curso basico de variable compleja - lascurain

145

Upload: fernando-yagami

Post on 08-Nov-2014

945 views

Category:

Documents


49 download

Tags:

TRANSCRIPT

Page 1: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

������ ������

� ��������� ��� ��� ���� ��������� � �� ������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������ �� �� ������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � ������ ����� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � ������ ���� �� �� ������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � !����! ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !

��� "��������� �� �� ������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � #����� ������������ $���%��� �� � &� �� �'�� � � � � � � #����� "��������� (���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)����� ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� *� "��+��� �������,���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!��� - ,���� .������ � ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� *� .���� �/������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� *� .���� *�,����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� *�� .������ 0�,����%���� � � � � � � � � � � � � � � � �1����� "������ ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2����! *� .���� ���3 �4%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5����# ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)

��! .������ -�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� 0��� �,�� + ��������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� �6�����7 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!��!�� ������� �� ���8+4������ � � � � � � � � � � � � � � � �#��!�� ���6���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5��!�! ������� �� ���8+4������ �� ����������� "� ���� � ����!�# 0������ �� � .���� ��9���� � � � � � � � � � � � � � � � ����!�1 ��������� ����/�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�2 ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��# �6������� �� �� .������ � ������ ��� � � � � � � � � � � � � �!��#�� *� �/������ + � *�,����� � � � � � � � � � � � � � � � �!��#�� *�� .������ 0�,����%���� � � � � � � � � � � � � � � � �1��#�� *� .���� "����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2��#�� *� .���� ���3 �4%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2��#�! ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �5

Page 2: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

������ ������

� �� ������� ����� ����,�� �� :�7�� ���9�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�

����� "��������� ;���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !������ ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !2

��� 0������ �� ���8+� (����� �����9� � � � � � � � � � � � � � � � #)����� ���������� ����� � 0������ �� $���� � � � � � � � � #)����� ��,���� :�� ������ ����/�� � � � � � � � � � � � � � � � #������ ����������� �� 0��+������ + -�����9���� � � � � � � #������ � *�,����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #!����! ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ##

��� 0������ �� ���8+� (����� �,����� � � � � � � � � � � � � � � � #5����� (������� *�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #5����� ��������� + ��,���� :�� ������ ����/�� � � � � � � � 1������ 0������ �� ���8+ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1#����� ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2�

��� .���� � ����,�� �� ���8+ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2!����� ���� �� ��� ���9� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � 2!����� .���� � ����,�� �� ���8+ � � � � � � � � � � � � � � � � � 21����� *�� .������ -�� ���� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � 22����� ���,�� ����� �� ���8+ + � 0������ �� *��9 � � � � � 5�����! 0������ .��������� �� - ,�7�� � � � � � � � � � � � � � 5�����# ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5�

��! 0������ �� &�/�� &��� �� .������ -������ � � � � � � � 5!��!�� .������ -������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 51��!�� "������� �� (� �� ��������� + "���� �� &�/��

���� .������ -������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � 55��!�� ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�

� ������ ������ ���9��,��� �� :���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)�

����� �������� ;���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)������ ���9��,��� �6���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)2����� ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� 0������ �� 0�+ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!����� :���� �� "������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!����� 0������ �� 0�+ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��5����� ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� :���� �� *������� � ������ �� :�,� ������� � � � � � � � � � �������� :���� �� *������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� � ������ �� :�,� ������� � � � � � � � � � � � � � � � ��2����� ����� �� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� 0������ �� ������� ����,�� �� ������� � � � � � � � � � � � � � ��#����� 0������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#����� ����,�� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1

Page 3: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�������� �

������� ��������

��� ��������� � �� ������� ���� ����

����� ��������

*�� ������� ��� �� ������� � ������ �� ���� 9�� ������� ���

�� � � � ��

� �<�9� ���������= � ������ �� ���������

�� -�� �,������= �� ���������� ���� ���,�� �� ������� ���

�� � � � ��

"��� � ����� ������� � �= � 6'���� � ������� �� ��� �� �����

� � �������

�� ,����� = ���� � ����� ��� � ��� � � �= �� �� ����� ����� ����� ���

� ������� � ���

���

���� �� � ����� � �������= �� ��8�� ���� �� � ��� ����� ��� �� ��������,��9��������� >�, � ?(�@ �7���9� <�� � ����� ������� �� � 6���� ��

�� ��

�����7�� ��� ������� �������� �� � ������� ����� ���

��� � ������� �� ������� �������� �� ������ ���� 9���*� 6���� � �� �� ��= ��� � ��� � � � �+� +� �� ���7� � A' �������� "��� �� 6�� ��� 8���� � �, � ?�? �� $���� + ����� <�� � �,�����

�� �� ������� ��� ���� 6�� �������� ���������*� ������ �� �� 6������ ��� '��� 6�� ������� ��� ����� ����� ���

���8+ + ��7������������ ��� ��8 ��= B��������� + �������

Page 4: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

� ����� �� ����� ��� ���������

*� 7��<���� �� �� �%���� ���� ����7� � ������ �� � �� �C�+����� <�� �� ������� ��� � ������� ������� � 8�������� + � � ������������ ����� ���������� �� � 6��� ����� �� �� � � (���7 � ���� ����*�� 6������ ��� ���� ���7%� ��� �� �� ���� � ��� �� ��� = ��� ����� �=

���� ���7�� <�� � �

�� �

����

��

� <�� � ��

�� � �

����� � �

��������� ����� ��������� �� �6� � ����7 � ������ � � � � ��� = ����7��,�= �� � ��� �� ��� �� ��� ���= �� ������ �7����� 6� ������

���� �� ���� �� ��� ������� ���������

��������� ���� �� �������� � �� ��� � �������� ������� �� � � ������ � ���� �� ��� � � �� �� �� �� �� ���� �� � � ���� ������� �/��� ��� ������������ 7���9�� �� � �� �� ������� �������

�� �� ��� ��

"�� ����= �� ������ ������� � �� ������� ��� ���� �� �� ������ �� � ����

:� ���,���� ��� �� � �� �� ������ ��� ��� � � � � ������ ��� �= + ��� �� � ������� �� � �'����� ��� �� �� ���� ������= � ��� ? �� � ����� � �� + � ��� D �� � ����'� � ������� ���

��������� : � � � = � � �� = �� ���7��E

� � �� � �� � � �

:� ������ �� ������� �� � <�� ������'� �������� � � ����� ��,���� ���

����

��������� ���� � ��� ��� �� ����� � ��� � ��������������� ���� �� ���� ����

��� � �� � ��� � �� � ��� � ��� � � � � ���

���� � � ��� � � � � ��>F7�%�9��� <�� ����� ��������� ����� �� �� �� �� ��� ����� 9���4�� @�

����!� ��� ��� �� ����� � ��������������� ���� ����

��� � ����� � �� � ����� � � �� � ��� � � �� ���

"� � �� �� �� �������� ���� �� �� #� #� �� � � ���

Page 5: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ���� ������� � � ����� � � ��� � �

� � �

��

.,��� ���E ������������ ,���%��� �� ���� + �� �� �'�� ��� ��

� �,����� ,���%��� �� � ���� + �� � �� �� ��� ��� �� �� � ���� �� ������ 9����� ��� � �,����� ,���%��� �� � �� �� ��� �������� �����'��� *� �� �� ��� �� ������� ��� ���� �� �������9�=�����9� + ����7��9�� "��7���� �<�� � ������ �������� + �� ����� ���<����� ��� ������: �� � �� � �� + �� � �� � ��= �������

���� � ����� � ����� � ����� � ����� � �����

���� �� 9� �� ���� ,�� ���= �8�� ���������� ��� �������� �� �� ��������������� �� �� ������� ��� ���

�� ������� *�� ������� ��� ���� ��� ��� �/������ �� �� �'������ ��� ��E� � � �= �� � � � + 9�9����G ��� � <�� �� ����� ���7� � � � �

-8���= ���� � � � = <������� 9�� <�� ���� �9���� �� �� ��9�� "����������= �� ��<���� � �� �� : � � � � �= �� 7��� �� � � � �� <����� � �� �� ���

��� � � �

��� � � ��

���� ������ ���� ��� ��� �� ���

� ��

�� � ��� �

���� � ��

- �� �� � ���,�� ��� ��� ��

��

�� ������� �� �� �9�� �� � �,����� ������E

�� ��

���� ����� ����� �� �

�� ��� � ��

Page 6: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

� ����� �� ����� ��� ���������

���������������= � �� �� ���� �� ������� � �� ��������� �� ���� +�������� *� ���� �� �������9� + �����9�= � ������ ���9� �� � � � ���+ ���� � � � = � � � � = �� � ��� �� � �9���� ���9� �� �� � �������= ��� +� �� ������= �� �������9�= �����9� + ����7��9� ��������� � � ����= � ������ �� �� ��9� �� � � � � � �= + � �9���� 6�������� �� � �����6� ��������

����� ������ �� ������� �� �����������

������ ���� $��� � � � � %�� � � � ��� #� �� � �� ��! � #�������� ����� � ��

����� ���������� �� ����= � ������� ����� ��� ���������� 6� �����=�� ��7��,�= ������ � ���7������ � ,�7���������

����������� : � � � � �= � �� �= �� 7��� � � � � �� <���� � �= � �� ��� � �� � ��� � � �� �� ���� ��� �� � ������

�� � � � � >���@

�� � �� >���@

���7����

��� � ��� � ��� � ��� � ��� � � �� � ���

�� �7����

�� � � ���� � ���

��� � �� = ��7����� ���� ����� �� >���@= �7�������

�� ���

��� � ��

�� � �

������ � ��

��

: � � �= >���@ �� ��� �� �����

� � ����

����� � ��

��

����

��� � ��

�� �: � � �= �� �� ����� ���

� � ����

���

��� � ��

��

����

��� � ��

�� � �

Page 7: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ���� ������� � � ����� � � ��� � !

����� � ������ �� ��� ������� ���������

������ ���� �� � �� ����� #� ������ � �� �� � �� � � ����� ����������� ���� &���� ��� ��������� ����� � ������ � � �

����������� :�� � � � �� ��� � �� � � � �� -������� <��

� � �� �� �� � � �� � ��� �����6� � � �:�� �� � � � ���� ��� ��� � �� � � � ��� � �������� � �� ��

8���������� �� � �� �= + ��� � � �� ;���� 9��= �������= <�� � ���+��9��:��� �����= ����� � � �� �� <�� �������� � ��������� �������

������ � ������= �� ����� ���������������� � �� : �� �� �� �������

� ��� � ���� � �� + �� � � � � ���� �� ��� ��� = � �� �� �7�����= �� �����

�� � �� + �� � �� + � ������ �� ��7���� >�@ �����6� � � � �

�� �� ���� ��� �9��3���= �� ��������� � ������� �� .�H7����= <�� ��<�� � � �� �� ���� �� <�� � � � + ����� � = ������� � � � �� � � �

���� �������� ������������

�� ��������� <���

� �= + <�� �

� ��

�� ��

���������

������� �

������

� ���

� � �

�� �� � ���� � �

�� ��

�� �������� � ����� ��� � ��,���� ��� � �

� � �= ����� � � �� �

���������

� � �

� � ���� � �

�� � � �

��� � � ���� �� ���� � � ���� �� �

��� � ����� �� � � � ���� �� � ��� ���

��� ��� � ��

"�� � �� =

�� � �

� � �

��

��� ����� �� � �

�� � ��� � ��

��

�� � �

� � �

��

��

��� ��� � ��

Page 8: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

# ����� �� ����� ��� ���������

�� ���� 9�� �� � � ��

��������� ���7���� �� � = � ����� �� �����6���� �� � � � �=� � �� �� � ����� �� �� � 6���� � ������� ��� ���� ����� ��������=�7���%�����

� �����

��

��

��

-� ���� �8��� ���� 6���� � � �� � = �� �7���� >������� � � ���= +

� � ����@

� � ��

� ��

�����

��� �

��

����

� +

� � ��

�� ��

�����

�� �

��

����

���� � ���� 9� �� �� �

�� � �,����� ���� �� ������� ��� � 6'���� � �� �� &�9��= <�� ������� � �� �� ������ ��� � �� ����� �4%���� �� �� ������ ��� ����

�� ��������� <�� ���� ������� ��� ���� � + �E

�� � �� � � � �� ���� � �� � �� � � ����

��������� : � � �� + � � �� � �������

�� � �� � �� � � � � �� ���� � �� � � � � �� � � ����

��� ���������� �� �� ������� ���� ����

���� ! ����������� "���#����� �� �� $�����������%�

"��� ��� ��� ����������� ,���%��� �� � �� �� �'�� �� ������� ��4� ���� ��7���� ������� �� ���������� �� ����� ���� �� ������� ��� ���������� ��� ��������� �� �� ������ �� � �= ������� ������ �� � �� ���9������ �� � � ���� ���� �� � � � = � � �� �= �� ��,��� ���� ���� ���� �

��� � ���

0��7%� �� ����� ���� � ��,� � �� ������� <�� 8�� �8� 9���� �� ������ ����9� �� ��� ��� � : ��������� ���� ��,� � ��� = �� �7���� ��/������ �� �� �� 3=

�� � � � ��� � � � �

����� � � ��

Page 9: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ������� �� � ����� � � ��� � 1

��������� ���� '� ��� � � �� ��� � ���� � ����� ��������� �� ���� ���� ������� � � � � ����� �� �� ( �� &����� � ������ ������ � � � � ����� �� ��� ��

F7�%�9��� <�� � ��,������ �� �� ����� � �,� �� 6���� ���= ���<��= � ��<����= ����� ����� 9� ���� �� ��� ��� >� �� ��� ��� @�

.,��� ���E � ��,������ �� ��

������ ���� "� � ����#�� � ��� �� � ��) ���� � �� �����) ��� ������ � ��� ���� � ��� ���� ���� ����

����������� ���7����

�� � �� ���� � � � �� + �� � �� ���� � � � ��

�� ����

���� � ���� ���� � ��� � � � � � � � ���� � � � � � � ��� ���

� ���� ���� �� � �� � � �� � ���

���� ,�� ��� ��������� � �������� �� ����� � @= � ��,������ �� ������ � ���� �� �� ��,������� �� �� + ��� : ����� ����� ��� �� ��= �,�� ��� @ �� ���� ���� � ��� �

�������

������ � �� + ������ ���

���

��

��

�� �� � � ���� ����

Page 10: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

2 ����� �� ����� ��� ���������

����

��

����

� � �

.,��� ���E � ��,������ �� �� ��������

������ � ���

��������� � �� ������� � �

.,��� ���E � ��,������ �� �����

�� ������� �� ������� ��� ��� 7���� ��� ����������� ,���%��� 6��4������� = �� �� �� ��� ���� �,��� A����� ��� ��,� �� + �� �� �� ���������'�

�/��� ���� ������ ,���%��� �� ������� � ������� �� ��� ���������� ����= ������ ����,� �� ����������� *�� ��� ����,� �� �� � �,��� ��! ������������� +� <�� ��� '��,� �� ��� ,�� ��� � 9���� ���� �� � ������ ���8� �,��� ��7�� � ������� ��� + � <��

���

������� �

*� �� �� ��� ���7%� ����� ��� ��� 3��� �� � �,����� ������� :��� � � + ��6����� �� � � � � ��� ����� � ��= � ��= �� �� �� �� ����� �= � �� �� ����� �� ��,� � ,�� � ��� � �� � ������ �� �� ���� ���� �� �� + ������ � ��,��� �� �� ���� � ��� � >�,����'���� � ��8'���� � �� ������ � � � � � � � �@ �

"�� ����� �= ���� � � = �� �� ��� ������ �� �� �� � ������ A���4

�9�'�

�� ������� �� �� ��� �����6������ ��� �� � � �� � �� ���� �� �,��

Page 11: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ������� �� � ����� � � ��� � 5

��

��

����

.,��� ��!E � ������� �� ��� ������� ��� �����

��

������ � ���� � ���� � ����� � ���� � ���� � ������� � �������

�� � � ���� � �� � � �

�����

.,��� ��#E � �6��� �� ���

�� ������� .���� � �� �� &�9���

: � � ����� � � �� �� � ������� � ����

*� �� ��� 6��������� �� ���� 6'���� � �� ������� �� � �,����� ���� 4�����

������ ���� �� � � � � ��� � � ����� � � �� ����� � ���%������� � �*� ��!��� ���� �� �� ������ �� �����

�� � ���

����

� � ���

�� �

� � ���

��� � � �� �� � � � � �� ��

Page 12: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�) ����� �� ����� ��� ���������

����������� ���� � � ����� � � �= �� 7��� � � ������� ����� <�� �� � ��

�� � ��������� ���� � ����� � � ��

�� �����=

�� � �� �� � � ���� � � �� � � �

�� + � �

� ���

��

0���� �� ���7 �� �� ����� �� �7����� ������� � � �� �� � � � � � � �=

������ <�� � ����

�+ � ����

�����7 ��� � ���� �� ���

�� � ����

�� � ���� � ����

�� � ����

�� ���

�� �� � �� ����� �� � �� � ���� �� � �� ���� ��� �

���� ��� ����� ��= �7�%�9��� <�� �� � ����� �� � ����� ��������� � + �� � ������ ,�� ����� �������� �� � ��� � ������� >(%���� �� �,���� ��1 + ��5�@

.,��� ��1E *�� ����� �� �� � � � ��

��� &���������� '�����

��������� ���� $��� � � ��� � � ��� � ��������� � �� ��������� ��� ���� �� �� +��!� ������� ������� ,�� �� � � ���

������ ���� �� �� � � �

�) � � � � � � ��

��) �� � � ��

Page 13: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ������� �� � ����� � � ��� � ��

.,��� ��2E � ����,��� �� ��

���) ��

���

��

��) �� � �� � � �� �� ����� ��� ��

�� � � �� ��

�) � � � � � ��� � � � ��

��) � �� � �

�� �� � �

� � �

��

���) � � ��

�����������

@ ����� � ����� �� � �������

@ :��� � � �� � + � � �� � ��= �� ����

�� � ��� � ��� � ���� � ����

��� ���� ���=

� � � ��� � ��������� � ������� � ������� � ��� � ��� � ���� � ���� � ���

@ ����� @ �� ���� <��

� � ���

��

��

���

�� ���=

��

��

��

Page 14: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

9@ �� � ��� ����� �� � �� � �� � ���

9@= 9@ + 9@ �� �,��� ���������� �� � ������= ��� ����� �E

� � � � ��� ��� ��� �� � ��� �

������ ���� �� �� �� � �

�) ��� � � ���

��)��� ���

��� ���� �

���) � � �� �� � � ��

��) � � ��

�) � � �� � �� ���

��)��� � ���� � � � ���

���) ���� � � � �� ���� ����� � � � �� ���

���� � � � �� ���� -$��

������� � .���/��)

�����������

@ D� �� �������� ������ ���������� �� �����

@ ����� ���

��� �

������������� � ��

@ :� �,�� �� ������� �� "��,�����

9@ 0�9� �

9@ ���� �� � ���,�� ��� �� ����,� �E

� � ��� � �� � ����� � ��� � �� � ����� � ��� � �� � ��� � ��� � ����

� �� � � ����� � �� � �� � � ���� ��� � ��� ���� �

9@ � � � � �� � �� � � � �� � ��= �� ����� � � �� � � � ��� -�� �4,������= �� � � � � � ���

Page 15: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ������� �� � ����� � � ��� � ��

9@:� ��������� �� ��� 6���� 7������� ��� ��� ��� <�� �� ����������

:���

� �

�����

��� � � �

�����

��� � � �

�����

����� + � ��

��

�� ���� <��

� ������

�� � ��� � �

�����

��� � ���� ��� � ����

������

���� � ������

���� � ������

���� � �������

����

� � � ��� ��� �� � � � � � ���� � �� �

� � � �

���

�� �� � � � � �

���

� �� �

� � � ����

����

� � � ���� � �� �� � �� � �

�� ������ ��� ������ �� ���7�� � ���,�� ��� �� ���8+ �� ���� �������� �� *�,���,�=�����

�����

����

������

�����

���

�����

�� ��

������

��� � ��� � �

������� � �����7��� �� ���� ������� ��� ����� ���� � ����������

���� �������� ������������

�� ���� 9�� �� � ��

��������� ����� � ������� �= �� �� ����� ����� ����� ���E

�� � ���

� � ���

�� �

� � ���

�� � � �� �� � � � � �� � ��

<�� �� ������ ���7� ���E

��� � �

�� �

�� � ��� ���

��� ��� �� �� �

��

�� &������ <��

��� � ���

� � �

��

��� ���

�� ��

Page 16: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

.,��� ��5E *�� �8� ����� ���9�� �� � ������

��������� ��� � ���

� � �

��

�� � ���

�� ��

�� � ���� � ��

�� ��

��� ���

�� ��

�� : � � �= ��������� <��

������ � �

�� � �

���� � ��

��������� F7�%�9��� <�� � � � �� � <�� � � � + �� � �� 0������������� ������ � �

�� � �

���� �

������ � �

�� � �

���� �

� �

������ � �

�� ��

���� ��� � ����� � �

�� � ��

�� ��������� <�� � ��/�� 9� �� �7�� ��� �� �� � � �� � ��� ������� � � � � �� �� ��

������������� � �

�� � ������ � � � �� : � � �= ������� �� � � � ��

!� ���7� �� ������ ��� ��� � ���'�� �� � ����= � ��� � + � � ����

��������� *� ���� �� �/����� 6� ����� �� 6���� �����%���G � �,�� ,���%4��� �� �� ������ �� � � ��� <�� ����� ��� �� ����� ���� � �� ��� ��������� �E

�� � �� �� � � ��

� ��� � �� ���� � �� ����� �� � �� ����� �/������ ���

� � � � � � � �� �

*� � ��� ������� �� � ��,�� �� 6��� �� � + ��= + ������ ��+�� ��� ����� �/������ ���

� � �� � � � � ���

���� �� �,�� ���������� �� � ������ �� � ����

Page 17: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � � ������� ������ ������� �!

.,��� ���)E "�������3��� �� ��� �����

#� �/������ ��� � �� �%����� �� ��� + � ������ � 6���� � �� ��&�9���

��������� :� ���� <��

���� � � ��

� ��� � � � ��

��� � <��= ������ � 6���� � �� 7����= �� �7����

���� � � ���� � � � ��� �� � �� � ��� � � �����

+

��� � � ���� � � ��� �� �

��� �� ������� ������������

*� ���+��� ����� ����� � �� � ����� ������ �� � �,��� ���� ��,��� <��� � ��� ��� ��� �� ����� ������ ��� � ��6��� ������ �� �� �/ �+����� �� � ������ ���� �� ���� ������ ������ <�� � �� � ����� ���������� � ������� ��� <�� ���������� � ������

��������� ���� 0� ����� �� ����� ������� ����� ��� �� ��� � ������������ %������� ������� �� �� ��� �� � ���7� � �� ����� ������� �� �� � ����/�� �� �� �����4

6�������� �� &H7�� � ��� �� � �

�� � �= �� ��� �� �� �= <�� ��� 7+�����

�� �� �� �� � >9�� &������ I�J= ���� � != + ��K���@ *� ��6��� ������

�� ��� � �� � � �

��

����� ��6��� �� ������= �� � ���� � ��<����� ���� � �� � ����� � ������

Page 18: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�# ����� �� ����� ��� ���������

��� �� ������ ��� ���

���

���� � ���

.,��� ����E *� ���+��� �������,�����

"��� ����� ��� ����� �� � � ��� �� ��� �� �� ������ � �,����� ���,���%���E : � ����� � �� �� �� ����� ���� �� �� + ����������� � ��� � � � ��� � = � ���� <�� 9� �� �� ����� �� � ���� ��� ��� � �� � �� � ����� ��� � ��� �� �� � �� ��3� � �� �� ��� ������ "�������3������ ����E

: � � � �� �� <�� ���� � ����� ����� � � �������

���� � ����� ����� � ��� � ��

� � ���� � ���� � ��� � ��

� � ���� ����

� ��

�� �� �

�� �����= � ����� ������ � �� ��

��� ��

�� �� ���� ����

� ��� �

���

�� �� ���

�� �� ��� � �

�� ��

��

���

�� �� ���

�� �� � ��

Page 19: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � � ������� ������ ������� �1

F��� ������ �� 9�� ���� �� ��� ���� �� � �,��� ����� �� ��� <�� ����+��� �� �� ��7� ����� � ���'�� �� ���� ���= + ��� �������3� ���7���� <��

��

���� � ����� �� �

��� 7��� �� ����� ����= �� ����� � 6���� ���� � ��� �� ��� � � ���

����� ��� ��� ��� � ���� �� �

:� ����� <�� � �� ��� 7+��� ����� �� � ��� �� ��� + � �

�����������

�� � �� �+��9�� "��� ��������� ���� �� ������+� � �9����� F7�%�9��� <��=� � � ����� ��� ���=

�� �

������ � ���� ��

����� ���� � ���

��� �����

�� ������ ����

�� � ���� �� �

>+� <�� ���� ��� ��� � ��� ��� � ��� � ��� � �@ � 0������ ������� <��

��� ��� �� � � � ���

�� � � � ���� � ����

�� ���=

�� ��� � �

� � �� � >���@

0��7%� � � � ����

�� �� = ��� � <��

�� ��� � ����� ���

��� � �

�� �� � �

� � ��

�� � �

�� � �

� � �

�� � ��

>���@

-�� �,������ � � � ����

�� �� = ��� � <��

�� �� � �

��� � ��� >��!@

Page 20: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�2 ����� �� ����� ��� ���������

"�� � ����� � �� �+��9�= +� <�� � �������� � ����� ���� ��� ����F7�%�9��� ���7'�� <�� � 6���� �

���� �

� � �

�� � ��

� � ���� � ��

��� � �

�� � �

�� �9���� ��� � 3<����� �� ��

�� � �� ��7���

���� � � � = �� ����� 9�� ������� �� � � � ��� � <�� ���� � ��� :���� � � � � �� �� �� + ���� � ��= ������ �� ������� >���@= >���@ + >��!@�� ����

�� �� � ��� � � � �

� ��

��� � �� � �

� �

�� � ��

� �� ��

���� � ��� � �

� �� �

��� � ���

"�� � �� =

�� � �� �� �� � �� �� � �� �� � ��

� �� ��7�� + � �� �� �9����� �

������ ����������� �� ��� �� �� �� �7���� ��� 7+��� �����

�� + �� = � �� ��� �� � ���� � 7������ - ���� 7+��� �� � ���� ������� � �� &���� �� � 6���� � >���@ �� ����� <�� � A8���6��� ���'=�� � �= ���������� � ��� ������ � � �= + <�� � A8���6��� �����'=�� � �= ���������� � �/����� �� ��� ��������� ���� ������������ ��6%�� �� � ��� ��� ��� �� 8�+ ��� ���������4

'�� 6� �� � ���� + � �������= �� 9������ ����7� �� <�� �� �� ������� ����,���� ���9�������� <�� ���� ���� �� �� ��7������� �� �� <��� �+� � ���7� � = �� ���= <�� ���� ���� ���� ��� � �� ����������������� �� � ���+��� �������,���� �� � �,�����E

����������� �� � 1��� �� � ������� � �� &���� �* ���� � � � ��� ��� � ���� ��� � �* ���� � �� � ���� ��

�����������

�� � ��� � �� �� �� � �������� �� �� � ��� �� � ��6���= �� ���=����6�� ��� �����

��� � ��� � ��� � ��

Page 21: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � � ������� ������ ������� �5

���� ��� � �� � ��,�� 7��� � ���+��� �������,���� �� �� ��������+�� ������ ��7�� ��� �

