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Cuaderno de apoyo Matemáticas

4º E.S.O.

Nombre:…………………………………………………………………………………………………………………..

Curso:……………………………………………….

Colegio Internacional PinosierraDepartamento de Matemáticas

1º NÚMEROS REALES. NOTACIÓN CIENTÍFICA

1.- Escribir :1º) 23 decenas y 47 milésimas 2º) 13 decenas y 52 milésimas3º) 2 centenas y 25 centésimas4º) 3 décimas y 25 milésimas5º) 20 décimas y 40 centésimas6º) 47 décimas y 200 milésimas

7º)2 decenas y 400 milésimas8º) 40 centenas y 25 décimas9º) 25decenas y 38 centésimas10º) 25 unidades y 300 milésimas11º) 31 decenas y 400 milésimas 12º) 2 décimas y 300 centésimas

2.- Expresar en notación científica los siguientes números1. 20000002. 0,00000023. 98500000004. 124,44445. 23994,0996. 1234000000007. 349000000000008. 0,0000000001239. 23456,1100

10. 198700000000011. 0,00000000000000001112. 29800000000000000013. 2,122214. 12300000015. 432,12316. 12345,0217. 123,4568718. 2330000000000000

3.- Realizar las siguientes operaciones en notación científicas, expresando el resultado con una cifra entera y el resto decimales 1º) 20, 3483 103. 0,002 10-4

2º) 213,25 10-4 / 3,13 10-6

3º) 0,0123 10-5 . 3,33 10-1

4º) 15000 10 6 . 31,15 106

5º) 0,0001 10 8/ 31,23 103

6º) –2.3244 10 –7 . 23,22 104

7º) 31,21 104 / 2,22 1012

8º) 21.12 10-3 / 0.00000029º) 10000000000. 2, 22 10-7

10º) 2,3333 10-5 . 3,25 108

11º) 0,3333 10-3 . 1,15 108

12º) 2,3333 10-5 . 3,25 108

13º) 0,00000003 .1,2 10-8

14º ) 10000000 , 5 ,33 10 5

ERRORES1º Se aproxima el número 0,8888888........ mediante a) 0,88 b) 0,89Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso2º Se aproxima el número 10/3 mediante a) 3,333 b) 3,34Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso3º Redondear el número 0, 44444…. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso4º Redondear el siguiente número 10,515151… con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo ¿ Es por exceso o defecto?. .Hacer lo mismo con 4 cifras.5 Se redondea el número 0,383838…….mediante a) 2cifras b) 3 cifrasCalcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso6 º Se aproxima el número 1,88888888 mediante a) 1,888 b) 1,89Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso

2


2º POTENCIAS Y RADICALESPropiedades de las potencias

1º) an . am = an+m 2º) an : am = an-m 3º) (an)m = an..m4º) n

mn m aa =

1. Operar y simplificar:

1) a.aa:

aa.a

a.aa.a

3

5

3

2

45

32

2) a.aa.a a.a .

a.aa.a

a.aa.a

3

3

5

3

2

27

5

3)

( )( )220

223

x.x.xx:x.x:x

−

4)

2

2

24

21.2

23.

32

6)

36

3

433

24116

2211024

−

)(

)(.

7)

642323

4332

babababa

))(()( −

8)

5323

42142342

−

−−−

yyxyxyxyx

)()()(

9)

344

433

12

642

aa

aa )(

10)

3

24

32

23423123

−

baba

baabba ))(()(

11)

532

342

313

2733181

−

−

))((

)(

23)

2223

42142342

1

−−−

xyyx

yxyxyx

)(

)()(

13)

342323

43232

1

−

ababa

baba

))((

)()(

14)

3524

434

12

6432−

−

aa

aa

)(

)(

15)

522242

21

21

2164

−

...

16)

2342

33232

))ba((ab)ba(a −

17) a.aa.aa.aa.

a.aa.aa.a

a.a

3

3

45

3

2

27

5

18)

42356

41352323

)()()(

−−

−−−−−−

bababababa

19)

34265

22464432

)()()(

−−

−−−−−

bababababa

20)

2223

42142342

1

−−−

xyyx

yxyxyx

)(

)()(

21)

532

342

313

2733181

−

−

))((

)(

22)

633

352

21))2((

)16(22132

−

23)

2

2322

43231233

1)(

)()(

−−−

yxyx

yxyxyx

24)

633

352

31))3((

)81(33127

−

25)

633

352

51))5((

)625(5251125

−

3


26)

2

34

223

2212244

yx)yx(

)yx()yx(yx

−

−

−−−

27)

542323

223232

ba))ba(()ba()ba( −−

52222

32332

)ba)ba()ba(ba

(

−

28)

2

4-2-

-43

z) y(5x z) yx10(

−−

4


Propiedades de los radicales

1º) nna b.aba . = 2º)

nna b.aba : = 3º) ( ) n mmn aa = 4º) m.nn m aa =

5º) El producto (división) de dos radicales de distinto índice es otro radical de índice el m.c.m de los índices y en su interior los la multiplicación (división) de los radicandos elevados al resultado de dividir el m.c.m entre su índice

Ejemplos :

6 323 baba . =

4

4

32

32 =

6º) Para extraer de un radical se divide el exponente del radicando entre el índice de la raíz , el cociente son los que salen y el resto los que se quedan:

Ejemplo: 3 233 11 xxx =

7º) Para introducir un factor en un radical multiplicamos el exponente por el índice del radical

Ejemplo: 3 632 yxyx =

1.- Escribe como potencias de exponente fraccionario y simplifica:

5 23 22

3 23 5 32

6 53

3 23 2

34

23

23

23 25 3

x

x-12. xy

xy -11. 33

31 3 .10x xx.9

xax

xaax.8331 7

32.6 yx55

bab.b

ba4xxx.3xy.2xy.1

−−−−

−−−−−−

2.-Simplifica y reduce las siguientes expresiones a potencias:

( )

3

234 43 24

3 2

5 22

312

16311

3

4 3 23

88

6

3

4

8 7

5 46 5

4 3

3 2

3110

21

32233

yx y x -10. x xx -9.

yxx

x x.8cxba

cbax.7yxx.6

x x x -5. a

aa

aaa

-4. .

a

a.a

aa

a

.332

32.2

x1x.1

−−−−

−

−−−

÷

÷÷−

−

−

3.- Extrae todos los factores posibles:

3134

9

743

67

345

8

5610342

625yxº.5.

zyx1024º.4

nmzyx8º.3

tzyx5º.2yxyx2º1 −−−−−

4 6543 124333

416

2318654

4

767 43131075

ax625.º141000.º13xht125.º12yx200.º11

zyxº.10.yx128º.9

zbaº.8zyxº.7yx50º.6

−−−−

−−−−− −−

15º 151273 tzyx 32 16º

3 12105 c ba 125 18º 4 12239 zy x1024 19º.-

4 84ba81

4.- Introduce dentro del radical y simplifica:

3

34

3

23

2

4

43

233

xyx

yx -5

a27ax125

5xza 3 -4

yzx2

xy23.3xyyx.2

x1x.1 −−−−

6-2

44

4

3

xyx

yx

−

5


5.- Realizar las siguientes operaciones:

yx xy yx h) yx xy yx g) xxfe

dhahaczzba

36 434 2 2522343

33 433 2244 3

3:3)34.43)

2:16):)3.27)821.2

43)

−−

6.- Efectúa las siguientes operaciones con radicales:

a) 6 54

4 2

yx

yx

i) 334 3

332

)b(a ba

aba ba3-

3 33

p) 232-3 42

4 223

)(a

a b

bba

aba

b)

4 3 2xxx

j)

4 23323 2 bababa

q) 6 43

324 3

yxxy

yxxy

c)

324 3 yxxy

k) 6 222

4 323 4

yxxy

yxxy

r) 3 ab

ba

d) ab

ba ab 3

l)

6 533 23 4 yxyxyx

s) a2 b-3

33ba

a4 b3

3 4ba

e) 6 22 yxyx m) xyyx 810243 32 .

4 322 yx t) yxyx 33 24 128.32 4 222 −yx

f)

6 2a

b

bba

baa3 42

3

n) 4 2323

3 324

yaya

yaay−

u)

zttz 125.6253 32 6 325 tz

g) 15 25

3 323 42

yxxy

yxyx

ñ) 332

3 2

)( yx

yxxy

v) x

xxx

h) 3 22

4 323 4

baba

baab

o)

324 3 yxxy xy8.yx10243 32

w) ab

bba

7. Sumar los siguientes radicales 1. 18 + 2 50 - 2 2 - 8

2. a50 - a18 +2 a2

3. 75 +2 27 +4 12 -3 3

4. 17526332857328 −+−−

5. 8 185+ 983200 +−

6. 50·53218·28·3 −+−

7. 14732748·2108 −−+

8. 3 48 -4 27 +5 75 +6 3

9. 32 +4 50 -3 98 -7 128

10. 14732748·2108 −−+

11. 3 2 -33 16 +5

3 250

12. 333 6253545 −+

13. 333 240145627 +−

14. 3333 5425016432 −+−

15. 245 +4 453180 −

6


RacionalizarConsiste en eliminar raíces del denominador. Existen varios procedimientos

1er Tipo: Denominador con raíz cuadrada

ba

Se multiplica numerador y denominador por la raíz :

( ) bba

b

bab

a2 ==

2º Tipo : Denominador con raíz

de índice superiorn mb

a

Se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice y el radicando elevado a la diferencia entre el índice y el exponte del radicando

bba

b

ba

b

ba

bb

ba

b

a n mn

n n

n mn

n mnm

n mn

n mnn m

n mn

n m

−−

−+

−

−

−

====

3er Tipo: Denominador con raíces sumadas o restadas

cba+

Se multiplica y divide por las raíces conjugadas y se aplica la identidad notable (a+b)(a-b) =a2-b2

( ) ( ) cb)cb(a

cb

)cb(a)cb)(cb(

)cb(acb

a22 −

−=−

−=−+

−=+

1.- Racionalizar las siguientes expresiones:

1) 33

2)32

3)5

2

4)732

5)3362

6)113

2

7)6352

8)137

9)abba

10)a2

a2

11) 5 84

12) 5 272

13) 4 1255

14) 3 35

15) 3 24

16) 3 63

17) 3 497

18) 3 25

19) 4 1253

20) 3 84

21) 4 255

22) 3 2a

a

23) 4 3

4

a

a

24)10

51 −

25) 352−

26)3

25 −

27)51

22+

28) 253−

29)23

6−

30)2

22 −

31)37

2−

32)36

2+

33)2

32 +

34)65

2−

35)37

2−

36)23

4+

37)5

52 +

38) 38

2−

39)65

2+

40)32

3+

41)34

5−

7


42)35

3−

43)752

2−

44)ba

ba−−

45)ba

ba 22

−−

46)ba

bab2a 22

−+−

47)baba

−+

8


3º POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICASOPERACIONES CON POLINOMIOS

Definiciones: EjemplosValor numérico de una expresión algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir las letras por los números dados.

Ejemplo: x3 – 6x + 5 en x=1 (1)3-6(1)+5 =0

Suma y diferencia de polinomios. Es el polinomio que se obtiene al reducir ( sumar o restar ) los términos semejantes ( de igual grado)

Ejemplo:(4x3 – 12x + 10) – (3x4 + 6x3 – 12x2 – 14) = -3x4 – 2x3 + 12x2 – 12x + 24

Multiplicación de un polinomio por un número: Se multiplican todos los términos del polinomio por dicho número

Ejemplo: 2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x + 10

Producto de un polinomio por un monomio: Es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio:

Ejemplo: 2x2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x3 + 10x2

Producto de polinomios: Es otro polinomios cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumando luego los términos semejantes. Si tienen muchos términos se colocan los monomios del mismo grado uno debajo de otro luego se multiplican y se suman

Ejemplos

(2x2 – 6x)(3x – 5) = =6x3 – 10x2 – 18x2 + 30x == 6x3 – 28x2 + 30x

(-7x3+3x2+2) ( 2x2+3x-1)-7x3+3x2 + 2 2x2 +3x -1

-7x3 -3x2 - 2 -21x4 +9x3 +6x -14x5 +6x4 +4x2

-14x5 -15x4 +2x3 +x2 +6x -2La división de polinomios es similar a la división de números. El dividendo y el divisor deben de estar ordenados en orden decreciente. Vamos dividiendo los monomios de mayor grado del dividendo y los dividendos parciales entre el divisor. Multiplicamos el monomio resultado de esta división por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo parcial La división acaba cuando el grado del dividendo parcial es menor que el grado del divisor. Ejemplo : Calcular Q(x) : P(x), siendo: Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 y P(x) = x2 – 5xx4 + 2x3 – 6x2 – 7 x2 – 5x-x4 + 5x3 x2 + 7x + 29 7x3 – 6x2 Dividendo = Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 -7x3 + 35x2 Divisor = P(x) = x2 – 5x 29x2 Cociente = x2 + 7x + 29 - 29x2 + 145x Resto = 145x - 7 145x - 71.- Dados los polinomios A(x)= x5 – 25 x3 + 2x-3 ; B(x)= x2 – 3x – 1 ;C(x)= x3 + 3x2 – 3x – 1D(x)= 3 x4 –2 x3 + x2 + 2 .Calcula:

a) A(x)+B(x)+C(x)+D(x)b) A(x) - B(x) -C(x)+D(x)c) A(x)+B(x) - C(x) - D(x)

d) -A(x)+B(x)+C(x) - D(x)e) A(x) - 2B(x) -C(x)

+3D(x)

f) 3A(x) - B(x) +2C(x)-D(x)

2.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios: P(x) = 2x3 – 6x + 5; Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7; R(x) = x2 – 3x-2

a) P(x) + Q(x) + R(x)b) P(x)+Q(x) –R(x)

c) 2Q(x) – 5R(x) + 3P(x)d) Q(x) . R(x)

e) 3R(x)[Q(x) – 3R(x)]f) P(x)[5R(x) – 2Q(x)]

9


3.- Realizar las siguientes divisiones de polinomios y hacer la prueba.

1. (x3 + 3x2- 4x – 5 ) : (x2 – 2x-2)2. (x4 + 2x3 – 5x2 – 3) : (x2 +4x-2 )3. (x4 -4x3 – 3x2 + x-2) : (x2 -3x-2 )4. (x4 +3x3 – 3x2 + x-3) : (x2 +3x-2 )5. (x5 -5x4 +x3 – 2x2 + x-1) : (x2+3x-5 )

6. (x5 +6x4 +2x3 –x2 + x-2) : (x2+2x-2 )7. (x5 -5x4 +x3 –2x2 + x+1) : (x2+2x-1)8. (x5 -4x4 +x3 -2x2 + x-1) : (x3-2x2+2x-5)9. (x4 -3x3 – 3x2 + 3x-2) : (x3-x2 -2x-2 )10. (x4 - 3x2 + 5x-2) : (x2 -4x-2 )

IDENTIDADES NOTABLESFórmula Ejemplo

(a + b)(a – b) = a2 – b2 (3x3 – 5xy) (3x3 + 5xy) = (9x6 – 25x2y2)(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (5y2 + 3x)2 = 25y4 + 30y2x + 9x2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (6y2 – 2y)2 = 36y4 – 24y3 + 4y2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

(a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 - b3 (x2 – 2x)3 = x6 – 6x5 + 12x4 – 8x3

1.- Utilizar las fórmulas de las identidades notables para realizar.

1. (3y2 + 2x)(3y2 – 2x)2. (3y2 + 2x)(3y2 – 2x)3. (2x2 – 3)(2x2 + 3)4. (3y2 + x3)(3y2 – x3)5. ( 2 x – y2)( 2 x + y2)6. (z2 + 2yx2)(z2 – 2yx2)

7.(

yx −2 )(

y2x +

)

8.(

y23

x 2

−)(

y23

x 2

+)

9. ( 5 a2b-c3)2

10. (3x+2)2

11. (3y2-2x2)2

12.(

yx 33

−)2

13.(4x+ y

5

)2

14.(2x - 3

y)2

15.(

23 yx

+)2

16. (3y +2x)2

17. (3xy-2x2)2

18. (2xy2-3y)2

19. (ab-2 a2)2

20. ( )2y3 −

21.(2x + 2

y

)2

22. ( 2 x – y2)2

23.(

2)y4

x2( −

24. (z2+2y)3

25. (x+2y)3

26. ( (2y – 3)3

27. (x+2y)3

28. (2x-y)3

29. (x2-3y)3

30. (3x+y)3

2º Escribir las siguientes sumas como una identidad notable:

1. x2-y2

2. x4-4y2

3. 5x6-4y4

4. 4x2y2-4z2

5. 16x8-25y4

6. 25x4-9y2

7. 22

94

yx −

8. 16x4-259. 25x2y2-16

10.16x4- 4

1

11. 42

y2516x −

12. 22 y9

yx −

13. 4x4+4x2+114. 9x4+6x2+115. x2 + 4x + 416. 25x2 -30x + 917. x2 -12x +4

18. 4x2-40x+2519. 5x6-9y2z2

20. x2+2xy+y2

21. x2+4xy+4y2

22. x4-6x2y+9y2

23. 4x2+12xy2+9y4

24. 25x2+20xy3+4y6

25. 16x8-8x4y3+y6

26. x6-6x3y2+9y4

27. x3+3x2y+3xy2+y3

28. x3-3x2y+3xy2-y3

29. 8x3+12x2y+6xy2+y3

30.125x3+75x2y+15xy2+y3

10


31. x3-15x2y+75xy2-125y3

32. 27x3+27x2y+9xy2+y3

33. x3 + 6x2 + 12x + 8BIOMIO DE NEWTON

Se puede generalizar el binomio utilizando los llamados coeficientes combinatorios, representados habitualmente como

Y que se pueden recordar a partir de la siguiente pirámide visual, llamada triángulo de Tartaglia o Pascal

Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él. Estos números son precisamente los que actúan como coeficientes en el desarrollo del binomio En general, el binomio de grado n-ésimo tendrá el siguiente desarrolloPor ejemplo y utilizando la pirámide anterior podemos deducir que el desarrollo del binomio de sexto

grado será:

Realizar los siguientes binomios de Newton:

1. (x+2y)4

2. (2x-y)5

3. (x2-3y)4

4. (3x+y)5

5. (x+y)7

6. (2x-y)8

7. (x2-y)6

8. (2x+2y)5

9. (2x-2y)6

10. (5x-y)5

11. (x2-5y)4

12. (x+3y4)3

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCMDefiniciones:

Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen más raíces reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores más simples.Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Ejemplos1) Factorizar un polinomio

a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común Ejemplo: 2x5 – 6x3 + 4x2 ; Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos ⇒ 2x2(x3 – 3x + 2)El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación

b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces utilizando el método de Ruffini

11


Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....Ejemplo: x3 – 3x + 2 ⇒ 1 0 -3 2 Debemos buscar un número, divisor

Raíz = 1 1 1 -2 del término independiente, tal que el1 1 -2 0 resto de la división sea 0.

