1

Curs nr. 1

Teorema impulsului şi aplicaţii

pag. 220

Utilitate: permite obţinerea unor relaţii pe suprafaţa care delimitează domeniul mişcării, fără a finecesară cunoaşterea în detaliu a mişcării fiecărei particule din interiorul domeniului. Deexemplu: calculul forţelor care acţionează pe palele unei turbine, pe pereţii rigizi ai unui tub decurent, determinarea pierderilor de sarcină locale, etc.

Ce este impulsul ?

Teorema lui d'Alembert din mecanica teoretică ...

Demonstraţia nu se cere.

Schema de aplicare a teoremei impulsului:

Forma vectorială a teoremei impulsului:

0IIRFFG 21C21 =−+++++ )(!!!!!!

(1)în care:

G - greutatea masei de fluid din interiorul suprafeţei de controlF1, F2 - forţele de presiune pe suprafaţa de intrare, respectiv ieşireI1, I2 - forţele de impuls prin suprafaţa de intrare, respectiv ieşireRC - reacţiunea conturului solid

Expresia forţei de impuls:QVI βρ=

în care:β - coef. de neuniformitate a vitezelor în secţiune... vezi semestrul 1ρ - densitatea fluiduluiQ - debitul volumicV - viteza medie în secţiune

2

Observaţii:-ecuaţia vectorială (1) trebuie proiectată pe o axă sau pe un sistem de axe convenabil ales. Atenţie lasemnul MINUS din faţa vectorului I2 !!-ecuaţia vectorială (1) este folosită în principal pentru determinarea mărimii lui RC - reacţiuneaconturului solid. Punctul de aplicaţie al acestei forţe se determină cu ajutorul unei alte ecuaţii: oecuaţie de moment a forţelor din (1) în raport cu un punct arbitrar din spaţiu (aşa-numita ecuaţie amomentului cinetic).

Aplicaţia 1 : Reacţiunea opusă de pereţii unei conducterectilinii la mişcarea uniformă a fluidului

După aplicarea teoremei impulsului şi a ec. lui Bernoulli se ajunge la expresia rhAR ⋅⋅γ=Se adaugă expresia reacţiunii R în funcţie de efortul tangenţial mediu la perete 0τ şi se ajunge înfinal la relaţia :

JR h0 ⋅⋅γ=τ (2)în care: γ - greutatea specifică a fluidului

Rh - raza hidraulică a conductei J - panta hidraulică (uneori notată şi cu i, I sau j)

De reţinut interdependenţa dintre mărimile din relaţia (2).

Aplicaţia 2 : Problema 4 din Seminarul 1

3

Curs nr. 2

Calculul pierderilor de sarcină ( I )

pag. 270

Disiparea energiei în lungul unui curent de fluid real, cf. ec. lui Bernoulli: r21 hHH +=Se doreşte determinarea pierderilor de sarcină hr.

Pierderile de sarcină pot fi de 2 tipuri : distribuite (liniare) şi locale. De reţinut deosebirea dintre ele.

Pierderea de sarcină totală rezultă din însumarea celor 2 tipuri de pierderi de sarcină: ldr hhh +=

Pierderi de sarcină distribuite

a) Determinarea pe cale experimentală: ce cuprinde instalaţia ...

Din aplicarea legii lui Bernoulli rezultă relaţia BAAB PPd HHh −= , deci în cazul mişcării uniforme

în conducte sub presiune, pierderea de sarcină (liniară evident) care se produce între 2 secţiuni alecurentului, este egală cu diferenţa dintre cotele piezometrice din cele 2 secţiuni.

b) Factorii care influenţează pierderile de sarcină liniare:

-lungimea curentului: vezi relaţia cu panta hidraulică-raza hidraulică: pt. o arie a secţiunii dată, dacă Rh creşte, atunci hd scade.-viteza medie V a curentului: de reţinut dependenţele cu regimul de mişcare-natura fluidului (prin ρ şi υ )-natura pereţilor conductei: rugozitatea. Cum variază rugozitatea în timp la diverse materiale?Diferenţa dintre rugozitatea naturală (aspră sau ondulată) şi rugozitatea artificială...Rugozitatea absolută k ... rugozitatea relativă k/D.

c) Relaţii generale de calcul pentru pierderile de sarcină:

Pe baza analizei dimensionale rezultă relaţia: g

VD

J2

2

⋅= λ (Darcy-Weissbach)

în care:J – panta hidraulicăλ – coeficient de rezistenţă hidraulicăD – diametrul interior al conducteiV – viteza medie a fluidului

Ca urmare, pierderile de sarcină distribuite pentru o conductă de lungime “l” se vor calcula cu

formula lg

VD

lJhd ⋅⋅=⋅=2

2λ

Alternativ, se poate folosi şi o altă modalitate de calcul, bazată pe relaţia lui Chézy :JRCV h ⋅⋅=

în care:V – viteza medie a fluiduluiC – coeficientul lui Chézy ; se măsoară în m0,5/s

4

Rh – raza hidraulică a conducteiJ – panta hidraulică

Se obţine formula de calcul (Chézy) a pierderilor de sarcină distribuite: lRC

Vhh

d ⋅⋅

= 2

2

Evident, se poate deduce legătura care există între coeficienţii λ şi C.

În practică, pentru curgerea sub presiune este folosită de obicei relaţia Darcy-Weissbach.

Ţinând cont de ecuaţia de continuitate, formula pierderilor de sarcină distribuite (Darcy) se poateexprima în funcţie de debit, astfel:

2QMh dd ⋅=în care Md este modulul de rezistenţă hidraulică liniară, având ca unitate de măsură s2/m5.

Această mărime are expresia lDgAD

l ⋅⋅≅⋅⋅ 52 0826.02

1 λλ

O altă mărime care poate fi definită (pe baza relaţiei lui Chézy de această dată) este modulul dedebit hRACK ⋅⋅= , astfel că formula lui hd se poate scrie şi sub forma:

lKQhd ⋅= 2

2

Modulul de debit K are ca unitate de măsură m3/s.

5

Curs nr. 3

Calculul pierderilor de sarcină ( II )

pag. 277

Analiza interdependenţei dintre coeficientul λ, rugozitate şi regimul de mişcare

Această dependenţă poate fi pusă în evidenţă de analiza dimensională. Fenomenul este complex, iarlegătura funcţională dintre mărimile λ, Δ/D şi Re au fost stabilite după numeroase studii teoretice şide laborator.Pentru regimul laminar, λ are o formulă general valabilă, determinată pe cale teoretică (Hagen şiPoiseuille), care concordă cu rezultatele experimentale.Pentru regimul turbulent nu s-a putut stabili o relaţie general valabilă pentru calculul lui λ,formulele existente în literatura de specialitate fiind stabilite în general pe cale experimentală.Nicuradse şi Moody au contribuţii importante aici (vezi diagramele cu cele 4 zone). Ambii au făcutteste pe conducte cilindrice sub presiune, dar Nicuradse a folosit rugozitatea granulară, iar Moodyrugozitatea naturală.

Există 4 zone distincte de mişcare (curgere):

ZONA 1: Regim laminar, Re<2300. Dependenţa este de tipul

=

D

fRe

1λ

Deci pierderea de energie este datorată doar vâscozităţii fluidului (prin Re) şi nu depinde deloc derugozitatea relativă.

Urmează o zonă de tranziţie (2300<Re<4000) spre regim turbulent, cu acelaşi tip de dependenţă,dar după o lege mult mai complexă.

Se ajunge apoi în regim turbulent, unde sunt puse în evidenţă celelalte 3 zone, funcţie de raportuldintre rugozitatea absolută k şi grosimea filmului laminar δ1 (remember pag. 159, unde era numitδ0).Fig. 6.17 este foarte sugestivă în înţelegerea modului în care au fost denumite cele 3 tipuri de regimturbulent.

