curs 5oanacon/depozit/curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · curs 5 clasi carea izometriilor planului e2 si...
TRANSCRIPT
![Page 1: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/1.jpg)
Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial euclidian orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor unui plan euclidian
Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu liniar euclidian 3 dimensional orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor spatiului euclidian trei dimensional
Curs 5Clasicarea izometriilor planului E2 si spatiului E3
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 5
![Page 2: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/2.jpg)
1 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial
euclidian orientat (recapitulare)
2 Clasicarea izometriilor unui plan euclidian
3 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu liniar
euclidian 3 dimensional orientat (recapitulare)
4 Clasicarea izometriilor spatiului euclidian trei dimensional
![Page 3: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/3.jpg)
Clasicarea aplicatiilor ortogonale ale lui(−→E 2, <,>
)
Fie E2 =(E ,−→E ,Φ
)un plan euclidian orientat. Dorim sa clasicam
izometriile sale.
Fie f : E → E o izometrie. In cursul anterior am demonstrat ca f
este un morsm an cu aplicatia liniara asociata ortogonala−→f ∈ O(
−→E ). De aceea consideram utila pentru intelegerea
izometriilor planului o recapitulare a clasicarii aplicatiilor
ortogonale ale lui−→E 2.
Amintim ca valorile proprii ale oricarei aplicatii ortogonale ale unui
spatiu liniar euclidian V sunt ±1.Intr-adevar, daca λ e valoare proprie a lui T ∈ O(V ), atunci pentruorice w ∈ V nenul are loc
< w , w >=< T (w),T (w) >=< λw , λw >= λ2 < w , w >.
Deoarece w 6= 0 rezulta ca λ2 = 1.
![Page 4: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/4.jpg)
Transformarile ortogonale de specia I
Fie B =i , jo baza ortonormata pozitiva in
−→E . Deoarece
−→f este
ortogonala, rezulta ca ea pastreaza norma vectorilor si unghiul
dintre vectori, deci−→f (i),
−→f (j)
este tot o baza ortogonala in
−→E .
(1) Daca B ′ =−→f (i),
−→f (j)
este o baza pozitiva, demonstram ca
matricea lui−→f in raport cu baza B este
A =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)∈ SO(2), θ = ]o
(i ,−→f (i)
).
![Page 5: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/5.jpg)
Intr-adevar−→f (i) =<
−→f (i), i > i+ <
−→f (i), j > j =
(‖−→f (i) ‖‖ i ‖ cos θ
)i +(
‖−→f (i) ‖‖ j ‖ cos(π
2− θ)
)j = cos θi + sin θj . Analog
−→f (j) =
(‖−→f (j) ‖‖ i ‖ cos(π
2+ θ)
)i +(‖−→f (j) ‖‖ j ‖ cos θ
)j =
− sin θi + cos θj .Ecuatia caracteristica asociata lui A este λ2 − (2 cos θ)λ+ 1 = 0.
Observam ca ecuatia are solutii reale daca si numai daca θ = 0, sau
θ = π, caz in care−→f este aplicatia identica Id−→
E, respectiv −Id−→
E.
Pentru−→f 6= ±Id−→
E, ecuatia caracteristica nu are valori proprii reale.
Demonstram ca−→f este Rθ, rotatia geometrica de unghi orientat θ.
![Page 6: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/6.jpg)
Fie v = v1 i + v2 j ∈−→E arbitrar. Deoarece
−→f este ortogonala,
rezulta ca ‖−→f (v) ‖=‖ v ‖. In plus,
−→f (v) = (v1 cos θ − v2 sin θ) i + (v1 sin θ + v2 cos θ) j , de unde
rezulta ca cos
(v ,−→f (v)
)= <v ,
−→f (v)>
‖v‖‖−→f (v)‖
=
v1(v1 cos θ−v2 sin θ)+v2(v1 sin θ+v2 cos θ)‖v‖2 = cos θ.
Analog sin
(v ,−→f (v)
)=
˛˛ v1 v1 cos θ − v2 sin θv2 v1 sin θ + v2 cos θ
˛˛
‖v‖‖−→f (v)‖
= sin θ, deci−→f
este rotatia de unghi θ.Evident Id−→
E= R0 si −Id−→
E= Rπ.