1 1 21 2 0

-2 -21 0

Por lo tanto el polinomio se factoriza del siguiente modo (x –1)2(x + 2)La factorización final de 2x5 – 6x3 + 4x2 será: 2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x3 – 3x + 2) = 2x2(x – 1)2(x + 2)

2) Calcular el MCMa) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior.

Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 – 4x3; 2x5 – 6x3 + 4x2; x2 + 4x +4.x5 – 4x3 = x3(x – 2)(x + 2)2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x – 1)2(x + 2)x2 + 4x +4 = (x + 2)2

b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican

MCM = 2x3(x + 2)2(x – 1)2(x + 1)(x – 2)REGLA DE RUFFINI

Definición: Es un método para dividir un polinomio entre x a± Ejemplo : Dividir 4x3-7x2+5x-6 por x -2

4 -7 5 -6 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 8 2 14

4 1 7 8 = Resto Cociente : 4x2+x+7 Cociente

Teorema del resto: El valor numérico de un polinomio para x=a es igual al resto de la divisiónEjemplo : Calcular el valor numérico de P(x)= x3-3x2+5x-8 para x=2

1 -3 5 -8 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 6

1 -1 3 -2 = Resto P(2)= -2 Ejemplo : Calcular el valor de k P(x)= x3-3x2+kx-2 para que P(x) tenga el valor 8 en x=2

1 -3 k -2 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 2k-4 Despejamos K en la ecuación

1 -1 k-2 2k-6 = 8 2k=14 ; k=7

1º Factorizar los siguientes polinomios:

1. x3-5x2+8x-42. x3+4x2+x-63. x3-2x2-7x-44. x4-5x3-13x2-7x5. x3-x2-4x+46. 4x3+8x2-4x-87. x3-3x2-6x+88. x3+5x2+2x-89. 5x3-5x2 -25x–15 10.2x3+16x2+26x+1211.x3+5x2+7x+312.3x3+12x2+15x+613.x3+6x2+9x+414.x3-2x2-5x+6

15.3x3+6x2-3x-616.x3+x2-9x-917.x3+7x2+12x+618.x3-3x2-9x-519.x3+3x2-4x+1220.x3+5x2-x-521.x3+2x2-4x-822.x3+8x2+5x-14 23.x3-8x2 +19x–1224.x3 + 4x2 -11x +625.2x3+3x2-3x-226.2x3-18x2+52x-4827.x3 + 3x2–4x –12 28.x3+9x2+15x+7

29.x3-2x2-9x+1830.x3-9x2+26x-2431.x4-3x3-6x2+8x32.x3-x2-14x+2433.x5-x4-8x3+12x2

34.x3+x2-16x+2035.x3-11x2+32x-2836.x6-5x5-17x4+21x3

37.x4 – 10x3 + 25x2 – 36

38.x4 – 5x3 -5x2 +45x – 36

39.x4 – 5x3 + 5x2 +5x - 6

40.x4 – 5x3 + 2x2 +20x-24

41.x4 +3x3 -7x2 -27x -18

42. x4 – 8x3 +23x2 -28x +12

43. x4 – 8x3 +23x2 -28x +12

44. 2x4 – 10x3+10x2+10x– 12

12


2º Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios.

1. x2-2x+1 ; x3-3x2+3x-1 ;4x2-8x+42. x2-4x+4 ; x3-5x2+8x-4 ; 3x2-12x+123. x2-5x+6 ; x2-9 ; x4-5x3-5x2+45x-364. x2-1 ; x4-5x2+4 ; x4-10x2+95. 2x2-16x-14; 2x3-2x; 4x2-4x+4 6. x2-5x+4 ; x3-3x2-6x+8 ; 2x3-8x ;7. x3-3x+2 ; x3+2x2-x-2 ; 2x3 –4x2 –2x8. x3-3x2+3x-1 ; 2x2-4x+2 ; x4-3x2+2x9. x3-6x2+12x-8 ; 2x2-8x+8 ; x4-5x3+8x2-410. x3-3x2+3x-1 ; 3x2-6x+3 ; x4-4x3+5x2-2x11. 2x3+4x2-2x-4 ; x3+6x2+12x+8 ; x3+4x2+2x

12. x3+2x2-x-2 ; x3-3x2-3x-1 ; x4+x3-2x2 ; x2-2x+1

13. 2x2-x-3 ; 6x3+7x2+x ; 2x3+4x2-2x-4 ; 2x3+8x2+6x

14. 2x3+4x2-2x-4 ; x3+6x2+12x+8 ; x3+4x2+2x15. 2x4-4x2 ; 2x3-8x2+4x ; 4x3-6x2+4x16. x3-x ; x4-5x2+4 ; x4-10x2+917. x4-3x3 +3x2-x ; 2x3-4x2+2x ;x4-3x2+2x18. x4-6x3+12x2-8x ; 2x3-8x2+8x ; 4-5x3+8x2-

4x

3.- Hallar mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de las siguientes divisiones:1. (x5-3x3+2x2-15):(x+2)2. (x3-5x2+2x-3):( x-1)3. (x4-3x3+5x2-3x+3): (x-3)4. (x4-2x3-3x2-3x+1): (x+3)5. (x4+2x3-x2-2x-2): (x-1)6. (3x4+2x2-4x+1): (x-2)7. (x4-5x3-x2+2x-1):(x-3)

8. (x5-2x3+x2-1):(x-2)9. (x3+x2+3x-1):( x-1)10. (x4-x3+4x2-2x+1): (x-2)11. (x4-x3-x2-x+1): (x+5)12. (2x4-2x3+3x2-x+2): (x-1)13. (x4+x3-2x2-x-1): (x-2)14. (x5-2x4+x3-2x+2): (x-1)

15. (x7 + 2x5 – 3x4 + x + 2):(x-3)16. (4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + 2) :

(x+2)17. (2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + 3) :

(x-1)18. (x6 – x5 + x4 + x3 - x – 5) : (x-

5)4.- Aplicar la regla de Ruffini en cada uno de los siguientes casos para calcular el valor de K:

Polinomio Divisor Resto Polinomio Valor Resultado6x6 + 2x5 – x4 + kx2 + 1 x-1 10 2x6 + 3x5 – x4 + kx2 + 1 x = 2 52x7 + x6 – x5 + kx3 – x2 +2 x - 1 x + 3 -50 2x7 + x6 – x5 + kx3 – x2 +2 x - 1 x=- 4 353x6 + x4 –2x3+ x2 + kx x - 2 -2 3x6 + x4 –2x3+ x2 + kx x =- 2 27x5 – 2x4 + x3 + kx + 5 x + 1 30 7x5 – 2x4 + x3 + kx + 5 x = 2 -2- x7 + x6 + x4 – x3+ kx2 - x - 1 x + 1 -5 - x7 + x6 + x4 – x3+ kx2 - x - 1 x = 2 -502x6 – x5 + x3 – x2 + x + k x - 2 0 2x6 – x5 + x3 – x2 + x + k x =- 3 15– 3x6 – x5 + 2x4 – x3 - 2x + k x - 4 2 – 3x6 – x5 + 2x4 – x3 - 2x + k x = 3 -6x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 x - 1 15 x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 x= - 1 15-2 x6 + 6x4 + x3 – 2x2 + k x - 2 -29 2 x6 + kx - 1 x =- 2 1– 5x5 + kx4 – x3 - x + 3 x + 3 1086 2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3 x= - 2 6x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 x - 1 15 x5 – x3 + kx + 22 x = 2 10

FRACCIONES ALGEBRAICAS

1.- Realiza las siguientes operaciones:

1.

+−+

x1

x1

x1)xx( 23

34

2. )x1(x1x3x1 3

3

−−+++

3.

−

−− 1

x1

x1

x1

x1

32

4. 1x3x2

x1 2

2 −

−

5.

−− 2x

1x43x1

6.

+

− 322

2

xa

x1:

xa1

13


7.

+

−

ax

xa:

xa

ax

2

2

2

2

8.

−+−

−−

x1xx:

x1xx

9.

−−

−+

x1xx:

x1xx

10. 8x45x:

4x3

8x41x

2 ++

−−

−+

11.

−−

+

++−

x1x

1xx:

1xx

x1x

12.

+

−−

−

++ yx

xyx

x:yx

xyx

x

13.

+

+

−++

+− 1

yxxy2

yxyx

yxyx

22

14. 6x21x:

4x21

6xxx1

2 +−

−−

−++

15. x3x4x2.

4x2x1

2xxx1

22 −+

+−−

−+−

16. 6x

9x3.3x2x

2x3x3

42 +

+

−++−

−

17.

+−

+++

+−−

2x21

2x3x3x

8x22xx

2

2

18.

3x32x

6x64

3x6x3x3

2

+−

+−

++

19.

3x24x2

6x42

9x41x

2

−+

−−

−+

20.- aba

bab2

ba1

baba

b2ba

22

+

++

−−

−+−

14


4º ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITAProcedimientos

Se trata de encontrar un número real que verifique una igualdad. Para ello las operaciones que se hagan a un lado de la igualdad también se deben realizar al otro lado para que se mantenga la igualdadEjemplo1: Resolver 2(x-3) +3(x-5) = 4x-7 ;1º Operamos los paréntesis ; 2x-6 +3x -15 = 4x -7 ; 2º Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera.: 2x+3x-4x = -7+6-15 ; x= -16

Ejemplo 2: Resolver 61x2

35

27x42

183x2 −−=−−−

;1.- el MCM de los denominadores es 54

54

−−=

−−−

612

3554

2742

1832 xxx

; 3(2x-3) – 2(2 – 4x) = 18.5 – 9(2x – 1)6x – 9 –4 + 8x = 90 – 18x + 92.- Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera. 6x + 8x + 18x = 90 + 9 + 9 + 4; 32x = 112

3.- Se despeja x y se da la solución. x = 27

32112 =

36x2

9x10

12x

9x12)14

21x3

41x5

23x

41x2)13

611x5

4x41

4x3

3x10)12

101x2

2x1

62x

53x8x)11

84x9x6

8x34

4xx9)10

22x1x

25x

6x81x)9

45x2

81x16

8x

4x4x2)8

5x6

2x9

51x

2x7

5x5x)7

62x

31x3

32x

128x51x)6

2x

129x8

4x4

621xx)5

81x

417x37

811x2

25x

47x3)4

63x

3x53x

63x

3x6x2)3

101x61x

10x4

51xx2)2

65x4

41x3

2xx9)1

−−+=+++−−=+−−

++−=+−++−−=−−−+−

+++=−−−−−−=+−−++

−+−=+−−+−+++−=+−++−

+++=−−−++++=−−++−

−−−+=−−−++++−++=−−−+

−++=−+−−−++=+−

5º PROBLEMAS DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITA

1º La diferencia entre un número y la tercera parte del anterior es 1. Calcúlalo2º El mástil de una bandera mide 9,10 m y se parte en dos trozos. El mayor mide 80 cms más que el otro. Calcula la longitud de cada trozo.3º La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años.. El padre es 6 años mayor que la madre, que tuvo dos gemelos a los 27 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?4º Una niña tiene 7 años. Cuando alcance la edad de su madre la suma de ambas edades será 104 años. ¿Cual es la edad de la madre?5º En una caja hay 72 bolígrafos negros, rojos y azules . Sabiendo que el número de bolígrafos negros es 5 veces el de rojos y la suma de negros y rojos es el doble que azules ¿Cuántos hay de cada tipo?6º Reparte 300 € entre tres personas de manera que la segunda reciba 16 € más que la primera y la tercera 28 más que la segunda. 7º Antonio tiene 56 años ¿Qué edad tiene su hijo Luis si hace dos años su padre le triplicaba la edad?8º El precio de un libro coincide con un tercio de lo que vales más un cuarto de lo que vale más 5 €. ¿ Cuánto cuesta el libro?9º Calcula un número sabiendo que su mitad es 63 unidades menos que su doble.10º Calcula un número sabiendo que sus tres cuartos superan en 22 a su mitad

R-MATC4º E.S.O. 15


11º Rosa ha comprado dos CD de música que ayer se vendía al mismo precio, pero hoy se encuentra que uno está rebajado el 10 % y otro el 15%. Así se ahorra 3 €. ¿Cuánto costaban originalmente?.12º La construcción de una carretera entre dos pueblos se inicia a la vez por ambos extremos. Al cabo de un mes, lo construido por un extremo es 3 / 4 de lo construido por el otro, y faltan 4200 m que es el doble de lo que se ha hecho. ¿Qué longitud tiene la carretera?13º Antonio tiene 15 años y su madre 42. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea la mitad que la de la madre?14º Hallar dos números sabiendo que su suma es 52 y que uno es el triple de otro.15º Las edades de un padre y una hija suman 32 y dentro de 8 años la edad del padre será el triple que la de la hija hallar la edad de cada uno.16º ¿ Qué hora es si la parte que queda del día equivale a los 5/7 de la parte que ya ha transcurrido?.17º. Un padre tiene 32 años y sus hijos 8 y 6 años respectivamente. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos?18º Padre tiene 44 años y su hijo 20 ¿Cuánto tiempo ha pasado desde que la edad del padre era el cuádruple de la edad del hijo?19º Un padre tiene 49 años y su hijo 21 ¿Cuantos años hace que la edad del padre era el triple que la del hijo?20º Antonio tiene 3 años más que Bernardo y esta 9 años más que Carlos. Calcular la edad de cada uno sabiendo que suman 39 años.21º La suma de las edades de tres personas es 100 años. La de en medio tiene 10 años más que la más joven y la edad de la mayor es la suma de las edades de las otras dos. Hallar la edad de cada una.22º La fortuna de un padre se reparte entre tres hijos, dando al primero la cuarta parte, al segundo las dos terceras partes y al tercero 4500 €. Calcular el capital y lo que le corresponde a cada hijo.23º En una familia trabajan todos. El padre gana el doble que el hijo y la madre las 2/3 partes que el hijo. En un mes han ganado 1800 € ¿ Cuánto gana cada uno?24º A tiene 3 años más que B y este 9 más que C . Calcular la edad de cada uno sabiendo que suman 39 años.25º Sabiendo que se han comprado 12m de tela y que si el metro costase 3 € , se hubiesen podido comparar con el mismo dinero 4m más , hallar el precio del metro.26º Si se repartiera una pieza de tela entre 8 personas sobrarían 2 metros; pero si las personas fueran sólo 7 a cada una le corresponderían un metros mas y sobraría un metro. Hallar su longitud.27º De un bidón de aceite se extrae la quinta parte de su contenido, después las dos terceras partes de lo que quedo y aún sobran 4 litros ¿ Cual es el contenido inicial del bidón?28º Calcular la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que si se añadieran 2 cms más a cada lado ,el área del cuadrado resultante sería 32 cm2

29º Calcular la edad de una persona sabiendo que si al triple de su edad le resto el cuádruplo de la que tenía hace 10 años , resulta su edad actual.

6º ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Completa Incompleta falta b Incompleta falta cy=ax2-bx+c ax2+c=0 x2+bx=0

x= a2ac4bb 2 −±−

x= ac−±

x(x+b)=0 x=0 y x=-b/a

1º Resuelve las siguientes ecuaciones. Aplicando la fórmula1) x2 – 5x + 6 = 0 .- 2) x2 – 10x + 9 = 0 3) x2 – 8x + 15 = 04) x2 + 12x + 32 = 0 5) x2 – 9x + 8 = 0 6) x2 – 2x - 15 = 0 7) x2 – x - 2 = 0 8) x2 - 3x - 10 = 0 9) x2 - 3x - 10 = 010) x2 – 7x + 6 = 0 11) x2 – 7x + 12 = 0 12) x2 – 4x - 12 = 013) x2 - 6x + 5 = 0 14) x2 – 3x - 4 = 0 15) x2 + x - 2 = 016) x2 – 9x + 20 = 0 17) x2 - 5x + 4 = 0 18) x2 – 2x - 3 = 019) x2 + 7x + 12 = 0 20) x2 – 4x + 3 =0 21) x2 - 5x - 6 = 0 22) x2 – 11x + 24 = 0 23) x2 – 3x + 2 = 0 24) x2 - 6x + 8 = 0

R-MATC4º E.S.O. 16


2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:1) 2x2 – x = 0 2) 2x2 – 3x = 0 3) x2 + x = 0 4) x2 – 5x = 0 5) x2 + 9x = 06) 2x2 – 5x = 0 7) x2 – 6x = 0 .- 8) x2 + 2x = 0 .- 9) x2 + 8x = 0 10) x2 - 2x = 011) 2x2 – 7x = 0 12) 3x2 – x = 0 13) 4x2 + 7x = 0 14) x2 + 7x = 0 15) x2 - x = 016) x2 + 3x = 0 17) 3x2 + 5x = 0 18) x2 - 3x = 0 19) 5x2 – x = 0 20) 5x2 - 4x = 021) 3x2 – 2x = 0 22) x2 – 4x = 0 23) 5x2 - 2x = 0 24) 3x2 – 4x = 0 25) x2 - 7x = 026) x2 – 1 = 0 27) 4x2 – 1 = 0 28) 9x2 – 1 = 0 29) 16x2 – 25 = 0 30) 9x2 – 16 =031) x2 – 4 = 0 . 32) 16x2 – 1 = 0 33) x2 – 9 = 0 34) 4x2 – 9 =0 35) 4x2 – 49 = 036)16x2 – 49 = 0 37) 25x2 – 16 = 0 38) 16x2 – 9 = 0 39) 49x2 – 1 = 0 40) 25x2 – 1 = 0

3.- Operar y realizar las siguientes ecuaciones de segundo grado0324)º1 2 =− xx 21)2(3)º2 2 =−x

22 112)º3 xxx −−=−

161

5)º4 −=

+ xxx

05)º5 2 =x

61

31

212)º6

2 xxx −=−−−

7º) (x+1)2 = 48º) (x+4)(x-3)=-129º) (1-2x)2 = 110º) (2x-1)(x+3)=0

11º) 1

2−=

+x

xx

12º) (x+1)2+(x-1)2=1

13º) 3x(3x-2)=114º) (2x-3)2=8x

15º)11 +=− x

xx

16º) 5x(x+4) =017º) 3(x-5)2-75=018º) (4x-1)(2x+2)=1217º) 11(x-1)2=(2x-3)2 +4x2+1

19º) (3x-)

21

(3x+)

21

-2x=8x2-120º) (x+1)(x-1)(x+2) =x3-x2+8

21º) x(x-1)+1= 3)12(

65 −+ xx

22º) 1

162x

83x4x

2

=+++−

23º) 4x242

8x8x

−=−

−+

24º) 1x1

61

x1

+=−

25º) 1x2

52x

+=−

26º) 1xx1

3xx46

22 −+=

−+27º)

12

1x4x1

8xx 22

−+=−−+

28º)1

44x

2x3 2

=+−

29º) 29

2x2

2x1 =

++

+

7 º BICUADRADAS Y DE ORDEN SUPERIORProcedimiento:

Se hace el cambio de variable x2 = y; x4 = y2, y se resuelven como las ecuaciones de 2º grado. Al terminar se deshace el cambio de variable.

