cours the orie risque 1

MATHEMATIQUES DE L’ASSURANCE NON-VIE

Fouad Marri

INSEA

Fouad Marri MATHEMATIQUES DE L’ASSURANCE NON-VIE

Bibliographie

Loss Models : From Data to Decisions, Klugman, S.A. ;Panjer, H. H. et Willmot, G.E. (2004). 2eme edition, Wiley.

Modern actuarial risk theory using R. Kaas, R. ; Goovart, M. ;Dhaene, J. ; Denuit, M. (2008).

Assurance, Comptabilite Reglementation Actuariat, A.Tosetti, al. Economica, 2002.

Mathematiques de l’assurance non-vie : Denuit etCharpentier, Economica, (2005).

Assurance Non-Vie, Partrat et Besson, Economica, (2005).

Theorie de l’assurance dommage, Pierre Petauton,Dunod,(2000)


Objectifs

On etudiera plusieurs modeles et techniques pour quantifierles risques en assurance.

On etudiera divers modeles de pertes agregees. Les modelesindividuels et collectifs du risque seront etudies.

D’autres modeles plus generaux pour le surplus d’unecompagnie d’assurance seront aussi consideres.

On etudiera aussi diverses mesures du risque : VAR (value atrisk) et CTE (conditional tail expectation).


Qu’est-ce qu’un actuaire ?

Un actuaire est un professionnel specialise dans l’analyse, lamodelisation et la gestion des consequences financieresdecoulant d’evenements incertains.

Un actuaire utilise les probabilites et les statistiques pour lamodelisation de risques financiers. Une connaissance desmathematiques financieres et des mathematiques actuariellesest essentielle a son travail.

Les actuaires font appel a leurs connaissances specialisees enmathematique financiere, en statistique et en theorie desrisques afin de resoudre les problemes specifiques :

des societes d’assurances vie et IARD (Incendies, Accidents etRisques Divers) ;des regimes de retraite ;des organismes de reglementation ;des programmes sociaux ;des particuliers.


Rappel des differentes lois de probabilites :

Lois discretes

Lois Parametres P(X = k) E(X) Var(X ) MX (t)

Poisson λ > 0 e−λ λk

k! , k = 0, 1, · · · λ λ eλ(et−1)

Binomiale n ∈ N, q ∈ (0, 1) C kn q

k(1− q)n−k , k = 0, 1, · · · , n nq nq(1− q) (qet + 1− q)n

Bernouilli q ∈ (0, 1) qk(1− q)1−k , k ∈ {0, 1} q q(1− q) (qet + 1− q)

Binomiale negative 1 r > 0, q ∈ (0, 1) C kr+k−1q

r (1− q)k , k = 0, 1, · · · r 1−qq r 1−q

q2

(q

1−(1−q)et

)r

Binomiale negative 2 r > 0, β > 0 Γ(r+k)Γ(r)k!

1(1+β)r

β(1+β)k

, k = 0, 1, · · · rβ rβ(1 + β) (1− β(et − 1))−r

Geometrique q ∈ (0, 1) q(1− q)k , k ∈ {0, 1, 2, · · · } 1−qq

1−qq2

q(1−(1−q)et)

MX (t) = E (etX ) : Fonction generatrice des moments


Rappel des differentes lois de probabilites :

Lois continues

Lois Parametres fX (x) FX (x) E(X) Var(X ) MX (t)

