cu cu c u v u v r rcc c u v u v uv cc c §· cc u u v uv c ¨¸ z v v , 0. v...
TRANSCRIPT
266
Глава 5. Основи диференційного числення
для функції однієї змінної
5.1. Похідна
Похідною функції y=f(x) в точці х називається границя відношення
приросту функції до відповідного приросту аргументу за умови, що
приріст аргументу прямує до нуля, і позначається:
0limx
f x x f xf x
x
.
Поняття похідної широко використовується в багатьох областях. Так,
наприклад, якщо функція y=f(x) описує закон руху матеріальної точки, то в
цьому випадку похідна визначає миттєву швидкість точки в момент
часу x. Якщо функція y=f(x) визначає кількість електрики у, що протікає
через поперечний переріз провідника за час x, то f x буде визначати
силу струму, що проходить через поперечний переріз провідника в момент
часу x. Теплоємність тіла є похідною від кількості тепла за температурою і
т.д.
Найпростіші правила обчислення похідних
Нехай функції u x і v x мають у певній точці похідні ,u v .
Тоді функції
1). y=cu, (c=const); 2). y=u v; 3). y=uv; 4). , 0u
y vv
також мають похідні в цій точці, які обчислюються за формулами,
поданими в табл. 5.1.
Таблиця 5.1 − Правила обчислення похідних
2, 0.
cu cu
u v u v
u v u v uv
u u v uvv
v v
З таблиці видно, що:
267
постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто
cu cu
;
похідна від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі
похідних доданків, тобто u v u v
;
похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох добутків: похідної
першої функції на другу та похідної другої функції на першу, тобто
u v u v uv
;
похідна частки дорівнює дробу, знаменник якого є квадратом даного
знаменника, а чисельник – різницею добутків: похідної чисельника на
знаменник та чисельника на похідну знаменника, тобто
2, 0
u u v uvv
v v
.
Нехай функція u x має в деякій точці 0x похідну 0xu x , а
функція y f u має у відповідній точці 0 0u x похідну 0y f u .
Тоді складна функція y f x в зазначеній точці 0x також буде мати
похідну, яка визначається за формулою
' ' '0 0 0y x f u u x
або
x u xy y u .
Іншими словами, похідна складної функції дорівнює добутку
похідної даної функції за проміжним аргументом та похідної проміжного
аргументу за незалежною змінною.
Якщо функція ( )y f x задовольняє умовам теореми про існування
оберненої функції і в точці 0x має похідну 0f x 0 , то для оберненої
функції ( )x g y у відповідній точці 0 0( )x g y також існує похідна, яка
визначається за формулою
0
0
1x y
y x
або
1y
x
xy
.
268
Нижче наведена таблиця похідних простіших елементарних функцій
в припущенні, що аргумент u є деякою функцією від x.
Таблиця 5.2 − Таблиця похідних
1
1) 0
2)
3)2
n n
c
u nu u
uu
u
2
14)
5) logln
6) ln
a
u
u u
uu
u a
uu
u
7) ln
8)
u u
u u
a a a u
e e u
2
2
9) sin cos
10) cos sin
111) tg
cos
112) ctg
sin
u u u
u u u
u uu
u uu
2
2
2
2
13) arcsin1
14) arccos1
15) arctg1
16) arcctg .1
uu
u
uu
u
uu
u
uu
u
Приклад 1. Знайти похідну функції y=2 53 5 7x x
x
.
Розв’язання. Подамо дану функцію у вигляді 1
15
13 5 7y x x
x
4
51
3 5 7x xx
.
Тепер, користуючись таблицею, обчислимо похідну
4 4
15 5
2
1 1 43 5 7 3 5 7
5y x x x
x x
2 5 9
5 283
5x x .
Приклад 2 Знайти похідну функції y=ln sinx.
Розв’язання. Позначимо sinu x , тоді дана функція lny u є
складною функцією по відношенню до аргументу x , тобто u є проміжним
аргументом. Використовуючи правило диференціювання складної функції,
маємо: 1
ln , sin cosu u u x xu
, то
1cos
siny x
x .
269
Приклад 3. Знайти похідну функції 12 3tg cos 4y x x .
Розв’язання. Дана функція є степеневою функцією, основою якої є
складна функція. Знаходження похідної будемо виконувати послідовно,
використовуючи правила диференціювання складної функції. Перш за все
обчислимо похідну степеневої функції за формулою 1n nu n u u
, де
3tg cos 4u x x , 12n .
11 3 312tg cos 4 tg cos 4 .y x x x x
Надалі знайдемо похідну від тангенса, потім від його аргументу, тобто від
tgv ( 3 cos 4v x x ), далі від кореня кубічного 3 w ( cos 4w x x ) і
нарешті від підкореневого виразу. Таким чином, маємо
11 3 3
2 3
112tg cos 4 cos 4
cos cos 4y x x x x
x x
=
211 3 3
2 3
1 112tg cos 4 cos 4 cos 4
3cos cos 4x x x x x x
x x
=
211 3 3
2 3
1 112tg cos 4 cos 4 sin 4 .
3cos cos 4x x x x x
x x
Зауваження. На практиці проміжні аргументи , , ,...u v w зазвичай не
вводяться, при знаходженні похідних необхідно завжди аналізувати
аргумент тієї функції, від якої береться похідна.
Приклад 4. Знайти похідну функції
2
5
8sin 2arctg 3 5 3
lg 1 tg
x xy x
x
.
Розв’язання. Дана функція є сумою двох доданків. Перший доданок
в свою чергу є добутком, а другий – часткою. Тому послідовно
використовуємо правила диференціювання суми, добутку, частки, а також
складної функції.
2
2sin 2
sin 2
2
3 3arctg 3 5 3 ln3 2sin 2 cos2 2
1 3 5
xxy x x x
x
270
3 5
8 82
2
5 1 1 1lg 1 tg
8 1 tg ln10cos
lg 1 tg
x x xx x
x
.
Диференціювання неявних функцій
Якщо рівняння
F(x,y)=0 (5.1)
є тотожністю, коли в ньому у замінюється функцією f(x), то говорять, що
y=f(x) є неявною функцією, яка визначається даним рівнянням (5.1). Для
того щоб знайти похідну y функції y=f(x), яка задана неявно рівнянням
(5.1), треба продиференціювати обидві частини тотожності F(x,y(х))0 за
змінною x, користуючись правилом диференціювання складної функції.
Потім отримане рівняння розв'язати відносно y .
Приклад. Знайти похідну функції y y x , яка задана рівнянням
sin tg 0x y x y .
Розв’язання. Диференціюючи за x задане рівняння, де y вважаємо
функцією від x , одержимо
2 2
1 sincos tg sin 0, cos tg ,
cos cos2 2
y x yy xy x y x x y x y
y yx x
звідки знаходимо y :
2
2
2 cos tg cos- .
2 cos sin
y x x y yy
x x y x
Логарифмічне диференціювання
Нехай функція y=f(x) має похідну y f x , яку важко обчислити за
допомогою тих правил та формул, що були наведені раніше, але
натуральним логарифмом цієї функції ln f(x) є функція, яка
диференціюється без зайвих зусиль. Тоді для знаходження похідної
застосовується метод логарифмічного диференціювання, який полягає в
послідовному логарифмуванні початкової функції ln y=ln f(x), а потім
диференціюванні її як функції, що задана неявно. Тоді якщо ln y x , то
після диференціювання одержимо
y
xy
,
271
звідки знаходимо
y y x
або
y f x x .
Приклад 1. Знайти похідну функції 1
3 25 .xy x x
Розв’язання. Формули для диференціювання даної функції в таблиці
немає. Скористуємось методом логарифмічного диференціювання.
Прологарифмуємо цю функцію:
3 21ln ln 5 .y x x
x
Диференціюючи обидві частини рівності, знаходимо
2
3 2
2 3 2
1 1 3 10ln 5 ,
5
y x xx x
y xx x x
звідки
1
3 2 3 2
2 3 2
1 3 105 ln 5 .
5x
xy x x x x
x x x
Приклад 2. Знайти похідну функції
2
3 22
1
1
x xy
x
.
Розв’язання. Безпосереднє обчислення похідної цієї функції є
громіздким, в той час як натуральний логарифм y легко диференціюється.
Прологарифмуємо цю функцію:
2 21ln ln ln 1 2ln 1
3y x x x .
Диференціюємо обидві частини тотожності, розглядаючи у як функцію від
х, тоді
2 2
1 1 2 22 ,
3 1 1
y x x
y x x x
звідки
2
3 2 2 22
1 1 1 2 22
3 1 11
x x x xy
x x xx
.
272
Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі
Похідна функції в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту
дотичної до неперервної кривої в цій точці. Звідки отримаємо, що рівняння
невертикальної дотичної до кривої y=f(x) в точці 0 0 0,M x y має вигляд
0 0 0y y y x x x .
Рівняння вертикальної дотичної 0x x .
Нормаллю до кривої в точці 0 0 0,M x y називається пряма, яка є
перпендикулярною до дотичної, що проведена до кривої в даній точці.
Рівняння негоризонтальної нормалі має вигляд
0 00
1y y x x
y x
.
Рівняння горизонтальної нормалі 0y y .
Приклад. Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої 3 23 2y x x в точці з абсцисою 0 1x .
Розв’язання. Ордината точки дотику 3 20 1 3 1 2 4y . Кутовий
коефіцієнт дотичної 21 13 6 3 6 3x xk y x x
. Рівняння дотичної
у+4=–3(х-1) або 3х+у+1=0.
Кутовий коефіцієнт нормалі 1 1
3нор
кас
kk
. Рівняння нормалі
1
4 13
y x або х – 3у –13 = 0.
5.2. Диференціал функції
Функція y=f(x) називається диференційованою в даній точці x, якщо
приріст y цієї функції в точці x, який відповідає приросту аргументу x,
може бути подано у вигляді
y A x x , (5.2)
де A – деяке число, яке не залежить від x, а – функція аргументу x,
яка є нескінченно малою при x 0 . Головна частина приросту функції
A x , лінійна відносно x , називається диференціалом функції і
позначається dy A x .
Теорема. Для того щоб функція y=f(x) була диференційована в точці
x, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.
273
При доведенні цієї теореми з’ясовується зміст А, а саме встановлюється, що
A y x .
Враховуючи цю рівність, формулу для диференціала функції можна
записати так:
dy y x . (5.3)
На основі цієї теореми можна ототожнювати поняття диференційованості
функції в даній точці з поняттям існування похідної функції в цій точці.
Тому операція знаходження похідної називається диференціюванням.
Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційована в точці x, то вона
неперервна в цій точці. Зворотнє твердження не завжди правильне.
Наприклад, функції у= x (рис. 5.1,а), 3y x (рис. 5.1,б) є неперервними в
точці х=0, однак вони не диференційовані в цій точці.
Диференціал незалежної змінної х дорівнює її приросту, dх= x , тому
формулу (5.3) можливо записати як
dy y dx . (5.4)
Вираз (5.4) ми називатимемо канонічним виразом диференціала функції. З
цієї формули маємо, що dy
ydx
, тобто похідну від функції y за x можна
розглядати як частку від ділення диференціала функції y на диференціал
(приріст) незалежної змінної dx.
Приклад. Знайти диференціал функції ln tgy x .
Розв’язання. 2
.tg cos 2 sin 2
dx dxdy
x x x x x
Диференціювання функцій, які задані параметрично
Якщо функція задана параметрично, тобто ( ),
( ),
x x t
y y t
y
xy
0 х
Рис. 5.1.а)
y
0 x
3 xy
Рис. 5.1.б)
274
то її похідну за змінною х можна подати таким чином:
t tx
t t
y dt ydyy
dx x dt x
, тобто .t
xt
yy
x
Приклад. Знайти похідну xy функції, яку задано параметрично:
sin ,
1 cos .
x a t t
y a t
Розв'язання. Знайдемо похідні функцій x x t , y y t відносно
аргументу t . 1 costx a t , sinty a t . Тоді
sin sin.
1 cos 1 cosx
a t ty
a t t
Геометричний зміст диференціала функції
З формули (5.3) випливає, що
диференціал функції у=f(x)
дорівнює dy f x dx .
Враховуючи, що tgf x
(рис. 5.2.), отримаємо tgdy dx ,
тобто геометричний зміст
диференціала полягає в тому, що він
дорівнює приросту ординати дотичної, яка проведена до кривої y=f(x) в
точці з абсцисою x, при переході від точки дотику в точку з абсцисою
x x (dy= KN ).
Інваріантність формули диференціала I порядку
Нехай задана функція y=f(x), де x= t , тобто y=f( t ) є складною
функцією. Припустимо, що f та – диференційовані функції. Обчислимо dy:
t x t t xdy y dt f x dt x dt dx f dx f x dx .
Таким чином, диференціал функції має один і той самий вираз як у
випадку, коли аргумент є незалежною змінною, так і у випадку, коли
аргумент є функцією функції. Цю властивість диференціала називають
інваріантністю формули (або форми) диференціала. Слід звернути увагу
на те, що інваріантна (незмінна) саме форма диференціала, тому що зміст
формули диференціала складної функції суттєво відрізняється від змісту
формули диференціала функції від незалежної змінної. Саме у формулі
dy f x dx
y
P
K
M N
dx
0 x x+dx x
dy y
Рис. 5.2
275
dx є не тільки диференціалом, але і приростом x аргументу x, якщо x –
незалежна змінна. Якщо аргумент x є в свою чергу функцією деякої
змінної t, то dx є диференціалом x, який не збігається з x .
Застосування диференціала до наближених обчислень
При достатньо малому x можна замінити приріст функції її
диференціалом, тобто 0 0 0f x x f x f x x .
І звідси знайти наближене значення шуканої величини за формулою
0 0 0f x x f x f x x . (5.5)
Приклад. Обчислити наближено arctg0,97.
Розв’язання. Застосовуючи формулу (5.5), одержимо, що
0 0 0arctg arctgx x x arctg x x ;
де 0 0 2
2
10,97; 1; 0,03; arctg .
1
0,03arctg0,97 arctg1 0,015 0,7554.
41 1
x x x x xx
Тоді
5.3. Похідні та диференціали вищих порядків
Нехай функція y f x диференційована на деякому проміжку
,a b . Значення похідної f x , загалом говорячи, залежить від x , тобто
похідна від f x являє собою також функцію від x . Якщо ця функція
сама є диференційованою в деякій точці x інтервалу ,a b , тобто має в цій
точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною (або
похідною другого порядку) і позначається як
y y f x
.
Так само можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і
взагалі похідної n -го порядку.
Для похідної n -го порядку справедливі правила:
1. ( ) ( ) ( )n n nu v u v ;
2. ( ) ( ),n ncu cu c const ;
3. ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( )( 1)
...1 2
n n n n nn nuv u v nu v u v uv
. (5.6)
Формула (5.6) називається формулою Лейбніца.
276
Нехай задана функція y=f(x), де x − незалежна змінна. Диференціал
цієї функції dy y dx є деяка функція від х, при цьому від х залежить
тільки y . Якщо y у свою чергу − диференційована функція, то можна
визначити диференціал другого порядку. Диференціалом другого порядку
називається диференціал диференціала функції, тобто
d(dy)=d( y d x)= ydx2=d
2y,
або 2 2d y y dx .
Взагалі диференціалом n-го порядку називається перший диференціал
диференціала (n−1)-го порядку, що позначається так:
1 ( )n n n nd y d d y y dx .
Користуючись диференціалами різних порядків, похідну будь-якого
порядку можна подати як відношення диференціалів відповідних порядків:
2
( ) ( )
2; ;... .
nn n
n
dy d y d yy f x y f x y f x
dx dx dx (5.7)
Зауваження. Одержані рівності при n>1 є вірними тільки в тому
випадку, коли х є незалежною змінною.
5.4. Застосування похідної до дослідження функцій та побудови
графіків. Обчислення границь
5.4.1. Основні теореми диференційного числення
Теорема Ролля. Якщо функція f(x) неперервна на сегменті [a,b] має
похідну в інтервалі (a,b) і на кінцях відрізка [a,b] має рівні значення, то в
інтервалі (a,b) існує принаймні одна точка =x c , в якій похідна даної
функції дорівнює нулю, тобто '( )=0f c .
На рисунку 5.3. подана
геометрична ілюстрація теореми Ролля.
Теорема Лагранжа (про скінченні
прирости). Якщо функція f(x) неперервна
на сегменті [a,b] і має похідну f x в
інтервалі (a,b), то існує принаймні одна
y
A B
0 a b x
Рис. 5.3
277
така точка в інтервалі (a,b), що
f b f af
b a
.
Геометрично теорема Лагранжа тлумачиться так. На дузі AB (рис. 5.4)
неперервної кривої, до якої можна
провести дотичну в будь-якій точці,
знайдеться принаймні одна точка C, в
якій дотична паралельна хорді, що
стягує кінцеві точки цієї кривої.
Теорема Ролля випливає з теореми
Лагранжа як частковий випадок при
( ) ( ),f a f b тобто коли хорда АВ
паралельна осі Ох.
Теорема Коші (про середнє значення). Якщо функції f(x) та (x)
неперервні на сегменті [a,b], мають похідні f x та x в інтервалі
(a,b), при цьому 0x , то в інтервалі (a,b) існує принаймні одна точка
, така, що
f b f a f
b a
, де .a b
Теорема Коші є узагальненням теореми Лагранжа.
5.4.2. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
Правило Лопіталя використовується для розкриття невизначеностей
вигляду 0
0 та
та може бути сформульовано у вигляді теорем:
Теорема 1. Нехай однозначні функції f x та x диференційовані
всюди в околі точки a , тобто при x a , і перетворюються в нуль при
x a або прямують до нескінченності, при цьому 0x . ,Тоді, якщо
існує границя (скінченна чи нескінченна) відношення похідних у цій точці,
то відношення функцій має ту саму границю, тобто
0lim
0x a
f x
x
або
limx a
f x
x
.
Рис. 5.4
278
Теорема 2 ( x).
0lim
0x
f x
x
або
limx
f x
x
.
Зауваження. Підкреслимо ще раз , що існування границі відношення
похідних гарантує існування границі відношення функцій. Зворотне
твердження неправильне, тому що границя відношення функцій може
існувати при відсутності границі відношення похідних.
Приклад. sin ; 1 cos ;f x x x f x x
; 1.x x x
sin sinlim lim lim 1 1x x x
f x x x x
x x x
.
lim lim 1 cosx x
f xx
x
– не існує.
Обчислити границі, користуючись правилом Лопіталя.
Приклад 1. 2
4 4
1
ctg 1 0 2 1sinlim limsin 4 0 cos4 4 1 4 2x x
x x
x x
.
Приклад 2
22
3 3 2
2
12
2arctg 0 2 21lim lim lim0 3 313
1x x x
x x
x xx
xe e
x
.
Зауваження. Правило Лопіталя може бути застосовано декілька
разів, якщо відношення похідних знову призводить до невизначеності, а
самі похідні задовольняють умовам правила Лопіталя.
Приклад 3
33
33 3 3
3
3
3
1cos ln 3 03lim cos3lim cos3lim
1 3 0ln
cos3lim cos3.1
x
xx x xx
x
x
x
x x e ex exe e e
e e
ee
279
Приклад 4 3 2 2
20 0 0
0 0
1 10 0 16 2 2lim lim lim0 sin 0 cos 1
cos 12
0 1 0lim lim 1.
0 sin 0 cos
x xx
x x x
x x
x x
x x xe x e x
e x
x x xxx
e e
x x
Невизначені вирази інших типів: 0 , , 00 , 0 , 1 .
Розкриття невизначеностей вигляду 0 та проводять за
допомогою тотожних перетворень, які переводять ці невизначеності до
вигляду 0
0 або
, а потім застосовують таблицю еквівалентних
нескінченно малих та правило Лопіталя.
а) Нехай y f x x і 0
lim 0x x
f x
, 0
limx x
x
. Тоді
2
0lim 0 lim lim
1 0o o ox x x x x x
f x f xf x x
x
x x
, або
2
lim 0 lim lim1
o o ox x x x x x
x xf x x
f x
f x f x
.
Приклад 5
2 2
2 2
2
0 2lim tg 0 lim lim
12 0ctg
2 2sin
2
a a a
aa
a
a a
a
24.
a
Приклад 6
21
1 1 1
1 12
1
cos sincos1 1 2 2 22lim lim lim
10 ln 1cos ln 1 1
2 1
1 0 1lim lim .
2 0 2cos 2cos sin
2 2 2 2
x x x
x x
x xx
x xx
x
x
x x x
280
б) Якщо y f x x і 0
limx x
f x
, 0
limx x
x
, то записуємо
1x
y f xf x
,
lim lim 1o ox x x x
xf x x f x
f x
0 , 11 , lim
, 1ox x
AxA
f x A
.
Приклад 7
2 2 2
sin0 sin cos2lim lim lim 1
ctg 2cos cos 0 sinx x x
x xx x x x
x x x x
.
Приклад 8
3 3
1 3
0
lim lim 1 1 1 1
11 1 1 1 0
lim0
0
x x
z
a b cx a x b x c x x
x x x
az bz czzx
zz
2
3
0
11 1 1 1 1 1 1 1 1
3lim1z
az bz cz a bz cz b az cz c az bz
3
a b c .
Приклад 9
1 1
3 2
1131 132
3 1 2 11 1 0
lim lim02 1 3 1
6 1 1x x
x x
x xx x
2 1
3 2
1 21 11
3 32 2
1 13 2
1 1 03 2lim
6 0 0 01 16 1 1
2 3
x
x x
x x x x
281
2 1
3 6
2 1 1 11
3 6 3 2
10
lim0
3 1 2 1x
x x
x x x x
5
6
5 1 1 2 11
6 3 6 3 2
1
6lim
1 1 13 1 2
6 3 2
x
x
x x x x x
5
6
5 1 1 116 3 2 2
1 116 6lim
2 1211
2
0
x
x
x x x x
.
в) Якщо x
y f x
, то ми можемо дістати, відшукуючи границю,
невизначеності: 0 0; 0 ; 1 . В такому випадку попереднім перетворенням
степенево-показникового виразу за основною логарифмічною тотожністю ln aa e знаходимо спочатку границю виразу ln lny x f x , потім
границю ln yy e .
У результаті цих дій отримуємо “формальний” запис невизначеності
в показникові:
а) 0
0 0
0 ln 0 ln 0 1 0e e e e e ;
б) 0
0 0
0 ln 0 0 ln 0 0 1 00 e e e e e ;
в)
0 0
ln1 ln1 0 1 01 e e e e e .
При обчисленні границь зазвичай об’єднують застосування
еквівалентних нескінченно малих за правилом Лопіталя. Всі множники, які
наближаються до скінчених границь, що відмінні від нуля, відразу
замінюють на ці границі.
282
Приклад 1
0
00
1
lim1 1 1
lim ln 1lim1ln 1 ln 10 11
0lim 0
x x xxx xx
x
x
x e eee e
x
xx e e e e e e
.
Приклад 2
20 02
0
1sin 5 52 0 cos52 lim ln cos5 2 lim
0 2
0
55 lim0 25
0
lim cos5 1
sin5 ~ 5
.cos5 1
x x
x
xxx
x xxx
xx x
x
x e e e
x x
e ex
Приклад 3
11 2 ln 2
11 2lim ln 2 lim0 1lim 2
x
xx
x x
xxx xx
xx e e e
12 ln 2
2
0lim
2 12
ln 20 2.
x
x
x
x
x
x
e e
Приклад 4
1
2 2
ln tglim 2 ln tg lim
22 0 0
2
lim tgx x
xx x
xx
x
x e e e e
2
2
2
22 2
1 121 2 2 21tg cos limlim lim2 sin cos 2 sin2 2 00 1
xx x
x xx xx x xx
e e e e
.
Приклад 5
0 0
0 1lim ln 1 lim
0 1
0lim 1 1 .x x
mm kx m kkmx kxx
xkx e e e e
283
Зауваження. Існує ряд границь, в яких невизначеність може бути
усунена тільки за допомогою правила Лопіталя.
Наведемо деякі з них.
Приклад 1. Обчислити границю функції ,x
n
ay n N
x при x .
Розв’язання
Нехай 1,a тоді
2
1 2x x x x
ln lnlnlim lim lim lim
!1
nx xx x
n n n
a a a aa a a
nx nx n n x
.
Тут правило Лопіталя застосовано n разів.
Якщо 0 1a , то
lim 0x
nx
a
x .
Приклад 2
10 0 0
0 0
log 1 1lim log 0 lim lim
ln
1 1 1lim lim 0, 0, 1, .
ln ln
n aa n nx x x
n
nx x
xx x
x ax nx
x a a n Nn a n ax
5.4.3. Формула Тейлора
Нехай функція f(x) має всі похідні до (n+1)-го порядку включно, в
деякому проміжку, який містить у собі точку х=а, для будь-якого х з цього
проміжку є справедливою формула
1
2 11' '' ...
2! 1 !
nnf a
f x f a f a x a f a x a x an
1
1, 0 1
1 !
nnf a x a
x an
. (5.7)
Ця формула називається формулою Тейлора для функції f(x). Якщо у
формулі (5.7) покласти а=0, то вона запишеться у вигляді
12 101
0 ' 0 '' 0 ...2! 1 !
nnf
f x f f x f x xn
284
+
11, 0 1
1 !
nnf x
xn
. (5.8)
Формула (5.8) називається формулою Маклорена. Наведемо приклади
розкладення деяких функцій за формулою Маклорена.
Приклад 1. Розкладення показникової функції xf x e
2 1
1 ...1! 2! ! 1 !
n nx xx x x x
e en n
, 0 1 .
Приклад 2. Розкладення тригонометричних функцій
sin , cosf x x f x x :
3 5 2 11
2sin ... 13! 5! 2 1 !
kk
k
x x xx x R
k
,
де
2
2 2 12
2 !
kk k
k
xR f x o x
k
.
2 4 2
2 1cos 1 ... 12! 4! 2 !
kk
k
x x xx R
k ,
де
2 1
2 1 22 1
2 1 !
kk k
k
xR f x o x
k
.
Приклад 3. 1m
f x x :
21 ( 1)... 1
1 1 ...2! !
m n nm m m m m nx mx x x o x
n
.
Приклад 4. Розкладення логарифмічної функції ln 1f x x :
2
1ln 1 ... 1
2
nn nx x
x x o xn
.
Приклад 5. Наблизити функцію tgy x поліномом третього ступеня
в околі точки 4
a
.
Розв’язання
Перш за все обчислимо значення функції та її похідних до третього
порядку в заданій точці.
tgf x x , 14
f
.
285
2
1
cosf x
x , 2
4f
.
2 3cos 2cos sinf x x x x
, 44
f
.
2
2
4
sin2 cos 3
cos
xf x x
x
, 16
4f
.
Тоді задану функцію наближено можливо подати як 2 3
8tg 1 2 2 .
4 4 3 4x x x x
5.4.4. Умови монотонності функції. Екстремуми
Теорема 1. Якщо функція f(x) неперервна на [a,b] та
диференційована на (а,b), то для того, щоб вона була постійною на [a,b],
необхідно та достатньо, щоб 0 ,f x x a b .
Теорема 2. Нехай f(x) неперервна на [a,b] та диференційована на
(а,b), тоді:
а) якщо 0 ,f x x a b , то f(x) зростає на (а,b);
б) якщо 0 ,f x x a b , то f(x) спадає на (а,b).
Теорема 3. Якщо диференційована на проміжку (а,b) функція f(x)
зростає, то 0 ,f x x a b . Якщо функція f(x) спадає, то
0 ,f x x a b .
Точка x0 називається точкою локального максимуму (мінімуму)
функції y=f(x), якщо існує такий її окіл ( 0 0,x x ), в якому f(x0) є
найбільшим (найменьшим) серед усіх інших значень цієї функції. Точки
локального максимуму та мінімуму функції називаються точками
екстремуму цієї функції.
Теорема 4. (Необхідна ознака існування екстремуму.) Якщо
неперервна функція f(x) має в точці 0x x екстремум, то похідна функції
0 0f x або не існує.
Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються
критичними.
286
Теорема 5. (Достатня ознака існування екстремуму функції за
першою похідною)
Нехай 0x – критична точка. Тоді якщо функція f(x) має похідну
f x в деякому околі точки 0x і якщо похідна f x при переході через
точку 0x змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має
максимум, а при зміні знака з мінуса на плюс – мінімум.
Теорема 6. (Достатня ознака існування екстремуму функції за
другою похідною)
Якщо функція f(x) в деякому околі точки 0x неперервна та двічі
диференційована, при цьому 0( ) 0,f x 0 0f x , тоді якщо 0 0f x ,
то в точці 0x функція має мінімум; якщо 0 0f x , то функція в точці
0x має максимум.
Приклад 1. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції
lny x x .
ОДЗ: 0x .
Для знаходження проміжків монотонності функції необхідно:
1) Знайти ії похідну
1ln ln 1y x x x
x .
2) Визначити критичні точки (ті точки, в яких похідна дорівнює нулю або
не існує):
1 1ln 1 0 ln 1x x x e
e
, тобто 1
xe
.
Кожна критична точка ділить область визначення на два інтервали, на
кожному з яких похідна зберігає свій знак.
3) Визначити знак похідної на кожному з отриманих проміжків
(інтервалів):
На проміжку 1
0;e
функція спадає, бо на цьому проміжку 0y .
На проміжку 1
;e
функція зростає, бо на цьому проміжку 0y .
min + _
e
1
0
287
1x
e – точка мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює
знак з «–» на «+».
4) Значення мінімуму функції знаходиться в результаті підстановки
знайденого значення 1
xe
в аналітичний вираз для lny x x :
min
1 1 1 1ln 1y
e e e e .
Приклад 2. Знайти проміжки монотоності та екстремуми функції 2 4x
yx
.
ОДЗ: 0x .
1) Знайдемо похідну даної функції:
2 2
2 2 2
2 4 4 ( 2)( 2)x x x x x xy
x x x
.
2) Знаходимо критичні точки:
1,20 2y x ;
y не існує в точці 0x . Точка 0x не є критичною, тому що вона не
входить до ОДЗ.
3) Знайдемо проміжки монотонності, для цього визначимо знак похідної на
проміжках ;2 , 2;0 , 0;2 , 2; (див. рис.).
Функція спадає при 2; 0 0; 2x .
Функція зростає при ; 2 2;x .
2x – точка максимуму; 2x – точка мінімуму.
4) Обчислимо значення максимуму та мінімуму функції, підставляючи
відповідні значення 2x в аналітичний вираз для 2 4x
yx
.
Мінімум функції: min (2) 4y .
Максимум функції: max ( 2) 4y .
+ + max min _ _
0 -2 2
288
5.4.5. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину
Крива називається опуклою в точці 0x , якщо в деякому околі цієї
точки ( 0 0,x x ) вона розташована нижче своєї дотичної (рис. 5.5,а),
проведеної в точці з цією ж абсцисою 0x . Якщо крива розташована вище
своєї дотичної, то вона називається угнутою (рис. 5.5,б).
Теорема 1. Якщо функція f(x) у деякому околі точки 0x двічі
неперервно диференційована та 0 0f x , то необхідною й достатньою
умовою опуклості кривої у точці 0x є умова 0 0f x ; угнутості –
0 0f x .
Точка M( 1x ,f( 1x )) називається точкою перегину даної кривої
(рис. 5.5,а), якщо існує такий окіл точки 1x , що при x< 1x у цьому околі
угнутість кривої спрямована в один бік, а при x> 1x − в інший бік
(рис. 5.5,а).
Для того щоб точка 0x x була точкою перегину даної кривої
необхідно, щоб друга похідна функції в цій точці або дорівнювала нулю
( 0( ) 0f x ), або не існувала.
Теорема 2. (Достатня умова існування точки перегину) Нехай крива
визначається рівнянням y=f(x). Якщо 0 0f x або 0f x не існує та
при переході через 0x x похідна f x змінює знак, то точка кривої з
абсцисою 0x є точкою перегину.
Точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує,
називаються критичними точками другого роду.
Приклад 1. Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину
графіка функції 2ln 1y x x .
y
M
0 x0– x0 x0+ x
Рис. 5.5,б
y
M
0 x1 x0– x0 x0+ x
Рис. 5.5,а
289
ОДЗ: x R .
1) Знайдемо першу, а потім другу похідну функції. 2
2 2
2 2 11
1 1
x x xy
x x
.
2 22
2 22
2 3 2 3 2 3 2 3
2 22 2
2 2
2 2 22 2 2
2 2 1 2 1 22 1
1 1
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 1
2 2 1 (1 )(1 )2 2
1 1 1
x x x x xx xy
x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x x
2) Знайдемо точки, у яких друга похідна дорівнює 0 або не існує.
1,20 1y x .
Немає точок, у яких би y не існувала.
3) Критичні точки 1,2 1x ділять числову вісь на три інтервали, на
кожному з яких друга похідна зберігає знак.
Графік функції опуклий при ; 1 1;x ; угнутий при
1; 1x .
Усі критичні точки є точками перегину. Знайдемо ординати точок
перегину, підставляючи значення абсцис 1x в аналітичний вираз
заданої функції 2ln 1y x x , тобто
2
2
1 (1) ln 1 1 1 ln 2 1
1 ( 1) ln 1 1 1 ln 2 1
x y
x y
Точки перегину графіка даної функції мають такі координати:
1; ln2 1 , 1; ln2 1 .
-1 1
+ _ _
290
Приклад 2. Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину
графіка функції 3
2 1y x .
ОДЗ: x R .
1) Знайдемо першу похідну функції, а потім другу.
2
2 23 1 2 6 1y x x x x .
2 22 2 2
2 2 2 2 2
6 1 6 1 6 2 1 2
6 1 1 4 6 1 5 1
6( 1)( 1)( 5 1)( 5 1)
y x x x x x x
x x x x x
x x x x
2) Визначимо точки, у яких друга похідна дорівнює 0. Зазначимо, що
друга похідна визначена всюди, тому шукати точки, у яких y не існує, в
цьому випадку не треба.
1,2 3,4
1 50 1;
55y x x .
Критичні точки 1,2 3,4
51;
5x x ділять числову вісь на п'ять
інтервалів, на кожному з яких друга похідна зберігає знак.
Графік функції опуклий при 5 5
1; ; 15 5
x
; угнутий при
5 5
; 1 ; 1;5 5
x
.
Усі критичні точки є абсцисами точок перегину. Визначимо
ординати цих точок за допомогою формули 3
2 1y x .
+ _ + + _
5
5
-1 1
5
5
291
3
2 3
32 3
3
1 ( 1) 1 1 (1 1) 0
5 5 5 1 4 641 ( 1)
5 5 5 5 5 125
x y
x y
Точки перегину графіка даної функції мають координати:
1; 0 , 1; 0 , 5 64
;5 125
, 5 64
;5 125
.
5.4.6. Асимптоти кривих
Визначення. Під асимптотою графіка функції y=f(x) розуміють
пряму, до якої точка кривої необмежено наближається при віддаленні в
нескінченність, тобто відстань від прямої до змінної точки на кривій
наближується до нуля, якщо точка, рухаючись уздовж кривої, необмежено
віддаляється ( x ).
Очевидно, що пряма 0x x буде вертикальною асимптотою, якщо
0
limx x
f x
. При знаходженні вертикальних асимптот досліджуються
точки розриву функції другого роду. У цих точках обчислюються
однобічні границі.
Приклад. 2
1
1y
x
.
Дана функція не визначена (тобто має нескінченний розрив) у точках
1x .
Обчислимо такі границі:
21 0
21 0
1lim ;
1
1lim .
1
x
x
x
x
Прямі 1x є вертикальними асимптотами, тому що 1
limx
y x
.
Рівняння похилої асимптоти має вигляд y=kx+b. Зокрема, якщо k=0,
асимптота є горизонтальною. Якщо похила асимптота існує, то k і b
обчислюються за формулами:
lim , lim .x x
f xk b f x kx
x
292
Якщо хоча б одна з границь не існує, то похилих асимптот крива не
має. Асимптоти можуть бути різними при x й при x .
Приклад 1. Знайти асимптоти графіка функції 2 3 4
1
x xy
x
.
Розв'язання. Вертикальна асимптота: 1x , тому що 2
1 0
3 4 2lim
1 0x
x x
x
.
Знайдемо похилі асимптоти. 2 2
2
2
3 4 ~3 4
lim 1( 1) ( 1) ~
x
x
x
x x xx x
kx x x x x
.
2 2 23 4 3 4lim lim
1 1
2 4 ~ 22 4
lim 21 ~1
x x
x
xx
x x x x x xb x
x x
x xx
x xx
.
Таким чином, рівняння похилої асимптоти має вигляд 2y kx b x ,
тобто 2y x – рівняння похилої асимптоти графіка даної функції.
На рисунку зображено схематично поведінку графіка функції
поблизу асимптот.
Приклад 2. Знайти похилі асимптоти графіка функції
2arctgy x x .
-2
2 1
y
x
293
Розв'язання
Очевидно, що задана функція не має вертикальних асимптот. Для
визначення похилих асимптот знайдемо k та b .
arctglim 1 2 1
x
xk
x
, тому що
arctg 2lim 0x
x
x
.
1 lim 2arctg lim ( 2arctg ) 22x x
b x x x x
.
2 lim 2arctg lim ( 2arctg ) 22x x
b x x x x
.
Графік даної функції має дві різні асимптоти: y x при x
та y x при x .
На рисунку зображено схематично поведінку графіка функції
поблизу асимптот.
5.4.7. Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка
1) Визначення області існування функції.
2) Дослідження функції на неперервність. Визначення точок розриву
функції і їхнього характеру. Знаходження вертикальних асимптот.
3) Дослідження функції на парність і непарність.
4) Дослідження функції на періодичність.
5) Знаходження похилих і горизонтальних асимптот.
6) Дослідження функції на екстремум. Визначення інтервалів
монотонності функції.
y
x
294
7) Визначення точок перегину функції, інтервалів опуклості й
угнутості.
8) Знаходження точок перетинання з осями координат.
9) Дослідження поведінки функції на нескінченності.
Приклад 1. Побудувати графік функції
3
22 1
xy
x
.
1) Визначимо область існування функції: 2
1 0, 1.x x
2) Досліджуємо неперервність функції: х= –1 – точка розриву
функції другого роду, тому що
3
21 0lim
2 1x
x
x
.
Отже, х= –1 – вертикальна асимптот. Зобразимо схематично поведінку
графіка функції поблизу вертикальної асимптоти.
3) Досліджуємо функцію на парність:
3 3
2 2; , .
2 1 2 1
x xy x y x y x y x y x
x x
Функція загального вигляду.
4) Функція неперіодична, тому що не існує такого числа Т, щоб
виконувалася рівність ,f x T f x x D f .
5) Визначимо похилі асимптоти:
2
2 2
233
2 2
3 3 2 2
2 2 2
( ) 1 1lim lim lim ,
22 1 12 1
11lim lim lim
22 1 2 1
12
2 2lim lim lim 1.
2 1 2 1 12 1
x x x
x x x
x x x
f x xk
x x
x
x x xxb f x kx x
x x
x x x x x x x
x x
x
Отже, 1
12
y x – похила асимптота.
295
6) Визначимо інтервали монотонності і екстремуми функції. Для
цього необхідно знайти її першу похідну і визначити точки, у яких вона
дорівнює нулю або не існує:
2 2 2 2 222 3
4 4 4
3 6 3 2 2 4 36 1 4 1
4 1 2 1 2 1
x x x x x x x xx x x xy
x x x
2 2
4 3
2
1 3 30,
2 1 2 1
0, 0, 3 0, 3, 1 0, 1.
x x x x xy
x x
x x x x x x
y + - + +
-3 -1 0 х
При ; 3 1;0 0;x функція зростає; при 3; 1x
функція спадає. max
27 273
2 4 8y
.
7) Визначимо інтервали опуклості та угнутості, а також точки
перегину. З цією метою знайдемо другу похідну:
3 22 2
2
2 3 1 3 1 31
2 6
x x x x x x xy
x
3 2 2 3 2
4 4
1 3 6 3 6 3 9 30, 0, 1
2 1 4
x x x x x x xx x
x x
.
При ; 1 1;0x графік опуклий; 0;x графік угнутий.
Точка О(0;0) − точка перегину.
8) Знайдемо точки перетинання графіка з осями координат: х=0, у=0.
9) Досліджуємо поводження функції на нескінченності:
3
2lim .
2 1x
x
x
y – – +
-1 0 x
296
Приклад 2. Побудувати графік функції ln x
yx
.
1) ОДЗ: 0x .
2) 0x – точка розриву функції, тому що
0
ln ln( 0) 1lim ( )
0 0 0x
x
x
.
0x – вертикальна асимптота (однобічна, тому що 0x ).
3) Функція загального вигляду, тому що вона визначена на півосі.
4) Функція не періодична.
5) Знайдемо похилі асимптоти y kx b :
2 2
1( ) ln 1 1
lim lim lim lim 0.2 2
1ln 1 1
lim ( ) lim lim lim 0.1
x x x x
x x x x
f x x xkx xx x
x xb f x kxx x
0y – горизонтальна асимптота.
6) Знайдемо інтервали монотонності і екстремуми функції.
2 2
1ln
1 lnx x
xxyx x
.
297
Знайдемо критичні точки:
0 1 ln 0 ln 1y x x x e
y не існує в точці 0x . Точка 0x не може бути критичною, тому
що в ній функція не визначена.
Критична точка ділить область визначення функції на два інтервали,
на кожному з яких перша похідна зберігає знак.
На інтервалі 0, e функція зростає, а на інтервалі ,e функція спадає.
Точка x e – точка максимуму.
Максимум функції: max
ln 1( )
ey e
e e .
7) Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину
графіка функції.
2
2 4 4
1(1 ln ) 2
1 ln 2 (1 ln )x x x
x x x xxyx x x
3 3
1 2 2ln 2ln 3x x
x x
.
Знаходимо точки, у яких друга похідна дорівнює 0 або не існує. 3
23
0 2ln 3 0 ln2
y x x x e e e .
y не існує в точці 0x . Точка 0x не може бути абсцисою точки
перегину, тому що в ній функція не визначена.
Критична точка x e e ділить область визначення функції на два
інтервали, на кожному з яких друга похідна зберігає знак.
max
e
_ +
0
ee
+ _
0
298
Графік функції опуклий на інтервалі 0; e e , тому що на цьому
інтервалі 0y ; угнутий на інтервалі ;e e , тому що на цьому
інтервалі 0y .
При переході через точку x e e друга похідна змінює знак,
випливає, що ця точка є абсцисою точки перегину графіка функції.
Знайдемо ординату точки перегину:
3
2ln ln 3
2
e e ey e e
e e e e e e .
Точка 3
;2
e ee e
– точка перегину графіка функції.
8) Знайдемо точки перетинання з осями координат.
ln0 0 ln 0 1
xy x x
x .
Точка (1; 0) – точка перетинання з віссю Ox .
9)
1ln 1
lim lim lim 01x x x
x x
x x
, тобто при x функція
наближується до нуля.
Побудуємо графік функції.
ee2
3
e
1
y
x ee e 1
299
5.4.8. Найбільше і найменше значення функцій на відрізку
Нехай функція y f x неперервна на сегменті ,a b . Тоді, за
теоремою Вейєрштрасса, на цьому відрізку вона досягає свого
найбільшого значення і так само свого найменшого значення. Ці значення
можуть досягатися на кінцях відрізка або у внутрішніх точках, які є
точками екстремуму функції. Звідси випливає така схема відшукання
найбільших і найменших значень:
1) Знайти всі критичні точки функції, що лежать усередині відрізка
,a b .
2) Обчислити значення функції в знайдених критичних точках і на
кінцях відрізка.
3) Із усіх отриманих значень вибрати найбільше і найменше. Вони й
будуть шуканими значеннями, тобто значеннями абсолютного максимуму і
мінімуму.
Приклад 1. Визначити найбільше й найменше значення функції
3 23 1f x x x на відрізку 1,4 .
Розв'язання
23 6 3 2f x x x x x .
3 2 0x x при 0x й 2x .
Таким чином, дана функція має дві стаціонарні точки 1 0x і 2 2x
усередині відрізка 1,4 . Обчислимо значення функції в цих точках і на
кінцях відрізка:
0 1; 2 3; 1 3; 4 17f f f f .
Випливає, найбільшого значення функція набуває на правому кінці
відрізка, найменшого – у внутрішній точці х=2 і на лівому кінці відрізка.
За допомогою теорії екстремумів розв’язується багато задач
геометричного і фізичного характерів. Припустимо, що задано дві величини,
які зв'язані функціональною залежністю, і потрібно відшукати значення
однієї з них (укладене в деякому інтервалі, що може бути й необмеженим),
при якому інша набуває найменшого або найбільшого значення.
Для розв'язання такої задачі насамперед варто скласти вираз для
функції, за допомогою якої одна величина виражається через іншу, а потім
знайти найбільше або найменше значення отриманої функції в даному
інтервалі.
300
Приклад 2. Які повинні бути розміри циліндра, щоб при даному
об'ємі його повна поверхня була найменшою?
Розв’язання. Позначимо через R радіус основи циліндра і через H
його висоту. Тоді його повна поверхня 22 2S R RH .
Оскільки об'єм циліндра заданий, то одна із шуканих величин, наприклад
H , може бути виражена через R із формули 2V R H , звідки 2
VH
R
.
Підставляючи цей вираз у формулу для S , одержимо
22V
S RR
.
Таким чином, S є функцією однієї змінної R , де 0,R .
Знайдемо найменше значення цієї функції в даному інтервалі:
2 22 2 ; 2 0,
dS V VR R
dR R R
Звідки 3
2
VR
.
Оскільки S при 0R і S при R та усередині цього
інтервалу маємо лише одну стаціонарну точку, то дійдемо висновку, що
при
3
2
VR
повна поверхня S й буде найменшою. При цьому
32
22
V VH
R
.
Приклад 3. Прямо над центром круглого майданчика радіуса R
потрібно повісити ліхтар. На якій висоті потрібно це зробити, щоб він
якнайкраще освітлював доріжку, яка обмежує майданчик (Степінь освітлення
предмета прямо пропорційний косинусу кута падіння променів і обернено
пропорційний квадрату відстані предмета від джерела світла).
Позначимо степінь освітленості через Q . Тоді 2
coskQ
AB
(див. рис. 5.7). Позначимо шукану висоту BC через x .
AC R . Тоді 2 2 2AB x R , 2 2
cosBC x
AB x R
.
Рис.5.7
5ю1
B
A
С
301
Таким чином,
3 2
2 2
kxQ
x R
, де 0,x . Знайдемо похідну від
утвореної функції
3 2 1 22 2 2 2 2 2
3 5 22 2 2 2
32 2
2 0k x R kx x R x k R x
Q
x R x R
.
Звідси знайдемо 2
2
Rx . Оскільки при 0x і x 0Q x , а
усередині інтервалу маємо єдину стаціонарну точку і
0 0,Q x x , то в знайденій точці 2
2
Rx функція Q x набуває
найбільшого значення. Випливає, ліхтар треба повісити на висоті
2
2
RBC .
Приклад 4. До ріки шириною a м під прямим кутом побудовано
канал шириною b м (рис.5.8.). Якої максимальної довжини кораблі можуть
входити в цей канал?
Нехай l AC – довжина корабля. Позначимо ACN через .
Очевидно, ABM . Тоді довжину корабля AC AB BC можна
знайти, розглядаючи прямокутні трикутники AMB та BNC .
Із трикутника AMB : cos
aAB
, а із трикутника BNC :
sin
bBC
.
Випливає, що sin cos
b al
, де 0
2
.
N
C
b
a
B
M A
Рис. 5.8
302
Знайдемо найменше значення функції ( )l на даному інтервалі.
2 2
cos sin0
sin cos
dl b a
d
або 3 3cos sin 0b a , звідки знаходимо
3arctgb
a .
Оскільки при 0 і 2
l , то при 3arctg
b
a функція
( )l набуває мінімального значення, тобто максимально припустима
довжина корабля є:
3 3sin arctg cos arctg
b al
b b
a a
.
1 3
32 3 2 3 2 3
1cos arctg
1
b a
a a bb
a
;
1 3
32 3 2 3
sin arctgb b
a a b
.
Тоді 3 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3l b a b a a b a b .
5.5. Елементи диференціальної геометрії
Диференціал дуги плоскої кривої обчислюється за формулами:
а) якщо крива задана рівнянням в явному вигляді y f x , тоді
2
1ds f x dx ;
б) якщо крива задана параметричними рівняннями
x t
y t
, тоді
2 2
t tds dt .
Кривиною кривої називається границя відношення кута суміжності
двох дотичних до нескінченно малої дуги кривої: 0
lims
ks
.
303
Під кутом суміжності розуміють кут між дотичними, які проведено в
початковій та кінцевій точках дуги 1 2M M (рис.5.9).
Обчислюється кривина за формулами:
а) якщо крива явно задана, то
3/ 2
21
fk
f
;
б) якщо крива задана параметрично, то
3/ 2
2 2k
.
Радіусом кривини кривої називається величина 1
Rk
.
Центр кривини кривої лежить на нормалі, в бік угнутості кривої, на
відстані радіуса кривини від відповідної точки кривої.
Геометричне місце центрів кривини називається еволютою даної
кривої. Сама ж крива по відношенню до своєї еволюти називається
евольвентою.
5.6. Фізичні застосування похідної
Значення похідної в даній точці характеризує швидкість зміни
функції в цій точці в порівнянні зі швидкістю зростання незалежної
похідної. Враховуючи це, можно використовувати поняття похідної при
визначенні швидкості різних фізичних процесів.
