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IES MIGUEL CRESPO

1 CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS (2012/2013)

Cuadernillo de actividades para 4º DE ESO

NÚMEROS

1.-Números reales:

a) Reconoce la diferencia entre números racionales e i rracionales.

1.-Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales. a) 22,4567 d) 19, 36� b) 22,45678… e) 0,0576464… c) 0,0016� f) 0,1223334444…

2.-Determina si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y dí por qué: a) Hay números irracionales que no son reales. b) Un número racional es un número real. c) Si un número es real, entonces es irracional.

3.-Indica si los siguientes números son racionales o irracionales:

a) √35 c)� e) 5.63�

b) 0,101101110 d) 0,1010… f) √144

4.-Escribe dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren entre:

a) ��

� d) − �� y -2

b) -2,333 y -2,334 e) 2,18 y 2,19

c) 1,27� y 1,28� f) 3, 4��3, 5�

6.- Clasifica los siguientes números reales en racionales e irracionales:

-15; 2/5; √11; 27/4; √36; pi; ��√�

� ; 5.24� ; 4.123456….

7.-Teniendo en cuenta el siguiente esquema, pon un ejemplo de cada tipo de números:

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b) Realiza operaciones combinadas con fracciones.

1.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) =

−++⋅5

1

5

3

7

2

5

2 b) =

−+

⋅7

3

7

1

5

2

7

3

c) =

−⋅+

−⋅

−6

1

5

4

6

5

4

3 d) =

+

−+⋅3

2

5

1

7

2

5

8

e) =+⋅

+

−5

1

4

7

5

1

4

1 f) =+

−⋅+

−3

7

5

1

3

7

4

8

5

3

g) =

−⋅

+

−⋅7

8

3

5

4

3

9

8 h) =⋅

+⋅

−3

4

7

1

5

2

3

2

i) =+

++⋅3

1

4

5

7

2

5

3

9

7 j) =+⋅

+5

1

4

3

7

2

7

2

k) =+⋅⋅⋅7

1

5

2

9

3

4

8

5

3 l) =+⋅

7

9

5

3

9

4

m) =

−⋅

+⋅ 53

8

5

2

7

3

4

2 n) =

−+−+10

1

4

1

4

2:

5

1

7

2

4

7

ñ) =⋅+

⋅6

3

5

2

6

3:

4

9

5

8 o) =⋅

−+⋅

−7

2

6

1

6

3

9

1

4

1

3

8

p) =⋅

−

+9

2

5

1

7

2:

4

7

3

2 q) =

−+⋅

−+2

3

7

1

3

2

8

2

4

7

3

8

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c) Representa los números en la recta real.

1.- Representa sobre la recta real los siguientes números:

a) 4

9- ,

5

11 ,

2

7- ,

3

1 utilizando la definición de fracción

b) √2, √3 utilizando el teorema de Pitágoras.

2.- Indica qué número real, x está representado en cada caso.

d) Conoce y utiliza las distintas notaciones para l os intervalos y su representación gráfica.

3.-a) Define y representa los siguientes intervalos:

[ ] ( ]

∞+∞−

−− , 2

51 , , , ,0

2

5 , 2 , 3 π

b) Escribe en forma de entorno y de intervalo el conjunto de números reales

que distan de 21 menos de 3 unidades.

4.-Di los tipos de intervalos que existen, escribe un ejemplo de cada uno de ellos y represéntalos.

5.-Di el nombre de cada uno de los siguientes intervalos y represéntalos.

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2.-Potencias y raíces:

a) Calcula y opera con potencias aplicando sus prop iedades y utilizando la calculadora científica.

1.-Efectúa las siguientes potencias, comprobando el resultado con la calculadora:

a) 92 b) -(-9)3 c) (-1)10 d) (0’75)0

e) (3/2)2 f) (-3/2)2 g) (-9)2 h) -(-9)2

i) 10 j) (-1)4 k) (5/2)2 l) (-5/2)2

m) 93 n) -92 ñ) 22 o) (-1)7

p) (4/7)2 q) (-7/2)3 r) -93 s) 1253

t) 23 u) (1/2)2 v) -(3/2)3 w) (-9/2)3

2.-La siguiente tabla resume las propiedades de las potencias. Complétala poniendo ejemplos:

Potencia Resultado

Ejemplos

(�� ! "�)$%&'(%)*+*,- + 2.= 16 2�� = 01

21�

0251

�.

= 0521

�

5�= 125

(��2�3�! "�)*,-.-&+ + (−3)�= 9

(−5).= 625

(−1) = 1 (−4)�= 16

(��2�3�! "�)*,-.)4-&+ - −(�� ! "�)*,-.$%&'(%)*+& - −(��2�3�! "�)*,-.-&+ - −(��2�3�! "�)*,-.)4-&+ +

3.-Descompón en factores primos los siguientes términos y expresa el resultado con una sola potencia, en caso de que se pueda:

a)�566.�57.(�.�)8

(�7)59.�:

b)(��)9.;��<=.(��)<

(�.�)<

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c)<.�58

�5<:(�?)9.�<

d)(��)9.(�)9.(�?)<

��<.�@8

4.-Usa las propiedades de las potencias y después calcúlalas. Utiliza la calculadora para comprobar los resultados:

a) 3A. 3� b) 4�. 4? c) 8. 8�. 8 d) (11�)�

e) 54A: 9A f) 2�. 8� g) 8�. 8. . 8. h) 12�: 2�

i) 2� + 2 j) 2�. 2� k) 14�. 14� l) 36�. 36.

m) 3�. 2 n) 3� + 3� ñ) 2�. 2 o) 5�. 5�: 5�

p) C(3�)�D� q) C(8�)AD�� r) 2�. 2� s) 15�: 5�

t) 3A: 3� u) 7�. 7 v) (2�)� w) (3��)�

x)6�. 9� y)3�. 6� z)8.: 4.

b) Maneja con soltura la notación científica.

