رر

– لألساتذة العليا المدرسة– القبة

الرياضيات قسم

3 هندسة وحدة تأهيل شهادة من الرابع السداسي

المتوسط التعليم أساتذة ( LMD ) نظام

دبة األستاذ: مصطفى إعداد

– - المرجح المتناسبة المسافات مركز

الحقيقي األقليدي التآلفي الفضاء يلي فيما نعتبر الكتلة فعين توازن حالة في التالي الميزان أن علمت إدا: نشاط

1

رر

وخواص: أولى تعاريف عدد و من نقطة حيث الثنائية مثقلة نقطة نسمي.1

حقيقي. النقطة كتلة اصطالحا العدد ونسمي

سالبة! الكتل تكون قدتنبيه: و مالحظة العدد نسمي مثقلة نقاط جملة لتكن.2

للنقاط. الكلية الكتلة الحقيقينقطتين مرجح

مع مثقلتان نقطتان لتكن اختصارا أو المثقلتين النقطتين مرجح : نسمي تعريف: تحقق التي الوحيدة القطة النقطتين مرجح

كل تحققها والتي التالية المعادلة نجد السابقة المعادلة : من نتيجة من نقطة

: للمرجح آخر تمييز إذا وفقط إذا المثقلتين للنقطتين مرجح القطة تحقق

نقطة و للنقطتين مرجح القطة فرضنا إذا بالفعل: برهانكيفية

لدينا شال عالقة باستخدام

فإن أن وبما

AG

B

15 kg1M

5cm 2cm

2

رر

العالقة أن لنفرض وبالعكسمحققة يعني ما وهو نجد بأخذ عندئذ

للنقطتين مرجح النقطة أن

مرجح .عينالقطعة الحقيقي المستقيم على : نعتبر1مثال النقطتين يحقق المرجح الحل: إن

أي نجد وبالتالي ومنه

معلومات تقدم ال المرجح لنا تعرف التي العالقة أن نالحظمالحظة: لتحديد شال عالقة استعملنا وقد النقطة موضع حول مباشرة.موضعهاالنشاط تمرين حل :2 مثال

المثقلتين النقطتين مرجح هي أن يعني فهذا توازن حالة في أننا بما العالقة لدبنا ومن

نجد ومنه

فإن أن وبما

. إذن متعامد بمعلم المزود المستوي في اآلن نعتبر :3 مثال

بالكتلتين المرفقتين النقطتين ومتجانس. النقطتين مرجح الترتيب.عين على

مركبات بفرض ومنه يحقق المرجح إن الحل:: لدينا هي النقطة

1A 2AG

3

رر ومنه تكافئ والتي

: نجد وبالمطابقة

. النقطة هو المطلوب المرجح إذن

(المتناسبة األبعاد مركز) نقطتين من أكثر مرجح

من نقاطا ولتكن تآلفيا فضاء : ليكنتعاريفو مع

نضع

بحيث من وحيدة نقطة توجد فإنه ، كان إدا

للنقاط المسافات( المتناسبة ) أو األبعاد مركز تسمى هي أن أو بالمعامالت المرفقة

. المثقلة النقاط لجملة مرجح

إذا وفقط إذا الجملة مرجح هي النقطة إننتيجة:: تحقق كانت

أن مالحظة يكفي بالفعل

العالقة على نحصل ومنه

: مالحظاتمثقلة. نقاط متوسط حساب عن عبارة هو المرجح إن.1

4

رر إذا يتغير ال المرجح فإن المرجح لنا تعرف التي العالقة صيغة من .2

المعدوم. غير العدد نفس في الكتل جميع ضربنا الجملة مرجح يساوي الجملة مرجح فإن آخر بمعنى

