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Cromo-‐Dinámica Cuántica
Mauro Napsuciale
Departamento de Física DCI-UG-Campus León
Contenido
1. Introducción, simetría SU(2), hadrones y quarks.
2. Simetría SU(3): Modelo de Quarks.
3. Teorías de Norma: QCD.
4. QCD perturbativa.
5. Teorías Efectivas: QCD No-perturbativa.
100 años de historia…
q q
Mesones
q q q
Bariones
RH~ 10 m -‐15
Materia
q=u,d,c,s,t,b
γ electromagnética
g fuertes
W+, W-, Z0 débiles
Gravitón ? gravitacionales
Interacciones
+ -‐
RA~ 10 m -‐ -‐10
RN~ 10 m -‐ -‐13
RM> 10 m -‐7
Rq< 10 m -‐18
H
34*$,5 . 34*(,6 . 4**,7!"#"$ !3#$,& %&## 5%)M6
,- '#((! )*E,8
%".)/"-4#12$.&3
.)F*/)F*".)F*/&"/2.&/)F*"
.&/&"
# Par8cula Electro-‐magné<ca
Fuerte Débil Yukawa Gravitacional
18 u,d,c,s,t,b x x x x x
6 e,µ,τ,νe,νµ,ντ x x x x
1 γ x
3 W+ ,W-‐ ,Z x x x
8 g x x
1 H x x
Par@culas e interacciones
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≈
−=
−=
,12070,73,35.1
MeVmMeVmMeVm
s
d
u
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
.174,20.4,25.1
GeVmGeVmGeVm
t
b
c
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
,77.1,65.105
,54.0
GeVmMeVm
MeVme
τ
µ
eVm ≈ν
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
=
,0,18.91,40.80
g
Z
W
mmGeVmGeVm
γ
mH =125.5GeV
Los nucleones (estables) están constituidos de tres quarks .
0.7x10^(-15) m
Los quarks tienen distintos “sabores” (u, d) y “espin” ( ½). ±
Quark d Quark u
3/1−=de 3/2=ue
protón neutrón
qp = 2/3 + 2/3 - 1/3 = 1 qn = 2/3 - 1/3 - 1/3 = 0 d u
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Caracterizacion de un sistema cuantico
Mecanica Cuantica:
Informacion contenida en el vector de estado | i 2 H.Observables representados por operadores hermıticos en H.
1 Los eigenestados de un operador hermıtico forma una base delespacio correspondiente,
2 Los subespacios correspondientes a dos eigenvalores distintosson ortogonales entre si.
H puede descomponerse en suma de subespacios ortogonalesasociados a un conjunto de observables que conmutan entre sı(C.C.O.C): {H, A,B,C...}.H se escoge en el CCOC porque nos interesa la dinamica:i@
t
| (t)i = H| (t)i.Los eigen-estados comunes {|E , a, b, c , ...i} forman una basede H.
[H,A] = [H,B] = [H,C ] = ... = 0
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Simetrıas
Las transformaciones de simetrıa (T ) dejan invariante el sistema:HT
= H
En Mecanica Cuantica (T $ UT
):| i ! | 0i = U
T
| iLas probabilidades son invariantes:
|h�0| 0i|2 = |hU�|U i|2 = |h�|U†U i|2 = |h�| i|2
Las transformaciones de simetria son implementadas poroperadores unitarios:
U†U = 1
Los operators cambian como
O0 = UOU†
Si el sistema es invariante, entonces
H 0 = UHU† = H ) [H,U] = 0
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Las simetrıas pueden ser discretas o continuas. En losubsiguiente trataremos con simetrıas continuas.Todo operador unitario puede ser escrito en su formaexponencial (Ejercicio 1)
U = e iG donde G † = G
Generadores de simetrias continuas son observables.[U,H] = 0 ) [G ,H] = 0. Los generadores de lastransformaciones de simetrıa son constantes de movimiento ycandidatos naturales a ser parte del CCOC.
Las transformaciones de simetrıa forman una estructura de Grupo
Los buenos numeros cuanticos corresponden a los eigenvalores de(algunos de) los generadores de las simetrıas del sistema. Losestados correspondientes se agrupan en subespacios minimosinvariantes ante la transformacion (representaciones irreducibles,irreps).
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Ejemplo 1: Espectro continuo: T 3
(r + a) = (r) + a ·r (r) +1
2!(a ·r)2 (r) + ...
