curs2 conice
TRANSCRIPT
I
PAGE 2
CONICE2.1. Conice pe ecuaia general. Conice pe ecuaii reduse2.2. Invariani ortogonali. Centrul unei conice2.3. Reducerea la forma canonic a conicelor cu centru (( ( 0)2.4. Clasificarea conicelor cu centru
2.5. Reducerea la forma canonic a conicelor fr centru (( = 0)
2.1. Conice pe ecuaia general. Conice pe ecuaii reduseAm vzut n cursul anterior c dreapta n plan este o curb algebric de ordinul nti.Definiie. Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul k al distanelor la o dreapt fix (directoare) i un punct fix numit focar este constant se numete conic.
Dac k < 1 conica este de tip elips, dac k = 1 este de tip parabol, iar dac k > 1 conica este de tip hiperbol.
Fie un sistem de axe ortogonale xOy, M(x,y) un punct de pe conica (, ( : ax + by + c = 0 dreapta fix (directoarea), F(x0, y0) punctul fix (focarul) i d distana de la M la (.
innd seama de faptul c distana de la M(x, y) la dreapta ( : ax + by + c =0 este egal cu (
Dac notm cu:a11 = a2 + b2 k2a2a12 = abk2a22 = a2 + b2 k2b2a13 = a2x0 b2x0 ack2a23 = a2y0 b2y0 bck2a33 = , atunci ecuaia conicei ( este:
. (1)Conice pe ecuaii reduse
Cercul este locul geometric al punctelor egal deprtate de un punct fix numit centru C(a, b); r = raza cercului. Fie un punct M(x, y) ( C , atunci:
este ecuaia cercului de centru C(a, b) i de raz r.Observaie. NU Orice ecuaie de forma x2 + y2 + 2mx + 2ny +p = 0 reprezint un cerc.
ntr-adevr, ecuaia se mai poate scrie:
. Rezult c centrul cercului este C(m, n) i raza , dac
Conform unei definiii echivalente elipsa este locul geometric al punctelor cu proprietatea c suma distanelor la dou puncte fixe numite focare este constant.
Propoziie. ntr-un reper convenabil ales ecuaia elipsei este .
Fie punctele F(c, 0), F'(c, 0) i M(x, y).Conform definiiei elipsei avem:, adic
sau
sau
(( .Ridicnd la ptrat obinem:, adic:
.Notnd a2 c2 = b2,obinem b2x2 + a2y2 a2b2 =0 ( . Graficul se obine reprezentnd funciile .
Elipsa de ecuaie este elips imaginar. De asemenea, ntr-o definiie echivalent hiperbola este locul geometric al punctelor cu proprietatea c modulul diferenei distanelor la dou puncte fixe numite focare este constant.Propoziie. ntr-un reper convenabil ales ecuaia hiperbolei are forma:
, cu relaia: a2 + b2 = c2. Ecuaia hiperbolei se mai poate scrie: . Obinem asimptotele: .
Parabola este locul geometric al punctelor cu proprietatea c distana la un punct fix numit focar coincide cu distana la o dreapt fix numit directoare.ntr-un reper convenabil ales ecuaia este .
Transcriind avem:
,( ( y2 = 2px.
2.2. Invariani ortogonali. Centrul unei conice.Definiia 1. O expresie E(x, y) se numete invariant ortogonal dac rmne neschimbat n urma unei transformri ortogonale.Propoziie 1. Fie conica , dat de relaia (1).
Notm:
I = a11 + a22,
,
.Atunci I, (, ( sunt invariani ortogonali (la rotaii i translaii).
Demonstraie:Fie forma ptratic ((x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 i fie matricea sa n raport cu baza .Fie T : V2 V2 o transformare ortogonal. Fie matricea asociat lui ( n raport cu baza .Avem:
, adic ;
, adic .Cum pA = pA (polinomul caracteristic este invariant la schimbarea bazei), rezult c I = I', ( = ('.
De asemenea se poate arta c ( este invariant la rotaii. n plus, se poate arta c I, ( i ( sunt invariani la translaii.Definiia 2. Punctul M0(x0, y0) se numete centru de simetrie al unei conice dac orice dreapt care trece prin M0 intersecteaz conica n 2 puncte simetrice (fa de M0).
Dac un punct este pe conic i simetricul lui fa de centru este tot pe conic.
