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Cours de mathématique (E. NOEL) 2009-2010

Chapitre 1 : Les nombres

Tous les jours, tu es amené à rencontrer toutes sortes de nombres. T’es tu

seulement déjà demandé si l’on pouvait les classer ? Dans ce chapitre, tu

devras classer les nombres rencontrés dans différents ensembles. Tu pourras

également découvrir ce que sont que deux nombres consécutifs. Tu apprendras

à faire la différence entre nombres et chiffres. Tu découvriras également une

nouvelle opération…



A. Généralités Vous avez déjà une connaissance pratique des nombres usuels. Dans cette partie, nous allons revoir et fixer les notions élémentaires qui doivent être acquises avant de passer à une étude plus poussée menant à la résolution d’équations, d’inéquations et de problèmes divers.

Dans quels cas utilise-t-on les nombres ? (cites-en 2 ou 3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Voici quelques exemples :

Il y a 52 personnes dans ce bus …………………………..52 est un nombre ………………………..(entier positif)

La température extérieure est de -10°C …………….. -10 est un nombre ………………………. Le prix d’un litre d’essence est de 1,49 € ………….. 1,49 est un nombre ……………………………

Le trajet en voiture dure 34 h …………………………….

34 est une …………………………………………..

J’ai obtenu 65% à mon examen de français …… 65% est un …………………………………………..

Voici maintenant quelques phrases entendues dans la vie de tous les jours.

Chez le boulanger : « Quoi ? 0,72 € pour un pain au chocolat ! » En rêve : « Une petite moto de 125 cm³ me suffirait. »

Au cinéma : « Cela fait 12heure que le film a commencé. »

En vacances : « Cet été, j’ai plongé à -11,5 m sans bouteille. » ;« Parce que tu crois que l’on peut plonger à +11,5m ? »

Dans la cuisine : « Tu remplis au 34 pas plus. »

Au cours d’une partie de cartes : « Pour cette partie, nous dirons : -20 pour Paul, - 20 pour Lucie et +40 pour moi. »

Complétez le tableau suivant en y plaçant les nombres écrits en caractères gras.

Ecriture Nombres

Entière



Décimale

fractionnaire

Dans un premier temps, nous limiterons notre étude aux nombres naturels (entiers positifs)

B. Nombres consécutifs Tu sais que :

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

… et ainsi de suite

On dira que 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……, 1245, 1246, … sont des nombres consécutifs.

On dira que :

Deux nombres naturels a et b sont consécutifs si b = a + …..

Exemple : …………………………….

On dira que les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……, 1245, 1246, …, 1 542 478, 1 542 479, … forment l’ensemble des ……………………..

Ce sont les nombres qui nous servent à compter les objets.

Exercices.

1. Quel est le nombre consécutif à 7 599 ? …………………………….

2. A quel nombre 3600 est-il consécutif ? ……………………………..

3. Vrai ou faux ?

a. Il existe un plus petit nombre naturel.

…………………………………………………………………………………………………………………………..

b. Il existe un plus grand nombre naturel.

…………………………………………………………………………………………………………………………..

c. Tout nombre naturel a un seul nombre consécutif.



………………………………………………………………………………………………………………………….

d. Zéro est le plus petit nombre naturel.

…………………………………………………………………………………………………………………………

e. Pour tout nombre naturel a, il existe une infinité de nombres naturels plus grands

que a.

…………………………………………………………………………………………………………………………

f. Pour tout nombre naturel a, il existe une infinité de nombres naturels plus petits que

a.

…………………………………………………………………………………………………………………………

C. Nombres et chiffres Il est important de ne pas confondre nombres et chiffres.

1 458 est …………………………….………… dont les …………………………. sont ……………………………..

0,85 est ………………………………………… dont les …………………………. sont ……………………………..

Existe-t-il des nombres avec un seul chiffre ? Si oui, lesquels ?

……………………………………………………………………………………………………………..

En résumé,

Il existe une infinité de ……………………………. ; un ………………………. Exprime une quantité.

Il existe seulement dix ……………………………. : ce sont les symboles ………………………………………………….

Exercices



D. Nombres et opérations a) Activités

ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS

1°Parmi les 3 énoncés ci-dessous, retrouver celui dont la solution correspond au calcul 21,50 – (9,80 + 4), puis rédiger la réponse.

Enoncé A : Alexis achète un casque à 21,50€, des lunettes à 9,80€ et une paire de gants pour 4€ de moins que les lunettes.

Combien a-t-il dépensé ?

Enoncé B : Bastien part faire ses courses avec deux billets de 10€ et trois pièces de 50 cents. Il achète un gâteau pour 9,80€ et des bonbons pour 4€.

Combien lui reste-t-il ?

Enoncé C : Clara dispose de 21,50€. Elle achète un livre à 9,80€ et n’a pas suffisamment d’argent pour acheter un stylo qui coute 4€ de plus que le livre.

