocou o fechamento da universidade e Newton retornou para a fazenda da família em Woolthorpe

• Nos dois anos que se seguiram Newton deu inestimáveis contribuições a ciência.

Newton• Nas palavras de Newton..

– “no princípio de 1665 achei o método para aproximar séries e a regra para reduzir qualquer potência de um binômio a tal série”.

– “No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e Slusius (fórmula de interpolação de Newton) e em novembro o método direto das fluxões” (cálculo diferencial)

– “No ano seguinte em janeiro a teoria das cores, e em maio os princípios do método inverso das fluxões” (cálculo integral)

– No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da lua, e .. da lei de Kepler sobre os planetas ...deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar com o inverso do quadrado de suas distâncias, tendo então comparado a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra e encontrado que concordavam bastante bem. Tudo isto foi feito nos dois anos da peste, 1665 e 1666, pois naqueles dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais de matemática e filosofia que em qualquer outra época posterior.

Lei da Gravitação

rTRrRa ˆ4ˆ 2

22 πω −=−=r

rTRmamF ˆ4 2

2π−== rr

cteCTR

==2

3

Para muitos planetas o uso da órbita periódica circular é boa aproximação.Este problema é mais fácil de tratar.

Em órbita circular a 2a lei de Kepler implica em movimento circular uniforme. Neste caso a aceleração é centrípeta e fica

Se m é a massa do planeta, a 2a lei de Newton nos dá

que é uma força atrativa

Pela 3a lei de Kepler

Lei da Gravitação

rRmCF ˆ4 2

2π−=r

a constante C é a mesma para todos os planetas, daí podemos dizer

rR

mMGF ˆ2−=r

Vemos que a lei dos períodos de Kepler leva à conclusão que a força gravitacional varia com o inverso do quadrado das distâncias.É também proporcional à massa do planeta. Pela 3a lei de Newton, o planeta exerce força igual e contrária e deve ser proporcional a massa do Sol, donde conclui-se que

G seria uma constante universal

lei de Newton da gravitação

A lei da gravidade

de Newtonr

rvac

)r 2

−=cc amFrr

= &Algumas órbitas de planetas e satélites são elipses com excentricidades pequenas, podendo ser aproximadas por órbitas circulares.

Podemos considerar a força de atração gravitacional como uma força centrípeta!

rr

GMmF )r2−= 213111067,6 −−−×= skgmG

A Lua e a maçã

Voltaire conta no livro “Philosophie de Newton” (1738): “Um dia em 1666, Newton, então em sua fazenda, vendo uma fruta cair de uma árvore, segundo disse sua sobrinha, Mme. Conduit, começou a meditar profundamente sobre a causa que atrai todos os corpos em direção ao centro da Terra”. A Lua como a maçã está caindo em direção a Terra.

A história é provavelmente apócrifa porém Newton confirma que naquele ano que comparou a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a gravidade na superfície da Terra.

A Lua e a maçã

2T

TCTC R

MmGF =r

2TL

TLTL R

MmGF =r

2T

TC R

GMga ==

Os módulos das forças ficam

Em termos das acelerações

2TL

TL R

GMa =

A relação das acelerações é

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TL

TL

RR

ga Como RT e RTL já eram conhecidos

o problema foi resolvido!!!

Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural

• Em 1669 Newton tornou-se professor em Cambridge.

• Em 1672 apresentou à Royal Society o trabalho sobre a natureza da luz branca e a sua composição espectral. Na disputa com Hooke ficou desgostoso.

• 1684, Hooke, Sir Christoper Wren e E. Halley perguntaram qual seria a órbita dos planetas sob a força 1/ R2.

• Halley foi a Cambridge e perguntou a Newton que respondeu, “Uma elipse”!

• Halley pediu e financiou a obra que Newton escreveu em 18 meses. “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” conhecido como Principia publicado em 1687 é considerado a obra científica mais importante já escrita!!!