Notación científica

Se dice que un número está escrito en notación científica cuando viene dado como el producto de un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 por una potencia de base 10:

a · 10n con 1 <= a < 10

Ejemplo: 3,27 · 102 Ejemplo: 8,43 · 10-3

1.-Decir si estos números están en notación científica:

a) 0,28 · 102 b) 1,01 c) 1,0 · 10-3 d) 3,000 1 · 10-3

e) 2,34 · 10-1 f) 1,23 g) 23,14 · 102 h) 9,99 · 1015

Conversión a notación científica

Si lo que hay que hacer es desplazar la coma hacia la izquierda, la potencia de 10 tiene el exponente positivo. El valor de ese exponente es el de la cantidad de lugares que se ha desplazado la coma.

Ejemplo: 1 234 000 = 1,234 · 106 Ejemplo: 50 000 = 5 ·104

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Si lo que hay que hacer es desplazar la coma hacia la derecha, la potencia de 10 tiene exponente negativo. El valor de ese exponente es el de la cantidad de lugares que se ha desplazado la coma

Ejemplo: 0,373 = 3,73 · 10-1 Ejemplo: 0,000 8 = 8 · 10-4

2.-Escribe la forma decimal de estos números:

3,28 · 102 b) 5,23 · 106 c) 5 · 10-3 d) 3,0 · 104

8,123 · 104 f) 2’88 · 10-4 g) 5,23 · 10-6 h) 9,143 · 102

3.-Escribe estos números en notación científica:

1 234 000 b) 0,081 374 c) 0,373 d) 34

e) 50 000 f) 12 960 000 g) 0,000 8 h) 0,000 002 3

4.-Escribe estos números en notación científica:

a) 354 b) 0,054 c) 0,34 d) 86 e) 62 000 f) 24 000 000

g) 0,008 4 h) 0,000 77 i) 92,33 j) 2,76

5.-Convertir estos números en notación científica:

a) 3 m b) 5 km c) 34 dm d) 84 mm e) 76 km f) 0,023 mm

6.-Convertir a kilómetros, expresando el resultado en notación científica:

a) 3 cm b) 54 m c) 34 dm d) 84 mm e) 764 m f) 0,023 mm Operaciones con números en notación científica.

Para ordenar números escritos en notación científica:

Es mayor el que tenga mayor exponente en la potencia de base 10

A igualdad de potencias de base 10, es mayor aquél cuya parte decimal sea mayor

Ejemplo: 1,23 · 104 > 9,13 · 103 Ejemplo: 5,16 · 103 > 2,99 · 103

Para sumar y restar números escritos en notación científica:

Se escriben todos ellos con la misma potencia de 10

Se extrae factor común a la potencia de 10 y se suma o resta la parte decimal.

Se expresa el resultado en notación científica.

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Ejemplo: 3,24 · 103 – 2,14 · 102 + 1,88 · 104 = 32,4 · 102 – 2,14 · 102 + 188 · 102 = (32,4 – 2,14 + 188) · 102 = 218,26 · 102 = 2,182 6 · 104

Para multiplicar y dividir números en notación científica:

Se multiplican o dividen los números decimales por un lado y las potencias de 10 por otro.

Se expresa el resultado en notación científica.

Ejemplo: 3,01 · 103 · 5,13 · 10-5 = 15,4413 · 10-2 = 1,544 13 · 10-1

1.-Ordena de mayor a menor los siguientes números:

a) 1,23 · 10-3 , 0,2 · 10-4

b) 7,35 · 10 , 6,24 · 102

c) 3,58 · 10-1, 4,23 · 10-1 , 8,13 · 10-2

d) 9,01 · 102 , 8,13 · 103, 3,24 · 10-3

2.-Realiza las siguientes sumas y restas expresando el resultado en notación científica:

a) 1,84 · 102 + 2,26 · 102 – 3,0 · 102

b) 7,267 · 102 + 1,84 · 103

c) 6,366 · 10-1 - 7,28 · 10-2

d) 4,1 · 10-2 – 3,87 · 10-3

e) 3,0 · 10 – 4 · 102 + 5 · 103

3.-Averigua el valor de las siguientes multiplicaciones y divisiones dando el resultado en notación científica:

a) 1,86 · 10-3 · 3,24 · 10-5

b) (-3,26 · 10-3) : (5,14 · 104)

c) (7,0 · 102 ) : (1,75 · 104 )

d) 6,67 · 103 · 1,84 · 10-3

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4.-En la siguiente tabla figuran una serie de datos relativos a la Tierra y a Júpiter:

Tierra Júpiter

Distancia al Sol 1 UA 5,203 UA

Diámetro 12 756 Km. 144 000 Km.

Masa 5,976 · 1024 kg 317’9 veces la de la Tierra

Volumen 108,321 · 1010 km 3 1 300 veces el de la Tierra

a) Sabiendo que 1 UA = 150 000 000 km., calcula la distancia de Júpiter al Sol en metros. Expresa el resultado en notación científica.

b) Escribe los diámetros de la Tierra y de Júpiter en metros y en notación científica y compara ambas cantidades.

c) ¿Cuál es la masa de Júpiter? Escribe el resultado en notación científica.

d) ¿Cuál es el volumen de Júpiter? Escribe los datos y el resultado en notación científica.