Ejemplo: x4 – 6x2 + 5 = 0; x2 = y; y2 – 6y + 5 = 0;

y =

±===±===

=±=−±1;1 x;1

5;5 x;52

462

203662

2

xyxy

Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas:

1. x4-5x2 +4=02. x4-8x2 -9=03. x4-25x2 +144=04. 36x4-13x2 +1=05. x4+4x2 +3=06. x4-13x2 +36=07. x4-26x2 +25=0

8. 4x4-17x2 +4=09. 9x4+5x2 -4=010.144x4-25x2+1=011.(3x2+3)(x2-5)=-1512.(x2-5)(x2-3)=-113. 0100x29x 24 =+−

14. 24 x4016x9 =+

15. 22

x225x34 =−

16. 09x

284

32x2

2

=−

+−

R-MATC4º E.S.O. 17


17. 072

16x9x

2 2

2 =−−−

18. 041

45 24 =+− xx

Ecuaciones de grado superiorProcedimiento:Se obtienen soluciones por el método de Ruffini hasta obtener una ecuación de segundo grado que se resuelve utilizando la fórmula.

Ejemplo: 8x4 – 6x3 –7x2 +6x –1 = 0

8x2-6x+1=0 21

168 =

x==±=−±

1626

1632366

41

164 =

Soluciones:1, -1, 1/2, 1/4

Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior:1 6x3 + 5x2 -2x -1 =02. 2x3-x2-8x+4 =03. 6x3- 17x2+11x-2=04. 3x3+x2-12x-4=05. 2x4-9x3+6x2+11x-6=06. 3x4+5x3-10x2-20x-8=07. 3x4+7x3+x2-7x-4=08. 2x3-3x2-2x+3=09. 12x4-x3-49x2+4x+4=010. 4x4-20x3+15x2+45x-54=011. 6x4+17x3-8x2-27x+18=012. 9x4-36x3+26x2+4x-3=013. 9x4-36x3+26x2+4x-3=014. 5x3-x2-5x+1=0

15. 21619 36 =− xx

16. 024048 =−− xx

17

324

24 xxxx −=−

183

322

22

44

2

224 −

=−++−x

xxx

19.

422

3 363

22 xxxxxx =−−++

20.3

32

232

232

3 xxxxxx −+=++

21.( ) ( ) 04454 222 =+−⋅−− xx

22. 322

22

44 2

224 +−=++− xxxx

233

222

24

4 22

24 +−=++− xxxx

24

33

3

2322 xxxxx

x =−++

+

25.

422

3 363

22 xxxxxx =−−++

26. 253

24

2

222 xxxxxxxx +−−=+

−−

8º ECUACIONES RACIONALESEcuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador de una fracción. Normalmente Se resuelven reduciéndolas a común denominador mediante el mínimo común múltiplo, o bien en el caso de que exista una única fracción en cada miembro de la igualdad se podría multiplicar en cruz

1.

R-MATC4º E.S.O. 18

8 -6 -7 6 -1 1 8 2 -5 1

8 2 -5 1 0-1 -8 6 -1

8 -6 1 0


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 12x

x1x

x =−

++

10. 32 33 xx

xx

=+−

11.

12. 31

63

45

xx 22=−

13.

31

131

+

−=x

xx

14. 341 =+

xx

15.

16.

17. 09

284

322

2=

−+−

xx

18. 051

34

3191

320 =

−−⋅

− xxx

19. 246161 =

+−⋅

++

xx

xx

20. 121

21

11=

+−

x

x

21. 111

3=

−+−

− xx

xx

22.

23. 24x4

x32x6x

x2=

+−−

−+

24. 19

743

73

4 −+=−−−+ x

xxx

25. 15

126

121

222 −=

+++

+− xxxxx

26. 66

341 2 −−

=−−−

xxxx

27. 411

449

322

43

1162

22 xxxxx −−=−−

28. 123462

21

2

2

−=+++−−

++

xxxx

xx

29.xxxxx

xx+

=++−

−−223

2 1564

2

R-MATC4º E.S.O. 19


30. ( )2513

213

432

2 −=

+++

−−

xxx

xx

R-MATC4º E.S.O. 20


9º ECUACIONES CON RAICESProcedimiento: Si la ecuación tiene una raíz se deja en un lado de la igualdad y se eleva al cuadrado, para quitar la raíz.

Ejemplo: 121593 +=−+ xx

1) Se deja la raíz sola a un lado del signo =. 16293 +=+ xx

2) Se elevan los dos términos de la igualdad al cuadrado. ( ) ( )2216293 +=+ xx

9(9 + x) = 4x2 + 216 + 64xSe termina resolviendo como una ecuación normal. 81 + 9x = 4x2 + 216 + 64x 4x2 + 55x –135 = 0;Procedimiento: Si la ecuación tiene dos raíces se deja una de ellas en un lado de la igualdad y se eleva al cuadrado, para quitar la raíz. Después se vuelve a proceder igual.

Ejemplo: 6412 =++− xx

1) Se deja una raíz a cada lado del signo =. 4612 +−=− xx

2) Se elevan los dos términos al cuadrado. ( ) ( )224612 +−=− xx

412)4(3612 +−++=− xxx3) Se deja la raíz que queda sola un lado de la igualdad.

2x – 1 – 36 – (x + 4) = -12 4+x ; x – 41 = -12 4+x

4) Se vuelve a elevar al cuadrado. ( ) ( )22 41241 +−=− xx

)4(1448216812 +=−+ xxx

Se termina resolviendo como una ecuación normal. 05761448216812 =−−−+ xxx ; x2 + 226x + 1105 = 0 (resolver)

Resolver las siguientes ecuaciones radicales:

1. 22x =−

2. 1x1 =−

3. 3x23 =−

4. 1x1x 2 −=−

5. 5x7x 2 −=−

6. 4162 2 =++ xx

7. 0312 2 =+−++ xxx

8. x2x +=

9. x9x3 −=+−10. 2+2(x-1)=5 1−x

11. 1x25x 2 =−−

12. 0312 2 =+−++ xxx

13. x11x9 =−−

14. 07x1x =+−−

15. x135x2 −=−+

16. 1x)x1)(x2( −=−−

17. 27527 −=−+ xx

18. 14x23x =+++

19. 14312 =+++ xx

20. 5xxx6 −=

21. x2x36 +=+

22. 55xx =−+

23. 33xx =++

24. 55xx =−+

25. 22xx =−+

26. 114x2x =−−−

27. 11x2x =−−+

28. 56x1x =−+−

29. 51x1x2 =−+−

30. 11213 =−−+ xx

31. 12x22x =+++

32. 3363+

=+++x

xx

33. xxxxx

=−−

+−+ 22 2

222

34. 11233 =+−+− xx

35. 15x2x =−−−

R-MATC4º E.S.O. 21


36. 1x34x −−=+

37. 11x43x2 =−+−

38.3x

36x3x+

=+++

39. 118x9x =−−−

40. 1x34x −−=+

41. 78x25x =+++

42. 4x61x2 +−=−

43. x21x5 +=−

44. 3x6x9 =−−−

45. 52x3x =−++

46. 1x37x2 =+−+

10º SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

x + y + z = 71º x + 2y – z= 3 2x – y +2z=8

x + y – z = 32º 2x- y +3z=5 4x+2y-2z=10

x -2y + z = -13º 2x+ y-3z =8

3x -2y+ 2z=2

x +2y -2 z = 14º 2x+ y +z =1

5x+ y- 3z=-6x=2 ; y=2 ; z=3 x=2 ; y=2 ; z=1 x=2 ; y=1 ; z=-1 x=-1 ; y=2 ; z=1

x -2 y +2 z = -65º 2x -4y +3z= -11 3x – y - z = 4

x + y - z = 16º 3x + y -z=3 2x + y-3z=0

x - y + z = 37º 2x+ 3y-2z =-2

3x -4y+ 2z =7

x +2y -4z = 48º 5x -3y +z =7

3x+ y- 2z= 7x=2 ; y=3 ; z=-1 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=0 ; z=2 x=2 ; y=1 ; z=0

x – y – z = 19º 3x – y + z= -1 7x + y +z=7

4x +3y -2z = 510º 2x- 4y +7z=5 3x -4y +2z=1

2x +3y- z = 311º 3x+ 2y-z =3

5x +3y+ z=10

2x +y + z = -312º 3x+4y +2z =-1

-5x+2y- 4z=-21x=1 ; y=2 ; z=-2 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=1 ; z=2 x=-1 ; y=2 ; z=-3

3x -2y +z = 1613º 2x +4y – z= -10 -7x + 2y +3z=-14

x + y + z = 514º 2x- 4y +3z=1 3x +7y -2z=2

x +3y- z = 215º 3x+ 2y-z =3

4x +3y+ z=9

5x -2y +z =-1516º 2x+2y –z =1

4x -3y- 2z=-26x=2 ; y=-3 ; z=2 x=0 ; y=2 ; z=3 x=1 ; y=1 ; z=2 x=-2 ; y=4 ; z=3

4x –y -z = 817º x + y -5z= -10 4x + y +2z=10

x +2y +2z = 518º 3x- y +2z=4 4x + y -3z=2

2x – y- z = 219º 4x+ y-2z =0

3x – y+ 2z=6

4x+2y +4z =1820º 2x+ y + z =5

6x –y- 3z=3x=2 ; y=-2 ; z=2 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=-1 ; z=1 x=2 ; y=-3 ; z=4

x + y + z=1421º x – y + z = 22 -x + y + z =2

x + y + z = 122º 3x + y -z=3 2x+2y-3z=7

x + y + z = 523º 3x + y -z=-5 2x+3y+2z=14

x + y + z = 424º x +3z=0

3x+2y=13 x = 6; y= -4; z= 12 x =0; y=2; z=-1 x=-2 ; y=4 ; z=3 x=3 ; y=2 ; z=-1 x + y - z = 425º x + 2y – z= 6 2x – y +2z=-2

x + 2y – z = -426º 2x+3y +3z=-1 4x+ y-2z =0

x -2y + z = 027º 2x+ y -3z =10

3x -2y+ 2z=5

x +2y -2 z = -528º 2x+ y +z =1

5x+ y- 3z=0x=1 ; y=2 ; z=-1 x=1 ; y=-2 ; z=1 x=3 ; y=1 ; z=-1 x=1 ; y=-2 ; z=1

x -2 y -2 z = 429º 2x +4y +3z= 6 3x -2y -3z = 10

x +2 y + z = 430º 3x + y -z=3 2x+3y-3z=2

x - y + z = 331º 2x+ 3y-2z =-3

3x -4y+ 2z =9

x -2y -4z = -1232º 5x -3y +z =17

3x+ y- 2z= -3 x=4 ; y=-2 ; z=2 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=-1 ; z=1 x=2 ; y=-1 ; z=4

PROBLEMAS

1.- Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos -digamos A, B y C- que demandan toda su producción. En una determinada semana el establecimiento A solicitó tantas unidades como B y C juntos y, por otro lado, B solicito un 20% más que la suma de la mitad de lo que pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿Cuántas unidades solicitó cada establecimiento dicha semana?

R-MATC4º E.S.O. 22


2.- Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. Resolver el problema.

3.- Calcular el número de monedas que tiene cada uno de los amigos José, Luis e Iván, sabiendo que si Iván diese 5 a José tendrían las mismas; si José diera 5 a Luis, éste tendría el cuádruple que José; además se sabe que Luis tiene la tercera parte del número de monedas que poseen los tres.4.- Un frutero lleva al mercado 8 kg de manzanas, 10 de peras y 15 de naranjas, y lo vende todo ello en 34 €. Otro lleva 10 kg de manzanas, 12 de peras y 10 de naranjas, cobrando por todo 31.6 €. Un cliente compra 1 kg de cada clase de fruta y paga 2 €. ¿A cómo estaban los precios de cada clase de fruta aquel día?

5.- Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas, A, B y C. Se sabe que el volumen de A es el doble del de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida.

6.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado.

7. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y 1 punto menos que en la tercera.(a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de laspreguntas. (b) Resolver el sistema

8.- Tres estudiantes desean regalar una calculadora gráfica de 160 € a un amigo. Deciden reunir esa cantidad de la siguiente forma: Pedro aportará el triple de lo que aporten los otros dos juntos. Juan aportará tres euros por cada dos que aporte José. ¿Cuánto debe pagar amigo?

9.-Si la altura de Cándido aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Pedro y Jaime, Cándido sería igual de alto que Jaime. Las de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Pedro es lo mismo que nueve la de Cándido. Halla la medida de cada uno

11º SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 1º) x+y=20 xy=64

2º) x-y =21 xy=100

3º) x+y=5 x2-xy=-3

4º) x2+y2+x-5y=24 X+y=7

5º) x2-y2=9 xy=20

6º) x2+y2=25 x+y=7

7º) x2-y2=59 x2+y2=149

8º) x + 2/ y =1 1+ 1/x =6

9º) y2=x2-5 3y-x=3

10º) x+y=7 x.y=12

11º) x=2y x2+y2=20

12º) x+y =13

x - y =113º) y2+xy=5 x2+xy=20

14º) x2+y2=8 x-y =0

15º) xy=12 x-y=1

16º) x2-2y2+2y-1=0 x-y = 1

17º) x-y=1

x + y =518º) x + y =15 x-y = 105

19º) xy=165 x2-y2=104

20º) xy=182 x+y =27

21º) x + y =16 x2-y2 =32

22º) 2x+y=3 x2+y2=2

23º) x-y =1

x - y =524º) x-y =10+ xy xy =36

25º) x y =6 1/x +1/y =5/6

26º) x2-2y2=7 3x2-5y2=30

27º) xy=6 x2-y2=5

28º) xy=28 x2+y2=65

R-MATC4º E.S.O. 23


29º) xy=12 2x2-3y2=5

30º) x2+3xy=0 2x-y=-1

31º) x2+y2=17 (x-y)2= 9

32º) x+y =26

x + y =1833º) (x-y)2=1 x2-y2 =4

34º) 2x+y2=5 5x=9+y

35º) x2+y2+3x+y=20 x-y=2

36º) xy=24 x2-y2=55

37º) 6x+y=2 x2-y =0

38º) x2/25 + y2/9=1 x+2y=4

39º) xy = 6 6x+y=9

40º) 2x-y=4 x2+y2=13

12º PROBLEMAS ECUACIONES DE 2º GRADO, BICUADRADAS, ECUACIONES CON RAICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DE

2º GRADO 1. Hallar dos números naturales cuya diferencia es 8 y cuyo producto es 1052. Dos números suman 52 y sus cuadrados 1354. Hallarlos.3. Dos números suman 22 y la diferencia de sus cuadrados es 44. Halla estos números4. Dos números suman 65 y la diferencia de sus cuadrados es 325. Calculados5. Halla dos números cuya suma es 15 y la de sus cuadrados 1176. Las medidas de los lados de un rectángulo son 3 números impares consecutivo,

Hallarlos7. ¿Qué número supera en 6 unidades a su raíz cuadrada?8. Hallar un número tal que restándole su raíz cuadrada se convierte en 729. Hallar un número tal que sumándole su raíz cuadrada se convierte en 9010. Hallar un número positivo tal que la raíz cuadrada de su triplo aumentado en 18 ,

exceda en 1 a la raíz cuadrada de su doble aumentado en 13.11. La suma de dos números es 34 y la diferencia entre sus raíces es 2. Hallarlos.12. La suma de dos números es 80 y la suma de sus raíces cuadradas es 12. Hallarlos13. La diagonal de un rectángulo mide 16 cms. Y el perímetro 68 cms. . Hallar las

dimensiones.14. La suma de dos números enteros positivos es 36. El producto del primero, aumentado

en 3, por el15. segundo aumentado en 2, es 408. ¿Cuáles son dichos números16. Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal es 17 y su

superficie 120.17. La suma de los cuadrados de dos números positivos es 125. Calcularlos sabiendo que

su diferencia es 7518. Un cuadrado tiene 44 m2 más de área que otro, y éste dos metros menos de lado que el

primero. Hallar los lados de los dos cuadrados19. Para vallar una finca rectangular de 600 m2 se han utilizado 100 m de cerca. Calcula

las dimensiones de la finca20. Un rectángulo de área 60 cm2; tiene una base 7 cm más larga que su altura. Hallar sus

dimensiones.21. El área de un rectángulo mide 48 cm2 y la diagonal 10 cm. ¿Cuánto miden sus lados?22. Las dimensiones de un ortoedro son 3 números consecutivos. Si el volumen es 1320

cm3 ¿Cuáles son dichas dimensiones?23. Hallar tres números consecutivos tal que su producto sea 5 veces la suma.24. El perímetro de un rectángulo es 40 y su superficie 38400m2 . Calcular las

dimensiones.25. Las diagonales de un rombo suman 20 cms. Y su área es 42 cm2. Calcular el valor del

lado26. Los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos.