ZONA 2: Regim turbulent neted, δ1>k, cu domeniul pentru Reynolds : 4000<Re<23kD .

Dependenţa este tot de tipul

=

D

fRe

1λ

ZONA 3: Regim turbulent prepatratic, δ1≈k, cu domeniul pentru Reynolds : 23kD <Re<560

kD

Dependenţa este de tipul

=

Dkf

D

,Re

1λ , deci contează şi rugozitatea.

ZONA 4: Regim turbulent patratic (rugos), δ1<k, cu domeniul pentru Reynolds : Re>560kD

Dependenţa este de tipul

=

Dkfλ , deci influenţa vâscozităţii este practic inexistentă.

Aici, pierderile de sarcină sunt clar proporţionale cu patratul vitezei medii a curentului, căci λ numai depinde de Re, care la rândul său se calcula pe baza vitezei medii V.

6

Formule pentru calculul coeficientului λ:

Cele mai folosite relaţii din literatura de specialitate (există zeci de formule!):

ZONA1

Regimlaminar

Hagen-PoiseuilleRe64=λ

Blasius4 Re100

1⋅

=λ , valabilă dacă 4000<Re<100000

Konakov( )25.1lg(Re)8.1

1−⋅

=λ

ZONA2

Regimturbulentneted

Prandtl-Nicuradse ( ) 8.0Relg21 −⋅= λλ

Altşul 25.0

Re6811.0

+⋅=

Dkλ

ZONA3

Regimturbulentprepatratic(mixt) Colebrook-White

⋅+⋅⋅−=

Dk

71.31

Re51.2lg21

λλPrandtl-Nicuradse

⋅−=

Dklg214.11

λZONA

4Regimturbulentrugos Şevelev 8 formule pentru conducte de oţel şi fontă, funcţie

de modul de îmbinare şi durata de exploatare

Obs.: În formule s-a folosit criteriul Reynolds calculat pe baza diametrului interior, deci DRe .

Formule pentru calculul coeficientului C

Coeficientul C se foloseşte mai ales pentru mişcarea cu suprafaţă liberă.Din multitudinea de formule propuse în literatura de specialitate (pag. 285), frecvent folosită esterelaţia dată de Manning:

611hR

nC ⋅=

unde n este un coeficient de rugozitate, specific materialului conductei.

Plecând de la formula dată de Chézy pentru calculul vitezei, debitul se calculează cu relaţia:JKJRCAVAQ h ⋅=⋅⋅⋅=⋅=

unde K este modulul de debit (vezi cursul anterior).

Dacă în locul lui C introducem expresia propusă de Manning, se obţine relaţia de calcul a debitului:

AJRn

Q h ⋅⋅⋅= 21

321

relaţie care va fi folosită la calculul mişcării cu suprafaţă liberă.

Aplicaţii : Problemele 5 şi 6 din Seminarul 2

7

Curs nr. 4

Calculul pierderilor de sarcină ( III )

pag. 287Pierderi de sarcină locale

Ce reprezintă pierderile de sarcină locale şi unde se întâlnesc…

Relaţia de calcul a pierderilor de sarcină locale: g

Vh ll 2

2

⋅= ξ

în care:ξ l – coeficient adimensional de pierdere de sarcină localăV – viteza medie a fluidului (de obicei imediat aval de obstacol)

De cine depinde ξ l ….Valorile acestui coeficient se determină aproape în totalitate pe cale experimentală.

Totuşi, un caz în care ξ l se poate determina pe cale teoretică este lărgirea bruscă de secţiune.

Se obţine relaţia Borda-Carnot: ( )g

VAA

gVVhl 2

12

22

2

1

22

21 ⋅

−=

−= deci

2

1

2 1

−=

AA

lξ

Intrarea într-un rezervor de mari dimensiuni: pierderea de sarcină locală este egală cu energiacinetică a fluidului, deci ξ l = α

Lărgirea treptată de secţiune (difuzor): pierderea de sarcină locală este mai mică decât în cazullărgirii bruşte de secţiune, funcţie de unghiul θ (vezi nomograma).

Îngustarea bruscă de secţiune: apar vârtejuri, apă moartă şi o contracţie a curentului (vezi fig. 6.21).S-a constatat experimental că pierderea de sarcină locală este egală cu jumătate din cea care s-ar

produce la o lărgire corespunzătoare de secţiune (la curgere inversă). Deci 2

1

2 15.0

−⋅=

AA

lξ

Îngustarea treptată de secţiune (confuzor): pierderi mici de energie, ξ l = 0.005…0.006

Intrare din rezervor în conductă: ξ l depinde de modul de realizare a racordului (fig. 6.23)

Curbe şi coturi: vezi fig. 6.24, zonele de vârtejuri şi curenţii transversali, dublu elicoidali…ξ l se calculează cu formula lui Weissbach, în funcţie de unghiul de racordare al curbei, diametrulconductei şi raza de curbură.

Ramificaţii: ξ l depinde de numeroşi factori cum ar fi configuraţia geometrică, sensul de curgere,raportul debitelor, numărul Reynolds. Se ia din nomograme sau tabele.

Vane şi robineţi: ξ l depinde de tipul constructiv, de gradul de deschidere şi de fineţea prelucrării(rugozitate). Se ia din nomograme sau tabele.

Alte rezistenţe locale: sorburi, clapete, mufe, grătare, apometre, diafragme, etc. Valoarea lui ξ l se iadin nomograme sau tabele.

8

Mişcarea laminară a fluidelor în conducte circulare

pag. 293

Unde apare acest tip de curgere…

Obs: formulele din acest capitol trebuie cunoscute doar “calitativ”, în sensul dependenţelor careexistă între mărimi !

A. Legea de distribuţie a vitezelor în conducteFig. 6.26 ilustrează distribuţia lui v şi τLegea de distribuţie a vitezelor este o parabolă de gr. II, viteza maximă fiind în axul conductei.Viteza relativă v/vmax depinde doar de poziţia relativă r/ro şi nu depinde de dimensiunile absolute aleconductei sau de natura fluidului.

B. Legea de distribuţie a eforturilor unitare tangenţialeDistribuţia eforturilor unitare este liniară şi nu depinde de dimensiunile absolute ale conductei saude natura fluidului. Eforturile unitare tangenţiale variază proporţional cu raza conductei

C. Debitul şi viteza medie în mişcarea laminară în conducte circulareDebitul este dat de relaţia 6.97, variază proporţional cu puterea a patra a razei conductei.Viteza medie din secţiunea unei conducte circulare este egală cu jumătatea vitezei maxime din axulconductei.

