curs 2009-2010 geometria cinemàtica de mecanismes robòtics (gcr) mòdul 2: estàtica problemes i...
TRANSCRIPT
Curs 2009-2010
Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics(GCR)
Mòdul 2: EstàticaProblemes i qüestions curtes
P. Jiménez
Exercise 1. The rule of the parallelogram
Let f1 = (L1,M1,R1) and f2 = (L2,M2,R2) be two forces acting on a rigid lamina, such that S1 = (L1,M1) and S2 = (L2,M2) are not parallel. Prove that their resultant f = f1 + f2 is a line bound vector that meets the point of intersection of f1 and f2. (In other words, we ask to prove the result in Fig. 2.14, but for general skew forces, not necessarily applied to the origin.)
Ex. 1 La regla del paralelogram
X
Y
O
{L1, M1; R1}
{L2, M2; R2}
{L1+L2, M1+M2; R1+R2}
p
1) Calcular p2) Comprovar que es compleix
l’equació de la recta per a la resultant
Ex. 1 La regla del paralelogram
X
Y
O
{L1, M1; R1}
{L2, M2; R2}
p
22
11
22
11
22
11 ::1::ML
ML
RL
RL
RM
RMxy pp
1221
1221
MLML
RMRMy p
1221
1221
MLML
RLRLxp
Ex. 1 La regla del paralelogram
X
Y
O
{L1+L2, M1+M2; R1+R2}
p
Lyp –Mxp+ R=0
(L1+L2 )yp – (M1+M2 )xp+ R1+R2 =0
Ex. 1 La regla del paralelogram(L1+L2 )yp – (M1+M2 )xp+ R1+R2 =0
1221
1221
MLML
RMRMy p
1221
1221
MLML
RLRLxp
(L1+L2 )(M1R2–M2R1) – (M1+M2 )(L1R2–L2R1) + +(L1M2–L2M1)( R1+R2 )=0
L1M1R2+L2 M1R2–L1M2R1–L2M2R1 – M1L1R2 – M2 L1R2
+M1L2R1+M2L2R1 +L1M2 R1–L2M1R1+ L1M2 R2–L2M1R2 =0
Exercise 2. Test for concurrent lines
Prove the statement at the end of page 75 on Duffy's book. That is, prove that three lines , i = 1,2,3 are concurrent if, and only if,
0
333
222
111
RML
RML
RML
X
Y
O
{L1, M1; R1}{L2, M2; R2}
{L3, M3; R3}
0
333
222
111
RML
RML
RML
Ex. 2 Test de rectes concurrents
$1 $2
$3
feix de rectes: qualsevol d’elles és expressable com a combinació lineal de dues d’altres
L3= L1+L2 M3= M1+M2 R3= R1+R2
= 0
Ex. 2 Test de rectes concurrents
L1 M1 R1
L2 M2 R2
L3 M3 R3
= 0$1, $2, $3 concurrents
Ex. 2 Test de rectes concurrents
L1 M1 R1
L2 M2 R2
L3 M3 R3
=M1 R1
M2 R2
L3 –L1 R1
L2 R2
M3 +L1 M1
L2 M2
R3 = 0
3
L3 yp – M3 xp + R3 = 0
$1 $2
$3
p
L1 M1 R1
L2 M2 R2
L3 M3 R3
= 0$1, $2, $3 concurrents
Exercise 3. Leg force distribution along a trajectory Do exercise 2.4 of Duffy's book. You will need the help of some computer language (for example Matlab, or C) because an iterative calculation needs to be done. Please comment all steps of your solution to the problem.
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
f[c, s, p]T ?
