cuaderno de actividades matematicas 4

MATEMTICAS IV

CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

1

MATEMTICAS IV

CCOOOORRDDIINNAACCIINN DDEE AADDMMIINNIISSTTRRAACCIINN EESSCCOOLLAARR YY DDEELL SSIISSTTEEMMAA AABBIIEERRTTOO

CCUUAADDEERRNNOO DDEE AACCTTIIVVIIDDAADDEESS DDEE CCOONNSSOOLLIIDDAACCIINN YY RREETTRROOAALLIIMMEENNTTAACCIINN

DDEE LLAA AASSIIGGNNAATTUURRAA

CCOOLLEEGGIIOO DDEE BBAACCHHIILLLLEERREESS

MATEMTICAS IV


2

MATEMTICAS IV Coordinador General del Proyecto lvaro lvarez Barragn Direccin Tcnica Uriel Espinosa Robles Coordinacin: Luis Antonio Lpez Villanueva Elaboracin: Juan Prez Rodrguez Revisin de Contenido: Marlo Ulises Alvarado Hernndez Pedro Arrazola Calva Joel Daz Guadarrama Ricardo Garnica Jurez Daniel Gonzlez Fras Jos Carlos Lpez Jimnez Miguel ngel Marrufo Chan Sergio Muoz Martnez Conrado Octaviano Pacheco Gasca Javier Tecuapetla Daz Asesora Pedaggica: Blanca Cruz Guerrero Diseo Editorial Rosa Maria Cedillo Aguilar Julia Mary Soriano Senz Copyright en trmite para el Colegio de Bachilleres, Mxico. Colegio de Bachilleres, Mxico Rancho Vista Hermosa No. 105 Ex-Hacienda Coapa, 04920, Mxico, D.F. La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97. Word 97, es marca registrada por Microsoft Corp. Ninguna parte de esta publicacin, incluido el diseo de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este elctrico, electrnico, qumico, mecnico, ptico, de grabacin o de fotocopia, sin la previa autorizacin escrita por parte del Colegio de Bachilleres, Mxico.

MATEMTICAS IV

PRESENTACIN 4 INTRODUCCIN 5 I. OBJETIVOS DE EVALUACIN SUMATIVA 6 II. TEMAS FUNDAMENTALES 8 III. RETROALIMENTACIN Y VERIFICACIN DE APRENDIZAJES 9

3.1 COMPENDIO FASCCULO 1 10

RELACIN ENTRE LA FUNCIN LINEAL, LUGAR GEOMTRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA


CIRCUNFERENCIA Y PARBOLA


ELIPSE E HIPRBOLA IV. HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIN 123 V. EVALUACIN MUESTRA 135

5.1 HOJA DE RESPUESTA 151

5.2 HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIN MUESTRA 153 VI. SIMBOLOGA 154 VII. GLOSARIO 155 BIBLIOGRAFA 156

NDICE CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

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MATEMTICAS IV

El presente Cuaderno de Actividades de Consolidacin y Retroalimentacin ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del Sistema de Enseanza Abierta del Colegio de Bachilleres. El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificacin de los aprendizajes obtenidos a travs del estudio de tu compendio fascicular. Los elementos didcticos que estructuran al cuaderno son los siguientes: Objetivos de evaluacin sumativa que te informa acerca de lo que se pretende lograr con el

estudio del compendio fascicular. Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan

en el Cuaderno. Retroalimentacin y verificacin de aprendizajes en el cual encontrars instrucciones

generales y del compendio fascicular la sntesis de cada tema, ejemplos y evaluacin a contestar.

Hoja de cotejo de evaluacin en la cual identificars las respuestas correctas de la

evaluacin que respondiste. Evaluacin muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar

en tu evaluacin final de la asignatura. Bibliografa que te apoya en la ampliacin del conocimiento compendio fascicular.

Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje:

TE DESEAMOS SUERTE !

PRESENTACIN CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

4

MATEMTICAS IV


5

El Departamento de Evaluacin de la CAESA como parte de su actividad y basado en la concepcin de evaluacin que se puede sintetizar ...como un proceso integral, sistemtico, continuo y flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicacin de distintas tcnicas, procedimientos e instrumentos que proporcionan informacin... que permite tomar decisiones...1, ha elaborado el siguiente Cuaderno de Actividades de Consolidacin y Retroalimentacin. El Cuaderno tiene el propsito de apoyar al estudiante en su proceso de aprendizaje que desarrolla en el Sistema de Enseanza Abierta, en l se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluacin sumativa de la asignatura a la que est dirigida; (cabe sealar que es un documento para uso del estudiante y del asesor). Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, adems de prepararlo para la evaluacin sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarn e identificarn aquellos avances y/o problemticas que se tienen de uno o ms contenidos de la asignatura. La asignatura de Matemticas IV tiene como intencin, aplicar el conocimiento matemtico en la profundizacin de la geometra euclidiana y la trigonometra, facilitando el avance en el dominio de las funciones trigonomtricas y adquiriendo habilidades en el manejo de las propiedades geomtricas que le permitan generar en el estudiante una metodologa de estudio propio y til en el desempeo acadmico general. Matemticas IV integra junto con Matemticas I, II y III la materia de Matemticas que a su vez tiene relacin con Clculo Diferencial e Integral I y II, Estadstica Descriptiva e Inferencial I y II, as como el laboratorio de Informtica I y II. Matemticas IV recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redaccin y Mtodos de Investigacin en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensin del lenguaje, as como el manejo de la lgica y el estudio del mtodo cientfico. A su vez da servicio a las asignaturas del rea de Ciencias Naturales (Fsica, Qumica y Biologa) en el apoyo de desarrollo de procedimientos, habilidades de anlisis, observaciones y abstraccin del conocimiento. Con base a lo anterior, ste Cuaderno de Actividades de Consolidacin y Retroalimentacin apoyar: Al asesor. Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo ms para el proceso

formativo de los estudiantes, conjuntamente con los compendios fasciculares y materiales que haya desarrollado como parte de su prctica educativa.

ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD !

Al estudiante. Para utilizarlo como un apoyo en su estudio independiente, procesos formativo y su

evaluacin sumativa.

XITO !

1 COLEGIO DE BACHILLERES, La Evaluacin del Aprendizaje en el SEA. Documento Normativo CAESA, 1988, Pg. 12.

INTRODUCCIN

MATEMTICAS IV

1.1 Manejar el sistema de referencia rectangular (x,y) en la ubicacin de pares ordenados.

1.2 Determinar la distancia entre dos puntos, coordenadas del punto medio y coordenadas del punto que divide a un segmento en una razn dada a partir del manejo algebraico y geomtrico de las coordenadas rectangulares.

1.3 Manejar el sistema de referencia polar (r,) en la transformacin de coordenadas rectangulares a polares y viceversa.

1.4 Encontrar la ecuacin del lugar geomtrico determinado por ciertas condiciones dadas en el sistema de referencia rectangular.

1.5 Obtendr la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta determinada por dos puntos.

1.6 Representar la funcin lineal en su forma simplificada a partir de su grfica, su pendiente y su ordenada al origen.

1.7 Representar algebraicamente las distintas formas de la ecuacin de la recta, tales como punto-pendiente, simtrica (interseccin con los ejes) y general.

1.8 Aplicar el concepto de paralelismo y perpendicularidad en la relacin existente entre las pendientes de dos rectas y sus ecuaciones.

1.9 Representar la funcin lineal en el sistema de coordenadas polares, tanto el modelo como su grfica.

1.10 Resolver diversos ejercicios y problemas por medio del modelo de la desigualdad de primer grado con una incgnita, su solucin algebraica y su representacin grfica.

1.11 Interpretar la representacin grfica de una desigualdad lineal como funcin lineal.

1.12 Resolver diversos ejercicios y problemas por medio del modelo de un sistema de desigualdades lineales con dos variables, su solucin algebraica y su representacin grfica.

1.13 Resolver diversos ejercicios y problemas, aplicando la metodologa de la programacin lineal.

I. OBJETIVOS DE EVALUACIN SUMATIVA

COMPENDIO FASCCULO 1 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

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MATEMTICAS IV

2.1 Obtendr la generacin de las cnicas a partir de un plano de corte y una superficie cnica de

revolucin.

2.2 Identificar y determinar las caractersticas ms notables, sus puntos principales y parmetros de las cnicas, a partir de su construccin grfica.

2.3 Determinar la ecuacin ordinaria y general de la circunferencia con centro en el origen y fuera de l, as como sus puntos y rectas notables de dicha curva.

2.4 Obtendr la ecuacin y los elementos correspondientes de la circunferencia en las distintas aplicaciones de sta curva.

2.5 Determinar la ecuacin ordinaria y general de la parbola con centro en el origen y fuera de l, as como sus puntos y rectas notables de dicha curva.

2.6 Obtendr la ecuacin y los elementos correspondientes de la parbola en las distintas aplicaciones de sta curva.

3.1 Determinar la ecuacin ordinaria y general de la elipse con centro en el origen y fuera de l,

as como sus puntos y rectas notables de dicha curva.

3.2 Obtendr la ecuacin y los elementos correspondientes de la elipse en las distintas aplicaciones de sta curva.

3.3 Determinar la ecuacin ordinaria y general de la hiprbola con centro en el origen y fuera de l, as como sus puntos y rectas notables de dicha curva.

