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Cours de Mathématiques
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Table des matières
I Arithmétique 9
1 5ème - Enchaînements d’opérations 111.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Enchaînements d’opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 5ème - Nombres relatifs 152.1 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Comparer des nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Additionner des nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Soustraire un nombre relatif à un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Simplifier l’écriture d’une somme de relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 6ème - Division 193.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Division décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Division par 10, 100, 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 6ème - Fractions 234.1 Situation de partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Ecriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 5ème - Fractions 295.1 Ecriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4 Comparer des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.6 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 4ème - Nombres en écriture fractionnaire 356.1 Transformer, simplifier une écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Produits en croix et égalité de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Inverse d’un nombre relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.5 Diviser par un nombre en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.6 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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7 4ème - Puissances 397.1 Comprendre les notations an et a−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 Effectuer des produits, des quotients de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2.1 Opérations sur les puissances d’un même nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2.2 Calculer une puissance d’un produit ou d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.3 Prendre la puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Multiplier un nombre décimal par 10n, par 10−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.4 Ecriture scientifique d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 Obtenir un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d’un calcul en utilisant la notation scientifique7.6 Effectuer à la main des calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.7 Puissances et utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8 3ème - Racines carrées 458.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2 Produit, quotient de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.3 Equation x2 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.5 En géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9 3ème - PGCD 499.1 Relation de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.1.1 Diviseurs d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.1.2 Diviseurs communs à deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.1.3 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.1.4 Propriétés des diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Calcul du PGCD de deux nombres à l’aide d’algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.1 Algorithme des différences successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.3 Fractions irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.4 Eléments culturels et historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II Algèbre 55
10 5ème - Calcul littéral et distributivité 5710.1 Distributivité de la multiplication sur l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2 Expressions littérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.3 Simplification de l’écriture d’une expression littérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.4 Distributivité appliquée au calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.5 Tester si une égalité est vraie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11 3ème - Ecritures littérales, identités remarquables 6111.1 Développer un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.1.1 Distributivité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.2 Distributivité double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.3 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2 Factoriser une somme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2.1 Avec un facteur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2.2 Avec les identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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12 4ème - Calcul littéral, équations 6512.1 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tester une égalité . . . . . . . 6612.2 Développer un produit grâce à la règle de distributivité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3 Factoriser, réduire une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.4 Règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe +, d’un signe − . . . . . . . . . . . 6712.5 Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.6 Résoudre une équation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.7 Mettre en équation et résoudre un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
13 3ème - Equations et inéquations 7113.1 Equations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.2 Equations-produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
14 3ème : Systèmes d’équations 7514.1 Equation à deux inconnues, système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514.2 Méthodes de résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
15 3ème - Fonctions 8115.1 Fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
15.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.1.3 Fonction linéaire et pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
15.2 Fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.2.3 Proportionnalité des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III Figures géométriques 89
16 5ème - Parallélogramme 9116.1 Reconnaître un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9216.2 Centre de symétrie d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9216.3 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9316.4 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9416.5 Reconnaître un parallélogramme particulier grâce à sa définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 9416.6 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9516.7 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier (rectangle, losange, carré) . . . . . . . 96
17 5ème - Triangles 9917.1 Somme des mesures des angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10017.2 Angles et triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10117.3 Utiliser l’inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10117.4 Construction de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10217.5 Médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10417.6 Comment construire la médiatrice d’un segment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10417.7 Cercle circonscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10517.8 Médiane, hauteur dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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18 4ème - Tangente, bissectrice 10718.1 Evaluer la distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10818.2 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points . . . . . . . . . . . . . . . . . 10818.3 Tracer la bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10918.4 Tracer le cercle inscrit dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
19 6ème - Symétrie centrale 11119.1 Figures symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11119.2 Symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11219.3 Symétrique de figures, propriétés de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
19.3.1 Segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11319.3.2 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11419.3.3 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11519.3.4 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
19.4 Construire le symétrique d’une figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11519.5 Symétrie axiale et figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
19.5.1 Segments et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11619.5.2 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11619.5.3 Axes de symétries des triangles et quadrilatères particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
20 5ème - Symétrie centrale 11920.1 Figures symétriques dans une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12020.2 Symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
20.2.1 Construire le symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12120.3 Propriétés de la symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
20.3.1 Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle, d’une demi-droite . . 122
21 4ème - Triangle rectangle et cercle circonscrit 12521.1 Rappels : médiatrices, médianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12621.2 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12721.3 Démontrer qu’un point est sur un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12821.4 Calculer la longueur d’une médiane issue du sommet de l’angle droit dans un triangle rectangle12821.5 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . 12821.6 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
22 4ème - Théorème de Pythagore 12922.1 Vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13022.2 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle13122.3 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle . . . . . . 13222.4 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rectangle . 133
23 4ème - Triangles : théorème des milieux 13523.1 Utiliser le théorème des milieux pour démontrer que deux droites sont parallèles. . . . . . . . 13623.2 Utiliser le théorème des milieux pour calculer des longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13623.3 Utiliser la réciproque du théorème des milieux pour montrer qu’un point est milieu d’un segment.137
24 3ème : configuration de Thalès 13924.1 Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13924.2 Pour démontrer que deux droites sont parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14024.3 Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
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25 3ème - Géométrie dans l’espace 14125.1 Sphère et boule ; section d’une sphère par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14225.2 Section d’un cube, d’un pavé, d’un cylindre par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14425.3 Section d’une pyramide, d’un cône par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
IV Grandeurs géométriques 147
26 4ème - Proportionnalité 14926.1 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15026.2 Calculer une quatrième proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15026.3 Pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15126.4 Proportionnalité et représentation graphique dans un repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . 15126.5 Calculer une vitesse moyenne, une distance, une durée grâce à la relation d = v × t . . . . . . . 152
27 6ème - Longueurs & périmètres 15527.1 Unités de mesure de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
27.1.1 Autrefois... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15527.1.2 Ailleurs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15627.1.3 Particularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15627.1.4 Le mètre, ses multiples et sous-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
27.2 Longueur d’un segment, d’une ligne brisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15727.3 Périmètre d’un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15827.4 Médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16027.5 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
27.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16127.5.2 Longueur d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16127.5.3 Le nombre π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
28 6ème - Angles 16328.1 Qu’est-ce qu’un angle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16328.2 Mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16428.3 Différents types d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16528.4 Bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
29 6ème - Aires 16929.1 Aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17029.2 Unités usuelles d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17129.3 Aires de polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
30 6ème - Volumes 17330.1 Représenter un solide en perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17430.2 Le pavé droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17530.3 Unités de volume et de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17630.4 Volume d’un pavé droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17730.5 Formulaire : Aires et volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
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Voici un petit lexique, qui vous permettra de savoir exactement la signification de chaque mot utilisé enmathématiques :
Mot Illustration
DéfinitionEnoncé qui explique ce qu’est un objet • "Un nombre pair est un nombre divisible par 2"ou ce que signifie un mot • "Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses
côtés opposés parallèles deux à deux"PropositionAffirmation qui peutêtre • "14 est un nombre pair" (proposition vraie)soit vraie, soit fausse • "Dans un plan, la somme des mesures des angles
d’un triangle vaut 200◦" (proposition fausse)ConjectureProposition dont on pense qu’elle est vraie, • Voir la conjecture de Syracuse (manuel page 37)
mais qui n’est pas démontrée • Voir les sept "problèmes du millénaire", du Clay Ins-titute (quelques conjectures à démontrer, pour 1 million
de dollars chacune !
Propriété, théorèmeProposition vraie qui peut être démontrée. • Voir le théorème de la droite des milieux,Le mot "théorème" est réservé pour une pro-priété d’une certaine importance
ou encore le théorème de Pythagore (des dizaines de dé-
monstrations différentes !)• Voir la propriété des diagonales d’un parallélogramme
RéciproqueSi une propriété est écrite sous la forme "Siproposition 1, alors proposition 2", la réci-proque s’obtient en inversant le sens de lapropriété, et s’écrit "Si proposition 2, alorsproposition 1". Cette réciproque peut êtrevraie ou fausse.
Propriété : "Si un quadrilatère est un parallélogramme,alors les diagonales de ce quadrilatère se coupent enleur milieu"Réciproque : "Si un quadrilatère a ses diagonales qui secoupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un pa-rallélogramme"
ExempleIllustration d’une règle, d’une propriété, d’unedéfinition
Règle : "un nombre est divisible par 3 si la somme de seschiffres est un multiple de 3"Exemple : 144 est divisible par 3 (car 1+4+4= 9, et 9 est
un multiple de 3)Contre-exempleExemple pour lequel une proposition estfausse
Proposition : un nombre est divisible par 3 s’il se ter-mine par 3"Faux ! Contre-exemple : 13 n’est pas un multiple de 3, etpourtant il se termine par un 3
Démonstration, preuveRaisonnement logique et structure qui permetd’établir qu’une propriété est vraie
•Voir la démonstration du théorème de la droite des mi-lieux dans votre cahier d’exercices• Voir la démonstration du théorème de Fermat (200pages !), trouvée en 1995 après 350 ans de recherches !
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Première partie
Arithmétique
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Chapitre 1
5ème - Enchaînements d’opérations
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de donnéeset fonctions)
Intitulé des compétences EvaluationsT1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T2 Résoudre un problème et rédiger sa solution
N1 Effectuer à la main une succession d’opérations avec parenthèses
N2 Effectuer à la main une succession d’opérations sans parenthèses
N3 Effectuer une succession d’opérations à la calculatrice
N4 Effectuer mentalement un enchaînement d’opérations de la forme
a+bc, a+b
c,
a
b +c,
abc
, . . .
N5 Ecrire une expression correspondant à une succession donnée d’opé-rations
Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences
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1.1 Vocabulaire
– Le résultat d’une addition s’appelle une somme, et les nombres que l’on additionne entre eux sontles termes de la somme.
– Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence, et les nombres que l’on soustrait entre euxsont les termes de la différence. La différence de deux nombres est le nombre qu’il faut ajouter àl’un pour trouver l’autre
Sommes et différences
24,3︸︷︷︸+3,57︸︷︷︸termes
=1
27,87︸ ︷︷ ︸somme
54,3︸︷︷︸− 33︸︷︷︸termes
=1
21,3︸︷︷︸différence
◮ Exemple : La différence de 13 et 4,4 est égale à 13−4,4= 8,6.Cette différence (8,6) est le nombre qu’il faut ajouter à 4,4 pour obtenir 13 ; autrement dit, cette différenceest le terme manquant dans l’addition à trous : 4,4+?= 13
• Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit, et les nombres que l’on multiplie entre euxsont les facteurs de ce produit.
• Le résultat d’une division s’appelle un quotient. Le quotient de deux nombres est le nombre parlequel il faut multiplier le diviseur pour obtenir le dividende.
Produits et quotients
141︸︷︷︸× 8︸︷︷︸facteurs
=1
1128︸ ︷︷ ︸produit
24︸︷︷︸÷ 5︸︷︷︸dividende diviseur
=1
4,8︸︷︷︸quotient
◮ Exemple : Le quotient de 24 par 5 est égal à 4,8.Ce quotient (4,8) est le nombre par lequel il faut multiplier 5 pour obtenir 24 ; autrement dit, ce quotient estle facteur manquant dans la multiplication à trous : 5×? = 24
1.2 Enchaînements d’opérations
Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, encommençant par les parenthèses les plus intérieures.
Enchaînement d’opérations avec parenthèses
Exemples :◮ 15− (7+5) = 15−12= 3◮ (37−19)× (7−5) = 18×2 = 36◮ 34−
[(7+5)×2
]= 34− (12×2) = 34−24= 10
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Si, dans une expression, un quotient est écrit sous forme fractionnaire, il convient de faire les calculscomme s’il y avait des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur.
Quotients sous forme fractionnaire
Exemples :
◮45
7+2= 45÷ (7+2)= 45÷9= 5 ◮
15−7
1+3= (15−7)÷ (1+3)= 8÷4 = 2
En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée uniquement d’additions et desoustractions, on effectue les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite).
Enchaînement d’additions et de soustractions
Exemples :◮ 15−7+5 = 8+5= 13 ◮ 10−9+8−7+6 = 1+8−7+6= 9−7+6 = 2+6 = 8Remarque : s’il n’y a que des additions, il est parfois intéressant de regrouper des termes !◮ 4,98+6,7+0,02= 4,98+0,02+6,7 = 5+6,7= 11,7
En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée uniquement de multiplicationset de divisions, on effectue les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite).
Enchaînement de divisions et de multiplications
Exemples :
◮ 3×7×5 = 21×5= 105◮ 8×9÷6 = 72÷6= 12
◮ 54÷9×3 = 6×3= 18◮ 28÷4÷10= 7÷10 = 0,7
Remarque : s’il n’y a que des multiplications, il est parfois intéressant de regrouper des facteurs !◮ 5×14,3×2= 5×2×14,3= 10×14,3= 143
En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée d’additions, de soustractions,de multiplications et de divisions, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. On dit queles multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.
Enchaînement d’opérations sans parenthèses
Exemples :
◮ 3×7+5 = 21+5= 26◮ 5+8×9 = 5+72= 77
◮ 15−54÷9= 15−6 = 9◮ 20− (5+28÷4) = 20− (5+7) = 20−12= 8
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Chapitre 2
5ème - Nombres relatifs
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de donnéeset fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N19 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan
N20 Comparer deux nombres relatifs
N21 Additionner deux nombres relatifs
N22 Soustraire un nombre relatif à un autre
N23 Simplifier l’écriture d’une somme de nombres relatifs
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
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L’ensemble des nombres relatifs est composé de deux types de nombres :• les nombres positifs
On peut écrire ces nombres avec un signe "+", mais ce n’est pas obligatoire.Par exemple, +7 , +1,04 , 15,6 et 2
3 sont des nombres positifs.• les nombres négatifs
On écrit toujours ces nombres avec un signe "−".Par exemple, −4 , −5,2 et −5
6 sont des nombres négatifs. Il existe un seul nombre qui està la fois positif et négatif : c’est zéro (0)
Définition
2.1 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan
◮ Se repérer sur un axe gradué
On appelle axe gradué une droite sur laquelle on a choisi un sens, un point nommé origine et une unitéque l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.0 1O I
+4
A−6
B+6
CSur cet axe gradué :• à chaque point de la droite est associé un unique nombre relatif, qui est appelé abscisse du point.• à chaque nombre relatif est associé un unique point de la droitePar exemple, l’abscisse du point A est +4, le point d’abscisse −6 est B.
La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre d’unités qui séparent ce point de l’origine.
Définition
Par exemple :• la distance à zéro du nombre +4 est 4 (car le segment [OA] mesure 4 unités de long),• la distance à zéro du nombre −6 est 6 (car le segment [OB] mesure 6 unités de long).
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro, mais des signes différents, sont appelésnombres opposés.
Définition
Par exemple :• Les nombres +6 et −6 ont la même distance à zéro (6), mais pas le même signe : ce sont deux nombresopposés. Sur l’axe gradué, cela se traduit par le fait que les deux points B et C sont symétriques par rapportà l’origine.• L’opposé de 7 est −7, l’opposé de −3 est 3.
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◮ Se repérer dans le plan
Deux axes gradués perpendiculaires (le premier horizontal, le second vertical) ayant la même origine formentce que l’on appelle un repère du plan. Dans un tel repère :• à chaque point du plan est associé un unique couple de nombres relatifs, qui est appelé couple de coor-données du point.• à chaque couple de nombres relatifs est associé un unique point du planLa première coordonnée, appelée abscisse du point, se lit sur l’axe horizontal.La seconde coordonnée, appelée ordonnée du point, se lit sur l’axe vertical.
O IJA +3
−6 axe des abs issesaxedesordonnées
Dans cet exemple, l’abscisse du point A est −6, et son ordonnée est +4.On dit que les coordonnées du point A sont (−6;4).B Attention : on donne toujours l’abscisse en premier et l’ordonnée en second !
2.2 Comparer des nombres relatifs
0 1O I+4
A−6
B−1
D+6
CDe deux nombres relatifs positifs, le plus grand est celui ayant la plus grande distance à zéro.
Règle 1
Par exemple, ici, on a +4 <+6 car +6 a la plus grande distance à zéro.
De deux nombres relatifs de signes contraires, le plus grand est le nombre positif.
Règle 2
Par exemple, ici, on a +4 >−1 car +4 est positif (et −1 est négatif).
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De deux nombres relatifs négatifs, le plus grand est celui ayant la plus petite distance à zéro.
Règle 3
Par exemple, ici, on a −6 <−1 car −1 a la plus petite distance à zéro.
2.3 Additionner des nombres relatifs
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :• signe : on conserve le signe commun aux deux nombres,• distance à zéro : on additionne les distances à zéro des deux nombres.
Nombres relatifs de même signe
Exemples : (+5)+ (+8) =+13 (−7)+ (−4) =−11
Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :• signe : on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,• distance à zéro : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Nombres relatifs de signes contraires
Exemples : (+5)+ (−13) =−8 (−7)+ (+9) =+2
2.4 Soustraire un nombre relatif à un autre
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter l’opposé de ce nombre ;Si a et b sont deux nombres relatifs, alors a−b = a+ (opposé de b)
Définition
Exemples :• (+5)− (−7) = (+5)+ ( opposé de −7) = (+5)+ (+7) =+12• (−3)− (+8) = (−3)+ ( opposé de +8) = (−3)+ (−8) =−11
2.5 Simplifier l’écriture d’une somme de relatifs
Afin d’alléger l’écriture d’une somme de nombres relatifs, on peut :– supprimer les signes "+" d’addition,– supprimer les parenthèses,– supprimer le signe "+" du terme écrit au début, s’il est positif
Règle
Exemples :• (+5)+ (−3)+ (+11)= 5−3+11= 13• (−3)− (+8)+ (+7)− (−1) = (−3)+ (−8)+ (+7)+ (+1) =−3−8+7+1=−3
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Chapitre 3
6ème - Division
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES
Division euclidienne – Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une divisioneuclidienne et interpréter les résultats obtenus.
– Calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un entierdans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté).
– Connaître et utiliser le vocabulaire associé (dividende, diviseur, quotient,reste).
– Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9.
Division décimale – Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers oud’un décimal par un entier, dans des cas simples (calcul mental, posé,instrumenté).
– Diviser par 10, 100, 1 000
3.1 Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier non nul b, c’est :– déterminer combien de paquets de b unités sont contenus dans a : ce nombre de paquets est appelé
quotient, et sera ici noté q .– déterminer le nombre d’unités qui restent : ce nombre est appelé reste, et sera ici noté r .
Définition
Par exemple :
diviseur b
quotient q
dividende a
reste r2 3
273
On vérifie la division en posant :dividende= diviseur×quotient+ resteIci, on a bien 23= 7×3+2BAttention :le reste est toujours inférieur au diviseur.
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Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro (c’es-à-dire lorsque "la division tombe juste"),on dit que a est un multiple de b, ou bien que b est un diviseur de a, ou encore que a est divisible parb.
Définitions
Par exemple :◮ 15 est un multiple de 3, car 15= 3×5Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.◮ 17 n’est pas un multiple de 3, car 17= 3×5+2
Il est possible, grâce à quelques règles très simples, de savoir si un nombre entier est un multiple de 2, 3, 4,5, ou 9. Ces règles sont appelées critères de divisibilité :
• Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0.• Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.• Un nombre sera divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.• Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.• Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Critères de divisibilité
Par exemple :726 est divisible par 2, car il se termine par 6.726 est divisible par 3, car 7+2+6 = 15 est un multiple de 3.726 n’est pas divisible par 4, car 26 n’est pas un multiple de 4.726 n’est pas divisible par 5 (car il ne se termine ni par 5, ni par 0).726 n’est pas divisible par 9, car 7+2+6 = 15 n’est pas un multiple de 9.
3.2 Division décimale
Le quotient d’un nombre décimal a par un nombre entier non nul b est le nombre qui, multiplié par b,donne a. Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante :b×? = a.Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte (ou unevaleur approchée) de ce quotient.
Définition
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Technique :
Le quotient de 23 par 5 est 4,6 ; on a 5×4,6 = 23. On écrit 23÷5= 4,6
2 3− 2 0
3 0− 3 0
0
54,6
0,
Le quotient de 472,8 par 16 est 29,55 ; on a 16×29,55= 472,8. On écrit 472,8÷16= 29,55
4 7 2,8− 3 2
1 5 2− 1 4 4
8 8− 8 0
8 0− 8 0
0
1 62 9,5 5
0
au moment où l’on abaisse le chiffre des dixièmes dans le dividende, on pose une virgule dans lequotient.
A retenir :
Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête jamais", ou encore lorsque le quotientcomporte un grand nombre de décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du quotient.
5 2− 4 9
3 0− 2 8
2 0− 1 4
6 0− 5 6
4 0− 3 5
5 0− 4 9
1
77,4 2 8 5 7 . . .
. . .
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Il y a plusieurs manières de donner une valeur approchée de ce quotient :
Troncature au dixième 52÷7≈ 7,4 On "coupe" (on "tronque") le nombre juste après le chiffredes dixièmes
Troncature au centième 52÷7 ≈ 7,42 On "coupe" (on "tronque") le nombre juste après le chiffredes centièmes
Arrondi au dixième 52÷7≈ 7,4On prend le nombre décimal ayant un chiffre après la vir-gule qui soit le plus proche du quotient
Arrondi au centième 52÷7 ≈ 7,43On prend le nombre décimal ayant deux chiffres après lavirgule qui soit le plus proche du quotient
En fait, pour déterminer un arrondi, c’est le dernier chiffre de la troncature qui est important. Si ce chiffreest 0, 1, 2, 3 ou 4 alors l’arrondi est la troncature elle-même. Mais si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors, pourtrouver l’arrondi, on augmente ce dernier chiffre de 1.
Remarque : On ne peut jamais diviser un nombre par 0 ; en effet, si on voulait diviser un nombre non nula par zéro, cela reviendrait à chercher le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante : 0×? = a.Or on sait que, quel que soit la valeur que l’on donne au symbole " ?", le produit 0×? sera toujours égal à 0...et sûrement jamais à a ! !
3.3 Division par 10, 100, 1000
Pour diviser un nombre décimal par 10, il suffit de décaler la virgule de 1 rang vers la gauche.Pour diviser un nombre décimal par 100, il suffit de décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche.Pour diviser un nombre décimal par 1 000, il suffit de décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche. etc...(on complètera par des zéros si nécessaire)
Règle de calcul
Exemples :56÷10= 5,6 14,4÷100= 0,144 52÷1 000= 0,52
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Chapitre 4
6ème - Fractions
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Écriturefraction-naire
– Interpréter ab
commequotient de l’entier a
par l’entier b, c’est-à-dire comme le nombrequi multiplié par b
donne a.– Placer le quotient de
deux entiers sur unedemi-droite graduéedans des cas simples.
A l’école élémentaire, l’écriture fractionnaire est introduite en réfé-rence au partage d’une "unité".Les activités en sixième s’articulent autour de trois idées fondamen-tales :– le quotient a
best un nombre ;
– le produit de ab par b est égal à a ;
– le nombre ab peut être approché par un décimal.
Par exemple, 73 est un nombre que l’on pourra envisager comme
– 7 fois un tiers,– le tiers de 7 ou le nombre qui multiplié par 3 est égal à 7,– un nombre dont une valeur approchée est 2,33.
La remarque est faite que tout nombre décimal peut s’écrire sous
forme de quotient. Par exemple, 0,4 = 410 = 2
5 . En revanche, certains
quotients ne sont pas des nombres décimaux : 73 6= 2,33.
Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numéra-
teur, dénominateur.
Multiplier un nombre en-tier ou décimal par unquotient de deux entierssans effectuer la division.
Il s’agit de "prendre une fraction" d’une quantité. L’utilisation de quo-
tients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les
raisonnements et de repousser la recherche d’une valeur approchée
décimale à la fin de la résolution.
Le vocabulaire commun, introduit à l’école primaire, est utilisé :
double/moitié, triple/tiers, quadruple/quart. Les élèves doivent être
entraînés à effectuer mentalement des calculs utilisant ces expres-
sions, sur des nombres entiers ou décimaux simples.