D. Pierderi de sarcină liniare, determinarea lui λPrin aplicarea legii lui Bernoulli şi a formulelor determinate la pct. C, se ajunge direct la o expresiepentru hd, din care, ţinând cont de formula Darcy, se deduce valoarea lui λ…

până la pag. 298

9

Curs nr. 5

Calculul sistemelor hidraulice sub presiune în regim permanent

pag. 307

GeneralităţiDefiniţia unui sistem hidraulic…şi apoi exemple din domeniul instalaţiilor…Caracteristicile mişcării fluidelor în sistemele hidrauliceInst. hidraulice se calculează aproape întotdeauna în ipoteza mişcării permanente, uniforme şiturbulente, iar la celelalte tipuri de mişcări se face numai o verificare a instalaţiilor, dacă este cazul.Caracterizarea sistemelor hidraulice sub presiune-mărimi geometrice: diametrele di ale tronsoanelor, lungimile li ale tronsoanelor, configuraţiaspaţială, cotele geodezice zi ale nodurilor-mărimi hidraulice: debitul Q şi sarcina Hvezi fig. 7.1: schema unui sistem hidraulicTipuri de probleme care pot să apară:-de verificare: a) se cere Q dacă se cunosc caracteristicile geometrice şi sarcina H

b) se cere H dacă se cunosc caracteristicile geometrice şi debitul Q-de dimensionare: se cere determinarea diametrelor conductelor instalaţiei, dacă se cunosc Q şi H şicelelalte caracteristici geometrice ale sistemului.Ecuaţii disponibile: ecuaţia de continuitate şi ecuaţia energiei.Clasificarea sistemelor hidraulice-funcţie de lungime: lungi, scurte, localeSistem hidraulic lung: cel la care termenii cinetici din ec. lui Bernoulli pot fi neglijaţi, iar pierderilelocale sunt neglijabile în raport cu cele distribuite (rezultatul obţinut cu o astfel de ecuaţiesimplificată nefiind cu mai mult de 2% diferit faţă de cel obţinut din ec. completă). Practic,sistemele se consideră lungi dacă au o lungime mai mare de 100 m.Sistem hidraulic local: cel la care pierderile de sarcină distribuite se pot neglija în raport cupierderile de sarcină locale.-funcţie de nr. şi modul de legare al conductelor: simple, serie, paralel, mixt-funcţie de materialul conductelor: fontă, oţel, azbociment, mat. plastice, etc.

Calculul sistemelor hidraulice scurte

Fig. 7.2 indică elementele componente ale unui astfel de sistem, împreună cu informaţii referitoarela modul de trasare al liniilor caracteristice: linia piezometrică, respectiv linia energetică (rememberpag. 180,188,191…)Ca exemplu de calcul, se presupune necunoscut debitul Q al sistemului şi se scrie ec. lui Bernoulliîntre secţiunile de intrare şi ieşire. După însumarea pierderilor de sarcină liniare şi locale pe toatetronsoanele (cond. legate în serie), se exprimă din ecuaţia de continuitate vitezele pe fiecare tronsonîn funcţie de viteza de pe tronsonul de ieşire din sistem (Vn =: V). Astfel, pierderile de presiune potfi calculate pe baza unui aşa-numit ξ* - coeficient de rezistenţă hidraulică redus la secţiunea deieşire din sistemul hidraulic.Folosind notaţia 7.17 se ajunge la o mărime deja cunoscută: M – modulul de rezistenţă hidraulică alsistemului (vezi pag.277).Deci pierderile de presiune se pot calcula cu ajutorul formulelor 7.18,7.19 şi 7.20.Urmează exprimarea vitezei V şi în final stabilirea unei formule generale (de principiu) pentrudebitul Q.OBS: La rezolvarea de probleme, nu este neapărat necesar să se folosească aceste mărimi ξ*, Md,Ml. Ele reprezintă nişte notaţii convenabile care ajută la simplificarea scrierii unor relaţii. Implicitînglobează coeficienţi de tip λ sau ξ care trebuie determinaţi.

10

Calculul conductelor sifon

Ce este o conductă sifon? Vezi fig. 7.3Ce înseamnă amorsarea sifonului…În interiorul unei conducte sifon, presiunea este mai mică decât cea atmosferică !Sunt create deci condiţii pentru apariţia fenomenului degajării gazelor dizolvate în lichid, gaze carese pot acumula în zona cea mai înaltă a sifonului, formând o pungă (cu gaze şi vapori), care poateîntrerupe funcţionarea sifonului.Conducta sifon se calculează ca o conductă scurtă, deci fără dificultate se ajunge la relaţia 7.26 pebaza ec. lui Bernoulli.

Problema specială care se pune în cazul acestor conducte sifon : calculul lui hs – înălţimea sifonului.

hs se exprimă scriind ec. lui Bernoulli între nivelul liber al rezervorului superior şi secţiunea cea maiînaltă a sifonului (n-n), punând şi condiţia pn>pv (ca să nu apară fenomenul degajării de gaze).Rezultă inegalitatea 7.28, care arată că valoarea lui hs este limitată superior, altfel sifonul nu maifuncţionează corespunzător.Fig. 7.4 ilustrează diverse cazuri de sifonare între 2 rezervoare.

Calculul conductelor simple

Cond. simplă: un singur fir, fără ramificaţii, d=const., Q=const.Dacă conducta simplă este lungă (vezi fig. 7.5), calculul este şi mai simplu, deoarece nu se iau înconsiderare termenii cinetici din ec. energiei şi se neglijează pierderile de sarcină locale, liniapiezometrică suprapunându-se cu linia energetică.Se poate utiliza atât formula 7.29 bazată pe λ (Darcy), cât şi formula 7.30 bazată pe C (Chézy).Problemele care apar sunt cele deja cunoscute, de verificare, respectiv dimensionare.

Calculul conductelor montate în serie

Fig. 7.6Sarcina sistemului este egală cu suma pierderilor de sarcină pe conductele legate în serie.Un sistem hidraulic alcătuit din conducte montate în serie se calculează ca o conductă simplă alcărei modul de rezistenţă este egal cu suma modulelor de rezistenţă ale tronsoanelor care o compun.

Calculul conductelor montate în paralel

Fig. 7.7Pierderile de sarcină pe conducte legate în paralel trebuie să fie aceleaşi.Pentru calculul debitelor, este necesară şi ecuaţia de continuitate în noduri.

Calculul conductelor având consum uniform distribuit în lungul lor

Fig. 7.8Este vorba de situaţia întâlnită pe conductele de distribuţie (care alimentează consumatorii), decidebitul scade continuu în lungul lor.Se poate scrie ecuaţia de continuitate: Q-Qc=Qtîn care:

Q – debitul care intră în nodul 1Qc – debitul consumat pe tronsonul 1-2Qt – debitul de tranzit, care iese din nodul 2 şi care pleacă mai departe (tranzitează)

Se evaluează pierderile de presiune pe tronson şi expresia lor se pune sub forma MQf2, în care Qf

este un debit fictiv (ca şi cum ar fi constant în lungul tronsonului).

11

Rezultă expresia acestui debit fictiv, de forma: CCCf QQQQQQQ ⋅−≈⋅+⋅−=21

31 22

Aproximaţia matematică făcută este foarte convenabilă deoarece are un sens fizic, şi anume: debitulde calcul (fictiv, constant) al tronsonului rezultă ca şi cum jumătate din debitul consumat pe tronsons-ar consuma în nodul de intrare (1).Altfel spus: pentru calcule, debitul ce se consumă în mod uniform în lungul unei conducte poate ficonsiderat că se consumă concentrat, în mod egal, în cele 2 noduri de la capetele conductei.Ca urmare, conducta cu consum uniform distribuit se înlocuieşte cu o conductă simplă, care se

calculează la un debit de calcul 2212

Ct

C QQQQQ +=−=

Aplicaţie : Problema 4 din Seminarul 3

12

Curs nr. 6

Calculul reţelelor de conducte

pag. 325

Definiţia reţelelor de conducte.

Clasificare (ramificate, inelare).

Deosebirea dintre cele 2 tipuri de reţele (avantaje/dezavantaje).

Debitul consumat presupus uniform distribuit se transformă în debit concentrat în extremităţileconductei, astfel că o conductă se va calcula la debitul de tranzit + jumătate din debitul consumat petronson.

Ordine în evidenţa calculelor : notarea uzuală a nodurilor prin cifre arabe => caracterizarea unuitronson prin mărimile lij, dij, hij, Jij, Qij (debitul de calcul al tronsonului ij).

