corso di probabilit`a e statistica -...

Universita degli Studi di Verona

Facolta di Scienze MM.FF.NN.

Corso di Laurea in Informatica

Corso di Probabilita e Statistica

(Prof.ssa L.Morato)

Esercizi

a cura di:

S.Poffe [email protected]

A.A. 2005-2006

i

La dispensa si propone come raccolta di esercizi non ri-solti relativi al corso di Probabilita e Statistica. Gli eser-cizi sono suddivisi in capitoli, paragrafi e sottoparagrafi inbase al loro contenuto. Alla fine di ogni capitolo e statoinserito un paragrafo conclusivo con esercizi di riepilogo.

Indice

1 Probabilita classica e probabilita combinatoria, variabili aleatorie

discrete 1

1.1 Probabilita classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilita classica 4

1.2 Probabilita moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Probabilita condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Indipendenza di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atte-

so, varianza e relative proprieta 19

2.1 Variabili aleatorie assolutamente continue . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assoluta-

mente continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Valore atteso e varianza di funzioni di variabili aleatorie . . . 24

2.2.2 Disuguaglianza di Cebicev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


3 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti, covarianza e coeffi-

ciente di correlazione, densita e valore atteso condizionati 29

3.1 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Covarianza e coefficiente di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iv INDICE

3.3 Densita condizionata e valore atteso condizionato . . . . . . . . . . 33

3.4 Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Funzioni di piu variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


4 Statistica inferenziale 43

4.1 Stimatori corretti e consistenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Le distribuzioni χ2(n) e N(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


5 Esercitazione di statistica descrittiva 49

Capitolo 1

Probabilita classica e probabilita

combinatoria, variabili aleatorie

discrete

1.1 Probabilita classica

Il campo nel quale piu direttamente si puo applicare la definizione classica di

probabilita e quello dei giochi di dadi, carte, ecc.. In essi le regole individuano con

precisione le diverse alternative, e si puo ragionevolmente supporre che esse siano

ugualmente probabili.

Esercizio 1.1.1

Qual e la probabilita di ottenere un numero pari lanciando un dado? [1

2

]Esercizio 1.1.2

Qual e la probabilita che, lanciando un dado, esca un numero pari o il numero 5?[2

3

]

2 Probabilita classica e probabilita combinatoria, variabili aleatorie discrete

Esercizio 1.1.3 (es. 2.1 p.54, Bramanti)

Dimostrare, utilizzando gli assiomi di probabilita, che non e possibile definire una

probabilita sull’insieme Ω dei numeri naturali 1, 2, 3, . . . in modo tale che i nume-

ri siano tutti equiprobabili. Questo fatto si puo interpretare dicendo che non e

possibile ”inventare” un esperimento aleatorio che abbia come esito l’estrazione di

un numero naturale a caso, se si vuole che tutti i numeri siano estratti con ugual

probabilita.

1.1.1 Calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio ha per scopo la costruzione e la misurazione del numero

di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con

una prefissata quantita di n oggetti. Esso risulta utile anche indipendentemente

dal calcolo delle probabilita.

Permutazioni semplici di n oggetti Pn = n!

Disposizioni semplici di n oggetti di classe k (k ≤ n) Dn,k =n!

(n− k)!

Combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k ≤ n) Cn,k =

(n

k

)=

n!

(n− k)!k!

Disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k DRn,k = nk

Combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k CRn,k =

(n + k − 1

k

)

Esercizio 1.1.4

In quanti modi si possono estrarre 3 lettere da un insieme di 10?720 (estrazione ordinata)

120 (estrazione in blocco)

1000 (estrazione con reinserimento)

1.1 Probabilita classica 3

Esercizio 1.1.5

In quanti modi si puo riordinare una sequenza di 20 oggetti diversi?

[7257600]

Esercizio 1.1.6

In quanti modi si puo estrarre una cinquina da un’urna con 200 palline numerate?[3.04278 e + 11 (estrazione ordinata)

2.53565 e + 09 (estrazione in blocco)

]

Esercizio 1.1.7

In quanti modi si possono estrarre, con reinserimento, 2 palline da un’urna conte-

nente una pallina bianca, una rossa e una nera?

[9]

Esercizio 1.1.8

In quanti modi si puo formare una sequenza di 10 cifre usando 0 e 1?

[1.024]


In quanti modi 8 persone possono sedersi attorno ad un tavolo che ha 8 posti?

[40329]


Come nell’esercizio precedente, ma si considerino distinti 2 modi solo se varia la

disposizione relativa delle persone attorno al tavolo (rotondo). (In altre parole, due

disposizioni ottenute l’una dall’altra mediante rotazione del tavolo si considerano

uguali).