![Page 7: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/7.jpg)
Aplicatii ortogonale de specia a II-a
(2) Daca Daca B ′ =−→f (i),
−→f (j)
este o baza negativa,
demonstram analog ca matricea lui−→f in raport cu baza B este
A =
(cos θ sin θsin θ − cos θ
), θ = ]o
(i ,−→f (i)
).
![Page 8: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/8.jpg)
Ecuatia caracteristica asociata lui−→f este λ2 − 1 = 0, deci
−→f are
valorile proprii ±1. Fie u 6= 0 un vector propriu corespunzator
valorii proprii +1. Daca u = u1 i + u2 j , rezulta ca(cos θ sin θsin θ − cos θ
)(u1u2
)=
(u1u2
)⇔(cos θ − 1)u1 + sin θu2 =
0⇔(− sin θ
2u1 + cos θ
2u2)sin θ
2= 0.
Putem alege u = cos θ2i + sin θ
2j . Acest vector unitar este o baza in
subspatiul liniar U(1) al vectorilor proprii corespunzatori valorii
proprii +1.
Fie v un vector propriu unitar corespunzator valorii proprii −1.Deoarece A este o matrice simetrica rezulta ca
−→f este endomorsm
simetric. Stim ca vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii
distincte ale unui endomorsm simetric sunt ortogonali.
Deci u, v este o baza ortonormata al lui−→E .
![Page 9: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/9.jpg)
Deoarece−→f (u) = u si
−→f (v) = −v , rezulta ca
matricea aplicatiei ortogo-
nale de specia a doua−→f in
raport cu baza u, v este(1 0
0 −1
)
Pentru w = w1u + w2v arbitrar in−→E , rezulta−→
f (w) = w1u − w2v = Su(w), deci−→f este simetria ortogonala a
spatiului liniar euclidian orientat−→E fata de U(1) = [u].
![Page 10: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/10.jpg)
In concluzie:
orice transformare ortogonala de specia I a planului vectorial
euclidian orientat−→E este o rotatie Rθ :
−→E →
−→E , cu cazul
particular Id−→E;
orice transformare ortogonala de specia a II-a a planului
vectorial euclidian orientat−→E este simetria ortogonala fata de
u, cu u vector propriu corespunzator valorii proprii +1.
![Page 11: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/11.jpg)
Clasicarea izometriilor unui plan euclidian
Fie f : E → E o izometrie a planului euclidian orientat E si
R =O; i , j
un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .
Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial
X ′ = AX + B,
unde X =
(x
y
)sunt coordonatele unuie punct arbitrar P in
raport cu R, X ′ =
(x ′
y ′
)sunt coordonatele lui f (P) in raport cu
R, A ∈ O(2) si B =
(b1b2
).
![Page 12: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/12.jpg)
Translatia
Incepem cu deplasarile, adica izometriile cu−→f aplicatii ortogonale
de specia I.
(A) Daca−→f = Id−→
E⇔ A = I2, atunci f este translatia de vector
b = b1 i + b2 j .
Ecuatiile translatiei tb in raport cu R suntx ′ = x + b1,
y ′ = y + b2.
Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0⇔f = IdE .
![Page 13: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/14.jpg)
Rotatia de centru Ω si unghi orientat θ
(B) Daca−→f = Rθ este rotatia lui
−→E de unghi orientat θ 6= 0,
atunci matricea lui−→f in raport cu baza
i , jeste
A =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
), deci ecuatiile lui f sunt:
x ′ = x cos θ − y sin θ + b1,
y ′ = x sin θ + y cos θ + b2.
Studiem punctele xe ale acestei izometrii. Punand conditiile x ′ = x si
y ′ = y rezulta
(1− cos θ)x + (sin θ)y = b1,
−(sin θ)x + (1− cos θ)y = b2.Determinantul matricii
sistemului este 2(1− cos θ) 6= 0 pentru θ 6= 0. Deci sistemul are solutie
unica (x0, y0). Rezulta
(1− cos θ)x0 + (sin θ)y0 = b1,
−(sin θ)x0 + (1− cos θ)y0 = b2.