Reconnaître dans des cassimples que deux écrituresfractionnaires différentessont celles d’un mêmenombre.
Le fait qu’un quotient ne change pas quand on multiplie son numé-
rateur et son dénominateur par un même nombre non nul est mis en
évidence et utilisé. La connaissance des tables de multiplication est
notamment exploitée à cette occasion.
La notation ab peut, à partir de là, être étendue au cas du quotient de
deux décimaux et des égalités comme 5,242,1 = 524
210 peuvent être utilisées,
mais aucune compétence n’est exigible à ce sujet.
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4.1 Situation de partage
Un rectangle, partagéen cinq parts égales.
On a colorié unepart du rectangle, cequi représente uncinquième
(15
)du
rectangle.
On a colorié trois partsdu rectangle, ce quireprésente trois cin-quièmes
(35 = 3× 1
5
)du
rectangle.
On a colorié les cinqparts du rectangle, cequi représente cinqcinquièmes
(55 = 5× 1
5
)
du rectangle, et doncsa totalité
(5× 1
5 = 1).
On a colorié sept parts de cerectangle, ce qui représentesept cinquièmes
(75 = 7× 1
5
)du
rectangle.
– Quand on partage en deux parts égales, on obtient des demis,– Quand on partage en trois parts égales, on obtient des tiers,– Quand on partage en quatre parts égales, on obtient des quarts,– Quand on partage en cinq, six, sept,. . ., dix,. . ., cent parts
égales, on obtient des cinquièmes, sixièmes, septièmes,. . .,dixièmes,. . ., centièmes,. . ..
Vocabulaire :
4.2 Ecriture fractionnaire d’un quotient
On se rappelle que le quotient exact d’un nombre entier a par un nombre entier b (non nul) est le nombrequi, multiplié par b, donne a. (voir chapitre 6). Autrement dit, le quotient de a par b est le facteur manquantdans la multiplication a×? = b.
Le quotient de a par b peut s’écrire sous forme fractionnaire : a÷b =a
b, et on a b ×
a
b= a.
a est appelé numérateur de la fraction, alors que b est appelé dénominateur de cette fraction.
Définition
Par exemple,
– l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 5 est 85 ; de plus, ce quotient est exact, et vaut 1,6. On a 5× 8
5 =5×1,6= 8.
– l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 3 est 83 ; mais ce quotient ne peut pas s’écrire sous la forme
d’un nombre décimal (la division "ne s’arrête pas") : on ne peut en donner qu’une valeur décimale appro-chée (par exemple, son arrondi au centième est 2,67). On a 3× 8
3 = 8.
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Il est donc important de retenir que le quotient ab
, écrit sous forme fractionnaire, est un nombre, quipeut s’écrire sous la forme d’un nombre décimal
(comme 8
5
)ou pas
(comme 8
3
).
Remarque
Par exemple, 73 est un nombre écrit sous forme fractionnaire : c’est le quotient de 7 par 3 (que l’on pourrait
aussi écrire 7÷3), c’est le facteur manquant dans la multiplication 3×? = 7. On a ainsi 3× 73 = 7. Le nombre
73 se lit "sept tiers", ou encore "le tiers de sept". Ce nombre ne peut pas s’écrire sous forme décimale, maison peut en donner une valeur décimale approchée (par exemple, 7
3 ≈ 2,33).Comme tous les autres nombres, on peut placer le nombre 7
3 sur une droite graduée :
0 1 2 3
73
On le fait en "comptant les tiers" à partir de 0 (sept graduations, donc).
4.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre
Un quotienta
bne change pas lorsque l’on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur
par un même nombre non nul :
a
b=
a×k
b ×ket
a
b=
a÷k
b ÷ket ceci, quel que soit le nombre k différent de 0
Propriété
Par exemple :8
5et
24
15sont deux écritures fractionnaires d’un même nombre, dont l’écriture décimale est 1,6.
En effet,8
5=
8×3
5×3=
24
15; ces deux nombres sont placés au même endroit sur la droite graduée :
0 1 2
85 = 24
1515
115
Illustration :
Les fractions3
4et
9
12sont égales :
en effet,3
4=
3×3
4×3=
9
12
On a colorié les 34 du
rectangle.On a colorié les 9
12 durectangle.
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◮ Une première application : calcul mental
Exemple 1 :7
5=
7×2
5×2=
14
10= 1,4 Exemple 2 :
4
25=
4×4
25×4=
16
100= 0,16
◮ Une deuxième application importante : simplifier une fraction
Exemple 1 :63
45=
63÷9
45÷9=
7
5Exemple 2 :
36
44=
9× �4
11× �4=
9
11
◮ Une troisième application : quotient de deux nombres décimaux
Exemple 1 :15
0,4=
15×10
0,4×10=
150
4Exemple 2 :
3,24
4,8=
3,24×10
4,8×10=
32,4
48
ce qui permet de poser la division d’un nombre décimal par un autre : 3 2,4,− 2 8 8
3 6 0− 3 3 6
2 4 0− 2 4 0
0
4 8,0,6 7 5
où l’on décale la virgule dans le dividende et dans le diviseur du même nombre de rangs (ce qui revient àles multiplier par 10, 100,. . .), jusqu’à ce que le diviseur soit entier !
Tous les nombres décimaux (et donc aussi les nombres entiers) admettent des écritures fraction-
naires : par exemple : 2,4=24
10=
12
5= . . . 3=
3
1=
6
2=
30
10= . . .
Remarque importante
4.4 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire
Si les deux fractions ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs entreeux, et on conserve le dénominateur commun :
a
b+
c
b=
a+c
bet
a
b−
c
b=
a−c
b
Addition et soustraction de deux nombres en écriture fractionnaire
◮ Si les deux fractions ont déjà le même dénominateur :
Exemple 1 :5
3+
8
3=
5+8
3=
13
3Exemple 2 :
33
100−
17
100=
33−17
100=
16
100= 0,16
◮ Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur :On commence par utiliser la règle des quotients égaux, pour que les deux fractions aient le même dénomi-nateur :
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Exemple 1 :3
4+
5
8=
6
8+
5
8=
6+5
8=
11
8Exemple 2 :
16
5−
27
10=
32
10−
27
10=
32−27
10=
5
10= 0,5
Pour effectuer l’opérationa
b×c, il y a trois possibilités :
Méthode 1 : Méthode 2 : Méthode 3 :
On multiplie le nombre c par a,puis on divise le résultat par b
On divise a par b, puis on mul-tiplie le résultat par c
On divise c par b, puis on mul-tiplie le résultat par a
a
b×c = (a×c)÷b
a
b×c = (a÷b)×c
a
b×c = (c ÷b)×a
Multiplication d’un nombre décimal ou entier par une fraction
Par exemple :
,◮2
3×15 =
(2×15)÷3= 30÷3 = 10 avec la méthode 1
impossible avec la méthode 2
(15÷3)×2= 5×2 = 10 avec la méthode 3
,◮3
10×8 =
(3×8)÷10= 24÷10= 2,4 avec la méthode 1
(3÷10)×8= 0,3×8 = 2,4 avec la méthode 2
(8÷10)×3= 0,8×3 = 2,4 avec la méthode 3
,◮7
3×15 =
difficile avec la méthode 1
impossible avec la méthode 2
(15÷3)×7= 5×7 = 35 avec la méthode 3
Il s’agit ici de "prendre une fraction" ab
d’une quantité c ; par exemple, lorsque je dis que je prends les deux
tiers de quinze (euros, par exemple), je dois effectuer le calcul2
3×15.
Prendre t% d’une quantité, c’est multiplier cette quantité part
100.
Application : Appliquer un pourcentage
Par exemple, si je veux calculer 15% de 250, je fais15
100×250= 37,5.
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Chapitre 5
5ème - Fractions
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de donnéeset fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T2 Résoudre un problème et rédiger sa solution
N11 Reconnaître si un nombre entier est un multiple ou un diviseur d’unautre nombre (∗)
N12 Utiliser des écritures fractionnaires différentes d’un même nombre
N13 Comparer des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dé-nominateur, ou dont le dénominateur de l’un est multiple du déno-minateur de l’autre
N14 Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire ayantle même dénominateur (∗), ou dont le dénominateur de l’un est mul-tiple du dénominateur de l’autre
N15 Multiplier des nombres en écriture decimale ou fractionnaire
N16 Effectuer à la main des calculs enchaînés avec des fractions
N17 Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs avec des fractions
N18 Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
5.1 Ecriture fractionnaire d’un quotient
Soient a et b deux nombres, b étant différent de 0.Le quotient de a par b peut s’écrire sous forme fractionnaire : a÷b = a
b, et on a b × a
b= a.
Si les deux nombres a et b sont entiers, le quotient ab
est appelé "fraction", a est appelé numérateur decette fraction, alors que b est appelé dénominateur de cette fraction.Par exemple,• l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 5 est 8
5 ; de plus, ce quotient est exact, et vaut 1,6.• l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 3 est 8
3 ; mais ce quotient ne peut pas s’écrire sous la formed’un nombre décimal (la division "ne s’arrête pas") : on ne peut en donner qu’une valeur décimale appro-chée (par exemple, son arrondi au centième est 2,67). Comme tous les autres nombres, on peut placer lenombre 8
3 sur une droite graduée :0 1 2 3
8
3
5.2 Multiples et diviseurs
Soient a et b deux nombres entiers positifs.Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro, on dit que a est un multiple de b, ou que b estun diviseur de a, ou encore que a est divisible par b.
Définitions : multiple, diviseur, divisible
Exemples :• 15 est un multiple de 3, car 15= 3×5Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.• 17 n’est pas un multiple de 3, car 17 = 3×5+2
Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants :• Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8• Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3• Un nombre sera divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4• Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.• Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Critères de divisibilité
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Exemple : Le nombre 1380– est divisible par 2, car il se termine par le chiffre 2.– est divisible par 3, car 1+3+8+0 = 12 qui est un multiple de 3.– est divisible par 4, car ses deux derniers chiffres forment le nombre 80, qui est un multiple de 4– est divisible par 5, car il se termine par le chiffre 0.– n’est pas divisible par 9, car 1+3+8+0 = 12 qui n’est pas un multiple de 9.
5.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre
On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et sondénominateur par un même nombre non nul.
Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) :a
b=
a×k
b ×ket
a
b=
a÷k
b ÷k
Propriété
◮ Application 1 : transformer l’écriture d’une fraction
•3
5=
3×2
5×2=
6
10•
4
9=
4×5
9×5=
20
45•
36
100=
36÷4
100×4=
9
25•
12
21=
12÷3
21÷3=
4
7
◮ Application 2 : simplifier une fraction
Simplifier une fraction signifie trouver une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et undénominateur plus petits.
Définition : simplifier une fraction
Par exemple :
•8
12=
2× �4
3× �4=
2
3•
20
35=
4× �5
�5×7=
4
7•
24
30=
12× �2
�2×15=
12
15•
135
75=
45× �3
25× �3=
45
25
Lorsque l’on ne peut plus simplifier la fraction, on dit que celle-ci est irréductible
Définition : fraction irréductible
Par exemple : ci-dessus, les fractions 23 et 4
7 sont irréductibles, alors que les fractions 1215 et 45
25 peuvent encoreêtre simplifiées (par 3 pour la première, par 5 pour la deuxième).
◮ Application 3 : division par un nombre décimal
Pour diviser par un nombre décimal,– on commence par rendre le diviseur entier en le multipliant par 10, 100, 1000,. . .– on multiplie alors le dividende par le même nombre (10, 100, 1000 . . . )– on effectue la division obtenue en la posant.
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Par exemple, si on veut calculer le quotient de 6,24 par 4,8 :
6,24
4,8=
6,24×10
3,2×10=
62,4
32= 1,3 Opération posée : 6 2,4,
− 4 81 4 4
− 1 4 40
4 8,1,3
5.4 Comparer des fractions
Comparer deux nombres signifie dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sontégaux.On utilise les symboles < ("est inférieur à", "est plus petit que"), > ("est supérieur à", "est plus grand
que") et = ("est égal à")
Définition
◮ Comparer deux fractions ayant le même dénominateur
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur,alors ils sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs.
Règle de comparaison 1
Exemples : •5
7<
8
7car 5 < 8 •
13
11>
8
11car 13 > 8
◮ Comparer deux fractions ayant le même numérateur
Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même numérateur,alors ils sont rangés dans l’ordre inverse leurs dénominateurs.
Règle de comparaison 2
Exemples : •5
7>
5
9car 7 < 9 •
13
11>
13
15car 11 < 15
◮ Comparer deux fractions, le dénominateur de l’une étant un multiple du dénomina-teur de l’autre
On commence par réduire les deux fractions au même dénominateur, avant d’appliquer la règle 1.
Exemple : • Comparons5
7et
9
14; on a
5
7=
5×2
7×2=
10
14; or
10
14>
9
14donc
5
7>
9
14
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◮ Comparer deux fractions en les comparant à un même nombre entier
• Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est inférieur à son dénominateur, alors cenombre est inférieur à 1.
• Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur, alors cenombre est supérieur à 1.
Règle de comparaison 3
Exemple : • Comparons5
7et
9
8; on a
5
7< 1 car 5< 7 ; de plus
9
8> 1 car 9> 8 donc
5
7<
9
8
◮ Comparer deux fractions dans les autres cas
Bien que réduire au même dénominateur soit toujours possible, il est parfois utile de comparer des nombresen écriture fractionnaire en effectuant les quotients, et en comparant leurs valeurs (exactes ou approchées).
Par Exemple : • Comparons5
4et
23
19; on a
5
4= 1,25 ; de plus
23
19≈ 1,21 Comme 1,25 > 1,21, on en
conclut que5
4>
23
19
5.5 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire
Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver ledénominateur commun, et d’additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux.
Si a, b et c sont des nombres (b non nul), on aa
b+
c
b=
a+c
bet
a
b−
c
b=
a−c
b.
Losque les dénominateurs sont les mêmes...
Exemples :
•3
4+
21
4=
3+21
4=
24
4= 6 •
4
3+
13
3=
4+13
3=
16
3•
25
14−
4
14=
25−4
14=
21
14=
3
2
Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence parles réduire au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.
Losque les dénominateurs sont différents...
Exemples :
•21
8+
3
4=
21
8+
3×2
4×2=
21
8+
6
8=
21+6
8=
27
8
• 3−7
12=
3
1−
7
12=
3×12
1×12−
7
12=
36
12−
7
12=
36−7
12=
29
12
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5.6 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puison multiplie les dénominateurs entre eux.
Si a, b, c et d sont quatre nombres (avec b et d différents de 0) :a
b×
c
d=
a×c
b ×d
Règle de multiplication de deux fractions
Exemples :
• 5×4
9=
5
1×
4
9=
5×4
1×9=
20
9
•7
5×
4
3=
7×4
5×3=
28
15
Il est parfois préférable de simplifier avant d’effectuer les produits
Remarque
•24
35×
14
16=
24×14
35×16=
(8×3)× (7×2)
(5×7)× (8×2)=
(�8×3)× (�7× �2)
(5× �7)× (�8× �2)=
3
5
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Chapitre 6
4ème - Nombres en écriture fractionnaire
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de donnéeset fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3 Résoudre un problème et rédiger sa solution ∗
N7 Transformer, simplifier l’écriture fractionnaire d’un nombre ∗
N8 Utiliser l’équivalence entre fractions égales et produits en croix égaux
N9 Multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire ∗∗
N10 Connaître et utiliser l’égalité a× 1b= a
b
N11 Diviser deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
N12 Ajouter, soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire ∗∗∗
N13 Organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec desnombres relatifs en écriture fractionnaire
N14 Organiser et effectuer à la calculatrice une succession de calculs avecdes nombres relatifs en écriture fractionnaire
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.∗∗ : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs.∗∗∗ : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs ayant le même dénominateur.
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6.1 Transformer, simplifier une écriture fractionnaire
On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dé-nominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec
b et k différents de 0) :a
b=
a×k
b ×ket
a
b=
a÷k
b ÷k
Transformer l’écriture fractionnaire d’un nombre
Exemple 1 : transformer l’écriture fraction-naire d’un nombre :
•−4
9=
−4×3
9×3=
−12
27
•28
−35=
28÷7
(−35)÷7=
4
−5
•17
2,5=
17×10
2,5×10=
170
25
Exemple 2 : simplifier une fraction :
•−24
39=
−8×3
13×3=
−8× �3
13× �3=
−8
13
•30
−42=
6×5
(−7)×6= �6×5
(−7)× �6=
5
−7
•2×3×5×7
3×7×11=
2× �3×5× �7
�3× �7×11=
10
11
6.2 Produits en croix et égalité de fractions
a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) ;
• Sia
b=
c
d, alors a×d = b ×c
• Si a×d = b ×c, alorsa
b=
c
d
Propriété des produits en croix
Exemple : déterminer si deux fractions sont égales :
•−12
27=
52
−117; en effet on a d’une part (−12)× (−117)= 1404 et d’autre part 27×52= 1404.
•75 025
46 3686=
196 418
121 393
en effet, le dernier chiffre de 75 025×121 393 est un 5, alors que le dernier chiffre de 46 368×196 418 est un4 ! Et pourtant, la calculatrice donne la même valeur approchée pour les deux quotients :
75025/46368
1.618033989
196418/121393
1.618033989
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6.3 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puison multiplie les dénominateurs entre eux.
Si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) :a
b×
c
d=
a×c
b ×d
Règle de multiplication de deux fractions
Exemples :
• 5×−4
9=
5
1×−4
9=
5× (−4)
1×9=
−20
9
•7
5×−4
3=
7× (−4)
5×3=
−28
15
Il est parfois préférable de simplifier avant d’effectuer les pro-duits, comme le montre cet exemple :
•24
−35×
14
16=
24×14
(−35)×16=
(�8×3)× (�7× �2)
((−5)× �7)× (�8× �2)=−
3
5
6.4 Inverse d’un nombre relatif
Deux nombres (non nuls) seront dits inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1
Si a est un nombre relatif non nul, son inverse est1
a, qui se note aussi a−1.
Si a et b sont deux nombres relatifs non nuls, l’inverse dea
best
b
a.
Définition
En effet, pour tous nombres relatifs a et b non nuls :
a×1
a=
a
a= 1 et
a
b×
b
a=
a×b
b ×a=�a×��b
��b �a= 1
Exemples :
• 2,5 et 0,4 sont deux nombres inverses l’un de l’autre, car 2,5×0,4= 1
• L’inverse de −8 est1
−8=−0,125 BAttention à ne pas confondre : l’opposé de −8 est 8 ! !
• L’inverse de2
3est
3
2= 1,5. • L’inverse de 0,6 =
3
5est
5
3.
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.
Si a et b sont des nombres relatifs (b non nul), alorsa
b= a×
1
b
Propriété
Exemples d’utilisation :
• L’inverse de 5 est 0,2 ; ainsi, on a, par exemple,23
5= 23×
1
5= 23×0,2= 4,6.
• L’inverse de 0,25 est 4 ; ainsi, on a, par exemple,3
0,25= 3×
1
0,25= 3×4 = 12.
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6.5 Diviser par un nombre en écriture fractionnaire
Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction.Si a, b, c et d sont des nombres relatifs (b, c et d non nuls),
alors on aa
b÷
c
d=
a
b×
d
c(ou encore
a
bc
d
=a
b×
d
c)
Propriété
Exemples :
• 5÷3
4= 5×
4
3=
20
3•−2
3÷5 =
−2
3×
1
5=
−2
15•
3
7÷
4
9=
3
7×
9
4=
27
28
6.6 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire
Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver ledénominateur commun, et d’additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux.
Si a, b et c sont des nombres relatifs (b non nul), on aa
b+
c
b=
a+c
b.
Losque les dénominateurs sont les mêmes...
Exemples :
•3
4+
21
4=
3+21
4=
24
4= 6 •
−4
3+
17
3=
−4+17
3=
13
3•
15
7−
4
7=
15−4
7=
11
7
Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence parles réduire au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.
Losque les dénominateurs sont différents...
Exemples :
•3
4+
21
8=
3×2
4×2+
21
8=
6
8+
21
8=
6+21
8=
27
8(8 est le plus petit multiple commun à 4 et 8)
•−5
6+
7
4=
−5×2
6×2+
7×3
4×3=
−10
12+
21
12=
−10+21
12=
11
12(12 est le plus petit multiple commun à 4 et 6)
•−3
7+
5
8=
−3×8
7×8+
5×7
8×7=
−24
56+
35
56=
−24+35
56=
11
56(56 est le plus petit multiple commun à 7 et 8)
•−11
6+3 =
−11
6+
3
1=
−11
6+
3×6
1×6=
−11
6+
18
6=
−11+18
6=
7
6(3 est le plus petit multiple commun
à 1 et 3)
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Chapitre 7
4ème - Puissances
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de donnéeset fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N15 Comprendre les notations an et a−n (∗)
N16 Calculer à la main des produits, des quotients de puissances (∗)
N17 Multiplier un nombre décimal par 10n ou 10−n (∗)
N18 Ecrire un nombre décimal sous forme scientifique (ou d’autresformes faisant intervenir les puissances de 10)
N19 Utiliser la notation scientifique pour obtenir un ordre de grandeur durésultat d’un calcul
N20 Effectuer à la main des calculs contenant des puissances
N21 Effectuer à la calculatrice des calculs contenant des puissances
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
7.1 Comprendre les notations an et a−n
Soit a un nombre relatif (différent de 0), et n un entier positif (n ≥ 2).On note an , et on prononce "a exposant n", le produit de n facteurs, tous égaux à a :
an = a×a×a×·· · ×a︸ ︷︷ ︸n facteurs
De plus, on a a1 = a et a0 = 1
Définition : puissances d’exposant positif
Exemples :
• 74 = 7×7×7×7= 2401 • (−5)3 = (−5)× (−5)× (−5) =−125 •(
3
4
)5
=3
4×
3
4×
3
4×
3
4×
3
4=
243
1024
• (−35)1 =−35 • 170 = 1
Remarques : B Attention à l’importance des parenthèses ! !
• −34 =−3×3×3×3=−81 alors que (−3)4 = (−3)× (−3)× (−3)× (−3) = 81
•2
7
2
=4
7alors que
(2
7
)2
=2
7×
2
7=
4
49
En écriture décimale, 10n s’écrit avec le chiffre 1 suivi de n zéros : 10n = 1 00 · · ·0︸ ︷︷ ︸n zéros
Cas particulier : les puissances de 10
Exemples :
• 105 = 10×10×10×10×10= 100 000 • 1012 = 10×10×10×·· ·×10︸ ︷︷ ︸12 facteurs
= 1 000 000 000 000
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Soit a un nombre relatif (différent de 0), et n un entier positif (n ≥ 1).On note a−n l’inverse de an :
a−n =1
a×a×a×·· · ×a︸ ︷︷ ︸n facteurs
Définition : puissances d’exposant négatif
Exemples :
• 3−2 =1
32 =1
9• 2−4 =
1
24 =1
16= 0,0625 • (−7)−3 =
1
(−7)3 =−1
343• 20−1 =
1
201 =1
20= 0,05
En écriture décimale, 10−n s’écrit avec le chiffre 1 précédé de n zéros, avec une virgule après le premier
zéro : 10−n =1
10n= 0,0 · · ·0︸ ︷︷ ︸
n zéros
1
Cas particulier : les puissances de 10
Exemples :
• 10−5 =1
105=
1
100 000= 0,000 01 • 10−9 =
1
109= 0,000 000 001 • 10−1 =
1
101=
1
10= 0,1
Remarque : peut-être comprenez-vous mieux à présent pourquoi la touche "inverse" de la calculatrice est
celle-ci : x−1
7.2 Effectuer des produits, des quotients de puissances
7.2.1 Opérations sur les puissances d’un même nombre
Prenons quelques exemples :
• Il est assez facile de multiplier deux puissances d’un même nombre :
43 ×42 = (4×4×4)× (4×4)= 4×4×4×4×4 = 45 d’où 43 ×42 = 45 ou encore
105×101 = (10×10×10×10×10×10)×10= 10×10×10×10×10×10×10= 106 d’où 105 ×101 = 106
• Il est également assez facile de diviser deux puissances d’un même nombre :
57
54=
5×5×5×5×5×5×5
5×5×5×5=
5×5×5× �5× �5× �5× �5
�5× �5× �5× �5= 5×5×5 = 53 d’où
57
54= 53 ou encore
102
105 =10×10
10×10×10×10×10= ��10×��10
��10×��10×10×10×10=
1
10×10×10=
1
103 = 10−10 d’où102
105 = 10−3
• Mais attention : il n’y a pas de règle "toute faite" pour additionner ou soustraire des puissances d’un
même nombre :
24 +27 = 16+128= 144 qui n’est pas une puissance de 2. . .
ou encore 107 −103 = 10 000 000−1 000= 9 999 000
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7.2.2 Calculer une puissance d’un produit ou d’un quotient
Prenons là aussi quelques exemples :
• (5,2×10)2 = (5,2×10)× (5,2×10)= 5,2×10×5,2×10= 5,2×5,2×10×10= 5,22 ×102
d’où (5,2×10)2 = 5,22 ×102
•(
2
7
)3
=2
7×
2
7×
2
7=
23
73 d’où
(2
7
)3
=23
73
7.2.3 Prendre la puissance d’une puissance
Encore quelques exemples :
• (53)2 = (53)× (53) = (5×5×5)× (5×5×5) = 5×5×5×5×5×5= 56 d’où (53)
2 = 56
• (104)3 = 104 ×104 ×104 = 10 000×10 000×10 000= 1 000 000 000 000= 1012 d’où (104)
3 = 1012
Si n et p sont des entiers relatifs, on a :
• 10n ×10p = 10n+p •10n
10p= 10n−p • (10n)p = 10n×p
Formules de calcul sur les puissances de 10
7.3 Multiplier un nombre décimal par 10n, par 10−n
Soit n un entier positif ;• Pour multiplier un nombre décimal par 10n, il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la droite, encomplétant par des zéros si nécessaire.• Pour multiplier un nombre décimal par 10−n , il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la gauche,en complétant par des zéros si nécessaire.