Uniforme −∞ < a < b < +∞,

0 si x < a

1b−a si a < x < b

0 si x > b

0 si x < a

x−ab−a si a < x < b

1 si x > b

a+b2

(b−a)2

12ebt−eat

(b−a)t

Normale µ ∈ R, σ2 > 0 1σ√2πe−

12σ2 (x−µ)2 , x ∈ R forme non explicite µ σ2 etµ+t2 σ2

2

lognormale µ ∈ R, σ2 > 0 1xσ

√2πe−

12σ2 (log(x)−µ)2 , x > 0 forme non explicite eµ+

σ2

2 e2µ+σ2(eσ

2 − 1) forme non explicite

Exponentielle λ > 0 λe−λx , x > 0 1− e−λx , x > 0 1λ

1λ2

λλ−t

Gamma α > 0,β > 0 βα

Γ(α)e−βxxα−1, x > 0, forme non explicite α

βαβ2 ( β

β−t )α

Erlang n ∈ N,β > 0 βn

Γ(n)e−βxxn−1, x > 0, 1−

n−1∑j=0

(βx)j

j! e−βx nβ

nβ2 ( β

β−t )n

Pareto α > 0,λ > 0 αλα

(λ+x)α+1 x > 0 1−(

λλ+x

)αλ

α−1 , si α > 1 αλ2

(α−1)2(α−2), si α > 2 forme non explicite

Weibull α > 0,λ > 0 λαxα−1e−λxα , x ≥ 0 1− e−λxα , x ≥ 0 α+1

λ1α

1

λ2α

{α(1 + 2

α)− α(1 + 1α)

2}, forme non explicite

Beta p > 0, q > 0 Γ(p+q)Γ(p)Γ(q)x

p−1(1− x)q−1, x ∈ (0, 1) forme non explicite pp+q

pq(p+q)2(p+q+1)

forme non explicite

MX (t) = E (etX ) : Fonction generatrice des momentsΓ(z) =

∫∞0 tz−1e−tdt


Chapitre 1. Introduction a la programmation en

Historique

La modelisation des risques requiert des connaissances enprogrammation et eventuellement l’utilisation de logicielsstatistiques

R est un logiciel libre base sur le langage de programmation S,langage invente chez AT & T Bell Laboratories

Le logiciel R est disponible sur le site :http ://cran.r-project.org/


Introduction a la programmation en

R est a la fois un logiciel de statistique et un langage deprogrammation

Avec R, on peut, par exemple, programmer des boucles afind’analyser successivement differents jeux de donnees.

On peut aussi combiner ou empiler dans le meme programmeplusieurs fonctions statistiques pour realiser des analysescomplexes.

Il existe une aide directement disponible dans R : on y accedeen utilisant le ? suivi du nom de la fonction, ou bienhelp(nom.fonction).



R est un langage interprete et non compile : les commandestapees au clavier sont directement executees lorsque l’onappuie sur la touche “Entree”.

On pourra soit taper une commande par ligne, soit taperplusieurs commandes separees par le symbole ’ ;’ sur unememe ligne.


Chap.1. Introduction a la programmation en

On utilise generalement interactivement, selon un cycle questionet reponse

Vous entrez une commande et tapez la touche ”Retour a laligne”

execute cette commande

attend une autre commande



Pour travailler sous : Methode 1

Soit on tape directement dans le console+ Entrer



Pour travailler sous : Methode 2



Creation de vecteurs

Il existe plusieurs facons de creer des vecteurs :

1 Suites de nombres entiers

2 Fonction concatenate

3 Fonction sequence

4 Fonction replicate



1.Suites de nombres entiersIl est possible de creer un vecteur contenant une suite de nombresentiers :Syntaxe :a :b

a est la borne inferieure de la suite et est un nombre entier.

b est la borne superieure de la suite et est un nombre entier.

a n’est pas necessairement inferieur a b.

Exemple



2.Fonction concatenateLa fonction concatenate permet de creer un vecteur a l’aide d’unensemble de scalaires ou de vecteurs.Syntaxe :

c(nombre1,nombre2, · · · )c(vecteur1,vecteur2,· · · )c(vecteur1,nombre1,· · · )

Exemple



3.Fonction sequenceLa fonction sequence permet de creer un vecteur a l’aide d’unesequence de nombres :seq(BorneInf, BorneSup, by=Pas, length=Longueur)

BorneInf : Borne inferieure de la suite. =nombre entier.

BorneSup : Borne superieure de la suite. =nombre entier.

Pas : Pas de la suite. Valeur par defaut = 1.