Calcularlos.27. La suma de las áreas de dos cuadrados es 1300 m2 y su diferencia es 500 m2 . Hallar

el lado de cada uno.

R-MATC4º E.S.O. 24


28. Para vallar un campo rectangular de 54 m2 de área necesitamos 30 m de valla calcular las dimensiones del campo.

29. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?

13º INECUACIONESGrado 1: Se trabaja como en una ecuación normal, salvo que si tenemos un número negativo multiplicando a la variable y lo pasamos al otro lado de la desigualdad dividiendo (o viceversa), la desigualdad cambia de sentido. Se da como solución a la inecuación el intervalo de la recta real (-∞, a) o (a, ∞), según corresponda.

Ejemplo: 635210

415

32 −++<−− xxxx

; se calcula el MCM para quitar los denominadoresMCM = 12; 4(2x) – 15(1 - x) < 120x + 24 + 2(5x – 3); 8x – 15 + 15x < 120x + 24 +10x – 6 ;

23x – 15 < 130x + 18; - 107x < 33; x > 10733−

; Solución:

∞− ,

10733

Grado 2 o mayor que 2: Se buscan las raíces de la ecuación y se hace una tabla de signos para la ecuación. Se dan como solución los intervalos que correspondan al signo de la inecuación.Ejemplo: x4 – 2x2 + x > 0, (se nos piden los valores de x tales que al sustituirlos en el polinomio nos den valores mayores de 0 , es decir, valores positivos).Calculamos las raíces de esta ecuación, para ello sacamos x factor común y al polinomio resultante le hacemos Ruffini por ser un polinomio de grado 3. x(x3 – 2x +1) = x(x – 1)2(x + 2), de donde se deduce que las raíces que hemos obtenido son x = 0; x = 1; x = -2.Tabla de signos del polinomio: + - + +

-2 0 1Los signos de la tabla se han obtenido sustituyendo la x por –3, -1, 0,5 y 2 en el polinomio.Solución: (-∞, -2) U (0, 1) U (1, ∞)

Inecuaciones racionales: Se procede como en el apartado anterior haciendo una tabla de signos con los valores que anulan el numerador y el denominador.

Ejemplo: 0

2 x 3 -2x ≥

+ , ⇒ Haciendo una tabla de signos tenemos:2x – 3 = 0 ⇒ x = 3/2 + − + Solución = (-∞, -2)∪[3/2. ∞) x

+ 2 = 0 ⇒ x = -2 -2 3/2

1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:1.

216x5

107x

141x5

2011x3 −−−<+−−

2.16

2x64

x96

3x2

x5 −−−>+−−

3.3x

62x

35

31x3)1x2( −++≤−−−−

4.20

x131115

x2310

3x5

x34 +−−≥+−−

5. 2(3x-1)-3x ≤ 6x+4

6. 3(3x-1)-3x ≤ 9x+3

7. 9x1

9x11

9x4x +−−<++−

8. 027

12

<+−++ xxx

9. 10x+2 –5(x-3)>4(x+3)+110. x2-5x+4<011. 04x3x 2 ≥−−12. 0xx4 53 <−

13. x2-x-6 ≤ 014. 5x(x+4) 0≤15. x2-4x+3<0 16. x2-6x+8 ≤ 017. (2x-1)(x+3)>0

18. 1x2x

x −≤+

19. 04x2x ≤

++

R-MATC4º E.S.O. 25


20. 04x1x ≤

+−

21. 0312

≤+−

xx

22. 03162

≤−−

xx

23. 0112

>−−

xx

24. 02x4x 2

≤+−

25. 0592

≤+−

xx

14º LOGARITMOSDefinición: Sea a un número real no nulo distinto de 1, y A otro número positivo no nulo. Se llama logaritmo del número real A en la base a, el exponente x a que debe elevarse la base a para obtener dicho número

logaA= x ↔ ax =A

Ejemplo:

Log3 3 81 =x 81= 34 ( Se factoriza )

3x = 34/3

x= 4/ 3

Propiedades de los logaritmos: Ejemplo:1ª logaritmo de un producto: loga (A.B) = loga A + loga B2ª logaritmo de un ccociente: loga (A/B) = loga A - loga B3ª logaritmo de una potencia: loga (An) = n loga A 4ª logaritmo de una raiz:

loga (n A ) = 1 / n loga A

Si log 2 =0.301030… Calcular :

1º log 3 2

log

3 2= 3

1 2log

= 31

.0.301030 ..= 0,10034332º log 2000log 2000 = log (2 . 1000) = log2 + log 1000= log2+log 10 3=0,301030….+3 =3,301030….

Ecuaciones logarítmicas: Es aquella donde la incógnita aparece sometida a la operación logaritmoResolver: 2 log x +log40 =31º Los números multiplicando a los logaritmos pasan elevando ( propiedad 3) log x2+log 40 = 32º Si algún numero no es un logaritmo se trasforma, como la base es decimal 3=log 1000 log x2+log 40 = log 10003º Agrupamos las sumas en multiplicaciones y las restas en divisiones ( Propiedades 1 y 2 ) log(x240) = log 1000

4º Igualamos 40x2=1000 ; x2= 401000

; x2= 25 ; x=525 ±=±

La solución x=-5 no vale pues al comprobar sustituyendo quedaría 2log(-5) + log 40 =3 y los logaritmos de cero o de números negativos no existen

EJEMPLOS

R-MATC4º E.S.O. 26


1.- Aplicando la

definición de logaritmo resolver los siguientes ejercicios:

1. log2 64 = x2. log5 125=x3. log3 1/27=x4. log 1/5 25=x5. log2

x32 =6. log125 1/5 =x7. log7

x493 =

8. log3437 = x

9. x=3

51 625log

10. log3 81 = x11. log200x=112. log128 2 =x13. x125log 5 =

14. logx2/3125 =

15. logx4/384 =

16. logx 125 = 3/217. log2/3 81/16 = x18. log 1/3 81 = x19. log101 10201 = x20. logx 1/3 = -1/221. log5/3 27/125 = x22. log16 0,5 = x23. log125 1/ 5 = x24. log8

4 2 = x25. log10 0,00001 = x

26. 1281log 2 =x

27. x=3431log 7

28. x=5

31 81log

29. x=316 2log

30. x=321log 2

31. x5log125 =

32. log 1/5 x54 =

33. 3216 6log

34. x3log 27 =

35. 21xlog50 =

36. 50xlog 200 =

37. 8256log a =

38. 3125,0log a =

39. 291log a =

40. 3001.0log a −=

41.log2

x8

1 =

42. 2/3125

1log x −=

2.- Si log3A es x expresar en función de x los siguientes logaritmos:

a) log3 27A b) log3 A/81

c) log3 A d) log3 A2

e) log3 A3 .81

f) log34 A

g) log3 (81 A )

h) log34A

27i) log3

4

A3

j) log3 27A.9

k) log3 A.3

EJEMPLOS RESUELTOS:

R-MATC4º E.S.O. 27


3.- Sabiendo que log2=0,3010 y que log3=0,477 calcular

1. log 62. log 2

3. log 64. log (1/6)5. log(1/ 12 )6. log 8007. log 58. log 459. log

3 160010. log 90

11. log (1/ 12)12. log (6000)13. log 0012,0 14. log 006,0 15. log

3 80016. log 1/ 200017. log

3 9

18.log 9,0

600

19. log(0,004 . 90)20. log( 25000 )

21.log 27

004,0

22.log ( 8.

)30

2,0

23. log (0,0015 . 3000)

24. log(12. )2

25. log( )9003

26. log()

9500000

R-MATC4º E.S.O. 28


4.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

1. Ln(2x-3)+Ln(5-x)=Ln52. 2 log x – log4 =log 93. 4log x –log 100 =24. log x – log2 =15. log x –log 4=26. Ln(5-x)-Ln(4-x)=Ln27. log(2x2)-log x =18. ln x= ln2 + 2 ln(x-3)9. 2log(2x) –logx=110. 2lnx-ln(5x)=ln211. ln(65-x3)= 3ln(5-x)12. 2logx –log(x+ 11/10)=113. 5lnx=3lnx + 2 ln614. 4log(2x) -3logx =1

15. 5log(x)-log(288)=3log(x/2)16. 2logx+log(x2+15) =log (16)17. log(x-2)+log(x-1)=118. 2 log2x +log2(x2+2)=log2319. log(35-x3)= 3log(5-x)20. log (7x –9) + log (3x – 4) = 121. 2log x – log (x –16) = 222. log x = 1 + log (22 – x)23. log (3x – 1) – log (2x + 3) = 1 – log 2524. log 8 + (x2 – 5x + 7)log 3 = log 2425. log (5x + 4) – log 2 = 1/2 log (x + 4)26. (x2 – x – 3)log 4 = 3log 1/ 4 27. (x2 – 4x + 7) log 5 + log 16 = 428. (x2-5x+9)log2 +log 125=3

R-MATC4º E.S.O. 29


29. log( 16-x2) = log(3x-4)30. log x + log 50 =331. 2logx = log (10x+11)32. log x -log 2 =1/233. log 3x7 + +log 5x4 + =1/2+log334. logx=2+1/2(log(18)+log(8)-2log(25))35. log

3 x -log3 4 =1/3

36. log4 3x -log 10 =1/4

5.-Resuelve los siguientes sistemas de logaritmos:

=−=+

1loglog22

º1yx

yx

=−=+

3loglog25log3log

º2yxyx

=+=−

2loglog53

º32

2

yxyx

=+=+

3loglog110

º4yx

yx

=+=−

1loglog7log3log2

º5yx

yx

=+=+

1loglog3553

º6yx

yx

=−=−

1loglog110092

º7yx

yx

=−=−

1loglog11

º822

yxyx

EJEMPLO

15º EXPONENCIALESEcuaciones Exponenciales: Son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente.y se cumple: ax = ay ↔ x=yEcuaciones exponenciales directasse debe buscar a ambos lados de la igualdad la misma base entonces se igualan exponentes:

Ejemplo: 42x-1=8 (22)2x-1=23

24x-2=23 4x-2=3 → 4x=6 ; x=6/4=3/2

Ecuaciones exponenciales de cambio de variable.Se debe operar de tal forma ,aplicando las propiedades de las potencias, que podamos realizar un cambio de variable

Ejemplo: 4x+1+2x+3-320=0Aplicamos las (22)x+1+2x+3-320=0Propiedades de 22x 22 +2x 23 -320 =0 las potencias Realizamos 4y2+8y-320=0 si resolvemos laEl cambio ecuación las soluciones son:2x =y y=8 e y=-10 si sustituimos Para deshacer el cambioy=8 2x= 8 x=3 y=-10 no es potencia de 2 luego la solución no es válida

EJEMPLOS

R-MATC4º E.S.O. 30


1.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1. 5x+3=252. 53x=125x-2

3. 82 1x 2

=−

4. 32x=43 .22x

5. 21+x=42-x

6. 05 6x5x 2

=+−

7. 21+x=42-x

8. 54x21x 3.3.32 −−

=6561

9. x 23

x

1001010 =

10. 1000.10x=x 2100

11. x3x6 aa −− =

12. 62161x2 =−

13. 1x 5x21x x5 aa + +− − =

14. aaaa xxx =

15. ( ) 2x1x88 −−

=16. 22x+2 = 0,52x-1

17.23x-1=

328

1−x

18.52x-2=

3125

1−x

19.52x-1=

351

−x

20.162x-1=

3221

−x

21. 2x+2x+1+2x+2=722. 2.2x+22x=80

R-MATC4º E.S.O. 31


23. 5x+51+x=6

24. 52

12 3x1x =+ −

−

25. 51-x +5x=626. 4x+1 +2x+3 –320 =027. 22x+4 -5. 2x+1 +1=028. 4x-3.2x+1+8=029. 9x+1+3x+2-810=030. 22x-10. 2x+16=031. 4x+2x+1-80=0

32. 32x-3+1= 4. 3x-2

33. 31-x + 32-x= 4/2734. 52x- 6. 5x+1+125=0

35.5x-1=2 +

2x53

−

36.2x-1 +

52

13x =−

37. 3x+3x+1+3x+2+3x-1=11738. 4x-1+4x-2+4x-3+4x-4+4x-

5=341

39.2x+2+2x+3+2x+4+2x+5+2x+6=3140. 72x+3 –8.7x+1 +1=041. 9x-2.3x+2+81=042. 4x+2x=1056

43. 43

13 1 =+ −xx

44. 2x-1+2x-2+2x-3+2x-4=960

2.- Resolver los siguientes sistemas de logaritmos y exponenciales.

11º 2x – 3y-1 = 52x+1+ 8 . 3y =712 22º 2x +5y = 9

2x+2- 5y+1 = -9 33º 2x+2y=3223x-5y=16 4º 5x=5y.625

2x.2y=256

5º 3x+3y=363x+y=243 6º 3.5x+2. 6y+1=807

15 . 5x-1-6y =339 7º 2x+3y=72x+1-3y+1=-1 8º 2x+2y=24

2x+y=108

16º SUCESIONES Y LÍMITESProgresiones aritméticas: Progresiones geométricas

an= a1+(n-1)d Término general an= a1 r n-1 Término general

1.- Escribir los términos generales de las siguientes sucesiones:

a) 3,7,11,15,....b) 3,6,12,24,......c) 4,8,12,16,....d) 5,15,45,135.....

e) 1, 1/2 , 1/3 , 1/4,..

f) 1 , 1/4 , 1/9, 1/16g) 3/4, 8/9, 10 /11,

16/17h) 6; 9; 12; 15,…i) 13,9,5,1,…

j) 2/3, 2/5, 2/7, 2/9,…k) 3 ,6,12,24,48,...l) 8,4,2,1,1/2…..m) 5/3, 11/5, 17/7,…n) 2/5, 5/7, 8/9,1,..

o) 37,9,3,1,1/3,…

2.- Dada las siguientes sucesiones: a) Calcular el término general

R-MATC4º E.S.O. 32


b) Estudiar su monotonía y acotaciónc) Calcular su limite y el término a partir del cual la distancia de el al límite es menor que una centésima y una milésima

1. ,....119,

97,

75,

53

2. ,....62581,

12527,

259,

53

3. ,....1111,

98,

75,

52

4. ,....1713,

1310,

97,

54

5. ,....1220,

914,

68,

32

6. ,....1116,

912,

78,

54

7. .... 3

13, 39,

35 ,

31

8. 6,.... , 3 , 23 ,

43

9. ,....1220,

914,

68,

32

3.- Dadas las siguientes sucesiones

3.1.) n21na n

+= Demostrar: que 1/2 es cota inferior y que 1/2 es su límite utilizando la definición

3.2.) 1nna n +

= Demostrar: que 1 es cota superior y que 1 es su límite por la definición

3.3.) 2n31n2a n +

−= Demostrar: que 2/3 es cota inferior y que es su límite por la definición

3.4.) 2n1na n +

+=Demostrar: que 1 es cota superior y que es su límite por la definición

3.5.) n23na n

+= Demostrar: que 1/2 es cota inferior y que es su límite por la definición

3.6.) 3n4n2a n +

+= Demostrar: que 2 es cota superior y que es su límite por la definición

3.7.) 1n4na n +

+= Demostrar: que 1 es cota inferior y que es su límite por la definición

3.8.) 1n2n3a n +

+=Demostrar: que 3 es cota superior y que es su límite por la definición

4.- Estudiar la monotonía y acotación de:

1.an=(-1)n 16 +n

n

2. bn= 3n-5

3.n3

2nc2

n+=

4. n24nd n

+=

5. 1n4n3e n +

+=

6.1n

nf 2n +=

7. n1n)1(g n

n+−=

8.1n1n)1(g 2

nn +

+−=

INDETERMINACIONES

R-MATC4º E.S.O. 33


Se resuelve dividiendo numerador y denominador entre n elevado al mayor grado, se simplifica y se sustituye n por ∞

Ejemplo:

020

32

65

n32

n6

n5

nLim

nn3

nn2

n6

nn5

nLim

n34n2

6n5n

Lim

3

43

3

43

44

4

44==

∞+

∞−

∞=+

−

∞→=

+

−

∞→=

∞∞=

+

−

∞→

∞∞ - Se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado. Después de operar tenemos otra vez la indeterminación Ejemplo:

311

6

5315n31

106

n5

n31

n5

n31

n106

nLim

n5

nn3

nn

n5

nn3

nn

n10

nn6

nLim

)nentreDivimos(5n3n5n3n

10n6

nLim

5n3n5n3n)5n3n()5n3n(

nLim

5n3n5n3n5n3n5n3n)5n3n5n3n(

nLim5n3n5n3n

nLim

2222222

2

222

2

2222

222

22

222222

−=+

−=

=

∞−

∞++

∞+

∞−

∞−−

=−+++−

−−

∞→=

−+++−

−−

∞→

=∞∞=

−+++−−−

∞→=

−+++−−+−+−

∞→

=−+++−

−+++−−+−+−

∞→=∞−∞=−+−+−

∞→

∞1 En esta indeterminación hay que operar hasta obtener el número e cuya definición es:

Ejemplo:

n

n n11lime

+=

∞→

=

−+=

−+=

−+=

−+−−+

=−=

−

−−+===

−−

−−−

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

∞−

∞→

)3n2(4n

3

34n

n

3n2

n

3n2

n

3n2

n

3n2

n

3n2

n

34n

11lim

34n

11lim4n

31lim4n

4n1n1lim

1conOperamos14n1n1lim1restamosySumamos1

4n1nlim

64n9n6lim

een =−−

∞→

R-MATC4º E.S.O. 34

∞∞

∞∞

Elevamos a la fracción del denominador multiplicada por su inversa

Dividimos numerador. y denominador entre 3

El corchete es la definición del número e aplicamos la propiedad de los límites

)x(glim)x(g )x(flim)x(flim =


Calcula los siguientes límites de sucesiones:

EJEMPLOS

1º

2º

3º

4º

RESUELVE

1. 2n2n4

52n3n

Lim−

++

∞→

2. 2n2n5

7n24n7n

Lim−

+−

∞→

3.2294

)51)(23(

−+

−−

∞→ nn

nnn

Lim

4.