5.-Se estima que la edad de la Tierra es de aproximadamente cinco mil millones de años mientras que el ser humano lleva sobre la misma unos tres millones de años. Por otro lado, la edad del Universo se calcula en unos quince mil millones de años.

a) Expresa las cantidades anteriores en notación científica

b) ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que se creó la Tierra hasta que apareció el ser humano?

c) ¿Qué proporción de tiempo lleva el hombre sobre la Tierra desde que se creó ésta?

d) ¿Cuánto tiempo transcurrió desde el comienzo del Universo hasta que se creó la Tierra?

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e) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que comenzó el Universo hasta que apareció el hombre sobre la Tierra? ¿Qué proporción de tiempo lleva el hombre sobre la Tierra comparado con la edad del Universo?

6.-Expresa en notación científica las siguientes medidas:

a) La masa de la Tierra es 5 983 000 000 000 000 000 000 000 kg b) El radio de nuestra galaxia es 142 000 000 000 000 000 000 000

000 m c) La masa de la Luna es de 734 000 000 000 000 000 000 000 Kg d) La edad estimada del Universo es 15 000 000 000 años e) La longitud de onda de una infrarrojo es 0,000 000 7 m. f) La masa de un electrón es 0,000 000 000 000 000 000 000 000

009 11 gramos g) El diámetro del átomo es 0,000 000 000 25 m h) La masa de un neutrón es 0,000 000 000 000 000 000 000 000

001 674 7 Kg. i) El radio del átomo del carbono 0,000 000 91 m

7.-Escribe en notación científica:

a) 0,000 000 000 00256 b) 7 689 000 000 c) 123 000 000 000 000 000 000 d) 0,000 000 0345 e) 0,002 f) 32 650 000 000 g) 47 650 000 000 000 000 h) 123,4.10-7 i) 0,000 000 000 22 j) 429.109

8.-Realiza las siguientes operaciones:

a) 7,21. 10� + 3,4. 10� b) 3,2. 10A + 5,36. 10?

c) 4,006. 10�� + 3,1. 10�� d) 2,1657. 10 − 6,23. 10�

e) 4,5. 10�� − 3,4. 10�� f) (2. 10?). (3. 10��) g) (8. 10�?). (3. 10A) h)(5. 10�). (6,2. 10��) i) (8,2. 10�@): (2. 10��) j) (9. 10��): (2. 10A) k)(6. 10��): (4. 10��@) l) (4. 10��). (7. 10��)

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c) Expresa una raíz en forma de potencia y vicevers a.

1.- Expresa las siguientes raíces en forma de potencia (la raíz equivale a un exponente fraccionario, cuyo numerador es el índice de la raíz y el denominador es el exponente al que está elevado el radicando).

Ejem: √2�9 = 29F = 26

9

a) √7�F = √7�

b) 5�/.=√5

c) √8�9 = √64�F

d) 3H7 = √9�7

2.-Di razonadamente cuales de las siguientes igualdades son ciertas, para ello descompón, en el caso que se pueda, el radicando en factores primos y expresa la raíz como una potencia.

a) √7�F = √7�

b) 5�/.=√5

c)√8�9 = √64�F

d)3H7 = √9�7

Utiliza la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos.

3.-Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) (2� + 1). 2 − 3�

b) 2. + 1

c) 2�: 2� − 2�. 3

d) (3�. 4 + 3�). (2� + 1) e) (1@ − 5�) − (4� + 2). 6

f) – (2� − 5)� − C8. (4 + 2�) + 1D

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4.-Realiza los siguientes cálculos

a) 3-2.[(-2)2+9:3]+42

b)[212.56.5-2.58]:[102.103]

5.-Calcula el valor de las siguientes operaciones combinadas. Compruébalo con la calculadora

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ÁLGEBRA

1.-Polinomios :

a) Realiza sumas, restas, multiplicaciones y divisi ones de polinomios.

1.-Dados los siguientes polinomios:

P(x)=-3x2-4x+8;

Q(x)=5x2+6x-9;

R(x)=x3-5x2+x-8;

S(x)=x3-6x2-9x+13;

Realiza las operaciones:

a) P(x)+Q(x) b) P(x)-R(x) c) P(x).Q(x) d) S(x):Q(x)

2.-Opera:

a) (x2-3x-4)+(-2x2+3x-1)

b) J�� K� + K − �

.L − J�� K� − K + �

.L

c) J�� + �

. � + 1L + J− .� � + �

. � + ��L

d) (−�� + 5� + 3) − (−2�� − 2� + 3) e) (0,3x3+2x-0,4)-(-0,7x3+2x+1,6)

f) J2�� − �� + �.L + J�

� �� + �� − ��L

g) J�. K� − �

�L . J�� K. − 3KL

3.-Quita los paréntesis y opera:

a) (2x3-1).(x+1)+5x.(2x2+3) b) x.(x2-1)-(2x+3).(3x-2) c) (4x-1).(2+3x2)-x(5x2-3x+2) d) x(x2-1)-(2x+3).(3x-2) e) (4x-1).(2+3x2)-x.(5x2-3x+2) f) (x2+x+1).3x-(x2+2).(3x-1)

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b) Maneja con soltura las igualdades notables.

1.-Pon las igualdades notables que conoces.

2.- Realiza las siguientes operaciones utilizando las identidades notables.

a) (2x+3)2 d) (2x5-6x3)2

b) (3x-1)2 e) (2x2-5x).(2x2+5x)

c) (x+4)(x-4) f) (3x2+5x)2

3.-Realiza las siguientes operaciones utilizando las identidades notables:

a) J�� K� − �

� K�L� b) (x-1).(x+1).(x+2).(x-2)

c) Divide polinomios y aplica Ruffini.