Приклад 1. Резервуар, який має форму напівкулі з внутрішнім
радіусом R(м), заповнюється водою зі швидкістю Q(л) на секунду.
Визначити швидкість підвищення рівня води в резервуарі в той момент,
коли він буде дорівнювати 0,5 R.
Розв’язання. Позначимо через h рівень води в метрах, а через V її
об’єм в м3.
М1
М2 s
Рис. 5.9
304
Об’єм сегмента кулі: 2
3
hV h R
.
Продиференціюємо цю рівність за часом t:
2 212 2
3 3
dV dV dh h dh dhh R h Rh h
dt dh dt dt dt
.
За умовою 3
0,001dV м
Qdt с
.
Отже,
0.001
2
dh Q м
dt h R h с
.
При 2
Rh отримаємо
2
0,004
3
dh Q м
dt сR
.
Приклад 2. Пліт підтягується до берега за допомогою каната, який
намотується на коловорот зі швидкістю 3 м/хв. Визначити швидкість руху
плоту в той момент, коли відстань від нього до берега буде дорівнювати
25 м, якщо коловорот розташований на березі вище поверхні води на 4 м.
Розв’язання. Позначимо через S довжину каната між коловоротом та
плотом і через x – відстань від плоту до берега, тоді 2 2 24S x .
Продиференціюємо це співвідношення за часом t:
2 2dS dx
S xdt dt
, звідки dx S dS
dt x dt .
Оскільки 3dS
dt ; 25x , то 2 225 4S .
Звідки одержуємо 2 225 4
3 3.0325
dx
dt
м/хв.
Приклад 3. Драбина довжиною 10 м одним
кінцем притулена до вертикальної стіни, а іншим
спирається на підлогу. Нижній кінець відсувається від
стіни зі швидкістю 2 м/хв. З якою швидкістю
опускається верхній кінець драбини, починаючи з того
моменту, коли основа знаходиться на відстані 6 м від
стіни? Який напрямок має вектор швидкості?
Розв’язання. Нехай драбина в момент часу t
займає положення AB (рис 27). Відрізок ОВ дорівнює 2t м, довжину АО
x
O B
A
y
Рис. 5.8
305
знайдемо за теоремою Піфагора: 2100 4AO S t t , де 0 5t .
Закон зміни швидкості опускання верхнього кінця драбини знайдемо
як похідну від функції S t .
Нижній кінець драбини буде знаходитися на відстані 6 м від стіни в
кінці третьої хвилини. При цьому 3 12/8 (м/хв). Знак мінус вказує
на те, що вектор швидкості буде спрямований вертикально вниз.
Приклад 4. Без урахування опору повітря та внутрішнього тертя
струмінь води, що витікає з насадки дощувального апарата під кутом до
горизонту, рухається за законом
0
2
0
cos ,
sin ,2
x t
gty t
(5.9)
де 0 – початкова швидкість струменя; g – прискорення вільного падіння.
Визначити величину швидкості струменя в довільний момент часу t та в
момент його удару об землю.
Розв’язання. Вилучимо в струмені води елементарну частинку.
Траєкторія її польоту – струмінь, який може бути описаний
параметричними рівняннями (5.9). Вектор швидкості руху частинки в
довільний момент часу t спрямований по дотичній до траєкторії. Величини
x та y складових вектора швидкості по осях координат Ox та Oy
дорівнюють відповідно похідним від функцій x t та y t за часом t:
0 cosx tx , 0 siny ty gt .
Величину швидкості руху частинки, а отже, і струменя, в
довільний момент часу t знайдемо як геометричну суму величин її
складових x та y :
2 22 2 2 2 2
0 0 0 0cos sin 2 sinx y gt gt g t .
Момент удару струменя об землю знайдемо з умови y=0, що дає
0 02 / sint g . Підставляючи знайдене значення 0t у вираз для ,
знайдемо величину швидкості струменя в момент його удару об землю:
2 2 2
2 0 00 0 0 2
2 4 sin2 sin sin
g gt
g g
2 2 2 2 20 0 0 04 sin 4 sin .
306
Приклад 5. Швидкість руху тіла пропорційна часу. Скласти
рівняння руху тіла, якщо відомо, що за перші 3 секунди руху воно
пройшло шлях довжиною 18 м.
Розв’язання. Згідно з умовою, швидкість руху пропорційна часу,
тобто може бути подана у вигляді V kt , де k − коефіцієнт
пропорційності. Знайдемо прискорення, з яким рухається тіло. Як відомо,
прискорення визначається як похідна від швидкості a V k . Рух тіла
рівноприскорений (прискорення є сталою величиною), тобто воно
описується рівнянням 2
02
atS V t . В початковий момент часу 0 0t ,
швидкість тіла дорівнює 0 0 0V kt . Тоді закон руху тіла виглядає так:
2
2
ktS . В момент часу 3t с цей шлях дорівнює 18S м, знайдемо
значення коефіцієнта пропорційності k − 23
18 42
kk (м/с 2 ). Рівняння
руху тіла 2
244
2
tS t (м).
Приклад 6. Залежність шляху від часу при прямолінійному русі
точки задається рівнянням 5 2
sin5 8
t tS
( t – в секундах, S – в
метрах). Визначити швидкість руху в кінці другої секунди.
Розв’язання. Знаходимо похідну шляху за часом
4 1cos
4 8
dS tt
dt
.
При 2t маємо 1
16 2 16,188
dS
dt . Тобто 16,18v м/с.
Приклад 7. Заданий закон зміни кількості електрики Q , яка протікає
через поперечний переріз провідника за час t : 2cos2Q t . Знайти силу
струму в будь-який момент часу; при 2t c .
Розв’язання. Сила струму в будь-який момент часу визначається як
4sin 2dQ
I tdt
, в момент часу 2t c сила струму дорівнює
4sin4 0I (а).
307
Контрольні приклади до гл. 5
Приклад 5.1. Знайти похідну функції 35
43 7 logy x x
x .
Розв'язання. 2
7y x
xx
.
Приклад 5.2. Знайти похідну функції 3sin tg2 5y x .
Розв'язання.
2
2sin cos tg2 5
cosy x
.
Приклад 5.3. Скласти рівняння дотичної до кривої arcsin xy e в точці
0 0;1M .
Розв'язання. Запишемо рівняння дотичної, проведеної до графіка
функції y f x : 0y f f x x .
Знайдемо похідну:
1
y x e
, 0x ;
визначити кутовий коефіцієнт дотичної: 0y x . Рівняння дотичної:
y x .
Приклад 5.4. Знайти диференціал функції 6
ctge x
y x
.
Розв'язання. Запишемо формулу для диференціала функції:
dy dx . Знайдемо y x за допомогою логарифмічного
диференціювання: 2
1 1ln lnctg lnctg
sin
yy x x
y x
.
6
2
1 1ctg lnctg
sin
e xdy x x
x
.
Приклад 5.5. Обчислити приблизно 0,01 33 0,01 .
Розв'язання. Формула для наближених обчислень:
0 0 0y x x y x y x .
Уведемо функцію 33xy x , 0 0.01x x , 0 0;x x ,
0y x . 03 3xy x x y x ; 0,01 33 0,01 0,01 .
308
Приклад 5.6. Знайти другий диференціал функції 20 1cos3
6y x x .
Розв'язання. Запишемо формулу для обчислення диференціала
другого порядку: 2 2d y dx .
19 siny x , cos3y x x , 2 cos3d y x x .
Приклад 5.7. За допомогою правила Лопіталя обчислити границю: 2 0.01lim x
xx e
.
Розв'язання. 2
2 0.01 2lim lim lim limx
x x xx x x x
x x xx e
e e e
=1 1
limxx e
.
Лабораторна робота 5. Обчислення похідних і
побудова графіків функцій у системі Maple
Завдання 1. Знайти похідні функцій, заданих явно:
1)
5
8sin 2arctg 3 5 3
ln 1 cos
x xy x
x
, 2)
3
3
1arccos5
1
xy x
x
,
3) cos5x
y x ;
4) знайти похідну параметрично заданої функції
3 sin
3 1 cos
x t t
y t
;
5) знайти похідну функції, заданої неявно: sin( ) 4x y x y ;
6) написати рівняння дотичній і нормалі до кривої 3 23 2y x x в точці з
абсцисою 0 1x .
Виконання. Для знаходження похідних явно заданих функцій
використаємо команду diff(expr,var), де expr – вираз, що
диференціюється, var – змінна, за якою ведеться диференціювання.
1) > diff(arctan(3*x+5)*3^sin(2*x)+x^(5/8)/ln(1+cos(x)),x);
sin 2sin 2
2
33 2arctg 3 5 3 cos 2 ln 3
1 3 5
xx
x xx
309
5
8
3 2
8
sin5 1
8 ln 1 cos 1 cosln 1 cos
x x
x xx x
,
2) > diff(((1-x^3)/(1+x^3))*arccos(5*x),x);
3 2 32
3 2 13 3 2 2
1 arccos 5 1arccos 53 3 5
1 1 1 1 25
x x x xx x
x x x x
,
3) > diff((cos(5*x))^x,x);
sin 5cos 5 ln cos 5 5
cos 5
x x xx x
x
.
4) Для обчислення похідної параметрично заданої функції використаємо
формулу
dydtdy
dxdxdt
, позначимо dy
dx proizv.
> proizv:=diff(3*(1-cos(t)),t)/diff(3*(t-sin(t)),t);
3sin
3 3cos
tproizv
t
,
спрощуємо отриманий вираз
>simplify(proizv);
sin
1 cos
t
t
.
5) Для одержання явного виразу похідної функції, заданої неявно,
складемо невелику програму.
> restart;
> alias(y=y(x)): (задаємо y як функцію від x),
> expr:=sqrt(x)*y+sin(x+y)=4; (рівняння неявно заданої функції); 1
2exp : sin( ) 4r x y x y ;
> s:=diff(expr,x); 1
21
2
1: cos( ) 1 0
2
y dy dys x x y
dx dxx
;
> p:=indets(s); (ця команда перераховує всі компоненти у виразі s, що
містять змінні):
310
1
2
1
21
: , cos , , , , dy
p x y x y xdx
x
,
оскільки вираз dy
dx
знаходиться в списку першим, то він сприймається
пакетом як 1p . Розв'яжемо рівняння s щодо змінної 1p і присвоємо
отримане значення змінної proiz, це й буде похідна функції , заданої
неявно.
> proiz:=solve(s,p[1]);
1
2
1
2
2cos1:
2cos
y x y xproiz
x x y x
.
6) У даній програмі прийняті позначення f – рівняння кривої, x0,y0 −
координати точки, через яку проходять шукані дотична і нормаль, k1 −
кутовий коефіцієнт дотичної, k2 − кутовий коефіцієнт нормалі, k −
аналітичний вираз похідної df
dx
.
> restart;
> f:=x^3-3*x^2-2; 3 2: 3 2f x x ;
> x0:=1;
x0 := 1,
> y0:=subs(x=x0,f); (обчислення 0y );
y0 := -4,
>k:=diff(f,x); 2: 3 6k x x ;
> k1:=subs(x=x0,k); (обчислення значення похідної при 0x x );
1: 3,k
> k2:=-1/k1;
12: ,3
k
> 'KASATELNAYA';(y-y0)=k1*(x-x0); (складається і виводиться рівняння
дотичної):
KASATELNAYA
4: 3 3,y x
311
> 'NORMAL';(y-y0)=k2*(x-x0); (складається і виводиться рівняння
нормалі),
NORMAL
1 1
4:3 3
y x .
Завдання 2. Методами диференціального числення дослідити
функцію
3
22 1
xf x
x
і побудувати її графік.
Виконання. Дане завдання зручніше виконувати в інтерактивному
режимі. Для визначення точок, у яких порушується неперервність виразу
expr за змінною x, буде використана команда discont(expr,x); для
побудови графіка функції буде використана команда plot([name1,name2],
x=x1..x2, y=y1..y2, color=[black,black], thickness=[1,3]), де name1,name2 –
ідентифікатори або рівняння зображуваних ліній, x1..x2, y1..y2 – межі
зміни змінних x і y на графіку, color[], thickness[] – параметри, що керують
кольорами і товщиною зображуваних кривих. Уведено наступні
позначення: f – досліджувана функція, а – масив, що містить координати
точок розриву (формується автоматично при виконанні команди discont);
r1, r2 – значення лівосторонньої і правосторонньої границь у точці
розриву; k1, b1 – кутовий коефіцієнт і вільний член у рівнянні похилої
асимптоти при x( eqn1 – рівняння цієї асимптоти); k2, b2, eqn2 –
аналогічні величини при x ; proizv – вираз похідної функції f; krit1 –
масив значень критичних точок; rez1, rez2, rez3, rez4 – значення похідної
на інтервалах монотонності; maximum – значення функції в точці
максимуму; asymp − ідентифікатор похилої асимптоти.
> restart:
> f:=x^3/(2*(x+1)^2); (задаємо функцію)
3
2
1:
2 1
xf
x
,
> a:=discont(f,x); (знаходимо точку розриву),
: 1a ,
знаходимо однобічні границі,
> r1:=limit(f,x=a[1],left);
> r2:=limit(f,x=a[1],right);
1:r , 2:r .
312
Оскільки обидві однобічні границі нескінченні, то в точці 1x функція
має розрив другого роду, тобто, 1x − рівняння вертикальної асимптоти.
Знаходимо похилі асимптоти:
> k1:=limit(f/x,x=infinity);
11:
2k ,
> b1:=limit(f-k1*x,x=infinity);
1: 1b ,
> eqn1:=y=k1*x+b1;
11: 1
2eqn y x ,
> k2:=limit(f/x,x=-infinity);
12 :
2k ,
> b2:=limit(f-k2*x,x=-infinity);
2: 1b ,
> eqn2:=y=k2*x+b2;
12: 1
2eqn y x .
Графік функції має одну похилу асимптоту при x .
> asymp:=k1*x+b1:
> proizv:=simplify(diff(f,x)); (обчислюємо похідну і спрощуємо
отриманий вираз ),
2
3
31:
2 1
x xproizv
x
;
> eqn3:=proizv=0; (дорівнюємо похідну нулю),
2
3
313: 0
2 1
x xeqn
x
;
> solve(eqn3); (знаходимо точки, у яких похідна дорівнює нулю),
3,0,0 ;
> discont(proizv,x); (знаходимо точки, у яких похідна не існує),
1 ;
> krit1:=[-3,-1,0]; (масив критичних точок першого роду),
1: 3, 1,0krit ;
313
інтервали монотонності функції , 3 , 3, 1 , 1,0 , 0, .Визначимо
знак похідної на кожному з інтервалів.
> rez1:=subs(x=-4,proizv);
81:
27rez ,
на інтервалі , 3 похідна додатна, тому функція зростає;
> rez2:=subs(x=-2,proizv);
2: 2rez ,
на інтервалі 3, 1 похідна від'ємна, тому функція спадає;
> rez3:=subs(x=-0.5,proizv);
3: 2,50000rez ,
на інтервалі 1,0 похідна додатна, тому функція зростає;
> rez4:=subs(x=1,proizv); 1
4 :4
rez ,
на інтервалі 0, похідна додатна, тому функція зростає. У точці 3x
похідна змінює знак з “+” на “-”,
отже, у цій точці функція має максимум. Обчислимо значення функції в
точці максимуму.
> maximum:=subs(x=-3,f);
27max :
8imum
.
Будуємо графік функції.
>plot([f,asymp,[[-1,10],[-1,-10]]],x=-10..10,y=-10..10, color=[black,black],
thickness=[2,1,1]);
314
Контрольні завдання до гл. 5
Завдання 1. У задачах – пункти “1”, “2”,”3”,”4” – знайти похідні
даних функцій; у пункті “5” продиференціювати неявно задану функцію; у
пункті “6” обчислити наближено за допомогою диференціала значення
функції при даному значенні х; у пункті “7” розв'язати задачу.
5.1.1.
sin 32 5 3
3 2
ln1) arctg2 ; 2) ln tg ; 3) ln ;
1,
4) 5) sin sin 0; 6) 3 7, 2,03.1
;
xx xy e x y x y x
x
tx
txy x a y x x x
ty
t
7) Написати рівняння дотичної до кривої y=xlnx , що паралельна
прямій y−x−5=0.
5.1.2.
2 3
2
2 3 arcsin ( 1)
3 2
1) ( 2 3) ; 2) 5 ; 3) cos3 ;ln
( sin ),4) 5) sin cos2 5 ; 6) , 1,12.
(1 cos );
xx x x
x x
xy x x e y y x
x
x a t ty x a x a y e x
y a t
7). Написати рівняння нормалі до кривої y=x−1/x, яка паралельна
прямій 2y+x+3=0.
5.1.3.
ln2
2
22 2
51) tg3 ; 2) arccos ln ; 3) sin3 ;
17
ln 1 ,4) 5) 2 sin( ) cos ; 6) , 1,97.
arctg ;
xx
x
xy x x y y x
xx
x ty xy x y a y e x
y t t
7) Записати рівняння дотичної до кривої 2y x , яка
перпендикулярна до прямої y – 4x – 4=0.
5.1.4.
32
3
24 4 2 2 2
cos3 sin3 31) ; 2) sin cos3 ; 3) sin ;
ln
ln ,
4) 5) ; 6) 3 2 , 3,011.1;
sin
xxe x xy y x y
x x
x t t
x y x y y x x xty
t
315
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 2
3
1
1
xy
x
в точці
з абсцисою x0=−1.
5.1.5.
2
3 tg33
3
3
2 31) arccos2 ; 2) ln 3 ; 3) sin ;
tg3
cos ,4) 5)sin( ) cos( ) sin ;6) arcsin3 , 0,05.
sin ;
xxxy x x y x y x
x
x a tx y x y a y x x
y b t
7) Записати рівняння дотичної до кривої 2
2
3 6x xy
x
в точці з
абсцисою x0=3.
5.1.6.
13 ln
22cos sin3 7
1) cos ; 2) ; 3) ;arcsin 2
cos ,4) 5) ; 6) arctg , 0,98.
sin ;
x
x x
y x
xy x x y e y x
x
x a tx y y x x
y b t
7) Записати рівняння дотичної до кривої 2
1
1y
x
, що
перпендикулярна прямій у=2x.
5.1.7.
22 2
sin ln cos 2
23
3
1) 3 ; 2) ; 3) ;arctg2
4 ,4) 5)cos( ) sin( ); 6) 2 , 2,08.
;
xx x
x
x ey y y x
x
x txy xy y x
y t t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 2
2
1 3
3
xy
x
в
точці з абсцисою x0=1.
5.1.8.
tg 25 arctg 2cos41) ; 2) sin 4 ; 3) cos2 ;
1 tg4
1 sin ,4) 5) tg ; 6) ln , 1,13.
cos ;
xx
x a
x xy y y x
x
x t tye xy e y x x
y t t
7) Записати рівняння дотичної до кривої y=xcosx, яка
перпендикулярна прямій y+x+3=0.
316
5.1.9.
3
3cos tg3
3
2
2
21) ; 2) ; 3) tg3 ;
1 cos5
1,
14) 5) arctg ; 6) 1 , 3,01.
;1
xxx xx
y y e y xx
tx
xt y x y x xyt
yt
7) Записати рівняння нормалі до кривої 21 xy e , яка
перпендикулярна прямій y+2x−4=0.
5.1.10.
5
33
3
11) cos4 ; 2) ln tg ; 3) sin5 ;
1 2
sin , 14) 5) sin cos( ) 0; 6) , 0,02.
1cos ;
x
t
t
xy x x x x y y x
x
x e t xy x x y y x
xy e t
7) Записати рівняння нормалі до кривої 3 1y x в точці з абсцисою
x0=0.
5.1.11.
3 3
3 ln
3
3
sin 21) tg3 ; 2) cos 5 ; 3) ;
cos3
5cos ,4) 5) sin cos cos2 0; 6) arccos , 0,01.
5sin ;
xx x e x
y x x x y yx
x tx y y x y x x
y t
7) Записати рівняння дотичної до кривої 1
arcsin2
xy
, яка
паралельна прямій 2y−x+5=0.
5.1.12.
3
3 2
2
3
3 2
3,
1arccos31) ; 2) tg sin ln 2 ; 3) 1 ;4)
arcsin6 3;
1
5) arcsin arcsin ; 6) 4 6 3, 1,04.
x
tx
txy y x y x
x ty
t
x y x y y x x x x
7) Записати рівняння дотичної до кривої y=arctgx, яка
перпендикулярна прямій y+2x+3=0.
5.1.13.
3 252 23
2
; 3
3 5 7 sin1) ; 2) ln ; 3) sin 2 3 ;
arctg3 5
3 sin ,4) 5)3 3 3 6) 1 , 6,93.
3 1 cos ;
x y x y
x x xy y y x x x
x x
x t ty x x
y t
317
7) Записати рівняння нормалі до кривої y=arccos3x, яка
перпендикулярна прямій y+3x+3=0.
5.1.14.
2
2
lnarccos tg 4
2
2
1) cos4 2 5tg4 ; 2) 3 ; 3) tg4 ;
5 1 ,4) 5) ln( ) ln ; 6) , 1,94.
5 1 ;
xxx
t
x x
t
y x x y y x
x ty x y a y e x
y t
7) Записати рівняння дотичної до кривої 21
xy
x
в точці з
абсцисою x0=2.
5.1.15.
ctg 23 23
2
2 3 2 3 2 3 2
3
1) ln 3arccos3 ; 2) tg ln ; 3) sin 2 ;
1,
4) 5) ; 6) 9 , 4,01.
;1
xxy e x x y x y x
tx
tx y a y x x
ty
t
7) Записати рівняння нормалі до кривої 21y x в точці з
абсцисою x0=0.
5.1.16.
5
cos52
3
cos7 31) ; 2) sin ; 3) sin5 ;
ln 4 2
3 cos ,4) 5) tg tg ; 6) 3 cos , 0,01.
3 sin ;
x
t
t
x x xy y y x
x x
x ty a x y x x x
y t
7) Записати рівняння дотичної до кривої y=xsin2x , яка паралельна
прямій y+x+9=0.
5.1.17.
32
ctg53 3 34
32 2
1) 4 1; 2) sin 1 ; 3) 5 ;
ln ,4) 5) tg ( ); 6) arctg , 0,97.
1 ;
x
y x x x y x y x
x t ty y x y x x
y t t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 3
2
1
4
xy
x
в
точці з абсцисою x0=−1.
318
5.1.18.
sin 5
3
3
3 2
2
ln1) cos2 2 5tg3 ; 2) ; 3) cos3 ;
cos 3
cos ,4) 5) arcsin ; 6) 2 , 4,97.
1 sin ;
xx
xy
xy x x y y x
x
x t te x y x x
y t t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 1xy e в точці
з ординатою y0=e.
5.1.19.
3
3
3
33 2 3
22
tg3 2 sin1) ; 2) ; 3) ctg5 ;
1 cos4 2 sin
3,
224) 5) ; 6) , 1,07.
11;
ln
xx x xy y y x
x x
tx
xtx ax y y a y x
xty
t
7) Записати рівняння дотичної до кривої y=ecosx
, яка паралельна
прямій y+x+3=0.
5.1.20.
3
3
43
arcsin 21) ; 2) arcsin cos ; 3) arcsin3 ;
3 arctg3
cos ,4) 5)cos( ) ; 6) 2 sin , 1,03.
2sin ;
x
x y
x xy y x y x
x x
x t xxy e y x x
y t
7) Записати рівняння дотичної до кривої y=x3−3x
2−5 , яка
перпендикулярна прямій 2x−6y+1=0.
5.1.21.
32 23
32
1) 3 6 ; 2) arccos sin ; 3) arctg3 ;
sin ,4) 5)2 ln ; 6) 1 2 , 2,03.
1 cos ;
x
x
y x x x y x y x
x t ty y e y x x x
y t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої y=xln(1+x2) в
точці з абсцисою x0=1.
5.1.22.
73 4
3
2 2
2 2
1) (( 1) tg5 ) ; 2) ln tg ; 3) arctg5 ;
(1 ), 14) 5)2 ln( ); 6) , 0,93.
1(1 );
xx
x y
y x x x x y y x
x t t xx y y x
xy t t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої y=sinx+cosx в
точці з абсцисою x0=.
319
5.1.23.
2 5
3
3
arctg31) ; 2) ln ln ctg3 ; 3) sin3 ;
cos4
1 ,4) 5)arctg ln ; 6) arcsin 2 , 0,249.
1 ;
x
xe x
y y x x y xx
x t xy y x x
yy t t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 2
4x xy в точці
з абсцисою х0=1.
5.1.24.
74 3 2 3
2
23
2
1) 3 ; 2) lnsin ; 3) arccos5 ;
2,
14) 5) 3 2 ln 0; 6) , 1,02.
1 1;
xx xy x y y x
tx
xty y a x y x
t xy
t
7) Записати рівняння дотичної до кривої 2
11y
x , яка паралельна
прямій 2y+32x+7=0.
5.1.25.
2 5 332cos 2
52 3
52
1 1 31) ; 2) 4 ; 3) ;
sin 2 1 1
,4) 5)arctg sin ln ; 6) 5 , 0,98.
1 cos ;
xxx
x x xxey y y
x x x
x tx y y a y x x
y t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої y=x–arctgx в
точці з абсцисою х0=1.
5.1.26.
3
2
3 7ctg ln
2
21) ; 2) 5 ; 3) ctg5 ;
sin3
sin ln ,4) 5)sin ln tg ; 6) , 2,014.
cos ln ;
xx
x
x x
xy y y x
x
x t tx y y y e x
y t t
7) Записати рівняння нормалі до кривої y x x , яка
перпендикулярна прямій 4y−3x+5=0.
5.1.27.
32
2
3
arctg41) ; 2) ln ln ln ; 3) cos2 ;
ln
,4) 5)arcsin 2 ; 6) 3 1 1 , 1,01.
;
x
x
x xy y x x y x
x
x txy y x x x
y t
320
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 3
2
2
4
xy
x
в
точці з абсцисою х0=3.
5.1.28.
22 6tg ln
24
sin31) ; 2) 3 ; 3) tg4 ;
cos sin ,4) 5) ln( ) ; 6) arctg , 2,031.
sin cos ; 2
xx
xe x
y y y xx x
x t t t xx x y a y x
y t t t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 3 2 1y x в
точці з абсцисою х0=1.
5.1.29.
2 3sin 3
32 2
4 2
3
1 sin 2cos51) ; 2) 5 ; 3) ;
2
sin ,4) 5)arccos 2 ; 6) 2 5, 2,03.
1 ;
x
xx
a
x x xx xy y y
e x
x t xy x x x
yy t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 2xy xe в точці
з абсцисою х0=1.
5.1.30
22
3
2
3
3
1 51) arcsin 2 ; 2) cos sin 2 ; 3) cos ;
1
1 ;4) 5)ln tg ; 6) 1 sin ; 0,02.
1 ;
x
t
t
xy x y x y
xx
x e t ya y x x x
xy e t
7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 3 3y x x в
точці з абсцисою х0= −1.
Завдання 2. Обчислити границі за правилом Лопіталя
5.2.1 a)0
ln sin 3lim
ln sin 7x
x
x; б)
sin
0
1lim ln
x
x x
.
5.2.2. a) 1
1lim
1 lnx
x
x x
; б)
3
4 ln
0lim x
xx
.
5.2.3. a) 3
0
sinlim
sin 2 2x
x
x tg x ; б)
2
02
lim tgx
x
x
.
321
5.2.4. a) limx a
x a
a x
x a
; б)
2lim arctg
x
xx
.
5.2.5. a) lim 0x a
x a
x aa
x a
; б)
0lim arcsin
x
xx x
.
5.2.6. a) 0
lnlim
1 2 ln sinx
x
x ; б)
tg
0lim ln ctg
x
xx
.
5.2.7. a)30
sinlimx
x x
x
; б)
1
ln( 1)
0lim
xe
xx
.
5.2.8. a)
30
sin 1lim
x
x
e x x x
x
; б)
tg
0
1lim ln
arcsin
x
x x
.
5.2.9. a) 0
1 1lim
sinx x x
; б)
1ln
0lim ctg
x
xx
.
5.2.10. a) 0
1 1lim ctgx
xx x
; б)
3
1 lnlim x
xx
.
5.2.11. a) 0
1 1lim
1xx x e
; б)
1
lim ln
x
xx
.
5.2.12. a) 20
lnarcsin lnlim
tg 2x
x x
x
; б)
0lim(tg )x
xx
.
5.2.13. a) 30
arcsin2 2arcsinlimx
x x
x
; б)
1
lim tg2 1
x
x
x
x
.
5.2.14. a)
0
ln 1 lnlim
x
x
e x
x
; б)
1
0
lnlim
ln
xx
xx
a x a
b x b
.
5.2.15. a)
0
ln ln 1 lnlimx
x x
x
; б)
2ctg
0
arcsinlim
x
x
x
x
.
5.2.16. a) 20
ctg 1lim
tgx
x x
x
; б)
sin
0
1lim
x
x x
.
5.2.17. a)
20
1 1lim
ln 1ln 1x xx x
; б)0
lim x
xx
.
322
5.2.18. a) 0
tglim
sinx
x x
x x
; б)
12
0
sinlim
x
x
x
x
.
5.2.19. a) 0
lim lnx
x x
; б)
11
0
1lim
x x
x
x
e
.
5.2.20. a) 3
0lim x
xx e
; б) tg
0lim(sin ) x
xx
.
5.2.21. a)
20
tg2 ln 1 2limx
x x
x
; б)
1ln
lim arctg2
x
xx
.
5.2.22. a) limarcsinx a
x actg x a
a
; б)
1ln
lim arcctgx
xx
.
5.2.23. a) 2
20
1lim ctgx
xx
; б)
1ln
0lim ctg
xe x
xx x
.
5.2.24. a) 1
1lim
ln 1
x
x
x
x x
; б)
2ctg
0lim 1 lncos
x
xx
.
5.2.25. a)
20
lim 0
a a
x
a x aa
x
; б)
ctg 1
1
1 lnlim
x
x
x
x
.
5.2.26. a) 0
sin coslim
sinx
x x x
x x
; б)
1
0
2lim arccos
x
xx
.
5.2.27. a) 0
1lim ctgx
xx
; б)
tg
0lim lncos
x
xx
.
5.2.28. a) 2 1lim ln 1x
x xx
; б)
1
0lim arctgx x
xe x
.
5.2.29. a)30
arctglimx
x x
x
; б)
ctg
0lim ln 0
xx
xa x a a
.
5.2.30. a) 20
1 1lim
sinx x x x
; б)
tg 1
1lim
ln
x
x
x
x
.
323
Завдання 3. Методами диференціального числення дослідити
функції та побудувати графіки
5.3.1.
2) ;
2 1
) .x
xa y
x
xб y
e
5.3.16
4
2
81) ;
3
) .ln
xa y
x
xб y
x
5.3.2.2
8) ;
4
) .x
xa y
x
eб y
x
5.3.17. 2
16) ;
4
) 2ln 1.1
a yx x
xб y
x
5.3.3.
2
1( 1)
2
3 2) ;
) .1
x
xa y
x
eб y
x
5.3.18.2
2
2
2
1) ;
1
) 4 .x
xa y
x
б y e
5.3.4.
2
2
) ;1
) ln 1 .
xa y
x
б y x
5.3.19.
4
3
2
3 1) ;
) 3 .x
xa y
x
б y x e
5.3.5.
3 125) ;
12
) ln( 1) .
xa y
x
б y x x
5.3.20. 2
2) ;
1
) ln .
xa y
x
б y x x
5.3.6.2
2
2) ;
1
) 2 .x
xa y
x
б y e x
5.3.21.
2
12
2) ;
) 2 .x
a y xx
б y xe
5.3.7.
2
4 12) ;
2
ln) .
xa y
x
xб y
x
5.3.22.
3
2
1) ;
ln) .
xa y
x
xб y x
x
5.3.8. 2
2 1) ;
1
) 4 .x
xa y
x
б y xe
5.3.23.
2
2 1
2 2) ;
1
) .2 1
x
x xa y
x
eб y
x
324
5.3.9.
4
2 1
3) ;
) 2 3 .x
xa y
x
б y x e
5.3.24.
2
2
2
1) ;
2
) .ln
xa y
x
xб y
x
5.3.10.2
2) ;
1
4ln) .
xa y
x
xб y
x
5.3.25.
2
4) ;
1
) ln 2.2
xa y
x
xб y
x
5.3.11.
4
2
4) ;
) 3 3ln .4
xa y
x
xб y
x
5.3.26. 2) ;
4
) 3 ln .
xa y
x
б y x x
5.3.12.12
1) 1 ;
1
) 2 .x
a y xx
б y xe
5.3.27.2
3
1 2) ;
) .3
x
xa y
x
eб y
x
5.3.13
3 2
2 2
) ;1
) .2 2
x
xa y
x
eб y
x
5.3.28.2
2
) ;3
) .x
xa y
x
eб y
x
5.3.14.
3
2
2
2) ;
1
) ln 2 2 .
xa y
x
б y x x
5.3.29.
3
2
4) ;
2
3) 2ln 3.
xa y
x
xб y
x
5.3.15.
2
2
2
1) ;
1
) 8 .x
xa y
x
б y xe
5.3.30.
2) ;
1
ln) .
2
xa y
x
xб y
x
Завдання 4
5.4.1. У дану кулю вписано циліндр, що має найбільшу повну поверхню.
Знайти його висоту.
325
5.4.2. Щоб огородити клумбу, яка має форму кривого сектора, є шматок
дроту довжиною 20 м. Яким має бути радіус кола, щоб площа
клумби була найбільшою?
5.4.3. Вписати в даний конус циліндр з найбільшою бічною поверхнею,
якщо площі та центри основ циліндра та конуса збігаються.
5.4.4. У прямокутній системі координат дана точка 1,2 . Провести через
цю точку пряму лінію так, щоб вона утворювала з додатними
напрямками осей координат трикутник найменшої площі.
5.4.5. На осі параболи 2 2y px дана точка M на відстані a від вершини.
Знайти абсцису найближчої до неї точки кривої.
5.4.6. З усіх конусів з даною твірною l знайти конус найбільшого об’єму.
5.4.7. У кулю радіуса R вписаний прямий круговой конус з найбільшою
площею бічної поверхні. Знайти висоту цього конуса.
5.4.8. Об’єм правильної трикутної призми дорівнює v. Якою має бути
сторона основи, щоб повна поверхня призми була найменшою?
5.4.9. Треба виготувати конічну лійку з твірною, що дорівнює 20 см. Якою
має бути висота лійки, щоб її об’єм, був найбільшим?
5.4.10. Периметр рівнобічного трикутника дорівнює 2р. Якою має бути
його сторона, щоб об’єм тіла, що утворений обертанням цього
трикутника навколо його основи був найбільшим?
5.4.11. Периметр рівнобічного трикутника дорівнює 2р. Якими мають бути
його сторони, щоб об’єм конуса, який утворено обертанням цього
трикутника навколо висоти, що опущена на основу, був би
найбільшим?
5.4.12. Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, який
вписано в півколо радіуса R.
5.4.13. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса найменшої бічної
поверхні, який описано навколо даної кулі.
5.4.14. Знайти висоту конуса найменшого об'єму, який описано навколо
напівкулі радіуса R (центр основи конуса лежить в центрі шара).
5.4.15. Довести, що конічний шатро даної місткості потребує найменшої
кількості тканини, коли його висота в 2 разів більше радіуса
основи.
5.4.16. Через дану точку Р(1,4) провести пряму так, щоб сума довжин
додатних відрізків, які вона відсікає на координатних осях, була
найменшою.
326
5.4.17. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, який вписано в
еліпс 2 2
2 21
x y
a b .
5.4.18. На сторінці книжки друкований текст має займати S квадратних
сантиметрів. Поля зверху та знизу мають бути по а см, праве та ліве
– по b см. Якщо брати до уваги тільки питання економії, то якими
мають бути найбільш економічні розміри сторінки.
5.4.19. Посланець має дістатися з пункта А, який знаходиться на одному
березі річки, в пункт В, що знаходиться на другому. Знаючи, що
швидкість руху на березі в k разів більше швидкості руху по воді,
визначити, під яким кутом посланець має перепливти річку, щоб
дістатися в В за найкоротший час. Ширина річки – h, відстань між
пунктами А і В (вздовж берега) – d.
5.4.20. Знайти співвідношення між радіусом R і висотою Н циліндра, який
має при даному об’ємі найменшу повну поверхню.
5.4.21. Міноносець стоїть на якорі в 9 км від найближчої точки берега; з
міноносця треба вислати посланця в табір, який розташований в
15 км, рахуючи по берегу від найближчої до міноносця точки берега
(табор розташований на березі). Якщо посланець може робити пішки
по 5 км/год, а на веслах по 4 км/год, то в якому пункті берега він має
пристати, щоб потрапити до табору за найкоротший час?
5.4.22. Лампа висить над центром круглого столу радіуса r. При якій висоті
лампи над столом освітленість предмета, який лежить на краю стола,
буде найкращою? (Освітленість прямо пропорційна коефіцієнту кута
падіння променів світла та обернено пропорційна квадрату відстані
від джерела світла).
5.4.23. Витрати на паливо для топки пароплава пропорційні кубу його
швидкості. Відомо, що при швидкості в 10 км/год витрати на паливо
складають 30 грн на годину, інші витрати (які не залежать від
швидкості) складають 480 грн на годину. При якій швидкості
пароплава загальна сума витрат на 1 км шляху буде найменшою?
Якою буде при цьому загальна сума витрат на годину?
5.4.24. Три пункти А, В і С розташовані так, що АВС=60. З пункта А
виходить автомобіль, а одночасно з пункта В потяг. Автомобіль
рухається в напрямку до В зі швидкістю 80 км/год, потяг в напрямку
до С зі швидкістю 50 км/год. У який момент часу (від початку руху)
327
відстань між потягом та автомобілем буде найменшою, якщо
АВ=200 км?
5.4.25. Знайти висоту прямого конуса найменшого об’єму, який описано
навколо кулі радіуса R.
5.4.26. У сегмент параболи 2 2y px , що відсікається прямою 2x a , треба
вписати прямокутник найбільшої площі.
5.4.27. Число 36 розкласти на два таких множника, щоб сума їх квадратів
була найменшою.
5.4.28. Яким має бути кут при вершині рівнобічного трикутника даної
площі S, щоб радіус вписаного в цей трикутник кола був
найбільшим?
5.4.29. З трьох дошок однакової ширини збивається жолоб. При якому куті
нахилу бокових стінок площа поперечного перерізу жолоба буде
найбільшою?
5.4.30. Вікно має форму прямокутника, який зверху завершується
півколом. Визначити розміри вікна, що має при даному периметрі
найбільшу площу.
Завдання 5
5.5.1. Тіло, маса якого 6 г рухається прямолінійно за законом
2
1 ln 1 1S t t (S в сантиметрах, t в секундах). Знайти
кінетичну енергію через 1 секунду після початку руху.
5.5.2. Тіло масою 160 кг рухається прямолінійно за законом 22 3 1S t t . Визначити кінетичну енергію тіла через 5 с після
початку руху.
5.5.3. Штучні супутники Землі рухаються навколо Землі по еліптичних
орбітах. Відстань r супутника від центру Землі може бути наближено
виражена залежно від часу t таким рівнянням:
2
1 cos cos2 12
r a M M
, де 0
2M t t
p
.
Тут 0, , ,a p t − постійні. Знайти так звану радіальну швидкість ШСЗ,
тобто швидкість зміни відстані r ШСЗ від центру Землі.
5.5.4. Неоднорідний стрижень АВ має довжину 12 см. Маса його частини
АМ зростає пропорційно квадрату відстані даної точки М від кінця А
328
і дорівнює 10 г при АМ=2 см. Знайти лінійну щільність стрижня в
будь-якій точці М.
5.5.5. Залежність між кількістю Х речовини, яка отримується під час деякої
хімічної реакції, і часом t виражається рівнянням 1 ktX A e .
Визначити швидкість реакції.
5.5.6. За законом Клапейрона об’єм V, який займає газ, тиск газу p і
абсолютна температура Т пов’язані формулою pV RT , де R –
газова стала. Знайти наближений вираз для приросту V об’єму V
при зміні тиску на величину p , вважаючи температуру незмінною.
5.5.7. Тіло, яке кинуте вверх, рухається за законом 24,905 981 950S t t (S – в метрах, t – в секундах). Знайти, в який
момент часу швидкість тіла буде дорівнювати нулю і якої найбільшої
висоти воно досягне в цей момент.
5.5.8. Точка робить коливальні рухи за законом sinx A t . Довести, що
прискорення руху пропорційне відхиленню x.
5.5.9. У резервуар, що має форму прямого конуса, який опущено
вершиною вниз, надходить рідина з постійною швидкістю 3 /a м с .
З якою швидкістю підвищується рівень h рідини в резервуарі, якщо
його висота дорівнює Н (м), а радіус основи R (м)?
5.5.10. Тіло рухається прямолінійно за законом 229 6 3S t t t м.
Який шлях пройшло тіло за час від початку руху до моменту, коли
швидкість його руху стала дорівнювати нулю? Чому дорівнює
прискорення в цей момент часу?
5.5.11. Цегла звалилася з будинку, висота якого 81 м. Через скільки секунд
вона вдариться об землю? Якою буде її швидкість у цей момент?
5.5.12. Залежність барометричного тиску р від висоти описується
функцією 0ln( / ) chp p , де 0p − нормальний (на рівні моря) тиск. На
висоті 5540 м тиск досягає половини нормального. Знайти швидкість
зміни барометричного тиску залежно від висоти.
5.5.13. Кількість електрики в дроті змінюється за законом 22 4Q t t Кл.
Знайти: а) середню величину струму за перші дві секунди; б)
величину струму в кінці другої та в кінці п’ятої секунд.
329
5.5.14. Маса m неоднорідного стрижня розподіляється за законом
2 3 5m l l , де l – довжина стрижня. Знайти : а) середню лінійну
щільність стрижня довжиною 5 см, рахуючи від його початку; б)
лінійну щільність стрижня при l=5 см.
5.5.15. Залежність кількості теплоти Q, яка отримана тілом при нагріванні,
від температури визначається за законом 2 0.40,24Q e .
Знайти теплоємність с тіла при 4oC . (Теплоємність с
характеризує швидкість зміни теплоти тіла).
5.5.16. Період коливань маятника 2980
lT с, де l=20 см – довжина
маятника. Як треба змінити довжину, щоб період коливань
зменшився на 0,1 с?
5.5.17. Тіло, яке кинуте під кутом до горизонту, в безповітряному
просторі описує під дією сили ваги криву (параболу), рівняння якої
0
0
cos
sin2
x v t
gty v t
. Знаючи, що 60o , 0 50v м/с, визначити
напрямок руху при: 1) 2t с; 2) 7t с. Зробити рисунок.
5.5.18. Махове колесо, що затримується гальмом, за t секунд повертається
на кут 2 , , 0a bt ct a b c . Знайти кутову швидкість та
прискорення руху. Коли колесо зупиниться?
5.5.19. Показати, що якщо тіло рухається за законом t ts ae be , то його
прискорення дорівнює пройденому шляху.
5.5.20. Закон руху тіла задається формулою 2s a bt ct . Показати, що
діюча сила є сталою.
5.5.21. Людина зростом 1,7 м віддаляється від джерела світла, що
знаходиться на висоті h м 1,7h , зі швидкістю 5 км/год. Знайти
швидкість переміщення тіні її голови.
5.5.22. З пункту О по двох прямих, які нахилені під кутом 60o , одне до
одного рухаються два тіла. Перше тіло рухається рівномірно зі
швидкістю 5 км/год. Закон руху другого тіла визначається за
формулою 22 2S t t ( 2S – в кілометрах, t – в годинах). Визначити, з
якою швидкістю вони віддаляються одне від одного в момент, коли
перше тіло знаходиться від пункту О на відстані 10 км.
330
5.5.23. Драбина довжиною a м, що прихилена до вертикальної стінки,
падає, ковзаючи одним кінцем об стіну, а другим об підлогу. З якою
швидкістю опускається верхній кінець драбини в момент, коли
нижній кінець, який відсувається від стіни з постійною швидкістю v
м/с, знаходиться від неї на відстані b м?
5.5.24. Важка балка довжиною a м стоїть вертикально біля стіни так, що
нижній її кінець прикріплений до невеликої вагонетки, а верхній
утримується канатом, який намотаний на коловорот. Бажаючи
опустити балку, канат звертають зі швидкістю v м/с. З яким
прискоренням відкочується вагонетка в момент, коли вона
віддалиться від стіни на відстань b м?
5.5.25. Точка рухається по прямій 2 3y x так, що абсциса її зростає з
постійною швидкістю 3v . З якою швидкістю змінюється ордината?
5.5.26. Точка рухається в першій чверті по дузі кола 2 2 100x y так, що її
ордината зростає з постійною швидкістю 2v . З якою швидкістю
змінюється абсциса? Знайти швидкість зміни абсциси, коли ордината
дорівнює 6.
5.5.27. Точка рухається в першій чверті по кубічній параболі 348y x від
точки 0,0M . Яка з координат ( x або y ) при цьому змінюється
швидше ?
5.5.28. Швидкість тіла, що рухається прямолінійно, визначається
формулою 2 3v t t см/с. Яке прискорення буде через 4 с після
початку руху?
5.5.29. Точки A і B одночасно виходять з початку координат і рухаються
по осях Ox і Oy відповідно, при цьому 50AV , 10BV . З якою
швидкістю вони віддаляються одна від одної ?
5.5.30. Вздовж осі Ox зі швидкістю 0,2v см/с рухається точечне
джерело світла A , від якого точка 2,2M відкидає тінь на вісь Oy .
З якою швидкістю рухається ця тінь в той момент, коли 3смOA ?
331
Глава 6. Невизначений інтеграл. Методи інтегрування
6.1. Первісна. Властивості невизначеного інтеграла
Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на
інтервалі (a, b), якщо F(x) є диференційовною функцією x a, b і в усіх
точках цього інтервалу справджується співвідношення F x f x .
Для первісної функції справедливі такі властивості:
1. Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на інтервалі (a, b), то
F(x)+С, де С – довільна стала, також є первісною для цієї функції на цьому
інтервалі.
2. Якщо 1F x та 2F x – будь-які дві первісні для функції f(x) на
одному й тому самому інтервалі, то вони відрізняються одна від одної
лише на сталу величину, тобто 1 2F x F x C , звідки 1 2F x F x C .
Таким чином, знаючи одну первісну функції, ми знайдемо всі інші
додаванням до неї довільної сталої.
Сукупність первісних F(x)+С для функції f(x) називається
невизначеним інтегралом від цієї функції і позначається
f x dx F x C .
Властивості невизначеного інтеграла
1
2
3
4
5
o
o
o
o
o
. f x dx f x .
. d f x dx f x dx.
. dF x F x C.
. Cf x dx C f x dx.
. u v dx udx vdx.
332
Таблиця основних невизначених інтегралів
1
1
2 11
nn
. dx x C.
x. x dx C n .
n
2 2
2 213. ln .
14. tg ln cos .
dxx x a C
x a
xdx x C
3. ln 0 .
4. 0 1 .ln
xx
dxx C x
x
aa dx C a
a
2 2
15. ctg ln sin .
116. arctg .
xdx x C
dx xC
a ax a
5. .
6. cos sin .
x xe dx e C
xdx x C
2 217. arcsin .
18. ln tg .sin 2
dx xC
aa x
dx xC
x
2
7. sin cos .
8. tg .cos
xdx x C
dxx C
x
19. ln tg .cos 2 4
dx xC
x
2
2
9. ctg .sin
arcsin10.
arccos1
dxx C
x
x Cdx
x Cx
20. sh ch .x dx x C
2
2 2
arctg11.
arcctg1
112. ln .
2
x Cdx
x Cx
dx a xC
a a xa x
2
2
21. ch sh .
22. th .ch
23. cth .sh
xdx x C
dxx C
x
dxx C
x
При інтегруванні функцій можливість безпосередньо
використовувати основні формули надається не досить часто. Як правило,
підінтегральну функцію доводиться так чи інакше перетворювати для того,
щоб інтеграл звести до табличного. Нижче наведені деякі приклади таких
перетворень.
333
Приклади
1.
132
323 33
23
35 5 3 5 3
3 2 1 3
x xx x dx xdx x dx x dx
x
4
4
xC
3
43210 1
93 4
x x x C .
2.3
33 4 33 4 4ln
ln3
x xxx x x dx
dx dx xdx xx x
4
3
4 3
xC =
4
33 3
4lnln3 4
x
x x C .
3.
2 23 2 1 2 1 2
3 2
1 1 22
x x xdx dx x dx x dx x dx
xx x
1 2 1 2 3 222 4
3x x x C.
4.
2 2 2
2 22 2 2 2
1 2 1 1arctg
11 1
x dx x x dx dxdx x C
xx xx x x x.
5.
2 2
2 2 2 2
1 21 1 2
21 1 1 1
dxdx x x
x x x x
2 2
2 22 2
1 11 1 1 1 1 1ln arctg .
2 2 2 2 1 21 11 1
x x dx dx xdx x C
xx xx x
6.
2 2 2 2
4 2 2
1 1 1 1
1 1 1
x x x xdx dx
x x x
2 21 1
dx dx
x x
= 2ln 1x x arcsin x C .
7.2 2
2 2 2 2 2 2
sin costg ctg
sin cos sin cos cos sin
dx x x dx dxdx x x C
x x x x x x.
8. 2
1 1ctg
1 cos2 2 2sin
dx dxx C
x x.
334
9.2 2cos2 cos sin (cos sin )(cos sin )
cos sin cos sin cos sin
x x x x x x xdx dx dx
x x x x x x
= (cos sin ) sin cosx x dx x x C .