Westminster Abbey

Here is buried Isaac Newton, Knight, who by a strength of mind almost divine, and mathematical principles peculiarly his own, explored the course and figures of the planets, the paths of comets, the tides of the sea, the dissimilarities in rays of light, and, what no other scholar has previously imagined, the properties of the colours thus produced. Diligent, sagacious and faithful, in his expositions of nature, antiquity and the holy Scriptures, he vindicated by his philosophy the majesty of God mighty and good, and expressed the simplicity of the Gospel in his manners. Mortals rejoice that there has existed such and so great an ornament of the human race! He was born on 25th December, 1642, and died on 20th March 1726/7.

Monumento para Newton

Principia; resultados importantes • Cometas: objetos astronômicos que têm órbitas

elípticas bastante alongadas. O mais célebre é o cometa Halley identificado por Halley em 1682 e com aparições anteriores em 1607 e 1531 com período de aparição de 75 a 76 anos. Sua aparição mais recente foi em 1986!

• Forma da Terra: na ausência de rotação ( só efeito da gravidade) a Terra seria esférica. Mas, a força centrífuga devida à rotação leva ao achatamento dos pólos tornando a terra um esferóide oblato.Segundo Newton a razão dos diâmetros polar / equatorial é 229/230.

• Precessão dos equinócios: o eixo de rotação da Terra mantém um ângulo constante de 23,50 com a normal ao plano de movimento. O período de precessão deste eixo é de 26.000 anos.

ωr

A Lei de Newton e a constante

universal da

gravitação

213111067,6 −−−×= skgmGThe torsion balance experiment of Henry Cavendish who in 1797 was the first to experimentally measure the gravitational constant G. (Courtesy of the Journal of Measurement and Technology.)

rr

GMmF )r2−=

Teoria-1666

Experimento-1798

O experimento de Cavendish

Um par de esferas de massa m é posto nas extremidades de uma barra suspensa por uma fibra de quartzo colocada em posição de equilíbrio.Duas massas M são aproximadas das massas anteriores e produzem um torque e por conseguinte pode-se medir o valor da força gravitacional. O ângulo é medido pela deflexão do feixe de luz

Cavendish obteve um valor de G = 6,71 x 10-11 Nm2/kg2. O valor hoje é G = 6,6739 x 10-11 Nm2/kg2.

A força é fraca e difícil de medir. A primeira medida foi feita em 1798 por Cavendish. Ele chamou sua experiência de “pesagem da Terra”.

Qual

é

a massa

da Terra?O raio da Terra é conhecido desde as medidas de Erastótenes(276 aC - 197 aC)

mrTerra610374,6 ×=

Outro resultado de medida… 28,9 −= msg

mgr

mMGTerra

Terra =2kgMTerra

241097,5 ×=

Os limites da Lei de Newton

• A lei de Newton vale para planetas e para a queda da maçã

• Até onde ela ainda fica válida?

• Tentativas de verificar correções à lei de Newton que poderiam corroborar teorias de supercordas foram feitas.

• A lei de Newton continua válida!!!!

Os limites da Lei de Newton• Cantilever, tungstênio, amplitude

da ponta, 19 μm resonante massa do detetor.

• Fonte - 35mm x 7mm x 0.305 mm

• Detetor - 11mm x 5mm x 0.195mm

• Tungsten detector, double torsional oscillator

• Distancia fonte–detetor 108 μm

Upper limits to submillimiter-range forces from extra space-time dimensions. Long et al., Nature 421, 922, 2003

Esquema do experimento

Quanto

dura

o ano

terrestre?

rtrm

rvm

rMmG 12 22

2 ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==π

GMrt

23

2π=

kgM sol3010989,1 ×=

mr TerraSol1110496,1 ×=−

(raio médio da órbita da Terra)

3,3651016.3 7 =×= st dias!