Multiplier par 10n, par 10−n
Exemples :
52,147×102 = 5214,7 0,00019×107 = 1900
214758×10−4 = 21,4758 21,3×10−6 = 0,0000213
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7.4 Ecriture scientifique d’un nombre décimal
La notation scientifique d’un nombre décimal est l’écriture de ce nombre sous la forme a×10n où :– a est un nombre décimal n’ayant qu’un seul chiffre avant la virgule (ce chiffre ne pouvant pas être
0),– n est un entier relatif (positif ou négatif).
Ecriture scientifique
Exemples : On peut s’aider d’un tableau comme celui-ci :
107 106 105 104 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8
−2 4 5 9 , 1
9 5 3 0 0 0 0
0 , 0 0 0 6 3
L’écriture scientifique de −2459,1 est −2,4591×103
L’écriture scientifique de 9530000 est 9,53×106
L’écriture scientifique de 0,00063 est 6,3×10−4
B Attention ! On peut écrire que 9530000= 95,3×105, mais l’écriture ainsi obtenue n’est pas une écriture
scientifique (car 95,3 a deux chiffres avant la virgule).
B Attention ! On peut écrire que 0,00063= 0,63×10−3, mais l’écriture ainsi obtenue n’est pas une écriture
scientifique (car 0,63 a un seul chiffre avant la virgule, mais c’est un zéro).
7.5 Obtenir un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d’uncalcul en utilisant la notation scientifique
La notation scientifique est très pratique, entre autres, pour comparer de très grands nombres entre eux,
ou pour comparer de très petits nombres entre eux. Elle peut aussi nous permettre de travailler sur les
encadrements et sur les ordres de grandeur ; par exemple :
Soit A le nombre 629 547 200, et B le nombre 0,0000297.
Nombre Ecriture scientifique Encadrement Ordre de grandeur
A = 629 547 200 A = 6,295472×108 108 < A < 109 A ≈ 6×108.
B = 0,0000297 B = 2,97×10−5 10−5 < B < 10−4 B ≈ 3×10−5
◮ On peut en déduire, par exemple, un ordre de grandeur du produit A×B :(6×108
)×
(3×10−5
)= (6×3)×
(108 ×10−5
)= 18×103 = 18000
◮ ou encore, un ordre de grandeur du quotient AB
:6×108
3×10−5 =6
3×
108
10−5 = 2×1013 = 20 000 000 000 000
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7.6 Effectuer à la main des calculs avec des puissances
Dans un enchaînement de calculs, les priorités sont les suivantes :
1. d’abord, on effectue les calculs entre parenthèses ;
2. ensuite, on calcule les puissances ;
3. ensuite, on effectue les multiplications et les divisions ;
4. pour finir, on effectue les additions et soustractions.
Priorités
Exemples :
A =−12+5×23
A =−12+5×8
A =−12+40
A = 28
B =−33 × (4−6)2
B =−27× (−2)2
B =−27×4
B =−108
C = 5×1017 −380×1015
C = 500×1015 −380×1015
C = (500−380)×1015
C = 120×1015
D =4×107 ×6×
(10−4
)2
8×103
D =4×6
8×
107 ×10−8
103
D =24
8×
10−1
103
D = 3×10−4
Remarques : • Dans les calculs A et B, les règles de priorité s’exercent de manière classique.
• Dans le calcul C, plutôt que de recourir à l’écriture décimale des deux termes de la différence, on a préféré
écrire chaque terme en utilisant la même puissance de 10, avant de mettre cette puissance de 10 en facteur.
• Dans le calcul D, on regroupe d’une part les puissances de 10, d’autre part les autres nombres, et on
effectue les calculs séparément.
7.7 Puissances et utilisation de la calculatrice
La touche pour les puissances est soit x� (sur les Casio), soit la touche∧
(sur les TI)
Lorsqu’il y a besoin de plus de 9 chiffres pour écrire un nombre, la calculatrice affiche directement l’écriture
scientifique de ce nombre.
On peut forcer la calculatrice à écrire les nombres sous forme scientifique en tapant SHIFT MODE , puis
choisir SCI (sur les Casio), ou encore en tapant 2nd MODE , puis choisir SCI (sur les TI)
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Chapitre 8
3ème - Racines carrées
Extrait du programme de la classe de Troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Calculs élémentairessur les radicaux (ra-cines carrées)Racine carrée d’unnombre positif.
Savoir que, si a désigne un nombrepositif,
pa est le nombre positif dont
le carré est a.Sur des exemples numériques où a
est un nombre positif, utiliser les éga-lités :
(pa)2 = a,
pa2 = a.
Déterminer, sur des exemples numé-riques, les nombres x tels que x2 = a,
où a désigne un nombre positif.
La touche p de la calculatrice, qui
a déjà été utilisée en classe de qua-trième, fournit une valeur approchéed’une racine carrée.Le travail mentionné sur les identi-tés remarquables permet d’écrire deségalités comme :
(p2+1
)(p2−1
)=
1,(1+
p2)2 = 3+2
p2.
Produit et quotient dedeux radicaux
Sur des exemples numériques, où a
et b sont deux nombres positifs, uti-liser les égalités :p
ab =p
ap
b,
√a
b=
pa
pb
Ces résultats, que l’on peut facile-ment démontrer à partir de la défini-tion de la racine carrée d’un nombrepositif, permettent d’écrire des égali-tés telles que :p
45= 3p
5,
√4
3=
2p
3,
1p
5=
p5
5.
On habituera ainsi les élèves à écrireun nombre sous la forme la mieuxadaptée au problème posé.
8.1 Définition
Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre estappelé racine carrée de a, et est noté
pa.
Définition
Vocabulaire : Le symbole p est appelé radical ; dans l’expressionp
a, a est appelé radicande.
Par exemple :
◮ Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a doncp
9 = 3
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◮ Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l’on notep
2. Ce nombre n’est ni un
nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur exacte que sous la formep
2, mais on
peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touchep
2 :p
2≃ 1@414213562 ◮ Les
nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des premiers
carrés parfaits :
a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225p
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
◮ Pour tout nombre a positif, on a(p
a)2 = a
◮ Pour tout nombre a, on a
pa2 = a si a > 0.
pa2 =−a si a 6 0.
Premières propriétés
La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir :
–p
a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par(p
a)2 = a
–p
a2 est le nombre positif dont le carré est égal à a2.
Par exemple, pour a = 3, cela donnep
32 =p
9 = 3 (p
a2 = a si a > 0.).
Pour a =−5, cela donne√
(−5)2 =p
25= 5 =−(−5) (p
a2 =−a si a 6 0.)
8.2 Produit, quotient de racines carrées
Pour tous nombres positifs a et b, on ap
a×b =p
a ×p
b
Propriété
Preuve :(pa ×
pb)2
=(p
a ×p
b)×
(pa ×
pb)=
(pa ×
pa)×
(pb ×
pb)=
(pa)2 ×
(pb)2
= a×b
Or, par définition,p
a×b est l’unique nombre positif dont le carré est égal à a×b.
On a doncp
a×b =p
a×p
b
Pour tous nombres positifs a et b (b 6= 0), on a
√a
b=
pa
pb
Propriété
Preuve :(pa
pb
)2
=p
ap
b×p
ap
b=
pa ×
pa
pb ×
pb=
(pa)2
(pb)2 =
a
b
Or, par définition,
√a
best l’unique nombre positif dont le carré est égal à
a
b. On a donc
√a
b=
pa
pb
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Exemples d’utilisation :
•p
2×p
18 =p
2×18=p
36= 6
•p
45 =p
9×5=p
9×p
5 = 3×p
5 = 3p
5
•√
9
16=
p9
p16
=3
4
•√
9
5=
p9
p5=
3p
5
•p
3p
27=
√3
27=
√1
9=
p1
p9=
1
3
Un exercice important : Ecrirep
45+2p
5−3p
20 sous la forme la plus simple possible.p
45+2p
5−5p
20 =p
9×5+2p
5−5p
4×5
=p
9p
5+2p
5−5p
4p
5
= 3p
5+2p
5−5×2p
5
= 3p
5+2p
5−10p
5
= (3+2−10)p
5
= −5p
5
En règle générale,p
a+b 6=p
a+p
b
B Attention
Voyez l’exemple suivant :p
16+9 6=p
16+p
9 ; en effet :p
16+p
9 = 4+3 = 7 maisp
16+9=p
25= 5
8.3 Equation x2 = a
◮ Si a > 0, l’équation x2 = a a deux solutions, qui sontp
a et −p
a
◮ Si a = 0, l’équation x2 = a a une seule solution, qui est 0.◮ Si a < 0, l’équation n’a aucune solution
Un résultat important
Preuve :
Si a > 0 alors x2 = a
x2 −a = 0
x2 −(p
a)2 = 0
(x −
pa)(
x +p
a)= 0
Un produit est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul
x −p
a = 0 ou x +p
a = 0
x =p
a ou x =−p
a
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Par exemple :
– l’équation x2 +4 = 0, qui équivaut à x2 =−4, n’a pas de solution ; en effet, un carré est toujours positif.
– l’équation 2x2 +3 = 3+x2, qui équivaut à x2 = 0, a une unique solution, qui est x = 0.
– l’équation 3x2 −6 = 9, qui équivaut à x2 = 5, a deux solutions, qui sontp
5 et −p
5.
8.4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ?
Premier exemple :
On considère le nombre A =2p
3+1
5p
2On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
p2. On obtient alors :
A =(2p
3+1)×p
2
5p
2×p
2=
2p
3p
2+p
2
5×2=
2p
6+p
2
10
Deuxième exemple :
On considère le nombre A =p
2p
2+1On va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
(p2−1
), qui est appelée expression
conjuguée de(p
2−1). On obtient alors :
A =p
2×(p
2−1)
(p2+1
)×
(p2−1
) =2−
p2
(p2)2 −1
= 2−p
2
8.5 En géométrie
Diagonale d’un carréSoit ABC D un carré de côté 1d 2 = AC 2 = B A2+BC 2 = 12+12 = 1+1= 2d’où d = AC =
p2
A B
CD
d =p
2
45◦
1
1
Hauteur d’un triangle équilatéralSoit ABC un triangle équilatéral de côté 1
h2 = AH2 = B A2 −B H2 = 12 −(1
2
)2 = 1− 14 = 3
4
d’où h = AH =√
34 =
p3p4=
p3
2
A B
C
H
h =p
32
60◦
30◦1 1
On en déduit les valeurs exactesdes cosinus, sinus et tangentes desangles de 30, 45 et 60 degrés :
Mesure de l’angle (en degrés) 30◦ 45◦ 60◦
Sinus de l’angle 12
p2
2
p3
2
Cosinus de l’anglep
32
p2
212
Tangente de l’angle 1p3
1p
3
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Chapitre 9
3ème - PGCD
Références au programme
Contenus Compétences exigibles Commentaires
Nombres entiers et rationnels
Diviseurs communs à deux entiersFractions irréductibles
Déterminer si deux entiers sont premiers entre eux.Savoir qu’une fraction est dite irréductible si son numé-rateur et son dénominateur sont premiers entre eux.Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréduc-tible.
Cette partie d’arithmétique permet une première syn-thèse sur les nombres, intéressante tant du point de vuede l’histoire des mathématiques que pour la culture gé-nérale des élèves.Depuis la classe de 5ème, les élèves ont pris l’habitudede simplifier les écritures fractionnaires : la factorisationdu numérateur et du dénominateur se fait grâce aux cri-tères de divisibilité et à la pratique du calcul mental.Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ounon. On remarque que la somme et la différence de deuxmultiples d’un nombre entier sont elles-mêmes mul-tiples de cet entier. On construit alors un algorithme, ce-lui d’Euclide ou un autre, qui donnant le PGCD de deuxentiers permet de répondre à la question dans tous lescas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas lerecours aux nombres premiers. Les tableurs et les logi-ciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploitésavec profit.A côté des nombres rationnels, on rencontre au collègedes nombres irrationnels comme π et
p2.
On pourra eventuellement démontrer l’irrationnalité dep2. Une telle étude peut également être mise à profit
pour bien distinguer le calcul exact et le calcul appro-ché.
Les élèves ont déjà eu l’occasion de simplifier des écritures fractionnaires, mais sans disposer de critères pour déterminer si la fraction obtenue est irréductible
ou non. Les problèmes proposés à ce sujet en 3ème sont l’occasion d’enrichir les connaissances des élèves en arithmétique. Après avoir travaillé au cycle central
sur les notions de multiples et de diviseurs, il est nécessaire de savoir si deux entiers sont ou non premiers entre eux. Pour l’obtention du PGCD de deux entiers,
le programme préconise l’algorithme d’Euclide ou éventuellement un algorithme de différence - la répétition de la transformation qui à un couple d’entiers (a,
b) fait correspondre le couple constitué de leur minimum et de leur écart, par exemple qui à (285, 630) fait correspondre (285, 345) - plutôt que le recours à la
décomposition en facteurs premiers. Il n’est pas inutile de rappeler que l’arithmétique avait été bannie des programmes de mathématique du collège précisément
à cause de l’abus du recours à la décomposition en produit de facteurs premiers. Certes les facteurs premiers de petits nombres, 924 ou 1999 pour donner
des exemples, s’obtiennent facilement. Mais il n’en est plus du tout de même pour de plus grands nombres, dont l’ordinateur rend aujourd’hui naturelle la
considération. C’est ainsi qu’il sera par exemple beaucoup plus facile d’établir directement que les deux nombres 12345678910111213 et 10000000000000007
ne sont pas premiers entre eux que d’essayer de trouver leur décomposition en facteurs premiers. Certains domaines d’application avancée, tel le chiffrage de
messages (cryptage et décryptage), s’appuient largement sur la difficulté pratique d’obtention de certaines décompositions.
La synthèse sur les nombres rencontrés au collège permet par ailleurs de donner un nouvel éclairage sur les nombres rationnels, en mettant en évidence le
fait que tous les nombres ne sont pas rationnels. Le nombre π en est bien sûr un exemple, mais ce sont surtout les nombres qui ne peuvent pas être exprimés
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exactement autrement qu’en utilisant le symbole p (lettre r stylisée) qui en sont la meilleure illustration. Il est donc intéressant de faire prendre conscience
aux élèves de toute la richesse, tant théorique que pratique, à laquelle peut conduire une réflexion sur un objet tel quep
2 : longueur de la diagonale du carré
unité ou côté du carré d’aire double. L’utilisation d’un symbole particulier (presque un nom propre) laisse à penser que les écritures antérieures ne suffisaient
pas. Sa découverte constitue un des premiers succès historiques des mathématiques. Une démonstration de l’irrationalité dep
2 pourra, dans cette optique,
éventuellement être envisagée. Le théorème de Pythagore, vu en classe de 4ème, est pour le concept de racine carrée une bonne opportunité de mettre en oeuvre
le principe d’appuis mutuels entre différentes parties du programme.
9.1 Relation de divisibilité
9.1.1 Diviseurs d’un entier
On considère deux nombres entiers a et b avec b 6= 0.Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on dit que a est divisible par b et que b
est un diviseur de a.b est un diviseur de a signifie aussi que a est dans la table de multiplication de b (autrement dit a estun multiple de b).
Définitions :
Exemple :
• 2 est un diviseur de 18 car 18 est dans la table de 2 : 18 = 2×9.
• 5 n’est pas un diviseur de 48 car 48 n’est pas dans la table de 5 : 5×9 = 45 et 5×10 = 50.
Avec les petits nombres, en utilisant les tables de multiplications, il est facile de dire si un nombre est un
diviseur d’un autre nombre mais avec les grands nombres, en l’absence de calculatrice, on est obligés de
poser la division :
13 est-il un diviseur de 8021 ?
8 0 2 1 1 3
7 8 6 1 7
2 2
9 1
9 1
0
Le reste de la division euclidienne est nul donc 13 est un diviseur de 8021.
Tous les nombres entiers admettent au moins deux diviseurs évidents : 1 et le nombre lui-même. (car 1×a
= a×1 = a)
Il est donc possible de dresser la liste des diviseurs de n’importe quel nombre entier.
En général on procède ainsi :
Par exemple dressons la liste des diviseurs de 18 : 1 et 18 sont deux diviseurs evidents ; ensuite on regarde
les nombres entiers dans l’ordre croissant : 2 est un diviseur de 18 car 2×9 = 18 ce qui signifie que 9 en est
un aussi ; 3 aussi car 3×6 = 18, donc 6 en est un aussi ; 4 ne divise pas 18, 5 non plus, et on retrouve 6 que
l’on a déjà relevé. Ainsi, la liste des diviseurs de 18 est {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
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9.1.2 Diviseurs communs à deux entiers
Si deux entiers a et b sont divisibles par un même nombre entier k, on dit que k est un diviseur com-mun à a et b
Définition :
Exemples :
• 36 = 12× 3 et 24 = 12×2 donc 12 est un dviseur commun à 36 et 24 ;
• 36 = 8×4,5 et 24 = 8×3 donc 8 n’est pas un diviseur commun à 36 et 24 car ce n’est pas un diviseur de 36
Remarque : 1 est toujours diviseur commun à deux entiers a et b donc la liste des diviseurs communs à
deux entiers existe toujours.
En général, on procède ainsi : on dresse la liste de chaque entier et on regarde les nombres qui apparaissent
dans les deux listes.
Par exemple dressons la liste des diviseurs communs de 18 et 30 :
– liste des diviseurs de 18 : {1, 2, 3, 6, 9, 18} ;
– liste des diviseurs de 30 : {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
On en déduit la liste des diviseurs communs à 18 et 30 : {1, 2, 3, 6}. Ainsi, dans une liste de diviseurs com-
muns à deux entiers, il existe toujours un plus grand nombre, d’où la définition :
Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un deux est plus grand que les autres.On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) ; on le note PGCD(a ; b).
Propriété, Définition
Exemple : 6 est le PGCD de 18 et 30 : PGCD(18 ; 30) = 6.
9.1.3 Entiers premiers entre eux
Si deux entiers ont pour seul diviseur commun 1 (i.e PGCD(a ; b) = 1), on dit qu’ils sont premiers entreeux.
Définition :
Exemple : 12 et 35 on pour seul diviseur commun 1 : en effet
– liste des diviseurs de 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12} ;
– liste des diviseurs de 35 : {1, 5, 7, 35}
donc 12 et 35 sont premiers entre eux.
En revanche, 42 = 7×6 et 35 = 7×5 donc 42 et 35 sont divisibles par 7 donc 42 et 35 ne sont pas premiers
entre eux.
9.1.4 Propriétés des diviseurs communs
Si k est un diviseur commun aux entiers a et b avec a > b, alors k est aussi un diviseur de a+b et a−b.
Propriété :
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Démonstration : Si k est un diviseur commun à a et b, alors a = k × a′ et b = k ×b′ avec a′ et b′ entiers,
donc a+b = k ×a′+k ×b′ = k ×(a′+b′) donc k divise a+b.
De même a−b = k ×a′+k ×b′ = k ×(a′−b′) donc k divise a−b.
9.2 Calcul du PGCD de deux nombres à l’aide d’algorithmes
9.2.1 Algorithme des différences successives
D’après la propriété précédente, on peut trouver le moyen de calculer rapidement un PGCD sans avoir à
dresser la liste des diviseurs communs aux deux entiers : le PGCD de deux nombres est le même que le
PGCD du plus petit et de la différence des deux.
Exemple : calculons le PGCD de 578 et 170
Différences
578 170 408
408 170 238
238 170 68
170 68 102
102 68 34
68 34 34
34 34 0
Par différences successives, on diminue les deux
nombres, jusqu’à ce que la différence fasse 0 ; à cette
étape on a PGCD(578 ; 170) = PGCD(170 ; 238) = . . . =
PGCD(34 ; 34) = 34 donc le PGCD est la dernière dif-
férence non nulle dans les différences successives.
9.2.2 Algorithme d’Euclide
Soient a et b deux nombres entiers avec a > b et b 6= 0. Si r est le reste de la division euclidienne de a
par b, alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r ).
Propriété :
Démonstration : Il suffit de montrer que si k est un diviseur commun à a et b, alors k est encore un diviseur
commun à b et r :
r est le reste de la division euclidienne de a par b signifie qu’il existe un nombre entier q tel que a = b×q+r ;
Si k est un diviseur commun à a et b, alors a = k ×a′ et b = k ×b′ avec a′ et b′ entiers donc l’égalité précé-
dente devient k ×a′ = k ×b′×q + r donc r = k ×a′−k ×b′×q = k ×(a′−b′×q
)donc k est un diviseur de r
donc c’est un diviseur commun à b et r .
remarque : Pour être totalement rigoureux, il aurait fallu montrer aussi que si k est un diviseur commun à b
et r alors c’est un diviseur commun à a et b ce qui se montre très facilement avec la relation a = b ×q + r .
Application : calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide
En utilisant la propriété précédente, on peut trouver le PGCD de deux nombres, par exemple 3150 et 1246 :
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Restes
3150 1246 658 3150= 1246×2+658
1246 658 588 1246= 658×1+588
658 588 70 658= 588×1+70
588 70 28 588= 70×8+28
70 28 14 70= 28×2+14
28 14 0 28= 14×2+0
Par divisions successives du diviseur par le reste, on
diminue les deux nombres jusqu’à ce que le reste
fasse 0 ; à cette étape on a PGCD(3150 ; 1246) =
PGCD(1246 ; 658) = . . . = PGCD(28,14) = 14 donc le
PGCD est le dernier reste non nul dans les divisions
successives.
9.3 Fractions irréductibles
Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, on dit que cettefraction est irréductible.
Définition :
Cela signifie que l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple : 12 et 7 sont premiers entre eux donc 127 est une fraction irréductible.
On aura donc une fraction irréductible lorsqu’on aura simplifié la fraction par le plus grand diviseur com-
mun au numérateur et au dénominateur, c’est-à-dire par le PGCD :
En simplifiant la fraction ab
par PGCD(a ; b), on obtient une fraction irréductible.
Définitions :
Application : Simplifier la fraction 51481386 pour la rendre irréductible.
0n calcule le PGCD de 5148 et 1386 :
Restes
5148 1386 990 5148= 1386×3+990
1386 990 396 1386= 990×1+396
990 396 198 990= 396×2+198
396 198 0 396= 198×2+0
On a donc PGCD(5148 ; 1386) = 198 ; comme 5148 =
198×26 et 1386 = 198×7 on a donc :
5148
1386=
26
7
9.4 Eléments culturels et historiques
EUCLIDE d’Alexandrie grec, vers -285
On ne possède pas d’informations précises sur la vie d’Euclide. Il semble qu’il étudia à Athènes à l’Ecole des
successeurs de Platon et qu’il s’établit à Alexandrie sur l’invitation de Ptolémée II, roi d’Egypte.