10. 1 1 1 12 5 2 5 2 1 5 1
2 25 510 10 10 10 10
xx x x x x x
x x x x xdx dx dx dx dx dx
-
1 1 (1 5) 1 (1 2 )2
5 2 ln1 5 5 ln1 2
x x x
dx C .
11. 2 2 2
1 1 1arctg
4 4 25 4 25 44 25 4( 25 4) 25 4
dx dx dx xC
x x x
1 2arctg
10 5
xC .
12. 3 2 3 2
3 3 3
cos sin cos cos sin cos
cos cos cos
x xe x x x e x x xdx dx
x x x
ln cosxe x C /
13. 2 2 2 2
1 1tg ctg
cos sin cos sin
dx dxdx x x C
x x x x.
14.
2
2
2
1 ch 2ch1 sh2
ch (1 ch )12 2 2 2
ch (1 ch )2 2
xx
x x xdx x dx C
xx
.
Зауваження. При інтегруванні однієї й тієї ж функції результати
можуть відрізнятися своїм зовнішнім виглядом. В дійсності ж вони або
тотожні, або відрізняються між собою тільки на сталу величину.
Теорема (про інваріантність формул інтегрування). Вигляд
формули інтегрування залишається незмінним незалежно від того, чи є
змінна інтегрування незалежною змінною чи деякою диференційовною
функцією, тобто якщо f x dx F x C , то
f x d x F x C .
Наведена теорема дозволяє багато інтегралів зводити до табличних.
Звичайно це здійснюється введенням під знак диференціала деякого виразу
x з наступним поданням підінтегральної функції через цей вираз.
При цьому варто пам'ятати, що:
335
1) до виразу, що стоїть під знаком диференціала, завжди можна
додати константу, тому що d x a dx і інтеграл
f x dx f x d x a ;
2) якщо вираз, що стоїть під знаком диференціала, помножити на
константу 0a , то й весь інтеграл помножиться на цю константу, тому що
d a x a dx . Тому при множенні виразу, що стоїть під знаком
диференціала, для збереження рівності весь інтеграл потрібно розділити на
це число. Таким чином одержуємо, що 1
f x dx f x d a xa
.
Приклади
1. 100 1001 1(2 5) (2 5) (2 5) (2 5)
2 2x dx d x dx x d x
=1011 (2 5)
2 101
xC
2. 2 2 22 21 1 1
2 2 2
x x xxe dx xdx d x e d x e C
3. 6
5 5 sinsin cos cos sin sin sin .
6
xx xdx xdx d x xd x C
4.
2 32
2 2
arctg arctgarctg arctg arctg .
31 1
x xdxdx d x x d x C
x x
5. 2
2 2 2
2 2
1 1 1 ( 4)( ) ( 4) ( 4)
2 2 24 ( 4)
xdx d xxdx d x d x x C
x x
6.
2 2
4 22 2
1 1arcsin .
2 2 24 2
d xxdx xC
x x
7. 5 5
2 ( ) 2 5 ( ) 2ln5
x xxdx dx
d x d x Cx x
8. .2 3
2 3 3
3 4 3 4
1 1 1 (4 9)( ) (4 9)
3 12 12(4 9) (4 9)
x dx d xx dx d x d x
x x
= 3 3
1 1 1
12 ( 3) (4 9)C
x.
336
9. 2
2
2 2
(8 3) (4 3 8)(8 3) (4 3 8)
4 3 8 4 3 8
x dx d x xx dx d x x
x x x x
= 2ln 4 3 8x x C .
10. 2
2
2 2
( 4) 1 1 ( 8 1)( 4) ( 8 1)
2 28 1 8 1
x dx d x xx dx d x x
x x x x
= 212 8 1
2x x = 2 8 1x x C .
11. 2
2
4 2 2 2 2
1 1 ( )( )
2 21 ( ) ( ) 1
xdx d xxdx d x
x x x x
=
2
2 2
1( )
1 2
2 1 5( )
2 4
d x
x
2 2 21 1 1 5ln ( )
2 2 2 4x x C .
12. ln
ln ln ln .ln ln
d xdx dxd x x C
x x x x
13. 2 2
2
arcsin .24 2
xx xx x
xx
d ee dx ee dx d e C
e e
14. 2
cos 1cos (sin ) ( 3sin )
37 3sin
xdxxdx d x d x
x
=2
1 ( 3sin )
3 7 ( 3sin )
d x
x
1 3sinarcsin
3 7
xC .
15. 2 2
cos sin ( sin )( sin ) (sin cos )
( sin ) ( sin )
x x x d x xdx d x x x x x dx
x x x x
=1
sinC
x x .
16. 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin cos2 sin cos sin cos
sin cos
x xdxa b x xdx d a x b x
a x b x
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
sin cos1 sin cos
2 sin cos
d a x b x a x b xC
a b a ba x b x, a b .
337
17. 2
22
cos sinsincos
cos2 1 2sin2 cos2 3 2sin
2 cos2 3 2sin
xdx d xd xxdx
x xx x
x x
=2
2 sin1
2 3 2sin
d x
x
1 2 sinarcsin .
2 3
xC
18. 2 2
5522 5 2 5 12
525 4 5 525 ln1 14 1 22 24
xx
x x x x
x x x xxx
d
dx dx dx
51
1 2ln .
5 52ln 12 2
x
xC
19. 2
4 4 4 4 2 4
sin cos cos tg tg
sin cos cos 1 tg cos 1 tg
x xdx x xdx xdx
x x x x x x
2
2 2
2 4
tgtg 1 1 1tg arctg tg
2 2 2cos 1 tg
d xxdxd x x C
x x.
20. 1 1
dxJ
x x
Позбуваючись ірраціональності в знаменнику, одержимо:
1 2 1 21 1 1
1 1 1 1 1 12 2 2
J x x dx x d x x d x
3 31
1 13
x x C .
21. 1 1
ch(8 7) ch(8 7) (8 7) sh(8 7)8 8
x dx x d x x C .
22. 2
2
2 2 2 2
1 1 (3 5)(3 5)
6 6sh (3 5) sh (3 5)
xdx d xxdx d x
x x
338
21cth(3 5)
6x C .
23. 5
4 4 shsh ch ch (sh ) sh (sh )
5
xx xdx xdx d x xd x C .
24. 2 2(10 7)sh(5 7 9) (10 7) (5 7 9)x x x dx x dx d x x
2 2 2sh(5 7 9) (5 7 9) ch(5 7 9)x x d x x x x C .
25.
4 4
2 2 2 2
4 4
ch shsh 2 sh 2
(2 ) (ch sh )(ch sh )ch 2 1ch sh
ch 2 1
x xx x
d x x x x x dxxx x
x
=
sh 2ch 21 1
ln ch 212 ch 2 2ch 2
2
xdxd x
dx x Cxd x
.
26. 3 33 2 2 2 2 21 11 1
2 2I x x dx xdx d x x x d x
3 32 2 2 2 2 21 11 1 1 1 1 1 1
2 2x x d x x x d x
– 3 2 211 1
2x d x
4 3 1 32 2 2 21 1
1 1 1 12 2
x d x x d x
7 3 4 3
2 23 31 1
14 8x x +С.
6.2. Методи інтегрування
6.2.1. Метод заміни змінної, або підстановки
Одним з основних методів обчислення інтегралів є метод заміни
змінної, суть якого полягає в тому, що якщо функція x t має
неперервну похідну на певному інтервалі та монотонна, то на цьому
інтервалі справедлива формула
f x dx f t t dt .
Нижче цей метод проілюстровано на ряді прикладів.
339
Приклад 1. 2
3 1
4 4 17
xI dx.
x x
Розв’язання. Виділимо повний квадрат у знаменнику 2
2 2 1 14 4 17 4 16 4 16
4 2x x x x x .
Тоді
2 2 2
1
123 1
1 3 1 1 1 32
4 2 4 44 414
2
x u
ux udu
I dx x u duu u
xdx du
+2
1
8 4
du
u
2 23 1 3 17ln 4 arctg ln
8 16 2 8 4
uu C x x
1 2 1arctg
16 4
xC .
Приклад 2. 2
2 5
6 2
xI dx.
x x
Розв’язання. Перетворимо підкореневий вираз, виділяючи повний
квадрат 22 6 2 3 7x x x , тоді
2
2 2 2 2
372 3 52 5
37 7 73 7
x ud uux du
I dx x u duu u ux dx du
2 2
2 2
2 2ln 7 ln 3 6 2
7 6 2u u C x x x C
u x x.
Приклад 3.
3 2
2 1
dxI
x
.
Перший спосіб (заміна змінної)
I=2
3 22
3
arctgcos
11
cos
dtx t dx
t
xt
= cos sintdt t C
2
2
2
2 2
11 ctg
sin
ctgsin
1 1
tt
t xt
tg t x
340
21
xC
x
.
Другий спосіб (безпосереднє обчислення) 3 2
3 2 2 23
2
1 1 11 1
211
dxI d
x xx
x
1
2
2 2
1 12 1
2 1
xC C.
x x
Приклад 4. 2 2sin 6sin cos 16cos
dx
x x x x
22
2
sin sincos 6 16
coscos
dx
x xx
xx
2
tgtg
tg 6tg 16
d xt x
x x
2
1 2ln
10 83 25
dt tC
tt
1 tg 2ln .
10 tg 8
xC
x
Приклад 5.
23 1cossin
2 sin 2
t dtxdx t x
x t
232 2 3ln 2
2 2
tt dt t t C
t2sin
2sin 3ln 2 sin .2
xx x C
6.2.2. Застосування методу заміни змінної при обчисленні
невизначених інтегралів від ірраціональних функцій
1. Інтеграли вигляду
m l p
n s rR x ,x ,...,x dx, де R – раціональна
функція своїх аргументів, обчислюються заміною kx t (k – спільний
знаменник дробів r
p,...,
s
l,
n
m), що дозволяє позбутися ірраціональності.
341
Зауваження. Функція ny,...,y,y,xf 21 , де ny,...,y,y 21 – деякі функції
від х, називається раціональною від х, ny,...,y,y 21 , якщо значення цієї
функції для певних значень аргументів дістаємо застосуванням лише
арифметичних операцій: додаванням, відніманням, множенням і діленням.
Приклади
1. 1
dxI .
x x
Розв’язання
Перший спосіб. У даному прикладі k=2, тому варто зробити заміну 2x t . Тоді
22
22 2arctg
11
tdt dtI t C
tt t2arctg .x C
Цей інтеграл можна обчислити й безпосередньо.
Другий спосіб.
22 2 2arctg
1 1
d xdx dxI d x x C
x x x x
.
2.
423 2
424
3
1 144 4
1 14
x ttdx t dt t dt
x t dtt tt tx x
dx t dt
21
4 1 4 ln 11 2
tdtt dt t C
t
24
41
4 ln 1 .2
xx C
3.
12 12
2 11611
12 4 33 4
4 33 4
,12
12( )( )
x t t xxdx t t dt
dx t dtt t tx x x
x x t t
2 2 2
2 2 2
1 (1 ) (1 )12 12 12
( 1) ( 1) ( 1)
t t t dtdt dt
t t t t t t
342
+ 2
2 212 12 12
( 1)
t dt dt dt
tt t t
( 1)12
1
d t
t
=1
12 ln ln( 1)t t Ct
1 112 ln
tC
t t =
12
12 12
1 1212ln
xC
x x
1212
12
( 1) 12ln
x
x xC.
2. Інтеграли вигляду
,dxbxa
bax,...,
bxa
bax,
bxa
bax,xR
s
s
n
m
n
m
n
m
111111
2
2
1
1
де R – раціональна функція своїх аргументів, обчислюються заміною
ktbxa
bax
11
(k – найменше спільне кратне знаменників показників
s
s
n
m...,,
n
m,
n
m
2
2
1
1 ), що дозволяє позбутися ірраціональності.
Приклад 1.
6 6 52
3 36 3 6 23
1 1 61
1 1 1
x t ;x t ;dx t dtx xdx
x x t t ; x t t
6 2 35
2
( 1)6
t tt dt
t
6 2 3 3 15 9 6 36 ( 1) 6 ( 2 )t t t dt t t t t dt =
16 10 7 426
16 10 7 4
t t t tC
12 64 61
6 116 5 7 4
t t tt C t x
=
2 623 (1 ) 1 1 1
6 (1 )16 5 7 4
x x xx C .
Приклад 2. 2
2 (2 )(2 ) (2 )
6 ( 6)(2 ) 8 12
x x x x dxdx dx
x x x x x
2 2
1 8 2 ( 4 2) ( 4)
2 8 12 4 ( 4)
x d xdx
x x x =
21 42 8 12 2arcsin
2 2
xx x C .
343
Приклад 3.
4 53
21 xx
dxI .
Розв’язання. Перетворимо знаменник
4
58
45
5534 53
1
21
1
21121
x
xx
x
xxxxx
42
1
2
1
21
x
x
x
xx . Тоді
dttx
dx,dtt
x
dx
dttdxx
xx,t
x
x
x
xx
x
x
dxI
3
2
3
2
3
2
4
42
3
4
14
1
3
41
21
1
2
1
21
1
2
Cx
xC
x
xC
ttt
dtt
4
4
4
3
2
1
3
4
1
23
4
3
4
3
4.
Приклад 4.
3 3
3 3
22 3(3 ) 9 (3 )
3
x x
x xe dx e dx
xx x xx
2
2 2
3 3;
3 3
(3 ) (3 ) 62
(3 ) (3 )
x xt t
x x
x x dx dxtdt
x x
=
3
32 1 1
( 6) 3 3
xtt xe tdt
e C e Ct
.
3. Інтеграли вигляду 2 2R x, x a dx , де R – раціональна функція
своїх аргументів. При знаходженні цих інтегралів використовують заміни:
a) 2 2R x, a x dx .
Підстановкою sin ( cos ), 0x a t a t a інтеграл зводиться до
раціональної функції від sin t і cost .
344
2 2 2 2 2 2 2sin , cos , sin cosx a t dx a tdt a x a a t a t ;
2 2 cosa x a t , 2 2( , ) ( sin , cos ) cosR x a x dx R a t a t a tdt .
Після інтегрування потрібно повернутися до колишньої змінної.
Розглянемо трикутник:
sinx
ta
, катет 2 2AB a x , 2 2
cosa x
ta
, 2 2
tgx
ta x
.
б) 2 2( )R x, a x dx .
Застосуємо підстановку tg ( ctg )x a t a t , 2
1,
cosdx a dt
t
2 2 2 2 2
2
1(1 tg )
cosa x a t a
t, 2 2
2
1, tg ,
cos cos
adtR x a x dx R a t a
t t.
Повернемося до старої змінної, використовуючи трикутник:
tg ,x
ta
2 2CB a x , 2 2
sinx
ta x
, 2 2
cosa
ta x
.
в) 2 2R x, x a dx .
Для того щоб позбутися радикала в підінтегральному виразі,
зручною буде підстановка:
sin
ax
t або
cos
ax
t
2
cos,
sin
a tdx dt
t
C
х а
t
A B
C
х 2 2a x
t
A а B
345
2 2 2 2 22 2 2
2 2 2
(1 sin ) cos
sin sin sin
a a t a tx a a
t t t, 2 2 cos
sin
a tx a
t,
2 2
2
cos cos, ;
sin sin sin
a a t a tR x x a dx R dt
t t t.
Повернемося до колишньої змінної:
sina
tx
, 2 2
cosx a
tx
, 2 2
tga
tx a
.
Приклади
1. 2 2 2 2 2 2sin1 sin 1 sin cos sin cos
cos
x tx x dx t t tdt t tdt
dx tdt
21sin 2
4tdt
1 1 cos4 1 sin 4
4 2 8 4
t tdt t C
=sin 4arcsin1
arcsin .8 4
xx C
2. 2 2 2
2
2 2
ch ch sh ch shch
sh sh1 ch 1
x tx dx t tdt t tdtI tdt
dx tdt tx t
=1 ch 2 1 1 1 1
sh 2 ch sh 2 ch2 2 2 2 2
tdt t t C arc x arc x C .□
3. 5
21
x dxJ
x
.
Розв’язання
Перший спосіб (заміна змінної)
5
22
sin , cos
1 cos1
x t dx tdtx dxJ
x tx
25 2sin 1 cos costdt t d t
2 4 3 52 11 2cos cos cos cos cos cos
3 5t t d t t t t
C
а х
t
A 2 2a x B
346
22 2 2
2
sin 2 11 1 1 1
3 5cos 1
x tx x x
t x
2 2 411 8 4 3
15x x x C .
Другий спосіб.
2 25
4 2 4 5 2 42
1 2 2
1 2 1 21
t x , tdt xdxx dxJ
x t t , x dx t t tdtx
2 4
2 4 3 51 2 2 1
1 23 5
t t tdt t t dt t t t C
t
2 4 218 4 3 1
15x x x C.
4. 4 4 4
2 2
2 3 2 3
2
2
2sin , sin2
2 sin 2cos2cos ;(4 ) 4cos
(4 ) (2cos )4
cos ; tg2 4
xx t t
x dx t tdtdx tdt x t
x tx x
t tx
=4
2
sin4
cos
tdt
t
2 2
2
(1 cos )4
cos
tdt
t
2 4
2 2
1 2cos cos4 4 8
cos cos
t t dtdt dt
t t
+24 cos 4tg 8tdt t t 2 (1 cos2 )t dt
=4tg 8 2 sin2 4tg 6 2sin cost t t t C t t t t C
2 2
2 2
4 4 44 6arcsin 2 6arcsin
2 2 2 2 24 4
x x x x x x x xC
x x
+С.
5. 2 2 4 44 2 2
22 2
2 2 2
tg ; tg
cos; arctg
cos cos tg
;sincos
xx a t t
a
dx adt x adt tdx t
at ta tax a x
a xa x t
t a x
347
=
3
4 4
1 cos
sin
tdt
a t
2 2
4 4 4 4
1 (1 sin )cos 1 (1 sin ) (sin )
sin sin
t tdt t d t
a t a t
=4 4
1 (sin )
sin
d t
a t 4 2
1 (sin )
sin
d t
a t
2 2 3 2
4 3 4 4 3
1 1 1 1 ( )
sin3sin 3
x aC
ta t a a x
2 2
4
x aC
a x
.
6. 2 5 2 2 2
22 2
2 2
3 3 3;cos ; arccos
cos
3sin 3;ctg
( 9) cos 9
9 9(1 cos )9 9 9tg
cos cos
x t tt x x
dx tdtdx t
x x t x
tx t
t t
=2 5
3sin cos
3cos (3tg )
t tdt
t t 5 5
1 tg
3 tg
tdt
t =
= 4 2 2 2
5 2 2 2
1 1 1 1 1ctg ctg 1 ctg ( 1) ctg
243 2433 sin sin sin
dttdt t t dt t
t t t
2
1 11
243 sindt
t=
31 ctg 1ctg
243 3 243
tt t C
2 3 2
27 1 3 3arccos
243729 ( 9) ( 9)C
xx x
2 3 2
1 1 3arccos
27 ( 9) 81 ( 9)C
xx x.
7. 2 2 2
2
cossin
sincos 1 sin 2 21
dtx txdx dt
Ixdx dtx x t t
t
=2
2
1 2 2 1 2 2 cosln 1 ln .
cos2 2
xC C
t xt
348
4. Інтеграли вигляду cbxax
dx
2 обчислюються за допомогою
виділення повного квадрата під коренем.
Приклади
1. 2 2 2
1 (3 1)
39 6 2 (3 1) 1 (3 1) 1
dx dx d x
x x x x
=21
ln 3 1 (3 1) 13
x x C .
2. 2 2 2
( 1)
5 2 5 ( 2 1 1) 6 ( 1)
dx dx d x
x x x x x
1arcsin
6
xC .
3. 2 2 2
(5 1) 5 (2 2) 5 2 2 2( 1)
22 4 2 4 ( 1) 5
x dx x dxd x
x x x x x
= 4222
5 2 xx 23ln 1 ( 1) 5x x C .
4. 2
2 2 2
1 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2) 12 1
2 21 1 5 4 ( 1 2)
xdx x dx d xx x
x x x x x
1 1 2arcsin
2 5 4
xC .
5. Інтеграли вигляду:
а)
cbxax
dxxPm
2, б)
cbxaxx
dx
n 2.
Інтеграл б) підстановкою z
x1
зводиться до інтегралу а). Інтеграл а)
обчислюється методом невизначених коефіцієнтів за формулою:
cbxax
dxAcbxaxxQ
cbxax
dxxPm
m
2
21
2,
де mP – багаточлен m-го степеня; 1mQ – багаточлен степеня m–1 з
невизначеними коефіцієнтами; А – стала. Для знаходження невизначених
коефіцієнтів диференціюють обидві частини рівності і приводячи до
спільного знаменника, порівнюють коефіцієнти при однакових степенях х.
349
Приклади
1. I=
23
1
2
2
xx
dxx.
Розв’язання
2323
23
1
2
2
2
2
xx
dxcxxbax
xx
dxx.
Продиференціюємо обидві частини отриманої рівності:
2323
232
32
23
1
2
2
22
2
xx
cxxa
xx
xbax
xx
x.
Помножимо обидві частини рівності на 232 xx :
caaxaxbbxaxaxx 232
3
2
31 222 , або
cababaxaxx
2
2
33
2
321 22 .
Зрівняємо коефіцієнти при однакових степенях х:
2
112 aa .
4
9
22
9
2
90
2
9
abba .
8
27
8
2711
2
32112
2
3 baccab .
Тоді
234
92
2
3
4
18
272392
4
1 2
2
2 xxx
x
dxxxxI
27arcsin (2 3)
8x C .
2. 3 2
2 2
2 2
3 7 1( ) 2 5
2 5 2 5
x x dxdx Ax Bx C x x
x x x x.
Розв’язання. Продиференціюємо ліву і праву частини:
350
3 2 22
2 2 2
3 7 1 ( )(2 2)(2 ) 2 5
2 5 2 2 5 2 5
x x Ax Bx C xAx B x x
x x x x x x;
3 2 2 2
2 2 2 2
3 7 1 (2 )( 2 5) ( )( 1)
2 5 2 5 2 5 2 5
x x Ax B x x Ax Bx C x
x x x x x x x x;
3x3-7x
2+1 (2Ax+B)(x
2-2x+5)+(Ax
2+Bx+C)(x-1)+ ;
при 3x : 3 = 2A + A, звідси A = 1.
x2: –7= –4A + B – A + B, звідси B = –1.
x: 0= 10A – 2B – B + C, звідси C = –13.
0x : 1= 5B – C + , звідси = –7.
3 22 2
2 2
3 7 1 ( 1)( 13) 2 5 7
2 5 ( 1) 4
x x d xdx x x x x
x x x
2 2 2( 13) 2 5 7ln ( 1) ( 1) 4x x x x x x C .
6. Підстановки Ейлера. Розглянемо інтеграл вигляду
dttRdxcbxaxxR )(2.
При обчисленні інтегралів подібного типу застосовують одну з
підстановок:
1. ax bx c2 = ax t , якщо a>0.
2. ax bx c2 = xt c , якщо c>0.
3. ax bx c2 = (x–x1)t,
якщо ax bx c2 =а(x–x1)(x–x2), 21 x,x дійсні корені.
Застосування підстановок Ейлера зводить інтеграли такого типу до
інтегралів від раціональної функції. Однак при розв’язанні задач
351
підстановки Ейлера призводять до громіздких обчислень, тому на практиці
використовують інші, більш практичні способи інтегрування.
Приклад 1. xdx
x x( )7 102 3 .
Застосуємо підстановку Ейлера:
22 7 10
7 10 ( 2)(5 ) ( 2); ;2
x xx x x x t x t
x ;
t
tx
2
2
1
25
2 2
6;
(1 )
tdtdx
t
32 3
2 3
27( 7 10)
(1 )
tx x
t.
2
22 3
6 5 2 2 5( 2 )
27 9( 7 10 )
xdx tdt t C
ttx x
Cx
xx
xx
x
2
107
9
4
107
2
9
10 2
2.
6.2.3. Метод інтегрування частинами
Нехай функції xvv,xuu мають неперервні похідні, тоді
справедлива формула інтегрування частинами
vduuvudv .
Зауваження. Назва інтегрування частинами пояснюється тим, що
наведена формула не дає остаточного результату, а тільки зводить задачу
знаходження інтеграла udv до задачі знаходження іншого інтеграла vdu ,
який при вдалому виборі u і v виявляється більш простим.
Загальних правил вибору функцій u і v немає, однак можна дати
деякі рекомендації для окремих випадків.
Як правило, метод інтегрування частинами застосовується у випадку,
коли підінтегральна функція містить добуток раціональних і
трансцендентних функцій і при цьому інші методи непридатні.
Наприклад, cos ,nP x xdx sin ,nP x xdx dxexP xn
,
arctgkx xdx , lnkx xdx і т.д., де xPn – багаточлен n-го степеня.
352
Якщо підінтегральна функція має вигляд cos ,nP x x sin ,nP x x
xn exP , то за u беруть багаточлен xPn .
Якщо підінтегральна функція є добутком логарифмічної або оберне-
ної тригонометричної функції й багаточлена, то за u приймають ці функції.
Приклади
1.
,
sin sin cos cos cos sin .
cos
u x du dx
x xdx dv xdx x x xdx x x x C
v x
2. 22
2
22
arctg ;11
arctg arctg2 2 1
;2
dxu x du
x dxxx xdx x x
xxdv xdx v
22 2 2
2 2
1 11 1 1arctg arctg arctg
2 2 2 2 2 2 21 1
xx x dx x xx dx x dx x
x x
+1
arctg2
x C .
У деяких випадках за допомогою методу інтегрування частинами
вдається одержати рівняння щодо початкового інтеграла.
3. dxxaI 22.
Розв’язання
Перший спосіб (інтегрування частинами):
2 2
2 2 2 22 2
xdxu a x , du
I a x dx x a xa x
dv dx, v x
2 2 222 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2ln 2 .
I
x a ax dxx a x dx x a x
a x a x
dxa x dx a x a x I a x x a C
a x
Таким чином, отримано рівняння щодо початкового інтеграла, тобто
відносно I. Розв’язуючи це рівняння, одержимо
353
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 ln 2 ;
1ln .
2
I x a x a x x a C
I x a x a x x a C
Другий спосіб (інтегрування методом заміни змінних):
2 2 2 2
2 2
sh
ch ch
ch
x a t
I a x dx dx a tdt a tdt
a x a t
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
sh2
, т.к. 0, то
1 ch 2 sh 22 2 4
ln ln
2sh 2 2
t t
t t
x e et
a
x a xe e
a a t a at dt t C
t x x a a
x a xt sh t ch t
a
22 2 2 2ln
2 2
x aa x x a x C .
4. 2
3 2
2
1 sin,
1 sincos costg tg
coscos cos, tg
cos
xu du dx
dx xx xI x x dx
dx xx xdv v x
x
2 2
3 3 3
tg sin tg 1 cos tg
cos cos cos coscos cos cos
x x x x x dx dxdx dx
x x x xx x x
tgln tg 2
cos 2 4
x xI C
x.
Аналогічно, як і у прикладі 3, нами отримано рівняння відносно I,
розв’язання якого дає
1 tgln tg
2 cos 2 4
x xI C
x.
5. cosaxI e nxdx .
354
,sin
cos sinsincos ,
ax ax
ax ax axu e du ae dx
nx ae nxdx e e nxdxnx
n ndv nxdx vn
,sin cos
coscossin ,
ax ax
ax ax ax
I
u e du ae dxnx a nx a
e e e nxdxnxn n n ndv nxdx v
n
2
2
cossin .
axe a nx anx I C
n n n
2
2 21 sin cos
axa eI n nx a nx C
n n.
212 2 2 2 2 2
sin cos sin cosax axe C e
I n nx a nx n n nx a nx Ca n a n a n
.
6. Icos(ln ); ; 1
cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )sin(ln )(1 )
u x dv dx v xx dx x x x xdx
du x x dx x
sin(ln )
cos(ln ) cos(ln ) sin(ln ) cos(ln )
; I
u x
dxdu x x x x x x dx
x
dx dv v x
.
Перенесемо в ліву частину cos(ln )x dx .
2 cos(ln )x dx cos(ln ) sin(ln )x x x x C
cos(ln )x dx cos(ln ) sin(ln )2
xx x C .
7.
ch ; sh 1ch cos ch sin sh sin
cos ; (1 )sin
u ax du a axdx aax bxdx ax bx ax bxdx
bxdx dv v b bx b b
sh ; ch1 1
ch sin sh cos1sin ; cos
u ax du a axdxa
ax bx ax bxb b bdv bxdx v bx
b
+ ch cosa
ax bxdxb
2
2 2
1ch sin sh cos ch cos
a aax bx ax bx ax bxdx
b b b .
355
Перенесемо інтеграл із правої частини в ліву і одержимо, поділивши
на 2
22
b
ba :
2 2
ch sin sh cosch cos
b ax bx a ax bxax bxdx C
a b.
8.
sinln(cos );
sin ln(cos ) cos
sin ; cos
xu x du dx
x x dx x
xdx dv v x
cos ln(cos )x x –
sincos cos ln(cos ) cos cos (1 lncos )
cos
xx dx x x x C x x C
x.
9.
2
2
2 2 2 2
2 2
arcsin ;1
arcsin 1 (1 );
21 1 1 1
12 1 1
2
dxu x du
x
x x xdx xdx d xdx dv v
x x x x
x x
2 2 2
21 arcsin 1 1 arcsin
1
dxx x x x x x C
x.
10.
2
2 2 2
2 2 2
2
arctg ;1
arctg (1 ) 1; ( arctg )arctg
1 1 1
arctg1
dxu x du
x
x x x dx xdx dv v dx x x x
x x x
dxdx x x
x
2
arctg
1
x xdx
x2 2
arctg( arctg )arctg
1 1
xdx xx x x dx
x x
=2
2
1 (1 )arctg arctg
2 1
d xx x x
x +
221 arctg
arctg (arctg ) ( arctg )arctg ln(1 )2 2
xxd x x x x x C .
11. 2ln( 1 )x x dx
356
=
222
2 2 2
2
1( 1 )1
ln( 1 );1 ( 1 ) 1
; ;1
xdx
x x dxxu x x du
x x x x x
dxdu dv dx v x
x
=
22 2
2 2
1 ( 1 )ln( 1 ) ln( 1 )
21 1
dx d xx x x x x x x
x x
=2 2ln( 1 ) 1x x x x C .
Метод інтегрування частинами часто спрощує обчислення інтеграла
й у тому випадку, коли даний інтеграл можна знайти методом підстановки.
Розглянемо деякі приклади.
12.
2
32 2 2
2 2 2
22
2
; 2
; 1 121 1 1
1 ( 1)1
2 1
u x du xdx
x dx xdx xdxdv v x x x xdx
x x x
d xx
x
2 3 22 2 2 2 2 2 2(1 )
1 1 (1 ) 13
xx x x d x x x C .
Розв’язання. Побудуємо рекурентну формулу для обчислення
інтеграла вигляду:
In2 2( )n
dx
x a , при n 2.
In
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( ) 1 ( ) 1
( ) ( ) ( )n n n
x a x x a x dxdx dx
a x a a x a a x a .
In
2 2
12 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )nn n n
dx x dx x dx
a x a a x a a a x a .
357
Візьмемо частинами інтеграл:
2 2
2 2 2
2 22 2
2 2 1
;( )
1 ( );
2 ( )
1
(2 2)( )
n
n n
n
xdxx u dv
x a
x dx d x adx du v
x ax a
vn x a
2 2 1 2 2 1 2 2 1
1
1
2 2(2 2)( ) ( ) (2 2)( )
1.
2 2
n n n
n
x dx x
nn x a x a n x a
n
In 1 12 2 2 2 2 2 1 2
1 1
( ) (2 2)( ) (2 2)n nn n
dx x
x a a a n x a a n .
Рекурентна формула має вигляд:
In 12 2 2 2 2 1 2
2 3
( ) (2 2)( ) (2 2)nn n
dx x n
x a a n x a a n .
Використаємо рекурентну формулу для знаходження інтеграла:
2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1
( ) 4 ( ) 4 2 ( ) 2
dx x x dx
x a a x a a a x a a x a
2 2 2 2 4 2 2 5
3 3arctg
4 ( ) 8 ( ) 8
x x xC
aa x a a x a a.
13.
3 2
3 3 2
; 3
cos cos sin 3 sin
cos sin
u x du x dx
x xdx xdx dv x x x xdx
v xdx x
=
2 ; 2
sin ; cos
x u du xdx
xdx dv v x
3 2 3sin 3( cos 2 cos ) sinx x x x x xdx x x +
23 cos 6( sin cos )x x x x x C 3 2sin 3 cos 6 sin 6cosx x x x x x x=
3 2( 6 )sin (3 6)cosx x x x x C .
Часто метод інтегрування частинами застосовується разом з методом
заміни змінних.
358
14. 2 2
2 2 1 cos2sin 2 sin 2 cos2
2 22
x t t tI x dx t tdt t dt t tdt
dx tdt
2 2,sin 2 1 sin 2
sin 2sin 22 2 2 2 2cos2 ,
2
u t du dtt t t t
t tdt ttdv tdt v
1 1cos2 sin 2 cos2
4 2 4
xt C x x x C .
6.2.4. Інтегрування раціональних дробів
Первісна функція існує для всякої неперервної функції (це можна
строго довести). Однак задача знаходження аналітичного виразу первісної
функції в замкнутому вигляді, тобто у вигляді скінченної комбінації
елементарних функцій, має точне розв’язання тільки в окремих випадках.
У таблиці подані приклади інтегралів, які за зовнішнім виглядом дуже
схожі, однак у першому рядку інтеграли можуть бути подані в
скінченному вигляді, у другому рядку – ті, які не інтегруються в
скінченному вигляді.
sin
dx
x
xe dx
ln xdx
x
2 1
dx
x
arcsin xe dx tg xdx
sin xdx
x
2xe dx
ln
dx
x
3 1
dx
x
arctg xe dx sin xdx
У скінченному вигляді інтегрується досить вузький клас функцій.
Наприклад, Чебишовим була доведена теорема про те, що інтеграл від
диференціального бінома
( )m n px a bx dx ,
де n, m, p – раціональні числа, обчислюється через елементарні функції
тільки в трьох випадках:
359
1) якщо р – ціле число. (Покладемо Nx t , де N – спільний
знаменник дробів m, n ).
2) 1m
n
– ціле число. (Заміна змінних n Na bx t , де N –
знаменник дробу p ).
3) 1m
pn
– ціле число. (Заміна змінних n Nb ax t , де N –
знаменник дробу p ).
Інших випадків інтегрування цих виразів в елементарних функціях немає.
Приклад
3 4
3 3 4 3 3 24
1 1,
1 3 4
1, 1 , ( 1) , 12( 1)
2
p nx
dxx
m t x x t dx t t dt
3 312( 1)t t dt7 4
7 43 4 431212( ) ( 1 ) 3 (1 )
7 4 7
t tc x x C .
Раціональні дроби належать до класу функцій, які інтегруються у
скінченному вигляді. Під раціональним дробом розуміють відношення
двох багаточленів n-го та m-го степенів, тобто
10 1 1
10 1 1
n nn n n
m mm m m
P x a x a x ... a x aR x
Q x b x b x ... b x b
.
Алгебраїчний раціональний дріб називається правильним, якщо
степінь чисельника нижчий, ніж степінь знаменника, тобто mn . В
іншому разі дріб є неправильним.
Будь-який неправильний раціональний дріб може бути поданий як
сума багаточлена та елементарних (найпростіших) дробів. Під
елементарними або найпростішими дробами розуміють дроби таких
чотирьох видів:
а) A
x a; в)
2
Ax B
x px q
, де 2( 4 ) 0p q ;
б)
n
A
x a; г)
2n
Ax B
x px q
, де 2( 4 ) 0p q .
360
Знаходження інтегралів від раціональних дробів рекомендується
виконувати за такою схемою:
1. Якщо n m (дріб неправильний), то слід виділити цілу частину,
подавши підінтегральну функцію у вигляді суми цілої частини
(багаточлена) і правильного раціонального дробу.
2. Знаменник правильного раціонального дробу mQ x розкласти на
множники, що відповідають дійсним значенням х і парам комплексно
сполучених коренів, тобто на множники вигляду 2rk
x a , x px q ,
де 2( 4 ) 0p q .
3. Розкласти правильний раціональний дріб на найпростіші,
використовуючи теорему.
Теорема
Якщо 2 20mQ x b x a x b ... x px q ... x lx s
, то
правильний нескоротний раціональний дріб
n
m
P xR x
Q x може бути
подано у вигляді
1 1 11 1
n
m
P x A A A B BR x ...
Q x x ax a x a x b x b
1 11 1
1 22 2
M x NMx N M x N... ... ...
x px qx px q x px q
1 1 1 1
1 22 2
Px Q Px N P x N...
x lx sx lx s x lx s
.
Коефіцієнти 1 1A,A ,...,B,B ,... можна визначити з таких міркувань. Написана
рівність є тотожністю. Тому, якщо привести дріб до спільного знаменника,
отримаємо тотожні багаточлени в чисельниках праворуч і ліворуч.
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо систему
рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів 1 1A,A ,...,B,B ,... .
Поряд із цим для визначення коефіцієнтів можна скористатися таким
зауваженням: оскільки багаточлени, що знаходяться в чисельниках у
правій і лівій частинах рівності, після приведення до спільного знаменника
повинні бути тотожно рівні, то їхні значення рівні при будь-яких
361
значеннях х. Надаючи х конкретні значення, отримаємо рівняння для
визначення коефіцієнтів. За такі значення зручно вибирати дійсні корені
знаменника. На практиці для знаходження коефіцієнтів можна використати
обидва підходи одночасно.
4. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів знаходяться за
формулами:
а) lnAdx
A x a Cx a
;
б)
11
n
n n
A Adx A x a d x a C
x a n x a
, 1n ;
в)
2
2 2
22 2 ln
2
A Ax p p B
Ax B Adx dx x px q
x px q x px q
2
2 2 2 2
2 2 2ln arctg2 2
2 4 4 4
A ppd x B p x
A AB p x px q
p p p px q q q
+
+С, де 2( 4 ) 0p q .
При обчисленні інтегралів від дробів четвертого типу (г) необхідно
виконати такі перетворення підінтегральної функції
г)
2
2 2 2
22 2
2n n n
A Ax p p B d x px qAx B A
dx dx
x px q x px q x px q
1
2
22 2 1 2
n
n
x px qA dx A AB p B p
nx px q
2 22
2
2
2 4 4
n
px t
dxdx dt
p p px q q a
12
2 1 2
n
x px qA AB p
n
362
2 2n
dt
t a
, де
2
04
pq .
Для обчислення інтеграла
2 2n n
dtI , n N
t a
або застосовують спосіб,
що дозволяє виразити інтеграл nI через 1nI , або підстановку tgt a z .
Приклади інтегрування раціональних дробів
1. 3
3 2
1xI dx
x x
.
1) Дріб 3
3 2
1x
x x
неправильний, тому що степінь чисельника дорівнює
степеню знаменника. Виділимо цілу частину:
3 2 23 2
3 2 3 2 3 2
(1 )1 11
x x xx x
x x x x x x.
Тоді заданий інтеграл зводиться до наступних двох інтегралів:
2 2
3 2 2
1 11
1
x xI dx dx dx
x x x x
.
2) Знаменник дробу в другому інтегралі має дійсні кратні корені і
може бути поданий у вигляді добутку 2 1x x .
Розкладемо підінтегральний вираз на найпростіші дроби:
2
2 2
1
11
x A B C
x xx x x
.
Приведемо до спільного знаменника і зрівняємо чисельники:
2 21 1 1x A x B x x Cx .
Для знаходження коефіцієнтів покладемо спочатку х=1, одержимо 2=С;
потім, поклавши х=0, знаходимо коефіцієнт А= –1. Зрівнявши коефіцієнти
при х, знайдемо В з рівняння: А–В=0, В= –1.
Випливає, 2
2
1 ( 1)2 ln
1
dx dx dx xI x x C
x x x xx.
363
2. 3 21 1 1
dx dx
x x x x.
Розкладемо дріб на найпростіші: 22
1
1 11 1
A Bx c
x x xx x x,
тоді 21 1 1A x x Bx c x .
Нехай x=1, тоді 1=3А, А=1/3.
Зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х (наприклад, при
першому та другому), одержимо систему рівнянь для знаходження інших
коефіцієнтів: 1x 0=A+C-B; C= –2/3; 2x 0=A+B B= –1/3.
Тоді 3 2
11 1 2
3 1 31 1
d xdx xdx
xx x x
2
2
1 12 1 2
1 1 1 12 2ln 1 ln 1 ln 13 3 3 61
xx dx x x x
x x
2
2
2
1/ 21
2 31/ 2
2
1 1 1 2 1ln 1 ln 1 arctg .
3 6 3 3
d x
x
xx x x C
3. 215 4 81
( 3)( 4)( 1)
x xdx
x x x.
Підінтегральний дріб правильний, розкладемо його на найпростіші
дроби. 215 4 81
( 3)( 4)( 1)
x xdx
x x x 3 4 1
A B C
x x x
.
А=2 215 4 81 15(3) 4 3 81
( 3) 3( 4)( 1) (3 4)(3 1)
x xx
x x .
В=215 4 81
( 4) 5( 3)( 1)
x xx
x x .
364
С=215 4 81
( 1) 7( 3)( 4)
x xx
x x .
215 4 813 5 7
( 3)( 4)( 1) 3 4 1
x x dx dx dxdx
x x x x x x
3ln 3 5ln 4 7ln 1x x x const .
4. 3 2
3
6 9 7
( 2) ( 5)
x x xdx
x x.
Підінтегральна функція є правильний дріб, розкладемо його на
найпростіші. 3 2
3 3 2
6 9 7
2 5( 2) ( 5) ( 2) ( 2)
x x x A B C D
x xx x x x.
3 2
2
6 9 7 8 24 18 7 93
5 3 3x
x x xA
x
.
3 2
53
6 9 7 25 45 71
27( 2)x
x x xD
x.
Для визначення В і С приведемо дріб в правій частині до спільного
знаменника. Оскільки знаменники ліворуч і праворуч однакові, а дроби
рівні тотожно, то рівні й чисельники. 3 2 2 3
3 3
6 9 7 ( 5) ( 2)( 5) ( 2) ( 5) ( 2)
( 2) ( 5) ( 2) ( 5)
x x x A x B x x C x x D x
x x x x;
3 2 2 36 9 7 ( 5) ( 2)( 5) ( 2) ( 5) ( 2)x x x A x B x x C x x D x .
Зрівнюємо коефіцієнти при рівних степенях х зліва і справа:
при 3x :1=С+D, D=1, С=0;
2x :–6 = В–5С–4С–6D, –6 = В–6, В = 0.
Підставимо коефіцієнти в розкладання й знайдемо інтеграл. 3 2
3 3 2
6 9 7 3 1 3 1ln 5
5 2( 2) ( 5) ( 2) ( 2)
x x x dx dxdx x const
xx x x x.
5. 2
2 2( 1)( 4)
x dx
x x.
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( 4) ( )( 1)
( 1)( 4) 1 4 ( 1)( 4)
x Ax B Cx D Ax B x Cx D x
x x x x x x;
365
2 2 2( )( 4) ( )( 1)x Ax B x Cx D x .
при 3x :0=А+С А= –С.
2x :1=В+D.
х: 0=4А+С, –3С=0, С=0, А=0.
0x : 0=4В+D, 1=–3В, В= –1
3, D=
4
3 .
2
2 2 2 2
1 4
1 23 3 arctg arctg3 3 2( 1)( 4) 1 4
x dx xdx x const
x x x x.
6. 3
2 2
3
( 1)( 1)
xdx
x x.
3
2 2 2 2 2
3
1( 1)( 1) ( 1) 1
x A Bx C Dx N
xx x x x.
3
12 2
3 2 1
4 2( 1)x
xA
x.
Приводимо праву частину до спільного знаменника: 2 2 2
2 2
( 1) ( )( 1) ( )( 1)( 1)
( 1)( 1)
A x Bx C x Dx N x x
x x,
зрівнюємо чисельники: 3 2 2 23 ( 1) ( )( 1) ( )( 1)( 1)x A x Bx C x Dx N x x :
при 3x : 1=D+N, підставимо в друге рівняння;
2x : 0=2А+В+D+N, 2A+B+1=0, B= –2A–1= –2;
х: 0=B+C+D+N, C=1;
0x : 3=A+C+N, N=3
2 , D= –
1
2.
3
2 2 2 2 2
1 1 3
3 2 1 12 2 2 ln 11 2( 1)( 1) ( 1) 1
xx x
dx dx dx dx xxx x x x
–2 2
2
( 1)
xdx
x2
1
2 1
xdx
x +
2 2 2
3
2 1 ( 1)
dx dx
x x
= 2
2 2 2
1 1 1 3ln 1 ln 1 arctg
2 4 21 ( 1)
dxx x x
x x .
Обчислимо окремо
366
2 2
2
42
2 2 2 22
2
1tg ; 1 tg 1
cos
cos;sin cos
( 1) cos cos1
1arctg ;cos
1
x t x tt
dx dt x tdtdx t tdt
x t tx
t x tx
=1 1
(1 cos2 )2 2
t dt t1 1 1
sin 2 sin cos arctg4 2 2 2
tt t t C x +
22 2
1 1 1 1arctg .
2 2 2 11 1
x xC x C
xx x
32
2 2 2
( 3) 1 2 1ln 1 ln 1 2arctg
2 4( 1)( 1) 2( 1)
x dx xx x x C
x x x. □
Розглянувши 4 випадки інтегрування дрібно-раціональної функції, ми
бачимо, що інтеграл від неї є елементарною функцією, яка в загальному
випадку є сумою логарифма, арктангенса і раціональної функції.
7. 32 20 8
( 2)( 4)
x xdx
x x x.
Розв’язання. Підінтегральна функція є неправильний дріб.
Виділимо цілу частину:
3 3 2
3 2
2
2 20 8 2 8
2 4 16 2
4 4 8
x x x x x
x x x
x x
3 2 2
3 2
2
2 20 8 4 4 8 4 4 8(2 ) 2
( 2)( 4) ( 2)( 4)2 8
4 4 82 .
( 2)( 4)
x x x x x xdx dx dx dx
x x x x x xx x x
x xx dx
x x x
Розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші дроби:
24 4 8
( 2)( 4) 2 4
x x A B C
x x x x x x.
2
0
4 4 81,
( 2)( 4)x
x xA
x x
2
2
4 4 8 4
( 4) 3,x
x xB
x x
2
4
4 4 8 5
( 2) 3x
x xC
x x.
367
24 4 8 4 5 4 5ln ln 2 ln 4
( 2)( 4) 3 2 3 4 3 3
x x dx dx dxdx x x x
x x x x x x
+С.
8. 3 3
2 2 2
7 9 7 9
( 5 6) ( 2)( 3)
x xdx dx
x x x x x x.
Розв’язання. Розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші
дроби:
3
2 2
7 9 3 47; , 20,
( 2) ( 3) 2 4( 2)( 3)
x A B C DA D C
x x xx x x x.
Для знаходження В приведемо до спільного знаменника і
прирівняємо чисельники:
3 2 27 9 ( 2)( 3) ( 2)( 3) ( 3) ( 2)x A x x Bx x x Cx x Dx x ,
при 3x : 7=В+З+D, В= –5
4 .
3
2
7 9 3 5 472 20 3
2 4 42 3
xdx ln x ln x ln x C
xx ( x )( x )
.
9. 3 2
2 2
2 5 3 2
( 1)( 1)
x x xdx
x x x.
Розв’язання. Підінтегральний дріб правильний. Розкладемо його на
найпростіші дроби, враховуючи, що корені знаменника комплексні.
3 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 5 3 2
( 1)( 1) 1 1
1 1.
1 1
x x x Ax B Cx D
x x x x x x
Ax B x Cx D x x
x x x
3 2 2 22 5 3 2 ( )( 1) ( )( 1)x x x Ax B x Cx D x x .
3
2
0
2 2 2 3 1
5 5 2 3
3 3 3 1 3 1
2 2 2 1 1
x : A C A C ;
x : B C D C,C ;
x : A C D A C D,D ;
x : B D B D .
3 2
2 2 2 2
2 5 3 2 1 3 1
( 1)( 1) 1 1
x x x x xdx dx dx
x x x x x x.
368
2 2 2
1 1 (2 1) 1 2 1
21 1 ( 1 2) 3 4
x x dxdx dx
x x x x x
=21 3 1 1 2
ln 1 arctg2 2 3 4 3 4
xx x .
2
2 2 2
3 1 1 2 33 ln 1 arctg
2 21 1 1
x xdx dxdx x x C
x x x.
3 22 2
2 2
2 5 3 2 1 2 1 3ln 1 3arctg ln 1
2 2( 1)( 1) 3
x x x xdx x x x
x x x
+arctg x C .
10.
2
2 9
dxI
x
.
Розв’язання. Підінтегральна функція є найпростіший раціональний
дріб четвертого типу (г). Нижче подані два способи для знаходження
інтегралів від цього дробу.
Перший спосіб
2 2
2 2 2 22 2 2
91 1 1
9 9 999 9 9
x xdx dx xdxdx x
xx x x
22
2
22
2
9
91
2 9
1
2 9
xdxu x dv
x
d xdu dx v
x
x
2 2 2
1 1 1
9 9 29 2 9 9
dx x dx
x x x
2 2 2
1 1 1 1arctg
18 18 54 3 189 9 9
dx x x xC
x x x.