[5040]


In quanti modi 4 uomini e 4 donne possono sedersi in modo alternato attorno ad

un tavolo?


[1152]


Un valigetta ventiquattrore ha una conbinazione formata da 6 numeri.

a) In quanti modi e possibile combinare le 10 cifre da 0 a 9?

b) E se invece delle 10 cifre ci fossero le lettere A, B, C, D? [a) 1000000

b) 4096

]

1.1.2 Applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilita

classica

Esercizio 1.1.13

Dato un contenitore con 10 oggetti numerati, qual e la probabilita che, scegliendone

3 a caso, escano nell’ordine 9, 2, 5? [1

720

]Esercizio 1.1.14

Dato un contenitore con 10 oggetti numerati, qual e la probabilita che, scegliendone

in blocco 3, escano 9, 2, 5? [1

120

]Esercizio 1.1.15

Da un’urna con 10 palline numerate se ne estraggono in blocco 3. Qual e la

probabilita di estrarre la 6? [3

10

]Esercizio 1.1.16

Un giocatore estrae casualmente tre carte da un mazzo di 52. Qual e la probabilita

di estrarre: A ♥, 3 ♦, 5 ♠?

1.1 Probabilita classica 5

1

1326000(estrazione ordinata)

1

22100(estrazione in blocco)

Esercizio 1.1.17

Formando in modo casuale delle parole di quattro lettere con A, B, C, qual e la

probabilita di comporre la parola “ABBA”? [1

81

]Esercizio 1.1.18

Lanciando in successione 3 dadi, qual e la probabilita che escano tre numeri uguali?[1

36

]Esercizio 1.1.19

Lanciando in successione 2 dadi, qual e la probabilita che escano due numeri

successivi (6 → 1)? [1

6

]Esercizio 1.1.20

In un esperimento si producono in modo casuale sequenze di 5 elementi. Ogni

elemento puo essere di due tipi: 0 o 1.

a) Qual e la probabilita che esca (1, 0, 0, 0, 0)?

b) Qual e la probabilita che esca due volte 1? a)1

32

b)5

16

Esercizio 1.1.21

Scegliendo a caso ordinatamente 6 persone in una popolazione, qual e la probabilita

che almeno due abbiano il compleanno lo stesso mese?


[0.78]

Esercizio 1.1.22 (esempio 42 p.65, Bramanti)

Si consideri una partita d’assi: 4 giocatori, 40 carte, distribuite 10 a testa. Calco-

lare la probabilita per un giocatore di avere:

a) l’asso di quadri e nessun altro asso

b) almeno un asso

c) un asso e non di piu

d) due assi prefissati

e) due assi prefissati e non di piu

f) due assi qualsiasi e non di piu

g) almeno due assi

[a) = 0.11; b) = 0.70; c) = 0.44; d) = 0.06; e) = 0.04; f) = 0.21; g) = 0.35]


Tre persone si danno appuntamento in un bar nella piazza centrale della citta; poco

pratici del luogo, non sanno che in tale piazza ci sono 4 bar. Qual e la probabilita

che scelgano:

a) tutti e tre lo stesso bar?

b) tutti e tre bar differenti? [a) 0.0625

b) 0.375

]


Un’urna contiene 5 palline bianche, 6 nere, 4 rosse. Se ne estraggono 2. Calcolare

la probabilita che siano dello stesso colore supponendo che l’estrazione avvenga:

1.2 Probabilita moderna 7

a) in blocco

b) con reimmissione a)31

105

b)77

225

1.2 Probabilita moderna

Esercizio 1.2.1

Si osservano due quantita aleatorie X e Y entrambe con valori −1, 0, 1. Assumendo

che la coppia (0, 0) abbia probabilita 12

e le altre siano equiprobabili, qual e la

probabilita che:

a) X + Y > 0

b) X + Y ≥ 0 a)3

16

b)13

16

Esercizio 1.2.2

Si considerino dei pezzi prodotti da una macchina e siano A e B la presenza del

difetto a e b rispettivamente. Sapendo che:

- P (A) = 0.1

- P (BC) = 0.8

- P (A ∩B) = 0.01

calcolare la probabilita che il pezzo non presenti alcun difetto.