Propoziia 2. Fie f(x, y) = 0 conica dat de relaia (1). Originea O(0, 0) este centru de simetrie ( a13 = a23 = 0.Demonstraie:
M ( conicei ( , ( x, y (.M' ( conicei ( , ( x, y (.Atunci f(x, y) f(x, y) = 4a13x + 4a23y = 0, ( x, y ( a13 = 0, a23 = 0.
Propoziia 3. Fie conica f(x, y) = 0, dat de relaia (1). Atunci ( C(x0, y0) centru de simetrie ( ( ( 0, deci adic .
Facem translaia:
,adic .Dac f(x, y) = 0, s calculm f(x', y').Scriem formula Taylor pentru f(x, y) n C(x0, y0) (f este polinomial, deci indefinit derivabil):
.Dar f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a33y + a33 (
,
,
,
,
.Atunci:
Conform propoziiei 2, ntruct x' = 0, y' = 0 este centru de simetrie ( ,( (
.
(*)Sunt dou cazuri:
1. sistemul (*) are soluie unic.2. ( = 0, atunci avem fie:
rang = rang, deci atunci avem un sistem compatibil nedeterminat (conica are o infinitate de centre), fie: rang ( rang i atunci avem un sistem incompatibil (conica nu are centru de simetrie).
2.3. Reducerea la forma canonic a conicelor cu centru (( ( 0)Definiia 1. Fie conica f(x, y) = 0, dat de relaia (1), cu centrul ( ( 0. Conica este redus la forma sa canonic dac exist un reper cartezian n care conica are forma:(1X2 + (2Y2 + (3 = 0,
(2)cu (i ( , .Teorema 1 (Reducerea la forma canonic a conicelor cu centru). Fie conica f(x, y) = 0, dat de relaia (1), cu centrul n punctul C. Atunci dac a12 ( 0, exist o schimbare ortogonal de coordonate n plan, constnd dintr-o rotaie i translaie, n urma creia conica are forma canonic:
,unde (1 i (2 sunt rdinile ecuaiei:
(2 I( + ( = 0,
(3)iar I, (, ( sunt invarianii conicei. Cnd rdcinile sunt distincte, ele se aleg astfel nct:
((1 (2)a12 > 0 (rotaie a sistemului de coordonate de unghi , cu ).
Demonstraie: n centrul C(x0, y0) al conicei efectum o translaie a axelor de coordonate:
(vezi fig. 12.1)iar .
Fig. 2.1
ntruct C(x0, y0) este centrul conicei, conform Propoziiei 1, paragraful 2, obinem:
.
Pe de alt parte,
Rezult:
.Deci (x0, y0) verific sistemul:
.Conform teoremei lui Rouch, ntruct acest sistem este compatibil rezult c determinantul su caracteristic este nul:
(
( .Acum scopul nostru este de a anula coeficientul lui x'y'. Fie aplicaia liniar T : V2 V2 a crei matrice asociat n baza este:
;
matricea fiind simetric, rezult c T este autoadjunct i deci exist o baz ortonormat n spaiul euclidian V2, format din vectorii proprii ai lui T, deci
i ,
unde (1 i (2 sunt valorile proprii reale ai lui T, rdcinile ecuaiei caracteristice:
.
Fie forma ptratic definit prin :
.S gsim acum un sistem de coordonate Cx'y' n care s eliminm termenul x'y' n vederea oninerii formei canonice f1(X, Y) = (1X2 + (2Y2,unde , iar (1, (2 sunt rdcinile ecuaiei caracteristice.
Baza ortonormat este obinut din baza canonic printr-o rotaie de unghi
n jurul lui C astfel:
,
adic:
,sau
.Adunnd ecuatiile de mai sus obinem: ((1 (2)sin( cos( = a12 ( ((1 (2)a12 > 0 pentru (1 ( (2, ntruct .
2.4. Clasificarea conicelor cu centru
Fie ecuaia canonic a conicei:
.
(1)
Avem urmtoarele cazuri:
1) Dac ( > 0, conica este o elips. ntr-adevr, deoarece ( = (1 (2 , numerele (1 i (2 au acelai semn ntruct ( = (1 (2 > 0 . Mai mult, dac:
i) ( ( 0 conica este fie o elips (real), fie o elips imaginar.
ii) ( = 0 conica este o elips degenerat ntr-un punct (numai punctul X = 0, Y = 0 verific (1)).
2) Dac ( < 0, conica este o hiperbol, deoarece n acest caz numerele (1 i (2 au semne diferite ntruct ( = (1 (2 < 0. Mai mult, dac:
iii) ( ( 0 conica este o hiperbol.
iv) ( = 0 2X2 (2Y2 = 0, , ( ( , deci conica este o hiperbol degenerat n dou drepte ce trec prin originea axelor de coordonate, asimptotele hiperbolei.
