curs 11 functii reale de mai multe variabile reale. calcul...
TRANSCRIPT
![Page 1: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/1.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Curs 11Functii reale de mai multe variabile reale.
Calcul diferential.
Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"
Iasi 2014
![Page 2: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/2.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Definitie
Fie functia f : D ⊆ R2 → R, D multime deschisa, si (x0, y0) ∈ D.
(i) Spunem ca functia f are în punctul (x0, y0) derivata partialaîn raport cu variabila x daca exista
limx→x0
f (x , y0)− f (x0, y0)
x − x0.
Valoarea limitei se numeste derivata partiala a lui f în raport cux în punctul (x0, y0) si se noteaza prin
∂f∂x
(x0, y0) sau f ′x (x0, y0) .
Daca limita este finita spunem ca f este derivabila partial înraport cu x în punctul (x0, y0) .
![Page 3: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/3.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
(ii) Spunem ca f are în punctul (x0, y0) derivata partiala înraport cu variabila y daca exista
limy→y0
f (x0, y)− f (x0, y0)
y − y0.
Limita se numeste derivata partiala a lui f în raport cu y înpunctul (x0, y0) si se noteaza prin
∂f∂y
(x0, y0) sau f ′y (x0, y0) .
Daca limita este finita spunem ca f este derivabila partial înraport cu y în punctul (x0, y0) .
![Page 4: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/4.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
ObservatieExistenta primei limite revine la derivabilitatea în punctul x0 afunctiei de o variabila reala
g (x) = f (x , y0) ,
în timp ce existenta celei de-a doua limite revine laderivabilitatea functiei de o variabila reala
h (y) = f (x0, y)
în punctul y0.
![Page 5: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/5.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Exemplu
Fie f (x , y) = x2 + xy , (x0, y0) = (2,0) . Sa calculam derivatelepartiale în (x0, y0) .
∂f∂x
(2,0) = limx→2
f (x ,0)− f (2,0)x − 2
= limx→2
x2 − 4x − 2
= limx→2
(x + 2) = 4
∂f∂y
(2,0) = limy→0
f (2, y)− f (2,0)y − 0
= limy→0
4 + 2y − 4y
= 2.
sau∂f∂x
se calculeaza considerând y constant si derivând ca ofunctie de o singura variabila, x .
∂f∂x
(x , y) = 2x + y ⇒ ∂f∂x
(2,0) = 4 + 0 = 4,
∂f∂y
(x , y) = x ⇒ ∂f∂y
(2,0) = 2.
![Page 6: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/6.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Observatie
Pentru a calcula derivata partiala∂f∂x
(x0, y0) a unei functii f înraport cu prima variabila x , derivam functia ca si cum variabilaar fi doar x (consideram variabila y drept o constanta).
![Page 7: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/7.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Cazul general:
DefinitieFie f : D ⊆ Rp → R, D multime deschisa sia = (a1,a2, ...,ap) ∈ D.
(i) Spunem ca f are derivata partiala în raport cu variabila xi înpunctul a daca exista
limxi→ai
f (a1, ...,ai−1, xi ,ai+1, ...,ap)− f (a1,a2, ...,ap)
xi − ai.
Limita se numeste derivata partiala a functiei f în raport cuvariabila xi în punctul a si se noteaza
∂f∂xi
(a) sau f ′xi(a) .
![Page 8: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/8.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
(ii) Spunem ca f este derivabila partial în raport cu variabila xi
în punctul a daca∂f∂xi
(a) ∈ R.
Se observa ca f poate avea p derivate partiale.
![Page 9: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/9.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
ExempluSa calculam derivatele partiale ale functiei
f (x , y , z) = x2y + y sin (x + z) + xz + ln(
y2 + z2 + 1).
Rezolvare. Având o functie de 3 variabile, vom avea 3 derivatepartiale:
∂f∂x
(x , y , z) = 2xy + y cos (x + z) + z + 0
∂f∂y
(x , y , z) = x2 + sin (x + z) +2y
y2 + z2 + 1,
∂f∂z
(x , y , z) = y cos (x + z) + x +2z
y2 + z2 + 1.