1.-Realiza las siguientes operaciones:

Divide:

a) (4x5-3x4+2x3-2x):(x2-3x+1)

Cociente=

Resto=

b) (-2x4+3x2+x-2):(x2+x)

Cociente=

Resto=

c) (2x3-3x2+5x+1):(x2+1)

Cociente=

Resto=

d) (5x4-6x2+2x-3):(x2-2)

Cociente=

Resto=

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2.-Divide usando la regla de Ruffini:

a) �,9��,<M.,��

,��

b) �,9��,<M.,��

,M�

c) .,7��,9M,��@

,��

d) .,7��,9M,��@

,M�

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d) Factoriza polinomios.

Sabemos que si la raíz de un polinomio es un número, entonces es divisible por (x-raíz) y por lo tanto (x-raíz) es un factor o divisor del polinomio.

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1.-Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado.

P(x)=x2-7x+10

Q(x)=x2-7x-18

R(x)=3x2-6x-9

S(x)=3x2-5x+2

2.-Factoriza los siguientes polinomios

P(x)=x4-x3-11x2+9x+18

Q(x)=x4+3x3-7x2-27-18

R(x)=x4+x3-5x2+x-6

S(x)=x4+x3-9x2+11x-4

e) Calcula el valor numérico de un polinomio.

1.-Calcula los valores numéricos de los polinomios P(x)=x2-6x+5 en cada uno de los valores de x que se indican.

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 y x=6

¿Cuáles de estos valores son raíces del polinomio?

¿Puede haber más?. ¿Por qué?

2.-Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones:

a) Resuelve problemas planteándolos como ecuaciones de primer grado.

1.-Al sumar 37 al doble de un número, se obtiene 97. ¿Cuál es el número?

2.-El producto de un número por el doble de ese número es 288. ¿Qué número es? ¿Existe más de una solución? 3.-Encuentra un número tal que, al sumarie 4, resulte el doble del número menos una unidad. 4.-Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.

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5.-Encuentre un número tal que, al sumarle 4, resulte el doble del número menos una unidad. 6.-Si a la quinta parte de un número se le añaden 9 unidades, se obtiene la mitad del número. ¿De qué número se trata? 7.-Calcula el número natural que sumado al siguiente da 145. 8.-La suma de 3 números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos números? 9.-Calcular las medidas de los ángulos de un triángulo sabiendo que son 3 múltiplos consecutivos de doce, (la suma de los ángulos de un triángulo son 180) 10.-Un número excede a su tercio en 32 unidades. ¿De qué número se trata? 11.-Sabemos que el perímetro de un rectángulo es de 50m y que la base es 5m más larga que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 12.-Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que el perímetro mide 50 cm y que el lado desigual es 7 cm menor que uno de los lados iguales. 13.-El tiempo que un alumno emplea en la resolución de un problema se distribuye así: 1/4 en su lectura, 1/3 en su razonamiento y los 5 minutos restantes en efectuar las operaciones y dar la respuesta. ¿Cuánto tiempo tardó en resolverlo? 14.-Un número y su mitad suman 480. ¿De qué número se trata?

b) Resuelve ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

1.-Resuelve las siguientes ecuaciones

1) Resolver la ecuación: x2-5x+6=0 SOLUCIONES: x = 2 y x = 3

2) Resolver la ecuación: x2-5x+4=0 SOLUCIONES: x = 1 y x = 4

3) Resolver la ecuación: x2-2x-3=0 SOLUCIONES: x = 3 y x = -1

4) Resolver la ecuación: x2-3x=10 SOLUCIONES: x = 5 y x = -2

5) Resolver la ecuación: x2+2x-3=-3x-9

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SOLUCIONES: x = -2 y x = -3

6) Resolver la ecuación:-x2-7x-6=0 SOLUCIONES: x = -1 y x = -6

7) Resolver la ecuación: 2x2 - 5x + 2 = 0 SOLUCIONES: x = 2 y x = ½

8) Resolver la ecuación: -4x2 + 9x = -9

SOLUCIONES: x = 3 y x = -3/4

9) Resolver la ecuación: 10x2 + 15x + 6 = -25x2 - 12x + 2 SOLUCIONES: x = -1/5 y x = -4/7

10) Resolver la ecuación 2-7x=15x2. Solución: x=1/5 y x=-2/3.

11) Resolver la ecuación: x2 - 2x + 1 = 0 SOLUCIONES: x = 1 doble

12) Resolver la ecuación: x2 + 4x + 4 = 0 SOLUCIONES: x = -2 doble

13) Resolver la ecuación 4x2-4x+1=0. Solución: x=1/2 doble.

14) Resolver la ecuación: x2+x+1=0 SOLUCIONES: No tiene

15) Resolver la ecuación: x2+6x+10 = 0 SOLUCIONES: No tiene

2.-Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. x (2x –3) = 0 2. (x – 2) (x – 3) = 0 3. (x – 2) (x + 2) = 0 4. 3x2 – 1 = 0 5. x2 – 4 = 0 6. x2 + 4 = 0 7. 4x2 – 25 = 0 8. 4 – 9x2 = 0 9. 3x2 – 9x = 0 10. x2 – 5x = 0 11. x2 + x = 0

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c) Resuelve sistemas de ecuaciones lineales y no li neales.

1.-Resuelve los siguientes sistemas por el método que desees:

2.-Comprueba si los valores x=2, y=-2 son solución de estos sistemas.

3.-Resuelve los siguientes sistemas no lineales y comprueba la solución usando la calculadora.

d) Plantea y resuelve problemas mediante sistemas d e ecuaciones.