Longueur : Nombre d’elements dans la suite.

Exemple



4.Fonction replicatereplicate permet de reproduite une certaine forme de suite denombres (Pattern) :rep(Pattern, Nombre de fois)

Nombre de fois peut aussi etre un vecteur.

Exemple



Assignation de valeurs dans une variable vectorielleLe symbole = est le symbole d’assignation :NomVecteur = a :bNomVecteur = c()NomVecteur = seq()NomVecteur = rep()D’autres symboles peuvent aussi etre utilises :

< −Exemple



Affichage de valeurs stockees dans une variable vectorielleIl suffit de saisir le nom de la variable vecteur :NomVecteur[Nombre],NomVecteur[VecteurNombres],NomVariableVecteur[VecteurLogique],

Exemple



Fonctions mathematiques de base

Nom de la fonction Description

round(x,n) Arrondit les elements de x a n chiffres apres la virgule

rev(x) Inverse l’ordre des elements de x

sort(x) Trie les elements de x dans l’ordre ascendant

scale(x) Centre et reduit les donnees

choose(n,k) Coefficient binomial C kn

na.omit() Supprime les observations avec donnees manquantes

na.fail() Retourne un message x contient au moins d’erreur si un NA

sample(x,size) Re-echantillonnage aleatoire et sans remise de size elements dans x



Exemple



Fonctions couramment utilisees avec les vecteurs :Fonctionsretournant un scalaire

Nomde la fonction Description Syntaxe

sum Calcule la somme des elements du vecteur sum(vecteur)

length Calcule le nombre d’elements dans le vecteur length(vecteur)

max Trouve la plus grande valeur dans le vecteur max(vecteur)

min Trouve la plus petite valeur dans le vecteur min(vecteur)

mean Calcule la moyenne des elements du vecteur mean(vecteur)

prod Calcule le produit de chacun des elements du vecteur prod(vecteur)

median Mediane des elements du vecteur median(vecteur)

which.max Retourne l’indice du maximum des elements du vecteur which.max(vecteur)

which.min Retourne l’indice du minimum des elements du vecteur which.min(vecteur)

range Idem que c(min,max) range(vecteur)

var(x) variance du vecteur var(vecteur)

sd Ecart-type du vecteur sd(vecteur)



Exemple



Fonctions couramment utilisees avec les vecteurs :Fonctions retournant un vecteurNom de la fonction Description Syntaxe

cumsum Calcule la somme cumulative des elements du vecteur cumsum(vecteur)

cumprod Calcule le produit cumulatif des elements du vecteur cumprod(vecteur)

pmax Retourne la valeur la plus grande pour chacune des positions de deux vecteurs pmax(vecteur1,vecteur2,. . .)

pmin Retourne la valeur la plus petite pour chacune des positions de deux vecteurs pmin(vecteur1,vecteur2,. . .)

sort Trie en ordre croissant les elements du vecteur specifie. sort(vecteur)

Exemple



Exemple



Fonctions de lois de probabilites connues

Il y a dans de nombreuses fonctions permettant d’evaluer :

La fonction de masse de probabilite de lois discretes connues ;

La fonction de densite de lois continues connues ;

La fonction de repartition ;

La fonction quantile.

Ces fonctions sont construites comme suit :dloi(x, . . .) :fonction de densite ou de masse de probabiliteploi(x, . . .) :fonction de repartitionqloi(prob, . . .) :fonction quantilerloi(nsim, . . .) :simulation de nombres aleatoires



Lois de probabilites incluses dans

Lois continues :

unif :Uniformenorm :Normalelnorm :logNormaleexp :Exponentiellegamma :Gammabeta : Betaweibull :Weibull

Lois discretes :

binom :Binomialepois : Poissonnbinom :Binomiale Negativegeom : Geometrique



Parametrisation des lois utilisees dans

Loi Uniforme X ∼ U(a, b)f (x) = 1

b−a , a ≤ x ≤ b

F (x) = x−ab−a , a ≤ x ≤ b

F−1(u) = u(b − a) + a , 0 < u ≤ 1

Fonction de densite : dunif(x, min=a, max=b)

Fonction de repartition : punif(x, min=a, max=ba)

Fonction quantile : qunif(u, min=a, max=b)

Simulation : runif(nsim, rmin=a, max=ba)

Les arguments min et max sont facultatifs et prennent lesvaleurs par defaut 0 et 1 respectivement.