Другий спосіб
2
2 22 2 2
2
3tg tg13
3 cos3 279 cos 9tg 9
cos
xx z z
dx dzzdz
dzx z zdx
z
369
1 1 cos2 1 sin2 1 2sin cos 1
27 2 54 27 2 54 27 2 54
z z z zdz z C z C z
+2
tg
54 1 tg
z
z2
1 1arctg
54 3 18 9
x xC C
x .
Зауваження. При обчисленні інтегралів від раціональних функцій
іноді можна обійтися без розкладання їх на найпростіші, застосовуючи
інші підходи, а саме приклад 11.
11.
2
22 1
tI dt
t
.
Розв’язання. Цей інтеграл можна знайти методом інтегрування
частинами. Дійсно, взявши
2 2
2 2 2 22 2 2
1 11 1 1
2 2 2 11 1 1
d t d ttdtu t , dv ; du dt, v
tt t t
,
одержимо
22 2
1 1 1ln
2 4 112 1 2 1
t dt t tI C
ttt t.
12.
2 2
2 2
22 2 2 2
4 11 14 1 5
5 5 11 4 1 4
t tdt dtt t dt
tt t t t
2
1 1 1 1ln arctg
5 5 1 10 24
dt t tC
tt.
6.2.5. Інтегрування виразів, що містять
тригонометричні функції
1. Інтеграли вигляду:
sin( )cos( ) ; cos( )cos( ) ; sin( )sin( )kx lx dx kx lx dx kx lx dx .
Із тригонометрії відомо, що добуток тригонометричних функцій
перетворюється в суму за формулами:
370
1sin cos sin( ) sin( )
2kx lx k l x k l x ;
1cos cos cos( ) cos( )
2kx lx k l x k l x ;
1sin sin cos( ) cos( )
2kx lx k l x k l x .
Приклади
1. 1 1 1
sin6 cos7 (sin13 sin ) sin13 sin2 2 2
x xdx x x dx xdx xdx
=1
cos1326
x1
cos2
x C .
2. 1 1 1 1 1
cos5 cos9 (cos14 cos4 ) sin14 sin42 214 2 4
x xdx x x dx x x C
1 1sin14 sin4
28 8x x C .
3. 1 1 1
sin12 sin4 (cos8 cos16 ) sin8 sin162 16 32
x xdx x x dx x x C .
4. 1 1
sin2 cos5 sin9 sin2 sin4 sin14 sin2 sin42 2
x x xdx x x x dx x xdx
1sin2 sin14
2x xdx
1 1(cos2 cos6 ) (cos12 cos16 )
4 4x x dx x x dx
=1
sin28
x1
sin624
x1 1
sin12 sin1648 64
x x C .
2. Інтеграли вигляду:
sin cosm nx xdx , m, n > 0.
а) Розглянемо випадок, коли показник степеня синуса є непарне
число
m=2k+1.
sinmx cos
nxdx=sin
2k+1x cos
nxdx=sin
2kx cos
nx sinxdx= –(sin
2x)
kcos
nx d(cosx)=
= –(1–cos2x)
kcos
nxd(cosx)= cos x z =–(1–z
2)
kz
ndz.
2 1 2sin cos (1 )k n k nx xdx z z dz .
371
б) Другий випадок. Показник степеня косинуса є непарне число
n=2k+1.
sinmx cos
nxdx=sin
mx cos
2k+1xdx=sin
mx cos
2kx cosx dx=sin
mx(1–sin
2x)
kd(sinx)=
2sin (1 )m kx z z z dz .
2 1 2sin cos sin cos 1k
m n m k mx xdx x xdx z z dz .
При обчисленні інтегралів такого вигляду задача зводиться до
інтегрування степеневих функцій.
Приклади
1. 5 2 4 2 4 2sin cos sin cos sin sin cos (cos )x xdx x x xdx x xd x
= 2 2 2(1 cos ) cos (cos )x xd x 2 2 2cos (1 )x z z z dz
2 4 2(1 2 )z z z dz 2 4 6( 2 )z z z dz –3 5 7
23 5 7
z z zC =
=–3
5 7cos 2 1cos cos .
3 5 7
xx x C
2. 4 7 4 6 4 2 3sin cos sin cos cos sin (cos ) (sin )x xdx x x xdx x x d x
4 2 3sin (1 sin ) (sin )x x d x =3
4 2sin (1 )x z z z dz
= 4 2 4 6(1 3 3 )z z z z dz 4 6 8 10( 3 3 )z z z z dz
=5 7 9 11 5 11
7 9sin 3 1 sin3 3 sin sin .
5 7 9 11 5 7 3 11
z z z z x xC x x C
3. Інтеграли вигляду (sin ,cos )R x x dx .
1. За допомогою універсальної тригонометричної підстановки
tg ,2
xt
2
2sin ,
1
tx
t
2
2
1cos ,
1
tx
t
2
2
1
dtdx ,
t
372
інтеграл перетворюється в інтеграл від раціональної функції.
Зазначимо ще три випадки, в яких застосовуються більш прості
підстановки, ніж універсальна тригонометрична.
2. Якщо ( sin ,cos )R x x = (sin ,cos )R x x , тобто функція непарна
відносно sin x , то за нову змінну приймають cost x .
3. Якщо (sin , cos )R x x (sin ,cos )R x x , то sint x .
4. Якщо ( sin , cos )R x x = (sin ,cos )R x x , тобто функція парна
відносно sin x і cos x водночас, то tgt x або ctgt x .
Приклади
1. 2 5 2 4
5 2 2 5 5
2
tg2
2 2(1 ) 1 (1 )
16sin 1 (1 )(2 )
2sin
1
xt
dx dt t dt t dtdx
x t t t t
tx
t
2 4 6 8
5
1 (1 4 6 4 )
16
t t t t dt
t
3
5 3
1 1 1 64 4
16t t dt
tt t
4
4 2
1 1 1 12 6ln
16 4 4
tt C
t t=
= 4 2 41 1 1ctg 2ctg 6ln tg
16 4 2 2 2 4 2
x x x xtg C.
2. 2
2
2 2
2;sin
2 1
8 7cos sin 2 1;cos
1 1
x tt tg x
tdx
x x dt tdt x
t t
22
2 2
2
7(1 ) 2(1 ) 8
1 1
dt
t tt
t t
=
=2 2 2 2
( 1)2 2 2
8 8 7 7 2 15 2 ( 1) 14
dt dt d t
t t t t t t
2
( 1)2
( 1) 14
d t
t
tg 11 1 2 2
2 arctg arctg14 14 14 14
x
tC C .
373
3. 3 3 3cos ( cos ) cos
2 sin 2 sin 2 sin
xdx x x
x x x
оскільки функція непарна відносно cos x, то за нову змінну приймаємо
sint x
22 21 sin (sin ) sincos cos (1 )
(sin )2 sin 2 sin 2
x d x t xx xdx t dt
dt d xx x t
3( 2 )
2t dt
t
2 2( 2)2 3 2 3ln 2
2 2 2
t d t tt t t C
t
=2sin
2
x2sin 3ln sin 2x x C .
4. 2 2 2 2
sin cos ( sin )cos sin cos cos (cos )
(3 cos ) (3 cos ) (3 cos ) (3 cos )
x xdx x x x x xd x
x x x x
=2(3 )
tdt
t 2
(3 ) 3
(3 )
tdt
t =
2
( 3) ( 3)3
3 (3 )
d t d t
t t
=3 3
ln 3 ln 3 cos3 3 cos
t C C xt x
.
5. 5tg xdx .
Перший спосіб
4 255 2 2
2 2
2
tg1 1
tg arctg2 21 1
1
x tt d tt
xdx x t dt tdt d t t ut t
dtdx
t
2 2 21 1 1 1 1 1 1
12 1 2 1 2 1 1 2
u du u u dudu du u du
u u u u
+1
ln 12
u
2
2 211 1ln 1 , tg ,
2 2 2
uu C u t t x u tg x
2 22 2 2 21 1 1 1
tg 1 ln tg 1 tg 1 ln cos4 2 4 2
x x C x x C .
374
Другий спосіб
5 3 3 3
2
1tg tg 1 tg tg tg
cosxdx x dx xd x xdx
x
=4
2
tg 1tg 1
4 cos
xx dx
x
4 2tg tgln cos .
4 2
x xx C
6. 2 2sin 4sin cos 5cos
dx
x x x x
2 2
2 2
1
( sin ) 4( sin )( cos ) 5( cos )
1
sin 4sin cos 5cos
x x x x
x x x x
=
для переходу до нової змінної tgt x поділимо чисельник і знаменник на
cos2x:
=2
2 2 2
2 2 2
cos (tg )
sin sin cos cos tg 4tg 54 5
cos cos cos
dx x d x
x x x x x x
x x x
=2 2
( 2)arctg( 2) arctg(tg 2)
4 5 ( 2) 1
dt d tt C x C
t t t .
4. Інтегрування парних степенів синуса і косинуса.
2sin nxdx , 2cos nxdx , n – ціле, n>0.
Застосуємо такі формули тригонометрії:
2 1sin (1 cos2 )
2x x ; 2 1
cos (1 cos2 )2
x x .
Застосування цих формул дозволяє знизити степінь синуса або косинуса і
збільшити аргумент.
Приклади
1.
22 2
4 2 1 cos2 1cos (cos ) (1 cos2 )
2 4
xxdx x dx dx x dx
375
2 21 1 1 1(1 2cos2 cos 2 ) sin2 cos 2
4 4 4 4x x dx x x xdx
до останнього інтеграла застосовуємо прийом пониження степеня:
=1
4x
1 1sin2
4 4x
1 cos4
2
xdx
1
4x
1 1 1sin2 sin4 .
4 8 32x x x C
2. 3
3 36 2 1 cos2 1
sin (sin ) (1 cos2 )2 8
xxdx x dx dx x dx
2 3
2
1 1 3(1 3cos2 3cos 2 cos 2 ) sin2
8 8 16
3 1 cos4 1cos 2 cos2
8 2 8
x x x dx x x
xdx x xdx
= 21 3 3 3 1sin2 sin4 (1 sin 2 ) (sin2 )
8 16 16 64 16x x x x x d x
=35 3 3 1 1 sin 2
sin2 sin4 sin216 16 64 16 16 3
xx x x x C .
3. 5 4 2 2sin sin sin (1 cos ) (cos )xdx x xdx x d x
3 52 4 cos cos
(1 2cos cos ) (cos ) (cos 2 )3 5
x xx x d x x C .
4. 4 2 2 2 2 2 21 1cos sin cos 4cos sin cos sin 2
4 4x xdx x x xdx x xdx
2 2 21 1 cos2 1 1sin 2 sin 2 sin 2 cos2
4 2 8 8
xxdx xdx x xdx
=1 1 cos4
8 2
xdx
321 1 1 1 sin 2
sin 2 (sin2 ) sin416 16 64 16 3
xxd x x x C .
5. Інтеграли вигляду tgn xdx , ctgn xdx .
До інтегралу tgn xdx варто застосувати підстановку tgx = z,
dx=21
dz
z .
376
ntg xdx = 21
nz dz
z . Виконуючи ділення nz на 2( 1)z , дійдемо до табличних
інтегралів.
До інтеграла ctgn xdx застосуємо підстановку 2
ctg ,1
dzx z dx
z.
2ctg
1
nn z dz
xdxz
, далі потрібно виконати ділення і знайти інтеграли.
Приклади
1. 5 5
5 3
2 2 22
ctg
ctg1 1 1
1
x zz dz z z
xdx z zdzdx z z z
z
=
43
2( ) (
41
z zz z dz
z
221
ln 1)2 2
zz C =
4 22ctg ctg 1
( ln 1)4 2 2
x xz C .
2. 4 3
4 2
2 22
tg1
tg ( 1 )31 1
1
x zz z
xdx dz z dz zdzdx z z
z
+3tg
arctg tg3
xz C x
3tgarctg(tg ) tg
3
xx C x x C .
6. Інтеграл вигляду 1
sin cosn mx x, де n>0, m>0.
Чисельник можна замінити тригонометричною одиницею в другому
степені:
2 2 2 21 (sin cos )x x .
2 2 2 4 2 2 41 (sin cos ) sin 2sin cos cos
sin cos sin cos sin cosn m n m n m
x x x x x xdx dx dx
x x x x x x
=4
1
sin cosn mdx
x x 2 2 4
1 12
sin cos sin cosn n n mdx dx
x x x x
і знову повторити той же прийом, зводячи інтеграли до табличних.
377
Приклади
1. 2 2 2 4 2 2 4
4 2 4 2 4 2
1 (sin cos ) sin 2sin cos cos
cos sin cos sin cos sin
x x x x x xdx dx dx
x x x x x x
2
4
sin
cos
xdx
x
2 3
2 2
12 tg (tg ) 2tg ctg tg 2tg
3cos sin
dx dxxd x x x x x
x x
ctg x C .
2. 4 2 2 4
3 3 3 3 3
1 sin 2sin cos cos sin
sin cos sin cos cos
x x x x xdxdx dx
x x x x x
+1
2sin cos
dxx x 3
cos
sin
xdx
x 3 3
(cos ) (sin )4
sin2cos sin
d x dx d x
xx x =
2 2
1 1 12ln
2 cos 2sintgx C
x x.
7. Інтеграли вигляду 2 2
2 2
sin cos( ), ( )
cos sin
n m
m n
x xdx m n dx n m
x x
обчислюються за допомогою підстановок tgz x або ctgz x .
Якщо степінь чисельника більше степеня знаменника n m , то
2 2 2
2 2 2
sin (sin ) (1 cos )
cos cos cos
n n n
m m m
x x xdx dx dx
x x x.
Приклад. 2 2 2
6 2 2 22
2
(tg ), tgsin sin 1 cos
1cos cos cos cos1 tg
cos
dxd x x z
xdx x dx x
x x x xx
x
=3
2 2(1 )3
zz z dz
5 3tg
5 3
z xC 51
tg5
x C .
8. Інтеграли вигляду: 2sin n
dx
x і
2cos n
dx
x.
а) 2 22 2 2 22
ctg1
11 ctg 1sin sin sin
sin
n n
x zdx dx
x zx x xx
378
=
1
2 2
1
sin sin
ndx
x x
12 2 11 ctg (ctg ) (1 )
nnx d x z dz .
Приклад.
3
8 6 2 2 2
1 1
sin sin sin sin sin
dx dx dx
x x x x x
2 3(1 ctg ) (ctg )x d x6
3 53 ctgctg ctg ctg
5 6
xx x x C .
б)
1
2 2 2 2 2 2
1 1
cos cos cos cos cos
m
m m
dx dx dx
x x x x x
= 2 2
2
tg
11 tg 1
cos
x z
x zx
=1
2 2 11 tg (tg ) (1 )m
mx d x z dz .
Приклади
1.
2
6 4 2 2 2
1 1dx dx dxtgx z
cos x cos x cos x cos x cos x
= 2 21( tg x ) ( dtgx ) 2
2 2 4 3 52 11 1 2
3 5z dz ( z z )dz z z z C
= 3 52 1
3 5tgx tg x tg x C .
2. 3
26 2 3 2 4 6
4 4 4 4
1 sincos (cos ) 1 3sin 3sin sin
sin sin sin sin
xx x x x xdx dx dx dx
x x x x
2
4 2 2 2
13 3 sin 3ctg 3
sin sin sin sin
dx dx dxdx xdx x x
x x x x
–1 cos2
2
xdx 2 1 1
(1 ctg ) (ctg ) 3ctg 3 sin22 4
x d x x x x x
3ctg 5 1ctg 3ctg sin2
3 2 4
xx x x x C .
Контрольні приклади до гл. 6
У наступних прикладах знаки * необхідно замінити виразами або
числами.
Приклад 6.1. Знайти .214 32 dxxxI
379
Розв’язання. 1
3 41
1 26
I x d * *
321 2
15x C .
Приклад 6.2. Знайти
12122
22 x
dx
x
xI .
Розв’язання.
2
2 1
d *I *
x
+
22
1
4 2 1
d *
x
12 arctg 2
4 *x C .
Приклад 6.3. Знайти
.1 2
dxx
xI
Розв’язання. Помножимо чисельник і знаменник підінтегрального виразу
на х:
2 2 2 2
2
1 1 ; 1
*
x x x t x tI dx
x xdx dt
=
2t dt
* =
2
2
1
1
t *dt
t
=
22
2
1 * 1 1 1ln 1 ln
2 * 2 1 1
xt C x C
x.
Приклад 6.4. Знайти 2
2
2
1
xI dx.
x
Розв’язання. 2 2
2 2
12 2 2 1
1 1
x x * *I dx dx dx
x x*
=
1 *2 * ln
2 1C
x.
Приклад 6.5. Знайти 32 3
x
I x e dx.
Розв’язання. 3 3
3 3
3
3
x x
x x
u , du dxI e e dx
dv e dx, v e
=
3 33
x x
e e C .
Приклад 6.6. Знайти 3 2I sin x cos xdx .
380
Розв’язання. 2 2cos
sin cos sint x
I x x xdxdt dx
32 2 31
1 cos cos3 3
t tt dt t t dt C x x C .
Приклад 6.7. Знайти 5 3
4 2
2 6 1
3
x xdx
x x
.
Розв’язання. Виділимо цілу частину: 5 3
4 2 4 2
2 6 1 1
3 3
x x
x x x x
.
Подамо правильний дріб у вигляді суми найпростіших дробів:
4 2 22
1 1
3 33
A B
xx x xx
.
Зведемо до спільного знаменника та зрівняємо чисельники:
3 21 A C x B D x x .
Зрівнюємо коефіцієнти при 0 2 3x , x, x , x . Одержимо систему:
0
0
0
1
A C
B D
, її розв’язання: 0 0A , B , C , D .
Повертаємося до заданого інтеграла:
5 3
4 2 2 2
2 6 1 1 1 1
33 3 3
x xdx dx
xx x x x
arctgx
C .
Приклад 6.8. Знайти 3 3 4
dxI
x x
.
Розв’язання. Виконаємо заміну змінної.
3 3
4 4
x t t dt dtI
t t tdx t dt
381
43 3 1 3 ln
4 4
tdt dt t C
t t
повертаємося до вхідної змінної х
=3 ln 4x C .
Лабораторна робота 6. Використання системи Maple
для обчислення невизначених інтегралів
Завдання. Обчислити неневизначені інтеграли.
Виконання. У системі MAPLE для обчислення невизначених інтегралів
існує команда int(expr,var), де expr – підінтегральний вираз, var - змінна
інтегрування. Результат інтегрування виводиться без сталої інтегрування,
що дозволяє багаторазово використовувати результат у подальших
обчисленнях.
Приклади:
1) 5sin cosx x dx ,
> int(sin(x)^5*cos(x),x);
61sin
6x .
2)
dxx4
x
4,
>int(x/sqrt(4-x^4),x);
21 1arcsin
2 2x .
3) ln
dx
x x,
> int(1/(x*ln(x)),x);
ln ln x .
4) dx17x4x4
1x32
,
> int((3*x-1)/(4*x^2-4*x+17),x);
23 1 1 1ln 4 4 17 arctan
8 16 2 4x x x .
382
5) dx2x6x
5x2
2
,
> int((2*x+5)/sqrt(x^2+6*x+2),x); 1 1
2 22 22 6 2 ln 3 6 2x x x x x .
6)
dx1xx
1
,
> int(1/(sqrt(x)*(x+1)),x);
1
22arctan x .
7) dxx1x 22,
> int(x^2*sqrt(1-x^2),x); 3 1
2 22 21 1 1
1 1 arcsin4 8 8
x x x x x .
8) 1
9 8cos sindx
x x,
> int(1/(9+8*cos(x)+sin(x)),x);
1 1 1 1arctan tan
2 4 2 4x .
9) arctgx x dx ,
> int(x*arctan(x),x);
21 1 1arctan arctan
2 2 2x x x x .
10) 2 sin 3xe x dx ,
>int(exp(2*x)*sin(3*x),x);
3 2exp 2 cos 3 exp 2 sin 3
13 13x x x x .
11) 2 arccosx x dx ,
> int((x^2)*arccos(x),x); 1 1
3 2 2 22 21 1 2
arccos 1 13 9 9
x x x x x .
383
12) dx1x
13
,
int(1/(x^3-1),x);
21 1ln 1 ln 1
3 6x x x arctan
1 1
2 21 1
3 2x 1 33 3
.
Контрольні завдання до гл. 6
Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли.
6.1. 1. а) 3sin cos ;x xdx б) 2
;sin
xdx
x в) ;
sin cos
dx
x x
г)
2
2
3 1
x dx;
x x
д)
2
3 2
3 6 1
3 2
x xdx;
x x x
е)
2
4 3
1 xdx
x x
;
ж) 2
dx
x x ; з)
5 ln 5
5
xdx
x
; и)3
3
cos
sin
xdx
x ;
к)3
1
1
xdx
x
; л) 281 x dx ; м)
2
arcsin xdx
x.
6.1.2. а) arcsin ln
;x
dxx
б) 2 xx e dx;
в) ;2sin 3cos 1
dx
x x
г)
2
4 1
2 1
x dx;
x x
д)
2
2
2 6 1
1 2
x xdx;
x x
е)
3
31 xdx
x x
;
ж) 2tg xdx ; з) 2
2arctg 2
1 4
x xdx
x; и)
3
4
sin
cos
xdx
x ;
к) 2 1
dx
x x ; л)
2 216 16
dx
x x ; м) arctg 1 x dx .
6.1.3. а) sin 2sin4 ;xxe dx б) 2
;cos
xdx
x в)
2
4
cos;
sin
xdx
x
г)
2
7 1
3 6 4
x dx;
x x
д)
2
2
9 14
4 3 4
x xdx;
x x x
е)
arctg
2
x xe edx
x;
384
ж) 2
3
2
4
xdx
x x
; з)
2
sin
2cos
x x dx
x x
; и)
3 5sin cos
dx
x x ;
к)
3
1 1
dx
x x ; л)
3
25
dx
x ; м)
3 xe dx .
6.1.4. а) 3 15sin cos ;x xdx б) 2 sin2 ;x xdx в) ;7cos 6sin 9
dx
x x
г)
2
4 3
2 4
x dx;
x x
д)
2
2
3 12 10
5 6 2
x xdx;
x x x
е)
2
3 2
9 8
1 xdx
x x
;
ж)
221 xe
dxe
; з)
2
2
8 arctg2
1 4
x xdx
x; и)
3 3cos sin
dx
x x ;
к)
2
1 1
1 1
xdx
x x
; л)
4
321
x dx
x ; м)
5
2
6
1 xdx
x
.
6.1.5. а) ;2sin 3cos 2
dx
x x б) 2 cos5 ;x xdx в)
2
1arcsin
1;
1
xdx
x
г)
2
3 4
9 6 5
x dx;
x x
д)
2
2
2 21 50
6 2
x xdx;
x x
е)
2
3 2
2 9
1 xdx
x x
;
ж) sin2 cosx xdx ; з) 3
4 1
x x dx
x
; и)
tg cos2
dx
x x;
к) 2
3
2 3
xdx
x x
; л)
4
322
x dx
x ; м)
3
3
1
1
x dx
xx
.
6.1.6. а)
2
2 ;
x
e xdx б) 2ln 6 27 ;x x x dx в) 3
17
sin;
cos
xdx
x
г)
2
1 4;
2
x dx
x x
д)
2
2
5 18 8;
3 2 6
x xdx
x x x
е)
3
3 2
2
1 xdx
x
;
385
ж) 1
xdx
x ; з)
2
1
1
x dxx
x
; и)
3 5sin cos
dx
x x ;
к)
3
2
2 1
1
xdx
x
; л)
4
2 216 16
x dx
x x ; м)
33 1
dx
x x .
6.1.7. а) 3 9sin cos ;x xdx б) ln 1 ;x dx в) ;18cos sin 17
dx
x x
г)
2
2 5
4 8 1
x dx;
x x
д)
23 2 1
3 1 5
x xdx;
x x x
е) 2
1arccos
ln
ln
x dxx x
;
ж) 2
1
1
xx dx
x
; з)
4
2
arcctg
1
x xdx
x; и)
4 4
sin2
cos sin
xdx
x x ;
к) 4 5 5
dx
x x ; л) 24 x dx ; м)
2
2 1xdx
x
.
6.1.8. а) 2
1arctg
;xdxx
б) 22
x
e x dx; в) 2
;sin cos
dx
x x
г)
2
4 1
2 3
x dx;
x x
д)
2
2
2 3 2
4 12 2
x xdx;
x x x
е)
3
8 7
1 xdx
x x
;
ж) 3 1x xdx ; з)
2
2
arcsin 1
1
xdx
x
; и)
24 2cos
dx
x ;
к)
2
3
1xdx
x
; л) 2 23x x dx ; м) 4
15 1
xdx
x .
6.1.9. а) 2
2
arccos;
1
xdx
x б) 2ln ;xdx в) ;
3sin 11cos 12
dx
x x
г)
2
5 3
2 4 5
x dx;
x x
д)
26 25 16
4 1 2
x xdx;
x x x
е)
33 2
2 6
1 xdx
x x
;
ж) 3
4 1
x xdx
x
; з)
2 1
xdx
x ; и)
5 5sin cos
dx
x x ;
386
к) 31 2
2
xdx
x
; л) 3 225x x dx ; м)
21 cos
dx
x.
6.1.10. а) 3
2
arctg;
1
xdx
x б) 2 5xx e dx; в)
3;
cos sin
dx
x x
г) 2
3 2
4
x dx;
x x
д)
2
2
4 14 11
1 6
x xdx;
x x
е)
2
4 3
3 2
1 xdx
x
;
ж) 2ctg xdx ; з) 2 1
dx
x x ; и)
4 4sin cos
dx
x x ;
к)
2
3 4
1 2
x dx
x
; л)
3
264
dx
x ; м)
2
ln 1
ln
x dx
x.
6.1.11. а) 3 12sin cos ;x xdx б) 2 xx e dx; в) ;8cos sin 9
dx
x x
г)
2
2 4
4 11
x dx;
x x
д)
22 3 7
1 2 5
x xdx;
x x x
е) 3
1
1 1
xdx
x
;
ж)
2
2
1sin 3 x
xdx
x; з)
4 2 1
xdx
x x ; и)
4
6
sin
cos
xdx
x ;
к)
2
3 2 3
dx
x x ; л)
3
21
dx
x ; м)
32
ln
1
x xdx
x
.
6.1.12. а) tg
2;
cos
xedx
x б)
2;
sin 2
xdx
x в)
2;
cos sin
dx
x x
г)
2
3 1
3 1
x dx;
x x
д)
2
2
5 31 31
1 6
x xdx;
x x
е)
2
10 9
1 xdx
x x
;
ж) 10
1x x dx ; з)
2
23
1
3 2
x dx
x x
; и)
6
4
cos
sin
xdx
x ;
к) 2
2 1xdx
x
; л)
4
326
x dx
x ; м)
2 2 1xxe x dx .
387
6.1.13. а) 13 3sin cos ;x xdx б) 23xx dx; в) ;5cos 5sin 7
dx
x x
г)
2
3 6
6 2 7
x dx;
x x
д)
2
2
7 20 3
1 5
x xdx;
x x
е)
31
dx
x x ;
ж) 1 12 5
10
x x
xdx
; з)
2
cos
2sin
x xdx
x x
; и)
4sin cos
dx
x x ;
к) 2 1
dx
x x ; л) 24x x dx ; м)
2
4 2
1
3 1
x dx
x x x
.
6.1.14. а) tg
2;
sin
с xedx
x б) 3 3xx e dx; в)
3;
cos sin
dx
x x
г)
2
3 2
3 2
x dx;
x x
д)
2
2
3 29 69
5 4
x xdx;
x x
е)
2
3 2
2 5
1 xdx
x x
;
ж) 3 1
1
x
x
edx
e
; з)
2
3
1
3 1
x dx
x x
; и) 5 3sin cosx xdx ;
к) 2 1
xdx
x x ; л) 2 21x x dx ; м)
22 3 4
dx
x x x .
6.1.15. а) 11
cos;
sin
xdx
x б)
2;
sin
xdx
x в) ;
25cos 2sin 23
dx
x x
г)
2
4
8 3
x dx;
x x
д)
2
2
3 20 22
1 4
x xdx;
x x x
е)
3 1 2
3 1
xe xdx
x
;
ж) 2 2sin 2 cos 2
dx
x x; з) tg lncosx xdx ; и) 5sin xdx ;
к) 2
xdx
x ; л)
3
32 29
x dx
x ; м)
2
1
xxe dx
x .
6.1.16. а) 3
2
arcsin;
1
xdx
x б) 3 2xx e dx;
в) 2
;cos sin
dx
x x
г)
2
3 4
5
x dx;
x x
д)
2
2
12 14
8 15 3
x xdx;
x x x
е)
2
5 4
252 11
1 xdx
x x
;
388
ж) 2 21 2
dx
x x ; з)
4
2cos 3sin
2sin 3cos
x x dx
x x
; и) 3 5sin cos
2 2
x xdx ;
к) 21 2 2
dx
x x x ; л)
2
4
4xdx
x
; м)
1
x
x
xe dx
e .
6.1.17. а) 12
sin;
cos
xdx
x б) arctg ;x xdx в) ;
5cos 3sin 3
dx
x x
г)
2
1
3 2 8
x dx;
x x
д)
2
2
3 3
3 4 3
x xdx;
x x x
е)
232 2
dx
x x ;
ж) 2
x xe e dx ; з)
3
11
2dx
x
x x
; и)
4sin
dx
x ;
к) 3
3 2 1 1
x dx
x ; л)
2
3
9xdx
x
; м)
4
arctg xdx
x.
6.1.18. а) arcctg
;x
dxx
б) 3 ;xx e dx
в) 2
4
sin;
cos
xdx
x
г)
2
2 5;
2 1
x dx
x x
д)
2
2
7 37;
4 3
x xdx
x x
е)
2
3 2
1 xdx
x x
;
ж) 2
1
x
x
edx
e з)
1
1
x dx
x x
; и)
6cos
dx
x ;
к) 2 1 1 2 1
dx
x x ; л)
2
6
4 xdx
x
; м)
22
arctg
1
x xdx
x
.
6.1.19. а) 15cos sin ;x xdx б)
3
4 cos3 ;
x
e xdx в) ;2cos 3sin 1
dx
x x
г)
2
3;
4 6 1
x dx
x x
д)
2
2
6 6;
5 4 2
x xdx
x x x
е)
3 2
31
x x xdx
x x
;
ж) 1
tg ctgx x dx ; з) 31 ln x
dxx
; и) 4ctg xdx ;
389
к) 3 2 2
dx
x x ; л)
2
4
8xdx
x
; м)
3
arctg
1
xdx
x.
6.1.20. а) 4
;1
xdx
x б) 3 ;xx e dx в)
4
6
sin;
cos
xdx
x
г)
2
2 3;
3 4
x dx
x x
д)
2
2
9 22;
6 8 4
x xdx
x x x
е)
3
3
9 4
1 xdx
x x
;
ж) 4sin xdx ; з) 1 cos
sin
x dx
x x
; и) 3tg xdx ;
к) 1
1
xdx
x
; л) 4 2 3
dx
x x ; м)
4
1 2x
dx
.
6.1.21. а) 11sin cos ;x xdx б) 2
ln;
xdx
x в) ;
7cos sin 5
dx
x x
г)
2
1 5;
9
x dx
x x
д)
2
2
5 16 2;
5 4 2
x xdx
x x x
е)
2
1arccos
x
x dxx
;
ж) 2 2
dx
x x ; з)
2
cos sin
sin
x x x dx
x x
; и) 2cos cos 3x xdx ;
к) 1 sin x
dxx
; л)
3
4 21
xdx
x ; м)
3
4 2 1
x x
x x
e edx
e e
.
6.1.22. а) arctg 1 2
;1 2
xdx
x б)
23 ;xx e dx в)
4
6
cos;
sin
xdx
x
г)
2
1 2;
3 4
x dx
x x
д)
2
2
3 13;
4 4 5
x xdx
x x x
е)
2
3
9 5
1 xdx
x x
;
ж) 3 1
xdx
x ; з)
3
2
arccos 1
1
xdx
x
; и) sin sin2 sin3x x xdx ;
к) 1 1
1 1
xdx
x
; л)
5
4 4
x dx
x ; м)
21 x x
dx
e e .
390
6.1.23. а) 5
9
sin;
cos
xdx
x б) arcctg4 ;xdx в) ;
11cos 8sin 13
dx
x x
г)
2
3 2
6 3 5
x dx;
x x
д)
2
2
4 13 3
1 4
x xdx;
x x
е)
2
6 5
1 xdx
x x
;
ж) 2
1
xdx
x ; з)
3
22 1
x dx
x ; и)
3
6
cos
sin
xdx
x ;
к) 2
1
x
x
e dx
e ; л)
4
321
x dx
x ; м)
2
tg
1 tg tg
xdx
x x.
6.1.24. а) ln
;x
dxx
б) 3 xx e dx; в) 2 4sin cos ;x xdx
г)
2
3 2
5 6
x dx;
x x
д)
2
2
9 21
2 5
x xdx;
x x
е)
3
3
12 7
1 xdx
x x
;
ж)
2
2
1
1
xdx
x
; з)
24 ln
dx
x x ; и)
3
4 3
sin
cos
xdx
x ;
к) 2 1
xdx
x x ; л)
2
3
1xdx
x
; м)
3sin
2
cos sin
cos
xx x xe dx
x.
6.1.25. а) 3
18
cos;
sin
xdx
x б) arctg2 ;x xdx в) ;
cos 2sin 2
dx
x x
г)
2
4 6
4 5 3
x dx;
x x
д)
2
2
6
3 2 4
x xdx;
x x x
е)
3
1
1 1
xdx
x
;
ж) 1 cos
dx
x; з)
21x x
dx
e e ; и) 4 6sin cosx xdx ;
к)
2
2
1 2
x dx
x x
; л)
3
3216
x dx
x ; м)
mx mx
dx
ae be .
6.1.26. а)
3ln 1;
1
xdx
x б) 2xxe dx;
в) 2 4cos sin ;x xdx
391
г)
2
5 2
6 5
x dx;
x x
д)
2
2
9 32
5 2
x xdx;
x x
е)
2
4 3
2 3
1 xdx
x x
;
ж) 3 2cos 3cos sinx x x dx ; з) 2
ln
1 ln
xdx
x x ; и) 7tg xdx ;
к) 21 1
dx
x x ; л)
4
23
x dx
x ; м)
1
1
x xdx
x
.
6.1.27. а) 3
12
cos;
sin
xdx
x б) 2 4
x
x e dx; в) ;7sin 19cos 17
dx
x x
г)
2
3 2
3 8
x dx;
x x
д)
2
2
2 3 6
5 6
x xdx;
x x x
е)
2
4 3
2 4
1 xdx
x x
;
ж) 2
2 tg
tg 1
xdx
x; з)
3
4
tg
cos
xdx
x; и)
3 11cos sin
dx
x x ;
к) 2
1 x dx
x x
; л)
2 21 1
dx
x x ; м)
4
2 1 2
x dx
x x .
6.1.28. а) 2 2
4
arccos;
1
x x
x
e edx
e б) 4xxe dx; в)
2
6
sin;
cos
xdx
x
г)
2
3
6 1
x dx;
x x
д)
2
2
4 18 43
8 4 4
x xdx;
x x x
е)
2
3
5 3
1 xdx
x x
;
ж) lg 210 x dx ; з)
2
3 1
9
x dx
x
; и)
3
2
sh
ch
xdx
x;
к) 41 x
dxx x
; л)
2
2
9 xdx
x
; м)
ln 1
1
x dx
x.
6.1.29. а) 5
3
sin;
cos
xdx
x б) 2 2
x
x e dx; в) ;3cos sin 1
dx
x x
г)
2
2 3
3 1
x dx;
x x
д)
2
2
3 7 1
3 2 3
x xdx;
x x x
е)
2
4 3
202 7
1 xdx
x x
;
392
ж) 2
lg 3x x dx ; з) 3
41
x x dx
x
; и)
4sh ch
dx
x x;
к) 1x x
dx
e e ; л)
2
2
4xdx
x
; м) 2 shx xdx .
6.1.30. а) 2
arctg 1;
2 2
xdx
x x б) 2cos ;x xdx в)
2
8
cos;
sin
xdx
x
г)
2
5
3 1
x dx;
x x
д)
2
2
5 6 7
6 3
x xdx;
x x x
е)
2
5 4
2 5
1 xdx
x x
;
ж) 2 2
sin cos
4sin 9cos
x xdx
x x; з)
2
2 arcsin
1
x xdx
x
; и)
6sin
dx
x ;
к) 3
3 41 1
x dx
x ; л)
2 1xdx
x
; м)
1 23 1
/
dx
x x .
393
Розділ 7. Визначений інтеграл та його застосування
7.1. Визначення, властивості, геометричний зміст визначеного
інтеграла. Методи обчислення
Нехай на відрізку b,a визначена функція xfy . Розіб'ємо цей
відрізок на n довільних частин точками
bxxxxxa nii 110 .
На кожному з відрізків 1,i ix x , n,i 1 , візьмемо довільну точку i і
побудуємо суму i
n
iin xfS
1
,де 1 iii xxx . Сума nS називається
інтегральною сумою для функції xfy , яка відповідає даному розбиттю
відрізка b,a і даному вибору точок i. Позначимо i
nixmax
1, n,i 1 .
Визначення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми nS при
01
ini
xmax , яка не залежить від способу розбиття відрізку b,a на
елементарні ділянки і вибору точок i, то ця границя називається
визначеним інтегралом від функції xf на відрізку b,a і позначається
n
iii
b
a
xflimdxxf10
.
Функція f x в цьому випадку називається інтегровною функцією на
відрізку b,a . Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою
межами інтегрування.
Геометричний зміст визначеного інтеграла: якщо 0xf
x a,b , то b
a
dxxf
чисельно дорівнює площі
криволінійної трапеції з
основою a,b , що обмежена
прямими x=a, x=b та кривою
y=f(x) (рис 7.1).
S f x dxa
b
( )
a b
y
x
)x(fy
Рис. 7.1
394
У загальному випадку визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній
сумі площ фігур, обмежених лініями: xfy , x = a, x = b, у = 0, причому
площі, розташовані вище осі Ох, входять у цю суму зі знаком «+», а
площі, розташовані нижче осі Ох, – зі знаком «–» (рис.7.2).
Властивості визначеного інтеграла:
1. При переставлянні меж інтегрування знак інтеграла змінюється на
протилежний:
b a
a b
f x dx f x dx.
2. Якщо нижня і верхня межі інтегрування збігаються, то інтеграл
дорівнює нулеві: 0
a
a
f ( x )dx .
3. Лінійність . Якщо xf і xg – функції, інтегровні на b,a , то:
а) сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
const, CdxxfCdxxCf
b
a
b
a
;
б) інтеграл від алгебраїчної суми інтегровних функцій дорівнює
алгебраїчній сумі інтегралів:
.dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
4. Адитивність. Якщо xf – функція, інтегровна на c,a і b,c , де
с a,b , то вона інтегровна на [a,b] і
b
a
c
a
b
c
.dx)x(fdx)x(fdx)x(f
+ +
– – x
y
a b
Рис. 7.2
395
5. Якщо ba і 0xf , то 0b
a
dxxf , причому рівність нулеві
можлива тільки в тому випадку, коли 0xf , b,ax .
6. Якщо ba і xgxf , то b
a
b
a
dxxgdxxf , тобто нерівності
можна інтегрувати.
7. Якщо xf – функція, інтегровна на [a,b], то xf також
інтегровна на [a,b] функція і має місце нерівність:
b
a
b
a
dxxfdxxf .
8. Теорема про оцінку визначеного інтеграла. Якщо Mxfm ,
,inf],[xfm
ba xfM
ba ],[
sup , то
abMdxxfabmb
a
.
9. Теорема про середнє значення. Якщо f x неперервна b,ax ,
то b,a таке, що
abfdxxfb
a
.
Геометричний зміст теореми: нехай
0xf [ ]x a,b , тоді існує принаймні
одна точка b,a , така, що площа
криволінійної трапеції, обмежена зверху
неперервною кривою xfy , буде
дорівнювати площі прямокутника з тією
ж основою і висотою, яка дорівнює f
(рис. 7.3).
10. Якщо функції xf і x – неперервні на [a, b], а x – зберігає
знак на цьому відрізку, то
badxxfdxxxf
b
a
b
a
(узагальнена теорема про середнє).
y
a b x
Рис. 7.3
396
11. Якщо неперервна функція xf , llx , парна, то
ll
l
dxxfdxxf0
2 .
Якщо xf – непарна, то
0
l
l
dxxf ,
тобто інтеграл з симетричними межами від непарної функції дорівнює
нулю.
Якщо F x є первісною для неперервної функції f x на проміжку
a,b , то має місце формула Ньютона-Лейбниця:
aFbFa
bxFdxxf
b
a
,
яка встановлює зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами і
дозволяє знаходити значення визначеного інтеграла як різницю значень
первісної на верхній та нижній межах визначеного інтеграла.
Приклади
1. Оцінити інтеграл
3
4
sindx
x
x.
Розв'язання. Підінтегральна функція x
xxf
sin спадає на відрізку
34; , тому що її похідна
0costg
3;
4,g
sincos22
x
xxxxxtx
x
xxxxf .
Отже, найменше значення функції
2
33
3fm , а найбільше
значення функції
22
4fM . Скориставшись теоремою про оцінку
інтеграла, одержимо
397
43
22sin
432
333
4
dxx
x,
тобто
24,06
2sin
8
322,0
3
4
dxx
x.
2. Оцінити абсолютну величину інтегралу
19
10
81
sindx
x
x.
Розв'язання. Оскільки 1sin x , то при 10x виконується
нерівність 8
810
1
sin x
x. Використовуючи властивість 7, одержимо
7819
10
8
19
10
810101019
1
sin
1
sin
dxx
xdx
x
x.
3. Оцінити інтеграл зверху
1
0
21
sindx
x
xI .
Розв'язання. За узагальненою теоремою про середнє значення
визначеного інтеграла маємо
10sin4
arctgsin1
sin1
sin 1
0
1
0
2
1
0
2
x
x
dxdx
x
x.
Оскільки на відрізку [0, 1] функція sinx зростає, то sin<sin1. Звідси
маємо оцінку інтегралу зверху:
64,01sin41
sin1
0
2
dx
x
x.
Можна отримати кращу оцінку, якщо ту ж теорему використати у вигляді
46,01cos11cos11
1sin
1
1
1
sin 1
02
1
0
2
1
0
2
xdxdx
x
x.
4. Обчислити інтеграл
2
2
212
2
22
2
3 cossincos1coscoscos dxxxdxxxdxxx
398
= Скористаємося парністю підінтегральної функції =
2
0
212
0
21coscos2cossin2 xdxdxxx
=2
3
4
23
cos2coscos
2
0
232
0
21
x
xdx .
5. Обчислити інтеграл, якщо 0 ,
1
122
1
1
2sincos
cos
1cos2 x
xd
xx
dxI .
Розв'язання
sin
cosarctg
sin
cos1arctg
sin
1
sin
cosarctg
sin
11
1
xxI
2sin
2cos2
2cos2
arctg
2sin
2cos2
2sin2
arctgsin
122
sin2222sin
1
22tgarctg
2tgarctg
sin
1.
Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
Теорема. Нехай функція xf неперервна на b,a , а функція х= t
монотонна і має неперервну похідну на відрізку , , де a ,
b . Тоді має місце формула заміни змінної у визначеному інтегралі
dtttfdxxfb
a
.
При заміні змінної інтегрування значення функції t не повинні
виходити за межі проміжку [a, b], коли t змінюється на ,.
Якщо функція t є монотонною на проміжку ,, то ця умова
виконується.
Приклади
1.
a
dxxaI
0
22
399
Розв'язання. Нехай tax sin . Визначимо нові межі інтегрування для
змінної t. Нехай 0x , тобто беремо х рівним нижній межі інтегрування у
заданому інтегралі. Тоді за t можна взяти будь-який розв'язок рівняння
0sin ta , наприклад 0t . Для знаходження верхньої межі для змінної t
замість х підставляємо верхню межу інтегрування, що дорівнює а, і
розв'язуємо рівняння taa sin , звідки 1sin t , zn,nt
22
, тобто
рівняння має нескінченну множину розв'язків. При цьому, взявши
розв'язок 2
t , який відповідає 0n , ми отримаємо, що при змінюапнні t
від 0 до 2
змінна х буде монотонно змінюватися від 0 до а. У такий спосіб
маємо
.42
sin
2202
2
2sin
22
2cos1
coscossin
2,
0,0cos
,sin
2222
0
2
2
0
222
0
222
aatt
adt
ta
tdtatdtataa
tax
txtdtadx
tax
I
2.
2
0
21ln
x dxeI .
Розв'язання. Функція xe21 є неперервною і монотонною на
проміжку [–ln2,0]. Нехай xet 21 . Знаходимо межі інтегрування для
змінної t. Якщо x=0, маємо t=0; якщо x= – ln2, знаходимо
2
3e1e1t 4ln2ln2 . Вочевидь, що функція, обернена до t, має
вигляд
2
1ln 2tx
і буде неперервною та диференційовною на проміжку
2
30 t . Тоді
1
,22,11
22
2222ln
0
2
t
tdt
e
tdtdx
tdtdxetedxeI
x
xx
x
400
12
3
12
3
ln2
1
2
3
1
1ln
2
1
1
11
1
23
0
23
0
2
223
0
2
2
t
ttdt
t
t
t
dtt
32ln2
332ln
2
1
2
3 2 .
3. Обчислимо інтеграл
2
0cos2 x
dxI . Покажемо, що невиконання
умов теореми при застосуванні метода підстановки призводять до
помилок. Припустимо, ми хочемо використовувати наступну підстановку:
2tg
xt . Знаходимо нижню межу інтегрування 00tg t , а потім верхню
межу 0tg t . Тоді
0
0
0
02
2
22
03
2
1
121
2t
dt
t
tt
dtI ,
що неможливо, тому що підінтегральна функція 0cos2
1
x. Пояснюється
це тим, що функція 2
tgx
в точці x 20, має розрив і, отже, не має
неперервної похідної. Підстановка 2
tgx
t не може бути використана на
проміжку 20, . Наведений інтеграл може бути обчислений у такий
спосіб:
0
2
2
02
2
0
1
2sin
1
2sin2
sin21
2cos22
0cos2
t
t
dt
t
dt
t
dttx
x
dx
3
2
23
4
3
2ctg
arctg3
4
2ctg
2
1
2
32
ctg
2
0
02
t
t
td
.
401
Формула інтегрування по частинам b
a
b
a
vdua
buvudv ,
де xu та xv – неперервно диференційовні на b,a функції.
Приклади
1.
3
01
arcsin dxx
xI .
Розв'язання. Нехай x
xu
1arcsin , тоді
22 1
1
11
1
x
dx
x
x
x
x
du
vxdxdvxx
dx
,,
12.
3
312
3arcsin3
12
1
1arcsin
3
0
2
23
0
3
0 x
xdx
xx
xdx
x
xxI
3arctg3arctg
11
1 3
0
3
0
3
0
2
3
0
2
2
xxx
xdxd
x
x
33
4 .
2. Обчислимо інтеграл
2
0
sinnnI xdx
.
Розв'язання. Нехай xu n 1sin , тоді xdxxndu n cossin1 2 ,
dv=sinxdx, v= – cosx. Маємо
2
0
2
2
0
222
0sin1sin1sin1sincos xdxndxxxnxxI nnn
n
nnn InInIn 111 2 .
Таким чином, 2
1
nn I
n
nI . Отримане рекурентне співвідношення
дозволяє для будь-якого натурального n одержати значення інтеграла. При
парному n:
22
12
2222
13321202
!!k
!!kI
...kk
...kkI k , де
2
2
0
0
dxI .
402
При n=2k+1 знаходимо
!!k
!!kI
...kk
...kkI k
12
2
133212
2222112
, де 1sin
2
0
1
xdxI .
Крім того,
2
0
2
0
sincos xdxxdx nn (що очевидно з геометричних
міркувань і можна перевірити заміною xt
2
).
Таким чином,
непарне. якщо
або1 якщо
парне. якщо
або якщо
,!!12
!!2
,!!2
!!12
sincos
2
0
2
0
n
,2mn
n
2m,n
m
m
m
m
dxxdxx nn
Наприклад,
32
5
2246
135
2!!6
!!5sin
2
0
66
xdxI .
7.2. Геометричні застосування визначених інтегралів:
обчислення площ, об’ємів, довжин дуг
7.2.1. Обчислення площ плоских фігур
Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою xfy , прямими
ax , ,bx (a<b) 0y і 0f x , то її площа дорівнює b
a
dxxfS .
Якщо xfxf 1 , то площа, обмежена цими кривими та прямими
x a і x b , дорівнює b
a
dxxfxfS 1 .
У випадку параметричного завдання кривої
21 ttt
tyy
txx
за
умови, що обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки, площа
обчислюється
2
1
2
1
t
t
t
t
dttytxdttxtyS .
403
У полярних координатах площа фігури, обмеженої променями
, та кривою , дорівнює 21
2S d
.
Приклади:
1. Обчислити площу, що міститься між колом 1622 yx і
параболою 1122 yx .
Розв'язання. Знайдемо точки
перетину кривих
112
162
22
yx
yx
121216 2 yy , 012122 yy
141 y не підходить, тому що 0y .
32122 2,12
2 xxy .
Даними кривими обмежені 2 фігури. Знайдемо площу 1S , тоді 2S
можна знайти як різницю площі круга 2RS та 1S .