1.- Halla dos números cuya suma es 14 y su diferencia 8.

2.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene un total de 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

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3.- Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4,5 €, y otros a 3,6 € , obteniendo de la venta 310,5 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?

4.- En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y de gallinas.

5.- Un grupo de amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 20 céntimos de euro. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor de 1,30 euros. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?.

6.- En un camping hay 120 menores entre niños y niñas. Si se van 40 niños el número de niños y de niñas es igual. ¿Cuántos niños y niñas hay en el camping?

7.- Una cooperativa ha envasado 5000 litros de vino en botellas de 1 y 2 litros, utilizando un total de 4500 botellas. ¿Cuántas botellas de cada clase ha utilizado la cooperativa?

8.- En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale 1 punto y cada error resta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan? ¿Cuántas ha fallado?

9.- Halla dos números cuya suma es 84 y cuyo cociente es 6.

10.- Halla dos números cuya suma es –2 y cuya diferencia es 44.

11.- En un colegio hay 90 personas entre profesores y profesoras. A una reunión ha asistido el 70 % de los profesores y el 30 % de las profesoras, siendo en total 47 personas. ¿Cuántos profesores tiene el colegio? ¿Y profesoras?

e) Resuelve e interpreta gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

1.-Explica las propiedades que se deben tener en cuenta a la hora de resolver las inecuaciones.

2.-Resuelve las siguientes inecuaciones y represéntalas gráficamente:

a) x+2>3

b) x-3≥8

c)-x+1<5

d) –x+2<3x+2

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e) x/3+2≤-x/2+4.(x-3)

3.-Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

x2-6x+5<0

(x-3)(x-1/4)≥0

2x2-x<0

3x2-48≥

x2-5x>-3(3-x)

2x(x-1)-x(x+3)≤-6

x2-8x+16>0

K3 . JK

2 − 1L < − 16

INECUACIONES RACIONALES

Como sabemos, las inecuaciones racionales se obtienen de dividir dos polinomios. A diferencia de la resolución de ecuaciones racionales, no es aconsejable eliminar los denominadores, puesto que tenemos una desigualdad que dependerá del signo del denominador.

• Averiguar los puntos para los cuales la siguiente expresión ,<��,M.

,�A , es

negativa.

Lo que nos están pidiendo es que resolvamos una ecuación racional en cuyo numerador aparece un polinomio de 2º grado (parábola) y en el denominador uno de primero (recta):

1º Calcular las soluciones del polinomio del numerador y las del denominador, ordenándolas de mayor a menor. En este caso 1,4 y 7.

2º Se escriben los intervalos ABIERTOS que hay entre las soluciones, es decir

(-∞,1); (1,4); (4,7); y (7,∞).

Esto sirve para evaluar el signo de la inecuación en cada intervalo, ya que en cada uno de ellos, los polinomios NO CAMBIAN DE SIGNO. Desde luego los intervalos son abiertos, puesto que en el punto 1,4 y 7 no obtenemos información del signo, ya que los polinomios se anulan.

3º Se factorizan los polinomios del numerador y denominador a partir de dichas soluciones. Tener en cuenta que los de primer grado no hay que tocarlos, pues no se pueden factorizar.

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K� − 5K + 4 = (K − 1). (K − 4) K − 7 = K − 7(2��O�P!�Q R�)

Por lo tanto la inecuación racional quedará de la siguiente manera

K� − 5K + 4K − 7 = (K − 1). (K − 4)

K − 7 < 0

4º Se hace una tabla en cuya primera fila aparezcan los intervalos abiertos del punto 2, y en su primera columna, los factores del punto 3, así como la expresión racional factorizada de partida. (Ver tabla)

5º Estudiaremos el signo de cada factor por tanteo, (es decir tomando cualquier punto de los intervalos y sustituyéndolo en cada factor), así como el de la expresión racional

Inter. Factores

(-∞,1) (1,4) (4,7) (7,∞)

(x-1) - + + + (x-4) - - + + (x-7) - - - +

(K − 1). (K − 4)K − 7

(−). (−)(−) = − + - +

6º Por último se escribe los intervalos que son solución de la inecuación y se representan sobre la recta real:

Sol: K ∈ {(−∞, 1) ∪ (4,7)}

1.-Resolver las siguientes inecuaciones:

a) �,<��,�

,�� ≥ 0

b) �A,<��,<�, > 0

c) �?,<M�,��

�A,<�� ≤ 0

d) ��,<��,��

,<�� < 0

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f) Plantea y resuelve problemas mediante inecuacion es o sistemas de inecuaciones.

2.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) Un número es menor que 7.

b) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

c) El cuadrado de un número está comprendido entre dos números naturales consecutivos.

3.-En la cafetería de un centro escolar, el precio del bocadillo más barato es de 0.80 euros, y el del más caro, de 1.20.

Se han comprado bocadillos para 25 alumnos. ¿Entre qué cantidades estará el dinero gastado?. Escribe la inecuación correspondiente.

4.-En una ciudad, el precio de las viviendas varía entre 2100 y 3200 euros por metro cuadrado. ¿En qué intervalo estará el precio de una vivienda que tiene 90 metros cuadrados?.

5.- En los cinco primero exámenes del curso, las notas de Natalia fueron 6,1; 6,2; 6,7; 8,5 y x. ¿En qué intervalo está la nota de su último examen, si su nota media es superior a 6,5 e inferior a 8?

6.-Un campo de fútbol debe medir entre 90 y 120 metros de largo y entre 45 y 90 metros de ancho. ¿Entre qué valores se encuentra su área?.

