ctdl1 ch02 timkiem sapxep

ððạại Hi Họọc Sư Phc Sư Phạạm Tp. Hm Tp. Hồồ ChChíí MinhMinh

Chương 2: Tìm kiếm & Sắp xếp

CCẤẤU TRU TRÚÚC DC DỮỮ LILIỆỆU 1 U 1

22

Tìm kiếm & Sắp xếp

Muïc tieâu:• Giôùi thieäu moät soá thuaät toaùn tìm kieám vaø saép xeáp noäi.• Phaân tích, ñaùnh giaù ñoä phöùc taïp cuûa caùc giaûi thuaät tìm

kieám, saép xeáp.

Noäi dung:• Nhu caàu tìm kieám vaø saép xeáp döõ lieäu trong moät heä

thoáng thoâng tin.• Caùc giaûi thuaät tìm kieám noäi.• Caùc giaûi thuaät saép xeáp noäi.

33

Caùc giaûi thuaät tìm kieám noäi

• Tìm tuần tự

• Tìm nhị phân

Tìm kiếm

44

Caùc giaûi thuaät tìm kieám noäi

Baøi toaùn: Tìm vò trí xuaát hieän cuûa phaàn töû coùgiaù trò x treân danh saùch ñaëc a•Taäp döõ lieäu ñöôïc löu tröõ laø daõy soá a1, a2, ... ,aN

int a[N];

•Khoaù caàn tìm laø xint x;

55

Tìm kieám tuaàn töï• Böôùc 1: i = Vò trí ñaàu;

• Böôùc 2: Neáu a[i] = x : Tìm thaáy. Döøng, vò tríxuaát hieän: i

• Böôùc 3 : i = Vò trí keá(i);// xeùt tieáp phaàn töû keátrong maûng

• Böôùc 4: Neáu i >Vò trí cuoái: //Heát maûng

Khoâng tìm thaáy. Döøng.

Ngöôïc laïi: Laëp laïi Böôùc 2. 66

Tìm kieám tuaàn töï

• Ví duï: Cho daõy soá a12 2 8 5 1 6 4 15

• Giaù trò caàn tìm: 8

• i = 1

77


• i = 2

• i = 3

88

TTTTììììm kiem kiem kiem kieáááám tuam tuam tuam tuaààààn tn tn tn töïöïöïöï

int LinearSearch(int a[], int N, int x)

{

for (int i=0; (i<N)&&(a[i]!=x ); i++);

if (i<N)

return i; // a[i] laø phaàn töû coù khoaù x

return -1; // tìm heát maûng nhöng khoâng coù x}

99


• Caûi tieán caøi ñaët: duøng phöông phaùp “ñặt lính canh”– Ñaët theâm moät phaàn töû coù giaù trò x vaøo cuoái maûng – Baûo ñaûm luoân tìm thaáy x trong maûng– Sau ñoù döïa vaøo vò trí tìm thaáy ñeå keát luaän.

1010

Tìm kieám tuaàn töïint LinearSearch(int a[], int N, int x)

{

// maûng goàm N phaàn töû töø a[0]..a[N-1]

a[N] = x; // theâm lính canh vaøo cuoái daõyfor (int i=0; (a[i]!=x); i++);

if (i<N)

return i; // a[i] laø phaàn töû coù khoaù x

return -1; // tìm heát maûng nhöng khoâng coù x}

1111


• Ñaùnh giaù giaûi thuaät:

• Vaäy giaûi thuaät tìm tuaàn töï coù ñoä phöùc taïp tính toaùn caáp n: T(n) = O(n)

1212


�Nhaän xeùt:– Giaûi thuaät tìm tuyeán tính khoâng phuï thuoäc vaøo

thöù töï cuûa caùc phaàn töû trong danh saùch, do vaäy ñaây laø phöông phaùp toång quaùt nhaát ñeå tìm kieám treân moät danh saùch baát kyø.

– Moät thuaät toaùn coù theå ñöôïc caøi ñaët theo nhieàu caùch khaùc nhau, kyõ thuaät caøi ñaët aûnh höôûng ñeán toác ñoä thöïc hieän cuûa thuaät toaùn.

1313

Tìm kieám nhò phaân

• Ñoái vôùi nhöõng daõy ñaõ sắp thöù töï (giaû söû thöù töïtaêng), caùc phaàn töû trong daõy coù quan heä

ai -1 ≤≤≤≤ ai ≤≤≤≤ ai+1

�Neáu x > ai thì x chæ coù theå xuaát hieän trong ñoaïn [ai+1 ,aN] cuûa daõy

�Neáu x < ai thì x chæ coù theå xuaát hieän trong ñoaïn [a1 ,ai-1] cuûa daõy

1414


• YÙ töôûng cuûa giaûi thuaät laø taïi moãi böôùc tieán haønh so saùnh x vôùi phaàn töû naèm ôû vò trí giöõacuûa daõy tìm kieám hieän haønh, döïa vaøo keát quaûso saùnh naøy ñeå quyeát ñònh giôùi haïn daõy tìm kieám ôû böôùc keá tieáp laø nöûa treân hay nöûa döôùi cuûa daõy tìm kieám hieän haønh

1515

Tìm kieám nhò phaânBöôùc 1: left = VTÑ; right = VTC; Böôùc 2: Trong khi left ≤≤≤≤ right laëp: //ñoaïn tìm kieám chöa roãng

Böôùc 2.1: mid = (left+right)/2; // laáy moác so saùnhBöôùc 2.2: Neáu a[mid] = x: //Tìm thaáy.

Döøng, vò trí xuaát hieän: midBöôùc 2.3: Neáu a[mid] > x: //tìm x trong daõy con aleft .. amid -1

right = mid - 1;Ngöôïc laïi //tìm x trong daõy con amid +1 .. aright

left = mid + 1;

//Heát laëpBöôùc 3: Döøng, khoâng tìm thaáy.

1616


• Ví duï: Cho daõy soá a goàm 8 phaàn töû: 1 2 4 5 6 8 12 15

• Giaù trò caàn tìm laø 8

1717


• left = 1, right = 8, mid = 4

1818


• left = 5, right = 8, mid = 6

1919

Tìm kieám nhò phaânint BinarySearch(int a[],int N,int x )

{

int left =0, right = N-1, midle;

while (left <= right)

{

midle = (left + right)/2;

if (x == a[midle])

return midle;//Tìm thaáy x taïi midif (x<a[midle])right = midle -1;

else left = midle +1;

}

return -1; // trong daõy khoâng coù x}

2020


• Ñaùnh giaù giaûi thuaät:

• Giaûi thuaät tìm nhò phaân coù ñoä phöùc taïp tính toaùn caáp logn:

T(n) = O(log 2 n)

2121


�Nhaän xeùt:– Giaûi thuaät tìm nhò phaân döïa vaøo quan heä giaù trò

cuûa caùc phaàn töû maûng ñeå ñònh höôùng trong quaùtrình tìm kieám, do vaäy chæ aùp duïng ñöôïc cho nhöõng daõy ñaõ coù thöù töï.

– Giaûi thuaät tìm nhò phaân tieát kieäm thôøi gian hôn raát nhieàu so vôùi giaûi thuaät tìm tuaàn töï do

Tnhò phaân (n) = O(log 2 n) < Ttuaàn töï (n) = O(n).

2222


�Nhaän xeùt:– Khi muoán aùp duïng giaûi thuaät tìm nhò phaân caàn

phaûi xeùt ñeán thôøi gian saép xeáp daõy soá ñeå thoûa ñieàu kieän daõy soá coù thöù töï. Thôøi gian naøy khoâng nhoû, vaø khi daõy soá bieán ñoäng caàn phaûi tieán haønh saép xeáp laïi => khuyeát ñieåm chính cho giaûi thuaät tìm nhò phaân.

– Caàn caân nhaéc nhu caàu thöïc teá ñeå choïn moät trong hai giaûi thuaät tìm kieám treân sao cho coù lôïi nhaát.

2323

Ñònh nghóa baøi toaùn saép xeáp

• Saép xeáp laø quaù trình xöû lyù moät danh saùch caùc phaàn töû (hoaëc caùc maãu tin) ñeå ñaët chuùng theo moät thöù töï thoûa maõn moät tieâu chuaån naøo ñoùdöïa treân noäi dung thoâng tin löu giöõ taïi moãi phaàn töû.

• Löu yù: Thöù töï ñöôïc ñeà caäp ôû ñaây laø moät thöùtöï toång quaùt.

• Ví duï: Haõy ñònh nghóa moät thöù töï ñeå daõy soásau laø daõy taêng theo thöù töï naøy.

1 3 5 7 22 20 10 62424

Khaùi nieäm nghòch theá

• Khaùi nieäm nghòch theá: – Xeùt moät maûng caùc soá a0, a1, … an.– Neáu coù i<j vaø ai > aj, thì ta goïi ñoù laø moät nghòch

theá.