�� � �

�� � �� �

� � ���� � ��

� ��� � �

�� � �� ��

: � � �� = ���� ����� �� �����6���� ��

���� �� � ���� � � � �� � ���� � � � ���

<�� �� � ����� �� ��� ���� � �� ��� � �� � � ���= ���������� � � � �� � �� �� - ��� ���� �������� �� �� ����� �7����� �� ���� ��,��9�=������ <�� �� ������� 9��� �� ����� ��� � ��,�� �� ��� �� 9�'��

�� (�9����= ��� ���� �� � � ��� �� �� ������� �� � 6����

��� � � ��

<�� 7��� � ���+��� �������,���� 9� � ��� �

���

�� �� � ���

�� �� � �

��� � ��� � ���� ����

� �� ���� ������� �� �� � ���= + ������ <�� �� �� ��7������� �� � ��6���=��7� ��� �� ��� �� ���� '�� � ���� ��� � �� � �����= +� <�� �� � ���� �� ��= + ��������� ���� ����� ���� �� � � ��� �������

D �� ��� � �� � � ��� �� �� � 6����

� � �� � ��� �

�� � ���� � �� � ��� �� ���=

�� � �� � �� � �� � ���

� � ���� �� � � ���� � �� � �� �

������ <�� �� �,�� �� >���@ <�� �� �� � ���� �� �

: � � �� � ��= + � � �� = ������� ���� � ���� �� = +

� � ���� �� � ������ �� � � �� � �� �

� � ���� �� � ���

���� �� � ���

���� �� � �� � �� �

� � �� � ����� � ����� � ��� � ������ ����

<�� ���� ������� �� �� � ��� + �� ��� ����� �� ��� �� �

Page 22: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�) ����� �� ����� ��� ���������

"��� �������= �� �� ����� ��� 6���� � ���� � ������ ����� �� ���+�4���� �� � + �� �� � ��6��� �� �%����� �� � + ���

��������� � �� ���+����� �� � ��6��� ��� ���� ��� ��� + ����� ���� �

���

�� ���� <��= ��� ����� �� ��

��� � ����� � ��� � ����� � ��� � ����� � �� ������� � ���

�� � ���

����

����� >���@= >���@ + >��!@=

����� � ���

�� � ���

��

�� � �

�� � �� �

� � ��

��� � �� � � ��� � �

� �� � ��

��� � ���� � �

�� � �� �

�� � �

��� � �

����� � ���� � ���� � �� � ��� � �

� � ���

� � ����

����� � ����� � ��� �

� � ��

� � � ���

� � ���

� � ���� �

>� � ��� ���� ���� ��� ������ 8��� �,�� ��������� + ����������@�"�� ���,�����=�

��� � ����� � ��� � ����� � ��� � ����

������� �

���� � � � ��� � � ��

� � � ���

���

�� � � ���

� � ���

� � ����

���� ���9� 6���� � �� ������ �� �� �� ����� ������� ��9����� + �� � � �� � ����� � ������ �� %��� ���= � �� � =

����� � ���

�� � ���

�� �

�� � �

� � �� �

��� � <��

���� � ����� � ��� � ����� � ��� � ���� �

������ �

�� � �

� � ��

���

� � ���

���� ������ �� ��� ���� = � ���7�� �� ��7� � <�� �� ���� �������� � ��6���� *� �%��� ���� ����� �� � �� ����� �7����� <�� � �'�������� � >*� �������� �� ���� �����'�� <���� ��� ������@

Page 23: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ����� ��� ��������� ��

��� ����� !������ � ������ ��

-���� �� ������� � ������� �� 6������ �� 9���7 � ��� ��� �� ������ ,�4���� = �/87��� � ,���� ����� ��� �����3������ �/�������� � � � ,���� �� �� 6������ �� � � � ��� �

����� (� )� ��� �*�� � ����

:�7���� �� � � � ��� <��

�� � � � ����

� ���

� ���

� � � � � �

: �� ���� ���� ��������� 6���� ����� � ��� = � �= + � 9�������� �� ������� �� �������� ��7�� ��9��,���= ��7������� ����� <��

��� � � � �� ��

� �

� ��

� �

� ��

� � � � � �

����������� ���� ����= + ���� <��

��� �

���������� � � � � ���� ��=

� � � � ���� ��=

�� � � � � ���� ��=

� � � � � ���� ��=

�7�������

��� �

���

� � �

� � � � �

��

� �

� � �

! � � � �

��

�� ���=

��� � ��� � � �

����� �����������= ����� �� � ,�� ��� �� � � � ��� = ���� � ����=��,���� � �,����� ������E

��������� ���� $��� � � � � � � �� � ��� �� ����

������ � � ��

F7�%�9��� <�� � 6���� ��� ������ �/����� � � �/������ ��� �� �,����� ������� ������� <�� ���� ������ �� � ��������

������ ��!�

�) ���� � �����

��) �� � � � �� �� ��

Page 24: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

���)��������� � ���

��) �� � ������� � ���� � � ���� �� � �� �� �� ���� � � ��

�) �� � � � � ��� � � � ���� � � �������������

@ : � � �� + � � �� �= �������

���� � ��������� � ��������� � �� � �� � ��

�� ����

���� ��� �� � � �� �� ��� �� � � ��� �

�� �������� � � ����� �� � �� � �����

��� �������� �� ���� 8�8� ���� 9���7 � ��� �

@ �� � � = ����� � �� � �= ��� � <�� �� �� ��

@��������� � �� ��� � � � ���

9@ ������� � ������� � �� � � � ��= ��� � <�� ���= � � �= �� �� �������� ���

:����,���� <�� � �� �� ������G �������= �� � � = ���� � ��� ������� ��= �� � ���� � �� � �� ���7���� � � � � = ������� <���� � ������ � � � � � �� � <�� � � �= �� ���= � ��= +=���� <�� �� � �= � ��� + � � ��

9@ �� �9����� �� � ������ <�� ����� � �� (�9����= � �� � �= ���������� �� � ��� ������� <�� � � � � ���� �

�� 6� 9��� 3�� ���E �� � ��� ����� �� � ��� � ������ <�� �� ��4������ � ������� �� ��� ��� ����9�= �� ������ ������� � �� ���� ��

�� �� ��= ��� ����� � ����� � = ��� � ��= ��

���� � �� >(%� � �,�4�� ����@

���

.,��� ����E � �,����� �� ����

Page 25: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ����� ��� ��������� ��

"���� �� #� � ������� $%��������

:� �,�� ���������� �� � ������ <�� � 6��'�� �/������ �����6���� � ���� 8��3���� � ��� �� � ������� <�� 9� �� ��,�� � �����= 8������� ��,� � �� � ��� ? ����9�� >(�� �,��� �����@

��

.,��� ����E �6��� �� �� �� ����� 8��3���� ���

"�� ���� �����= � ���� 9���� � � ��� �� �����6���� �� � '�� � ������ ��= ��������� %��� �� ������ ����� �� 9���� >(�� �,��� �����@

��

��

.,��� ����E �6��� �� �� �� ����� 9���� ���

���� (� )� ��� (�+������

:� <���� ����� ���� 6���� �� �� ������ <�� ��� ��� �/����'�� �� � �����4�������� 6���� ��� � 0��7%� �� <���� <�� ��� ��� �9���� �� � �/������ =�� ��7��,�= ��� � �/������ �� ������= �� ��7� ������,� � �������� �,������

Page 26: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

������ ��&� �� ��� ����� �� � ���� /� �2����� �������

�� � � � � � � � ��� ������ �� ��� �������� �� ��� � � � �� ������������ : ��� � ��� ������� ������ � � + �� � �� � �������� � ������ ����� �� ������ ��,����� �� ��� ������ �� ��<���� ����� �� ����� <�� ��= �� ���� <�� �� � ��= + ��� � ����� �����

���+��9��

-8���= ���� � � � ���= ����� � � � + �� � � �� � � + ��� ��

� = � �� �� ������ �� "�� � � � + ���

� � �

*� ��,���� ����� ���� �� ������ ����� �� �� �����= ��� �� �� �� ������6�� � � � � � ��� "�� ���,�����= �����

�� �����+��9�� �

� � ��

��

.,��� ���!E *� ��,�� ��� �� �����6������ �� � � �� ��� ���

*� ���������� �� ������� ��5 ��,��� � �,����� ����'���

��������� �� � 0� ������� ��� ������� � � ��� ��������� ��� � ���� �� ��������

"�� � � "�� �� ��� �� ��� � � � �� � � ���

����� ���� �� �,������ ��� ������� ����� ������� �� "��������! �� �� ��� ��� #� /�� ��� �������� � �� ��������

����� �3���� � ����� ��� ��� ������� �� 6���� �� ����� ������� ����� ��������� �� 6���� ���9�� � 6���� �,����� >9�� &������ I�J=��'�� � #@� :� ��7��,� �� ���� ���� �� � ��������� ����� 6������ �������� <�� ��� ��7�������� �� � � ���

F7�%�9��� <�� ���� <�� � �,����� ��� 6���� �� ������� ������,� � ������� "�� � ������� ��������� � ������ �� � 6����

�� � � � � � � � ��� �� �� � � � � � � � ��� � � � ��

Page 27: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ����� ��� ��������� �!

� � ��

� � ��

.,��� ���#E - ,���� �� �� ���7 �� ������� ���� � �,������

������� : � � �= ������� � ����9� � �� ��� ���= � ��� ���= +

"���� � � � "�� � � � ����� � � � "���

� � �

��

: � � �= � ����9� � �� ��� ���= � ��� ���= +

"���� � � � "���

� � #�

��

������ ����� �� ���� ���� �� ��� � � �� %�������� � � ������������ �� "�� � � ��� ��� ��� �� ���� ����� ����� ��� � � ���� � � � ��� ����!�� � ��� �� ��� � � � � ��� �����"������ � �� �� � ��� ������������ ���� "�� � � "�� �� ��� �=

��� � � ��� ����� �� � � � �� �� � � ��

������������= � � � � � = �� � � � � � ��= ��������� <��"��

���

�� "�� �� � ���

���

�� "��

���

�� � �� ���� �� �,�� +� <��

������

�� ���

����

�� = ��� � 6���� �� � <�� �� � ,� � ���� �� �,�4

����� �

"������������= �� ������,�� � ����� �� �,����� � � � = ����� �� ��� ������� <�� �� �� �� �= � ��=

���� � � �� � � � � � ��� �

� �7���� �� ���� ������� ���� �,��� <�� � �,����� ��� ��� 6��'�� ��4�����

������ ����� �� ��� �� � � � ��� �����

"�� ���� � "�� �� � "�� �� ���� ����

Page 28: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�# ����� �� ����� ��� ���������

����������� "�� ���� � "�� ���� � ���������= �� ����� ������� <����������� � � �� � � ���� ���� "�� ���� � "�� �� � "�� �� + ���7%���������� � ������� � ������� ���� ���= �� �,�� � ���� ����� �

"��� ����� ��� ���� �������= � � ���� "����� � ��� � �= ����� � ��,������ ���� 9� ���� �� ��� ����

���� ���� � � ��� � ���� � � ���� �� � ��� +

"������ � "�� � � ��

"�� ���� ���

"������ � � "���

� � !�

�� + "����� � � "��

�� �

��

��

�7���%�����

"������ � � "����� � � "�� � � ���

"���� �� #� � ������� '���� ��

� �,����� ������ � �6��� ������� � � �/������ = ��� �� �� �����6������� ��,������ 9���� �� + �������� <�� ������ �� ��,�� �� ����� 8��3���� ������� �� �,�� +� <�� �� ��� �� ����� ����� ��� � � ��� + �� �������� ��� � ��� �� � �,����� �����E

"�� ���� � "�� � � �

� � ��

"�� �

.,��� ���1E $�������� �� � 6���� �,������

Page 29: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ����� ��� ��������� �1

� � ��

"�� �

.,��� ���2E �6��� �� "���

����� (�� )� ��� �� ,��+� ��#������

���� ��� � ��� � � = �� ���� <��

��� ���� � ����

�+ � �

��� � �����

���� ��,��� � �,����� ������E

��������� ��!� �� � � �

��� � ���� � ����

��

�� ���� � ����

��

������ �����

�) �� � � ���� � � ��

��) ��� � �� � � � � ���� � �� � ��� ��

���) ����� � �� � ��� � � ���� � � � � ���

�����������

@ �� � � ���� �

���� � ����

��

���� � ����

��

����� � � � �����

������� � � � �����

�� ��

Page 30: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�2 ����� �� ����� ��� ���������

@ � � � ���� � �� � ��� �

���� � ����

����� � ����

��

���� � ����

����� � ����

������� � ����� � ����� � ������

������ � ����� � ����� � ������

������ � ������

�� ��� � ���

@ :� ��������� �� 6���� �� �� � @� �

*�� ����� 6������ ��,����%���� �� ������ �� � ������ ���� = ��� ����4� �= ���� � � � ��� � �� �� �� �����

$� � �� �

��� ��

����� &��� ���� ���������

:� <���� ����� ��= ����� �� � � � = � �� �� :� �������� <�� � � ��� �=+ � � � �= �� ���� <��

�� ����� �

���

���� �

� ���� �

� � � � ���� ��� � !� �����

��� � <�� �� � �� �� �� ���� ��,��� � �,����� ������E

��������� ��&� '������ #� /� ����� ��� ��� �� ���� ����� ����� ���� �� �� �� ���� �� � � � � � � �� ��

�� ������ <�� � 6���� � �� �� ��� L�� �9� ����M ��� � �,�����= �����= ������ 7�� ������ ������ <�� �� �����<�� � ������= ��� ����� �=

� � � �!� = � 6���� � �� �� &�9�� ��� �� <�� ���� ���� �/�������� "

9� ���� ��������

������ ����� ��� �� � � � � � �� �� �����

�) �� �� ��*������� �� ������ -�� ���� � �� ��� �� ���� ����#� ����) � � ��� � � � ��

��) �� � � �� � �#

"� �#� "� � �� ����� �� ���� %������� "

���� �������� #� �� �� " �*� � ���

���) �� � � � � �� � � � !� �� ����� �� ���� �� ��� � ������� ����� �

Page 31: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ����� ��� ��������� �5

�� �� ��� � #� �� ���� ���� �������� �� ��� � �� ����� � �� �� �� ������� � � ������������� : �� � ,� � ���� �� �,����� ����� � ��,������ ����9� ���� �� ��� ��� �� <��� ���� ���� �� ����� �/������ ���

� ��� "�� � � ���� � � ���� ����� ��= �� � ���� ������ � �� �� �������= � �� ��������� � � �������� �� ��������0��7%�

�� �� � � ������ � �� �� � �� � ��� ������ � � �� � ��� �� � � �� � ��� � � ��

�� � �� �� �� �+� � ������ ������"��� ��������� @= �7�%�9��� <��

�������� � �������� �� #

"����� � ��� � � � ���� "��

������ <�� �#� "� � �= ��� � <�� ���� ���� �/�������� " 9� �����"��� ��������� @= ��� � � � � �� : ������ � ������ ������� �� ����

<�� �������� � � + ������ � � += ��� �����= � � ��.�� �����= � � � � � = �� �= ������ � ������ � ������= �� ���4

������������ � ������� : ������ � ������= ������� ������ � ������ +

�� ���� <�� � � �� �

"�� ����� �= � � � � � + � � � � �= ������� � ������ ����� �����7 �� 9� ���� �� �� ���� ���� ���

���� �������� � ���� ������������ �

�� ��

��� �����

�������� � � ��

���� (� )� ��� ���- .#����

:� �������� <�� � � �� � ������� � ���� �/�������� � ����� �4%�������������� �8��� � ���3 �4'���� �� �'������ �� �,������

��������� ����� 0� ������� �*2 ��!���� ������� �� ��� � ����

��� ���� ��� ���� ���� "�� � ��� ��� �� ���� �����

F7�%�9��� <�� ���� ������ ���� �� � �������� �������������"�� � ������� ����= ��7���� <�� 8�+ � ���7 �� ����� �4%����� � ,���� � ���� �� �,����� �+� ����� ��,���� ���� 9� ���� �� ��� ���= � ���3�4%��� ���� ���� ���

��� ��� � ��� �� �

��� � �

�� � ������

Page 32: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�) ����� �� ����� ��� ���������

����� � � ����= � ��� �������� �� � ���������� �� ������� ���= �� ����� � � � �� ����� ��

�7����� �� �� ���� ���� �� ��� ��� �������= � � �� �� � � � � �� ��

����/ �������� ������������

�� ������� � � ,�������� �� � 6���� � ��� �� + � 6��'�� ��'3 �����������������

>�@ � ��� ���

�� ���� ����� �� + ��,������ � ��� �= ��� � <�� ���� �����6����4�� � <�� 8�� �� � �9�� � ������� � ����� + ��7 �� � ��,������= ������� ��= �����6���� � ����� �������� �� � ���� ��� ������� + ������ ���� � � ����

�� ��

.,��� ���5E � ��� ���

>7@ *� .���� ���3 ���������

� ,���� � ���� �� �,����� �� ��,������ �� ��� ���= � 6���� ����

���� ��� � ��� �� �

�� � �����= ����� � � ������� ����

�� ��� ��=�

� ������ ������ �� � ���� ��� �������E � �6��� �� �9�� � '��,� ��� ����

"�� ���� �����= � �� � ,� � ���� �� � � �= �� ���� 9� ���� �� �

���� ��� ����8��

�� �������� � ����� ��� � ��,���� �� ����

��������� : � � �� =

���

� ������� � � � � ��

� ��� ���� ��� � � � � ��� � ���

�� �������� ����� �� 9� ���� �� ��

��������� 0������ � ���� ��� ���=

� � �� �� � � ������ � ������

*�� ����� 9� ���� �� �7����� �� �� ���� ����� ��� ������ � �����=� � ��

Page 33: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ����� ��� ��������� ��

��

��

.,��� ���)E �6���� �� A� �9�� � �������' + A���3 �������'�

���

�!�

.,��� ����E ���3 ������� �� ��,������ �� ���� ���

�� ��������� <�� �� � � �% = ����� �% ��� � ���

��

���������

�� � ����� � �����

����� � ��

��

��� � ���

�� �% �

!� ����� 9� ��� � ��

��

������������ � ����

��

��� ���� � ��� � � � �� ���� ����� �������

���� �� �����

��� ������ �

��

��

��

��

Page 34: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

"�� � <�� ������� �� ������� ����� �� �,����� �� �7����� �� �,�������� ������

� � "��

�� ��

�� ���=

� � � "��

�� ��

����

"��

�� ��

� �

��

� ����� � � ��

����� �� �� ����� ��� �� � 6����

� � � �

�� ���

�� � � ��

#� �����%���� � �����6������ � ��� � �� ��������� <�� �� ����� 8��43���� �� ��� �����6������� �� � ���� + �� '���� 9���� �� �� ����� �� 8�%�47� ���

���������

� � � ���� � � �� � ��� � � � ���� �

�� � ���% � �% � �����

����� ���% ��� � ���

�� ���� �� �������� �� � �������

������ ����� � �����

����� � ��

�� ���% ��

�� ��������= � � � �� �= ���7���� � � � $� � �� ���� <��

$�

���%� ��

��

�%� �� �� �� ���� � � ��

��� � <�� � ���� � � �� � � � ��= �� �����6���� �� ��� � ���� F7�%�49��� <�� � ��,�� �� �� ������ ����� �� 9�� ��� � �8� � ����

0��7%� � ��,�� �� � ���� � � �� � � ��= �� �� �� ��� = ����

� � �= ����6��$�

�� ��� ��

���� ��� ���%� � �%� � ��

Page 35: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ����� ��� ��������� ��

��

���

� �

���

��

���

� �

���

.,��� ����E *� ,�������� �� � ��

+ ��� � �����= �� � ���� �� ��� 8�%�7� �� >"�� ���/��� �� �� � ��� ���� +�� ���� � 8�%�7� �@�

: � �= � � � ��= + � ��� ? �� �����6���� �� � ����9� � ���� ��=<�� ���������� ��� ��� � ��� ��,�������� : � � �= � � � �% =��� � <�� � ��� D �� �����6���� �� � ����= ��� <�� ���7%� �� �����4�� ��,�������� F���� ���� ��,�������� ������ �� �� ����� � � �!� +� � ��!� = <�� �� �����6����� �� �� ��,������ ��� �� ��� � + �� ����=������9�������

��" !������ �� #���

�� �� ,�����+�� 0 �� �� ����� � �

��������� ����� �� % � � � ��� #� ' ��� �� � � � �� � � �%�� & � � ��� #� '��� &� � � � � � � � � &� � %�

Page 36: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

���%����� �� �� ����� �� � � � <�� �� '��� &� ��� �7����������������� �� 6������ �� ����� �� �� ��7������� % � � + ��

������ � = ������ 6������ ��� ���� �� ��� 9���7 � ��� ���� F7�%�49��� <�� ���7'�� �� ������ ������ ��� 6������ �� �� �� �� � ��� 4����� ����������� � ����� 6������ ���

(��� � � $��� � � ���� ��

����� � + 9 ��� 6������ ��� ���

��������� ����� �� ( �% � � � � � � � � ����� � ����������� �%� � ��� #� "��

���(��� � ) �

�& � � �Æ � � ��� #�� � � � � � � � Æ� ��� #� (���� ) � &�:���� ���� ������ �%��� � � �<�9� ���� ���� 6������ �� �� ��

�� = ����� �� ���������� ����������� ���� �8�� 6������ �,��� �����9� ��� �� ������� ���= ��� ��� ����� � � ����� + � 8�8� �� <�� � ���� �� � ���� �� � ���� �� �� ������

*�� ������������ 8�8�� �� � � � ��� �� ��� 9���7 � ���7%� ��9������ ��������� � �,�����E

�� : "�����

(��� � )�= + "�����

*��� � )�= �������

"�����

(���*��� � )�)��

�� : "�����

(��� � )�= + "�����

*��� � )�= )� �� �= + *��� �� �= ��=�������

"�����

(���

*����)�

)��

*� �������� ���7%� �� ����� ��� �� � � ��

��������� ����� ��� % � � � ( �% � � � ��� #� ( ��������� ��� �

�& � � �Æ � � ��� #�� � � � �� � Æ� ��� #� (���� (���� � &��� ���9� ��� �� � � � �= � ����= �������= ����� + ������� ��

6������ ������� ������� 6������ ��������*�� �������� �� ������� ��� ���� ���7%� ��� ��� �,�� � �� ��� ���

��������� ����� � ��� #� �� ����� � ��� � ������� ��� ���� �� � �� � �& � � �+ � � ��� #� � � � + ��� #� �� � �� � &�

"�� ��������= � ���� �� ��� +

�� : ��� � � + ��� � � ������� �� � ��� � � � ��

Page 37: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ����� ��� ��������� �!

�� ����� � ��

�� : � �� ��

"����

#� �

��

F7�%�9��� <�� ��� � � �� ��� � �= � �� ��� � �� �� ������ �,�� �� <��

� � �� �

�� �� � ���

���

����� � ���

���

���� �7���9��� ������� <�� ��� ����'�� �� � �� ��9��,���� � + �� � ��� �� ���8+ >���� � ��� �������� �� ����� ��� �� � ��� ��� @�.�� �����= ��� �� � ��� ��� = ( �% � � � � �� ������ �� �� � %

� + �� � �

� ��� �� <�� ��� � ��� (����� � (�����

�� � �1��� ���2������

��������� ����� �� ( �% � � � � � % ��� �� � � � � ��� #� ( ����*���� � � � %� � /����� �� � � �

"�����

(���� (���

� � �%��� �� �*��� ����� �� ( �����

:� ��� <�� ( �� ��� ��� �� %= � ( �� ��� '�� �� �= �� � %����� �6�����7 ��� �� � ������ ��� ��� �� ��� ������ <�� � ��� = �������� �= �� ���7��� ������������� <�� � ( �� ��� ���= ������� ( �������9���� �� ����� �� ��������

���� �� � ��� ��� = �� ����� �� �,������ �����������

�� : ( ���� �/���= ������� ( �� ������ �� ��

�� : % �� �7���� �� � + ( + * ��� ��� ���� �� %= �������

>�@ �( � �* �� ��� ��� �� % +

��( � �*����� � �( ���� � �*����� �� � % + ��� � � � �

>7@ (* �� ��� ��� �� % +

�(*����� � ( ����*��� � (���*����� �� � %�

>@ : *��� �� �� �� � %= �������(

*�� ��� ��� �� % +

�(

*

����� �

( ����*���� (���*�����*���

�� �� � %

Page 38: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�# ����� �� ����� ��� ���������

�� ��� <��� �� ���� �� � ��� � � � �� ���� �� ��� 6���� ��� ��� ��

� �� ���9��� �� � ���� � � � �� ��������

�� ��� <��� 6���� ����� �� � ��� � � � �� ������ � ��� � � � �� ���� �� ��� ��� �� ����

� � ��� ��� ���= �/���� �� �� ���� �� �� � ��� � � � �� �����*� ���������� �� ����� 8�8�� �� �%��� � ��� ��� = ��� � �� �� �����0��7%� 9� � � ��, � �� � ����� ���� 6������ ��� ����� �� ���� �

����7� �� ���� 8�8� ���� ������� � �7� ��� �,�� �� � ��� ��� �

������ ����� ��� % � ��� �� � � � ( �% � � � * � � �

����*����� (�%� � 3 ����� * Æ ( �%� � ����*���� �

�* Æ (����� � *��(���

�( ����� �� � %�

����������� :��� �� � %= �� � (���� � � :� ����� ���� � �

,��� �

���*���� *����

� � ��� *����� � � �� ��=

� � � � ���

F7�%�9��� <�� ��� *����� �/���= , �� ������ �� = + ��� � �����

"������

�, Æ (���� � ,���� � ��

-8���= �� � %= ����� �3���� � ��� (��� �� ����

�* Æ (����� *���� �$,�(���

�� *�����

% $(���� ��

%� + � � �� ��=

�* Æ (����� *����

� � �� �

�,�(���

�� *�����

� �(���� ��

� � ��

��

.�� ������ ������� � ���� �� ���� �/������ ����� � � ��= �� �7����� ���� ����� �

�� �� ������� �� �� ����30.�����

: ( �% � � � � = ���7%� ( �% � �� � �� � ��������� <�� ( ���6�����7 � �� � ������ ��� �� ���� �� � % � �/��� ��� �����6������ ��� '(����� �� �� �� �� <�� ����6��

"���������

(��� � ,� � � ��� (���� �� �'(������,� ��

�,� �� � ��

���� �� <�� ��� ��� ��� �� ��� �������� ��� ������9� <�� � �� ����6�����7 � �� � ������ ��� = ��� � ������� � �,����� ��������

������� � �,����� 8�8� 6� �� ���7��� : * �� ��� 6���� ��� ����� <�� "��

����*��� �/���= ������� �/���� "��

���� *��� + "��

������ *���= +

"������

*��� � "������

�*���� � "������

���*�����

Page 39: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ����� ��� ��������� �1

������ ����� ��� % ��� �� � � � ( �%� � ��� ������� /����� ��� �� � ���� �� � %� �����

-$

-����� �� �

-�

- ���� ���

-$

- ���� �� � �-�

-����� ���

>������� �� ���8+4�������@

$��� (��� � ��$��� �� ���� �

��

����������� "�� 8������

( ����� � "������

(���� (����

� � �� �

�� ����� ��= ����/������� � �� ��� � ���� � �= �� ���� <��

(��� ��� (���� ��

��� ��� � � � � ���$��� ��� $���� �� � ����� ��� ����� ���

�� �� �

+ ������� � ���� ����� �� ��= �� �7����

( ���� �-$

-����� �� �

-�

-����� ���

���� � ��� ������� �� �,�� �� � �7���9�'�� ������� � ��������-�� �,������= ����/�'������ ��� � ���� � � ��=