![Page 10: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/10.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Notam
C1 (D) = {f : D → R, f este derivabila partial pe D
(în raport cu orice xi ) si
∂f∂xi
sunt continue pe D, ∀i = 1, ...,p}.
![Page 11: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/11.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Fie f : D → R, unde D ⊆ Rp este o multime deschisa.Fie i ∈ {1,2, ..,p} .
Presupunem ca f este derivabila partial în raport cu variabila xipe D.
Atunci,∂f∂xi
este o functie de p variabile definita pe D cu valori
reale:∂f∂xi
: D → R.
Aceasta poate admite sau nu, la rândul ei, derivate partiale,care vor fi numite derivate partiale de ordinul al doilea alefunctiei f .
![Page 12: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/12.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
DefinitieFie i , k ∈ {1,2, ...,p} .
Daca∂f∂xi
are derivata partiala în raport cu variabila xk în
punctul a ∈ D, atunci aceasta se numeste derivata partiala deordinul al doilea a functiei f în punctul a în raport cu variabilelexi si xk si se noteaza prin
∂
∂xk
(∂f∂xi
)(a) =
∂2f∂xk∂xi
(a) .
![Page 13: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/13.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Daca i = k notam
∂
∂xk
(∂f∂xk
)(a) =
∂2f∂x2
k(a) .
Pentru i 6= k ,∂2f
∂xk∂xi(a) se numeste derivata mixta de ordinul
doi în punctul a.
![Page 14: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/14.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Exemplu
Fie f : R2 → R, f (x , y) = xy2.
Sa calculam∂2f∂x2 ,
∂2f∂y∂x
,∂2f∂x∂y
,∂2f∂y2 .
Avem:
∂f∂x
(x , y) = y2;∂2f∂x2 (x , y) =
∂
∂x
(∂f∂x
)(x , y) =
(y2)′
x= 0;
∂2f∂y∂x
(x , y) =∂
∂y
(∂f∂x
)(x , y) =
(y2)′
y= 2y ;
∂f∂y
(x , y) = 2xy ;∂2f∂x∂y
(x , y) =∂
∂x
(∂f∂y
)(x , y) = (2xy)′x = 2y ;
∂2f∂y2 (x , y) =
∂
∂y
(∂f∂y
)(x , y) = (2xy)′y = 2x .
![Page 15: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/15.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Exemplu
Fie f : R3 → R, f (x , y , z) = sin (x + yz) .Calculam derivatele partiale de ordinul întâi:
∂f∂x
(x , y , z) = (sin (x + yz))′x = cos (x + yz) · (x + yz)′x= cos (x + yz) · (1 + 0) = cos (x + yz)
∂f∂y
(x , y , z) = (sin (x + yz))′y = cos (x + yz) · (x + yz)′y
= cos (x + yz) · (0 + z) = z cos (x + yz)
∂f∂z
(x , y , z) = (sin (x + yz))′z = cos (x + yz) · (x + yz)′z= cos (x + yz) · (0 + y) = y cos (x + yz) .
![Page 16: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/16.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Calculam derivatele partiale de ordinul al doilea
∂2f∂x2 (x , y , z) =
∂
∂x
(∂f∂x
)(x , y , z) = (cos (x + yz))′x
= − sin (x + yz) · (x + yz)′x = − sin (x + yz) · 1
∂2f∂y2 (x , y , z) =
∂
∂y
(∂f∂y
)(x , y , z) = (z cos (x + yz))′y
= (z)′y · cos (x + yz) + z (cos (x + yz))′y= 0− z sin (x + yz) · (x + yz)′y = −z2 sin (x + yz)
∂2f∂z2 (x , y , z) =
∂
∂z
(∂f∂z
)(x , y , z) = (y cos (x + yz))′z
= 0− y cos (x + yz) · (x + yz)′z = −y2 cos (x + yz)
![Page 17: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/17.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Calcula derivatele partiale mixte
∂2f∂x∂y
(x , y , z) =∂f∂x
(∂f∂y
)(x , y , z) = (z cos (x + yz))′x
= (z)′x · cos (x + yz) + z (cos (x + yz))′x= 0− z sin (x + yz) · (x + yz)′x = −z sin (x + yz)
∂2f∂x∂z
(x , y , z) =∂f∂x
(∂f∂z
)(x , y , z) = (y cos (x + yz))′x
= (y)′x · cos (x + yz) + y (cos (x + yz))′x= 0− y sin (x + yz) · (x + yz)′x = −y sin (x + yz)
∂2f∂y∂z
(x , y , z) = cos (x + yz)− yz sin (x + yz) .