3.4 Obtendr la ecuacin y los elementos correspondientes de la hiprbola en las distintas

COMPENDIO FASCCULO 2

COMPENDIO FASCCULO 3 aplicaciones de sta curva. CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

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MATEMTICAS IV

I. EL LUGAR GEOMTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA. II. FUNCIN LINEAL: COMO LUGAR GEOMTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS

DE REFERENCIA. III. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES. I CAS. V. MODELO ANALTICO Y APLICACIN DE LA CIRCUNFERENCIA. VI. MODELO ANALTICO Y APLICACIN DE LA PARBOLA. VII. MODELO ANALTICO Y APLICACIN DE LA ELIPSE. V

II. TEMAS FUNDAMENTALES



COMPENDIO FASCCULO 3 V. EXPLORANDO LAS CNICUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

8

III. MODELO ANALTICO Y APLICACIN DE LA HIPRBOLA.

MATEMTICAS IV


9

A continuacin se presenta el nombre de cada tema con sus caractersticas generales y uno o ms ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos, propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solucin correcta. Es importante establecer que la geometra analtica corresponde a un curso de iniciacin para el estudiante de bachillerato, donde se combina el lgebra y la geometra, por lo tanto, los ejemplos de los contenidos se abordan estableciendo mutuas relaciones entre el mtodo grfico y el algebraico. Fundamentalmente se tratar con dos tipos de problemas de la geometra analtica: 1. A partir de una ecuacin, interpretarla geomtricamente y obtener su puntos notables.

2. A partir de una figura geomtrica o la condicin que deben cumplir sus puntos notables, obtener el modelo de la ecuacin.

Posteriormente, en el apartado de evaluacin se presenta una serie de ejercicios correspondientes a los temas especificados; es importante sealar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temticos de tu compendio fascicular; si no fue as te pedimos que consultes dicho compendio y a tu asesor de contenido. En este mismo apartado podrs verificar tus respuestas y resultados que te proporcionamos en la hoja de cotejo. Por ltimo, debes contestar la evaluacin muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo, dicha evaluacin es semejante a la evaluacin global de la asignatura. Al final podrs verificar tus resultados en la hoja de respuestas. Las frmulas que se aplican a lo largo del contenido, nicamente se mencionan y se aplican, ya que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular.

III. RETROALIMENTACIN Y VERIFICACIN DE APRENDIZAJES

MATEMTICAS IV

En el compendio fascculo 1, aprendiste a interpretar el lugar geomtrico de puntos y rectas en el sistema de referencia rectangular y polar; tambin analizaste la relacin existente entre la representacin grfica y el modelo algebraico de las igualdades y desigualdades lineales. LUGAR GEOMTRICO. Es la representacin grfica de uno o un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad comn y pueden ser ubicados en un sistema de referencia tanto rectangular como polar. UBICACIN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE REFERENCIA DE COORDENADAS RECTANGULARES. El sistema de referencia rectangular es el plano cartesiano donde se ubican los puntos P(x,y) llamados pares ordenados conformados por dos coordenadas (abscisa x y ordenada y). La posicin del punto P se define especificando las distancias ortogonales de sus coordenadas hacia los ejes del plano. *

-

3.1. COMPENDIO FASCCULO 1 RELACIN ENTRE LA FUNCIN LINEAL, LUGAR GEOMTRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

10

Ubicar las coordenadas de los siguientes puntos en el plano rectangular e indicar el cuadrante donde queda ubicado cada uno de ellos.

)1,3( A , )2,1(B , )4,0( C , )0,0(D ,

29,

21E ,

3,

21F , )3,1( G y )2,3( H

Se grfica cada punto P(x,y) en el plano rectangular, ubicando primero la abscisa y despus la ordenada, posteriormente se unen las coordenadas siguiendo una direccin paralela a cada uno de los ejes.

EJEMPLO

De la representacin de los puntos en el

plano, se establece que el punto B y E se

encuentran en el 1 Cuadrante, el F en el 2 Cuadrante, el A y G en el 3 Cuadrante, el H en el 4 Cuadrante, el D en el Origen del Plano y el C en la parte

negativa del Eje 'YY .

X

Y

X

Y

A

B

C

D

E F

H G

0

MATEMTICAS IV

* Resolver los siguientes ejercicios por medio del anlisis de la localizacin de puntos en el sistema rectangular.

A) Cul coordenada es nula de un punto cualquiera ubicado en el eje 'YY ? B) Cules son las coordenadas de un punto, cuya ordenada es 2 y su abscisa es 4 unidades

menor que su ordenada? Solucin.

A) Un punto cualquiera ubicado en el eje 'YY , est conformado por las coordenadas P(0,y), donde su abscisa x es nula.

B) Si la ordenada del punto P(x,y) es y = 2 y su abscisa es 4 unidades menor que su ordenada,

es decir x = 2 4 = 6; entonces las coordenadas del punto son P(6,2). REPRESENTACIN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN EL SISTEMA RECTANGULAR. Un segmento es una parte de recta comprendida por lo puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), al cual se le o proyecciones, su longitud (distancia entre los dos puntos que lo comprenden), las c P U

*

-

btienen susCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

11

oordenadas del punto que lo divide en una razn dada y las coordenadas de su punto medio.

royecciones de un Segmento de Recta.

n segmento tiene una proyeccin horizontal y una vertical que se obtienen con las frmulas

12'

2'

1 xxPP = y 12''2''1 yyPP = .

Determina las proyecciones horizontal y vertical del segmento 21PP comprendido por los puntos P1(3,2) y P2(4,5).

Se ubican los puntos P1 y P2 en el plano rectangular y se unen para obtener el segmento 21PP . Posteriormente se obtienen sus proyecciones con las frmulas correspondientes.

EJEMPLO

Proyeccin horizontal:

12'

2'

1 xxPP = )3(4'2'1 =PP 7'2'1 =PP Proyeccin vertical:

12''

2''

1 yyPP = 25''2''1 =PP 7'2'1 =PP

X X

Y

Y

0 -3 4

2

-5

P1

P2

P1

P2

P1

P1

MATEMTICAS IV

Distancia Entre Dos Puntos. La distancia que existe entre los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), se obtiene con la frmula

( ) ( )2)12212 yyxxd += que se origina por el teorema de Pitgoras. * Determinar la distancia que existe entre cada uno de los siguientes pares de puntos. A) )5,6(1M y )9,3(2M

B) )4,5( P y )2,3( Q

C)

32,

21K y

32,

41L

D) ( )2,51 P y ( )6,542P Solucin. - Se sustituyen las coordenadas de cada punto en la frmula de la distancia y se desarrollan las

operaciones correspondientes para obtener la distancia real existente entre cada par de puntos.

Asignacin de puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2)

Sustitucin en la frmula d = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 y desarrollo de operaciones

)5,6(1M y )9,3(2M 25169)4()3()59()63(2222 =+=+=+=d ud 5=

)4,5( P y )2,3( Q ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) )2(48224253 2222 ==+=+=d

C

32,

21K y

32,

41L ( )

1690

43

32

32

21

41 2

222

=+

=

+

=d ud43=

( )2,51 P y ( )6,542P ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 644585326554 2222 +=+=+=d * Resolver los siguientes ejercicios por medio de la distancia entre dos puntos.

A) Demostrar que el tringulo cuyos vrtices son P1(7,8), P2(1,0) y P3(2,9) es issceles.

B) Obtener el permetro del cuadriltero cuyos vrtices son A(0,3), B(1,3), C(1,4) y D(3,1). Solucin.

A) Para que el tringulo sea issceles debe tener dos lados iguales y la longitud de cada lado se obtiene con la distancia que existe entre cada par de vrtices:

Lado 21PP ; distancia de P1(7,8) a P2(1,0) 128)]8(0[)71( 22 =+=d uPP 2821 = . L stancia de P1(7,8) a P3(2,9) 82)]8(9[)72( 22 =+=d uPP 8231 = . L

Ct

EJEMPLO

Inciso Distancia

A

B

D

ud 22=

d =10.44 u ado 31PP ; diCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

12

ado 32PP ; distancia de P1(1,0) a P3(2,9) 82)09()]1(2[ 22 =+=d uPP 8232 = . omo las longitudes de los lados 31PP y 32PP son iguales, entonces se demuestra que el

ringulo es issceles.

MATEMTICAS IV

B) El permetro de un cuadriltero es la suma de las longitudes de sus lados y la longitud de cada lado se obtiene con la distancia existente entre cada par de vrtices consecutivos:

Lado AB ; distancia de A(0,3) a B(1,3) 1)33()01( 22 =+=d uAB 1= . Lado BC ; distancia de B(1,3) a C(1,4) 7)34()11( 22 =+=d uBC 7= . Lado CD ; distancia de C(1,4) a D(3,1) 5)]4(1[)13( 22 =+=d uCD 5= . Lado DA ; distancia de D(3,1) a A(0,3) 5)]1(3[)]3(0[ 22 =+=d uDA 5= . - Se obtiene el permetro del cuadriltero sumando las longitudes de los 4 lados:

DACDBCABP +++= P = 1 u + 7 u + 5 u + 5 u Pcuadriltero = 18 u. D un Segmento de Recta en una Razn Dada. U

dE

*

-

Cd ivisin deCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

13

n segmento 21PP lo divide un punto P(x,y) en dos partes, por medio de una razn de divisin

21 : PPPPr = . Si r > 0, el punto de divisin queda comprendido en el segmento; si r < 0, el punto e divisin es exterior al segmento. l punto P(x,y) que divide al segmento en una razn dada, se obtiene con las siguientes frmulas.

xxxxr

=2

1 rrxxx +

+=1

21

yyyyr

=2

1 rryyy +

+=1

21

Si un segmento est comprendido por los puntos P1(2,0) y P2(8,5); entonces encontrar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en las razones: r = 2/3, r = 3/2 y r = 2/3.

Se obtienen las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en cada una de las razones establecidas, mediante la sustitucin de las coordenadas en las frmulas correspondientes.

xx

xxr

=2

1 2)3/2(1

)8)(3/2(2 =++=x

yy

yyr

=2

1 2)3/2(1

)5)(3/2(0 =++=y

omo r = 2/3, entonces el punto A(2,2) divide al segmento original en dos segmentos, donde uno e ellos es dos terceras partes de la longitud del otro.

