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Corso di TRASMISSIONE DEL CALORE Anno Accademico 2011/2012
-‐ Lezione N.3 -‐
Prof. Ing. Renato RICCI DiparEmento di Ingegneria Industriale e Scienze MatemaEche – Università Politecnica delle Marche
Generalità sui dissipatori alettati
2
La scelta del tipo di alettatura, del materiale di base e della configurazione dell’intero dissipatore sono legati a valutazioni di tipo termico ed economico, nonché a parametri estetici. Il colore della superficie esterna del dissipatore è scarsamente importante da un punto di vista termico, purché le vernici usate siano a base di ossidi metallici.
Ciò è connesso al fatto che il dissipatore irradia calore essenzialmente nel medio infrarosso, dove le vernici presentano una emissività scarsamente legata al proprio colore. Un discorso a parte meritano i dissipatori di Alluminio prodotti per Estrusione, essi vengono in genere anodizzati, in diversi colori, e grazie a ciò aumentano sensibilmente la propria emissività.
Lo scambio termico convettivo e radiativo fra un corpo e l’ambiente circostante può essere opportunamente incrementato mediante l’aumento della superficie esterna del corpo stesso. In pratica ciò si realizza mediante l’applicazione al corpo di un opportuno dissipatore alettato o grazie alla morfologia del corpo stesso che può essere già dotato di asperità e protrusioni atte a fungere da alette di dissipazione del calore.
Esempi tangibili di superfici alettate sono da ricercare nelle testate dei motori a combustione interna raffreddati ad aria oppure nei dissipatori termici utilizzati comunemente in elettronica.
Tipologie di dissipatori (1)
3
Estrusione
Fusione e Lav. Meccanica
Skive Fins
Piegatura e Brasatura
I dissipatori possono essere realizzati mediante: estrusione, stampaggio, fusione, piegatura, incollaggio o accoppiamento a caldo. I materiali usati più frequentemente sono l’alluminio ed il rame.
4
Accoppiamento per interferenza a caldo
Quando le alette sono molto allungate e sottili le lavorazioni per estrusione o per fusione diventano complesse ed estremamente costose; in tal caso si preferisce passare ad un accoppiamento a caldo delle lamine alettate. Ciò viene realizzato forzando le lamine su una base rigida nella quale siano state ricavate, per fresatura, delle gole atte ad ospitarle.
Negli ultimi anni sono stati introdotti anche dei dissipatori realizzati per incollaggio di lamine, corte e lunghe, in modo tale da formare il “pacchetto” del dissipatore. Le colle usate più frequentemente sono resine epossidiche caricate in metallo oppure collanti aramidici; in casi particolari possono essere usate delle paste brasanti all’Indio.
Tipologie di dissipatori (1I)
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Processi Produttivi e Costi
Estrusione Fusione Stampaggio Incollaggio PiegaturaAltezza massima 75 mm 75 mm 50 mm 150 mm 50 mm
Altezza/ Spessore 8 6 4 60 40
Spessore Minimo 1 mm 1.75 mm 1.5 mm 0.75 mm 0.25 mm
Materiale Al Al, Zn, Mg, Cu Al, Cu Al, Cu Al, Cu
Costo di base X 0.8 X 0.7 X 1.3 X 1.2 XCosto di lavorazione X X 0.6 X 1.2 X 2.0 XCosto di F initura X 1.2 X 0.8 X 1.1 X 1.4 XCosto di Assemblaggio X 4.0 X 2.8 X 1.5 X X
Il processo di Fusione è senz’altro quello che consente di realizzare le superfici alettate più sofisticate, di contro è però anche la tecnologia più costosa. Ultimamente si iniziano a vedere superfici alettate da fusione anche in apparati elettronici consumer e ciò è dettato dall’esigenza di operare con flussi termici specifici molto elevati occupando, allo stesso tempo, il minor spazio possibile.
I dissipatori più diffusi sono senz’altro quelli di Alluminio estruso che vengono ottenuti dal taglio di barre lineari, lo Stampaggio è invece riservato ai dissipatori utilizzati nei prodotti a basso prezzo o per componenti elettronici e/o meccanici di larga diffusione.
Equazione generale di scambio termico per un’aletta a spillo
Le ipotesi sulle quali è basata la trattazione matematica seguente sono:
1. il materiale dell’aletta è omogeneo ed isotropo;
2. la temperatura è uniforme su ogni sezione trasversale dell’aletta, ciò implica che il gradiente termico longitudinale sia l’unico a presentare un valore diverso da zero;
3. il coefficiente di scambio termico convettivo non dipende dalla temperatura dell’aletta
4. il fenomeno termico è stazionario.
