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2.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, MÉTODOS DE RESOLUCIÓN, REDUCCIÓN, IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN Y MATRICES

Muchas aplicaciones del álgebra en las diferentes ingenierías implican más de una ecuación con varias

incógnitas. Un conjunto de estas ecuaciones constituye un sistema. El conjunto de soluciones o conjunto

solución de un sistema de ecuaciones consiste en hallar todas las soluciones comunes a las ecuaciones del

sistema.

Puede representarse como

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuyo conjunto de soluciones es el punto de

intersección entre las dos rectas, así:

Como el sistema es de tipo lineal, el conjunto solución es unitario y es el punto de intersección entre las

rectas, sea que existan dos o más líneas.

En el caso del ejemplo, el número de incógnitas es 2, por lo que el conjunto de soluciones será el punto de

coordenadas (x, y), es decir que el conjunto solución del sistema tiene un solo elemento, un punto, así:

C.S. ( ){ }yx,= .

66

De no existir un punto de intersección entre todas las rectas que conforman el sistema se dice que dicho

sistema es inconsistente. Y si las rectas se sobreponen entre sí, entonces se trata de un sistema

dependiente.

El número de ecuaciones no necesariamente debe ser igual al número de incógnitas, pero todas las rectas

deben tener un punto de intersección, caso contrario se tratará de un sistema inconsistente.

Así por ejemplo:

1) Determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente:

−=−=+=−

325

52

14

yx

yx

yx

Si existe un punto de intersección entre las 3 rectas entonces el sistema será consistente, pero si no

hay un solo punto de intersección, entonces el sistema es inconsistente.

Podemos resolver el sistema tomando pares de ecuaciones y obteniendo los puntos de intersección

entre las tres rectas:

52

14

=+=−

yx

yx (sumando las primeras dos ecuaciones)

x6 6=

∴ 1=x

3=y el primer punto de intersección es (1, 3)

Otro par de ecuaciones nos da el segundo punto de intersección, de ser igual al primero será un

sistema consistente, caso contrario será inconsistente:

( ) 1024252 =+→→=+ yxyx (para eliminar la variable “y”)

325 −=− yx → 325 −=− yx

x9 7=

∴ 9

7=x

9

31=y

=9

31.

9

7P Este punto es diferente al anterior, por lo tanto el

sistema es inconsistente.

67

Geométricamente puede entenderse que las 3 rectas no tienen un solo punto común sino que forman un

triángulo, como se indica en la siguiente gráfica:

2) Indique si el siguiente sistema es consistente o inconsistente:

−=−−=−

=−

143

523

452

yx

yx

yx

( )2452 →=− yx → 8104 =− yx

( )5523 −→−=− yx → 251015 =+− yx

x11− 33=

∴ 3−=x

2−=y Primer punto de intersección: ( )2,3 −−

452 =− yx → ( )4 → 16208 =− yx

143 −=− yx → ( )5− → 52015 =+− yx

x7− 21=

∴ 3−=x

2−=y Segundo punto de intersección: ( )2,3 −−

No hace falta un tercer punto de intersección pues el sistema es consistente y el conjunto solución

es el punto común: ( )2,3 −−

68

Geométricamente se verifica:

3) Obtenga el conjunto solución del siguiente sistemas de ecuaciones:

−=+=+

7410

625

yx

yx

En la ecuación de la recta cbyax =+ la pendiente está dada por b

am −=

Si dos o más rectas tienen la misma pendiente significa que son paralelas y no tienen punto de

intersección, por lo tanto su conjunto solución es vacío y el sistema también es inconsistente.

En este ejemplo las pendientes son iguales, por lo tanto las rectas son paralelas y el sistema es

inconsistente:

1525 =+ yx → 2

51 −=m

7410 −=+ yx → 2

5

4

102 −=−=m

∴ C.S.= Ø

69

Una forma sencilla de resolver un sistema de ecuaciones con igual número de incógnitas es

matricialmente.

En el sistema

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

se cumple

=

−

3

2

1

1

333

222

111

d

d

d

cba

cba

cba

z

y

x

En donde la matriz resultante o de soluciones es de orden 1×n (n filas y una sola columna) siendo n el

número de ecuaciones o el número de incógnitas.

Actualmente resulta muy simple obtener la inversa de una matriz de orden nn× ya sea en una calculadora

o en un programa de computadora, por lo que resolver un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas, o

más, resulta sumamente fácil si se aplica la siguiente fórmula:

[ ] [ ] [ ]tkR1−=

En donde [ ] 1−k es la matriz inversa de los coeficientes ordenados de cada una de las variables,

[ ]t es la matriz de orden 1×n de los términos independientes,

[ ]R es la matriz resultante o conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones.

Debe tenerse en cuenta las propiedades de las matrices, es decir si se va a multiplicar una matriz por otra

debe tenerse cuidado de cual va primero, pues no se cumple la propiedad conmutativa.

En la Hoja Electrónica Excel es sencillo calcular la inversa de una matriz de cualquier orden y también

multiplicar dos matrices o más.

Si se siguen estas indicaciones pueden resolverse sistemas lineales de cualquier orden:

1.- Formar las matrices necesarias colocando en cada celda el valor correspondiente a los coeficientes

y términos independientes.

2.- Marcar todas las celdas donde se desea obtener la matriz resultante (recuerde que es de orden

1×n ).

3.- Ingresar el comando para Excel en la primera de las celdas previamente marcadas donde se desea

que aparezca la matriz resultante:

=MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)

4.- Combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER

70

Recuerde que dependiendo de la versión de Excel debe usarse coma (,) o punto y coma (;) en la

programación de la matriz.

La selección de la matriz se la realiza arrastrando el ratón o seleccionando con los cursores hasta obtener

en la codificación el dato A1:C3 y E1:E3

Es totalmente imprescindible que para obtener la respuesta se combinen las teclas SHIFT CTRL ENTER ya que si solo se pulsa ENTER (↵ ) la respuesta es errónea.

Intente resolver el siguiente sistema utilizando Excel:

=−−=−+=−−

12546

4435

8324

zyx

zyx

zyx

Las matrices a ingresar en Excel son:

−−−

−−

546

435

324

que es la matriz [ ]k (todavía no es la inversa)

12

4

8

Aplicando la fórmula tenemos:

=

−−

−

−−−

z

y

x

12

4

8

546

435

3241

Que es lo que vamos a calcular en Excel en la zona seleccionada (celdas G5, G6, G7):

71

Ingresamos el comando =MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)

Y finalmente combinamos las teclas SHIFT CTRL ENTER:

Que es la solución del sistema dado en forma de matriz:

=−=

=

2

1

3

z

y

x

72

Demás está decir que si sólo se quiere calcular una matriz inversa basta con digitar:

=MINVERSA(seleccionar la matriz)

e inmediatamente combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER en las celdas previamente marcadas.

Ahora resuelva en Excel los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1)

=−−=+−

−=−+

5322

16234

1

zyx

zyx

zyx

−

−−−

−

=

−

5

16

1

322

234

111

1

z

y

x

⇒

=−=

=

1

2

2

z

y

x

2)

=+−−+=+−+−

−=+−−=+−++

−=−++−

6324

33226

1043

174232

27452

wvzyx

wvzyx

vzyx

wvzyx

wvzyx

−

−

−−

−−

−−

−

−−

=

−

6

33

10

17

2

31214

21126

04131

42321

17452

1

w

v

z

y

x

⇒

=−=

=−=

=

1

6

3

5

2

w

v

z

y

x