![Page 15: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/15.jpg)
Deci ecuatiile lui f suntx ′ = (x − x0) cos θ − (y − y0) sin θ + x0,
y ′ = (x − x0) sin θ + (y − y0) cos θ + y0,
sau, matricial
X ′ = A (X − X0) + X0,
unde X0 e matricea coloana a coordonatelor punctului x. Notam
acest punct x cu Ω.
Izometria obtinuta se numeste rotatia de centru Ω si unghi
orientat θ.
![Page 16: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/17.jpg)
Simetria centrala
Observam ca rotatia de centru Ω si unghi π coincide cu simetria
fata de punctul Ω:
SΩ = RΩ,π.
Daca Ω(x0, y0) in raport cu reperul R, rezulta ca ecuatiile simetriei
centrale SΩ sunt x ′ = 2x0 − x ,
y ′ = 2y0 − y .
![Page 18: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/18.jpg)
Antideplasarile planului euclidian
(C) Daca−→f = Su este simetria ortogonala a lui
−→E fata de u, cu
−→f (u) = u , am vazut ca este mai usor sa lucram cu baza u, v,unde
−→f (v) = −v . Deci matricea lui
−→f in raport cu baza u, v
este A′ =
(1 0
0 −1
).
In raport cu reperul R′ = O; u, v, obtinut din R printr-o rotatie
de unghi θ2, ecuatiile izometriei f sunt:
x ′ = x + b1,
y ′ = −y + b2.
Mentionam ca, pentru simplitatea scrierii, am notat coordonatele
punctelor in raport cu noul reper in acelasi mod.
![Page 19: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/19.jpg)
Simetria ortogonala axiala
Studiem punctele xe ale lui f . Observam ca x ′ = x si y ′ = y daca
si numai daca
b1 = 0,
y = b22.
(C1) Daca b1 = 0 izometria f are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = x ,
y ′ = −y + b2.
In acest caz dreapta d de ecuatie y = b22
(in raport cu R′) este xa
punct cu punct.
Deci f = Sd este simetria ortogonala a planului E2 fata de
dreapta d .
Remarcam ca directia dreptei d este un vector propriu al lui−→f
corespunzator valorii proprii +1.
![Page 20: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/21.jpg)
Simetria alunecata
(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Observam ca
f = tw Sd este compunerea dintre simetria ortogonala fata de
dreapta d si translatia de vector w = b1u ∈−→d :
(x , y) Sd−−→ (x ,−y + b2) tw−−→ (x + b1,−y + b2)
In literatura de specialitate in limba romana nu exista o denumire
consacrata pentru aceasta izometrie, dar o putem numi simetrie
alunecata (in engleza: glide reexion).
![Page 22: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/23.jpg)
Ecuatiile simetriei ortogonale axiale in raport cu RDe obicei dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale a planului
E2 fata de o dreapta d care are in raport cu un reper ortonormat
R =O; i , j
ecuatia generala
ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0.
Deducem ca N(a, b) este un vector normal dreptei d .
Daca P(x , y) si Sd (P) = P ′(x ′, y ′), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si
1
2P + 1
2P ′ ∈ d , obtinem
x ′ − x
a=
y ′ − y
ba
2
(x + x ′
)+
b
2
(y + y ′
)+ c = 0.
Din aceste conditii rezulta
Sπ :
x ′ = x − 2a(ax+by+c)
a2+b2,
y ′ = y − 2b(ax+by+c)a2+b2
.
![Page 24: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/24.jpg)
Concluzie
Am obtinut urmatoarea clasicare a izometriilor unui plan euclidian
orientat:
deplasarile:
translatia de vector arotatia de centru Ω si unghi orientat θ
antideplasarile:
simetria ortogonala fata de o dreapta d
compunerea dintre simetria ortogonala fata de o dreapta d si otranslatie de vector cu aceeasi directie cu dreapta d
![Page 25: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/25.jpg)
Concluzie
![Page 26: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/26.jpg)
Clasicarea transformarilor ortogonale ale lui(−→E 3, <,>
)
Pentru a studia izometriile unui spatiu an euclidian 3-dimensional
incepem cu clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu
liniar euclidian orientat de dimensiune trei.