Sotto queste ipotesi il bilancio termico porta a scrivere che:
Il Flusso termico entrante nel volume di controllo Q(z)
DEVE essere uguale alla somma del
Flusso termico uscente dal volume di controllo Q(z+dz)
e del
Flusso termico scambiato con l’ambiente dQc
Q(z) = Q(z + dz)+ d QC
Bilancio termico
Il flusso termico conduttivo che attraversa la sezione (z+dz) è dato da:
Dal postulato di Fourier il flusso termico conduttivo attraverso la sezione –z- è dato da:
Ne segue che:
Se si assume che lo scambio termico con l’esterno sia limitato solo a quello Convettivo si può scrivere che:
( )( )( ) ( )s ed dT zk A z dz h dA T z Tdz dz
⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
Combinando tutti i termini fin qui trattati si arriva alla:
Q(z + dz) = Q(z)+ dQ(z)dz
Q(z) = −k ⋅A(z) ⋅ dT (z)dz
Q(z + dz) = Q(z)− k ddz
A(z) ⋅ dT (z)dz
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅dz
d QC = h ⋅dAS ⋅ T (z)−Te( )
Alette a sezione costante
( )2
2( )1 ( ) ( ) 1 ( ) 0
( ) ( )s
edA zd T dA z dT z h T z T
A z dz dz k A z dzdz+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − =
Esplicitando l’equazione precedente si arriva alla seguente formulazione generale
Per alette a sezione costante l’equazione diventa molto più semplice, nel caso di un’aletta rettangolare, ad esempio, si avrà:
( )2
2 ( ) 0ed T h P T z T
k Adz⋅− ⋅ − =⋅
Tb
P
dz
h, Te
L( )sdA z P dz= ⋅
t
w
( ) * costanteA z t w A= = =
22
2 0d mdzθ θ− ⋅ =
1 2( ) mz mzz C e C eθ −= ⋅ + ⋅
( ) ( ) ez T z Tθ = − h Pmk A⋅=⋅
Ponendo: e
si arriva alla:
la cui soluzione generale è rappresentata da:
Soluzione per base a temperatura costante ed estremità termicamente isolata
Tb
P
dz
h, Te
L( )sdA z P dz= ⋅
t
w
( ) * costanteA z t w A= = =
1 2(0) (0) e b e bT T T T C Cθ θ= − = − = = +
1 2( ) 0mL mL
z L
d zk C m e C m edzθ −
=− ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
- Condizioni a contorno -
1
mLbmL mL
eC
e eθ −
−⋅
=+
cosh(x) = ex + e−x
2; senh(x) = e
x − e−x
2;
da cui si ottengono:
ricordando che:
2
mLb
mL mLe
Ce eθ
−⋅
=+
si arriva alla:
( )cosh 1 /( )
cosh( )bm L z L
zm L
θ θ⎡ ⎤⋅ ⋅ −⎣ ⎦= ⋅
⋅
Profilo di Temperatura
( )cosh 1 /( )
cosh( )bm L z L
zm L
θ θ⎡ ⎤⋅ ⋅ −⎣ ⎦= ⋅
⋅
mL = 0.5
mL = 1.0
mL = 1.5
mL = 2.0
mL = 3.5
Flusso termico dissipato
Per la nostra aletta a sezione costante ed estremità adiabatica possiamo calcolare quanto flusso termico è stato dissipato ricordandoci che il flusso scambiato per convezione attraverso la superficie laterale dell’aletta DEVE eguagliare quello scambiato per conduzione attraverso la base della stessa.
0
( )(0) tanh( )bz
d zQ k A k A m mLdzθ θ
== − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Dal grafico si nota chiaramente come valori di “mL” maggiori di 3 non apportino alcun incremento significativo al flusso termico dissipato.
Efficienza di un’aletta a sezione costante ed estremità adiabatica
Il flusso termico massimo che un’aletta può scambiare con l’esterno si verifica quando tutta l’aletta risulta isoterma ed a temperatura pari a quella della sua base; in tali condizioni il flusso termico dissipato dalla stessa sarà dato da:
( )iso b eQ h P L T T= ⋅ ⋅ ⋅ −Poiché però nella realtà l’aletta presenta temperature via via decrescenti nel procedere dalla base verso la cima per qualificare termicamente l’aletta si può introdurre un parametro che lo consenta: l’EFFICIENZA
Flusso termico dissipato dall'aletta realeFlusso termico dissipato dall'aletta isoterma
η =
tanh( ) tanh( )b
b
k A m mL mLh P L mL
θηθ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅ ⋅
Dal grafico emerge come per valori di “mL” superiori a 3 l’efficienza scende sotto 0.35. In pratica si cerca di operare SEMPRE con alette ad efficienza maggiore di 0.6, ciò indica in “mL=1.5” il valore limite di tale parametro. Qualora la tecnologia costruttiva del dissipatore fosse a basso costo e non fosse possibile incrementare le dimensioni globali del corpo non alettato si accetta di operare con valori di “mL” compresi fra 1.5 e 3.0.