Date cunoscute pentru calcul:-forma generală a reţelei, adică lungimile tronsoanelor, cotele geodezice ale nodurilor şiconfiguraţia în spaţiu;-presiunile de serviciu (minime necesare în noduri);-debitele ce se consumă pe fiecare tronson de reţea.

Există 2 tipuri de probleme:A) DE VERIFICARE : se cunoaşte şi diametrul conductelor• se cere să se verifice dacă presiunea minimă în fiecare nod este asigurată (sau dacă sarcina

la pompe este suficientă) SAU invers• se cunoaşte presiunea de intrare în reţea şi presiunile în noduri şi se cere să se verifice dacă

reţeaua poate transporta debitele necesare pe tronsoane.B) DE DIMENSIONARE : se cunosc presiunile şi debitele şi este necesară determinarea

diametrelor conductelor. Această problemă este în general nedeterminată dpdv hidraulic.Se impune introducerea unor noi relaţii/condiţii, de exemplu de tip viteză economică.

Pentru rezolvare se pot aplica ecuaţiile cunoscute deja : ec. energiei şi ec. de continuitate.

Calculul reţelelor ramificate

Etape recomandate:

-se calculează debitele care se consumă pe fiecare tronson Qc ij

-se determină debitele Qj în noduri : ∑= ijcj QQ21

-se determină debitele de calcul Qij pentru fiecare tronson : tjjij QQQ +=unde Qtj este debitul de tranzit prin nodul j.-se determină pierderile de sarcină hij pe fiecare tronson de conductă : 2

ijijij QMh ⋅=

Probleme de VERIFICARE:

13

-se însumează pierderile de sarcină pe diferite trasee posibile (plecând de la nodurile extreme) şi severifică în fiecare nod dacă cota piezometrică este mai mare sau cel puţin egală cu presiunea de

serviciu + cota geodezică a nodului:γ

isii

pzH +≥

Cotele piezometrice în nodurile reţelei se determină cu ajutorul ec. lui Bernoulli, care se aplică pefiecare tronson, pornind de la nodurile extreme şi mergând în sens invers curgerii.Valoarea cea mai mare a lui Hi (calculată de pe diferite trasee posibile) este adoptată şi folosită maideparte în calcule, având grijă să se respecte inegalitatea precizată anterior.Din aproape în aproape se ajunge la staţia de pompare, unde valoarea H obţinută este capabilă săsatisfacă în toate nodurile reţelei presiuni ≥ cu cele de seviciu.

O altă problemă posibilă de verificare se referă la debite. Se dă cota piezometrică la intrare în reţeaşi presiunile de serviciu în fiecare nod şi se cere să se verifice dacă reţeaua poate transporta debitelenecesare. Problema este mai complicată dpdv matematic, întrucât necunoscutele Q apar la puterea a2-a în ecuaţia energiei.Dacă în urma calculului debitele diferă faţă de cele necesare, se va opera modificarea unor diametreşi se va echilibra reţeaua (implicit sa va reface calculul de verificare de câte ori este necesar !).

Probleme de DIMENSIONARE:

Necunoscutele sunt diametrele. Calculul se dezvoltă uzual în paralel cu cel de verificare.Ecuaţia de continuitate are 2 necunoscute, deci se va face apel la impunerea vitezei (vitezăeconomică) şi se obţin diametrele tronsoanelor (din gama standardizată !), după care se faceverificarea cotelor piezometrice în noduri.Dacă cotele piezometrice sunt prea mari, unele diametre trebuie micşorate. Calculul se rezolvă prinîncercări, de obicei în tabele, până la obţinerea preciziei dorite în noduri.

Calculul reţelelor inelare

Este mult mai complicat decât calculul reţelelor ramificate, deoarece debitele de calcul Qij nu maipot fi deduse din debitele consumate Qc ij.Practic, doar pe baza debitelor Qj din noduri, distribuţia debitelor Qij este necunoscută.

Ecuaţia de continuitate se scrie în fiecare nod.Ecuaţia lui Bernoulli se scrie pentru fiecare INEL şi conduce la concluzia : suma pierderilor desarcină pe conturul inelului trebuie să fie zero. Deci pierderile de sarcină au SEMN în acest caz.

Etape recomandate:

-se numerotează nodurile şi se determină Qc ij , respectiv Qj , ca în cazul reţelelor ramificate;-se numerotează inelele cu cifre romane şi se stabilesc sensurile de parcurgere ale acestora, aceleaşipentru toate inelele;-se presupune un sens de curgere al apei în conductele reţelei (se ia “aproape” arbitrar);-având sensurile de curgere, se determină debitele Qij pentru fiecare tronson;-se face verificarea ca în fiecare nod suma debitelor care intră şi ies să fie nulă;-se calculează pierderile de presiune hij pe fiecare tronson de conductă;-dacă distribuţia de debite stabilită a fost corectă, suma pierderilor de sarcină pe inel ar trebui să fieZERO.Convenţie : pierderile de sarcină se consideră pozitive pe tronsoanele în care sensul de curgere alapei coincide cu sensul de parcurgere al inelului.De obicei, suma pierderilor de sarcină pe inel nu e nulă, ci are o valoare oarecare h∆ . Ca urmare,este necesară compensarea debitelor.

14

Debitele iniţiale Qij se vor corecta cu un debit de corecţie Q∆ , care se scade din ramurile preaîncărcate (care dau pierderi prea mari) şi se adaugă pe ramurile mai puţin încărcate (tronsoanelecare generează pierderi de sarcină prea mici).

Relaţia de calcul a debitului de corecţie : ∑⋅∆−=∆

||2 MQhQ

Concomitent se face verificarea (în fiecare nod) ca suma debitelor care intră şi ies din nod să fienulă.Se verifică din nou condiţia ( ) 0=∑ inelijh . Dacă egalitatea cu zero nu este îndeplinită nici acum, secontinuă iterativ compensarea reţelei… Eventual (în cazul reţelelor de apă) se poate accepta oeroare de neînchidere de maxim 0,5m.

-după determinarea debitelor Qij (care satisfac ec. de continuitate şi ec. energiei), calculul continuăca la reţelele ramificate.

Probleme de VERIFICARE:

La reţele inelare, geometria ne furnizează relaţia : NR.LATURI=NR.INELE+NR.NODURI-1 (L=I+N-1)Necunoscutele sunt debitele de calcul Qij (L bucăţi).Se pot scrie N-1 ec. de continuitate, I ec. ale energiei pe inele, deci problema este unic determinatădpdv matematic.Rezolvarea este totuşi greoaie şi în practică se aplică diverse metode de calcul iterative (aproximaţiisuccesive). Ex.: metoda Lobacev.

Probleme de DIMENSIONARE

Este nedeterminată dpdv matematic, având 2L necunoscute (L debite Qij + L diametre dij) şi numaiI+N-1 ecuaţii.Se impune utilizarea unor condiţii suplimentare, de tip optim economic (viteză economică), cuajutorul cărora se înlătură nedeterminarea.

Aplicaţii

1. Calculul reţelelor binare izoterme-caz particular de reţele inelare, vezi inst. de încălzire (tur-retur).-Q=const.-se neglijează variaţia temperaturii (în realitate însă…)În exemplul de calcul, se dă sarcina pompei H şi se cere debitul total şi debitul aferent fiecăruiradiator.Se obţine un sistem de ecuaţii de gradul 2, care se poate rezolva simplu prin metoda substituţiei.

2. Calculul termosifonuluiEste vorba despre o mişcare neizotermă întâlnită la încălzirea centrală cu apă caldă carefuncţionează gravitaţional (fără pompe), datorită diferenţei de greutate specifică dintre tur şi retur.Se obţine relaţia ∑ ⋅≥∆⋅ rhH γγ , care ne indică gradul de încălzire necesar pentru învingereapierderilor de presiune în instalaţie.