Fie−→f :−→E 3 →
−→E 3 o aplicatie ortogonala arbitrara.
Vom face clasicarea in functie de dimensiunea spatiului liniar al
vectorilor proprii ai lui−→f corespunzatori valorii proprii +1.
Notam cu U := U(1) =u ∈−→E |
−→f (u) = u
.
(1) DacadimU = 3 rezulta ca orice vector nenul al lui−→E este
vector propriu corespunzator valorii proprii +1, deci−→f (u) = u, ∀u ∈
−→E . Rezulta ca
−→f = Id−→
E.
![Page 27: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/27.jpg)
(2) Presupunem ca dimU = 2.
Fie u1, u2 o baza ortonormata a lui U si v ∈ U⊥ un vector unitar
‖ v ‖= 1. Altfel spus U⊥ = [v ].
Demonstram ca v este vector propriu al lui−→f corespunzator valorii
proprii −1. Mai intai aratam ca−→f (v) ∈ U⊥. Fie u ∈ U un vector
arbitrar. Rezulta ca <−→f (v), u >=<
−→f (v),
−→f (u) >=< v , u >= 0,
deci−→f (v) ∈ U⊥ = [v ]. Atunci ∃λ ∈ R astfel incat
−→f (v) = λv .
Deci v este vector propriu corespunzator valorii proprii λ. Daca
presupunem ca λ = 1 ar rezulta ca u1, u2, u sunt vectori liniar
independenti ai lui U, in contradictie cu ipoteza dimU = 2. Deci
λ = −1 si−→f (v) = −v .
![Page 28: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/28.jpg)
Consideram baza ortonormata B = v , u1, u2, cu−→f (ui ) = ui , i ∈ 1, 2 si
−→f (v) = −v . Deci matricea lui
−→f in
raport cu baza B este
A =
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
Rezulta ca
−→f este simetria ortogonala a lui
−→E fata de U.
Intr-adevar, daca w = w1 + w2 cu w1 = PrU w = α1u1 + α2u2 si
w2 = PrU⊥w = βv , rezulta ca−→f (w) = −βv + α1u1 + α2u2 =
w2 − w1 =(2PrU − Id−→
E
)(w) = SU(w).
![Page 29: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/29.jpg)
(3) Presupunem ca dimU = 1.
Fie u un vector unitar al lui U si v1, v2 o baza ortonormata in
U⊥. Deoarece dimU⊥ = 2 si restrictia aplicatiei−→f la U⊥ este tot
ortogonala, rezulta din clasicarea transformarilor ortogonale ale
unui plan vectorial euclidian ca−→f |U⊥ este IdU⊥ , o rotatie a lui U⊥
sau o simetrie ortogonala a lui U⊥ fata de un vector. Daca−→f |U⊥
ar aplicatia identica sau o simetrie ortogonala, atunci ea ar
admite vectori proprii corespunzatori valorii proprii +1, imposibil
deoarece dimU = 1.
![Page 30: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/30.jpg)
Deci−→f |U⊥ e o rotatie (de unghi θ) si matricea lui
−→f in raport cu
baza ortonormata u, v1, v2 este 1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
.
Am obtinut astfel ca−→f este rotatia lui
−→E in jurul lui u de unghi θ.
Observam ca rotatia in jurul lui u de unghi π este simetria
ortogonala fata de u: Ru,π = Su.
![Page 31: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/31.jpg)
(4) DacadimU = 0, rezulta ca−→f nu are vectori prorii
corespunzatori valorii proprii +1. Cum polinomul caracteristic al lui−→f este un polinom de grad trei cu coecienti reali, el are cel putin
o radacina reala. Deoarece singurele valori proprii ale aplicatiilor
ortogonale sunt ±1, rezulta ca −1 e valoare proprie a lui−→f .
Fie v un vector propriu unitar corespunzator valorii proprii −1,−→f (v) = −v si W = [v ]⊥. Fie w1, w2 o baza ortonormata in W .
Se demonstreaza in mod analog ca restrictia lui−→f la W este o
rotatie, deci matricea lui−→f in raport cu baza v , w1, w2 este −1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
=
1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
deci−→f = Rv ,θ SW . Am obtinut astfel o compunere dintre
simetria ortogonala fata de W si o rotatie in jurul lui v , v ⊥W .