. حيث الواحد يساوي الكتل مجموع أن نفرض بأن تسمح المالحظة هذه * إن

(1) لدينا بالفعل

يصبح المرجح تعريف أن فنجد نضع

مع ،

النقاط. بترتيب المرجح يتعلق ال.3

خــواص: تآلفي جزئي فضاء من النقاط كانت إذا.1 خاصية

الجزئي. الفضاء في أيضا يبقى المرجح فان الفضاء من جزئي تآلفي فضاء ليكن: برهان العالقة إن بالفعل

األشعة في خطية عبارة هو الشعاع أن تعني المرجح تعرف والتي منحى يعرف الذي الشعاعي الفضاء من أشعة هي والتي

منحى إلى ينتمي الشعاع إن إلى يؤدي ما وهو إلى تنتمي النقطة إذن

مجموعة فإن من مختلفتان نقطتان كانت إذا:2 خاصية مرجحاتهما

المستقيم هي حيث بالكتلتين المرفقتين النقطتين مرجح لتكنبرهان: .

لدينا

ومنه

وعليه خطيا مرتبطان الشعاعين أن يعني ما وهو

5

ررواحدة. استقامة على فالنقاط

المستقيم من كيفية نقطة لتكن وبالعكس يوجد ومنه خطيا مرتبطان الشعاعين أن بالقول ذلك يترَجم بحيث

لدينا

. المثقلتين النقطتين مرجح هى النقطة ذن‘

:3 خاصيةالمرجح على تحافظ التآلفية التطبيقات

نقاطا وكانت تآلفيا تطبيقا كان إذا أنه بمعنى من

الجملة مرجح هي و بحيث و

للجملة مرجح هي النقطة فإن

.

القضاء من كيفية نقطة أجل من فرضا لدينا: برهان

التآلفي بالتطبيق المرفق الخطي التطبيق وليكن لنضع للتطبيق الخطية الخاصية باستخدام لدينا

المطلوب. وهو

(Isobarycentre) المتساوية المسافات مركز

6

رر جميع كانت .إذا المثقلة النقاط جملة لتكنتعريف:

أي متساوية الكتل المثقلة النقاط جملة مرجح نسمي فإننا

(Isobarycentre) المتساوية المسافات مركز . للنقاط

: أمثلة حيث للنطتين المتساوية المسافات مركز لنعين.1

ومنه يحقق إنه المركز، هذا ليكن

إذن

. القطعة منتصف هو أن أي

المسافات مركز تعيين نريد المثلث المستوي في نعتبر. 2. للنقاط المتساوية

النقاط جملة على فنحصل متساوية بكتل المذكورة النقاط إذن نرفقالمثقلة

. مع ومنه يحقق إنه المركز، هذا ليكن

. المثلث ثقل مركز هو لدينا بالتالي و. النقطة هندسيا : أنشئ تمرين

: للمرجح التجميع خاصية منها مجموعة تعويض يمكن مثقلة نقاط جملة مرجح حساب عند

بنقاط المرفقة الكتل مجموع تساوي بكتلة مرفقا بمرجحهامعدوم( غير عددا المجموع هذا يكون أن المجموعة) شرط

7

رر على المرفقة النقاط مرجح لحساب: مثال الحقيقي التآلفي المستوي من بالكتل التوالي الجملة مرجح أوال نحسب ومتجانس، متعامد بمعلم المزود

. وليكن يحقق إن

ومنه

وعليه

حيث المثقلتين النقطتين مرجح نحسب ثم و

لدينا المرجح، هذا ليكنومنه

وبالتالي

إحداثياتها التي النقطة هي الجملة مرجح ختاما.

(Coordonnées barycentriques) المرجحية اإلحداثيات

التآلفي المستوي اآلن نعتبر في تآلفيا معلما يكون بحيث من نقاط ثالث لتكن

8

رر هذه إحدى اختيار يمكن أنه يعني تآلفي معلم أن نذكر: تذكير الشعاعان يكون بحيث لإلحداثيات كمبدأ مثال النقاط

. منحى المسمى الشعاعي للفضاء أساسا

التآلفي المعلم في الكيفية النقطة إحداثيات لتكن: تمهيد أي ، المعطى

للمعلم المختار بالمبدأ تتعلق الديكارتية اإلحداثيات إن النقطة عنمستقلة)التتعلق( سنعرفها التي اإلحداثيات ستكونالمبدأ.

