cours de mathématiques économiques el ghali khamlich
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Cours de mathématiques économiques
EL Ghali KHAMLICH EL Ghali KHAMLICH
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A- Algèbre linéaireA- Algèbre linéaire
- Chapitre I- Chapitre I Calcul matricielCalcul matriciel- Chapitre II- Chapitre II Systèmes Systèmes
linaireslinaires- Chapitre III- Chapitre III DiagonalisationDiagonalisation
B- B- AAnalysenalyse
- Chapitre I- Chapitre I Modélisation Modélisation optimisationoptimisation
- Chapitre II - Chapitre II Suites numériquesSuites numériques
Plan du cours
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Matrices:Matrices:
1- Définition :1- Définition :On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des lignes; i = 1,2,3,........,nlignes; i = 1,2,3,........,n j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p
On notera par On notera par MM(n,p) (n,p) l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans IR (les aij ).IR (les aij ).
pj1
ni1M a
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
ij
npnjn2n1
ipiji2i1
2p2j2221
1p1j1211
Chapitre I Calcul matriciel
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Remarques:
*Si n = p : la matrice M est dite matrice carrée d’ordre n.
exemple:L’écriture de la matrice carrée d’ordre 3 est:
*Si n = 1 : la matrice M est dite matrice ligne (ou vecteur ligne)
11
21
n1
a
a
a
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
11 12 1pa a a
*Si p = 1 : la matrice M est dite matrice colonne (ou vecteur colonne) M=
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a1 i n
1 j p
11 12 1j 1p
21 22 2j 2p
i1 i2 ij ip
n1 n2 nj np
ij
11 21 i1 n1
12 22 i2 n2
1j 2j ij nj
1p 2p ip np
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
3- Opérations sur les matrices:3.1-Transposition d’une matrice:
Soit A une matrice de type (n,p). (n lignes et p colonnes)
On appelle transposée de la matrice A; la matrice qu’on note tA telle que :
tA =
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Remarque:tA est une matrice de type (p,n) (p lignes et n colonnes) c’est à dire: les lignes
deviennent colonnes et les colonnes deviennent lignes.
5010
2913
10875
6321
52106
0983
1172
0351
Exemple:
A=
La matrice transposée est telle que:
3.2-Somme des matrices:On appelle somme de deux matrices A et B de même type (n,p); la matrice C = A + B du type (n,p); telle que: si A = (aij) et B = (bij) alors, C = (cij) et pour chaque
élément cij, on a,
cij = aij + bij , avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.
tA=
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
2254
3660
5831
A
2350
98117
3012
B
225104
61457
8823
C
Exemples:
Soient les deux matrices de type (3,4) suivantes telles que:
et
La matrice C = A + B du même type que A et B (3,4) sera donnée de la façon suivante:
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Propriétés:Soient A, B et C trois matrices du même type (n,p); on a:P1- A + B = B + A et (A + B) + C = A + (B + C)P2- Soit O(n,p) M(n,p) la matrice nulle de M(n,p) avec:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
On a A M(n,p) ; A + O(n,p) = O(n,p) + A = A
O(n,p) =
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
1 7 8 5
0 6 6 3
4 5 1 2
( , )3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0O
2254
3660
5831
A
2254
3660
5831
Exemple:Soit la matrice A de type (3,4) donnée par :
et la matrice nulle de type (3,4) donnée par
A + O = O + A = A
P3- L’opposée de la matrice A = (aij) M(n,p) est la matrice (-A) M(n,p) telle que :
(-A) = -(aij) = (-aij) avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.
Exemple:L’opposée de la matrice
est la matrice - A =
P4- La transposée d’une somme de deux matrices A et B est égale à la somme des transposées tA et tB , autrement dit : t(A+B) = tA + tB
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 12 1j 1p
21 22 2j 2p
i1 i2 ij ip
n1 n2 nj np
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 1j 1p
21 22 2j 2p
i1 i2 ij ip
n1 n2 nj np
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
2254
3660
5831
A
224108
612120
101662
A
3.3-Produit d’une matrice par un scalaire:Soit A M(n,p) ; IR
=
Exemple:
2*
AA =
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
b b
b b
b b
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
b b
b b
b b
babababababababababababa
322322221221312321221121
321322121211311321121111
Propriétés: A, B M(n,p) et , IR P1- (A + B) = A + BP2- ( + ) A = A + AP3- ( A) = ( ) AP4- 1.A = AP5- t( A) = tA
3.4-Produit de deux matrices:
Soient deux matrices A et B de types respectifs (2,3) et (3,2) tel que:
et B =
La matrice C qui est le produit de la matrice A par la matrice B est donnée de la façon suivante :
Remarque:Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice A est égal au nombre de lignes de la 2ème matrice B.