= exp(a ·r) (r)⌘ exp(ia · P
op
) (r)
Pop
= �ir es el generador de translaciones espaciales em H!Si el sistema es invariante ante translaciones en la direccion ientonces
[P ,H] = 0 ) h (t)|Pi
| (t)i = cte
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Ejemplo 2: Espectro discreto. SU(2)R
r
0
r
d✓dr
n
dr = n ⇥ rd✓
x 0i
= xi
+ ✏ijk
nj
xk
d✓
= (�ik
+ ✏ijk
nj
d✓)xk
= (�ik
� i(J · n)ik
d✓)xk
(Ji
)jk
= �i✏ijk
[Ji
, Jj
] = i✏ijk
Jk
Mecanica Cuantica
J ⌘ Generador de rotaciones en HR(n, ✓) ! D
R
(n, ✓) = e�iJ·n✓
[J2,H] = [Ji
,H] = [J2, Ji
] = 0
J± = Jx
± iJy
[Jz
, J±] = ±Jz
, [J+
, J�] = 2Jz
Eigenestados de J2 y Jz
(Ej. 2)
J2|j ,mi = j(j + 1)|j ,miJz
|j ,mi = m|j ,miJ±|j ,mi = r±(j ,m)|j ,m ± 1ir±(j ,m) =
p(j ⌥m)(j ±m + 1)
j =n
2, m = �j ,�j + 1, .., j .
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Notese que:1 Para un j fijo el estado mas general es
| i =jX
m=�j
cjm
|j ,mi
2 Ante una rotacion
| i0 = DR
(n, ✓)| i = e�iJ·n✓(jX
m=�j
cjm
|j ,mi) =jX
m
0=�j
djm
0 |j ,m0i
3 En otras palabras
h|j 0,m0|DR
(n, ✓)|jmi ⇠ �j
0j
4
Los subespacios mınimos invariantes bajo rotaciones
(irreps) estan caracterizados por el numero cuantico j .5 Si las interacciones son invariantes ante rotaciones (V (|r |),
entonces los estados fısicos pertenecen a estas irreps.
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Representacion fundamental: j = 12
En este caso, m = 1
2
,�1
2
. Notacion: |12
, 12
i ⌘ | "i , |12
,�1
2
i ⌘ | #i.Representaciones de J
hjm0|Jz
|jmi =✓
h" |Jz
| "i h" |Jz
| #ih# |J
z
| "i h# |Jz
| #i
◆=
~2
✓1 00 �1
◆⌘ ~
2�z
,
hjm0|J+
|jmi =✓
h" |J+
| "i h" |J+
| #ih# |J
+
| "i h# |J+
| #i
◆=
~2
✓0 10 0
◆⌘ ~
2�+
,
hjm0|J�|jmi =✓
h" |J�| "i h" |J�| #ih# |J�| "i h# |J�| #i
◆=
~2
✓0 01 0
◆⌘ ~
2��.
Jx
=~2
✓0 11 0
◆⌘ ~
2�x
Jy
=~2
✓0 �ii 0
◆~2�y
En resumen,
J =~2�
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Estas matrices satisfacen
[�i
,�j
] = 2i✏ijk
�k
, {�i
,�j
} = 2�ij
.
D(
1
2
)(n, ✓) = exp(�i�
2· n✓) = cos
✓
21� i� · n sin
✓
2.
Representacion de los estados
| "i !✓
10
◆, | #i !
✓01
◆
Mas importante
J�| #i = 0, J�| "i = | #i, J+
| #i = | "i, J+
| "i = 0.
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Partıculas y simetrıas espacio-temporales.
Partıculas libres $ simetrıas del espacio-tiempo:1 Rotaciones + cambios de sistemas de referencia (boosts) :
HLG ⇠ SL2(C ) ⇠ SU(2)R
⌦ SU(2)L
.2 Translaciones espacio-temporales: T 4.3 ¿Supersimetrıa?.
Grupo de Poincare: HLG ⌦ T 4
Operadores de Casimir: P2,W 2.Numeros cuanticos asociados: :m2 y j .Estados de partıcula libre: |m, j ,�..i .
Interacciones fundamentales: Principio de norma
Calculo de probabilidades: Teorıa de campo
|m, j ,�..i = a†�(p)|0i
(x) =X
p,�
a�(p)u(p,�)e�ip·x + b†�(p)uc(p,�)e ip·x
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Simetrıas en Fısica de Partıculas: Isoespin. SU(2)I .