: وتعريف نتيجة مجموعها بكتل المرفقة للنقاط مرجحا النقطة اعتبار يمكن

الواحد يساوي الكتابة تكون بحيث مع ، حقيقية أعداد توجد أي

وحيدة التالية

في للنقطة المرجحية اإلحداثيات األعداد نسمي التآلفي المعلم

المتعامد المعلم نعتبر ، اإلقليدي التآلفي المستوي في: مثال والمتجانس

. النقطة هو والمبدأ حيث اإلحداثيات ذات النقطة لتكن للنقاط مرجحا النقطة نعتبر ذلك ألجل ، المرجحية إحداثياتها لنعين

التالية العالقة أن أي مع بالكتل المرفقة محققة

ومنه

إذننجد أن وبما

نجد العالقة ومن لدينا وعليه التآلفي المعلم في للنقطة المرجحية اإلحداثيات ختاما

هي

9

رر

:المرجحية اإلحداثيات تعميم بعده تآلفي فضاء في المرجحية اإلحداثيات تعريف يعمم الفضاء في تآلفيا معلما ليكن للنقاط مرجحا من نقطة كل اعتبار يمكن

الواحد يساوي مجموعها بكتل المرفقة تكون بحيث مع ، حقيقية أعداد توجد أي

وحيدة التالية الكتابة

في للنقطة المرجحية اإلحداثيات األعداد نسمي. التآلفي المعلم

المحدبة األجزاء

من نقطتان ولتكن تآلفيا فضاء ليكن: تعريف النقطتين مرجحات مجموعة القطعة نسمي

موجبة بكتل المرفقتين. القطعة أطراف و ونسمي

: مميزة خاصية حقيقي عدد وجد إذا وفقط إذا القطعة من نقطة النقطة تكون

بحيث للجملة مرجح النقطة تكون

تمرين : برهان

تعريف: بين الواصلة القطعة يشمل كان إذا محدب الجزء أن نقول

أي منه، كيفيتين نقطتين

10

رر: أمثلة

جزء هو القرص اإلعتيادي االقليدي التآلفي المستوي في.1 محدب

محدبا ليس التالي الجزء. 2

نصف ، المستقيم نصف اصطالحا، محدب جزء الخالية المجموعة. 3األقليدي. التآلفي المستوي في محدبة أجزاء هي المستوي

: خواصمحدب جزء هو محدبة أجزاء تقاطع.1 من النقاط لعائلة مرجح والنقطة محدبا جزء ليكن.2

. الجزء من نقطة موجبة. إن بكتل المرفقة

المخروطية القطوعتمهيد

11

رر.م.م.م بمعلم مزودE2 األقليدي التآلفي المستوي نعتبر

المخروطية للقطوع البؤرة وحيدي . تعريف1 1تعريف

.F نقطة على يحتوي الE2 من مستقيما و E2 من نقطة لتكن e العدد مركزي وتباعد وبؤرة ، دليل ذو مخروطي قطع نسمي

بـ: المعرفE2 من الجزء موجب،

.على لـ العمودي المسقطH نقطة حيثالشكل: على المجموعة هذه كتابة يمكن المسافة هيd كانت إذا

: لـ الديكارتية المعادلة الذي المعلم ولنعتبرDعلى لـ العمودي المسقطI ليكن ،نضع

بحيث ،I مبدأه

م.م.م. أن الحظفيكون ليكن

،

.لـ الديكارتية المعادلة وهي

12

I

y

xF

MH

D

رربدراسة متعلق شكل أن نالحظالمركزي. التباعد هو حيث

2 تعريفكان * إذا

مكافئا. يسمى المخروطي القطع فإن كان * إذا

ناقصا. يسمى المخروطي القطع فإن كان * إذا

زائدا. يسمى المخروطي القطع فإن مالحظات:

على نحصل حالة-1

M(d,0) النقطة هيC ومنه

حالة-2

مكافئ. قطع هو C ومنهالمكافئ. القطع وسيط ونسميه نضع ولما

. يعني:منتصف هي حيث الجديد المعلم ونعتبر

الشكل على المكافئ القطع فيصبح: هي القطع لهذا الوسطية والمعادلة

وحيد. ودليل وحيدة بؤرة له المكافئ القطع أن فواضح

حالة-3الشكل على تكتب الديكارتية المعادلة

بالشكل في تكتب الديكارتية فالمعادلة ،النقطة لنعتبر

13

ررتناظر. كمركز النقطة تقبل إذن

قطعان فنسميهما مراكز لهما والزائد الناقص القطعان فإن ومنهممركزان. مخروطيان

ومنه لـ ( بالنسبةالتوازي )على ( نظيرةالتوازي )على بـ نرمز.المركزي وتباعده ودليله بِؤرته مخروط قطع أيضا فهو

ودليلين. بِؤرتين من بأكثر يتمنع ال فإن الواضح ومن

الممركزين القطعين البؤرتين، ثنائي تعريف1 مبرهنة

و بحيث من و ليكنكان )إذا و بؤرتاه ناقص قطع هي المجموعة-1

.)كان )إذا و بؤرتاه زائد قطع هي المجموعة-2

.)برهان

، و منتصف لتكن ، التالي النحو على في و تصبح ومنه

أعاله المجموعة - نعتبر1أن: نالحظ

c ≤ a إذن: المثلث( ومنه )متراجحة لما c > aالمجموعة: فإن المجموعة: فإن لماولما c < aأن معناه

: كل أجل من لدينا: معناه

نجد الحسابات وبعد

14

رر

نضعفنجد

: كل أجل من لدينا

إذن

ومنه

الديكارتية بالمعادلة المعادلة هذه تقارن

المقارنة من لدينا

إذن أن ونعلم ( لدينا2) من

: إذن ( لدينا1من)

ومنهc < a فرضنا ألننا

أيضا ولدينا

15

رر أيضا ( لدينا1) من

ومنه

( نوجد:3) ومن

: إذن

ومنه

./ ودليله بؤرته الناقص القطع هو ومنه

خاصة وبصفة

الديكارتية المعادلة لهإذن:

أعاله المجموعة نعتبر-3

أن فنالحظ كان فإن كان إذا

2a ≤ 2c ومنه نضعلما a > cفإن لما a = cفإن لما a < cعلى: السابقة الطريقة بنفس نحصل

( )الحظ نضع

لدينا كل أجل من

16

رر

وإذن

الديكارتية المعادلة مع بالمقارنة

أن نالحظ

ومنه

وكذلك

ودليله بؤرته الذي الزائد القطع هو ِ ومنه خاصة وبصفة

ديكارتية معادلة له إذن

17

ررخالصة:

الناقص القطع

: المختزلة المعادلة

المحور الكبير)أو المحور البؤري( الصغير المحور القطع رؤوس

: الزائد القطع

: المختزلة المعادلة المحور

البؤري الرؤوس

18

a2/c

b

aF'

B'

AA' O F

D'D

B

a2/c

c

a

A' A

DD'

FF'

رر

هو المركزي وتباعده وبؤرته دليله الذي المخروطي القطع المسقط هو حيثتحقق: التي المستوي من النقط مجموعة. على لـ العمودي

بؤرته ، التالية: دليله العناصر أعطيت إذا مخروطي قطع يتعين-1.المركزي وتباعده

. إلى تنتمي المخروطي القطع من نقطة أي توجد ال-2موجبة كلها الحقيقية األعداد-3

فإن

أن أي

البؤري المحور المستقيم هو والدليل البؤرة ذي المخروطي للقطع البؤري المحور

. ويعامد يشمل الذي لـ بالنسبة نظيرة

لدينا

إذن

له. تناظر محور هو المخروطي للقطع البؤري المحور

19

رر

تمارين الجملة مرجح أنشئ األقليدي. التآلفي المتوي في مثلثا ليكن.1

.