P(x,y) con r 1

EJEMPLO

Para r = 2/3 A(2,2)

MATEMTICAS IV


14

4)2/3(1

)8)(2/3(2 =++=x

3)2/3(1

)5)(2/3(0 =++=y

Como r = 3/2, entonces el punto B(4,3) divide al segmento original en dos segmentos, donde uno de ellos es tres medios mayor de la longitud del otro. 22

)3/2(1)8)(3/2(2 =+

+=x

10)3/2(1

)5)(3/2(0 =++=y

Como r = 2/3 y menor que cero, entonces el punto C(22,10) que divide al segmento original en dos segmentos, queda ubicado fuera de dicho segmento original. Los puntos A, B y C se representan grficamente en el siguiente plano. Punto Medio de un Segmento de Recta. El punto medio de un segmento es un caso particular de la divisin del segmento en una razn dada y se presenta cuando la razn r = 1/1 que indica la divisin en dos partes iguales. Las coordenadas del punto medio se obtienen con las siguientes frmulas.

11)1( 21

++= xxx

221 xxx m

+=

11)1( 21

++= yyy

221 yyy m

+=

Para r = 3/2 B(4,3)

Para r = 2/3 C(22,10)

-22 -2 2 4 8

-10

Y

0 X X

Y

5

3 2

P1

P2

C

A B

Pm(xm,ym)

MATEMTICAS IV

* Determinar las coordenadas del punto medio que existe entre cada uno de los siguientes pares

de puntos. A) )7,1(M y )5,3(N

B) )4,3( K y )1,5( L

D)

52,

41

1P y

6,21

2P

; Solucin.

- Se sustituyen las coordenadas de cada punto en las frmulas del punto medio y se desarrollan las operaciones correspondientes para obtener el punto medio existente entre cada par de puntos.

Sustitucin en la frmula y desarrollo de operaciones

x1 + x2 y1 + y2 2 2

)7,1(M y )5,3(N 224

231 ==+=mx ; 62

122

57 ==+my )6,2(mP )4,3( K y )1,5( L

428

2)5(3 ==+=mx ; 2

52

)1(4 =+my

25,4mP

D

52,

41

1P y

6,21

2P

81

241

221

41

==+

=mx ; 516

25

32

2

652

==+

my

5

16,81

mP

* Si uno de los extremos de un segmento es el punto (4,2) y su punto medio es (1,3); entonces,

obtener las coordenadas del otro extremo del segmento. - Del enunciado se establece que P1(x1,y1) es P1(4,2) y Pm(xm,ym) es Pm(1,3). - Se sustituyen las coordenadas de P1 y Pm en las frmulas del punto medio y se despeja la

coordenada correspondiente para obtener las coordenadas del otro extremo del segmento.

2

21 xxxm+=

24

1 2x+= x2 = 2(1) + 4 = 6

2

21 yyy m+=

22

3 2y+= y2 = 2(3) 2 = 8

* Resolver el siguiente problema por medio de las caractersticas de un segmento de recta.

Un mvil se desplaza con movimiento uniformemente rectilneo medido en Km. Si la posicin inicial del recorrido es en el punto P(1,2) y su posicin final en Q(13,11); entonces obtener:

A) La distancia recorrida por el movil.

rdenadas del punto cuando ha realizado la mitad de su recorrido. rdenadas del punto cuando ha recorrido los primeros 5 Km de distancia.

Inciso Punto Medio Pm(xm,ym)

A

Asignacin de puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) ym = ym =

B

;

EJEMPLO

De los valores obtenidos, seestablece que el otro extremo delsegmento es el punto P2(6,8). B) Las cooC) Las cooCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

15

MATEMTICAS IV

Solucin.

A) La distancia recorrida por el mvil, se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto inicial y final en la frmula de distancia entre dos puntos y realizando las operaciones correspondientes.

( ) ( ) ( ) ( ) 15211113 22212212 =+=+= yyxxd B

C

-

S Es *

icial P1(x1,y1) = P(1,2) al P2(x2,y2) = Q(13,11) Posicin inPosicin finCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

16

Del resultado obtenido, se establece que la distancia recorrida por el movil es de 15 Km.

) La ubicacin del movil a la mitad de su recorrido, se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto inicial y final en la frmulas del punto medio y realizando las operaciones correspondientes.

72131

221 =+=+= xxxm

2

132112

221 =+=+= yyy m

Del resultado obtenido se establece que las coordenadas del punto donde el mvil ha realizado

la mitad de su recorrido, es

2

13,7P .

) Si la distancia total recorrida por el mvil es de 15 Km, entonces el punto cuando ha recorrido 5 Km es un punto que divide al segmento en una razn dada,

21

105 ==r .

Se sustituye el valor de la razn y las coordenadas de los puntos inicial y final en la frmula de divisin de un segmento en una razn dada y se realizan las operaciones correspondientes.

5)2/1(1

)13)(2/1(11

21 =++=+

+=rrxx

x

5)2/1(1

)11)(2/1(21

21 =++=+

+=rryy

y

Del resultado obtenido se establece que las coordenadas del punto donde el mvil ha recorrido los primeros 5 Km, es P(5,5).

ISTEMA DE REFERENCIA DE COORDENADAS POLARES.

s un plano formado por un eje polar (recta horizontal fija) y un origen fijo llamado polo, en el plano e genera una rotacin de ejes que forman ngulos vectoriales con respecto al eje polar.

Construir el sistema de referencia polar, especificando sus caractersticas.

Posicin inicial P1(x1,y1) = P(1,2) Posicin final P2(x2,y2) = Q(13,11)

2

13,7mP

Posicin inicial P1(x1,y1) = P(1,2) Posicin final P2(x2,y2) = Q(13,11) Razn r =

( )5,5mP

EJEMPLO

MATEMTICAS IV

- Se ubica el polo y se traza el eje polar a partir de ste con una direccin dirigida hacia la izquierda. Considerando como inicio el eje polar, se traza una rotacin de ejes y un conjunto de circunferencias con centro en el polo.

U Uerpe *

-

Cada circunferencia es la magnitud

de una distancia dirigida hacia el polo

llamada radio vector r formando un

ngulo vectorial con respecto al ejepolar.

0 Eje polar

Ejes Rotatorios

Polo CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

17

bicacin de Puntos en el Sistema de Referencia Polar.

n punto polar P(r,) tiene por coordenadas un radio vector r (medido en unidades lineales) que s la direccin dirigida hacia el polo y un ngulo vectorial (medido tanto en grados como en adianes) que es la inclinacin del radio vector con respecto al eje polar. La direccin de es ositiva cuando su giro es en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativa cundo su giro s en el sentido de dichas manecillas.

Ubicar las coordenadas de los siguientes puntos en el plano polar.

)45,2( A , ),5.4( radB ,

radC 61,7 y

225,

27D .

Se representan los puntos en el plano polar, ubicando primero el ngulo vectorial y despus la magnitud del radio vector.

EJEMPLO

0

90

135

180

45

225

270

315

A

B C

D

MATEMTICAS IV

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Y VICEVERSA. Transformacin de Coordenadas Rectangulares a Polares. P(x,y) P(r,)

Un punto rectangular se transforma a polar, aplicando las expresiones 22 yxr += y

= xy1tan .

Para obtener el ngulo vectorial , se aplican las siguientes condiciones dependiendo de la posicin del punto rectangular en el plano.

PUNTOS RECTANGULARES 1 Cuadrante P(x,y) 2 Cuadrante P(x,y) 3 Cuadrante P(x,y) 4 Cuadrante P(x,y)

PUNTOS POLARES 0

MATEMTICAS IV

* Determinar las coordenadas polares del punto rectangular P(8,6). - Se sustituyen las coordenadas x y y en las frmulas correspondientes de transformacin.

10100)6()8( 2222 ==+=+= yxr

"11'523686989.3686tantan 11 ==

=

= xy

C D * -

C

D

s

T Uq * -


19

omo el punto P(8,6) se ubica en el 3 cuadrante, entonces al valor de se le suman 180. = 365211 + 180 = 2165211.

e los resultados obtenidos, se establece que el punto polar, es: P(10,2165211).

Determinar las coordenadas polares del punto rectangular P(3,3). Se sustituyen las coordenadas x y y en las frmulas correspondientes de transformacin.

24.42318)3()3( 2222 ===+=+= yxr

=

=

= 4533tantan 11

xy

omo el punto P(3,3) se ubica en el 4 cuadrante, entonces al valor de se le suman 360. = 45 + 360 = 315 = rad

47 .

e los resultados obtenidos, se establece que el punto polar se puede representar de las

iguientes formas: P(4.24,315) ; )315,23( P ;

radP 47,23

radP

47,24.4

ransformacin de Coordenadas Polares a Rectangulares. P(r,) P(x,y) n punto polar se transforma a rectangular, aplicando las expresiones, x = r cos y y = r sen ue se obtienen por el concepto de las funciones trigonomtricas.

Representar el punto polar P(4,60) en coordenadas rectangulares.

Se sustituyen las coordenadas r y en las frmulas correspondientes de transformacin y se representa el punto rectangular P(x,y).

x = r cos = 4 cos 60 = 4 (0.5) = 2 y = r sen = 4 sen 60 = 4 (0.866) = 3.46

EJEMPLO

P(2,3.46)

MATEMTICAS IV

* Hallar las coordenadas rectangulares del punto polar )225,25( P . - Se sustituyen las coordenadas r y en las frmulas correspondientes de transformacin y se

representa el punto rectangular P(x,y).

x = r cos = 25 cos 225 = 5 y = r sen = 25 sen 225 = 5 LUGAR GEOMTRICO DE UN CONJUNTO DE PUNTOS RECTANGULARES. Un conjunto de puntos satisfacen una propiedad comn expresada por medio de una ecuacin que representa una curva definida en el plano. Lugar Geomtrico de la Recta. La unin de dos puntos forman el lugar geomtrico de una recta. Entre los lugares geomtricos de la recta se encuentra la mediatriz de un segmento (lugar geomtrico de un conjunto de puntos equidistantes a los extremos de un segmento) y la bisectriz d (lugar geomtrico de un conjunto de puntos que dividen al ngulo formado por dos r ngulos iguales). *

- Cd

d

P(5,5) e un nguloectas en dosCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

20

Determinar la ecuacin y = mx + b que satisface al lugar geomtrico del conjunto de puntos P(x,y) que equidistan de los puntos P1(2,2) y P2(1,1).

Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular.

omo el conjunto de puntos P(x,y) son equidistantes al punto P1 y P2, entonces estn a la misma istancia tanto de P1 como de P2, por lo tanto las distancias son iguales, es decir: d1 = d2.

1 = d2 ( ) ( ) ( ) ( )22222121 yyxxyyxx +=+

EJEMPLO

P(x,y)

y = mx + b

P1

0

Y

Y

X X

P2

d2

d1

MATEMTICAS IV


21

- Se susutituyen las coordenadas de los puntos P1 y P2 en la igualdad de distancias, se elevan al cuadrado las races, se desarrollan los binomios, se trasponen y se simplifican trminos para obtener la ecuacin y = mx + b que satisface al conjunto de puntos equidistantes al segmento 21PP .

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]2222 1122 +=+ yxyx y = x + 1 La ecuacin que se obtuvo, corresponde al lugar geomtrico de la mediatriz, tal como se muestra en el siguiente plano. * Determinar la ecuacin y = mx + b que satisface al lugar geomtrico del conjunto de puntos

P(x,y) que equidistan de las rectas 121 = xy y 221

2 += xy . - Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular, graficando las rectas y1 y y2.

1 2

x y x y 4 2 0 2 4

9 5 1 3 7

4 2 0 2 4

0 1 2 3 4

P(x,y)

y = x + 1

P1

0

Y

Y

X X

P2

d2

d1

y1 = 2x 1 y2 = x + 2

En la grfica se observa que alinterceptarse dos rectas, stas formandos pares de ngulos opuestos por elvrtice, por lo tanto se establecen doslugares geomtricos que sonequidistantes a las dos rectas.

Y

Y

X X

P(x,y)

P(x,y)

y1

y2 d2

d2

d1 d1

-4 -2 -1 2 4 -1

0

MATEMTICAS IV


22

Como el conjunto de puntos P(x,y) son equidistantes a las rectas y1 y y2, entonces estn a la misma distancia tanto de y1 como de y2, por lo tanto las distancias son iguales, es decir: d1 = d2; pero como son dos lugares geomtricos, entonces la igualdad es d1 = d2.

La distancia de un punto a una recta se obtiene con la frmula 22 BA

CByAxd+

++= .

Al igualar las distancias, se obtiene la expresin: d1 = d2 22

2222

11

BA

CByAx

BA

CByAx

+++=

+++

Para sustituir las rectas y1 y y2 en la igualdad de distancias, stas se transforman a su forma Ax + By + C = 0 trasponiendo trminos en cada una de ellas.

121 = xy 012 = yx ; 221

2 += xy 042 =+ yx - Se sustituyen las ecuaciones anteriores en la igualdad de distancias, se realiza la trasposicin de

trminos y se simplifican stos para obtener las ecuaciones y = mx + b que satisfacen al conjunto de puntos que son equidistantes a las rectas y1 y y2.

2222 )2(1

42

12

12

+++=

+ yxyx y = x + 5

2222 )2(1

42

12

12

++=

+ yxyx y = x + 1

Las ecuaciones anteriores corresponden al lugar geomtrico de las bisectrices, tal como se muestra en el siguiente plano.

2222 )2(1

42

12

12

++=

+ yxyx

Y

Y

X X

P(x,y)

P(x,y)

y1

y2 d2

d2

d1 d1

-4 -2 -1 2 4 -1

0

y = x + 1 y = x + 5

MATEMTICAS IV

Lugar Geomtrico de la Circunferencia. La circunferencia es el lugar geomtrico del conjunto de puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro. * Hallar la ecuacin que satisface al lugar geomtrico del conjunto de puntos P(x,y) que se

mueven de tal forma que sus distancias al origen del plano es siempre 5 unidades. - Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular. * Hallar la ecuacin que satisface al lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y) cuya distancia al

punto P(2,1) es siempre 3 unidades. - Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular, haciendo nfasis de las traslaciones

que realiza el punto P(2,1) con referencia al origen de dicho plano.

EJEMPLO

P(x,y)

Y

X X

Y

0 y

x d = 5

Con las condiciones del lugar geomtrico seforma un tringulo rectngulo, al cual se leaplica el teorema de Pitgoras para obtenerla expresin x2 + y2 = d2. - Se sustituye el valor de la distancia en la

expresin del teorema y se obtiene laecuacin del lugar geomtrico.

x2 + y2 = (5)2 x2 + y2 = 25

Con las condiciones del lugar geomtrico se formaun tringulo rectngulo, que al aplicarle el teoremade Pitgoras, se obtienen las siguientesexpresiones.

x2 + y2 = d 2 (x h)2 + (y k)2 = d 2 - Se sustituye el valor de la distancia y las

coordenadas h y k del punto P en la expresindel teorema y se obtiene la ecuacin del lugargeomtrico.

Y

X X

P(x,y)

0

y

x

d = 3

x

y

h k

2

-1 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

23

(x 2)2 + [y (1)]2 = (3)2 (x 2)2 + (y + 1)2 = 9 Y

MATEMTICAS IV

Lugar Geomtrico de la Parbola. La parbola es el lugar geomtrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco a una recta fija llamada directriz. * Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de la trayectoria de un punto P(x,y) que se mueve de tal

forma que equidista siempre del punto fijo Q(2,0) y de una recta paralela 2 unidades a la izquierda del eje Y.

- Por el concepto de parbola, se tiene que el foco es el punto fijo Q y la directriz es la recta

paralela al eje Y x = 2 - Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular, a partir de los datos anteriores. Lugar Geomtrico de la Elipse. La elipse es el lugar geomtrico del conjunto de puntos, tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante. * Obtener la ecuacin del lugar geomtrico de un punto P(x,y) que se mueve de tal forma que la

suma de sus distancias a los dos puntos fijos Q(2,0) y R(2,0) es siempre igual a 6 unidades. - pto de elipse, se establece que los focos de la curva son los puntos Q y R. -

EJEMPLO

EJEMPLO

Como P es equidistante tanto a Q como a x = 2,entonces se establece la igualdad PDPQ = . Se obtiene la longitud de los segmentos PQ y PD por elconcepto de distancia entre dos puntos.

22 )0()2( += yxPQ [ ] 22 )()2( yyxPD += Se igualan las distancias, se elevan al cuadrado lasraces, se desarrollan los binomios y se simplificantrminos para obtener la ecuacin del lugar geomtrico.

222 )2()2( +=+ xyx y2 = 8x

P(x,y)

Y

X X

Y

0

Recta Paralela x = 2

D(2,y)

Q(2,0) Por el conceCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

24

Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular, a partir de los datos anteriores.

MATEMTICAS IV

- Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan los binomios, se trasponen

y se simplifican los trminos para obtener la ecuacin del lugar geomtrico. 45 L Ld *

--

Por el concepto de elipse se establece la igualdad, aPQPR 2=+ .

Se obtiene la longitud de los segmentos PR y PQ por el concepto de distancia entre dos puntos.

[ ] 22 )0()2( += yxPR

22 )0()2( += yxPQ Se establece la suma de las distancias y se despeja una de ellas.

6)2()2( 2222 =++++ yxyx

2222 )2(6)2( yxyx +=++

P(x,y)

Y

X X

Y

0 R Q

a 5x2 + 9y2 = CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

25

ugar Geomtrico de la Hiprbola.

a hiprbola es el lugar geomtrico del conjunto de puntos, tales que la diferencia de las distancias e cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Obtener la ecuacin del lugar geomtrico de un punto P(x,y) que se mueve de tal forma que la diferencia de sus distancias a los dos puntos fijos A(3,0) y B(3,0) es siempre igual a 4 unidades.

Por el concepto de hiprbola, se establece que los focos de la curva son los puntos A y B. Se representa el lugar geomtrico en el plano rectangular, a partir de los datos anteriores.

EJEMPLO

P(x,y)

Y

X X

Y

0 A B a

Por el concepto de hiprbola se establece laigualdad, aPAPB 2= . Se obtiene la longitud de los segmentos PB y PApor el concepto de distancia entre dos puntos.

[ ] 22 )0()3( += yxPB

22 )0()3( += yxPA

MATEMTICAS IV


26

- Se establece la diferencia de las distancias y se despeja una de ellas.

4)3()3( 2222 =+++ yxyx 2222 )3(4)3( yxyx ++=++ - Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan los binomios, se trasponen

y se simplifican los trminos para obtener la ecuacin del lugar geomtrico.

5x2 4y2 = 20 ESTUDIO DE LA RECTA. La recta es el lugar geomtrico descrito por una ecuacin que puede estar en su forma cartesiana (simplificada, simtrica y general), normal o polar. PENDIENTE DE LA RECTA. La pendiente m es la inclinacin de la recta con respecto al eje X positivo.

Si una recta pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), entonces su pendiente es 12

12xxyym

= . Si m > 0 la recta se inclina hacia la derecha del eje; si m = 0, la recta es paralela al eje y si m < 0, la recta se inclina hacia la izquierda de dicho eje. * Determinar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos. A) )2,3(P y )1,7(Q

B) )1,5(1 P y )10,6(2P

C)

3,45

1Q y

43,102Q

Solucin.

- Se sustituyen las coordenadas de cada punto en la frmula de la pendiente y se desarrollan las operaciones correspondientes para obtener la pendiente de cada recta.

Asignacin de puntos

P1(x1,y1) y P2(x2,y2) Sustitucin en la frmula y desarrollo de operaciones

y2 y1 x2 x1

)2,3(P y )1,7(Q

41

41

3721 ==

=m 41=m

)1,5(1 P y )10,6(2P 111

11)5(6)1(10 ==

=m

1=m

3,45

1Q y

43,102Q 5

1

44549

4510

)3(43

=

=

=m

51=m

EJEMPLO

Inciso

A

C

B

m = Pendiente

MATEMTICAS IV

* Resolver el siguiente problema, aplicando el concepto de pendiente de una recta. lt de pintura tiene un costo de $21.75; si se compran 4 lts, su costo es de $174.00 y si se

requiere de un bote de 20 lts, su costo ser $870.00. De acuerdo con esto; Cul es la razn entre el aumento de la cantidad de litros de pintura y el aumento en su costo?