Expresia debitului este MHQ ⋅∆=

γγ .

OBS.: Debitul creşte evident odată cu γ∆ , dar nu întotdeauna cu creşterea lui H, deoarece şi Mcreşte odată cu H !!!

Aplicaţie : Problema 4 din Seminarul 4

15

Curs nr. 7

Calculul conductelor de pompare

pag. 341

Ce rol are şi din ce se compune o astfel de instalaţie… vezi fig. 7.15Expresia înălţimii de pompare H (relaţia 7.84):

H=Hg+hra+hrr=Hg+MQ2

în care:Hg=Hga+Hgr – înălţimea geodezică de pompare (aspiraţie şi refulare)hra – pierderea de sarcină pe conducta de aspiraţiehrr – pierderea de sarcină pe conducta de refulareQt – debitul de tranzit, care iese din nodul 2 şi care pleacă mai departe (tranzitează)

Această relaţie se numeşte ecuaţia caracteristică a instalaţiei, iar reprezentarea ei grafică reprezintăcurba caracteristică a instalaţiei (vezi fig. 7.16).Pompele funcţionează conform specificaţiilor de catalog (curbe caracteristice H=f(Q)), astfel căpunctul de funcţionare al unei pompe puse într-o instalaţie se va găsi la intersecţia curbeicaracteristice a instalaţiei cu curba caracteristică a pompei.La calculul conductelor de aspiraţie a pompelor se pune condiţia pi≥ pv, pentru a preveni apariţiacavitaţiei. Această inegalitate se traduce practic în limitarea înălţimii geodezice pe aspiraţie Hga.Calculul de dimensionare al conductelor de refulare este nedeterminat dpdv hidraulic.

Probleme economice la calculul conductelor

În unele cazuri, aşa cum s-a văzut deja, dimensionarea hidraulică a conductelor este nedeterminată,ca urmare sunt necesare noi relaţii care să ghideze alegerea diametrului…Criteriul economic estecel care va furniza până la urmă soluţia unică.Există 2 componente principale ale costurilor într-o instalaţie:-costul aferent investiţiilor-costul aferent pompăriiDe exemplu: dacă se aleg diametre mici pentru conducte, costul conductelor va fi mic (investiţiamică), dar pierderile de sarcină care se produc sunt mari, ca atare costul energiei electrice necesarepompării va fi mare. Dacă se aleg diametre mari, situaţia va fi inversă.Din multitudinea de soluţii posibile, se alege cea mai economică, pentru care suma cheltuielilorpentru conducte şi energie va fi minimă.Determinarea diametrului economic (vezi fig. 7.17) – minimizarea sumei celor 2 curbe de costuri.Echivalent, se poate vorbi şi despre viteza economică (vezi Tabelele 7.1 şi 7.2).Practic, la proiectare, vitezele sunt limitate atât inferior, cât şi superior (se produc zgomote, vibraţiietc.)

[NU pag. 346-354 : Mişcarea gazelor]

Metode grafice de calcul al conductelor

pag. 354

Se folosesc mai ales la instalaţii care funcţionează cu Q şi H variabile (de ex. instalaţiile depompare).Aceleaşi 2 tipuri de ecuaţii se utilizează (Bernoulli, continuitate), doar că rezolvarea se face grafic,ceea ce oferă o imagine sugestivă de ansamblu asupra funcţionării sistemului hidraulic.Forma ec. lui Bernoulli utilizată în metoda grafică este:

Hp1=Hp2+M*Q2

16

unde prin M* s-a notat modulul de rezistenţă hidraulică care ţine seama şi de termenii cinetici.

Calculul grafic al conductelor montate în serie: fig. 7.20, intersecţia a 2 parabole de gr. 2 (ec. 7.112şi 7.113)Calculul grafic al conductelor montate în paralel: fig. 7.21; valorile debitelor parţiale se obţin laintersecţia parabolelor de gr. 2 cu orizontala Hp=HpA.Calculul grafic al conductelor montate în paralel şi în serie: fig. 7.22; se trasează parabolele 1,2,3,apoi se trasează curba rezultantă 1+2, iar la intersecţia dintre curba 3 şi curba rezultantă 1+2 se vorafla parametrii H,Q ai punctului N.

+ de studiat problemele rezolvate: pag. 358-369

17

Curs nr. 8

Mişcări efluente. Sisteme hidraulice locale. (I)

pag. 48 vol. 2

Definiţii şi noţiuni generale

Mişcările efluente se produc la trecerea fluidului dintr-un domeniu în alt domeniu, secţiunea vie acurentului în zona de trecere fiind mică în raport cu a celor 2 domenii.Exemple: curgerea prin orificii, ajutaje şi deversoare.Caracterizare: variaţia rapidă pe distanţe mici a parametrilor mişcării →mişcare neuniformă rapidvariată.Pierderile de sarcină liniare sunt de obicei neglijabile în raport cu cele locale, ceea ce face ca acestesisteme să se numească sisteme hidraulice locale.Orificiile = goluri practicate în pereţii instalaţiilor (de obicei rezervoare) prin care fluidul poatecurge.Deversoarele = cazuri particulare de orificii la care lichidul efluent nu udă complet perimetrulorificiului.Ajutajele = conducte scurte care se ataşează orificiilor în scopul de a mări debitul orificiilor sau de aforma nişte jeturi speciale.După trecerea printr-un sistem hidraulic local, curentul de fluid formează un jet (vână fluidă).

Curgerea prin orificii

1. Aspectul curgerii. Contracţia.

Fig. 9.1 : vezi forma liniilor de curent…mişcarea în zona orificiului este aproape paralelă şiuniformă.

Imediat după orificiu vâna suferă o contracţie, caracterizată prin coeficientul A

AC=ε , relaţie în care

A este aria orificiului, iar AC secţiunea vie în zona contractată.Există anumite condiţii geometrice care trebuie respectate pentru ca pereţii rezervorului să nuinfluenţeze pe ε…Pentru un orificiu practicat în perete vertical, după zona contractată vâna de fluid îşi măreşte treptatsecţiunea, forma ei depinzând de numeroşi factori. Caz particular: orificiu în perete orizontal.Există cazuri când contracţia nu se mai produce: orificii practicate în pereţi groşi, cu muchierotunjită dupa forma liniilor de curent.

2. Clasificarea orificiilor.

• în funcţie de înălţimea orificiului h în raport cu sarcina orificiului H:-orificii mici: hH ⋅≥ 10 , distribuţia vitezelor este considerată uniformă şi egală cu cea din centrulorificiului.-orificii mari: hH ⋅<10 , nu se admite uniformitatea distribuţiei vitezelor pe verticală.

• în funcţie de grosimea peretelui orificiului: subţiri sau groşi ( ht ⋅≥ 3 )• în funcţie de condiţiile curgerii din aval de orificiu: orificii neînecate sau înecate• în funcţie de natura sarcinii orificiului: orificii sub H constant sau variabil• în funcţie de poziţia orificiului în perete: orificii în pereţi verticali, înclinaţi sau orizontali• în funcţie de rolul jucat în instalaţie: diafragme sau guri

3. Orificii mici neînecate:

18

Se doreşte calculul vitezei şi al debitului.Vezi fig. 9.1a pentru aplicarea legii lui Bernoulli între secţiunile 1-1 şi 2-2.Se obţine expresia vitezei medii din secţiunea orificiului: gHV 22 ⋅= ϕ , în care

ξϕ

+=

11 este coeficientul de viteză

Debitul gHAgHAVAQ 2222 ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= µϕε , în careϕεµ ⋅= – coeficientul de debit al orificiului

A – aria orificiuluiξ≈0.06 – coeficient global de rezistenţă locală la orificiu

Vezi valori uzuale pentru cei trei coeficienţi (ε, μ şi φ) şi modul în care ei sunt influenţaţi de diverşifactori.