Heureusement, ses Eléments, oeuvre monumentale en treize livres, nous sont parvenus et auront marqué
toutes les générations de mathématiciens jusqu’à nos jours : synthèse des mathématiques connues à son
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époque auxquelles il apporte compléments, démonstrations et rigueur en arithmétique, algèbre et géomé-
trie. Les quatre premiers volumes sont consacrés à la géométrie plane (livres I à IV).
Cette dernière est mise en place au moyen de cinq postulats (les demandes) et de neuf axiomes relatifs aux
grandeurs ("notions communes" à l’usage de la géométrie et de l’arithmétique).
Il serait plus correct de dire en français PGDC plutôt que PGCD. Cela provient de l’abréviation anglo-
saxonne GCD : Greatest Common Divisor... Idem pour le PPCM : de l’anglais LCM : Least Common Multiple.
Calcul d’un PGCD - méthode des différences
Cette méthode par différences est parfois appelée anthyphérésie (mot dérivé du grec anti dans le sens de
devant et aphairesis = action d’enlever). Elle est due à Euclide, dans le livre septième de ses Eléments, pro-
position 2.
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Deuxième partie
Algèbre
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Chapitre 10
5ème - Calcul littéral et distributivité
10.1 Distributivité de la multiplication sur l’addition
Sous ce titre compliqué se cache un principe plutôt simple, que l’on utilise parfois sans même le savoir
consciemment. Prenons un exemple : Calcul de l’aire d’un rectangle
Dans chacun des cas suivants, il existe deux manières de calculer l’aire du rectangle hachuré :
4 6
9,7
Première façon Deuxième façon
forme "produit" forme "somme"
9,7× (6+4) 9,7×6+9,7×4
Les deux calculs, une fois effectués en respectant
les règle de priorité, produisent bien évidemment
les mêmes résultats. Mais dans ce cas précis, la
forme "produit" semble beaucoup plus facile à uti-
liser pour calculer l’aire de rectangle ; elle vaut
9,7× (6+4) = 9,7×10= 97 cm2.
101
7,8
Première façon Deuxième façon
forme "produit" forme "différence"
7,8× (10−1) 7,8×10−7,8×1
Les deux calculs, une fois effectués en respectant
les règle de priorité, produisent bien évidemment
les mêmes résultats. Mais dans ce cas précis, la
forme "différence" semble beaucoup plus facile à
utiliser pour calculer l’aire de rectangle ; elle vaut
7,8×10−7,8×1= 78−7,8= 70,2 cm2.
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• Développer un produit consiste à le transformer en somme (ou en différence).On utilise les formulesk × (a+b) = k ×a+k ×b et k × (a−b) = k ×a−k ×b
• Factoriser une somme (ou une différence) consiste à la transformer en produit.On utilise les mêmes formules, mais lues "à l’envers" :k ×a+k ×b = k × (a+b) et k ×a−k ×b = k × (a−b)
Définitions - formules de distributivité
Exemples avec application au calcul réfléchi :
12,4× (10+1) = 12,4×10+12,4×1
On a "distribué" 12,4 sur chaque terme de la somme entre parenthèses ; on a développé cette expression
numérique. Il est plus simple de calculer cette expression sous sa forme développée (12,4×10+12,4×1=124+12,4= 136,4) que sous sa forme factorisée (12,4× (10+1)= 12,4×11=?)
19×12,7−19×2,7 = 19× (12,7−2,7)
19 est un "facteur commun" aux deux termes de la somme entre parenthèses ; on a factorisé cette expres-
sion numérique. Il est plus simple de calculer cette expression sous sa forme factorisée (19× (12,7−2,7)=19×10= 190) que sous sa forme développée (19×12,7−19×2,7=?−?=?)
10.2 Expressions littérales
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentéspar des lettres.
Définitions
Exemples :
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• Le périmètre d’un losange de côté c est donné parl’expression littérale 4×c.Si le losange considéré a un côté mesurant 6 cm, alorsson périmètre sera de 4×6 = 24 cm.
c
• Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de lar-geur l est donné par l’une des deux expressions litté-rales suivantes : 2× (L+ l ) ou 2×L+2× l .Si la longueur de ce rectangle vaut 8 cm, et sa largeur 5cm,alors son périmètre sera de 2×8+2×5 = 16+10 = 26cm. (ou 2× (8+5) = 2×13= 26 cm).
l
L
10.3 Simplification de l’écriture d’une expression littérale
Pour simplifier l’écriture d’une expression littérale, on peut supprimer le signe "×" :– devant une lettre,– devant une parenthèse.
Suppression du signe ×
Exemples :
2× y s’écrira 2y a×3 s’écrira 3a 2×(x+1) s’écrira 2(x+1)
3× (5−a) s’écrira 3(5−a) B 2×5 ne peut pas s’écrire 25 ! !
– Le produit a×a s’écrit a2, et se prononce "a au carré".– Le produit a×a×a s’écrit a3, et se prononce "a au cube".
Carrés, cubes
Exemples :
3×3 s’écrira 32 5×5×5 s’écrira 53 x ×x s’écrira x2
u ×u ×u s’écrira u3 8×8×c ×c ×c s’écrira 82 ×c3 2× y ×2× y × y s’écrira 22 × y3
10.4 Distributivité appliquée au calcul littéral
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Développement
• 8× (x +3) = 8×x +8×3= 8x +24
On a "distribué" 8 sur chaque terme de la somme
entre parenthèses ; on a développé cette expres-
sion littérale.
5(3−2x) = 5×3−5×2x = 15−10x
2(6x +5)= 2×6x +2×5 = 12x +10
Factorisation
• 12×x −12× y = 12× (x − y) = 12(x − y)
12 est un "facteur commun" aux deux termes de
la somme entre parenthèses ; on a factorisé cette
expression littérale.
14y −28= 14× y −14×2= 14× (y −2)
5m −5= 5×m −5×1 = 5× (m −1)
Un cas particulier intéressant de factorisation : la réduction d’une expression littérale
• 12b +5b = (12+5)b = 17b
• 10x −4x = (10−4)x = 6x
• 7m +m = 7m +1m = (7+1)mb = 8m
10.5 Tester si une égalité est vraie
Une égalité est composée de deux membres séparés par le symbole "=".Pour que l’égalité soit dite vraie (ou vérifiée), il faut que les deux membres aient la même valeur.
Notion d’égalité
Exemples :
5×3 = 7×2+1 est une égalité vraie, car
d’une part, le premier membre vaut 5×3 = 15
d’autre part, le second membre vaut 2×7+1 = 14+1= 15
5× (6−2) = 1+3×4 est une égalité fausse, car
d’une part, 5× (6−2)= 5×4 = 20
d’autre part, 1+3×4 = 1+12= 13
Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue unevaleur numérique, il faut procéder ainsi :– d’une part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par
leur(s) valeur(s) dans le membre de gauche de l’égalité.– d’autre part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par
leur(s) valeur(s) dans le membre de droite de l’égalité.Si les deux résultats obtenus sont égaux entre eux, alors l’égalité est vérifiée ; par contre, si les deuxrésultats trouvés sont différents, l’égalité n’est pas vérifiée.
Tester une égalité
Exemple : Tester si l’égalité 2x +4 = 13−x est vraie pour x = 3
D’une part, le premier membre vaut 2×3+4= 6+4 =10, d’autre part le second membre vaut 13−3=10
Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.
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Chapitre 11
3ème - Ecritures littérales, identitésremarquables
Extrait du programme de la classe de Troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Écritures littérales ;identités remar-quables
Factoriser des expressions tellesque :(x +1)(x +2)−5(x +2) ;(2x +1)2 + (2x +1)(x +3)Connaître les égalités :(a+b)(a−b) = a2 −b2 ;(a+b)2 = a2 +2ab +b2 ;(a−b)2 = a2 −2ab +b2.et les utiliser sur des expres-sions numériques ou littéralessimples telles que :1012 = (100+1)2 = 1002+200+1 ;(x +5)2 −4 = (x +5)2 −22 = (x +5+2)(x +5−2)
La reconnaissance de la forme d’une expres-sion algébrique faisant intervenir une iden-tité remarquable peut représenter une diffi-culté qui doit être prise en compte. Les tra-vaux s’articuleront sur deux axes :– utilisation d’expressions littérales pour des
calculs numériques ;– utilisation du calcul littéral dans la mise en
équation et la résolution de problèmes.Les activités viseront à assurer la maîtrisedu développement d’expressions simples ;en revanche, le travail sur la factorisation quise poursuivra au lycée, ne vise à développerl’autonomie des élèves que dans des situa-tions très simples.On consolidera les compétences en matièrede calcul sur les puissances, notamment surles puissances de 10.
11.1 Développer un produit
Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique
Définition
Rappel : une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions, impliquant des nombres et/ou
des lettres
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Nous avons, pour réaliser cela, plusieurs moyens à disposition :
11.1.1 Distributivité simple
Produit → Somme algébrique
k(a +b) → ka +kb
k(a −b) → ka −kb
Applications et exemples :
– Calcul mental :
◮ 13×99 = 13× (100−1) = 13×100−13×1 = 1300−13 = 1287
◮ 25×104 = 25× (100+4) = 25×100+25×4 = 2500+100 = 2600
– Développement d’une expression littérale :
◮ 3(5a+7) = 3×5a+3×7 = 15a+21
◮ −2(5−4x) = −2×5− (−2)×4x = −10+8x
11.1.2 Distributivité double
Produit → Somme algébrique
(a +b)(c +d ) → ac +ad +bc +bd
Applications et exemples :
Développement d’une expression littérale :
◮ (3−a)(4a+2) = 3×4a + 3×2 − a×4a − a×2 = 12a+6−4a2 −2a = −4a2 +10a+6
◮ (3x −2)(1−4x) = 3x ×1 + 3x × (−4x) − 2×1 − 2× (−4x) = 3x −12x2 −2+8x = −12x2 +11x −2
B : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir que, par exemple, 3x−2 est la somme
de 3x et de −2, et que 1−4x est la somme de 1 et de −4x. Ainsi, pour le calcul précédent, on a :
(3x −2)(1−4x) = (3x + (−2))(1+ (−4x)) = (3x)×1 + (3x)× (−4x) + (−2)×1 + (−2)× (−4x) = . . .
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11.1.3 Identités remarquables
Produit → Somme algébrique
Carré d’une somme
(a +b)2 → a2+2ab +b2
Carré d’une différence
(a −b)2 → a2−2ab +b2
Produit d’une somme par une différence
(a −b)(a +b) → a2−b2
Applications et exemples :
– Calcul mental :
◮ 1012 = (100+1)2 = 1002 +2×100+12 = 10000+200+1 = 10201
◮ 192 = (20−1)2 = 202 −2×20+12 = 400−40+1 = 361
◮ 39×41 = (40−1)(40+1) = 402 −12 = 1600−1 = 1599
– Développement d’une expression littérale :
◮ (y +7)2 = y2 +2× y ×7+72 = y2 +14y +49
◮ (1−3x)2 = 12 −2×1×3x + (3x)2 = 1−6x +9x2
◮ (20−8x)(20+8x) = 202 − (8x)2 = 400−64x2
11.2 Factoriser une somme algébrique
Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit
Définition
En fait, pour résumer : Produit Somme algébrique
Développer
Factoriser
11.2.1 Avec un facteur commun
On utilise la propriété de simple distributivité, mais "à l’envers" :
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Sommealgébrique
→ Produit
ka +kb → k(a +b)
ka −kb → k(a −b)
Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deux termes, chacun étant un produit de deux facteurs.
Comme k se retrouve dans les deux termes, on dit que c’est un facteur commun aux deux termes. On dit
également que l’on a "mis k en facteur".
Applications et exemples :
– Calcul mental :
◮ 13×62+13×38 = 13× (62+38) = 13×100 = 1300
◮ 18.1×34.8−8.1×34.8 = (18.1−8.1)×34.8 = 10×34.8 = 348
– Factorisation d’une expression littérale grâce à un facteur commun :
◮ 4a2 +3a = 4×a×a+3×a = a(4a+3)
◮ (x +7)(5−4x)−2(5−4x) = (5−4x)× (x +7−2) = (5−4x)(x +5)
◮ (x +3)2 −5(x +3) = (x +3)× (x +3−5) = (x +3)(x −2)
11.2.2 Avec les identités remarquables
Là aussi, on utilise les identités remarquables vues au paragraphe 1.3, mais "dans l’autre sens" :
Sommealgébrique
→ Produit
a2 +2ab +b2 → (a +b)2
a2 −2ab +b2 → (a −b)2
a2 −b2 → (a −b)(a +b)
Applications à la factorisation d’expressions littérales :
◮ y2 +4y +4 = y2 + 2× y ×2 + 22 = (y +2)2
◮ 9x2 −6x +1 = (3x)2 − 2×3x ×1 + 12 = (3x −1)2
◮ (x +5)2 −9 = (x +5)2 −32 = [(x +5)−3]× [(x +5)+3]
= (x +2)× (x +8)
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Chapitre 12
4ème - Calcul littéral, équations
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N22 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tes-ter une égalité
N23 Développer un produit à l’aide de la règle de distributivité simple
N24 Factoriser, réduire une somme à l’aide de la règle de distributivitésimple
N25 Appliquer la règle de suppression des parenthèses précédées d’unsigne + ou d’un signe −.
N26 Développer un produit en utilisant la règle de distributivité double
N27 Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
N28 Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équa-tion du premier degré à une inconnue
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
12.1 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ;tester une égalité
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par
des lettres. Une même lettre désigne toujours un même nombre dans une expression littérale donnée.
Par exemple :
E = 4x2 −x +3 est une expression littérale dans laquelle un nombre est représenté par la lettre x
On peut calculer la valeur de cette expression lorsque la lettre prend une valeur donnée.
Par exemple, pour x =−2, on a E = 4× (−2)2 − (−2)+3 = 4×4+2+3 = 16+2+3 = 21
Tester si l’égalité 2x +4= 13−x est vraie pour x = 3
• D’une part, le premier membre vaut 2×3+4 = 6+4=10,
• d’autre part le second membre vaut 13−3 =10
Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.
12.2 Développer un produit grâce à la règle de distributivité simple
Développer un produit signifie l’écrire sous la forme d’unesomme ou d’une différence.
Définition
Pour ce faire, on dispose d’un premier moyen :
Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a :k(a+b) = k ×a+k ×b autrement dit, en simplifiant l’écriture, k(a+b) = ka+kb
Développer grâce à la règle de distributivité simple
Exemples :
• 2(3+5x) = 2×3 + 2×5x = 6+10x
• 5y(3−2y) = 5y(3+ (−2y)
)= 5y ×3 + 5y × (−2y)= 15y −10y2
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12.3 Factoriser, réduire une expression
Factoriser une somme ou une différence signifie l’écrire sous la forme d’un produit.
Définition
C’est donc l’opération "inverse" du développement :
Soient k, a et b trois nombres relatifs ; on aka+kb = k(a+b) autrement dit, en simplifiant l’écriture, ka+kb = k(a+b)
Factoriser grâce à la règle de distributivité simple
Exemples :
• 5x +5y = 5(x + y) • 3b −5b = 3b + (−5)b = (3−5)b =−2b • 3x2 −x = x ×3x −x ×1 = x(3x −1)
Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de mêmenature", afin d’écrire cette expression avec le moins de termes possibles.
Définition
Exemples :
• 5x −2+3x +7 = 5x + (−2)+3x +7 = 5x +3x + (−2)+7 = 8x +5
On a regroupé d’une part les "termes en x", d’autre part les "termes constants"
• 5x2 +x −7x2 +5x −11 = 5x2 +x + (−7x2)+5x + (−11) = 5x2 + (−7x2)+x +5x + (−11) =−2x2 +6x −11
On a regroupé entre eux les "termes en x2", les "termes en x", et enfin les "termes constants"
12.4 Règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe+, d’unsigne −
Pour ajouter une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner chaque terme decette somme algébrique :
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a a+ (b+c−d) = a+b+c−d
Parenthèses précédées d’un signe +
Exemples : • 2x + (3+5x) = 2x +3+5x = 7x +3 • 5+ (9x−1) = 5+9x− −1 = 9x +4
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Pour soustraire une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner les opposés dechacun des termes de cette somme algébrique :
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a a− (b+c−d) = a−b−c+d
Parenthèses précédées d’un signe −
Exemples : • 2x − (3+5x) = 2x −3−5x =−3x −3 • 5− (9x−1) = 5−9x+1=−9x +6
12.5 Double distributivité
Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs ; on a :
(a+b)(c +d) = ac +ad +bc +bd
Règle de double distributivité
Exemples :
• (x +2)(x +5) = x ×x + x ×5 + 2×x + 2×5= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10
• (3x +2)(x −5) = (3x +2)(x + (−5)) = 3x ×x + 3x × (−5) + 2×x + 2× (−5)= 3x2 + (−15x) + 2x + (−10) =3x2 − 13x − 10
12.6 Résoudre une équation du premier degré
• Une équation est une égalité dans laquelle un nombre - appelé inconnue de l’équation - est repré-senté par une lettre.• S’il en existe, la (ou les) valeur(s) de l’inconnue pour la(les)quelle(s) l’égalité est vraie sont appeléessolutions de l’équation.• Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions
Définitions
Exemple :
2x +3 = 11 est une équation, d’inconnue x.
On dit qu’elle est du premier degré, car la plus grande puissance de x est 1.
• x = 2 n’est pas une solution de cette équation ; en effet, on a 2×2+3 = 4+3= 7 6= 11
• x = 4 est une solution de cette équation ; en effet, on a 2×4+3= 8+3 = 11
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Comment résoudre une équation ?
On s’appuie sur deux règles de calcul sur les égalités :
Soient a, b et c trois nombres relatifs.On ne change pas une égalité (c’est-à-dire qu’une égalité vraie reste vraie) lorsque :– on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à ses deux membres :
Si a = b alors a+c = b +c et a−c = b −c
– on multiplie (ou on divise) par un même nombre chacun de ses deux membres :
Si a = b alors a×c = b ×c et ac= b
c
Règles de calcul sur les égalités
Application à la résolution d’une équation : Pour résoudre une équation de ce type, on doit isoler x dans
un des membres de l’équation.
x +7 = −2x −2
x +7+2x = −2x −2+2x
3x +7 = −2
3x +7−7 = −2−7
3x = −9
3x
3=
−9
3
x = −3
La solution de cette équation est −3
Vérification : −3+7 = 4 et −2× (−3)−2 = 4
+2x +2x
−7 −7
÷3 ÷3
① On commence par ajouter 2x auxdeux membres de l’équation, pour éli-miner les x du second membre.
② Ensuite on soustrait 7 aux deuxmembres de l’équation, pour élimi-ner les termes constants du premiermembre.
③ On termine en divisant par 3 les deuxmembres de l’équation pour finir d’iso-ler l’inconnue.
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12.7 Mettre en équation et résoudre un problème
Toutes les résolutions de problèmes par mise en équation se déroulent selon un schéma en 4 étapes, qu’il
faut impérativement respecter ; en voici un exemple :
Enoncé : Deux enfants, Adrien et Béatrice, jouent aux billes. Adrien dit : "J’ai seize billes de moinsque toi. . . " ; ce à quoi Béatrice répond : "J’en ai trois fois plus que toi !". Combien de billes possèdeAdrien ?
Résolution :
Etape 1 : choix de l’inconnue On note x le nombre de billes que possède Adrien.
Etape 2 : mise en équation du problème La phrase "J’ai seize billes de moins que toi. . . " se traduit par"Béatrice possède x +16 billes".
La phrase "J’en ai trois fois plus que toi !" se traduit par "Béa-trice possède 3x billes".
On a donc l’équation x +16 = 3x
Etape 3 : résolution de l’équation
x +16 = 3x
x +16−3x = 3x −3x
−2x +16 = 0
−2x +16−16 = 0−16
−2x = −16−2x
−2=
−16
−2x = 8
La solution de cette équation est 8
Vérification : 8+16= 24 et 3×8= 24
−3x −3x
−16 −16
÷(−2) ÷(−2)
Etape 4 : Interprétation et conclusion NB : Le résultat est un nombre entier positif, ce qui est cohérent
avec l’énoncé
Pierre possède 8 billes (et Béatrice 24).
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Chapitre 13
3ème - Equations et inéquations
Extrait du programme de la classe de Troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Équations et inéqua-tions du 1er degré
Ordre et multiplication Utiliser le fait que des nombres rela-tifs de la forme ab et ac sont dans lemême ordre que b et c si a est stricte-ment positif, dans l’ordre inverse si a
est strictement négatif.
On pourra s’appuyer dans toute cettepartie sur des activités déjà prati-quées dans les classes antérieures,notamment celles de tests par substi-tution de valeurs numériques à deslettres.
Inéquation du premierdegré à une inconnue
Résoudre une inéquation du premierdegré à une inconnue à coefficientsnumériques. Représenter ses solu-tions sur une droite graduée.
Résolution de pro-blèmes du premierdegré ou s’y ramenant
Résoudre une équation mise sous laforme A.B = 0, où A et B désignentdeux expressions du premier degréde la même variable.Mettre en équation et résoudre unproblème conduisant à une équa-tion, une inéquation [ou un système
de deux équations] du premier degré.
L’étude du signe d’un produit oud’un quotient de deux expressions dupremier ordre de la même variableest, elle, hors programme.Les problèmes sont issus des dif-férentes parties du programme.comme en classe de 4e, on dégageraà chaque fois les différentes étapesdu travail : mise en équation, résolu-tion de l’équation et interprétationdu résultat.
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13.1 Equations du premier degré
Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre,appelée inconnue de l’équation.Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions.
Définitions
Par exemple 3x−7= 5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3x−7,
et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5.
• 4 est une solution de l’équation 3x −7= 5
car, lorsque je remplace l’inconnue x par 4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : 34−7= 12−7= 5
• 2 n’est pas une solution de l’équation 3x −7= 5
car, lorsque je remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : 32−7= 6−7 =−1 6= 5 ! !
Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelleéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’équation ini-tiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :
Règle 1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant)un même nombre aux deux membres de l’équation.
Règle 2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en multipliant (ou divisant) lesdeux membres de l’équation par un même nombre non nul.
Règles de manipulation des égalités
Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s’y ramenant). Ce sont des équa-
tions qui, après ces transformations autorisées, peuvent s’écrire sous la forme ax = b, avec a 6= 0. Cette
équation a alors une unique solution, qui est ba
.
Par exemple,l’équation 3x −5= 7 est une équation du premier degré : résolvons-la◮En utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’équation :3x −5+5= 7+5, c’est-à-dire 3x = 12.◮En utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’équation :3x
3=
12
3, c’est à dire x = 4.
◮on conclut par une phrase : l’équation 3x −7= 5 admet une unique solution, qui est 4.
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13.2 Equations-produits
Une équation-produit est une équation qui s’écrit sous la forme (ax +b)(cx +d) = 0 (il peut y avoir
plus de deux facteurs)
Définition
Remarque : cette équation (ax +b)(cx +d) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on dévelop-
pait le membre de gauche, l’inconnue x apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par exemple l’équation
(x+1)(3x−6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l’équation 3xš−3x−6 = 0. Mais nous
ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d’équation... Comment faire ?
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Autrement dit,dire que "AB = 0" équivaut à dire que "A = 0 ou B = 0".
Propriété
Méthode : Ainsi, le produit (ax+b)(cx+d) sera nul si, et seulement si, l’un des facteurs ((ax+b) ou (cx+d))
est nul : (ax +b)(cx +d) = 0 si et seulement si ax +b = 0 ou cx +d = 0.
On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré ! !
Les solutions de l’équation (ax +b)(cx +d) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax +b = 0et cx +d = 0
Propriété
Par exemple : résolvons l’équation (3x −7)(2x +5)= 0Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul.3x −7= 0 ou 2x +5= 03x = 7 ou 2x =−5x = 7
3 ou x =−52
Ainsi, l’équation (3x −7)(2x +5)= 0 admet deux solutions, qui sont 73 et −5
2
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Chapitre 14
3ème : Systèmes d’équations
Extrait du programme de la classe de Troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Système de deuxéquations à deuxinconnues.