(���� (����

� � ���� ���7� ���

$���� �� $���� �� � ������ �� ����� ���

��� � ��� � � � ��

�$���� �� $���� ��

� � �������� �� ����� ��

� � �

���9������= ������� � ���� ����� � � ��= �� �7����

( ����� ��

-$

- ���� �� �

-�

- ���� �� �

-�

- ���� ��� -$

- ���� ���

�,�� ���� ����� ��� �/�������� ���� ( �����= �� �7����� �� ������� �����8+4������� �

�� ������� *� ���������� �� ������� ���! ��������� 6���� �� �/� �������� � ���9����

( ���� �-$

-���� �

-�

-���� �

-�

- ���� -$

- ����

Page 40: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�2 ����� �� ����� ��� ���������

� ���� ���� �� ������� ���! �� ��� ��� ,����� �

������ ����� �� ( �% � � � � � % ��� ��� �� � %� ����� ( /����� �� � �� � � ��� � ( ��� ������ � � ����� �� � �� ������� �� ��������� � .���/��4����� � ���/� ������

�� �������� ��������� �� ���� ������� �� � 8�8� �� <�� �� <���6���� ( �% � � � � = > % �7���� �� � @ �� ���9���� ���� �� ���4���� �� �� � % + <�� ������ ����6�� �� ������� �� ���8+4�������� �8� �����= �� ������������ ��� ����

"��� ��������� � ������� �� ������ ������ �� ����

'�� ���� 5�� ��� �2�� �� �

���� �� ��� ��� � ��� ���� ���������

������ ��� ������ �� �������������� �� �� ��� � ������� � � ���� � � � �� � � ��� �� ��� � � ������ �� � � �� ������������� ���� � �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� �����'���������9�= �� ����� ���7� � ��� ��� �� ������ ��� ���= + � ����3�� ��� �

������� ��� �����6������ ��� �� �� �� �� � �� �� �'��

�������E �� ��� �

���

��

���� � � ��� �

��

�� ������ ��� ��� ���� ��

���� � � � ���� � � � ��� ����� ��

(�9����= ��� �� �

����������� � �� �� ��� ��� �� �=�

� �� �

���

�� ���� � � ��� � �� ��� � � � �� ���

��� � � �� � � ���� � � ��� �

�� ����� ��= ������� ��� � ��� ��� �� � ��� �� �� �7����

� � �� � � ��� � � �� + � � �� �

-8��� �� ����� ��������� � ������� ���#�

���������� ������� ������ : ( �� 8� ����6� �� �� ������� �/���

"������

(���� (����

� � �� �

<�� ��������� ��� ( ������ ���� ���� �� �<�9� ���� �

"������

(���� (����� ( ������� � ���

�� � ���� ��

Page 41: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ����� ��� ��������� �5

<�� � �� 9�3 �<�9� � �

"������

(���� (����� ( ������� � ���� � �� � ��

�= ������ ���������� ��� ��=

"������

(���� (�����'(���� � ���� � �� � ��

����� '(�� �� � ����3 ,������� ��� � ������ ��� ��� ( ����� ��� �� � ���������� �� �������� � ��� ���� ������� <�� 6 �� �6�����7 � �� � ������ ��� �� ��

+ <�� ����6�� �� ������� �� ���8+4������ �� �8� ������ � ���������� <�� ����� �� ����� ��� ��9���7 ��� �

�� �� �� 1���������

*� ��, � �� � ����� ����� �� �� ������� �� ���8+4������ �������4��� ��� ���������� ����������� ,���%��� �� � ���9����

����������� ��� � �� . � ��� �� � � ��� ������� % �� ��� �� � �#� ������ � .���� ��� � ( �% � � /����� �� ����� ( Æ . ����� �� ��� ������ �

�( Æ .����� � ( ��.����.����� �� � ��� ���

����������� *� ��, � �� � ����� ��� �� � <��

�( Æ .����� � '(�.����.�����

- �� 9�3 � ���������� �� ������� ���# �� <�� ���� � ��� �� ��������7� ���

�( Æ .����� � ( ��.����.����� �

���������

.���

.���� (

.,��� ����E ������������ ,������� �� � ��, � �� � ������

���� �������� �� �9� � ,�������� �� �� �� 6������ ��� ����� "����������� ���� ����%���� ��� ��9� �6�����7 � . �� ��� ��,�� % �� � =

Page 42: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�) ����� �� ����� ��� ���������

�� ���= �� �7���� + ���/� �� � = . � ��� �� � � = + ��� 6���� ��� ���( �%� � � ��������� � ��9� ( Æ . ��� �= �� ���� <��

����� � ( ��.����.�����

:����,��� ���7%� <�� �� � ��� �� .���� �� � + ( ��.���� �� �� ;��� �����8������ �� �� �+� <�� ����� �� � + <�� � ���'�� �� � ���,���� � � ������ ���� ���������� ���

��� ����� � ��� ( ��.���� � ��� .���� ���� ����

���� �� <�� � ��,� � <�� 6����� �� ���,����� � � �� ���� + � . ��.��� �� ��� ( ��.����= �� ���= �� ������� �� � ��9� .= �� � ������� �� ����� � � .��� + �� � 6���� ( �

����� 8������ ���7%� �� �� <�� ��9�� <�� ����� � ���� ���,���� ��� � .��� �� �����6����� 7��� ( �� ��9�� <�� ����� � ���� ���,���� ��(���= + <�� ��9�� �+�� ���,����� 6����� �� ��,� � �� � �� �����6������� ��9�� �+�� ���,����� 6����� �� ��,� � �� (����

��

��

��

(

(����

(����

(����

.,��� ����E �� 6���� ��6���� ������9� � ��,� � ����� ��� ��9���

- ���� �������� �� ������9�� ��,� �� �� � ��� ����� �������� �� �����������/�� ��� ������ ����� �� � �,������

��������� ����� �� % ��� �� � � � ( �%� � ����*����� � ��� #�( ����� � � � � % � ( ���� �� ��

��

(

(����

.,��� ���!E � �6��� �� �� ��� 6���� ��6�����

Page 43: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ����� ��� ��������� ��

F��� �������� <�� �� �� ���� �� � �%���� ��6���� �� � ��7� ��� �� ��� �� ;��� �� 8������ ��������� �� ����

"������

����(���� (����

� � ��

���� � ( ����� �

���� ���� �,��� <�� � ��3�� �� �����'�� � � ���'�� ��� �� �� <�����,����� ><�� ����� �� ��@ 7��� ( ��= �� � ����= ��������= + ��������� �� � ������ "�� �������� ���� ��7� �� ,����� 9��� �� ����� �������

�� ����� ��= � �= . + ( ��� ��� �����= �� �,�� �� � ������4�� ���1 <��

����� � ( ��.���� .���� �

���� ��= �� 9������ ���,����� � ��9�� ��� �� �� � ���� � ������� ��� � 6���� ( ���������������= ��� �����6������ ��6����= �������� ����� ��� �� �=

�� ����/��������� ��� ������ ��� �� ��,� � ��� ( ���� ��,��� �� ���8������ ��� �� 6���� ( �����

�� � ������� �� �� ����30.����� � ������ ����

&������

"�������� � �/������ �� ������� �� ���8+4������ �� ���������� ��4 ����� :� �����

/ � ��� ���� �� � �� � ���

/ �� �� � �� ��� � � � �� ����� �� � � � � � � �� �

:� ������,� � ��,� � � ��� ��� +� <�� �� ���� ������ /�� �� �� �������� � ��� ��� ����9�E "�� ����� �= � �� ���� ��� ����� ��� ������ = �

������&������

'� �= ����

&/����

����� �'�� /����� � ���� ���

������ ���!� �� % ��� ���� � � � �� � ( �% � � ��� ������������*����� (��� � $��� � ����� ������ ��� �� � /���%�

-$

-�� �� � ��-�

-��� ��� �

�-$

-��� �� �

-�

-�� ���

���� $ � $ Æ / � � � � Æ / � ' �� ������� � ����� �������� .���/��4����� � �� �� ���� �

Page 44: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

��

/��

.,��� ���#E /�� �� �� ������ �� � � � ����� �� / �� ��� ���� ��

����������� 0������ �� �� � /�����= � � %= �� ����

'�( Æ / ��� �� �

�((�-$

-����

-$

- ���

-�

-����

-�

- ���

�))���� � ��� � ��� �

�((�-$

-������� � � �

-$

- ���� ���

-$

-���� ��� �

-$

- ��� �

-�

-������� � � �

-�

- ���� ���

-�

-���� ��� �

-�

- ��� �

�))� �"�� ���� ���

'�( Æ / ��� �� �

�(�-$

-�� ��

-$

-��� ��

-�

-�� ��

-�

-��� ��

�)� �F7���%����� �� ����� ��� �������

-$

-�� �� �

-$

-������� � � �

-$

- ���� ���

�-�

- ������ � � �

��-�-�

���

�� ���

� ��-�-�

�� ��

-�� �,������ �� �7���� � ���� ������ �

�/��� �� ������� ��� �,� � ������� ���# ���� ���������� �� ����E : %�� ��� ��,�� �� � � �� + ( �%� � �� �6�����7 � �� � ������ ��� + ������6��� �� ������� �� ���8+4������ �� 6���� �� �� �� �� �+� <��( �� ��� ��� �� %� *� ���������� �� ���� ��� ����� � ����������

Page 45: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ����� ��� ��������� ��

�� �/ ,������ �� �� )� ��� ! 4����

������ ���&� �� % ��� �� � � � ( �% � � ����*���� � %� ( �

�������� � %� ������ �����!� #� %�� �� � % ��� #� ( ����� �� �������� %��� ��� �� 0 � 1 � � � ��� #� �� � 0 � ( � �0 � 1 ��� �������� � (�� �1 � 0 ����*����� '��&

�(������� ��

( ����� ���� � � (����

����������� :� ���� <��

'(���� �

�(�-$

-����� �-�

-�����

-�

-�����

-$

-�����

�)� � +

�$'(���� �

�-$

-�����

��

�-�

-�����

��

� ( ����� �� ��

����� � ������� �� � 6���� �9���� ���� 9���7 � ��� = �� ����� <���/���� �7����� 0 + 1 �� � = � � 0 �� �� <�� ( � �0 � 1 �� ���7+���G (�� �� �6�����7 � �� � ������ ��� �� 1 += �� � %=

'(���(���� ��

�$'(���

�(�-$

-����

-�

-����

�-�-�

���-$

-����

�)� �"�� � <�� (�� ����6�� �� ������� �� ���8+4������ �� 1 + ���

� ����� �� ��� ���� -�����

�(�����(���� ��

�$'(���

�-$

-������ -�

-�����

��

( �����

( ������ ��

( ����� �

F7�%�9��� <�� � ������� ���5 ����7 �� ��� 7+��� � �� �� �� + ��, �7� ��� ����� �7���9���� �� � ����� � (��� � ���

�� �5 �� �� ��� �� �*��

�� �� �6� ���7�� <�� � % �� ��� ��,�� �� �� + ��� �� � % ��������/��� ��� ���� �� ,��� ���� ����� ������� �� % <�� ��� �� �� ���

������ ����� �� % ��� ���� � � � ( �% � � ��� �������� �����*���� � �� ( ���� � � � %� ����� ( ������� � %�

����������� :��� ��� �� � % + . � ��� �� � % ��� �� ,��� <�� ��� ���� ��� �/��� ��� ������ � � �� � �� � � � � � �� � � �� <�� .����������� �6�����7 �= � �� �� � � � � ��� �� �8�� ��7����9� �� �� ����

�( Æ .����� � ( ��.����.���� � ��

Page 46: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�� ����� �� ����� ��� ���������

���7���� ( � $� � ���� ��

��$ Æ .�

����� � � �

��� Æ .�

������ +

$ Æ .���� � $ Æ .������� � Æ .���� � � Æ .������� � �� �� � � � � �� �"�� � �� (���� � (����� �

�� �6 �������� ������������

�� N����� �� ��� ��� (��� ��� � �� � �

�� � �O �� � � �� ���9����

��������� ( �� ��� ��� �� � � ����� �7�� �� � � �= �� ���9��� ��

( ���� ����� � ����� � ��� ��� � �� � �������

��� � �������� � �

��� � ����

�� �������� (��� � �� � �� ����7� � ������������ �������� �� (��� �� �

��������� ( ���� � ���= ( ��� � �� � ��= ��� � <�� ( ��� �� ������/��������� ��� � ����� ��� �� 6���� �� � ��,��� �� ��� �������� ���Æ� &�� ����������= ���� ��� ��9� �6�����7 � . ��� ��9���� ���,���� � �� �8� ����� � ��9� ( Æ . ���� ��� 9���� ���,������ (�� � 9���� ����

�� ��������� <�� (��� � � �� �� ��� ����

��������� ���7���� ( � $ � �= �� $�� � � � � + ��� � � � � =���

-$

-��� � � � � +

-�

-��� � � � ��= �� �� ����6��� �� �������

�� ���8+4������ + ��� �����= (��� � � �� �� ��� ����

�� :�7���� <�� � 6���� (��� � ���� �� ��� ���= 9����� �� ��������� ���8+4������ ���� ���� 6�����

��������� : ( � $� �=

(��� � � ��� �� � � � �� � � ��� � � ���� � ���

��� � <��=

-$

-�� ��� � � � �

-�

- � +

-$

- � �� � �-�

-��

!� : 6 �� ��� ���= ( � $ � �= + $= � ��� �� ��� �� >�����%� �����7��� <�� ���� ��,���� 8������ �� �������� �� � ������@= ���������<�� $ + � ��� �������= � ��=

-�$

-���-�$

- �� � +

-��

-���-��

- �� ��

Page 47: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �������������� �� �� ����� ��� ���������� �!

��������� :� ����-$

-��-�

- ��� � <��

-�$

-���

-��

-�- � 0��7%� �� ���� <��

-$

- � �-�

-�= ��� <��

-�$

- �� � -��

- -�= ��� � <�� ������� ��7�� �������

�� �7����

-�$

-���-�$

- ��

-��

-�- � -��

- -�� ��

-�� �,������ �� ��������� � ����� ���� �� - � �/����'��-�$

-���

-�$

- ��� � ��� � 0��������� �� $�

��$ %&������� �� �� !������ � ������ ���

��/�� (� �*�� � ���� 0 �� (�+������

��������� ��� � ' �� ������� #� �� ����*���� � . � ����� ��������

������ ����� 0� %�������� �� �� � � � ����� ��� �����

����������� �� � �� ��� � �� � = ��� � <�� �� �� �� ��� ��G������

-$

-�� �� ��� �

-�

- +

-$

- � ��� � � �-�

-��

:� �,�� ���� �� ������� ���# <�� �� �� ��� ��� �� � � = + <��

������ � �� ��� � �� � � ��� �

"�� ����� �= � ���9��� �� ���

� � �� �������

- ,���� 9��� �� ������ ( ���� ����(

������

"��� ����� 8�7 �� �� � ���9��� �� �,����� �� ������ ������,� � ��4��� ���� <�� ���� 6���� ��� ������= ��� ����� �= � �� ���� � ���� ��9� ���� �� ��,������ �� � �� � � ��� � ������

���������

� � ���� = ����

"�����������

��� ��9��,� � "��

�����

�� � � � ����

"�� ���,����� ������������ ������ �� � 6����

�� � � � � � � � ��� �

"������������ ������������ ���� ��� �� �������

��������� ���!� ' �� ��� � �� ������� ���� ���� ���� � ������ ��������� � ���� �� � ����� �� ��� � ��������

Page 48: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�# ����� �� ����� ��� ���������

� � ��

"�� �

.,��� ���1E "�� � �� �� ������ �� �� � � � � � � � ����

������ ����� ��� � �� � � � �� � � �� � % � � � � ������ �� ��� � ������� �� ���� ���� ����*���� � ' �

���"�� �� �

��

���������� ��� "�� � ������� �� � 6���� �9���� �� �,�� <�� "�� ��� ��� ���= +� <�� �� � � =

������ � �� �� ��

���7���� � � ��= �� �� � �� � � �= �� ����

���"���� �

������

��

���

�� �

���������� ��� �� ���������� �� ����

"�� � � "�� � � �

���� "�� � + ��� 6������ �� ��� �� �� � + ���7%� � ����� � + �� %� ;���� ��������� �� ������� �� ���8+4������ �� ��6���� �� ��� ����� � ������ �� ������� ���2= ���� �� �7���� ����������E

-$

-��

��

-�

-+

-$

-� � �

-�

-��

� P��7��� �� � �����6������ �� �� / �� �� � �� ��� � � � � ��

'/ �� �� �

��� � ��� � ��� �

�+ �� ����������� �� ��= ��� � <��

'/���/ �� ��

��

�� !� � ��� !�

��� �

Page 49: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �������������� �� �� ����� ��� ���������� �1

�� �����

-

-��

�� �� �

��� �� ��� +

-�

-�� ��� �

��

.�� �����= ������� � ������� ��� � �� � �� "�� �=��"�� �

��

��-�

-��-�

-

��

�-"�� �

-��-"�� �

-

��

+

���"�� �� �

-

-��"�� �� �

-

-��

-�

-�� -

-��

�� ��

� � ��

���� � � �

�� ��

�� �

�� ������� 0������� �� ���� �� ������ ������ ���� ����� ����� �� �,�4�����

���� ����� � �� ������� ����%���� � 6���� � ��� "������= <�� ����� ��� ��

% � � �&� � � � � � � ��� � � ��

'�

���� �� �������� �� �7���9�� <��

� � % �� �� �� � + ��� �� �� ���

��/� (�� )� ��� �� ,��+� ��#������

������ ����� 0� ������� �� � ���� �� �� � �

���� �� � ��� � �

������ �� � � � ��

����������� � � ���� � ����

�= ��� � <��

���� �� �

����

��

�����

���� � ��� ��

� ��� �� ����� �� ��� �,�� �

Page 50: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�2 ����� �� ����� ��� ���������

��/�� (� )� ��� &��� ���

������ �����

�) "� � ����#�� ��� �� ���� ����� �� ������� � ��� �� �� � �

������ � �"�� �����

��) �� ��� ��� ��� �� ���� ����� �� ������� � ��� �� ����*���� � �������� � �� ��� �� ���� ���� �������� �

��

���

�� ������

� �� ����� #� �� � ���� ��� �� ���� ��� �� ���� �����

�����������

@ �� � ��� ��= ��� � <�� �� �� ������ +

������ � �"�� ����� �� � �"�� �����

@ �� � �� �� � �� 8� ����6� �� � ����� �� � ���� �� �,����� � �,����7�� � � ��, � �� � ������ -8���

��

��� �� �

���

��� �� � �

��� � ������

���� � ��� ,�� ��� �� �,�� ��

��� � ����� � �� �� ��� �� � � ���� �� � � �����

����� �� + ���� ���� � ���� ���� �� �,������ �

F7�%�9��� <�� �� �� ������ � � � ����= �� �� 8� ����6� �� � ���� � � �= + � � !� �= �� �� 8� ����6� �� � ����� �� � ,��� ���� �� �,����� ����� ���� 6���� ��� 8� ����6��

��/�� (� )� ��� ���- .#����

� ��� �� ����� �� �������� �� � ������� ���� �� � � �� � :� ���� <��

� ��� ���� �� ��� ��� �� �� <��� ����� �� ��� ���� �� � ,��� ���� �� �,������ D ���� �8� ����

��

����

��

�������

Page 51: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �������������� �� �� ����� ��� ���������� �5

��/� �������� ������������

�� ���9� �� �,������ 6������= ����� � ��,�� �������� ����� ����� ������ �����

>�@��

�� � �=

>7@��� � �=

>@ ��� �=

>�@�

�� � �O<<��� +

>�@ "�� ��� � ���

���������

>�@ ���� � � �� � � ���= ��� � <����

�� � ��� ��� ��� �� � �����

�=

+ �� �8� ��,��

��

���

�� � �

������� � ��� ����

��� � ��������� � �� � ��

��� � ����

>7@ � �,��� � ����� �� � ���� ����� �� �,����� ��� ����� ��� ��� �

�� -8��� �� ������ ������3��

� � � �� � � � �� �� � � � �� ��� � � � + �� � � � ��= � � �� : � �� ��� �� � �� � �� :� �� ���� �� � ��� + ��� � � � � � + �� � � � � ��= � + �'� � �� � �� "�� ���,�����

% � � � �� � � � � �� � ���� ���� � � ���� � ��,�� 7�����= +

��

��� � ��

����

���

���� � ��

����� �� � %�

>@ :� ����

��� � � ������ � � ���� � ����� �� �� � ��� �� ���� ���% � �� � �% �

��� � <�� $��� � � ���� � ���% + ���� � � �� � �% � ���9������ ����

-$

-�� � �� � ���% +

-�

- � �� � ���% �

Page 52: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

!) ����� �� ����� ��� ���������

��

��

.,��� ���2E � ����� �� ��� ���� ����� � ��

"��� <�� ��� � ��� 8� ����6� �� � �� ������

� �� � ���% � �� � ���%

� �� �� �

� �� � ���

���� �� ��� � �� ������ ���� � � ��= � � �= �� ���= �� �/�����,�� ������� �7���� �� � ����� ��� � ��� ��� ����

>�@ ���� �� ��� �� % � � � � � � ���� � � ��= ��� � <�� �

�� � ���

��� ��� �� � �%= + �� �8� ��,���

��

��

�� � �

��

������ � ���

>�@ �� ��� � ����� �� ��� >7@ <�� � ��,�� �� ��� ���� �� � 6��'��"����� � �� �� ���7%�

% � � � �� � � �� � ���� ���� � � �� �-�����= �� � %=

��

�"����� � ��

��

��

�� � ��

�� (���<�� ���������� <�� � 6���� �� ������9� �� ��,� �� ����� 6��4����� ��� ����� ���� � �� � �� ���� �����������

��������� *� ���� � � �� �����6���� �� � ������� �����

�� � � ��� � � ��� � $� ��� � � �� �+ � ���� � � �� �� � ��� �

� � � � � ���� �

Page 53: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �������������� �� �� ����� ��� ���������� !�

�� &������ <�� �� ����� ����� ��� ���� �� � ��� �� �� <�� � 6����

� ��� ��� � � �� ��� ��� �� � � �� � � � �� � � ��= +�

�� � � �������

���������

����� ��= �= � �= �= �� ��������� �� ������ � � �,��� ���5= ���,������<�� � � � � �� + �� � � � ��

�� �

�� ��

��

.,��� ���5E *�� 9� ���� �� ��� � ���� � ����� � ��

��������� :�� � � �� ��� ���3 ������� �� � � � +

�� � � �� ��'3

������� �� � � �=�� � � � �� � � �� ���3 ������� ��

�� � ���� � �� � �� � ��

"����� � � � �,��� ��� � ���� �� � ���3 � 6���� ��� '�� ���4

��� �� � � �� � � � �� � � �� ���� ��� � ��, � �� ������������� ��� ��� ���= "�� � � "�� � � ��� �= � � ��� � � ��� "�� � �����= �6���� � ��� �

� � � �� ��� ��� ��

� � �� � � � �� � � �� �

0��7%��� � � �

����

�����= ��� �� � �,��� ���5�

"����� � � �� ���� ��� ���� �� � ���3 � 6���� ��� '�� ������

�� � � �� � � � �� � � �� ��� � ��� ��� ���= �� � ��� � � ��

-��=�� � � �� ��� '�� �� � � �� � � � �� � � �� +

�� � � �

����

������

"�� ���,����� � ��� �� � � � �� � � �� ��� ��� ��

� � �� � � � �� � � �� �

-8��� � � � � �� � � � �� � � �� � + �� � �

�� � � � � � �� � � � �� � � �� �

Page 54: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

!� ����� �� ����� ��� ���������

��� � <�� ������� ����� �� ��� ���� ���� � 6����

� ��� �� � � � �� � � �

��� � �

7��� �� � � �� �����6���� �� � � �� � � � �� � � ��= � �� �� ������� �� ��� ���� ���� ��� ���� �� � ���3� *� ���� <�� ���� ��

������� ������ �� � ��� ��� ��� = � � ��� � � ��G ���� �� ��������

�� <�� ��7�� �������� �� � ��� ��� � � ��� �������= + �����= ���

����� �= �� � ��,���

��

���

��

.,��� ���)E : ��� ����� �� � ��� ��� � � ����� �� = ����� ��

������ ������ � �

���� �� ����� �� � �,��� ���)= �� ��� ����� �� � 6���� ����� ���� ��7������� �7���� �� ��� ������� ���� �8� ��7������� ���7%� �������� >��� ��������@= + � �������� �� �� ������ �� ���/�= �� �������� ��7�� ���� �� ����� �� ������ ����� ��7�� ���%� ��������

Page 55: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��������

�����������

��� ������� �� '�(�� ���)��

���� &���������� 7������

��������� ���� ��� , � ��� �� � � � ,��� � $��� � ����� ���� $ � ��� ������� ��������� � ���� �

,��� �� ����

� �

$��� ���

� �

���� ���

��������� ���� �� . � ��� �� � � ��� �� �� ��������� � ��� #� . �� �� � ��� � %�� ��� �� ������ � ��� ��� � � �� � �� � � � � � �� � ����� #� � � �� �� � � � � ��� .������� ��� ������ � .�������� ������ %����� �������� � ������ ����

����,������� �� ������ � � ��,� �� ��9�� <�� ���� �� ��� �������

��������� ���� �� % �� �������� ��� �� � � � ( �% � � ��������� �. � ��� �� � % � ��� ��� � ����

(��� �� ����

� �

(�.����.���� ���

� %���� �� �������� � �� �� ���� �� � �� �� �� �� � ����

��������� �� � � � <�� � . � ��� �� � �� �� �� ��� ��= % �� �����,�� �� �� �� <�� .

���� ��

� � % + * �% � � �� ������= ������� �������� �� �,������ ���,�� �� �� ����E�

*��� � �� �

� �

*������ ���

������ ��

!�

Page 56: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

!� ����� �� �����������

+ ��

*��� � � �

� �

*������ ���

� ���� ���

����� .��� ������� ���

��

����������� ���� ��� ( � % � . ���� � ���� � � ����� ( � $� �� .��� �

������ ���

�� �������

(��� �� �

��

$$��� � ��� ���� � � % �

��

$$��� � � � ���� � ��

%�

�����������

(�.����.���� �$$������ ���

�� �

������ ���

�% $����� � ����

%�

$$������ ���

������� ������� ���

� ����

%�

$$������ ���

� ���� � �

������ ���

������

%� �

�� 6���� �� ������� � 6���� � ������� �� ���7�

(��� �� � �$� ����� � � � � $ ��� � � � �$ � � � ����

���7����� � ,���� 9���*�( ���

*�(��� ���

F7�%�9��� <�� � .� � ��� �� � � + .� � ��� �� � � ��� ��9�� �� �� <��.���� � .����= � ��9� .� � .� � ��� �� � � ���� ������ ���

�.� � .����� �

+.���� � � � ��� �� �

.���� � � � ��� �� �

: ���� ���9� ��9� ���� �� � ����� �� �������� �� ��� 6���� ��� ���( = �� �,�� ���������� �� � ������ + �� � ���� �������� ���� ���,�� ����� �� <�� �

�����

( �

���

( �

���

(�

������ ���� �� % ��� ���� � � � (� * �%� � ������� �������� �. ��� �� �� � % � ��� �� �� � ���� ������

�)

��

���( � ��*� � ��

��

( � ��

��

* � ��� �� � � �

��)

���( � �

��

( �

���� �. � ��� �� � � �& ���� �� �.��� � .�� � � � ��� ��� �. �� �� ���� �� �� #� .� � � � ����� ���� � ���

Page 57: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ��������� � ��� ������ !!