• Maûng chöa saép xeáp seõ coù nghòch theá.• Maûng ñaõ coù thöù töï seõ khoâng chöùa nghòch theá.

a0 ≤≤≤≤ a1 ≤≤≤≤ … ≤≤≤≤ an

2525

Caùc phöông phaùp saép xeáp thoâng duïng

• Selection sort

• Insertion sort

• Interchange sort

• Bubble sort

• Shaker sort

• Binary Insertion sort

• Shell sort

• Heap sort

• Quick sort

• Merge sort

• Radix sort

• …

ÑÑôn giaôn giaûûn,n,Chi phChi phíí caocao

PhPhöùöùc tac taïïp hônp hônHieHieääu quau quaûû caocao

LôLôùùp thuap thuaäät toat toaùùnnkhakhaùùcc

2626

Selection sort – YÙ töôûng

• Nhaän xeùt: Maûng coù thöù töï thìai = min(ai, ai+1, …, an-1)

��YÙ töôûng: moâ phoûng moät trong nhöõng caùch saép xeáp töï nhieân nhaát trong thöïc teá: – Choïn phaàn töû nhoû nhaát trong N phaàn töû ban ñaàu,

ñöa phaàn töû naøy veà vò trí ñuùng laø ñaàu daõy hieän haønh

– Xem daõy hieän haønh chæ coøn N-1 phaàn töû cuûa daõy ban ñaàu, baét ñaàu töø vò trí thöù 2; laëp laïi quaù trình treân cho daõy hieän haønh... ñeán khi daõy hieän haønh chæ coøn 1 phaàn töû.

2727

Selection sort – Thuaät toaùn//input: daõy (a, N)//output: daõy (a, N) ñaõ ñöôïc saép xeáp

• Böôùc 1 : i = Vò trí ñaàu;• Böôùc 2 : Tìm phaàn töû a[min] nhoû nhaát trong daõy

hieän haønh töø a[i] ñeán a[N]

• Böôùc 3 : Neáu min ≠≠≠≠ i: Hoaùn vò a[min] vaø a[i]• Böôùc 4 : Neáu i chöa laø Vò trí cuoái

» i = Vò trí keá(i);» Laëp laïi Böôùc 2

Ngöôïc laïi: Döøng. //N phaàn töû ñaõ naèm ñuùng vò trí.

2828

Selection sort – Ví duï

2 8 5 1 6 4 1512

i

min2 3 4 5 6 7 81

Find MinPos(1, 8) Swap(ai, amin)

2929


2 8 5 12 6 4 151

i

min2 3 4 5 6 7 81


3030


2 8 5 12 6 4 151

i

min2 3 4 5 6 7 81


3131


2 4 5 12 6 8 151

i

min2 3 4 5 6 7 81


3232


2 4 5 12 6 8 151

i

min2 3 4 5 6 7 81


3333


2 4 5 6 12 8 151

i

min2 3 4 5 6 7 81


3434


2 4 5 6 8 12 151

i

min2 3 4 5 6 7 81


12 15

3535

Selection sortvoid SelectionSort(int a[],int N )

{

int min; // chæ soá phaàn töû nhoû nhaát trong daõy hieän haønhfor (int i=0; i<N-1 ; i++)

{

min = i;

for(int j = i+1; j < N ; j++)

if (a[j] < a[min])

min = j; // ghi nhaän vò trí phaàn töû nhoû nhaátif (min != i)

Swap(a[min], a[i]);

}

}

3636

• Soá laàn hoaùn vò (moät hoaùn vò baèng 3 pheùp gaùn) phuï thuoäc vaøo tình traïng ban ñaàu cuûa daõy soá

Selection sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

3737

Selection sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

• ÔÛû löôït thöù i, caàn (N-i) laàn so saùnh ñeå xaùc ñònh phaàn töû nhoû nhaát hieän haønh.

• Soá löôïng pheùp so saùnh khoâng phuï thuoäc vaøo tình traïng cuûa daõy soá ban ñaàu.

• Trong moïi tröôøng hôïp, soá laàn so saùnh laø:

21)n(ni)(n

1n

1i

−=−∑

−

=

3838

Insertion Sort – YÙ töôûng

• Nhaän xeùt: moïi daõy a1 , a2 ,..., an luoân coù i-1 phaàn töûñaàu tieân a1 , a2 ,... ,ai-1 ñaõ coù thöù töï (2 ≤ i).

��YÙ töôûng chính: tìm caùch cheøn phaàn töû ai vaøo vò tríthích hôïp cuûa ñoaïn ñaõ ñöôïc saép ñeå coù daõy môùi a1 , a2 ,... ,ai trôû neân coù thöù töï. – Vò trí naøy chính laø pos thoûa apos-1 ≤ ai < apos (1≤≤≤≤pos≤≤≤≤i).

Chi tieát hôn:– Daõy ban ñaàu a1 , a2 ,..., an, xem nhö ñaõ coù ñoaïn goàm moät

phaàn töû a1 ñaõ ñöôïc saép. – Theâm a2 vaøo ñoaïn a1 seõ coù ñoaïn a1 a2 ñöôïc saép– Theâm a3 vaøo ñoaïn a1 a2 ñeå coù ñoaïn a1 a2 a3 ñöôïc saép– Tieáp tuïc cho ñeán khi theâm xong aN vaøo ñoaïn a1 a2 ...aN-1 seõ

coù daõy a1 a2.... aN ñöôïc saép.

3939

Insertion Sort – Thuaät toaùn

//input: daõy (a, N)//output: daõy (a, N) ñaõ ñöôïc saép xeáp• Böôùc 1: i = 2; // giaû söû coù ñoaïn a[1] ñaõ ñöôïc saép• Böôùc 2: x = a[i]; Tìm vò trí pos thích hôïp trong ñoaïn

a[1]ñeán a[i] ñeå cheøn x vaøo

• Böôùc 3: Dôøi choã caùc phaàn töû töø a[pos] ñeán a[i-1] sangphaûi 1 vò trí ñeå daønh choå cho x

• Böôùc 4: a[pos] = x; // coù ñoaïn a[1]..a[i] ñaõ ñöôïc saép• Böôùc 5: i = i+1;

Neáu i ≤≤≤≤ n : Laëp laïi Böôùc 2.Ngöôïc laïi : Döøng.

4040

Insertion Sort – Ví duï

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

4141

2 8 5 1 6 4 1512

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos

2


Insert a2 into (1, 2)

4242

12 8 5 1 6 4 152

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos



8

4343

8 12 5 1 6 4 152

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos



5

4444

5 8 12 1 6 4 152

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos



1

4545

2 5 8 12 6 4 151

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos



6

4646

2 5 6 8 12 4 151

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos



4

4747

2 4 5 6 8 12 151

i

x

2 3 4 5 6 7 81pos



15

4848

2 4 5 6 8 12 151

pos2 3 4 5 6 7 81


4949

Insertion Sort – Caøi ñaëtvoid InsertionSort(int a[], int N )

{

int pos, i;

int x;//löu tröõ a[i] traùnh bò ghi ñeø khi dôøi choã caùc phaàn töû.

for(int i=1 ; i<N ; i++) //ñoaïn a[0] ñaõ saép{

x = a[i];

for(pos=i;(pos>0)&&(a[pos-1]>x);pos--)

a[pos] = a[pos-1];

a[pos] = x;// cheøn x vaøo daõy}

}

5050

Insertion Sort – Nhaän xeùt

• Khi tìm vò trí thích hôïp ñeå cheøn a[i] vaøo ñoaïn a[0] ñeán a[i-1], do ñoaïn ñaõ ñöôïc saép �� coù theåsöû duïng giaûi thuaät tìm nhò phaân ñeå thöïc hieän vieäc tìm vò trí pos �� giaûi thuaät saép xeáp cheøn nhò phaân Binary Insertion Sort– Löu yù: Cheøn nhò phaân chæ laøm giaûm soá laàn so saùnh,

khoâng laøm giaûm soá laàn dôøi choã.

• Ngoaøi ra, coù theå caûi tieán giaûi thuaät cheøn tröïc tieáp vôùi phaàn töû caàm canh ñeå giaûm ñieàu kieän kieåm tra khi xaùc ñònh vò trí pos.

5151

Binary Insertion Sort – Caøi ñaëtvoid BInsertionSort(int a[], int N )

{ int l,r,m,i;

int x;//löu tröõ giaù trò a[i] traùnh bò ghi ñeø khi dôøi choã caùc phaàn töû.for(int i=1 ; i<N ; i++)

{ x = a[i]; l = 1; r = i-1;

while(l<=r) // tìm vò trí cheøn x{ m = (l+r)/2; // tìm vò trí thích hôïp m

if(x < a[m]) r = m-1;

else l = m+1;

}

for(int j = i ; j >l ; j--)

a[j] = a[j-1]; // dôøi choã caùc phaàn töû seõ ñöùng sau x

a[l] = x; // cheøn x vaøo daõy}

}

5252

Insertion Sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

• Caùc pheùp so saùnh xaûy ra trong moãi voøng laëp tìm vò tríthích hôïp pos. Moãi laàn xaùc ñònh vò trí pos ñang xeùt khoâng thích hôïp �� dôøi choã phaàn töû a[pos-1] ñeán vò trípos.

