curs 2 bare solicitate la compresiune axiala calculul de
TRANSCRIPT
1
Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA
Calculul de stabilitate
1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului. o Instabilitate prin divergenta echilibrului.
INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI
- PRINCIPIUL -
P<Pcr P=Pcr P>Pcr
cedare
echilibru stabil echilibru indiferent echilibru instabil
2
PROBLEMA FLAMBAJULUI : ISTORIC
3
BIFURCAREA ECHILIBRULUI (flambaj prin incovoiere)
P
R = P
u
xx=l/2
l
y
f
X
Y
( )
22
2
1 2
0;
sin cos
xM Px
d y Pky k
dx EI
y c kx c kx
=
+ = =
= +
1) x=0 = > y=0 = > 2 0c =
2) x=l = > y=0 = > 1 sin 0c kl =
a) 1 0c = = > bara nu se deformeaza (contradictie)
b) k = 0 = > P = 0 (nu este conform cu realitatea) c) sin kl = 0 = > kl = π, 2 π,...... nπ
2
2cr
E IP
l
π=
� �
(Euler 1759)
4
BIFURCAREA ECHILIBRULUI Cazuri Fundamentale
2
2cr
f
E IP
l
π=
� �
fl = lungime de flambaj = distanta dintre 2 pcte. de inflexiune consecutive a deformatei
barei.
fl lµ= �
Exista 5 cazuri fundamentale de flambaj:
Deformata barei
Ecuatia caracteristica
sin 0kl = cos 0kl = 0tgkl kl− = sin 0kl = cos 1 0kl − =
Forţa critică 2
2
EI
l
π
2
24
EI
l
π 2
20,19EI
l
2
2
EI
l
π
2
2
4 EI
l
π
Lungimea de flambaj
l 2l 0,7l l 0,5l
Coeficientul lungimii de flambaj
1 2 0,7 1 0,5
5
BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere – bara perfecta
u
P A
f
PA
Pcr Pcr
Bara imperfecta
• Procesul de deformare este continuu
P
P
u
f
0
0
• Cedarea are loc prin “limitarea ” echilibrului
PcrPcr
u
P
uu
0,1
0,2
f
P
ff
0,1
0,2
6
BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere
Z
Y
2
, 2
y
cr y
fy
E IP
l
π=
� �; fy yl lµ= �
2
, 2
zcr z
fz
E IP
l
π=
� �; fz zl lµ= �
, ,min( ; )cr cr y cr zP P P=
• Rigiditatea E I� depinde de geometria sectiunii (Iy,Iz).
• Lungimea de flambaj depinde prin µ de conditiile de rezemare.
2 2 2
22 2cr cr
f f
E I Pcr E EP
l A l
i
π π πσ
λ= ⇒ = = =
� �
2
2cr
Eπσ
λ= ;
fl
iλ = λ = coefficient de zveltete
2
, 2cr y
y
Eπσ
λ= ;
2
, 2cr z
z
Eπσ
λ= ; , ,min( ; )cr cr y cr zσ σ σ=
fy
y
y
l
iλ = ;
fz
z
z
l
iλ =
Valoarea maxima a zveltetei se limiteaza prin norme sau rezulta din analiza.!
2
2cr
f
E IN
l
π=
� � /: pl yN A f= �
2 2
2 2
cr
pl f y y
N E I EN
N l A f f
π π
λ= = =
� �
� � �
1
y
E
fλ π=
2 2
1 1cr
pl
NN
N
λ
λ λ
⇒ = = =
;
1
λλ
λ
=
N : forta de flambaj normalizata sau adimensionala.
λ : zveltetea normalizata sau adimensionala sau redusa a barei.
1λ : zveltetea barei ideale pentru care Ncr = Npl
2
2
1
y
Ef
π
λ⇒ =
7
N
1N=Npl
0.50 1.0 1.5 2.0
Npl=Ncr
N=1
2(Euler)
STABILITATE
INSTABILITATE
S235 S275 S355
1λ 94 86 76
8
DIVERGENTA ECHILIBRULUI
• Bara este imperfecta
• Materialul se comporta elasto-plastic. o = > procesul de deformare se initiaza din momentul aplicarii fortei,
cedarea are loc in momentul plasticizarii totale a sectiunii, adica prin formarea unei articulatii plastice.
Capacitatea portanta a barei (momentul incovoietor capabil sau rezistent) ajunge in divergenta cu solicitarea (momentul fortelor exterioare) care tinde sa creasca in situatia in care bara si-a atins capacitatea portanta limita. = > M=Mpl Modelul de instabilitate prin divergenta echilibrului este la bara curbelor de flambaj europene.
9
BAZELE TEORETICE ALE CURBELOR EUROPENE DE FLAMBAJ
* Flambajul este tratat ca o problema de ordinul II, avand la baza modelul fizic de divergenta a echilibrului.
0 0,( ) sind
xv x e
l
π= � (1)
0,max 0,( )2
d
Lv x e= = (2)
( ) sinx
v x AL
π= (3)
max ( )2
Lv v x A= = = (4)
NEd
xL/2
L
v
X,u
Y,v
NEd
0(x)
e0,d
v(x)
vmax
( )2
02
( )( ( )) 0EdNd v xv x v x
dx E I+ + =
� (5)
(1),(3) => (5) = > 0,Ed
d
Cr Ed
NA e
N N=
− (6)
2
2cr
E IN
L
π=
� �
(7)
(6) => (4) => max 0,Ed
d
Cr Ed
Nv e
N N=
−
max 0, 0,Ed
tot d d
Cr Ed
Nv v e e
N N= + =
−
0,
1
1 /tot d
Ed Cr
v eN N
=−
(8)
Bara este solicitata la compresiune axiala, EdN , si momentul incovoietor de ordinal II,
II
Ed Ed totM N v= � (9)
La mijlocul barei,
,max 0,
1
1 /
II
Ed Ed d
Ed Cr
M N eN N
=
− � (10)
Relatia de interactiune II
Ed EdN M− pentru verificare este:
,max
1
II
EdEd
Rd Rd
MN
N M+ ≤ (11)
Forta EdN poate creste pana la colaps (flambaj) = >
,Ed b Rd RdN N Nχ= = (12)
= > coeficientul de reducere la flambaj:
10
,
1b Rd
Rd
N
Nχ = <
,b RdN = forta de cedare la flambaj
Rd y plN f A N= =�
Rd y elM f W= �
Formula Ayrton-Perry:
(11) => 2
0,(1 )(1 )
d
el
Ae
Wχ χ λ χ ηχ− − = =� (13)
pl
cr
N
Nλ =
0,d
el
Ae
Wη = - imperfectiunea generalizata (14)
=> prin calibrare experimentala: ( 0.2)η α λ= − (15)
α este factorul de imperfectiune
11
12
13
14
15