[0.71]


Esercizio 1.2.3

Due giocatori laciano a turno due dadi. Un giocatore vince se escono due numeri

uguali o se la loro somma e maggiore di 6. Assumendo le uscite equiprobabili, si

calcoli la probabilita di vittoria. [2

3

]Esercizio 1.2.4 (es. 1 proposto)

Si estraggono ordinatamente 4 carte da un mazzo di 20 carte numerate. Costruire

uno spazio di probabilita uniforme e calcolare la probabilita che:

a) venga estratta la carta numero 5

b) vengano estratte la numero 5 e la numero 6

c) vengano estratte la numero 5 o la numero 6 a)

1

5

b)3

95

c)7

19

Esercizio 1.2.5 (es. 2 proposto)

a) Calcolare la probabilita che, estraendo a caso 4 individui in una popolazione

formata da 5 tipi diversi egualmente rappresentati, almeno due individui

siano dello stesso tipo

b) E se le tipologie di popolazione fossero 3? a)124

125

b) 1


Si estraggono in blocco due oggetti da una collezione di M oggetti diversi. Calco-

lare la probabilita di estrarre due oggetti particolari.


[2

M(M − 1)


Calcolare la probabilita che, sistemando a caso 4 oggetti in due contenitori, en-

trambi i contenitori ne contengano 2. [1

5

]

1.2.1 Probabilita condizionata

Esercizio 1.2.8

Indicando con A e B gli eventi “esce il numero 2”e “esce un numero pari”lanciando

un dado equilibrato, calcolare la probabilita di A, condizionatamente al verificarsi

dell’evento B. [1

3

]Esercizio 1.2.9

Uno statistico osserva due variabili X e Y , che prendono valori rispettivamente

0, 1, 2, 3 e 0, 1. Assumendo tutte le possibili coppie di valori equiprobabili,

calcolare la probabilita che X sia non nulla se Y e uguale a zero. [3

4

]Esercizio 1.2.10

Si consideri una popolazione costituita dal 40% di fumatori e dal 60% di non

fumatori. Sapendo il 25% dei fumatori e il 7% dei non fumatori contraggono una

malattia alle vie respiratorie, calcolare la probabilita che un individuo scelto a caso

sia ammalato.

[0.142]

Esercizio 1.2.11

In un paese vi sono 60% nativi, 25% immigrati e 15% turisti. Sapendo che uti-

lizzano i mezzi pubblici il 30% dei nativi, il 70% degli immigrati e il 90% dei

turisti:


a) qual e la probabilita che una persona scelta a caso utilizzi i mezzi pubblici?

b) noto che su un’automobile privata c’e una persona, qual e la probabilita che

sia un turista? [a) 0.49

b) 0.029

]


Un corso universitario e frequentato da 100 persone, di cui 70 sono uomini e 30

sono donne. Sapendo che il 40% degli uomini e il 60% delle donne fumano, con

quale probabilita uno studente fumatore e di sesso maschile?

[0.6087]


Un giocatore punta alla roulette i numeri 1− 3− 13− 22− 24. Dopo la giocata un

informatore gli dice che uscira un numero pari. Quale probabilita avra di vincere?

[0.1052]


In una universita i medici rappresentano il 22% dei laureati in un anno, gli ingegneri

il 10%, i laureati in lettere il 30%, mentre il restante 40% e rappresentato da

laureati in altre discipline. Ad un anno dalla laurea lavora il 60% dei medici, il

90% degli ingegneri, il 10% dei laureati in lettere e il 50% dei rimanenti.

a) sapendo che uno studente si e appena laureato, con quale probabilita sara

disoccupato nei prossimi 12 mesi?

b) con quale probabilita un disoccupato (laureatosi un anno fa) e laureato in

ingegneria?

c) con quale probabilita si e laureato in medicina un neoassunto, laureatosi da

meno di un anno?


a) 0.56

b) 0.017

c) 0.2727


In un’urna sono contenute 5 palline rosse e 4 bianche. Due persone estraggono

una pallina ciascuna (senza reinserimento). Calcolare la probabilita che la seconda

persona estragga una pallina rossa:

a) sapendo che la prima ne ha estratta una bianca

b) non sapendo quale pallina abbia estratto la prima a)5

8

b)5

9

1.2.2 Indipendenza di eventi

Esercizio 1.2.16

Si disponga di una moneta equilibrata e siano T1 e T2 gli eventi “esce testa al primo

lancio”e “esce testa al secondo lancio”. Calcolare la probabilita che si verifichino

congiuntamente gli eventi T1 e T2. [1

4

]Esercizio 1.2.17

Si lanci due volte una moneta non equilibrata. Assumendo che:

P (T1) = P (T2) = p

P (C1) = P (C2) = 1− p

calcolare le probabilita:

a) P (T, T ) che escano due teste


b) P (T,C) che escano due facce diverse

c) P (C, C) che escano due croci a) p2

b) p(1− p)

c) (1− p)2

Esercizio 1.2.18

In una coltivazione di mais le piantine si ammalano con una frequenza del 20%.

Sotto opportune ipotesi calcolare le probabilita che scegliendo a caso 10 piantine:

a) siano tutte sane

b) solo 3 siano sane [a) 0.107

b) 0.0008

]


Si lanciano successivamente 3 monete equilibrate. Calcolare la probabilita che:

a) esca testa 3 volte

b) esca testa una sola volta a)1

8

b)3

8

1.2.3 Variabili aleatorie discrete

Il risultato di una prova e in molti casi un numero che e aleatorio, cioe incer-

to prima della prova, per poi diventare noto. In generale si e interessati ad una

funzione del risultato della prova (che come caso particolare puo essere la funzione

identica, cioe il risultato stesso). Queste funzioni sono dette variabili aleatorie.


Nome Supporto Probabilita Restrizioni sui parametri

Bernoulli (p) k ∈ 0, 1 pk(1− p)1−k 0 ≤ p ≤ 1

Binomiale (n, p) k ∈ 0, 1, . . . , n(

n

k

)pk(1− p)n−k 0 ≤ p ≤ 1

Poisson (λ) k ∈ 0, 1, . . . e−λλk

k!λ > 0

Geometrica (p) k ∈ 0, 1, . . . p(1− p)k 0 < p < 1

Alcune variabili aleatorie discrete

Esercizio 1.2.20

In una linea di produzione di integrati, un integrato su 1.000 e difettoso. Calcolare

la probabilita che una confezione di 100 integrati:

a) non contenga pezzi defettosi

b) contenga un integrato difettoso

c) contenga almeno tre integrati difettosi a) 0.9048

b) 0.0905

c) 0.0002

Esercizio 1.2.21

Un’urna contiene 9 palline bianche e 1 nera. Due giocatori estraggono a caso una

pallina a turno e poi la rimettono nell’urna. Vince chi estrae per primo la pallina

nera. Calcolare la probabilita che il gioco duri almeno cinque prove.


Un’urna contiene 3 palline rosse, 4 bianche e 5 nere.


a) Si estraggono 5 palline con reimmissione. Con quale probabilita ce ne sono

3 nere?

b) Supponendo che se ne estraggano 7, con quale probabilita ce ne sono 3 nere,

2 bianche e 2 rosse? [a) 0.2461

b) 0.1055


Un grande contenitore contiene piccolissimi oggetti di 100 tipi diversi, dei quali

sono presenti 50.000 copie di ognuno. Se ne estraggono in modo casuale n ≥ 100.

Si determini la probabilita che un particolare tipo di oggetto non venga estratto,

in funzione del numero di oggetti estratti (si supponga n << 50.000). Si calcoli n

in modo che tale probabilita sia uguale a 0.01.

[n ≈ 460]


Dato uno stock di 10.000 lampadine, viene esaminato un campione di 100 pezzi.

Indicato con m il numero di pezzi difettosi nello stock, si dia una formula per deter-

minare la probabilita di trovare 10 pezzi difettosi, in funzione di m (m << 10.000).


Supponendo che 300 errori di stampa siano distribuiti a caso su 500 pagine, si

determini la probabilita che una determinata pagina contenga:

a) esattamente 2 errori

b) almeno 2 errori [a) 0.0988

b) 0.1219


In un paese il 50% della popolazione ha un’eta compresa tra i 30 e 60 anni, il

30% ha meno di 30 anni e il rimanente 20% ha piu di 60 anni. Supponendo di

intervistare 20 individui scelti a caso, con quale probabilita:


a) sono tutti giovani al di sotto dei 30 anni?

b) ci sono 10 giovani al di sotto dei 30 anni, 7 persone tra i 30 e i 60 anni e 3

con piu di 60?

c) nessuno ha meno di 30 anni? a) 3.48 e− 11

b) 8.18 e− 3

c) 7.98 e− 4


Un’urna contiene 3 palline rosse, 4 bianche e 5 nere. Estraendo 5 palline con rein-

serimento, con quale probabilita si estrae la prima pallina nera al terzo tentativo?

[0.1418]


Una catena di produzione di un’industria alimentare produce scatole di biscotti.

Viene stimato che una scatola su 100 non viene chiusa bene, nel qual caso la linea

si ferma. Si calcoli la probabilita di produrre:

a) esattamente 1000 scatole fino alla prima interruzione

b) almeno 1000 scatole fino alla prima interruzione [a) 4.32 e− 07

b) 4.32 e− 05

]

Esercizio 1.2.29 (teorema 32 p.62, Bramanti)

Dimostrare che:

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)akbn−k

per ogni intero positivo n, per ogni coppia di numeri reali a, b.

(formula di Newton per lo sviluppo della potenza di un binomio).