32
0
232
0
21 12
12
1162 dxxdxxS =
3
38212
312
12 1
32
0
3
1 Ix
I
tx
tdtdxtxdxxI
cos416
cos4sin416 2
32
0
21
4
3
382sin
2
182cos18cos16
3
0
3
0
3
0
2 ttdtttdt .
4
3
3
161S
3
34
3
32
4
3
3
16162
S .
2. Обчислити площу S , що знаходиться між кривими 22 xy і
32 xy .
Розв'язання. Розв'язуючи спільно
систему рівнянь
32
22
xy
xy, знаходимо
межі інтегрування 11 x і х2=1.
y
x 4 -4 x1 x2
S1
S2
0
- 2
B A
1
2 x x2
x1
S
y
404
За формулою b
a
dxyyS 1 одержимо:
15
22
5
3
322
1
1
3531
1
322
xx
xdxxxS .
3. Знайти площу фігури, обмежену кривими, що задано
параметричними рівняннями
ty
tx
sin4
cos6 і 32y32y .
Розв'язання. Знайдемо точку перетину еліпса та прямої:
tsin432 ; .33
cos632
3sin
xtt
Фігура являє собою сегмент еліпса, заданого параметрично. В силу
симетрії заданої фігури обчислимо
половину площі
221
2
12
SdttxtySSS
t
t
,
де 2S – площа прямокутника ОАВС.
Очевидно, 36323S2 .
Для криволінійної трапеції ODBC параметр t змінюється від 3
до
2
. Оскільки х при цьому спадає, то необхідно змінити знак перед
інтегралом на протилежний.
2
3
2
3
2
3
22
3
12
t2sint12dt
2
t2cos124dttsin24dttsin6tsin4S
3324
3
612
3
2sin
2
1
3212
.
Відповідь: 364363322S .
4. Обчислити площу, обмежену віссю абсцис і однією аркою
циклоїди
20
.cos1
,sint
tay
ttax.
D
x
y
6 0 -6 С
В
А
405
Розв'язання. Площа S
2 2 2
22 2 2 2
0 0 0
1 cos21 cos 1 2cos cos 1 2cos
2
ta t dt a t t dt a t dt
2 2 223 sin 2 3 sin 42sin 2 2sin 2 3
02 2 2 2
ta t t a a
од.кв.
5. Знайти площу фігури, що обмежена петлею лінії:
3
2
3
3
tty
tx.
Розв'язання. Оскільки txx – парна, а tyy – непарна, то
yxx –парна, тобто
графік буде симетричним відносно осі Ох.
03 2 y,tty .
При 001 xt . 9332 xt , .
З огляду на симетрію обчислимо площу і результат подвоїмо:
5
393312
512312632
3
0
53
3
0
423
0
3 ttdttttdtttS
5
372
5
3612
.
6. Обчислити площу фігури, що обмежена
кардіоїдою (1 cos )a .
Розв'язання. Площа фігури в полярних
координатах знаходиться за формулою
21
2S ( )d .
З міркувань симетрії одержимо
2 2 2 2
0 0
12 (1 cos ) (1 2cos cos )
2S a d a d
у
0 9 х
406
2 2 2
00
1 cos2 3 sin 2 31 2cos 2sin .
2 2 4 2a d a a
7. Знайти площу, що обмежена кривою 3cos2ar і лежить поза
колом ar .
Розв'язання. 3cos2ar – трипелюсткова троянда, тому що
0 cos3 0r
kk 22
322
3
2
63
2
6
kk.
Таким чином, одержимо фігуру з трьох пелюстків з осями:
3
4
3
20 321
, ;
min max0, 2r r a .
З огляду на симетрію обчислимо 6
1 частину
площі за формулою
2
1
2
2
1dS .
Знайдемо точки перетину кривої та кола:
2 cos3 1 2cos3
2 9 3
r a k
r a
.
1) Знайдемо 2
1 площі одного з трьох пелюстків:
9 92 2 2
1
0 0
1 1 cos64 cos 3 2
2 2S a d a d
92 2
0
sin6 3
6 9 12a a .
2) 2S площа сектора круга радіуса a , з кутом, що дорівнює 9
.
.aaR
S18922
222
2
Оскільки 216
1SSS , то .aaaa
S 33261812
3
96
2222
407
7.2.2. Обчислення довжини дуги
Довжина дуги кривої в декартових координатах:
b
a
dxyL2
1 (a<b).
У випадку параметричного завдання кривої
tyy
txx , маємо
.;)()( 2'2'
dtyxL tt
У полярних координатах 2
1
221 2L d ;
.
Приклади
1. Знайти довжину астроїди 2 3 2 3 2 3x y a .
Розв'язання
Перший спосіб
b
a
xdxyL
21 .
Диференціюючи рівняння астроїди, одержимо 1 3
1 3 1 3
1 3
2 20
3 3x x
yx y y y
x
.
Тому довжина дуги однієї чверті астроїди:
alaxa
dxx
adx
x
yl
aaa
62
3
2
31
4
1
0
3231
031
31
032
32
.
Другий спосіб (параметричний)
2
1
2 2t
t t
t
l x ' y ' dt .
3
3
cos
sin
x a t
y a t
,
2
2
3 cos sin
3 sin cos
t
t
x ' a t t
y ' a t t
.
2 2 2 22 2 29 cos sin 3 cos sint t t tx ' y ' a t t , x ' y ' a t t .
у
а l/4
а х
408
2 2
2
00 0
1 3 3 3 33 cos sin sin 2 cos2 2
4 2 4 4 2
a a a al a t tdt tdt t
.
al 6 .
2. Знайти довжину дуги трактриси
cos lntg2
sin
tx a t
y a t
від точки a,A 0 до точки y,xB .
Розв'язання. 2
1
22t
t
tt .dtyxl
1 1 2sin arcsin2
ya t a t , t .
a
1sin
sintx a t ,
t
costy a t.
.tsin
tcosa
tsin
sin1a1
tsin
1a
tcostsin
12tsinayx
2
22
2
22
2
2
2
2
222t
2t
Тому що 2
arcsin
a
y, маємо
22
arcsinarcsin
cosln sin ln ln .
sin y ay a
a t y al dt a t a a
t a y
3. Знайти довжину кривої 3
sin3 ar , якщо змінюється від 0 до 3 .
Розв'язання. 3
cos3
sina'r 2 .
32 6 2 4 2
0
sin sin cos3 3 3
l a a d
3
2
0
sin3
a d
2
3
3
2cos1
2
3
0
ad
a
.
0
0 x
y
A
B
409
7.2.3. Обчислення площі поверхні обертання
Площа поверхні обертання дорівнює b
a
ydlS 2 або, у випадку
параметричного завдання кривої,
.)()()(2 22 dttytxtyS
1. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох
петлі кривої:
22 39 xxy .
Розв'язання. Для верхньої частини
кривої при 30 x маємо xxy 33
1.
Тоді диференціал дуги dxx
xdl
2
1 . На
підставі формули b
a
ydlS 2 площа поверхні
39993
3232
13
3
12
3
0
2
3
0
dxxxdxx
xxxS .
2. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням однієї арки
циклоїди навколо осі OX :
t
tay
ttax0
)cos1(
)sin(.
Розв'язання
.3
64
3
22
3
228
2cos
3
2
2cos28
2sin
2cos1
8
2sin8sin)cos1()cos1(2
22
2
0
2
0
322
2
2
0
32
2
0
222
aa
ttaadt
tt
a
dtt
adttttaS
zz
у
0 3 х
410
7.2.4. Обчислення об'ємів тіл
1. Об’єм тіла за площами паралельних перерізів.
Нехай тіло має обє'м V. Будемо вважати, що площа xS переріза
цього тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох, є відома функция,
неперервна на відрізку ba, (рис. 7.3). Тоді обє'м тіла обчислюється за
формулою
b
a
dxxSV .
2. Об'єм тіла, отриманого при обертанні криволінійної трапеції, що
обмежена зверху кривою y f x , прямими ax , bx , 0y , навколо
осі ОХ (рис. 7.4), знаходиться за формулою
b
a
ox dxyV 2 ,
при обертанні навколо осі ОY (рис. 7.5):
b
a
oy xydxV 2 .
S(x)
S(a)
S(b)
a x b 0
Рис. 7.3
y
0 a b
Рис. 7.4
y=f(x)
x
y
0 a b
Рис. 7.5
y=f(x)
x
411
Приклад 1. Обчислити об'єм тіла, обмеженого еліптичним
параболоїдом 2
2
2
2
b
y
a
xz і площиною Hz .
Розв’язання. В перерізі параболоїда площиною, паралельною до
площини Оху, маємо еліпс. Для знаходження zS перепишемо рівняння
параболоїда таким чином
1
2
2
2
2
zb
y
za
x.
Тоді півосі еліпса дорівнюють zaa 1 і
zbb 1 , а його площа
abzzbzabazS 11 .
Остаточно маємо
2
0
2
2
1
02abH
HzabzdzabV
H
.
Приклад. Обчислити об'єм тривісного еліпсоїда 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x.
Розв’язання. В перерізі еліпсоїда, утвореного площиною,
паралельною до площини Оyz,
маємо еліпс
2
2
2
2
2
2
1a
x
c
z
b
y ; або
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
a
xc
z
a
xb
y
осі еліпса дорівнюють 2
2
1 1a
xbb и
2
2
1 1a
xcc , а його площа
2
2
11 1)(a
xbccbxS . Тоді об'єм еліпсоїда дорівнює
abcabca
xxbcdx
a
xbcV
aa
3
4
3
22
3212
002
3
2
2
.
y
x
H
z
0
z
z
y
-b
c
x
-c
-a
b
a
412
У випадку, коли a=b=c, маємо сферу, об’єм якої дорівнює
3
3
4RV , R=a=b=c.
Приклад 3. Обчислити об'єм тіла, обмеженого двома прямими
круговими циліндрами.
Розв’язання. В перерізі,
перпендикулярному до осі Ох маємо
квадрат. На рисунку зображена восьма
частина тіла. Сторона квадрата дорівнює
ординаті точці кола 222 Ryx ,
абсциса якої дорівнює х. Таким чином
сторона квадрата дорівнює
22 xRy , а його площа
222 xRyxS .
Остаточно маємо
3
0
22
3
168 RdxxRV
R
(куб. од).
3. Об'єм тіла, отриманого при обертанні фігури, що обмежена
лініями xyy 2 і 211 yyxyy ,
b
a
oy
b
a
ox .dxyyxV,dxyyV 1221
22 2
Приклад 1. Обчислити об'єм кулі радіуса R з центром на початку
координат.
Розв'язання. Кулю отримаємо оберненням навколо осі ОХ півкола
2 2 .y R x Тоді її об’єм обчислюється так:
3 3
2 2 2 2 2 3
0
2 2 203 3
R R
ox
R
Rx RV R x dx R x dx R x R
3
3
4R (куб.од).
Приклад 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо
осі Ox однієї арки синусоїди xy sin .
x
y
z
x
y 0
413
Розв'язання
2
0 0
sin 1 cos22
V xdx x dx
21sin 2
02 2 2x x
.
7.3. Фізичні та механічні застосування визначених інтегралів
Розглянемо застосування визначеного інтеграла до розв'язання
деяких фізичних задач.
1. Маса неоднорідного стрижня. Нехай стрижень розташовано на
відрізку ba, . Лінійна щільність цього стрижня змінюється за законом
x . Тоді маса такого стрижня обчислюється за формулою
b
a
dxxM .
2. Статичні моменти xM , yM та моменти інерції xI , yI , oI
плоскої однорідної кривої.
Припустимо, що крива лінія АВ має рівняння xfy , bxa .
Нехай ця дуга матеріальна з рівномірно розподіленою щільністю
const . Тоді статичні моменти та моменти інерції обчислюються за
формулами:
а) відносно осі Ох
b
a
x ydsM 2
1,
b
a
x dsyI 2 ;
б) відносно осі Оу
b
a
y xdsM ,
b
a
x dsxI 2 ;
в) момент інерції відносно початку координат
b
a
o dSyxI 22 ,
де dxyds 21 – диференціал дуги кривої.
3. Статичні моменти xM , yM та моменти інерції xI , yI
криволінійної трапеції.
y
x 0
π
414
Нехай задано плоску фігуру (криволінійну трапецію), яка обмежена
кривою xfy , прямими 0y , ax , bx і має постійну поверхневу
щільність const . Тоді статичні моменти та моменти інерції цієї
трапеції обчислюються за формулами:
а) відносно осі Ох
b
a
x dxyM 2
2
1,
b
a
x dxyI 3
3
1;
б) відносно осі Оу b
a
y xydxM , b
a
x ydxxI 2 .
4. Координати центру ваги:
а) плоскої кривої xfy , bxa
b
a
c xdsl
x1
,
b
a
c ydsl
y1
,
де l – довжина кривої, ds – диференціал дуги кривої;
б) криволінійної трапеції
b
a
c xydxS
x1
,
b
a
c dxyS
y 2
2
1,
де S – площа трапеції.
в) плоскої однорідної фігури, обмеженої кривими xfy , xy ,
ax , bx . При цьому припускається, що функції xf та x є
неперервними, невід’ємними на сегменті ba, та задовольняють умови
xxf bax , . Координати центру ваги такої фігури вмзначаються
за формулами:
b
a
b
ac
dxxxf
dxxxfx
x ,
b
a
b
ac
dxxxf
dxxxf
y
22
2
1
.
Мають місце такі теореми.
Теорема (перша теорема Гульдіна). Площа поверхні тіла,
утвореного обертанням дуги плоскої кривої навколо деякої осі, що лежить
у її площині і не перетинає її, дорівнює добутку довжини (s) даної дуги на
довжину кола, описаного при цьому обертанні центром ваги дуги, тобто
ysП 2 .
415
Теорема (друга теорема Гульдіна). Об’єм тіла, утвореного
обертанням дуги плоскої фігури навколо деякої осі, що лежить у її
площині і не перетинає її, дорівнює добутку площі (S) даної фігури на
довжину кола, описаного при цьому обертанні центром ваги фігури,
тобто
ySV 2 .
Далі розглянемо ще деякі фізичні задачі, які можливо розв 'язати за
допомогою визначеного інтеграла.
Задача 1. Визначити роботу, необхідну для запуску ракети вагою P з
поверхні Землі на висоту H. Чому дорівнює ця робота, якщо ракета
повинна бути віддалена в нескінченність?
Розв'язання. Величина сили F, що виконує роботу при піднятті
ракети з поверхні Землі, дорівнює величині сили тяжіння ракети Землею,
тобто
2qx
MPkxF ,
де M – маса Землі, q
p – маса ракети, k – сталий коефіцієнт, x – відстань від
центру Землі до ракети. Сила F спрямована по радіусу від центру Землі.
У тому ж напрямку відбувається і переміщення ракети із положення a=R
(R – радіус Землі) до положення b=R+H.
Розіб'ємо відрізок [R,R+H] на частини 1ii x,x та обчислимо
приблизне значення роботи Ai на i-й ділянці. Через малість виділених
ділянок ix будемо вважати, що величина сили F на кожній ділянці є
сталою і дорівнює значенню цієї сили в точці xi. Тоді
i
i
iii xqx
kMPxxFA
2.
Робота, яка відповідає всьому відрізку [R,R+H], приблизно
визначається як
n
ii
i
n
ii x
qx
kMPAA
12
1
. (7.1)
Переходячи до границі в рівності (7.1) при 0 , отримаємо, що
точне значення роботи A визначається як
HRRq
kMP
x
dx
q
kMPx
qx
kMPA
HR
R
i
i
11lim
220. (7.2)
416
Враховуючи, що на поверхні Землі сила тяжіння F=P, а x=R,
знайдемо коефіцієнт k:
2qR
kMPP , звідси
M
qRk
2
.
Вираз для роботи остаточно буде таким:
HRRPRA
112 .
При віддаленні ракети в нескінченність
PRHRR
PRAHH
11limlim 2 .
Задача 2. З якою силою дротове кільце маси M, радіуса R діє на
матеріальну точку C маси m, що лежить на прямій, яка проходить через
центр кільця перпендикулярно до його
площини? Відстань від точки до центра кільця
дорівнює a.
Розв’язання. Розіб’ємо кільце на
елементарні ділянки il , вважаючи кожну з
отриманих ділянок матеріальною точкою
маси:
iiiii
MR
R
Ml
R
Mlm
222. (7.3)
Тут – щільність розподілу маси, а i – кут, що відповідає ділянці
дуги il (рис. 7.6). Визначимо силу iF
взаємодії матеріальної точки C з
малою ділянкою кільця il . Для цього подамо iF
у вигляді розкладання по
базису k,j,i
:
iF
= kFjFiF iziyix
, (7.4)
де iziyix F,F,F – проекції iF
на осі координат. Очевидно, сила F
являє
собою рівнодіючу елементарних сил iF
і визначається як
F
=
n
iiz
n
iiy
n
iix FkFjFi
111
. (7.5)
Варто зазначити, що з огляду на симетрію поставленої задачі
0011
n
iiy
n
iix F,F .
z
O
i y
a A
x C
Рис. 7.6
417
Таким чином, величина шуканої сили взаємодії визначається як сума
проекцій iF
на вісь Oz. Обчислимо величину izF :
cosiiz FF , (7.6)
де – кут між віссю Oz і вектором iF
, що є сталим для всіх
1210 n,...,,,i і знаходиться із прямокутного трикутника COA:
22 aR
acos
. (7.7)
Згідно з законом взаємодії двох точкових мас величина iF
визначається приблизно таким чином:
ii
iaR
kmM
r
mmkF
2222 . (7.8)
Тут враховане значення mi (7.3), а також відстань 22 Rar між
точковими масами (риc. 7.6).
Тоді, підставляючи (7.8) и (7.7) в (7.6), та, підсумовуючи за i,
одержимо, що
n
ii
n
iiz
aR
kmMaFF
123221 2
. (7.9)
За точне значення величини сили взаємодії ми візьмемо ту границю,
до якої прямує інтегральна сума (7.9), коли довжина найбільшої з
часткових ділянок il , а також і i наближаються до нуля.
2322
2
0
232223220 22lim
aR
kmMad
aR
kmMa
aR
kmMaF i
.
Задача 3. Знайти момент інерції відносно осі обертання тіла,
обмеженого параболоїдом, радіус основи якого дорівнює R, а висота H.
Розв’язання. Параболоїд
обертання являє собою поверхню,
отриману при обертанні параболічного
сегмента (R,H) навколо осі Oz. Рівняння
параболи, зображеної на рис. 7.7, має
вигляд pzx 22 . Для визначення
параметра p підставимо в рівняння
параболи координати точки A, що
належить цій параболі. Тоді HRppHR 22 2,2 ,
z
ix А
H
0 xi xi+1 x
Рис. 7.7
418
і рівняння параболи запишеться у вигляді zH
Rx
22 . Рівняння поверхні
обертання ми одержимо, замінюючи x2 на 22 yx , тобто рівняння
22
2yx
R
Hz є рівнянням даного параболоїда обертання.
При розв'язанні задач на обчислення моменту інерції варто звернути
увагу на те, що розбивку на елементарні ділянки потрібно здійснювати так,
щоб усі точки виділеної i-тої ділянки приблизно знаходилися на однаковій
відстані від осі обертання.
У даній задачі цього можна досягти, якщо параболоїд обертання
розбити системою кругових циліндрів (рис. 7.8), осі яких збігаються з
віссю обертання Oz. Тоді усі точки параболоїда обертання, розташовані
між циліндрами радіусів xi і xi+1
будуть знаходитися майже на
однаковій відстані від осі обертання
через малість ix . Маса виділеної
ділянки приблизно визначається як
маса циліндричного кільця
товщиною ix і висотою hi:
22
2
2
20 iiii xR
R
Hx
R
HH),x(ZHh .
З огляду на зроблене розбиття виділену ділянку можна розглядати як
матеріальну точку маси:
iiiiiiiiiii xxRR
Hxhxxxhxxm 22
2
2222 .
Тоді момент інерції i-тої ділянки приблизно дорівнює:
iiii xxRxR
HJ 223
22 .
Точне значення моменту інерції одержимо, якщо підсумуємо iI по
всіх 1210 n,...,,,i та перейдемо до границі в отриманій інтегральній сумі
при 0 ixmax :
664
224
0
624
20
523
2
HRxRx
R
HdxxRx
R
HJ
RR
.
z
y
xi xi+1 x
Рис. 7.8
419
Задача 4. Обчислити кінетичну енергію диска маси M і радіуса R ,
що обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через
його центр перпендикулярно до його площини.
Розв'язання. Кінетична енергія елемента
диска
,dsrmV
dK22
222
де r – відстань елемента диска (кругового кільця)
до осі обертання. Поверхнева щільність маси
,R
M2
тоді dsrR
MdK 2
2
2
2
; rdrds 2 .
Кінетична енергія диска
.RMr
R
Mdrr
R
MK
RR
0
22
0
4
2
23
2
2
44
Задача 5. Знайти статичний момент однорідного конуса з радіусом
основи цього конуса R и висотою H відносно площини основи цього
конуса.
Розв’язання. З подібності трикутників маємо
H
xH
R
y ,
звідки
H
xRy 1 .
Розбиття здійснене таким чином, що всі
точки елементу об'єму знаходяться на
однаковій відстані від основи конуса.
Маємо: .1
222 dx
H
xRdxydV
Елементарний статичний момент дорівнює xdxH
xRdM
2
2 1
, звідки
420
2 22 2
2
0 0
2 3 4 2 2 2 22 2 2
2
0
21 1
2 2
2 3 2 3 4 124
H H
H
x x xM R x dx R x dx
H H H
x x x H H R HR R H .
H H
Задача 6. Знайти момент інерції фігури, обмеженої еліпсом
tbytax sin,cos , відносно осі OY . Вважаємо 1 .
Розв'язання. Як випливає з рисунка,
2
0
2 ,
a
yI x dS
де 2 2 sin sindS ydx b t a tdt 22 sinab tdt –
елемент площі. Через рівність поверхневої
щільності 1 .dmdS Знаходимо:
2
0
32
0
33
2
0
20
2
3222
.48
4sin
22
4cos1
2sinsincos4
battbadt
tba
tdtbatdttaabI y
Задача 7. Знайти силу тиску води на вертикальну стінку, що має
форму трапеції, нижня основа якої a , верхня b , висота H , якщо основа b
знаходиться на поверхні води ba .
Розв'язання. За законом Паскаля тиск
рідини на занурену в неї горизонтальну
пластину дорівнює вазі стовпа рідини, що
опирається на цю пластину, тобто добуткові
площі пластини на її відстань від вільної
поверхні рідини і на питому вагу рідини.
Розбиваємо пластину на елементарні шари, які знаходяться на глибині
занурення, що дорівнює x (AD=b, EC=a). FKCABC ~ , тоді
.;1H
xbabc
H
x
H
xH
ba
ca
421
Тиск рідини на елементарний шар dx
xdx
H
xbabdP (питома вага води 1).
Тоді для знаходження тиску на всю пластину інтегруємо елемент
тиску dP в межах зміни від 0 до H. Одержимо
.
6
2
323
)(
2
)(
2
3
2
0
32
0 0
2
2
Hab
H
HbaH
bx
H
baxb
dxxH
b
H
axbxxdx
H
xbabP
H
H H
Задача 8. За який час спорожниться наповнена доверху вертикальна
циліндрична бочка радіуса R , висоти H через круглий отвір у дні радіуса
r ?
2rS
Розв'язання. За законом Торічеллі швидкість
витікання рідини дорівнює ghkv 2 , де h –
висота рівня рідини над отвором. Кількість рідини,
що витікає за час dt , дорівнює об'ємові dhR2 , де
2R – площа основи циліндра. Тоді швидкість
витікання рідини через отвір, площа якого 2rS ,
буде дорівнювати dt
dhr 2, а з іншого боку ghkS 2 .
Отримаємо рівність ghrkdt
dhR22
2
, звідки маємо
.h
dh
gkr
R
ghrk
dhRdt
22 2
2
2
2
Резервуар спорожниться при зміні h від 0 до H . Інтегруючи дану
рівність, знаходимо час T спорожнювання циліндра.
H
H.
kr
R
g
Hh
gkr
R
h
dh
gkr
RT
02
2
02
2
2
2 22
22
422
Контрольні приклади і запитання до гл. 7
Перш ніж приступити до виконання індивідуального
розрахункового завдання, читач може разом з нами розв'язати кілька
типових задач, заміняючи знак необхідними числами та виразами.
Обчислення площі плоскої фігури
Для обчислення площі плоскої фігури використовують одну з
наступних формул (залежно від того, як задані обмежуючу фігуру криві):
2 1a)
b
a
S f x f x dx ; 2
1
б)
t
t
S y t x t dt ; 21в)
2S d
.
Задача 7.1. Обчислити площу, що обмежена прямою y x і
параболою 22y x .
Розв'язання
1) Криві задані в декартовій системі координат, тому з
перерахованих вище формул (а, б, в) для обчислення площі обираємо
формулу .
2) Для встановлення меж інтегрування а і b треба розв'язати систему
рівнянь 22
y x
y x
. Розв'язуючи систему, одержуємо 1 2,x x . Ці
числа і є межами інтегрування.
3) Визначимо вигляд функцій 1f і 2f для даного випадку: 1f x ,
2f x на відрізку ,
.
4) Маємо площу 22S x x dx
=3 2
2x x
x
1 12 4 2
3 2 3 2
.
423
Задача 7.2. Знайти площу, обмежену кривою 2 2 cos2a .
Розв'язання
1) Оскільки крива задана в полярній системі координат, то з
перерахованих формул треба вибрати формулу .
2) Крива визначена в тій частині площини, де cos2 0 , тобто там,
де
і
.
3) Крива складається з двох однакових пелюстків, тому можна
обчислити площу, обмежену пелюстком у правій півплощині 1S , і
результат помножити на .
4) Пелюсток у правій півплощині розташований між променями
і
. Ці числа і є межами інтегрування у формулі (в)
2 2
1 cos22
a aS d
.
5) Остаточно 21S S a .
6) Зверніть увагу, що площа, обмежена даною кривою (лемніскатою
Бернуллі), дорівнює площі квадрата зі стороною .
Обчислення довжини дуги
Довжина дуги обчислюється за однією з формул:
1. 2
1
b
a
L y dx a b ; 2. 2 2
t tL x y dt
;
3. 2
1
22L d
.
Задача 7.3. Знайти довжину евольвенти кола
cos sin
sin cos
x a t t t
y a t t t
от 0t до 2t .
424
Розв'язання
1) Оскільки крива задана параметрично, для обчислення довжини
дуги використовуємо формулу . Межами інтегрування тут є числа і .
2) costx a t , sinty a t , звідси 2 2
t tx y a t й
одержимо 2 2
t tx y t .
3)
22 2 22 2
0 0 02
t t
atL x y dt tdt a
.
Задача 7.4. Знайти довжину кривої 229 3y x x між точками її
перетину з віссю Ох.
Розв'язання
1) Крива задана в декартовій системі координат. Для обчислення
довжини вибираємо формулу .
2) Межами інтегрування є точки перетину з віссю Ох. y Це
точки: ,x x .
3) Крива симетрична відносно осі Ох:
1 13
3 3y x x x x , тому можна обчислити половину довжини
1L і результат помножити на .
4) 33
xy x , знайдемо її похідну:
1 xy
x
. Обчислимо
підінтегральний вираз:
2
21
xy
x
.
5)
3
3 21
00
1 13
xL dx x x
x
.
6) Довжина всієї лінії 12 3L L .
425
Обчислення об'єму тіла обертання
Задача 7.5. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо
осі Ох площі, що обмежена параболою 2 1y x і прямою 3 1y x .
Розв'язання
1) Якщо площа обмежена кривими 1y y x і 2y y x при
a x b , то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї площі навколо осі Ох,
обчислюється за формулою 2 20 2 1
b
x
a
V y x y x dx .
2) Для визначення меж інтегрування треба знайти точки перетину
кривих. Розв'язуючи систему рівнянь 2 1
3 1
y x
y x
, отримаємо 1x ,
2x . Ці числа і є межами інтегрування.
3) На проміжку ,
пряма 3 1y x розташована вище параболи
2 1y x , тому 1y , 2y .
4) 22 23 1 1V x x dx
5
2 4 3 2
3
xx x x dx x x
.
Задача 7.6. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
Ох фігури, що обмежена однією аркою циклоїди
sin
1 cos
x a t t
y a t
і віссю
Ох.
Розв'язання. Одна арка циклоїди відповідає змінюванню параметра
t від 0 до . Запишемо формулу для обчислення об'єму тіла обертання у
випадку параметричного завдання кривої: 2
1
2
t
t
V y t d x t .
Обчислимо об'єм за цією формулою:
22 3 3
0 0
1 cos 1 3cos 3 cosV a t a dt a t t dt
=
426
3 2
0
31 3cos 1 1 sin cos
2a t t t dt
=
3
0
33sin
4a t t
–
2 3 2 3
0 0
sin1 sin 2 sin
tt d a t a
.
Отже, об'єм тіла обертання 2 3V a од. куб.
Лабораторна робота 7. Використання системи Maple
для обчислення визначених інтегралів
Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли.
Виконання. Для обчислення визначених інтегралів у системі Maple
використовується команда int(expr,var=val1..val2), де expr – підінтегральна
функція, var – змінна інтегрування, val1, val2 – нижня і верхня межі
інтегрування:
а)2
6
0
sin x dx
,
> int(sin(x)^6,x=0..pi/2);
2
1cos
2
1sin
24
5
2
1cos
2
1sin
6
135
32
5
2
1cos
2
1sin
16
5
Для спрощення виразу використовуємо команду combine, яка по
можливості знижує степінь тригонометричних виразів і поєднує показники
степеневих функцій.
> combine(int(sin(x)^6,x=0..pi/2));
32
5sin
64
52sin
64
33sin
192
1.
Враховуючи, що 0sin2sin3sin , одержимо відповідь:
32
5;
427
б)
1
1
arctgx dxx ,
> int(x*arctan(x),x=-1..1);
12
1 ;
в)
3
1
23 1 dxxx ,
> int(x^3*sqrt(x^2-1),x=1..3);
215
464;
г)
2
1
2
1dx
xx,
> int(1/(x^2+x),x=1..2);
)3ln()2ln(2 .
Спростимо отриманий вираз
> combine(int(1/(x^2+x),x=1..2));
3
4ln .
Завдання 2. Обчислити площі фігур, що обмежені заданими лініями:
а) 2xy , 2 xy .
Виконання:
> f1:=-x^2;
> f2:=-x-2;
> eqn:=f1=f2: (складаємо рівняння для пошуку абсцис точок перетину
заданих ліній),
>pred_int:=solve(eqn,x); (розв'язуємо рівняння, результат присвоюється
масиву pred_int, який складається з двох елементів),
}2,1{_ intpred .
Будуємо графіки заданих функцій за допомогою команди
plot([f1,f2],x=a1..a2,y=b1..b2,color=[blue,red],style=[line,line],thickness=[2,
4]), де a1..a2 – діапазон змінювання аргументу x , b1..b2 – інтервал, що
виводиться по осі ординат, параметр color задає кольори графіків функцій,
параметр style визначає вид ліній, параметр thickness визначає товщину
ліній.
428
>plot([f1,f2],x=-3..3,y=-5..3,
color=[black,black],style=[line,line],thickness=[2,4]);
З графіка видно, що зверху фігура обмежена лінією 1f , а знизу –
лінією 2f , тому площу фігури обчислюємо, як інтеграл від різниці
функцій 1f1f по змінній x при змінюванні її від 1x
11_ intpred до 2x 22_ intpred .
> S:=int(f1-f2,x=pred_int[1]..pred_int[2]);
2
9S .
Таким чином, площа фігури дорівнює 4,5 кв.од;
б) Обчислити площу фігури, що обмежена лініями 1622 yx ,
1122 yx .
Виконання. Для побудови графіків функцій, заданих неявно,
потрібно скористатися командою implicitplot із графічного пакета plots,
попередньо викликавши його з бібліотеки.
> with(plots):
> f1:=x^2+y^2=16; (задано неявне рівняння кола),
16:1 22 yxf ,
> f2:=x^2=12*(y-1); (задано неявне рівняння параболи),
112:2 2 yxf ,
>implicitplot({f1,f2},x=-5..5,y=-5..5,color=black);
>rez:=solve({f1,f2},{x,y}); (результат розв'язання рівняння
присвоюється змінній rez),
,)10_,3(_2,2: 2 LlabelZRootOfxyrez
)12_,5(_6,14 2 LlabelZRootOfxy
429
Якщо у виразі відповіді з'явився вираз RootOf , це означає, що Maple або
не може виразити корені в радикалах, або це вимагає додаткових зусиль.
Команда allvalues дозволяє подати розв'язок, використовуючи радикали. З
рисунку видно, що корені рівняння, що відповідають 14y , є зайвими,
то обчислюємо абсциси тільки тих точок, ординати яких дорівнюють
2y .
> pred_int:=allvalues(rez[1]);
32,2,32,2:_ xyxyintpred .
Виражаємо явним чином y як функцію від x з неявних рівнянь
21 16 xy ,
12
122
2
xy . З рисунку видно, що лінія 1y обмежує фігуру
зверху, а 2y – знизу, змінна інтегрування x змінюється від 32 до 32 .
>S:=int(sqrt(16-x^2)-(x^2+12)/12,x=-2*sqrt(3)..2*sqrt(3));
` 3
163
3
4:S ;
в) Обчислити площу фігури, що обмежена віссю абсцис і однією
аркою циклоїди
ty
ttx
cos14
sin4, 20 t .
Виконання. Команду plot можна використати і для виведення
параметрично заданої кривої plot([funx(t), funy(t),t=a..b],options), де
funx(t), funy(t) – функції координат, що залежать від параметра t; a і b –
межі інтервалу зміни параметра. Через S позначимо площу фігури.
> restart:
> x:=4*(t-sin(t)): y:=4*(1-cos(t)):
> plot({[x,y,t=0..2*Pi]},color=black,thickness=1);
430
> s:=int(y*diff(x,t),t=0..2*pi); (обчислення інтеграла
2
0
dtxy t ),
)2sin()2cos(8)2sin(3248: s ,
> S:=subs(sin(2*pi)=0,s); (обчислимо значення s, задав значення
02sin ),
48:S .
Площа фігури дорівнює 48 кв.од;
г) Обчислити площу фігури, що обмежена кардіоїдою cos12 .
Виконання. Для побудови графіка в полярній системі координат
використовується команда polarplot(r,alf=a..b alf,[options]), де r –
рівняння кривої в полярній системі координат, alf=a..b – діапазон
змінювання полярного кута alf, [options] – необов’язкові параметри, що
керують кольором (color), товщиною (thickness), стилем (style) і т.ін. лінії,
що виводиться.
> restart:
> r:=2*(1+cos(alf)):
> with(plots):
polarplot(r,alf=0..2*Pi,color=black);
Фігура симетрична відносно осі абсцис, тому обчислюємо визначений
інтеграл на інтервалі ,0 , а потім подвоюємо результат.
S:=2*int((1/2)*r^2,alf=0..pi);
)sin()cos(2)sin(86: S ,
431
> S:=subs(sin(pi)=0,S);
6:S .
д) Знайти площу, що обмежена кривою 3cos6 і лежить поза
колом 3 .
Виконання. Позначимо r1 – рівняння трипелюсткової троянди
3cos6 , r2 – рівняння кола, alf – кут , gr – точки перетину кривих r1 і r2.
> restart:
>r1:=6*cos(3*alf);
3cos6:1r ;
>r2:=3;
3:2 r .
Зробимо рисунок фігури, площу якої потрібно обчислити.
> with(plots):
polarplot([r1,r2],alf=0..2*Pi,color=black);
Шукана площа складається з трьох однакових частин, які не
перетинаються між собою, тому можна знайти площу однієї частини, а
потім потроїти отримане значення. Знайдемо координати точок перетину
кола та трипелюсткової троянди.
> eqn:=r1=r2;
33cos6: alfeqn ;
> gr:=solve(eqn,alf);
9:
gr ;
таким чином, команда solve дозволяє отримати тільки головний розв'язок
тригонометричного рівняння; щоб знайти всі розв'язки, необхідно ввести
команду _EnvAllSolutions:=true, яка встановлює для змінної операційної
середи _EnvAllSolutions значення true. Тепер розв'язок того ж рівняння
виглядає так:
432
> _EnvAllSolutions:=true:
>gr:=solve(eqn,alf);
~!_3
2~!_
9
2
9
1: ZBgr ,
де ~!_~,!_ ZB – натуральні числа. Виберемо із загального розв'язку ті
значення, які відповідають точкам перетину першого пелюстка
трипелюсткової троянди та кола.
> subs(_B1=0,_Z1=0,gr);
9
1;
> subs(_B1=1,_Z1=0,gr);
9
1;
обчислюємо площу фігури
> S:=3*(1/2)*int(r1^2-r2^2,alf=-pi/9..pi/9);
3
3
1sin
3
1cos18:S ;
> S:=combine(S); (виконуємо спрощення тригонометричного виразу);
3
3
2sin9:S .
Обчислюємо величину S , задавши значення 2
3
3
2sin
.
> S:=subs(sin(2*pi/3)=sqrt(3)/2,S);
332
9:S .
Завдання 3
а) Знайти довжину дуги астроїди
ty
tx
3
3
sin3
cos3.
Виконання. Позначимо через L довжину дуги астроїди. Так як астроїда є
симетричною фігурою, можна знайти довжину лише однієї чверті
(2
0
t ), а потім одержане значення помножити на чотири.
> restart:
433
> x:=3*(cos(t))^3;y:=3*(sin(t))^3:
> plot({[x,y,t=0..2*Pi]},color=black,thickness=1);
обчислимо довжину дуги за формулою dtyxL tt
2
0
224 ,
> L:=4*int(sqrt(diff(y,t)^2+diff(x,t)^2),t=0..Pi/2);
49:L ,
> L:=simplify(L); (спростимо отриманий вираз),
18:L ;
б) Знайти довжину дуги кривої 2
ln
4:
2 xxy , 21 x .
Виконання
> restart:
> y:=x^2/4-ln(x)/2;
xxy ln2
1
4
1: 2 ,
> plot(y,x=0..3,color=black,thickness=1);
обчислимо довжину дуги за формулою dxyL
2
1
21 ,
> L:=simplify(int(sqrt(1+diff(y,x)^2),x=1..2));
2ln2
1
4
3: y .
434
в) Знайти довжину дуги кривої
3sin4 3 , при зміні від 0 до 3 .
Виконання. Позначимо r – полярний радіус, alf – кут , 1r – похідна
, L – довжина дуги кривої.
> r:=4*(sin(alf/3))^3; 3
3
1sin4:
alfr ,
> with(plots):
> polarplot(r,alf=0..3*Pi,color=black);
> r1:=diff(r,alf);
alfalfr
3
1cos
3
1sin4:1
2
,
обчислимо довжину дуги за формулою
dL
3
0
22
,
> L:=int(sqrt(r^2+r1^2),alf=0..3*Pi);
162
3: L ,
> L:=simplify(L); (спростимо одержаний вираз),
6:L .
Контрольні завдання до гл. 7
Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли.
7.1.1.
1 2
33
0
1
3 1
x dx
x x
. 7.1.2.
23
2
04
xdx
x .
435
7.1.3.
4
3
0
2cos 3sin
3cos 2sin
x xdx
x x
. 7.1.4.
8
2
3
2
1
x xdx
x
.
7.1.5.
3
2
0
2arctg
1
x xdx
x
. 7.1.6.
13
2
01
xdx
x .
7.1.7.
3
1
1
1
xdx
x x
. 7.1.8.
1
1 lne
xdx
x
.
7.1.9. 2 2
1
lne
x xdx
x
. 7.1.10.
2
2
0
sin 2
1 cos
xdx
x
.
7.1.11.
2 1
1
4 ln 1
1
e
e
xdx
x
. 7.1.12.
1
2
0
3arctg
1
x xdx
x
.
7.1.13.
2
2
cos
2sin
x xdx
x x
. 7.1.14.
1 2
2
0
8 arctg2
4 1
x xdx
x
.
7.1.15.
1
4
01
xdx
x . 7.1.16.
8
2
3
1
1
x xdx
x
.
7.1.17.
1 2
2
0
2
1
sinarcsin x
dxx
. 7.1.18.
8
2
31
dx
x x .
7.1.19.
1
2 4
01
xdx
x x . 7.1.20.
2
2
21
dx
x x .
7.1.21.
4
2
1
1 2 1xdx
x x
. 7.1.22.
3 3
2
0
2 arctg
1
x xdx
x
.
7.1.23.
3
4 2
21
xdx
x x . 7.1.24.
2
2
4
sin cos
sin
x x xdx
x x
.
436
7.1.25.
2
2
1 cos
sin
xdx
x x
. 7.1.26.
0 2
2
1
tg 1
cos 1
xdx
x
.
7.1.27.
9
3
21
xdx
x . 7.1.28.
4
0
tg lncosx xdx
.
7.1.29.
4
4
0
sin cos
cos sin
x xdx
x x
. 7.1.30.
13
4
01
x xdx
x
.
Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли.
0 1 4
2 2 2
2
2 0 0
17 2 1 2 3 7 2 2 7 2 3 16
6 9
x. . . x cos xdx. . . . dx. . . . x x dx.
x x
2 2 2
2 2
2
0 0 0
7.2.4. . 7.2.5. 3 7 cos2 . 7.2.6. sin .1
xdx x xdx x xdx
x x
3 44
2
2
0 0 1
7.2.7. 3 sin 2 . 7.2.8. . 7.2.9. ln .1 2sin
dxx x xdx x xdx
x
1 3 22
2
3 20 1 1
ln7.2.10. 1 . 7.2.11. . 7.2.12. ln 1 .
xx x dx dx x x dx
x
2 ln 322
1 ln 2 1
ln7.2.13. . 7.2.14. . 7.2.15. ln .
e e
x x
x dxdx x xdx
e ex
ln 2 3
2 2
0 2 0
7.2.16. 1 . 7.2.17. 1 ln 1 . 7.2.18. cos .x xe dx x x dx e xdx
0 4 1
2 2 2
1 0 1
17.2.19. ( 2)ln 2 . 7.2.20. . 7.2.21. .
2
xx
x x dx dx x e dxx
0 1 12
3 2 2 3
2
2 0 2
2
17 2 22 9 7 2 23 7 2 24x x. . . x x dx. . . . x e dx. . . . dx.
x
437
3 1 4
2
0 0 0
4 7 tg7.2.25. arcsin . 7.2.26. . 7.2.27. .
1 2 3tg3 2
x x xdx dx dx
x xx x
1 12 15 8
0 0 0
7.2.28. 7.2.29. 1 3 . 7.2.30. sin .xxe dx x x dx x xdx
Завдання 3. Обчислити визначені інтеграли.
7.3.1.
4
0cos1cos xx
dx. 7.3.2.
2
0sin23
sin
x
xdx.
7.3.3.
2
0cos2
sin
x
xdx. 7.3.4.
2
0
2cossin1 xx
dx.
7.3.5.
22
2sin1sin
arctg
xx
dx. 7.3.6.
32
0
2
2
sincos1
cos
xx
xdx.
7.3.7.
2
0
2
2
sincos1
sin
xx
xdx. 7.3.8.
0
2
2sincos1
sin
xx
xdx.
7.3.9.
0
32
2
2
sincos1
cos
xx
xdx. 7.3.10.
2
0
2sin1
sin
x
xdx.
7.3.11.
2
0
2sincos1
sin
xx
xdx. 7.3.12.
2
0
2sincos1
cos
xx
xdx.
7.3.13.
21arctg2
0cos1cos
sin1
xx
dxx. 7.3.14.
0
32sincos1
cos
xx
xdx.
7.3.15.
0
2
2sincos1
cos
xx
xdx. 7.3.16.
31arctg2
0sin1cos1
cos
xx
xdx.
7.3.17.
2
0sincos1
cos
xx
xdx. 7.3.18.
2
0sincos1
sin
xx
xdx.
7.3.19.
2
3sincos1
cos
xx
xdx. 7.3.20.
2
0sin45
sin
x
xdx.
438
7.3.21.
21arctg2
31arctg2sin1sin xx
dx. 7.3.22.
2
0
2sin1
sincosdx
x
xx.
7.3.23.
2arctg2
2
2 cos1sin xx
dx. 7.3.24.
2arctg2
2
2 cos1sin xx
dx.
7.3.25.
2
21arctg2
3cos1
cos
x
xdx. 7.3.26.
2
0
2cos1
sincosdx
x
xx.
7.3.27.
2
21arctg2
2cossin1 xx
dx. 7.3.28.
32
0sincos1
sin1dx
xx
x.
7.3.29.
21arctg2
0
2sin1
sin1dx
x
x. 7.3.30.
2
0cossin1
cos1dx
xx
x.
Завдання 4. Обчислити визначені інтеграли.
7.4.1.
4
0
2
tg3
2tgtg2dx
x
xx. 7.4.2.
32arccos
0
22 3cos2sin
tg2
xx
dxx.
7.4.3.
3arctg
4
2 2sin1cos4
3tg4dx
xx
x. 7.4.4.
4
174arccos
2cossin2
ctg21
xx
dxx.
7.4.5.
0
31arctg2cos52sin21
1tg3
xx
dxx. 7.4.6.
4
371arcsin
2cos52sin3
tg
xx
xdx.
7.4.7.
31
0
22 cossin9
tg8arctg
xx
dxx. 7.4.8.
3
42sin5tg3
arctg
xx
dx.
7.4.9.
71arccos
0
22 1cos3sin
tg23
xx
dxx. 7.4.10.
61arccos
0
2
2
5tg
1tg3
x
dxx.
7.4.11.
261arccos
101arccos2sintg56 xx
dx. 7.4.12.
4
52arcsin
2cos3sin
tg2
xx
dxx.
7.4.13.
261arccos
42sintg6 xx
dx. 7.4.14.
0
51arccos3tg
tg37
x
dxx.
439
7.4.15.
52arcsin
4
2 12sincos4
5tg4
xx
dxx. 7.4.16.
0
101arccos
2
7tg2
50tg3
x
dxx.
7.4.17.
4
0
2cos2sin
tg3
xx
dxx. 7.4.18.
32arctg
0
22 cos3sin5
tg4
xx
dxx.
7.4.19.
3arctg
0
22 cos9sin
tg2
xx
dxx. 7.4.20.
31arccos
4
22 4cos5sin
tg
xx
xdx.
7.4.21.
32arcsin
4
22 cossin7
tg
xx
xdx. 7.4.22.
4
0tg32
tg32
x
dxx.
7.4.23.
103arcsin
0
2sincos4
5tg2
xx
dxx. 7.4.24.
87arcsin
0
2
2cos32
sin
x
xdx.
7.4.25.
4
052sin
2tg3
x
dxx. 7.4.26.
103arcsin
52arcsin2sin5
tg2
xtgx
dxx.
7.4.27.
73arcsin
0
22
2
7cos4sin3
tg
xx
dxx. 7.4.28.
2arctg
0
22 cossin3
tg11
xx
dxx.
7.4.29.
4
0
2
42cos3
sin
x
xdx. 7.4.30.
3arctg
4
2cos2sin
ctg1
xx
dxx.
Завдання 5. Обчислити визначені інтеграли.
7.5.1.
4
2
4
2 4dx
x
x. 7.5.2.
6
3
4
2 9dx
x
x.
7.5.3.
2
0
23216 x
dx. 7.5.4.
3
3
22 9 dxxx .
7.5.5.
22
2
4
2 2dx
x
x. 7.5.6.
3
0
29 dxx .
7.5.7.
29
02
2
81dx
x
x. 7.5.8.
2
0
2324 x
dx.
440
7.5.9.
2
02
2
16dx
x
x. 7.5.10.
3
0
2324 x
dx.
7.5.11.
2
1
4
2 1dx
x
x. 7.5.12.
3
0
2329 x
dx.
7.5.13.
2
0
22 4 dxxx . 7.5.14.
4
0
216 dxx .
7.5.15.
3
0
2329 x
dx. 7.5.16.
25
0
2325 x
dx.
7.5.17.
21
032
4
1
dx
x
x. 7.5.18.
1
0
232
4
2 x
dxx.
7.5.19.
3
0
2 dxx3 . 7.5.20.
2
0
22 dxx2x .
7.5.21.
7
0
22 49 dxxx . 7.5.22.
34
0
23264 x
dx.
7.5.23.
22
022
4
1616 xx
dxx. 7.5.24.
3
1321 x
dx.
7.5.25.
2
032
4
8
dx
x
x. 7.5.26.
1
0
24 dxx .
7.5.27.
23
02
2
9dx
x
x. 7.5.28.
22
022 11 xx
dx.
7.5.29.
1
02
2
4dx
x
x. 7.5.30.
2
0
232
4
4 x
dxx.
Завдання 6. Обчислити площі фігур, що обмежені вказаними
лініями.
7.6.1. 0,1,,ln1
1 3
xyeyyy
x .
441
7.6.2. 2,1,0,1 1
2 xxye
xy x .
7.6.3. 0,40,16 22 yxxxy .
7.6.4. 1,0,0,4 2 yyxyx .
7.6.5. 2,0,0,cos2 xyxxxy .
7.6.6. 34,14 22 yyxyx .
7.6.7. 0,30,9 2 yxxxy .
7.6.8. 0,20,cossin 2 yxxxy .
7.6.9. 0,20,4 22 yxxxy .
7.6.10. 0,2ln,1 yxey x .
7.6.11. 0,0,arccos yxxy .
7.6.12. 3x4xy,3xx2y 22 .