A =
C = A.B = =
(2,3) (3,2) (2,2)
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 1 1
1
1
11 1 1
1
1
11
1 11
1 11
11
1 1
11
1 1
a a a
a a a
a a a
b b b
b b b
b b b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
k p
i ik ip
n nk np
j q
k kj kq
p pj pq
kk
p
k kk
p
kj kk
p
kq
ikk
p
k ikk
p
kj ikk
p
kq
nkk
p
k nkk
p
kj nkk
p
kq
Cas général:
Soit A = (aij) une matrice de type (n,p) et B = (bij) une matrice de type (p,q), on appelle
produit de la matrice A par la matrice B: la matrice C = (cij) de type (n,q) défini par :
C = A.B ; avec 1 i n et 1 i q et
; A(n,p) . B(p,q) = C(n,q)
cij = babababa pjipjijikj
p
kik
..............2211
1 ou encore
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
543
211
64
01
72
5130
1911
Applications:
1- Soit A = et B =
La matrice produit C = A.B =
Propriétés:P1- Soit A M(n,p) et B M(p,q). (A.B) existe, mais en général si q n, (B.A) n’existe pas.a- Si n = q, on a A(n,p). B(p,n) = C(n,n) matrice carrée ; et
B(p,n). A(n,p) = D(p,p) matrice carrée
b- Supposons maintenant qu’on a p = q = n , on a pas forcément C = D (A.B = B.A)
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
132
153
012
601
470
121
8171
17292
632
61710
114729
186
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Exemple:
Soient les deux matrices A et B suivantes:
et B =
Calculer les produits: A.B et B.A et conclure.
Et B.A =
P2- Le Produit A.B = O n’implique pas que A = O ou B = O, en effet:
= O3 ;
A =
A.B =
A.B = alors que A O3 et A O3
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
P3- [(A(n,p)). (B(p,n))]. (C(q,r)) = (A(n,p)). [(B(p,n)) .(C(q,r))]On dit que le produit matriciel est associatif.P4- [(A(n,p)) + (B(n,p))]. (C(p,q)) = (A(n,p)).(C(p,q)) + (B(n,p)]. (C(p,q))On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.P5- t(A.B) = tB. tA
3.5-Matrices particulières: 3.5.1-Matrice carrée:
On appelle matrice carrée d’ordre n, toute matrice A ayant n lignes et n colonnes.
nj1
ni1A a
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
ij
nnnjn2n1
iniii2i1
2n2j2221
1n1j1211
a11, a22, a33, ......., aii, ........., ann sont les termes de la diagonale principales de la matrice A.
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
3.5.2-Matrice diagonale: On appelle matrice diagonale d’ordre n, toute matrice dont les éléments en dehors de sa diagonale principale sont nuls : c’est à dire , aij = 0 si i j.
A
a
a
a
a
a
11
22
33
ii
nn
3.5.3-Matrice triangulaires: a- On appelle matrice triangulaire supérieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessous de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:
A
a a a a
a a a
a a
a
a1 i n
1 j na
11 12 1j 1n
22 2j 2n
ii in
nn
ij ij
tel que si i j0
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
b- On appelle matrice triangulaire inférieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessus de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:
A
a
a a
a
a a a
a1 i n
1 j na
11
21 22
ii
n1 n2 nn
ij ij
tel que si i j0
Propriété: Si A et B sont deux matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) d’ordre n alors, (A + B) et (A.B) sont aussi des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures).
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
100
150
012
200
820
311
300
970
323
200
38100
202
Exemples:1) Soient les matrices triangulaires supérieures A et B suivantes:
et B =
Calculer : (A + B) et (A.B).
et A.B =
Les matrices A + B et A.B sont bien des matrices triangulaires supérieures
A=
A + B =
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3.5.4-Matrice unitaire:
On appelle matrice unitaire, une matrice diagonale d’ordre n notée In dont les éléments
qui forment la diagonale principale sont unitaires : c’est à dire , aii = 1.
A
1
1
1
1
1
Si A est une matrice carrée d’ordre n : A.In = In.A = A
A et I
1 6 0 2
1 4 1 5
3 3 9 6
4 2 7 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4
1724
6933
5141
2061
A
Exemple:Soit A une matrice carrée d’ordre 4 et I4 la matrice unitaire d’ordre 4 tel que:
Calculer A.I et I.A.
A.I = I .A =
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
110
151
012
110
151
012
3.5.5-Matrice symétrique: On dit que la matrice carrée a d’ordre n est symétrique si tA = A, c’est à dire que :
aij = aji avec, i = 1,2,3,......,n et j = 1,2,3,......,n
Exemple:Soit A une matrice tel que:
; donner la matrice tA, que peut-on déduire?
tA =
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Propriétés:
P1- Si A et B sont deux matrices symétriques, alors (A+B) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et tB = B et que t(A+B) = tA + tB = A + B.Donc (A + B) est une matrice symétrique.P2- Si A est une matrice symétrique et IR, alors (A) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et que tA = tA = A.Donc (A) est une matrice symétrique.P3- Si A et B sont deux matrices symétriques, la matrice (A.B) n’est pas nécessairement une matrice symétrique.En effet: t(AB) = tB .tA = B.A, or en général A.B B.A
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
a a a
a a a
a a a
et t
a a a
a a a
a a a
A
Or t Aa a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
a a a
A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 11
22 22
33 33
11 22 33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
4.5.6-Matrice antisymétrique:On dit que la matrice carrée A est antisymétrique si tA = -A, c’est à dire que: aij = -aji
Remarque:Soit A une matrice carrée d’ordre 3 donnée comme suit:
A est antisymétrique si tA = -A tA + A = O3.
A=
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
P2- Si A et B sont deux matrices antisymétriques, alors la matrice (A.B) n’est pas forcément antisymétrique.En effet: t(A.B) = tB .tA + = (-B) (-A) = (B.A) -(A.B) généralement
Aa a
a a
11 12
21 22
II- Déterminants des matrices:A chaque matrice A on fait correspondre un nombre réel, appelé déterminant de la matrice, et noté det A, ou encore A . Ce nombre s’obtient à partir des règles de calculs suivantes:
1- Déterminant d’ordre 2:Soit la matrice A donnée comme suit:
Le déterminant de A est donné de la façon suivante:
= a11.a22 - a12.a21
det A = 11 12
21 22
a a
a a
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a1 i n
1 j n
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
i1 i2 ii in
n1 n2 nj nn
ij
Exemple:
Soit la matrice A=
2- Déterminant d’ordre n:Soit A une matrice d’ordre n tel que:
43
12; calculer son déterminant.
Det A = 11
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
Définitions:
D1- On appelle mineur de l’élément aij, le déterminant Mij d’ordre (n-1) obtenu à
partir du déterminant de A en supprimant dans ce déterminant la ième ligne et la jème colonne.
Exemple:
Soit A la matrice tel que: A =
110
151
012
Déterminer les mineurs M32, M22, et M33
11
02
10
0251
12
M32 =
= 2 M22 = = 2 M33 = = 9
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
D2- On appelle cofacteur de l’élément aij, le nombre Aij = (-1)i+j Mij
Exemple:
Pour la même matrice A, déterminer les cofacteurs A32 et A21
A32 = (-1)3+2 M32= -2 A21 = (-1)1+2 M21= 1
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
ijj
n
ija A
1
iji
n
ija A
1
D3- Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est égal à la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur.
Si on développe le déterminant suivant la ligne n° i, on a :
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 +........... + ainAin =
Si on développe le déterminant suivant la colonne n° j, on a : det A = a1jA1j + a2jA2j + a3jA3j +........... + anjAnj =
Remarques:R1- Les deux relations précédentes sont identiques. Le déterminant d’ordre n ne change pas de valeur quelle que soit la ligne ou la colonne suivant laquelle le développement est effectué.R2- Dans chaque cas, on est ramené au calcul de n déterminants d’ordre (n-1). On applique la même règle pour calculer chacun d’eux et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à des déterminants d’ordre 2.R3- Pour le calcul de déterminant d’une matrice, il convient de choisir la ligne ou la colonne qui contient un maximum de termes nuls (des zéros).
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
110
151
012
10
51
10
12 51
12
11
1510
11
Exemple:Soit la matrice A tel que:
calculer la déterminant de A en le développant suivant:1) la 3ème colonne.2) la 1ère ligne.Que peut-on conclure?
1.det A = 0 - 1 + 1
2. det A = 2
+ 0 = -13
A =
=-13
-(-1)
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EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH
iii
n
a
1
7000
0300
0010
0001
A
Cas particuliers :le déterminant d’une matrice d’ordre n diagonale, diagonale supérieure, diagonale inférieure est égal au produit des termes constituant sa diagonale principale.
Det A = a11.a22.a33. ..............ann =
Exemple:Soit A une matrice diagonale d’ordre 4 tel que: Calculer le déterminant de .
Det A = 21
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• 3- Propriétés:• P1- Si les éléments d’une colonne dans une matrice sont
tous nuls, alors le déterminant de cette matrice est nul.• P2- Si dans une matrice une colonne est multipliée par un
scalaire , alors son déterminant est multiplié par ce même scalaire.
• Application:
• A = et B =
• Calculer les déterminants des matrices A et B:• Det A = -13 et det B = -26
110
151
012
110
152
014
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Remarques:R1- Si A est une matrice d’ordre 3, alors la matrice A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a pour déterminant: det (A) = det A = 3 det A.
R2- Généralement, si A est une matrice d’ordre n, alors: det (A) = n det A
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• Propriété: Un déterminant ne change pas de valeur si aux éléments d’une colonne on ajoute les éléments d’une autre colonne multipliés par le même nombre
• • Exemple:• Calculer les déterminants des matrices A et B suivantes:
• A = et B =
• • Que peut-on déduire?• Det A = det B = -4
110
152
011
110
130
011
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Chapitre II Systèmes linéaires
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x
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Chapitre III Diagonalisation
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Exercices d’applicationExercices d’application
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Corrigé des exercices
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![Page 73: Cours de mathématiques économiques EL Ghali KHAMLICH](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061521/551d9ddc497959293b8e8b0d/html5/thumbnails/73.jpg)