1.3 Esercizi di riepilogo


Calcolare la probabilita che, lanciando due dadi, escano:

a) due 4

b) un 3 e un 5

c) due numeri pari

d) due numeri la cui somma sia 9

e) due numeri uguali [a)

1

36; b)

1

18; c)

1

4; d)

1

9; e)

1

6

]Esercizio 1.3.2 (es. 2.20 p.79, Bramanti)

Da un mazzo di 52 carte se ne estrae una. Calcolare la probabilita che sia:

a) una carta di picche o una figura di cuori

b) una figura o una carta rossa [a) 0.3077

b) 0.6154

]


Da un’urna che contiene 40 palline di cui 12 bianche, 11 rosse e 17 verdi, si estrag-

gono contemporaneamente sei palline. Calcolare la probabilita che esse siano: 3

bianche, 2 rosse, 1 verde.

[0.0536]


a) In quanti modi 8 persone possono sedersi in 5 posti?

1.3 Esercizi di riepilogo 17

b) In quanti modi 5 persone possono sedersi in 8 posti?

c) In quanti modi 3 amici possono sedersi in una fila di 15 posti, al cinema,

stando vicini tra loro? a) 6720

b) 6720

c) 78


Siano A, B due eventi indipendenti, con P (A) =1

3, P (B) =

3

4. Determinare la

probabilita p dell’evento (A ∩B) ∪ (A ∩B). [7

12


Una ditta produce un certo tipo di apparecchiature sofisticate; l’8% degli apparec-

chi prodotti, mediamente, presenta qualche tipo di malfunzionamento. Percio la

ditta ha messo a punto un test di collaudo, che tiene conto dei difetti piu frequen-

ti, in modo tale che: il 90% degli apparecchi imperfetti non supera il test; l’1%

degli apparecchi ”sani” non supera il test (per qualche errore nell’esecuzione del

collaudo). Se vengono messi in commercio tutti e soli gli apparecchi che superano

il test, qual e la probabilita che uno di essi risulti difettoso?

[0.0087]


Nella prima parte di questo esercizio si chiede di formalizzare, col linguaggio preciso

e sintetico del calcolo delle probabilita, alcune informazioni espresse mediante il

linguaggio comune. Sia A l’evento “lo studente ha studiato bene”e B l’evento “lo

studente passa l’esame”. Tradurre in simboli le seguenti affermazioni:

a) la probabilita che uno studente abbia studiato bene e passi l’esame e 0.4

b) la probabilita che uno studente che ha studiato bene passi l’esame e 0.8


c) la probabilita che uno studente che non ha studiato bene non passi l’esame

e 0.9

d) la probabilita che uno studente abbia studiato male ma passi ugualmente

l’esame e 0.05

e) la probabilita che uno studente che non ha passato l’esame non avesse stu-

diato bene e 911

Supponiamo ora che le informazioni a, b, c, d, e siano tutte corrette. Sfruttando

opportunamente queste informazioni, si calcoli:

f) P (A ∪B)

g) P (A ∩B)

h) P (A|B)

i) P (B|A) f) 0.55

g) 0.45

h) 0.89

i) 0.2


Un’urna contiene 6 palline bianche e 4 nere; se ne estraggono 3 senza reimmissione.

Qual e la probabilita di estrarre B, N, N (in quest’ordine)? [1

10

]

Capitolo 2

Variabili aleatorie discrete e

assolutamente continue, valore

atteso, varianza e relative

proprieta

2.1 Variabili aleatorie assolutamente continue

Esercizio 2.1.1

Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1], con densita:

fX(x) =

1 x ∈ [0, 1]

0 altrove

Calcolare:

a) P (X ∈ (−∞, +∞))

b) P (X ∈ [0, 12])

c) P (X ∈ [0, 13])

20Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprieta

a) 1

b) 12

c) 13

Esercizio 2.1.2

Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ > 0.

X = tempo di vita di una lampadinaSia:

fX(x) =

λe−λx x ≥ 0

0 altrove

Calcolare P (X ∈ [0, 1]). [1− e−λ

]Esercizio 2.1.3

Sia X una variabile aleatoria normale (o gaussiana) standard, con densita:

fX(x) =1√2π

e−x2

2 x ∈ R

Calcolare:

a) P (X ∈ [0, 12])

b) P (X ∈ [−1, 1])

c) P (X ∈ [−1,−12] o X ∈ [0, 1])

Nota: Non esiste una primitiva in forma analitica!