![Page 32: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/32.jpg)
Concluzie
Deci aplicatiile ortogonale ale lui−→E 3 sunt:
de specia I:
Id−→E
Ru,θ rotatia in jurul unui vector nenul u, de unghi orientat θ
de specia a II-a:
simetria ortogonala fata de un plan vectorial SURv ,θ SW , cu W un plan vectorial si v ⊥W
![Page 33: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/33.jpg)
Clasicarea izometriilor spatiului euclidian orientat E3
Fie f : E → E o izometrie a spatiului euclidian orientat E si
R =O; i , j , k
un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .
Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial
X ′ = AX + B,
unde X =
x
y
z
sunt coordonatele unuie punct arbitrar P in
raport cu R, X ′ =
x ′
y ′
z ′
sunt coordonatele lui f (P) in raport cu
R, A ∈ O(3) si B =
b1b2b3
.
![Page 34: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/34.jpg)
Translatia
(A) Daca−→f = Id−→
E⇔ A = I3 rezulta ca f = tb, unde
b = b1 i + b2 j + b3k . Ecuatiile translatiei in raport cu R sunt:x ′ = x + b1,
y ′ = y + b2,
z ′ = z + b3.
Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0.
![Page 35: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/35.jpg)
(B) Daca exista o baza ortonormata v , u1, u2 in raport cu care
matricea aplicatiei liniare asociate sa e
A′ =
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
atunci−→f este simetria ortogonala in raport cu U = [u1, u2] si
ecuatiile lui f in raport cu R′ = O; v , u1, u2 sunt x ′
y ′
z ′
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
y
z
+
b1b2b3
⇔x ′ = −x + b1,
y ′ = y + b2,
z ′ = z + b3.
![Page 36: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/36.jpg)
Simetria ortogonala fata de un plan
Punctul P(x , y , z) este punct x al lui f daca si numai dacax = b1
2,
b2 = 0,
b3 = 0.
(B1) Daca b2 = b3 = 0, atunci toate punctele planului π ce are in
raport cu R′ ecuatia x = b12
sunt xe pentru f . In acest caz f este
simetria ortogonala fata de π si are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = −x + b1,
y ′ = y ,
z ′ = z .
Observam ca −→π este subspatiul vectorilor proprii ai lui A′
corespunzatori valorii proprii +1.
![Page 37: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/37.jpg)
Simetria alunecata
(B2) Daca b2 6= 0 sau b3 6= 0, atunci izometria f este compunerea
dintre o simetrie ortogonala fata de un plan π si o translatie de
vector a ∈ −→π . Mai exact f = ta Sπ, a = b2u1 + b3u2, unde
Sπ :
x ′ = −x + b1,
y ′ = y ,
z ′ = z ,
ta :
x ′′ = x ′,
y ′′ = y ′ + b2,
z ′′ = z ′ + b3.
In acest caz f nu are puncte xe. Putem sa numim aceasta
izometrie simetrie ortogonala alunecata.
![Page 38: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/38.jpg)
Daca dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale Sπ in raport cu
un reper ortonormat arbitrar R, atunci cand se da ecuatia generala
a lui π, procedam astfel.
Presupunem ca planul are ecuatia π : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0.
Rezulta ca un vector normal lui −→π este N(a, b, c). DacaP(x1, x2, x3) si Sd (P) = P ′(y1, y2, y3), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si 1
2P + 1
2P ′ ∈ π, obtinem
y1 − x1
a=
y2 − x2
b=
y3 − x3
c,
a
2
(x1 + y1
)+
b
2
(x2 + y2
)+
c
2
(x3 + y3
)+ d = 0.
Din aceste conditii rezulta
Sπ :
y1 = x1 − 2a(ax1+bx2+cx3+d)
a2+b2+c2,
y2 = x2 − 2b(ax1+bx2+cx3+d)a2+b2+c2
,
y3 = x2 − 2c(ax1+bx2+cx3+d)a2+b2+c2
.