7.6.13. arccos , 0, 0x y x y .
7.6.14. 0,220,8 22 yxxxy .
7.6.15. 0,10,1 2 yxxxy .
7.6.16. 0,2,2,cos1
1
yxx
xy .
7.6.17. 0,20,cos2sin 3 yxxxy .
7.6.18. yyxyx 2,4 22 .
7.6.19. xxyxy 2,4 22 .
7.6.20. 0,10,4 2 yxxy .
7.6.21. 0,20,cossin 2 yxxxy .
7.6.22. 34,32 22 xxyxxy .
7.6.23. 84,23
xyxy .
7.6.24. 1,1 22 xyxy .
7.6.25. 0,70,49 2 yxxxy .
442
7.6.26. arctg , 3, 0y x x x y .
7.6.27. 2ln,0,1 yxex y .
7.6.28. 0,1,1
yxx
xy .
7.6.29. 84,23
yxyx .
7.6.30.
0,1,
122
yxx
xy .
Завдання 7. Обчислити площі фігур, що обмежені лініями,
заданими параметричними рівняннями.
7.7.1.
22
sin2
cos24
3
3
xx
ty
tx
7.7.2.
6,80,6
cos14
sin4
yxy
ty
ttx
7.7.3.
3434
sin8
cos3
yy
ty
tx
7.7.4.
312312
sin3
cos32
3
3
xx
ty
tx
7.7.5.
4,160,12
cos18
sin8
yxy
ty
ttx
7.7.6.
55
sin25
cos22
yy
ty
tx
7.7.7.
2,40,2
cos12
sin2
yxy
ty
ttx
7.7.8.
22
sin4
cos9
yy
ty
tx
7.7.9.
3939
sin2
cos24
3
3
xx
ty
tx
7.7.10.
1,20,1
cos1
sin
yxy
ty
ttx
7.7.11.
11
sin8
cos8
3
3
xx
ty
tx
7.7.12.
44
sin24
cos2
yy
ty
tx
443
7.7.13.
11
sin2
cos22
3
3
xx
ty
tx
7.7.14.
3232
sin4
cos6
yy
ty
tx
7.7.15.
6,120,6
cos16
sin6
yxy
ty
ttx
7.7.16.
44
sin
cos32
3
3
xx
ty
tx
7.7.17.
33
sin23
cos22
yy
ty
tx
7.7.18.
3,60,3
cos13
sin3
yxy
ty
ttx
7.7.19.
3636
sin
cos16
3
3
xx
ty
tx
7.7.20.
33
sin6
cos2
yy
ty
tx
7.7.21.
4,80,4
cos14
sin4
yxy
ty
ttx
7.7.22.
22
sin22
cos24
3
3
xx
ty
tx
7.7.23.
15,200,15
cos110
sin10
yxy
ty
ttx
7.7.24.
3333
sin4
cos8
3
3
xx
ty
tx
7.7.25.
44
sin8
cos3
yy
ty
tx
7.7.26.
9,120,9
cos16
sin6
yxy
ty
ttx
7.7.27.
44
sin2
cos28
3
3
xx
ty
tx
7.7.28.
33
sin2
cos6
yy
ty
tx
7.7.29.
3,40,3
cos12
sin2
yxy
ty
ttx
7.7.30.
22
sin2
cos16
3
3
xx
ty
tx
444
Завдання 8. Обчислити площі фігур, що обмежені лініями, заданими
рівняннями в полярних координатах.
7.8.1. 3sin . 7.8.2. 3cos .
7.8.3. 2cos . 7.8.4. 2,2,3sin4 .
7.8.5.
sin , 2 cos 4 ;
30 .
4
7.8.6. sin2
1.
7.8.7.
2 cos 4 ,
2 sin 4 ,
3.
4 4
7.8.8. cos2
1.
7.8.9. sin2,sin . 7.8.10. sin2
3,sin
2
5.
7.8.11. 4cos2 . 7.8.12. cos3,cos .
7.8.13. 4sin4 . 7.8.14. sincos .
7.8.15. sin2,sin4 . 7.8.16. sin25,sin12 .
7.8.17. 6cos3 . 7.8.18. sincos .
7.8.19. cos2
3,cos
2
5. 7.8.20. 6sin2 .
7.8.21. cos31 . 7.8.22. sin21 .
7.8.23. cos5,cos2 . 7.8.24.
sin , cos ,
0 .2
7.8.25. 3,3,3cos6 . 7.8.26.
cos ,
2 cos 4 ,
.4 2
7.8.27. 1,1,3cos2 . 7.8.28. 3,3,3sin6 .
445
7.8.29.
2 3sin , 2cos ,
0 .2
7.8.30.
3cos , sin ,
0 .2
Завдання 9. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в
прямокутних декартових координатах.
7.9.1. 83,2
5ln x
xy . 7.9.2. 15ln8ln,6 xey x .
7.9.3. 6
0,cosln1
xxy . 7.9.4. 9
70,arcsin1 2 xxxy .
7.9.5. 32,1ln 2 xxy . 7.9.6. 6
0,cosln
xxy .
7.9.7.
2arcsin 1 ,
150 .
16
y x x
x
7.9.8. 10,ch2 xxy .
7.9.9. 4
10,1ln 2 xxy . 7.9.10.
22 arcsin ,
11.
4
y x x x
x
7.9.11. 43,1ln1 2 xxy . 7.9.12. 30,2/1 xeey xx .
7.9.13.
24 arccos ,
10 .
2
y x x x
x
7.9.14. 15ln3ln, xeey x .
7.9.15. 83,ln4
7ln xxy . 7.9.16.
60,cosln2
xxy .
7.9.17. 2 2 3 / 4,
0 2.
x xy e e
x
7.9.18. 10,ch3 xxy .
7.9.19.
21 arcsin 1 ,
30 .
4
y x x
x
7.9.20. 24ln8ln,7 xey x
.
7.9.21. 23
,sinln
xxy . 7.9.22.
2arccos 1 2,
90 .
16
y x x
x
446
7.9.23.
2arccos 5,
11.
9
y x x x
x
7.9.24.
23,sinln1
xxy .
7.9.25. 8ln3ln,2 xey x . 7.9.26. 153,ln xxy .
7.9.27. 21,2
ln
4
2
xxx
y . 7.9.28. 15ln8ln,6 xey x .
7.9.29. 20,2/3 xeey xx . 7.9.30. 6
0,cosln1
xxy .
Завдання 10. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в
полярних координатах.
7.10.1. 04
,sin12
. 7.10.2. 2
0,sin13
.
7.10.3. 42
,cos14
. 7.10.4. 3
0,12 512 e .
7.10.5. 24
,4 34
e . 7.10.6. 0
4,cos13
.
7.10.7. 33
,sin121
. 7.10.8. 2
0,sin1
.
7.10.9. 4
0,7 127 e . 7.10.10.
42,3 2
e .
7.10.11. 2
0,2
e . 7.10.12. 4
0,6 512 e .
7.10.13. 03
2,cos18
. 7.10.14.
60,cos3
.
7.10.15. 2
0,sin6
. 7.10.16. 7
80,11 .
7.10.17. 44
,3 3
e . 7.10.18.
30,7 37
e .
7.10.19. 3
20,sin2
. 7.10.20.
7
40,3 .
7.10.21. 03
,cos15
. 7.10.22. 2
0,3
sin3
a .
7.10.23. 20,a . 7.10.24. 20,cos1a .
447
7.10.25. 22
1,
1
. 7.10.26.
20,
2sec2
a .
7.10.27. 4
30,4 . 7.10.28.
40,cos6
.
7.10.29. 33
,3 2
e . 7.10.30.
22,2 34
e .
Завдання 11. Обчислити довжини дуг кривих, що задані
параметрично.
7.11.1.
.0
,cos15
,sin5
t
ty
ttx
7.11.2.
.20
,cossin4
,sincos4
t
ttty
tttx
7.11.3.
.20
,2sinsin23
,2coscos23
t
tty
ttx
7.11.4.
.0
,sin2cos2
,cos2sin2
2
2
t
tttty
ttttx
7.11.5.
.20
,sin10
,cos10
3
3
t
ty
tx
7.11.6.
.0
,sincos
,sincos
t
ttey
ttex
t
t
7.11.7.
.2
,cos13
,sin3
t
ty
ttx
7.11.8.
.322
,2sin4
1sin
2
1
,2cos4
1cos
2
1
t
tty
ttx
7.11.9.
.30
,cossin3
,sincos3
t
ttty
tttx
7.11.10.
.30
,sin2cos2
,cos2sin2
2
2
t
tttty
ttttx
7.11.11.
.30
,sin6
,cos6
3
3
t
ty
tx
7.11.12.
.2
,sincos
,sincos
t
ttey
ttex
t
t
7.11.13.
.2
,cos15,2
,sin5,2
t
ty
ttx
7.11.14.
.20
,2sinsin25,3
,2coscos25,3
t
tty
ttx
448
7.11.15.
.0
,cossin6
,sincos6
t
ttty
tttx
7.11.16.
.20
,sin2cos2
,cos2sin2
2
2
t
tttty
ttttx
7.11.17.
.60
,sin8
,cos8
3
3
t
ty
tx
7.11.18.
.20
,sincos
,sincos
t
ttey
ttex
t
t
7.11.19.
.322
,cos14
,sin4
t
ty
ttx
7.11.20.
.20
,2sinsin22
,2coscos22
t
tty
ttx
7.11.21.
.40
,cossin8
,sincos8
t
ttty
tttx
7.11.22.
.20
,sin2cos2
,cos2sin2
2
2
t
tttty
ttttx
7.11.23.
.46
,sin4
,cos4
3
3
t
ty
tx
7.11.24.
.230
,sincos
,sincos
t
ttey
ttex
t
t
7.11.25.
.20
,cos12
,sin2
t
ty
ttx
7.11.26.
.0
,2sinsin24
,2coscos24
t
tty
ttx
7.11.27.
.20
,cossin2
,sincos2
t
ttty
tttx
7.11.28.
.30
,sin2cos2
,cos2sin2
2
2
t
tttty
ttttx
7.11.29.
.40
,sin2
,cos2
3
3
t
ty
tx
7.11.30.
.46
,sincos
,sincos
t
ttey
ttex
t
t
Завдання 12. Обчислити об’єми тіл, що обмежені поверхнями.
7.12.1. 2 2 2
1, 0, 44 9 64
x y zz z . 7.12.2.
2 22 1, 0, 2
25 9
x yz z z .
7.12.3. 0,0,3
,127
22
yzy
zyx
. 7.12.4. 6z,y9xz 22 .
449
7.12.5. 1z,y3xz 22 . 7.12.6. 2 2 2
1, 0, 616 9 196
x y zz z .
7.12.7. 3,0,125925
222
zzzyx
. 7.12.8. 2
2 1, , 0, 09
xy z y z y .
7.12.9. 2 23 , 1z x y z . 7.12.10. 2 2
2 1, 0, 39 4
x yz z z .
7.12.11. 20z,1100
z
9
y
25
x 222
. 7.12.12. 4z,y9xz 22 .
7.12.13. 0,0,3
,12527
22
yzy
zyx
. 7.12.14. 2
2 2 1, 0, 34
yx z z z .
7.12.15. 3,2,125164
222
zzzyx
. 7.12.16. 3z,y4x7z 22 .
7.12.17. 7,0,12549
2
22
zzzyx
. 7.12.18. 0,2,19254
222
zzzyx
.
7.12.19. 3,9 22 zyxz . 7.12.20. 16,164169
222
zzyx
.
7.12.21. 4,9 22 zyxz . 7.12.22. 1,2,12581
222
zzzyx
.
7.12.23. 2 2 4, , 0, 0x y z y z y . 7.12.24. 1,3,14
222
zzzyx
.
7.12.25. 0,3,116924
222
zzzyx
. 7.12.26. 7,13694
222
zzyx
.
7.12.27. 0031163
22
y,z,yz,yx
. 7.12.28. 7,72 22 zyxz .
7.12.29. 3,182 22 xzyx . 7.12.30. 2,9 22 yzxy .
Завдання 13. Обчислити об’єм тіла, що утворюється обертанням
фігури D навколо вказаної осі координат.
7.13.1. D: Oy,x,xy 04 .
7.13.2. D: Ox,y,x,yx 002 .
7.13.3. D: Oy,yx 149 22 .
7.13.4. D: Ox,y,xy 123 .
450
7.13.5. D: Oxtyttx ,cos16,sin6 .
7.13.6. D: Oyttytx ,20,sin4,cos3 22 .
7.13.7. D: Ox,yx,xy 22 .
7.13.8. D: Ox,x,xy 2132 .
7.13.9. D: Ox,y,y,xy,yx 001322 .
7.13.10. D: Oxxyxy ,0,0,sin .
7.13.11. D: Ox,yx,xy 44 22 .
7.13.12. D: Oytytx ,sin5,cos2 .
7.13.13. D: Oy,yx,xy 22 8 .
7.13.14. D: Ox,x,y,x,ey x 100 .
7.13.15. D: Ox,x,xy 3342 .
7.13.16. D: Ox,y,xxy 02 2 .
7.13.17. D: cos12 , полярна вісь.
7.13.18. D: Oy,tsiny,tcosx 33 77 .
7.13.19. D: Ox,yx 1116 22 .
7.13.20. D: Ox,y,x,xy 001 32 .
7.13.21. D: Ox,yx,xy 0624 .
7.13.22. D: Oytytx ,sin2,cos3 .
7.13.23. D: Ox,yx,xy 222 .
7.13.24. D: Ox,xy,xy 22 8 .
7.13.25. D: Ox,x,xy 0432 .
7.13.26. D: Oy,y,x,xy 803 .
7.13.27. D: Ox,tsiny,tcosx 33 .
7.13.28. D: Ox,yxxy 03222 2 .
7.13.29. D: Ox,y,xxy 02 .
7.13.30. D: Oy,xy,xy 2822 2 .
451
Завдання 14. Обчислити площу поверхні, що утворюється
обертанням дуги кривої L навколо вказаної осі.
7.14.1. L: Ox,xxy 212133 .
7.14.2. L: cos2 , полярна вісь.
7.14.3. L: Oxttyttx ,20cos110,sin10 .
7.14.4. L: 22xy , відтята прямою Oy,y 23 .
7.14.5. L: Ox,xxy 203 2 .
7.14.6. L: xy , відтята прямою Ox,xy .
7.14.7. L: Oxttyttx ,20cos12,sin2 .
7.14.8. L: Oxtytx ,sin3,cos .
7.14.9. L: Oy,yyx 203 3 .
7.14.10. L: Ox,xxy 1133 .
7.14.11. L: Oxtytx ,sin1,cos .
7.14.12. L: yx 42 , відтята прямою Oy,y 2 .
7.14.13. L: Oxttyttx ,20cos13,sin3 .
7.14.14. L: Oxtytx ,sin,cos 33 .
7.14.15. L: 2cos , полярна вісь.
7.14.16. L: xy 42 , відтята прямою Ox,x 2 .
7.14.17. L: xy 22 , відтята прямою Ox,x 32 .
7.14.18. L: Ox,xxy 103 3 .
7.14.19. L: 2cos42 , полярна вісь.
7.14.20. L: sin6 , полярна вісь.
7.14.21. L: Oxttyttx ,20cos1,sin .
7.14.22. L: sin2 , полярна вісь.
7.14.23. L: cos32 , полярна вісь.
7.14.24. L: Oxtytx ,sin3,cos3 33 .
7.14.25. L: Oxtytx ,sin23,cos2 .
7.14.26. L: 2cos92 , полярна вісь.
452
7.14.27. L: 3xy між прямими Ox,x 32
7.14.28. L: Oxtytx ,sin2,cos2 33 .
7.14.29. L: Oxtytx ,sin2,cos .
7.14.30. L: sin4 , полярна вісь.
Завдання 15
7.15.1. Обчислити кінетичну енергію однорідного диска маси M і
радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що
проходить через його центр перпендикулярно до його площини.
7.15.2. Прямокутна пластинка вертикально занурена в судину з
рідиною. Один з її боків довжиною a=0.3 м лежить на поверхні рідини,
довжина вертикальних сторін b=0.5 м. На якій глибині треба розділити
прямокутник горизонтальною прямою, щоб сили тиску на верхню та
нижню частини площі виявились рівними між собою?
7.15.3. Судина, що має форму півкулі радіуса а, наповнена водою. За
який час T витече вся вода через отвір S у дні судини (a=0.49 м
S=0.000092м2)? (Швидкість витікання рідини v gh2 , де h – висота
стовпа рідини над отвором; g – прискорення сили ваги, для води =0,6).
7.15.4. Яку роботу треба витратити, щоб насипати піщану купу
конічної форми з радіусом основи R=1.2 м і висотою H=1 м? (Питому вагу
піску, що береться з поверхні землі, прийняти =2 г/см3).
7.15.5. Прямокутні двері шлюзу мають довжину a=0.8 м, ширину
d=0.3 м і утворюють кут =60 з горизонтальною площиною. Верхній край
дверей на l=0.4 м по вертикалі нижче поверхні води. Обчислити силу тиску
води на двері. (Питома вага води γ =1 т/м3).
7.15.6. Обчислити роботу, яку потрібно витратити на викачування
води з казана, що має форму півкулі радіуса R. (Питома вага води γ=1).
7.15.7. Обчислити силу тиску ртуті, що наповнює склянку з
діаметром основи 0.06 м і висотою 0.1 м, на стінки склянки, вважаючи
питому вагу ртуті рівною =13,6 т/м3.
7.15.8. Два електричних заряди Kq 71 103
1 і Kq 72 10
3
2
знаходяться на відстані 10 см один від одного. Середовищем, що їх
поділяє, є парафін. Спочатку обидва заряди закріплені нерухомо. Потім
453
заряд q2 звільняється і під дією сили відштовхування віддаляється від
заряду q1 на відстань 1 м. Яка робота буде при цьому здійснена силою
відштовхування? ( – діелектрична проникність щодо вакууму, для
парафіну: параф=2; 0 – електрична стала: 4π0=1,11*10-10
ф/м).
7.15.9. Куля лежить на дні басейну глибиною H=1.4 м. Визначити
роботу, необхідну для витягування кулі з води, якщо її радіус R=0.3 м, а
питома вага матеріалу кулі =2т/м3. (Питома вага води дорівнює 1т/м
3).
7.15.10. Квадратна пластинка занурена вертикально у воду так, що
одна з її вершин лежить на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна
поверхні. Сторона квадрата дорівнює a. З якою силою вода тисне на
кожний бік пластинки? (Питома вага води γ =1).
7.15.11. Квадрат зі стороною 8 м вертикально занурений у воду так,
що одна з його сторін лежить на поверхні води. Визначити тиск води на
квадрат і на кожну з частин, на які він поділяється діагоналлю. (Питома
вага води γ =1т/м3).
7.15.12. Круглий циліндр, радіус основи якого дорівнює R, а висота
H, обертається навколо своєї осі з постійною кутовою швидкістю .
Щільність матеріалу, з якого зроблено циліндр, дорівнює . Знайти
кінетичну енергію циліндра.
7.15.13. Обчислити силу тиску рідини на бічні стінки кругового
циліндра, висота якого дорівнює h, а радіус основи r. Питома вага рідини
дорівнює , і рідина повністю заповнює циліндр.
7.15.14. Обчислити роботу на подолання сили тяжіння, яку необхідно
затратити, щоб викачати воду з резервуара, що має форму конуса,
оберненого вершиною вниз. Висота конуса H,
радіус основи R. (Питома вага води γ =1).
7.15.15. Казан параболічної форми
наповнено водою. Радіус основи R. Висота H. Яку
роботу необхідно витратити, щоб викачати воду з
цього казана? (Питома вага води γ =1).
7.15.16. Знайти кінетичну енергію однорідної трикутної пластинки
(висота h, основа a, товщина ), що обертається з постійною кутовою
швидкістю навколо своєї основи (δ – щільність матеріалу пластини).
7.15.17. Яку роботу потрібно витратити, щоб наповнити водою
цистерну з горизонтальною віссю, якщо радіус основи цистерни R, а
довжина її H? (Питома вага води γ =1).
z
x y 0
R
H
454
7.15.18. Знайти силу взаємодії однорідного стержня довжини l, маси
M із точкою m.
7.15.19. Знайти силу тиску на один бік квадратної пластинки, що
занурена в рідину вертикально вниз так, що одна з її вершин знаходиться
на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна поверхні води (сторона
пластинки a). (Питома вага рідини γ).
7.15.20. Яку роботу потрібно витратити, щоб викачати рідину з
судини, обмеженої циліндричною і напівсферичною поверхнями? (Питома
вага рідини γ).
7.15.21. Гребля має форму рівнобічної трапеції, основи якої мають
довжину відповідно a= 200 м і b=50 м, а висота дорівнює h=10 м.
Обчислити тиск на греблю, якщо верхня основа лежить на рівні вільної
поверхні води. (Питома вага води γ =1т/м3).
7.15.22. Яку роботу треба витратити, щоб насипати купу піску
конічної форми з радіусом r і висотою h, якщо питома вага піску =2?
2.15.23. Яку роботу треба витратити, щоб зупинити залізну кулю
радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо свого діаметра,
якщо питома вага заліза ?
2.15.24. Куля радіусу r занурена у воду. Яку роботу необхідно
витратити, щоб витягти кулю з води, якщо питома вага матеріалу кулі
дорівнює , а питома вага води дорівнює 1?
2.15.25. Встановити, з якою силою однорідне дротове кільце маси M
притягає матеріальну точку m, розташовану на відстані b від центра кільця.
Радіус кільця дорівнює a.
2.15.26. Знайти силу тиску на півкруг радіуса r, занурений
вертикально у воду так, що його діаметр лежить на поверхні води. (Питома
вага води γ=1).
l
m
a
R
H
2R
455
7.15.27. Обчислити кінетичну енергію прямого круглого однорідного
конуса маси M, що обертається з кутовою швидкістю навколо своєї осі,
якщо радіус основи конуса R, а висота H.
7.15.28. Обчислити силу тиску рідини на вертикальну стінку у формі
еліпса з осями 2a і 2b, центр якого занурено у рідину на рівень h. ( bh ,
питома вага рідини ).
7.15.29. Знайти силу тиску води на греблю, що має форму
параболічного сегмента (2a, h).(Питома вага води γ=1).
7.15.30. Обчислити роботу з подолання сили ваги, яку необхідно
витратити, щоб викачати воду з резервуара, що має форму конуса,
оберненого вершиною догори. Висота конуса H, радіус основи R. (Питома
вага води γ =1).
Завдання 16.
Усі матеріальні тіла в задачах даного розділу вважати однорідними.
7.16.1. Знайти момент інерції відносно осі Оу дуги кола 222 ayx ,
що лежить у I-му октанті.
7.16.2. Знайти координати центра ваги дуги кардіоїди cos1a
від 0 до .
7.16.3. Знайти центр ваги дуги першої арки циклоїди ,sin ttax
20,cos1 ttay .
7.16.4. Знайти статичний момент відносно осі Ох фігури, обмеженої
лініями 2xy і xy .
7.16.5. Знайти момент інерції трапеції ABCD відносно її основи AD,
якщо AD=a, BC=b, а висота трапеції дорівнює h.
7.16.6. При розрахунку балкових дерев’яних мостів часто доводиться
мати справу з круглими колодами, обтесаними на два канти. Визначити
момент інерції подібного перетину щодо горизонтальної лінії.
0 R
h
x
y
456
7.16.7. Знайти координати центра ваги однорідної фігури, що
обмежена параболами xy,yx 2020 22 .
7.16.8. Знайти координати центра ваги однорідної пластини, що
обмежена лініями 4
,cos2
2 xyxy .
7.16.9. Знайти координати центра ваги плоскої фігури, що обмежена
кривою 32 xay і прямою 0 aax .
7.16.10. Обчислити момент інерції кола радіуса R відносно осі, що
знаходиться з нею в одній площині і віддалена від її центра на відстань b
(b>R).
7.16.11. Знайти момент інерції однорідної параболічної пластини
висоти h щодо основи а, якщо пластина обертається зі сталою кутовою
швидкістю навколо осі.
7.16.12. Знайти центр ваги плоскої фігури, що лежить у першому
квадранті та обмежена еліпсом 12
2
2
2
b
y
a
x, колом 222 ayx і віссю Оу.
7.16.13. Обчислити момент інерції сектора радіуса r, що відповідає
центральному куту , відносно одного з крайніх його радіусів.
7.16.14. Знайти центр ваги пластини, що має форму сегмента (R,h).
7.16.15. Знайти момент інерції тіла, обмеженого даними поверхнями,
при обертанні навколо осі Oz.
062 22222 zzyx,zyx .
7.16.16. Знайти координати центра ваги півкола радіуса r.
7.16.17. Знайти момент інерції кулі (радіуса а і маси М) відносно її
діаметра.
7.16.18. Знайти центр ваги півкола, користуючись теоремою
Гульдіна.
7.16.19. Знайти статичний момент кола sinar 2 відносно
полярної осі.
7.16.20. Знайти момент інерції еліпса 222222 bayaxb відносно
однієї з його осей.
7.16.21. Визначити положення центра ваги дуги астроїди
32
32
32
ayx , що лежить в першій чверті.
7.16.22. Знайти центр ваги однорідної півкулі радіуса R.
457
7.16.23. Знайти координати центра ваги однорідної фігури,
обмеженої замкненою лінією 422 xxy , x0.
7.16.24. Обчислити момент інерції півкола радіуса R відносно його
діаметра.
7.16.25. Знайти момент інерції кругового конуса з радіусом основи R
і висотою H відносно площини основи цього конуса.
7.16.26. Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої осями
координат і параболою ayx .
7.16.27. Знайти центр ваги чверті кола 222 Ryx , що розташоване
в першому квадранті.
7.16.28. Знайти момент інерції квадрата зі стороною а відносно його
вершини.
7.16.29. Знайти координати центра ваги однорідної пластини,
обмеженої параболою 2zay і прямою 0 aay .
7.16.30. Знайти координати центра ваги плоскої однорідної пластини,
що обмежена колом 222 Ryx і двома радіусами 0y і tgxy .
458
Глава 8. Невласні інтеграли, питання їх збіжності
Дотепер при розгляді визначених інтегралів передбачалося, що
проміжок інтегрування скінченний і підінтегральна функція обмежена на
цьому проміжку. Якщо ж ці умови не виконуються, то кажуть про невласні
інтеграли, що є узагальненням визначеного інтеграла для цих випадків.
8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування
(І роду) та їхнє обчислення
Нехай функція f(x) визначена на нескінченному проміжку ,a і
інтегрована в будь-якій скінченній його частині aAAa , . Тоді якщо
існує
A
aA
dxxflim , то цю границю називають невласним інтегралом
І роду або інтегралом на нескінченному проміжку ,a від функції xf
і позначають
a
dxxf . Таким чином,
A
aA
a
dxxfdxxf lim .
У випадку, якщо межа існує і скінченна, невласний інтеграл
збігається. Якщо ж границя нескінченна або взагалі не існує, то невласний
інтеграл не існує, або розбігається.
Аналогічно вводиться поняття інтеграла по нескінченному проміжку
a, , тобто
a
BB
a
dxxfdxxf lim .
Невласний інтеграл з обома нескінченними границями визначається
рівністю
a
a
dxxfdxxfdxxf , де а – будь-яке число. При цьому
передбачається існування обох інтегралів, що стоять праворуч.
459
Геометричний зміст невласного інтеграла
Якщо 0xf і непереривна Aax , , то визначений інтеграл
A
a
dxxf геометрично являє собою площу криволінійної трапеції,
обмежену віссю Оx, кривою xfy і прямими ax і Ax . При
зростанні AA пряма Ax
переміщується вправо. Якщо невласний
інтеграл
a
dxxf збігається, то його
величину приймають за площу
нескінченної криволінійної трапеції.
Приклад 1
.sinlim0sinsinlim0
sinlimcoslimcos
00
AAA
xxdxxdxAAA
A
A
Інтеграл розбігається, оскільки AA
sinlim
не існує.
Приклад 2
Розглянемо 0
ax
dx
ap
. Дослідимо, при яких значеннях p
інтеграл збігається.
Розв'язання
а) 1p . За визначенням знаходимо
aAa
Ax
x
dx
x
dx
AA
A
aA
a
lnlnlimlnlimlim ,
інтеграл розбігається;
б) 1p ;
,lim1
1
1
1limlim 111
pp
A
p
A
A
a
p
Aa
paA
pa
Ax
pdxx
x
dx
інтеграл розбігається;
в) 1p .
При 1p 1lim 0p
AA
і тоді
1
1
p
p
a
dx a
px
, тобто збігається.
y
y=f(x)
0 x
a A
460
Отже, невласний інтеграл
.,1,
,,1,1
1
ñÿðîçá³ãàºòüp
çá³ãàºòüñÿpp
a
x
dxp
ap
Геометрично це означає, що при 1p функція px
1 наближається до
нуля при x настільки швидко, що площа нескінченної криволінійної
трапеції виявляється скінченною.
Приклад 3
1limlimlim 0
00
0
eeedxedxe A
A
A Ax
A
x
A
x ,збігається.
Узагальнена формула Ньютона-Лейбниця
Нехай xf – неперервна на ,a функція, а xF – первісна для
xf , тоді
.
limlimlim
axFaFF
aFAFa
AxFdxxfdxxf
AA
A
aA
a
Тут AFFA
lim ; скористуємося для стислості умовним записом
aFFa
xFdxxf
a
.
Приклад 4 4421
arctg11
2
xx
dx.
Для невласних інтегралів має місце формула заміни змінної. Часто в
результаті заміни змінної інтегрування невласний інтеграл зводиться до
визначеного.
Приклад 5
.
402
4
2sin
2
1
2
2cos1
cos
cos
cos
tg
1
2
0
2
02
4
2022
z
zdzz
dzz
z
z
dzdx
zx
x
dx
461
Приклад 6.
3 2
20
arctg
1
x dxI
x
.
Розв'язання Припускаючи arctgt x , знаходимо dtx
dx
21, tgx t ;
tx
cos1
1
2
. Межі інтегрування для змінної t: при x=0 маємо t=0; при
2,
tx . Одержимо
2
2
00
coscos sin cos 1
sin 2
u t dv tdtI t t dt t t t
du dt v t
.
Невласні інтеграли, що збігаються, мають усі основні властивості
визначених інтегралів. При розгляді невласного інтеграла насамперед
необхідно з'ясувати, чи буде він збігатися. Питання про збіжність може
бути вирішене або безпосереднім обчисленням невласного інтеграла, або
за допомогою спеціальних ознак збіжності.
Приклад 7. Дослідити збіжність інтеграла
2
ln
1
ln
1lim2
2
1
lnlim
ln
lnlim
ln
21
23
23
eA
x
x
xd
xx
dx
A
A
e
A
A
eA
e
.
Випливає, інтеграл збігається.
У багатьох задачах, пов'язаних з невласними інтегралами, досить
тільки з'ясувати питання про збіжність інтегралів, і не потрібно знаходити
його значення. У цьому випадку, як правило, використовуються наступні
ознаки збіжності.
Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду для
невід'ємних функцій
Зауваження. Збіжність невласного інтегралу першого роду залежить
від поводження функції на нескінченності, тобто якщо b a , то невласні
інтеграли
a
dxxf і
b
dxxf збігаються чи розбігаються одночасно.
462
Теорема 1. (Ознака порівняння).
Нехай при досить великих x виконується нерівність xgxf 0 .
Тоді зі збіжності інтеграла
a
dxxg випливає збіжність інтеграла
a
dxxf , а з розбіжності інтеграла
a
dxxf випливає розбіжність
інтеграла
a
dxxg .
Приклад 8. У теорії імовірності важливу роль відіграє інтеграл
Пуассона 2
0
xe dx
. Дослідити його на збіжність.
Розв'язання
Невласний інтеграл не береться в елементарних функціях.
Порівняємо цей інтеграл з інтегралом, що збігається:
0
dxe x (приклад 3).
При 1x маємо xx 2 , тоді xx ee 2
. Отже,
11
2
dxedxe xx .
Зі збіжності інтеграла
0
dxe x випливає збіжність інтеграла
0
2
dxe x .
Теорема 2. (Гранична форма ознаки порівняння).
Якщо існує
0limxg
xf
x, то невласні інтеграли
a
dxxf і
a
dxxg збігаються чи розбігаються одночасно.
Приклад 9. Дослідити на збіжність
121 xx
dx.
Розв'язання
Підінтегральна функція 21
1
xxxf
при x є нескінченно
малою величиною порядку 2
1
x. Виберемо
2
1
xxg . Оскільки інтеграл
463
121
2
px
dx збігається, то за ознакою порівняння в граничній формі
маємо 11
lim1
1
1
lim2
2
2
x
x
x
xx
xx. Отже, інтеграл
121 xx
dx
збігається.
Невласні інтеграли від знакозмінних функцій
Теорема (достатня ознака збіжності). Нехай функція xf
визначена ax . Тоді якщо
a
dxxf збігається, то збігається і
інтеграл
a
dxxf .
Невласний інтеграл
a
dxxf називається абсолютно збіжним, якщо
збігається
a
dxxf . Невласний інтеграл
a
dxxf називається таким, що
умовно збігається, якщо він збігається, а інтеграл
a
dxxf розбігається.
Приклад 10. Покажемо, що інтеграл 2
1
sin xdx
x
збігається
абсолютно. Дійсно, оскільки 2 2
sin 1x
x x , а інтеграл 12
12
px
dx
збігається, то через ознаку порівняння досліджуваний інтеграл абсолютно
збігається.
Приклад 11. Дослідити збіжність інтеграла dxx
x
1
sin.
Розв'язання. Ознаку порівняння застосувати безпосередньо не
можна. Для доказу збіжності інтеграла застосуємо метод інтегрування
частинами:
464
121
1
2cos
cos1
cos;sin
1;
1sin
dxx
xx
xxvdvxdx
xdu
xu
dxx
x
12
cos1cos dx
x
x.
Застосовуючи тепер ознаку порівняння, одержимо
2cos
12
12
px
dxdx
x
x.
Інтеграл збігається.
Отже,
1
sindx
x
x збігається. Покажемо тепер, що інтеграл
1
sindx
x
x розбігається, тобто досліджуваний інтеграл збігається умовно.
Дійсно, оскільки число 1 більше свого квадрата, тобто 2 , то
x
x
x
x 2sinsin .
Застосовуючи ознаку порівняння, досить довести розбіжність
інтеграла
1
2sindx
x
x. Але xx 2cos1
2
1sin 2 , а
111
2cos
2
1
2
1
2
2cos1dx
x
x
x
dxdx
x
x.
Збіжність інтеграла
1
2cosdx
x
x доводиться інтегруванням частинами, але
інтеграл
1
1px
dx розбігається. Тому інтеграл
1
sindx
x
x також
розбігається.
Приклад 12. Обчислити інтеграл, встановивши його збіжність:
dx
x
xxI
0321
ln.
465
Розв'язання. х=0 – особлива точка, оскільки
xx
lnlim0
. З'ясуємо
поводження функції 321
ln
x
xxxf
при 0x :
.0
1
1
limËîï³òàëÿïðàâèëîìçà1
lnlim0
1
lnlim
2
00320
x
x
x
x
x
xx
xxx
Отже, при 0x підінтегральна функція є обмеженою. Дослідимо
поводження функції на нескінченності. Оскільки при xxx ln , то
432
2
32
1
11
ln
xx
x
x
xx
.
Оскільки
14
1
x збігається, то збігається і досліджуваний інтеграл.
Інтегруємо частинами. Нехай xu ln , тоді
22
232
32 14
11|1
2
1,
1
,
x
xdxv
x
xdxdv
x
dxdu
.
Знайдемо первісну:
dx
xx
xx
x
x
xx
dx
x
xxF
22
22
222222 1
1
4
1
14
ln
14
1
14
ln
2222222 14
ln
14
1
14
1
14
ln
x
xdx
x
x
xx
dx
x
x
2
22
1
1
4
1
xx
dxxx
2
2
222 18
11ln
8
1ln
4
1
14
ln
18
1
xxx
x
x
x
.
Знайдемо
2
2
2200 18
11ln
8
1ln
4
1
14
lnlimlim
xxx
x
xxF
xx
8
1
1
ln2lim
4
1
8
1
1
11lnlim
4
1
8
1
2
22
0220 x
xxx
x
xxx
8
1
2
1lim
2
1
8
1lnlim
2
1
8
10lnlim
4
2
3020
2
0
xxx
xxx
xxx.
0lim
xFx
.Отже, 8
1I .
466
Приклад 13. Дослідити збіжність невласного інтеграла
1 73ln12 23
xx
dx.
Розв'язання. Підінтегральна функція є величиною того ж порядку
малості, що й
73ln73
1
23
xx
, тому що
2
3
73ln12
73ln73lim
23
23
xx
xx
x,
тобто
73ln73
10
73ln12
1
23
23
*
xxxx
.
Розглянемо
10ln3
2
73ln
1
3
2
73ln
73ln
3
1
73ln731
1 1 21
23
23
xx
xd
xx
dx.
Отже, інтеграл збігається. Звідси, завдяки граничній ознаці
порівняння, випливає збіжність досліджуваного інтеграла.
Приклад 14. Дослідити збіжність інтеграла
022
1
x
dx
ee
xxx
.
Розв'язання. Досліджуємо підінтегральну функцію
2
1
2
1
xee
xxf
xx
в околі точки 0x . Оскільки
1 1 1 1 shsh
2 2 2 2sh 2 2 sh2
2
x x
x x x x
x x e e x x xx
x xe e e e
.
Розкладемо за формулою Маклорена 3 5 2 1
sh ... ...3! 5! (2 1)!
nx x xx x
n
Тоді 31sh ~ , sh ~ , 0
6x x x x x x .
Таким чином,
3
21 sh sh 00
2 2sh sh ~x x
x x x x x xx
xe e x x
.
467
Отже, в околі точки 0x підінтегральна функція є обмеженою (при
x0 підінтегральна функція наближається до 12
1 ).
При x 2 2
1 1 10
2
*
x x
x
x e e x
12 p . Отже, інтеграл
збігається.
Приклад 15. Дослідити збіжність інтеграла
2 lnln
exx
dxI .
Розв'язання. Ми маємо невласний інтеграл I роду
2
22
ln,
2ln,
ln
lnln
ln
lnln 22 t
dt
tx
etex
tx
x
xd
xx
dx
ee
.
Оскільки tt ln при 2t , звідси випливає нерівність tt
1
ln
1 .
Досліджуваний інтеграл розбігається за ознакою порівняння, тому
що
2t
dt розбігається.
Приклад 16. При яких значеннях k збігаються інтеграли
2
1ln xx
dxI
k і
2
2ln
kxx
dxI .
Розв'язання
Розглянемо інтеграл 1I .
а) Нехай k<0, тоді оскільки xx ln при x , то 1
1
ln
1
kk xxx
.
Оскільки
2
1kx
dx розбігається при k+1 1 , тобто при 0k , то і
досліджуваний інтеграл за ознакою порівняння розбігається при 0k .
б) Якщо 10 k , то при 1x , xxk , Отже, xxxxk ln
1
ln
1 .
Інтеграл же
2 2
ln
ln ln
d xdx
x x x
, тобто розбігається. Тому і
досліджуваний інтеграл за ознакою порівняння також розбігається.
468
в) Нехай k>1. Порівняємо підінтегральну функцію з kx
1:
0ln
lim1
:ln
1lim
xx
x
xxx k
k
xkkx, тобто підінтегральна функція спадає
швидше, ніж kx
1, (k>1). Оскільки інтеграл
2kx
dx збігається при 1k ,
звідси випливає збіжність інтеграла 1I при 1k .
Остаточно маємо, що
1
çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1,
ðî çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1.
kI
k
Оскільки 0ln
lim x
x
x при будь-якому як завгодно малому 0 , а
інтеграл
2kx
dx збігається при 1k , звідси випливає збіжність інтеграла (1)
при 1k .
Дослідимо збіжність 2I .
За визначенням
A
kA
A
kAkxx
xd
xx
dx
xx
dx
222 ln
lnlim
lnlim
ln
1112
1
2ln1
1
2ln1
1
ln1
1lim
1
lnlim
kkkA
Ak
A kkAkk
x
при 1k ;
при 1k інтеграл розбігається (перевірити при 1k самостійно).
2
çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1,
ðî çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1.
kI
k
Приклад 17. При яких значеннях m інтеграл dxx
xm
2
0
cos1
збігається?
Розв'язання. Особлива точка підінтегральної функції 0x .
Оскільки 2
~cos12
0
xx
x , звідси випливає .
10
cos12
*
mm xx
x
469
Невласний інтеграл ІІ роду
2
0 x
dx збігається при 1 . Отже,
досліджуваний інтеграл буде збігатися при 12m або 3m ; при 3m
інтеграл розбігається.
Приклад 18. Дослідити збіжність інтеграла
1
2sin dxx (інтеграл
Френеля).
Розв'язання. В раніше наведених прикладах невласних інтегралів,
що збігаються, підінтегральна функція наближається до 0 при x .
Але ця умова не є необхідною. Дійсно,
1
2sin dxx збігається, хоча при як
завгодно великих х підінтегральна функція коливається між –1 та +1.
Використовуючи підстановку tx і потім інтегруючи частинами,
отримаємо:
1
2sin dxx = dtt
tdt
t
tt
tdt
t
t
123
123
1
1cos
4
1
2
1coscos
4
1|cos
2
1sin
2
1.
Оскільки 2323
1cos
tt
t , досліджуваний інтеграл збігається.
Приклад 19. Дослідити збіжність і обчислити інтеграл
3 2
20
arctg
1
xJ dx
x
.
Розв'язання. Підінтегральна функція є нескінченно малою
величиною порядку 3p відносно x
1:
*
3 2 32
arctg 10
1x
x
xx
. Оскільки
13
13
px
dx збігається, то звідси випливає збіжність досліджуваного
інтеграла.
470
8.2. Невласні інтеграли другого роду (інтеграли від необмежених
функцій)
Нехай функція f x визначена на півінтервалі a,b , інтегрована на
відрізку a,b , де 0 b a і
xfbx 0
lim . Точка b називається
при цьому особливою точкою функції
f x . Тоді якщо існує dxxfb
a
0lim ,
то його називають невласним
інтегралом другого роду, позначають
b
a
f x dx і говорять, що інтеграл
збігається, якщо
dxxfdxxfb
a
b
a
0lim .
Якщо ж границя дорівнює нескінченності або взагалі не існує, то
інтеграл розбігається.
Якщо особливою точкою функції f x є точка х=а, то
dxxfdxxfb
a
b
a
11 0lim .
Якщо C a,b є особливою точкою функції f x , то за
властивістю аддитивності b C b
a a C
f x dx f x dx f x dx і
dxxfdxxfdxxfb
ñ
Ñ
a
b
a
22
1
1 00limlim .
Якщо хоча б один із інтегралів C
a
f x dx або b
C
f x dx розбігається,
то невласний інтеграл b
a
f x dx також розбігається.
y
y=f(x)
x a b b- 0
471
Приклади.
1. Дослідити на збіжність невласний інтеграл
b
a
dx
x a
.
Розв'язання. Підінтегральна функція в точці x a має нескінченний
розрив.
а) 1 . За визначенням невласного інтеграла маємо:
1
0 0
11 1
0
1lim lim
1
1, 1 çá³ãàºòüñÿ,1
lim 11
, 1 ðî çá³ãàºòüñÿ.
b b
a a
bdx dxx a
ax a x a
b ab a
б) 0 0
1. lim lim ln ln lim
b b
xa a
dx dxb a
x a x a
, таким
чином, інтеграл розбігається.
.1,
,1,
ïðèñÿðîçá³ãàºòü
ïðèçá³ãàºòüñÿ
ax
dxb
a
Зокрема,
1
0
dx
x при 1 збігається; при 1 розбігається.
2. Обчислити невласний інтеграл другого роду
1 1
2 20 0 00 0
1lim limarcsin lim arcsin 1 arcsin0
0 21 1
dx dxx
x x
(інтеграл збігається).
Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду для невід'ємних
функцій
Теорема 1. (Ознака порівняння).
Якщо функції f x і g x неперервні x a,b , за винятком
скінченного числа точок, причому 0 f x g x , x a,b , то:
а) якщо b
a
g x dx збігається, то і b
a
f x dx збігається;
б) якщо b
a
f x dx розбігається, то і b
a
g x dx розбігається.
472
Приклад. Дослідити збіжність інтеграла
1 2
0
cos xdx
x .
Тут 2cos 1
0x
x x . Оскільки інтеграл
1
0
11
2
dx
x
збігається,
то і даний інтеграл, за ознакою порівняння, збігається.
Теорема 2. (Гранична форма ознаки порівняння).
Якщо функції f x і g x невід'ємні, неперервні x a,b і
зазнають нескінченний розрив у точці x b ;
0
lim 0x b
f x
g x ,
то невласні інтеграли від обох функцій збігаються або розбігаються
водночас.
Приклади
1. Розглянемо
2
1ln
dxJ
x x ; особлива точка 1x . Інтеграл
розбігається, оскільки
2
21
0 0 01
lnlim limln ln | lim ln ln 2 ln ln 1
ln
d xJ x
x
.
2. Дослідити збіжність інтеграла
1
3 30 1
xe dx
x .
Розв'язання
Підінтегральна функція має особливу точку 1x . Порівняємо з
інтегралом, що збігається, тобто з інтегралом
1
30
11
31
dx
x
. Тоді
33 3
33 231 0 1 0
3
11lim lim1 31 1
1
x
x
x x
e
e x ex
x x xx
.
Звідси випливає збіжність розглянутого інтеграла.
3.
1
0sin
dx
x x .
473
Розв’язання. Особлива точка 0x . Оскільки знаменник
підінтегральної функції 0
sin ~x
x x x
, то виберемо
1 1
12
g xx
.
Оскільки 0 0 0
1
sinlim lim lim 11 sinx x x
x xx x
x x x
x
, звідси
випливає збіжність досліджуваного інтеграла, тому що
1
0
dx
x збігається.
Невласні інтеграли другого роду від знакозмінних функцій
досліджуються аналогічно невласним інтегралам першого роду.
4. Дослідити збіжність інтеграла
1
3
0
1sin
x dxx .
Розв'язання. Розглянемо
1
30
1sin
x dxx
. Тут 3 3
1sin
1 11
3
x
x x ,
звідси випливає абсолютна збіжність невласного інтеграла.
5. Розглянемо
1
2
0
ln
1
xI dx
x
.
Розв'язання. Оскільки ln 0x при 0 1x , то подамо вихідний
інтеграл у вигляді
1
2
0
ln
1
xI dx
x
. Особливі точки підінтегральної функції
0x і 1x належать проміжку 0 1; . Знайдемо
33 3
33 231 0 1 0
3
11lim lim1 31 1
1
x
x
x x
e
e x ex
x x xx
.
21 0 1 0
1ln 0 1
lim lim0 2 21x x
x x
xx
. Отже, підінтегральна функція обмежена в
474
околі точки 1x .
Обчислимо при 0 1
2
2 10 0 0 0 0
ln 11 ln1lim lim lim ln 0 lim lim
1 1x x x x x
x
xx xx xx x x
x
0lim 0x
x
.
Підінтегральна функція в околі точки 0x має порядок зростання
нижче, ніж нескінченно велика в цьому околі функція 1
x (0 1 ),
Отже, досліджуваний інтеграл збігається.
6. Дослідити збіжність інтеграла
1
0
lnmx x dx .
Розв'язання.
21
2
0 1
1 1
lnln 0
1 1
m
m
x dxt t
tI x xdx x t dt
tx t
.
2
1
lnm
tdt
t
– невласний інтеграл першого роду. При 2 1m , тобто при
1m , цей інтеграл збігається, при 2 1m , тобто при 1m , –
розбігається, бо в цьому випадку 2
ln lnm
t t
tt .
7. 1 1 1
0 0
ap x p x p x
a
J x e dx x e dx x e dx
, 0 a .
Розв'язання. При 0x 1
1
10p x *
px e
x
. Перший з інтегралів у
правій частині рівності буде збігатися за умови 1 1p , тобто при 0p
(як невласний інтеграл другого роду). При x підінтегральна функція
1 0p xf x x e , оскільки експоненціальна функція спадає швидше, ніж
475
будь-яка функція вигляду 1
1x
. Тому другий інтеграл збігається
p R . Звідси випливає збіжність розглянутого інтеграла при 0p .
8. Обчислити невласний інтеграл
1
2 20 1 2 1
dxI
x x
.
Розв'язання. 1x – особлива точка, підінтегральна функція
2 2 2 1
1 1 1 10
1 1 11 2 1 1 2
*
xx x xx x x
інтеграл збігається, оскільки інтеграл
b
a
dx
b x
при
11
2 збігається.
Замінюємо sinx t , тоді cosdx tdt . 2
2 2 2
2
0 02
1tg cos
cos 2 1
cos 2cos 2cos 2
1
t zz t
tdt dt zItt t dz
dtz
=
1
220
2
21
1 21
dz
zz
z
11
200
2 22 arctg
63 3 3 3 3 3
dz z
z
.
9. Дослідити збіжність інтеграла 2
0
lnsin xI dx
x
.
Перший спосіб
2 22
00 0
lnsinlnsin cos
2 lnsin 2sincos
2sin
dxu x dv
x xxdx x x x dx
xxdxxdu v x
x
2
0
cos2
sin
x xdx
x
.
Тут 0
limlnsin 0x
x x
(перевірити), а *
0
cos 10
sin x
x x
x x
. Отже,
інтеграл збігається.