Φ(t) =

∫ t

−∞

1√2π

e−x2

2 dx (valori tabulati p.287, Bramati)

a) 0.19146

b) 0.68268

c) 0.49122

2.2 Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue 21

Esercizio 2.1.4


fX(x) =

2x x ∈ [0, 1]

0 altrove

Calcolare P

(X ∈

[0,

1

4

]o X ∈

[3

4, 1

])[1

2

]

2.2 Valore atteso e varianza di variabili aleatorie

discrete e assolutamente continue

Esercizio 2.2.1

Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in 1, 2, 3, 4, 5, con

funzione di probabilita:

pX(xk) =1

5k = 1, . . . , 5

Calcolare E(X).

[3]

Esercizio 2.2.2

Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in 1, 2, 3, 4, 5 , con fun-

zione di probabilita:

pX(xk) =

1

8xk = 1, 2

1

4xk = 3, 4, 5

Calcolare E(X).


[27

8

]Esercizio 2.2.3

Sia X una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro p, con funzione di proba-

bilita:

pX(x) =

1 p

0 1− p

Calcolare E(X).

[p]

Esercizio 2.2.4

Sia X una variabile aleatoria Binomiale di parametro p.

X ∼ Binomiale(n, p)

Calcolare E(X).

[np]

Esercizio 2.2.5


fX(x) =

1 x ∈ [0, 1]

0 altrove

Calcolare E(X). [1

2

]Esercizio 2.2.6

Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ > 0, con densita:

fX(x) =

λe−λx x ≥ 0

0 altrove

Calcolare:

2.2 Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue 23

a) E(X)

b) V (X)

a)1

λ

b)1

λ2

Esercizio 2.2.7

Sia X una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ, con funzione di probabilita:

pX(x) = e−λ λx

x!x = 0, 1, 2, . . .

Calcolare:

a) E(X)

b) V (X)

[a) λ

b) λ

]

Esercizio 2.2.8

Sia X una variabile aleatoria normale (o gaussiana) standard, con densita:

fX(x) =1√2π

e−x2

2 x ∈ R

Dimostrare che:

a) E(X) = 0

b) V (X) = 1


2.2.1 Valore atteso e varianza di funzioni di variabili alea-

torie

Esercizio 2.2.9

Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in 1, 2, 3 con probabilita:

PX(1) =1

6, PX(2) =

1

3, PX(3) =

1

2

Posto Y = X2, calcolare E(Y ).

[6]

Esercizio 2.2.10


fX(x) =

1 x ∈ [0, 1]

0 altrove

Posto Y = X2, calcolare E(Y ) [1

3

]Esercizio 2.2.11

Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in 0, 1, 2, 3 con proba-

bilita:

PX(0) =1

10, PX(1) =

1

5, PX(2) =

3

10, PX(3) =

2

5

Calcolare:

a) E(X) e V (X)

b) E(Y ) e V (Y ), posto Y = 2X,

c) E(W ) e V (W ), posto Z = X2 e W = Z + Y a) 2; 1

b) 4; 4

c) 9; 30


Esercizio 2.2.12

Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1].

Posto Y = X3 calcolare:

a) E(Y )

b) V (Y ) a)1

4

b)9

112

2.2.2 Disuguaglianza di Cebicev

Esercizio 2.2.13

Sia X una variabile aleatoria normale (o gaussiana) con:

E(X) = 1 e V (X) = 4

Puo essere P (|X − 1| > 10) = 0.8?

[No]



Sia X una variabile aleatoria geometrica di parametro p, con funzione di probabi-

lita:

pX(x) = p(1− p)x−1 x = 1, 2, . . .

Calcolare:

a) E(X)

b) V (X)


a)1

p

b)1− p

p2

Esercizio 2.3.2

Sia X una variabile aleatoria uniforme sull’intervallo (a, b). Calcolare:

a) E(X)

b) V (X) a)b + a

2

b)(b− a)2

12


Siano X1, . . . , Xn variabili aleatorie indipendenti ed equidistribuite di legge Poisson

di parametro λ.

Calcolare la varianza delle variabili aleatorie:

a) Y = X1 + · · ·+ Xn

b) Z = aX1 + b [a) nλ

b) a2λ


Verificare, utilizzando le densita discrete di questa variabile aleatoria, che le leggi

Bernoulli(p), Binomiale(n, p) soddisfano la condizione:∑k

pX(k) = 1


Una macchina per confezionare generi alimentari riempie meno del dovuto il 10%

delle confezioni. Calcolare la probabilita che su 5 confezioni il numero di quelle

sottopeso sia:


a) Esattamente 3

b) Esattamente 2

c) Zero

d) Almeno 1 a) 0.0081

b) 0.0729

c) 0.5905

d) 0.4095


Un ispettore per il controllo della qualita rifiuta una partita di schede a circuiti

stampati se in un campione di 20 schede sottoposte a test vengono trovati 3 o piu

pezzi difettosi. Determinare il numero atteso di pezzi difettosi e la probabilita di

rifiutare una partita se la proporzione di pezzi difettosi nell’intera partita e:

a) 0.01

b) 0.05

c) 0.1

d) 0.2 a) 0.2; 0.0011

b) 1; 0.0755

c) 2; 0.3230

d) 4; 0.7941


Il 35% dell’elettorato e a favore del candidato Pinco Pallino. In una sezione

elettorale votano 200 persone e X e il numero di quelle che sono a suo favore.