−+−

−∞→ 1n2n

12n

n5nLim

5.

−−+∞→ 2n

2n31

12n2

2n8n

Lim

6.( ) ( )

12n3

31n231n2n

Lim+

−−+

∞→

7.22n9n4

n3nLim

−+∞→

8.2n2n

31n4n4n

Lim++

+−+

∞→

9. 3 1n24n

52nnLim

−+

+

∞→

10.n210n

n36nn

Lim2

+

+

∞→

11.)22n3)(2n2n(

)3n)(n24n(n

Lim−−

+−

∞→12.

)23)(2(

)3)(22(52

26

−−

+−++

∞→ nnn

nnnnnn

Lim

13.)223)(22(

)3)(23( 2

−−

+−

∞→ nnn

nnn

nLim

14.

2)225)(322(

)3)(22(4

22

−+−−

+−

∞→ nnn

nnnn

Lim

15.12n3 n23n

2n5nLim

++−

−

∞→

16.nnnn

nnn

Lim+++

−−

∞→ 43 46)13()2( 2

17.22165

)43)(22(

−+

−−

∞→ nn

nnn

Lim

18.)n34n)(2n23n(

)72n)(n23n(n

Lim−−

+−

∞→

R-MATC4º E.S.O. 35


19.

−−+∞→ 2

231

122

28

n

n

n

nn

Lim

20.

)34()223(

)72()22(3

2

nnnn

nnnn

Lim−+−

+−

∞→21.

)233)(2(

)3)(22(52

28

−−

+−++

∞→ nnn

nnnnnn

Lim

22.

4

2

)225)(23(

)2()23(

nnnn

nnnn

Lim+−+

+−

∞→

23. ( )nnn

Lim −−∞→

3

24. ( )nnn

Lim −+∞→

4

25. ( )44 −−+∞→

nnn

Lim

26. 2n21n2limn

+−−∞→

27. 2n1nlimn

+−−∞→

28. 7233lim −−+∞→

nnn

29. 4n3n3n2n 22

nlim −+−+−

∞→

30. 7254 22lim ++−+−∞→

nnnnn

31. 3n-2n5n32nlimn

−++∞→

32. 55n2n52n2nlimn

−−−++∞→

33. 24n2n53n-2nlimn

++−+∞→

34.35n2n34n2nlim

n−+−+−

∞→

35. 55n2n2nlimn

−−+∞→

36. 5n1-5n2nlimn

−−+∞→

37. nn52n3nlimn

3 −−++∞→

38. ( )12 2 −+−−∞→

nnnn

Lim

39. 4n3n5-3nlimn

+−∞→

40. 4n3n5n-3nlimn

2 +−∞→

41. ( )22 24 +−−∞→

nnn

Lim

42. ( )2224 33 nnnnn

Lim +−−∞→

43.1−

∞→

5n

6-2n1-n lim

n

44.1−

+

∞→

3n

6-n22n lim

n

45.32n

4n1n lim

n

−

−−

∞→

46.2n3

6n21n2

xLim

+

+−

∞→

47.n3

n4n

nLim

+

∞→

48.2n6

5n33n3

xLim

+

−+

∞→

49. 2n52n

2n42n

5n32nnLim

++

+−

−+

∞→

50.33n

2n3n lim

n

−

++

∞→

51.3n

2n5n lim

n

−

++

∞→

52.35n

22n32n lim

n

−

++

∞→

53.15n

6-2n1-2n lim

n

−

∞→

54.1n

6-n1-n lim

n

2

2

2 −

∞→

55.4n

2-2n32n lim

n

2

2

2 +

+

∞→

17º TRIGONOMETRÍARAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DIRECTAS

hipotenusa sen opuestocateto=α

hipotenusa cos contiguocateto=α

contiguo cateto opuestocatetotan =α

INVERSAS

contiguo catetohipotenusa

cos1sec =

α=α

opuesto catetohipotenusa

sen1eccos =

α=α

opuesto catetocontiguo cateto1cot ==

αα

tanan

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASTomamos la circunferencia de radio 1

Sen α =y

1y =

R-MATC4º E.S.O. 36

α

cate

to o

pues

to

cateto contiguo

hipotenusa

P=(X,Y)1

X

Y

seno +coseno +tangente +

seno +coseno -tangente –

seno –coseno –tangente +

seno–coseno +tangente–


Cos α=x

1x =

Tan α= xy

cossen =

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS CONOCIDOS0º 30º 45º 60º 90º

SENO 021

22

23 1

COSENO 1

23

22

21 0

TANGENTE 0

33 1 3 No existe

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES DE CIERTOS ÁNGULOS

Ángulos suplementarios: α y 180º-α

Angulos 180º + α y α Ángulos 360º-α y α

EJEMPLOS

1. Calcular el resto de las razones trigonométricas sabiendo que:

1. tan a = 2 y 180º < a < 270 º .2. sec a = 3 y 270 º < a < 360º.

3. cosec a= - 2 y 90º < a < 180º .

R-MATC4º E.S.O. 37

sen(180º+α)= -sen αcos(180º+α)= -cosαtan(180º+α)=tanα

sen2α + cos2α =1

1+tan2α=sec2α 1+cotan2α=cosec2α

senα

cos(180º-α) cosα

sen(180º-α)

sen(180º-α)=sen αcos(180º-α)= -cosαtan(180º-α)= -tanα

cos(180º+α)senα

sen(180º+α)

cosαcos(360º-α) sen(360º-α)

senαcosα

sen(360º+α)= -sen αcos(360º+α)= cosαtan(360º+α)= -tanα


4. sen a = -3/4 y 270º <a <360º. 5. cotan a = 1/ 3 y 180º < a < 270 º . 6. sec a = 2 y 270 º < a < 360º. 6.

7. cosec a= 4 y 90º < a < 180º .

8. sen a = - 1/ 4 y 180º < a < 270º . 9. tan a = 2 y 180º < a < 270 º . 10. cos a = 2 / 3 y 270 º < a < 360º. 11. cosec a= 4 /3 y 90º < a < 180º . 12. sen a = -1 /2 y 180º < a < 270º .

TRIÄNGULOSEJEMPLOS

1.

Hallar la altura de un edificio sabiendo que desde un punto en el suelo situado a 100m. del edificio , la visual dirigida al punto más altos es de 30º.

2.

Las dos ramas de un compás miden 12cms si forman un ángulo de 45º.Calcular el radio de la circunferencia que podemos trazar

3. Un árbol de 8,5 m proyecta una sombra de 2,02m. Calcular el ángulo con el que llegan los rayos solares al suelo.

4. Dado un triangulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cms y forman un ángulo de 70º. Calcular su área.

5. Determinar la altura de una toree, sabiendo que a 16m del pie de la torre se ve el edificio con un ángulo cuyo coseno es 0,5

6. Una de las diagonales de un rombo mide 24 cms. Y los ángulos de un rombo opuestos a dicha diagonal es 116º . Calcular el valor del lado del rombo.

7. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 m.8. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 24cms.9. Calcular la longitud del lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 15cms10. Un punto del plano dista 20m. del centro de una circunferencia de radio 10 cms. . Obtener la medida

del ángulo formado por las dos tangentes a la circunferencia trazadas desde el punto P11. Con la ayuda de un teodolito queremos medir la altura del campanario de una iglesia, situándonos a

40 m de la vertical del campanario y sabiendo que el teodolito tiene 1,5m de altura, si el ángulo de visión es de 60º. Calcular dicha altura

12. Dos individuos A y B observan un globo situado en un plano vertical que pasa entre ellos. La distancia entre los dos individuos es de 5 kms. .Los ángulos de elevación son respectivamente 35º y 60º. Hallar la altura del globo y la distancia a cada observador.

13. Desde un punto a ras del suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º. Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 14º. Calcular la altura del edificio

14. Un hombre observa que el ángulo de elevación de un globo es de 20º , se acerca 400 m y entonces la elevación es de 56º . ¿Cuánto debe andar el hombre para colocarse debajo del globo?

15. Desde un punto a ras de suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º. Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 14º. Calcular la altura del edificio

16. Se desea calcular la altura de una torre para ello desde un punto en el suelo la observamos con un ángulo de 30º si nos acercamos 120m.el ángulo pasa a ser de 80º.Calcular la altura.

R-MATC4º E.S.O. 38


17. Dos amigos situados a 600 metros entre si observan un globo que está entre ellos con ángulos de 30º y 60º respectivamente. Calcular a la altura a la que se encuentra el globo.

18. Se desea calcular la altura de un edificio para ello desde un punto en el suelo lo observamos con un ángulo de 35º si nos acercamos 100m.el ángulo pasa a ser de 75º.Calcular la altura

19. Dos amigos situados a 500 metros entre si observan una nube que está entre ellos con ángulos de 40º y 70º respectivamente. Calcular a la altura a la que se encuentra la nube

20. Reducir al primer cuadrante

a) 1200ºb) 1305ºc) 960ºd) 1665ºe)

1395º

f) 840ºg) –1200ºh) –1215ºi) –1050ºj)

–870º

k) –1935ºl) –900ºm) –1170n) –1320ºo)

1290

R-MATC4º E.S.O. 39


18º Vectores. Ecuaciones de la recta

Vector: ABAB −=

; Punto medio de un segmento 2AB BA +=

Pendiente: Inclinación de la recta, se calcula m = v2/v1 = tan α.La recta: Para calcular la ecuación de una recta necesitamos conocer un punto A(a1, a2) y un

vector dirección V (v1, v2), o dos puntos por los que pase la recta, o un punto por donde pasa y la pendiente.

Ecuaciones de la recta:*Ecuación vectorial: (x, y) = (a1, a2) + λ(v1, v2) ∀ λ ∈ R

*Ecuaciones paramétricas:

+=+=

22

11

vayvax

∀ λ ∈ R

*Ecuación continua: 2

2

1

1

vay

vax −=−

*Ecuación general: Ax + By + C = 0, en este caso m = -A/B*Ecuación explícita: y = mx + n*Ecuación punto pendiente: y – a2 = m(x – a1)

Posición relativa de dos rectas:

Son coincidentes si ´´´ CC

BB

AA ==

Son paralelas si ´´´ CC

BB

AA ≠=

Se cortan en un punto si ´´ BB

AA ≠

, en este caso se resuelve el sistema para calcular las coordenadas del punto de corte.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad:

*Si nos dicen que r es paralela a s, esto significa que sr VV = , o lo que es lo mismo que mr = ms

*Si nos dicen que r es perpendicular a s, esto significa que sr VV ⊥ , o lo que es lo mismo que mr = -1/ms

VectoresEJEMPLOS

EJERCICIOS

1.- Si (–2, 5) y (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:

a) 2 + b) – c) 3 + d) – – 22.- Si las coordenadas de los vectores y son =(3, –5) y (–2, 1), obtén las coordenadas de:

R-MATC4º E.S.O. 40


a) –2 + b) – – c) ( + ) – ( – ) 3.- Dados (2, 3), (–3, 1) y (5, 2), calcula:

a) (3 + 2 ) · b) · – · c) ( · ) d) ( · )

4.- Calcula x, de modo que el producto escalar de (3, –5) y (x, 2) sea igual a 7.5.- Dado el vector (–5, k) calcula k de modo que:

a) sea ortogonal a (4, –2).b) El módulo de sea igual a

6.- Halla las coordenadas de un vector (x, y), ortogonal a (3, 4) y que mida el doble que .7.- Dados (2, 1) y (6, 2), halla un vector tal que y

8.- Siendo (5, –b) y (a, 2), halla a y b, sabiendo que y son ortogonales y que = .9.- Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:

a) (3, 2), (1, –5) b) (4, 6), (3, –2)

c) (1, 6) , (– , –3) d) 10.- Dado el vector (6, –8), determina:

a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que .b) Los vectores ortogonales a →u que tengan el mismo módulo que c) Los vectores unitarios y ortogonales a

11.- Dados los vectores = 2 – y = –3 + k , siendo = (2, 3) y = (–3, 0),halla k de modo que + sea ortogonal a -

12.- Halla el valor que debe tener k para que los vectores = k + e = k – sean perpendiculares, siendo (1, –3) y (2, 5).

13.- Calcula x para que los vectores (7, 1) y (1, x) formen un ángulo de 45°.14.- Calcula x para que (3, x) y (5, 2) formen un ángulo de 60°.15.- Halla las coordenadas de cierto vector , sabiendo que forma un ángulo de 60° con (2, 4) y

que los módulos de ambos son iguales.

16.-Determina un vector que forme con (–1, –2) un ángulo de 30° y tal que =17.- Hallar el valor de x para que el vector =(1/3,x) tenga módulo 1.18.- Calcula el ángulo que forman los vectores (- 1,4) y (2,- 3)

Ecuaciones de la recta

R-MATC4º E.S.O. 41


1.- Halla todas las ecuaciones de la recta que

pasa por los puntos dados:a) A(–1, 0), B(0, 3) b)A(0, –2), B(5, –2) c) A(–2, 3), B(4, –1)

2.- Dada la recta: x + 3 = 0a. ¿En qué forma está escrita?b. Indica un punto y un vector director de la recta.c. ¿Pertenece el origen a esta recta?

3.-Dados los puntos A( 2, -3 ) , B( -5 , 5 ) y C( 3,1 ).a. Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por A y B.b. ¿Pasa esa recta por el punto C?. Determina otro punto de la recta anterior.

4.- Dada la recta:

a. ¿En qué forma está escrita?b. Indica un punto y un vector director de la recta.c. ¿Pertenece el origen a esta recta?

5.- Dados los puntos P( - 1, - 2 ) y Q( 5, 1 ) del plano, hallar la ecuación en formapunto-pendiente de la recta que pasa por P y Q6.- Sabemos que una recta horizontal pasa por el punto P( -1, 2 ). ¿Cuál es su ecuación?7.- Dada la recta 2x + 5y – 4 = 0.

a. Determina un vector director y un punto de la recta.b. Escribe su ecuación paramétrica

8.- Halla la ecuación general de la recta que pasa por A(-1,2) y B(-3,4).9.- Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por A(-3,4) y su pendiente vale m=2.10.-Dados los puntos P(-1,2) y Q(5,1). Hallar la ecuación paramétrica y continua de la recta que pasa por P y Q. Dados los puntos A(1,1) , B(-2,3) y C(0,-1), ¿están alineados?11.- De la recta r se sabe que pasa por el punto A (2,1) y un vector director es (-2,4). Determina su ecuación en todas las formas

12.- Dados los puntos A (4,-2) y B(10,0), hallar la ecuación de la recta que pasa por ellos en todas sus formas13.- La ecuación implícita de una recta es 2x-3y+1=0. Escribe la ecuación de esta recta en forma continua, punto-pendiente, explícita, vectorial y paramétrica 14.- Decir cuál es la pendiente de la recta 2x + 6y + 1 = 0. Calcula un punto de esta recta.15.-Escribe la ecuación explícita de la recta x + y + 1 = 0, indicando su pendiente y su ordenada en el origen16.- Escribe la ecuación de las siguientes rectas:

a) Pasa por (– 4, 2) y su pendiente es .b)Pasa por (1, 3) y su pendiente es –2.c) Pasa por (5, –1) y su pendiente es 0.

17.- Halla la ecuación de las siguientes rectas:a) Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).b)Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa por (0, –3).

18.- Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por el punto P en los siguientes casos:

a) r : y = –2x + 3; P(–3, 2)b) r : 3x – 2y + 1 = 0; P(4, –1)c) r : x = 3; P(0, 4)

19.- Comprueba si los puntos A(18, 15) y B(–43, –5) pertenecen a la recta x – 3y + 27 = 0.20.- Dados los puntos A(–3, 2) y B(5, 0), halla las ecuaciones de las rectas siguientes:R-MATC4º E.S.O. 42


r: pasa por A y es perpendicular a .s: pasa por B y es perpendicular a .

21.- Calcula n y m para que las rectas r : 3x + my – 8 = 0 s : nx – 2y + 3 = 0 se corten en el punto P(1, 5).

22.-Estudia la posición relativa de las rectas:r : 3x – 5y + 15 = 0 y s : pasa por (–2, –3) y (8, 3)

23.- Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:a) r : 2x – 5y + 3 = 0 b) r : 5x – 4y + 8 = 0 s : P(3, 1), Q(–2, 3) s : A(4, 7), B(0, 2)

24.- Halla la ecuación de la recta perpendicular a en su punto medio, siendo A(–5, 3) y B(2, 7).25.- Las rectas r y s pasan por el punto (–4, 2); r es paralela a 3x – 12 = 0 y s es perpendicular a ella.

Representa r y s y halla su ecuación.26.- La recta r es paralela a 5x – 4y + 3 = 0, y la recta s es perpendicular a ellas. Ambas pasan por el

punto (1, 3). Escribe las ecuaciones de las rectas r y s.27.- Dado el triángulo de vértices A(–5, 4), B(4, 1), C(–1, –2), halla:

a) Las ecuaciones de los tres lados.b)El punto medio del lado AC.c) La ecuación de la mediana del vértice B.

28.- En el triángulo de vértices A(–1, 1), B(3, 4), y C(3, 0), halla:a) La ecuación de la mediatriz de BC.b) La ecuación de la mediatriz de AC.c) El punto de intersección de las mediatrices (el circuncentro del triángulo).

29.- Dadas las rectas: r : 3x + by – 12 = 0 s : ax – y + 6 = 0 calcula el valor de a y b sabiendo que r y s son perpendiculares y que r pasa por el punto (9, –15/2).

