Prof. Jenner Huamán Callirgos

Dados 2 números naturales a y b, se llama producto de a y b la cual sedenota a.b al número natural P, tal que a.b = P.Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a;b) su producto a.b

Multiplicación

a . b = P a: multiplicandob: multiplicador P: producto

5 2 4 x6 7

3 6 6 83 1 4 4

3 5 1 0 8

multiplicandomultiplicador

Productosparciales

Producto total

DivisiónDivisión Entera: Es la operación inversa de la multiplicación que tienepor objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d). Hallar untercer número llamado cociente (q) que indica cuantas veces contieneel dividendo al divisor.

dD

qR

D: dividendod : divisorq : cocienteR : residuo

CLASES DE DIVISIÓN

A.División entera exacta: Esaquella en la cual el dividendocontiene al divisor un númeroentero de veces, es decir cuandoel residuo es cero.

dD

q0

⇒ D = d . q

B. División entera inexacta:Cuando el residuo es mayor quecero.

B.1. División entera inexacta por defecto.

dD

qR

⇒ D = d . q + R

B.2. División entera inexacta por exceso.

dD

(q+1)Re⇒ D = d(q + 1) - Re

PROPIEDADES

R + Re = divisor

I. En toda división se cumple que elresiduo es menor que el divisor.

cero ≤ residuo < divisor

II. En la división entera inexacta secumple que: Residuo máximo = divisor – 1

Residuo mínimo = 1

III. Cuando una división se realizapor defecto y por exceso, se cumpleque la suma de residuos es igual aldivisor.

IV. Si se multiplica o divide el dividendo y divisor de una división enterapor un mismo número, el cociente no varía pero el residuo según el casoqueda multiplicado o dividido por dicho número.

Aplicación

1. ¿En cuantas veces su valor habrá aumentado el producto detres factores, sabiendo que uno de ellos aumentó en su duplo, otroen su triple y el tercero en su cuádruple?

a) 24 veces b) 59 veces c) 60 vecesd) 20 veces e) 30 veces

Resolución

2. El producto de dos números es 720, si se añaden 6 unidades almultiplicando, el producto es entonces 816. ¿Cuál es elmultiplicador?

a) 72 b) 36 c) 45 d) 16 e) 32

Resolución

3. Hallar un número de tres cifras que multiplicado por 73termine en 417. Dar el producto de sus cifras.

a) 15 b) 18 c) 32 d) 42 e) 72

Resolución

4. En una división el cociente es 18, el divisor el doble del cociente yel residuo el máximo posible. Hallar la suma de cifras del dividendo.

a) 12 b) 17 c) 21 d) 25 e) 29

Resolución

5. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtengaun cociente que es la raíz cuadrada del resto.

a) 602 b) 632 c) 532 d) 624e) 642

Resolución

6. ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 45 dapor residuo el triple del cociente? Dar como respuesta la suma desus cifras.

a) 10 b) 12 c) 16 d) 15 e) 572

Resolución

7. ¿Cuántos números existen tales que al dividirlas entre 25, suresiduo es el doble del cociente? (UNFV-2010)

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Resolución

5x7abcde abcde78. Hallar: a + b + c + d + e, si: =

a) 19 b) 20 c) 21 d) 24 e) 27

Resolución

× =

× =

× =

abc m 2247abc n 2568abc p 2889

×abc mnp

9. Si:

Hallar:

A) 252369 B) 253296 C) 252396 D) 253692 E) 253269

Resolución

10. Cuantos números de 4 cifras existen tal que al dividirlos entre 45se obtiene un cociente que es el cuádruple del residuo.