476
Другий спосіб
Порівняємо підінтегральну функцію в малому околі точки х=0 з
нескінченно великою в цьому околі функцією 1
x, де
11
2 . Маємо:
1 10 0 02 2
ln sin ln sin1 coslim : lim lim
1sin
2
x x x
x x x
xxx x x
1 11
2 22
0 0 0
1 1 1lim lim lim 0
2 sin 2 2x x x
x xx
x x
.
Таким чином, порядок зростання підінтегральної функції нижчий, ніж
порядок зростання нескінченно великої функції 1
x, (
11
2 ). Оскільки
інтеграл 2
0
dx
x
збігається при 1
12
, то за ознакою порівняння
досліджуваний інтеграл також збігається.
8.3. Головні значення невласних інтегралів
Визначення. Якщо при 0 існують власні інтеграли c
a
f x dx
і
b
c
f x dx
(a c b ), то під головним значенням у сенсі Коші (v.p.)
розуміють число v.p. 0
lim
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
.
Аналогічно v.p. lim
A
AA
f x dx f x dx
.
Приклади
1. v.p. 2
2
1 1lim arctg | ln 1 |
21
A AA A
A
xdx x x
x
2
2A A
1 1 Alim arctg A arctg A ln lim 2arctg A
2 1 A
.
477
2. Обчислити 2
03 2
dxJ v.p. .
x x
Розв'язання. Особливі точки підінтегральної функції 1x і 2x ; 2A .
1 2
11 2
2
1 2
00 1 20
2 2 2 2lim ln ln ln lim ln
1 1 1 1
A B
BA
x x x xJ
x x x x
1
2
1 2
01 2
0
1 1 2 1ln 2 lim ln ln lim ln ln
1 1 1 2B
B
B
.
Контрольні приклади та запитання до гл. 8
Спочатку рекомендуємо читачеві разом з нами розв’язати
декілька типових задач, замінюючи знак необхідними числами або
виразами.
Приклад 8.1. Дослідити збіжність інтеграла
1
0234 2 xxx
dx.
Розв'язання. Точка розриву підінтегральної функції .0x
Перетворимо підінтегральну функцію у такий спосіб:
4
7
12
1
4
1234
21
11
xxxxxx
xf ,
тобто виділимо головну частину. При 0x будемо мати *f x .
Оскільки інтеграл
1
*
0
dx
x збігається, то досліджуваний інтеграл також
збігається.
Приклад 8.2. Дослідити збіжність інтеграла
34 1x
xdx.
Розв'язання. Застосуємо ознаку збіжності у формі нерівності.
Інтеграл , оскільки при 1x виконується нерівність 4 4 41
x x
x x x
,
478
а інтеграл
32x
dx .
Приклад 8.3. Знайти невласний інтеграл 2 2 2
dx
x x
.
Розв'язання. Оскільки область інтегрування необмежена, то даний
невласний інтеграл є інтегралом -го роду. Всередені інтервалу ;
функція розривів не має (оскільки знаменник не перетворюється на 0).
2 2 2 22 2 1 1
dx dx darctg
x x x x
.
Отже, досліджуваний невласний інтеграл збігається і дорівнює .
Приклад 8.4. Знайти невласний інтеграл
2
2
01
dx
x .
Розв'язання. Всередені області інтегрування функція зазнає
розриву. Отже, досліджуваний інтеграл необхідно розбити на суму двох
невласних інтегралів -го роду.
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 01 1 1 1 1
b
b aa
dx dx dx d dlim lim
x x x x x
=
2
0
1 1b
b aa
lim lim
.
Оскільки невласний інтеграл дорівнює , то він розбігається.
Приклад 8.5. Знайти площу, обмежену кривою 3x /y e і віссю Ох
при 0x .
Розв'язання
Площу криволінійної трапеції знаходимо за формулою
b
a
S f x dx .
У даному випадку 3x /f x e , a , b , і ми отримаємо
невласний інтеграл 1-го роду:
479
3 3 00x / x /S e dx e e
.
При обчисленнях використовували значення такої границі:
/3
/3
1 1lim limx
xx xe
e
, тобто площа дорівнює 3 кв. од.
Лабораторна робота 8. Обчислення невласних
інтегралів у системі Maple
Завдання. Дослідити збіжність невласних інтегралів і обчислити,
якщо вони збігаються.
Виконання. Для обчислення невласних інтегралів використовується
команда int(expr,var=val1..val2), де expr – підінтегральна функція, var –
змінна інтегрування, val1, val2 – нижня і верхня межі інтегрування.
1) dxx
1
21
1,
> int(1/(1+x^2),x=1..infinity);
4
1.
2)
dx
x1
arctgx
0 2
32
,
> int(arctan(x)/((1+x^2)^(3/2)),x=0..infinity);
12
1 .
3)
dx
xxe
23
ln
1,
> int(1/(x*ln(x)^(3/2)),x=exp(1)..infinity);
2.
4)
dx
x
xx
0321
ln,
> int(x*ln(x)/(1+x^2)^3,x=0..infinity);
–1/8.
480
5) dxxx
2
1ln
1,
> int(1/(x*ln(x)),x=1..2);
.
6) dxxx
1
022 121
1,
> int(1/(1-x^2+2*sqrt(1-x^2)),x=0..1);
9
3.
7) dxxx
1
0sin
1,
> int(1/(sqrt(x)-sin(x)),x=0..1);
Якщо інтеграл не виражається через елементарні функції, то Maple
повертає вираз.
~
~sin~
11
02
1dx
xx
.
Щоб з'ясувати, збігається даний невласний інтеграл чи ні, можна
обчислити його чисельно. Для цього призначено команду
evalf(int(expr,var=val1..val2)).
> evalf(int(1/(sqrt(x)-sin(x)),x=0..1));
5.110412535.
8) dxx
ex
1
03 31
>int(exp(x)/(1-x^3)^(1/3),x=0..1);
dx
x
x
1
0 31
31
)exp(.
> evalf(int(exp(x)/(1-x^3)^(1/3),x=0..1));
2.228028318.
9) dxx
x 1
05
sin,
> int(sin(x)/x^5,x=0..1);
.
481
Контрольні завдання до гл. 8
Завдання 1. Дослідити збіжність невласних інтегралів та обчислити.
3
0
8 1 1 x. . . xe dx
2
6
1
8 1 21
x dx. . .
x
2
8 1 34 5
dx. . .
x x
8 1 4 x. . . xe dx
2
ln8.1.5.
xdx
x
1
8 1 61
dx. . .
x x
4
3
8 1 79
xdx. . .
x
3
22
8 1 8
1
x. . . dx
x
2
1
8 1 91
dx. . .
x x
2
8 1 101
dx. . .
x x
3
0
8 1 111
xdx. . .
x
2
2
8 1 121
dx. . .
x x
2
1
8.1.13.1
dx
x x
23
0
8 1 14 x. . . x e dx
2
0
8 1 15 x. . . xe dx
0
8.1.16. sinx xdx
0
8.1.17. sinxe xdx
4
0
8 1 181
dx. . .
( x )
0
8.1.19. cosxe xdx
2
1
arctg8.1.20.
xdx
x
2
28 1 21
1
dx. . .
x
2
1
8 1 221
xdx. . .
x
3
0
8 1 231
dx. . .
x
2
20
ln8.1.24.
1
x xdx
x
1
8.1.25. lnx xdx
3/2
20
arctg8.1.26.
1
xdx
x
2
4
0
18 1 27
1
x. . . dx
x
3
1
ln8.1.28.
xdx
x
0
8 1 29 x. . . xe dx
2
1
2 38 1 30
2
x. . . dx
x x
482
Завдання 2. Дослідити збіжність невласних інтегралів і обчислити.
1
0
8 2 12 1
dx. . .
x x
1
0
8.2.2. ln xdx
1
2
1
8 2 31
dx. . .
x
2
231
8 2 4
1
dx. . .
x
23
2
0
8 2 54
x. . . dx
x
3
4 2
2
8 2 64
x. . . dx
x
6
232
8 2 7
4
dx. . .
x
12
2
0
8 2 8/ xe
. . . dxx
1
0
8 2 91x
dx. . .
e
2
1
8 2 101
x. . . dx
x
2
0
28 2 11
2
x. . . dx
x
2
2
1
8 2 126 8
dx. . .
x x
2
0
8 2 132
dx. . .
x x x x
32
2
0
8 2 149
x dx. . .
x
4
3
0
sin cos8.2.15.
sin cos
x xdx
x x
4
0
8 2 16dx
. . .x x
2
20
8 2 17
1
dx. . .
x
0
cos8.2.18.
sin
x dx
x
1 4
1 2
8 2 192 1
/
/
dx. . .
x x
2
0
8.2.20. tg xdx
6
3
28 2 21
6
x. . . dx
x
2
2
1
8.1.22.ln
dx
x x
3
2
0
8 1 234 3
dx. . .
x x
2
1
8 1 241
xdx. . .
x
4
1
8 1 251
xdx. . .
x
1/
0
8.1.26.ln
e
dx
x x
5
3
8 1 273 5
dx. . .
x x
1
2
1
8 1 281
xdx. . .
x
1
5 3
1
28 1 29
x. . . dx
x
12
3 2
1
3 28 1 30
x. . . dx
x
483
Завдання 3. Дослідити збіжність невласних інтегралів.
2
0
18 3 1
2 5
xe. . . dx
x x
2
1
ln8.3.2.
7
xdx
x
1
0
8.3.3. lnx xdx
/4
3
0
ln tg 18.3.4.
xdx
x
1cos
5
0
8.3.5.xe
dxx
12
4
0
8 3 61
x. . . dx
x
2
3
0
ln 18.3.7.
1x
xdx
e
1
sin
0
8.3.8.1x
xdx
e
1
7 2
0
8 3 91
dx. . .
x
2
0
8 3 101x
dx. . .
e
/4
0
8.3.11. ctgxe xdx
/2
3
0
sin8.3.12.
xdx
x
2
5
0
cos 128.3.13.
x
dxx
3
1
arc tg28.3.14.
17
xdx
x
5
1
ln8.3.15.
xdx
x
12
0
sin8.3.16.
xdx
x
4
2
1
sin 18.3.17.
arc tg 1
xdx
x x
2
6
4
2 58 3 18
6 1
x xdx. . .
x x
13
3 3
0
1 cos8.3.19.
sin 2
xdx
x x
1
4
0
tg sin8.3.20.
x xdx
x
0
3
1
1 cos 18.3.21.
1
xdx
x
22
4 5
0
arcsin8.3.22.
2
xdx
x x
3
0
ln 18.3.23.
xdx
x
3
0
8 3 241
x. . . dx
x
0
cos28.3.25.
1
xdx
x
1
2
0
ln8.3.26.
1
xdx
x 3
0
8 3 27dx
. . .x x
0
8 3 28xe dx
. . .x
2
0
8.3.29.ln
dx
x 2
0
sin8.3.30.
xdx
x
484
Відповіді до контрольних прикладів
Глава 1
1.1. а) 2 0
0 2
; б) 4 3
5 2
; в) 25 10
14 1
.
1.2.
2 1 3
3 0 6
5 0 7
; 3 3 6
1 95 7
.
1.3. 3 1 2 ; 2 1 1 ; 1 ; 4 1 1
1 11 2
; 1 ;
4 2 31 5
1 1
;
4
31
2 31
1 0A
; 4 .
1 4 3
1 5 3
1 6 4
;
1 4 3
1 5 3
1 6 4
.
1.4. 1)
1 2 3 4 4
30 1 1 1
11 3 0 3
30 7 3 1
; 2)
1 2 3 4 4
30 1 1 1
30 5 3 1
30 7 3 1
,
1 2 3 4 4
30 1 1 1
120 0 2 4
240 0 4 8
,
1 2 3 4 4
0 1 1 1 3
60 0 1 2
; 3) 3 , 3 ; 4) )a ; 5) )б .
Глава 2.
2.1. 32 4 12 16 4
cos9116 4 8 64 36 48 28 52
,
4
91arccos .
2.2. 3 6 6AB i j k , 5 4CD j k ,
3 0 6 5 4 6 546
99 36 36AB
np CD
.
485
2.3. Якщо a b , то , 0 3 7 20 0a b ; 4 20 ; 5 . 2.4.
Якщо 0x z , то координата 0z , , 3 9x a x y ,
, 2 4x b x y .
Розв’язуючи систему:3 9
2 4
x y
x y
, одержимо: 2
3
x
y
.
Відповідь: 2; 3 ; 0x .
2.5. 3 , 4 , 2 , 6 ,
20 0 8 , 8 5 5 100 2 .
2
S a a b b a b b a
a b
2.6. 2 4AB i j k ; 5 4 8AC i j k ;
, 1 2 4 0 28 14
5 4 8
i j k
AB AC i j k
.
2 210 28 14 7 5
2S , 25 16 64 105AC ,
2 7 5
105BD
221
3 .
2.7. 1,3, 3 , 0, 4 ,2 , 3,1, 4AB AC AD .
Умова компланарності трьох векторів: , , 0AB AC AD .
Знайдемо: 1 3 3
, , 0 4 2 0
3 1 4
AB AC AD
вектори компланарні.
2.8. 3, 3 ,0 , 4,0, 4 , 5 ,2,0AB AC AD .
3 3 0
, , 4 0 4 84
5 2 0
AB AC AD
, 1
84 146
V .
486
2.9. 1) б) три; 2) б) ні; 3)
1 2 3
3 1 2
2 4 4
A
; 4) в) трьом; 5) а) так; 6) а) так;
7) 1a ex A x ; 8) 1
12 4 71
16 10 714
10 8 7
A
; 9)
3
1
2
ax
.
2.10.
1) Ax x ; 2)
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
7 6 6
4 4
4 2 5
x x x x
x x x x
x x x x
; 3)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 6 6 0
4 1 4 0
4 2 5 0
x x x
x x x
x x x
;
4) а) дорівнював нулю; 5)
7 6 6
4 1 4 0
4 2 5
; 6) 2 3 , 3 7 ;
7) а)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 6 6 0
4 2 4 0
4 2 4 0
x x x
x x x
x x x
; б) 2), в) 2), г) 2);
д) 1 2 3 1 3
1 2 3 22 2 0
x x x x x
x x x x
, е) 1
1
0
1
x
; 8) 2
0
1
1
x
; 9) 3
1
1
1
x
;
10) б); 11) а); 12)
1 0 0
0 3 0
0 0 7
A
.
Глава 3.
3.1. 0 01 ; 2x y ; 5 ; 1B C ;
2 1 5 2 1 3 0x y z ; 2 5 1 15 0x y z .
487
3.2. 1 22 3 6 6n ; ; , n , , ; 2 3
6 6
; 2 3 3
;66 6
;
4 , 3 .
3.3. 1 25 ; 1 ; 3 ; 2 ; ; 3n n ; 5 2 1 3 3 0 ;
19 .
3.4. 90
30 ;3
b
90
156
c
; 1
18 30 15 13506
V .
3.5. 2 5 3
02 3
x y z
; 3; 2 ; 5a ;
2 5 3
3 2 5
x y z
.
3.6. 2 7 5
2 2 1 7 6 5
x y z
;
2 7 5
4 8 1
x y z
.
3.7. 1 2
12; 1 ; 4 ; 1 ; ; 2
2a a
;
2 1 4
21 1/ 2
; а) да ;
б) паралельні.
3.8. 1 22 ; 3 ; 1 ; 1; 3 ; 11a a ; 1 2 2 1 3 3 1 11a a ;
1 2 0a a . Рівність 0 означає, що прямі перпендикулярні.
3.9. 1 22 ;2; 1 ; 2; 18 ; 3a a ; 1 1; 3 ; 1M , 2 1 ; 3; 1M .
1 2 1 1; 3 3 ; 1 1M M ; 1 2 2 ; 6 ; 0M M ;
2 2 1
2 18 3
2 6 0
;
0 , тобто, прямі перетинаються.
3.10. 2
1
3k
; 1 6 ; 2 2/3 .
3.11. 1 3
2 1 5 3
x y
, 2 1 1 0x y .
3.12. 3 3 4 5 10
9 16d
,
39
5d .
488
3.13. 1x ; 0y .
3.14. 1) 2 2
2 2A
; 2) 1 1
2 2
x xA
x x
;
3) ОСЛАР,
1 2
1 2
2 2 0
2 2 0
x x
x x
; 4)
2 20
2 2
;
5) 1 0 , 2 4 ; 6) а); 7) 1 2
1 2
2 2 0
2 2 0
x x
x x
, 2 1x x ; 8) в);
9) 1
1
1f
; 10) 2 ; 11) 1
1
1
1
2
1
2
fe
f
; 12) 2
1
2
1
2
e
;
13) а); 14) 1 2 1 2
1 2 1 2
C
; 15) б; 16) 4 0
0 0eA
; 17) 24A x ; 18)
1x xC
y y
; 19) x x
Cy y
; 20) 1 1
2 2y x y ; 21)
24 8 2 1 0x x ; 22) пара паралельних прямих: 2 1x .
Глава 4
4.1.
3
33 2
33
2 3
7 112 1
12 612 7 2 12lim lim
77 5 29 5 297 1
7 7
x x
xx xx x
x xx
x x
;
4.2.
2
322 0
5 14 4 10 14 0lim
8 8 04xx
x x
x x
2
2 0
2 7lim
2 2xx
x x
x x x
2
7 2 9 11lim
2 2 2 2 8x
x
x x
;
489
4.3.
2 222 0
7 3 2 7 3 0lim
4 2 4 0xx
x
x
2
2 0
7 9lim
7 3 2 2xx
x
x x x
=
2
1 1 1lim
3 3 2 2 247 3 2x x x
;
4.4. 0 0
0
0
0
1 ln3 5 3 5 0
lim2sin4 2sin0 0 sin
xx x
x
x
x
a x a
x x x
=
=0
35 1
51lim
2 sin 4
xx
x x
0
0 0
0
5 13
ln3 3 1 1 35
1 ln ln ln5 5 2 8 54
sin 4 4
x
x x
x
x
xx
x x
;
4.5. 2 2
30
lim 1 5 1x
xx
x
2
0
5 210lim
3 3x
x x
xe e
;
4.6.
52 105 1 3
33 20 0
lim 1 2 1 lim 1 2
xx
x xx x
x x e
4.7.
7
72 1 2 1 4 7lim4 2 14 7
87 7
lim 1 1 lim 12 1 2 1
x
x
xx x x
x
x xe e
x x
4.8.
2277 3
2 2 2 20 0 0
121 2 11 2 1 0 17lim lim lim
0 1441x x x xx x x
x xx xx x
e e xe e
Глава 5
5.1.
2
3
2
7 41
ln7y x
xx
;
5.2. 2
2
23 sin tg2 5 cos tg2 5
cos 2y x x
x ;
490
5.3. arcsin
2
1
1
xy x e
x
, 0 0x , 0 1y x , 1 1y x ;
5.4. 2
1 1ln 6 lnctg 6 lnctg 6
sinctg
yy e x x x e x
ý xx
.
6
2
1 1ctg 6 lnctg 6
sinctg
e xdy x x e x dx
xx
;
5.5. 0 0 ; 0.01x x , 0 1y x , 20ln3 3 3 ln3xy x x y x ,
0.01 33 0.01 1 ln3 0.01 ;
5.6. 19 120 sin 3
2y x x , 18 3
380 cos32
y x x ,
2 18 23380 cos3
2d y x x dx
.;
5.7. 2
2 0.01
0.01 0.01
2lim lim lim
0.01
x
x xx x x
x xx e
e e
0.01 0.01
1 1200 lim 200 lim 0
0.01x xx x
x
e e
.
Глава 6
6.1. 31 2d x , 5
3 42
1 215
x C .
6.2.
2
22
2 ( 2 ) 1
d xI
x
+
2
2 2
2 11
4 (2 1)
d x
x
2
12 2
4 2 1arctg x C
x
.
6.3. tdt , 21 t , 1 , 1
1
t
t
.
6.4. 2 2 2
2 2 22
2 1 1 12 2 2 1
1 1 11
x x xdx dx dx dx
x x xx
=
1 12
2 1
xx ln C
x
.
491
6.5. 3 3 3
3 3
2 3 32 3 2 3 3 9
3
x x x
x x
u x , du dxx e dx x e e dx
dv e dx, v e
=
3 32 3 3 27
x x
x e e C .
6.6. 3 2 2 2cos
sin cos sin cos sinsin
t xx xdx x x xdx
dt x dx
5 3
2 2 4 2 5 3t t 1 11 t t dt t t dt C cos x cos x C
3 5 35 .
6.7. 5 3
4 2 4 2
2 6 1 12
3 3
x xx
x x x x
.
4 2 22 2 2
1 1
3 33
A B Cx D
xx x xx x x
.
3 21 3 3A C x B D x A x B .
0
0
3 0
3 1
A C
B D
A
B
її розв’язок: 1 1
0 03 3
A , B , C , D .
5 32
4 2 2 2
2 6 1 1 1 12
33 3 3 3
x xdx x dx x
xx x x x
1 xarctg C
3 3 3 .
6.8.
3 2
3 3 23 3
4 44 3
x tdx t dt t dt
t t tx x dx t dt
4 4 43 3 1 3 4 4
4 4
tdt dt t ln t C
t t
=
1 1
3 33 12 4x ln x C .
492
Глава 7
7.1. 1) a , 2) 1 22 , 1x x , 3) 22 2f x x , 1f x x , 2 , 1
,
4) 1
2
2
2S x x dx
13 2
2
23 2
x xx
1 1 8 92 1 4 2
3 2 3 2
.
7.2. 1) в , 2) 4 4
, і
3 5
4 4
, 3) 2 , 4)
4
и
4
,
42 2
1
4
cos22 2
a aS d
, 5) 212S S a , 6) a .
7.3. 1) 2 , межі інтегрування 0 і 2 ; 2) costx t a t t , sinty t a t t ,
2 2 2 2
t tx y a t , 2 2
t tx y a t .
3)
22 2 22 2 2
0 0 0
22
atL x y dt a tdt a
.
7.4. 1) формула 1 ; 2) 0y , межами інтегрування є точки 0 , 3x x ;
3) 1 13 3
3 3y x x x x , доножити на 2 ;
4) 1 1
2
xy
x
,
2
21
14
xy
x
;
5)
333 2
1
00
1 12 3
2 3
xL dx x x
x
; 6) 12 4 3L L .
7.5. 2) 1 1x , 2 2x ; 3) 1 , 2 , 21 1y x , 2 3 1y x ;
4) 2
22 2
1
3 1 1V x x dx
22 5
2 4 3 2
11
7 177 6 3
3 5 15
xx x x dx x x
.
493
7.6. 2 . 2
22
0
1 cos 1 cosV a t a t dt
2
3 2 3
0
1 3cos 3 cos cosa t t t dt
=
2
3 2
0
31 3cos 1 cos2 1 sin cos
2a t t t t dt
=
2
3
0
5 33sin sin2
2 4a t t t
2
2
0
1 sin sint d t
23
3 2 3
0
5 sin2 sin 5
2 3
ta t a
.
Глава 8
8.1.
1
4x ,
1
10 4
dx
x
, збігається. 8.2. розбігається, розбігається.
8.3. 1 -го роду.
2 2
11
2 21 1 1 1
dx d xarctg x
x x
.
8.4. 2 -го роду.
12 2 2
2 2 2 2 21 0 1 0
0 0 01
1 1
1 1 1 1 1
b
b aa
dx dx dx d x d xlim lim
x x x x x
=
2
1 0 1 00
1 1lim lim
1 1
b
b aa
x x
.
8.5. 0a , b . /3 /3 0
0
0
3 3 0 3x xS e dx e e
/3 /3 0
0
0
3 3 0 3x xS e dx e e
.
/3 1lim 0x
xe
.
494
Відповіді до контрольних завдань
Глава 1
Завдання 1
1. 36. 2. 2048. 3. –108. 4. –416. 5. 0. 6. 30. 7. 6. 8. 8. 9. 48. 10. 1. 11. 160.
12. 12. 13. 900. 14. –58. 15. 21. 16. 0. 17. 30. 18. –10. 19. 8. 20. 28. 21. 0. 22. 0.
23. 132. 24. 24. 25. –20. 26. 30. 27. –160. 28. –32. 29. 16. 30. –70.
Завдання 2
1. (–1;2;0;1). 2. (1;0;–1;0). 3. (–1;2;1;5). 4. (1;–2;1;1). 5. (1;–1;–1;1). 6. (2;–1;1;2).
7. (–1;2;1;5). 8. (1;1;–1;–1). 9. (1;2; –1;–2). 10. (–2;2;–3;3). 11. (1,5;3;2;–0,5).
12. (2;0;0;0). 13. (1;–1;1;–1;1). 14. (1;–1;0;2). 15. (–2;2;–3;3). 16. (–1;–1;0;1).
17. (–1;2;0;1). 18. (1;0;–1;0). 19. (–1;2;4;3). 20. (2;1;–3;1). 21. (1;1;1;–2).
22. (1;2;–2). 23. (–5/2;10;17/2). 24. (–8;3;6;0). 25. (–2;1;4;3). 26. (–1;3;–2;2).
27. (2;0;0;0). 28. (1;1;0;0). 29. (–8;3;6;0). 30. (3;1;–2;0).
Завдання 3
1. (3;1;–1). 2. (7;2;1). 3. (1;1;2). 4. (5;–2;3). 5. (3;1;1). 6. (–2;1;–1). 7. (2;–1;1). 8.
(2;2;–3). 9. (2;–1;3). 10. (1;1;1). 11. (2;–2;3). 12. (3;4;5). 13. (2;3;5). 14. (3;1;1).
15. (1;2;–2). 16. (2;1;3). 17. (1;2;3). 18. (2;–1;1). 19. (1;2;3). 20. (2;2;–3). 21.
(2;1;0). 22. (–3;1;–1). 23. (–10/9;–2/3;–17/15). 24. (4;2;1). 25. (11;4;–5). 26. (1;–
1;1). 27. (2;1;0). 28. (1/3;–10/3;5/3). 29. (0;–1;1). 30. (1;–1;–1).
Завдання 5
1.
1622686218
806466178
992420136
. 2.
211518
335142
364860
. 3.
164412
381826
285220
.
4.
94527
9339
279915
. 5.
60135105
3050120
153070
. 6.
281012
14626
421032
.
7.
52212
141024
23216
. 8.
15511
757
1218
. 9.
85078
1327052
662250
.
10.
7312193
184636
1134
. 11.
96850
1841270
603090
. 12.
22163
5023
81044
.
495
13.
13102180
5131222
162103
. 14.
828
8414
28460
. 15.
2453
880
36438
.
16.
64246
27082
1814666
. 17.
10128
224224
3212866
. 18.
92112
4810569
34239
.
19.
13916
1302
16121
. 20.
15511
757
1218
. 21.
101810
366444
244426
.
22.
0342
61221
1830168
. 23.
44012
30012
18642
. 24.
233
11414
739
.
25.
121014
426
281028
. 26.
1160
14118
2421
. 27.
71634
423112
73144
.
28.
464
200
725
. 29.
18116
1160
621
. 30.
7815636
8161
10208
.
Глава 2
Завдання 2
1. (1;2;3;4). 2. (3;4;5;6). 3. (4;5;6;7). 4. (5;6;7;8). 5. (1;–1;1;1). 6. (6;7;8;9).
7. (8;9;0;1). 8. (9;0;1;2). 9. (1;1;0;–1). 10. (1;2;3;4). 11. (0;1;2;–1). 12. (2;1;–1;1).
13. Не утворюють базис. 14. (5;6;7;8). 15. (6;7;8;9). 16. (7;8;9;0).
17. (3;4;1;2). 18. (1;1;2;0). 19. (0;1;–1;1). 20. (–2;2;–3;3). 21. (1.571;–4.571;
2.571;–1.714). 22. (–66;43;–15;28). 23. (2;2;–5;–9). 24. Не утворюють базис.
25. (–3.111;1.889;–1;0.222). 26. (10.75;–5;7.25;–6). 27. (–0.117;–0.191; 0.602;
–0.053). 28. (0.417;0.917;–1.583;0.417). 29. (423;–628;66;–110). 30. (–5;–0.5;3;–1.5).
Завдання 3
1. 3;7;7,5;1;1;1,1;1;0;0,2 3
32
21
1 XXX
.
2. 2;1;0,3;17;2;3,2;2;1;0,1 3
32
21
1 XXX
.
496
3. 3;7;7,6;5;9;3,2;1;0;0,1 33
22
11 XXX
.
4. 0;1;0,8;35;87;28,1;11;7;0,3 3
32
21
1 XXX
.
5. 10;4;33,3;0;0;1,1;0;3;4,2 33
22
11 XXX
.
6. 3;15;29,3;0;0;1,1;3;3;7,2 3
32
21
1 XXX
.
7. 2;3;3,2;5;4;6,1;1;0;0,1 33
22
11 XXX
.
9. 13;15;10,4;1;1;0,2;1;0;0,1 33
22
11 XXX
.
10. 0;0;1,4;0;2;3,2;3;9;7,1 33
22
11 XXX
.
11. 3;7;7,5;3;1;1,1;1;0;0,2 3
32
21
1 XXX
.
12. 12;7;10,2;2;1;0,2;1;1;0,3 3
32
21
1 XXX
.
13. 15;4;16,6;1;0;0,2;0;1;1,1 3
32
21
1 XXX
.
14. 0;1;0,5;28;33;16,1;8;3;0,3 3
32
21
1 XXX
.
15. 0;0;1,4;0;2;1,2;3;9;2,1 3
32
21
1 XXX
.
16. 13;3;12,4;1;0;0,1;7;1;0,0 3
32
21
1 XXX
.
17. 0;2;1,2;3;3;1,1;0;0;1,4 3
32
21
1 XXX
.
18. 0;0;1,3;1;1;1,2;16;4;7,1 3
32
21
1 XXX
.
19. 0;0;1,4;2;2;5,2;5;0;2,1 3
32
21
1 XXX
.
20. 3;0;1,5;12;9;1,2;0;0;1,1 3
32
21
1 XXX
.
21. 7;7;3,5;1;1;1,1;0;0;1,2 3
32
21
1 XXX
.
22. 0;0;1,7;1;2;1,3;1;2;1,1 3
32
21
1 XXX
.
23. 7;7;3,6;3;9;5,2;0;0;1,1 3
32
21
1 XXX
.
24. 0;9;1,6;20;12;7,1;0;0;1,3 3
32
21
1 XXX
.
25. 3;1;1,4;4;1;0,2;1;0;0,1 3
32
21
1 XXX
.
26. 1;0;0,5;7;18;3,2;1;4;0,1 3
32
21
1 XXX
.
27. 15;9;8,4;0;0;1,1;0;2;1,1 3
32
21
1 XXX
.
28. 0;0;1,3;6;18;7,3;0;5;3,2 3
32
21
1 XXX
.
29. 0;1;2,2;3;4;2,1;0;1;0,2 3
32
21
1 XXX
.
30. 0;0;1,3;0;1;2,2;1;3;4,1 3
32
21
1 XXX
.
497
Глава 3
Завдання 2
1. 234
15 xy . 2. 931 22 yx . 3.
12
4
3 22
yx
.
4.
126
2
104
9 22
yx
. 5. 324 2 xy . 6.
172
2 22
yx
.
7.
14
1
8
22
yx
. 8.
15
1
9
3 22
yx
. 9.
14
2
9
1 22
yx
.
10. 254
17 xy . 11.
12
3
3 22
yx
. 12. 1643 22 yx .
13. 522 2 xy . 14
14
1
16
1 22
yx
. 15. 2547 22 yx .
16. 1012 2 xy . 17.
112
2
4
1 22
yx
. 18.
19
2
25
1 22
yx
.
19.
14
4 22
yx
. 20.
15
1
9
3 22
yx
. 21. 112 22 yx .
22.
116
1
25
2 22
yx
. 23. 2223 xy . 24.
19
1
4
1 22
yx
.
25. 1631 22 yx . 26.
136
1
64
5 22
yx
. 27.
116
2
12
1 22
yx
.
28. 92 22 yx . 29.
12
425
1 22
yx
. 30. 2143 xy .
Завдання 3
1. 1
322
,4
,0,122
22
1 yx
O
. 2. 13
,4
,1,1222
21 y
xO
.
3. 122
,4
,1,122
22
1 yx
O
. 4. 13
,4
,1,1222
21 y
xO
.
5. 15,4
,0,1 22
221 yxO
. 6. 1,
4,1,1 2
2221 yxO
.
7. 13
,4
,1,0222
21 y
xO
. 8. 1
593
,4
,1,122
22
1 yx
O
.
498
9. 123
,4
,1,122
22
1 yx
O
. 10. 3124,4
1 y
.
11. 1
355
,4
,2,022
22
1 yx
O
. 12. 22
2,
41 y
.
13. 155
,4
,1,122
22
1 yx
O
. 14. 1
2577
1577
,4
,5
6,5
622
22
1 yx
O
.
15. 1
51313
,4
,2,022
22
1 yx
O
. 16. 1
54141
,4
,2,222
22
1 yx
O
.
17. 112
,4
,0,122
22
1 yx
O
. 18. 1
21
21
,4
,1,122
22
1 yx
O
.
19. 1
542
,4
,0,122
22
1 yx
O
. 20. 155
,4
,1,122
22
1 yx
O
.
21. 11
23
,4
,0,122
22
1 yx
O
. 22.2
32,
41 y
.
23.
22
12,
41
21 xy
. 24.
28
122,
41
21 xy
.
25. 1
413
213
,4
,0,222
22
1 yx
O
. 26. 1
215
215
,4
,2,222
22
1 yx
O
.
27. 0
311
,4
,1,122
22
1 yx
O
. 28. 1
344
,4
,1,0
22
22
1 yx
O
.
29. 221 ,4
,1,1 xyO
. 30. 1
599
,4
,2,222
22
1 yx
O
.
Завдання 5
1. а) 0 zyx ; б) 22h ; в) 0, 21 SS
. 2. а)5
5
4
3
2
2
zyx; б)
Пряма лежить у площині; в) 03113162 zyx . 3. а) 0832 zyx ;
б)
.24,411
,15
tzty
tx; в) 2,2,1B . 4. а) 048228 zyx ; б) 15d ;
499
5. в) 3,1,4 B . 5. а) 01532 zyx ; б) 17
1
29
2
40
2
zyx; в)
11
19d .
6. а) 10
1cos ; б) 01532 zx ; в) 2,4,4 Р .
7. а) 11
7cos,11
6сoscos ; б) 0 zyx ; в) 2,3,2 B .
8. а)
83
80,
83
58,
83
145В ; б) 0592298 zyx ; в)
7
4
3
2
5
3
zyx.
9. а) zyx
5
15
9
27; б) 040191113 zyx ; в) .6,3,2 A
10. а) 09513266 zyx ; б) 13
12cos,13
3cos,13
4cos ;
в) не перпендикулярні. 11. а) 037 zyx ; б) 0,1,5B ; в) .25d
12. а) 0651127 zyx ; б) 114,25,72А . 13. а) 0 zyx ;
б) 22d ; в) 2c . 14. а) 02732 zx ; б) 22d ;
в) 5
5
4
3
2
2
zyx. 15. а) 01674 zyx ; б)
7
10,
7
19,
7
29В ;
в) .2
1cos 16. а) 0924 zyx ; б) 11
3
3
15
zyx ; в)
17
557d .
17. а) 057 zyx ; б) прямі не паралельні. в)
83
206,
83
112,
83
339В .
18. а) 013163 zyx ; б) 042 zy ; в) .3m
19. а) 0411356 zyx ; б) 03113162 zyx .
20. а) 051111413 zyx ; б) 1
1
3
3
3
2
zyx; в) .0745910 zyx
21. а)
.03,013
,013432
zyx
zyx б) 01911167 zyx ; в)
7
4
3
2
5
3
zyx,
83
290,
83
145,
83
279В . 22. а) 4,1,2B ; б)
363
353,
363
373,
363
674В ;
в) .040191113 zyx 23. а) 037 zyx ; б) 03113162 zyx ;
в) 22h . 24. а) 5,3,2 B ; б) 3
4
2
1
zy
x; в) .
134cos
25. а) 0651127 zyx ; б) 17
557d ; в)
1
1
3
3
3
2
zyx.
500
26. а) 09138 zyx ; б) 77,0cos ; в) 2,0,0 A . 27. а) 7d ;
б) 35
5
9
2
z
yx; в) 6,9,2P . 28. а)
272633
zyx
;
б)
363
353,
363
373,
363
674A ; в) 78,8d . 29. а) 03113162 zyx ; б) так;
в) 27h . 30. а) 048222 zyx ; б) 0523 zyx ; в) .oд.кубV 1 .
Глава 4
Завдання 1
1. a) 10; б) 0; в) 0; г) 11
13; д)
3
16; е)
3
2; ж)
1
e. 2. a) 2640; б) ; в)
5 3
6; г) 0; д)
1
3 ; е) 1; ж) 2. 3. a)
40
7; б) ; в) ; г) ; д) 4; е)
1
2; ж)
2
3. 4. a) – 14; б) ;
в) 0; г) 1
5; д)
2
3; е) 8; ж)
2
3e . 5. a) – 5; б) 4
5; в)
3
2; г) 0; д) 1; е)
5
3; ж) – 5.
6. a) – 17; б) 7
2; в) 2; г)
1
7; д) 3; е) 2; ж) – 1. 7. a)
45
4 ; б) 0; в) 0; г)
23
8;
д) 1
4; е)
3
2 ; ж)
3
2e . 8. a) 40
3 ; б)
4
3; в) ; г) ; д)
3
2; е) cosa ; ж) 3. 9. a)
1
2 ; б) ; в)
7
2; г) 1; д) ; е)
1
3; ж)
1
2. 10. a) 45; б) ; в) 2; г)
1
2; д)
1
3; е)
5
3;
ж)
1
2e . 11. a) – 5; б) 7
12; в) 0; г) 0; д)
1
2 a; е) 2; ж)
1
a. 12. a)
16
5; б) 0; в) 3;
г) ; д) 1
3; е) 8; ж) 2. 13. a)
19
6 ; б) ; в) ; г) 3; д)
1
2 x; е)
4
3; ж)
1
4e .
14. a) – 3; б) 0; в) ; г) ; д) – 2; е) 2
; ж) – 4. 15. a) 9; б)
11
3; в) 0; г)
190
11 ;
д) 1
56 ; е) sina ; ж) 5e . 16. a) 12; б) 0; в) ; г) ; д)
2
3; е)
2
9; ж) 1. 17. a) –
60; б) ; в) 0; г) 4
11; д) 4; е)
1
3; ж) ln2. 18. a)
27
11 ; б)
8
5; в) 1; г) 0; д)
3
2;
е) 9; ж) 10e . 19. a) 0; б) ; в) ; г) ; д) 1
2; е)
1
2; ж)
2
3 . 20. a) – 15; б)
5
6;
в) 3 3 ; г) 8
9; д) 2; е)
5
4; ж)
3
2 . 21. a) – 18; б) 0; в) 2; г) 0; д)
2
3; е)
2
;
501
ж) 3e . 22. a) 9; б) 0; в) 5
2; г) ; д)
9
2; е)
sin 2
2
a
a; ж) – 2. 23. a) – 13; б) ;
в) 425
2; г)
4
9; д)
1
6; е)
1
2 ; ж)
2ln 2
3. 24. a)
5
2 ; б) ; в)
3
2 ; г) ;
д) –3 2
1
3 x; е) 0; ж) 2e . 25. a) – 3; б) ; в) ; г) ; д)
1
2; е) 2; ж) – 4.
26. a) 61
2 ; б) 0; в)
3
3
7; г)
3
2 ; д)
27
8; е) 3; ж) ln 2 . 27. a) 60; б)
3
4; в) ;
г) 3
7; д)
1
40; е) 2cosa ; ж) 4e . 28. a)
169
8; б) ; в) ; г) ; д) 9; е)
4
3 ;
ж) – 10. 29. a) 6; б) 2; в) 4
1
7; г)
1
3 ; д)
1
5; е) ; ж)
5
2 ee
. 30. a) 5
4; б) 0;
в) 1; г) 22 ; д) 0; е) 2; ж) – 10.
Завдання 3
1. 1. а) 9/4; б) 3/7. 2. а) –8/63; б) – 32 21 4 . 3. а) –49/6; б) 2
ln 23
. 4. 225e .
5. – 22cos 3 . 6. 3 3 . 7. а) 0,
,
x
x
; б) 9e ; в) ,
0,
x
x
. 8. 0.3e . 9. 21e .
2. 1. а) 19/17; б) –4/7. 2. а) –1/2; б) 1/84. 3. а) 3; б) 2 ln 2 3 . 4. –3/2. 5. .
6. 8ln2 . 7. а) 1; б) 1; в) 1. 8. 0. 9. 1/ 2e .
3. 1. а) –3/2; б) . 2. а) 1/24; б) –1/27. 3. а) –1/ ; б) 8 9 . 4. 6 ln3 / .
5. 9/2. 6. 21 2 . 7. а) 0,
,
x
x
; б) 5/ 4e ; в) ,
0,
x
x
. 8.
2cos 3/ ln2 . 9. 1/e .
4. 1. а) 4/3; б) 5. 2. а) 1/8; б) –1/6. 3. а) 5 ln2 / ; б) 24 /5 . 4. 2 / 2e . 5.
81 ln3 / . 6. 0. 7. а) 1/3e ; б) 0,
,
x
x
; в) ,
0,
x
x
. 8. 8ln2 . 9. 2e .
5. 1. а) 0; б) . 2. а) 1/2; б) 1/3. 3. а) 3/10; б) ln5 2 . 4. / 2 . 5. 0. 6. .
7. а) 0,
,
x
x
; б) 6e ; в) 12e . 8. 2 / 9e . 9. 9/4.
502
6. 1. а) –9/5; б) 0. 2. а) –7/4; б) –1/16. 3. а) ln 4 /6 ; б) 4/ ln2 . 4. 32 . 5.
21/ 12cos 1 . 6. / 4e . 7. а) 0,
,
x
x
; б) ,
0,
x
x
; в) 1. 8. 1. 9. 2e .
7. 1. а) 0; б) –1/2. 2. а) – 3 16 ; б) –1/32. 3. а) 1/8; б) ln3 ln2 . 4. / 4 . 5.
3 / 2 . 6. 21/ 4sin cos 77
. 7. а) 1/ 3e ; б) ,
0,
x
x
; в)
0,
,
x
x
.
8. 1. 9. 1.
8. 1. а) –5/13; б) 0. 2. а) 0; б) . 3. а) 9 ln3 / 2 ; б) –1/20. 4. . 5. 10/3 .
6. 4tg . 7. а) 4 / 3e ; б) ,
0,
x
x
; в)
0,
,
x
x
. 8. 3e . 9. 1.
9. 1. а) –11/8; б) 17/12. 2. а) 3/2; б) 2 /3 . 3. а) –1/6; б) ln10 ln3 /10 .
4. 6 3 . 5. –8. 6. 4/cos2 . 7. а) 1/2e ; б) ,
0,
x
x
; в)
0,
,
x
x
. 8. 1. 9. 3e .
10. 1. а) 11; б) 0. 2. а) 1/ 2 ln 20 ; б)–32/3. 3. а) 0; б) 2cos2 . 4. 0. 5.
cos 2 / 2 2 . 6. –5/3. 7. а) 0,
,
x
x
; б) 5/2e ; в) ,
0,
x
x
. 8. 1/ 2e . 9. 1/7.
11. 1. а) 3/7; б) –13/3. 2. а) –1/3; б) 10/9. 3. а) – 45/ 32ln2 ; б) 2 32ln
7.
4. / 22 ln 2 /18 . 5. –1/ ln 4 . 6. 1/ 4 3 . 7. а) ,
0,
x
x
; б)
0,
,
x
x
;
в) 1. 8. 1. 9. 4 2ctge .
12. 1. а) –3/10; б) 0. 2. а) –6/5; б) –4. 3. а) 3ln3 / 20 ; б) 25/ 24e . 4. 1/12.
5. –3/2. 6. 0. 7. а) 0,
,
x
x
; б) 3e ; в) ,
0,
x
x
. 8. 4 / 3e . 9. 2 / 3e .
13. 1. a)1
12 ; б)
4
5 . 2. а)
1
5 ; б)
40
9. 3. а)
2
3
cos 3; б)
1
9. 4.
ln 2
2. 5.
5
72ln3.
6. 2/5. 7. а) 0; б) ; в) . 8.
2
e
. 9.
12
5e .
14. 1. а) 0; б) 0. 2. а) 8
3; б)
5
36. 3. а) 1; б)
1
12. 4. 0. 5. ; 6. 12. 7. а)0; б) ;
в) . 8.
5
2e
. 9. 1.
503
15. 1. а) 2; б) 0. 3. a) 1
6 ; б)
16
9 . 4. 0. 5.
1
4 . 6. –1. 7. а) ; б) 0; в) 0. 8.
33
4e
. 9.
12
e .
16. 1. а) 1
12 ; б)
3
7 . 2. а)
7
9 ; б)
5
24 . 3. а)
1
32ln
2
; б) 6ln2 . 4. 4
3 . 5.
1
3 .
6. 4
3 . 7. а)
0,
,
x
x
; б)
4
9e
; в) . 8.
1
9e . 9.
01,
01,0
x
x.
17. 1. а)1; б)4
1. 2. а) 3 3 ; б)
5
9 ; 3. а) 16ln2 ; б)
3
18ln 2. 4.
1
24. 5.
1
2. 6.
. 7. а) 0,
,
x
x
; б) 3e ; в) . 8. 1 . 9. 6e .
18. 1. а) 1
6 ; б) ; 2. а)
2
3; б)
24
7 . 3. а)
2
18
ln 7; б)
3 ln 2
ln3 ; 4.
3
8. 5.
3
12
.
6. 1
3 . 7. а) 0 ; б) ; в)
0,
,
x
x
; 8. 2
1
210
. 9. 183
19. 1. а) 1/2.; б) . 2. а) 1/6; б) –8. 3. а) –1; б) –2e. 4. –1/4 2 . 5 1/ 3 .
6. 1/ 2 . 7. а) ; б) 0; в) 1. 8. e6
. 9. 10e .
20. 1. а) 1/5; б) . 2. а) –6/5; б) 7/3. 3. а) –1/(48 ln4); б) –1/(ln5 ln2
3). 4. 2.
5. 0. 6. 5 2 8/ . 7. а) 0; б) e 4 / 3 ; в) . 8. 12e . 9. /4e .
21. 1. а) 49/2.; б) 3/2. 2. а) –6/13; б) 5/72. 3. а) 2; б) 1/(4e ln10 ). 4. 0. 5. 0.
6 – 4. 7. а) 0,
,
x
x
; б) ,
0,
x
x
; в) 8e . 8. 5/ 4e . 9. exp(
10ln40
7).
22. 1. а) .; б) 0. 2. а) –21/2 2 ; б) 1. 3. а) 2; б) –108/( lne 3). 4. 2/ 3 .
5. (2b 2 ln3)/sin2b. 6 9
4
ln3. 7. а)
,
0,
x
x
; б)
1
e; в)
0,
,
x
x
.
8. exp(–16/ 2 ). 9. e.
23. 1. а) ; б) 2. 2. а) –11/6; б) 10. 3. а) (3ln7
9)/50; б) –4 2 . 4 – 2 /4.
5. 6 ln2. 6. –3
4 . 7. а)
,
0,
x
x
; б) 335e ; в)
0,
,
x
x
. 8. e3 3 . 9. e – 3
.
504
24. 1. а) 0.; б) –8/7. 2. а) 28/3; б) . 3. а) (4ln2)/9; б) 2/5. 4 1/8. 5 3ln3/5 2 . 6
– 3 . 7. а) 1; б),
0,
x
x
; в)
0,
,
x
x
. 8. exp(3 ln 2
6). 9. exp(–
10
3ln3).
25. 1. а) ; б) – 3. 2. а)4
7; б)
19
4. 3. а) 16; б) 24
3e . 4.
3
2 2. 5.
3
2. 6.
2
e. 7.
а) 0,
,
x
x
; б) ,
0,
x
x
; в) 12e . 8. 12e . 9. 3tg7e .
26. 1. а) 4
7 ; б) 0. 2. а)
1
20; б) 52. 3. а) 21 3
ln4 2
; б) 1
18. 4. – . 5.
cos2
3 .
6.5ln10
1 . 7. а)
0,
,
x
x
; б) 2e ; в) 4e . 8. 6e . 9. 4 9e .
27. 1. а) 1
3; б) 0. 2. а)
1
5; б) 8. 3. а)
10
27ln 2; б)
12
ln15. 4.
8
33. 5.
88ln 2
. 6.
ln 2
3
. 7. а)
0,
,
x
x
; б) 25e ; в) ,
0,
x
x
. 8.
21ln 2
2e . 9. 1 3e .
28. 1. а) 0; б) 0. 2. а) 5
12; б) 20. 3. а)
ln3
4; б)
1
4. 4.
1
2 . 5.
1
5. 6. ln3 .
7. а) ; б) 0; в) 0,
,
x
x
. 8. 0, 0
, 0
x
x
. 9. 2ln/3e .
29. 1. а) 0; б) 0. 2. а) 1
4; б)
12
11 . 3. а) 2 2m n ; б)
2
3ln 2ln3. 4.
4
e. 5. –2. 6. 0.
7. а) 0,
,
x
x
; б) ,
0,
x
x
; в) 1. 8. 4e . 9. 1 6e .
30. 1. а) 3; б) . 2. а) 9
4; б)
8
3 . 3. а) 2; б)
ln 2 ln5
2
. 4. 0. 5.
3
2 .
6. 1 90 10/ ln . 7. а) ,
0,
x
x
; б) 1e ; в)
0,
,
x
x
. 8. 5e . 9. 3e .