����������� *� ��,���� �������� �� ��� �������� ����� �� ��������� ��7� �� 9���7 � ��� � "��� � ������ �������� 7���� ��������� <���

�( � �

��

(� �� � � �

������ <�� �� �,�� ���������� �� � ������ <�� � ���,�� �� ���9������ � ��� �������� �� �,�� �� � �,����� �������E ���� , � ��� �� � �

������ + � � �� � � � �� ����� �

�,��� �� � �

� �

,��� ���

+� <�� ���������

�( �

� �

�(�.����.���� �� � �

� �

(�.����.���� �� � �

��

(�

.�� �����= ���7���� � �������� : � � ��� + ,��� � ,�����,����=� �

��� ���,���� � ,����� �� �� �

��,����� �,����� ���

� �

��,���� � �,����� �� �

��� ��

� �

,���� ���

� �

,���� ��

� �

������� � �,����� ���� ���� �� � � � ���� ���7�� <�� � ���,�� ��4� ��� �� ������� �� � ��������3���� ��������� �� � � � <�� ��� ����4����3�'�� ������ �� �<�� � �� 9������ ���,����� ��������

������ ��� (���� ��)���� ��� ��*� �� 2 �� �� �� �� ��� �� ��������� * � ��� �� � �� � ��� ��� � ��� � ����� �� ���� � ���� ��� ���

�� 3 � ��� �� � ��� 3�2�� �� ������� ��������� �� � 3��� �* ��*���� ��� �

� � 3��� ����� �� �� ��� �2����� � 2 ���� �� * Æ � � ��� 3�2�� � ��

����� ��� ��! � #� �� � ��� 3�2�� *���� � ����� #� ����� �� ��� �������� � � *��� � �� �� �� � 2�

+������� ���� ��� * � ��� �� � �� � ( � ��� �� � �� 6 �� ��� �2������ ��� �� �� 2� � ��� ��� ��� #� *���� �� �� �� � ��� ��� ( ���� �� ���� � ��� ��� *��� � (��� � *��� � (���� ������ %�� �� ������ ���, � ��� �� � ��� �� ��� #� ( Æ , � *

���������� ��� ��������� "�� � ������� �� ��������3��� �������/���� �6���������� �� � ��� 3�2�� � ��� �� + �� � ��� 3�2�� � ��� �� �� �� <��*�� + (�� ��� ��������3����� �������� ��7�� � � ������� �� �����������3�'�� ������ * �� � ( ��= ��� � �����= * �� ���

� � ( � �

Page 58: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

!# ����� �� �����������

*��� *���

*���

�*

� ��

.,��� ���E � � ��� �� ���������� � ����� �= <�� �� � ������ �� *��� �*����

-8��� ���� % ��� ��,�� �� � = ( �% � � ������ + *� � ���� ��� � %=*� � ���� ��� � % ��� ��������3����� <�� ������� ��� ��9� . �� % �� � ���� ������= + <�� ����� ���9��� �� �� �� :� �,�� ������� �� ��� ��� ���<�� �/��� �� �6��������� � �� <�� *� Æ � � *� +� ��

��

(�*����

�*����� �� �

� ��

��

( *�

�����

��*��

�����

������ ��

� ��

��

(�*����

�*����� ���

��� �������� �� ������� �� ��7� �� 9���7 ��:� �� �+� <��

*� ( �� ������� �� � ��������3��� � .� �� � ��

��� � �� �� ������ ���� �� ������ >�� ��7��������� <�� �� ��������3������������ � ��9� �� � ���� ������@����� ����� � �9� �����

*� � ��= ����� . �� � ��,����� <�� ��� �

�� � � �

� �

.

.,��� ���E � ��,����� .�

. �� ����� ��������3�� ��� .��� � �� �= � � ��� �����

� �� �

� �

��� � � �� �

� �

� ���

� �

� �� ��

��� � ��

Page 59: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ��������� � ��� ������ !1

��������� <�� � ��,��� �� ��� ��9� . � ��� �� � � ���� ���� ���

3�.� �

� �

.���� ���

������ ���� ��� % ��� �� � � � . � ��� �� � % � ��� �� �� � ���� ( �%� � ���������

�) ����(�.���

��� �4 � �� � ��� ��� �����

������

(

���� �43�.��

��)

������

(

���� � � �

��(�.������ ��.������ ��� ��� ������ ���� �� �����

��

( ���

����������� @ �� �������� �� @= ��� � <�� �� � ������������� @�

-8��� �������� <�� � * � ��� �� � � �� ������ ������������� �

*��� ��

����� �� �

*��� ���

*� �� ����7� @= � ����� *��� � (�.���

�.�����

"��� ��������� � ������� ���7���� �

*��� �� � �����

� �� �� �= ������ � ������� �� � ����7� �� ������� ���=

� � ����� �

*��� �� �

� �

����*��� ���

0��7%�

� � � �

� �

����*��� �� �

� �

�����*���

����

��� �������� �� � ������ �� ���,�� � .�� ����������� �

*��� ��

����� � � �

� �

�����*���

��� �

� �

������*����� �� �

� �

*��� ���

>*� ���,�� ��� �� ��� �� ��� �� ���� ������� ���� 9���7 � ��� @� �

�/87��� �8��� �� ��������� �%���� ���� �9� ��� ���,�� ��= ��� �,� � ������� 6��������� �� � � ��

Page 60: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

!2 ����� �� �����������

������ ���� �� % � � ��� ���� � ( �% � � ��������� ������������!� #� ( � *�� ���� * �% � � /����� ��� � #� . � ��� �� � % ��� �� �� �� �� � ��� � %� �������

( � *�.���

�� *�.�����

�� �� ������ � � .��� � .���� ��

( � ��

�������������

( �

� �

(�.���

�.���� �� �

� �

*��.���

�.���� �� �

� �

�* Æ .����� ��

� *�.���

�� *�.����� �

���� ����� � �9� �����*��� ��= ����� . �� � ��,����� �� � � ���

���� ��� �� � � � � � <�� ��� � � � + � � !�� $���� � ������� ��!�� �� ������� ��������3�� � � ���= + ���

�� ��

��

���

��

��

�� �� ��

��

� �

��

��� �

���

��

��

��� �

����!

���

���9�������� � ���,��� � ���� � ��� �� <�� ����� ��� �������� ���4�9������= � ��= �� � ������ ������� � �� ���� �� �� �� ��� F7�%�9������7'�� <�� �� ���� 8�7�� ����� �� <��� ���� ��9� <�� ����� � �� !�+ �� 8�7��� �7����� � ���� ���� �����

��� �������� ������������

�� �9� ��� �� �,������ ���,�� ���

>�@*� � ��= ����� . �� � ��������� �� ������� 6������ ��� �� ������

�= �= � � � �

>7@*� �� ��= ����� . �� � ��� <�� ��� � �� �� � ��� � �������

���������

>�@ :� ��������3� . ���

.��� �

���������� � � � � ��

� � ��� �� � � � � ��

��� �� � � � � � ��

��� �� � � � � ��

Page 61: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ��������� � ��� ������ !5

F7���%����� ��

� �� �

����

� ��

�.���

�.���� �� �

� �

� ���

� �

���

� �

��� ������ ��� �

� �

���� ��

��

�� �

���

�� ��

�������

� �

>7@*��� �� � �� � ��� ���� ���,�� ���7%� �� ����� �9� ��� ����������E

:� ��������3� . ��� .��� � ��� �� � �= � � ��� ������

�� �� �

� ���

���� ��� ��� ��� � �� ��� �� ��

� ���

���� � ������ ���� � ��� ��� ������ ��� ��

� ���

���� � ������ ������ ��� ��� ���� ��� ��

� ���� � ����� ��

��������

� $���� � ��� ��

%��������

� ���� ��� ��� ���������

� �� � ���

�� :�� . � ������ � ������� ������ ������� �� � ������ ����9�=������� <�� �����

��

���

���� � ������������ : � � ��� �� � ��������

���� ����� �

�� �� + 3�.� �

� �

.���� �� � ��

������ <��

.���� �������� � ��

��� � <�� � ������� ��� �� � � ���,�� ����

�� :�� . � ��� � �� ���� � � ������� �� � � � = ��������� <�� ��,����� ,�� ��� �� ��� �E�

�� � ��� �� �

+� � � �� ��=

�� � � � ���

Page 62: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

#) ����� �� �����������

��������� :� �������� ��� ����E

@ : � � � � � � ��=

�� � ��� ��

��

��

�� ��� � �����

��� � � ��= + ��� � ������� ��!�

�� � ��� �� � ��

@ : � � ��= ��������3���� . ��� .�� � ���� ��= � ��� ���= ������ <�� .���� � ���� +�

� � � �� �

� ��

����

����� � ��� � � �

� ��

� � ���

�� ��������� <�� �� �/��� ��,��� 6���� 8� ����6� �� � � �� �+� ���4

9��� ����

��

��������� ����� � ������� ��!= � �8� 6���� �/����� �� ���������

��� � ��

����� . �� � ��� � ������= �� ��7��,�= ���� ������� � � � � 8�8��� � ����� � ��������

F7�%�9��� <�� � �������

���"�� �� �

�� 9� �� �� ������ �� � ����� �� ��� ���� �� � ,��� ���� �� �,���������� +� �� �����= � �,����� �� �� ��� 6��'�� ������ �� � � ��= +��� � ����� ������ �� ��� ��� �� �8� ������

��� *������ �� ���+�� ,����� �����)�

��� ���������� ��� �� �� ,������ �� "���

������������� �� ������ ��9�� �� ��� ������ � ����� <�� �� �����<�� � ��������

�� ��9� ��� � ������ �� ��� ��9� ������ <�� �� � �� �������������� ��� ������ ��� ��= �� ���= � . � ��� �� � � �� ��� ��������3��� �� �8���9�= � ��� ������������ �� .��� � .����

�� ���� ���� 8�7 ������ �� A������' �� ��� ��9� ��� � ������ . ����� ������ ����9�� :� ��������� �� ���� �,�� >0������ �� P�����@ <�� ���

Page 63: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ��������� #�

�$ .

.

.,��� ���E � ������ �� ��� ��9� .�

��9� ��� � ������ �9�� � � �� ��� ����������= � � ��������� �������� � ��� � ������ �� . + � � �� ������ �� � ��� � �/������ :� ��������$ . + &$ .= ������9�������

*� 6���� ��� ��� � �� ��������� � ������� �� ���8+ �� ��� ���� �� ������� �� $����� ���� ������� ����7 �� <�� � % �� �� �7���� �� � <�������� � ��� ��9� �� ��� ������ . + � �� ������= + �� ����� ���������� 6������ ��� �� 5 + 6 �� ��� �� �� %= ���� �� <���

5 ��� � ���6��� � � �

�������

�-6

-���� �� -5

- ��� �

��%�

������ ��� (������ #� +��,-*� ��� . ��� �� �� ���� � ����� �� � ���� % ��� ���� � � #� ������ � . � � � ��� �� �( �%� � ����*���� ��� ( � ��������3 ������

( � ��

:� 9��� �����%� <�� � ����� ( � ������ �� �������� �� <�� (��� ��� ����

����������� ���7���� ( � $� �=��

(��� �� �

��

�$� ����� � � � �

��

$ ��� � � �

���

$ � � � ��

��

���� ���

��-�-�

� -$-

��%�

���� ���

�-$

-�� -�-

��% � ��

*� ���� ��� ,�� ��� �� �������� �� ������� �� $����= � '� ��� �� ��������� �� ���8+4������� �

F7�%�9��� <�� � ( �� �� ��� ��� �� �$ .=*� ( �� �� ������������

���= ��� ����� �= ��� �� 9� �����=*�

�� �� � ��= ����� . �� � ��� �

�������

Page 64: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

#� ����� �� �����������

���� ����� � �� � �� ��� �� ������� �� ���8+= ���������� � 6����(��� � �

���

��= + . � ������� ������= ������� ��� ( �� ������

�������= �� ������� �� � � ��=��

����

���� � ��

������ �� (������ #� � ��.�������*� �� ( ����*���� � ��� ����� % #� ������ ��� �� �� ���� � ��� . - �� �� � ���)� � ������� �����!� #� . ��� ��� ���� ����������� � % � �� ��� �� ���� � ��� .� - �� �� � ���)� �������

( �

���(�

���� ��6������ �� �/����� ������������� ����� <�� . �� 8�����4�� � .�� �����%� ������� ��� ������ ������

����������� :� ���3� ��� ��9� ��/ �� .� ��� �� � �,��� ����

.

�.�

.�

�.�

.

.�

.�

%

.,��� ���E ���������� �� ������� �� � ��6����'��

- � ��9� .�.��.��.� �� � ����� �� �� � ������� �� ���8+ >���<������ ��9� �� �� ��� � ������= �� ������ ����� ���� ���� � �� � .� ����� � �,��� + �����%� ����� � ����@= �7���'�������

����������

( � ��

��

( �

���

( ����( �

���

( � �

� �� �� � ��

( �

���(� �

Page 65: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ��������� #�

�� ��+�� �� 8������� �� �� �*��

��������� ���� 5�� ���� % � � ������� ���%� � ���� �� ��� ��� . � % ��� ��� �� -� %) � ��� �� �� ������� -��� � �� �����)� �� � ��� ��� #� . /��������� � �� ������

%%

.,��� ��!E *� ��,�� �� � 3<����� �� ��� ������ ���/� + � �� � ����8����

�����9������ % �� ��� ������ ���/� � �� ���� A8�+��'���� ���� ������= � ������� �� ���8+ �� ����� �����7� ��� �,��E :��

( ��� ��� �� ��� ��,�� ��� ������ ���/� % + . ��� ��9� ������ ��% > �� ��� ������@= ������� �

( � ��

��� ! ���� �� ��� �� ,��0�������� 0 9 ������4����

������ ��!� �� % ��� ���� ������� ���%� � � � ( �% � �

����*����� ����� � .� � .� �� �� �� �� �� �� � ��� #� ��� ����� �� � %� ��� �

��

( �

���

(�

����������� : .� + .� �� �� ���������= ��� . � .� � .�= ���������

( �

���

( ����

( � ��

: ����� ��9�� �� ��������� �� �� ������ ���� �� ������= �������� ������� ,����� 3�� ���� ��,������� � ��� ,����� �� ���7��� �� � ������� ���1�

Page 66: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

#� ����� �� �����������

%��

��

.�

.�

.,��� ��#E ��� ��9�� <�� ���� �� �� �� �� %�

"��� � ,���� ������ �� 6������ ��� ���� ��� ���9���� �� ����� 6��4�����

������ ��&� �� % ��� ���� ������� ���%� � ( �%� � ����*������ ����� %�� * �%� � ����*���� ��� #� *� � ( � ���&� * ��������� ��� ��������

����������� *� ����� �� �������E : *�� *� �% � � ����6��� <��*�� � *�� � ( = �� �,�� �� ������� ���) <�� ,��� � *���� � *���� �� �����������= ���� ,���� � ��-8��� �� �����

*��� �

� �

(�

����� $ �� �� ����� ��� �� % + �8� ���,�� �,��� ���,��� ( � � ��,� �� �� <��� ��9� �� % <�� ��� $ �� �� � ������� ��2 ��� ���,���<�� � 6���� * ���� 7�� �������

:� ���� �������= ���� �� �� � %=

*���� *����� � �� � (���� �

� � ��

�� �

( �� ��

(

�� (����

��

� � ��

� �

��

( � (����

� � ��

� �

��

� ��

� � ��

� �

��

�(���� (����

����

.�� �����= ��� ��������= �& � � �/��� ��� Æ � � �� <��= �� � �� � Æ= (���� (���� � &� "�� � <�� ������� Æ ����������4�� ��<��Q�= � ��,����� �� ���� <�� ��� � �� �� ���� �� % += �� ����

Page 67: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ��������� #!

� ������� ���= �� ��������*���� *����� � �� � (����

���� ��

� � ������� �

��

�(���� (����

���

����� �

� � �� � & � � �� � &�

�� ����� * �� ��� ��� + *����� � (����� �

F7�%�9��� <�� � % �� �� ��� ������ ���/� � ������� ��5 �� �� ����E

���� +� �� ��� ����� (��� ��

��� �� � ���9��� �� ��,��� 6���� ��

� � ���F7�%�9��� ���7'�� <�� � ����7� �� 6���� = + �� � ������� �� � 9� ��3 ��

������� �� � ��6�������

��� �� (�+������

������ ����� �� % ��� ���� ������� ���%� #� �� ������ ���� ����� %�� 7 �% � � ����*���� ��� #� �� � � �� 7 ��������� ������� � �� �� �� ���� � � ��

:� ���7� 7 ��� � "�� � + �� ��� � 7 ��� ���� �� �,������ ���������� �� ��� ,����� <�� � ������ �����= ��� ����� �= � � �� �� ��� �4����� ���/�= ���� ���� ������ 9� � ���7%� ���� ��,���� ��� ��� ������� � ������ �� � �,��� ��1�

%

.,��� ��1E � ����� ���� � ������ ��� ��� �� "���

����������� "�� � ������� ��5 �/��� ��� 6���� ��� ��� 7 ������

�� % �� <�� 7 ���� ��

�= �� � %� -8���= ������ �� � %= �� ���� ��

� ����� �� ��� ���� �� �,����� >��,�� � ������ �� � ��'�� ���@ + ��

Page 68: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

## ����� �� �����������

����� ������� 7 ������� � ��� ��������= �� �� ���� <�� 7 ���� � "�� ��=��� � <�� �� �� � ���-������� <�� �� � � �= �� � %� "��� ��������� ���� ������

*��� ��� �

��

���� � !� %= * �� 8� ����6� �� % + ��� 7 ���� ��

��� ����

*���� ��

�� �

� �

�� �� �

�� �

��

�� ��

��� � <�� * �� �������� �� %� "����� <�� *���� � �= �8� �������� ���= ��� � <�� �� � � �= �� � %�

5�������� : �� � � � + � � � �= �� � %= ������� �� �� � � ��0������ �� � % ���=

7 �����8���� � ���� � � ��

+ ��� 7 �����8���� ��

�� �

�� �=

7 ��� � 8��� � ���� �� � %�

> 7 ���� � 8���� ��

������� <�� �� � � � � � �� @ �

F7�%�9��� <�� � �,����� ��� �� ����� ����� �� �� ��� ����� �� �� ������� �� � ������� ���)= ������ <�� �� ����� <�� ��� � � � �� � ������� � ,��� ���� �� �,������ *� ������ ���� ��� ������ �/����� �����7 �� ������ ���� � �,������

- ,�� <�� �� � ������� �������= ���� ���������� �� ���� ����� 6���� =+ �'� � ������� �� � 9� ��3 �� ������� �� � ��6�������

�� �������� ������������

�� �9� ��� �� �,������ ���,�� ���

>�@

��

�� ��= ����� . �� � ��������� �� ������� �������

>7@

��

����= ����� . �� � ��� � �������

>@

��

���= ����� . �� � ��� � � � ���= � � � ���

>�@

��

�� ��= ����� . �� � ��,����� <�� ��� � � �� ��

Page 69: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ��������� #1

���������

>�@ ���� . �� ��� � ������ + �� �� ������= ��� � ������� �� ���8+=��

�� �� � ��

- ������9������= �� �� � ���9��� �� ��= ��� � <����

�� �� � ��

>7@�

���

��

���

�=

��

��� ��� ��� �� � � �� + � !� .= ��� � ��

��

���� � ��

>@�

��� ��� ��� �� � ��� + �.� �$ .� � � ���= ��� � <�� � �������

�� ���8+ �� � <�� ��

��� � ��

- ������9������ % � �� � � � � �� �� ��� ������ ���/�= ���

� <�� �/��� ( �%� 2 8� ����6�= <�� ����6�� ( � ��

�+ �������

��

��� � ��

>�@ �� ��

��

���

��� � = ��� � <�� ������ � ������� ��! �� ����

��

�� �� ���

��������

���

�� �� � ��

��

��� �

��

�� ����� � ������� �� � ��6������= ��������� �� ������ ����9� <�� �. �� ��� ��9� ��� � ������ <�� �� ������ � ��� ���� � ������ �� ��������= �� ���� <�� �

��� � ���

Page 70: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

#2 ����� �� �����������

��������� :�� . � � � � � � ��= �� � � ������������ ��<��Q� ����<�� � ������ �� ���� ��� � �����,� � ������ �� .� :� ���+� <�� . ������� ��6����� ����������� � .= >���� ���7�� ������ �� 6���������� �� � ���� �,�� � ,�7���@= ��� � <�� ������ � ������� �� � ��6������ �� �����

��� � ���

�� ��,� �� ��7�3� �� ������� �� � ��6������ ,����� 3��� ��� �� ����<��E :����,��� <�� .�� .�� � � � � .� ��� ��9�� ��� �� ������� �� � �������� ���� ��9� ��� � ������ . >��� �� � �,��� ��2@ + <�� ( �� ��� ����� ��� ��,�� <�� ������ �

�$ . � . ��,���

��$ .���

������� ��

( ������

���

(�

.

.�

.�

.�

.,��� ��2E � ������� �� � ��6������ ,����� 3���

��������� "����� �� �7���� ��9�� ��/ ���� .�� .�� � � � � .� <�� ���� .�� .�� .�� � � � � .� ������9������= ��� �� ����7� �� � �,��� ��5� ����� �� ��9�� .� .�� � � � � .�� .�� � � � � .� �� ������+� ��� ��9� ��� � ������ ��>(%��� � �,����@

���� � ������ �� � ���� ������� �� � ����� �� ��� ���� �� (�� ���� �

!

( � ��

-�����= �� 9� �������� ��= � ������ �� ������� . �� � �������,�� = .�� .�� � � � � .� �� ����� ������� + .�� .�� � � � � .� �� ��7�� �4������� ����� � ���� ����7����� �� ��� �� �7���%������

( �

�����

���

(�

Page 71: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� #5

.�

.�

.�

.

.,��� ��5E ���9�� ��/ ���� ���� � ������� �� � ��6������ ,����� 3���

�� :�� % ��� ��,�� ��� ������ ���/�= �� � %= ( ��� ��� �� %����=�����,��� ���7%� <�� (��� � 4 = �� � '���� �� � � � � � � �� � ������������ <�� � . �� ��� ��9� ��� � ������ �� % <�� ������ �� �������� � ��= �

( � ��

��������� "�� � ������� �� � ��6������= ���� & � � ������������ ��4<��Q� + �" � � � � � � �� � &� �� ����= ��� � ������� ���=�����

(

���� �

�������

(

���� � ��4&�

���� ���� �� ���� ���� ���� &= �� ������

( � ��

��� *������ �� ���+�� ,����� -������

�� ���� ���� ��������� �� �������� �� ���8+ �� ������ �,������ :�������� ��� � ������ ���� ��9�� ������� ���� ��� �� � ��= + �� �� ����� � ������� �� $�����

���� '����� �� (������

�� ���� ���� A��9�' �,����� ��9� �� ��� �� ��� �������

������ ���� ('�� #� "���� *� ��� % �� ��� �� � � � ( �% � �

����*���� � 9 � ��� ��� ��� �� � %� ������#$

( � ��

���� -9 ����� �� � ��� � � 9�

Page 72: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

1) ����� �� �����������

����������� "��� ��� �����,� � 5 �� %= �7��9������

�#%

( �4

�� :�5 �� : 7������ 9 �9����� � 7��� + � � ���� �� � �� �7����� ���7�����,� �� <�� ��������� ��� 9�= 9�= 9� + 9��

9� 9�

9� 9�

.,��� ���)E "����� �� 7�����

���� �� 6�������� ������ �� �� 9�= ���� � �= �= �= �= �� ��� ��

:�9� �

�����

:�9�� + :�9� ������

:�9�� �

��� � <�� � ,��� �� �� 9� ����6��

:�9�� � �

�:�9� �

��������� � �8� ��7�����,� � 9�� �������� ���� ������ �� �7������� ������ �� ���'��,� �� 9= 9�= � � � = 9�= � � � �� �� <��E

�@ 9 � 9� � 9� � � � �

7@��:�9���� � �

��:�9��

@ 9� ���� �������'

��= ����� ' �� � �'������ �� 9�

:� ����� <���-���

9� ������ �/�������� �� �� �����E "������-���

9�

�� ������ ��� �� �� �����= ������ <�� �����9�� � �� -8���= ���� ��������� ����9� �= �� ����� � �,� �� � 9�� *� ������ ��� �� �� ���8+

+� <�� �� � � � '

��� � � �� "�� � �����= ��� � � �� <�� �� � ��= +

��� ��� 9� �� ������= �� � 9� ���� ��� � � �= ��� <�� �� ��-���

9�=

�� ���

�.���

9� � ��� �

Page 73: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 1�

-8���= �#$�

� �� � � �

�#$�

���

��� � <��

:�9�� �

�#$�

�(���� (����� �� � ���( �����

����

+ ��� ( �� ��� ��� �� ��= ���� & � � �/��� Æ � � �� <��

(���� (����� �� � ���( ����� � & � � �� �

� � � �� � �.�� ����� � � ����6��

'

��� Æ

��:�9���� � &'

��� 3�-9�

���

��� � ������� ���= �� �����

:�9� � ����:�9���� � ��

&'3�-9�

��� &'3�-9��

� �� �� � :�9� � �� �

F7�%�9��� <�� �� �� ������ ������� <�� ( � �� ������ ���� ���������� ������� �����-8��� ����7 ����� ��� ,����� 3��� �� ���� ��������

������ ����� ��� % �� ��� �� � � � 9 �� ��&����� �������� � %��� � �$9 � ( /����� �� � % � ���� ������� �����!� #� "��

������ �

���(��� � �� ����� �#$

( � ��

*� � ��� 8������ �� ����6�� � "������

(��� �/���= � � ( �� ������ ��

��� 9����� �� ���

����������� ���� & � �= ��� 9" �� ������� �� ��� Æ �� ������� ��= ����� Æ �� ���� �� �� ������ <�� � � � 9"= � � �� (��� � &�-8���= �

#$

(��� �� �

�#$�

(��� ���

Page 74: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

1� ����� �� �����������

Æ

��9"

.,��� ����E � �����,� � 9"�

������ <��

�#$

(��� �� �� � ���� �� �� ���,�� �� ��7�� �� 6�������� �� ��

��7�����,� ��= + ����� ����� ��� ���= �/���� <�3'�

�#$�

(��� ��= ��� �

������� �����.�� �����= � � � -9"= �� ���� <��

(��� � &

� � �� �&

Æ!��

�&

Æ

+ �����#$�

(

���� � �&

� 3�-9"� �

�&Æ

� �&�

��� � �����

�#$

( � �� �

F7�%�9��� <�� � ������� ���� ���7'�� �� ���� � �� ����� �3� �� ����� ������ ���� �� ������ �� 9�

������ ���� (� �#���/#�*� ��� % � � ��� ��� ( �% � � ����*����� � 9 � ��� �� � ��� �� � %� ����� %�� * �9 � � ����*���� ��� #�*� � ( � 9�

����������� :�� �� � 9 �� ����� ��� + ���� ��� � � 9 ���� .� +.� �� �� ,��� �� <�� ���� �� �� � �� 9 ������� �� � �,��� �����

�� .�

�.�

.,��� ����E *�� �� ,��� �� .� + .��

�/� ��������= � � � �� + �� � �� � �=

.���� �

+�� �

� � � �� � ��

�� � � ��� ��=

�� � ��� ����� ��� � � � � ��� ���

Page 75: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 1�

-8��� �� �����

*��� �

���

(�

"�� � ������� ����= ���

( �

���

(�

������������� <�� * �� ��� ��� + <��

*���� � (����

"��� 8��� ���� ������ �7�%�9��� <�� � , � � �� ������������ ��<��Q�

*��� ,� �� *��� � �

�&�

(��� � ���

����� ;� �� � ��,����� 8��3���� <�� ��� ��� � �� ��� ,� �= + ��� � 9����� 9���� �� ;� �� �� �= �� �7����

*��� ,� �� *��� � �

� ���

(��� � ���

� ����� � ��� ��������� ���� ;��"�� ���,�����

*��� ,� �� *��� �,

��

,

� ���

(��� � ��� >���@

:� ����� <��

"�����

,

� ���

(��� � ��

� (��� ��

���� �� ��������� �� 6���� �� �� � ������� 6��������� �� � � �E "����������= ���� & � � �/��� Æ � � �� <�� (��� �� (��� � � & ��� � � Æ�

"�� � �� = � � � , � Æ=������

,

� ���

(��� � ��� (��� �

����� �

����� �

,

� ���

�(��� �� (��� �

���

������ �

,� ���

(��� �� (��� � �� � &,

,� &�

> � ������ ���,�� ��� �� ���� +� <��* ���� (��� � �� � ,(��� �= + � ��4

�� ��� ���,�� ��� �� �,�� �� � ����7� �� ������� ����@

Page 76: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

1� ����� �� �����������

� ��� , � � �� ��������� �� 6���� �� �� + <���� ��� ������ "�����,�����

"�����

,

� ���

(��� � ��� (��� �

� ��

+ �� �,�� �� >���@ <�� �

*��� � � 0��� � � 1 ��� ��

�� ������

-0

-���� � �

-1

-���� � � (��� ��

����� .� �� �,�� �� .� �� �7���� �� ������ �� ��

-0

- � �� +

-1

- � $�

����� $ � ( + � � �� ( � >�����@.�� �����= ��� $ + � ��� ������� + �� ���� �� �� * �/���� +

����� �� ������� ��� �� ������� �� ���8+4������= * �� ��� ��� +

*� � ( �� 9� �

+������� ���� ��������� �� /����� �� �� �� 6�78� � . ��� �� ��� ��� � 9� �

( � ��

����������� ��������� ������� �� ������� ��! �

������ ����� � ��� �� ���2� � �� �� 6�78� ���������� �� /�������������� ������ #� ( �������� � % � ����*���� � % � �������� �� �� ����� ��� � ��� � �� � 9�

����������� ���� % �� �7���� �� ����� ������� <�� �� � �$9 >��4����� 9 �� ��� ��� ,����� � �� �������@ + ������� ���� � ������� ������ �,�� �� ����� F7�%�9��� <�� �� ������� <�� ( ��� ������ ���� ���,����<�� �� ���� �� �� * � ���� �

��� ��������� 0 ��+�� �� 8������� �� �� �*��

��������� ���� �� % ��� ���� � � � � ��� #� �� �� �� .� � ��� �� � %� .� � ��� �� � % �� /��������� -���� �� �� � ���) � % � %�� ���������� �������� < � ��� ��� ��� �� � % ��� #� �� � ��� ��� � ��� <��� �� ��� �� �� � ���� <��� �� � .���� � <��� �� � .�����

Page 77: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 1!