![Page 39: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/39.jpg)
(C) Daca exista o baza ortonormata u, v1, v2 in raport cu care
matricea aplicatiei liniare asociate sa e
A′ =
1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
, θ 6= 0,
atunci ecuatiile izometriei f in raport cu R′ = O; u, v1, v2 suntx ′ = x + b1,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.
![Page 40: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/40.jpg)
Rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat θPunctul P(x , y , z) este x pentru f daca si numai daca
b1 = 0,
y cos θ − z sin θ + b2 = y ,
y sin θ + z cos θ + b3 = z .
Sistemul format din ultimele doua ecuatii are solutie unica, e aceasta(y0, z0) (sunt coordonatele centrului unei rotatii de unghi θ din planulO + [v1, v2]).(C1) Daca b1 = 0 observam ca orice punct care in raport cu R′ arecoordonatele P(x , y0, z0) este x pentru f . Deci f are o dreapta depuncte xe, avand directia u, care este un vector propriu al lui A′
corespunzator valorii proprii +1.Izometria f este in acest caz rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat
θ, notata Rd,θ. Ecuatiile lui d sunt
y = y0,
z = z0.
Ecuatiile rotatiei Rd,θ suntx ′ = x ,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.
![Page 41: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/41.jpg)
Simetria ortogonala axiala
Observam ca rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat π este
simetria ortogonala fata de dreapta d . In raport cu R′ ea are
ecuatiile x ′ = x ,
y ′ = −y + b2,
z ′ = −z + b3,
matricea aplicatiei liniare asociate in raport cu baza u, v1, v2 ind 1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
.
![Page 42: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/42.jpg)
Rototranslatia (miscare elicoidala)
(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Ea se poate scrie
sub forma ta Rd ,θ, cu a = b1u ∈−→d , deci este compunerea intre o
rotatie in jurul unei drepte d , de unghi θ si o translatie de vector
paralel cu d :
Rd ,θ :
x ′ = x ,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3,
ta :
x ′′ = x ′ + b1,
y ′′ = y ′,
z ′′ = z ′.
Numim o astfel de izometrie rototranslatie sau deplasare elicoidala.
![Page 43: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/43.jpg)
Rotosimetria (simetrie rotativa)
(D) Daca exista o baza ortonormata v , w1, w2 in raport cu care
matricea aplicatiei liniare asociate sa e
A′ =
−1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
, θ 6= 0,
atunci ecuatiile lui f in raport cu R′ = O; v , w1, w2 suntx ′ = −x + b1,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.
Aceasta izometrie are un singur punct x, care are in raport cu R′coordonatele P(b1
2, y0, z0), cu (y0, z0) centrul rotatiei din planul
O + [w1, w2] data de ultimele doua ecuatii ale sistemului de mai sus.
![Page 44: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/44.jpg)
Aceasta izometrie este f = Rδ,θ Sπ, deci compunerea dintre o
simetrie ortogonala fata de un plan π de ecuatie x = b12
(−→π = [w1, w2]) si o rotatie in jurul unei drepte δ, (−→δ = [v ]) de
unghi θ, cu δ ⊥ π:
Sπ :
x ′ = −x + b1,
y ′ = y ,
z ′ = z ,
Rδ,θ :
x ′′ = x ′,
y ′′ = y ′ cos θ − z ′ sin θ + b2,
z ′′ = y ′ sin θ + z ′ cos θ + b3.
Numim aceasta izometrie o rotosimetrie.
![Page 45: Curs 5oanacon/depozit/Curs_5.pdf · 2014. 3. 20. · Curs 5 Clasi carea izometriilor planului E2 si spatiului E3 Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 5. 1 Clasi carea transformarilor](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052503/60adb230e95126349a291f6c/html5/thumbnails/45.jpg)
Concluzie
Am obtinut astfel urmatoarele izometrii ale lui E3:
deplasari:
translatiarotatia in jurul unei drepte d , de unghi orientat θ, cu cazulparticular θ = π cand obtinem simetria ortogonala fata dedreapta d
rototranslatia (miscare elicoidala): ta Rd,θ, a ∈−→d
antideplasari:
simetria ortogonala fata de un plan Sπsimetria alunecata ta Sπ, a ∈ −→πrotosimetria Rδ,θ Sπ, δ ⊥ π