30.- Determinar el valor de a para que las rectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0 y 3ax-(3a+1)y-(5a+4)=0 sean: a) paralelas b) perpendiculares 31.- Determinar el valor de m para que las rectas mx+y=12 y 4x-3y=m+1 sean paralelas

EJEMPLO

R-MATC4º E.S.O. 43


R-MATC4º E.S.O. 44


19º FUNCIONES Dominio: Es el conjunto de números reales para los cuales existe imagen mediante la función f(x).

Dom f(x) = {x ∈ R ⁄ ∃ f(x)}Funciones polinómicas.- f(x) = P(x), Dom f(x) = R

Funciones racionales.- f(x) = Polinomio/Polinomio, Dom f(x) = R - {x ∈ R tales que anulan el polinomio del denominador}.

Ejemplo

Funciones irracionales.-

Ejemplo1 (Sin denominador)

x2 – 5x + 6 = 0, x= 2, x= 3, + − + 2 3 Dom f(x) = (-∞, 2] ∪ [3, ∞)

Ejemplo 2 (Denominador dentro de la raíz)

f(x) = 2 x 3 -2x

+ , 0

2 x 3 -2x ≥

+ ,2x – 3 = 0 ⇒ x = 3/2 + − +x + 2 = 0 ⇒ x = -2 -2 3/2Dom f(x) = (-∞, -2)∪[3/2. ∞)Ejemplo 3 (Denominador fuera de la raíz)

01x,2x

1x)x(f 22

≥−−

−=

x-2=0 ; x=2

Dom ] [ ) (2, U)2,1U1,()x(f ∞−−∞=

Puntos de corte con los ejes:Eje OX ⇒ Si y = 0, despejando se obtienen los valores de x.Eje OY ⇒ Si x = 0, sustituyendo se obtiene el valor de y.

Ejemplo 1x4x2)x(f

−−=

Eje OX y=0

01x4x2 =

−−

2x-4= 0 ; x=2Punto de corte ( 2 ,0 )

Eje OY x=0

41040.2 =

−−

Puntote corte ( 0, 4 )Simetrías:Par ⇒ Se tiene esta simetría cuando f(-x) = f(x). En este caso la función es simétrica respecto del eje OY.Impar ⇒ Se tienen esta simetría cuando f(-x) = -f(x). En este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, el punto (0, 0).

Ejemplos:1º f(x) =x2 -1 como f(-x) =(-x)2-1 =x2-1 =f(x)Es una función simétrica par

2º f(x) =x3-2x como f(-x) =(-x)3-2(-x) = = -x3+2x = - f(x)Es una función simétrica impar

R-MATC4º E.S.O. 45

{ }3 - R f(x) Dom , 9 x3 -2x f(x) 2 ±=

−=

}{ 0 g(x) / R x f(x) Dom ,)()( ≥∈== xgxf Hacemos la tabla de signos

0, 6 5x - x, 6 5x - x f(x) 22 ≥++=Hacemos la tabla de signos

+ -1 - 1 2

Se estudia el signo del numerador y se quita la solución del denominador


EJEMPLOSCalcular el dominio de las siguientes funciones:

1º Solución

2º Solución

3º Solución

4º Solución

5º Solución

1º Dadas las siguientes funciones calcular su dominio:

465)( 2

2

1−

+−=x

xxxf

4)(2 −= xxf

465)(

2

2

3−

+−=x

xxxf

465)( 2

2

4−

+−=x

xxxf

532)(5 +

−=xxxf

133)(6 −

+=x

xxf

133)(7 −

+=x

xxf

54)(

2

8 +−=

xxxf

532)(9 +

−=xxxf

95)(10 −

−=xxxf

31)(

2

11 +−=

xxxf

49)(

2

12 −−=

xxxf

2542)( 213 −

−=x

xxf

2542)( 214 −

−=x

xxf

2542)( 215 −

−=x

xxf

14)( 2

2

16 −−=

xxxf

2º Calcular el dominio y los puntos de corte de :

a) 432)( 2

2

−−−=

xxxxf

b) 432)( 2

2

−−−=

xxxxf

c) 32)( 2 −−= xxxf

d) 432)( 2

2

−−−=

xxxxf

e) 432)(

2

2

−

−−=x

xxxf

f) 965)( 2

2

−+−=

xxxxf

g) 9x10x)x(f 2 +−=

h) 65)( 2 +−= xxxf

i) 965)( 2

2

−+−=

xxxxf

j) 965)(

2

2

−

+−=x

xxxf

k) 1x4x5x)x(f 2

2

−+−=

l) 4x5x)x(f 2 +−=

m) 965)( 2

2

−+−=

xxxxf

n) 9x3x2x)x(f 2

2

−−−=

o) 9x12x7x)x(f 2

2

−+−=

3º Calcular puntos de corte y simetría de las siguientes funciones:

a) f(x)=x4-4x2 b) f(x)=x4-2x2+2 c) f(x)=x3-3x d) f(x)=x2-4R-MATC4º E.S.O. 46


e)f(x)= x3x

x3

2

−

f)f(x)= 1x

4x3

2

−−

g)f(x)= x3x

9x3

2

−−

h)f(x)= x4x

x3

3

−

i) f(x)= 1x 2 −

j) f(x)=3 3 x2x −

k)f(x)=

32 2xx−

R-MATC4º E.S.O. 47


Composición de funcionesfog(x)= f(g(x))

Ejemplo: f(x)=3x-1 g(x)=x2-x+2fog(x)=3g(x)-1=3(x2-x+2)-1= 3x2-3x+6-1=3x2-3x+5

Función recíprocaf-1(x) es una función que satisface:f-1

of =xf

of -1=x

Ejemplos: f(x)=3x-1 g(x) = 2x1x2

+−

1º Intercambiar x e y x=3y-1

2º Despejamos y : y= 31x +

f-1(x) = 31x +

1º intercambiar x e y 2y1y2x

+−=

2º Despejar y: x(y+2)=2y-1 ; xy-2y=-2x-1Sacamos factor común y y(x-2)=-2x-1

y= 2x1x2

−−−

=f-1(x)

4º Composición de funciones y recíproca .Calcular

1º Sean

13)( += xxf

122)(

+−=

xxxg

fogof f-1 g-1

3º Sean

23)( −= xxf

2213)(

++=

xxxg

fogof ; f-1 ; g-1

2º Sean

15)( += xxf

1322)(

−−=

xxxg

fogof ; f-1 ; g-1

4º Sean

25)( += xxf

2432)(

+−=

xxxg

fogof ; f-1 ; g-1

5º Sean 4)( −= xxf

532)(

+−=

xxxg

f-1 , g-1 , fof , fog,

7º Sean

3 2 2)( += xxf 52

2)(+

+=x

xxg

f-1 , g-1 , fof , fog,

6º Sean

4 2 2)( −= xxf 2

13)(−−=

xxxg

f-1 , g-1 , fof , fog,

8º Sean 3 2 23)( −= xxf

2412)(

+−=

xxxg

f-1 , g-1 , fof , fog,

R-MATC4º E.S.O. 48


LIMITES DE FUNCIONES

Racional, para resolverla descomponemos el numerador y el denominador, simplificamos y sustituimos

Ejemplo: Factorizamos

34

68

3)1(4

)3)(3()3)(1(4

)9()34(4

00

912164

332

2

33

23

3==

+−=

+−−−=

−+−==

−+−

→→→→ xxlím

xxxxxxlím

xxxxxlím

xxxxxlím

xxxx

Irracional, para resolverla multiplicamos y dividimos numerador y denominador por el conjugado de las raíces y si es necesario se factoriza , se simplifica y se sustituyeEjemplo: Factorizamos el denominador

81

)24(41

)21x(1)(x1

)21x)(1x)(3x(3x

)21x)(1x)(3x(2)1x(

21x)1x)(3x()21x)(21x(

00

3x2x21x

limlim

limlimlim

3x3x

22

3x3x2

3x

=+

=+++

=+++−

−

=+++−

−+=+++−++−+==

−−−+

→→

→→→

Resolver los siguientes límites:

1 2

3

3x x927xLim

−−

→

14x

4x4xxlim 2

23

2x −−−+

→

118x27x10x

x12x14x2Lim 23

23

1x −+−+−

→

1 2xx4x4xx

lim2x

2

23

−−−−+

→

14x

8x4x2xlim 2

23

2x −−−+

→

13xx2

xxLim 2

2

1x −+−

→

1 678

456

0 532374

xxxxxxlím

x −++−

→

1x9x

x8x6x4lím 2

23

0x −+−

→

18x4x2x4x4xxlim 23

23

2x −−+−−+

→

1 18271032

123

2

−+−−+

→ xxxxx

xLim

14x

4x4xxlim2

23

2x −−−+

→

14xx4x

1xLim 23

2

1x ++−−

→

13x2x

9xlim 2

2

3x −−−

→

15x6x

25xlim 2

2

5x +−−

→

1133 23

3

1 −+−−

→ xxxxxLim

x

13x2x6x5xlim 2

2

3x −−+−

→

14x2x4x2

xx7x6lim 23

23

1x −−+++

−→

19x9xx

3x4xlim 23

2

3x −−++−

→

137x

8x12x6x 23

2xlim −+

−+−→

12xx

8x4x2x2

23

2xlim −−

−−+→

11x2x38x 2

1xlim +−

−+→

11x2x415x 2

1xlim +−

−+→

1x

xLimx

2

0

11 −−→

15x6x

1xlim 2

2

1x ++−

−→

1x

xLimx −

−+→ 3

213

11x

23x 21x

lim −−+

→

16x5x22x 2

2xlim +−

−+→

R-MATC4º E.S.O. 49

00

00


13x2x

21x 23x

lim −−−+

→

12x

8x2xlim2

4x −−−

→

11x2x23x 2

1xlim +−

−+→

138x

2xx2x 23

1xlim −+

−−+→

111x

4x4xxlim23

2x −−+−+

→

R-MATC4º E.S.O. 50


20º CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definición : f(x) es continua en x=a si se verifica que: )a(f)x(fLim)x(fLim

axax==

−+ →→

Tipos de discontinuidades: f(a) no está definida (discontinuidad evitable)

Si )x(fLim)x(fLim

axax −+ →→=

pero: )a(f≠ (discontinuidad de 1ª especie)

Si )x(fLim)x(fLim

axax −+ →→≠

(discontinuidad de segunda especie o salto finito o infinito dependiendo del resultado de los límites)Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función: (funciones a trozos)

≥

<<<+

=

2 x9- x

2x14x 1 x13

)(2

xxf

Estudiamos en x=1 y x=2f(1) no está definida

41x3lim

4x4lim

1x

1x

=+

=

−

+

→

→

discontinuidad evitable

f(2)=4-9=5

8x4lim

59xlim

2x

2

2x

=

−=−

−

+

→

→

Discontinuidad 2ª especie salto finito

Ejemplo : ( Funciones racionales) Estudiar la continuidad de:

2x1x)x(f

+−=

Como Dom f(x)=

}2{R −−

, la función no es continua en x=-2

como ∞==

+−

−→ 01

2x1xlim

2x es una discontinuidad de segunda especie salto infinito.

EJEMPLOEstudiar la continuidad de:

R-MATC4º E.S.O. 51


Estudiar la continuidad y representar las siguientes funciones:

1.

>−≤−

=0 xsi 320 xsi 1

)(2

xx

xf

2.

=

≠−−

=2 xsi 2

2 xsi 24

)(

2

xx

xf

3.

≥<<

<+=

2 x x2x14x

1 x2x2)x(f

2

4.

≥+

<<<+

=

2 x65x- x

2x14x 1 x22

)(2

xxf

5.

≥+

<<<+

=

2 x127x- x

2x15x 1 x12

)( 2

xxf

6.

≥

<<<+

=

2 x9- x

2x14x 1 x13

)(2

xxf

7.-

≥−<<

≤+=

1 x si 21 x 2- si

2- xsi 2)( 2

xxx

xf

8.

><≤−

<+=

3 x3-x3x3- 4x

-3 x62)( 2

xxf

9.

≥

<≤<+

=

2 x3-x4-3x

2x13x 1 x12

)(x

xf

10.

>+≤<−

<+=

4 x82x-4x4- 1x

-4 x82)( 2

xxf

Calcular el valor de a y b para que la siguiente función sea continua:

1.

<+≤+

= x 1 si 3 ax 1 x si 1 x

)(2

xf

2.

>≤≤−

<+=

2 xb-4x2x1 2x

1 x2ax)x(f

3.

>≤≤−

<+=

2 xb-2x2x1 4x

1 xax)x(f

4.

>+≤≤+

<+=

2 xb2x2x1 2x2

1 x1ax)x(f

5.

>+≤≤−

<+=

2 x33x2x1 2

1 x1)( bx

axxf

6.

>+≤≤−

<+=

2 x13x2x1

1 x2)( bx

axxf

7.

>+≤≤+

<+=

2 x2x2x1

1 x2)( bx

axxf

8.

>+≤≤−

<+=

2 x3x2x1 1

1 x)( bx

axxf

21º FUNCIONES RACIONALESR-MATC4º E.S.O. 52


ASÍNTOTAS

Verticales: Son rectas verticales x = a en las que se verifica que ±∞=

→)(xfLim

ax y a las cuales se acerca la función sin llegar a cortarlas cuando se dispara hacia ∞ ó -∞. Están entre los valores para los que no existe f(x).Horizontales: Son rectas horizontales y = b a las que la función se acerca sin llegar a cortarla cuando x

tiende a hacia ∞ ó -∞. Se debe verificar que bxfLim

x=

∞→)(

Hori Oblícuas: Son rectas de la forma y=mx+n a las que se acerca la cuando x tiende a hacia ∞ ó -∞.

para calcularlas xxfLimm

x

)(∞→

= y

))(( mxxfLimnx

−=∞→

Ejemplo: Estudiar las asíntotas de la siguiente función: 4x1x)x(f 2

2

−−=

Verticales:Calculamos el dominio de la función ; x2-4=0 24x ±=±= Dom f(x) = R – { -2., 2} 2 y – 2 son las posibles asíntotas verticales.Para comprobar si realmente los son:

∞==−−

→ 03

4x1xlim 2

2

2x ∞==

−−

−→ 03

4x1xlim 2

2

2x “ Es asíntota vertical x=2” “ Es asíntota vertical x=-2”Una vez que hemos comprobado que realmente son las asuntotas laterales calculamos los límites laterales para saber como es la asíntota.

x=2

−∞=−+=

−−

+∞=++=

−−

−

+

→

→

9,1

2

2

2x

1,2

2

2

2x

4x1xlim

4x1xlim

2 x=-2

+∞=++=

−−

−∞=−+=

−−

−

−→

−

−→

−

+

1,2

2

2

2x

9,1

2

2

2x

4x1xlim

4x1xlim

-2

Horizontal: 1

4x1xlimy 2

2

x=

−−=

∞→

EJEMPLOS

1º Calcula las asíntotas verticales:

2º Calcula las asíntotas de la siguiente función:

R-MATC4º E.S.O. 53


3º Calcularlas asíntotas

4º Estudia la discontinuidad evitable de:

f(x)=

1º Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2

2

x3x24x

−−

b) f(x) = 4x2xx

2

2

−+−

c) f(x) = 3

2

x1x +

d) f(x) = 25xx

2

2

−

e) f(x) = 162 +x

x

f) f(x) = 1x4x5x

2

2

−+−

g) f(x) = 4x4x2

2

2

−+

i) f(x) = xx

−14 2

j) f(x)= 6x5x11x3

2

2

+−+

k) f(x)= 2

2

−xx

l) f(x)= 12

3

−xx

2º Estudiar la continuidad y hacer un esbozo de la gráfica de:

1.- 341)( 2

2

+−−=xx

xxf

2.- 64)( 2

2

−+−=xx

xxf

3.- 659)( 2

2

+−−=xx

xxf

4.- 9x6x4x)x(f 2

2

+−−=

5.- 465)(

2

2

−+−=

xxxxf

6.- 132)(

2

2

−−−=

xxxxf

7.- 4)( 2

2

−=

xxxf

8.- 1)( 2

2

−=

xxxf

9.- 41)( 2

2

−−=

xxxf

10.- 14)( 2

2

−−=

xxxf

11.- 659)( 2

2

+−−=xx

xxf

12. 1)(

2

−=

xxxf

R-MATC4º E.S.O. 54


13.- f(x)= 142

+−

xx

14. 21)(

2

+−=

xxxf

15. 322)(

2

+−=

xxxf

16. 19)(

2

+−=

xxxf

R-MATC4º E.S.O. 55


22º LA DERIVADA

1.- Tasa de variación mediaResponde a la pregunta ¿cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la variable x?.

Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo, medido en metros es, S(t) = 3t2 – t + 1. Hallar la velocidad media entre t = 2 y t = 6 segundos.Como la velocidad es la variación del espacio respecto del tiempo, se tiene:

2.- Tasa de variación instantáneaEs el límite de la tasa de variación media, cuando los intervalos donde se mueve la variable independiente se hacen cada vez más pequeños. Estudia como varía la función en un punto.Si la función varía positivamente es que por ese punto pasa creciendo, y si la función varía negativamente es que por ese punto la función pasa decreciendo.

Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es,

S(t) = 3t2 – t + 1. Hallar la velocidad del móvil en el instante t = 2.

1) S(2 + h) =3(2 + h)2 – (2 + h) + 1 =11 + 5h + 3h2 2) S(2) = 3.4 – 2 + 1 = 11 3) S(2 + h) – S(2) = 5h + 3h2

4) 3h 5

h3h 5h

hS(2) - h) S(2 2

+=+=+

3.- Derivada de una función en un punto

La derivada de una función en un punto x = a es:

Ejemplo: Calcula la derivada de la función En el punto x=-1

R-MATC4º E.S.O. 56

m 23 4

11103 26

)2()6( mt =−=−−=

∆∆= SS

xy

h

xfhxf

xx

xfxf

xy )0()0(

12

)1()2( mt

−+=

−

−=

∆∆=

23

=+→

=+→

=+−

−−

++−

+−

→=

−−+−→

=−

2h

30h

Lim)2h(h

h30h

Lim

h

31

2

3)h1(

)h1(2

0hLim

h

)1(f)h1(f0h

Lim)1´(f

3

2)(

+=

x

xxfh

)0x(f)h0x(f

0hLim

1x2x

)1x(f)2x(f

1x2xLim

xy

0xLim it

−+

→

=−

−

→=

∆∆

→∆=

5 =+→

=−+

→= )35(

0 )2()2(

0hLim it h

hLim

hShS


Coincide con la tasa de variación instantánea de la función en el punto a.