![Page 18: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/18.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Conditii suficiente pentru egalitatea derivatelor partiale mixtede ordinul al doilea într-un punct:
Teorema (Criteriul lui Schwarz)Fie f : D → R, unde D ⊆ Rp este multime deschisa, si a ∈ D.
Daca f are derivatele partiale mixte,∂2f∂xi∂xj
si∂2f∂xj∂xi
(i 6= j),
finite într-o vecinatate a punctului a si acestea sunt continue îna, atunci
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂2f∂xj∂xi
(a) .
![Page 19: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/19.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Notam
C2 (D) =
{f ∈ C1 (D) ;
∂2f∂xk∂xi
continue pe D, ∀i = 1,p, k = 1,p}.
Observatie
Daca f ∈ C2 (D) atunci
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂2f∂xj∂xi
(a) , ∀a ∈ D, ∀j = 1,2, ...,p.
![Page 20: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/20.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Amintim ca:
O functie de o variabila reala f : I ⊆ R→ R, I deschis, estediferentiabila într-un punct a ∈ I daca exista A ∈ R si α : I → Rcontinua în a, cu α (a) = 0, astfel încât
f (x) = f (a) + A (x − a) + α (x) (x − a) , ∀x ∈ I. (1)
![Page 21: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/21.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
DefinitieFie f : D → R, unde D ⊆ Rp este o multime deschisa.
(i) Spunem ca functia f este diferentiabila în punctul a ∈ D dacaexista A ∈ Rp si o functie α : D → Rp continua în a cu α (a) = 0astfel încât
f (x) = f (a) + 〈A, x − a〉+ 〈α (x) , x − a〉 , pentru orice x ∈ D.(2)
(ii) Spunem ca functia f este diferentiabila pe D daca estediferentiabila în orice punct a ∈ D.
![Page 22: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/22.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Cazul p = 2
Fie f : D → R, D ⊆ R2 deschisa.
f este diferentiabila în punctul a = (a1,a2) ∈ D daca existaA1,A2 ∈ R si α1, α2 : D → R functii continue în a cuα1 (a) = α1 (a) = 0 astfel încât
f (x1, x2) = f (a1,a2) + A1 (x1 − a1) + A2 (x2 − a2)
+α1 (x1, x2) (x1 − a1) + α2 (x1, x2) (x2 − a2) ,(3)
pentru orice (x1, x2) ∈ D.
![Page 23: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/23.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
TeoremaFie D ⊆ Rp o multime deschisa.Daca f : D → R este diferentiabila într-un punct din D, atunci feste continua în acel punct.
DemonstratieAvem
f (x) = f (a) + 〈A, x − a〉+ 〈α (x) , x − a〉 , ∀x ∈ D.
Când x → a, α (x)→ 0 si x − a→ 0, deci 〈A, x − a〉 → 0 si〈α (x) , x − a〉 → 0 (datorita proprietatii de continuitate aprodusului scalar). Rezulta ca
limx→a
f (x) = f (a) ,
adica f este continua în punctul a.
![Page 24: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/24.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Legatura dintre existenta derivatelor partiale si diferentiabilitate:
Teorema
Fie D ⊆ Rp o multime deschisa.Daca functia f : D → R este diferentiabila în punctul a ∈ D,atunci f este derivabila partial în acest punct si numerele Ai ,i = 1,2, ...,p, sunt chiar derivatele partiale:
Ai =∂f∂xi
(a) , i = 1,2, ...,p.