Solucin. - Del enunciado se establece que la variable independiente x es la cantidad de litros y la variable

dependiente y es el costo de los litros. - La razn entre el aumento de los litros y su costo, se obtiene con la expresin de la pendiente, ya

que sta relaciona el aumento entre ambas variables.

16696

420174870 =

=m m = 43.5 ngulo de Inclinacin de la Recta. La inclinacin de la recta es el ngulo que forma con el eje X positivo y se obtiene con la expresin tan = m, donde = tan1(m) con 0 < 180. La direccin positiva de es en direccin contraria a las manecillas del reloj medida a partir del eje X. *

S

A

B

Ci

Este valor indica el cambio de costo por cada litro deaumento de pintura.

EJEMPLOCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

27

Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de las siguientes rectas:

A) Recta que pasa por los puntos P1(1,0) y )3,2(2P .

B) Recta que pasa por los puntos A(1,4) y B(3,8). olucin.

) Se sustituyen las coordenadas de los puntos P1 y P2 en la expresin de m y se desarrollan las operaciones para obtener el valor de la pendiente; posteriormente se sustituye el valor de m en la expresin de y se aplica la tangente inversa para obtener el ngulo de inclinacin.

12

12

xxyy

m =

1203

=m 3=m ; )(tan 1 m= 3tan 1= = 60

) Se sustituyen las coordenadas de los puntos A y B en la expresin de m y se desarrollan las operaciones para obtener el valor de la pendiente; posteriormente se sustituye el valor de m en la expresin de y se aplica la tangente inversa para obtener el ngulo de inclinacin.

12

12

xxyy

m =

)1(348

=m 3=m ; )(tan 1 m= )3(tan 1 = = 565.71

uando m < 0, a se le suman 180, ya que la recta se inclina hacia la izquierda y su ngulo de nclinacin es mayor de 90; es decir:

= 71.565 + 180 = 108.435 = 108266

MATEMTICAS IV

* Obtener la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que pasa por el origen del plano y biseca a ste en su 1 Cuadrante.

- Como la recta biseca en el 1 cuadrante, entonces su ngulo de inclinacin es = 45. - La pendiente de la recta se obtiene con la expresin tan = m, donde tan 45 = m m = 1 ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA PUNTOPENDIENTE. Es la expresin y y1 = m (x x1) que est representada por un punto P(x1,y1) donde pasa la recta y por su pendiente m de sta. * Establece la ecuacin en su forma puntopendiente de la recta que pasa por el punto P(3,8) y

su pendiente es m = 2. - Se sustituyen las coordenadas del punto y el valor de la pendiente en la expresin

correspondiente para obtener la ecuacin puntopendiente. y y1 = m (x x1) y (8) = 2 (x 3) y + 8 = 2 (x 3) * Hallar la ecuacin en su forma puntopendiente de la recta que aparece en el siguiente plano. *

EJEMPLO

Y

7 Q(1,7) - Se sustituyen las coordenadas de los puntos P y Q en laexpresin de m y se determina la pendiente de la recta.


28

Obtener la ecuacin en su forma puntopendiente de la recta que pasa por los puntos M(3,2) y N(3,1).

X X

Y

0 1 -2

-2 P(-2,-2)

339

)2(1)2(7

12

12 ===

=xxyy

m

- Se sustituyen las coordenadas de uno de los puntos y el

valor de la pendiente en la expresin puntopendientepara obtener la forma de la ecuacin (cualquier puntoque se sustituya es valido para obtener la ecuacin, eneste caso se sustituye Q.

y y1 = m (x x1) y 7 = 3 (x 1)

MATEMTICAS IV

- Se determina la pendiente de la recta con las coordenadas de M y N

21

63

)3(321

12

12 ===

=xxyy

m

- Se sustituyen las coordenadas de uno de los puntos (en este caso se sustituye M). y el valor de

la pendiente m en la expresin puntopendiente para obtener la forma de la ecuacin.

)( 11 xxmyy = [ ])3(212 = xy )3(212 += xy DIFERENTES FORMAS ALGEBRAICAS DE LA ECUACIN DE LA RECTA. La ecuacin de la recta se puede representar en su forma simplificada, simtrica y general, dichas formas se obtienen a partir de la ecuacin puntopendiente y de las caractersticas de cada una de ellas. E Ep *

-

*

-

-


29

CUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMPLIFICADA.

s la funcin lineal representada por el modelo f(x) = mx + b y = mx + b, donde m es la endiente de la recta y b es la ordenada al origen en el punto P(0,b).

Hallar la ecuacin de la recta en su forma simplificada, cuya pendiente es m = 2 y su ordenada al origen b = 5.

Se sustituye el valor de m y b en la ecuacin de la recta en su forma simplificada.

y = mx + b y = 2x + (5) y = 2x 5

Obtener la ecuacin de la recta en su forma simplificada, cuya pendiente es m = 3 y pasa por el punto P(2,3).

Con la pendiente y el punto por donde pasa la recta, se obtiene su ecuacin en la forma puntopendiente.

y y1 = m (x x1) y 3 = 3 (x 2) La forma punto pendiente se transforma a su forma simplificada realizando el producto del segundo miembro, trasponiendo el trmino constante y simplificando la expresin.

y 3 = 3 (x 2) y 3 = 3x + 6 y = 3x + 6 + 3 y = 3x + 9

EJEMPLO

MATEMTICAS IV


30

* Establecer la ecuacin en su forma simplificada de la recta que aparece en el siguiente plano. * Resolver el siguiente problema por medio de la funcin lineal.

Una fbrica de dulces cristalizados se sujeta en la venta de su producto a la siguiente norma: precio por pieza al pblico, igual al triple del costo de la materia prima utilizada, ms $2.00 de impuestos. De acuerdo con esto, Cul es la ecuacin simplificada que expresa el costo de una pieza de dulce cristalizado?

Solucin.

- Del enunciado se deduce que la variable independiente x es el costo de la materia prima, la cual se debe multiplicar por tres (triple) y a este costo se le debe sumar $2.00 (impuesto); todo esto es el costo real de la pieza de dulce que se representa con la variable dependiente y.

Traduciendo lo anterior al lenguaje algebraico, se obtiene la ecuacin simplificada: y = 3x + 2

Grfica de la Funcin Lineal a Partir de su Pendiente y su Ordenada al Origen. Con la pendiente m y la ordenada al origen b se obtienen el 1 y 3 punto que al unirse, forman la grfica de la funcin lineal. El 1 punto es la ordenada al origen P1(0,b) y por el concepto de pendiente

xy

xxyym

==

12

12 se obtiene el 2 punto P2(x,b) y el 3 punto P3(x,b+y). * Obtener las coordenadas de 1, 2 y 3 punto, y la grfica de la funcin lineal f(x) = 3x + 2. - Se obtienen las coordenadas de los puntos, a partir de la pendiente de la funcin lineal y su

ordenada al origen.

- Se determina la pendiente de la recta con las coordenadas de los puntos P y Q.

21

42

)4(027

12

12 ===

=xxyy

m

- Se obtiene la ecuacin de la recta en su forma

simplificada, sustituyendo el valor de m y la ordenada al origen (ordenada del punto Q).

y = mx + b 421 += xy

X X

Y

0

Y

4

-4

2

Q(0,4)

P(-4,2)

EJEMPLO

MATEMTICAS IV


31

Funcin f(x) = mx + b

Razn de la Pendiente

Ordenada al Origen

1 Punto P1(0,b)

2 Punto P2(x,b)

3 Punto P3(x,b+y)

f(x) = 3x + 2 13=

=xym

b = 2

P1(0,2)

P2(1,2)

P3(1,5)

- Se ubican en el plano los 3 puntos y se une el 1 con el 3 para obtener la grfica de la funcin. * Obtener las coordenadas de 1, 2 y 3 punto, y la grfica de la funcin lineal 1

21)( = xxf .

- Se obtienen las coordenadas de los puntos, a partir de la pendiente de la funcin lineal y su

ordenada al origen.

Funcin f(x) = mx + b

Razn de la Pendiente

Ordenada al Origen

1 Punto P1(0,b)

2 Punto P2(x,b)

3 Punto P3(x,b+y)

121)( = xxf

21=

=xym

b = 1

P1(0,1)

P2(2,1)

P3(2,2) - Se ubican en el plano los 3 puntos y se une el 1 con el 3 para obtener la grfica de la funcin.

X

Y

X

5

Y

P1 2

f(x)

1 0

P2

P3

X

Y

X

-2

Y

P1

2 f(x)

-1

0

P2

P3

MATEMTICAS IV

ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMTRICA. Es la expresin que permite conocer las intersecciones de la recta con los ejes coordenados; su

modelo es 1=+by

ax , donde a es la abscisa al origen P(a,0) y b la ordenada al origen P(b,0).

* Hallar la ecuacin en su forma simtrica de la recta cuya abscisa al origen es a = 4 y su

ordenada al origen es b = 7. - Se sustituyen los valores de a y b en el modelo correspondiente para obtener la ecuacin

simtrica de la recta.

1=+by

ax 1

74=+ yx

* Obtener la ecuacin en su forma simtrica de la recta representada en el siguiente plano. * Representar la ecuacin en su forma simtrica de la recta que pasa por el punto P(2,4) y su

ngulo de inclinacin es de 45. - Con el ngulo de inclinacin se obtiene la pendiente de la recta: tan = m tan 45 = m m = 1 - Con la pendiente y el punto de la recta, se obtiene la ecuacin en su forma puntopendiente.

y y1 = m (x x1) y (4) = 1 [x (2)] y + 4 = x + 2 -

EJEMPLO

X

Y

X

-3

Y

5 0

De la grfica se observa que la recta intersectacon los ejes coordenados en los puntos P(5,0) yP(0,3). De las intersecciones se obtiene que la abscisay ordenada al origen son a = 5 y b = 3. Se sustituyen los valores de a y b en el modelocorrespondiente para obtener la ecuacinsimtrica de la recta.