7.- Los padres de Alfredo la harán un regalo si su nota media supera el 8,5. Ya conoce la media de 10 asignaturas, que es de 8,7.

¿Qué nota puede sacar en la asignatura que le queda si quiere conseguir su premio?. Indica el intervalo correspondiente.

8.- Un ascensor soporta una carga máxima de 300 Kilogramos. Suben al mismo dos personas que pesan entre 50 y 65 kilogramos cada una, otra que pesa entre 65 y 70, y una más que pesa entre 70 y 80. ¿Qué peso añadido puede llevar ese ascensor?. Indica el intervalo correspondiente.

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TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y EL AZAR

1.-Funciones, límites e iniciación a la derivada:

Propiedades de las funciones

a) Signo: una función es positiva cuando la variable dependiente es positiva, en caso contrario se define como negativa.

b) Simetrías: pueden ser de 3 tipos, respecto al eje vertical, el horizontal o funciones simétricas respecto la bisectriz del primer y tercer cuadrante. b.1) Función par : este tipo de funciones son simétricas respecto del eje vertical. La característica de este tipo de funciones es que su imagen para cualquier valor del dominio, es igual a la imagen del valor opuesto, es decir, en notación algebraica

∀K ∈ [�\{�(K)}��"�Q O P�]^��(K) = �(−K) Ejem: Comprobar si la función y(x)=K� + 1 es par. Sea x∈ [�\�(K) entonces

_ �(K) = K� + 1�(−K) = (−K)� + 1 = K� + 1` y puesto que se verifica que y(x)=y(-x)

es par para cualquier punto del dominio. b.2)Función impar : este tipo de funciones son simétricas respecto del origen de coordenadas. Su característica es que la imagen de la función para cualquier valor del dominio, es opuesta a la imagen de la función en el valor opuesto. En notación algebraica

∀K ∈ [�\{�(K)}��"�Q O P�]^� − �(K) = �(−K) b.3)Funciones recíprocas : dos funciones son recíprocas cuando una de ellas hace lo opuesto a la otra, obteniendo el mismo valor de partida (por ejemplo, la función cuadrada y la raíz cuadrada). Este tipo de funciones presentan una simetría respecto de la recta y=x, lo que nos permitirá dibujar una a partir de la otra.

c) Traslaciones : a veces, el conocimiento de una gráfica, nos puede servir para imaginar la gráfica de otras ecuaciones que se han obtenido aplicando una traslación. Una traslación es un desplazamiento de la función. Debido a su gran utilidad práctica, trabajaremos con dos tipos de traslaciones: horizontales y verticales.

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c.1) traslación horizontal : hay de dos tipos, hacia la izquierda y a la derecha. La traslación hacia la derecha consiste en mover la gráfica, k unidades hacia la derecha (suponiendo que k es positivo). En las ecuaciones, una traslación a la derecha puede realizarse, cambiando el argumento de la función x, por el valor x-k, o lo que es lo mismo, puniendo �(K − a) en vez de �(K). La traslación hacia la izquierda se define de forma similar, es decir habría que sumar k unidades al argumento, suponiendo que k fuese positivo, lo que se traduce en cambiar el argumento de y(x) por y(x+k). Ejem: �(K) = K� es una parábola centrada en el origen coordenado.

�(K − 3) = (K − 3)� es la misma parábola anterior, pero que está desplazada 3 lugares a la derecha.

c.2) traslación vertical : se produce cuando sumamos un valor constante k>0 a la fórmula de la función. De igual forma, para desplazar la función hacia abajo habrá que restarle un valor constante k>0 a la función.

d) Acotación : una función se dice acotada superiormente, cuando toda la gráfica de la función se encuentra por debajo de un valor constante (en la gráfica es como si pudiésemos trazar una línea horizontal de tal forma que toda la curva estuviera por debajo). De forma similar, podemos pensar en la acotación inferior, cuando la gráfica está por encima de un valor constante. Existen funciones para las que se dan las dos acotaciones simultáneamente. Algebraicamente una función está acotada superiormente si existe un número k tal que y(x)≤k para todo valor de xЄDom{(y(x)}, análogamente, podemos decir que una función estará acotada inferiormente si existe un valor k tal que y(x)≥k para todo valor xЄDom{(y(x)}.

e) Periodicidad : una función es periódica si los valores de la variable dependiente se van repitiendo cuando aumentamos en un cierto intervalo la variable independiente. A este intervalo se le denomina periodo T. Así pues, una función periódica cumplirá que �(K + b) =�(K)∀K ∈ [�\�(K). Esto podemos interpretarlo diciendo que una función periódica es invariante (no cambia) frente a traslaciones. En nuestra vida cotidiana, estamos muy familiarizados con las funciones periódicas ya que suelen aparecer en numerosas situaciones como por ejemplo el movimiento ondulatorio del agua, el movimiento de

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las agujas de un reloj, el de los planetas, etc. Todos estos fenómenos pueden describirse con funciones periódicas.

