cours 1 : les effets électro-optiques
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Cours 1 : les effets électro-optiques
• Principe
• Anisotropie optique (rappels)‒ La permittivité diélectrique [휀𝑟]‒ L’ellipsoïde des indices
‒ L’imperméabilité diélectrique [𝜂]
• Effets d’orientation dans les cristaux liquides
• Les effets électro-optiques‒ Définitions et coefficients
‒ Symétries thermodynamiques
‒ Symétries cristallines
Effets
électro-
optiques
1
Cours 2 : les effets électro-optiques
• Modulation électro-optique‒ Modulation de polarisation
‒ Modulation d’amplitude
‒ Modulation de phase
‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse
• Les composants EO massifs‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse
• Les composants EO intégrés‒ Modulateurs & obturateurs
‒ Coupleur directionnel
• Bande passante d’un modulateur EO‒ Limitation par la capacité du cristal
‒ Limitation par temps de transit de l’onde optique
Effets
électro-
optiques
2
Cours 2 : les effets électro-optiques
• Modulation électro-optique‒ Modulation de polarisation
‒ Modulation d’amplitude
‒ Modulation de phase
‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse
• Les composants EO massifs‒ Configuration longitudinale / configuration transverse
• Les composants EO intégrés‒ Modulateurs & obturateurs
‒ Coupleur directionnel
• Bande passante d’un modulateur EO‒ Limitation par la capacité du cristal
‒ Limitation par temps de transit de l’onde optique
Effets
électro-
optiques
3
Modulation électro-optique (1)
• Onde plane se propageant
selon z (axe optique du
cristal)
• Onde incidente polarisée
linéairement
sinp
cospp
y
x
y
x
z
4
Effets
électro-
optiques
Exemple d’une plaque de KDP d’épaisseur d
kztiexppAt,zAin 0
p
Modulation
EO
Exemple d’une plaque de KDP d’épaisseur d
• L’application d’un champ 𝐸0 // z tourne les axes
principaux de 45° x’, y’
• Indices principaux :
Modulation électro-optique (2)
• Onde plane se propageant
selon z (axe optique du
cristal)
• Onde incidente polarisée
linéairement
y
x
z
5
Effets
électro-
optiques
x’y’ 𝐸0
sinp
cospp
y
x
zoo'yzoo'x Ernnn,Ernnn 633
633
2
1
2
1
kztiexppAt,zAin 0
p
Modulation
EO
Exemple d’une plaque de KDP d’épaisseur d
• Onde en sortie du cristal :
Modulation électro-optique (3)
• Onde plane se propageant
selon z (axe optique du
cristal)
• Dans les nouveaux axes
propres (x’, y’)
y
x
z
6
Effets
électro-
optiques
x’y’ 𝐸0
)/sin(p
)/cos(pp
'y
'x
4
4
dniexp)/sin(
dniexp)/cos(
kztiexpAt,zA
'y
'x
out
0
00
24
24
kztiexppAt,zAin 0
p
Modulation
EO
Exemple d’une plaque de KDP d’épaisseur d
• Onde en sortie du cristal :
Modulation électro-optique (4)
• Onde plane se propageant
selon z (axe optique du
cristal)
• Dans les nouveaux axes
propres (x’, y’)
y
x
z
p
7
Effets
électro-
optiques
x’y’ 𝐸0
kztiexppAt,zAin 0
)/sin(p
)/cos(pp
'y
'x
4
4
2/iexp)4/sin(
2/iexp)4/cos(d
2
nn2kztiexpAt,zA
'y'x
0
0out
dErnd)nn( z'x'y 6330
00
22
Modulation
EO
Déphasage 𝜑 ?
Exemple : Cas où la polarisation incidente est selon y
• Onde en sortie du cristal :
Modulation de polarisation
y
x
z
p
8
Effets
électro-
optiques
x’y’ 𝐸0
21
21
/p
/pp
'y
'x
2
2
/iexp
/iexptiexpt,zAout
𝜃 =𝜋
2/4
x'y'
x'y'x'y'
x'y'
x'y'
x'y'
x'y'
x'y'
dErn)nn( z'x'y 6330
00
22
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
/2
3/4
/4
5/4
3/2
7/4
0
Modulation d’amplitude
amplitude émergente:
y
x
z
x’y’
p
a
4
4
sina
cosa
sina
cosaa
'y
'x
y
x
4
4
24
242
2
00
sin
cos
iexpsin
iexpcos
dnn
tiexpAaAA'y'x
outtrans
t,zAtrans
9
Effets
électro-
optiques
Effet d’un analyseur :
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulation d’amplitude
amplitude émergente:
y
x
z
x’y’
p
a
21
21
/a
/aa
'y
'x
1
1
2
22
2
2 0
0
iexp
iexpd
nntiexp
AaAA
'y'x
outtrans
10
Effets
électro-
optiques
Exemple : polariseur // y ; analyseur // x
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
t,zAtrans
Modulation d’amplitude
amplitude émergente:
y
x
z
x’y’
p
a
21
21
/a
/aa
'y
'x
22
2
2
2 0
0
sinid
nntiexp
AaAA
'y'x
outtrans
11
Effets
électro-
optiques
Exemple : polariseur // y ; analyseur // x
t,zAtrans
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulation d’amplitude
intensité émergente:
y
x
z
x’y’
p
a
21
21
/a
/aa
'y
'x
22
0
sinIItrans
2
transtrans AI
12
Effets
électro-
optiques
Exemple : polariseur // y ; analyseur // x
Modulation d’amplitude pure
dErn z6330
0
2
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulation d’amplitude en fonction du
déphasage induit
0
/2
3/2
/43/4
5/47/4
x'y'
x'y'x'y'
x'y'
x'y'
x'y'
x'y'
x'y'
Polariseur
Analyseur
Onde transmise
13
Effets
électro-
optiques
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Le modulateur d’amplitude
électro-optique
Polarisation
d’entrée à 45°des lignes
neutres
dd
VrnsinI
dErnsinIdI z
trans 2
2
2
2 6330
0
20
6330
0
20
Tension demi-onde V cas du KDP :
V
VsinIsinIdItrans 22
20
20
6330
0
2 rnV
?V
m5,0
V.m1006,1r
51,1n
0
111
63
0
14
Effets
électro-
optiques
V
p
y’
a
dx’
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
kV,V
m,
V.m,r
,n
856
50
10061
511
0
11163
0
Non linéarité & biais
du modulateur d’amplitude électro-optique
V
VsinIdItrans 2
20
15
Effets
électro-
optiques
V
p
y’
a
dx’
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Non linéarité & biais
du modulateur d’amplitude électro-optique
V
VsinIdItrans 2
20
V
V
22
1I
V
V
24sinIdI 0
2
0trans
16
Effets
électro-
optiques
V
p
y’
a
dx’
/4
V
p
y’
a
d x’
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Exemple d’une plaque de KDP d’épaisseur d
• Onde en sortie du cristal :
Modulation électro-optique (4)
• Onde plane se propageant
selon z (axe optique du
cristal)
• Dans les nouveaux axes
propres (x’, y’)
y
x
z
p
17
Effets
électro-
optiques
x’y’ 𝐸0
kztiexppAt,zAin 0
)/sin(p
)/cos(pp
'y
'x
4
4
24
24
2
2
00
/iexp)/sin(
/iexp)/cos(d
nnikztiexpAt,zA
'y'x
out
dErnd)nn( z'x'y 6330
00
22
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulateur de
phase
Déphasage 𝜑 ∶
Modulateur de phase électro-optique
• Polarisation d’entrée le long d’une ligne neutre
V
V
2iexp.d
2
nn2kztiexpAA
'y'x
0
0trans
V
p
y’a
x’
18
Effets
électro-
optiques Exemple : p // y’ (𝜃 =3𝜋
4)
2/iexp
0d
2
nn2kztiexpAt,zA
'y'x
0
0out
Modulation de phase pure, sans changement de la
polarisation ni de l’amplitude
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulateur de
phase
Tension de modulation : 𝑉 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑚𝑡Champ émergent modulé en phase :
avec 𝐽−𝑝 𝛿 = −𝐽𝑝(𝛿)
𝛿 = −𝜋
2
𝑉𝑚
𝑉𝜋: indice de modulation de la phase
Transfert d’énergie de la porteuse (𝜔) vers la bande
latérale (𝜔 + 𝑝𝜔𝑚) efficacité de transfert : 𝐽𝑝2(𝛿)
Modulateur de phase électro-optique
t)p(iexp)(JAtsintiexpAA m
p
pmtrans
19
Effets
électro-
optiques
Bandes
latérales
Efficacité
de
modulation
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulateur de
phase
Modulateur de phase électro-optique
20
Effets
électro-
optiques 𝐽02(𝛿)
𝐽12(𝛿)
𝐽22(𝛿)
𝐽32(𝛿)
𝐽42(𝛿)
1.8rad
0.34
Modulation
EO
Modulation de
polarisation
Modulation
d’amplitude
Modulateur de
phase
𝛿
Cours 2 : les effets électro-optiques
• Modulation électro-optique‒ Modulation de polarisation
‒ Modulation d’amplitude
‒ Modulation de phase
‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse
• Les composants EO massifs‒ Configuration longitudinale / configuration transverse
• Les composants EO intégrés‒ Modulateurs & obturateurs
‒ Coupleur directionnel
• Bande passante d’un modulateur EO‒ Limitation par la capacité du cristal
‒ Limitation par temps de transit de l’onde optique
Effets
électro-
optiques
21
Configuration Longitudinale
• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du
champ appliqué sont colinéaires.
Avantages :
- tension 𝑉𝜋 indépendante de l’épaisseur 𝑑 insensible aux variations thermiques
- tension 𝑉𝜋 indépendante des dimensions
des électrodes grande surface possible
- transmission élevée (T~ 98%)
- taux d’extinction élevé possible (>500:1)
Inconvénients : - nécessite des électrodes transparentes
- tension 𝑉𝜋 ~quelques kV (croît avec 𝜆0)
dd
VrndErn z 63
30
063
30
0
22
22
Effets
électro-
optiques
V
𝐸
Électrodes transparentes
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
𝑑
Configuration Longitudinale
• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du
champ appliqué sont colinéaires.
Applications :
- cellule de Pockels
pour laser Q-switch
intra-cavité
dd
VrndErn z 63
30
063
30
0
22
23
Effets
électro-
optiques
V
𝑑
𝐸
Électrodes transparentes
Ouverture
utile : 8mm
Capacité ~ 8pF
temps de montée ~ 2 ns
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Configuration Transverse
y
y’
x
x'
z
d
L
k0
V
24
Effets
électro-
optiques
d
LVrnL)nn( o
eo 2
22 633
00
Exemple du KDP avec un champ
appliqué selon z (axe optique du
cristal)
𝑉𝜋′ = 2
𝑑
𝐿𝑉𝜋
• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du
champ appliqué sont perpendiculaires.
V
L𝐸
𝑑
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Configuration Transverse
25
Effets
électro-
optiques• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du
champ appliqué sont perpendiculaires.
V
L𝐸
𝑑
Avantages :
- tension 𝑉𝜋 plus faible (rapport d/L)
modulation EO
Inconvénients :
- Déphasage de biais à tension nulle, lié à la biréfringence
naturelle
Dérive importante avec la température (peut être compensée
par l’emploi de plusieurs cristaux en série)
- Cristal long transmission optique moins bonne
- Faible ouverture il faut focaliser le faisceau laser
taux d’extinction moins élevé
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Configuration Transverse
26
Effets
électro-
optiques• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du
champ appliqué sont perpendiculaires.
V
L𝐸
𝑑
Applications :
modulateurs EO (amplitude, phase)
Cristal : LiNbO3
Ouverture : 1mm
Fréquence de modulation :
jusqu’à ~10GHz
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Modulateurs en KDP
en configuration transverse
d
LVrnL)nn( oeo 2
2263
3
00
27
Effets
électro-
optiques
y'
x 'x '
z'z' V
p aModulateur d’amplitude
2
20
sinIdItrans
y'
x '
z' V
p
Modulateur de phase
d
VrnLn oo 2
12 63
2
0
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Modulateur de phase en LiNbO3
28
Effets
électro-
optiques
y'
x '
z' Vp
• Effet Pockels dans le LiNbO3
• Configuration préférentielle : E0 // (z) et polarisation
incidente extraordinaire exploite r33 élevé
d
VrnLn ee 2
12 33
2
0
11210
0086
00632
06320
93000
69860
69860
V.m
.
.
.
.
..
..
r
V
V0
avec 𝑉𝜋 =𝜆0
𝑛𝑒3𝑟33
𝑑
𝐿
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Du modulateur de phase …
au modulateur d’amplitude
– On insère un modulateur EO dans un bras d’interféromètre de
Mach-Zehnder
– L’EO permet de moduler
le déphasage entre les deux
bras de l’interféromètre
𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠2 𝜑
2= 𝐼𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠2 𝜑0
2−
𝜋
2
𝑉
𝑉𝜋
– Si 𝜑0 multiple de 2𝜋, on a un obturateur : 𝐼𝑜𝑢𝑡 𝑉 = 0 = 𝐼𝑖𝑛
𝐼𝑜𝑢𝑡 𝑉 = 𝑉𝜋 = 0
– Si 𝜑0 = 𝜋/2, on a un modulateur petit signaux :
𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛 1 + sin 𝜋𝑉
𝑉𝜋
M1
V
M21LS
2LS
Effets
électro-
optiques
29
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Cours 2 : les effets électro-optiques
• Modulation électro-optique‒ Modulation de polarisation
‒ Modulation d’amplitude
‒ Modulation de phase
‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse
• Les composants EO massifs‒ Configuration longitudinale / configuration transverse
• Les composants EO intégrés‒ Modulateurs & obturateurs
‒ Coupleur directionnel
• Bande passante d’un modulateur EO‒ Limitation par la capacité du cristal
‒ Limitation par temps de transit de l’onde optique
Effets
électro-
optiques
30
Modulateurs transverses
en guides d’onde
• Implantation d’un guide d’onde dans le LiNbO3 :
deux méthodes possibles
– Echange protonique (Li+ H+) : Δ𝑛𝑒 > 0, mais Δ𝑛𝑜 < 0 :
seule l’onde extraordinaire est guidée
31
Effets
électro-
optiques
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO
Modulateurs transverses
en guides d’onde
• Implantation d’un guide d’onde dans le LiNbO3 :
deux méthodes possibles
– Echange protonique (Li+ H+) : Δ𝑛𝑒 > 0, mais Δ𝑛𝑜 < 0 :
seule l’onde extraordinaire est guidée
– Diffusion de titane (Ti) dans la maille cristalline de LiNbO3 :
Δ𝑛𝑒 > 0 et Δ𝑛𝑜 > 0 : les deux polarisations peuvent être
guidées
32
Effets
électro-
optiques
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO
Modulateurs transverses
en guides d’onde
• Implantation d’un guide d’onde dans le LiNbO3 :
deux méthodes possibles
– Echange protonique (Li+ H+) : Δ𝑛𝑒 > 0, mais Δ𝑛𝑜 < 0 :
seule l’onde extraordinaire est guidée
– Diffusion de titane (Ti) dans la maille cristalline de LiNbO3 :
Δ𝑛𝑒 > 0 et Δ𝑛𝑜 > 0 : les deux polarisations peuvent être
guidées
• Exemples
33
z
x
3LiNbO
Champ électrique horizontal &
parallèle à z
z
x3LiNbO
Champ électrique vertical &
parallèle à z
Effets
électro-
optiques
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO
Modulateurs & obturateurs intégrés
• Le modulateur EO de Mach-Zehnder intégré
Fibre à
maintien de
polarisation
VCoupleur en Y
Effets
électro-
optiques
34
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO
Coupleur directionnel EO
• L’EO permet de contrôler la constante de
propagation dans un guide d’onde …
… et donc le couplage entre deux guides d’onde
𝐿0 : longueur de couplage
Lorsque V=0, 𝑃2 𝐿0 = 𝑃1 0 : transfert total d’énergie de 1 2
Lorsque 𝑉 ≠ 0, 𝑃2 𝐿0 = 𝑃1 0𝜋
2
2𝑠𝑖𝑛𝑐2 𝜋
21 +
Δ𝛽 𝐿0
𝜋
2
avec Δ𝛽 =2𝜋
𝜆0𝑛1 − 𝑛2 =
2𝜋
𝜆0𝑛3𝑟𝑒𝑓𝑓𝛼
𝑉
𝑑
Fibres
V
)(P 01 )L(P 01
)L(P 02
0L
d
Δ𝛽 𝐿0 = 𝜋 3 ⟹ 𝑃2 𝐿0 = 0
Effets
électro-
optiques
35
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO
Cours 2 : les effets électro-optiques
• Modulation électro-optique‒ Modulation de polarisation
‒ Modulation d’amplitude
‒ Modulation de phase
‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse
• Les composants EO massifs‒ Configuration longitudinale / configuration transverse
• Les composants EO intégrés‒ Modulateurs & obturateurs
‒ Coupleur directionnel
• Bande passante d’un modulateur EO‒ Limitation par la capacité du cristal
‒ Limitation par temps de transit de l’onde optique
Effets
électro-
optiques
36
Exercice : fréquence de modulation d’un
modulateur de phase en LiNbO3 (1)
• Modulateur transverse en LiNbO3
𝑛𝑜 = 2.3, 𝑛𝑒 = 2.2, 𝜆0 = 850nm
Dimensions : L=3cm, d=3mm
A haute fréquence : 휀𝑟 = 43
Impédance du générateur RF : R = 50Ω
– Capacité C du cristal EO ? Bande passante ?
• On insère le cristal EO dans un circuit résonant
(𝑅𝐿 = 50𝑘Ω) et on veut moduler à 𝑓𝑚 = 10GHz
– Déterminer l’inductance L0
– Bande passante ?
– Tension nécessaire pour induire
un déphasage de 𝜋 ?
– Puissance consommée ?
V EO
R
V EO
R
RL L0
Effets
électro-
optiques
37
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO
Exercice : fréquence de modulation d’un
modulateur de phase en LiNbO3 (2)
• Limitation par temps de transit de l’onde optique
– Déphasage cumulé sur le temps de transit 𝜏 =𝑛
𝑐𝐿 ?
– Fréquence de modulation conduisant à une atténuation du
déphasage cumulé d’un facteur 0.64? ( 2
𝜋= 0.64)
• Modulateur à onde progressive : l’onde RF se
propage avec une vitesse 𝑣𝑚 =𝑐
𝑛𝑚, où 𝑛𝑚=1.84
𝐸 𝑡′, 𝑦′ = 𝐸0 cos(𝜔𝑚[𝑡′−𝑦′/𝑣𝑚])
– Fréquence de modulation
conduisant à une atténuation du
déphasage cumulé de 0.64?
Vm
Zm
t
t +t
Effets
électro-
optiques
38
Réponse : 2.3GHz
Réponse : 13.9GHz
Modulation EO
Configurations
longitudinale
& transverse
Composants
EO intégrés
Bande
passante d’un
modulateur EO