3a lei de Kepler:

GMrt

23

2π=

Resultado anterior para o ano terrestre:

Reescrevendo… !4 2

3

2

cteGMr

t==

π

- 2a

Lei de KeplerLei das áreas

Sol Terrarr

rdr rr +rdr

pr

Como a força gravitacional é central o momento angular da Terra se conserva ( Sol estático, centro de atração gravitacional para a Terra)

rr

GMmrF ˆ)( 2−=rr

Força gravitacional entre dois corpos, por exemplo, Sol e Terra

.0 const=⇒= lrrτ

Sol rr

rdr rr +rdr

prLei das áreas

Área do triângulo colorido

rdrAd rrr×=

21

mdtrdmr

mdtAd

221 l

rrr

r

=×= .2

constmdt

AddtAd

===l

rr

2a Lei de Kepler: O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais.

Terra

- 2a

Lei de Kepler

Energia

potencial

para

forças

gravitacionais

drr

GMmdrFsdFdU

rr

GMmF

r )(

ˆ

2

2

−−=−=⋅−=

−=

vr

v

Integrando:

CGMmrdrGMmrU +−== ∫ −− 12

00)( =∴≡∞ CU

U(r)

r

R0

RGMm

−

)()()()(' RrrR

GMmRUrUrU −=−=

r

y

myrR

RGMyU 2)(' =

22 83,9 −==⇒= ms

RGMgrR

gg <' 27,8)400(' −= mskmg

Para r > R , podemos estimar g’~

Seja U’ a função energia potencial, tal que: U’=0, quando r =R

Velocidade

de escape

mRR

GMR

GMmRUUU 2)()( ==−∞=Δ

Ou seja:

mgRU =Δ

1

2

2,11221

−==∴

=

kmsgRv

mgRmv

escape

escape

Teoria da gravitação de Einstein

Curvatura no Tempo-Espaço

SFASFA

Teoria da gravitação

de Einstein

• A teoria de Newton da gravitação sobreviveu até 1915 quando Einstein apresentou sua Teoria da Relatividade Geral

• Esta teoria se reduz a teoria de Newton quando v << c ou a energia gravitacional é comparável com mc2. Isto só acontece perto de massas muito grandes, o que explica o sucesso da teoria de Newton.

Teoria da gravitação

de Einstein

Postulados da Relatividade Geral• Todas as leis da natureza tem a mesma forma para

observadores em qualquer sistema de referência• Um campo gravitacional é equivalente a um sistema de

referência acelerado na ausência de efeitos gravitacionais (princípio da equivalência)

Dobrando um raio de luz

Sol

Luz da estrela dobrada pela gravidade do Sol

Posição aparente da estrela nesta

direção

Olho

Predito por Einstein em 1916

Comprovado por Arthur Eddington e sua equipe, em Sobral, no CE, em 1919!Ver: http://www.fisica.ufc.br/eclipse/sobral4.htm

Buracos Negros

Vamos considerar uma estrela que está

diminuindo, mas cuja massa permanece constante.

Qual é o efeito na velocidade de escape?

SFASFA

21mmG=R2

F

21mmG=R2

F

21mmG=R2

F

21mmG=R2F

221

RmmGF =

R

R

R

R

26412

81 )( RR = A força é 64 vezes maior!

Se uma estrela massiva diminui o suficiente para que a

sua velocidade de escape seja igual ou maior do que a

velocidade da luz, ela torna-se um buraco negro.

As particulas que penetrarem nele se desintegrarão.

Então, como os buracos negros são detectados?

Buracos Negros

Buracos negros

Velocidade de escape igual à velocidade da luz:

cvescape =

Raio de um buraco negro de massa M:

RR

GMgRc 222 ==

2

2cGMR =

Conhecido como raio de Schwarzschild

• Supernova; explosão de uma estrela de grande massa– M < 1,4 MS , esfria e vira anã branca– M >1,4 MS , contrai e vira uma estrela de nêutrons ( r ~ 10 km)

• Buraco Negro surge quando M > 3 MS

• Nada escapa de um Buraco Negro.