Exemple :Loi Uniforme X ∼ U(a, b)



Parametrisation des lois utilisees dans

Loi Exponentielle X ∼ Exp(λ)f (x) = λe−λx , x > 0

F (x) = 1− e−λx , x > 0

F−1(u) = −log(1−u)λ , 0 < u ≤ 1

Fonction de densite : dexp(x, rate=lambda)

Fonction de repartition : pexp(x, rate=lambda)

Fonction quantile : qexp(u, rate=lambda)

Simulation : rexp(nsim, rate=lambda)

L’argument rate est facultatif et prend la valeur 1 par defaut.



Exemple : Loi Exponentielle X ∼ Exp(λ)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi gamma G(α,λ)

f (x) = λα

Γ(α)e−λxxα−1, x > 0, α,λ > 0

F (x) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule

numeriquement dans

F−1(u) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule

numeriquement dans

Fonction de densite : dgamma(x, shape=alpha,rate=lambda)

Fonction de repartition : pgamma(x, shape=alpha,rate=lambda)

Fonction quantile : qgamma(u, shape=alpha,rate=lambda)

Simulation : rgamma(nsim,shape=alpha, rate=lambda)

Les arguments rate et scale sont facultatifs et prennent lesvaleurs par defaut 1.



Exemple : Loi gamma G(α,λ)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Beta(α,β)

f (x) = Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)x

α−1(1− x)β−1, 0 < x < 1, α,β > 0

F (x) : forme indeterminee si α et β ne sont pas entiers,

calcule numeriquement dans

F−1(u) : forme indeterminee, calcule numeriquement dans

Fonction de densite : dbeta(x, shape1=alpha, shape2=beta

Fonction de repartition : pbeta(x, shape1=alpha, shape2=beta

Fonction quantile : qbeta(u, shape1=alpha, shape2=beta)

Simulation : rbeta(nsim,shape1=alpha, shape2=beta)



Exemple : Beta(α,β)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Normale N (µ,σ2)

f (x) = 1σ√2πe−

12σ2 (x−µ)2 , x ∈ R

F (x) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule

numeriquement dans

F−1(u) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule

numeriquement dans

Fonction de densite : dnorm(x, mean=mu, sd=sigma

Fonction de repartition : pnorm(x, mean=mu, sd=sigma

Fonction quantile : qnorm(u, mean=mu, sd=sigma)

Simulation : rnorm(nsim,mean=mu, sd=sigma)

Les arguments mean et sd sont facultatifs et prennent lesvaleurs par defaut 1.



Exemple : Loi Normale N (µ,σ2)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Lognormale(µ,σ2)

Si Y ∼ N (µ,σ2), X = exp(Y ) ∼ Lognormale(µ,σ2)

f (x) = 1xσ

√2πe−

12σ2 (log(x)−µ)2 , x > 0

F (x) : forme indeterminee, calcule numeriquement dans

F−1(u) : forme indeterminee, calcule numeriquement dans

Fonction de densite : dlnorm(x, meanlog=mu, sdlog=sigma

Fonction de repartition : plnorm(x, meanlog=mu, sdlog=sigma

Fonction quantile : qlnorm(u, meanlog=mu, sdlog=sigma)

Simulation : rlnorm(nsim,meanlog=mu, sdlog=sigma)

Les arguments meanlog et sdlog sont facultatifs et prennentles valeurs par defaut 1.