Résoudre algébriquement un sys-tème de deux équations du premierdegré à deux inconnues admettantune solution et une seule ; en donnerune interprétation graphique.
Pour l’interprétation graphique, onutilisera la représentation des fonc-tions affines.
Résolution de pro-blèmes du premierdegré ou s’y ramenant.
Mettre en équation et résoudre unproblème conduisant à une équa-tion, une inéquation ou un systèmede deux équations du premier degré.
Les problèmes sont issus des dif-férentes parties du programme.comme en classe de 4e, on dégageraà chaque fois les différentes étapesdu travail : mise en équation, résolu-tion de l’équation et interprétationdu résultat.
14.1 Equation à deux inconnues, système
Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s’écrire sous la forme ux +v y = w , où u, v et w sont trois nombres réels.Un couple (x0; y0) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l’on remplacex par x0 et y par y0, l’égalité est vérifiée.
Définition
Par exemple, on considère l’équation 2x −4y = 4.
◮ le couple (5;2) n’est pas un couple solution de cette équation, car 2×5−4×2 = 2 6= 4
◮ le couple (4;1) est un couple solution de cette équation, car 2×4−4×1 = 4
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En fait, si les nombres u et v sont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solutions,qui sont les coordonnées des points de la droite (d) d’équation y = ax +b, où a =−u
vet b = w
v.
Interprétation graphique des couples solutions
Dans notre exemple,l’ensemble des couples solutions de l’équation 2x−4y = 4est donc constitué des coordonnées des points de ladroite (d) d’équation y = 0,5x −1.
Nous pouvons lire quelques couples solutions de l’équa-tion 2x−4y = 4, comme (4;1) et (−2;−2), ou encore (0;−1)(voir ci-contre), mais on conçoit qu’il existe une infinitéde tels couples (un pour chaque point de la droite (d)).
O1
1
x
y
(d)
(4; 1)
(−2;−2)
(0;−1)
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire sous
la forme
ux + v y = w
u′x + v ′y = w ′où u, v , w , u′, v ′ et w ′ sont des nombres réels.
Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples qui sont solutions des deuxéquations à la fois.
Définition
Par exemple,
2x − 4y = 4
x − 3y = 6est un système a deux équations à deux inconnues.
◮ le couple (4;1) n’est pas un couple solution de ce système, car
24− 41= 4
4− 31= 1 6= 6
◮ le couple (−6;−4) est un couple solution de ce système, car
2(−6)− 4(−4)= 4
−6− 3(−4)= 6
14.2 Méthodes de résolution d’un système
Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deux manières différentes :
2x − 4y = 4
x − 3y = 6
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Première méthode : substitution
Etape 1 : On exprime, grâce à l’une des deux équations, une inconnue enfonction de l’autre. Ici il est facile d’exprimer x en fonction de y grâce à laseconde équation :
2x − 4y = 4
x = 3y +6
Etape 2 : On substitue x par 3y +6 dans la première équation :
2(3y +6)− 4y = 4
x = 3y +6
Etape 3 : On développe, on réduit et on résout l’équation d’inconnue y
ainsi obtenue :
6y +12− 4y = 4
x = 3y +6
2y + 12= 4
x = 3y +6
2y =−8
x = 3y +6
y =−4
x = 3y +6
Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la seconde équation pour trou-ver x
y =−4
x = 3(−4)+6
y =−4
x =−6
Etape 5 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y conviennent :
2(−6)− 4(−4)= 4
(−6)− 3(−4)= 6
Etape 6 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).
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Deuxième méthode : élimination par combinaison
Etape 1 : On multiplie une des équations (ou les deux) parun (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficientsd’une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la se-conde équation par −2 :
2x − 4y = 4
−2x + 6y =−12
Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membrepour éliminer l’une des inconnues, et on remplace l’une deséquations (par exemple, ici, la seconde) par l’équation ainsi ob-tenue :
2x −4y = 4
(2x −4y)+ (−2x +6y)= 4+ (−12)
2y − 4y = 4
2y =−8
Etape 3 : On résout l’équation d’inconnue y ainsi obtenue :
2x − 4y = 4
y =−4
Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la première équa-tion pour trouver x
2x − 4(−4) = 4
y =−4
Etape 5 : On résout l’équation d’inconnue x ainsi obtenue :
2x = 4−16
y =−4
2x =−12
y =−4
x =−6
y =−4
Etape 6 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y
conviennent :
2(−6)− 4(−4) = 4
(−6) − 3(−4) = 6
Etape 7 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6;−4).
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Interprétation graphique
◮ On commence par transformer les deux équa-tions du système, de façon à les mettre sous laforme d’une équation de droite du type (y = ax+b).
2x − 4y = 4
x − 3y = 6
−4y =−2x +4
−3y =−x +6
y = 0,5x −1
y = 13 x −2
◮ Dans un repère, on trace les deux droites corres-pondant à ces deux équations.Soit (d) la droite d’équation y = 0,5x −1,et (d ′) la droite d’équation y = 1
3 x −2
les couples solutions de ce système sont les coor-données des points communs aux deux droites,s’il y en a.
O1
1
x
y
(d)
(d′)
x = −6
y = −4
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Chapitre 15
3ème - Fonctions
Extrait du programme de la classe de troisième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Fonctionlinéaire.
Connaître la notation x 7−→ ax,pour une valeur numérique dea fixée.
La définition d’une fonction linéaire, de coefficient a, s’appuie
sur l’étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les
classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de propor-
tionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspon-
dance est "je multiplie par a". Pour des pourcentages d’augmen-
tation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être
faite ; par exemple, augmenter de 5% c’est multiplier par 1,05 et di-
minuer de 5% c’est multiplier par 0,95.
Déterminer l’expression algé-brique d’une fonction linéaireà partir de la donnée d’unnombre non nul et de sonimage.
L’étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d’utiliser la
notion d’image. On introduira la notation x 7−→ ax, pour la fonc-
tion. À propos de la notation des images f (2), f (−0,25), . . ., on re-
marquera que les parenthèses y ont un autre statut qu’en calcul
algébrique.
Représenter graphiquementune fonction linéaire.Lire sur la représentation gra-phique d’une fonction linéairel’image d’un nombre donnéet le nombre ayant une imagedonnée.
L’énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation
graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’ori-
gine ; cette droite a une équation de la forme y = ax. On interpré-
tera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite.
C’est une occasion de prendre conscience de l’existence de fonc-
tions dont la représentation graphique n’est pas une droite (par
exemple, en examinant comment varie l’aire d’un carré quand la
longueur de son côté varie de 1 à 3).
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CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Fonctionaffine.Fonctionaffine etfonctionlinéaireassociée.
Connaître la notationx 7−→ ax + b pour des va-leurs numériques de a et b
fixées.
Déterminer une fonction affinepar la donnée de deux nombreset de leurs images.
Représenter graphiquementune fonction affine.
Lire sur la représentationgraphique d’une fonction affinel’image d’un nombre donnéet le nombre ayant une imagedonnée.
Pour des valeurs de a et b numériquement fixée, le processus de
correspondance sera aussi explicité sous la forme "je multiplie par
a, puis j’ajoute b". La représentation graphique de la fonction af-
fine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la
fonction linéaire associée. C’est une droite, qui a une équation de
la forme y = ax +b. On interprétera graphiquement le coefficient
directeur a et l’ordonnée à l’origine b ; on remarquera la propor-
tionnalité des accroissements de x et y .
Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée
dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de deux
points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphique.
On fera remarquer qu’une fonction linéaire est une fonction affine.
Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de
fonctions non affines peuvent servir de support à la construction
de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités d’une
fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un inter-
valle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance spéci-
fique n’est exigible sur ce sujet.
15.1 Fonction linéaire
15.1.1 Définitions
L’unité de longueur est le centimètre. Notons x la longueur du côté d’un carré et y le périmètre de ce carré.
On trouve :
x 1 0,8 3
y 4 3,2 12×4
On obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté et 4 est le
coefficient de proportionnalité. On peut écrire y = 4×x ou y = 4x.
Soit a un nombre quelconque « fixe ».Si, à chaque nombre x, on peut associer son produit par a (c’est à dire y = a × x), alors on définit lafonction linéaire de coefficient a, que l’on notera f : x 7−→ ax.
Définition
La fonction qui, à chaque nombre x, associe le périmètre du carré de côté x est une fonction linéairede coefficient 4, que nous pouvons noter f : x 7−→ 4x. L’image de 0,8 par cette fonction est 3,2, ce quel’on peut noter f (0,8) = 3,2 (et qui se lit " f de 0,8 est égal à 3,2")
Vocabulaire et notation
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Remarque : Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans la-
quelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie
par a.
15.1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droitepassant par l’origine du repère.
Propriété
◮ Représenter graphiquement une fonction linéaire
O1
1
−1−2−3 1 2 3 4
1
2
3
1
2
−1
−2
x
y Ci-contre est représentée graphiquement la fonctionlinéaire f de coefficient 0,6, que l’on peut noterf : x 7→ 0,6x
Comme f est une fonction linéaire, sa représen-tation graphique est une droite qui passe par
l’origine du repère .
De plus, pour trouver un second point de cette droite,on peut calculer l’image de 3 : f (3) = 0,6×3= 1,8.
Je place le point de coordonnées (3;1,8) .En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :
x 0 3
y 0 1,8
◮ Lire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire l’image d’un nombre donné et le nombre
ayant une image donnée.
O1
1
−1−2−3 1 2 3 4
1
2
3
4
1
2
3
−1
−2
−3
−4
x
y Ci-contre est représentée graphiquement une fonc-tion linéaire f de coefficient a, que l’on peut noterf : x 7→ ax
Pour lire l’image (par exemple) du nombre 4 surcette représentation graphique, on commence par
repérer le point de la droite dont l’abscisse est 4 ,puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lireque l’image de 4 est 3 , c’est-à-dire que f (4) = 3De plus, pour trouver le nombre dontl’image est −1,2 par cette fonction li-néaire, on commence par repérerle point de la droite dont l’ordonnée est −1,2 ,
puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lireque le nombre dont l’image est −1,2 est −1,6 ,c’est-à-dire que f (−1,6)=−1,2.
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◮ Déterminer le coefficient d’une fonction linéaire, lorsqu’on connaît un nombre et son image
Dans l’exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficient a inconnu, que l’on note f :
x 7−→ ax. Or nous avons vu que l’image de 4 par cette fonction est égale à 3 ; cela signifie que 3 = a ×4, ce
qui nous permet de déterminer le coefficient de la fonction : a = 34 = 0,75.
Remarque : ce nombre a n’est autre que le coefficient de proportionnalité du tableau suivant :
x 4 −1,6
y 3 1,2×a
Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient a.On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d) et que y = ax est une équation de ladroite (d).
Définitions
◮ Interprétation graphique du coeffi-cient directeur :
Soit (d) la droite qui représente graphi-quement la fonction linéaire de coeffi-cient −1,2 ; le coefficient directeur de ladroite (d) est donc −1,2 , et son équa-tion est y =−1,2 x.Graphiquement, voici comment lire lecoefficient directeur :
O1
1
−1−2−3 1 2 3 4
1
2
3
4
1
2
3
−1
−2
−3
−4
x
y
+1
−1.2
+1
−1.2
+1
−1.2
15.1.3 Fonction linéaire et pourcentage
◮ Prendre t% d’un nombre, c’est multiplier ce nombre part
100.
◮ Augmenter un nombre de t%, c’est multiplier ce nombre par
(1+
t
100
).
◮ Diminuer un nombre de t%, c’est multiplier ce nombre par
(1−
t
100
).
Calculer avec des pourcentages
Exemples
◮ Prendre 15% de x c’est effectuer x ×15
100. A cette action, on associe la fonction linéaire x 7→ 0,15×x.
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◮ Diminuer un nombre x de 12% c’est effectuer x×(
1−12
100
)= x×0,88. A cette action, on associe la fonction
linéaire x 7→ 0,88×x.
◮ Augmenter un nombre x de 3% c’est effectuer x×(1+
3
100
)= x×1,03. A cette action, on associe la fonction
linéaire x 7→ 1,03×x.
15.2 Fonction affine
15.2.1 Définitions
Soient a et b deux nombres quelconques « fixes ».Si, à chaque nombre x, on peut associer le nombre ax +b, alors on définit une fonction affine, quel’on notera f : x 7−→ ax +b.On dit que x 7→ ax est la fontion linéaire associée à la fonction affine x 7→ ax +b.
Définition
La fonction qui, à chaque nombre x, associe le nombre 2x + 3 est une fonction affine (où a = 2, etb = 3), que nous pouvons noter f : x 7−→ 2x +3. L’image de 5 par cette fonction est 25+3= 13, ce quel’on peut noter f (5) = 13 .
Vocabulaire et notation
Remarque 1 : Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie par a, puis on ajoute b.
Remarque 2 : Lorsque b = 0 On obtient f : x 7→ ax, c’est à dire une fonction linéaire.
15.2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite :– passant par le point de coordonnées (0;b)– qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée
Propriété
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◮ Représenter graphiquement une fonction affine
O1
1
−1−2−3 1 2 3 4
11
2
3
4
5
x
y
Ci-contre est représentée graphiquement la fonction
affine f : x 7→ 0,5x + 3Comme f est une fonction affine, sa représen-tation graphique est une droite qui passe par
le point de coordonnées (0; 3 ) .
De plus, pour trouver un second point de cettedroite, on peut calculer, par exemple, l’image de 4 :f (4) = 0,5×4+3= 5.
Je place le point de coordonnées (4;5) .En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :
x 0 4
y 3 5
Remarquez que la droite représentant cette fonction (x 7−→ 0,5x+3) est parallèle à la droite représentant la
fonction linéaire associée (x 7−→ 0,5x).
◮ Lire sur la représentation graphique d’une fonction affine l’image d’un nombre donné et le nombre
ayant une image donnée.
O1
1
−1−2−3 1 2 3 4
1
2
3
1
2
3
4
−1
−2
x
y Ci-contre est représentée graphiquement une fonc-tion affine f : x 7→ ax +b
Pour lire l’image (par exemple) du nombre −2 surcette représentation graphique, on commence par
repérer le point de la droite dont l’abscisse est −2 ,puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lireque l’image de −2 est 5 , c’est-à-dire que f (−2) = 5De plus, pour trouver le nombre dont l’image est−1,6 par cette fonction, on commence par repérerle point de la droite dont l’ordonnée est −1,6 ,
puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lireque le nombre dont l’image est −1,6 est 2,4 , c’est-à-dire que f (2,4)=−1,6.
Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction affine f : x 7−→ ax +b.On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d), que b est l’ordonnée à l’origine, et quey = ax +b est une équation de la droite (d).
Définitions
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◮ Interprétation graphique du coefficient directeur et del’ordonnée à l’origine :
Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonctionaffine x 7−→−0,7x +1,5 ; le coefficient directeur de la droite(d) est donc −0,7 , son ordonnée à l’origine est 1,5 et sonéquation est y =−0,7 x +1,5.Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeuret l’ordonnée à l’origine :
O1
1
−1−2−3−4 1 2
11
2
1
x
y
+1
−0, 7
+1
−0, 7
◮ Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images
Exemple : Déterminer la fonction affine f tel que f (1) = 4 et f (3) = 8.
Une application affine est de la forme x 7→ ax +b.
De f (1) = 4, on tire a1+b = 4, c’est-à-dire a+b = 4 (égalité nr1)
De f (3) = 8, on tire a3+b = 8, c’est-à-dire 3a+b = 8 (égalité nr2)
Calcul de a :
Si on soustrait membre à membre les deux égali-
tés encadrées ci-dessus,
on obtient (a+b)− (3a+b) = 4−8 ,
ce qui nous donne a+b −3a−b =−4,
c’est-à-dire −2a =−4,
ce qui nous permet d’obtenir la valeur de a :
a = −4−2 = 2 .
Calcul de b :
On reprend l’une des deux égalités (nr1 ou nr2), et
on remplace a par la valeur trouvée, pour calculer
la valeur de b :
Comme on a trouvé a = 2, on reprend (par
exemple) l’égalité nr1, et on y remplace a par 2 :
a+b = 4 qui donne 2+b = 4, et donc
b = 4−2= 2 .
La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 3 et f (3) = 8, est donc la fonction f : x 7−→ 2x +2
15.2.3 Proportionnalité des accroissements
Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité ; ce n’est pas le cas d’une fonction affine,
comme on peut s’en convaincre en observant le tableau de valeurs de la fonction f : x 7−→ 0,2x−1, reproduit
ci-dessous :
x 1 2 4 7 11
f (x) −0,8 −0,6 −0,2 0,4 1,2
Ce tableau n’est manifestement pas un tableau de proportionnalité. Cependant, regardons ce qui se passe
lorsque l’on regarde les accroissements de cette fonction :
Lorsque x augmente de . . . 1 2 3 4 5 6 7
alors f (x) augmente de . . . 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est 0,2 !
Ceci nous amène à énoncer la propriété suivante :
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Soit f une fonction affine x 7→ ax +b.Si x varie (c’est à dire augmente ou diminue) d’un nombre h, alors son image f (x) varie de ah. Autre-ment dit, si x1 − x2 = h, alors f (x1)− f (x2) = ah : les accroissements de f (x) sont proportionnels auxaccroissements de x, et le coefficient de proportionnalité est a.
Propriété
◮ Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images (2)
Soit f une fonction affine, telle que f (1) = 5 et f (4)= 7.
Calcul de a :
Comme on sait que les accroissements de f (x)
sont proportionnels aux accroissements de x, et
que le coefficient de proportionnalité est a, on
peut écrire que f (4)− f (1) = a(4− 1), ce qui nous
donne 7−5 = a(4−1), c’est-à-dire a = 7−54−1 = 2
3
Calcul de b :
On sait que f est une fonction affine, et donc qu’on
peut écrire son expression : f : x 7−→ ax+b ; en par-
ticulier, on a f (1) = a1+b. Or, on a vu que a = 23 : on
a donc f (1) = 23 +b. De plus, on sait que f (1) = 5 ;
on a donc 5 = 23 +b, qui donne b = 5− 2
3 = 133
La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 5 et f (4) = 7, est donc f : x 7−→ 23 x + 13
3
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Troisième partie
Figures géométriques
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Chapitre 16
5ème - Parallélogramme
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3 Réaliser une figure géométrique à partir d’un programme deconstruction
G15 Reconnaître un parallélogramme grâce à sa définition
G16 Construire un parallélogramme
G17 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme relatives à ses côtés, sesdiagonales ou ses angles
G18 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
G19 Reconnaître un parallélogramme particulier (rectangle, losange,carré) grâce à sa définition
G20 Construire un parallélogramme particulier
G21 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers
G22 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
16.1 Reconnaître un parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés op-posés parallèles deux à deux
Définition : parallélogramme
Ci-contre, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ; les côtés(AB) et (CD) sont parallèles, tout comme les côtés (AD) et (BC).
A
B
C
D
16.2 Centre de symétrie d’un parallélogramme
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales
Propriété
On dit que ABCD est un parallélogramme de centre O.Par la symétrie de centre O :• C est le symétrique de A• D est le symétrique de B• [CD] est le symétrique de [AB]• [AD] est le symétrique de [BC]
A
B
C
D
O
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16.3 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme
a) propriété relative à la longueur de ses côtés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtésopposés sont de la même longueur.
Propriété 1
Les segments [CD] et [AB] sont symétriques par rapport au point O ;or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.Donc [CD] et [AB] ont même longueur, tout comme [AD] et [BC].
A
B
C
D
O
b) propriété relative aux diagonales
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diago-nales se coupent en leur milieu.
Propriété 2
Les points A et B sont les symétriques respectifs de C et D par rapport
au point O ; or dire que deux points sont symétriques par rapport au
point O revient à dire que O est le milieu du segment formé par ces
deux points. Donc O est le milieu de [AC], et aussi celui de [BD]. A
B
C
D
O
c) propriétés relative aux angles
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses anglesopposés ont la même mesure.
Propriété 3
Le symétrique de l’angle �BAD par rapport au point O est l’angle �DCB ;
ils sont donc de même mesureA
B
C
D
O
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses anglesconsécutifs sont supplémentaires (c’est-à-dire que la somme
de leurs mesures vaut 180°).
Propriété 4
Preuve : voir par ailleurs (chapitre "angles et parallélisme")A
B
C
D A + B = 180◦
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16.4 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Pour cela, on utilise les réciproques des propriétés énoncées ci-dessus :
a) en utilisant la longueur de ses côtés
Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés dela même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélo-gramme
Propriété 5
ou une variante :
Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés paral-lèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un paral-lélogramme
Propriété 6
AB
CD
AB
CD
b) en utilisant les diagonales
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur mi-lieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme
Propriété 7
A
B
C
D
O
16.5 Reconnaître un parallélogramme particulier grâce à sa définition
a) Le rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui a tous sesangles droits
Définition : rectangle
Ses côtés opposés sont donc parallèles deux à deux : c’estun parallélogramme particulier. A B
CD
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b) Le losange
Un losange est un quadrilatère qui a tous ses côtésde la même longueur
Définition : losange
Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux :c’est donc un parallélogramme particulier.
A
B
C
D
c) Le carré
Un carré est un quadrilatère qui a tous ses anglesdroits et tous ses côtés de la même longueur
Définition : carré
C’est à la fois un rectangle et un losange ; c’est donc unparallélogramme particulier.
A B
CD
16.6 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers ; ils en ont donc les propriétés :
– ils ont un centre de symétrie : le point d’intersection de leurs diagonales
– leurs côtés opposés sont de la même longueur deux à deux
– leurs diagonales se coupent en leur milieu.
a) Le rectangle
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diago-nales sont de la même longueur.
Propriété 8
A B
CD
O
b) Le losange
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diago-nales sont perpendiculaires.
Propriété 9
A
B
C
D
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c) Le carré
Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonalessont de la même longueur et perpendiculaires.
Propriété 10
A B
CD
16.7 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier (rectangle,losange, carré)
a) Le rectangle
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Propriété 11
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
Propriété 12
b) Le losange
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un losange.
Propriété 13
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
Propriété 14
c) Le carré
Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est uncarré.
Propriété 15
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.
Propriété 16
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Chapitre 17
5ème - Triangles
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3 Construire une figure géométrique aux instruments d’après un pro-gramme de construction
G7 Utiliser le résultat sur la somme des angles dans un triangle (∗)
G8 Utiliser les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers (∗)
G9 Utiliser l’inégalité triangulaire (∗)
G10 Construire un triangle connaissant trois longueurs, deux longueurs etun angle ou une longueur et deux angles(∗)
G11 Utiliser la définition de la médiatrice d’un segment ainsi que la carac-térisation de ses points par la propriété d’équidistance (∗)
G12 Tracer la médiatrice d’un segment par différentes méthodes
G13 Construire le cercle circonscrit à un triangle (∗)
G14 Utiliser la définition d’une médiane, d’une hauteur dans un triangle
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
17.1 Somme des mesures des angles dans un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°
Somme des angles dans un triangle
Exemple d’utilisation : Calculer la mesure d’un angle dans un triangle
Dans le triangle ABC, la somme des mesures des angles vaut 180° ;
on a ainsi �ABC + �AC B + �C AB = 180°
D’où �ABC +55°+45°= 180°
d’où �ABC +100°= 180°
et donc �ABC = 180°−100°= 80°45◦ 55◦ ?
A
B
C
Visualisation de cette propriété
On colorie chacun des angles �ABC , �BC A et �C AB d’une couleur différente, puis on découpe selon les poin-
tillés (comme indiqué ci-dessous) avant de "recoller" les trois angles pour former un angle plat (qui mesure
donc 180°...)
A
B
C
A
B
C
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17.2 Angles et triangles particuliers
– Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont de même mesure.– Si, dans un triangle, deux angles ont même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Le cas du triangle isocèle
– Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles mesurent 60°.– Si, dans un triangle, les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral. 60◦ 60◦60◦Le cas du triangle équilatéral
– Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires(c’est-à-dire que la somme de leurs mesures vaut 90°).
– Si, dans un triangle, deux angles sont complémentaires, alors ce triangle est rec-tangle.
