cours02_introduction à la logique
TRANSCRIPT
Introduction à la logique
2
Introduction aux fonctions logiques
Systèmes binaires¤ Deux états fondamentaux et distincts;¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.
Par convention:¤ Un état est représenté par « 1 »;¤ L’autre est représenté par « 0 ».
3
La logique Booléenne
En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires.¤ Il écrira « The Mathematical
Analysis of Logic », Cambridge,
Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats.
4
Types de représentation
Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons:¤ Équations logiques¤ Tables de vérités¤ Diagrammes échelle (Ladder)
5
Types de représentation
Équations logiques¤ Reposent sur 3 opérateurs de base:
ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont
formées de ces 3 opérateurs
¤ Nous verrons ces équations dans quelques minutes
6
Types de représentation
Tables de vérités¤ Tables qui énumèrent toutes les
combinaisons possibles d'entrées, et les sorties correspondantes.
¤ Le nombre de colonnes est la sommes du nombre d'entrée et de sortie
¤ Pour "N" entrées, le nombre de lignes est 2N
Exemple:3 entrées et 1 sorties4 colonnes et 8 lignes
7
Types de représentation
Tables de vérités3 entrées et 1 sorties4 colonnes et 8 lignes
Chaque ligne est une équation logique
8
Types de représentation
Diagrammes échelle (Ladder)
9
Types de représentation
Équations logiques¤ Reposent sur 3 opérateurs de base:
ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont
formées de ces 3 opérateurs
10
Fonction logique NON
En anglais: NOTReprésentation:
¤ F = A ou F = /A
Entrée Sortie
A F
0 1
1 0
Table de vérité
A F
Symbole graphique
11
Fonction logique ET
En anglais: ANDReprésentation:
¤ F = A * B ou A • B ou AB
Entrée Sortie
F
1
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
0
0
0
0
AF
Symbole graphique
B
12
Fonction logique OU
En anglais: ORReprésentation:
¤ F = A + B
Entrée Sortie
F
1
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
1
1
0
0
AF
Symbole graphique
B
13
Fonction logique NON-ET
En anglais: NANDReprésentation:
¤ F = A * B
Entrée Sortie
F
0
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
1
1
1
0
AF
Symbole graphique
B
14
Fonction logique NON-OU
En anglais: NORReprésentation:
¤ F = A + B
Entrée Sortie
F
0
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
0
0
1
0
AF
Symbole graphique
B
15
Fonction OU-EXCLUSIF
En anglais: EXORReprésentation:
¤ F = A B
Entrée Sortie
F
0
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
1
1
0
0
AF
Symbole graphique
B
/B*A
B*/A
/B*A+B*/A
16
Fonction NON OU-EXCLUSIF
En anglais: EXNORReprésentation:
¤ F = A B
Entrée Sortie
F
1
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
0
0
1
0
AF
Symbole graphique
B
/B*/A
B*A
/B*/A+B*A
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Fonctions à 2 variables
Il existe 16 fonctions logiques possibles avec 2 variables.¤ Deux variables permettent 4 combinaisons
(22) 00, 01, 10, 11
¤ Ces 4 combinaisons donnent 16 fonctions (24)
F0, F1, … F15
18
Fonctions à 2 variables
16 fonctions logiques avec 2 variables.
A F0
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
0
F1
1
0
0
0
F2
0
1
0
0
F3
1
1
0
0
F4
0
0
1
0
F5
1
0
1
0
F6
0
1
1
0
F7
1
1
1
0
A F8
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
1
F9
1
0
0
1
F10
0
1
0
1
F11
1
1
0
1
F12
0
0
1
1
F13
1
0
1
1
F14
0
1
1
1
F15
1
1
1
1
19
Fonctions à 2 variables
A F0
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
0
F1
1
0
0
0
F2
0
1
0
0
F3
1
1
0
0
F4
0
0
1
0
F5
1
0
1
0
F6
0
1
1
0
F7
1
1
1
0
A F8
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
1
F9
1
0
0
1
F10
0
1
0
1
F11
1
1
0
1
F12
0
0
1
1
F13
1
0
1
1
F14
0
1
1
1
F15
1
1
1
1
20
Fonctions à 3 variables
Il existe 256 fonctions logiques possibles avec 3 variables.¤ Trois variables permettent 8 combinaisons
(23) 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
¤ Ces 8 combinaisons donnent 256 fonctions (28)
F0, F1, … F255
¤ Pas très convivial !
