costruzioni in zona sismica - - università degli studi di ... · spostamento: dove q r sono...
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Costruzioni in ZonaSismicaLezione 9
Sistemi a più gradi di libertàOscillazioni libere non
smorzate
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
Ogni insieme di N vettori indipendenti può essere utilizzatocome una base per rappresentare qualunque vettore di ordineN
Espansione modale degli spostamenti
Segue dunque che I modi naturali di vibrazione possonoessere utilizzati come una base per descrivere i vettori
spostamento:
dove qr sono scalari detti coordinate modali.
Per un determinato vettore u è possibile determinare qr:
Espansione modale degli spostamenti
E considerando l’ortogonalità dei modi, tutti I termini dellasommatoria svaniscono tranne I termini per i quali r=n:
scalari
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
Giocano un ruolo importante sia nelle oscillazioni libere sianelle oscillazioni forzate
Espansione modale degli spostamenti
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
esempioEspansione modale del vettore u=<1 1 >T
Espansione modale degli spostamenti
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
EXAMPLEDetermine the modal expansion of the displacement vectoru=<1 1 >T
Espansione modale degli spostamenti
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
Oscillazioni libere in assenza di smorzamento
u(t)
Sovrapponendo la risposta di ogni singolo modo
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
sono 2N costanti di integrazione che possono esseredeterminate sulla base delle condizioni iniziali.
Considerando anche la velocità:
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
E ponendo t=0:
Ognuno di questi due set di equazioni rappresenta Nequazioni algebriche nelle incognite An e Bn.
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
Considerando che:
dove:
Possiamo scrivere:
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
Poichè queste equazioni sono equivalenti, segue:
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
conseguentemente:
O in forma compatta:
dove:
È la variazione nel tempo delle coordinate modali, analogo alcaso del sistema a un grado di libertà
Lezione 9 Oscillazioni libere non smorzate
esempi
Oscillazioni libere – assenza di smorzamento
Con riferimento al telaio shear-type riportato in figura, si determinino:- Le pulsazioni naturali- I modi di vibrazione normalizzati rispetto la matrice
delle masse- La risposta della struttura soggetta a vibrazioni
libere con spostamenti iniziali sia diversi dai modi e sia uguali ai modi di vibrazione
0.70711.4142
1
2
0.4082 0.57740.8165 -0.5774
Lezione 9
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%modi di vibrazione e oscillazioni libere - telaio shear type a due pianiclear allclc%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DATI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%k=1;m=1;% matrice delle rigidezzeK=[3*k -k; -k k]%matrice delle masseM=[2*m 0; 0 m] K =
3 -1-1 1
M =
2 00 1
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%risoluzione problema agli autovalori[Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K)%%riordino autovalori-autovettori[OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p))OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATIfor ii=1:2
Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii));endFiOM=sqrt(OM_q)
Fi_p =
0.7071 0.4472-0.7071 0.8944
OM_q_p =
2.0000 00 0.5000
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%risoluzione problema agli autovalori[Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K)%%riordino autovalori-autovettori[OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p))OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATIfor ii=1:size(OM_q,1)
Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii));endFiOM=sqrt(OM_q)
OM_q_p =
0.50002.0000
index =
21
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%risoluzione problema agli autovalori[Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K)%%riordino autovalori-autovettori[OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p))OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATIfor ii=1:size(OM_q,1)
Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii));endFiOM=sqrt(OM_q)
OM_q =
0.5000 00 2.0000
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%risoluzione problema agli autovalori[Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K)%%riordino autovalori-autovettori[OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p))OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATIfor ii=1:size(OM_q,1)
Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii));endFiOM=sqrt(OM_q)
Fi =
0.4472 0.70710.8944 -0.7071
OM =
0.7071 00 1.4142
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%matrice modale delle masseMf=Fi'*M*Fi%matrice modale delle rigidezzeKf=Fi'*K*Fi%normalizzazione modifor ii=1:size(K,2)
Fim(:,ii)=Fi(:,ii)*1/sqrt(Mf(ii,ii));endFimFim'*M*FimFim'*K*Fim
Mf =
1.2000 00 1.5000
Kf =
0.6000 0.00000 3.0000
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%matrice modale delle masseMf=Fi'*M*Fi%matrice modale delle rigidezzeKf=Fi'*K*Fi%normalizzazione modifor ii=1:size(K,2)
Fim(:,ii)=Fi(:,ii)*1/sqrt(Mf(ii,ii));endFimFim'*M*FimFim'*K*Fim
Fim =
0.4082 0.57740.8165 -0.5774
ans =
1 00 1
ans =
0.5000 -0.00000 2.0000
%figurefigure(1)axis([-3 6 0 5]);X1=[0 0 0]';Y1=[0 2 4]';X1m=[0 Fi(1,1) Fi(2,1)]';X2m=[0 Fi(1,2) Fi(2,2)]';hold onplot(X1, Y1,'-*')plot(X1m, Y1,'r-*')plot(X2m, Y1,'g-*')
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% oscillazioni libere %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%condizioni inizialiu_0=[Fi(1,1) Fi(2,1)]';up_0=[0.0 0.0]';%%coordinate modali all'istante inizialeq1_0=(Fi(:,1)'*M*u_0)/(Fi(:,1)'*M*Fi(:,1))q2_0=(Fi(:,2)'*M*u_0)/(Fi(:,2)'*M*Fi(:,2))q1p_0=(Fi(:,1)'*M*up_0)/(Fi(:,1)'*M*Fi(:,1))q2p_0=(Fi(:,2)'*M*up_0)/(Fi(:,2)'*M*Fi(:,2))OM_1=OM(1,1);OM_2=OM(2,2);
q1_0 =
1
q2_0 =
0
q1p_0 =
0
q2p_0 =
0
Svolgimento utilizzando Matlab
Lezione 9index=1;for t=0:0.2:25
u(1:2,index)=(Fi(:,1)*q1_0*cos(OM_1*t)+OM_1^-…1*Fi(:,1)*q1p_0*sin(OM_1*t))+(Fi(:,2)*q2_0*cos(OM_2*t)+OM_2^-1*Fi(:,2)*q2p_0*sin(OM_2*t));
T(1,index)=t;figure (2)grid onhold onplot(T(1,:),u(1,:)','b-*')plot(T(1,:),u(2,:)','r-+')legend('piano 1', 'piano 2')index=index+1;
end
0 5 10 15 20 25-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
piano 1piano 2
Vibrazioni libere in presenza di smorzamento
Lezione 9
Vibrazioni libere smorzate
Equazioni del moto:
E condizioni iniziali:
Considerando i modi di vibrazione in assenza dismorzamento:
E pre-moltiplicando per T si ottiene:
Lezione 9
La matrice quadrata C può essere o non essere diagonale,a seconda della distribuzione dello smorzamento nelsistema.
se C è diagonale, la (*) rappresenta N equazionidifferenziali disaccoppiate nelle N coordinate modali qn, e ilsistema viene detto classicamente smorzato.
(*)
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Questi sistemi posseggono gli stessi modi di vibrazione delcaso di assenza di smorzamento
Sistemi con smorzamento tale che C non risulta diagonalevengono detti non classicamente smorzati: hanno modi divibrazione diversi dal caso non smorzato.
(*)
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
esempio 1: sistema non classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 1: sistema non classicamente smorzato
Modi naturali
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 1: sistema non classicamente smorzato
C non è diagonali e le equazioni risultano accoppiate!
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 1: sistema non classicamente smorzato
Spostamenti iniziali proporzionali al primo modo di vibrare
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 1: sistema non classicamente smorzato
Spostamenti iniziali proporzionali al secondo modo di vibrare
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 1: sistema non classicamente smorzato
osservazioni: La deformata iniziale varia durante le oscillazioni.
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 1: sistema non classicamente smorzato
osservazioni: Il moto per ogni grado di libertà non è più un’armonica
semplice smorzata con un’unica frequenza.
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Solo una differentedistribuzione di smorzamentonella struttura
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Sono lestesse
È diverso
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
i modi naturali sono gli stessi
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
C è diagonale e le due equazioni sono disaccoppiate
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Ognuna delle N equazioni differenziali incoordinate modali risulta:
ha la stessa forma del caso dell’oscillatore semplice.
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Può essere definito un rapporto dismorzamento per ogni modo di vibrazionecome nell’oscillatore semplice:
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Spostamenti iniziali proporzionali al primo modo di vibrare
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Spostamenti iniziali proporzionali al secondo modo di vibrare
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
osservazioni: La deformata iniziale si conserva durante le oscillazioni
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
osservazioni: Il moto di ogni massa è simile a quello del sistema senza
smorzamento ma l’ampiezza del moto decresce
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
osservazioni: Il moto di ogni piano è un’armonica semplice smorzata con
un’unica frequenza come nel caso dell’oscillatoresemplice.
Esempio 2: sistema classicamente smorzato
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Soluzione equazioni del moto: sistemiclassicamente smorzati
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Dividendo per Mn:
è della stessa forma delle equazioni che governano l’oscillatoresemplice con smorzamento:
where:
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
L’effetto dello smorzamento sulle frequenze naturali e suiperiodi è trascurabile per valori di n inferiori al 20%
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
L’ampiezza dello spostamento relativo a ogni grado di libertàdiminuisce ad ogni ciclo è la riduzione dipende dal rapporto dismorzamento legato ad ogni modo.
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Metodi di risoluzione per il problema agli autovalori
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Equazionecaratteristica
La valutazione degli N coefficienti può richiedere un elevatoonere computazionale con radici numericamente molto sensibili
Sono stati sviluppati molti metodi basati sutecniche iterative
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9
Quoziente di Rayleigh
(è diverso da zero poichè m è definita positiva)
Vibrazioni libere smorzate
Lezione 9