cours st etienne 2008 partie 1
DESCRIPTION
CoursTRANSCRIPT
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Choix individuel dans lincertain
Cours 3 et 4 Avril 2008
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Plan
1. Introduction2. Risque3. Choix dans lincertain
Valeur de linformation4. Valeur de linformation
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Rfrences
Notes de cours de I Gilboa :
http://www.tau.ac.il/~igilboa/pdf/Gilboa_Lecture_Notes.pdf
The History of Thought Website
http://cepa.newschool.edu/het/
Dcision dans le risque et l'incertain: l'apport des modles non-Dcision dans le risque et l'incertain: l'apport des modles non-
additifs, M. Cohen & J.M. Tallon, Revue d'Economie Politique,
N110(5), 2000, pp.631-681.
http://eurequa.univ-paris1.fr/membres/tallon/tallon.htm
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1 Introduction
La porte de ce domaine de recherche
Prcurseurs (Daniel Bernoulli (1738), Knight (Risk, Uncertainty
and Profit 1921), Keynes (A Treatise on
Probability, 1921), Ramsey (1926),
Les fondateurs de Finetti (1937), von Neumann Les fondateurs de Finetti (1937), von Neumann
Morgenstern (1944), Savage (1954)
Les paradoxes et les modles alternatifs Allais (1953), Ellsberg
(1961), Kahneman Tversky (1979) Gilboa Schmeidler
(1989)
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Enjeux
Quest ce que lincertain?
Comment reprsenter un problme de dcision dans lincertain?
Quel comportement? Quel comportement?
Quelles croyances?
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2 . Risque
Le paradoxe de St Ptersbourg
Modle desprance dutilit
Caractrisation des comportements (Aversion au risque...)
Applications
Paradoxes et modles alternatifs Paradoxes et modles alternatifs
Question sur la rationalit
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Le paradoxe de St Ptersbourg
Lesprance de gain (Pascal)
Le paradoxe : on lance une pice jusqu obtenir pile. Si besoin
de n tirages, alors le gain est de Euros. Combien doit-on payer
pour jouer ce jeu?
Solution de D Bernoulli : Solution de D Bernoulli :
Esprance dutilit avec utilit marginale dcroissante
Consentement payer fini
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Modle desprance dutilit (1)
Dfinition des loteries
Ensemble fini de consquences
Distribution de probabilits avec
Mixage des loteries
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Modle desprance dutilit (2)
Axiomatique de von Neumann Morgenstern
Relation de prfrence
Axiomes
A1 : Prordre partiel
A1 : Prordre partiel
A2 : Continuit
A3 : Indpendance
Thorme de reprsentation
Unicit
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Exemple
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Exemple
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Caractrisation des comportements
Pour des gains montaires
Prfre plus : utilit croissante dans les gains
Prfre la certitude de lesprance de gain dune loterie la loterie Prfre la certitude de lesprance de gain dune loterie la loterie
Prime de risque
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Caractrisation Aversion au risque
Aversion au risque quivalent u concave
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Dominance stochastique au 2nd ordre
Comparaison de deux loteries de mme esprance de gain
Probabilit
0-50 50 100
0,25
0,5
Gain
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Dominance stochastique au 2nd ordre
Etalement de probabilits moyenne constante
(Mean Preserving Spread)
0-50 50 100
0,25
0,5 0,25 0,25
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Dominance stochastique au 2nd ordre
En termes de fonction cumulative
1
0,75
0-50 50 100
0,25
0,5
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Dominance stochastique au 2nd ordre
Dfinition : la fonction cumulative F domine G au sens de la
dominance stochastique seconde si pour
tout
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Dominance stochastique au 2nd ordre
Prfrence pour la dominance stochastique seconde quivalent
la concavit de la fonction dutilit
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Mesure de laversion au risque (Arrow-Pratt)
Comparaison entre agents : quivalence entre
1) Lagent A paye des primes de risque plus leves que lagent B
2) La fonction dutilit de lagent A est une transformation
concave de la fonction dutilit de lagent B
A a un coefficient daversion absolu au risque suprieur celui 3) A a un coefficient daversion absolu au risque suprieur celui
de lagent B
4) A a un coefficient daversion relatif au risque suprieur celui
de lagent B
Fonctions CARA :
Fonctions CRRA :
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Applications
Choix dassurance
Optimalit du contrat avec franchise
Prime dassurance
Franchise
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Applications
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Barsky et alii (1997)
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Paradoxes
Paradoxe de Allais (1953)
Common ratio effect : choix entre A et B et entre C et D
4000 E 4000 E0,8 0,2
A
0 E
3000 E3000 E
0 E
0 E
0,25
0,75
0,8
1
0,2
A
B
C
D
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Modles alternatifs
Introduction dune fonction de distorsion de probabilits
Modle dutilit dpendant du rang (RDU ou RDEU)
Condition
Voir galement Cumultative Prospect Theory (Kahneman -
Tversky)
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Fonction de distorsion de probabilits
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Violation du modle EU et rationalit
Quel choix dans le problme squentiel suivant 4000 E
3000 E
0,2
1
0,2 0 E
0,8
0 E
3000 E
3999 E
0 E0,8
0,8
0,2
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2 . Choix dans lincertain
Formalisation
Modle de desprance dutilit avec probabilits subjectives
Paradoxes et modles alternatifs Paradoxes et modles alternatifs
Applications (sminaire)
Question sur la rationalit
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Formalisation
Comment reprsenter un problme de choix dans
lincertain?
Jouer au d
Faire une omelette
Prendre son parapluie
Partir en vacances
Dfinir les choix possibles, les vnements possibles et
les consquences
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Mettre des probabilits sur les
vnements?