21
Fonctions logiques utilisant des interrupteurs
En électronique, on représente les fonctions logiques avec des diagrammes d'échelle.
En automatisation, on utilise des interrupteurs et des relais pour représenter les fonctions logiques.
22
Fonction logique NON
Interrupteur normalement fermé
V
A
Lampe
Lampe A
23
Fonction logique ET
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en séries.
V
A
Lampe
B
Lampe A B
24
Fonction logique OU
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèles.
V
A
Lampe
B
Lampe A B
25
Fonction logique NON-ET
Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèles.
V
A
Lampe
B
Lampe AB A B
26
Fonction logique NON-OU
Utilise deux interrupteurs normalement fermés en séries.
V
A
Lampe
B
Lampe A B A B
27
Fonction OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts
V
A
Lampe
A B
B
LampeABABAB
28
Fonction NON OU-EXCLUSIFUtilise deux interrupteurs à deux contacts
V
A
Lampe
A B
B
Lampe A B A B AB
29
Fonctions logiques utilisant des relaisEn automatisation, on utilise les relais
pour réaliser des fonctions logiques.Le relais est une composante
électromécanique.
AA A
Contactnormalement
ouvert
Bobine Contactnormalement
fermé
30
Fonction logique NON
Relais avec un contact normalement fermé
V
b
B
V++
LampeB
Bobine d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
31
Fonction logique ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.
V
c
C
V++
LampeC
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
d
D
D
32
Fonction logique OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en parallèles.
V
e
E
V++
Lampe
E
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
f
F
F
33
Fonction logique NON-ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.
i
I
V++
Lampe
I
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
j
J
J
V
V
34
Fonction logique NON-OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en parallèles.
V
g
G
V++
LampeG
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
h
H
H
35
Fonction OU-EXCLUSIF
Lampe = K L = /K.L + K./L
V
k
K
V++
Lampe
K
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
l
L
K
L
L
36
Fonction NON OU-EXCLUSIF
Lampe = M N = M.N + /M./N
V
m
M
V++
Lampe
M
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
n
N
M
N
N
37
Règles, postulats et théorèmes¤ Utiles pour la simplification des équations
logiques !
L’algèbre Booléenne
38
Fermeture:¤ Si A et B sont des variables Booléennes,
alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.
Commutativité¤ A + B = B + A¤ A * B = B * A
L’algèbre BooléenneRègles, postulats et théorèmes
39
Associativité¤ A + (B + C) = (A + B) + C¤ A * (B * C) = (A * B) * C
Distributivité¤ ET/OU: A(B + C) = AB + AC¤ OU/ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
L’algèbre BooléenneRègles, postulats et théorèmes
40
L’algèbre Booléenne
Idempotence¤ A + A = A¤ A * A = A
Complémentarité¤ A + A = 1¤ A * A = 0
Règles, postulats et théorèmes
41
L’algèbre Booléenne
Identités remarquables¤ 1 + A = 1 et 1 * A = A¤ 0 + A = A et 0 * A = 0
Distributivité interne¤ A + (B + C) = (A + B) + (A + C)¤ A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
Règles, postulats et théorèmes
42
L’algèbre BooléenneRègles et postulats
43
L’algèbre BooléenneRègles, postulats et théorèmes
44
L’algèbre BooléenneRègles, postulats et théorèmes
45
Table de vérité versusdiagramme échelle
Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l’équation logique et le diagramme échelle correspondant
Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.
46
Exemple
Trouver l’équation de S.
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
47
Exemple
Solution:¤ On construit l’équation de
S en écrivant tous les termes donnant S=1.
¤ Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
48
Exemple
Solution pour S=1. si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.
On peut donc écrire:¤ S = /C.B./A + /C.B.A +
C./B.A + C.B./A
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
49
Exemple
S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./AOn peut simplifier:
¤ S = /C.B.(/A+A) + C./B.A + C.B./A
¤ S = /C.B.(1) + C./B.A + C.B./A
¤ S = /C.B + C./B.A + C.B./A
¤ S = /C.B + C.(A B) "ou-exclusif"
50
Exemple
S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./AOn peut simplifier:
¤ S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A
¤ S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A
¤ S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A
¤ S = B./A + /C.B.A + C./B.A¤ S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif"
51
Exemple
Inspection visuelle ?
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
S = /C.B + C./B.A + C.B./AS = /C.B + C.(A B)
S = B./A + /C.B.A + C./B.AS = B./A + A.(C B)
52
Si nous utilisions des relais...S = /C.B + C./B.A + C.B./A = C.(/B.A + B./A) + /C.B
53
La simplification des équations
La simplification est essentielle.¤ On veut avoir le circuit le plus simple
possible...