Combien lui manque-t-il ?

L’énoncé correspondant au problème est ………………………………

2° Donne la solution des deux autres énoncés. (à côté des questions posées)

MULTIPLICATIONS

Dans le texte qui suit, certains nombres ont été effacés.

Observe les calculs effectués par le commerçant et complète le texte.



Chez l’épicier, Lisa achète trois boissons à …….. €

chacune et kg de fruits à 2,95 € le kg.

Lisa sort un billet de € pour payer.

Le commerçant calcule la dépense et lui dit : « Je

vous rends €. »

b) Théorie

Opérations Vocabulaire Propriétés

Addition

3 + 7 = 10

……………… ……………….

……………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

Soustraction

9 – 5 = 4

…………… ………………

………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

Multiplication

3.4 = 12

………….. ……………

……………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………


Calculs de l’épicier

1,05 . 3 = 3,15

2,95 . 1,4 = 4,13

3,15 + 4,13 = 7,28


Ex : ……………………………………

Division

15 :3 = 5

……………… ……………..

……………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

…………………………………Ex : ……………………………………

c) Exercices

1) Donner rapidement :

Le double de :35 ………………….108 ………………..8,5 …………………13,4 ………………..

Le triple de :21 …………………..102 ………………….0,5 ………………….

2) Une même règle permet de passer d’un nombre au suivant. Trouve la règle et complète :

a) 15 22 29 36b) 4,5 9 13,5 18c) 1,5 4,5 13,5 40,5d) 5 11 23 47e) 4 8 16 64

3) Les âges…a. Une personne est née en 1968. Quel est son âge actuellement ?

b. Un élève a 12 ans aujourd’hui. Quelle est son année de naissance ?

c. Dans 3 ans, une personne aura 20 ans. Quelle est son année de naissance ?

4) Les achats…



a. J’achète deux CD à 19 € chacun. Je donne un billet de 50 €. Combien me rend-on ?

b. J’achète un stylo à 3,50 €. Je donne 5 € au libraire. Il n’a pas de monnaie et me demande 50 cents. Combien me rend-il ?

c. J’achète un livre. Je donne 20 € au libraire. Il me demande 20 cents et me rend une pièce de 2 €. Combien coûte le livre ?

5) Mathieu est sur l’autoroute E40 qui relie Aix-la-Chapelle à Ostende en passant par Liège et Bruxelles. Alors qu’il traverse un village il voit les panneaux ci-contre.

En calculant mentalement, aide-le à retrouver :

a. La distance d’Ostende à Aix-la-Chapelle : ……………………………

b. La distance d’Aix-la-Chapelle à Liège : ………………………………..

c. La distance d’Ostende à Bruxelles : …………………………………….

d. La distance de Bruxelles à Aix-la-Chapelle : …………………………..

6) Compléter les étiquettes B, C, D, E et F

A : Année d’inauguration de la tour Eiffel.B Masse de la tour (en tonnes).C Nombre total de visiteurs (en millions).


A

B

C

D

E

F 1889

- 1 472

. 14,849

- 7

. 0,015

+6 911


D Largeur de la base de la tour (en mètres).E Nombre de marches d’escalier.F Hauteur de la tour (en mètres).

d) Exercices supplémentaires 1) Carrés magiques

2° Complète ces 2 carrés de nombres pour qu’ils deviennent magiques…

2,5 7,5

4,5

1,5

2) Message secret

A C E S T X

7,92 75,6 1,44 71,4 42,3 60,6

A l’aide de ce code, retrouve le message :


1° Vérifie que dans le carré ci-contre, on obtient le même résultat en effectuant la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale. Un tel carré est appelé carré magique.

1,7 2,2 1,5

1,6 1,8 2

2,1 1,4 1,9

84 x 0,9

4 x 42,3 x 0,25

20,4 x 3,572 x 0,01 x 2

1,5 1,2

1 0,7

0,8 0,5

0,3 1,3 0


3)

On a additionné les nombres ci-dessus deux à deux de toutes les façons possibles.

a) Combien y a-t-il de façons ?b) Trouver les deux intrus parmi les résultats :

173,6 324,65 114,249 297,05

141,849 183,6 255,299 324,11

E. Nombres et exponentiation a) Activité

A vos carrés…1° Une cellule a la propriété de se partager en deux à chaque seconde.

Au départ, on a 1 cellule.Après une seconde, on a 2 cellules.Après deux secondes, on obtient 4 cellules.Après trois secondes, …Continue jusqu’à 10 secondes, combien de cellules a-t-on ?

Temps 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

Nombre de cellules

1 2 4 8 16

Ecriture ….. …. 2² 2³ 24

2° Nombres de carrés, nombres carrés


1,2²0,6 x 101

11 x 0,72 0,3 x 252 0,03 x 47 x 30

219,05 36,249 105,6 78


Nombre de carré 1 1 + 3 1 + 3 + 5 1 + 3 + 5 + 7

Aire des carrés 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16

D’après le tableau ci-dessus, la somme des 5 premiers nombres impairs vaut …………………………

La somme des six premiers nombres impairs vaut ………………………………………..

Conclusion : La somme des n premiers nombres impairs vaut ………………….

b) Théorie

Vocabulaire et règleLorsque tous les facteurs sont égaux, on peut introduire une nouvelle notation qui permet d’écrire ces produits plus simplement.

5 . 5 = 5²

…. Facteurs égaux à …..

5 . 5 . 5 = 5….


5 . 5 . 5 . 5 = = 5….


Et ainsi de suite …

D’une manière générale, on aura

5 . 5 . 5 . 5 . 5 ……. . 5 . 5 = 5n


En règle générale,



……………………………

an = a.a.a. … .a…………………………

n facteurs égaux à …La nème puissance d’un nombre est égale au …………………………… de n facteurs égaux à ce nombre.

Remarques : a1 = …… a0 = …… et 00 = …………………………………………………

Puissances et opération.L’opération qui permet d’élever un nombre à une puissance s’appelle l’…………………………………………………Tu connaissais déjà 4 opérations ( ………………………………………………………………………………………………), l’ ……………………………………… est la cinquième opération et fait référence aux puissances.

c) Exercices

1) Calcule les puissances suivantes.

2³ =

5² =

34 =

25 =

7² =

10³ =

24 =

6² =

3³ =

54 =

106 =

10² =

2) Calcule les expressions suivantes.

2³ . 5 = ………………………………

25 . 5 = ………………………………

24 . 11 = ………………………………

2³ . 5³ = ……………………………

4³ + 2² = ……………………………

5² - 3² = ………………………………

100 – 9² = ……………………………

3² . 7 = …………………………………

2² . 3² = ………………………………

25 . 3² = …………………………………

5² . 7 = …………………………………

4³ + 34 = ………………………………

3³ - 4² = ………………………………

5² + 4² - 3³ = …………………………

3) En partant de la puissance coloriée, passe par 7 cases voisines de façon à toujours obtenir un nombre plus grand que le précédent. (On ne peut pas se déplacer en oblique)


…………….


05 2³ 14 8² 5²

70 3² 2² 5² 6²

24 4³ 11² 7³ 6²

3³ 6² 25 45 12³

10³ 27 10² 8³ 104

4) Compare les nombres suivants en remplaçant les …… par les signes <, = ou >.

a) 8² ……. 16

b) 60 ……. 110

c) 4³ ……. 34

d) 117 ….. 170

e) 8² …… 26

f) 4 . 3² ….. (4 . 3)²

g) 34 . 3³ …… 3³ . 4²

h) 5² + 6² ……. 7²

i) 3² . 34 …… 9³

j) 6² + 8² …… 10²

5) Les puissances de 10

10n = 10.10. … .10 = 1 00…000 n facteurs égaux à … n ……………

101 = …… 104 = ……102 = …… 105 = ……103 = …… 106 = ……

Exercice de synthèse : chapitre 1

Complète le mot croisé de la page suivante à l’aide des indications ci-dessous.

Horizontalement

1. Opération représentée par le signe « - »2. Effectuer 4 + 3, c’est effectuer une ……………………..



3. Effectuer 4 x 3, c’est effectuer une ………………………4. Dans le calcul 4 + 3 = 7, les nombres 4 et 3 s’appellent les …………………..5. Le nombre 2 dans 5² s’appelle un ………………………..

Verticalement

A. Le résultat de 45 – 2 s’appelle une ………………………..B. Le résultat de 45 : 9 s’appelle un ……………………………C. Quand on additionne deux nombres, on obtient une ……………………….D. 4 est la ……………… dans 4².E. Le résultat d’une multiplication s’appelle un ………………………F. Dans le calcul 60 : 2, le nombre 60 s’appelle le ……………….G. Dans le calcul 6 x 3, le nombre 6 s’appelle un ……………………..H. Dans le calcul 60 : 2, le nombre 2 s’appelle le ………………………I. Effectuer 6³, c’est élever 6 à la …………………….. 3.



A la fin de ce chapitre,Tu seras capable de :

- Classer des nombres donnés

- Donner 2 nombres consécutifs

- Définir 2 nombres consécutifs

- Donner l’ensemble des naturels

- Différencier nombres de chiffres

- Citer les propriétés des opérations et donner un exemple pour chaque

- Exprimer, à l’aide du vocabulaire, les éléments relatifs à l’addition,

soustraction, multiplication, division et exponentiation

- Citer les 5 opérations

- Elever un nombre à une puissance

- Comparer deux puissances



- Effectuer des additions, soustractions, multiplications dans des contextes

donnés


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