f) Continuidad : decimos que una función es continua si podemos pintarla sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, obviamente, la función es discontinua. Este concepto intuitivo podemos precisarlo aún más si decimos que una función es continua en un punto c del dominio, si al darle valores tan cercanos como deseemos a c (por la izquierda y por la derecha) la función toma valores muy próximos a y(c). Además la continuidad se puede relacionarse con la idea de límite que se verá en cursos posteriores. De lo dicho se deduce que necesariamente, para que una función sea continua en un punto c, debe existir la función en ese punto, o lo que es lo mismo, todos los puntos para los que no pueda evaluarse la función pueden ser candidatos a puntos de discontinuidad. Podemos clasificar las discontinuidades en tres grupos f.1) Primera especie , o también llamadas de salto o escalón. Son discontinuidades que se producen cuando la función toma distintos valores según que nos acerquemos por la derecha o por la izquierda de la discontinuidad. f.2)Segunda especie , o discontinuidad infinita. Se produce cuando al aproximarnos a la discontinuidad, la función se hace infinita. (muy grande o muy pequeña). f.3)Tercera especie o discontinuidad evitable. Se produce cuando los valores de la función se aproximan tanto como queramos a medida que nos vamos acercando a la discontinuidad, pero no coinciden con el valor de la función en el punto y(c), por estar definido en otro lugar, o por no existir.

g) Crecimiento : una función es creciente en un intervalo perteneciente al dominio de la función, cuando al aumentar la variable independiente a lo largo del intervalo, también aumenta la dependiente. Es decir

∀K�, K� ∈ c2!�Q"�d�P�2!�d]^�K� > K��2!�2P��(K�) > �(K�) De forma similar, se pueden definir las funciones decrecientes.

h) Tendencia : a veces podemos predecir el comportamiento de una función sin necesidad de calcular sus valores. Una función y(x) tiende a un número c, cuando al darle valores muy grandes a la variable x (positivos o negativos), la variable dependiente se va aproximando a c. Gráficamente puede comprobarse que la función se va acercando progresivamente a un valor determinado pero nunca llega a alcanzarlo.

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i) Asíntotas: enlazando con el concepto de discontinuidad infinita y el de

tendencia, podemos hablar de las asíntotas de una función. A las discontinuidades infinitas se les denomina asíntotas verticales, mientras que a las tendencias se les llama asíntotas horizontales. Las asíntotas podríamos definirlas como líneas rectas a las que la función se va acercando pero que nunca llega a tocarlas. Es por ello que cuando una gráfica presenta asíntotas se dice que la función tiene ramas infinitas.

j) Extremos, máximos y mínimos : de forma intuitiva decimos que una función tiene un máximo en un punto c, cuando en dicho punto alcanza el valor más grande en comparación con los puntos que rodean a c (de forma similar se define el mínimo). Una función puede tener varios máximos y mínimos, al mayor de ellos se le llama máximo o mínimo absoluto, mientras que a los demás se les llama relativos. Observamos que cuando una gráfica tiene un extremo (máximo o mínimo) la función pasa de ser creciente a decreciente o al revés.

k) Concavidad y convexidad. La gráfica de una función es convexa cuando al unir dos puntos con un segmento, la curva queda por debajo del mismo. De forma similar, una curva es cóncava cuando al unir dos puntos con un segmento, la curva queda por encima. La gráfica de una función puede tener intervalos en donde sea convexa y otros donde sea cóncava. En cualquier caso, para comprobarlo, debemos trazar segmentos que no corten a la curva.

1.-Pon un ejemplo que ilustre cada una de las propiedades explicadas.

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a) Dada una función representada por su gráfica, es tudia sus características más relevantes (dominio de definici ón, recorrido, etc.).

1.-Di si las siguientes gráficas corresponden o no a una función y explica por qué:

2.-Las gráficas de dos funciones f y g son las siguientes:

a) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones. b) Halla sobre las gráficas: f (–3), f (0), f (2), f (5), g (0), g (2) y g (4). c) Halla los valores de x tales que f (x) = 0, f (x) = 2 y g (x) = 3.

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3.-Averigua el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

4.-Escribe el dominio y el recorrido de las siguientes funciones (ver apuntes de clase)

a) Lineal

b) Parábola

c) Raíz cuadrada de x.

d) Logarítmo de x

e) Exponencial de x.

5.-Halla el dominio de las siguientes funciones. ¿Cuáles son las imágenes de 0,2,-1 y -3?

b) Responde a preguntas concretas relacionadas con continuidad, tendencia, periodicidad, crecimiento,… de una funci ón.

1.-Dí si son continuas las siguientes gráficas, estudia su dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento. En caso de que sean discontinuas ¿Qué tipo de discontinuidad tienen? ¿En dónde?.

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c) Identifica y representa funciones constantes, li neales y afines a partir de su expresión analítica.

1.-Clasifica las funciones a partir de su gráfica:

a) b) c)

2.-A partir de la ecuación de las funciones, por el nombre de cada una de ellas. ¿Cómo te imaginas que podría ser el dibujo?. Haz una tabla de valores y represéntalas.

a) y=3

b) y=8x-5

c) y=4.x

d)� = K2 − 4

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d) Obtiene la expresión analítica de una función li neal conociendo su gráfica o alguna de sus características.

1.-Pon la ecuación de cada una de las rectas que aparecen en la gráfica.

2.-Halla la expresión algebraica de las siguientes rectas:

a) Pendiente 4 y ordenada en el origen -1. b) Pendiente -5/2 y ordenada en el origen 1/5 c) Pendiente 2/3 y ordenada en el origen -1

Pendiente igual a la de la recta y=-x+5 y ordenada en el origen 2.

3.-Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A=(0,4) y B=(3,8).

4.-Asocia a cada función su gráfica

a) y=-3x-2 b) y=-2x+4 c) y=2x+3 d) y=5x+3

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e) Representa funciones definidas a trozos.

1.-Representa la gráfica y=|−K + 2|

2.-Representa la función f K − 4� K < −12K − 1�2�!Q�P��_

3.-Representa la siguiente función definida a trozos:

g K�� K ≥ 23K + 2� K < 2_

¿Es continua? En caso negativo, ¿qué tipo de discontinuidad tiene?

f) Identifica y representa funciones de 2º grado.