Las masas del proton y el neutron son casi iguales:m
p
= 938.27MeV , mn
= 939.56MeV .
Las interacciones pp, pn y nn son muy parecidas:Vpp
⇡ Vpn
⇡ Vnn
.
Heisenberg (1932): si ”apagaramos” la caraga electrica nopodrıamos distinguir entre en estado cuantico del proton y eldel nucleon.
Sistema de dos estados: igualito que el sistema de j = 1/2
|pi ⌘ |12,1
2i !
✓10
◆, |ni ⌘ |1
2,�1
2i !
✓01
◆
Diferente fısica-misma matematica: Interacciones nuclearesfuertes invariantes ante rotaciones en este espacio de isoespin.
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Simetrıa de Isoespın en el formalismo Lagrangiano
Lagrangiano para la interaccion nuclear fuerte:
L = Lp
+ Ln
+ Lint
= p(i /@ �mp
)p + n(i /@ �mn
)n + Lint
= (p, n)
✓i /@ 00 i /@
◆�✓
mp
00 m
n
◆�✓pn
◆+ L
int
= N[i /@1�M]N + Lint
Si mp
= mn
⌘ m y Lint
no distingue p de n, el Lagrangiano esinvariante ante rotaciones en el espacio de isoespın.
N ! N 0 = DI
(n, ✓)N = e�iT ·n✓N = e�i
�2
·n✓N
T es el generador de rotaciones de isoespın en H. Mismamatematica que rotaciones: J ! T , j ! I , m ! I
3
.
T 2|I , I3
i = I (I + 1)|I , I3
i, Tz
|I , I3
i = I3
|I , I3
i,
T±|I , I3i = r±(I , I3)|I , I3 ± 1i, I =n
2, I
3
= �I ,�I + 1, .., I .
Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Consecuencias de la simetrıa de Isoespın
1 p y n pertenecen al mutiplete de I = 1
2
. ¿Hay otrosmultipletes?
JPC = 0�+, I = 1 : ⇡±(140),⇡0(135)
JPC = 1��, I = 1 : ⇢±(775), ⇢0(775)
JPC =3
2
+�, I =
3
2: �++(1232),�±(1232),�0(1232)
......
2 Lint
debe ser invariante ante SU(2)I
. Interaccionesfuertemente restringidas. Por ejemplo:
Lint
= gN(� · ⇡)N
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Simetrıa de sabor SU(3)F : Modelo de quarks
Entre 1940-1960 : proliferacion de estados hadronicos.
Lagrangianos efectivos basados en isoespın funcionaban pero:1 Proliferacion de constantes de acoplamiento g
i
.2 Constantes de acoplamiento grandes. Expansion perturbativa
no valida.
Gell-Man (1964): Eightfold Way. Clasificacion de hadrones enmultipletes de SU(3)
F
.
Gell-Man y Zweig: Modelo de Quarks.
Las simetrıas a nivel de hadrones (interacciones nuclearesfuertes) son remanentes de simetrıas a nivel mas fundamental(quarks).
La clasificacion y estudio de las propiedades de hadronesrequiere el calculo de las irreps de SU(3). Construcciongrafica en terminos de los estados de quarks.
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Identical particles
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U
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Matematicas: SU(2), SU(3)...SU(N)
Generalizacion a SU(n)
Estructura muy similar:
[Gm
]ij
= �ij
mX
k=1
�ik
�m�i ,m+1
!y
hZ↵�
i
ij
=1p2�↵i��j ,
Explıcitamente
[G1
] =
0
BBB@
1 0 0 · · ·0 �1 0 · · ·0 0 0 · · ·...
......
. . .
1
CCCA[G
2
] =
0
BBB@
1 0 0 · · ·0 1 0 · · ·0 0 �2 · · ·...
......
. . .
1
CCCA
⇥Z 12
⇤=
1p2
0
BBB@
0 1 0 · · ·0 0 0 · · ·0 0 0 · · ·...
......
. . .
1
CCCA⇥Z 21
⇤=
1p2
0
BBB@
0 0 0 · · ·1 0 0 · · ·0 0 0 · · ·...
......
. . .
1
CCCAetcetera
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????????
Hasta ahora: • Quarks no interactuantes (producto tensorial de estados) confinados.
• ¿Interacciones entre quarks?
• ¿Confinamiento?
Fig from A. Courtoy talk
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