Pre-­‐Calculus  

Kevin  Small  –  www.cxctutor.org  

An  Introduc<on  To  Func<ons  and  Rela<ons  

Topics  To  Be  Covered    

•   Define  What  is  a  Func/on  – Show  Simple  Examples  of  Func<ons  – Explain  How  Func<on  Nota<on  Works    

•   Define  What  is  a  Rela/on  – Define  The  Terms  Domain  and  Range  – Learn  How  To  Draw  Mapping  Diagrams  – Learn  The  Different  Types  of  Rela<ons  – Lean  How  To  Test  For  Func<ons  

What  is  a  Func<on  

•  A  func<on  in  a  typical  sense  is  just  a  machine  with  a  specific  rule  that  produces  a  single  output.  

 

Example  

•  Consider  the  following  machine  which  is  used  to  convert  our  local  Barbadian  currency  into  US  Dollars.  

   

OR  y  =  0.5  x  

 

(5)BBD    

Currency  Converter  

 

(2.5)USD    

Output   Rule   Input  

Example  Con<nued  The  func<on  given  is  an  example  of  a  Linear    Func/on.  We  will  discuss  the  graphs  of  func<ons  later  but  here  is  the  graph  of  our  currency  converter  func<on.    

Func<on  Nota<on  

•  There  is  a  more  appropriate  way  that  we  use  in  calculus  to  represent  a  func<on  in  wri<ng  and  that  is:  

f(x)  =  y

The  input  (variable)  is  listed  in  brackets  

Output    Name  of  Func<on  

Func<on  Nota<on  Examples  

Example:  •   f(x)  =  x  +  1      •  A(r)  =  πr2      •  V(h,r)  =  πr2h  

Rela<ons  The  topic  of  func<ons  is  in  fact  in  sub-­‐topic  under  him  much  broader  subject  In  mathema<cs  called  Rela/ons.    

Defini<on:  A  rela<on  is  a  set  of  ordered  pairs.      

What  it  is  an  ordered  pair?    

Well  let  us  use  this  func<on  as  an  example:    

f(x)  =  x2  +  1  

Let  us  list  our  inputs  from  1  to  5  and  calculate  their  corresponding  outputs:                          Now  we  can  pair  our  inputs  with  our  outputs  in  an  orderly  fashion  like  this:  

Formal  Defini<on  of  a  Func<on  

•  A  func<on  a  special  rela<on  in  which  each  element  x    in  the  Domain  is  paired  using  a  rule,  with  exactly  one  and  only  one  element  f(x)  in  the  Range.  

•  There  are  two  types  of  rela<ons  that  sa<sfy  this  criteria  and  they  are  called  one-­‐to-­‐one  and  many-­‐to-­‐one  rela<ons.  

 •  A  one-­‐to-­‐many  rela<on  is  NOT  a  func<on.  

Example  of  One-­‐To-­‐One  Func<on  Consider  the  rela<on    f:  x  →  2x  +  5    given  that  the  domain  is        Find  the  corresponding  range  values  and  hence  draw  a  mapping  diagram  to  represent  the  rela<on.                            

0,  1,  2,  3    

One-­‐To-­‐One  Func<ons  Con<nued  

A  func<on  from    set  A  to  set  B  is  said  to  be  an  One-­‐To-­‐One  (injec<ve)  func<on  if  no  two  or  more  elements  of  set  A  have  the  same  elements  mapped  or  imaged  in  set  B.  

Many-­‐To-­‐One  Func<ons  Consider  the  func<on  f(x)  =  x2  and  let  our  domain  be  {-­‐2  ≤  x  ≤  2}.  

Many-­‐To-­‐One  Func<ons  Con<nued  

A  func<on  from  set  A  to  set  B  is  said  to  be  a  many-­‐to-­‐one  func<on  if  two  or  more  elements  in  set  A  processed  through  the  func<on  produces  the  same  output  or  same  element  in  set  B.  

One-­‐To-­‐Many  is  Not  A  Func<on  Consider  the  inverse  of  func<on  f(x)  =  x2  in  which  we  generate  by  exchanging  the  values  for  the  domain  and  range.  The  inverse  func<on  follows  the  rule:  

f  ’(x)  =  ±  √x  

A  Visual  Test  For  Func<ons  

We  can  use  a  very  simple  test  called  the  Ver/cal  Line  Test  to  determine  whether  the  Graph  of  A  Rela/on  in  indeed  a  func<on  or  not.    •  Defini<on:    – Given  a  curve  drawn  in  the  coordinate  plane.  Then  this  curve  is  a  graph  of  a  func<on  if  and  only  if  no  ver<cal  line  can  be  made  to  intersect  the  curve  at  more  than  one  point.    

 

Using  The  Ver<cal  Line  Test  Consider  the  following  graphs  and  decide  which  if  any,  are  graphs  of  func<ons: