cours electromagnétisme
DESCRIPTION
Cours regroupant les bases de l'électomagnétismeTRANSCRIPT
ELECTROSTATIQUEet
MAGNETOSTATIQUE
S.ROBERT
Bloc Fi-ABCD
15 CM 15 TD
Conditions évaluation finale
Durée: 1h30Documents autorisés: Polycopiés de Cours,
Notes de cours et correction des TDsCalculatrice fournie
2013-2014
FI1
CHAPITRE 1 Rappels d’analyses vectorielles
Electrostatique et magnétostatique du vide
Les milieux diélectriques
Les milieux aimantés
CHAPITRE 2
CHAPITRE 3
CHAPITRE 4
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 2
CHAPITRE 1
RAPPELS D’ANALYSE VECTORIELLE
Champ vectoriel, potentiels, Référentiels,
Opérateurs différentiels
Préliminaires essentiels pour la
compréhension du cours :
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 3
CHAPITRE 1
I. A)
I. Notion de champ
Scalaire représentant une grandeur
physique en tout point d’une région
de l’espace.
Exemples de champs scalaires: Champ de masse volumique,
champ d’altitude, de potentiel électrique
Exemples de champs vectoriels: Champ de pesanteur terrestre,
champ de forces mécaniques, champ de vecteurs vitesses
A) Définitions
1) Champ scalaire
1) Champ vectoriel
Vecteur représentant une grandeur
physique en tout point d’une région
de l’espace.
Vecteur dont le sens dépend de la convention d’orientation de
l’espace (règle du tire bouchon ou des doigts de la main droite)
« pseudo-vecteur ou vecteur axial» « vrai vecteur ou polaire»
Vecteur ne dépendant pas de
cette convention
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 4
CHAPITRE 1
I. A)
Champ stationnaire (ou permanent)
Champ uniforme
Champ constant
En chaque point de l’espace, le champ est invariant dans le temps et ne
dépend que des variables d’espace
En chaque instant, le champ a même valeur en tout point de l’espace et
ne dépend que du temps
Champ stationnaire + Champ uniforme
Exemples : champ d’altitude
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CHAPITRE 1
I. B)
Chaque composante du vecteur
dépend des coordonnées du point M
d’observation tel que:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
x x
y y
z z
r x, y, z
r r x, y, z
r x, y, z
Ψ = Ψ
Ψ = Ψ = ΨΨ = Ψ
�
��� � �
�
( ) ( )M x, y,z M r=�
z
y
x
.r�
( )r��� �
O
M
( )x r�
( )y r�
( )z r�
Point d’observation
( )r OM x y z= =� �����
Vecteur position
Champ défini par Ψ���
���
xe���
ye���
ze���
B) Exemple d’ un champ vectoriel
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CHAPITRE 1
I. B)
ATTENTION!
x y z, ,Ψ Ψ Ψ
du vecteur ���
Composantes ≠ x,y,z du vecteur r�
Exemple: ( ) ( )z zr y .eΨ = Ψ��� � ���
ye���
xe���
ze���
Invariant par translation
suivant xe���
Une seule composante
suivant Oz
Variation suivant Oy
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CHAPITRE 1
I. C)
Ligne de champ
Courbe dont la tangente en chaque
point a la direction du vecteur champ en
ce pointdr���
dr K= ψ��� ��
( )Mψ��
M( )Nψ��
N( )Oψ��
O ( )Pψ��
P
Equation: dr 0∧ ψ =��� �� � r
�
y
z
x
Tube de champ
Surface constituée par l’ensemble des
lignes de champ qui s’appuient sur un
contour fermé
contour
En chaque
point du
contour: une
seule ligne de
champ
C) Ligne et tube de champ
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CHAPITRE 1
II. A)
II. Systèmes de coordonnées
A) Coordonnées Cartésiennes x,y,z
z
y
x
O
Mxe���
ye���
ze���
m
x y zr OM x e y e z e = = + +� ����� ��� ��� ���
x
y
z
<+
<+
<+
−∞ < ∞
−∞ < ∞
−∞ < ∞
dz
dy
dx
M
dV=dx.dy.dz
(d3V)
Volume élémentaire
M dy
dx
dS=dx.dy
(d2S)
Surface élémentaire
Base orthonormée ( )x y ze ,e ,e��� ��� ���
1) Définition
2) Éléments différentiels
x y zdr MM ' dx e dy e dz e = = + +��� ������ ��� ��� ���
M’
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CHAPITRE 1
II. B) B) Coordonnées Cylindrique
y
x
O
M
m
zr OM e z e ρ= = ρ +� ����� ��� ���
eθ
���
eρ
���
ze���
0
0 2
z
< ρ ∞
< θ π
−∞ < ∞
<+
<
<+
Base locale orthonormée: ( )ze ,e ,eρ θ
��� ��� ���
1) Définition
2) Éléments différentiels
θ
z
dρ θ
dz
dρ
Volume élémentaire
dV = d d dzρ⋅ ρ ⋅ θ ⋅Surface élémentaire
dS = d dρ⋅ ρ ⋅ θ
zdr MM ' d e d e dz e ρ θ= = ρ + ρ θ +��� ������ ��� ��� ���
M’M
ρ
dθ
dρρ
Utilisation: symétrie axiale
( ), , zρ θ
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CHAPITRE 1
II. C) C) Coordonnées sphérique
y
x
OM
m
rr OM r e = =� ����� ��
eθ
���re��
eϕ
���
0 r
0
0 2
<+
<
<
< ∞
< θ π
< ϕ π
( )re ,e ,eθ ϕ
�� ��� ���
1) Définition
2) Éléments différentiels
θ r
z
Volume élémentaire
( )sin2dV = r dr d d⋅ θ ⋅ ⋅ θ ⋅ ϕ⋅
Surface élémentaire
( )sin d2dS = r d⋅ θ ⋅ θ ⋅ ϕ
( )rdr MM ' dr e rd e r sin d e θ ϕ= = + θ + θ ϕ��� ������ �� ��� ���
M’
ϕ
rdθ
( )rd sinϕ θ
Utilisation: symétrie sphériqueBase locale orthonormée:
( )r, ,θ ϕ
O
M
dθ
r
dϕ
dr rdθ
r sin dθ ϕ
( )rd sinϕ θ
r sin θ
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CHAPITRE 1
II. D) D) Relations entre coordonnées
Cylindriques
Sphériques Cartésiennes
Cartésiennes
( )
( )
x cos
y sin
z z
= ρ θ
= ρ θ =
y
x
O
M
m
θ
z
ρ
( ) ( )
( ) ( )
( )
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
= θ ϕ
= θ ϕ
= θy
x
O
M
m
θ r
z
ϕ
( )r sin θ
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CHAPITRE 1
III. A)
III. Opérateurs différentiels
A) Le gradient
Grandeur vectorielle rattachée à un scalaire qui prend
au point P la valeur telle que:
φ( )x, y, zφ
( ) x y zMgrad , , e e e
∂φ ∂φ ∂φφ α β γ = + +
∂α ∂β ∂γ
����� ��� ��� ���
Au point on a:
( ) x y zPgrad x, y, z e e e
x y z
∂φ ∂φ ∂φφ = + +
∂ ∂ ∂
����� ��� ��� ���
( )M , ,α β γ
x
y
z
∂
∂ ∂
∇ = ∂
∂
∂
��
grad φ = ∇φ����� ��
Introduction du vecteur « nabla »:
tel que:
φdonne la direction dans laquelle il faut se déplacer pour obtenir la plus forte
pente de dans un entourage immédiat autour de P.
φorienté suivant les valeurs croissantes de et perpendiculaire aux surfaces de
niveau ( =Cte)φ
Exemple physique : E gradV= −�� �����
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CHAPITRE 1
III. B) B) Le divergent
Grandeur scalaire rattachée à un vecteur dont les composantes au point
P sont telle que:
A��
( ) ( ) ( )x y zA x, y, z A x, y, z ,A x, y, z,
yx zP
AA Adiv A
x y z
∂∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
��
La divergence mesure la dispersion d’un champ de vecteur ou
« l’accroissement de matière définie par » en un point donné
(exemple: champ vectoriel de vecteur vitesse d’un gaz compressible).
Champ convergent = divergence négative
div A A = ∇�� �� ��
iAutre définition:
A��
Exemple physique : divE 0=��
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CHAPITRE 1
III. C) C) Le rotationnel
Grandeur vectorielle rattachée à un vecteur dont les composantes au
point P sont telle que:
A��
( ) ( ) ( )x y zA x, y, z A x, y, z ,A x, y, z,
Le rotationnel d’un vecteur mesure la tendance à pivoter qu’aurait un petit
objet situé au point P et sur lequel la grandeur vectoriel aurait un effet
d’entraînement.
y yz x z xP x y z
A AA A A Arot A e e e
y z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
������� ��� ��� ���
rot A A = ∇ ∧��� �� �� ��
Autre définition:
mesure locale du tourbillonnement
La direction du rotationnel donne l’axe de rotation et le sens est fixé suivant la
convention du tire bouchon.
Exemple physique :0rot B j= µ
��� �� �
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CHAPITRE 1
III. D)
1)D) Le laplacien
( ) 2 ∆φ = ∇ ∇ φ = ∇ φ�� ��
iAutre définition:
Grandeur scalaire rattachée à un scalaire qui prend au
point P la valeur telle que:
φ( )x, y, zφ
( )2 2 2
P 2 2 2x, y, z
x y z
∂ φ ∂ φ ∂ φ∆ φ = + +
∂ ∂ ∂
1) Scalaire
On parle également de « concentration de » . Mesure les irrégularités dans
les valeurs d’une fonction (« excès par rapport à la moyenne »)
φφ
Une fonction assez régulière est de Laplacien nulφ
Exemple physique :0
Vρ
∆ = −ε
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CHAPITRE 1
III. D)
2)
Mesure les irrégularités en P pour chacune des composantes de dans son
entourage immédiat sous la forme d’un vecteur. (si la pente est constante dans
l’entourage immédiat )
2) Vectoriel
Grandeur vectorielle rattachée à un vecteur dont les composantes au
point P sont telle que:
A��
( ) ( ) ( )x y zA x, y, z A x, y, z ,A x, y, z,
2 2 22 2 2 2 2 2y y yx x x z z z
P x y z2 2 2 2 2 2 2 2 2
A A AA A A A A AA e e e
x y z x y z x y z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
����� ��� ��� ���
2 2 2 2
x x y y z zA A A e A e A e ∆ = ∇ = ∇ + ∇ + ∇�� �� �� ��� ��� ���
Autre définition:
PA 0∆ =
�����
A��
donne la direction dans laquelle il faut se déplacer pour obtenir la plus forte
irrégularité de A��
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CHAPITRE 1
III. E)
1)E) Autres référentiels
Extension aux autres systèmes de coordonnées:
Définitions précédentes valables dans le
système de coordonnées cartésiennes
1) Cylindrique
P
1grad
z
∂φ ∂ρ
∂φφ =
ρ ∂θ ∂φ
∂
�����
( ) zP
A A1 1div A A
z
θρ
∂ ∂∂= ρ + +
ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂
��
( )
z
zP
AA1
z
A Arot A
z
A1A
θ
ρ
ρ
θ
∂∂−
ρ ∂θ ∂ ∂ ∂
= −∂ ∂ρ
∂ ∂ ρ −
ρ ∂ρ ∂θ
��� ��
2 2
P 2 2 2
1 1
z
∂ ∂φ ∂ φ ∂ φ∆ φ = ρ + +
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 18
CHAPITRE 1
III. E)
2)2) Sphérique
( )
P
r
1grad
r
1
r sin
∂φ
∂∂φ
φ = ∂θ
∂φ θ ∂ϕ
�����
( )( )
( )( )( )
2
P r2
A1 1 1div A r A A sin
r r r sin r sin
ϕ
θ
∂∂ ∂= + θ +
∂ θ ∂θ θ ∂ϕ
��
( )( )( )
( )( )
( )
rP
r
A1A sin
r sin
A1 1rot A rA
r sin r
A1rA
r r
θϕ
ϕ
θ
∂ ∂θ − θ ∂θ ∂ϕ
∂ ∂= −
θ ∂ϕ ∂ ∂∂ − ∂ ∂θ
��� ��
( )( )
( )
( )( )
( )( )
22
P 2 2 2 2 2
2 2
P 2 2 2 2 2
1 1 1r sin
r r r r sin r sin
1 1 1r sin
r r r sin r sin
∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ φ ∆ φ = + θ +
∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ
∂ ∂ ∂φ ∂ φ ∆ φ = φ + θ +
∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 19
CHAPITRE 1
III. F) F) Propriétés des opérateurs
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
grad grad grad
div A A div A div A
rot A A rot A rot A
φ + φ = φ + φ
+ = +
+ = +
����� ����� �����
��� ��� ��� ���
��� ��� ��� ��� ��� ��� ���
( )
( )
UV V UU V
x x x
V V
x x
∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂
∂ λ ∂ = λ ∂ ∂
Intervention des dérivées dans
les définitions des opérateursLois de la dérivation
applicables
( ) ( )( ) ( )
div A div A grad A
rot A rot A grad A
φ = φ + φ
φ = φ + φ ∧
�� �� ����� ��
i
��� �� ��� �� ����� ��
( ) ( ) ( )
( )1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 2 1
grad grad grad
div A A A rotA A rotA
φ φ = φ φ + φ φ
∧ = − +
����� ����� �����
��� ��� ��� ������ ��� ������
i i
( )( )( )( )
( )( ) ( )
div grad
rot grad 0
div rotA 0
rot rotA grad divA A
φ = ∆φ
φ =
=
= − ∆
�����
��� ����� �
�����
��� ����� ����� �� ����
Il est alors facile de démontrer les propriétés suivantes:
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 20
CHAPITRE 1
IV. A)
IV. Intégrales vectorielles
A) Circulation d’un vecteur
La circulation d’un vecteur le long de la courbe ouverte et orientée (C)
joignant deux points M1 et M2 est donnée par:
F�
( )( ) ( ) ( )2
1
M
C
C M
F r F r dr F r drΓ = ⋅ = ⋅∫ ∫� � � � ��� � � ���
M1 M2
r�
dr���
F�
x
y
z 1) Définition
F�
est constant le long de (C):
2) Cas particuliers
( )( )2
1
M
C
C M
F r F dr F drΓ = ⋅ = ⋅∫ ∫� � � ��� � ���
:accroissement de au cours du déplacement élémentaire du
point M
dr���
r�
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 21
CHAPITRE 1
IV. A)
2)
F�
F grad = φ� �����
(C) est fermée:
( ) ( )2 1
C C
F dr grad dr M M ⋅ = φ⋅ = φ − φ∫ ∫� ��� ����� ���
C C
F dr F dr⋅ = ⋅∫ ∫� ��� � ���
�
x
y
z
r�
dr���F
�
M1=M2
est un gradient
Si M1=M2 la circulation du gradient d’un champ est nulle (conservatif)
La circulation est indépendant du trajet entre M1 et M2
Le gradient d’un champ scalaire est un champ vectoriel conservatif le long d’une courbe fermée
Remarque: Dans la suite la dépendance de en r sera omise par soucis de clarté
F�
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 22
CHAPITRE 1
IV. B)
1)B) Flux d’un vecteur
Le flux d’un vecteur à travers une surface ouverte et orientée (S) est
donnée par:
x
z1) Surface ouverte
F�
( )( )S
S
F r F dSφ = ⋅∫∫� � � ���
F�
MExemples: un disque,
un verre, un abat-jour
y
Partie
vide
n� n
�
:vecteur unitaire
normal à l’élément
de surface dS
dS n dS =��� �
dS
avec
Orientation d’une surface ouverte (S) en un point P:
traçage un contour fermé (C) en P
Choix d’un sens de parcours arbitraire sur (C)
Application de la règle du tire bouchon pour définir le sens de n�
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 23
CHAPITRE 1
IV. B)
2)
Pour une surface (S) fermée (délimitant un volume):
x
z2) Surface fermée
n�
n�
( )( )S
S
F r F dSφ = ⋅∫∫� � � ���
�
F�
M Exemples: un ballon
(sphérique), chambre à
air d’un pneu (torique)
y
dS
Orientation d’une surface fermée (S) en un point P:
Par convention, orientation de vers l’extérieur
F�
r�
Le rotationnel d’un vecteur est un champ vectoriel à flux conservatif
à travers une surface fermée
est un rotationnel: F rot A =� ��� ��
( )( )S
S
F r rot A dS 0 φ = ⋅ =∫∫� � ��� �� ���
�
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 24
CHAPITRE 1
IV. C)
1)C) Transformations d’intégrales
m M
m C M S
F dl rot F dS∈ ∈
⋅ = ⋅∫ ∫∫��� �� ������ ���
�
F�
La circulation de le long d’une courbe fermée (C) est égale au flux du rotationnel
de ce vecteur à travers une surface quelconque (S) s’appuyant sur le contour (C)
F�
(C)
( )C F�
m
(S)
Mrot F ����� �
Mn�
dS
( )S Mrot Fφ������ Mrot F
����� �
Mn�
dS
(S)
(S)
( )S Mrot Fφ������
Mrot F ����� �
Mn�
dS (S)
m décrit (C) et M décrit (S)
1) Théorème de Stokes
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 25
CHAPITRE 1
IV. C)
2)
m M
m S M V
F dS divF d ∈ ∈
⋅ = τ∫∫ ∫∫∫��� ��� ���
�
F�
Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégrale de la
divergence de ce vecteur étendue au volume (V) intérieur à la (S)
(ou théorème de la divergence)
m décrit (S) et M décrit (V)
(S)
(V)
F �
mn�
MF div �
2) Théorème d’Ostrogradsky
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 26
CHAPITRE 1
IV. C)
3) et 4)
M m
V S
grad d dS φ τ = φ∫∫∫ ∫∫������� ���
�
3) Formule du gradient
M m
V S
rot F d dS F τ = ∧∫∫∫ ∫∫������ ��� ���
�
4) Formule du rotationnel
(S)
(V)m
n�
M
Remarque: Dans la suite les différents points d’application des
opérateurs différentiels seront omis
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 27
CHAPITRE 1
V. A)
V. Potentiels
A) Potentiel scalaire
F grad = − φ� �����
dérive d’un potentiel scalaire s’il existe un scalaire tel que: φ
C
F dr 0⋅ =∫� ���
�
Conséquences sur les vecteurs dérivant d’un potentiel scalaire:
rot F 0 =��� � �
Propriété intégrale
Propriété locale
F�
La circulation sur une courbe fermée
d’un champ qui dérive d’un potentiel scalaire se conserve
S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 28
CHAPITRE 1
V. B) B) Potentiel vecteur
B rot A =�� ��� ��
dérive d’un potentiel vecteur s’il existe un vecteur tel que: A��
Conséquences sur les vecteurs dérivant d’un potentiel vecteur:
S
B dS 0 =∫∫�� ���
�
divB 0=��
Propriété intégrale
Propriété locale
B��
Le flux à travers une surface fermée d’un
champ qui dérive d’un potentiel
vecteur est conservatif