4.- Función derivadaSe llama función derivada de la función f(x) y se escribe f ´(x) a la función:

Ejemplo: Calcular la derivada de la función .

5.-Interpretación geométrica de la derivadaGeométricamente la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.Pendiente de la recta tangente = mt = f ´(x0)La ecuación de la recta tangente es: y – f(x0) = f ´(x0)(x – x0)

Ejemplos:Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = 3x3 – 2x + 1 en el punto x0 = 2.Necesitamos f(2) y f ´(2) = mt,

f(2) = 3.8 – 2.2 + 1 = 21; f ´(x) = 9x2 – 2; f ´(2) = 9.4 – 2 = 34

rt : y – 21 = 34(x – 2); 34x – y – 47 = 0

En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2 – 6x + 8 la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante, (y = x). (Rectas paralelas significa que tienen la misma pendiente).

La pendiente de la bisectriz y = x es m = 1, por lo tanto mt = 1

Como mt = f ´(x0), esto significa que f ´(x0) = 1, de donde 2x0 – 6 = 1 ⇒ x0 = 7/2

Para calcular la segunda coordenada del punto sólo tenemos que sustituir este valor en la función, y0 = f(x0) = f(7/2) = (7/2)2 – 6(7/2) + 8 = -3/4

El punto de tangencia es el punto P(7/2, -3/2)

6.- Reglas de derivación para las operaciones de funciones

R-MATC4º E.S.O. 57

23)(x

6

+=

+++→=

+++→

=+

−++

+

→=

−−+→

=

)3x)(3hx(

60h

Limh)3x)(3hx(

h60h

Lim

h

3x

x2

3)hx(

)hx(2

0hLim

h

)1(f)hx(f0h

Lim)x´(f

hafhaf )()(

0hLim ´(a) f −+

→=

h

xfhxfoh

Limxf)()(

)´(−+

→=

3

2)(

+=

x

xxf

X0

F(x0)


1.- )x´(g)x´(f))´x(g)x(f( ±=±

2.- )x´(g).x(f)x(g).x´(f))´x(g).x(f( +=3.- )x(g

)x(f)x´(g)x(g).x´(f)x(g)x(f

2

−=′

Regla de la cadena )x´(h)).x(h´(g))).x(h(g´(f)))´x(h(g(f( =

7.- Tabla de derivadasFunción simple Función compuesta

Función Derivada Función Derivaday= a y´ = 0 (a = Constante)y = xn y´= nxn-1 (n = número) y= un y´ = unn-1.u´ (u = f(x))

y = Ln(x)

y´= x1 y= Ln u

y´ = u´ .

u1

y=loga(x)

y´=ea.log

x1 y= loga(u)

y´ =.u´.log

u1

a e

y= ax y´= ax.Lna y=au y´ = au.Lna.u´y=ex y´= ex y=eu y´ = eu.u´

y= sen(x) y´=cos(x) y= sen(u) y´ = u´.cos(u)y= cos(x) y´=-sen(x) y= cos(u) y´ = -u´.sen(u)y= tan(x)

y´= )(cos12 x =sec2x=(1+tan2x)

y =tan(u)

y´ = )(cos12 u .u´ = u´.sec2(u) = u´.(1 + tg2(u)

y= cotg(x)y´= )(sen

1-2 x =-cosec2(x)=-(1 + cotg2(x))

y= cotg(u)

y´= )(sen1-2 u .u´=-u´.cosec2(u)= -u´(1 +cotg2(u))

y= sec(x) y´= tg(x).sec(x) y= sec(u) y´= u´.tg(u).sec(u)y= cosec(x) y´= = -cotg(x).cosec(x) y= cosec(u) y´= -u´cotg(u).cosec(u)

Calcular las siguientes derivadas:

1. y=x3 + 3x2 – 3x – 12. y=2x3 – 6x + 53. y=x4 + 2x3 – 6x2 – 74. y=x5+6x4 +2x3–x2 + x-25. y=8x3+12x2+6x6. y=x4 +8x3+22x2+24x+97. y=x4 +4x3–2x2 –2x+98. y=x4–5x3 – 5x2 + 5x – 69. y=x5-x4 +10x3 – x2+7x–510. y=5x5-x4–5x3+x2

11.y=

5x4x3x1 3

4 +−−

12.y=

xx5

x1

23 +−

13.y= x

3x5

x2

x7

234 +−+

14. y= 2x3x5x 23 +−+15. y=

1x6x5x4 3 −++

16. 33 2

x1xy +=

17.x2x3

x1

4 −−

18. 42 )5x4x(y +−=19. 323 )1x4x2x(y +−+=20. y=(6x3 –2x2 +5)4

21. y=(2x4 + 5x2 +5)3

22. y=(2x3 – 6x2 + 5x)4

23.3x2x

1y 2 +−=

24. 22 )4x8x(1y

+−=

25. 32 )8x4x(1y

+−=

26. 1x2xy 2 +−=

27. 1x2x3xy 23 +−−=

28. 3 2 4x2xy +−=29. 4 23 2x3x2xy −+−=

30. 5 2 4x6xy +−=

31. 6 23 4x4xy +−=32. y=(x-1)2(x-3)3

33. y=3 22 2x.x2x ++

34. y = (x2.+3x)2 xx 2 +

35. y = (x2.-2x+1) 12 +x

36. y=(x3-5x2-1)3 2 x3x +

37.1x2x

3xy 2 ++−=

38.43

2

3

+−=

xxy

R-MATC4º E.S.O. 58


39.1x

3x2xy2

2

−+−=

40.2x6x1x4xy 2

2

+−+−=

41.2x3x1x2xy 2

2

+−+−=

42. 22

2

)1x(xy−

=

43. 523 )5( += xy

44. 32

2

)1xx(2x3xy

−+−+=

45.1x2xy

2

−−=

46.2x

xy 2 +=

47.x2x1xy 2

3 2

+−=

48.1x1x

+−

49.11

2

2

+−

xx

50. y= Ln(x2-3x+2)51. y= Lg2(x2-4x+2)52. 3

4 )2x3(lgy −=53. y=ln(x2-8x+2)54. y=lg4(x2-8x+2)55. y=log(x2+1)56. y=ln( 1x 2 − )57. y=log2

3x3 −

58. 3)2x3ln(y −=

59. 27 )1x(logy −=

60. 3 )25ln( −= xy

61. )1ln( 2 −= xy

62.x

xLny )1( 2 −=

63.31

2

2

+−=

xxLny

64.1x

xLogy 2

2

2 +=

65.31

++=

xxLny

66.y=Ln 3

3

5252

xx

−+

67. 3 )1xln(y +=

68. )1xlog(y +=69. y=e6x-3.70. 3x2x2

ey +−=

71.32 )2x(ey −=

72. 3x2x5 2

ey +−=

73. 2x1x

ey +−

=74. )3x2.(xey −=

75.3 2 1x2xey −−=

76. y=36x-3.77. 9x2

7y −=

78. 3x2x 2

5y +−=

79.32 )1x3x(10y +−=

80. 3x2x 2

6y +−=

81. 1x1x

4y +−

=82.

4)1x(2x5y −−=

83.3 2 3x7y −=

84. x1x 2

10y−

=

85. 11

10 +−

= xx

y

86. 3x4x3 2

10y +−=87. y= ex+3.102x-1

88. )1x2(seny −=

89. 5senxy =

90. xy 5sen=

91. )3x2(seny −=

92. )x3x(seny 2 −=

93. )x(seny 3 2=

94. )e(seny 4x2 −=

95. )10(seny 3x2x2 +−=

96. 3)23( −= xseny

97.y=3 )43( −xSen

98. )1sen( 2 −= xey

99.y=sen( 5x

3x+−

)100. )4x5cos(y +=

101. 4xcosy =

102. xcosy 4=

103. )3xcos(y +=

104. )2xcos(y 2 +=

105. )2xcos(y 3 2 +=

106. )ecos(y 4x3 −=

107. )10cos(y 3x2 +=

108. 2)2x5cos(y −=

109. y=3 )4x3cos( +

110. y=4 )25( −xCos

111. )5x4(tgy −=

112. )xx(tgy 23 −=

113. y=3)2x4(tg +

114. )2x4(tgy 3 +=

115. )1( 2 −= xtgy

116. )3x2x(tgy

−−=

117. ))32(cos( −= xtgy

118. 3 )2x5tan(y −=

119. 4 )2x4tan(y −=

120. y=e3x-6.tang(2x)121. y=sec(3x+2)122. y=cosec(4x-1)123. y=sec(x2-2x+2)124. y=cosec(x2-3x+2)125. )1xsec(y −=

126. )1x(eccosy 2 −=127. )8x3sec(y 3 +=128. )2x(eccosy 4 3 +=

129.)esec(y 2x3 −=130. )10(eccosy 2x2 +=131. )xx(gcoty 2 −=

132. )2x3(ctgy −=

133. 3)4x3(ctgy +=

134. )1x(ctgy 3 2 −=

135. )2x1x(gcoty

+−=

136. )e(ctgy x3x2 −=

137.2

xx eey−−=

138. )tgsen1(

xxLny +=

139. ))5x3(senln(y −=

140. ))5x3(ln(seny −=

141. ))(ln( 12 −= xetgy

142. x

xxy2sen2

=

143. )13( 2 +−= xxtgey144. ))33(cos(log5 −= xy

145. )e(seny x=

146.xcos

)2x(seny −=

147. ))2(sen(tgy x=

148. 3 )tgxsec(y =

149. ))8x3(senln(y +=

150. xcoslogy 2=

151. )x(sen2y =

152. 2xxcos

ey =

153. xlncosy =

154. )esec(y tgx=R-MATC4º E.S.O. 59


155. ))1x(tg(eccosy 2 −=

156. ))x(sen(logy 24=

157. 3x)2x3(tgy −=

158. ctgx10y =

159. ))e(senlog(y x=

160.x

)1xln(y2 −=

161.3x1xLny

++=

162. )3x1x

(seney +

+

=

163. xxcos

10y =

164. y = tg 3x + tg x3 + tg3 x165. y=sen x2 +sen2x +2 senx

166.xxy 2

2

sen1sen1

+−=

167.xcos1xcos1lny 2

2

+−=

168. f(x) = e6x-3.Cos(7x)169. f(x) = 75x + 7Tang( )35 2 −x

170.f(x) = )16(

)16(3

3

−−xLn

xLn

171.f(x) = )35(

)35(4

4

++xLn

xLn

172. 2x10.2xy −−=

173. f(x) = 54x + 7Cos( 26 2 −x )174. f(x) = e4x-3 + sen( 1x3x 3 −+ )175. )25cos().13()( −+= xxsenxf

176. )84().63cos()( −−= xsenxxf

177. )2x5(gcot).1x3(tg)x(f −+=

178. )2x5(eccos).1x3sec()x(f −+=

179. += − )26ln(10 xy2

ln2

+xx

180. )13().13( −

+−= xsen

xxseny

181. += − )25(10 xtgy12

ln2

−xx

182. ))28((12 −+−= xsentgxy

183. ))32cos(ln( −= xy

184. )3x2cos(lny −=

185. += − )86(log3 xey1

)1(2

2

−−

xxLn

186. )32()22cos( −+= − xseney x

187. )1(sen)1sen( 22 −−−= xxy

188. ))sen(ln( 12 −= xey

189. += − )12(5 xtgy23)1(

2

2

+−−

xxxLn

190. += +−11

10 xx

y xxLn )1( 2 −

191. ))10(cos( 12 −= xtgy

192. )2xcos().1xln()x(f 2 −+=

193. +=+− )132( xxtgey

xxLn2

)1( 2 −

194. )12().cos( 26 −= − xseney x

195.)x(tg

)5x2x(seny

2 +−=

196. )2x(sen1xlny 2 −+−=

197. 1x1x

2

2

10y +−

= + sen(x2-5x+7)198. 1x1x 22

2.ey −−=

199. 3 3 ))x(sen(tgy =

200. 23

2 xlog).2x6(seny −=

23º ESTUDIO Y REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Las funciones polinómicas cúbicas: Su aspecto es en general:

R-MATC4º E.S.O. 60


f(x)=ax3+bx2+cx+d si a>0 si a<0

Las funciones polinómicas cuartas: Su aspecto es en general

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e si a>0 si a<0

Para las funciones polinómicas de exponente 5 :

f(x)=ax5+…... si a>0 a<0

Ejemplo

R-MATC4º E.S.O. 61


Estudia y representa:

1º f(x)=x4-4x2

2º f(x)=x4-2x3+33º f(x)=- 2x3-3x2-12x+84º f(x)=-x3+3x2

5º f(x)=-x4+x2

6º f(x)=-x3+3x-27º f(x)=-x4+9x2

8º f(x)=x3-2x2+x9º f(x)=-x3+3x

10º f(x)= x4-2x2

R-MATC4º E.S.O. 62


24º ESTADÍSTICADISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES

Definiciones:Población: Conjunto de elementos objeto de estudioMuestra: Subconjunto de la población sobre la que se realiza el estudio. Su tamaño es NCarácter: Característica que se estudia. Puede ser cualitativo o cuantitativoVariable estadística (xi): Conjunto de valores que toma un carácter cuantitativo Variable estadística discreta: cuando puede tomar un número finito de valores Variable estadística continua: cuando puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo de la recta realFrecuencia absoluta (fi): Es el número de veces que se repite cada valor de la variable estadística xiFrecuencia absoluta acumulada (Fi): Para un valor de xi es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi, mas la de xi. Fi = f1 + f2 + .....+ fi.

Frecuencia relativa (hi): Para un valor de xi es Nfi

Frecuencia relativa acumulada (Hi): Para un valor de xi es la suma de todas las frecuencias relativas de todos los valores anteriores a xi, mas la de xi. Hi = h1 + h2 + .....hi.Tablas de frecuencias: Son tablas de conteo donde ponemos los valores de xi ordenados y las cuatro frecuencias.Representaciones gráficas: Se emplean diagramas de barras para variables estadísticas discretas e histogramas para variables estadísticas continuas, a no ser que se nos pida alguna otra representación específica.

Cálculo de parámetrosDe Centralización

Media aritmética

µ = ∑

=

=n

1 i

ii

Nfx X

Moda Mo: Valor de xi que tiene mayor frecuencia, fi

Mediana

Me: Valor de xi que ocupa en la tabla la posición 21 N +

La posición se mira en la columna de Fi ,el primer valor que pasa del número obtenido

Cuartiles: Valores de xi que dividen la distribución en 4 partes iguales

Q1: Valor de xi que ocupa la posición N/4.Q2: Mediana.Q3: Valor de xi que ocupa la posición 3N/4.La posición se mira en la columna de Fi ,el primer valor que pasa del número obtenido

Deciles: Valores de xi que dividen la distribución en diez partes iguales

Di valor de xi que ocupa el lugar i.N /10. i es el número de decil

Percentiles: Valores de xi que dividen la distribución en cien partes iguales

Pi valor de xi que ocupa el lugar i.N/100. i es el número de percentil

R-MATC4º E.S.O. 63


De dispersiónRango: Diferencia entre el mayor valor de xi y el menor

Varianza:

S2 =

2

n

1 ii

2i

X - N

fx∑=

Desviación típica:

S = 2S

Desviación media:

Dm = N

fx - xn

1 iii∑

=

Intervalos de confianza

Para distribuciones unimodales y simétricas o ligeramente asimétricas, se verifica que:

1.- En el intervalo ( µ+µ x , - x ), se encuentran el 68% de los datos

2.- En el intervalo ( µ+µ 2 x ,2 - x ), se encuentran el 95% de los datos

3.- En el intervalo ( µ+µ 3 x ,3 - x ), se encuentran el 99% de los datos

Coeficiente de variación D = X

S

. Relaciona una medida de dispersión (S), con una medida de

centralización ( X )

Ejemplos1.- El consumo de unidades de un determinado producto en 100 establecimientos de una ciudad fue el

siguiente:28, 32, 45, 6, 12, 93, 36, 74, 10, 16, 49, 5, 32, 47, 76, 80, 8, 95, 16, 68, 35, 73, 59, 27, 9, 86, 42, 19, 58, 37, 29, 6, 88, 20, 5, 90, 91, 13, 46, 29, 97, 38, 56, 12, 7, 63, 24, 91, 85, 73, 92, 26, 8, 42, 35, 97, 91, 43, 64, 92, 57, 23, 54, 6, 21, 39, 63, 47, 55, 61, 94, 52, 23, 74, 67, 9, 18, 39, 61, 86, 25, 47, 69, 73, 12, 5, 42, 7, 39, 45, 6, 93, 18, 75, 41, 23, 52, 37, 21, 95Construir una tabla de frecuencias de datos agrupados en seis intervalos de igual amplitud comenzando en 3,5 y representar su frecuencia absoluta. Calcular la media aritmética, mediana, moda, primer y tercer cuartil, percentil 90, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

Intervalosmarca de clase xi fi Fi hi Hi xifi xi

2fi(3,5, 19,5) 11,5 23 23 23/100 23/100 264,5 3041,75(19,5, 35,5) 27,5 17 40 17/100 40/100 467,5 12856,25(35,5, 51,5) 43,5 19 59 19/100 59/100 826,5 35952,75(51,5, 67,5) 59,5 14 73 14/100 73/100 833 49563,5(67,5, 83,5) 63,5 10 83 10/100 83/100 635 40322,5(83,5, 99,5) 91,5 17 100 17/100 1 1555,5 142328,25

100 4582 284065

R-MATC4º E.S.O. 64


Media: 82,45

1004582 ==X

Intervalo modal: (3,5, 19,5)

Mo = 68,47

623231635 =+

+

Intervalo de mediana: (35,5, 51,5)

M = 92,43

194050165,35 =−+

Intervalo de Q1: (19,5, 35,5)

Q1 = 38,21

172325165,19 =−+

Intervalo de Q3: (67,5, 83,5)

Q3 = 7,70

107375

165,67 =−

+

Intervalo de P90: (83,5, 99,5) P90 = 08,90

178390165,83 =−+

S2 = 1776.741)82,45(

100284065 2 =−

, S = 22,271776,741 =

, d = 27,22/45,82 = 0,59

2.- Las calificaciones de 40 alumnos de una determinada clase en una asignatura son las siguientes:xi 3 4 5 6 7 8 9 10fi 2 3 7 8 6 6 5 3Construir una tabla de frecuencias y representar los datos en un diagrama de barras y en un

diagrama de sectores. Calcular la media aritmética, mediana, moda, primer y tercer cuartil, percentil 90, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

740280 ==X

, d = 711,1

= 0,15 Mo = 6 Posición de la mediana = 21.5; M = 276 +

= 6,5Posición de Q1 = 10; Q1 = 5 Posición de Q3 = 30; Q3 = 8 Posición de P90 = 36; P90 = 9

Varianza = S2 = 27

402010 −

= 1,25, S = 25,1

= 1,11

EJERCICIOSR-MATC4º E.S.O. 65

xi fi Fi hi Hi xifi xi2fi

3 2 2 2/40 2/40 6 184 3 5 3/40 5/40 12 485 7 12 7/40 12/40 35 1756 8 20 8/40 20/40 48 2887 6 26 6/40 26/40 56 3928 6 32 6/40 32/40 48 3849 5 37 5/40 37/40 45 40510 3 40 3/40 1 30 300

40 280 2010

34

5

6

78

9

10

23

1719

1410

17

0

5

10

15

20

25

Frecuencias Absolutas

Intervalos


1º Los casos de tétanos por provincias registrados en España durante el año 1986 fueron los siguientes (datos del INE)

0 , 0, 0, 5, 8, 1, 0, 0, 10, 2, 1, 0, 1, 3, 0, 2, 1, 0, 3, 5, 1, 0, 0, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 3, 3, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 ,5, 0, 0, 0, 0, 1, 0. a) Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativasb) Calcular la media, mediana y modac) Calcular la varianza y desviación típica.