Le cas du triangle rectangle
17.3 Utiliser l’inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autrescôtés.
Inégalité triangulaire
Dans le triangle ABC, on a :
AB<AC+CB
AC<AB+BC
BC<BA+AC
A B
CPlus communément, cette propriété revient àdire que, pour aller du point A au point B, ilest plus court d’aller directement de A à B (en
suivant le segment [AB]) que de passer par C(si celui-ci n’est pas sur le trajet direct, c’est-à-
dire le segment [AB])
Pour vérifier s’il est possible de construire un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, ilsuffit de vérifier que la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deuxautres.
Vérifier qu’un triangle est constructible
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 101
Exemple 1
On veut savoir si le triangle ABC, avec
AB=6cm, AC=4cm et BC=3,5 cm est construc-
tible ou pas.
On prend la longueur du plus long côté :
AB=6 cm
et on compare avec la somme des longueurs
des deux autres côtés :
AC+BC=4+3,5=7,5 cm.
Comme AB<AC+BC, le triangle est construc-
tible.
A B
C6 m4 m 3.5 m
Exemple 2
On veut savoir si le triangle ABC, avec
AB=7cm, AC=4cm et BC=2,5 cm est construc-
tible ou pas.
On prend la longueur du plus long côté :
AB=7 cm
et on compare avec la somme des longueurs
des deux autres côtés :
AC+BC=4+2,5=6,5 cm.
Comme AB>AC+BC, le triangle n’est pas
constructible.
A B6 m4 m 2.5 m– Si un point M appartient au segment [AB], alors on a AB=AM+MB– Si trois points A, B et M sont tels que AB=AM+MB, alors M appartient au segment [AB].
Cas d’égalité
A BC7 m4.5 m 2.5 m Par exemple, ici on a AB=7 cm, AC=4.5 cm et CB=2.5 cm.
On a donc AB=AC+BC, donc C est sur [AB].
(On peut voir ABC comme un "triangle aplati")
17.4 Construction de triangles
Voir page suivante :
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 102
◮ Connaissant les longueurs des trois côtés
On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=4,5cm , BC=5,5cm et AC=3cm.
B C5,5 m B C
4.5 m 3 m5,5 m B C
A5,5 m4,5 m 3 m① Traçons le côté le plus long ; ici,
il s’agit de [BC] qui a pour longueur
5,5 cm.
② Traçons deux arcs de cercle : le
premier de centre B et de rayon 4,5
, le second de centre C de rayon 3
③ Le point A est à l’intersection
des deux arcs de cercle ; terminons
en traçant le triangle ABC
◮ Connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés
On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=4,5cm , AC=6cm et �BAC = 40°.
A C6 m A C40◦
A C40◦ B4.5 m
① Traçons un des côtés dont
la longueur est connue ; ici par
exemple [AC], qui a pour longueur
6 cm.
② Traçons une demi-droite
d’origine A formant un angle de
40°avec la demi-droite [AC)
③ Mesurons 4,5 cm sur cette
demi-droite à partir de A pour pla-
cer le point B ; terminons en tra-
çant le triangle
◮ Connaissant la longueur d’un côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents
On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=6cm , �BAC= 30°et �ABC = 55°.
A B6 m A B6 m30◦ 55◦A B6 m30◦ 55◦C
① Traçons l’unique côté dont la
longueur est connue ; ici c’est [AB],
qui a pour longueur 6 cm.
② Traçons une demi-droite
d’origine A formant un angle
de 30°avec la demi-droite [AB),
puis une demi-droite d’origine B
formant un angle de 55°avec la
demi-droite [BA)
③ Le point C est à l’intersection de
ces deux demi-droites ; terminons
en traçant le triangle
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17.5 Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par sonmilieu.
Définition
– Si un point M est situé sur la médiatrice du segment [AB],alors on est sûr que ce point M est à égale distance des extrémités A et B .
– Si un point M est situé à égale distance des extrémités A et B ,alors on est sûr que ce point M est sur la médiatrice du segment [AB].
Propriété d’équidistance
17.6 Comment construire la médiatrice d’un segment ?
◮ Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :
AB
AB
I AB
I
Pour tracer la médiatrice du seg-
ment [AB] :
① on place le point I milieu du seg-
ment [AB]
② on trace la perpendiculaire à
(AB) passant par I
◮ Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :
AB
AB
AB
Pour tracer la médiatrice du seg-
ment [AB] :
① on trace deux cercles de centres
A et B de même rayon, assez grand
② on trace la droite qui joint les
points d’intersection de ces deux
cercles
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17.7 Cercle circonscrit à un triangle
Etant donné un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des trois côtés du triangle passentpar un même point ; on dit qu’elles sont concourantes.Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle passant par les trois sommets dutriangle. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle
Propriété et définition
◮ Construction du cercle circonscrit à un triangle
A
B
C
A
B
C
A
B
C
O
Pour tracer le cercle circonscrit à
un triangle :
① on trace les médiatrices de deux
côtés (la troisième n’est pas néces-
saire)
② on trace le cercle en plaçant
la pointe du compas sur le point
d’intersection des médiatrices, et
la mine sur l’un des trois sommets
17.8 Médiane, hauteur dans un triangle
• Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieudu côté opposé à ce sommet.• Dans un triangle, on appelle hauteur une droite passant par un sommet du triangle et perpendicu-laire au côté opposé à ce sommet.
Définitions
Exemples :
A B
C
I
Dans ce triangle, (AI) est lamédiane issue de A
A B
C
H
Dans ce triangle, (AH) est lahauteur issue de A ; on dit queH est le pied de cette hauteur.
AB
C
H
Dans ce triangle, (AH) est lahauteur issue de A (il a fallu
prolonger le côté [BC] pour
tracer cette hauteur)
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Chapitre 18
4ème - Tangente, bissectrice
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
G16 Evaluer la distance d’un point à une droite
G17 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points
G18 Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d’un angle
G19 Construire le cercle inscrit dans un triangle
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
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18.1 Evaluer la distance d’un point à une droite
Soit (d) une droite, et A un point du plan n’appartenant pas à la droite (d).La distance du point A à la droite (d) est la plus courte distance possible séparant le point A d’un pointquelconque de la droite (d).Soit (∆) la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par A.Si H est le point d’intersection de la droite (d) avec la droite (∆), alors la distance entre le point A et ladroite (d) est la longueur AH.
Définition et propriété
B
C
A
(d)∆
H
A'La distance AH est la distance entre le point A et la
droite (d).
Les distances séparant le point A de n’importe quel
autre point de la droite (d) (comme les distances AB
ou AC par exemple) sont toutes supérieures à la dis-
tance AH.
Preuve :
A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) ;
• L’inégalité triangulaire nous permet d’affirmer que AA’<AB+A’B .
• De plus, par définition de la symétrie axiale, on sait que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].
Or, si un point est situé sur la médiatrice d’un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de
ce segment. On en déduit que AB=A’B .
• Par conséquent, on a AA’<2AB .
• Enfin, toujours par définition de la symétrie axiale, on sait que AA’=2AH . On en déduit que 2AH<2AB ,
et donc que AH<AB .
On a démontré que la distance séparant A de H est plus courte que la distance séparant A de n’importe quel
autre point de la droite (d).
18.2 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points
Soit C une cercle de centre O, et A un point de ce cercle.La tangente au cercle C au point A est la droite passant par A et n’ayant aucun autre point communavec ce cercle.Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA].
Définition et propriété
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O
A
C
(T)Le point A est sur le cercle C de centre O. La droite
(T) passe par le point A, et elle n’a aucun autre
point commun avec le cercle C : cette droite est
donc la tangente au cercle C en A.
Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au
rayon [OA]
18.3 Tracer la bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la droite (ou la demi-droite) qui passe par (ou a pour origine) le sommetde l’angle, et qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.
Définition
Tracer une bissectrice avec un rapporteur :
On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.
0
180
10
170
20
160
3015040
14050
13060
120
70
110
80
100
90
90
100
80
110
70
120
60
130
5014
04015
030
16020
170
180
0
A
B
C
A
B
C
Tracer une bissectrice à l’aide d’un compas :
On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points
I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les
arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle �BAC est la demi-droite [AD).
A
B
C
I
J
A
B
C
I
J
D
A
B
C
I
J
D
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18.4 Tracer le cercle inscrit dans un triangle
Nous aurons besoin de cette propriété, admise :
• Si un point est situé sur la bissectrice d’un angle,alors ce point est situé à égale distance des côtés de l’angle.
• Si un point est situé à égale distance des deux côtés d’unangle,alors ce point est situé sur la bissectrice de l’angle.
Propriété
I
K
H
Les bissectrices des angles d’un triangle se croisent en un même point ; on dit qu’elles sont concou-rantes.Le point commun à ces trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans ce triangle : chacun descôtés du triangle est tangent à ce cercle.
Propriété
Illustration :
I
K
H
L
A B
C
Eléments de preuve :
• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle �BAC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés
[AB] et [AC] ; on a donc IH=IK
• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle �ABC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés
[AB] et [BC] ; on a donc IH=IL
• On en déduit que IH=IK=IL , et donc que les points H,K et L sont sur un cercle C de centre I.
• De plus, la droite (BC) passe par le point I, et est perpendiculaire au rayon [IL] ; le côté [BC] est donc
tangent au cercle C en L, et il en est de même pour les côtés [AB] et [AC]
On en conclut que I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
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Chapitre 19
6ème - Symétrie axiale
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES
Symétrie orthogonale par rapport à unedroite (symétrie axiale)
-Construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’unsegment, d’un cercle (que l’axe de symétrie coupe ou nonla figure).-Construire ou compléter la figure symétrique d’une figuredonnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l’aidede la règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, durapporteur.
19.1 Figures symétriques
Deux figures seront dites symétriques par rapport à unedroite (d) si elles se superposent par pliage le long de ladroite (d)
Définition
F1
F2
(d)
La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale ou symétrie axiale. La droiteest appelée axe de la symétrie.
Vocabulaire
La figure F1 et la figure F2 se superposent par pliage le long de la droite (d). Elles sont symétriques par
rapport à la droite (d).
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On dit aussi que F2 est la figure symétrique de F1 dans la symétrie (orthogonale) d’axe (d), ou encore que
F2 est l’image de F1 dans la symétrie (orthogonale) d’axe (d).
Une droite (d) est un axe de symétrie d’une figuresi les deux parties de la figure se superposent parpliage le long de cette droite.
Définition
(d)
19.2 Symétrique d’un point
Naturellement, on dira qu’un point A et un point A′ sont symétriques par rapport à une droite (d) s’ils se
superposent par pliage le long de cette droite (d). Précisons cela :
On dit que le point A′ est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) lorsque la droite (d)est la médiatrice du segment [A A′].
Définition
Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec l’équerre et le compas :
A
(d)
I
On trace la perpendiculaire à ladroite (d) passant par A.
A
(d)
I
Avec le compas, on pointe aupoint d’intersection de cetteperpendiculaire et de l’axe (surle point I ), on prend l’écar-tement jusqu’au point A (dis-
tance de A à la droite (d)) et onreporte de l’autre côté de l’axesur la perpendiculaire.
A
A′
B
(d)
I
Le point d’intersection est le sy-métrique de A, on le note A′.B Dans le cas où le pointà transformer est sur l’axe, lepoint se transforme en lui-même : le symétrique de B estB .
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Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec le compas seul :
A
(d)
On prend un écartement quel-conque de compas mais assezgrand pour que l’arc de cercletracé avec le compas pointé enA rencontre (d) en deux points.
A
(d)
Ensuite on complète le tracécomme pour faire un losange :on garde l’écartement en ontrace deux arcs de cercle à par-tir des points formés.
A
(d)
A′
leur intersection est le symé-trique de A par rapport à (d)
Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite avec le compas seul (2) :
A
(d)
M
N
On prend deux points distinctsquelconques M et N sur ladroite (d).
A
(d)
M
N
On prend le compas on trace lecercle de centre M passant parA puis le cercle de centre N etpassant par A.
A
(d)
M
N
A′
Ces deux cercles se coupentbien entendu en A et aussi enA′ symétrique de A par rapportà (d).
19.3 Symétrique de figures, propriétés de conservation
19.3.1 Segments
Le symétrique d’un segment par rapport à un axe (d) est un segment de même longueur. Le symé-trique du milieu d’un segment est le milieu du segment symétrique.
Propriété
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Illustration :
A
B
I
(d)
A′
B′
I ′
Si le segment n’est pas sécant à l’axe, il suffitde construire les symétriques des extrémitésde ce segment.
A
B
I
(d)
A′
B′
I ′
Si le segment est sécant à l’axe, il suffit deconstruire les symétriques des extrémités dece segment en prenant bien garde à "passer"de l’autre côté de l’axe pour chaque point.
19.3.2 Droites
Le symétrique d’une droite par rapport à un axe (d) est une droite.
Propriété
Illustration :
A
B
(d)
A′
B′
Si la droite est sécante à l’axe,il suffit de construire le symé-trique de deux points de ladroite, ou alors d’un point dis-tinct de l’intersection.
A
B
(d)
A′
B′
Si la droite est parallèle à l’axe(d), alors la droite symétriquele sera égaement.
A
B
(d)
A′B′
Si la droite est perpendiculaireà l’axe, alors la droite et sa sy-métrique sont confondues.
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19.3.3 Cercle
Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon et qui a pour centre le symétrique du centredu premier cercle.
Propriété
Illustration :
O
(d)
O′
O
(d)
O′
Il suffit de construire le symétrique O′ du point O, centre du cercle, et de tracer le cercle de même rayon et
de centre O′.
19.3.4 Autres propriétés
◮ Deux figures symétriques ont la même aire et le même périmètre.◮ Deux angles symétriques ont même mesure.
Propriété
19.4 Construire le symétrique d’une figure
Pour construire le symétrique d’une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ses points et on
utilise les propriétés de conservation.
(d)
A
A′
B
B′
C
C ′
D
D′
E
E′
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19.5 Symétrie axiale et figures usuelles
19.5.1 Segments et angles
◮ La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.◮ La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
Propriété
A
B
C
A
B′
( )
I
19.5.2 Cercles
Toutes les droites passant par le centre d’un cercle sont des axes de symétriesde ce cercle.
Propriété
0
19.5.3 Axes de symétries des triangles et quadrilatères particuliers
B C
A
Un triangle isocèle a un axe de symétrie : lamédiatrice de sa base. Cet axe est aussi la bis-sectrice de son angle principal.
Dans un triangle isocèle, les angles à labase sont de même mesure.
Propriété
B C
A
Un triangle équilatéral a trois axes de symé-trie : les médiatrice de ses côtés. Ces axes sontaussi les bissectrices de ses angles.
Dans un triangle équilatéral, les anglesont la même mesure (60◦).
Propriété
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D B
A
C
Un cerf-volant a un axe de symétrie : sagrande diagonale.
Dans un cerf-volant, les diagonales sontperpendiculaires.
Propriété
D B
A
C
Un losange a deux axes de symétrie : ses dia-gonales.
Dans un losange, les diagonales sontperpendiculaires et se coupent en leurmilieu.
Propriété
D C
BA
Un rectangle a deux axes de symétrie : les mé-diatrices de ses côtés.
Dans un rectangle, les diagonales secoupent en leur milieu et elles ont lamême longueur.
Propriété
D C
BA
Un carré a quatre axes de symétrie : ses dia-gonales et les médiatrices de ses côtés.
Dans un carré, les diagonales se coupenten leur milieu, sont perpendiculaires etont la même longueur.
Propriété
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Chapitre 20
5ème - Symétrie centrale
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3 Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un pro-gramme de construction
G1 Construire le symétrique d’un point par une symétrie centrale ∗
G2 Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle ∗,d’une demi-droite par une symétrie centrale
G3 Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée parune symétrie centrale ∗
G4 Mettre en évidence le centre de symétrie d’une figure
G5 Construire ou compléter une figure ayant un centre de symétrie ∗
G6 Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie centrale
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20∗ : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
20.1 Figures symétriques dans une symétrie centrale
Deux figures F et F′ seront dites symétriques par rapport à un point O si elles se superposent par
demi-tour autour du point O.
Figures symétriques
F
F′
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
O
b A′
b
B ′
b
C ′b
D ′
b
E ′
b
b
b
b
b
Les figures F et F′ se superposent par demi-tour autour du point O : elles sont symétriques par rapport au
point O. On dit aussi que la figure F′ est l’image de la figure F par la symétrie centrale de centre O.
Par ce demi-tour, le point A et le point A′ se superposent ; on dit que les points A et A′ sont symétriques par
rapport au point O, ou encore que A′ est l’image du point A par la symétrie de centre O.
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On remarque que tous les segments ayant pour extrémités un point et son image (comme [A A′], [BB ′], etc)
passent par le point O.
Mieux : le point O est le milieu de chacun des segments [A A′], [BB ′], etc
20.2 Symétrique d’un point
L’image du point A par la symétrie centrale de centre O est le point A′ tel que O soit le milieu de [A A′].
Symétrique d’un point
20.2.1 Construire le symétrique d’un point
A l’aide d’un quadrillage :
A
O
A
O4 arreaux 3 arreauxA
O
A'4 arreaux3 arreauxOn veut tracer le symétrique dupoint A par rapport au point O
Pour aller de A à O on se dé-place :– horizontalement, de 4 car-
reaux vers la droite– verticalement, de 3 carreaux
vers le haut
On se place en O et on effec-tue le déplacement précédent ;la position finale est celle dupoint A′, symétrique de A parrapport au point O.
Sur papier uni :
A
O
A
O
A
O
A′
On veut tracer le point A′ symé-trique du point A par rapportau point O
On trace la demi-droite [AO), On reporte (au compas) la lon-gueur AO sur la demi-droite[AO) à partir de O, pour trouverla position du point A′.
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20.3 Propriétés de la symétrie centrale
20.3.1 Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle, d’une demi-droite
L’image d’un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs.
Image d’un segment par une symétrie centrale
Pour tracer le symétrique d’un segment, il suffit de tracer les symétriques de ses extrémités :
A
O
B
A
O
BA′
B′A
O
BA′
B′
On veut tracer le symétriquedu segment [AB] par rapport aupoint O
On trace les symétriques desextrémités A et B du segment
On trace le segment [A’B’] ob-tenu, symétrique du segment[AB]
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.On dit que la symétrie centrale conserve l’alignement des points.
Image d’une droite par une symétrie centrale
Pour tracer le symétrique d’une droite, il suffit de tracer les symétriques de deux de ses points :
A
OB
(d)
A
OB
A' B'(d)
A
OB
A' B'(d)
(d′)
On veut tracer le symétriquede la droite (d) par rapport aupoint O ; on prend deux pointsA et B sur cete droite.
On trace les symétriques despoints A et B
On trace la droite (d’), symé-trique de la droite (d), obtenueen joignant les points A’ et B’
Remarque : si le point O est sur la droite (d), alors la droite (d) est sa propre symétrique.
L’image d’une demi-droite par une symétrie centrale est une demi-droite.
Image d’une demi-droite par une symétrie centrale
Pour tracer le symétrique d’une demi-droite, il suffit de tracer le symétrique de son origine, ainsi que le
symétrique de l’un de ses points.
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L’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon.
Image d’un cercle par une symétrie centrale
Pour tracer le symétrique d’un cercle, il suffit de tracer le symétrique de son centre :
A
OC
R
A
OC
A'R
A
OC
A' C′
R
R
On veut tracer le symétrique ducercle C de centre A et de rayonR par rapport à O
On trace le symétrique ducentre A du cercle
On trace le cercle de centre A’ etde rayon R
L’image d’un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure.On dit que la symétrie centrale conserve les angles.
Image d’un angle par une symétrie centrale
Pour tracer le symétrique d’un angle, il suffit de tracer les symétriques de son sommet et de ses côtés :
A
O
A
OB
C A' B'C'A
OB
C A' B'C'On veut tracer le symétriquede l’angle �BAC par rapport aupoint O
On trace le symétrique du som-met A de l’angle, ainsi que despoints B et C, situés chacun surun côté de l’angle
On trace l’angle �B’A’C’
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Chapitre 21
4ème - Triangle rectangle et cercle circonscrit
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
G8 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle quelconque, d’un trianglerectangle
G9 Démontrer qu’un point est sur un cercle en utilisant la propriété del’angle droit
G10 Calculer la longueur de la médiane issue de l’angle droit dans un tri-angle rectangle
G11 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle cir-conscrit
G12 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
21.1 Rappels : médiatrices, médianes
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Définition
– Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment,alors on est sûr que ce point est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
– Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment,alors on est sûr que ce point est situé sur la médiatrice de ce segment.
Propriété d’équidistance
Méthodes de construction de la médiatrice d’un segment :
◮ Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :
AB
AB
I AB
I
Pour tracer la médiatrice du
segment [AB] :
① on place le point I milieu du
segment [AB]
② on trace la perpendiculaire à (AB)
passant par I
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◮ Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :
AB
AB
AB
Pour tracer la médiatrice du
segment [AB] :
① on trace deux cercles de centres A
et B de même rayon, assez grand
② on trace la droite qui joint les
intersections de ces deux cercles
Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieudu côté opposé à ce sommet.
Définition
21.2 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle
Dans un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des troiscôtés du triangle se rencontrent en un même point ; on dit qu’ellessont concourantes.Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle C
passant par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cerclecirconscrit au triangle. On dit aussi que le triangle est inscrit dansle cercle C A
B
C
O
C
Cercle circonscrit à un triangle
Dans le cas d’un triangle rectangle, laconstruction du cercle circonscrit est beau-coup plus simple, grâce au théorème suivant :
Si un triangle est rectangle,alors le centre de son cercle circonscrit est le milieude l’hypoténuse.
Théorème 1
Voir la preuve de ce résultat par ailleurs. . .
Illustration :
A
B
C
O
C
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21.3 Démontrer qu’un point est sur un cercle
Une seconde formulation du théorème 1 s’énonce ainsi :
Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle dont le diamètre est l’hypoténuse.
Théorème 2
21.4 Calculer la longueur d’une médiane issue du sommet de l’angledroit dans un triangle rectangle
Une troisième formulation du théorème 1, utilisant cette fois la médiane issue du sommet de l’angle droit,
s’énonce ainsi :
Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour longueur lamoitié de la longueur de l’hypoténuse.
Théorème 3
En effet, le segment [CO], qui est la médiane issue du sommet de l’angle droit, est un rayon du cercle C
circonscrit au triangle ABC. Or le segment [AB] est un diamètre de ce cercle. On a donc bien CO =AB
2
21.5 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle cir-conscrit
Nous pouvons formuler une réciproque du théorème 1 en ces termes :
Si, dans un triangle, le milieu d’un côté est le centre du cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle,et ce côté est l’hypoténuse.
Théorème 4
Tout comme nous pouvons formuler une réciproque du théorème 2 :
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle estrectangle, et ce côté est l’hypoténuse.
Théorème 5
21.6 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes
Enfin, nous pouvons énoncer une réciproque du théorème 3 :
Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspon-dant, alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.
Théorème 6
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Chapitre 22
4ème - Théorème de Pythagore
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T2 Réaliser une figure géométrique aux instruments d’après un pro-gramme de construction ∗
G5 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côtédans un triangle rectangle ∗
G6 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un trianglen’est pas rectangle ∗
G7 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrerqu’un triangle est rectangle ∗
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
22.1 Vocabulaire et notations
– On dit qu’un triangle est rectangle si l’un de ses trois angles est un angle droit.– Dans un triangle rectangle, le côté opposé au sommet de l’angle droit est appelé hypoténuse ; c’est
le côté le plus long du triangle.
Définitions
C
B
A
HypoténuseC�tés de l'angle droit
Le carré d’un nombre positif a est égal au produit du nombre a par lui-même.On note a2 = a×a, et on prononce "a au carré".
Carré d’un nombre positif
Exemples :
◮ Le carré de 8 se note 82 et est égal à 8× 8 = 64. B Ne pas confondre avec le double de 8, qui vaut
8+8 = 2×8= 16 ! !