Equiprobabilit selon un principe dindiffrence?
Approche de Finetti Approche de Finetti
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Le problme de Linda
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Dfinition des actes
Actes comme fonction de lensemble des tats du
monde dans lespace des consquences
Sparation tats du monde consquences Sparation tats du monde consquences
Indpendance des tats du monde par rapport aux actes
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Paradoxe de Newcomb
La situation comporte un joueur et un devin capable de prvoir le choix du
joueur. Deux botes A et B sont prsentes au joueur. Ce dernier a le choix entre
prendre le contenu de la bote A et prendre le contenu des botes A et B. Au
pralable, le devin a rempli les botes ainsi : la bote B contient toujours 100 , et
le contenu de la bote A est dtermin ainsi : si le devin a prdit que le joueur
prendrait seulement la bote A, elle contient 1000 , mais elle ne contient rien si
le devin a prdit que le joueur prendrait les deux botes. Le joueur garde le
contenu des botes la fin du jeu.
Lorsque le joueur choisit, il est conscient des rgles du jeu, notamment des deux
contenus possibles de la bote A, le fait que ce contenu dpend de la prdiction
du devin, et que le devin est infaillible. La seule information inconnue du joueur
est la prdiction du devin et donc le contenu de la bote A.
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Paradoxe de Newcomb
1000 E Rien
A et B 1100 E 100 E
A 1000 E 0 E
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Modle de Savage
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Modle de Savage
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Modle de Savage
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Paradoxe dEllsberg
Dans une urne, on place 90 boules, dont 30 sont rouges. Les boules
restantes sont jaunes ou noires, leur distribution est inconnue.
Les personnes soumises au test parient :
Pari A : Qui tire une boule rouge gagne (par exemple 10 ), les
boules jaunes et noires tant perdantes.
Pari B : Qui tire une boule jaune gagne, les boules rouges et noiresPari B : Qui tire une boule jaune gagne, les boules rouges et noires
tant perdantes.
Et puis on change les paris de telle manire que dans les deux cas,
les boules noires soient dsormais gagnantes :
Pari C : Qui tire une boule rouge ou noire gagne , les boules jaunes
tant perdantes.
Pari D : Qui tire une boule jaune ou noire gagne , les boules rouges
tant perdantes.
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Paradoxe dEllsberg
Paris sur A et D reprsentent une violation de P2
Expriences rpts
Interprter comme une aversion lambigut
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Modles alternatifs
Introduction de mesures de croyance non probabiliste
Esprance dutilit la Choquet (Schmeidler 1989)
Modle Maxmin EU (Multi Prior) par rapport une
famille de probabilits (Gilboa - Schmeidler 1989)
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Modle Maxmin EU
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Caractrisation de laversion
lambigut Article Attitude toward imprecise
information (Hayashi, Gajdos, Tallon, Vergnaud) JET
forthcoming
Pour autres approches, voir rfrences et discussion
dans lintroduction
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Information imprcise
Prfrences exprimes sur des actes associs une
famille de probabilits : (P,f)
Ellsberg : urne deux couleurs Ellsberg : urne deux couleurs
Parier sur Noir dans urne connue :
({(.5,.5)};f) avec f donne 1 dans ltat 1 et rien sinon
Parier sur Noir dans lurne inconnue :
((1,2);f)
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Information imprcise
Prfrences pour lurne connue
({(.5,.5)};f) ((1,2);f)
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Information imprcise
Question ouverte : do viennent ces familles de
probabilits
Incertitude scientifique : experts en
dsaccord, hypothses et modles alternatifsdsaccord, hypothses et modles alternatifs
Base de donnes incomplte
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Reprsentation des prfrences
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Un axiome (parmi dautres)
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Comparaison daversion
limprcision
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Caractrisation
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Violation du principe de la chose sure et
rationalit
Rappel du paradoxe: une urne avec 3 boules, 1 Rouge, les deux autres Noire ou Jaune
Prfre parier sur Rouge plutt que sur Jaune et Non Rouge plutt que Non Jaune
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Choix squentiel
Parier sur RR
J
Gain
0n1
Avant de parier, on propose de tirer la boule et de donner une
indication sur la couleur de la boule tire Elle est noire ou
Elle nest pas noire
Non noire
Noire
Parier sur J
Parier sur R
Parier sur J
J
R
JN
N
Gain
0
0
0
0
n1
n2
-
Choix squentiel
Quel choix en n1? Parier sur R?
Linformation napporte rien par rapport parier sur rouge tout
de suite
Parier sur RR
J
Gain0n1
Non noire
Noire
Parier sur J
Parier sur R
Parier sur J
JR
J N
N
Gain
00
0
0
n1
n2
-
Choix squentiel
Quel choix en n1?
Parier sur Non JauneR
J
Gain
0n1
Non noire
Noire
Parier sur Non Rouge
Parier sur NJ
Parier sur NR
J
R
JN
N
Gain
0
0
Gain
Gain
n1
n2
-
Choix squentiel
Quel choix en n1? Consquentialisme revient considrer
que cest le mme problme que prcedemment
Parier sur Non JauneR
J
Gain
0n1
Non noire
Noire
Parier sur Non Rouge
Parier sur NJ
Parier sur NR
J
R
JN
N
Gain
0
0
Gain
Gain
n1
n2
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Choix squentiel
Dans ce cas, avec info, cela revient Parier sur Non Jaune alors
que lon prfrait Parier sur Non Rouge : refuse linformation?
Parier sur Non JauneR
J
Gain
0n1
Non noire
Noire
Parier sur Non Rouge
Parier sur NJ
Parier sur NR
J
R
JN
N
Gain
0
0
Gain
Gain
n1
n2
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Recueil dexercices sur la
dcision dans lincertain