1=+by

ax 1

35=

+yx 1

35= yx CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

32

Se transforma la ecuacin puntopendiente a su forma simtrica mediante la trasposicin de trminos y la divisin de la igualdad entre el trmino constante.

x + y = 2 4 x + y = 2 22

22 =+

yx 122

= yx

MATEMTICAS IV

* Representar la ecuacin en su forma simtrica de la recta que pasa por los puntos P1(1,5) y P2(2.1).

- Con los dos puntos de la recta se obtiene su pendiente: 12

12

xxyy

m =

12)5(1

=m m = 2

- Con la pendiente y el punto P1 se obtiene la ecuacin de la recta en su forma puntopendiente.

y y1 = m (x x1) y (5) = 2 (x 1) y + 5 = 2 (x 1) - Se transforma la ecuacin puntopendiente a su forma simtrica mediante la realizacin del

producto, la trasposicin de trminos y la divisin de la igualdad entre el trmino constante.

y + 5 = 2x + 2 2x + y = 2 5 33

332

=+

yx 132/3

= yx ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL. Es la expresin Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes y ya sea A o B diferentes de cero. * -

-

*

EJEMPLOCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

33

Hallar la ecuacin general de la recta que pasa por el punto P(2,2) y su pendiente es m = 3.

Con la pendiente y el punto de la recta se obtiene la ecuacin en su forma puntopendiente. y y1 = m (x x1) y 2 = 3 (x 2)

Se transforma la ecuacin puntopendiente a la forma general, mediante la realizacin del producto, la trasposicin de trminos y multiplicando la igualdad por (1). y 2 = 3x 6 3x + y + 6 2 = 0 [3x + y + 4 = 0] (1) 3x y 4 = 0

Obtener la ecuacin general de la recta que est representada en el siguiente plano rectangular.

X

Y

X

-2

Y

P1(-1,-2)

3

-1 0

P2(5,3)

5

Se obtiene la pendiente de la recta con lascoordenadas de los puntos P1 y P2 :

12

12

xxyy

m =

)1(5)2(3

=m

65=m .

Con la pendiente y el punto P2 se obtiene laecuacin de la recta en su forma puntopendiente.

y y1 = m (x x1) )5(653 = xy

MATEMTICAS IV


34

- Se transforma la ecuacin puntopendiente a su forma general, suprimiendo parntesis, multiplicando la igualdad por 6, trasponiendo trminos y multiplicando por 1.

=6

25653 xy (6) 6y 18 = 5x 25 (5x + 6y 18 + 25) (1) 5x 6y 7 = 0

* Los vrtices de un tringulo son los puntos A(1,1), B(3,2) y C(3,4). De acuerdo con esto,

obtener la ecuacin general de la mediana del vrtice B. - Se representa el lugar geomtrico del tringulo en el plano rectangular. - Se obtienen las coordenadas del punto medio del lado AC , ya que es el punto por donde pasa la

mediana del vrtice B.

Pm(xm,ym) 1231

221 =+=+= xxxm ; 2

52

412

21 =+=+= yyy m Pm

25,1AC

- Con el vrtice B y el punto medio del lado AC , se obtiene la pendiente de la mediana.

12

12

xxyy

m =

31

)2(25

=m 49=m .

- Con el vrtice B y la pendiente, se obtiene la ecuacin de la mediana en su forma punto-

pendiente.

y y1 = m (x x1) )3(49)2( = xy )3(

492 =+ xy

- La ecuacin de la mediana en su forma punto-pendiente se transforma a la forma general

suprimiendo parntesis, multiplicando la igualdad por 4 y trasponiendo trminos.

+=+4

27492 xy (4) 4y + 8 = 9x + 27 9x + 4y + 8 27 = 0 9x + 4y 19 = 0

X

Y

X

Y

A

4

-1 0

MEDIANA (Segmento de recta que va delvrtice de un tringulo al puntomedio de su lado opuesto)

3

-2 B

C

Punto Medio del lado AC

MATEMTICAS IV

TRANSFORMACIN DE LA ECUACIN DE LA RECTA DE UNA FORMA A OTRA. La ecuacin de la recta se puede representar en su forma simplificada, simtrica y general; adems se puede transformar de una forma a otra por medio de procesos algebraicos.

SIMPLIFICADA SIMTRICA GENERAL

De simplificada a simtrica. * Resolver el siguiente problema por medio de la ecuacin de la recta en sus distintas formas.

El consumo de agua en un hotel es aproximadamente de 4300 lts por da. Si la cisterna tiene una capacidad de 30100 lts, entonces Cul es la ecuacin simtrica que relaciona el tiempo transcurrido con la cantidad de agua consumida en dicho hotel?

- Del enunciado se establece que la variable independiente x es el tiempo transcurrido en das, la

cual se debe multiplicar por los litros consumidos diariamente y lo obtenido se le debe restar a la capacidad de la cisterna; todo esto corresponde a la cantidad de agua que queda en dicha cisterna que se representa con la variable dependiente y.

- Traduciendo lo anterior al lenguaje algebraico, se obtiene la ecuacin simplificada del problema.

y = 30100 4300x y = 4300x + 30100 - Se transforma la ecuacin simplificada a la forma simtrica trasponiendo los trminos de las

variables al 1 miembro y dividiendo la igualdad entre el trmino constante.

4300x + y = 30100 3010030100

30100301004300 =+ yx 1

301007=+ yx

De simtrica a general. *

-

EJEMPLO

EJEMPLO CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

35

Resolver el siguiente problema por medio de la ecuacin de la recta en sus distintas formas. Una recta pasa por el punto P(2,6) y su abscisa al origen es el recproco de su ordenada al origen. De acuerdo con esto, establecer las dos ecuaciones generales que cumplen con las condiciones del problema.

La ordenada al origen de la recta es el punto P(0,b) y la abscisa al origen es el recproco de la ordenada b, es decir: P(1/b,0); con stas condiciones se establece la ecuacin simtrica de la recta y se sustituye el punto P(2,6) en dicha ecuacin para obtener los valores de b.

1=+by

ax 16

/12 =+

bb 162 =

bb bb = 62 2 b1 = 2

b2 = 3/2

MATEMTICAS IV


36

- Con los valores de b se establecen las ecuaciones simtricas de las rectas y se transforman a la forma general multiplicando las igualdades por su comn denominador y trasponiendo trminos.

12/33/2

= yx )6( 13

22

3

= yx 649 = yx 9x + 4y + 6 = 0

122/1

=+ yx )2( 121

2

=+ yx 24 =+ yx 4x + y 2 = 0 Las dos ecuaciones generales cumplen con las condiciones del problema, ya que ambas rectas pasan por el punto P(2,6) y sus abscisas al origen son recprocas a sus ordenadas al origen. De general a simplificada. * Obtener la ordenada al origen y la pendiente de la recta que tiene por ecuacin general la

expresin, x + 3y 6 = 0. - La ecuacin general se transforma a su forma simplificada despejando la variable y.

x + 3y 6 = 0 3y = x + 6 231 += xy

De la ecuacin simplificada, se establece que la pendiente y la ordenada al origen de la recta, son:

31=m y b = 2 P(0,2).

De simplificada a general.

* Transformar la ecuacin de la recta, 352 += xy a su forma general.

- Se transforma la ecuacin simplificada a general, multiplicando la igualdad por 5 y trasponiendo

los trminos al 1 miembro.

)5( 352

+= xy 5y = 2x + 15 2x + 5y 15 = 0

EJEMPLO

EJEMPLO

MATEMTICAS IV

De general a simtrica. * Transformar la ecuacin de la recta, 5x 3y + 9 = 0 a su forma simtrica y establecer su abscisa

y ordenada al origen. - Se transforma la ecuacin general a simtrica, trasponiendo el trmino constante al 2 miembro

y dividiendo la igualdad entre dicho trmino.

5x 3y = 9 99

93

95

=

yx 135/9

=+ yx

De la ecuacin simtrica se establece que la abscisa y la ordenada al origen, son: 59=a y b = 3.

De simtrica a simplificada. * Hallar la ecuacin simtrica y simplificada de la recta cuya abscisa y ordenada al origen, son

a = 2 y b = 5. - Con la abscisa y ordenada al origen se obtiene la ecuacin de la recta en su forma simtrica.

ba

152

=+ yx - Se transforma la ecuacin simtrica a su forma simplificada, multiplicando la igualdad por su

comn denominador y despejando la variable y.

)10( 152

=+ yx 5x + 2y = 10 2y = 5x + 10 5

25 += xy

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. Dos rectas son paralelas (//) si sus pendientes son iguales; m1 = m2. Dos rectas son perpendiculares () si su pendientes son recprocas con signo contrario y el p mbas es 1; (m1)(1/m1) = 1.

EJEMPLO

EJEMPLO roducto de a 1=+ yx CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

37

MATEMTICAS IV


38

* Analizar las siguientes ecuaciones e indicar si las rectas son paralelas o perpendiculares entre s.

I. y = 7x + 2 ; II. 271 += xy ; III. 1

71 = xy ; IV. 1

71 = xy

Las ecuaciones II y IV, representan dos rectas paralelas, ya que sus pendientes son iguales.

Las ecuaciones I y III, representan dos rectas perpendiculares, ya que sus pendientes son recprocas y de signo contrario. * Obtener la ecuacin simplificada de la recta que pasa por el punto P(1,1) y es paralela a la

recta que pasa por los puntos A(1,0) y B(0,1).