◮ Le carré de 5,3 est 5,32 = 5,3×5,3= 28,09 ◮ Le carré de2
7est
(2
7
)2
=2
7×
2
7=
4
49
On appelle carré parfait le carré d’un nombre entier positif. Voici la liste des quinze premiers carrés par-
faits :
Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Carré 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
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Utiliser sa calculatrice
◮ Pour déterminer le carré d’un nombre positif, on utilise la touche x2 :
pour calculer le carré de 2,5 on tape la séquence 2 . 5 x2 EXE
et la calculatrice affiche
2.52
6.25 d’où 2,52 = 6,25
◮ Pour déterminer le nombre positif dont on nous donne le carré, on utilise la touchep
1 , que l’on
atteint en tapant SHIFT x2 . Pour calculer le nombre positif dont le carré est égal à 441, on tape la
séquencep
1 4 4 1 EXE
et la calculatrice affiche
p1(441)
21 d’oùp
441= 21
22.2 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’uncôté dans un triangle rectangle
Si un triangle est rectangle,alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deuxcôtés de l’angle droit.
Théorème de Pythagore
Exemples d’utilisation
◮ Calculer la longueur de l’hypoténuse
E
T
N7 9?On sait que le triangle ENT est rectangle en N. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
ET2 =NT2+NE2
En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :
ET2 = 92 +72
ET2 = 81+49
ET2 = 130
En utilisant la touchep
1 de la calculatrice, on trouve :
ET=p
130≈ 11,4
Donc la longueur du côté [ET] est 11,4 environ.
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◮ Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit
M
A
G? 513On sait que le triangle MAG est rectangle en G. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
MA2 =GM2+GA2
En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :
132 =GM2 +52
169=GM2 +25
GM2 = 169−25
GM2 = 144
En utilisant la touchep
1 de la calculatrice, on trouve :
GM=p
144= 12
Donc la longueur du côté [GM] est 12.
22.3 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un trianglen’est pas rectangle
A
B
C
12 m6 m 9 m◮ Démontrons que ce triangle n’est pas rectangle
Le côté le plus long est [AB] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.
D’une part, on a AB2 = 122 = 144.
D’autre part, on a CB2+CA2 = 92 +62 = 81+36= 117.
On constate que AB2 6=CA2+CB2.
Si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore, on aurait l’égalité AB2 =CA2+CB2.
Ce n’est pas le cas, donc le triangle ABC n’est pas rectangle.
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22.4 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrerqu’un triangle est rectangle
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des lon-gueurs des deux autres côtés,alors ce triangle est rectangle, et le côté le plus long est l’hypoténuse.
Réciproque du théorème de Pythagore
M
T
E
20 m16 m 12 m◮ Démontrons que ce triangle est rectangle
Le côté le plus long est [MT] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.
D’une part, on a MT2 = 202 = 400.
D’autre part, on a EM2+ET2 = 162 +122 = 256+144= 400.
On constate que MT2 =EM2+ET2.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ETM est rectangle en E.
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Chapitre 23
4ème - Triangles : théorème des milieux
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T2 Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un pro-gramme de construction
G1 Utiliser le théorème des milieux pour démontrer que deux droitessont parallèles ∗
G2 Utiliser le théorème des milieux pour calculer une longueur ∗
G3 Utiliser la réciproque du théorème des milieux pour démontrer qu’unpoint est le milieu d’un segment
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
23.1 Utiliser le théorème des milieux pour démontrer que deux droitessont parallèles.
Dans un triangle, la droite joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Premier théorème des milieux
Exemple :
Dans le triangle MNP, E est le milieu de [MN], F est le milieu de [MP] ;
Or on sait que, dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
On peut donc en conclure que les droites (EF) et (NP) sont parallèles.
MN
P
E
F=⇒
MN
P
E
F
23.2 Utiliser le théorème des milieux pour calculer des longueurs.
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de lalongueur du troisième côté.
Second théorème des milieux
Exemple :
On a tracé le triangle TRI tel que TR= 6 cm, RI= 5 cm et TI= 7 cm.
Dans ce triangle, M est le milieu de [TI], N est le milieu de [IR] ;
Or on sait que, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la
moitié de la longueur du troisième côté.
On peut donc en conclure que la longueur du segment [MN] est égale à la moitié de celle du côté [TR] :
MN=TR
2=
6
2= 3 cm.
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M
N
T
R
I7 m6 m 5 m =⇒
M
N
T
R
I
3 m6 m23.3 Utiliser la réciproque du théorème des milieux pour montrer qu’un
point est milieu d’un segment.
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alorselle coupe le troisième côté en son milieu.
Réciproque du premier théorème des milieux
Exemple :
On a tracé le triangle HGD tel que O soit le milieu de [HD], et on a tracé la droite (d) parallèle au côté [HG]
passant par O ; cette droite coupe le côté [GD] en un point P.
Or on sait que, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté, et est parallèle à un deuxième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
On peut donc en conclure que la droite (d) coupe le côté [GD] en son milieu, et donc que P est le milieu de
[GD].
H
G
D
O
P
(d) =⇒
H
G
D
O
P
(d)
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Chapitre 24
3ème : configuration de Thalès
24.1 Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle
Soient deux droites (MB) et (NC ) sécantes en un point A, telles que les droites (M N ) et (BC ) soientparallèles. Alors les rapports suivants sont égaux : AM
AB= AN
AC= M N
BC(autrement dit, les longueurs des
côtés des triangles AM N et ABC sont proportionnelles).
Théorème de Thalès :
Autrement dit, si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les longueurs des côtés du triangle AMN
sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle AMN, et on a le tableau de proportionnalité sui-
vant :
Côtés du triangle ABC AB AC BC
Côtés du triangle AMN AM AN MN
A
B
C
M
N
S
M LIN
Sommet ommunC�tés parallèles
Attention à écrire correctement lestrois rapports !– Aux numérateurs, les longueurs des
côtés du premier triangle.– Aux dénominateurs, les longueurs des
côtés associés du second triangle.– Pour les deux premiers rapports, il est
pratique d’écrire les côtés partant dusommet commun
SN
SM=
SI
SL=
NI
ML
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Pour calculer une longueur grâce à ce théorème :
Supposons que, sur la figure ci-dessus, on ait SM=10 cm, SN=6 cm, SL=8 et NI=4,5 cm.
Comme N∈[SM], I∈[SL] et que (NI) est parallèle à (ML), on peut appliquer le théorème de Thalès :SN
SM=
SI
SL=
NI
MLsoit, en remplaçant les longueurs des côtés par leurs valeurs,
6
10=
SI
8=
4,5
ML
◮ De l’égalité6
10=
SI
8, on peut tirer la valeur de SI :
6
10=
SI
8donne 6×8 = 10×SI d’où 48= 10×SI et donc SI =
48
10= 4,8 cm .
◮ De l’égalité6
10=
4,5
ML, on peut tirer la valeur de ML :
6
10=
4,5
MLdonne 6×ML = 10×4,5 d’où 6×ML = 45 et donc ML =
45
6= 7,5 cm .
24.2 Pour démontrer que deux droites sont parallèles
Si les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C d’autre part, sont alignés dans le même ordre,et si les rapports AM
ABet AN
ACsont égaux, alors les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès
Ex : Les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C
d’autre part, sont alignés dans le même ordre. De plus, AM = 5,AN = 6, AB = 7,5 et AC = 9.On calcule : AM
AB= 5
7,5 = 23 d’une part, et AN
AC= 6
9 = 23 d’autre part.
On constate que AMAB
= ANAC
; d’après la réciproque du théorèmede Thalès, les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles.
AB
C
M
N
5 cm
6cm
7,5 cm
9cm
24.3 Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
Soient deux droites (MB) et (NC ) sécantes en un point A. Si les rapports AMAB
et ANAC
ne sont pas égaux,alors les droites (M N ) et (BC ) ne sont pas parallèles.
Contrapposée du théorème de Thalès
Ex : ABC est un triangle, M ∈ [AB], N ∈ [AC ], AM = 5, AN = 6,AB = 8, AC = 9.On calcule : AM
AB= 5
8 d’une part, et ANAC
= 69 = 2
3 d’autre part. On
constate que AMAB
6= ANAC
; Or, si les droites (M N ) et (BC ) étaientparallèles, le théorème de Thalès nous dirait que cette égalité estvraie. Comme ce n’est pas le cas, on peut en conclure que lesdroites ne sont pas parallèles.
AB
C
M
N
5 cm
6cm
8 cm
9cm
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Chapitre 25
3ème - Géométrie dans l’espace
Extrait du programme de la classe de 3ème :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Sphère - Savoir que la section d’une sphèrepar un plan est un cercle.- Savoir placer le centre de ce cercleet calculer son rayon connaissant lerayon de la sphère et la distance duplan au centre de la sphère.- Représenter une sphère et certainsde ses grands cercles.
On mettra en évidence les grandscercles de la sphère, les couples depoints diamétralement opposés.On examinera le cas particulier où leplan est tangent à la sphère.On fera le rapprochement avec lesconnaissances que les élèves ont déjàde la sphère terrestre, notammentpour les questions relatives aux mé-ridiens et aux parallèles.
Problèmes de sectionsplanes de solides
- Connaître la nature des sectionsdu cube, du parallélépipède rectanglepar un plan parallèle à une face, à unearête.- Connaître la nature des sections decylindre de révolution par un planparallèle ou perpendiculaire à sonaxe.- Représenter et déterminer les sec-tions d’un cône de révolution etd’une pyramide par un plan parallèleà la base.
Des manipulations préalables (sec-tions de solides en polystyrène parexemple) permettent de conjecturerou d’illustrer la nature des sectionsplanes étudiées.Ce sera une occasion de faire des cal-culs de longueur et d’utiliser les pro-priétés rencontrées dans d’autre ru-briques ou au cours des années anté-rieures.À propos de pyramides, les activitésse limiteront à celles dont la hauteurest une arête latérale et aux pyra-mides régulières qui permettent deretrouver les polygones étudiés parailleurs.
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25.1 Sphère et boule ; section d’une sphère par un plan
Si O est un point de l’espace et R est un nombre positif donné :• La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O
exactement égale à R .• La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O
inférieure ou égale à R .• Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R .
Définitions
RR
R
bO
b
S
b N
b A
bB
bC
A, B , C sont des points de la sphère, et O estle centre de cette sphère, qui a pour rayonR =OA =OB =OC .Le segments [NS] est un diamètre de lasphère.Deux grands cercles de la sphère sont tracésici, dont l’un d’eux a pour diamètre [NS]
Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, alors les points N et S seraient les pôles Nord
et Sud ; le grand cercle qui passe par les deux pôles serait un méridien, et l’autre grand cercle (situé dans
un plan perpendiculaire à l’axe des pôles) serait l’équateur. Tout point de la surface du globe terrestre est
repéré par deux nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien particulier, celui de
Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l’équateur) : voir par ailleurs.
Aire d’une sphère, volume d’une bouleSi R est un nombre positif donné : • L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR2.
• Le volume d’une boule de rayon R est égal à4
3πR3.
Propriétés
Exemples :
– L’aire d’une sphère de rayon 7 cm est égale à : 4×π×72 = 196π≃ 616 cm2
– le volume de la boule de même rayon 7 cm est égal à : 43 ×π×73 = 1372
3 ×π≃ 1437 cm3
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Propriété
Plus précisément, considérons une sphère de centre O et de rayon R .
On se donne un plan P , et on appelle [NS] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P . Enfin, soit
H le point d’intersection de (NS) et de P .
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On dit que OH est la distance du centre O au plan P . Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de la dis-
tance OH :
◮ lorsque 0<OH < R , la section de la sphèrede centre O et de rayon R par le plan P est uncercle de centre H . Pour tout point M de cecercle, le triangle HOM est rectangle en H .
Calculons le rayon r de ce cercle en ap-pliquant le théorème de Pythagore dans letriangle HOM rectangle en H :OM2 = HO2 +H M2 soit R2 = HO2 + r 2
donc r =p
R2 −OH2
Exemple :Soit S la sphère de centre O et de rayonR = 5 cm coupée par un plan P tel queOH = 3 cm. La section obtenue est le cerclede centre H et de rayon r = 4 cm, carr =
pR2 −OH2 =
p52 −32 =
p16= 4.
Fig. 1 : cas où 0 <OH < R
◮ lorsque OH = 0 , le cercle de section a même centre O et même rayon que la sphère : c’estalors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deux hémi-sphères (voir Fig. 2)
◮ lorsque OH = R , le cercle de section a pour rayon 0 : il est réduit à un point. On dit que leplan P est tangent à la sphère en S (voir Fig. 3).
◮ lorsque OH > R , le plan P ne coupe pas la sphère.
Fig. 2 : cas où OH = 0 Fig. 3 : cas où OH = R
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25.2 Section d’un cube, d’un pavé, d’un cylindre par un plan
La section d’un cube par un plan parallèle àune face est un carré :
Propriété
La section d’un cube par un plan parallèle àune arète est un rectangle :
Propriété
La section d’un pavé par un plan parallèle àune face est un rectangle :
Propriété
La section d’un pavé par un plan parallèle àune arète est un rectangle :
Propriété
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La section d’un cylindre par un plan parallèleà la base est un cercle de même rayon que lecercle de base :
Propriété
La section d’un cylindre par un plan parallèleà l’axe est un rectangle :
Propriété
25.3 Section d’une pyramide, d’un cône par un plan
La section d’un cône par un plan parallèle à labase est un cercle :
Propriété
Ce cercle de section est une réduction du cercle
de base ; le coefficient de réduction k est égal àk = AO′
AO.
Le rayon de ce cercle de section est alors égal àk ×R
Voici la section d’une pyramide par un planparallèle à la base :
Le polygone de section A′B ′C ′D ′ est une réduc-tion du polygone de base ABC D ; le coefficientde réduction k est égal à k = E A′
E A= EB ′
EB= . . . .
Les longueurs des côtés de ce polygone de sec-tion sont alors égales à celles des côtés du poly-gone de base, multipliées par k : A′B ′ = k × AB ,etc.
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Quatrième partie
Grandeurs géométriques
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Chapitre 26
4ème - Proportionnalité
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données
et fonctions)
Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
F1 Calculer une quatrième proportionnelle
F2 Effectuer des calculs faisant intervenir des pourcentages
F3 Utiliser, dans un repère du plan, la caractérisation de la proportion-nalité par l’alignement de points avec l’origine
F4 Calculs de vitesses, distances et durées grâce à la formule d = v × t
Taux de réussite :
. . . . . . . . . . . . %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗ : cette compétence fait partie du socle commun.
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Deux points verts : Je sais très bien faire
Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges : Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
26.1 Proportionnalité
Deux grandeurs sont dites proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre enmultipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Définition
On présente souvent les situations de proportionnalité à l’aide d’un tableau ; par exemple :
Grandeur 1 5 11
Grandeur 2 12 24,2×2,2
125 = 24,2
11 = 2,2
ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est égal à 2,2.
On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en multipliant l’une des colonnes
par un nombre non nul :
Grandeur 1 5 11 15
Grandeur 2 12 24,2 36
×3
×3
On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux de ses co-
lonnes :
Grandeur 1 5 11 16
Grandeur 2 12 24,2 36,2
26.2 Calculer une quatrième proportionnelle
Pour compléter un tableau de proportionnalité tel que celui-ci :
Grandeur 1 5 21
Grandeur 2 12 x
on peut aussi appliquer la propriété des produits en croix égaux :
On a12
5=
x
21et donc 12×21= 5×x et ainsi x =
12×21
5ce qui donne x = 50,4
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26.3 Pourcentages
1. Calculer un pourcentage
Dans une classe de 24 élèves on trouve 15 garçons ; pour déterminer le pourcentage que représentent
les garçons dans la classe, on peut compléter le tableau de proportionnalité suivant :
15 x
24 100
ce qui donne x =15×100
24et donc x = 62,5.
Les garçons représentent 62,5% des élèves de la classe
2. Appliquer un pourcentage
Dans un bureau de vote, il y a eu 450 votants, et 40% d’entre eux ont voté pour le candidat A ; pour
déterminer combien de voix le candidat A a recueilli dans ce bureau de vote, on peut compléter le
tableau de proportionnalité suivant :
x 40
450 100
ce qui donne x =40×450
100et donc x = 180.
Le candidat A a recueilli 180 voix dans ce bureau de vote.
26.4 Proportionnalité et représentation graphique dans un repère duplan
Dans un repère du plan :• si on représente une situation de proportionnalité, alors on obtient des points alignés avec l’originedu repère.• si on a des points alignés avec l’origine du repère, alors cette représentation graphique illustre unesituation de proportionnalité.
Propriété
Par exemple :
Grandeur 1 10 20 25
Grandeur 2 4 8 10
Cette situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés
avec l’origine :
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 151
O 11 10 20 254810
Grandeur 1
Grandeur 2
26.5 Calculer une vitesse moyenne, une distance, une durée grâce à larelation d = v × t
Le mouvement d’un mobile sera dit uniforme si la durée du parcours est proportionnelle à la distanceparcourue ; dans ce cas, le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse moyenne du mobile.Si on note d la distance parcourue, t la durée du parcours et v la vitesse moyenne,
on a la relation d = v × t . On a également les relations v =d
tet t =
d
v
Définition
1. Calculer une vitesse moyenne
Un automobiliste effectue un trajet de 522 kilomètres en 6 heures ; quelle est sa vitesse moyenne ?
Ici, on a d = 522 km et t = 6h ; on a donc v =d
t=
522
6= 87 km/h (ou km.h−1).
Cet automobiliste roule donc à la vitesse moyenne de 87 km/h.
On peut effectuer un changement d’unité de vitesse de la manière suivante :
On a d = 522 000 m et t = 6×60×60= 21 600 secondes ; ainsi v =d
t=
522 000
21 600≈ 24 m/s (ou m.s−1).
2. Calculer une distance
Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 64 km/h pendant 3h15min. Quelle distance a-t-il
parcouru ?
On commence par convertir la durée du parcours en nombre décimal d’heures :
3h15min=3h15
60h=3h 1
4h=3,25h.
Puis on applique la formule : d = v × t = 64×3,25= 208 km.
Cet automobiliste a parcouru 208 kilomètres.
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3. Calculer une durée
Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 80 km/h sur une distance de 272 km. Combien de
temps ce parcours lui prendra-t-il ?
On applique la formule : t =d
v=
272
80= 3,4h.
On convertit en heures et minutes : 3,4h=3h+0,4h=3h+(0,4×60)min=3h24min
Cet automobiliste roulera pendant 3 heures et 24 minutes.
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Chapitre 27
6ème - Longueurs & périmètres
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES
Longueurs, masses, durées – Effectuer, pour les longueurs et les masses, des change-ments d’unités de mesure.
– Comparer des périmètres.– Calculer le périmètre d’un polygone.– Connaître et utiliser la formule donnant la longueur
d’un cercle.
Médiatrice d’un segment – Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsique la caractérisation de ses points par la propriétéd’équidistance.
– Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatriced’un segment.
Cercle – Caractériser les points du cercle par le fait que :– tout point qui appartient au cercle est à une même dis-
tance du centre ;– tout point situé à cette distance du centre appartient
au cercle.– Construire, à la règle et au compas, un triangle connais-
sant les longueurs de ses côtés.
27.1 Unités de mesure de longueurs
27.1.1 Autrefois...
Dans l’Antiquité, chaque peuple avait son propre système d’unités de mesure : coudées, doigts, paumes,
pieds, stades pour les Grecs ou les Egyptiens, mais aussi pas, milles pour les Romains...
Au Moyen Age, les unités de mesure couramment utilisées en Occident sont le pied et le pouce (qui vaut un
douzième de pied).
Sous l’ancien régime, en France : pied-du-roi, lieue, arpent, perche, toise, canne, aune... les unités utili-
sées étaient nombreuses, et de plus elles ne mesuraient pas forcément la même longueur selon la région où
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se l’on trouvait !
Aussi, à la fin du XVIIIème siècle, après la Révolution Française de 1789 (et en particulier sous l’impulsion
de l’Académie des Sciences), on décide de créer une unité de mesure universelle : le mètre, défini alors
comme la dix-millionième partie du quart de méridien terrestre. Des savants mettront plusieurs années
à mesurer précisément ce quart de méridien, et ainsi donner naissance à cette nouvelle unité de mesure
des longueurs, aujourd’hui à la base de ce que l’on appelle le système métrique (comportant des unités de
masse (gramme), de capacité (litre), etc).
27.1.2 Ailleurs...
Principalement au Royaume-Uni et aux Etats-Unis, les unités de mesure de longueur usuelles ne sont pas
celles du système métrique : les anglo-saxons utilisent les pouces (inches en anglais ; 1 pouce équivaut à
25,4 mm), les pieds (feet en anglais ; 1 pied est égal à 12 pouces, 1 pied équivaut donc à 30,48 cm), les yards
(1 yard est égal à trois pieds, 1 yard équivaut donc à 0,9144 m) et les miles (1 mile est égal à 1609,344 m).
Par ailleurs, quelques pays conservent localement des unités qui leur sont propres, mais ont pour l’essentiel
adhéré au système métrique.
27.1.3 Particularités
En astronomie : les distances sont tellement gigantesques qu’il a fallu inventer de nouvelles unités de me-
sure de longueurs. Citons par exemple l’année-lumière : c’est la distance parcourue par la lumière dans le
vide en une année, soit environ 9461 milliards de kilomètres tout de même... Imaginez que l’étoile la plus
proche de notre Soleil est déjà située à plus de 4 années-lumière ! On peut également citer l’Unité Astro-
nomique (UA), qui est égale à la distance moyenne entre la terre et le Soleil, soit environ 149,6 millions de
kilomètres.
En matière de navigation on utilise également des unités différentes ; citons par exemple le mille marin,
qui vaut environ 1852 m.
27.1.4 Le mètre, ses multiples et sous-multiples
Multiples Sous-multiples
kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre
km hm dam m dm cm mm
1km = 1000m 1hm = 100m 1dam = 10m 1dm = 0,1m 1cm = 0,01m 1mm = 0,001m
Un exemple de conversion : 124,65 m = 0,12465 km = 12 465 cm
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27.2 Longueur d’un segment, d’une ligne brisée
La longueur du segment [AB] est notée AB .
Notation
A B
A la règle graduée, on mesure AB = . . . . . . . . . centimètres, ou encoreAB = . . . . . . . . . pouces.
Le milieu d’un segment [AB] est le point du segment [AB] situé à égale distance des extrémités A etB .
Définition
bA
bB
bI
bJ Le point I est sur [AB] et à égale distance de A et de B :
c’est le milieu de [AB].B Le point J est à égale distance de A et de B , mais iln’est pas sur [AB] : ce n’est donc pas le milieu de [AB].
Une ligne brisée est une succession de segments consécutifs, joints par leurs extrémités.
Définition
Pour déterminer la longueur d’une ligne brisée, on additionne entre elles les longueurs des segments qui la
composent. Par exemple :
b
A
b B
bC
b D
AB = . . . . . . . . . cmBC = . . . . . . . . . cmC D = . . . . . . . . . cm
Si L désigne la longueur de cette ligne bri-sée,alors on a L = AB +BC +C D = . . . . . . . . . cm.
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27.3 Périmètre d’un polygone
Un polygone est une figure plane délimitée par une ligne brisée fermée. Les extrémités des segmentsqui composent cette ligne brisée sont alors appelées sommets du polygone, et les segments eux-mêmes sont appelés côtés.Si jamais deux côtés se croisent (en dehors des sommets), on dit que c’est un polygone croisé.
Définition
Un polygone non croisé :
diagonale
sommetb
A
bB
bC
b
Db
E
Un polygone croisé :
bA
bB
bC
bD
Dans un polygone, deux sommets qui se suivent sont dits consécutifs.Un segment qui joint deux sommets non consécutifs est une diagonale de ce polygone.
Définition
Les polygones (poly, plusieurs, et gones, angles en grec) portent des noms différents selon le nombre de leurs
côtés :trois côtés → triangle quatre côtés → quadrilatère cinq côtés → pentagonesix côtés → hexagone sept côtés → heptagone huit côtés → octogoneneuf côtés → enneagone dix côtés → décagone douze côtés → dodécagone
Le périmètre d’un polygone est la longueur de la ligne brisée fermée qui le délimite.