النقطة ولتكن واحدة استقامة على ليست نقاط ثالث لتكن.2الجملة مرجح النقطة و الجملة مرجح

. النقاط ورقة على . مثل

الجملة مرجح النقطة ولتكن مختلفتان نقطتان لتكن.3 .عين الجملة مرجح النقطة و

. بحيث النقاط مجموعة

الشعاع يكون بحيث النقاط مجموعة مثلثا. عين ليكن .4. مع خطيا مرتبطا

الجملة مرجح النقطة ولتكن مختلفة نقاط أربع لتكن.5 المثلث ثقل مركز و القطعة منتصف و

النقاط أن . برهن القطعة منتصف والنقطة واحدة. استقامة على تقع

20

رر

بحيث النقاط مثلثا. أنشئ ليكن.6 مسافات كمراكز عن . عبر

. استنتجالجملة مرجح النقطة أن وأثبت متساوية مرجح أن ثم الجملة مرجح أن

. الجملةالنقطة ولتكن واحدة استقامة على ليست نقاط ثالث لتكن.7

للنقطة بالنسبة نظيرة و بالعالقة المعرفة

منتصف في يتقاطعان المستقيمين أن .برهن. القطعة

األساسية عناصره ذكر مع التالية القطوع من كل طبيعة عين.8 ،....( : المركزي بؤر،التباعد )مركز،

.

. بالعالقة المعرف القطع طبيعة عين.9

األساسية عناصره ذكر مع التالية القطوع من كل طبيعة عين .10 ،....( : المركزي بؤر،التباعد )مركز،

21

ررالمراجع

1. O. ARINO ; C .DELODE ; J. GENET : Géométrie affine et

euclidienne, DUNOD, Paris , 2000

2. P. Florent ; G. Lauton ; M. Lauton : Calcul vectoriel, géométrie

analytique , tomes 1 et 2, Vuibert, Paris, 1981.

3. J. Lelong-Ferand ; J.M. Arnaudiès : Géométrie et cinématiques,

tome 3, 2e édition, Dunod, Paris, 1977.

4. M. Postnikov : Leçons de géométrie, tome1,edition Mir,

Moscou,1981.

5. A.Doneddu : espaces euclidiens et hermitiens, Géométries ,

nouveau cours de mathematiques, tome3, Vuibert, PARIS?

1980.

6. B. Calvo, J.Doyen : Cours d'analyse, tome 3, collection U ,

Paris,1977.

7. P. Martin : Applications de l'algèbre et de l'analyse à la

géométrie, collection U , Paris,1967.

المحتويات2.........................................................................– - المرجح المتناسبة المسافات مركز

2......................................................................……………………….نقطتين مرجحنقطتين ) من أكثر المتناسبة مرجح األبعاد 4.......................................................(مركز

6...............................................................................................................خــواص:المتساوية ) المسافات Isobarycentre).............................................................7مركز

8.......................................................................................: للمرجح التجميع خاصية

22

ررالمرجحية ) Coordonnées barycentriques)...............................................9اإلحداثيات

11...............................................................................:المرجحية اإلحداثيات تعميم11..................................................................................…………….المحدبة األجزاء

13....................................................................................................المخروطية القطوعالمخروطية. 1 للقطوع البؤرة وحيدي 13..........................................................تعريف

16.......................................................الممركزين القطعين البؤرتين، ثنائي تعريف21................................................................................................................خالصة:

23.....................................................................................................................تمارين26...............................................................................................................المراجع

23