Vantaggiosità di una superficie alettata Quando si aggiunge un’aletta sulla superficie esterna di un corpo si inducono due effetti termici fra di loro contrastanti:
Ø si aumenta la superficie totale di scambio termico: effetto termico positivo;
Ø si aggiunge una resistenza termica conduttiva, quella dell’aletta, alla fuoriuscita del calore dal corpo: effetto termico negativo.
Quest’ultimo effetto è tanto più grande quanto maggiore è il coefficiente di scambio termico convettivo, tanto che in presenza di convezione con fluidi in cambiamento di fase può essere preferibile NON alettare il corpo in oggetto. Proprio per valutare al meglio l’entità dei due effetti termici si introduce un nuovo parametro, chiamato VANTAGGIOSITA’, che rappresenta il “rapporto fra il flusso termico dissipato dal corpo opportunamente ALETTATO e quello che il corpo avrebbe dissipato SENZA ALETTATURA. tanh( ) ( )
( )
tanh( ) Superficie esternatanh( )Area sezione trasversale
b ef
b e
k A m mL T Th A T T
k P mL P LmLh A mL A
η
η
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= =
⋅ ⋅ −
⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅⋅
Dalla formula emerge come a parità di efficienza sia più vantaggiosa quell’aletta che presenta il massimo rapporto fra superficie esterna e sezione trasversale. Nelle applicazioni pratiche è buona norma verificare che la superficie alettata operi sempre ad una vantaggiosità superiore a 2; valori minori di vantaggiosità sono giustificati solo da scelte di mercato e non da valutazioni termiche.
E’ possibile individuare un numero adimensionale, il numero di Biot, che rappresenta qualitativamente il rapporto fra la resistenza conduttiva e quella convettiva, con il quale poter esprimere la Vantaggiosità:
Numero di Biot cond
conv
Rh ABik P R⋅= = =⋅
tanh( )tanh( )fk P mLmLh A Bi
η ⋅= ⋅ =⋅
Esempio di calcolo
Tb
P
dz
h, Te
L( )sdA z P dz= ⋅
t
w
( ) * costanteA z t w A= = =
Si abbia un’aletta a sezione rettangolare di altezza (L) pari a 5 cm, spessore (t) di 3 mm e lunghezza (w) di 20 cm; il materiale
dell’aletta è Alluminio con una conducibilità termica di 200 W/mK.
Si calcoli il rendimento e la vantaggiosità dell’aletta qualora la stessa operi in:
1. Convezione naturale con un gas: h = 5 W/m2K
2. Convezione forzata con un gas: h = 150 W/m2K
3. Convezione forzata con un liquido: h = 1500 W/m2K
4. Convezione con un liquido bifase: h = 15000 W/m2K 4 2
1
0.003 0.2 6 10
2 ( ) 2 0.42 ( ) 2 2
2
2
A t w m
P t w w m
P t w w mA t w t w t
h P hmk A k th A h tBik P k
−
−
⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎣ ⎦= ⋅ + ≅ ⋅ = ⎡ ⎤⎣ ⎦
⋅ + ⋅ ⎡ ⎤= ≅ = ⎣ ⎦⋅ ⋅⋅ ⋅= =⋅ ⋅
⋅ ⋅= =⋅ ⋅
Aletta con estremità sottoposta a scambio termico convettivo
( ) ( )cosh 1 / ( /( )) 1 /( )
cosh( ) ( /( )) ( )b
m L z L h m k senh m L z Lz
m L h m k senh m Lθ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
La soluzione dell’equazione generale dell’aletta nel caso di estremità libera sottoposta a flusso termico convettivo è data da:
Anche se apparentemente tale soluzione sembra molto diversa da quella dell’aletta con estremità isolata i valori puntuali sono molto vicini e per la maggior parte delle applicazioni pratiche coincidenti; a titolo di esempio è riportata di seguito una tabella contenente, per l’esercizio precedente, i profili di temperatura nel caso di aletta isolata e non.
Metodo della altezza corretta
Tb
P
dz
h, Te
L
t
w
ΔL
( )s
c
A P L LL L L
= ⋅ + Δ= + Δ
Proprio per evitare l’uso delle equazioni relative all’aletta con estremità non isolata si introduce il concetto dell’aletta con ALTEZZA CORRETTA; ossia l’aletta originale con estremità non isolata viene sostituita con un’aletta più alta (Lc) avente però estremità isolata, e quindi soggetta ad equazioni più semplici rispetto alla prima.