.����

�����

�����

.����

%

.,��� ����E .� �� 8������� � .��

���� ������ �/87� � 6���� �,����� �� ��� <�� .� �� ��6����7 � �.�� F7�%�9��� <�� �� ��9�� � ��� <��� �� �� ������ �������������= ��8�8�= � ��9� �������� .��� � �� �� ��� ��9� �������

��������� ���� �� % ��� ����� � ��� #� % ����%�� �� ������ ����� ����#�� � � %� � ����� #� �� �� �����!� �� � %���� �

���� �� � %��� � ��� ��� �� � ���� � ��� � %������� ����� �� % ��� ���� ����%� � � � ��� .�� .� � ��� �� � %�� �� �� � ���� ����� .� /��������� � .� � %�

����������� :� ����� ��� 8�������� < � ��� ��� ��� �� � � ���

<��� �� � �.���� � ��� ��.�����

���� � � � � �� ���� .� + .� ��� ������� ���7%� � �� < = ������=���� � ���=

<��� �� � �.���� � ��� ��.���� � �.���� � ��� ��.���� � <��� ���

��� � <�� < ���� ��� ��� �� ��� ��9� �������.�� �����

<��� �� � .����� <��� �� � .�����

+ ��� % �� ��9�/�= ���� �� � ��� ��� ��� ��= <��� �� � %� �

���� �������� ������� �� ���� ������� �� ����� � �,����� ���� 4�����

+������� ���� 5�� ���� ����%� ������� ���%��

Page 78: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

1# ����� �� �����������

���� ,������ �� ����30

������������� ������ �� ��� ����� �� �� ������� �� � ��6���������������� ���� ��� ��� �������

��������� �� � �� < � ��� ��� ��� �� � % � � ��� /������*� � �� �� �� ���� � ��� #� �� /������*� � ��� �� �� � ��� � �� � ������� < � ����� /� �2����� � � ����� �� � ��� �� �� � ���������� ���� (�� � #�.������� �� ,��� ���� �� ��� ����*�

��� % � � ��� ����� ( �% � � ��� �������� ����*����� .� � ��� �� � %� .� � ��� �� � % �� �� � ��� � < � ��� ��� ��� �� � % ��� /������*� ���� � ��� �� ���� �������

��

( �

���

(�

��������� �� ��� �� ��� �� ��� = <�� �� ����� ���� ���= ��� ����� ��� ;��� � I�J�

'�� ���� �� 4 �� ���������� �������� � �� � � � 0���� ������� �� ��� �� � 4 � ������ %�� �� ��� � Æ � �� ������� ���� �� 0��� � �� ���� ��� ��� #�� � = �� ���������� ��� �� � 4� ��&�� � ��� � Æ� ����� = � 0 � �� � ����� ��

���������� ��� �������� � ������� ������ <���� �� � ��� ��� ������� �7�� ��� ���� �� �� ������� ���� �� �����,� �� �7����� 9 = �� � �������� �� <��= ���� �� <��� �= ( $� � 7 �= ����� 7 �� ��� 6����

��� ��� �� 9 � ���� �� �,�� �� ������� �� ������9���� �� ���

-8���= � � ����<���9�

��� ��� �7���� �7���� �� ��� ��� ��� ���

:�� 0 �� �7���� �� �� �� <�� 0 � ��� ��� ��� �� � <���9�= + ��� � ������ �� *�7��,�� �� � � ��� 0��

:�� =�� ��� � ��� �� ��7�����,� �� �� ��� ��� ��� �� ������ ������ ����� � �� ������� ����� � �

.�.�

9

� �

=�

<

.,��� ����E *� � ��� =���

Page 79: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 11

F7�%�9��� <�� ���= ���� ��� = =� � <���9� ���� � ,��� �= ������ <�� <�=�� � 9 = + ���� <�� <�-=�� �� ��� ��9� �� ��� ������=�

'#(�

( � ��

"�� ���,�����

� ���

�'#(�

( �

���

( ����

(�

�� ������� *�� ��9�� <�-=�� ������ ����������� ���� �� �����= �������� �� �6��� � ��,������� �

"��� ���7�� � ������� �� � ��6������ �� �� 6���� ,����� ���7������������ <�� ���� ��9� ������ . � ��� �� � � �� ����� ����/��� ��� ������9� � � ��� �� � � = �� ��� ������� &�� ����������=

'�� ���� "� � ����#�� . � ��� �� � � ��������� ���� & � �� %�� ����� �� � � ��� �� � � � �� �� � ���� ��� #� ����� .��� � & �� � ����� � ��� ���

����������� :�� & � �� "�� �������� ��6���� �/��� ��� ������� � �� � �� � � � � � �� � � �� <��= ���� � �= �= � � � = �= �� ����

.��� � '�.����� &�� �� � ������ ������

:� ����� ��� ��9� � �� ��� �� ��� ������ �� � �,����� ������E "������� � � �= �= � � � = �= �������

������� ��� � �� Æ >������� >� � ������ ��� � ��� �� ���� ���� ���

>���� ��� ����

�� � �����

+ �� � ��� �� � � ���

����� � �.���� � ��� ��.�������

�� ���� ������= ������� ��� ����7� � ��,����� <�� ��� .������ ��.����� -�����= �� ��� ������� �� 6������ �����= + ��= ��� � �����= �� ��� ��= �� ���= � �� �� ��� �� ��� �������

-8���= ���� �� <��� � � ������ ���= ����%���� � ����,� � 6������ ���.���= .������ + .����� ���� �� ���� ���� �� ����,� � ���= ��� ���4�����= ������� <�� &= + ���� ���� �� � ��,����� <�� ��� .������ ��.���� �� ����

.���� ���� � &���� �� �+� � ����7� �

Page 80: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

12 ����� �� �����������

.������ .��������

.���

.,��� ���!E -���/���� �� ��� ��9� �� ��� �������

: . � ��� �� � % �� ��� ��9� ������= ����� % �� ��� ��,�� �� � =������� �/��� & � � �� <��= � � � .��� � & ���� � ,��� � � ��� ��=������� � � %� ���� ������� �� �,�� �� �,����� ����

'�� ���� ��� % � � � � � ���������� � � � % �������� � � ���� ��� #� %� � �� ������ %��� $ � % � � � � ��� #�$� � � � � �� �� � ����#�� � � � %� � � ������������ :� ����� ������� <�� ���7%� �� ������= ������ <��=� �� � = + 4 � �����% � ����= �� ���� <�� '���� �4� � = <�� ��������= ������ � ����� �� ������ �� <�� ���%� ��� ��� �� % <����� "��� ��������� ���� ������� �'����� �� � = �� <��

����� %� � ����� %��

���� � 6���� ������ �� ������= + % �� ������= �/��� �� � % �� <��

����� %� � ����� ����

��� � �����=

����� ��� � ����� ��� � ����� ��� � �4�

.�� �����= � �� ������= % � �� �� ��7������� ������ ���� = +� <��= � % � '��� ��� + � '��� ���= %� � '���

���� � ����= +

� ���� ���� � ��� ��= �� �� � % + �� � = ������� ��� �� � % � =��� � <�� � ��� �� �������� �� <�� � 6���� ��� �� ��� � � � ��������� �

-8��� ���������� % ��� ��,�� �� � = ( �%� � ��� 6��'�� ��� ���=. � ��� �� � % ��� ��9� ������= & � ��.���� ���� %�� + ��= �� ��� ��9���� ��� �� ��� ������ &4 ������ � .= � �� ������ .��� � &= ������ <��� �= � �= �� :� �,�� �� ��� <�� ��7�� ��9�� ����� �� %�

������� ��� 8�������� ����� �� + �� ��� �,��E

<��� �� � ������ � ��� ��������

Page 81: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 15

%

'���� �4�

��

��

��

.,��� ���#E :� ����� ������� <�� �� �������

�� ��� <�� ���� 8�������� �� �� ��� �� ��� ������ ����� �� ������,� ���,������ 9���� �� + 8��3���� ��= ������ < ���� 9� ���� �� %= ������<��

<��� ��� .��� � ������ � ��� �������� .��� ����������� .����

� ��� ��������� .������ � �&� ��� ��& � &�

�� ����� �� �,�� <�� �)�

( �

�)�

(�

��������� ��!� ��� %� ( � . � & ���� � ���� � �� ��� �� �� ���� �� �� � ���� &� � ���� � .� ����

( �

�)

(�

*�� �7���9����� ��������� �������� <�� ���� ���,�� ���� 7�� �������.�� �����= ���7������ � ������� �� � ��6�������

������ ��� (������ #� � ��.�������*� ��� % ��� ����� .�� .� �� �� �� � ��� � ��� �� �� � ��� /��������� ���� �� ��� ��� � % � ( �%� � ��� �������� ����*����� ������

��

( �

���

(�

����������� :�� < � ��� ��� ��� �� � % ��� 8�������� �� ��9�� ������������ .� + .�� :��

& � ��<���� ��� ��� ���� %�

��

Page 82: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

2) ����� �� �����������

���� < �� ��6��������� ������= �/��� Æ � � �� <�� �

���� ���� ���� ��� � �������

<���� ����<���� ��� � "!� �

:��� � � �� � �� � � � � � �� � � �� �� <��

� � ��� � ���� �� <��� � � �� �� � � � � �� ��= + ��������� ��� .�� � < ���� ��� ���F7�%�9��� <�� ��.�� ���� .�������

�� � "!� �

���� �� <��� ��-8���= � ��9� .� �� �� ��� ������= ������� <�� .�� ����� ��� �� �

������= ���� ������ <��= ��� �������� ��� "R� 4������= �� �,�� �� ������� <�� �

��

( �

����

(�

+� <�� ��.������ ���� %�� � &�.�� �����= � ��= ��� ��9� �� ��� �� ��� ������= �� "R� 4����� � .�� =

������� �� &4 ����� � .�� = +� <��

.������ ����� � .������ .������ .������ ����� � "!� � "!� � &�

��� � <�� ���

( �

����

( �

�)�

( �

����

(�

�������� ���� ������ �� �7���� � ���� ���� ��������F7�%�9��� <�� ��� ��= ��.�� ���� ���� %

�� � ��<���� �� � ��� ���� %�� � &�� �,�� <�� � � �� �� ��� ������= &4 ����� � .�� = ��������

���

( �

�)�

(� �

-8��� <�� ������� ��� ����7� �,����� �� ������� �� � ��6������=������� ���� � ���� ��������� � ������� �� ���8+�

������ ���! (+��,-*� ��� % ��� ����� ( �% � � ����*���� � .��� �� �� � % #� /���������� � �� ����� � %� ������

( � ��

Page 83: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 2�

�� �� ������ � � % ������� ���%� � . ����#�� �� �� � ���� % ����� �

( � ��

����������� : . � ��� �� � % �� 8������� � . � ��� �� � %= .��� � ��=���� � ,�� �� � %= �� ���� �����������

( � ��

+ ��� � ������� �� � ��6��������

( � �� �

������ ���& (� �#���/#�*� �� % ��� ���� ������� ���%� �� ( �% � � /����� ��� ����� %�� * �% � � /����� �� ��� #���� � %�

*���� � (����

����������� *� ���������� �� ������� ��5 6�� �,����� �� 9� <�� ��4������ �� � ���������� �� ���+������= <�� � �� 9�3 ������� �� ��������� ���8+� ��7���� ����7 ��� 6���� ����� � ������� �� ���8+ �� ��,����� ��� �� �,�� ���� � ���� ����� �

�� 9�3 ����7 ��� � 9� ��3 �� ������� ��5 >� ���5@ �� �,�� ���7%� �9� ��3 �� ������� ���)��� ��������� ������� � ������� �� :8H�C��= <�� ��� ������ � ���4

���� �� P����� �� � �,����� ������E ���� . ��� ��9� ��� � ������ ��� = � ������ �� . �� ��� ������ ���/�� ���� ��� �������� ��� ���������,��� �� �8�� ������ �� 6���� ��������

���� �������� ������������

�� :�� % � ��,�� ������ ��� � ��� ? + � ��9�

;�� � 9���� � � � ��

����� 9 � �G + ��� (��� ���

��9� ��� � �������= ���� ���� ��9� ������

. �� %= ��

( � ��

Page 84: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

2� ����� �� �����������

.

.,��� ���1E . �� 8������� � )�

��������� ���� ( �� ��� ��� �� � � �9�= + �9 !� %= ( �� ��� ����� %= + ��� % �� ��� ������ ���/� ��� � ������� �� :8H�C��= �8����,�� �� ����

F��� ������ �� ������� <�� % �� ��� ������ ���/� ������ �� ���7�� � ��9�/���E : ��= �� � %=

��� � ��� ���� � � ��� ��� �� �� � �9� ��� ��9 � 9�

���� �� <��� � � ��� ��� >���������� ��� � ��� ���� ���� �� � ���� ����������@�

�� :�� % � � � � � � � � ��� ��������� <�� % �� �� ��� ���������/�= + <�� �� ��� �� � � � + � � � ��� 8�������� �� %�

����������

��� ��� ��� �� %� : % 6���� ��� ������ ���/�= �� �����'�

<�� ������

��� � ��

� �� +� �� ���7� �� 6� ��� "�� ���� �����=

<��� �� � ���� � �����

�� � � ��� ���= + � � ��� �� �� ��� 8�������� ����� � � � + � � � ��-�

�� :��� . � ��� � ������ � � �= .�= .� �� ��� '�� �� �� �����!� �� ������ �� ��!� + �!� ������9������ + % ��� ��,�� <�������,� ����� ��9�� + � ��,�� ��������� ����� � ��� :��'��,��� ���7%�<�� ( �%� � �� ��� ���= ��������

( �

���

( �

���

(�

��,� �� ��7�3� �� � ���������� �� ���� 8�8��

Page 85: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������� ������� ����� �� 2�

����� �����

%

.,��� ���2E ��������� ����� � � � + � � ��

��������� �� ,���%�������� ��� <�� � ��9� . ������ �� � �,��� ���)�� 8������� � .� �� �� ��+ �6� 6���� 3�� ���� �����'��� �� �������� �7����� ��� 8�������� �/� '�� �� � �,������

>�@ "�������3���� . ��������� ��� �� � �,��� ���)= � ����� �� �����������3��� ������ ���� .�

>7@ ��������

<��� �� � �.��� � ��� ��.����

>@ (������� <�� � ��,����� �� ���� <�� ��� .��� + .��� ���� �� %�

-8���= ��� � ������� �� � ��6������=��

( �

��

(�

+= ������= ��

( �

���

( �

���

(�

Page 86: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

2� ����� �� �����������

.

.�.�

%

.,��� ���5E *� ��,�� %�

.

.

.,��� ���)E *� ��9� . �� 8������� � .�

������ <�� . � .��.��.��.�= ����� .� �� � ��,����� <�� ��� ��!� ���!�� F7�%�9��� <�� . �� �� ��� �= + �� ��7��,� �� �� � � ������� ���1>�� � ��6������@�

�� ��8�� ���� �� ��������� ��� �� � � ����� ���� �������� 8�4��������= ��8�� �� ����� ��� 6� ����� �����7���� ������� � ���� �,��� ,�7����

Page 87: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ������� �� ������ 2!

��� !���� � ������� �� ���+�

�� ���� ���� �� ����7 �� � 8�8� �� <�� �� 6������ ��� ���� ��� �� �����= + �� �� ��� ���������� �� ������� 6��������� �� � ,�7���

���� ! ���� �� � � ���4� �������

:� ������ � ���� �� ��� ��9� ������ . �� ������� � �� ����� ��6���� �� .� �� ������ ����9� ���� ���� � A������ �� 9�� ���' <�� � ��9��6���� � ������� �� ������"��� ����� ���� ��� �,����������= ���%����� >�� � ���� ���@ <���

���������� � ���� �� �

+� � �� ���

�� � � ���

���� �� ,����� 3� � ��9�� <�� ������� �� ������� � 9��� �8� ��� �= �������� �= .��� � ���= � � ��� ����= �� ��� ��9� <�� ����� � ��� � 9���=+ �� ���� <�� �

��� � ����� ��

��

��

��� � ��

0��7%�= � .� �� ��� ��9� ������ <�� ����� � 9��� � �= � !� .�+ . �� 8������� � .� �� � � ��= ���� �� <�� �������

��

���

��� � �

��� � ������� �� � ��6������� �� ����9������ ��� <��= ��� . + .�

��� 8��������= ������ � ��� � ���� ������ �� 9����&�� ,����� ����� �� ����� ���������= ��� ����� � �� ���� �,�� � ,�7���

� ������ = <�� � . �� ��� ��9� ������ <�� ��� �� � 9���= �������. �� 8������� � ��� � �� � ���= � ��� ���� +

��

��

� � �� �� � �

�� ����� ��= � . �� ��� ��9� ��� � ������ <�� ������ � �� �� ��������=

��

��

� � �� �� � ��

"�� ���� �����= � �� � &$ . �� �������� �� ���8+= P����� + :8H�C���� �� <��

��

��

� � �� �� � ��

����� ���� �����7��� �� � �,�����E

Page 88: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

2# ����� �� �����������

��������� ��&� �� . ��� �� �� � ��� � � � � � �� � � �.� �� *����� ������ �� 9�� ��� � . ��� ���� � �� ��� ����

:�.� ��� ��

��

��

��

� � �� �

�� .

.,��� ����E :�.� ��� � �� . A�� ��� 9�� ���' � ���

*�� �7���9����� ��������� �������� <�� � ��� �

.��� � �� � ����� � � � � ���� � � ��

���� ���� � �� ������� � ��= + � '�� �

�.��� � �� � �����

���� ���� ���-����� � . + .� ��� ��� ��9�� <�� �� ����� ��� �� + . �� 8���4

���� � .� �� � � ��� �������

:�.� ��� � :�.�� ����

��� � ������� �� � ��6�������

������ ����� �� . � ��� �� � � � ��� ��� �� �� � ���� �����

:�.� ��� � ������������� :��

*��� �

� �

.����.���� �� ���

> � �� :�.� ��� �*���

��� @ -� ���� � ������� 6��������� �� � � � � ��

������ ��� � ��,���� �� ���,�����= �� ����

*���� �.����

.���� �� �

Page 89: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ������� �� ������ 21

� � � ��� �� + . �� �� ��� �� �� ��� 9����� �� �= ��� � �� �� �8��������

��

��*��.���� ���

�� ��*�

�.����.���� ��

�.���� ��

�� ��*�.���� � ��

+ ��*��.��� � ��� �� �������� ��� ������= �� ��7��,� �8� 6���� ��������= ������ <�� ,>�@ �� ������= >���� �� �,�� �� � ������ �� ��9� ����� ������ + �� � �������� �� ���,�� �� �� ������������ ��� ��@�:� �� �+� <�� ��*��.���� ��� �� ��������= �� ����� ��

��*��.���� ��� � ��*��.���� ����

+ ��� .��� � .���= ��*� � ��*� � �� � �= �� ����� �� ���� <��*��� � ���= �� � � �= � ��

:�.� ��� � �� �

F7�%�9��� <�� � . �� ��� ��9� ��� � ������ �������

�$ . � � � � :�.� �� �� �� �

�� ���= �� ����� ����� � ������ �� ��� ��9� �� 6���� ��� ��� + �� ����4 �,�= ������ � ���,�� <�� ����� � �����

��� )������ ! ��+��� �� ����30

������ ���� (������ #� +��,- �� � �� ����*� �� % ��� ������ . ��� �� �� � ��� /���������� � �� ����� � %� ( � % � �

����*���� � �� � % � .� �����

(����:�.� ��� ��

��

��

(���

�� � ������

��� �� ���� ������ �������� ������ . ��� �� �� ���� � �� �� ����� �� ��� �� � .� �����!���

(���� �

��

(���

� � �� ���

��� ������ �� ���� ����� �������� � ��� #� �� ���� #� ���� (� .� �� ����� �� ���� � ( � � ��� �� � .�

����������� � ������� �� ���8+ �� ,����� 3� ���� ��,���� ����� (�� ��� ��� �/���� ���7 ������ �� �� �����= � ��3�� �� <�� � 8��������� <���� ��� ���� ��������� � �� � ������� �� ������9���� �� �� >������� ����@=� �� ����� ��� ��7������ ��� � ������� ���� >���� ������ <�� � 6������� �'� � ������ �� �� ����� �� ���@�

Page 90: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

22 ����� �� �����������

:� �����

*��� �

���(���� (����

� � �� � � �� ��=

( ����� � � � ���

* �� ��� ��� �� %���� + ������ �� %� *� �7���9��� ������� �� �<�� �

* � ��

"�� � ��

� �

��

(���

� � �� �� ���

(����

� � �� �� �

��

(���

� � �� �� � (����:�.� ���� �

�� ��������� �7���9�� <�� ���� 6���� � �� �� ���� � � �� ���,�� ��= �������� �= �

�����

��

��� � ���� � ���

���� (�� )� ��� �� 9 �������� �� ��

"��� ����� ����7 ��� � 8�8� �� <�� �� 6������ ��� ���� ����� ���9������ ����� �� ������� �� ������ �� ��������� ���� - ���� �� 6�� ��43��� �� ��9��,��� �� 6������= �� � ��,��� ��� � ���������� ��� 9�3��������� � ������ ����� �� ����� � ��

'�� ��� (�� ������ #� ��� +��,-*� �� . � ��� �� � � ��� �� ��� ���� ������� �������� ������ � .

���� ��

��

*��� �

��

������ � ��� ���

����� * ����*���� � ��� � ����� ������� � � � .���� ����'��&� � � � ��� �� � ����#�� � � ��

*���� � �

��

����

�� � ��������

-� ��� �� �� �� �� ���� � ������ ���� � � ��� � �� ���� ����� ���)

����������� ������� � �,����� ���� ����= <�� ���� ���������� �� � ����� � �E

Page 91: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ������� �� ������ 25

:�� . � ��� �� � % ��� ��9� �� ��� ������ �� � ��,�� %= + ��� (����� ������ �� 6������ ������� <�� ��9��,�� ��6��������� � ��� 6����( �� .

���� ��

�= �������

"�����

��

(� �

��

(�

"��� ��������� � ��� 7���� ���7�� <��= ���� �� <��� �� � � � . +�� <��� ,�� ������ <�� ��9���� � ���= �� ����

*��� � ,��� *����,�

� ����

�� � ���������� ���

+� <�� ���� �� � <�� * �� ���9�7 � �� �� + <��

*����� � ����

�� � ���������� ���

� ������� ���� ������ ����9������ �� ��������� � ����-8���=

*��� � ,��� *����

,��

��

�� � �� � ,��� � �� � ����

,����� ���

��� <�� �� ������� ��������� <����� � �� � ,��� � �� � ����

,�

����� � ���� � ����������

��6��������� �� .= � �� �<�9� � � ��������� <��

�� � �� � ,��� � �� � ����

,�� ���� � ������

��6��������� �� .����7���= ���� �7��9��= � � � � ���: � � �=���� ��� ,��� � ��

,�� �����

���� ����������� �

��

�����,� �

��

�����,�� � � � �� �����

���� ���,�� ,�� � � � �� ,�����

���� � ,��� �������� �� ���� � ��� ���,�� ��� �� ������ ��� � ����4��� �� .= <�� �� � <�� � � � � �� ���� ������� ���� � � ����%���� �� ������� �� �= ���� ��������� � ��9��,��� ��6�����: � � �= ���7���� � � ��=

Page 92: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

5) ����� �� �����������

.