• Giaûi thuaät thöïc hieän taát caû N-1 voøng laëp tìm pos, do soálöôïng pheùp so saùnh vaø dôøi choã naøy phuï thuoäc vaøo tình traïng cuûa daõy soá ban ñaàu, neân chæ coù theå öôùc löôïc trong töøng tröôøng hôïp nhö sau:

Phương pháp ñổi chỗ trực tiếpInterchange Sort

5454

Interchange Sort – YÙ töôûng

• Nhaän xeùt: Ñeå saép xeáp moät daõy soá, ta coùtheå xeùt caùc nghòch theá coù trong daõy vaølaøm trieät tieâu daàn chuùng ñi.

�� YÙ töôûng chính: – Xuaát phaùt töø ñaàu daõy, tìm taát caû nghòch theá

chöùa phaàn töû naøy, trieät tieâu chuùng baèng caùch ñoåi choã phaàn töû naøy vôùi phaàn töû töông öùng trong caëp nghòch theá.

– Laëp laïi xöû lyù treân vôùi caùc phaàn töû tieáp theo trong daõy

5555

Interchange Sort – Thuaät toaùn//input: daõy (a, N)//output: daõy (a, N) ñaõ ñöôïc saép xeáp

• Böôùc 1 : i = 1; // baét ñaàu töø ñaàu daõy

• Böôùc 2 : j = i+1; //tìm caùc caëp phaàn töûa[j] < a[i], j>i

• Böôùc 3 : Trong khi j ≤ N thöïc hieän• Neáu a[j]<a[i]: a[i]↔a[j];• j = j+1;

• Böôùc 4 : i = i+1; – Neáu i < n: Laëp laïi Böôùc 2.– Ngöôïc laïi: Döøng.

5656

Interchange Sort – Ví duï

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

i

j

1

5757


12 8 5 2 6 4 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

2

5858


2 12 8 5 6 4 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

4

5959


2 4 12 8 6 5 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

5

6060


2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81

6161

Interchange Sort - Caøi ñaët

void InterchangeSort(int a[], int N)

{

int i, j;

for (i = 0 ; i<N-1 ; i++)

for (j =i+1; j < N ; j++)

if(a[j]< a[i]) //neáu coù nghòch theáthì ñoåi choã

Swap(a[i],a[j]);

}

6262

Interchange Sort Ñaùnh giaù giaûi thuaät• Soá löôïng caùc pheùp so saùnh xaûy ra khoâng phuïthuoäc vaøo tình traïng cuûa daõy soá ban ñaàu

• Soá löôïng pheùp hoaùn vò thöïc hieän tuøy thuoäc vaøo keát quaû so saùnh

Phương pháp nổi bọtBubble sort

6464

Bubble sort – YÙ töôûng

• YÙ töôûng chính: – Xuaát phaùt töø cuoái (ñaàu) daõy, ñoåi choã caùc

caëp phaàn töû keá caän ñeå ñöa phaàn töû nhoû(lôùn) hôn trong caëp phaàn töû ñoù veà vò tríñuùng ñaàu (cuoái) daõy hieän haønh, sau ñoù seõ khoâng xeùt ñeán noù ôû böôùc tieáp theo,

– ÔÛ laàn xöû lyù thöù i coù vò trí ñaàu daõy laø i – Laëp laïi xöû lyù treân cho ñeán khi khoâng coøn

caëp phaàn töû naøo ñeå xeùt.

6565

Bubble sort – Thuaät toaùn

//input: daõy (a, N)//output: daõy (a, N) ñaõ ñöôïc saép xeáp• Böôùc 1 : i = Vò trí ñaàu; • Böôùc 2 : j = Vò trí cuoái;//Duyeät töø cuoái daõy ngöôïc

veà vò trí i– Trong khi (j > i) thöïc hieän:

• Neáu a[j]<a[j-1]: a[j]↔↔↔↔a[j-1];//xeùt caëp phaàn töû keá caän• j = Vò trí tröôùc(j);

• Böôùc 3 : i = Vò trí keá(i); // laàn xöû lyù keá tieáp– Neáu i = Vò trí cuoái: Döøng. // Heát daõy.– Ngöôïc laïi : Laëp laïi Böôùc 2.

6666

Bubble Sort – Ví duï

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

i

j

1

6767


12 2 8 5 4 6 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

2

6868


2 12 4 8 5 6 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

4

6969


2 4 12 8 5 6 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

5

7070


2 4 5 12 8 6 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

6

7171


2 4 5 6 12 8 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

8

7272


2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81

i

j

1512

7373

Bubble sort - Caøi ñaët

void BubbleSort(int a[], int N)

{

int i, j;

for (i = 0 ; i < N-1 ; i++)

for (j = N-1; j>i ; j --)

if(a[j]< a[j-1])

Swap(a[j], a[j-1]);

}

7474

Bubble sort - Ñaùnh giaù giaûi thuaät

• Soá löôïng caùc pheùp so saùnh xaûy ra khoâng phuïthuoäc vaøo tình traïng cuûa daõy soá ban ñaàu

• Soá löôïng pheùp hoaùn vò thöïc hieän tuøy thuoäc vaøo keát quaû so saùnh

7575

• Khuyeát ñieåm: – Khoâng nhaän dieän ñöôïc tình traïng daõy ñaõ coù

thöù töï hay coù thöù töï töøng phaàn. – Caùc phaàn töû nhoû ñöôïc ñöa veà vò trí ñuùng raát

nhanh, trong khi caùc phaàn töû lôùn laïi ñöôïc ñöa veà vò trí ñuùng raát chaäm.

Bubble sort - Ñaùnh giaù giaûi thuaät

7676

Bubble sort – Caûi tieán

• Giaûi thuaät ShakerSort:– Döïa treân nguyeân taéc ñoåi choã tröïc tieáp– Tìm caùch khaéc phuïc caùc nhöôïc ñieåm cuûa

BubleSort• Trong moãi laàn saép xeáp, duyeät maûng theo 2 löôït

töø 2 phía khaùc nhau :– Löôït ñi: ñaåy phaàn töû nhoû veà ñaàu maûng– Löôït veà: ñaåy phaàn töû lôùn veà cuoái maûng

• Ghi nhaän laïi nhöõng ñoaïn ñaõ saép xeáp nhaèm tieát kieäm caùc pheùp so saùnh thöøa.

7777

Giaûi thuaät ShakerSort

//input: daõy (a, N)//output: daõy (a, N) ñaõ ñöôïc saép xeáp• Böôùc 1 :

– l = 1; r = n; //töø l ñeán r laø ñoaïn caàn ñöôïc saép xeáp– k = n; // ghi nhaän laïi vò trí k xaûy ra hoaùn vò sau cuøng

// ñeå laøm cô sôû thu heïp ñoaïn l ñeán r • Böôùc 2 :

– Böôùc 2a : j = r ; // ñaåy phaàn töû nhoû veà ñaàu maûng• Trong khi (j > l) :

– Neáu a[j]<a[j-1]: a[j] ↔↔↔↔ a[j-1];» k = j; //löu laïi nôi xaûy ra hoaùn vò

– j = j-1;• l = k; //loaïi bôùt caùc phaàn töû ñaõ coù thöù töï ôû ñaàu daõy

7878

Giaûi thuaät ShakerSort

• Böôùc 2 :– Böôùc 2b : j = l ; // ñaåy phaàn töû lôùn veà cuoái maûng

• Trong khi (j < r) :– Neáu a[j]>a[j+1]: a[j] ↔↔↔↔ a[j+1];

» k = j;//löu laïi nôi xaûy ra hoaùn vò– j = j+1;

• r = k; //loaïi bôùt caùc phaàn töû ñaõ coù thöù töï ôû cuoái daõy

• Böôùc 3 : Neáu l < r: Laëp laïi Böôùc 2.

7979

Saép xeáp caây - Heap sort

• Khi tìm phaàn töû nhoû nhaát ôû böôùc i, phöông phaùp saép xeáp choïn tröïc tieáp khoâng taän duïng ñöôïc caùc thoâng tin ñaõ coù ñöôïc do caùc pheùp so saùnh ôû böôùc i-1.

• Giaûi thuaät Heap Sort khaéc phuïc nhöôïc ñieåm naøy baèng caùch choïn ra ñöôïc moät caáu truùc döõ lieäu cho pheùp tích luõy caùc thoâng tin veà söï so saùnh giaù trò caùc phaàn töû trong quaù trình saép xeáp.

8080

Sắp xếp cây - Heap sort

• Xét dãy số : 5 2 6 4 8 1

• Giả sử các phần tử của dãy ñược bố trítheo quan hệ so sánh và tạo thành sơ ñồ dạng cây:

8181


• Phaàn töû ôû möùc i chính laø phaàn töû lôùn trong caëp phaàn töû töông öùng ôû möùc i+1

⇒⇒⇒⇒ phaàn töû ôû möùc 0 (nuùt goác cuûa caây) luoân laø phaàn töûlôùn nhaát cuûa daõy.