Définition
Par exemple, le périmètre du quadrilatère dessiné ci-contre est égal àP = AB +BC +C D +D A
P = 4,8+2,7+3,5+1,6P = 12,6 cm.
b
A
b
B
b CbD
4.8 cm
2.7 cm
3.5 cm1.6 cm
Polygones particuliers :
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 158
Le triangle équilatéral
b
a
a a
AbB
bC
C’est un triangle qui a ses quatre côtés de mêmelongueur : AB = BC =C A = a ;Son périmètre P est alors donné par P = 3×a
Le triangle isocèle
bC
bB
b
A
C’est un triangle qui a deux de ses côtés de mêmelongueur. Le sommet dont partent les deux côtésde même longueur est appelé sommet principal,et le côté opposé à ce sommet principal est appelébase.Ici, ABC est un triangle isocèle en A (sous-entendu : de sommet principal A), de base [BC ].
Le rectangle
bA
bB bC
b DL
L
l l
◦ ◦
◦ ◦
C’est un quadrilatère qui a quatre angles droits.Ses diagonales sont de la même longueur, et secoupent en leur milieu.Si L désigne sa longueur, et l sa largeur,alors son périmètre P est donné parP = 2×L+2× l = 2× (L+ l ).
Le losange
bA
bB
bC
b
D
a
a
a
a
◦ ◦
∼
∼
C’est un quadrilatère qui a ses quatre côtés demême longueur : AB = BC =C D = D A = a
Ses diagonales se coupent perpendiculairementen leur milieu.Son périmètre P est donné par P = 4×a.
Le carré
bA
bB
bC
bD
a a
a
a
◦ ◦
◦ ◦
C’est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatrecôtés de même longueur (c’est donc à la fois un rectangle
et un losange).Ses diagonales sont de même longueur et se coupentperpendiculairement en leur milieu.Son périmètre P est donné par P = 4×a.
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 159
27.4 Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par sonmilieu.
Définition
Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :
bA
bB
bA
bB
b
I
bA
bB
b
I
méd
iatr
ice
de[A
B]
bA
bB
b
I
Si un point M est situé sur la médiatrice du segment [AB],alors on est sûr que ce point M est à égale distance des extrémités A et B .
Propriété
Si un point M est situé à égale distance des extrémités A et B ,alors on est sûr que ce point M est sur la médiatrice du segment [AB].
Propriété
Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :
bA
bB
bA
bB
bP
bA
bB
bQ
bP
méd
iatr
ice
de[A
B]
bA
bB
b
Q
b
P
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 160
27.5 Le cercle
27.5.1 Généralités
Le cercle C de centre O de rayon R est l’ensemble des points situés à une distance du point O exacte-ment égale à R .
Définition :
Soit C un cercle de centre O et de rayon R .
Si on a un point M tel que la distance OM soit exactement égale à R ,alors on est sûr que le point M est sur le cercle C .
Propriété
Si on a un point M sur le cercle C ,alors on est sûr que la distance OM est exactement égale à R .
Propriété
Voici le cercle C de centre O et de rayon 4 cm : c’est l’en-semble des points qui sont situés à exactement 4 cm dupoint O :
C
b
O
bA
b
B
b
C�BC
◮ Un rayon du cercle est un segment quia pour extrémités le centre et un point ducercle. Par exemple, [OB] est un rayon ducercle C
◮ Une corde du cercle est un segment quia pour extrémités deux points du cercle. Parexemple, [AB] est une corde du cercle C .◮ Un diamètre du cercle est un segment quia pour extrémités deux points du cercle, etqui passe par le centre du cercle. Le centre ducercle est alors le milieu de ce diamètre. Parexemple, [AC ] est un diamètre du cercle C
◮ Un arc de cercle �BC est une portion decercle comprise entre les deux points B et C ;B il y a deux arcs de cercle �BC ! ! (un "petit"et un "grand")
Définitions
27.5.2 Longueur d’un cercle
◮Propriété La longueur (ou circonférence) d’un cercle de rayon R est égale à 2×π×R , où π est un nombre
un peu "spécial" (voir ci-dessous) dont la valeur est proche de 3,14.
Par exemple, la longueur du cercle C de centre O et de rayon 4 cm représenté ci-dessus est égale à 2×π×R =2×π×4 ≃ 25,1 cm
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 161
27.5.3 Le nombre π
π est le nombre qui s’obtient en divisant la longueur d’un cercle quelconque par son diamètre. C’est un
nombre un peu mystérieux, et pour tout dire fascinant :
– Les Babyloniens prenaient 258 = 3,125 comme valeur de π.
– Les Egyptiens avaient estimé que ce nombre était égal à 25681 , c’est-à-dire environ 3,16.
– Plus tard, Archimède, célèbre savant Grec, estima que π était compris entre 22371 ≃ 3,141 et 220
70 ≃ 3,143.
– Au XVème siècle, le mathématicien Arabe Al-Kashi calcula 14 décimales de π ; Au XVIIème siècle, l’Anglais
John Machin fut le premier à calculer 100 décimales de π. Récemment, le Japonais Kanada a calculé grâce
à un énorme ordinateur plus de 1 200 000 000 000 décimales de π !
En fait, un petit poème permet de retenir les premières décimales de π ; dans ce poème, le nombre de lettres
de chaque mot donne la décimale correspondante. Voyez plutôt :
Que j’ aime à faire apprendre ce nombre3 1 4 1 5 9 2 6
utile aux sages. Immortel Archimède, artiste ingénieur ...5 3 5 8 9 7 9
qui nous donne π≃ 3,14159265358979.
En fait, ce mystérieux nombre π est un nombre que l’on ne peut pas écrire sous la forme d’un nombre
décimal ou d’une fraction : il y a une infinité de décimales, et elles ne présentent aucune régularité ; on dit
que π est un nombre irrationnel.
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Chapitre 28
6ème - Angles
28.1 Qu’est-ce qu’un angle ?
Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.Les deux demi-droites sont appelées côtés de l’angle, alors que leur origine commune est appeléesommet de l’angle.
Définition
Illustration :
x
y
α
Côtés de l’angle
Sommet de l’angle
bO
b
B
bA
Cet angle peut être désigné par différentes écritures :
– On peut l’appeler α (lettre de l’alphabet grec, qui se prononce "alpha", équivalent de notre "a").
– On peut l’appeler �AOB ou encore �BOA (il faut seulement que la lettre désignant le sommet de l’angle soit
placée au milieu).
– On peut également l’appeler �xO y ou �yOx.
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 163
28.2 Mesure d’un angle
On peut mesurer l’"ouverture" d’un angle ; l’unité de mesure que l’on utilise au collège est le degré.L’instrument qui nous servira à mesurer des angles s’appelle un rapporteur.
Définition
Voici un rapporteur, gradué en degrés ; ce rappor-teur a une double graduation, qui va de 0 à 180degrés. BAttention ! ! Cette double graduation estsource de nombreuses erreurs...
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Comment mesurer un angle à l’aide du rapporteur ?0
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B
C
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A
B
C
�B AC = 60◦ �B AC = 109◦
Pour déterminer la mesure en degrés de l’angle �B AC :
– On commence par placer le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle (ici le point A).
– On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que l’un des côtés de l’angle passe par
une des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure), et que l’autre côté de l’angle passe sous une autre
graduation du rapporteur.
– En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir
du zéro pour arriver jusqu’au deuxième côté de l’angle.
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 164
Comment tracer un angle de mesure donnée à l’aide d’un rapporteur ?
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A B A B75◦
Pour tracer un angle �B AC mesurant 75◦ (en supposant que le segment [AB] est déjà tracé) :
– On commence par placer le centre du rapporteur sur le point qui sera le sommet de l’angle (ici le point
A).
– Si besoin est, on prolonge le segment [AB] en la demi-droite [AB].
– On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que la demi-droite [AB] passe par une
des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure).
– En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir
du zéro pour arriver jusqu’à la mesure demandée (ici 75◦), et faire une marque au crayon.
– Oter le rapporteur et tracer le deuxième côté de l’angle.
28.3 Différents types d’angles
On peut classer les angles selon leur mesure α= �B AC :
α= 0◦ 0◦ <α< 90◦α= 90◦ 90◦ <α< 180◦
α= 180◦
Angle nul Angle aigu Angle droit Angle obtus Angle plat
bA bC bB bA
bC
bB bA
bC
bB bA
bC
bB b
AbC bB
Soient A, B et C trois points distincts deux à deux ;◮ Dire que "les droites (AB) et (AC ) sont perpendiculaires" revient à dire que "l’angle �B AC est unangle droit".◮ Dire que "les points A, B et C sont alignés" revient à dire que "l’angle �B AC est soit nul, soit plat".
Propriétés
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 165
◮ On dira de deux angles qu’ils sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun, et qu’ilssont situés de part et d’autre de ce côté commun.◮ On dira de deux angles qu’ils sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90◦.◮ On dira de deux angles qu’ils sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180◦.
Définitions
bA bB
bC
b
D
b
AbB
bC
bD
�B AD et �D AC sont adjacents et complémentaires. �B AD et �D AC sont adjacents et supplémentaires.
28.4 Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle, et qui partagel’angle en deux angles de même mesure.
Définition
A
B
C
bissectr
icede
BAC
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 166
Comment tracer la bissectrice d’un angle donné
Avec un rapporteur :
On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.
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A
B
C
A
B
C
Avec un compas :
On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points
I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les
arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle �B AC est la demi-droite [AD).
A
B
C
I
J
A
B
C
I
J
D
A
B
C
I
J
D
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PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 168
Chapitre 29
6ème - Aires
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Aires : mesure, compa-raison et calcul d’aires
– Comparer des aires.– Déterminer l’aire d’une surface à
partir d’un pavage simple.
Poursuivant le travail effectué àl’école élémentaire, les élèves sontconfrontés à des problèmes danslesquels il faut :– comparer des aires à l’aide de re-
ports, de décompositions, de dé-coupages et de recompositions,sans perte ni chevauchement ;
– déterminer des aires à l’aide dequadrillage et d’encadrements.
– Différencier périmètre et aire. Certaines activités proposéesconduisent les élèves à comprendrenotamment que leurs sens de varia-tion ne sont pas toujours similaires.
– Connaître et utiliser la formuledonnant l’aire d’un rectangle.
Au cycle 3 de l’école élémentaire,les élèves ont calculé l’aire d’unrectangle dont l’un des côtés aumoins était de dimension entière. Ensixième, le résultat est généralisé aucas de rectangles dont les dimensionssont des décimaux
PE 1 Cours Maths - http://www.mathonautes.fr page 169
29.1 Aire d’une surface
Une ligne qui se referme sur elle-même délimite une surface ; la mesure de la surface (dans une unitéchoisie) s’appelle l’aire de cette surface.Pour connaître l’aire d’une figure, on calcule le nombre d’unités d’aires qui sont nécessaires pourrecouvrir exactement cette surface, sans chevauchement ni perte.
Définition
Exemple : L’aire de cette figure vaut 6 unités d’aire nr1, ou encore 8 unités d’aire nr2
Unite d’aire n◦1
Unite d’aire n◦2
Remarques :– L’aire change dès que l’on change d’unité d’aire. Il est
donc important de toujours préciser l’unité choisie.– Quand c’est possible, on mesure l’aire en utilisant un
pavage, comme ci-dessous. En revanche, pour le disqueci-dessous, on ne peut donner qu’un encadrement :si l’unité d’aire est le carreau de quadrillage, l’aire dudisque mesure entre 32 et 60 unités d’aires.
◮ Des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire.◮ Des figures peuvent avoir la même aire en ayant des périmètres différents.◮ Des figures peuvent avoir le même périmètre en ayant des aires différentes.
Propriétés
Par exemple :
Unit de longueur Unit d’aire
Figure nr1 Figure nr2 Figure nr3Aire 8 8 10
Périmètre 18 12 18
– Les figures 1 et 2 ont la même aire, mais pas lamême forme, ni le même périmètre.
– Les figures 1 et 3 ont le même périmètre, mais pasla même aire.
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Calcul d’aire par découpage et collage :
Les aires des deux figures sont égales ; on peut donc en déduire que l’aire de la figure de gauche est égale à
100 unités d’aire (le carreau de quadrillage étant l’unité d’aire)
29.2 Unités usuelles d’aires
L’unité d’aire usuelle est le mètre carré (noté m2), qui représente l’aire d’un carré de côté 1 m. Onutilise aussi ses multiples (km2, hm2, dam2) et ses sous-multiples (dm2, cm2, mm2).
Définition
Par exemple : Un centimètre carré (cm2) est l’aire d’un carré de 1 cm de côté. Un millimétre carré (mm2)
est l’aire d’un carré de 1 mm de côté. Dans 1 cm2, il y a 100 mm2.
1cm 1 cm2
1 mm2
Pour la mesure des aires des terres agricoles, forestières, etc. . ., on dispose d’unités d’aire spécifiques,appelées unités de mesure agraires.L’unité agraire de base est l’are, qui vaut 100 m2 ; on utilise également l’hectare, qui vaut 100 ares (soit10 000 m2), et enfin le centiare, qui vaut un centième d’are (soit 1 m2).
Définition
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TABLEAU DES UNITÉS D’AIRE
Unités kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètrecarré carré carré carré carré carré carré
Abréviation km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Unités agraires hectare (ha) are (a) centiare (ca)Valeur en m2 1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,000 1 m2 0,000 001 m2
zeros zeros zero zeros zer zero zeroszeros zeros zero zeros zer zero zeroszeros zeros zero zeros zer zero zeros
Méthode pour changer d’unité d’aire :
• Pour passer d’une unité d’aire à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 100 ;
• Pour passer d’une unité d’aire à l’unité immédiatement supérieure, on divise par 100 ;
Exemples :
• 25 dam2 = 2 500 m2
• 3 cm2 = 0,000 3 m2
• 2,4 km2 = 2 400 000 m2
• 21 ha= 2 100 a = 210 000 m2
29.3 Aires de polygones
Rectangle Carré Triangle rectangle
L
l
c
b
a
A = L× l A = c ×c = c2A =
a×b
2
Méthode :Pour calculer l’aired’un polygonequelconque, oncherche à décom-poser sa surface enrectangles, carrés ettriangles rectanglesdont on calculel’aire, puis on cal-cule l’aire totaledu polygone paraddition (ou parsoustraction).
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Chapitre 30
6ème - Volumes
Extrait du programme de la classe de Sixième :
CONTENU COMPÉTENCES COMMENTAIRES
Parallélépipèderectangle : pa-trons, repré-sentations enperspective.
Fabriquer ou recon-naître un parallélé-pipède rectangle dedimensions données, àpartir de la donnée :– de ses trois dimen-
sions ;– du dessin d’un de ses
patrons ;– d’un dessin le repré-
sentant en perspec-tive cavalière.
L’observation et la manipulation d’objets usuels constituent despoints d’appui indispensables.A l’école élémentaire, les élèves ont déjà travaillé sur le parallélépi-pède rectangle et le cube (description, construction, patron). Cetteétude est poursuivie en 6e, en mettant l’accent sur un aspect nou-veau : la représentation en perspective cavalière, dont certaines ca-ractéristiques sont précisées aux élèves.
L’usage d’outils informatiques permet en outre une visualisation de
différentes représentations d’un objet de l’espace.
Dessiner ou compléter
un patron d’un parallé-
lépipède rectangle.
Même si les compétences attendues ne concernent que le parallé-lépipède rectangle, les travaux portent sur différents objets de l’es-pace. Ils s’appuient sur l’étude de solides, éventuellement réalisésen technologie, amenant à passer de l’objet à ses représentationset inversement.Le cube est reconnu comme un parallélépipède rectangle particu-lier.Le vocabulaire (face, arête, sommet) est utilisé dans des situationsoù il apparaît nécessaire, en même temps que celui qui permet decaractériser les propriétés des faces ou des arêtes.
La capacité présente et future à "voir dans l ?espace" est liée à
la construction par l’élève d’images mentales portant en particu-
lier sur les relations de parallélisme et d’orthogonalité extraites du
parallélépipède rectangle, sans que des compétences particulières
soient exigibles dans ce domaine.
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Volumes – Déterminer levolume d’un paral-lélépipède rectangleen se rapportant àun dénombrementd’unités.
– Connaître et utiliserles unités de volumeet les relier aux uni-tés de contenance.
– Savoir que1 L = 1 dm3.
– Effectuer pour lesvolumes des chan-gements d’unités demesure.
La construction des connaissances relatives au volume relève ducollège. Il s’agit d’étendre à l’espace des démarches de pavage déjàpratiquées pour déterminer des aires. A l’entrée en sixième, lesélèves n’ont aucune connaissance des unités de volume autres quecelles relatives aux contenances. Il s’agit donc de les aider à mettreen place des images mentales comme celle du décimètre cube rem-pli par mille centimètres cubes. Des cas où interviennent des va-leurs non entières sont étudiés (par exemple un pavé 3× 2× 1,5),dans la mesure où ils sont susceptibles d’un traitement simple àl’aide d’un pavage. Aucune compétence n ?est exigible à ce sujet.Le cas général sera étudié en classe de cinquième.
Comme pour les longueurs et les aires, l’utilisation des équiva-
lences entre diverses unités est préférée à celle systématique d’un
tableau de conversion.
30.1 Représenter un solide en perspective cavalière
Un solide est un objet de l’espace délimité par des surfaces indéformables. Si jamais ces surfaces sontdes polygones, alors elles sont appelées faces du solide, les côtés de ces polygones sont les arêtes dusolide, et leurs sommets sont les sommets du solide.
Définition
Remarque : certains solides n’ont pas de surface plane, comme - par exemple - les boules, les cônes. . .
La perspective cavalière est une technique qui permet de représenter des solides - à trois dimensions- sur une surface à deux dimensions.
Définition
Cette représentation n’est pas vraiment conforme à ce que percevrait l’oeil en réalité, mais présente de
nombreux avantages pour les raisonnements mathématiques. Les règles liées à cette représentation sont
simples :
• les figures contenues dans un plan frontal (c’est-à-dire perpendiculaire au regard de l’observateur) sont
dessinées en grandeur réelle (longueur des segments, mesures des angles), sans déformation,
• les droites parallèles en réalité doivent égaement apparaître comme parallèles sur le dessin,
• les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.
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A B
CD
EF
GH
Ce solide (que l’on appelle pavé droit, ou encore parallélépipède rec-tangle ; voir plus loin. . . ) est représenté en perspective cavalière.– Il a 8 sommets : A, B , C , D, E , F , G et H ;– Il a 12 arêtes : les arêtes [AB], [BC ], [AE ], [BF ], [E F ], [FG], [CG], [E H]
et [G H] sont apparentes (donc représentées en trait plein), les arêtes[AD], [DC ] et [DH] sont cachées (et donc représentées en pointillés).
– il a 6 faces : ABC D est la face du dessous, E FG H celle du dessus,BCGF est la face de droite, ADHE est la face de gauche, ABF E est laface de devant, et enfin C DHG est la face de derrière (ces deux facessont représentées dans un plan frontal, donc dessinées en grandeurréelle).
30.2 Le pavé droit
Le pavé droit, encore appelé parallé-lépipède rectangle, est un solide à sixfaces, dont chacune des faces est un rec-tangle.
Définition
En géométrie, le patron d’un so-lide est une figure plane obtenue endécoupant ce solide selon certainesarêtes, et en le "dépliant". Voici deuxreprésentations en perspective d’unpavé droit, accompagné de l’un deses patrons :
①②
③
Vue du dessus à droite
①④
⑤
Vue du dessous àgauche
①
②
③
④ ⑤
⑥
Patron du pavé
Le cube est un pavé droit particulier,dont les six faces sont des carrés iden-tiques.
Définition
Voici deux représentations en pers-pective d’un cube, accompagné del’un de ses patrons :
Remarque :Il existe 11 patrons différents pour unmême cube !
①②
③
Vue du dessus à droite
①④
⑤
Vue du dessous àgauche
①
②③
④
⑤
⑥
Patron du pavé
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30.3 Unités de volume et de capacité
La mesure de l’espace occupé par un solide (dans une unité choisie) s’appelle le volume de ce solide.Pour connaître le volume d’un solide, on calcule le nombre d’unités de volume qui sont nécessairespour remplir exactement cet espace.
Définition
Exemple : Ces deux solides ont unvolume qui vaut 12 unités, bienqu’ils n’aient pas la même forme : Unité de
volume
L’unité de volume usuelle est le mètre cube (noté m3), qui représente le volume d’un cube de côté 1m. On utilise aussi ses multiples (km3, hm3, dam3) et ses sous-multiples (dm3, cm3, mm3).
Définition
Par exemple :
Un centimètre cube (cm3) est levolume d’un cube de 1 cm de côté.Un millimétre cube (mm3) est levolume d’un cube de 1 mm decôté.
Dans 1 cm3, il y a 1 000 mm3.
1cm
1cm
1cm
Pour la mesure des capacités (quantité de liquide que peut contenir un solide donné), on disposed’unités d’aire spécifiques.L’unité de capacité de base est le litre, noté L, qui est la quantité de liquide que peut contenir un cubed’un décimètre de côté, et qui vaut donc 1 dm3 ; on utilise également ses multiples (kL, hL, daL) et sessous-multiples (dL, cL, mL).
Définition
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TABLEAU DES UNITÉS DE VOLUME ET DE CAPACITÉ
Unités kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètrecube cube cube cube cube cube cube
Abréviation km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Unités de capacité kL hL daL L dL cL mL
Méthode pour changer d’unité de volume :
• Pour passer d’une unité de volume à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 1 000 ;
• Pour passer d’une unité de volume à l’unité immédiatement supérieure, on divise par 1 000 ;
Exemples :
• 25 dam3 = 25 000 m3
• 43 dm3 = 0,043 m3
• 2,4 m3 = 2 400 000 cm3
• 2 100 cm3 = 0,21 dm3
Méthode pour changer d’unité de capacité :
• Pour passer d’une unité de capacité à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 10 ;
• Pour passer d’une unité de capacité à l’unité immédiatement supérieure, on divise par 10 ;
Exemples :
• 2 daL = 20 L • 43 dL = 0,043 hL • 1,4 L = 1 400 mL
Equivalence entre unités de volume et unités de capacité : • 1 dm3 = 1 L • 1 cm3 = 1 mL
30.4 Volume d’un pavé droit
1 cm3
6 cm
4cm
5 cm
Dans ce pavé droit, chaque "couche" est constituée de6×5= 30 petits cubes.Comme le pavé comporte 4 "couches", il contient autotal (6×5)×4= 30×4= 120 petits cubes.Le volume de ce pavé est donc de (6×5)×4 = 120 cm3.
On a les formules suivantes :
Pavé droit Cube
Ll
h
c
V = L× l ×h V = c ×c ×c = c3
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30.5 Formulaire : Aires et volumes
Nom de la figure Représentation Aire
Trapèze de petite base b, de grandebase B et de hauteur h
b
B
h
A =(B +b)×h
2
Parallélogramme de côté c et dehauteur h relative à ce côté
c
h
A = c ×h
Losange de côté c, de grande dia-gonale D et de petite diagonale d D
d A =d ×D
2
Rectangle de longueur L et de lar-geur l
L
l
A = L× l
Carré de côté c
c
A = c2
Triangle de côté c et de hauteur h
relative à ce côté
c
h
A =c ×h
2
Cercle et disque de rayon r
r A =πr 2
(Périmètre :P = 2πr )
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Nom du solide Représentation Volume
Parallélépipède rectangle de lon-gueur L, de largeur l et de hauteurh. Le cube de côté c en est un casparticulier (L = l = h = c).
L l
h
V = L× l ×h
(Pour le cube decôté c :V = c3)
Prisme – A est l’aire d’une base eth la hauteur du prisme. h
V =A ×h
Cylindre – h est la hauteur du cy-lindre, et r est le rayon du disquede base
h
r V =πr 2 ×h
Cône – r est le rayon du disque debase et h la hauteur du cône. r
hV =
1
3×πr 2 ×h
Pyramide – A est l’aire de la baseet h la hauteur de la pyramide.
h
V =1
3×A ×h
Sphère ou Boule de centre O et derayon r O
r
V =4
3×π× r 3
(Aire : A = 4πr 2)
•Appliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c’est multiplier toutes ses dimensionspar un nombre k supérieur à 1.•Appliquer une réduction à une figure ou à un solide, c’est multiplier toutes ses dimensions parun nombre k compris entre 0 et 1.•Lorsque l’on réduit ou agrandit une figure d’un rapport k, alors l’aire de cette figure est multi-pliée par k2.•Lorsque l’on réduit ou agrandit un solide d’un rapport k, alors le volume de ce solide est mul-tiplié par k3.
Agrandissement-réduction
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