A) 39 B) 41 C) 45 D) 47 E) 50

Resolución

11. Si: mnpq ×999 = …5317.Calcular: “m+n+p+q”A) 16 B) 24 C) 21 D) 15 E) 18

Resolución

12. Hallar un número de 5 cifras tal que al multiplicarse por el máximonúmero de 5 cifras termina en 11456.

A) 87654 B) 88455 C) 88544 D) 77544 E) 88522

Resolución

13. Hallar la suma de todos los números N, tales que multiplicadospor 7 se obtiene como resultado un número de 2 cifras cuyo ordenes distinto al que se obtiene cuando se multiplica N por 4.

a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

Resolución

14. Hallar el mayor número de k cifras diferentes, tal que,multiplicado por el mayor número de k cifras, el producto obtenidotenga como suma de cifras el valor de 45. Señale como repuesta lasuma de las cifras del mayor y menor orden del número buscado.

a) 13 b) 14 c) 16 d) 15 e) 17

Resolución

15. Hallar el mayor número que multiplicado por otro de dos cifrasdiferentes, dé como resultado un número de 6 cifras iguales.

a) 62973 b) 76923 c) 92763d) 90909 e) 27027

Resolución

1. La suma de los productos parciales de es 4 887.Hallar "a + b + c".a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥243

2. Si: abc . m = 615 y abc . n = 369, hallar abc . mnm y darcomo respuesta la suma de sus cifras.

a) 18 b) 21 c) 24 d) 27 e) 30

3. Hallar "a + b + c", si: abc × 87 = …511a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

4. Si: abc × 237 = dd973, calcule la suma de los productosparciales.a) 3 946 b) 3 947 c) 3 948 d) 3 949 e) 3 950

5. En una división inexacta, el dividendo es 379, elcociente 18 y el residuo es máximo. Hallar el divisor.a) 16 b) 17 c) 19 d) 20 e) 21

6. Hallar el mayor número que dividido entre 70 genera unresiduo que es el triple del cociente.a) 1 512 b) 1 613 c) 1 679 d) 1 719 e) 1 812

7. En una división inexacta, al residuo le faltan 15 unidadespara ser máximo y le sobran 9 unidades para ser mínimo.Si el cociente es 18, hallar el dividendo.a) 196 b) 252 c) 384 d) 424 e) 478

8. En una división inexacta, el divisor es 24 y el residuo 5.¿Cuántas unidades se le deben adicionar como máximo aldividendo, para que el cociente aumente en 3 unidades?a) 72 b) 78 c) 81 d) 90 e) 100

9. Hallar "a + b + c + d", si: abcd × 9 999 = ... 3648a) 12 b) 14 c) 16 d) 19 e) 23

10. Sabiendo que: abc . a = 5 201abc . b = 2 972abc . c = 2 229

hallar la suma de las cifras de: abc2

a) 15 b) 18 c) 23 d) 24 e) 25

11. Al multiplicar un número por 37, se observa que ladiferencia de los productos parciales es 772. Hallar la sumade las cifras del producto.a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

12. Disminuyendo en 3 a cada término de unamultiplicación, el producto disminuye en 231. Halle losfactores, si la diferencia de ellos es 36.a) 58 y 22 b) 57 y 21 c) 56 y 20 d) 59 y 23 e) 60 y 24

13. En una división inexacta, se observa que el divisor es 4veces más que el residuo y si al residuo se le disminuye en17 se volvería mínimo. Halle la suma de cifras deldividendo, si el cociente es los 5/3 del residuo.a) 15 b) 18 c) 10 d) 12 e) 13

14. Se realiza una división tanto por defecto como porexceso y se obtuvo que la suma de los cocientes fue 45,la suma de los residuos fue 34 y el residuo por excesoes excedido por el residuo por defecto en 14. Hallar eldividendo.a) 612 b) 657 c) 772 d) 814 e) 872

15. Si en el último día del año 2010, varios amigosdividen su año de nacimiento entre el día en quenacieron obtienen de residuo por exceso la edad quetienen, ¿cuántos amigos son como máximo, si los díasde nacimiento son diferentes?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

16. ¿Cuántos números de cuatro cifras que comienzany terminan en 5 son tales que divididos entre otronúmero entero se obtiene 17 de cociente y un residuomáximo?a) 11 b) 12 c) 10 d) 14 e) 15