1.7
2.43.0
X
Y
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
(x1n,y1n)
(x2n,y2n)
(x3n,y3n)l1n l2n
l3n
1 x1n y1n
1 x1b y1b
(x1b,y1b) (x2b,y2b) (x3b,y3b)
L1 : M1 : R1
c1 : s1 : p1
1/(L12 + M1
2)1/2 =1/l1
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
= j -1 ŵ
j =c1
s1
p1
c2
s2
p2
c3
s3
p3
ff1
f2
f3
(aplicada)
(equilibrants)
(resultants)f3
f2
f1
f f
f11
f1n
f2n
f21
f31 f3n
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
% Platform points (in initial position)x1p = 0; y1p = 3;x2p = 0.4*sqrt(2); y2p = 2.4;x3p = 0.95 * sqrt(2); y3p = 1.7;
% Base points (fixed)x1b = 0; y1b = 0;x2b = 3.5; y2b = 0;x3b = 5.0; y3b = 0;
% Unitized coordinates of the force ff=[1;0;-2.4];fprintf('f is:');printmat(f);
% Platform self-parallel displacementsstep = 0.01;M = [];pos = [];
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
for i=1:500
% Platform point coordinates x1p = x1p + step; x2p = x2p + step; x3p = x3p + step; % Leg lengths for such coordinates l1 = sqrt((x1p-x1b)^2 + (y1p-y1b)^2); l2 = sqrt((x2p-x2b)^2 + (y2p-y2b)^2); l3 = sqrt((x3p-x3b)^2 + (y3p-y3b)^2); pos = [pos,x1p]; % Grassmann's point matrices (see page 44) G1 = [1,x1b,y1b; 1,x1p,y1p]; G2 = [1,x2b,y2b; 1,x2p,y2p];
G3 = [1,x3b,y3b; 1,x3p,y3p];
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
for i=1:500
% Platform point coordinates % Leg lengths for such coordinates % Grassmann's point matrices (see page 44) % Unitized coordinates of leg 1 c1 = det(G1(:,[1,2])) / l1; s1 = det(G1(:,[1,3])) / l1; p1 = det(G1(:,[2,3])) / l1;
% Unitized coordinates of leg 2 c2 = det(G2(:,[1,2])) / l2; s2 = det(G2(:,[1,3])) / l2; p2 = det(G2(:,[2,3])) / l2; % Unitized coordinates of leg 3 c3 = det(G3(:,[1,2])) / l3; s3 = det(G3(:,[1,3])) / l3; p3 = det(G3(:,[2,3])) / l3;
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
for i=1:500
% Jacobian matrix j = [c1, c2, c3; s1, s2, s3; p1, p2, p3];
% Vector of leg forces lambda = inv(j)*f; % We collect all results in a matrix M, in order to plot them later M = [M,lambda];
end
% Plot of the results: Red, green, and blue lines correspond to the % resultant forces on legs 1, 2, and 3, respectively.plot(pos, M(1,:),'r', pos, M(2,:),'g', pos, M(3,:),'b', 'LineWidth',2);
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
Forces resultants als connectors. Les forces equilibrants són iguals però de signe contrari.
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria
Qüestions de test (estàtica)
45º 60º 90º
5N10Nm
4m
(0,0) (1,0) (2,0)
6. (4 puntos) La siguiente figura muestra un manipulador paralelo 3RPR en una determinada configuración y con una determinada fuerza y par ejercidos sobre su elemento terminal:
Señala la respuesta correcta:a) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, las patas 2 y 3 en compresión, con valor de 5 N.b) Las patas 1 y 2 están en tensión, con valor de 5√2 N, y la 3 en compresión con valor de 5 N.c) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, la pata 2 no trabaja, y la pata 3 está en compresión, con valor de 5 N.d) Todas las patas están en tensión.e) Variando la orientación y magnitud de la fuerza externa, se puede alcanzar una singularidad.
Trobar les forces als connectors
45º 60º 90º
5N10Nm
4m
(0,0) (1,0) (2,0)
50
-5·4+10ŵ =
50
-10= =
=c1
s1
p1
f1 + f2 + f3
c2
s2
p2
c3
s3
p3
p2 = √3/2
Trobar les forces als connectors
45º 60º 90º
5N10Nm
4m
(0,0) (1,0) (2,0)
50
-5·4+10ŵ =
50
-10= =
= f1 + f2 + f3
0 2
2
22
23
23
21
2
1
0
f1 = 5√2 f2 = 0 f3= −5
12
3
4
A- En aquesta configuració, hi ha forces que no poden ser equilibrades pels actuadors
B- En aquesta configuració, no cal aplicar-hi forces als actuadors per equilibrar la força exercida
C- La força que es mostra pot ser equilibrada actuant només una de les articulacions
D- Aquest mecanisme mai pot ser en una configuració singular
7. (2 puntos) Cada una de las afirmaciones A-D es aplicable exclusivamente a uno de los mecanismos,en las configuraciones que se muestran:
Señala la correspondencia correcta:a) A-2, B-1, C-3, D-4b) A-4, B-3, C-2, D-1c) A-2, B-4, C-1, D-3d) A-3, B-1, C-4, D-2e) A-1, B-3, C-2, D-4
lh
Ff1
f2
f3
8. (4 puntos) En el mecanismo de la figura se aplica una única fuerza, tal como se muestra:
Señala la respuesta correcta:
a) f1 = f3 = 0 y f2 = F
b) f1 = f2 = f3 = F/3
c) f1 = f2 = 0 y f3 = F
d) f2 = f3 = 0 y f1 = F cos(l/h)
e) f1 = F cos(l/h), f2 = Fp2/2 y f3 = Fp2/2
Questions sobre el mecanisme
lh
Ff1
f2
f3
0F0
= 1 0 -√2/2 0 1 √2/2-h 0 l
f1
f2
f3
X
Y
l
h
Ff1
f2
f3
l = h√2/2
45º
9. (3 puntos) El mecanismo del ejercicio anterior es modificado, manteniendo las orientaciones de las patas, hasta que l = h√2/2, como muestra la figura.
Questions sobre el mecanisme
l
h
Ff1
f2
f3
l = h√2/2
45º
Configuració singular?
Questions sobre el mecanisme
l
Ff1
f2
f3
Es pot equilibrar F?
h
Questions sobre el mecanisme
l
Ff1
f2
f3
Si l → h√2/2
què passa amb fi ?
h
Questions sobre el mecanisme
l
Ff1
f2
f3
Es pot equilibrar F?
h
Questions sobre el mecanisme
l
Tf1
f2
f3
Es pot equilibrar T?
h