• Neáu loaïi boû phaàn töû goác ra khoûi caây (nghóa laø ñöa phaàn töû lôùn nhaát veà ñuùng vò trí), thì vieäc caäp nhaät caây chæ xaûy ra treân nhöõng nhaùnh lieân quan ñeán phaàn töû môùi loaïi boû, coøn caùc nhaùnh khaùc ñöôïc baûo toaøn, nghóa laø böôùc keá tieáp coù theå söû duïng laïi caùc keát quaû so saùnh ôû böôùc hieän taïi.

8282


• Loaïi boû 8 ra khoûi caây vaø theá vaøo caùc choã troáng giaù trò -∞∞∞∞ ñeå tieän vieäc caäp nhaät laïi caây :

8383


• Toaøn boä nhaùnh traùi cuûa caây cuõ ñöôïc baûo toaøn

⇒⇒⇒⇒ Böôùc keá tieáp ñeå choïn ñöôïc phaàn töû lôùn nhaát hieän haønh laø 6, chæ caàn laøm theâm moät pheùp so saùnh 1 vôùi 6.

8484


• Tieán haønh nhieàu laàn vieäc loaïi boû phaàn töû goác cuûa caây cho ñeán khi taát caû caùc phaàn töû cuûa caây ñeàu laø -∞∞∞∞, khi ñoù xeáp caùc phaàn töû theo thöù töï loaïi boû treân caây seõ coù daõy ñaõ saép xeáp.

• Ñeå caøi ñaët thuaät toaùn hieäu quaû, caàn phaûi toå chöùc moät caáu truùc löu tröõ döõ lieäu coù khaû naêng theå hieän ñöôïc quan heä cuûa caùc phaàn töû trong caây vôùi n oâ nhôùthay vì 2n-1 nhö trong ví duï.

• Khaùi nieäm heap vaø phöông phaùp saép xeáp Heapsort do J.Williams ñeà xuaát ñaõ giaûi quyeát ñöôïc caùc khoùkhaên treân.

8585


• Ñònh nghóa heap:– Heap laø moät daõy caùc phaàn töû aleft, aleft+1,... ,

aright thoaû caùc quan heä:• ai ≥≥≥≥ a2i

• ai ≥≥≥≥ a2i+1

vôùi ∀∀∀∀i ∈∈∈∈ [left, right]

– Khi ñoù (ai , a2i), (ai ,a2i+1) ñöôïc goïi laø caùc caëp phaàn töû lieân ñôùi.

– Heap ñöôïc ñònh nghóa nhö treân ñöôïc duøng trong tröôøng hôïp saép xeáp taêng daàn, khi saép xeáp giaûm daàn phaûi ñoåi chieàu caùc quan heä.

8686

Ví duï daõy laø heap:

12 8 5 1 4 6 215

2 3 4 5 6 7 81

8787

Saép xeáp caây – Heap sort

a2 a3

a4 a5 a6 a7

a8

a1 Caùc phaàn töûcuûa daõy ñöôïc bieåu dieãn theo caùc moái quan heä lieân ñôùi

8888


• Moät soá tính chaát cuûa Heap:– Tính chaát 1: Neáu aleft, aleft+1, …, aright laø moät

heap thì khi caét boû moät soá phaàn töû ôû hai ñaàu cuûa heap, daõy con coøn laïi vaãn laø moät heap.

– Tính chaát 2: Neáu a1, a2, …, an laø moät heap thì phaàn töû a1 (ñaàu heap) luoân laø phaàn töûlôùn nhaát trong heap.

– Tính chaát 3: Moïi daõy con aleft, aleft+1, ..., aright thoûa: 2left > right ñeàu laø heap.

8989

Ví duï caùc tính chaát cuûa heap:

12 8 5 1 6 4 215

2 3 4 5 6 7 81

12 8 5 1 6 4

1 6 4 2

9090


• Saép xeáp daõy taêng daàn qua 2 giai ñoaïn:– Giai ñoaïn 1: Döïa vaøo tính chaát 3 cuûa heap

ñeå hieäu chænh daõy ban ñaàu thaønh heap– Giai ñoaïn 2: Döïa vaøo caùc tính chaát 1 vaø 2

cuûa heap ñeå saép xeáp heap coù ñöôïc sau giai ñoaïn 1 thaønh daõy taêng daàn

9191

Heap sort – Giai ñoaïn 1

• Vaán ñeà: Ñoåi choå moät soá phaàn töû treân daõy a1, …, aN ñeå daõy trôû thaønh heap.

• YÙ töôûng: theo tính chaát 3, daõy con an/2+1 , an/2+2 ... an ñöông nhieân laø heap. Laàn löôït theâm vaøo phía tröôùc daõy caùc phaàn töûan/2, an/2-1, …, a1; moãi böôùc theâm vaøo caàn hieäu chænh vò trí caùc phaàn töû theo moái quan heä lieân ñôùi ta seõ nhaän ñöôïc heap mong muoán.

9292


//input: daõy (a, N)

//output: daõy (a, N) laø moät heap

• Böôùc 1: left = N/2; //Theâm caùc phaàn töûaleft, .., a1 vaøo heap

• Böôùc 2: Trong khi left > 0//Löu yù: ñoaïn aleft+1, …, aN ñaõ laø heap• Böôùc 21: Hieäu chænh ñoaïn aleft, …, aN thaønh heap• Böôùc 22: left = left - 1;

//Heát laëp

9393


2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

9494

15


2 8 5 1 6 412

2 3 4 5 6 7 81

left

jointjointcurr

5

9595


2 8 15 1 6 4 512

2 3 4 5 6 7 81

left

jointjointcurr joint

8

9696


15 8 5 1 6 4 212

2 3 4 5 6 7 81

left

jointjointcurr

9797


12 8 5 1 6 4 215

2 3 4 5 6 7 81

9898


• Vaán ñeà: Saép xeáp heap a1, …, aN thaønh daõy taêng daàn//Ñaët: right = N �� daõy a1, …, aright laø heap.

• YÙ töôûng:– Theo tính chaát 2: a1 seõ laø phaàn töû lôùn nhaát, vì vaäy vò

trí ñuùng cuûa a1 phaûi laø right - cuoái daõy.�Ñoåi choå (a1, aright) �� ñöôïc theâm moät phaàn töû ôû ñuùng vò trí

�Theo tính chaát 3: daõy con a2, …, aright-1 vaãn laø heap� Giaûm right, theâm a1 vaøo daõy vaø hieäu chænh laïi� daõy a1, …, aright laø heap.

9999


//input: daõy (a, N) laø heap

//output: daõy (a, N) saép taêng daàn

• Böôùc 1: right = N; //Baét ñaàu thöïc hieän töø cuoái daõy

• Böôùc 2: Trong khi right > 1//Ñöa phaàn töû lôùn nhaát (a1)veà vò trí right

• Böôùc 2.1: Hoaùnvò (a1 , aright);//Loaïi boû phaàn töû lôùn nhaát ra khoûi heap

• Böôùc 2.2: right := right -1;• Böôùc 2.3: Hieäu chænh ñoaïn a1, a2, …, aright thaønh heap

//Heát laëp

100100


12 8 5 1 6 4 215

2 3 4 5 6 7 81

right

Swap(a1, aright)

101101


12 8 5 1 6 4 152

2 3 4 5 6 7 81

right

Shift(a, 1, right)

jointjointcurr

102102


5 8 2 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

right

Swap(a1, aright)

103103


5 8 2 1 6 12 154

2 3 4 5 6 7 81

right


Shift(a, 1, right)

104104


5 6 2 1 4 12 158

2 3 4 5 6 7 81

right

Swap(a1, aright)

105105


5 6 2 1 8 12 154

2 3 4 5 6 7 81

2 4 5 6 8 12 151

106106

Heap sort – Hieäu chænh heap

• Vaán ñeà: daõy con aleft+1, aleft+2, …, aright laø heap, caàn hieäu chænh laïi ñeå aleft, …, aright laø heap

• YÙ töôûng: do aleft+1, aleft+2, …, aright laø heap neân taát caû caùc phaàn töû naøy ñeàu ñaõ thoûa ñieàu kieän lieân ñôùi �� vaán ñeà trôû thaønh: kieåm tra quan heä lieân ñôùi cuûa aleft vaø ñoåi choå aleft vôùi lieân ñôùi thích hôïp cuûa noù neáu quan heä lieân ñôùi bò vi phaïm; sau khi hieäu chænh söï vi phaïm ñieàu kieän lieân ñôùi coù theålan truyeàn ñeán caùc vò trí môùi hieäu chænh.

107107

2


2 8 15 1 6 4 5

2 3 4 5 6 7 81

left


right

108108


• Nhaän xeùt: Quaù trình hieäu chænh coù nhieàu böôùc ñoåi choã trung gian khoâng caàn thieát.