4. Orificii mici înecate:

Fig. 9.5 : Se presupune mişcare permanentă, se scrie ec. lui Bernoulli între secţiunile 1-1 şi 2-2 şi seobţin relaţii pentru viteză şi debit identice ca formă cu cele de la orificiile mici neînecate.

5. Orificii mari neînecate:

Fig. 9.6 : problema este mai complicată, deoarece vitezele particulelor din secţiunea orificiului numai pot fi considerate egale.Se împarte aria orificiului într-o infinitate de fâşii elementare orizontale de grosime dz, astfel căfiecare dintre acestea se comportă ca un orificiu mic.Se scrie formula de la orificii mici pentru debitul elementar al unei fâşii şi se integrează pe aria A.Rezultă relaţia de calcul 9.12, a cărei dificultate este prezenţa unei integrale…În cazuri particulare, integrala se poate rezolva imediat, dar alteori trebuie făcut apel în ultimainstanţă la calculul aproximativ numeric.

Curgerea prin ajutaje

1. Descrierea curgerii prin ajutaje:

Curgerea prin ajutaje este asemănătoare cu cea de la orificii practicate în pereţi groşi.De ce se folosesc…Lungimea ajutajelor circulare se recomandă să fie între 3D şi 4D.Şi la ajutaje există aceeaşi relaţie între coeficienţii ε, μ şi φ, dar ε = 1. În schimb, coeficientul deviteză este mai mic decât la orificii.Formula de calcul a debitului 9.16 este similară celei de la orificii.

2. Ajutaj cilindric exterior:

Fig. 9.8.: între vâna contractată şi peretele ajutajului se formează o zonă de vârtejuri, în carepresiunea scade sub cea atmosferică. Apariţia acestei depresiuni contribuie la sporirea vitezei şidebitului (faţă de un orificiu echivalent).Mărimea depresiunii se pune în evidenţă cu un tub vacuumetric.Prin calcul (aplicând legea lui Bernoulli) rezultă valoarea depresiunii H⋅≅ 75.0Dar presiunea vacuumetrică este limitată la aprox. 10.33 mH2O, deci rezultă inevitabil o limitare asarcinii maxime la care poate lucra un ajutaj cilindric exterior.Hmax teoretic=13.50 m, în realitate H este limitat la aprox. 9-10 m.

19

Dacă H devine > Hmax, atunci vâna se desprinde şi curgerea are loc ca printr-un orificiu, debitulmicşorându-se.În vederea evitării desprinderii vânei de pe pereţii ajutajului, pentru a nu se limita sarcina de lucru aajutajului, se folosesc ajutaje profilate (cu profil curb, după forma vânei de lichid). Astfel se eliminăzona contractată şi ajutajul poate lucra sub orice sarcină.

3. Alte tipuri de ajutaje: caracteristici, utilizare, tabelul 9.2 (comparaţie)

Mişcarea fluidelor după orificii şi ajutaje. Jeturi fluide.

1. Clasificarea jeturilor, exemple

2. Forma jeturilor-ecuaţia traiectoriei unei particule dintr-un jet liber neînecat dezvoltat în atmosferă, după un orificiupracticat într-un perete vertical-fenomenul inversiei vânei de fluid (fig. 9.11)

3. Jetul liber neînecatfig. 9.12: evoluţia unui astfel de jet şi caracterizarea celor 3 zone specifice:NU formulele de la pag. 67

4. Jetul înecatfig. 9.13: evoluţia unui astfel de jet şi caracterizarea celor 2 zone principale.Tipul suprafeţei ce mărgineşte jetul la exterior…

[NU calculul jetului pag.69-72]

Golirea rezervoarelor

Este o problemă de curgere prin orificii sau ajutaje, sub sarcină variabilă.Mişcarea este de tip nepermanent, cu o variaţie destul de lentă în timp a parametrilor, deci până laurmă ea se poate asimila cu o succesiune de stadii de mişcare permanentă.Timpul de golire este elementul de interes.

În cazul unui rezervor cu nivel liber (fig. 9.17a), se scrie ecuaţia de continuitate pentru un timpinfinit mic dt: dzAdtQ ⋅−=⋅Membrul stâng al ecuaţiei reprezintă volumul de lichid scurs din rezervor prin orificiul de arie a întimpul dt.Membrul drept reprezintă volumul cu cât s-a golit rezervorul în acelaşi interval de timp dt, A fiindaria secţiunii orizontale a rezervorului.După înlocuirea expresiei debitului Q şi integrarea ecuaţiei diferenţiale între limitele z0 (nivelsuperior) şi z1 (nivel inferior), se obţine relaţia de calcul a timpului de golire (9.33).Această relaţie conţine o integrală care trebuie rezolvată, după ce se cunoaşte funcţia A=A(z), înraport cu geometria rezervorului.

De studiat cazul golirii unui rezervor în altul, cu egalizarea nivelelor (pag. 77-78).

20

Curs nr. 9

Mişcări efluente. Sisteme hidraulice locale. (II)

pag. 78 vol. 2

Curgerea lichidelor peste deversoare

Deversorul = orificiu mare practicat într-un perete, deschis la partea superioară.Caracterul mişcării…Utilizare…

Fig. 9.19 : Elementele principale ale unui deversor:-muchie, lungime, profil, înălţime, grosime, prag, sarcina deversorului, lama deversantă, cădere ladeversor.

Clasificarea deversoarelor:-după forma secţiunii de curgere-după forma şi grosimea t a crestei deversorului: cu muchie ascuţită, cu pereţi groşi, cu prag lat-după nivelul apei în aval de deversor: neînecate, înecate-după condiţiile de acces ale apei pe deversor: fără/cu contracţie laterală-după modul de aşezare al deversorului în raport cu direcţia de curgere: normale, oblice, laterale-după forma în plan a crestei deversorului-după forma lamei deversante: cu lamă liberă (aerată), cu lamă deprimată, cu lamă aderentă

Calculul deversoarelor:

Formula generală de calcul: ∫ ⋅⋅⋅=H

dzzbzgQ0

)(2µ

Cazul deversorului dreptunghiular: 2/32 HgbmQ ⋅⋅⋅= în care

µ⋅=32m este coeficientul de debit al deversorului

b-lungimea deversoruluiH-sarcina deversorului.

Coeficientul m variază între limite destul de largi (0.3-0.55), iar determinarea lui este complicată,depinzând de foarte mulţi factori.

Cazul deversorului triunghiular: 2/5HmQ ⋅=Dacă 2α=90o şi μ=0.6, atunci se obţine formula lui Thompson: 2/542.1 HQ ⋅=

Cazul deversorului trapezoidal: debitul se calculează ca o sumă a debitelor unui deversordreptunghiular şi a unui deversor triunghiular (fig.9.20c).Dacă α=14o şi μ=0.63, atunci se obţine formula lui Cipoletti: 2/386.1 HbQ ⋅⋅=

Deversorul pâlnie: se foloseşte ca dispozitiv de preaplin pentru rezervoare (fig. 9.30). Există maimulte regimuri de funcţionare… De evitat apariţia fenomenului vortex.