Глава 5
Завдання 1
1. 6) 13,72; 7) x–y–1=0. 2. 6) 1,12; 7) 2x–y–4=0. 3. 6) 1,03; 7) 014
1 yx .
4. 6) 184,356; 7) 2x–y+1=0. 5. 6) 0,15; 7) 9y+x–9=0. 6. 6) 0,7754; 7) x+2y–
505
2=0. 7. 6) 0,555; 7) –x–y+2=0. 8. 6) 0,13; 7) x–y=0. 9. 6) 2,0025; 7) y+2x–1=0.
10. 6) 0,986; 7) 2x+y–3=0. 11. 6) 3,1316; 7) 2y–x+1=0. 12. 6) 6,04; 7) y–0,5x–
0,2=0. 13. 6) 2,194; 7) 3x+y–1,57=0. 14. 6) 1,18; 7) 0,12x+y–0,64=0. 15. 6)
5,08; 7) x–y+1=0. 16. 6) 1,01; 7) 02
yx . 17. 6) 0,8154; 7)
0,6x+y+0,6=0. 18. 6) 2,988; 7) 0,67x–y=0, –1,47x+y=0. 19. 6) –0,36; 7) x+y–
2,57=0. 20. 6) 0,015; 7) 8,09x+y–7,6=0. 21. 6) 109,53; 7) 1,7x–y–1=0, 0,58x+y–
1,28=0. 22. 6) 0,996; 7) 2y . 23. 6) 0,523; 7) 1,38x+y–2,38=0. 24. 6) –0,02;
7) 16x–y+5=0. 25. 6) 2,01; 7) 0,5x–y–0,2=0, 2x+y–2,214=0. 26. 6) 0,972; 7)
0,75x–y–1=0. 27. 6) 10,8; 7) 1,56x+y–5,68=0, 0,64x–y–0,92=0. 28. 6) 0,79; 7)
y=0. 29. 6) 13,72; 7) 0,367x+y–0,73=0, 2,7x–y–2,33=0. 30. 6) 1,02; 7) 4x–
y+2=0, x+4y+9=0.
Завдання 2
1. а) 1; б) 1. 2. а) 1
2; б) 3e . 3. а) 0; б) 1. 4. а) aa aalna ; б)
2
e .
5. а) aaa ln ; б) 1. 6. а) 1; б) 1; 7. а) 1
6; б) e . 8. а)
1
6; б) 1; 9. а) 0; б) 1.
10. а) 0; б) 1. 11. а) 1
2; б) 1. 12. а) 0; б) 1. 13. а) 0,625; б) 1. 14. а) 0,5; б) 1.
15. а) 0; б) 1. 16. а) ; б) 1. 17. а) 0; б) 1. 18. а) 0; б) 6
1
e . 19. а) –1; б) 1. 20.
а) 0; б) 1. 21. а) 0; б) 1. 22. а) cos2 a
a; б) 1. 23. а) ; б) 1. 24. а) –1; б) е. 25. а)
1
21( )а аа а ; б)
12е
. 26. а) 2; б) e
2 . 27. а) 0; б) 1. 28. а) 0; б) е2 . 29. а) 1
3; б)
aeln . 30. а) ; б) 1.
Завдання 4
1. 2R . 2. 5. 3. Радіус основи циліндра r = R/2, де R – радіус основи
конуса. 4. 142
yx. 5. x = a – p, якщо a > p і x=0, якщо pa .
6. 39
2 3eV
. 7.
3
4R. 8. 3 4V . 9.
3
320. 10. Основа дорівнює P/2, бічна
сторона 3P/4. 11. Основа 4P/5, бічна сторона 3P/5.12. 5
,5
4 RR. 13. 49.
14. 3R . 15. . 16. 163
yx. 17. Сторони прямокутника: 2a и 2b .
506
18. b
asa 2 и
a
bsb 2 . 19.
k
1arccos . 20. 3
vR . 21. 3 км від лагеря.
22. 2
r . 23. V=20 км/ч, S=36 руб. 24. 1,3 години. 25. 4R. 26. 3
4a і
34
ap.
27. b і 6. 28. /3. 29. /3. 30. Ширина 4
2P, висота
4
P.
Завдання 5
1. 4
3468 (ерг). 2. 26450. 3. MM
p
aV cos21sin
2
. 4. 5 (г/см.)
5. XAkdt
dX . 6. p
p
RTV
2. 7. t=100 с., 100S =50 км. 8. xa 2 .
9. 3 23 t
A . 10. 321 S м., 2m/s61 a .11. 4t (с.), 8.39 (м/с).
12. pdh
dp000125.0 . 13. а) 0cpI ; б) aI 42 , aI 165 . 14. а) 9cp
(г/см), б) 135 (г/см) 15. 3.164.092.1 6.1 ec (Дж/К). 16. зменшити
на 4.46 см. 17. .012,1,948,0 21 tgtg 18. c
btcactbv
2,2,2 0 .
21. 7,1
5
h
h (км/год.). 22. 7 (км/год.). 23.
22 ba
bv
. 24. 2 2
3
а v
b (м/с
2). 25.
6v . 26. 2100
2
y
y
. 5,1v . 27. Якщо x<4, то x змінюється швидше;
якщо 4x , то x і y змінюються однаково; якщо x>4, то y змінюється
швидше. 28. 11a (см/с2). 29. 2610t . 30. 8,0 (см/с).
Глава 6
Завдання 1
1. a) Cxsin
4
4
; б) Cxsinlnxctgx ; в) Cx
tg
xtg
ln
212
212
2
1;
г) Cxxlnxx
4
5
2
3
2
3
2
113
22 ;
507
д) Cxlnxlnxln 22
112
2
1; е) Cx
xx 4
44 3
18
1
3
4;
ж) 3 32 2
12
3x x C
; з) Cxx 5ln2
15ln5 2 ;
и) Cxx
sinlnsin2
12
;
к) Cxarctgxlnxxxxxxx
61
2
1
23457
63633 26 56
;
л) Cxxx
28129
arcsin2
81; м) –
21 1 x arcsin xln C
x x
.
2. a) Cxxx 2ln1lnarcsinln ; б) Cexexe xxx 222 ;
в) Cx
x
2tg13
2tg13
ln32
1; г) C
xxx
2
1arcsin3124 2 ;
д) Cxxx
2ln31ln51
3; е) Cxln
xxx
6
636
118
19
12 ;
ж) x tgx C з) Cxx 22 41ln8
12arctg
2
1; и) C
xx
3cos3
1
cos
1;
к) Cx 1arctg2 ; л) Cx
x
21616
1;
м) 2 2 1ln x x xarctg x x C .
3. a) Cxe x 12sin2sin ; б) Cxxtgx cosln ;
в) Cx
3
ctg3
; г) Cxxxx 3
111ln
3
6463
3
7 22 ;
д) Cxxx 4ln23ln2
51ln ; е) Ceee xxx 1ln
2
1arctg ;
ж) 4 4 24ln x x C ; з) Cxx cos2ln
2
1 2;
и) Cx
x
xx
cos
sinln2
sin
1
cos
1
2
122
; к) Cx 1arctg2 ; л) Cx
x
255
1;
508
м) 3 3 2 33 2 2xe x x C .
4. a) Cxx 1816 cos18
1cos
16
1; б) Cxxxxx 2cos
4
1sin
2
1cos
2
1 222 ;
в) Cx
x
22
tg
42
tg
ln2
1; г) C
xxx
5
1arcsin7424 2 ;
д) Cxxx
3ln2ln22
2; е) C
x
xx
4
1
8
99 4
9 29 8;
ж) 2 1 4 11
4
x xxe e C
e
; з) Cxarctgx 26
114ln 32 ;
и) Cx
x
xxx
2422 cos
sinln3
cos
1
cos
1
sin
1
2
1; к) C
x
3
112arctg
3
4;
л) Cxx
x
xx
2
21
21arcsin
2
3;
м)
5 32 2
22
5 3
1 1 11
5 3
x x xln x x C
xx x
.
5. a) Cx
x
2tg5
2tg1
ln6
1; б) Cxxxxx 5sin
75
25cos
25
25sin
5
1 2 ;
в)
Cxx
x
2
1
11
1
1
1arcsin
; г) Cxxxx
3
2
3
1
3
1ln569
3
12
2 ;
д) Cxxx
2ln4
256ln
4
17
6
62; е) C
x
xx
22
1
10
99 2
9 49 10;
ж) 1 1
36 2
cos x cos x C ; з) Carctgxx 24
2
11ln
4
1;
и) Cxx 2cosln2
1sinln ; к) C
x
x
x
x
32
332
332ln
3
2;
л) Cxx
x
xx
2
22
8222arcsin
4
3;
509
м) 3 23 33 1 1ln x ln x arcsin x C
.
6. a) Ce
x
2
2
;
б) Cx
xxxxxxxx
9
3ln
2
57276ln306
2
1276ln
2
1 2222 ;
в) Cxx
1416 cos
1
14
1
cos
1
16
1; г) C
xxx
3
12arcsin324 2 ;
д) Cxxx 6ln42ln21ln ; е) Cxx
xx
3
3 19
1;
ж) 3 1
2 22
1 2 13
x x C ; з) Cx
xx
11ln1
22 ; и) C
x
x 2
32
1
ctg
1
3
2ctg2 ;
к) Cx
x
1
12
; л) Cxx
x
xx
2
216
216
16
4arcsin24 ;
м) 2
2
15 5 2 15 1 1
8 1 14 1
x x xln C
xx x
.
7. a) Cxx
12
cos
10
cos 1210
; б) Cxxxx 1ln1ln ;
в) Cx
x
2tg5
2tg7
ln6
1; г) Cxxxx
4
311ln
2
3184
4
5 22 ;
д) Cxxx 5ln8
211ln
4
13ln
8
5; е) Cx
xx
1ln
ln
1arcsin
ln
1 2 ;
ж) 2
2
1 11 1x ln C
x x ;
з) Cxx 5arctg5
11ln
2
1; и) Cx 2tgarctg ;
к) Cxxx 44 51ln45254 ;
л) Cxxxx
22 4ln242
; м) 2 1 1 2 1
1 2 1
x xC ln
x x
.
510
8. a) Cxxx
2
11ln
1arctg
1; б) Cexeex
xxx
2222 1682 ;
в) Cx
xtg
sin
1
42ln ; г) C
xxx
2
1arcsin5324 2 ;
д) Cxx 6ln8
112ln
8
5; е) Cxx
xx
8 58
8 38 7 5
824
11
7
8;
ж) 7 4
3 33 3
1 17 4
x x C ; з) Cxx arcsinarcsin3
1 3 ;
и) Ctgxarctg 24
2; к) C
xxxx
22
1
3
41;
л) Cxx
xxx
23
32 38
383
arcsin9
8;
м)
25 5
10 5
11 3 2 1
30 15 31
x xln arctg C
x x
.
9. a) Cx
3
arccos3; б) Cxxxxx 2ln2ln 2 ;
в) C
x
14
32
tg
arctg14
2; г) Cxxxx
2
311ln2542
2
5 22 ;
д) Cxxx 2ln51ln4ln2 ; е) Cxx
xx
6 56
6 7 5
618
11
7
6;
ж) 4 21 11
4 2ln x arctgx C ; з) C
x
x
x
211ln ;
и) Cxxxxx
42
24tg
4
1tg2tgln6
tg
2
tg4
1; к) Cxx 6 52 32
5
34 ;
л) Cxx 3252 25
3
2525
5
1; м)
1
2 2
tgxarctg C .
10. a) Cx
4
arctg4
; б) Ceex
ex xxx 5552
5
2
25
2
5;
в) Cxxxx
1cosln2
11cosln
2
1cosln
cos2
12
;
511
г) Cx
xx
17
12arcsin
2
743 2 ;
д) Cxxx
6ln51ln31
1; е) Cxxx
6 1112 133
11
6
13
243 ;
ж) x ctgx C ; з) Cx
1arcsin ; и) Cxx
xx 2
5
3tg
5
2tg3
tg
3
tg3
1;
к) Cx
xx
21
12 ; л) C
x
x
26464
1; м)
xC
ln x .
11. a) Cxx
15
cos
13
cos 1513
; б) Cexeex xxx 222 ;
в) C
x
4
12
tg
arctg2
1; г) Cxxxx
64
177
8
1
8
1ln
8
17114
2
12
2 ;
д) Cxxx 5ln2ln3
11ln
3
2;
е)
Cxxxxx
666 56 7
1arctg113
11
5
1
7
16 ;
ж) 1 9
6cos ln x x Cx x ; з) C
x
3
12arctg
3
1 2
; и) Cx 5tg5
1;
к) Cx 1ln3 3 ; л) Cx
x
21; м) 2
21
1
ln xarctg x C
x
.
12. a) Ce x tg ; б) Cxxctgx
2sinln4
12
2;
в) Cx
xtg
cos
1
2ln ; г) C
xxx
5
32arcsin
2
7133 2 ;
д) Cxxx
6ln1ln41
1; е) Cx
xx
10
5 210 9 2
1
9
110 ;
ж)
11 121 1
11 12
x xC
; з)
C
xx
233
13
;
512
и) Cxx
xx
2cos4
1
3
ctgctg2
2
5 3
; к) Cx
x
x
x
112
112ln
12;
л) Cxxx
x
x
2
26
6126arcsin
62
3
636; м)
22
2
xx eC .
13. a) Cxx
16
sin
14
sin 1614
; б) Cxx xxx
3ln
32
3ln
32
3ln
332
2
; в) Cx
x
2tg3
22
tg
ln ;
г) Cxxxx
36
43
6
1
6
1ln
62
11726
2
12
2 ;
д) Cxxx 5ln31ln21ln2 ; е) Cxx 66 arctg6 ;
ж) 2 1 1 1
5 5 5 2 2
x x
Cln ln
; з) Cxx sin2ln
2
1 2 ;
и) Cx
x
xx
cos1
cos1ln
2
1
cos
1
cos3
13
; к) Cx
xx
11arctg ;
л) Cx 324
3
1; м)
2 4 21 3 1x x xln C
x
.
14. a) Ce x tg ; б) Ce
xxxx
39
2
3
2 333 ;
в) Cx
tgx 2sin2
1ln ; г) Cxxx 32arcsin
2
13233 2 ;
д) Cxxx
4ln5ln25
1; е) C
xxx
15 85 6
15 2
4
1
18
1
2
115 ;
ж) 21
2
x xe e x C ; з) Cxx 133
2 3 ;
и) Cxxx 3 163 73 4 cos
16
3cos
5
3cos
4
3; к) Cx
x
323
13
1
3;
л) Cx
x
9
99
2
2 ; м) 21 6 60 15
2 315
x x xC ln
x
.
15. a) Cx
10sin10
1; б) Cxxx sinlnctg ;
513
в) Cx
x
2tg6
2tg4
ln10
1; г) Cxxxx 1344ln8383
22 ;
д) Cx
xxx
3
12arctg
13
3994ln
13
101ln
26
49 2 ; е) Ce x 13
3
2;
ж) 2 2
2
tg x ctg xC
; з) Cx cosln
2
1 2 ; и) Cxxx 53 cos5
1cos
3
2cos ;
к) Cxxx 1arcsin2 2 ; л) Cx
x
9
99
2
2 ; м) 1
xeC
x
.
16. a) Cx
4
arcsin4
; б) Cxxxe x
4
3
2
3
2
3
2
1 232 ;
в) Cx
x
sin
1
42tgln ; г) C
xxx
21
12arcsin
2
1153 2 ;
д) Cxxx
5ln4
213ln
4
25
3
1
2
13;
е) Cxx
x
25 1625 36
25 4
32
1
36
1
4
125 ; ж)
1
2 2
xarctgx arctg C ;
з)
Cxx
3
cos3sin2
1
3
1; и) C
xx
4
2cos
3
2cos 86
;
к)
Cx
x
13
1arcsin
2
1; л)
C
x
x
3
32 4
12
1;
м) 1 1
2 1 4 1 21 1
xx x
x
ex e e ln C
e
.
17. a) Cx
11cos11
1; б) Cxxx
x arctg
2
1arctg
2
2
;
в) Cx
x
2tg4
2tg1
ln5
1; г) Cxxxx
9
25
3
1
3
1ln
33
2823
3
12
2 ;
д) Cxxx 4ln14
333ln
35
471ln
10
7;
514
е) Cxx
x
6
3
6 21ln22
166 ; ж) 2 2sh x x C ;
з)
Cxx
2
1
2
1; и) C
x
3
ctg3
;
к) Cxxx 12
11
8
31
10
3 23 423 52 ; л) Cx
x
x
2
2 9
2
13arccos
6
1;
м) 2
2 3 2
1 1 1
6 3 6
x arctgxln C
x x x
.
18. a) Cxxx
1ln
2
1arctg2 ; б) Cxxxe x 663 23 ;
в) Cxtg
3
3
; г) Cx
xx
2
1arcsin7122 2 ;
д) Cxxx
3ln4ln24
1; е) C
xxx
63 2
3 2
4
1
2
16 ;
ж) 1x xe ln e ; з) Cxx 1lnarctg2 ; и) Cxx
x 5
tg
3
tg2tg
53
;
к) Cxx 121ln12ln ; л)
Cx
x
x
x
3
32
5
52 4
24
14
40
1;
м) 2 2 44 1 2 1
x arctgx arctgxC
x x
.
19. a) Cx
16
cos16
; б) Cxxex
3cos
4
13sin
51
164
3
; в) Cx
x
2tg312
2tg312
ln122
1;
г) Cxxxx
16
5
4
3
4
3ln
8
9164
4
12
2 ;
д) Cxxx 2ln1ln3
14ln
3
1; е) Cxxx 663 2 arctg66
2
3;
ж) 1
24
cos x C ; з) Cxx 4ln4
1ln ; и) Cxctgx
xctg
3
3
;
к) Cxxx 2ln24123 663 ; л)
Cx
x
3
32 8
24
1;
515
м) 22
11 1
4 4 12 11
x arctgxln C
xxx
.
20. a) Carctgx 2
2
1; б) Cxxxe x 663 23 ;
в) Cx
5
tg5
; г) Cxx 432 2 ;
д) Cxxx
2ln24ln4
1; е) C
xxxx
99 29 4
9 5 3
2
3
4
1
5
19 ;
ж) 3 1 1
2 48 4 32
x sin x sin x C ; з) Cxx sinln ; и) Cxtgxtg
1ln2
1
2
22
;
к) Cxx 21arcsin ; л)
Cx
x
x
x
3
322 3
27
13
9
1;
м)
2 2 3
1 1 1 11 2
2 1 2 2 1 2 3 1 2
x
xx x
x log Cln
.
21. a) Cx
12
sin12
; б) Cxx
x
1ln; в) C
x
x
2tg3
2tg2
ln5
1;
г) Cxxxx
4
35
2
1
2
1ln
2
795
22 ;
д) Cxxx 2ln9
54ln
9
792ln
9
23;
е) Cxarctgx
x
x
122
1arccos
1; ж)
3 3
2 21
2 26
x x C
;
з) Cxx
sin
1; и) Cxxx 7sin
28
15sin
20
1sin
2
1; к) Cxx cos22 ;
л) Cx
x
4
2
12
1; м) x xarctg e e C .
22. a) Cxxarctgx 22ln2
12121 ;
516
б) Cxxx
e x
86
2
42
3 6632
; в) Cx
5
ctg5
;
г) Cxxx
468 cos4
1
cos3
1
cos8
1; д) Cxx
x
5ln32ln2
2
1;
е) Cxx
x 9
9 2
9 5 1
5
9; ж)
5 2
3 31 1
3 1 15 2
x x C
;
з) Cxx
arccos4
arccos4
; и) Cxxx 6sin24
12sin
8
12sin
8
1 2 ;
к) Cx
xxxx
11
11ln214ln2 ;
л) Cxxxx
4ln242
4242
; м) 2
2
1 1
1 1
x x x
x x x
e e eln C
e e e
.
23. a) Cxxx
468 cos4
1
cos3
1
cos8
1; б) Cxxx 2161ln
8
14arctg ;
в) Cx
x
2tg2
2tg6
ln4
1; г) Cxxxx
16
1
6
5
4
1
4
1ln
64
5536
2
12
2 ;
д) Cxxx 4ln1ln21ln ; е) Cxx
x
36 5
6 116 ;
ж) 21
1 12
x ln x C ; з) Cx
x
1
1
2
11ln
2
12
2 ;
и) Cxx
35 sin3
1
sin5
1; к) C
e
eeee
x
xxxx
11
11ln21
3
21 ;
л)
Cx
xx
x
xx
32
3
21812
arctg2
3; м)
2 1 2
3 3
tgxx arctg C
.
24. a) Cx 3ln3
2; б) Cxxxex 663 23 ;
в) Cxxx 2sin48
14sin
64
1
16
1 3 ; г) Cxxx 52arcsin2652 2 ;
д)
Cxxx
5ln49
412ln
49
90
27
1;
517
е) Cx
xxx
53
1
7
112
12 512
412 7; ж) 21x ln x C ;
з) Cx
2
lnarcsin ; и) Cxx 44 9 cos4cos
9
4; к) C
x
x
12 ;
л) Cx
x
x
2
2
2
11arccos2
1; м) sin secxe x x C .
25. a) Cxx
1517 sin15
1
sin17
1; б) Cx
xxx
2arctg
24arctg
2
1
4
1 2
;
в) Cx
x
2tg1
2tg3
ln4
1; г) Cxxxx
64
23
8
5
8
5ln
4
7354
22 ;
д) Cxxx 4ln2ln21ln2 ;
е)
Cxxxxx
66
6 56 7
1arctg13
1
5
1
7
16 ;
ж) 2
xtg C ; з) Ce x arcsin ; и) C
xxxx
320
2sin
1024
4sin
128
2sin
256
3 5
;
к) Cxxxx 1212ln ; л) Cx
x
2
2
16
1616 ;
м) 1 mx a
arctg e Cbm ab
.
26. a)
Cxln
4
14
; б) Cxe x
2
1
2
1 2 ;
в) Cxxx
48
2sin
64
4sin
16
3
; г) Cx
xx
2
3arcsin562 2 ;
д) Cxxx
2ln25ln5
4; е) Cx
xx
6
12 73 46
7
24
4
3;
ж) 1
sin33
x C ; з) Cx 2ln1ln2
1; и) Cxtg
xtgxtgxtg 1ln
2
1
246
2246
;
к) Cx
x
1
1; л) Cx
xx
xx 2
42 3
43
8
9
3arcsin
4
27;
518
м) 21 2arcsin 1
2 2
xx x C
.
27. a) Cxx
911 sin9
1
sin11
1; б) Cxxe
x
128324 24 ;
в) Cx
tg
xtg
ln
22
29
11
1; г) Cxxxx
36
95
6
1
6
1ln
32
383
22 ;
д) Cxxx 3ln72ln4ln ; е) Cx
xx 4
4 54
4
5
4;
ж) 1
sin 22
x C ; з) Cxtgxtg 29
25
9
2
5
2; и) C
xctgxctg
3
3
8
3 32
38
;
к) Cx
x
31
3
2; л) C
x
x
21; м)
322
3
1 212 ln
2 6 1
x xxx C
x
.
28. a) Ce x 22arccos4
1; б) Cxe x
4
1
4
1 4 ; в) Cxx
3
tg
5
tg 35
;
г) Cx
xx
8
3arcsin6162 ;
д) Cxxx
1ln9
294ln
9
7
4
1
3
35;
е) Cxx
x
15 415 9
15 3
2
11
9
115 ; ж) 250x C ; з) C
xx
3arctg
3
19ln
2
3 2 ;
и) Cchx
chx 1
; к) Cxxx 442 arctg441ln2 ;
л) Cx
x
x
3arcsin
9 2; м) 2 1 1 2x ln x C .
29. a) Cx
xx
2
2
cos2
1cosln2
2
cos; б) Cxxe
x
842 22 ;
в) Cx
x
22
tg
12
tg
ln3
1; г) Cxxxx
36
1
6
1
6
1ln
33
1013
3
22
2 ;
519
д) Cxxx 3ln20
492ln
5
11ln
4
3;
е) Cxxx
20 3
5 320 27 3
20
3
10
27
20; ж)
2 3
32 3
x xlg C
;
з) Cxxx 442 14
11ln
2
1; и) C
e
e
xchchx x
x
1
1ln2
3
113
;
к) Cee
exx
x
11
1
2
1
11
11ln
4
1; л) C
x
x
xx
xx
4
42
42ln
2
2
2
;
м) 2 2 2x chx xshx chx C .
30. a) Cx 1arctg2
1 2 ; б) Cxxxx 2cos8
12sin
4
1
4
1 2 ;
в) Cxxx
7
ctg
5
ctg2
3
ctg 753
; г) Cx
xx
13
16arcsin
36
2913
3
1 2 ;
д) Cxxx
2ln3ln44
4; е) C
xxx
5 65 2
5 2 1
6
11
2
115 ;
ж) 2 21
4 95
sin x cos x ; з) Cxx 23
2 arcsin3
212 ;
и) Cxx
x 5
ctg
3
ctg2ctg
53
;
к) Cx
xx
3
112arctg
3
2111ln
4
13 4
3 43 24;
л) Cxx
x
1
11ln 2
2; м)
2
1 3 2 31
44
x xarctg x C
x
.
Глава 7
Завдання 1
1. 25
4. 2. 2ln12 . 3.
18
17. 4.
3
2ln11
3
2ln . 5.
92ln
2 . 6. 2ln1
2
1 .
7. 2ln6
. 8.
2
3. 9. 21
2
1e . 10. 2ln . 11.
2
11. 12. 2ln
2
1
83
. 13. 2ln .
14. 64
2ln2
. 15. 8
. 16.
2
3ln
2
1. 17.
6
5 . 18.
2
3ln
2
1. 19.
3
323ln
2
1 . 20.
12
.
520
21. 3
1. 22. 4ln
324
4
. 23.
5
21ln
2
1. 24.
224 . 25.
2
1. 26.
3
13tg.
27. 23,1. 28.4
2ln 2
. 29. 12
42 . 30.
82ln
4
1 .
Завдання 2
1. 6sin27
2
9
4 . 2.
6
1
3
4ln . 3. 16 . 4. 7ln
2
1
3
5
3
1
36 arctg
. 5. 7 .
6. 2 . 7. 16cos6sin34
1 . 8.
33
. 9.
4
154ln8 . 10.
3
1.
11. 3ln63ln33 23 . 12. 4
13ln
2
3 . 13. 28 e . 14.
2
3
2
1ln . 15.
27
16
27
10 3 e .
16. 2
2
. 17. 9
7 . 18. 1
5
3e . 19.
4
312ln2ln2 . 20. 2ln4 .
21. e
e26
10 . 22. 15
4863994 . 23.
27
2
27
5 3 e . 24. 4
1
. 25. 33
4 .
26. 44
9ln
4
3ln
2
33ln
2
1 . 27.
48
25ln
. 28.
2
31
4
1
e. 29.
270
29. 30. .
Завдання 3
1. 8
tg8
3tgln
. 2.
5
2arctg5arctg
5
3
4. 3.
2
3ln . 4. 2ln1 .
4.
8tg1ln
8tg1
11
8tg
2
1 (якщо верхня межа 2ln1
2
).
5. 3
12ln . 6. 2ln
2
3 . 7. 2ln1
2
1 . 8. 2ln
2
1 .
9. 2
4ln
2
3 . 10.
1
3. 11.
2
12ln . 12.
2
12ln . 13. 1
2
3ln2 . 14. 2ln
3
.
15. 2
12ln . 16.
3
1
4
9ln . 17. 1cosln1 . 18. 2ln
2
1
4
. 19.
122ln
2
1 .
20.
3
43
6
5
8arctgarctg
. 21.
2
3ln1 . 22.
6
1. 23.
24
29. 24.
96
41. 25.
10
13.
521
26. 6
1 . 27.
3
2ln
3
2 . 28.
32ln
. 29.
3
26. 30.
42ln
2
1 .
Завдання 4
1. 2ln20
373ln
10
17
40
; 2. 2ln2
4
1 ; 3.
84ln
; 4.
2
12ln2 ; 5.
5
6ln
4
1;
6.
6
4ln1
36
5; 7. 2ln
18
1
3
2
; 8.
7
12ln
10
1; 9. 6
2
33 ; 10. 5arctg
5
;
11. 31
35ln
12
1; 12. 4ln
4
15 ; 13.
6
5ln ; 14. 3ln
3
10 ; 15. 2
1arctg
2
1
4
5ln2 ;
16. 3arctg7710ln ; 17. 2
3ln1 ; 18.
27
20arctg
15
4
27
4ln
10
1 ;
19. 2ln2
13arctg2 ; 20.
4
9ln
10
1; 21.
8
15ln
14
1; 22.
413
5
22
5ln
13
12 ;
23. 4ln24
9 ; 24. 7arctg
6
1
2
75ln
6
5
;
25.
24
1arctg
2
3arctg
245
7
5
12ln
10
3; 26.
2
3ln
10
9; 27.
1
48
3 ;
28. 13ln6
132arctg
3
11 ; 29.
47
7arctg
6
1; 30.
15
1
5
9ln
4
1 .
Завдання 5
1. 32
3. 2.
72
3. 3.
48
3. 4.
8
81. 5.
16
3. 6.
4
9. 7.
8
33227
. 8.
24
1.
9. 323
4 . 10.
4
3. 11.
8
3. 12.
18
2. 13. – змінити межу на 2. 14. 4 .
15. 18
2. 16.
15
3. 17.
8
3
4
5 . 18.
4
3
2
5 . 19.
4
3. 20.
4
. 21.
16
492. 22.
64
3.
23. 620 . 24. 2
23 . 25.
16
112ln
216
3
6
1
12
12ln
232
3
16
112ln
216
3
6
1
12
12ln
232
3
. 26.
2
3
3
. 27.
8
39
4
3
. 28. 1. 29.
6
332 . 30.
2
35 .
522
Завдання 6
1. 2. 2. 12/1 eeee . 3. 16 . 4. 2
3
3
. 5. 2
4
2
. 6. 9 . 7. 9. 8. 3
1.
9. . 10. 2
2
. 11. 1. 12. 9. 13. 1. 14. 4 . 15. 3
1. 16. 2. 17.
5
2. 18. 9. 19. 9.
20. 2
3
3
. 21.
3
1. 22. 9. 23. 4. 24.
3
1. 25.
3
343. 26.
2
3
3
2 . 27.
22
.
28. 2ln23
5 . 29. 8. 30.
4
1.
Завдання 7
1. 14
3
. 2. 312 . 3. 364 . 4. 396 . 5. 332
3
256 .
6. 105 . 7. 82 . 8. 3912 . 9.
2
3
39
. 10. 2
2
. 11. 8 .
12. 42 . 13. 2
1
8
3
. 14. 364 . 15. 7218 . 16. 2 . 17. 63 .
18. 182
9
. 19.
2
33 . 20. 334 . 21. 328 . 22. 2
2
3
. 23. 375 .
24. 332 . 25. 368 . 26. 327 . 27. 22
3
. 28. 332 . 29. 33 .
30. 4 .
Завдання 8
1. /4. 2. /4. 3. /4. 4. 3
432 . 5.
8
7
16
. 6.
8
33
2
. 7.
2
1
4
.
8. 8
33
2
. 9.
4
3. 10. . 11. . 12. 2. 13. 4. 14. /2. 15. 3. 16.
4
481.
17. 4
3. 18. /2. 19. . 20. . 21. 3/2 ( + 1). 22. 3/2 ( +1). 23. 21/4 .
24. /8 – 1/4. 25. 2
393 . 26.
4
1
8
3
. 27.
32
3 . 28. 3
2
39 .
29. 36
5
. 30.
4
3
24
5
.
523
Завдання 9
1. 2
3ln1 . 2. 5
6ln1 . 3. 3ln2
1. 4.
3
22. 5.
23ln1 . 6. 3ln
2
1.
7. 2
23. 8. sh 1. 9.
4
1
3
5ln . 10. 1. 11.
56ln1 . 12. sh 3. 13. 2 .
14. 5
6ln2 . 15.
23ln1 . 16. 3ln
2
1. 17. 1/2 sh 3. 18. sh 1. 19. 2 .
20. 3
4ln2 . 21. 3ln
2
1. 22.
22 . 23. 4/3. 24. 3ln
2
1. 25.
23ln1 .
26. 5
3ln2 . 27. 2ln
43 . 28.
56ln1 . 29. sh 2. 30. 3ln
2
1.
Завдання 10
1.
8
3cos
2
2 8
. 2. 6 2 . 3.
2
28
cos 16 . 4.
1 13 3
4e .
5.
33
2
5
ee . 6. 8
cos1 12 . 7. 242 . 8. 224 . 9.
1193 48
7e .
10.
ee 2
2
15. 11.
12 2
e . 12.
1
2
135
3e . 13. 16. 14. /2.
15. 3. 16. 7
1138ln
2
11
49
11344 . 17.
4
34
3
10
ee .
18.
158 9
7e . 19.
3
4. 20.
7
654ln
2
3
49
656 . 21.
2
3120 .
22.
2
33
4
a. 23. )412ln(
241 22
aa . 24. 8a.
25. )25)(15(
)25)(15(ln
2
1
2
5
. 26.
22
22ln22
2
a. 27. 2ln2
8
15 .
28. 2
3 2. 29.
3
23
2
2
15 ee . 30.
3
23
2
2
5 ee .
Завдання 11
1. 22 . 2. 70 . 3. 2. 4. 6. 5. 32
. 6.
49
3312. 7.
5
198. 8. 2. 9.
32
. 10. 72.
524
11. 200. 12. 3
8. 13. 50. 14. 24. 15.
15
544. 16.
74
9. 17.
3
12740.
18. 27
460. 19.
2
3. 20. 128. 21.
3
8. 22. 270. 23. 16/3. 24.
3
80.
25. 8
6117 . 26.
18
19. 27. 32. 28.
2
7
2
7. 29.
4
3. 30.
3
2.
Завдання 12.
1. 4
22RMk
. 2. с0,3535 м. 3. T12 мін. 4. А=240 кгм754 кгм.
5. P=ad( l+(d sin)/2)=0.127 т=127 кг. 6. A=4
4R кгм. 7. P=0.3*10
–3
т12,8 кг. 8. А=9*10–5
дж. 9. А=(4/3)R3
( R+(–1)H)=192,3 кгм.=1896 дж.
10. 2
23aP . 11. 2/;6/;3/ 33
23
1 apaPaP . 12. 4/42 HRP .
13. rhP 2 . 14. 12/22HRA . 15. 6/22HRA . 16. 24/32 ahI .
17. A= 3HR . 18. )( laa
kmMF
. 19. 2/23aP .
20. 12/)836( 222 RHRHRA . 21. P1=h2(2a+b)/6=7500 т; P2=
h2(a+2b)/6=500 т. 22. 6/12/ 2222 RHRHA . 23. 15/4 52 RK .
24. 3/)12(4 4RA . 25. 23
22 )( ba
kmMbF
. 26. 3
32 RP .
27. 20/3 22RMK . 28. abhI . 29. 15/8 2ahP . 30. 4/22HRA .
Завдання 13.
1. Ioy=πa3/4. 2. В декартовій с/к: Xc=Yc=4a/5; в полярной с/к: rc=
5
24a,
c=/4. 3. Xc = a;Yc=4a/3. 4. Mx=3/20. 5. Ix=(a+3b)h3/12.
6. ))2(
(arcsin2 4
22224
R
hRhRh
r
hRI
. 7. Xc=Yc=9. 8. Xc=0;
)12(10
153
5
cY . 9. Xc=5a/7; Yc=0. 10. I=2πRb
2+πR
3. 11. I=32ah
3/105.
12. Xc=4(a+b)/3π; Yc=4a/3π. 13. I= ).2
2sin(
8
4
r
525
14. I=2
23
2
)(1arcsin2
))(1(3
2
R
hR
R
hR
R
hR
r
hRR
Yc
.
15. Ioz=2π(16/3+148/5)≈219,5. 16. Xc=0; Yc=2r/π. 17. 2
3
2MaI . 18. Xc=0;
Yc=4R/3π. 19. Mx=2πa2. 20. I1=πab
3/4 або I2=πba
3/4. 21. Xc=2a/5; Yc=2a/5.
22. Xc=Yc=0; Zc=3R/8. 23. Yc=0; Xc=3π/16. 24. I= πR4/8. 25. I= πR
2H
3/30. 26.
Xc=Yc=a/5. 27. Xc=Yc=2R/π. 28. I0=7a4/12. 29. Zc=0; Yc=3a/5. 30. В
декартовій с/к:
3
)cos1(2;
sin
3
2
RY
RX cc ; в полярной с/к:
2;
2/sin
3
4
cc
Rr .
Глава 8
Завдання 1
1. 9
1. 2.
12
. 3. . 4. Розбігається. 5. Розбігається. 6.
2
. 7.
24
. 8.
20
1 .
9. 9
34. 10.
2
. 11.
2
1. 12.
4
. 13. 12ln . 14.
2
1. 15.
2
1. 16. Розбігається.
17. 2
1. 18.
3
1. 19.
21
1
b. 20. 2ln
2
1
4
. 21.
2
. 22.
42
1 . 23.
33
2. 24. 0.
25. 4
1 . 26. 1
2
. 27.
2
. 28.
4
1. 29. –1. 30. 31 ln .
Завдання 2
1. 2
. 2. –1. 3. . 4. 123 3 . 5.
3
16. 6. 4 125
3
2. 7. 3 26 . 8. Розбігається.
9. Розбігається. 10. 3
8. 11. 2 . 12. Розбігається. 13. Розбігається. 14.
4
9.
15. 2
3 . 16. 32ln . 17. 32
2
ln . 18. 4. 19. 122 ln . 20.
2
.
21. 3
43
. 22. Розбігається 23. Розбігається. 24.
3
8. 25. Розбігається
26. Розбігається. 27. 2
33. 28.
3
. 29.
7
10. 30.
7
414 .
526
Завдання 3.
1. Розбігається. 2. Збігається. 3. Збігається. 4. Розбігається. 5. Збігається
6. Збігається. 7. Збігається. 8. Збігається. 9. Збігається. 10. Збігається.
11. Розбігається. 12. Розбігається. 13. Збігається. 14. Збігається.
15. Збігається. 16. Збігається. 17. Збігається. 18. Збігається 19. Збігається.
20. Розбігається. 21. Розбігається. 22. Збігається. 23. Розбігається.
24. Збігається. 25. Збігається. 26. Збігається. 27. Збігається. 28. Збігається.
29. Розбігається. 30. Розбігається.
Список літератури
1. Боревич, В.И. Определители и матрицы / В.И. Боревич. – М: Наука,
1970.
2. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /
Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М: Наука, 1960.
3. Головина, Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения /
Л.И. Головина. – М: Наука, 1971.
4. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М: Наука,
1984.
5. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М:
Наука, 1988.
6. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д.В. Клетеник. – М:Наука, 1969.
7. Рублев, А.Н. Линейная алгебра / А.Н. Рублев.– М: Высш.шк., 1968.
8. Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии /
О.Н. Цубербиллер. – М: Физматгиз, 1958.
9. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматгиз, 1959. – Т.1.
10. Игнатьева, А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева,
Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. – М : Высш. шк., 1964.
11. Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа / А.М. Тер-
Крикоров, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1988.
12. Овчинников, П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая
математика / П.Ф. Овчинников, Ф.П. Яремчук, В.М. Михайленко; под
ред. П.Ф. Овчинникова.– К.: Вища шк., 1987.
527
13. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов / Н.С. Пискунов. – М: Наука, 1985. – Т.1,2.
14. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу / Б.П. Демидович. – М.: Государственное издательство технико-
теоретической литературы, 1956.
15. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1985.
16. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты) : учебное пособие для втузов / Л.А. Кузнецов. – М.: Высш. шк.,
1983.
17. Вища математика. Розв’язання задач та варіанти типових розрахунків.
Т. 1 : навч. посібник / за ред. Л.В. Курпи. – Харків: НТУ «ХПІ», 2002. –
316 с.
18. Higher mathematics. Problems solving and variants of typical calculations.
V. I : еducational textbook / under edition of Dr.Sci.Tech Kurpa L.V. –
Kharkiv: NTU “KhPI”, 2004. – 320 p. – English.
19. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная алгебра:
решение задач и варианты типовых расчетов. Т. 1. : навч. посібник / за
ред. Л.В. Курпи. – Х.: НТУ «ХПІ», 2006. – 344 с.
20. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление
функции одной переменной: решение задач и варианты типовых расчетов
Т. 2. : навч. посібник / за ред. Л.В. Курпа. – Х.: НТУ «ХПІ», 2006. –
540 с.
528
Зміст
Вступ ……………………………………………………………… 3
Глава 1. Матриці, визначники, розв’язання систем лінійних
рівнянь………………………………….…………………………….…. 5
1.1. Матриці та дії над ними……….…………………………………... 5
1.2. Визначники….……………………………………………………... 9
1.3. Обернена матриця. Ранг матриці…...……………………………. 13
1.4. Розв’язання систем лінійних рівнянь…….……………………… 17
1.4.1. Загальні поняття………………………………………………..... 17
1.4.2. Правило Крамера………………………………………………… 18
1.4.3. Розв’язання систем рівнянь за допомогою оберненої матриці.. 19
1.4.4. Системи m лінійних рівнянь з n невідомими. Теорема
Кронекера-Капеллі…………………………..……………………….. 20
1.4.5. Розв’язання однорідних СЛАР…………………………………. 21
1.4.6. Метод Гаусса (або метод послідовного виключення
невідомих)……………………………….……………………………... 22
1.4.7. Метод Жордана-Гаусса…………………………….……………. 28
Контрольні приклади та запитання до гл. 1...…………………….. 29
Застосування програмного забезпечення Maple до виконання
індивідуальних завдань …………….……………………………….
31
Лабораторна робота 1. Розв’язання систем та виконання домашніх
завдань в системі Maple …………………….…………………………
34
Контрольні завдання до гл. 1……………………………...………... 39
Глава 2. Векторна алгебра……..…………………………..………… 51
2.1. Основні поняття………….….……………………………………. 51
2.2. Скалярний добуток……….……………………………………….. 57
2.3. Векторний добуток……….……………………………………….. 60
2.4. Мішаний добуток векторів………..……………………………… 63
2.5. Лінійне n- вимірний простір……….……………………………… 65
2.6. Лінійна залежність векторів…………..………………………….. 66
2.7. Розкладання вектора за даним базисом………………………….. 68
2.8. Перехід до нового базису…………………………………………. 70
2.9. Евклідів простір ……………………………….………………….. 71
2.10. Лінійні оператори……………………………….……………….. 73
529
2.11. Власні вектори і власні значення лінійного оператора……… 75
2.12. Квадратичні форми………………………………………………. 82
Контрольні завдання та запитання до гл. 2….…………………… 88
Лабораторна робота 2. Розв’язання задач векторної алгебри та
лінійної алгебри в системі Maple……………………………………....
93
Контрольні завдання до гл. 2………………………….……….……. 99
Глава 3. Поверхні і лінії першого і другого порядку …………..….. 115
3.1. Поверхні та лінії першого порядку. Площина та пряма ……..… 115
3.2. Лінії та поверхні другого порядку................................................... 136
3.2.1. Криві другого порядку................................................................... 136
3.2.2. Дослідження загального рівняння другого порядку ………..… 139
3.2.3. Поверхні другого порядку …………………………………….... 154
Контрольні приклади та запитання до гл. 3………..………….….. 157
Лабораторна робота 3. Розв’язання задач аналітичної геометрії за
допомогою системи Maple….…………………………………………
163
Контрольні завдання до гл. 3……………………………………….. 174
Глава 4. Границі та неперервність функції однієї змінної…………
188
4.1. Основні визначення та поняття математичного аналізу………. 188
4.2. Границя, неперервність функції………………………………….. 196
4.2.1. Границя числової послідовності………………………………... 196
4.2.2. Нескінченно малі та їх основні властивості. Порівняння двох
нескінченно малих величин……………………………………………
199
4.2.3. Нескінченно великі величини. Порівняння двох нескінченно
великих величин………………………………………………………..
200
4.2.4. Основні теореми, пов’язані з арифметичними операціями… 201
4.2.5. Границя функції. I і II важливі границі та висновки з них…… 202
4.2.6. Техніка обчислення границь……………………………………. 204
4.2.7. Порівняння нескінченно малих величин………………………. 219
4.3. Неперервність функції……………………………………………. 221
4.4. Точки розриву та їх класифікація………………………………… 222
4.5. Арифметичні операції над неперервними функціями.
Неперервність складної й оберненої функцій……………………….
225
4.6. Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку…. 226
4.7. Поняття про рівномірно неперервну функцію………………….. 227
Контрольні приклади до гл. 4…….………………………………… 228
530
Лабораторна робота 4. Обчислення границь і дослідження
неперервності функцій у системі Maple….…………………………..
231
Контрольні завдання до гл. 4…….…………………………………. 237
Глава 5. Основи диференційного числення для функції однієї
змінної…………………………………………………………………... 266
5.1. Похідна……………………………………………………………... 266
5.2. Диференціал функції……………………………………………… 272
5.3. Похідні та диференціали вищих порядків………………………. 275
5.4. Застосування похідної до дослідження функцій та побудови
графіків. Обчислення границь…………………………………………
276
5.4.1. Основні теореми диференційного числення……………….….. 276
5.4.2. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя……………. 277
5.4.3. Формула Тейлора……………………………………………….. 283
5.4.4. Умови монотонності функції. Екстремуми……………………. 285
5.4.5. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину……………….... 288
5.4.6. Асимптоти кривих………………………………………………. 291
5.4.7. Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка…... 293
5.4.8. Найбільше і найменше значення функцій на відрізку………... 299
5.5. Елементи диференціальної геометрії…………………………….. 302
5.6 Фізичні застосування похідної……………………………………. 303
Контрольні приклади до гл. 5………………………………………. 307
Лабораторна робота 5. Обчислення похідних і побудова графіків
функцій у системі Maple………….……………………………………
308
Контрольні завдання до гл. 5…….…………………………………. 314
Глава 6. Невизначений інтеграл. Методи інтегрування……………. 331
6.1. Первісна. Властивості невизначеного інтеграла………………… 331
6.2. Методи інтегрування……………………………………………… 338
6.2.1. Метод заміни змінної, або підстановки………………………... 338
6.2.2. Застосування методу заміни змінної при обчисленні
невизначених інтегралів від ірраціональних функцій………………..
340
6.2.3. Метод інтегрування частинами………………………………… 351
6.2.4. Інтегрування раціональних дробів……………………………... 358
6.2.5. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції…. 369
Контрольні приклади до гл. 6……………….…………………….… 378
531
Лабораторна робота 6. Використання системи Maple для
обчислення невизначених інтегралів..……………………………….…
381
Контрольні завдання до гл. 6…….…………………………………. 383
Глава 7. Визначений інтеграл та його застосування……………….... 393
7.1. Визначення, властивості, геометричний зміст визначеного
інтеграла. Методи обчислення………………………………………....
393
7.2. Геометричні застосування визначених інтегралів: обчислення
площ, об’ємів, довжин дуг……………………………………………..
402
7.2.1. Обчислення площ плоских фігур……………………………….. 402
7.2.2. Обчислення довжини дуги…………………………………….... 407
7.2.3. Обчислення площі поверхні обертання………………………... 409
7.2.4. Обчислення об’ємів тіл…………...……………………………... 410
7.3. Фізичні та механічні застосування визначених інтегралів……... 413
Контрольні приклади і запитання до гл. 7…….………………….. 422
Лабораторна робота 7. Використання системи Maple для
обчислення визначених інтегралів……..………………………………
426
Контрольні завдання до гл. 7……..…………………………………. 428
Глава 8. Невласні інтеграли, питання їх збіжності…………………. 458
8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування
(І роду) та їхнє обчислення……………………………………………
458
8.2. Невласні інтеграли ІІ роду (інтеграли від необмежених
функцій)…………………………………………………………………
470
8.3. Головні значення невласних інтегралів…………………………. 476
Контрольні приклади і запитання до гл. 8…….………………….. 477
Лабораторна робота 8. Обчислення невласних інтегралів у системі
Maple…………………………………………………………………….
479
Контрольні завдання до гл. 8…….…………………………………. 481
Відповіді до контрольних прикладів …………………..………….. 484
Відповіді до контрольних завдань ………………………….……... 494
Список літератури…………………………………………………… 526
Навчальне видання
КУРПА Лідія Василівна
КАШУБА Жанна Борисівна
ЛІННИК Ганна Борисівна
МОРАЧКОВСЬКА Ірина Олегівна
ОДИНЦОВА Олена Володимирівна
РУДНЄВА Гаяне Валериківна
ЧИСТИЛІНА Ганна Вікторівна
ШМАТКО Тетяна Валентинівна
Вища математика в прикладах і задачах
Том 1: Аналітична геометрія та лінійна алгебра. Диференціальне та
інтегральне числення функцій однієї змінної
Навчальний посібник
За редакцією проф. Курпа Л.В.
Роботу до видання рекомендував Д.В. Бреславський
Редактори В.М. Баранов
О.С. Самініна
План 2008 р. п. 105 / 37-09
Підп. до друку 20.03.2009р. Формат 60841/16. Папір офісний.
Riso-друк. Гарнітура Таймс.Ум. друк. арк. 30,9. Наклад 500 прим.
Зам. № 97 Ціна договірна.
Видавничий центр НТУ “ХПІ”. 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21.
Свідоцтво про державну реєстрацію ДК №116 від 10.07.2000 р.
Друкарня НТУ “ХПІ”. 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21