- Se obtiene la pendiente de la recta que pasa por lo punto A y B. 1001

12

12

=

=xxyy

m m = 1 Como las rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente, es decir, la recta que pasa por el punto P y su pendiente es m = 1. - Se sustituye P y m en la ecuacin punto-pendiente:

y y1 = m (x x1) y (1) = 1 [x (1)] y + 1 = 1 (x + 1) - La ecuacin punto-pendiente se transforma a la forma simplificada realizando el producto y

despejando a la variable y.

y + 1 = x 1 y = x 2 * Los vrtices de un rombo son los puntos A(3,5), B(2,3), C(5,7) y D(4,1). De acuerdo con

esto, obtener las pendientes de sus diagonales. - Se representa el lugar geomtrico del rombo en el plano rectangular.

EJEMPLO

C

B

A Y

Y

X X

D

Diagonal mayor AC

7

0

Diagonal menor BD

3

-4 -2 5

-6

Se obtiene la pendiente de la diagonalAC , aplicando la frmula de m.

)3(5)5(7

12

12

=

=xxyy

m 23=ACm

Como las diagonales de un rombo sonperpendiculares entre s, entonces laspendientes de stas son recprocas y designo contrario, es decir, la pendiente de

la diagonal BD es: 32=BDm .

MATEMTICAS IV

ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA POLAR. La ecuacin de la recta en su forma rectangular se transforma a su forma polar aplicando las expresiones: x = r cos y y = r sen . * Transformar las siguientes ecuaciones de la recta a su forma polar. A) y = 2x B) x + 2y = 0

C) y 3 = 3 (x 1) ustituyen las variables x y y por las relaciones correspondientes, se iguala la ecuacin

polar a cero y se factoriza el radio vector r.

Inciso Ecuacin rectangular Sustitucin de las variables

x = r cos , y = r sen Ecuacin

polar A) y = 2x r sen = 2 r cos = 0 r sen 2 r cos = 0 r (sen 2 cos ) = 0 B) x + 2y = 0 r cos + 2 r sen = 0 r (cos + 2 sen ) = 0 C) y 3 = 3(x 1) r sen 3 = 3 (r cos 1) r sen 3 r cos = 0 r (sen 3 cos ) = 0

* Transformar las siguientes ecuaciones de la recta a su forma polar y representar al radio vector

r en funcin del ngulo vectorial . A) y = 2x + 1

B) 2x + 3y 6 = 0

C) 142

= yx - Se sustituyen las variables x y y por las relaciones correspondientes y se representa la

ecuacin polar factorizando y despejando al radio vector r.

Ecuacin rectangular

Sustitucin de las variables x = r cos , y = r sen

Ecuacin Polar

A)

12 += xy

1cos2 += rsenr 1cos2 = rsenr cos21

= senr

B)

0632 =+ yx

06 3cos2 =+ senrr 6 3cos2 =+ senrr senr 3cos26+=

1

4= yx 1

4

2cos = senrr 4 cos2 = senrr senr = cos2

4

EJEMPLO

Inciso C) 2 - Se sCUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

39

MATEMTICAS IV


40

Representacin Grfica de la Ecuacin Polar de la Recta. Si el trmino constante de la ecuacin polar es cero, entonces la recta polar pasa en el polo. Si el trmino constante es diferente de cero, entonces la recta polar pasa fuera del polo. * Representar la grfica de la ecuacin polar, r (sen + cos ) = 0. - Como el trmino constante de la igualdad es cero, entonces la recta pasa por el polo; con esto se

establece las siguientes condiciones: a) Si r = 0, las coordenadas son P(r,) = P(0,). b) Si r 0, los valores que satisfacen a la ecuacin polar son aquellos que satisfacen a tan = 1,

los cuales son de la forma n+=43 con n Z.

- Con las condiciones anteriores se establecen las coordenadas de la ecuacin r (sen + cos ) = 0.

Condiciones Radio vector r ngulo de inclinacin Puntos polares P(r,) a) 0 P1(0,)

2 = 13543

P2(2,135)

b)

4 = 31547

P3(3,315)

- Se representan los puntos en el plano polar y se unen para obtener la grfica de la ecuacin

correspondiente.

* Graficar la ecuacin polar senr 4cos312+= .

- Se construye una tabulacin, asignndole valores al ngulo vectorial de la ecuacin para obtener

los valores del radio vector y as formar puntos de coordenadas polares.

EJEMPLO

270

0

90

135

180

45

225 315

P2 30

60 120

150

210

240 300

330 P3

MATEMTICAS IV


41

12 3 cos + 4 sen

r

P(r,)

0 += 040cos312

senr

4

P1(4,0)

= 4541 += 45445cos3

12sen

r

2.4

P2(2.4,45)

= 9021 += 90490cos3

12sen

r

3

P3(3,90)

- Se representan los puntos en el plano polar y se unen para obtener la grfica de la ecuacin

correspondiente. APLICACIN DE LA FUNCIN LINEAL A PARTIR DE LAS DESIGUALDADES. Una desigualdad es una proposicin que relaciona dos o tres expresiones algebraicas separadas por los signos >,

MATEMTICAS IV

Desigualdades de Primer Grado con una Incgnita y Un Signo de Desigualdad. Son proposiciones conformadas por dos expresiones algebraicas separadas por un signo >, 2x + 7. - El conjunto solucin de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los

nmeros reales.

6x 2x > 7 +1 4x > 8 x > 48 x > 2 (2,).

- El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir del valor

especificado de la incgnita. Como el signo del conjunto solucin es mayor que (>), entonces el intervalo es abierto (valo blanco), ya que dicho conjunto excluye al valor de 2 y su direccin es hacia la derecha, puesto que en esa direccin se encuentran los valores mayores que 2. * Hallar el conjunto solucin y la grfica de la desigualdad x 11 > 2 (3x + 2). - El conjunto solucin de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los

nmeros reales.

x 11 > 6x + 4 x 6x > 11 + 4 (5x > 15) (1) 5x < 15 x < 515 x < 3

Cuando el trmino de la variable es negativo, la desigualdad se multiplica por (1) y se cambia el sentido de dicha desigualdad. - El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir del valor

especificado de la incgnita. Como el signo del conjunto solucin es menor que (

MATEMTICAS IV


43

Solucin. - Del enunciado se establece que la incgnita x es las ventas totales que debe obtener el

vendedor y traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la desigualdad, 250 + 0.2x 1500

- El conjunto solucin de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los

nmeros reales.

0.2x 1500 250 x 2.0

1250 x 6250 [6250,). - Del conjunto solucin se establece la solucin del problema, la cual indica que el vendedor tiene

que obtener como mnimo $6250.00 en ventas para que su sueldo sea por lo menos de $1500.00. - El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir del valor

especificado de la incgnita. Como el signo del conjunto solucin es mayor o igual que (), entonces el intervalo es cerrado (valo sombreado), ya que dicho conjunto incluye al valor de 6250 y su direccin es hacia la derecha, puesto que en esa direccin se encuentran los valores mayores o iguales que 6250. * Resolver el siguiente problema por medio de la desigualdad de primer grado con una incgnita y

su representacin grfica. Una tabla que mide 120 cm de largo se corta en tres partes de modo que una parte se igual al

triple del largo de la segunda parte, el carpintero quiere por lo menos 12 cm de tabla para la tercera parte. Con base en esto, Cunto puede medir el largo de la segunda parte de la tabla?

Solucin. - Del enunciado se establece que la incgnita x es la segunda parte de la tabla y traduciendo

dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la desigualdad, 120 (x + 3x) 12. - El conjunto solucin de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los

nmeros reales.

120 4x 12 4x 12 120 (4x 108) (1) 4x 108 x 4

108 x 27 - Del conjunto solucin se establece la solucin del problema, la cual indica que la segunda parte

de la tabla puede medir 27 cm o menos. - El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir del valor

especificado de la incgnita. Como el signo del conjunto solucin es menor o igual que (), entonces el intervalo es cerrado (valo sombreado), ya que dicho conjunto incluye al valor de 27 y su direccin es hacia la izquierda, puesto que en esa direccin se encuentran los valores menores o iguales que 27.

0 1500 3000 4500 6000 7500 9000

6250

0 5 10 15 20 25 30 35

27

MATEMTICAS IV

Desigualdades de Primer Grado con una Incgnita y Dos Signos de Desigualdad. Son proposiciones conformadas por tres expresiones algebraicas separadas por dos signos de desigualdad, cuyo conjunto solucin satisface a la desigualdad. * Resolver la desigualdad 4 3x 1 < 5. - Se obtiene el conjunto solucin de la desigualdad, separndola en dos proposiciones y aplicando

las propiedades de orden de los nmeros reales. 1511314 + x 2 < x 1 (2,1]. - El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir de los valores

especificados de la incgnita, intervalo abierto (valo blanco) en 2 y cerrado (valo sombreado) en 1.

Del conjunto solucin y de la grfica se establece que el intervalo es semiabierto: abierto por la izquierda y cerrado por la derecha (se excluye a 2 y se incluye a 1 con la direccin encontrada). * Resolver el siguiente problema por medio de la desigualdad de primer grado con una incgnita y

su representacin grfica. Un jugador de boliche contabiliz 148, 132, 138, 153 y 146 puntos en cinco juegos. De acuerdo

con esto; Cuntos puntos deber obtener en el prximo juego para concluir con un promedio entre 145 y 150 puntos?

Solucin. - Del enunciado se establece que la incgnita x es la puntuacin que obtendr en el sexto juego y

traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la siguiente desigualdad.

1506

146153138132148145 +++++ x que simplificada queda como: 1506

717145 + x - Se obtiene el conjunto solucin de la desigualdad, separndola en dos proposiciones y aplicando

las propiedades de orden de los nmeros reales.

)6( 150717 + x

EJEMPLO

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 6

145 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

44

900717870 + x 717900717717717870 + x 153 x 183 [153,183].

MATEMTICAS IV


45

- El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir de los valores especificados de la incgnita, intervalo cerrado (valo sombreado) en 153 y 183.

Del conjunto solucin y de la grfica se establece que el intervalo es cerrado por ambos extremos (se incluye tanto a 153 como a 183 con la direccin encontrada). Desigualdades de Primer Grado con una Incgnita y Valor Absoluto. Son proposiciones conformadas por dos expresiones algebraicas separadas por un signo >,

MATEMTICAS IV


46

- Se obtiene el conjunto solucin de la desigualdad, separndola en dos proposiciones y aplicando las propiedades de orden de los nmeros reales.