���� � ,�

.,��� ����E �� � ,� <���� 6���� �� .�

������� ,��� � ��,�� �����

���� �

���� �

,�

��

��� ,��� � �

��

�� �����

�����

����� �

,�

��� � ��� ,���

���� ,�����

� �����

������

������,����� � ���

�,���

��� � � � �,���� ,����� � �����

������

���� �,�����

,���� ,����� � �����

���� � ���,�� ,�� � � � �� ,��

��

���� �

��� ,���� � �����

���� �&

��

���� � ,��� & � �= � � �� ������������ ,������ *� ������ ���,�� ����� �,�� �� <�� � + �� ,� ����� ������� �6���������= ��7�� � �������� �� .�

.�� ��������� �

��� ,���� ��

����

���� �

������� ����� ,������ ,�������

���� � ��� �� � ��� ,��� �

����� ��� �� ��� ��������� ���� � ��� �/������ ��9��,� ��6��������� ��= � �� ������ � ���������� �� ���� �

������ ���� ($%�� ���� #� #���/#� 012����*� �� ( ��� �������/����� �� � ��� ����� %� ������

�) ( ��� � ����� � ���� �� � ���

��) ��� � % � �� � ���� �� �� � ��� . /��������� � �� ����� � %�� �� !� . ��� #�� �� � ����#�� � � �� �� �� � � ���

( �����:�.� ��� ��

��

��

(���

�� � ���������

Page 93: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ������� �� ������ 5�

����������� ���� �� � %= �/��� � � � �� <�� '���� �� � %� ��4������� ��� . � -'���� ��= + +� <�� :�.� ��� � �= ��� � 6���� � ���,�� �� ���8+= �� � �$ .=

(��� ��

��

��

(���

� � � ���

���� �/������ ��� ������ ���� � ��� ��� + �� �� <�� ( �� ���� '���� ��=� ��� ���7%� ��� �� <��

:�.� �� ��

��

��

� � � ��

�� ��� ��� + ���� � �.= �� 8�8� �� �� ����� �������� ��� ����� 9� ������������-8���= ��� � 6���� � ���,�� �� ���8+= � � � % � .=

(���:�.� �� ��

��

��

(���

� � � ���

�� ���� � ��� � 8��� � (���:�.� �� �� �7���� ����9������ <��

8���� � ( ����:�.� �� ��

��

��

(���

�� � �������� ���� � � �� �

���� ���+�������� �� ����30 0 �� ,������ �� (���4����

������ ���� (�������##�� #� +��,-*� �� % ��� ���� � � � ���� � % � 9 � � ��� #� '���� 9� � % � � ( �% � � ����*����� ���#� (��� �4 � �� � -'���� ��� ��������( �����

��� � �

9�4�

����������� ��������� ��� . � � 6������� �� '���� 9�� � 3���� � 6���� � ���� � ���9��� �4 %��� �� �7����

( ����� ��

��

��

(���

�� � ���������

+ ���( �������� �

��

������

(���

�� � ��������

���� � �

��

4

9���3�.� � �

4

9�� �

������ ���� (������ #� '���/����*� �� ( � � � � �� � � ������������� ( ��������

F7�%�9��� <�� �� � � � � ��� ���� �� �� ����= ��� ����� �= (��� � �����

Page 94: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

5� ����� �� �����������

����������� � 3���� � ������� ���� �� ���� <��= � (��� � 4 =�� � � =

( ���� � 4

9� �� � � + �9 � ��

��� � �� ( ���� � � + ( �� ��������� �

��� ,������ )� ���� ��� ��� 9�+�2��

������ ���� (������ .��#��� � #�� ���3�*� ��

#��� � ���� � �����

��� � � � �� ���� ��������� ��� ������� �������� � � �� ����� # ��� ��� �*2��� �� %�� � � � ��� #� #��� � ��

����������� : #��� �� �= �� � � ��������

#����� �������

-8���= � � �� �=

#����

���� � �������� � � � �� �� �

��

�� �����

�� � � �� ��

��

��� � <��

"�����

#����

��� ��

�� ����� �/��� 4 �� <��= � � � 4 =

���� �

#���

���� � &= ��� <���

#�����

������ 6���� �� '���4�= + �� ������ �� '���4� ���� %��� �� ������=

�� ����

#����� �������

�������= ��� � ������� ����=�

#����� ��������= + ��� � ����� # ���4

7%�= ���� ���� �� ��� ��������� �

�/��� �� ������� ���� � ������� �� ���8+ ����� 0������ �� &�4�����

������ ���� (������ #� 4����*� �� ( �������� � ��� ���� %�������� �����!� #�

*� ( � � �� � ���� �� �� � ��� . � %� �����

� ( ����*���� � % � ( � *�� �� � ������ * ����*���� � %�

����������� *� �����*�( � � �<�9� � � ���7 ��� �� �����=

������ �� � %= * �%� 2 ��� ��� �� <��

*��� �

� ��

(��� ���

Page 95: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ ������� �� ������ 5�

:� �������� <�� 7��� �� �� ������� * �� ��� ��� + *���� � (��� >��� � ������� ��5@� -8���= ��� � ������� ����= *� ���7%� �� ��� ���= ��� � <��( � *� � ��� �

+������� ���� �� ( �������� � ��� ���� % � ����*���� � % � ��������� ( ����*���� � '�

����������� :� �������� �� � ������� ���� + �� � ��� ��� ��� <�� �������� ��9� ������ . ������� �� � ������ �� �� <��� �����,� � �� %=�

( � ��

���� �� <��� � � %= �/��� �� �����,� � 9� �� % <�� ������ � ��� �� ������= ��� � <�� �� ���� � ������� �� &����� �� �7���� <�� ( ����� ��� �� 9� + ��� ���,����� �� %� �

���/ �������� ������������

�� :�� .��� � ���� �� � � ��= � � ��� ���� ��������� �� ������ �,����� <��:�.� �� � ��

��������� ������,���� � ����� � ��� ���= � 6����

<��� �� � ��� �� ��� ��� � �

�� ��� 8�������� ����� . + .��� � ��� �� � �� ��������� ��� .� � ���9� . ������,�� � ��� ��� �� ����

��

���

��� �

��

��

��� � ��

��� � <�� :�.� �� � ��

�� �9� ��� ������

��� �

��� +

������

� �

�����

��������� �?�� �� ��� 6���� ������= ��� <��= ��� � 6'���� � ���,�� �����8+=

������ ��

��

������

��� �

��� � ��

�� ���= ������

��� �

��� � ���

Page 96: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

5� ����� �� �����������

.,��� ����E ��������� ����� . + .�

0��7%�= � � � �� 8������� � �� ����� �� � ����� �� ��� ������ ��� 3= ��� � <��= ������ � 6���� � ���,�� �� ���8+ ���� � ���������9��� �� ����

����� ��

��

������

� �

�����

�� ����� ������

� �

���� � ���

�� �9� ��� ��

�� � �

� � ����

����� . �� � ��� � ������ + ����� . �� � '�� � �� ���� � ������� �� ����

��������� : . � � � � ��= ��� ( �� ��� ��� �� . � �$ .=��

( � ��

��� � ������� �� ���8+�

: . � � � � ��= . �� 8������� � . � � � ���= � � ��� ���= ��� � ��� �� �� �6� �������� ��� 8��������= ��� ����� � ��������� ����� � �,��� �����

"�� � �����= :�.� �� � �= + ��� . �� �����7 � � �� ����� �� � ����� �� ��� ���� �� �� �� � �= ������� �� �� � 6���� � ���,�� ��

Page 97: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� �� �� � �� � ����� ��� ��������� 5!

.,��� ����E ��������� ����� � � � + . � � � ����

���8+= �� �����

�� � � ��

��

��

�� � �

� � ����

�� ��� ��

�� � �

� � ��� � ����� � ���

��" *������ �� .�/�� .��� �� !������ �0

�����

������ ��� (������## #�� /��� �� ����#��*� �� ( ����*���� � ��� ���� % � '���� �� � %� �����

(���� ��

��

� ��

(��� � ����� ��

���� 6���� � �� <�� � 9� �� �� ( �� � ����� �� ��� �� � ��������� ��� 9� ���� �� � ��� ��

����������� ����� � 6���� � ���,�� �� ���8+= � .�� � �� � ���� =�� ����

(���� ��

��

��

(���

� � �� ���

�� ���=

(���� ��

��

� ��

(��� � �����

�������� �� �

Page 98: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

5# ����� �� �����������

������ ���!� �� % ��� ���� � ( ����*���� � %� �������� #�(��� � (����� �� � '���� ���� ����� ( ������� � '���� ����

����������� :� ����� ������� <�� (���� � �� = +� <��= �� ���� ������=� (���� � �= ���( ����6�� �� ������� �� �������= �� �������� � +�� � � ( � ��= + ������ ���(���� � ��

:�� *��� � (����� (���= + � � ��� F7�%�9��� <�� *��� �� ��� + ����,��9�� -8���� ��

*��� � ����� � � ��(������ ��

�(��� � �����

�� �

��(����� �� (���� � ��

��� � �������� �� 9� �� �������� �� ��� � ( �

���� � 6����

��� *��� � �����

�� ��� �� ��,��9�= + �� ���,�� �� ���= �� ���� <��

*��� � ����� � �� � � ��� ����

�� ���

(���� � (���� �� �� <�� � � �� � ��

-� ���� ���� ��,������ ���� ��� � � ��= �� ���� <��

(��� � (���� �� � '���� ����

.�� �����= �� ������� �� ���8+4������ �� �� <�� ��� 6����8� ����6� �+� ����� ��� �� ��������= ��7� ��� ��������� �

������ ���& (��� �5%��� ��#���*� �� % ��� ���� ������� � � �� ( �% � � �������� � ��� #� ( + ����*����� �� 4 � �'(

�#+(����

������

�) (��� �4 � �� � %�

��) �� %�� � � % ��� #� (��� � 4 � ����� ( ��������

����������� :�� 4 � � �'(�+

(����

+�� �� := �� � %= (��� � 4 �= ������� �/��� �� � -% �� <��(���� � 4 �= + 4 � 4 �= +� <�� %= + -% ��� ��������

Page 99: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� �� �� � �� � ����� ��� ��������� 51

+�� �� : �/��� � � % �� <�� (��� � 4 �= ���

� � � % (��� � (���� �"�� � ������� ���2 �� �7����= +� <��= � � � = �� <��� ���� ������� �� � ���� �� � "�� ���� ���= � ( ��

�4 ��= ��� � <�� �� ������= + ��� �� �� 9���= + % �� ���/�= � %� "�����,�����= ( �� �������� �� %= + ��� ��������= � �� �� %� �

&���������� �8��� ��� ��������� �� ����

������ ���� ('�� #� ��,6�)*� �� ( ����*���� � ) � � � � ���������� #� (��� � �� �� � )� � #� (��� � �� ����� (��� � ���� � ) � ( ���� � �� '��&� � %�� �� � ) ��� #� (���� � �������� (��� � �����

����������� :��

*��� �

���(���

�� � �� �=

( ���� � � � ��

* �� ��� ��� �� ) � �� + ������ �� )= ��� � <�� �� ��� ��� �� )�>(%��� � ��� ��� � ������� �� &������@

�� � ��� � � � �= *��� �

����(���

���� �(����

� �

�= ��� � <��= ������

� ������� �� ��/�� ���� �= �� ����

*��� � �

�� �� � '��� ���

�� ���=

(��� � ��� �� � '��� ���

.����� �= + 8����� <�� � ��9���� � �= �� ���� � ����� ���� ��������� �� ���7%� <�� *��� � �= �� � )= �� ����� ��= ( ���� � ��.�� �����= � (���� � ��= �� �� �� �= �������= ���� �� <��� �

����� �� + �= *��� � ��3� �� ��/�� �� '��� ��= ��� � <��= ���� ������� �� ��/�� ���� �= * �� �������� �� '��� ��= + ��� ���� ��

9� �� �� �� <�� �� � � � �= * �� �������� �� )= � ��(���

�� �=

� (��� � ��� -�����= � � �= +� <�� (���� � ��� �

� �� )� ��� �� 9��� ����

��������� ����� �� % ��� ���� � � � $ �%� � � ��� ��� ���#� $ � ������ � � ���������� 9� ��� � �

��$ �-�$

-���-�$

- �� ��

Page 100: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

52 ����� �� �����������

:� �������� <�� �� ������ ��� � ��,���� �� ��� 6��'�� ��� ��� ������'���� �� ��� ��� � ������ ���7%� �� ����������� ����� �� % ��� ���� � $ �% � � � �������� ����� $ � ��� ��� � �� � ����#�� �� � %� $ �� �� � �� � ��� �����������*���� � ��� ������� � ��� �� ���& % ������� ���%�� %��( �%� � ����*���� ��� #� ( � $�

����������� ;���� ��������� � ��,���� �����= ���� �� ����� �������/��� ��� 9����� ��� ������ ���/�= ��� ����� � '���� ���

:�� *��� �-$

-���� � -$

- ���= � � %� :� ����� <�� * �� ��� ��� ��

%���������� � * � 0 � 1 = �� ����

-0

-��-�$

-���

-1

- � �-

�$

- ��

��� � ��

-0

-�� -1-

�-�$

-���-�$

- �� ��

0��7%�

-0

- �-�$

- -��

-1

-�� � -�$

-�- �

�� �����

-0

- �-1

-�� �

+� <�� $ �� ��� ���� ��������� <�� * �� ��� ���� ����� �8��� � ������� �� ������9����= �/��� ( �% � � ��� ��� ��

<�� ( � � *� : ( � $� �=

( � �-$

-�� -$-

� * �-$

-�� -$- �

��� � <�� $ � $� � ���� � ,��� �������� �= + $ � �( � ��� �

F7�%�9��� <�� � ���� ���� ���7'�� �� 9� �� � �� ������+� ( ����� ( = +� <�� ����(� � ( �

��������� ����� � ��� #� $ � � �� � ������ ��������� � %�� (����*���� ��� #� ( � $� ��

+������� ���� �� % ��� ���� ������� ���%� � � � $ �% � �

� �������� ����� $ ��� ��� ��������� � %�

Page 101: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� �� �� � �� � ����� ��� ��������� 55

F7�%�9��� <�� �� ������� �� ���8+4������ �� �� <�� � ����,����� ��� �� 9� ��� �������� ���9��

������ ����� ��� $ � � � ������ ��������� � ��� ����� %� ���� � $�%� ��� #� ���� � � $������� �$��� � �� �� � �� � ��%� ��� #����� � � �������� ����� � �� �� ������ $������ � ������� �� �� ��#�� � ��� ��� � �� /��� � �����������

����������� :� �,�� �� ������� �� � 6���� �� ��� <�� $������ +������� ��� ��9�� �6�����7 ��� ���� � 9���� ,������� �� �������� �� �

$������

��� �

�$��� �

.,��� ���!E �$ �� �������� �� � $�������

�� ��9�� �� �9� = 7���� ��������� <��= ���� �� <��� ����� �� � ��������=

�$ � �� � ��

<�� �� � ���� <���-$

-��-$

-

���-�

-��-�

-

��-$

-�

-�

-��-$

-

-�

- � ��

<�� �� �,�� �� �� ������� �� ���8+4������� �

���� ����� � �� ������� ���� ������� (��� � ��= <�� ���� ��� ��������� � ��,���� �

$��� � � �� � �� ���� � � �� �

������9�������

� � &�������� ��� '���� ! �������� 0 &�� ����� ��� $�.

*��� ���� )� ��� �� 9��� ����

������ ���� (#�� /��� �� ����#��*� �� $ � ������ � ��� ����� %#� ������ � '���� ��� �����

$���� ��

��

� ��

$��� � ����� ��

Page 102: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�)) ����� �� �����������

$ � �$

� � �$

.,��� ���#E *�� ��9�� �� �9� �� $ � �� � � + � � �� �

����������� %� �� ������= + �� � %= ��� � <�� �/��� � � %� �� <�� �� � � � �� � �= �� � %�� ���� '���� �� � %= �� ���� <��

�� � � � ��0������ �� �� <�� �� � � � �� � � ������� <�� '���� ��� � %= ��� �<��= ��� � ������� ����= �/��� ( ��� ��� �� '���� ��� �� <�� ( � $�"�� � ������� �� 9� �� �������� ���� 6������ ��� ����

(���� ��

��

� ��

(��� � ����� ��

+ ������� ����� ��� � ��7�� ���� �� �7���� � ���� ����� �

������ ����� �� $ � ������ � ��� ����� %� ������� #� $ ������2� �� �&%��� ����� � �� � %� �� �� %�� � � � ��� #� $���� � $������ � '���� ��� ����� $ �������� ��������

����������� �/��� ( ��� ��� �� '���� �� �� <�� ( � $� �,

���7%� �� ��� '��= + ���, �� � �� � ���

���� �� �� ������= �� ��/��� �� $ � ��� �� ��= �� ���� � ��������� ��/�� ���� � ���� 6������ ��� ���� �, �� �������� �� '���� ��=��� � <�� ���7%� �� + $ � ���� �

Page 103: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� �� �� � �� � ����� ��� ����������)�

F7�%�9��� <�� �� ����� �7����� � ���� ���� ���� ����� �3���� ��/����� �����= ������� �$ �� �,�� �� $�

������ ���� (45%��� ��#��� �� .�������� ��7�����*��� % ��� ���� �������� $ �% � � �������� � � ������� � %� ��4 � �'(

�#+$���� ������

�) $��� �4 � �� � %���) �� $��� � 4 � �� � ������ � � %� $ ��������

����������� :� �� � � ���� ��,������ �� ���/��� <�� �� �� 3� ���� �� 6������ ��� ����� �

�� ������� �/��� ���7%� � ����� �� �����= � ��= � � � �*�#+

$���=

$��� � �= �� � %= + � $��� � � ���� � ,��� � � %= $ �� ������������� �� ��������� �� ���� � ������� ������� � �$�

� �� �������� ������������

�� :�� ( ��� ��� + ������ �� ��� �� ��� ��,�� %� &������ <�� ( �� ���� ������ �� �� � ( �� �� ���������

����������

(�� ��� ���= +

( ���� ��/��� �� �� �� � � ( ����

������� ������ <�� ����� �� 8�'����� ��� ��������= ���� ���� (��� � �=( ���� �� ����� �� �� ��

�� �������� � ��/�� �� � � �� % � ��� ���� ��� ����

��������� "�� � ������� �� ��/�� ���� �= � �'�/�� �� � � �� ������ � 6�������� -8���

� �� � �� � ��� � � � ����� � �� � ���% � �% � ������ �� ��� � �%� � � ��� �� �� �%� � �%� � �� ��

��� <��=

� � � �� ��= � �� � �%� �

� � �= � �� � �� � � ��

� � ��= � �� � �%����� � �� ��

+ ��� ���,����� � ��/�� �� ������ �� �� � ���

� ��= + ���� � 9� ��

� �� � ��� � ���% � � �% � � ����� � ���% ���

�� �������� �� ����,���� ������� �� �� �,������ 6������ �� � �

Page 104: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�)� ����� �� �����������

>�@ $��� � � �� � ��>7@ $��� � � �� � ���% �

��������� :�7���� <�� ����� 6������ ����������� � �� + � �= �����4�9������= �� ��7��,�= �� ����� �/87� �� �%�����

>�@ : � �� � ����,��� ������ �� $= <�� �/��� +� <�� $ �� �������� � = <�� �� ��� ������ ���/�=

-�

-�� � �

-�

- � ���

���,����� �� ������� � � �� �7���� ���� � � �� � �$= �� ���=

���� � � �� � *�� ��

��� �,������

���� � � �� � *�����

��� � <�� *�� � � *����= ���� � � %= + ������������ ��� ���������=��� � <�� ���� � � �� � ��

>7@ �� ���� ���

-�

-�� � �� � �% �

-�

- � ���� � ���% �

��� � <�� ���� � � ������% �*�� �= + ���� � � ������% �*������� ���9� *� + *� ��� ��������� + ���� � � ���� � �% � ��

�� �������� � ��/�� �� $��� � � �� � ���% �� ��� ��� ��� ���

��������� "�� � ����� �� ��/�� ���� � ���� 6������ ���'���� � �'�/�� �� � ��3� �� � 6�������=

� � � �= $��� � � ��

� � �= $��� � � ���

� � � �= $��� � � ���% � � ��

� � �= $��� � � ���% � � ���

��� � <�� � ��/�� �� �7���� �� ��� ���

Page 105: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��������

�����

��� ���)������ �� '����

����� �� ���� �� 7������

�� ���� ����� � 9������ <�� � ��� ���� �� ��� 6���� �� ����� ����� ��6��'�� �� � �/����� �� ��� ���� ��9��,����� :� ������� ���� �� ����4������ �������� �� B���������= 0�+ �� + *�������

��������� ���� 5�� ����� ������� ��� ���� � � � � �& � ��+ ��� #� � � � + � ����� �� � � � &�

��������� ���� � ��� #� �� � �������

�����

�� -� ��� � �������)

���� � � � � �� ����� � ��� �� ���� - ��� �� ������ ��� �! �

���� �� �

�����

�� ) ���� � � ��

:� ���7������

�� � � � ��� �������

�� � ��

:� ������ �� � ����� � � <�� � '��� �� ��� ����'�� �� ��� + <����� ������ �� ��9��,���� � + �'� � � �� �� ���8+� �� � ��� �� �� ��������� �� ������ �� � �,����� ����� ��������� �� ��9��,����

����������� ��� (+�� ���� #� +��,-*� 0� �

�����

�� ���� � � � ���

� �& � � �+ ��� #� � � � + �����������������

��

����� � &� �# � �� �� �� � � � �

�� ����� �� ���� # � �= �� �7���� �� ����� �� �� �9��,����

�)�

Page 106: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�)� ����� �� ������

+������� ���� �������

�� ���� �� ����� �� � ��

� ������� �� ��� ��� �� �� ����E � ���� ������

�����

��9��,�

>9�� �������� ���@= �� ��7��,�=�

�� ��

��������� ���� � ��� #� �� �

�����

�� ���� � ���������� � �� �

�����

�� ���� ��

����������� ���� �� �� �

�����

�� ���� � ����������� ����� ����

� ��

����������� ����� � ����� �� ���8+= ���� & � � �+ �� <��= �� � + = �����

���������

��

����� ����������

�� � &� �# � ��

������ �� ���9� � ����� �� ���8+= ���� �� � <��

�����

�� ��9��,�� �

F7�%�9��� � �� ��� �� ���� ��������= +� <�� � ����

�����

�� �� ��� +�� ������ �� �� ������ �� ��9��,��� ���� ����� ��� ���

����������� ��� (����3� #� ���/������� �� ������ �����*�

�) �� � � �� ����� �� � ���!� ���

�����

�� ���� � ��

�� � � �

��� � � � � ��

��) " ��� � �� ����� ������

��

�����

�� ���� �� �� � �� � � � �� � ��� �� � �� �����

�����

�� ���� �� ��

�����

�� ��� �� � � � �� � ��� �����

�����

��

��� ��

Page 107: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ���������� �� ������ �)!

���) " ��� � �� � #�

�����

��� ���� � � # � �� � ��� � � -�� �� �� ��� �� ����

�� � ���� � �� �������) � # � ��

��) " ��� � �� 4�2���

������� #� "�����

��������

��

���� %�� � ��� #� 7� �����

�����

��

���� � ����������3 � � �*��� ���� #� 7 �� � ��� �� � �� ������ 7 ��� ��� � ����#�� � � �� �� ����

�) " ��� � �� 4�*2�

�� "�����

���� %�� � ����� � )� ����� � ) � � �� �

�����

�� ���� � ����������� � ) � � �� � ��� � � � � �*���

7 ���� ��� ���� ��� �

�����������

@ ���7���� �� � � � �� � � �� ��= ��� � �� �� � � � �� ����= ��� � �� ��� � �� � �� ����= +

�� ��� ����

�� � �

: � � �= �� � �

�� � G� � � �= ���� � = + � ���� �9��,�G

� � � �=�����

�� � �� � � = ��� � <�� �9��,�G +

� � � ��= �� � � � � �� ���= + �� � � � � �� ����= ��� � <�� ����� �9��,��

@ -� ���� � ����� �� ���8+= ��� � � ������ � ��� � � ������ +

�����

��

��9��,�� 0��7%�= ���� 4 � �= �/��� � � � �� <��

����

�� �����

�� �4>+� <�� ��� ������ ������ �� ������� ����9�� �9��,� � + �'� � � �� ��

������@= ��� � <��

�����

�� �9��,��

Page 108: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�)# ����� �� ������

@ : # � �= ������� ��� � ��� >������ <�� �� �� ������@= ��� �

<�������

��� �9��,� � � ���� �����������

��� �9��,�� ���� � ��� ��

7�� ��7�� <�� �9��,�� �� 6���� �� ��������� ���� 8�8� �� � �,�����E :����� <��

� � �

�� �

��

��

�� �

��

��

��

!�

��

��

�� �

��

��

��

��

����

���

�� � ��

�� � �� � � �� �

����� ��

��

����

��

��

����� ����� ���,�� ����� �� 6� ����� <��

�����

��9��,� � �

-8���= � # � �=

����� ��

���

��

���

��

��

��

���

!��

���

��

�� � � ���

��������

����� � ���� � � �� �

��� � ���

�� �

���

��� � � �� ����

��������

���

�����

�������� � � �� �

����������

�� ����

��� � �� ����� ���� ������ += ��� ���,�����= �� ����� ���� �� �������

�� � ����� >+� <�� ����� ��� ��� ������ ������ �� ������� ����9��@�

��������������������

�� ��9��,��

F7�%�9��� <�� ���� ���������� ������� ���7'�� <�� ������

�� �� ���

���� �� ������� ����9�� �������� > � ��= ���� � �� @ + �

����

����

��9��,� �������

�����

�� ��9��,� ���7%�� - ���� ����� �� � ��� ����7�

Page 109: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ���������� �� ������ �)1

�� � ��������� �� ���8+�

�� � ����� � �� � ����

�� � �� � �� � �� � ����� ���

9@ :�� � � "�����

��������

��

�����: � � �= ������� �� �� <�� � � �� � �= �/��� + ���� � �� �

� � + =

��������

��

���� � ��= � <�� �� � <�� �-�� � �- ����� + <��

�����

�-��

��9��,�= �� ���=

�����

�� ��9��,� �7�� ���������

: � � � ��� �� �� <�� � � �� � �= �� ���9� �/��� + ���� � �� �

� � + =

��������

��

���� � �� + �-�� � �- �����= ���� �� � <�� �-�� ��

��9��,� � ) ����� #� += ��� ���,�����=�����

�� �9��,��

-8���= �� �����

�����

��= �� � �= �� � �= +

�����

��= # � �= �9��4

,�� + ��9��,�� ������9������= �� ��7��,�

"�����

����

��� �

+

"�����

��� ���

��

� "�����

��� �

��� ��

9@ :�� � � "�����

����� � : � � �= ������� � � �� � �= �/��� + ��

<��= � � � + = ����� � ��= �� ��� �� � �����= ��� � ��

�����

��

��9��,� �7�� ���������

: � � �= ������� � � �� � �= �/��� + �� <��= � � � + = �������

����� � ��= + �� � �����= ��� <�� "�����

�� �� � + ��� ���,����������

�� �9��,��

Page 110: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�)2 ����� �� ������

.�� �����= � ���� ������ �9��,�= + � ���������

����9��,�= ����

"�����

/�

�� "�����

����

� "�����

���� �� �

� ��

��� � ��, � �� *'�S��� = +

"�����

/�

��� "�����

���� �� �

� �� �

���� �� 4��+� ��� � �1����

��������� ���� �� % � � � (� �% � � ��� ����� � ��������� ��� #� (� � ( ����� ���� � % � �& � � �+ ��� #�� �� � + �

(����� (��� � &� �� � %�

��������� ���� �� % � � � *� �% � � ��� ����� � �������� �

��� #�

�����

*���� ���� � ����� ���� � * � �& � � �+ ��� #��

� � � + � ����������

*����� *�������� � &� �� � %�

����� �������� �� ������� �� �%����� �� �������� �� ���8+ ����,���

����������� ���� �� % � � �

�) 5�� ����� (�� ���� � ����� ���� � % � � ���� � �& � �%�� + ��� #�� � � � + � (����� (������ � &� �� � % ��# � ��

��) 0� �

�����

*���� ���� � ����� ���� � % � � ��� � �& � �

%�� + ��� #�� � � � + �

��������������

*����

����� � &� �� � % � �# � ��

�����������

@ : � ����� �� ���8+ �� ����= ���� ��� � � % ��� (��� � "�����

(�����

���� ���� �/��� ������ +� <�� � �� ��� ���= �� ���= �� <��� ������ �����8+ ��9��,��

Page 111: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ���������� �� ������ �)5

-8���= ���� & � �= �/��� + �� <�� � � � + =

(����� (������ � "!� � �� � % + �# � ��0��7%�= �� � %= �/��� #� � � �� <��

(���� (-������ � "!� �

+� <�� (��� � "�����

(�����

"�� ���,�����= � � � + + � � %(���� (���� � (���� (-������� (-������� (���� � &�

+ (� � ( ��6��������� �� %�

-8���= � (� � ( ��6��������� �� %= �& � � �+ �� <�� �� � + =

(����� (��� � "!� � � � %�"�� � ��

(����� (������ � (����� (���� (���� (������ � &� �� � %�

@ *� ���������� 8�8� �� @= �� ��� � �� ����� ���� �� �������

*����

��������� ���� ���� �

*� ��9��,��� ��6���� �� �� �� ��8�� �������= ��� �� �� �� �� �� � �,������

������ ���� �� % � � � (� �% � � ��� ����� � ������� ��������� #� ���� �� ����� ���� � % � ��� ������� ( �%� � � �����( ���������

'���������� � *� �%� � �� ������� �������� � �� �

�����

*����

���� � ���� ���� � % � ��� ������� *� ����� * ���������

����������� ���� � ���� ���� �� 6������ ������� �� ������= 7������������� � ������� ���� ��������� "��� ����= ��� + � � �� <��

(- ���� (��� � "!� � �� � %�0��7%�= ���� �� � %= (- �� ������ �� ��= ��� � <�� �/��� Æ � ��� <��

(- ���� (- ���� � "!� � � � � �� � Æ�"�� ��,�����= � � � �� � Æ=

(���� (���� � (���� (- ���� (- ���� (- ����� (- ����� (���� � &� �

Page 112: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��) ����� �� ������

"��7�7 ������ � ����� ��� �� ���� ������� ��9��,��� ��6���� �� � ���� ��� � �,����� ��������

������ ��� (����3 4 #� 8����� ���*� �� % � � � *� �% � �

��� ����� � �������� ������� �����!� #� %�� ��� ����� � ���� ������� 4�� #� ��������

�) *���� �4�� �� � %�

��)

�����

4� ���� ��

������

�����

*���� ���� � ����� � � ���������� � %�

����������� ����

�����

4� ��9��,�= ���� & � � �/��� + � � ��

<��

���������

4� � &= �� � + + �# � �= ��� � ��

��������������

*����

����� ����������

*���� ����������

4� � &� �� � %�

�� ���= �� 8������ �� ����� �� ���8+ �� �� �� >"������� ���@ + ��

����������

*���� +�����

*���� ��9��,�� ��6��������� �� %� �

���� �� ����� � �� ��� �� �� � ������� ��#= ��������� � ����

*��� �

�����

��

��

�� ����� <�� *��� ��9��,� ��6���� + �7�� �������� ��

%� � � � � � � �� � � � ��

���7���� *���� ���

�= �� ���� <�� *���� �

���

� ��

�� :�� 4� �

��

�=

�����

�� ��= �� ���� <��

�����

4� ��9��,�= + ��� � ����� �� �,�� �

��������

�� ���������� �7���9�� <��= �� ��������=

�����

��

��� ��9��,� ��6����4

����� �� '��� �� � � � � � � ��� : ���� 6���� ����= �� ������� <��

Page 113: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ���������� �� ������ ���

�����

��

���9��,��'� ��6��������� �� ��� ��� �� �� ���= �& � �= �/���

+ � � �� <�� � � � + =

��

������

�� �� � � �� ����

�� #� &� �� � ��� �� + �# � ��

-8���= ��� � ���� ������ �9��,�= �/��� # � � �� <��

+� � � �� �

+ � #� �&�

+ ���7%� �/��� � � ��� �� �� <�� �-�� � �!� � >D� <�� ���� ����� ��

����6�� � � � ��!� ��

�� � ��� ����

�� � @ :� �7���� <��

�-

+� � � �� �-��

+ � #� �-��

��

+� � � �� �

+ � #

�� &�

> �� ����� ����� � � @ = � �� �� ��� �������� � � ��������������

:� ��7��,�= �7�%�9��� <�� *��� �

�����

��

��� ������ �� '��� ��= ������

<�� �� � '��� �� �/��� � � � �� <�� � � '��� �� + �� �8� ��� 8�+��9��,��� ��6����= ��� � <�� � ������� ��! ��� ������� � �������� ��*�

������ �� (8����� ���*�

�) �� % ��� ���� � � � (�� ��� ������ � ������� ����*����� ������ � %� ������� �����!� #� (� � ( ����� ����� ����#�� ���� � ��� �������� � %� ����� ( ����*�����'��&� ( �� � ( � ���������� � % � ����� ���� � ����#�� ���� � ��� � %�

��) �� *�� ��� ����� � ������� ����*���� ��� #�

�����

*����

���� � � ��� ������� * ����� ���� � ���� � ��� � %�

����� * ����*���� � %� '���� *���� �

�����

*����� ��������

��� � % � ����� ���� � ���� � ��� � %�

�� ���� � ���� ������ � ���& �������� ����� �� ���� � ��� #��� ������� ���� �� �� �������

���� �������� �� �� ���� �� � ��� ��� = ���� ��9��,��� ��6���� ���� � <�� �� ����� �6������ �%���� � �'�����= ��� ����� �= �

(���� ������� (��� � "��

���(���� � ��

Page 114: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

+ �� 6� 9�� <�� � ��9��,��� �� ��6���� �� �� :� ��7��,�

( ����� ��� ������

+ ( ����� ��� �� ��9��,� � ( ���� � ��

:� ������ �� ���� ���� ����� ���� ��������� � ������� ��1�

������ ��!� �� . � ��� �� � % � ��� �� �� � ��� � (�� ��� ������ � ������� �������� ������ � . � #� ���& ���� �� ����� ����� � ��� ������� ( � .� ������

(� ���

( ������ �� �

����!�� �

�����

*���� ���� � ����� ���� � .� �����

��

�����

*���� �

�����

��

*�����

*� <�� �� ���� ������� �� <��= 7��� � 8������ �� ��9��,��� ��6����=�� ������ ������7�� �� �,��� �� ���� � ���,�� �

����������� ���� & � � �/��� + �� <��= � � � + =

(����� (��� � &� �� � .�

��� <�� ������

(� ���

(

���� �

������

�(� � (�

���� � ��

(� � ( � & � 3�.��

��� � �� �� �,�� � ������ ����� �� �������� *� ��,���� ������ �� �� �� � ������ ����� � � ������ �� ����� ���� ��� �

����������� ������� ����� :� � �� ������� ��������� @= +� <�� @�� �,�� �� �� �� @ � � ������ �� ����� ���� ��= +� <�� � ���9��� ������7��9� �� ������� � � �����

"����� ������������� <�� ( �� ��� ��� �� %� :�� �� � % + � � ��

�� <�� '���� �� � %� ���� '���� �� �� ��� ������ ���/�= �� �,�� ��

������� �� ���8+ <��

��

(� � �= �. ��9� ������ �� '���� �� + ���

���,�����= ��� (� � ( ��6��������� �� .= �� �,�� �� ������� ��2

<��

��

( � �� ���� ���� �� ���� ���� ���� ��9� ������ .= ��� � �������

�� &����� ( �� ��� ��� �� '���� ��� >*� ��9��,��� ��6���� �� �<�� ( �� �������@

Page 115: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� � ���������� �� ������ ���

.� �� ��������� <�� ( �� � ( � ��6��������� �� ���� �������� ��+ <����������� <�� ����� & � � + '���� �� � % �/��� + �� <�� � � � + =

( ������ ( ���� � &� �� � '���� ���

:�� � � � �� <�� '���� �� � %= � �/����� �� �8� ��� +� ����������= >�� � ���������� �� ������� ����@� : �� ������ ��� . � 6��������� ��� '���� ��= ������ � 6���� � ���,�� �� ���8+ �� ����

( ������ ( ���� ��

��

��

(���� � (���

�� � ��� ��� �� � '���� ���

F7�%�9��� <�� � � � . + � � '���� ��= � � � � �� � + <�� �/��� +�� <�� � � � +

(����� (��� � &� �� � '���� ���

��� � ��

( ������ ( ���� � �

��

&

��� ��� ��� � & � �

��� ��� � �� � '���� ��� �

F7�%�9��� <�� �� ���� � ������� �� B��������� �������� 9��� �� �74

���� <�� (�� � ( � ��6��������� �� ���� �������� ������ <�� �

������� �� B��������� �� ������ ��9��,��� ��6���� �� %= ��� ����4

� � � ����

�����

��

���9��,� �� % � � � � � � ��= ���� �� ��6����4

����� ��� +� �� ��������= �� ��7��,� ��� ��9��,� ��6��������� ��%� � � � � � � ��= �� � ��� ��= ��9��,� ��6��������� �� �� <���

��� ������ �� %= ��� � �� �� �� � � ������� �� B��������� +�����

��

�� ��� ��� �� %= + �� ���9��� ��

�����

����= � �� ��9��,� ��6���������

�� ���� ������� �� %��� 6� ��������� <�� ��� ������ �� 6������ ��9��,� ��6��������� ��

���� ������� � + �� � � ��9��,� ��6��������� �� �������= ��� � �� ������� ������� A���� �������' ��� A�������' �� � ������� �� B����������

����� �������� ������������

�� :� ����7� <�� � 6���� @ >3���@ �� ������ ������ ���

@��� ������

���

�� ��� ��� �� % � � � � � � ��= + �� � � � @ ���� �� �8� ��������

Page 116: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

��������� :�� �� ��� ������ �� % + Æ � ������ �� � � ����� � �= �� ����

��� � ��� �� � +������� � ��� �� � � ����

>�� ����� ��� � ,���� � ���� ����� �� �,�����@�

%

Æ

.,��� ���E *� ������ �� ��� � � � ��

-8��� � � � = � � � � = � � � � Æ + ��� � ��� � ����Æ=

������ <�� � ��� �� �� � �� ������� ���7���� 4� � ����Æ=

�����

4�

�� ��� ���� � ��9��,����= ��� � �� ������ � ����7� & �� B���������= ��

���� <��

�����

��� ��9��,� �� 6���� �7�� ��� + ��6���� �� � ��������4

������� ������ � ������� �� B���������= @ �� ��� ��� �� % +

@ ���� � ������

�"��������

������ ���� ���� �� ��9��,���� �� ���� ������� �� %�

�� ��������� <�� (��� �

�����

��

���� ��� ��� �� ) � � � � � � ��= +

���7� � ���� ���� ( �����

��������� :�� 4� ��

��=

�����

4� ��9��,� +

������������ � �

��= �� � )= ���

� <�������

��

����9��,� �� 6���� �7�� ��� + ��6���� �� )�

"�� ���,�����= � ������� �� B��������� �� � <�� ( �� ��� ���= +<��

( ���� �

�����

�����

���

�����

����

��

Page 117: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ��� � ��!

�� �� � ��

��������

������

��

���

��������� :�� �� ��� ������ �� % � � � � � � ��= Æ � �������� � ��� � � � �= + 4� � ��� Æ���

��

Æ

.,��� ���E *� ������ �� ��� � � � ��

���������

4� ��9��,�=�����

�� ��9��,� �� 6���� �7�� ��� + ��6����

�� = + �� ���9� ��� � ������� �� B���������=

�����

�� �� ��� ��� �� %=

��� �������������

������

��

�� �

��������

��� �

��������

�����

��

�� � ���

��� *������ �� *�� ��

���� 8����� �� &��� ����

�� ���� ���� ������������� <�� ( �� ��� ��� � + �'� � � ( �� ����� �/4������ �� ����� ��� ��� ���� �� �������= ����� ���� �� 0�+ ��� �8������� ��� �� � 6����

(��� ������

( �����

� �� � �����

���� �������� �� ���� ������ ����� � � � � ��� �� ������ �� ��� ���=��� ����� �=

(��� �

+���

��

� �� ��

� � � ��

�� �� ��� �� + ( ���� � �= �� � �= �� ��7��,� ( �� �� �%��������� ��� �� �= ��� � <�� ( �� ���� ��� �/������ �� ���� �� 0�+ ��� ������� �� ��

Page 118: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��# ����� �� ������

��������� ���� 5�� � � ������� ��� � � �� �� ��

�����

���� � �����

'�� ��� (3��*� �� ��� ��� ����� � ��� � ������� � ��� 4 �� ������� ��� #� �� ��� � 4 � �� � �� ����� � � � ��������

���� � ���� ���� � � �� �� ������� � ����� � �

%� � � � � � � �� � �� �

����������� :�� 4� � 4

��

��

��� ����

��� �=

�����

4� ��9��,��

-����� ���� � ���� � �� �� � �� ��������

� 4

��

��

��� 4�= ��� � <��

� ����7� & �� B��������� ��������� � ���� ����� �

F7�%�9��� <�� � �/��� � � � �� <�� � � �� � �� +�����

���� � ����

��9��,�= ������� �� ����6��� �� 8������ �� ��� +� <��

�� � � ��� � �� ��� � � ����� �� �

������ ��&� ��

�����

��������� ��� � � �������� ����� %�� ��

��� � 9 � ��� �� ������� ���� � ���� ������ ��� #� � � � �� � 9�� � ���� �� � � � � �� � 9 �� � ��� �� 0� ���� ����� ����� � � ������� � ���� � ��� � % � � � � � � �� � 9��

- ��� � � � �� � 9 �� � ��� '�� � �� ��9��,����

����������� :�� 9 � �'(&� � �

�����

�� �� ��+��'� :� ����� <��

9 �� � ���� �� ��9��,����

���� �� � 9= �/��� �� �� <�� �� � �� � 9= + �� <��

�����

�� �����9��,� ��� � <�� �� ��� � �� ������ +� <�� ��9��,� � �� ��������4

�������= ��� � ��� �� -7� =

�����

���� � ���� ��9��,� �� 6���� �7�� ��� +

��6���� �� %�� � � � � � � �� � ����-8���= � �� � �� � 9 +

�����

����� � ���� ��9��,�= �� ������� <�� �

������� ����� � � �� �� ������= �� �� � �� � ���

Page 119: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ��� � ��1

�� ���� ���= ������� 9 � � � ��=�����

���� � ���� ����� �7�� ���

+ ��6��������� ��9��,���� �� %� ��� � ��� �� -7� = �� ����� ��= �

� � �� � �=

�����

�� �� ����� ��9��,����= � �� ������� � ������ ��

9�.�� ����� ��� � ��9��,��� �� �7�� ��� + ��6���� �� %�= �� � 9

���7%� � �� �� �� <��� ��� ������ �� %� �

���� �������� �� ���� ������� + �� ������� �� B��������� �� ���� � �,����� ���� �����

������ ����� 0� � � �������

�����

���� � ���� ����*���� � � ���

� �� �� �* ���� � ���� ������

����������� � ���� ���� �� �������� �� <�� �� 6������ ������������ �������� �

� ������� �� B��������� ���7%� ������ ���9�� �'����� ��� �'������

������ ����� �� (��� �

�����

���������� � � '���� 9�� 9 � ���� �

���� ������ ����� ( ���� �

�����

������ ������ � � ���� � ���� �����

� �� ���� � 4� '��&� �� �( �����

� �

����������� "�� � ������� �� B���������=

( ���� �

�����

����� � ������� �� � '���� 9��

: � ����

�����

������ � ������ ��9��,� ���� �� � '���� 9�

��= �� ���4

���� <�������

���� � � ��

�� �� ������� ������= ����� �� � �� � ��=��� � <��

����

�� � � �

����7%� �� �� ������� ������= += �� ���� �

��� �� -7� =

�����

��������� ��9��,� �� '���� 9��= �� 9� � 9= � ��

������� � ������ �� 9� "�� ���,�����= � ���� �� ��9��,��� ��

�����

����� � ������

�� �� ���9� 9�

Page 120: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��2 ����� �� ������

"��� ��������� � � ��� �����= �� �9� �� � ���� + ��� ���9���� �� ��E(���� � ��= ( ����� � ��= ������� � ������ �� ���9�� � ���� �� �������=����9������ �� �7����

( ���� �

�����

���� ����� �� � � � ��� � � ������ � �������

+ �9� ����� �� �� �� �7���� ( ����� � � ��� �

-8��� ����7 ����� ��� ������ ���� �������� 9�

������ ����� �� 9 � ���� � ���� ����� �

�����

���� � �����

�) �� "�����

������ %�� � � ���/� �*��� 9�

��) �� "�����

���� � �� %�� � � ����� 9 �

������!! � � �� �� � � � � � � � �

����������� ���� �� 9� �� � ���������� �� ������� ��5= � ���� ����9��,��� ���� ���� ���

9 � �'(&� � �

�����

�� �� � '�

@ :�� ) � "�����

������ � ����������� ������ � ��� � � ) � � -� 4

���� � ����� �� � ��3�� ��� � � ����

�����

�� ��� : � � � � )

"�����

���� ����

�� �� ��

)� � +

�����

�� �� ��9��,�� �� ��7�= � ) � �

�8� ���� �� ��+�� � � + � ����

�����

�� �� �9��,��

.�� �����= � ) � "�����

���� ����

�� �� � � + � ���� ��9��,� �� ����

� � ���= ���� � ) � � � ���� �� + � ���� �� ��9��,��� �� �� "�� � �����= ) �� � ���� �� ��9��,��� �� ����� �� �����

@ ����������� ������ � ��� � � ��� ��

�����

�� �� ��9��,� � �9��,�=

�� ������ � <�� "�����

����� ��� ����� � ��+�� <�� �= ������9�������

���� "�����

���� � �= ���� �<�9� � � ��� <�� �� ��� ����� � ��+�� �

Page 121: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ��� � ��5

�= ���� �� � ��

�� � �

�= ��� � <��

��� � ���� �� ��9��,���� :

� � � "�����

���� � � � ���� ���� � + 9 � = ��� �

$9������

�� *� ����

�����

�� ���� ���� �� ��9��,��� �= ������ <�� �� � �=

�� � �= +

"�����

������ � ��

�� *� ����

�����

��

� ���� ���� �� ��9��,��� 9 � = �� ���= �� ���

6���� ������= +� <�� �� ��

� = +

"�����

������ � "��

����� � � �

�� *� ���������

� �� ���� ���� �� ��9��,��� �= ������ <��

"�����

������ � "��

����

�� �� ��

�� �� �� ��������� <��= ���� ���� ���� �� �������

�����

���� � ����=

9� "�� �'( �

���= ����� "�� �'( �� � ������� �� �� ������ �� ����4

��� ��&

����

'� > �� ���������� �� ���� 8�8� ������ �� � 7�� ��

-8 6���@�

��� ,������ �� ,�0���

*� ������ ��7�� ����� �� ������� �����'� <�� ����� ��� 6������ ��� ������ ������ �� ����= �� <��� 6���� ��� ��� �� ����������7 � �� ����� ������ ���� �� ��������

������ ���� (�-���*� �� ( ����*���� � ��� ���� %� �� � %� �'� � � � � � � �� � �� � %� ������ �� � '��

(��� �

�����

( �����

� �� � �����

' �� � � ����� ���� �� 0�+ ���

Page 122: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��) ����� �� ������

���� ����� �= � (��� � ��= ( �� ������ + ( ���� � ��= �� � �= ���<�� ( ���� � �= �� � �= +

�� �

�����

��

� �� � � �

- � ���� �� 0�+ �� � ������� �� ) �� � ��� ���� �� &�*�����"��� ��������� � ������� �� 0�+ �� �� ������ �� ����

'�� ���� 0� � � �������

�����

�� ���� � � �� �� ������� � ����

�� � � �� �* ���� � ���� � � � � � �� ��� �� � ���/� ��� ���� ��

�� � ������������ ����� � ������� ���� ������� 9�� <�� � ���� �� ��49��,��� �� � ���� �� �= �� ����� �� ����� � ������ ����� �� ����"��� � � �� � ���� �7���9���� <��= ��� �� � ��� �� � ���� ,���%���=

A� � � � � � �� � � � �� �� ��� ����

�� � = +

"�����

A� � "�����

�� ����

�� � ��

�� � � �

F��� ���� ���� ������� ���� ��������� � ������� �� 0�+ �� �� � �,�����E

:

�����

*���� ��9��,� ��6��������� �� � � + ,��� �� ������ �� =

�������

�����

,���*���� ��9��,� ��6��������� �� � ,��� ������

*�����

���� �� ���� +� <��= � ,��� � 4 = �� � = ���� & � � �+ �� <��

*����,��� � � � �� *������,��� � *���� � � � �� *������ ,����4 &

4� & �� � + �# � +�

���������� ������� �� �������� :�� �� � � �� <�� '�� � %= +��� .�� � �� � ��� = � � � ��� "�� � 6���� � ���,�� �� ���8+= �� � �$ . � �$'��

(��� ��

��

��

(���

� � � ���

-8��� �� �� � � ���� �� 0�+ ��= ���� ��

� � � ��

� � �� � �� � ����

�� � ���

���� � � ��

� � ��

� ��

� � �������

�� � ��� � ��

���

Page 123: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ��� � ���

����� � ��� ��� �� �7���9� <�� ���� � ��� ���� ���� ��9��,� ��6����4

����� �� .= +� <�� � 9���� � = �� 9� ����� � ��� � �� ����� ����� �� ��

��� � �� ���� ����� � ��

�� ��

.,��� ���E � � �� � � � ���

-8���=(���

� � �� = � � .= �� ������= +� <�� �� ��� 6���� ������ �� � ������ .= ��� <��= ��� � �7���9�'�� 8�8� ������� �� ��� ���=

�����

(����� � ����

�� � ������

��9��,� ��6��������� �� . �

(���

� � ��

�((� �

���� � ��� � ��

��))� �

(���

� � � �

.�� �����= ������ � ������� ��2= �� ����

��

(���

� � � �� ��

��

��

� �����

(����� � ������ � ������

��� �

�����

��

(����� � ������ � ������

���

��� � �� = ������ � 6���� � ���,�� �� ���8+ ���� � �4%��� ���9��� ��

Page 124: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

����

(��� ��

��

��

(���

� � � �� ������

�� � ����

��

��

(���

�� � ��������

�����

�� � ����( �����

� � �� � �$'�� �

�� ����� ��= � 6���� � �� 0�+ �� �� ��� � �� � ��� ������ �� ���� �� �

F7�%�9��� <�� �� �,�� �� ������� �� 0�+ �� + �� ������� ���) <�� � %�� ��� ��,�� �� � + ( �% � � �� ��� 6��'��= ������� ( �� ��� ��� ��% � + �� � � ��� � % + �'���� �� � %= ( '���� �� �� ����������7 � ������ ���� �� �������� ���� ������������ �� ������ ����

���� �������� ������������

�� N �� ���7 � <�� ��� ���� �� ������� �� � 6����

�����

�������� ��9����

�� � � � ���� �9���� �� � � � O

��������� "�� � ��� �� -7� = � ���� �� ��9��,��� �� ����� ����� �= ��� � <�� � ���� ��7� ��� ��9��,���� ���� � � ��

�� :��� ( + * ��� ���� �� '��� ��= (��� �

�����

����= *��� �

�����

����=

������� (���*��� �

�����

��= �� � '��� ��= ����� �� �

�����

������= ��

���= �� ����� �� ������ �� �� �� ��� �� ����� �������

��������� :� ����� <��

�( � *����� �

�����

��

�( ����*�������

���� �� ��������� ����9������= �� ��� ���� � � �= + ��������� <��

�( � *������� �

�������

��� �

�( ����*���������

�� ����

�( � *����� ��������

��� �

�( ������*�������� �

�������

��� �

�( ����*������

������

��� �

� � �

�( ����*������ �

�������

��� �

�( ����*������

�������

��

�( ����*������ � ( ����*��� � (���*�����

Page 125: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ��� � ���

� �� ��������� � ��������

-8���=

�� ��( � *�����

� �

�����

��

�( ����*������

�����

( ����

( ������

��� �� �

�����

�������

������ <��

��

��

� ��� �� �

F7�%�9��� <�� ���� ���� ���� �� ���7'�� ���� ���� ����� �� 0�+ �� <�� ������� � ����� �� � � ��� �� �� <��� ���� ������

�� �� � � � ���� �� "���� � �� � ������� �� )= + �������� � ���� ����9��,����

��������� : �� � ,� � ���� ����� �� �,�����= "���� � �� �� ��� ����� � � � � � � � �� � �� � � ��= ��� � <�� � ���� �� ��9��,��� ����+�� � ,�� � ��

-8���= (��� � "����� � �G ( ���� ��

� � �= �� ����� ( ���� � �G

( ����� ���

�� � ���+ ( ����� � ��� �����9������ �� ����

( ���� ���� �� �������

�� � ����

+� <��

( ������ ���� �� �������

�� � ������

��� � ����� ( ���� � ��� �� �������= +

"���� � �� �

�����

��� �� �������

� �� �

�����

������� ��

��

: � � ��= � ���� �� ������

�= <�� �9��,�= ��� � �� 9 � ��

�� �������� � ���� �� 0�+ �� ���

� � �� ������� �� ) + �� ���� �� ��9��4

,����

��������� :� �������� <�� � � � �=�

�� � �

�����

��= + ��� � ����� ��

� ���� �� 0�+ ��= %��� �� ���������� �� �����

Page 126: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

-8���= ��� � ����� � �= � ���� �� 0�+ �� �� � �

�� � � � ��

������

���

: � � � ���� ���� �9��,�= ��� � <�� 9 � ��

!� �� � � �� ������� �%����� �� � ���� ����

�� � � ������� �� )�

��������� �� ���9� ��� � ����� � �= ���

�� ������

��

� +

�� � ������

���

��

�� � � �� � � � �� � �� � � � � ��� � � ���

� ���

� � � � � �

� � � �� � �� � ���

�� �� � ��� � �

��

����

�� �� � ��� � � � � �

��� '���� �� �������� � ������ �� '��� �0

������

����� 8����� �� (���� �

: ( �� ��� ��� �� '���� �� � ���= ( ���� ��� �/������ �� ����� �4����� �� *������� "����� �� ����7 �� �� ��� ��� �,� � �� -7� �

'�� ���� ��� ��� ��� ����� � ��� � ������� � �� � �� � �

�������� #� � ��������

" �����

� � �#

�& �������� ����� �� � ����

�� � ���

�����

���� � ����

���� � � �� �� ������� � ����� � �

� � � �� � � � ��� �

����������� :�� 4 ��� ��� ������� ��

" �����

#= � � � �� � ��=

���� ���� � ����

���� � �����

������

������

�4�����

���

+ ��� � ����7� & �� B��������� �� �,�� � ���� ����� �

F��� �,������� ������� ���� � ������� �� *������ �� � �,������

Page 127: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ �� ������� ������������ �� ���������������!