Nel caso dell’aletta in figura l’altezza corretta si ottiene imponendo che il flusso di estremità dell’aletta reale sia pari a quello fuoriuscente dalla superficie laterale del pezzo di aletta aggiunto:
( ) ( ( ) )2 ( ) ( ( ) )2 ( ) ( ( ) )
e
e
e
Q z L h w t T L Th L w t T L Th L w T L T
= = ⋅ ⋅ ⋅ − == ⋅ ⋅ Δ ⋅ + ⋅ − ≅≅ ⋅ ⋅ Δ ⋅ ⋅ −
;2 2ct tL L LΔ = = +
che porta alla:
Efficienza per altri tipi di alette
In figura è riportata l’efficienza di alette aventi sezione e profilo diverso; in tutti i casi viene introdotto il concetto di altezza corretta, fatta eccezione per l’aletta triangolare che non p re s en t a f l u s so t e rm i co all’estremità.
Sia l’aletta a spillo a sezione circolare che quella rettangolare presentano efficienze analoghe; l’aletta triangolare presenta invece una maggiore efficienza associata rispetto a quella a sezione rettangolare in quanto a parità di superficie esterna richiede una quantità minore di materiale.
Alette radiali
2t hL
k tξ ⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠
Ben più complessa è la soluzione per un’aletta radiale a sezione rettangolare; in tal caso si fa uso del grafico riportato in figura dove le curve di efficienza sono funzione del rapporto fra il raggio esterno CORRETTO e quello interno. L’estremità esterna dell’aletta si assume sempre isolata termicamente.
Ottimizzazione rispetto all’altezza
( ) tanh( ) ( / )1 ( / ) tanh( )b e
mL h mkQ h P K A T Th mk mL
+= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅+ ⋅
Ponendo 0 si ottiene 1dQ hdL m k
= =⋅
Sotituendo ad "m" il proprio valore si ha: 1 , ossia 1h A Bik P⋅ = =⋅
Possiamo provare a vedere se esiste un’altezza ottimale che consente di massimizzare il flusso termico; per far ciò prendiamo l’equazione del flusso termico di un’aletta con estremità non isolata:
Questa condizione ci dice che se Bi è minore di 1 l’aggiunta dell’aletta porta ad un effettivo incremento di scambio termico, in caso contrario l’aletta funge da resistenza aggiuntiva e contribuisce ad isolare la superficie piuttosto che incrementarne lo scambio termico. In pratica il valore limite di Bi per un’aletta rettangolare è fissato a 0.25 e non ad 1; ciò vuol dire che conviene alettare un superficie solo se:
0.252 2
h w t h tBik w k⋅ ⋅ ⋅≅ = ≤⋅ ⋅ ⋅
0.5 l'aletta funge da elemento dissipante
0.5 l'aletta funge da elemento isolante
khtkht
≤ ⋅
> ⋅
Caratteristiche di un dissipatore
w
p t
L
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2
1
2 1
alette b e b e
no alette b e
tot alette no alette b e
Q N h P L T T N h w L T T
Q N h p w T T
Q Q Q h w T T N L N p
η η
η
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
⎡ ⎤= + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 1
1
2 1
1
b ef
b e
h w T T N L N p
h w T T N t N p
N L N p
N t N p
ηη
η
⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦= =⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦=⎡ ⎤⋅ + − ⋅⎣ ⎦
( ) ( )2 1tot diss b eQ h T T w N L N pη ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦
( )( )
2 1
2 1diss
N L N p
N L N p
ηη
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦=⎡ ⎤⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦
alettata no alettatadiss
alettata no alettata
S SS S
ηη
⋅ +=
+
Più in generale si può scrivere:
Esercizio
La figura sottostante mostra le sezioni di un cilindro di un compressore di aria a due stadi, utilizzato per produrre aria compressa per verniciatura. Si assume che le 9 alette circolari abbiano profilo rettangolare con spessore pari a 3 mm ed altezza pari a 5 cm. Il diametro esterno del cilindro, da cima a cima delle alette, è di 21.9 cm, mentre il passo delle alette è di 1.27 cm.
Il cilindro presenta una temperatura di 260 °C sul mantello esterno e la temperatura dell’ambiente è di 27 °C.
Se il coefficiente di scambio termico convettivo è di 15 W/m2K e la conducibilità delle alette è di 30 W/mK determinare:
• La potenza termica trasferita dal cilindro all’ambiente esterno;
• La potenza termica dissipata in assenza di alettatura;
• La Vantaggiosità della superficie alettata.