Exemple : Lognormale(µ,σ2)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Poisson X ∼ P(λ)

p(x) = e−λ λx

x! , x = 0, 1, 2, · · ·

F (x) =x∑

k=0

p(x)

F−1(u) forme indeterminee, calcule numeriquement dans

Fonction de densite : dpois(x,lambda=mu)

Fonction de repartition : ppois(x,lambda=mu)

Fonction quantile : qpois(u, size=n, prob=q)

Simulation : rpois(nsim, size=n, prob=q)



Exemple : X ∼ P(λ)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Binomiale X ∼ B(n, q)

p(x) = C xn q

x(1− q)n−x , x ∈ {0, 1, · · · , n}

F (x) =x∑

k=0

p(x)


Fonction de densite : dbinom(x,size=n, prob=q)

Fonction de repartition : pbinom(x,size=n, prob=q)

Fonction quantile : qbinom(u, size=n, prob=q)

Simulation : rbinom(nsim, size=n, prob=q)



Exemple : X ∼ B(n, q)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Binomiale negative BN(r , q)

p(x) = Γ(r+x)Γ(r)x! (1− q)xqr , x = 0, 1, · · · , r , r = 1, 2, · · · , 0 < q < 1

F (x) =x∑

k=0

p(x)


Fonction de densite : dnbinom(x,size=r, prob=q)

Fonction de repartition : pnbinom(x,size=r, prob=q)

Fonction quantile : qnbinom(u, size=r, prob=q)

Simulation : rnbinom(nsim, size=r, prob=q)



Exemple : X ∼ BN(r , q)



Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Geometrique Geo(q)

Geo(q) = BN(1, q)

p(x) = (1− q)xq, x = 0, 1, 2, · · · , 0 < q < 1

F (x) = 1− (1− q)x+1

Fonction de densite : dgeom(x,prob=q)

Fonction de repartition : pgeom(x, prob=q)

Fonction quantile : qgeom(u, prob=q)

Simulation : rgeom(nsim, prob=q)



Exemple : X ∼ Geo(q)


Utilisation des graphiques

plot(x=, y=, type=”lettre”, lty=nbr,xlab=””, ylab=””, xlim=c(BI,BS),ylim=c(BI,BS), cex=nbr)

type : La facon de choisir le type de graphique est de specifierl’argument type par une des lettres suivantes.

l : une ligne relie chacun des points specifies en x et y ;p : un point identifie chacun des couples (x,y) ;s : chacun des points est relie par un escalier ;h : histogramme.

lty : Pour le type de graphique choisi en type, lty permet despecifier soit le motif de la ligne ou du point. Par exemple,une ligne continue ou pointillee est represente par type = ”l”et lty = 1 ou 2.

xlab et ylab : Etiquette attribuee a l’axe des x et a l’axe des y.

xlim et ylim : la borne inf et sup de l’axe des x et l’axe des y

cex : Specifie la taille de la police utilisee pour identifier lesechelles et les axes.



Exemple : Utilisation des graphiques



Ajouter des courbes (ou points) a un graphique existant

Pour ajouter des courbes a un graphique existant, il faut toutd’abord creer un graphique avec la commande plot(. . .).

Ensuite, il faut saisir une des deux commandes suivantes :

lines(x=, y=, type=”lettre”, lty=nombre,col=”blue”)points(x=, y=, type=”lettre”, lty=nombre,col=”red”)



Exemple : Utilisation des graphiques



Fonctions personnelles

L’utilisateur a la liberte de programmer ses propres fonctionspersonnalisees.

Une fonction est un ensemble d’instructions qui retournent unresultat, et qui peut etre stocke dans une variable.

reconnaıt la difference entre une lettre minuscule et unelettre majuscule

Corps d’une fonction :function(ArgRequis1, ArgRequis2,. . .,ArgOpt1=Valeur1,. . .){· · ·instructions· · ·return(· · · )}


Fonctions personnelles sous

Exemple

Si on veut calculer la valeur presente d’une annuite de 10 ans autaux de i = 0.5, il suffit d’appeler la fonction annuite, pourn=10,i=0.5, il suffit de saisir annuite(10,0.5)


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