'�� ��� (������ #� +��,- �� �� �����*� �� ( /����� �� � ������� % � � � � �� � � � �� � ���� � .�� � �� � ��

��� � ��� ����� � �� �� ���� �� � �� � �� � ��� ������ �� � � � �� � � � �� � �� ���

(��� ��

��

���

(���

� � � �� ��

��

���

(���

� � � ���

���� ��

.�

.�

.,��� ���E .���� � �� ���8+ ���� � �� ��

����������� ���� � �� � �� � ���������� ��� .� + .� ����= ���

*��� �

���(���� (���

� � � � � �� �=

( ���� � � � ��

���� * �� ��� ��� �� % � �� + ������ �� %= * �� 8� ����6� �� %�>���� ��� ���@� -8���= .� �� 8������� � .� �� %= ��� � <���

��

*��� �� ����

*��� �� � ��

���� �����

(���

� � � �� � (���

���

� � � �� ����

(���

� � � �� � (���

���

� � � �� � ��

���� � ��,���� ������� �� �(����� + � ����� �� )= ��� � ������� �����8+= ���� ,�� ��� ����7 �� � ���� �

Page 128: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��# ����� �� ������

������ ���� ('���� *� �� ( /����� �� � �� ������

% � � � � �� � � � �� � ��� �

����� �� � %�

(��� ������

���� � ���� ������

���� � ����

�� ���� ����� ������� � % � ����� � � �������� � % � �� �� ��

%!��!� � � � � �� � � � �� � ��� � �� � �� � �� � ���

��� �� ��������� ���� �� *�������

����������� :��� �� � �� � ��= �� � �� � �� + .� + .� ��� ��� ��� ���� 0������ � � �$ .� ���= + � � .�� ���� �� � ������� ��0�+ ��=

� � � ��

� � �������

�� � ��� � ��

���

�����

�� � ����

�� � �������

+

(���

� � � ������

�� � ����

�� � ������(���

��6��������� �� .�= ��� � ��

��

���

(���

� � � �� ��

��

�����

���

(���

�� � �������� � ���� ��

��

��

�����

�� � ������

��

(���

�� � ��������

��

���7����

�� ��

��

���

(���

�� � ��������

�� �7����

��

���

(���

� � � �� �

�����

���� � �����

��� � ���� ��9��,� �� � �$ .�= ��9��,� �� 6���� �7�� ��� + ��6���� ��%!��!� = ��� � ��� �� -7� � >"����� <�� %!��!� � '���� ���� @

Page 129: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ �� ������� ������������ �� ���������������1

"�� ���� �����= � � � &$ .� ��� + � � .�=��

� � � ���

� � �� � �� � ����

�� � ���

���� � � ��

� � ��

��

� � �������

�� � ��� � ��

�� �����

�� � ����

�� � �������

����� � ��9��,��� �� ��6���� �� .�= ��� � �����

��

��

���

(���

� � � ��

��

��

���

�����

�� � ����

�� � ������(��� ��

��

��

���

�����

�� � ������

�� � ����(��� ��

������

�� � ����

��

��

���

(����� � ������ ��

�����

���� � ���� �

����� �� ��

��

���

(����� � ������ ���

���� � ��� ���� ��9��,� �� � &$ .�= ��� � <�� ������ � ��� ��� ������ <�� � ��9��,��� �� ��6���� + �7�� ��� �� �������� �� � 6����

� � � � � �� � �� � � � ���

+ �� ����� �� �� %!��!� � ���������������= ������ � ��� ���= �� ���� <��

(��� �

�����

���� � ���� �

�����

���� � ����

��6��������� �� %!��!� + �7�� �������� �� %� �

+������� ���� �� ( /����� �� � % � � � � �� � � � �� � ���� ������� �����!� #�

(��� �

�����

���� � ���� �

�����

���� � ���� � �� � %�

���� ���� � ���� �� ������������� �����

�� ��

��

��

(���

�� � �������� � �� �

��

��

(����� � ������ ���

Page 130: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��2 ����� �� ������

���� .�� � �� � ����� � � � �� � �� � � � ��� ��� � �� %������� 0�� �� ������ ' �� ���� � �� � �� � ����� �������� �����8+�

����������� "�� � ��� �� -7� + �� ��� �,�= �� ����� ��9��,�� ��6��4������� �� .� -�� ���� �� ����� ����������� ���

(���

�� � �������

�����

���� � �������� �

�����

���� � ��������

��9��,�� ��6��������� �� .� : � � � ���,����� �%���� � �'����� ������ �

(���

�� � �������� � ����� � � � ��

0��7%�= � � � �= �� ������

(���

�� � �������� � ������

������� � � ��= �� �,�� � ���� ����� �

- ,���� 9��� �� ���7� � �/������ �� *������ ���

(��� �

����

���� � �����

����� �� ��

��

��

(���

�� � ���������

���� ����������� �� 8� +����������

:� �������� � ������������ �� �� 6������ <�� ��� ��� ���� ��

'���� �� � ��� ���������� �� � �� ( ����*���� � '���� �� � ���� � �� � ����������� ���� ������ � ( �

�� ���� ��� �� � ������� �� *������ �� �� �7 � +

(��� � � � �� ���� � ����

� � � �� ��� � �� � �� � � � �� ���� � ���� � � � �

�� � '���� ���

�/���� �/�������� ���� ���7 ����� �/ �+�����E

@ �� �� � + �. � �= �3 � ��

Page 131: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ �� ������� ������������ �� ���������������5

@ �� �� � ���� �� ������ ����� �� �' ��

@ �� � �= ����� � ����� ��� �� �� <�� ( ���� �� �� � �� ����� � �� ��= �� � ��,���� <�� ( ���� ��� ��,� ����� ����� �� �� + �� � ������ <�� ���� ��� ��,� ����� ����97 � �� ( � : � ����� �� �� �� � �� �= �� �� <���� �� �� � ��� ��

��������� ��!� '� ��� � ������� �� � �� %� ��� � 0�� �� � ������ ���� � ( � ���

��������� ��&� 5�� ������� ����*���� � ��� ����� % %���� �� ���� ����/� ����� ����� � ��� ��� � %� ' ��� �������� � ���� ��� � � � ����� � ���� ����

��������� ����� �� ( ��� �� ���� � � �� � � ��� � �� %� ���

���� � ���� � � � �� ��

� � ��� �� � � 0�� ��� � ����� �� �� � � ������� � ( � ���

F7�%�9��� <�� � ( ���� ��� ��,� ����� ����97 � �� �� ������� (�� ��� ��� �� ��� 9����� �� ���

*�� ������� ��� ��+ �� �� ���� � � �� ���,�� ��= ��� ����� � �� ���� � �,����� ���� �����

+������� ���� �� ( ����*���� � ��� ���� % � ���� ���� �� ��������� ���� ��� ���� ��� �� . ����#�� �* ���� �� ��� � ���������� � %� ����� �

(��� �� � �����

����������� *�� �������� �� ���8+ ����� ����� ���

�� ��

��

��

(����� � ������ ���

�� ����� ��= ���� � � �= ������� � ���� ����� �

���� ����� �= �� � � = �� � � � � ���

� ���

� � � � � = �� ����� ��= �

� �� � + � � �!� = ���� �

�����

� ��= + �� �,�� �� � ����� �� �� ����� ��

*������ <�� ) �� ��� ��,� ����� ����� �� � ��� ���� � -�����= ��� �

������ �� �= �� ���� <��= �� � �=������

���� �� � ���

-8��� �� ����7 �� �� ����� ���� ����,�� �� �9����� ���� �� ��,� ��4������ ���� ���� ���� �� ��7� ����� ����� � �������

Page 132: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��) ����� �� ������

������ ����� �� % ��� ����� �� � % � ( �% � ��� � � ����*����������

�) 0� ������ ��������� �� #��������

-�) �� ��� ������ ���� ������ � ( �

-�) (��� �4 � �� � �'���� �� � ���

� � %�-�) "��

����(��� %���

-�) "������

(����� � ��� � ��

��) 0� ������ ��������� �� #��������

7) �� �� ���� � � �� ��� � ����� � �� � ��� ������ ���� �������

6) �%�� 4 ��� #���(����� � ����

�� �4 � ��� ������� ���� ���� ���

8) "������

�� � ����(��� %���

:) "������

�� � ������(��� � ��

���) �� �� ���� ���� � � ��� � "������

(��������� %�� � �� 9� ��

�*��� � ���� � ( � ���

��) �� �� ���� � � �� � � � � � ��� � %�� � �0 � � ����*��������� 0 ��� ������� � �� � %� ��� ����� �� � � ��� #�(����� � ���� � �����

�����������

@ �9���������� �@ �� 7@= @ + �@� 0��7%� 7@ � @ �� �@= ��� �<�� 7���� ���7�� <�� �@ �� � <�� �� �� ��� ��,� ����� ����97 � �� ( �"��� ���� �� ����7� <�� �� �������� �� �� � �/������ �� *������ ��� )�

�� ��

��

���������

(����� � ������ ��� � � � � � � � �� � �� � %�

���� & � �= �/��� � � � �� <�� (��� � � �� � & � � � �� � �=

��� � <�� � � � �� � � �� ���� (��� � &

�� "�� ���,�����= +� <�� ��

����� ����� � � �=

�� � �

��

���������

(��� � � ������� �

��

&

�������� � &���� � &�

Page 133: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ �� ������� ������������ �� ����������������

+ ��� � �����

�� � �� �� � ��

@ -� ���� @ � � 6���� �� � ����(��� �� �7���� � ���� ����� : �� ����� ��,� ����� ����97 � � �� �� � �� ����� ����� � ,�� � �= �� �,�� �� � �/������ �� *������ <�� �� � ����(��� �� ��� ��� + �� �,��� �@= �@ +�@� ���� �@ �� �@ + �@ �� �@= 7���� ���7�� <�� �@ �� � <�� �� ������97 � � �� � �� ����� � �� ����� @= �@ �� � <�� �� � ����(��� ���� ��� ��,� ����� ����97 �

�� ��= + ��� � ���� �� *������ ���� �� � ����(��� �� �7���� �� � ��(��� �� �� ���� � �%���� � �'����� ��� �� � ���� = >+� <�� ����� �������� ����@ �� �,�� � ���� ����� (��� �� ����� ����� �� �� � �� ����� ��+��� � � �� � ����(��� �� 8� ����6� �� ��� 9����� �� ���

@ :� �,�� �� @ <�� � "�����

(������ ��� �/���= ������� �� �� ��� ��,�4

����� ����97 � � �� �� � ��� �� � ���� �� ) � + �� � � ( �� ��� '���� �� >��� @ @= ��� � ��� �� �� )= �� �� �� �� � ��� �� � ������ + � ��,���� ����� ��� �������� �� � �/������ �� *�������

9@ : ( ���� �� �� � �� ����� � �� ��= ������� �� �,�� �� � �/�������� *������ <�� ���� � (������ ���� �� ��� ��� �� ��� 9����� 0 �� ��+ ����� �� �= +� <�� ����� � ���

(�9����= � ���� � (����� � ���� �� ��� ��� + ����� �� �= �� �,���� @ <�� ( ���� ��� ��,� ����� ����97 � � �� �� � �� ����� � � ����� :� ����� �� �� �� � �� ����� �/�������� �= ���� �� ���� ������= � �/������ ( �� ����� �� *������ �� ������� <�� ����� � �� �

+���� #� :�#�� �

��������� ����� �� ( ����*���� � ��� ���� %� ��� #� ( ����� � � � � �� � � �� � % � (���� � �� ( ����� � �� �� � � �( � �� ��

�� ������� ( ���� �� ��� �� ����� � �� �� � + �� � � �� ��� � <��(��� � �� � ����*���= ����� *��� �� ��� ��� �� ��� 9����� �� �� +*���� �� ������ �� �������� �� � ����� �� � �/������ �� ( �� ����� ��

0�+ ��� �� �6���= ( ���� �� ��� �� ����� � �� �� � + �� � �

(��� �

�����

���� � ���� � �� � ���������

���� � ������ � �� � ����*����

����� * �� ��� ��� + *���� �� �= +� <�� �� �� �� �� ����� 6����3����� ����= ������ <�� ��7�� ����� �9��,�� � ��9��,�� ��� ����������= + �� � ��= �� ��� ����� ��� )�

Page 134: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

������ ����� �� ( ����*���� � ��� ������� � ��� ����� ( ���

�� � � � � �� � � �� � � ��� ��

(��� �� ���� � � �� � �

��� '��&� � , ����*���� � ,���� �� ��,

(��� �� ���� � � �� �

� ���

����������� : ( ���� �� ��� �� ����� �= (��� � �������*��� ��* ��� ��� + *���� �� �� �����

*����� � ����

��� � ���� �

*���� �� �� ���

�� � ����

(����� ��� 6���� ��� ��� �� ��� 9����� �,������� �� ��= ��

��7��,� �� �� ��� ��,� ����� ����97 � >�

*����� ��� ��� �� ��@ + �

9� �� �� � 6���� �8� ���

*������ �= �� �,�� ������� �� ������� ���!49@

<�� �� �� �� �� � �� ����� � �����

(�

��9���������= ��

(���� �� �� � �� ����� � �� ��= *��� �

�� � ����

(����� ��� ��� + *���� �� �= ��� � ������� ���!49@= + ��� � ����� ������� <��

*����

(���

�� � ������ ��� ��� �� ��� 9����� �� �� +

*������ �= ��� �

<�� ( ���� �� ��� �� ����� � �� �� > (��� � �� � �����

*����� ���

9����� �� ��@ �.�� �����= � , �� ��� ��� �� ��� 9����� �� ��= ,���� �� � + (

���� �� ��� �� ����� �= ������� ��� � ������ ������

(���� �� �� �

�� ����� �= ��� � <�� *��� ��� � ����

(����� ��� ��� �� *���� �� �= +

,���*��� ��� � ����,���

(����� ��� ��� �� *����,���� �� �= + ��� � �����

,

(���� �� �� � �� ����� � �� ��� �

��������##�� $��������

�� ������� : ( ���� �� �� � �� ����� � �� ��= �������

"������

(��� � �

���� �� ���� +� <�� (��� �,���

�� � ����= �� , ��� ��� + ,���� �� �= ���

<�� (��� � 4

� � ���� � ���� ��� �� ��= + ��� "��

����4

� � ���� =

Page 135: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ �� ������� ������������ �� ����������������

�� �7����

"������

(��� � �

:� ��7��,� �� � ��� �� ��,� ������� ����� �� �� ����� ���� �������

������ ��� (����#*� �� �� ��� ������ ���� ����� � ( � � 0����#�� ������� ���� ��� � ��� ����� %�� �� ��� � ������� ��

#� ���� � �� ��� #�� � � � � � ��� �� ������� (��� � � ����� ��� � ������� � ������� � 0 �

*� ���������� �� ���� ������� ���������� � �� ���� ��� �9��3���= ����7��,� �� ����� ��������� ��� 9����� ��� ��7 �

������ ���! (+��� �18����� ���*� �� �� ��� ������ ���� ������ ( � � � � � ����� %�� ��� ����� ��� ��� #� �� � �� �(���� � ��

����������� : � ������� �� �� ����= ������ �/��� � � � = & � � +��� 9����� 0 �� �� �� <��

(���� � � &� �� � 0 � ��� �

-8��� ���

*��� ��

(���� � �

��� * �� ��� ��� �� 0 � ���= + ��� *��� � �

&= �� � 0 � ���= *

���� ��� ��,� ����� ����97 � �� ��� -8���= �� �� �� ��� �� ����� ��� *= � ����= +� <�� �� ���� ������ �� ������� *��� � � �� 0 = + ����

�� �� ����� "�� � ������

*���� �� �� � �� ����� � �� �� � �� ��� ���

�� ��= ������

*���� (���� � � (��� �

*���� ��

� <�� �� ���� <�� ( ���� �� �� � �� ����� � �� �� � �� ��� '�� ����= � �� ������� �� 8������� �

����� �������� ������������

�� �������� �/�������� �� *������= + �� ������� �� �� ������ �������������E

>�@� � �

�= �� � �= �� � �= �� � �

Page 136: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

>7@�

�� � �= �� � = �� � �= �� � ��

���������

>�@� � �

��

�� �� "�� �����= %��� �� � ���� �� *������� � ������ �� ��

>7@ "������ ���������� � 6���� ��� �,��E

�� � ��

�� � ��� � � ��

��� � � ��

��� � ��

-8���=�

� � �� ��� ��� ��� �� �� � �

� � �

� � ��� ��

��� � �

�� �

��

��� � � ��

� ��

�����

������� �

���

� �� �� 9� �� � � � � � � �� >� ���� �� � �� 0�+ ���@

�� �

� � �

.,��� ��!E 0��� �� 0�+ ��

� � �

��

�� � � � � � ��

��

��� � ���� � ����

����

"�� ���,�����

�� � ��

��� � � ��

�����

������� � ��

�����

+ � ������ �� �R� �

Page 137: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� ������ �� ������� ������������ �� ���������������!

�� �������� � ����� �� �� � �� �� �,������ 6������= + �������� �� ���4�����

>�@��� �

��= �� � ��

>7@�� � �

��= �� � ��

>@� � �

� � �= �� � ��

���������

>�@ �� ���� �� ��� �� ����� � + ��� � � �= ��� � <����� �

������ ��

�� � �� ����� � �� �� � �� - ������9������

��� �

���

��

��� �

� ���

� � � � �

��

��� �

� ���

� � � � �

<�� ������ ��� �� � 9� �� �� ������E ��

>7@ ���� � ��������� �� ) �� )= � ������� ���# �� �� �� ��

�� � �

���

��

�� � � �

��

� � � � � � �

��

��

� ��

� � � � � �

+ ��� ����� ) �� �� �� � ��� � �� ������ ��

>@ ( �� ��� ��� �� ���

�� �������� �� �� �� �� �,������ 6������ ����� ��,� ������� ����97 ���� �� � ��

>�@����

��

>7@��

��

>@��� � ���

���

>�@�

�� � ��

���������

>�@ "�����

�� �

�� "�����

� � � �= + ) �� ��� ��,� ����� ����97 �� - ������4

9������

� �

��

�� � �

� ���

! � � � �

�� �� �

� ���

! � � � � �

Page 138: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��# ����� �� ������

>7@ "�����

��

�� � � + ) �� �� �� � ��� ��

>@ "�����

�� � �

�� � � + ��� � �����

�� � �

��� ������ +

��� � ���

�����7%��

>�@�� � �

�� � �

����

� � � � � = ��� <�� "��

���

�� � �

�� � + "��

���

�� � �� �=

��� � <���

�� � ����� ��� ��,� ����� ����97 � �� )�

��� *������ �� -������ ������� �� %������

����� ,������ ��� �������

����7 ����� �8��� �� ���� ���� ��+ ���������= ����� ����� ��� �� ��� ��� � � � �� ���,�� �� ���������

������ ���& (������ #�� ;���#��*� �� % ��� ���� � � � ��� ���� � � � �� ����� � %� ( �% � ��� ��� � � � � ��� � � ����*���� � . ��� �� ��� ��� � %���� ��� � � � � ��� #� /��������� � �� ����� � %� ������

( �����

��(� ��:�.� ���

���� ��(� �� � ���� � ( � ��

-���� �� ��������� � �������= �� 6� ������� �� ������ ����9� ���<��%��� �� ���� ���� ��9�� ��� ��� :� ���� ��� � 6���� � ���� �� ���������� ���8+ <��

�������� �

���������

(��� ���

��� � �� � ������� �� ���� ���� �� ������� ,����� 3��� �� � ��6�������

����������� ���� � �� ��,� ����� �� ��� �� ( = �� � �� �� � � � � ��=�/��� � � � �� <�� ( �� ����� �/������ �� ����� �� *������ ��

� � � � � � � � � �� ��� ���� <��

(��� �

�����

���� � ��� �

�����

���� � ��� �

��������� <�� � ����� ��,� ��

�����

���� � ��� ��9��,� �� � � �� + �

8�� ��6��������� �� � � � � � � � &�= �& � �= ��� � �� = ������ �

Page 139: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������ � ��������� ��������� ��1

������� �� B���������=�����

���� � ��� �� ��� ��� �� � ���� ���������

���� ����� ��,� �� �� ( � ������� �� � ��� A���� -8���= � 6����

*��� � (��������

A���

�� ��� ��� �� %���� ��� � � � � ���� :� ����� <�� ��= ��= � � � = �� ��� ��,� �4������ ����97 �� �� *� "��� ��������� ����= �7���9��� <�� �� ��� 9������ � � � � � � � � �� �� <�� �� �����,� � ����� ��,� �������= �� ����

(��� �

�����

���� � ��� � A����

��� � ��

*��� �

�����

���� � ��� �������

A�������

����

A�����

��� <�� "������

*��� �/���= +� <�� A� �� ��� '�� �� � = �� �� �� ���4

������������= * �� ��� ��� �� %= + � ������� �� ���8+ �� � <����

* � �= ��� � <��

��

( �����

��

A �

"��� � � ��

��

A = �7���9��� <�� A �� �� � 6����

�����

���� � ��� = <��

��9��,� ��6��������� �� �� �/������� �� ��� �� � ������� �� � = ������� ��= � ��9��,��� �� ��6���� �� . + �� ����� ���,��� �%���� ��'�����= � ��= �

A ������

��

���� � ��� ���

����� ���,�� �� ��� ����� ���= � � �� �= +� <�� . �� ��� ��9� ������ + �� ���,������ ��� ���9���� �� ����� 6������= �7����������

A � ���� � :�.� ��� �

���� ! ��+����� �� ����

� ������� �� ������ �� ��+ �� ���� ����� ���,�� �� ������� <�� �� ��6� � � �� ������� ������� ��� ���

Page 140: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��2 ����� �� ������

������ ����� �� ( ����*���� � � � %���� �� �� ��� � ����� � ������� ���� �� �� ��3 ������ �����!� #�

(��� � 4

�� � � � � 9� 9�4 � �� �

� #� ( ���� ���� �� � �� ������ �

��(��� �� � ��

�4���� � ( � � ������� �� �� �

� ����

4���� � ( � � ������� ��� �� � ������������ :�� .� ��� �� � �,��� ��#= ����� � � 9 �� ���� ���4��������� ,����� ���� <�� ����� �� �� �� �� 6 �� � ���� ��� ������� ������� � ������ �� .�= �������= ��� � ������� �� �������

��

( � ���

������� �� ( �� � ���� ��� �������� � >���@

-����� ���

( �

� �

��(��� ���

�&�

(��� ��� >���@

����� ;� �� � ������ � ������� �� ���� ��

���.�

.�;�

.,��� ��#E *� ��9� .��

"�� ���� �����=

� �

��(��� �� �� ��� ������ "��

���������

� ��

��

(��� ��� ����

���� �/��� � �/���� �� '���� "������

� ��

(��� �� + "�������

� �

��

(��� ��=

+ � �/����� �� ����� ��� <���� ���,����� ��� � ����� (��� � 4

���

� � 9E� ��

$

(��� �� �� ��

$

4

���� �

4

9� 4��

� 4

9����� �� � =

��� � <��

� �

(��� �� �/���= ��� �,������ �� ��������� <��

� �

��(��� ��

�/���� �� ���� ��,������ �� ���� ������ � 8�8� �� <�� �

� �

(��� ��

�/��� ������� ���7%� �/���

� �

(��� ���

Page 141: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������ � ��������� ��������� ��5

>;��9������= � � (��� � (��� � � (���= + ( � �( � ( �� ( = ��� �<�� �� ���,��7 �G � ����� �� �������� 9� � ���� 6������ �� ��,��9��=

� � � ,��� � *��� +

� �

*��� �� �/���= �������

� �

,��� �� ���7%�

+� <�� � 6���� <��� �

� �

,��� �� �� ������ + �������@

���������������

� �

��(��� �� �/��� + �� ,�� � "��

���

� �

��(��� ���

-8���= "�����

�&�

(��� �� � �= ������ <��

�����&�

(��� ��

���� � 4

���� �

4

�� � � ����� � � �

P������� ���� �6������= � ������� �� �������� ������� �� >���@ +>���@� *� ��,���� ,�� ��� ���� � ���� ��� �6���� �� �7���� �� 6���� ���4 �,�� �

+������� ���� 0� /����� �� �� �� 8�69 ������ � ( �5

6� ����

5 � 6 �� ��������� ��� �����6 � � � �����5 � 6 �� ��� � �� � � ���

����������� :��� � + �= � � � � �= �� ,����� �� 5 + 6������9������� :� ����� <�� �/��� 9 � �� = 9 � � �� <�� 5 ��� �4� �� � � � � + 6��� � 4� �� � � � 9= �� 4� + 4�

��������� ����9��� ���� ������� �� � � ��� ���= ������ <�� � � �9= ����5 ���

6���

���� � 4�

4�

���� �4�

4�

�� �

: 5 ��� � ���� � � � �� �� + � � �=

5 ��� � �� ��� � � �� �� � �� �� � � � �� �� ��� �� ���� � � �� ��

��

���7���� 6��� � ���� � � � �� ��= ������� <��

���� � 6���� �� � ��� � � � � � �����

���

+

���� � 6���� ��� ���� � � �� ����������

�� ���� � �����

6��� � ���� ��������

������ � � � � �� �

Page 142: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��) ����� �� ������

: � � ��� ��� � � �� �� + � � �=

6��� � ����

�� � � ���� � � � � � ��

����

� ���� ��� � � ���

.�� �����= � � � ��= ���� ��� � � �� � �� �� � �������

�� � � ���� � � �

�� � � = ��� <�� ������� 9 ��

�� � � �� �7���� � ���,�� ���

<�� �� �����7�� �

���� ����� � �� �9� ��

� �

��

�� � ���� � ���,����� �������� ����6�4

� �� 8������ �� ��� ��� ���= + �� ��,� ������� ��� ����� = ���

��� = ������

+ ������ = ��������� ����� ��� ��= ��= ��= + ��= �� ���� <�� ��� �� ��

��� ��= +� <��

"������

� � ��� � �

�/��� + �� ������ �� )�

����

�� ��

.,��� ��1E "����� ��,� ���� �� ����� �

����� ����� ��� ���������� �� �������= �� � ���� ��� ������� ��������

"������

� � ���� � �

� "������

�� � ����� � ����� � ���

��

��� � ������ � ������ � ���

��

���

���

����

��

����

Page 143: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

���� �� ���� �� ������ � ��������� ��������� ���

+

"������

� � ���� � �

� "������

�� � ����� � ����� � ���

��

��� � ������ � ������ � ���

��

����

���

����

���

����

"�� � ������ �

��

�� � ��� � ��

��

���� �

���

���

��� � ������

���

����!��

���

����

�� ������ ��������2 ����

������ ����� �� 9��� � ��� ������� ������� � � � �

(��� �

9

��

�� �

��

�� � �

���

������ �����!� #� ( �� ��� ���� � � �* ���� ����� ��� ������ ��

9���� � � � � � ���

4���� � ( � � � � � �

����������� : .�� � ��� � � = � ��� ���= ��� � ������� �� ������ �

( � ��������

��(� ���

� ������ �� ��,� ������� �� ( �� ���� +� <�� � �9� ��� 9 ����

�� �

��

�� � �

���

� � �� � �� ����� �� �� �� ��������� + ���������� ��� ��� ������������� �� � + �7����� ��� 6���� ����� �� �� -8����

( �

� ��

(�������� � �

� ��

9���� � � � �� �

���� ����� � �9� ������ ��

� � �� � �� ��� � � � �� � �� ��

Page 144: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

��� ����� �� ������

: .�� � ��� � � + ( �� ��� �� � �������

(��� ��

�� � �� � ��

�� �

�� ��

�� � ��� � ��� � ��

���� � ��� �!� �� � �

� �

��� � ���� � �!� ��

+ �� �� �� �� ����� �� .�

: � � �= ��(� �� �

���� �!� ��

�� � ��

: � � �= ��(� �!� � �

���!� � �� �

�� �� = + ��� � �����=

� ��

� � �� � �� ��� �

�������

�� �� � � � �=

��

�� � �� � � ��

Page 145: Curso Basico de Variable Compleja - Lascurain

�����������

I�J ��7��� $� ;��� �� ;�� �������� �� '�&��� <���&����� *����= �����������

I�J P��� � �� &������ + &8�� P� ��K���� '�&��� 1&��� � =� ���� .�������� 0� ��= ������ ����= �55#�

���