La simplification peut être un processus long si le système est complexe.
Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.
54
Méthodes de simplification
Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique.
Méthodes de simplification graphique:¤ Tables de Karnaugh¤ Table de Mahoney
55
Table de Karnaugh
Représentation de la table de vérité sous forme graphique.
Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité.¤ Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...)
n = Nombre d ’entrées
56
Table de Karnaugh
Avec n = 2:¤ Entrées B et A¤ 4 cases
0 . 1 .
2 . 3 .
AB 0 1
0
1
57
Table de Karnaugh
Avec n = 3:¤ Entrées C, B et A¤ 8 cases
BA00 01 11 10
0
1
C
0 1 3 2
4 5 7 6
58
Table de Karnaugh
Avec n = 4:¤ Entrées D, C, B et A¤ 16 cases
BA00 01 11 10
00
01
11
10
DC
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
59
Exemple (Karnaugh)
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
BA00 01 11 10
0
1
C
0 1 3 2
4 5 7 6
0
0
0
1
1
0
1
1
TABLE DE VÉRITÉ
TABLE DE KARNAUGH
60
Table de Karnaugh
À partir de la table, on simplifie en groupant les 1 adjacents.
Les 1 adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table
La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).
Le groupe est soit rectangulaire ou carré.
61
BA00 01 11 10
0
1
C
0 1 3 2
4 5 7 6
0
0
0
1
1
0
1
1
Exemple (Karnaugh)
Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A
/C.B.A+/C.B./A = /C.B
/C.B./A+C.B./A=B./AC./B.A
62
Table de Karnaugh
Former les plus gros groupes possibles.¤ Termes plus simples.
Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.
63
BA00 01 11 10
00
01
11
10
DC
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
Exemple (Karnaugh)
Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.¤ La table se referme sur elle même.
1 10 1/C./A
/C.B
/D.C./B.A 0 01 0
0 00 0
1 10 1
64
Table de Mahoney
La table de Mahoney est semblable à celle de Karnaugh pour 2 variables
A
B
F0A B F0
0 0
0 1
1 0
1 1
A
B
65
Table de Mahoney
Pour 3 variables, la table est composée de celle pour 2 variables et de son miroir
A
B
F1 A
B
A A
C C
Charnière
66
C
0 1 5 4
2 3 7 6
C
B
B
AA AA
0
1
0
1
1
0
0
1
Exemple (Mahoney)
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
TABLE DE VÉRITÉTABLE DE MAHONEY
67C
0 1 5 4
2 3 7 6
C
B
B
AA AA
0
1
0
1
1
0
0
1
Exemple (Mahoney)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
/C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A
C./B.A
68
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 3:¤ Entrées C, B et A¤ 8 cases
C
0 1 5 4
2 3 7 6
C
B
B
AA AA
69
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 4:¤ Entrées D, C, B et A¤ 16 cases
C
10 11 15 14
8 9 13 12
C
B
B
AA AA
0 1 5 4
2 3 7 6
B
BD
D
70
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 5:¤ Entrées E, D, C, B et A¤ 32 cases
E
10 11 15 14
8 9 13 12
C
B
B
AA AA
0 1 5 4
2 3 7 6
B
B
C
30 31 27 26
28 29 25 24
C
20 21 17 16
22 23 19 18
D
D
AA AA
E
C
71
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 6:¤ 64 cases
10 11 15 14
8 9 13 12
B
B
AA AA
0 1 5 4
2 3 7 6
B
B
30 31 27 26
28 29 25 24
20 21 17 16
22 23 19 18
D
D
AA AA
E
34 35 39 38
32 33 37 36
C
B
B
40 41 45 44
42 43 47 46
B
B
C
54 55 51 50
52 53 49 48
C
60 61 57 56
62 63 59 58
E
D
D
F
F
C
72
Les états indifférents (don’t care)
Ils sont représentés par des X
En sortie, ils correspondent à des combinaisons d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été définie.¤ Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide
et plein.
73
Contrôle de niveau d’un réservoir
M
Pompe 1
M
Pompe 2
h
b
s
Capteur de niveau hauth = 1 plein
Capteur de niveau basb = 0 vide Sélecteur de pompe
s = 0 Pompe 1s = 1 Pompe 2
74
Contrôle de niveau ...
Si réservoir plein: Aucune pompe en marche;
Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche;
Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».