1.-Representa la siguiente parábola y=x2+x-6

2.-Representa el valor absoluto de la función del ejercicio anterior.

GEOMETRÍA

1.-Trigonometría:

a) Maneja con soltura y aplica el teorema de Pitágo ras.

1.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 18 cm y 24 cm. Calcula el valor de la hipotenusa.

2.- Uno de los catetos de un triángulo mide 15 cm y el otro 20 cm. ¿Cuánto debe medir la hipotenusa para que sea un triángulo rectángulo?

3.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 15 cm. Calcula el valor del otro cateto.

4.- Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado mida:

a) 6 cm. b) 15 cm

5.- Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.

6.- La base de un triángulo isósceles mide 3 cm y uno de los lados iguales mide 4 cm. Calcula el valor de la altura de dicho triángulo.

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7.- Se quiere pavimentar el suelo de una habitación rectangular de 6 m de ancho por 8,4 m de largo con losetas cuadradas de 30 cm de lado. ¿Cuántas losetas son necesarias para cubrir la superficie del suelo?

8.-Un tablero de ajedrez está formado por ocho casillas en cada fila y otras ocho por columna. Si el lado de cada casilla cuadrada mide 4 cm, ¿cuál es la superficie total del tablero? El área de un cuadrado es de 144 m2. ¿Cuánto mide su lado?

9.-Calcula el área de la superficie roja de las siguientes figuras:

b) Conoce las razones trigonométricas así como sus relaciones.

1.-Deduce las relaciones trigonométricas de los ángulos agudos, usando un triángulo equilátero de lado unidad para las de 30º y 60º así como las de un cuadrado de lado 1.

2.-¿Qué relación tienen las relaciones trigonométricas de un ángulo y su complementario? Nota: dos ángulos complementarios son los que suman 90º.

3.-Dibuja la circunferencia goniométrica. ¿En dónde se representa el seno y el coseno?

4.-¿Cuáles son las razones trigonométricas de un ángulo de 90º, 180º, 270º y 360º?

c) Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo ag udo a partir de otra, aplicando las relaciones fundamentales.

1.-Deduce la forma de obtener las siguientes fórmulas fundamentales:

��2� ∝ +P�� ∝= 1

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!�23 ∝= ��2 ∝P�� ∝

(nota: si es necesario mira tu cuaderno).

2.-Sabiendo que sen α=0.6, averigua (aproximando a dos cifras decimales) las restantes razones trigonométricas.

3.-A partir del valor de la tangente de un ángulo tangα=2.5. Deduce el valor del seno y el coseno (para ello resuelve el sistema de ecuaciones de arriba).

4.-Según las fórmulas fundamentales, ¿ puede ser el sen α y el cosα mayores que 1?. ¿Por qué?

5.-¿Existe algún ángulo para el que el senα=0.7 y el cosα=0.9 simultáneamente?.

6.-Sabiendo que cos α=0.85, averigua (aproximando a dos cifras decimales) las restantes razones trigonométricas.

d) Usa la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas.

1.-Averigua el ángulo que cumple (usando la calculadora).

a) cos α=0.95

b) sen α=-0.5

c) tang α= 5.79

2.-Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que se coseno tiene los siguientes valores.

a) 0.127 b) 0.5 c) 0.2588 d) 0.9135

3.- El coseno de un ángulo agudo vale √�� . Calcula el seno y la tangente de ese

mismo ángulo.

4.-Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo sabiendo que se tangente tiene los siguientes valores.

a) 1.53 b) 6.45 c) 0.87

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e) Relaciona las razones de un ángulo cualquiera co n las del primer cuadrante.

1.-Utiliza ángulos conocidos del primer cuadrante para calcular las siguientes razones

trigonométricas (Recuerda que primero debes averiguar en qué cuadrante está el ángulo).

Pinta los ángulos en la circunferencia goniométrica y su reducción en el primer cuadrante

sen(15π/3) =

cos 150º =

tg 135º =

tang315º =

Cos1410º =

tg (− 80º) =

f) Resuelve triángulos rectángulos.

1.-Calcula la medida de los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos.

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2.-Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la figura. Con ayuda de la calculadora, obtén la medida de dichos ángulos.

3.-En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación de 45 grados, la sombra que proyecta un edificio mide 30 metros. Calcula la altura del edificio.

4.-La Torre Eiffel tiene una altura de 300 metros. Calcula la longitud de su sombra cuando los rayos solares tienen una inclinación de 60 grados.

5.- Calcula la altura aproximada de la siguiente antena:

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6.-Una cancha de baloncesto mide 15 metros de ancho. Calcula el largo de la pista si la diagonal forma un ángulo de 28 grados con uno de los laterales.

7.-La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6 centímetros, y uno de sus catetos, 3. Halla las razones trigonométricas de los ángulos del triángulo.

8.-Con ayuda de la calculadora, halla la medida aproximada del ángulo de inclinación con que debe colocarse una escalera de 4 metros para que alcance una altura de 3 metros.

9.-Calcula la medida de los ángulos y los lados desconocidos del triángulo rectángulo de la figura.

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2.-Geometría analítica:

a) Resuelve problemas de la vida real usando la tri gonometría.

1.-Calcula el área de cada uno de estos triángulos:

2.-Desde la torres de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altura de 1200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40m de altura?.

3.-Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torres forma un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la torre?

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4.-Para calcula la altura del edificio, ijkkkk, hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cya longitud es de 250m. Halla ijkkkk.

5.-En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías.

cuadernillo de actividades para 4º de eso nÚmeros 1 2matesweb.es/4eso/cuadernillo_4.pdf ·...

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