1511215 + x

[ ] )2(426 x

3 x 2 (,3]U[2,). - El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir de los valores

especificados de la incgnita, intervalo cerrado (valo sombreado) en 3 y 2. Del conjunto solucin y de la grfica se establece que el intervalo es cerrado por ambos extremos (se incluye tanto a 3 como a 2 y la direccin es hacia los extremos de la recta). * Determinar el conjunto solucin y la representacin grfica de la desigualdad 721 x . - Se aplica la propiedad del valor absoluto en la desigualdad: 7 1 2x 7 - Se obtiene el conjunto solucin de la desigualdad, separndola en dos proposiciones y aplicando

las propiedades de orden de los nmeros reales. 1712117 x

[ ] )1( 628 x

[ ] )2(628 x

34 x 3 x 4 [3,4]. - El conjunto solucin de la desigualdad se grafica en la recta numrica a partir de los valores

especificados de la incgnita, intervalo cerrado (valo sombreado) en 3 y 4. Del conjunto solucin y de la grfica se establece que el intervalo es cerrado por ambos extremos (se incluye tanto a 3 como a 2 con la direccin encontrada). GRFICA DE LA DESIGUALDAD LINEAL DE UNA Y DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO. La grfica de una desigualdad lineal es una recta continua (si es parte de la solucin, signo o ) o discontinua (si no es parte de la solucin, signo > o

MATEMTICAS IV

Grfica de la Desigualdad lineal con Una Variable en el Plano Cartesiano. Si la desigualdad contiene a la variable x, su grfica es una recta vertical que pasa en el valor de dicha variable y si contiene a y, su grfica es una recta horizontal que pasa en el valor de la variable. * Construir la representacin grfica de las siguientes desigualdades. A) y 3 B) x < 2 C) x 0 D) f(x) > 1 - Se construye la grfica de cada desigualdad con sus correspondientes caractersticas.

A) y 3 Recta horizontal y continua. B) x < 2 Recta vertical y discontinua.

El semiplano sombreado es hacia abajo, ya que en esa direccin se encuentran los valores menores o iguales que 3.

El semiplano sombreado es hacia la izquierda, ya que en esa direccin se encuentran los valores menores que 2.

C) x 3 Recta vertical y continua. D) f(x) > 1 Recta horizontal y discontinua.

EJEMPLO CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

47

El semiplano sombreado es hacia la derecha, ya que en esa direccin es encuentran los valores mayores o iguales que 0.

El semiplano sombreado es hacia arriba, ya que en esa direccin se encuentran los valores mayores que 1.

MATEMTICAS IV


48

Grfica de la Desigualdad Lineal con Dos variables en el Plano Cartesiano. La grfica de una desigualdad lineal con dos variables es una recta continua o discontinua que pasa por el origen del plano o fuera de l, cuya regin sombreada es hacia los puntos P(x,y) que satisfacen a dicha desigualdad. * Graficar la desigualdad 2x + y 0. - La desigualdad se representa como una igualdad y se transforma en una funcin lineal. 2x + y = 0 y = 2x - Se grafica la funcin lineal construyendo una tabulacin de valores con la expresin y localizando

los puntos P(x,y) en el plano para trazar la recta correspondiente.

x y = 2x y P(x,y) 2 y = 2(2) 4 P1(2,4) 0 y = 2(0) 0 P2(0,0) 2 y = 2(2) 4 P3(2,4)

- Se selecciona cualquier punto P(x,y) que no pertenezca a la recta y se sustituyen las

coordenadas en la desigualdad; si la proposicin es verdadera, el sombreado va hacia la direccin del punto y si es falsa, el sombrado va en direccin opuesta a dicho punto.

P(1,3) 2(1) + (3) 0 5 0 (verdadera) Como la proposicin es verdadera, entonces el sombreado va en la direccin del punto especificado, adems la recta para la desigualdad es continua, ya que el signo es menor o igual que ().

EJEMPLO

X

Y

X

Y

0

4

-4

2 -2

MATEMTICAS IV


49

* Graficar la desigualdad y 2x > 3. - La desigualdad se representa como una igualdad y se transforma en una funcin lineal. y 2x = 3 y = 2x + 3 - Se grafica la funcin lineal construyendo una tabulacin de valores con la expresin y localizando

los puntos P(x,y) en el plano para trazar la recta correspondiente.

x y = 2x + 3 y P(x,y) 2 y = 2(2) + 3 1 P1(2,1) 0 y = 2(0) + 3 3 P2(0,3) 1 y = 2(1) + 3 5 P3(1,5)

- Se selecciona cualquier punto P(x,y) que no pertenezca a la recta y se sustituyen las

coordenadas en la desigualdad; si la proposicin es verdadera, el sombreado va hacia la direccin del punto y si es falsa, el sombrado va en direccin opuesta a dicho punto.

P(0,0) 0 2(0) > 3 0 > 3 (falsa) Como la proposicin es falsa, entonces el sombreado va en la direccin contraria del punto especificado, adems la recta para la desigualdad es discontinua, ya que el signo es mayor que (>).

X

Y

X

Y

0

5

-1 1 -2

3

MATEMTICAS IV

SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES. Un sistema de desigualdades lineales grficamente es dos o ms rectas que se satisfacen simultneamente en la interseccin de las regiones correspondientes a las desigualdades de dicho sistema.

* Resolver el sistema de desigualdades lineales

>

1xxy

- Se grafica cada desigualdad del sistema en el mismo plano: La desigualdad y x es una recta continua con una inclinacin de 45 con respecto al eje X

positivo y el sombreado es hacia arriba de dicha. La desigualdad x > 1 es una recta vertical discontinua que pasa en el valor de la variable x y el

sombreado es hacia la derecha.

De la grfica se establece que la solucin del sistema es el rea que satisface todas las desigualdades a partir del punto de interseccin de ambas rectas, el cual es P(1,1).

* Resolver el sistema de desigualdades lineales

6x 3

C) x 8 3 (2x + 1)

D) 6.9832594.82 + x

E) 523 +x

F) 972 >+ x 16. Representa en el plano cartesiano la grfica de cada una de las siguientes desigualdades

lineales con una y dos variables.

A) x 1

B) 3x + y > 1

C) y x 5

D) 521

31 >+ xy

17. Representa en el plano cartesiano la grfica de cada uno de los siguientes sistemas de

desigualdades lineales.

A)

>

13

yx

B)

++

565610

yxyx

C)

++

11

7252

yx

yxyx

18. Obtn los puntos y valores mximos y mnimos de la funcin yxf 23 += , sujeta a las

restricciones 1232 + yx , 1 yx , 6x .

MATEMTICAS IV

En el compendio fascculo 2, aprendiste a obtener las curvas cnicas, relacionaste sus puntos y rectas notables, as como tambin manejaste las ecuaciones ordinarias y generales de la circunferencia y la parbola en la solucin de diversos ejercicios y problemas. SECCIONES CNICAS Las secciones cnicas son las curvas generadas y degeneradas (degradadas) que se obtienen con la interseccin de un plano y una superficie cnica doble. Las generadas son la circunferencia, elipse, parbola e hiprbola y las degeneradas son el punto y la recta. * Representar la generacin de la circunferencia a partir de la interseccin del plano y la superficie

cnica. - La circunferencia se obtiene cuando el plano corta a la superficie cnica en uno de sus conos y

dicho corte es perpendicular al eje. Las formas de obtener la circunferencia, son las siguientes.

* -

3.2. COMPENDIO FASCCULO 2

CIRCUNFERENCIA Y PARBOLA

EJEMPLO

Eje Eje

Corte Corte CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIN Y RETROALIMENTACIN

61

Representar la generacin de la elipse a partir de la interseccin del plano y la superficie cnica.

La elipse se obtiene cuando el plano corta a la superficie cnica en uno de sus conos y dicho corte es oblicuo a la generatriz y al eje. Las formas de obtener la elipse, son las siguientes.

Eje Eje Eje Eje

Corte

Corte

Corte

Corte

MATEMTICAS IV


62

* Representar la generacin de la parbola a partir de la interseccin del plano y la superficie cnica.

- La parbola se obtiene cuando el plano corta a la superficie cnica en uno de sus conos y dicho

corte es paralelo a la generatriz. Las formas de obtener la parbola, son las siguientes.

* Representar la generacin de la hiprbola a partir de la interseccin del plano y la superficie

cnica. - La hiprbola se obtiene cuando el plano corta a la superficie cnica en sus dos conos y dicho

corte es paralelo al eje del cono. Las formas de obtener la hiprbola, son las siguientes.

* Representar la generacin del punto y la recta a partir de la interseccin del plano y la superficie

cnica. - El punto se obtiene cuando el plano corta a la superficie cnica a la altura del vrtice de los dos

conos y dicho corte es perpendicular al eje de los conos; la recta se obtiene cuando el plano corta a la superficie cnica exactamente en la generatriz. Las formas de obtener el punto y la recta, son las siguientes.

Eje Eje Eje Eje

Corte

Corte

Corte

Corte

Eje Eje

Corte Corte

Eje Eje

Corte Corte

Eje

Corte

MATEMTICAS IV

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE LAS CURVAS CNICAS. Cada curva tiene puntos y rectas notables que se utilizan para graficarlas en el plano cartesiano. * Establecer grficamente los puntos y rectas notables de la parbola e indicar sus nombres.

PARBOLA PUNTOS Y RECTAS NOTABLES POSICIONES

Parbolas Horizontales. Abre a la derecha cuando el eje de simetra es el eje X o paralelo a ste con p > 0. Abre a la izquierda cuando el eje de simetra es el eje X o paralelo a ste con p < 0.

MF = MA Condicin de la parbola V Vrtice F Focos P = VH =VF Parmetro LR = RQ = P4 Lado recto E.S. Eje de simetra

cuaderno de actividades matematicas 4

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