• Trong ví duï: ñoåi choã (2, 15), sau ñoù ñoåi choåtieáp (2, 5): vò trí cuoái cuøng cuûa 2 laø 8, 2 ôû vò trí 4 chæ laø taïm thôøi, khoâng caàn thieát.

�Coù theå thöïc hieän vieäc dôøi choã haøng loaït, sau ñoù ñöa giaù trò caàn hieäu chænh vaøo ñuùng choã

109109

Heap sort – Hieäu chænh heap//input: daõy con aleft+1, aleft+2, …, aright laø heap//output: daõy con aleft, aleft+1, …, aright laø heap• Böôùc 1:

• curr = left; x = acurr; //Baét ñaàu kieåm tra töø vò trí left• joint = 2*curr; //Lieân ñôùi thöù nhaát cuûa curr

• Böôùc 2: Trong khi (joint ≤ right) //Coøn lieân ñôùi ñeå xeùt

• Böôùc 21: Neáu (joint < right) && (ajoint+1 > ajoint)joint = joint + 1; //joint: vò trí lieân ñôùi lôùn nhaát

• Böôùc 22: Neáu ajoint ≤ x //Thoûa ñieàu kieän lieân ñôùiChuyeån ñeán Böôùc 3

• Böôùc 23: acurr = ajoint; curr = joint; joint = 2*curr;

//Heát laëp

• Böôùc 3: acurr = x; 110110

2


2 8 15 1 6 4 5

2 3 4 5 6 7 81

left

jointcurr joint???

right

111111

Heap sort – Caøi ñaët

• Ñeå caøi ñaët giaûi thuaät Heapsort caàn xaây döïng caùc thuû tuïc: – Thuû tuïc hieäu chænh daõy aleft, aleft+1, …, aright

thaønh heap: void Shift (int a[], int left, int right)

– Thuû tuïc chuyển ñổi daõy a0, a2, …, aN-1 thaønh heap: void CreateHeap(int a[], int N )

– Thuû tuïc saép xeáp daõy a0, a2, …, aN-1 taêng daàn: void HeapSort(int a[], int N)

112112


void Shift (int a[], int left, int right)

{

int x, curr, joint;

curr = left; joint =2*curr+1;// ajoint: phaàn töû lieân ñôùi x = a[curr];

while (joint <= right)

{

if (joint < right) // neáu coù ñuû 2 phaàn töû lieân ñôùiif (a[joint] < a[joint+1])

joint = joint+1;

if (a[joint]<x) break; //thoaû quan heä lieân ñôùia[curr] = a[joint];

curr = joint; // xeùt tieáp khaû naêng hieäu chænh lan truyeànjoint = 2*curr+1;

}

a[curr] = x;

}

113113


void CreateHeap(int a[], int N)

{

int left;

//left: vị trí phần tử cần ghép thêm

for (left = (N-1)/2; left >= 0; left

--)

Shift(a, left, N-1);

}

114114

void HeapSort (int a[], int N)

{

int right;

CreateHeap(a, N); //saép xeáp daõy a thanh heap

right = N-1; // right laø vò trí ñuùng cho phaàn töû lôùn nhaátwhile (right > 0)

{

Swap(a[0],a[right]);

right --;

Shift(a,0,right);

}

}

Heap Sort – Caøi ñaët

115115

Heap Sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

• Vieäc ñaùnh giaù moät caùch chính xaùc giaûi thuaät Heapsort raát phöùc taïp. Tuy nhieân, coù theå ñaùnh giaùmoät caùch töông ñoái döïa vaøo moät soá nhaän xeùt:– Khi xem xeùt heap ôû daïng caây quan heä lieân ñôùi � caùc

phaàn töû cuûa heap taïo thaønh caây nhò phaân coù ñoä cao h≈log2N.

– ÔÛ moãi böôùc hieäu chænh, soá pheùp ñieàu chænh caùc vi phaïm lieân ñôùi khoâng vöôït quaù chieàu cao h cuûa caây lieân ñôùi.

– ÔÛ caû giai ñoaïn 1 vaø giai ñoaïn 2 soá pheùp hieäu chænh khoâng vöôït quaù N

�Trong tröôøng hôïp xaáu nhaát ñoä phöùc taïp thuaät toaùn O(Nlog2N)

116116

Shell sort – YÙ töôûng• ShellSort laø moät phöông phaùp caûi tieán cuûa phöông phaùp

saép xeáp cheøn tröïc tieáp. YÙ töôûng cuûa phöông phaùp saép xeáp naøy laø xem xeùt daõy ban ñaàu nhö nhöõng daõy con goàm caùc phaàn töû ôû caùch nhau len vò trí; tieán haønh saép xeáp treân töøng daõy con; giaûm daàn böôùc len ñeán khi len = 1 ��saép xeáp xong:

• Daõy ban ñaàu : a1, a2, ..., aN ñöôïc xem nhö söï xen keõ cuûa caùc daõy con sau :– Daõy con thöù nhaát : a1 alen+1 a2len+1 ...– Daõy con thöù hai : a2 alen+2 a2len+2 ...– ....– Daõy con thöù len : alen a2len a3len ...

117117

• Vieäc saép xeáp caùc phaàn töû trong cuøng daõy con seõ laøm cho caùc phaàn töû ñöôïc ñöa veà vò trí ñuùng töông ñoái (chæ ñuùng trong daõy con, so vôùi toaøn boä caùc phaàn töû trong daõy ban ñaàu coù theå chöa ñuùng) moät caùch nhanh choùng.

• Khi khoaûng caùch len giaûm taïo thaønh caùc daõy con môùi ��moät phaàn töû ñöôïc so saùnh vôùi nhieàu phaàn töû khaùc tröôùc ñoù khoâng ôû cuøng daõy con vôùi noù.

• Thuaät toaùn döøng sau khi saép xong daõy con vôùi len = 1, thuaät toaùn luùc naøy thöïc hieän nhö thuaät toaùn cheøn tröïc tieáp. Tuy nhieân, phaàn lôùn caùc phaàn töû trong daõy ñaõ coùthöù töï boä phaän.

• Caùc phaàn töû treân cuøng moät daõy con caùch nhau len vò tríñöôïc goïi laø cuøng daõy lieân ñôùi böôùc len.

Shell sort – YÙ töôûng

118118

Shell sort – Thuaät toaùn

//input: daõy (a, N); daõy (h, k): k ñoä daøi caùc böôùc laëp -const

//output: daõy (a, N) laø ñöôïc saép taêng daàn

• Böôùc 1: step = 1; //h[step]: ñoä daøi böôùc laëp

• Böôùc 2: Trong khi (step ≤ k) //ñoä daøi böôùc coøn >1

• Böôùc 21: len = h[step]; //laáy ñoä daøi böôùc

• Böôùc 22: Laëp vôùi i=len+1 .. N //saép xeáp caùc daõy lieân //ñôùi böôùc len

Cheøn a[i] vaøo daõy lieân ñôùi böôùc len;

• Böôùc 23: step ++;

//Heát laëp

119119

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

Shell sort – Ví duï

h = (5, 3, 1); k = 3len = 5;

currjoint

120120

2 8 5 1 12 4 156

2 3 4 5 6 7 81


h = (5, 3, 1); k = 3len = 5;

121121

2 15 5 1 12 4 86

2 3 4 5 6 7 81


h = (5, 3, 1); k = 3len = 3

currjoint

122122

1 12 6 2 15 4 85

2 3 4 5 6 7 81


h = (5, 3, 1); k = 3len = 3

currjoint joint

123123

1 12 5 2 15 6 84

2 3 4 5 6 7 81


h = (5, 3, 1); k = 3len = 3

124124

jointcurr

1 12 5 2 15 6 84

2 3 4 5 6 7 81


h = (5, 3, 1); k = 3len = 1

joint joint

125125

jointcurrjoint

4 5 12 2 15 6 81

2 3 4 5 6 7 81


h = (5, 3, 1); k = 3len = 1

joint joint jointjoint joint joint

126126

2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81


127127

Shell sort – Caøi ñaëtint h[MAXK], k;

void ShellSort(int a[], int N)

{

int step, i, pos, x, len;

for (step = 0 ; step <k; step ++)

{

len = h[step]; //khoaûng caùch 2 phaàn töû lieân tieáp cuûa daõy con

for (i = len; i <N; i++)

{

x = a[i];

for(pos=i;(pos-len>=0)&&(x<a[pos-len]);pos-=len)

a[pos] = a[pos-len];

a[pos] = x;

}

}

}128128

• Yeáu toá quyeát ñònh tính hieäu quaû cuûa thuaät toaùn:– Caùch choïn khoaûng caùch h trong töøng böôùc saép xeáp– Soá böôùc saép xeáp.

• Giaû söû quyeát ñònh saép xeáp k böôùc, caùc khoaûng caùch choïn phaûi thoûa ñieàu kieän :

hi > hi+1 vaø hk = 1

Shell sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

129129

• Chöa coù tieâu chuaån roõ raøng trong vieäc löïa choïn daõy giaù trò khoaûng caùch toát nhaát. Moät gôïi yù: daõy ñöôïc choïn khoâng neân coù caùc soá laø boäi soá cuûa nhau.

• Moät soá daõy ñöôïc Knuth ñeà nghò : hi = (hi-1 - 1)/3 vaø hk = 1, k = log3n-1

ví duï: 121, 40, 13, 4, 1hay

hi = (hi-1 - 1)/2 vaø hk = 1, k = log2n-1ví duï: 15, 7, 3, 1


130130

• Vieäc ñaùnh giaù giaûi thuaät Shellsort daãn ñeán nhöõng vaán ñeà toaùn hoïc raát phöùc taïp, thaäm chímoät soá chöa ñöôïc chöùng minh.

• Hieäu quaû cuûa thuaät toaùn coøn phuï thuoäc vaøo daõy caùc ñoä daøi ñöôïc choïn.

• Trong tröôøng hôïp choïn daõy ñoä daøi theo coâng thöùc

hi = (hi-1 - 1)/2 vaø hk = 1, k = log2N-1 thì giaûi thuaät coù ñoä phöùc taïp ≈≈≈≈ n1,2 << n2


Sắp xếp dựa trên phân hoạchQuick sortQuick sort

132132

Quick sort – YÙ töôûng• Moät vaøi haïn cheá cuûa thuaät toaùn Ñoåi choã tröïc

tieáp:– Moãi laàn ñoåi choå chæ thay ñoåi 1 caëp phaàn töû trong

nghòch theá; caùc tröôøng hôïp nhö: i < j < k vaø ai > aj > ak

(*) chæ caàn thöïc hieän 1 laàn ñoåi choå (ai, ak): thuaät toaùn khoâng laøm ñöôïc.

– Ñoä phöùc taïp cuûa thuaät toaùn O(N2) �� khi N ñuû lôùn thuaät toaùn seõ raát chaäm

�� YÙ töôûng: phaân chia daõy thaønh caùc ñoaïn con ��taän duïng ñöôïc caùc pheùp ñoåi choã daïng (*) vaø laøm giaûm ñoä daøi daõy khi saép xeáp �� caûi thieän ñaùng keå ñoä phöùc taïp cuûa thuaät toaùn.

133133

Quick sort – YÙ töôûng• Giaûi thuaät QuickSort saép xeáp daõy a1, a2 ..., aN döïa

treân vieäc phaân hoaïch daõy ban ñaàu thaønh 3 phaàn :– Phaàn 1: Goàm caùc phaàn töû coù giaù trò khoâng lôùn hôn x– Phaàn 2: Goàm caùc phaàn töû coù giaù trò baèng x– Phaàn 3: Goàm caùc phaàn töû coù giaù trò khoâng beù hôn x

vôùi x laø giaù trò cuûa moät phaàn töû tuøy yù trong daõy ban ñaàu.

• Sau khi thöïc hieän phaân hoaïch, daõy ban ñaàu ñöôïc phaân thaønh 3 ñoaïn:– 1. ak ≤ x , vôùi k = 1 .. j– 2. ak = x , vôùi k = j+1 .. i-1– 3. ak ≥≥≥≥ x , vôùi k = i..N 134134

• Ñoaïn thöù 2 ñaõ coù thöù töï. • Neáu caùc ñoaïn 1 vaø 3 chæ coù 1 phaàn töû thì chuùng cuõng

ñaõ coù thöù töï, khi ñoù daõy con ban ñaàu ñaõ ñöôïc saép. • Ngöôïc laïi, neáu caùc ñoaïn 1 vaø 3 coù nhieàu hôn 1 phaàn

töû thì daõy con ban ñaàu chæ coù thöù töï khi caùc ñoaïn 1, 3 ñöôïc saép.

• Ñeå saép xeáp caùc ñoaïn 1 vaø 3, ta laàn löôït tieán haønh vieäc phaân hoaïch töøng daõy con theo cuøng phöông phaùp phaân hoaïch daõy ban ñaàu vöøa trình baøy …

Quick sort – YÙ töôûng

135135

Quick sort – Giaûi thuaät

//input: daõy con (a, left, right)

//output: daõy con (a, left, right) ñöôïc saép taêng daàn

• Böôùc 1: Neáu left ≥≥≥≥ right //daõy coù ít hôn 2 phaàn töûKeát thuùc; //daõy ñaõ ñöôïc saép xeáp

• Böôùc 2: Phaân hoaïch daõy aleft … aright thaønh caùc ñoaïn: aleft.. aj, aj+1.. ai-1, ai.. Aright

//Ñoaïn 1 ≤≤≤≤ x - Ñoaïn 2: aj+1.. ai-1 = x - Ñoaïn 3: ai.. aright ≥≥≥≥ x

• Böôùc 3: Saép xeáp ñoaïn 1: aleft.. aj

• Böôùc 4: Saép xeáp ñoaïn 3: ai.. aright

136136

Quick sort – Phaân hoaïch daõy//input: daõy con aleft, …, aright

//output: daõy con chia thaønh 3 ñoaïn: ñoaïn 1 ≤ ñoaïn 2 ≤ ñoaïn 3• Böôùc 1: Choïn tuøy yù moät phaàn töû a[p] trong daõy con laø giaù trò

moác: x = a[p];

• Böôùc 2: Duyeät töø 2 ñaàu daõy ñeå phaùt hieän vaø hieäu chænh caëp phaàn töû a[i], a[j] vi phaïm ñieàu kieän– Böôùc 21: i = left; j = right; – Böôùc 22: Trong khi (a[i]<x) i++;– Böôùc 23: Trong khi (a[j]>x) j--;– Böôùc 24: Neáu i<= j // a[i] ≥≥≥≥ x ≥≥≥≥ a[j] maø a[j] ñöùng sau a[i]

• Hoaùn vò (a[i],a[j]); i++; j--;– Böôùc 25: Neáu i < j: Laëp laïi Böôùc 22.//chöa xeùt heát maûng//Heát duyeät

137137

Quick sort – Ví duï

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

left right

5X

STOP

Not less than X

i j

STOP

Not greater than X

Phaân hoaïch daõy

138138


2 8 5 1 6 12 154

2 3 4 5 6 7 81

left right

5X

STOP

Not less than X

i j

STOP

Not greater than X


139139


2 1 5 8 6 12 154

2 3 4 5 6 7 81

left right

ij

140140

6X


2 4 5 8 6 12 151

2 3 4 5 6 7 81

left right

i j

STOP

Not less than X

STOP

Not greater than X

Saép xeáp ñoaïn 3


141141


2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81

left right

ij

Saép xeáp ñoaïn 3

142142

2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81


143143

Quick sort – Caøi ñaëtvoid QuickSort(int a[], int left, int right)

{

int i, j, x;

if (left ≥ right) return;

x = a[(left+right)/2]; // choïn phaàn töû giöõa laøm giaù trò moáci = left; j = right;

while(i < j) {

while(a[i] < x) i++;

while(a[j] > x) j--;

if(i <= j) {

Swap(a[i], a[j]);

i++ ; j--;

}

}

QuickSort(a, left, j);

QuickSort(a, i, right);

} 144144

Quick sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

�Nhaän xeùt:• Veà nguyeân taéc, coù theå choïn giaù trò moác x laø moät phaàn töû

tuøy yù trong daõy, nhöng ñeå ñôn giaûn, phaàn töû coù vò trígiöõa thöôøng ñöôïc choïn, khi ñoù p = (l +r)/ 2.

• Giaù trò moác x ñöôïc choïn seõ coù taùc ñoäng ñeán hieäu quaûthöïc hieän thuaät toaùn vì noù quyeát ñònh soá laàn phaân hoaïch. – Soá laàn phaân hoaïch seõ ít nhaát neáu ta choïn ñöôïc x laø phaàn töû

trung vò (median), nhieàu nhaát neáu x laø cöïc trò cuûa daõy.– Tuy nhieân do chi phí xaùc ñònh phaàn töû median quaù cao neân trong

thöïc teá ngöôøi ta khoâng choïn phaàn töû naøy maø choïn phaàn töû naèm chính giöõa daõy laøm moác vôùi hy voïng noù coù theå gaàn vôùi giaù trò median.

145145

Hieäu quaû phuï thuoäc vaøo vieäc choïn giaù trò moác:– Tröôøng hôïp toát nhaát: moãi laàn phaân hoaïch ñeàu choïn

phaàn töû median laøm moác, khi ñoù daõy ñöôïc phaân chia thaønh 2 phaàn baèng nhau vaø caàn log2(n) laàn phaân hoaïch thì saép xeáp xong.

– Neáu moãi laàn phaân hoaïch choïn phaàn töû coù giaù trò cöïc ñaïi (hay cöïc tieåu) laø moác �� daõy seõ bò phaân chia thaønh 2 phaàn khoâng ñeàu: moät phaàn chæ coù 1 phaàn töû, phaàn coøn laïi goàm (n-1) phaàn töû, do vaäy caàn phaân hoaïch n laàn môùi saép xeáp xong.