Aplicaţii : probleme rezolvate pag. 91-95

21

Curs nr. 10

Mişcarea cu suprafaţă liberă a lichidelor

pag. 97 vol. 2

Este definită de prezenţa unei suprafeţe de contact gaz-lichid (în particular atmosfera).La curenţii cu supr. liberă se întâlnesc toate tipurile de mişcări studiate la cinematică:-mişcări permanente şi nepermanente: exemple-mişcări uniforme (fig. 10.1, J=Jp=I) şi neuniforme (fig.10.2): exemplu la ieşirea de pe un deversor-mişcări laminare şi turbulente: definirea lui Reynolds pe baza razei hidraulice; RecrR ≅ 580.-mişcări aerate şi neaerate-mişcări lente şi mişcări rapide: caracterizare pe baza energiei specifice medii a curentului

Mişcarea uniformă în canale

Se produce în realitate foarte rar, datorită dificultăţii menţinerii constante a unei multitudini deparametri în lungul albiei.Adâncimea curentului se notează cu ho şi se numeşte adâncime normală.

Panta fundului canalului θθθ ≅≅=−= tgdsdzi sin

(aproximaţie valabilă pentru înclinări mici, deci distanţa s se va putea măsura practic peorizontală…vezi fig.10.1…deşi secţiunile teoretic sunt normale pe direcţia de curgere, ele se iaupractic verticale).

Relaţia de calcul o cunoaştem deja (Chézy): iKiRCAVAQ h ⋅=⋅⋅⋅=⋅= , iar dacă C este

exprimat cu formula lui Manning rezultă: AiRn

Q h ⋅⋅⋅= 21

321

Tipuri de probleme care pot fi rezolvate: de verificare şi dimensionare.

Tip1-Verificare: Se dau forma şi mărimea secţiunii, panta i şi rugozitatea pereţilor. Se cereverificarea transportului unui debit Q. Rezolvarea e banală.

Tip2-Verificare: Se dau forma şi mărimea secţiunii, debitul Q de transportat şi rugozitateapereţilor. Se cere determinarea pantei canalului. Rezolvarea e simplă.

Tip3-Dimensionare: Se dă debitul Q de transportat, panta canalului şi natura pereţilor. Se ceredeterminarea secţiunii canalului. Rezolvarea e mai complicată, problema putând fi nedeterminatădpdv hidraulic.De exemplu, pentru o secţiune dreptunghiulară bxh, se impune una dintre dimensiuni (să zicem b),iar cealaltă va rezulta în mod unic, folosind metoda grafo-analitică, prin reprezentarea prin puncte a

funcţiei K=f(h). Cu ajutorul lui i

QK =0 (care se calculează pe baza datelor) şi a curbei trasate, se

determină înălţimea ho (vezi fig. 10.5).

În practică, la calculul canalizărilor se folosesc pentru operativitate diferite nomograme sau tabele.Ele evită rezolvarea numerică a ecuaţiei lui Chézy, dar fac apel la raportarea curgeriicorespunzătoare unui anumit grad de umplere la curgerea cu secţiune plină.Deci se lucrează cu rapoartele RQ=Q/Qp, RV=V/Vp, a=ho/H (vezi Anexa 10.1 pag.345).Aceste mărimi se vor numi x,z, respectiv u la disciplina de Instalaţii Sanitare.

22

Probleme speciale cu privire la calculul hidraulic al canalelor

Problema vitezelor: limitarea superioară şi inferioară a vitezei medii în canal.Vmax are legătură cu stabilitatea canalului în timp (erodare), iar Vmin previne depunerea suspensiilordin apă (viteză minimă de autocurăţire, ~0.7 m/s).

Problema rugozităţii canalelor: complicaţii pentru albiile naturale…La albii cu secţiune compusă, unde n nu este constant pe perimetrul albiei, se lucrează cu orugozitate medie ponderată (relaţia 10.14).

Pierderile de sarcină: Dacă vitezele sunt mari, supr. liberă se deformează, devine neregulată şicreşte pierderea de energie. Criteriul Re nu mai este suficient pentru caracterizarea mişcării.

Probleme de optim hidraulic:Dacă A=const., ce formă trebuie să aibă secţiunea pentru a transporta cât mai mult debit?Maximizarea debitului revine la maximizarea razei hidraulice, deci la minimizarea perimetruluiudat, căci Rh=A/P.

Se analizează cazul unui canal trapezoidal, caracterizat geometric prin b,h şi m=ctgφ.Se exprimă cu ajutorul geometriei trapezului A şi P funcţie de b,h,m.Se caută minimul lui P, deci se anulează derivata dP/dh.Se ştie că A=const., ca urmare şi dA/dh=0.Eliminând db/dh se obţine expresia A=Ph/2, ceea ce corespunde la un trapez isoscel circumscrisunui semicerc de rază R=h.

Studiul energetic al curenţilor cu suprafaţă liberă

Definirea mişcărilor lente şi rapideEnergia specifică medie într-o secţiune a unui curent cu suprafaţă liberă este dată de ec. luiBernoulli, a cărei formă particulară (legată de poziţia planului de referinţă prin punctul cel maicoborât al secţiunii) devine:

2

2

2 AgQhH s ⋅⋅⋅+= α

Hs se mai numeşte sarcina hidrodinamică a secţiunii.Reprezentarea grafică a funcţiei Hs=f(h) pentru mişcarea permanentă (Q=const.) are alura din fig.10.8.Punctul de energie Hs minimă corespunde regimului de curgere critic.Funcţia Hs nu este injectivă, practic (exceptând cazul critic) există întotdeauna 2 adâncimi h alecurentului care pot genera o anumită energie Hs.

Recunoaşterea stării de mişcare

• Criteriul derivatei : (se obs. în fig.10.8): dacă 0>dh

dH s , mişcarea este în stare lentă, etc.

• Criteriul Froude: se defineşte criteriul 3AB

gQFr ⋅= , ca urmare rezultă Fr

dhdH s −=1

Deci dacă Fr > 1, mişcarea este rapidă, etc.• Criteriul adâncimii: dacă h > hcr, mişcarea este lentă, etc.• Criteriul vitezei: dacă V > Vcr, mişcarea este rapidă, etc.• Criteriul pantei: dacă i > icr, mişcarea este rapidă, etc.

23

Mişcări gradual variate în canale prismatice

Forma secţiunii acestor canale nu se schimbă în lungul canalului, ceilalţi parametri variază lent.

Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul canalelor: Jids

dH s −= duce la caracterizarea

mişcării drept normală (i=J), supranormală (i>J), respectiv subnormală (i<J).

Ecuaţia fundamentală a mişcării gradual variate: FrJi

dsdh

−−=

1 exprimă variaţia înălţimii curentului

în lungul său.

Studiul calitativ al formei suprafeţei libere în canale prismatice : se ocupă practic cu studiul curbeide remuu.Se analizează calitativ ecuaţia fundamentală de mai sus dpdv al semnului numitorului şinumărătorului, rezultând 5 tipuri distincte de canale (fig.10.11 şi 10.12).

[NU pag.117-122]

Saltul hidraulic : definiţie şi elemente (fig. 10.15)

[NU pag.124-127]

Aplicaţii : probleme rezolvate pag. 127-131

24

Curs nr. 11

Mişcarea apei prin medii poroase

pag. 132 vol. 2

Probleme generaleImportanţă şi utilizare…Mediul poros: faza solidă şi faza lichidă

Caracteristicile apei şi ale mediului poros

Forme de existenţă ale apei în pământ: stare gazoasă, apa peliculară, apa capilară, apa liberă.Strat acvifer sub presiune…strat acvifer cu nivel liber...Caracterizarea materialului poros:Porozitatea n = raportul dintre volumul golurilor şi volumul total al unei probe de pământ.Indicele porilor e = raportul dintre volumul ocupat de goluri şi volumul ocupat de faza solidăCoeficientul de reţinere nr = raportul dintre volumul de apă reţinut în pori şi volumul total al probeide pământ.Compoziţia granulometrică…curba granulometrică…cum se interpretează ?