2º Los resultados que se obtienen al lanzar 50 veces el mismo dado son:5, 5, 5, 4, 3, 2, 3, 5, 2, 4, 3, 2, 4, 6, 5, 6, 6, 3, 3, 1, 1, 4, 5, 6, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 1, 5, 6 2, 3, 4, 1, 4, 4, 6, 1, 6, 5, 6, 5, 1, 4, 2, 3, 4a) Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativasb) Calcular la media, mediana y modac) Calcular la varianza ,desviación típica y desviación media.d) Calcular el tercer cuartel y el percentil 30

3º Dada la siguiente distribución:

a) Dibujar los polígonos de frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas

b) Calcular media, mediana , moda y segundo quintil.c) Calcular la varianza y desviación media

4º Las notas de matemáticas de cierto curso fueron: 9 ,8 ,5 ,5 ,5 , 4, 4, 4, 10 ,3, 2, 3, 9, 6, 6, 5 ,3 ,9 ,7 ,5 ,7 ,5 ,4 ,1 ,0, 8, 5, 8, 5, 2, 4, 6, 2, 8, 5, 4 Construir la tabla de frecuencias absolutas y relativas . Dibujar el diagrama de barras de las frecuencias absolutas Calcular la nota media aritmética, la nota mediana, la nota moda y la nota percentil 70.5º Dibujar el polígono de frecuencias absolutas y calcular la media aritmética ,la medina ,la moda ,el primer cuartil y el decil 7 de:

6º Dibujar el diagrama de barras y calcular la media aritmética, la medina ,la moda, el tercer cuartil y el percentil 11 de:

Calcular también las desviaciones típicas y medias.7º Las edades de los componentes de una peña de tute so las siguientes:

60 70 17 67 44 38 31 18 24 2127 53 55 20 48 66 33 18 75 6021 16 86 52 47 38 69 70 57 26

Reunir en 9 intervalos de longitud constante , construir la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas y calcular la media moda y mediana.8º Las edades de los alumnos de un instituto en el turno nocturno son:

18 25 22 23 22 22 35 18 27 20 21 28 2721 19 22 18 33 28 20 18 21 23 23 34 3229 25 18 25 21 23 36 24 26 24 37 22 2331 19 35 21 20

Agrupar en cinco intervalos de igual longitud . Dibujar el histograma correspondiente. Calcular la edad media, la edad mediana , la edad moda y la edad tercer cuartel.

R-MATC4º E.S.O. 66

xi 1 2 3 4 5fi 12 20 28 40 2

xi 7 8 3 5 13fi 6 4 7 3 5

xi 1 2 3 4 5 6fi 21 28 6 16 14 5


9º La asistencia de personas a cierto espectáculo por sus edades sigue la siguiente tabla de frecuencias: 1) Completar la tabla de frecuencias

2) Calcular la media y la mediana 3) Dibujar los histogramas 4) Calcular la desviación típica 5) Calcular el primer cuartel y el decil 9.

10º .- El número de piscifactorías por provincias en España en el año 1985 es: 1 4 0 0 27 0 6 1 2 0 7 0 5

2 11 0 0 13 7 3 5 0 23 0 0 05 0 2 12 9 8 3 17 3 4 0 3 54 1 5 2 4 7 4 1 2

Agrupar en intervalos de longitud 4 . Dibujar el histograma. Calcular la media mediana y moda de la distribución. Calcular la varianza. Otener el coeficiente de variación

12 º El número de afectados por una afección pulmonar en menores de 40 años en un hospital viene dada por la tabla

años 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39Número 3 2 3 3 7 10 12 8

Se pide:1) Las marcas de clase2) El intervalo mediano3) El coeficiente de variación, es decir, el coeficiente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media.

13º La siguiente tabla da las edades a las que comenzaron a sentarse los niños de una muestra particular:Meses 12 11 10 9 8 7 6 5Frecuencia 1 6 7 14 28 35 21 10

a) Obtener las frecuencias relativasb) Construir el diagrama de barrasc) ¿Cuál es la mediana?d) Obtener el coeficiente de variación

R-MATC4º E.S.O. 67

Edad en años Frecuencia [10 - 20) 10[20 - 30) 20[30 - 40) 30[40 - 50) 24[50 - 60) 14[60 - 70) 10[70 - 80) 5


25º TÉCNICAS DE RECUENTO COMBINATORIA

Es una herramienta de la probabilidad. que sirve para contar. Para distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones nos haremos las siguientes preguntas:

1.- ¿Pueden aparecer elementos repetidos?

SI: ¿En todos los elementos cada objeto se repite el mismo número de veces?

SI ⇒ Permutaciones con repetición ns! n2! n1!m!Pm

ns n2, n1, =

NO ⇒ Variaciones con repetición VRm,n = mn

NO: 2.- ¿En cada elemento escribimos todos los objetos?SI ⇒ Permutaciones Pm = m!

NO ⇒ 3.- ¿Importa el orden?SI ⇒ Variaciones ordinarias Vm,n = m(m-1)(m-2).....(m-n+1)

NO ⇒ Combinaciones Cm,n = n)!(mn!

m!nm

−=

EJEMPLOS¿Cuántos número de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5,6?

VR6,4 = 64 = 1296

¿De cuántas maneras se pueden repartir seis juguetes entre cuatro niños de forma que cada niño reciba un sólo juguete?

V6,4 = 6.5.4.3 = 360

Cinco amigos van al teatro. ¿De cuantas formas pueden colocarse en las cinco butacas adquiridas?P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Si queremos que una quiniela tenga 7 unos, 4 equis y 3 doses. ¿De cuantas formas podemos rellenarla?

120.1207!4!3!

14!P147,4,3 ==

En un grupo de cuarenta alumnos se eligen tres para formar una comisión. ¿De cuantas formas puede constituirse la comisión?

C40,3 = 0988

3.240.39.38

3!37!40!

340

===

R-MATC4º E.S.O. 68


Ejercicios1º ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4,5 y 6 sin que se repita ninguna de ellas?2º Un ayuntamiento va a sortear 6 puestos ambulantes para las fiestas locales entre 10 solicitantes: Teniendo en cuenta que el lugar asignado influye mucho en las ventas ¿de cuántas formas se podrás realizar la adjudicación de los 6 puestos?3º Un partido político tiene 18 candidatos para formar las listas de unas elecciones. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar a los 4 primeros de la lista?4º Pedro tienen que colocar en una estantería 10 libros ¿De cuántas maneras tiene de colocarlos?5º Si se reúnen cinco amigos ¿de cuántas maneras pueden intercambiar saludos?6º Una ONG dedicada a la conservación del medio ambiente quiere hacer un grupo de trabajo de cuatro personas entre sus 96 miembros ¿De cuántas maneras puede hacerlo?7º ¿Dé cuantas maneras distintas se pueden sentar los 12 alumnos de una clase en los cuatro asientos de la primera fila?8º Un chico coloca todos los días los 6 libros de texto en su estantería al llegar a casa ¿De cuántas maneras los puede colocar?9º Con las letras de la palabra FLAMENCO ¿Cuántos grupos diferentes podemos formar?10º La comida básica de un poblado está basada en el arroz, las judías, el maíz y la patata.¿Cuántos platos distintos se pueden formar mezclando tres alimento?11º En un juego de cartas cada mano está formada por 4 cartas. Si la baraja tiene 40 cartas ¿Cuántas manos distintas podemos repartir?12º En mi clase somos 18 alumnos.

a) ¿De cuantas maneras podemos repartir el podium en una carrera de velocidad?b) Si se convocan concursos de pintura, poesía y redacción y solo gana uno, ¿de cuantas

maneras se peden repartir los premios?c) Si formamos grupos de 3 personas para hacer un trabajo ¿Cuántos grupos distintos podemos

formar?13º Si deseamos unir los 5 pueblos de una comarca entre si por carreteras ¿De cuántas maneras distintas podemos hacerlo?14º Una persona ha olvidado la clave de su tarjeta sabe que empieza por 9 y que termina en par, si las claves son de 4 cifras con posible repetición ¿Cuántas posibilidades hay? 15º En la liga polideportiva de los colegios de una ciudad participan 20 equipos.

a) ¿Cuántos encuentros diferentes hay si juegan todos con todos?b) ¿De cuantas maneras se reparten los tres primeros premios?

16º Con las 27 letras del alfabeto • ¿Cuántas palabras de 5 letras distintas podemos formar?• ¿Cuántas empiezan y terminan en vocal?• ¿Cuántas empiezan por vocal y terminan en consonante?17º Un partido político tiene 18 candidatos para formar las listas de unas elecciones. ¿De cuántas formas diferentes se puede ordenar a los cuatro primeros de la lista?18º En una clase de 30 alumnos se van a elegir el delegado el subdelegado y secretario ¿De cuántas formas diferentes se pueden asignar los tres cargos?19º ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos del 0 al 9?20º En España las matrículas de los coches están formadas por 4 números repetidos o no, seguidos de tres letras consonantes repetidas o no exceptuando la “ñ” la “q “la “ll” y la “ch” ¿Cuántos coches se podrán matricular con este sistema?

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26º PROBABILIDADEL LENGUAJE DE LOS SUCESOS

Experimento aleatorio: Es en el que no se sabe el resultado de antemano.

Experimento determinista: Es el que se sabe el resultado de antemano.

Espacio muestral, E: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un cierto experimento aleatorio. E = {.....} Card(E) = n

Suceso aleatorio: Es cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral E.

Espacio de sucesos, S: Es el conjunto d todos los sucesos de un cierto experimento aleatorio. S = {.....} Card(S) = 2n.

Verificación de sucesos: Se dice que un suceso se verifica si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que componen el suceso.

Inclusión de sucesos: Se dice que el suceso A está incluido en el suceso B (A⊂B) si siempre que se verifica A también se verifica B.

Distintos tipos de sucesos:Suceso seguro ESuceso imposible ∅Suceso elemental: Formado por un sólo elementoSuceso compuesto: Formado por varios elementos

Suceso contrario A Ac A : Es el formado por los elementos del espacio muestral que no están en el suceso A. Ac = E - A.Sucesos incompatibles: Dos ó más sucesos son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente. En caso contrario se llaman compatibles.

Operaciones con sucesos:Unión de sucesos A∪B: Cuando se verifica A ó BIntersección de sucesos A∩B: Cuando se verifican A y B simultáneamente

Probabilidad de un suceso:Def. clásica, (Laplace):

P(A) = nº casos favorables/nº de casos posibles.Probabilidad de la unión de sucesos, ó, alguno, al menos uno ≈ ∪:

-Sucesos incompatibles (los que no tienen nada en común, A∩B = ∅): P(A∪B) = P(A)+P(B)

-Sucesos compatibles (los que tienen algo en común, A∩B ≠ ∅): P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

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Ejemplos

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Urna A: 3 rojas y dos verdesUrna B 1 roja y una verde


EJERCICIOS1. Una urna contiene 7 bolas rojas y 5 bolas amarillas, se extraen dos bolas de la urna Calcular las siguientes probabilidades:

1)que las dos bolas sean del mismo colorR-MATC4º E.S.O. 72


2) que las dos bolas sean de diferente color3)que la segunda bola sea amarilla

2. Se dispone de una bomboneras, la primera contiene 7 bombones de praliné y 6 de chocolate blanco, 8 de chocolate negro, se extraen 2 bombones simultáneamente. Calcular las siguientes probabilidades:

a)realizar el diagrama de árbolb)que se saque un bombón de praliné y el otro de cualquier sabor c)que se saquen dos bombones del mismo sabor

3. Pepe, Juan y Antonio participan por este orden en la final de tiro con arco de su municipio, esta se disputa a un sólo disparo de cada uno. La probabilidad de que Pepe haga blanco es del 85%, de que Juan haga blanco es del 89% y de que Antonio haga blanco es del 90%. Calcular las siguientes probabilidades:

a)que los tres hagan blancob)que Pepe y Antonio hagan blancoc) que dos cuales quiera hagan blanco

4. Una urna contiene 10 bolas blancas, 5 amarillas y 5 negras. Se extraen dos bolas simultáneamente al azar de la urna y se sabe que no es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que alguna sea negra?

5. Un banco tiene tres sistemas de alarma independientes, la probabilidad de que la primera funcione es el 90%, de que funcione la segunda el 85 % y de que funcione la tercera el 99% en caso necesario. Si se produce un robo calcular: a) Probabilidad de que ninguna alarma se active.b) Probabilidad de que se activen solo dos alarmas.

6. El 80% de la población italiana tiene teléfono móvil, el 60 % tiene ordenador y el 40 % tiene ambas cosas. Calcular la probabilidad del que elegida una persona al azar que tenga alguna de las dos cosas.

7. En su camino al trabajo una persona pasa por tres semáforos cada mañana. Los semáforos operan independientemente. La probabilidad de una luz roja es de 0,4, 0,8 y 0,5 respectivamente para cada uno de los tres semáforos. Se pide:a) La probabilidad de que la persona encuentre los tres semáforos en rojo.b) La probabilidad de que encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde o ámbar.

8. En un instituto hay matriculados 200 alumnos de 4º E.S.O. de ellos están matriculados en las siguientes actividades extraescolares: 50 fútbol, 40 baloncesto, 50 tenis, 55 teatro pero 10 de ellos hacen fútbol y tenis y 20 alumnos a baloncesto y tenis, el resto no realiza ninguna actividad extraescolar. Elegido un alumno al zar calcular las siguientes probabilidades:a) que acuda a fútbol o tenisb) baloncesto o tenisc) teatro o fútbol 9. En una determinada ciudad se sabe que, para personas de más de 60 años, la probabilidad de padecer una enfermedad de corazón es de 0,15 y la de padecer artrosis es de 0,25. También se sabe que la probabilidad de sufrir ambas enfermedades es de 0,08. Elegida al azar una persona de más de 60 años. ¿Cual es la probabilidad de que enferme de corazón o artrosis?10. En una caja hay 30 bombones de los cuales 10 son de almendra, 12 de avellana y el resto de chocolate puro si se escogen dos bombones al azar hallar la probabilidad de que sean de distinto sabor.11. Andrés tiene 5 pares de zapatos en su armario, si saca dos al azar cual es la probabilidad de que sean pareja.12. De 50 personas que fueron consultadas sobre su asistencia al cine o al teatro,35 fueron al cine y 10 al teatro, además 4 de ellas asistieron a ambos espectáculos el resto no sabe o no contesta.a) Representa el diagrama de Venn correspondiente a esta situaciónb) con ayuda del diagrama anterior calcula las siguientes probabilidades:

1. P( ir al cine)2. P(ir al cine y al teatro)3. P( Ir solo al teatro)4. P(Ir al cine o al teatro )5. P( ir al cine o al teatro pero no a ambos)6. P ( no ir ni al cine ni al teatro)

13. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen

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14. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y las tres cuartas de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga los ojos castaños15. Se extraen cinco cartas de una baraja de 40 cartas. Hallar la probabilidad de extraer:a) 4 asesb) 4 ases y un reyc) 3cincos y dos ases

d) Sólo dos figurase) Tres de un palo cualquiera y dos de otro palof) un cinco dos ases y dos reyes

16. Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una.¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)?b)Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura?17. En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.a)Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que no fume: b) Calcula también: P[M y F], P[M / F], P[F / M]18. Los 1000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que se indica en la tabla.Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea un hombre.b)Sea una mujer.c) Juegue al baloncesto.d)Sea una mujer que practique baloncesto.e) Sea un hombre que no practique baloncesto.f ) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre.

g)

Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto.

19. Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma?20. En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase.Calcula la probabilidad de que:a) Los dos sean chicos.b)Sean dos chicas.c) Sean un chico y una chica 21. Se extraen dos bolas de una bolsa que tiene (4 azules y 3 rojas) Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color. 22. Javier tiene en su monedero 4 monedas de cinco céntimos, 3 de veinte y 2 de un euro. Saca dos monedas al azar.¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?a) Que las dos sean de cinco céntimos.b)Que ninguna sea de un euro.c) Que saque 1,20 €.23. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcula la probabilidad de que:a) Haga dos puntos.b) Haga un punto.c) No haga ningún punto24. Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar

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