Exemple
1) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica:
2x2 6xy + 10y2 8x + 12y + 2 = 0.
I. Invarianii
I = 12,
> 0 (conica este elips)
II. Centrul conicei C(x0, y0). Coordonatele acestuia se afl din:
sau
( .
Avem ( = 11 (
,
y0 = 0,
deci C(2, 0).
Avem .
(f(x0, y0) se obine din linia a 3-a a lui () (
( ( = ( f(x0, y0) = 11 6 = 66 ( 0 ( elipsa este nedegenerat.
ntruct I ( < 0, elipsa este real.
III. Translaia:
.
IV. Rotaia
Ecuaia caracteristic:
(2 I( + ( = 0, adic:
(2 12( + 11 = 0
( (1 = 11, (2 = 1 sau (1 = 1, (2 = 11.
Dar ( (1 (2 < 0 ( (1 = 1 i (2 = 11.Avem
( .
n formulele de rotaie:
avem de calculat sin i cos.
Calculul se face fie cu formulele:i,considerd,
fie din triunghiul dreptunghic:
n care cunoatem catetele (din) i aflm:
.
Formulele de rotaie devin:
V. Forma canonic este:
(1X2 + (2Y2 + = 0,
deci 1 X2 + 11Y2 6 = 0 | : 6 (
.
Avem semiaxele:
a2 = 6 (
(
Rototranslaia este dat de:
VI. Axele conicei (CX, CY) au respectiv ecuaiile:
(CX): y y0 = tg((x x0)
(CY): y y0 =
(
VII. Intersecia cu axele Ox, Oy
:y = 0 i obinem:
2x2 8x + 2 = 0 ( x2 4x + 1 = 0 (
Obinem deci punctele de intersecie:
.
:x = 0 i obinem:
10y2 + 12y + 2 = 0 ( 5y2 + 6y + 1 = 0 (
y1 = 1
i obinem punctele de intersecie:
D(0, 1),
.
2) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica.
6xy + 8y2 12x 26y + 11 = 0
I. Invarianii
I = 8,
< 0 (conica este o hiperbol)
II. Centrul conicei C(x0, y0)
(
( C(1, 2)
f(x', y') = 6x'y' + 8y'2 9 = 0 (hiperbola este nedegenerat)III. Rotaia
Ecuaia caracteristic:
(2 I( + = 0, adic:
(2 8( 9 = 0, deci
(1,2 = 9, 1
( (1 (2 > 0 ( (1 = 9 i (2 = 1.
Avem
(
Calculm .
IV. Rototranslaia:
V. Axele conicei (CX, CY)
(X): y 2 = tg((x + 1)
y 2 = 3(x + 1)
(Y): y 2 =
VI. Forma canonic
9X2 1Y2 9 = 0 | : 9
(
Semiaxele sunt:
a2 = 1( a = 1,
b2 = 9( b = 3.
:y = 0 (
12x2 + 11 = 0 (
i obinem punctul de intersecie:
.
:x = 0(
8y2 26y + 11 = 0 ( ( = 262 4 8 11 = 4(132 88) = 4 81
y1 =
i obinem punctele de intersecie:
,
2.5 Reducerea la forma canonic a conicelor fr centru
Definiia 1. Fie conica de ecuaie f(x) = 0, fr centru, (( = 0) dat de relaia (1), Cursul 11, paragraful 1. Conica este redus la forma canonic dac exist un reper cartezian n care conica are forma:
(1Y2 + (2X = 0 cu (1, (2 ( .
Teorema 1. (reducerea la forma canonic a conicelor fr centru).
Exist o schimbare de coordonate n plan n care conica are forma canonic:
.
Aceast ecuaie definete fie o parabol, fie o pereche de drepte (parabol degenerat).
Demonstraie: Fie forma ptratic , definit prin:
f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.
Fie rotaia de unghi ( n jurul originii, n urma creia forma ptratic ia forma:
,
unde (1 i (2 sunt rdcinile ecuaiei caracteristice:
(2 I( + ( = 0. (3)
Formulele de schimbarea a coordonatelor sunt:
ntruct ( = (1(2 = 0 ( (1 = 0 sau (2 = 0.
Fie de exemplu, (1 = 0 i (2 = I (vezi relaia (3)).
innd seama de formulele de schimbare a coordonatelor n ecuaia conicei, obinem:
(4)
unde:
(5)
ntruct
(1 = 0 ( tg( =
(6)
i rang A = 2 ( (dac ( a11a23 = a12a13 ( rang A = 1).
n aceste condiii (4) se rescrie:
(7)
cu .
Considerm translaia:
Ecuaia conicei devine:
(8)
Din relaia (6) obinem:
.
Avem, de asemenea:
ntruct ( = 0 ( a11a22 = , avem:
a11( = (a11a23 a12a13)2 (( .
n aceste condiii (8) devine:
,
ceea ce reprezint forma canonic a conicei fr centru.
Dac , ecuaia (4) devine:
care reprezint fie dou drepte paralele, fie dou drepte confundate sau nu definesc nici o figur geometric n plan.
Deci dac , (adic ( = 0), ecuaia (4) definete o parabol degenerat.
Exemple
3) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica:
4x2 4xy + y2 2x 14y + 7 = 0.
I. Invarianii
I = 5,
(conica este o parabol)
II. Rotaia
Ecuaiile caracteristice:
(
(
III. Translaia
Avem vrful: V(x0, y0),
axa: ,
adic 4(8x 4y 2) 2(4x + 2y 14) = 0 (
40x 20y + 20 = 0 (
2x y +1 = 0.
IV. Intersecia axei cu parabola ( vrful parabolei V(x0, y0)
Introducem ecuaia axei: y = 2x + 1 n ecuaia parabolei i obinem:
4x2 4x(2x + 1) + (2x + 1)2 2x 14(2x + 1) + 7 = 0 (
30x 6 = 0.
Obinem deci coordonatele vrfului:
y0 = 2 x0 + 1
,
deci .
V. Rototranslaia:
VI. Forma canonic:
y2 = 2pxcu
(
VII. Intersecia cu axele:
:y = 0 (
4x2 2x + 7 = 0 ( nu intersecteaz axa Ox.
:x = 0 (
y2 14y + 7 = 0 ( ( = 142 4 7 = 4(49 7) = 42
y1 =
Axa (Y) are ecuaia: ,
iar ecuaia canonica a parabolei devine pentru p > 0
.
4) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica:
(x + 3y)2 + 2x + 6y 3 = 0
I = 10,
(conica este o parabol)
Ecuaia se mai scrie: (x + 3y)2 + 2(x + 3y) 3 = 0.
Notm t = x + 3y i obinem:
t2 + 2t 3 = 0 (
(
t1 = 3, t2 = 1.
Deci (t 1)(t + 3) = 0, adic
(x + 3y 1)(x + 3y + 3) = 0
ceea ce reprezint o parabol degenerat n dou drepte confundate.x
x
x
M(x0,y0)
x
y
(()
F(x0,y0)
M(x,y)
d
x
y
x
y
M2
M1
O(0,0)
M'(x,y)
M(x,y)
C(x0,y0)
x'
x0
y'
O(0,0)
y0
x
x
M(x,y)
x
y
(
(
x'
y'
X
Y
C
x
y
O
F '
F
M
x
y
x
x
(a,0)
x
(a,0)
(a,0)
(0,b)
(0,b)
O
y
(a,0)
F(c,0)
F(c,0)
O
x
y
M(x,y)
x
F(p/2,0)
F(p/2,0)
O
x
y
1
3
(
EMBED Equation.DSMT4
x
y
X
Y
y'
C(2,0)
B(2+ EMBED Equation.DSMT4 ,0)
D(0,1)
(0,3/2)
M(0,1/5)
(0,5)
1
3
(
EMBED Equation.DSMT4
x'
y'
x
y
X
Y
O
E'(0,5)
B(0,11/4)
F'(0,5/3)
D(0,1/2)
2
1
C(1,2)
E(5/3,0)
A(11/12,0)
F(5,0)
0
X
x
y
Y
-1/5
3/5
V
A(2- EMBED Equation.DSMT4 ,0)
_1243057754.unknown
_1245562321.unknown
_1265199817.unknown
_1265214770.unknown
_1330412903.unknown
_1330414411.unknown
_1353826935.unknown
_1330415733.unknown
_1330414390.unknown
_1329813574.unknown
_1330249288.unknown
_1330406005.unknown
_1329815424.unknown
_1265216163.unknown
_1265216526.unknown
_1265216547.unknown
_1265216471.unknown
_1265214845.unknown
_1265200211.unknown
_1265210994.unknown
_1265211445.unknown
_1265210898.unknown
_1265199875.unknown
_1265199969.unknown
_1265199833.unknown
_1245563168.unknown
_1255241369.unknown
_1258364874.unknown
_1259526045.unknown
_1261569399.unknown
_1258372024.unknown
_1258372063.unknown
_1258365445.unknown
_1255241589.unknown
_1255241601.unknown
_1255241490.unknown
_1245563295.unknown
_1246342502.unknown
_1255241237.unknown
_1245571053.unknown
_1245563223.unknown
_1245562466.unknown
_1245562710.unknown
_1245562982.unknown
_1245562610.unknown
_1245562351.unknown
_1245562409.unknown
_1245562330.unknown
_1243059327.unknown
_1244355197.unknown
_1244355705.unknown
_1245561980.unknown
_1245562103.unknown
_1245562235.unknown
_1244356161.unknown
_1244356235.unknown
_1244356019.unknown
_1244355239.unknown
_1244355433.unknown
_1244355213.unknown
_1243070299.unknown
_1244354457.unknown
_1244354761.unknown
_1244355111.unknown
_1244354465.unknown
_1243070659.unknown
_1243070870.unknown
_1243071033.unknown
_1243071185.unknown
_1244354352.unknown
_1243071236.unknown
_1243071099.unknown
_1243070926.unknown
_1243070774.unknown
_1243070794.unknown
_1243070703.unknown
_1243070423.unknown
_1243070551.unknown
_1243070352.unknown
_1243061866.unknown
_1243069830.unknown
_1243070161.unknown
_1243070257.unknown
_1243070112.unknown
_1243069619.unknown
_1243069717.unknown
_1243062144.unknown
_1243059425.unknown
_1243059701.unknown
_1243059790.unknown
_1243059544.unknown
_1243059667.unknown
_1243059373.unknown
_1243058842.unknown
_1243059089.unknown
_1243059208.unknown
_1243059268.unknown
_1243059171.unknown
_1243058980.unknown
_1243059065.unknown
_1243058935.unknown
_1243058208.unknown
_1243058647.unknown
_1243058702.unknown
_1243058429.unknown
_1243057907.unknown
_1243058161.unknown
_1243057767.unknown
_1242200798.unknown
_1242202293.unknown
_1242453527.unknown
_1242454390.unknown
_1242813988.unknown
_1242814392.unknown
_1242816010.unknown
_1242814311.unknown
_1242454874.unknown
_1242455016.unknown
_1242455353.unknown
_1242810991.unknown
_1242455468.unknown
_1242455180.unknown
_1242454932.unknown
_1242454982.unknown
_1242454901.unknown
_1242454561.unknown
_1242454846.unknown
_1242454524.unknown
_1242453876.unknown
_1242454316.unknown
_1242454335.unknown
_1242454270.unknown
_1242453597.unknown
_1242453690.unknown
_1242453567.unknown
_1242452731.unknown
_1242452805.unknown
_1242453254.unknown
_1242452748.unknown
_1242452534.unknown
_1242452700.unknown
_1242452505.unknown
_1242201505.unknown
_1242201821.unknown
_1242202074.unknown
_1242202180.unknown
_1242202044.unknown
_1242201558.unknown
_1242201629.unknown
_1242201528.unknown
_1242201008.unknown
_1242201042.unknown
_1242201320.unknown
_1242201342.unknown
_1242201088.unknown
_1242200860.unknown
_1242200877.unknown
_1242200930.unknown
_1242200835.unknown
_1242199090.unknown
_1242200074.unknown
_1242200452.unknown
_1242200645.unknown
_1242200739.unknown
_1242200617.unknown
_1242200393.unknown
_1242200406.unknown
_1242200359.unknown
_1242199938.unknown
_1242200019.unknown
_1242200057.unknown
_1242199997.unknown
_1242199814.unknown
_1242199885.unknown
_1242199180.unknown
_1241505626.unknown
_1241505774.unknown
_1242195757.unknown
_1242198960.unknown
_1242195635.unknown
_1241505740.unknown
_1241505756.unknown
_1241505726.unknown
_1236419127.unknown
_1236489089.unknown
_1241503258.unknown
_1241503276.unknown
_1241504810.unknown
_1236489239.unknown
_1236489720.unknown
_1236489542.unknown
_1236489147.unknown
_1236488058.unknown
_1236488090.unknown
_1236419673.unknown
_1236417855.unknown
_1236418726.unknown
_1236419042.unknown
_1236417769.unknown