• O raio de Schwarzschild Rs , onde a velocidade de escape é c, é chamado horizonte de eventos, o limite que alguém pode se aproximar do buraco negro e ainda ter esperança de escapar

Buracos negros

Sistema binário• A luz não escapa do BN • Luz de eventos

próximos pode escapar. • Sistema binário (estrela

+BN), a estrela perde massa para o BN com emissão de raios X

Se a Terra se transformasse em um buraco negro,seu raio diminuiria para Rschwarzschild = 8,87 mm !

Fontes de raios X são candidatos a buracos negros. Uma dessas fontes foi descoberta na constelação de Cygnus em 1972.

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

Buracos negros

Distribuição esfericamente simétrica de massa

rR

mmGF ˆ212

21−=r

O problema que Newton resolveu em 1685 e completou a teoria força da gravidade: Uma distribuição esférica de massa atrai uma partícula externa como se toda a massa da distribuição estivesse concentrada em seu centro.Não ter a solução deste problema fez Newton adiar a apresentação da sua teoria da gravitação de 1666

RmmGU 21−=

força gravitacional potencial gravitacional

A força gravitacional obedece o princípio de superposição!

Casca esférica

dMsmGdUanel −=

24 aaneldoárea

MdM

π=

Vamos considerar uma distribuição de massa como composta em camadas esféricas como se fosse uma cebola.

Se M é a massa da camada esférica

Da figura , o raio do anel é

e sua largura é

θρ sena=θda

de modo que θθπθπρ dsenaadaneldoárea 222 =⋅=

Casca esférica

θθ dsenMdM21

=

θθ ds

senmMGdUanel 2−=

de modo que

a energia potencial do anel fica

a energia potencial total é obtida pela soma sobre todos os anéis, ao que equivale a integrar sobre θ

de 0 até π

∫=

=

−=πθ

θ

θθ02

ds

senmMGU

( )22min

20 arss −==⇒=θ

dsds

senar =θθ

( )minmax22

max

min

ssarmMGds

armMGU

s

s

−−=−= ∫

Note que s varia com θ. Usando a lei dos co-senos temos,

Derivando em θ

Substituindo temos

Mudando a variável para s

θcos2222 arras −+=

( )22max

2 arss +==⇒=πθ

Casca esférica

( )minmax22

max

min

ssarmMGds

armMGU

s

s

−−=−= ∫

ars +=max

ras −=min

Análise da energia potencial

Se r > a ⇒ Se r < a ⇒ars −=min

temos sempre

Então

( )arrmMGU >−=

( )aramMGU <−=

Casca esférica

( ) ( )arr

mMGrF >−= 2

( )arrmMGU >−=

( )aramMGU <−=

Ponto externo à casca comporta-se como se toda a massa estivesse no seu centro!

Ponto interno à casca tem potencial constante e independente do ponto

( ) ( )arrF <= 0

Casca esférica

Esfera maciça

( )rρρ =

( )RrrmMGU >−=

Vamos considerar uma distribuição de massa esfericamente simétrica.Neste caso a densidade só depende do raio r

Para uma esfera maciça de raio R, se o ponto é externo a esfera, o resultado anterior da casca esférica pode ser usado e pensando a esfera como um conjunto de cascas, cada uma podendo ser subistituida pela sua massa no centro, podemos dizer que

( ) ( )Rrr

mMGrF >−= 2

Estes são os resultados de Newton

Esfera maciça

( ) ( ) 03 , ρρ =<−= RrrR

mMGrF

( ) 3

3

03

34~

RrMrrM == ρπ

Ponto interno à esfera (r < R). Neste caso as camadas de massa para de raio maior que r não exercem força sobre ele. A força é dada por

onde a massa total está contida na esfera de raio r . Suponhamos que a densidade é constante, ρ(r) = ρ0 = constante. Daí temos

( ) ( ) ( )Rrr

rMGmrF <−= 2

~

Então

Esfera maciça

( ) ( ) 03 , ρρ =<−= RrrR

mMGrF

RmMGC

23

−=

( ) ( ),2

23 RrCr

RmMGrU <+=

Esta é a força de um oscilador

O potencial associado

onde