![Page 25: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/25.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
DemonstratieDemonstram teorema pentru cazul p = 2.
Avem:
f (x1, x2) = f (a1,a2) + A1 (x1 − a1) + A2 (x2 − a2)
+α1 (x1, x2) (x1 − a1) + α2 (x1, x2) (x2 − a2) ,
pentru orice (x1, x2) ∈ D. Luând x2 = a2, obtinem
f (x1,a2) = f (a1,a2) + A1 (x1 − a1) + α1 (x1,a2) (x1 − a1) ,
sau, pentru x1 6= a1,
f (x1,a2)− f (a1,a2)
x1 − a1= A1 + α1 (x1,a2) .
![Page 26: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/26.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Membrul drept are limita pentru x1 → a1, anume
limx1→a1
[A1 + α1 (x1,a2)] = A1 + limx1→a1
α1 (x1,a2)
= A1 + α1 (a1,a2) = A1.
Deci exista si
limx1→a1
f (x1,a2)− f (a1,a2)
x1 − a1= A1 ∈ R,
adica f admite derivata partiala în punctul a în raport cuvariabila x1 si
∂f∂x1
(a) = A1.
Analog se arata ca∂f∂x2
(a) = A2.
![Page 27: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/27.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
CorolarDaca o functie nu admite o derivata partiala în raport cu unadin variabile, sau admite dar nu este finita, atunci ea nu estediferentiabila.
ObservatieReciproca teoremei precedente nu are loc pentru p > 1.
Amintim ca în cazul functiilor de o variabila (p = 1) are loc sireciproca.
În cazul p > 1 este posibil ca o functie sa admita toate cele pderivate partiale în acel punct, acestea sa fie finite, dar ea sanu fie diferentiabila.
![Page 28: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/28.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Exemplu
Fie functia f : R2 → R, definita prin
f (x , y) =
xy
x2 + y2 , (x , y) 6= (0,0)
0, (x , y) = (0,0) .
Functia f este derivabila partial în origine, dar nu estediferentiabila în origine.
![Page 29: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/29.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Teorema (Criteriul de diferentiabilitate)Fie D ⊆ Rp o multime deschisa, f : D → R si a ∈ D.
Daca f este derivabila partial într-o vecinatate V a punctului asi derivatele partiale sunt continue în a, atunci f estediferentiabila în a.
![Page 30: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/30.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
ExercitiuSa se arate ca functia
f : D =
{(x , y) ∈ R2;
xy> 0, y 6= 0
}→ R, f (x , y) = ln
xy,
este diferentiabila pe D.
Solutie. Calculam derivatele partiale într-un punct curent(x , y) ∈ D. Avem
∂f∂x
(x , y) =1xy
·(
xy
)′x=
yx· 1
y=
1x,
∂f∂y
(x , y) =1xy
·(
xy
)′y=
yx·(− x
y2
)= −1
y.
![Page 31: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/31.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
Functiile∂f∂x,∂f∂y
sunt continue pe D, deci f ∈ C1 (D) .
Prin urmare, f este diferentiabila pe D.
![Page 32: Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul ...math.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c11-AM1.pdf · Derivate par¸tialeDerivate par¸tiale ordin superiorFunc¸tii diferen¸tiabile](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021800/5e02ee69d9e2ea2f2040f5d9/html5/thumbnails/32.jpg)
Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile
DefinitieFie D ⊆ Rp o multime deschisa si f : D → R o functie derivabilapartial într-un punct a ∈ D.
Se numeste gradientul functiei f în a, elementul din Rp ale caruicomponente sunt valorile derivatelor partiale ale functiei f înpunctul a, adica
gradf (a) =(∂f∂x1
(a) ,∂f∂x2
(a) , ...,∂f∂xp
(a))∈ Rp.
În cazul p = 1, gradientul functiei f în punctul a este tocmaiderivata functiei în a : gradf (a) = f ′ (a) .