146146


• Ñoä phöùc taïp thuaät toaùn:

O(N2)Xaáu nhaát

O(NlogN)Trung bình

O(NlogN)Toát nhaát

Ñoä phöùc taïpTröôøng hôïp

Sắp xếp theo phương pháp Trộn trực tiếpMerge Sort

148148

Merge sort – YÙ töôûng

• Giaûi thuaät Merge sort saép xeáp daõy a1, a2, ..., andöïa treân nhaän xeùt sau:– Moãi daõy a1, a2, ..., an baát kyø laø moät taäp hôïp caùc daõy

con lieân tieáp maø moãi daõy con ñeàu ñaõ coù thöù töï. • Ví duï: daõy 12, 2, 8, 5, 1, 6, 4, 15 coù theå coi nhö goàm 5 daõy

con khoâng giaûm (12); (2, 8); (5); (1, 6); (4, 15).

– Daõy ñaõ coù thöù töï coi nhö coù 1 daõy con.

�Höôùng tieáp caän: tìm caùch laøm giaûm soádaõy con khoâng giaûm cuûa daõy ban ñaàu.

149149

• Caùc vaán ñeà caàn giaûi quyeát:– Phöông aùn phaân hoaïch daõy ban ñaàu thaønh caùc daõy con.– Phöông aùn laøm giaûm soá daõy con.

• Phaân hoaïch daõy ban ñaàu thaønh caùc daõy con taêng daàn: – Phöông aùn 1: Phaân hoaïch daõy theo caùc ñöôøng chaïy ��

saép xeáp troän töï nhieân.– Phöông aùn 2: Phaân hoaïch thaønh caùc daõy con coù soá phaàn

töû baèng nhau (1, 2, 4, …) �� saép xeáp troän tröïc tieáp.• Laøm giaûm soá daõy con:

– Caùc daõy con taêng daàn seõ ñöôïc taùch ra 2 daõy phuï theo nguyeân taéc phaân phoái ñeàu luaân phieân.

– Troän töøng caëp daõy con cuûa hai daõy phuï thaønh moät daõy con cuûa daõy ban ñaàu �� daõy môùi coù soá löôïng daõy con giaûm ñi so vôùi daõy ban ñaàu.

Merge sort – YÙ töôûng

150150

//input: daõy (a, N)

//output: daõy (a, N) ñöôïc saép taêng daàn• Böôùc 1 : k = 1; // daõy con coù 1 phaàn töû laø daõy khoâng

giaûm

• Böôùc 2 : Laëp trong khi (k < N) // daõy coøn hôn 1 daõy con– Böôùc 21: Phaân phoái ñeàu luaân phieân daõy a1, a2, …, an thaønh

2 daõy b, c theo töøng nhoùm k phaàn töû lieân tieáp nhau.//b = a1, …, ak, a2k+1, …, a3k, …//c = ak+1, …, a2k, a3k+1, …, a4k, …

– Böôùc 22: Troän töøng caëp daõy con goàm k phaàn töû cuûa 2 daõy b, c vaøo a.

– Böôùc 23: k = k*2;//Heát laëp

Merge sort – Giaûi thuaät

151151

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81

Merge sort – Ví duï

k = 1; Phaân phoái ñeàu luaân phieân

152152

2 8 5 1 6 4 1512

2 3 4 5 6 7 81



153153

2

8

5

1

6

4

15

12

2 3 4 5 6 7 81


k = 1; Troän töøng caëp ñöôøng chaïy

154154

2

8

5

1

6

4

15

12

2 3 4 5 6 7 81



155155

12 5 8 1 6 4 152

2 3 4 5 6 7 81



156156

5

12

8

1

4

6

15

2

2 3 4 5 6 7 81



157157

5

12

8

1

4

6

15

2

2 3 4 5 6 7 81



158158

5 8 12 1 4 6 152

2 3 4 5 6 7 81



159159

1

5

4

8

6

12

15

2

2 3 4 5 6 7 81



160160

1

5

4

8

6

12

15

2

2 3 4 5 6 7 81



161161

2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81


k = 8;

STOP

Only one subarray

162162

2 4 5 6 8 12 151

2 3 4 5 6 7 81


163163

Merge Sort – Caøi ñaët

• Döõ lieäu hoã trôï: 2 maûng b, c:int b[MAX], c[MAX], nb, nc;

• Caùc haøm caàn caøi ñaët:– MergeSort: Saép xeáp maûng (a, N) taêng daàn

void MergeSort(int a[], int N);– Distribute: Phaân phoái ñeàu luaân phieân caùc daõy con ñoä daøi k töø

maûng a vaøo hai maûng b vaø cvoid Distribute(int a[], int N,

int &nb, int &nc, int k);– Merge: Troän maûng b vaø maûng c vaøo maûng a

void Merge(int a[], int nb, int nc, int k);– MergeSubarr: Troän 1 caëp daõy con töø b vaø c vaøo a

void MergeSubarr(int a[], int nb, int nc, int &pa, int &pb, int &pc, int k);

164164

Merge sort – Caøi ñaët//khai baùo 2 maûng phuïint b[MAX], c[MAX], nb, nc;

void MergeSort(int a[], int N){

int k;for (k = 1; k < N; k *= 2) {

Distribute(a, N, nb, nc, k);Merge(a, nb, nc, k);

}}

165165

Merge sort – Caøi ñaëtvoid Distribute(int a[], int N,

int &nb, int &nc, int k)

{

int i, pa, pb, pc;

pa = pb = pc = 0;

while (pa < N)

{

for (i=0; (pa<N) && (i<k); i++, pa++, pb++)

b[pb] = a[pa];

for (i=0; (pa<N) && (i<k); i++, pa++, pc++)

c[pc] = a[pa];

}

nb = pb; nc = pc;

}

166166

Merge sort – Caøi ñaët

void Merge(int a[], int nb, int nc, int k)

{

int pa, pb, pc;

pa = pb = pc = 0;

while ((pb < nb) && (pc < nc))

MergeSubarr(a, nb, nc, pa, pb, pc, k);

while (pb < nb)

a[pa ++] = b[pb ++];

while (pc < nc)

a[pa ++] = c[pc ++];

}

167167

Merge sort – Caøi ñaëtvoid MergeSubarr(int a[], int nb, int nc,

int &pa, int &pb, int &pc, int k)

{

int rb, rc;

rb = min(nb, pb+k); rc = min(nc, pb+k);

while ((pb < rb) && (pc < rc))

if (b[pb] < c[pc])

a[pa ++] = b[pb ++];

else a[pa ++] = c[pc ++];

while (pb < rb)

a[pa ++] = b[pb ++];

while (pc < rc)

a[pa ++] = c[pc ++];

}

168168

Merge Sort – Ñaùnh giaù giaûi thuaät

Giaûi thuaät troän tröïc tieáp laø phöông phaùp troän ñôn giaûn nhaát:

• Vieäc phaân hoaïch thaønh caùc daõy con chæ laø taùch daõy thaønh caùc daõy con khoâng giaûm ñoä daøi k.

• Ñoä daøi cuûa daõy con laø 1, 2, 4, 8, … ñaûm baûo daõy con luoân laødaõy con khoâng giaûm sau moãi böôùc taùch - troän.

• Khoâng söû duïng thoâng tin veà thöù töï cuûa daõy ban ñaàu �� 2 heä quaû:– Ñoä phöùc taïp thuaät toaùn khoâng phuï thuoäc vaøo daõy ban ñaàu.– Moät daõy con khoâng giaûm ñang coù saün bò chia nhoû thaønh caùc daõy

khoâng caàn thieát �� caûi tieán thaønh thuaät toaùn: Troän töï nhieân (Natural Merge sort).

169169

• Soá laàn thöïc hieän vieäc chia luaân phieân vaø troän: Sau moãi laàn taùch – troän, ñoä daøi K cuûa daõy con taêng gaáp ñoâi �� Soá laàn taùch – troän trong thuaät toaùn: log2n .

• Chi phí thöïc hieän taùch - troän tæ leä thuaän vôùi n. �� Chi phí thöïc hieän cuûa giaûi thuaät MergeSort

laø O(nlog2n).


170170

• Moät nhöôïc ñieåm lôùn nöõa cuûa caùc thuaät toaùn troän laø khi caøi ñaët thuaät toaùn ñoøi hoûi theâm khoâng gian boä nhôù ñeå löu caùc daõy phuï b, c.

• Haïn cheá naøy khoù chaáp nhaän trong thöïc teá vìcaùc daõy caàn saép xeáp thöôøng coù kích thöôùc lôùn.

• Vì vaäy thuaät toaùn troän thöôøng ñöôïc duøng ñeåsaép xeáp caùc caáu truùc döõ lieäu khaùc phuø hôïp hôn nhö danh saùch lieân keát hoaëc file.