a) Determinare la probabilita che X sia maggiore di 75 (scrivere la formula

esplicita che assegna questa probabilita, senza eseguire il calcolo numerico)


b) A votazione conclusa, lo scrutinatore inizia lo spoglio delle schede. Determi-

nare la probabilita che il nome di Pinco Pallino compaia per la prima volta

alla quarta scheda scrutinata (fornire anche il risultato numerico). Determi-

nare il valore atteso del numero di schede da scrutinare per trovare la prima

volta il nome di Pinco Pallino

c) Lo scrutinio e terminato: Pinco Pallino ha ricevuto 60 voti. Se ora si scelgono

a caso 10 schede tra le 200, qual e la probabilita che tra esse ce ne siano

esattamente 3 per Pinco Pallino? Scrivere l’espressione esatta che assegna

questa probabilita e fornire il risultato numerico

d) Eseguire ora il calcolo della probabilita richiesta al punto precedente, usando

una opportuna approssimazione, mediante un’altra legge notevole, e fornire

il risultato numerico b) 0.09612; 3

c) 0.11113

d)9

2e−3

Capitolo 3

Variabili aleatorie dipendenti e

indipendenti, covarianza e

coefficiente di correlazione,

densita e valore atteso

condizionati

3.1 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti

Esercizio 3.1.1

Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale (”doppia”) tale che:

X ∈ −1, 0, 1

Y ∈ 0, 1

Sia data la seguente tabella delle densita congiunte:

30Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti, covarianza e coefficiente di correlazione, densita e

valore atteso condizionati

Y 0 1

X

-1 1 6

0 1 6

1 3 1

× 1

18

a) Calcolare P (X + Y = 0)

b) Verificare se X e Y sono indipendenti a)7

18

b) No

Esercizio 3.1.2

Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale uniforme sul quadrato [0, 1] ×[0, 1], con densita:

fX,Y (x, y) =

1 X ∈ [0, 1], Y ∈ [0, 1]

0 altrove

a) Calcolare P

(X ∈

[0,

1

2

], Y ∈

[0,

1

2

])b) Verificare se X e Y sono indipendenti a)

1

4

b) Si

Esercizio 3.1.3

Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale continua con densita:

fX,Y (x, y) =

c(x + y) x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]

0 altrove

a) Determinare la costante c

3.1 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti 31

b) Calcolare le densita marginali di X e Y

c) Verificare se X e Y sono indipendenti

a) 1

b) fX(x) = x +1

2(x ∈ [0, 1])

fY (y) = y +1

2(y ∈ [0, 1])

c) No

Esercizio 3.1.4

Si osserva l’efficacia (X) e la tossicita (Y ) di un farmaco (in opportune unita di

misura). Si stima che la coppia (X, Y ) abbia distribuzione continua con densita

congiunta:

f(x, y) =

0 se x o y < 0

c e−2(x+y) se x e y ≥ 0


b) Verificare se X e Y sono indipendenti

c) Calcolare P (efficacia > 10) a) 4

b) Si

c) e−20

Esercizio 3.1.5

Viene osservato il tempo di vita di una specie di farfalla nel mese di giugno ed il

tasso di piovosita nello stesso mese (in giorni e mm rispettivamente). Si osserva

che la coppia (X, Y ) e distribuita in modo continuo con densita:

fX,Y (x, y) =

0 x o y < 0

c [e−5x(1 + y2)] x ≥ 0 e 0 ≤ y ≤ 20

0 y > 20





c) Calcolare P (una farfalla viva piu di 1,2 giorni) a) 5[20 +

203

3]−1

b) Si

c) e−6

3.2 Covarianza e coefficiente di correlazione

Esercizio 3.2.1

Sia X una variabile aleatoria Binomiale: X ∼ B(n, p)

Calcolare la varianza di X.

