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Earnyourturns!

Differentiability and Continuity

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Section 4­6:   Differentiability and Continuity

f(c) exists

exists

A function f(x) is continuous on an intervalif and only if it is continuous at each x­value in the interval.

A function f(x) is continuous if and only if f(x) is continuous at each x­value in its domain.

Slope of tangent at point x = c.

Instantaneous rate of change at x = c.

A function f(x) is differentiable at a point x = c,if and only if f '(c) exists.

A function f(x) is differentiable on an intervalif and only if it is differentiable for each x­value in the interval.

A function f(x) is differentiable if and only if it is differentiable at each x­value in its domain.

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Review: Conditional Statements

Property:P Q

If Socrates is a man, then he is mortal.

Contrapositive: If he is not mortal, then Socrates is not a man.~ Q ~ P

Inverse: If Socrates is not a man, then he is not mortal.~ P ~ Q

Converse: If he is mortal, then Socrates is a man.PQ

mortal  Definition:  subject to death, destined to die.

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If function f is NOT continuous at x = c,then function f is NOT differentiable at x = c.

If function f is NOT differentiable at x = c,then function f is NOT continuous at x = c.

"smooth"(Beautiful "S" turns down the slope)

"hang"tangent

cannot"hang"tangent

Not "smooth"(Switchbacks up the slope)

If function f is continuous at x = c,then function f is differentiable at x = c.

tangent is vertical at x = c

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Cusp

Continuity does NOT imply differentiability

6

vertical

infinite discontinuity

Continuity does NOT imply differentiability

7

horizontal

removablediscontinuity

removable discontinuity

None. No point to "hang" tangent on.

If a function is NOT continuous at a point x = c,then the function is NOT differentiable at the point x = c.

(contrapositive of property)