Schema teoretică a fenomenului de filtraţie

Ce este fenomenul de filtraţie…Mişcarea reală (complexă, are loc în interspaţiile dintre granule) se înlocuieşte cu o mişcareaparentă, în care lichidul ar ocupa întregul spaţiu, deci şi cel ocupat de granule.Viteza de filtraţie (aparentă): V=Q/A ,unde A este aria totală a secţiunii transversale a curentului subteran (inclusiv “plinurile”).Legătura care există între viteza medie reală Vr (ce are loc în spaţiile intergranulare) şi viteza defiltraţie se poate exprima prin: V ≅ nVr .Mediul poros se presupune a fi omogen şi izotrop dpdv al filtraţiei.

Sarcina hidrodinamică într-un punct al unui curent subteran este γpzH += , deci termenul cinetic

se neglijează.

Legea fundamentală a filtraţiei

-stabilită experimental de Darcy (vezi schema inst. din fig. 11.5)

lHAkQ ∆⋅⋅=

unde k este coeficientul de filtraţie (sau permeabilitate).Altă formă a legii filtraţiei: V=kJ

Legea lui Darcy generalizată: vdl

dHk ⋅−=

Determinarea coeficientului de filtraţie:• Măsurători în teren• Măsurători în laborator• Relaţii empiriceLimitele de valabilitate ale legii lui Darcy:Doar pentru mişcări laminare lente, cu Re mici (2…5), în rest trebuie folosită o lege de tip

mJkV ⋅= , unde m≤ 1.

25

Totuşi, aplicabilitatea legii lui Darcy este largă, chiar dacă experimentul iniţial părea restrictiv şiparticular.[NU ECUAŢIILE pag.141-150]

Noţiuni de captare a apelor subteraneGeneralităţiCaptarea apei se poate face cu construcţii verticale sau orizontale, de tip perfect sau imperfect.Principiul de alcătuire al unei captări: fig. 11.12, ce este filtrul invers…

Puţ perfect în acvifer cu nivel liber: fig. 11.13, cum funcţionează…Ec. 11.49 şi 11.50 pentruprobleme.Raza de acţiune a puţului R reprezintă distanţa de la axa puţului până unde denivelarea apei dincauza exploatării puţului devine zero.Determinarea riguroasă a lui R se face prin pompări experimentale din puţuri. Altfel, suntmulţumitoare şi relaţii empirice gen Sichard sau Kusakin.Este necesară limitatea vitezei de intrare a apei în puţ.

Puţ imperfect în acvifer cu nivel liber: fig. 11.15…prin ce diferă de fig. 11.13Puţ absorbant: fig. 11.16Puţ artezian: fig. 11.17Captări orizontale: fig. 11.21, 11.22

26

Curs nr. 12

Mişcarea nepermanentă a lichidelor în conducte sub presiune

pag. 1 vol. 2Generalităţi

Apare frecvent în instalaţii ca urmare a: reglării vanelor, pornirii şi opririi pompelor, evacuăriiaerului din conducte, avariilor, etc.Regimul nepermanent de mişcare poate deveni periculos pentru instalaţii datorită solicitărilorimportante care se produc în sistem, faţă de regimul permanent; deseori regimul nepermanent seprezintă ca un regim tranzitoriu între 2 regimuri de mişcare permanentă la parametri diferiţi.Există 2 tipuri de regim nepermanent: rapid variabil în timp, respectiv lent.Mişcarea rapid variabilă (numită şi “lovitură de berbec” sau şoc hidraulic) este caracterizată prinamplitudini şi frecvenţe mari ale oscilaţiilor parametrilor mişcării, a căror desfăşurare este puternicinfluenţată de compresibilitatea lichidului şi de elasticitatea materialului din care este confecţionatăconducta.Mişcarea lent variabilă este cea la care variabilitatea în timp a mişcării este redusă, desfăşurarea eipermiţând neglijarea caracteristicilor elastice ale lichidului şi conductei. Aici au loc mişcăridenumite “oscilaţii în masă”.

Lovitura de berbec

Analiza calitativă: fazele dezvoltării şi explicarea lor, vezi fig. 8.1

[NU CALCULUL pag.5-9]

Relaţia de calcul a vitezei de propagare a undei (celeritatea): ec. 8.24 dpdv calitativ aldependenţelor.

[NU pag.11-34]

Soluţii de protecţie împotriva efectelor loviturii de berbec

Exemplul privind ordinul de mărime al suprapresiunilor ce pot să apară în instalaţiile hidraulice…

1. Măsuri de protecţie împotriva loviturii de berbec în conducte gravitaţionale unifilare

Fig. 8.13…există 2 cauze care pot conduce la apariţia şocului hidraulic:-manevrarea vanelor de linie: s-a constatat că manevra de deschidere a unei vane (chiar brusc) nuproduce suprapresiuni periculoase, iar dintre manevrele de închidere, cea efectuată la o vanăamplasată mai spre aval este mai periculoasă. Închiderea bruscă şi totală provoacă suprapresiuni cuvalori maxime, în plus poate provoca şi un şoc suplimentar datorat ruperii coloanei de apă (dacăpresiunea a scăzut sub pv). Închiderea lentă micşorează şi atenuează lovitura de berbec.-evacuarea aerului prin ventile: un debit de apă egal cu cel al aerului evacuat este frânat brusc,astfel apare un şoc hidraulic. Măsurile de protecţie se referă la timpi de manevră lunci, proiectareaunui profil longitudinal care să evite pe cât posibil punctele cu acumulare masivă de aer,intercalarea între conductă şi organul perturbator a unor dispozitive capabile să transforme loviturade berbec în oscilaţii în masă sau să producă suprapunerea undelor.

2. Măsuri de protecţie împotriva loviturii de berbec în conducte unifilare cu pompareCea mai periculoasă lovitură de berbec se produce la oprirea accidentală a pompei ca urmare a uneiavarii energetice. După scăderea vitezelor şi presiunilor, începe faza inversării debitului la pompă

27

(fig.8.15a), ceea ce conduce la închiderea instantanee a clapetei de sens, care generează unimportant şoc hidraulic (numit şocul clapetei). Măsuri:-controlul turaţiei inverse la pompă-controlul presiunilor minime: asigurarea unui profil longitudinal concav conductei de refulare,mărirea inerţiei părţilor rotative ale pompei, prevederea de dispozitive speciale (castel de echilibru,hidrofor, ventile de aer, hidrofor complex, cameră de apă, etc.). Vezi caracteristicile fiecăruidispozitiv.-controlul presiunilor maxime: supradimensionarea conductelor, timpi de manevră adecvaţi la vane(momentul inversării debitului să surprindă vana închisă în proporţie de 85%), clapeta de reţinereperforată, clapeta de reţinere cu conductă de ocolire, butelia de oţel cu cameră de aer comprimat,supapa de siguranţă. Vezi caracteristicile fiecărui dispozitiv.

3. Măsuri de protecţie împotriva loviturii de berbec în reţele de conducteCalculul loviturii de berbec în reţele se efectuează pentru toate manevrele posibile în exploatare.Spre deosebire de conductele unifilare, reţelele de conducte prezintă în general o mai bunăcomportare la şoc hidraulic, deoarece fiecare ramificaţie constituie punct de reflexie şi refracţiepentru undele primare asociate, undele secundare reflectate suprapuse peste cele dintâi reducândintensitatea presiunilor suplimentare din conducte. Totuşi, dacă în vecinătatea surselor de loviturăde berbec există artere foarte lungi sau există concentraţi consumatori importanţi (~ ca în modelulconductei unifilare), atunci pot să apară situaţii periculoase. Efectele negative au caracter local, decişi mijloacele de protecţie sunt mai puţin costisitoare şi sunt localizate în vecinătatea punctului deproducere al loviturii de berbec.