171171

Saép xeáp theo phöông phaùp troän tröïc tieáp Thuaät toaùn troän töï nhieân Natural Merge sort

• Moät ñöôøng chaïy cuûa daõy soá a laø moät daõy con khoâng giaûm cuûa cöïc ñaïi cuûa a. Nghóa laø, ñöôøng chaïy r = (ai, ai+1, …, aj) phaûi thoûa ñieàu kieän:

• Ví duï daõy 12, 2, 8, 5, 1, 6, 4, 15 coù theå coi nhö goàm 5 ñöôøng chaïy (12); (2, 8); (5); (1, 6); (4, 15).

>

<

∈∀≤

+

−

+

1

1

1 ),[

jj

ii

kk

aa

aa

jikaa

172172


• Thuaät toaùn troän töï nhieân khaùc thuaät toaùn troän tröïc tieáp ôû choã thay vì luoân cöùng nhaéc phaân hoaïch theo daõy con coù chieàu daøi k, vieäc phaân hoaïch seõ theo ñôn vò laø ñöôøng chaïy. ta chæ caàn bieát soá ñöôøng chaïy cuûa a sau laàn phaân hoaïch cuoái cuøng laø coù theå bieát thôøi ñieåm döøng cuûa thuaät toaùn vì daõy ñaõ coù thöù töï laø daõy chi coù moät ñöôøng chaïy.

173173


• Böôùc 1 : // Chuaån bò– r = 0; // r duøng ñeå ñeám soá döôøng chaïy

• Böôùc 2 : Taùch daõy a1, a2, …, an thaønh 2 daõy b, c theo nguyeân taéc luaân phieân töøng ñöôøng chaïy:– Böôùc 2.1 :

• Phaân phoái cho b moät ñöôøng chaïy; r = r+1;• Neáu a coøn phaàn töû chöa phaân phoái

– Phaân phoái cho c moät ñöôøng chaïy; r = r+1;

– Böôùc 2.2 : • Neáu a coøn phaàn töû: quay laïi böôùc 2.1;

• Böôùc 3 : – Troän töøng caëp ñöôøng chaïy cuûa 2 daõy b, c vaøo a.

• Böôùc 4 : – Neáu r <= 2 thì trôû laïi böôùc 2; Ngöôïc laïi: Döøng.

Sắp xếp theo phương pháp Cơ sốRadix Sort

175175

Saép xeáp theo phöông phaùp cô soá Radix Sort

• Radix Sort laø moät thuaät toaùn tieáp caän theo moät höôùng hoaøn toaøn khaùc.

• Neáu nhö trong caùc thuaät toaùn khaùc, cô sôû ñeå saép xeáp luoân laø vieäc so saùnh giaù trò cuûa 2 phaàn töû thìRadix Sort laïi döïa treân nguyeân taéc phaân loaïi thöcuûa böu ñieän. Vì lyù do ñoù Radix Sort coøn coù teân laøPostman’s sort.

• Radix Sort khoâng heà quan taâm ñeán vieäc so saùnh giaùtrò cuûa phaàn töû maø baûn thaân vieäc phaân loaïi vaø trình töï phaân loaïi seõ taïo ra thöù töï cho caùc phaàn töû.

176176


• Ñeå chuyeån moät khoái löôïng thö lôùn ñeán tay ngöôøi nhaän ôû nhieàu ñòa phöông khaùc nhau, böu ñieän thöôøng toåchöùc moät heä thoáng phaân loaïi thö phaân caáp.

• Tröôùc tieân, caùc thö ñeán cuøng moät tænh, thaønh phoá seõ ñöôïc saép chung vaøo moät loâ ñeå göûi ñeán tænh thaønh töông öùng.

• Böu ñieän caùc tænh thaønh naøy laïi thöïc hieän coâng vieäc töông töï. Caùc thö ñeán cuøng moät quaän, huyeän seõ ñöôïc xeáp vaøo chung moät loâ vaø göûi ñeán quaän, huyeän töông öùng.

• Cöù nhö vaäy, caùc böùc thö seõ ñöôïc trao ñeán tay ngöôøi nhaän moät caùch coù heä thoáng maø coâng vieäc saép xeáp thökhoâng quaù naëng nhoïc.

177177


• Moâ phoûng laïi qui trình treân, ñeå saép xeáp daõy a1, a2, ..., an, giaûi thuaät Radix Sort thöïc hieän nhö sau:– Tröôùc tieân, ta coù theå giaû söû moãi phaàn töû ai trong

daõy a1, a2, ..., an laø moät soá nguyeân coù toái ña m chöõ soá.

– Ta phaân loaïi caùc phaàn töû laàn löôït theo caùc chöõ soáhaøng ñôn vò, haøng chuïc, haøng traêm, … töông töïvieäc phaân loaïi thö theo tænh thaønh, quaän huyeän, phöôøng xaõ, ….

178178


• Böôùc 1 :// k cho bieát chöõ soá duøng ñeå phaân loaïi hieän haønh– k = 0; // k = 0: haøng ñôn vò; k = 1: haøng chuïc; …

• Böôùc 2 : //Taïo caùc loâ chöùa caùc loaïi phaàn töû khaùc nhau– Khôûi taïo 10 loâ B0, B1, …, B9 roãng;

• Böôùc 3 : – For i = 1 .. n do

• Ñaët ai vaøo loâ Bt vôùi t: chöõ soá thöù k cuûa ai;

• Böôùc 3 : – Noái B0, B1, …, B9 laïi (theo ñuùng trình töï) thaønh a.

• Böôùc 4 : – k = k+1;Neáu k < m thì trôû laïi böôùc 2. Ngöôïc laïi: Döøng

179179


180180


181181


182182


183183


184184


• Ñaùnh giaù giaûi thuaät:– Vôùi moät daõy n soá, moãi soá coù toái ña m chöõ soá,

thuaät toaùn thöïc hieän m laàn caùc thao taùc phaân loâ vaø gheùp loâ.

– Trong thao taùc phaân loâ, moãi phaàn töû chæ ñöôïc xeùt ñuùng moät laàn, khi gheùp cuõng vaäy.

– Nhö vaäy, chi phí cho vieäc thöïc hieän thuaät toaùn hieån nhieân laø O(2mn) = O(n).

185185


�Nhaän xeùt:– Sau laàn phaân phoái thöù k caùc phaàn töû cuûa A vaøo

caùc loâ B0, B1, …, B9, vaø laáy ngöôïc trôû ra, neáu chæxeùt ñeán k+1 chöõ soá cuûa caùc phaàn töû trong A, ta seõ coù moät maûng taêng daàn nhôø trình töï laáy ra töø 0 →→→→9. Nhaän xeùt naøy baûo ñaûm tính ñuùng ñaén cuûa thuaät toaùn.

– Thuaät toaùn coù ñoä phöùc taïp tuyeán tính neân hieäu quaû khi saép daõy coá raát nhieàu phaàn töû, nhaát laø khi khoùa saép xeáp khoâng quaù daøi so vôùi soá löôïng phaàn töû (ñieàu naøy thöôøng gaëp trong thöïc teá).

186186


�Nhaän xeùt:– Thuaät toaùn khoâng coù tröôøng hôïp xaáu nhaát vaø toát

nhaát. Moïi daõy soá ñeàu ñöôïc saép vôùi chi phí nhönhau neáu chuùng coù cuøng soá phaàn töû vaø caùc khoùa coù cuøng chieàu daøi.

– Thuaät toaùn caøi ñaët thuaän tieän vôùi caùc maûng vôùi khoùa saép xeáp laø chuoãi (kyù töï hay soá) hôn laø khoùa soá nhö trong ví duï do traùnh ñöôïc chi phí laáy caùc chöõ soá cuûa töøng soá.

187187


�Nhaän xeùt:– Soá löôïng loâ lôùn (10 khi duøng soá thaäp phaân, 26 khi

duøng chuoãi kyù töï tieáng Anh, …) nhöng toång kích thöôùc cuûa taát caû caùc loâ chæ baèng daõy ban ñaàu neân ta khoâng theå duøng maûng ñeå bieåu dieãn B. Nhö vaäy, phaûi duøng caáu truùc döõ lieäu ñoäng ñeå bieåu dieãn B ⇒⇒⇒⇒ Radix Sort raát thích hôïp cho saép xeáp treân danh saùch lieân keát.

188188


�Nhaän xeùt:– Ngöôøi ta cuõng duøng phöông phaùp phaân loâ theo

bieåu dieãn nhò phaân cuûa khoùa saép xeáp. Khi ñoù ta coù theå duøng hoaøn toaøn caáu truùc döõ lieäu maûng ñeåbieåu dieãn B vì chæ caàn duøng hai loâ B0 vaø B1. Tuy nhieân, khi ñoù chieàu daøi khoùa seõ lôùn. Khi saép caùc daõy khoâng nhieàu phaàn töû, thuaät toaùn Radix sort seõ maát öu theá so vôùi caùc thuaät toaùn khaùc.

ctdl1 ch02 timkiem sapxep

Documents