[np(1− p)]

Esercizio 3.2.2

Siano X e Y due variabili aleatorie discrete entrambe con valore in 0, 1, 2, 3.Sia data la seguente tabella della densita congiunta:

Y 0 1 2 3

X

0 1 0 2 1

1 0 2 0 2

2 2 0 1 1

3 1 2 1 0

× 1

16

a) Verificare se X e Y sono indipendenti

b) Calcolare il coefficiente di correlazione a) No

b) − 3

10

3.3 Densita condizionata e valore atteso condizionato 33

Esercizio 3.2.3

Siano X e Y due variabili aleatorie continue con densita:

fX,Y (x, y) =

x + y (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1]

0 altrove

Calcolare il coefficiente di correlazione. [− 1

11

]

3.3 Densita condizionata e valore atteso condi-

zionato

Esercizio 3.3.1

Si consideri la tabella della densita congiunta dell’esercizio 2.2.

Calcolare:

a) PX(xi|Y = 0)

b) E(X|Y = 0) a)1

4; 0;

1

2;1

4

b)7

4

Esercizio 3.3.2

Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale continua, con densita:

fX,Y (x, y) =

3

4(x2 + 2y) (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1]

0 altrove

a) Verificare che si tratta di una funzione di densita

b) Calcolare E(Y |X = x)

[b)

3x2 + 4

6(x2 + 1), x ∈ [0, 1]

]



Esercizio 3.3.3

Siano X e Y due variabili aleatorie continue con densita:

fX,Y (x, y) =

1

π(cos x + cos y) (x, y) ∈ [0,

π

2]× [0,

π

2]

0 altrove

a) Verificare che si tratta di una funzione di densita

b) Calcolare E(Y |X = x)

b)1

π

2cos x + 1

[π2

8cos x +

π

2

]

3.4 Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane

Esercizio 3.4.1

Sia (X, Y ) una variabile aleatoria congiuntamente gaussiana con:

E(X) = E(Y ) = 0 e C =

(1 0

0 1

)matrice di varianze e covarianze.

Calcolarne la densita. [1

π√

3exp

−2

3(x2 − xy + y2)

]Esercizio 3.4.2

Sia (X, Y ) una variabile aleatoria congiuntamente gaussiana con:

E(X) = µ1, E(Y ) = µ2, C =

(σ2

1 0

0 σ22

)se e solo se X e Y sono scorrelate.

Dimostrare che fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y)

3.5 Funzioni di piu variabili aleatorie 35

3.5 Funzioni di piu variabili aleatorie

Esercizio 3.5.1

Siano X e Y due variabili aleatorie normali indipendenti di media µX = 0 e µY = 4

e scarto quadratico medio s.q.m.(X) = s.q.m.(Y ) = 2:

X ∼ N(0, 2)

Y ∼ N(4, 2)

Si consideri la variabile aleatoria Z = X + Y .

Calcolare fZ(z). [1

2√

2πexp

−(z − 4)2

8

]Esercizio 3.5.2

Siano X e Y due variabili aleatorie di Poisson indipendenti di parametro λ1 = 0.5

e λ2 = 0.3:

X ∼ Poisson(0, 5)

Y ∼ Poisson(0, 3)

Si consideri la variabile aleatoria Z = X + Y .

Calcolare P [z = 1]

[0.3595]

Esercizio 3.5.3

Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ e Y = 3X − 1 una sua

trasformazione lineare.

Calcolare:

a) Densita di Y

b) P (Y ≥ 0)

c) ρXY



d) V (X + Y )

a)λ

3e−λ( y+1

3 ), y ≥ −1

b) e−λ3

c) 1

d)16

λ2

Esercizio 3.5.4

In un esperimento si osservano tre variabili X1, X2 e X3. Si determinano empiri-

camente le loro distribuzioni congiunte e si calcolano le covarianze, ottenendo la

matrice delle covarianze:Cov(X1, X1) = 1 Cov(X1, X2) = 0 Cov(X1, X3) = −1

Cov(X2, X1) = 0 Cov(X2, X2) = 2 Cov(X2, X3) = 0

Cov(X3, X1) = −1 Cov(X3, X2) = 0 Cov(X3, X3) = 1

a) Quali variabili non sono sicuramente indipendenti?

b) Quali variabili potrebbero essere indipendenti?

c) Supponendo che X1 e X2 siano congiuntamente gaussiane, e possibile affer-

mare che sono sicuramente indipendenti?

d) Supponendo che X1 ∼ N(1, 2), X2 ∼ N(0, 1) e Y = X1 + X2, calcolare:

- E(Y )

- V (Y )

- Densita di Y a) X1 e X3

b) X1 e X2, X2 e X3

c) Si

d) 1; 3; fY (y) =1√6π

e−16(y−1)2


Esercizio 3.5.5

Sia (X1, . . . , Xn) un campione di n variabili aleatorie.

Sia inoltre:

C = cij := Cov(Xi, Xj) i, j = 1, . . . , n

Dimostrare che C e semidefinita positiva (i.e.〈CX, X〉 ≥ 0 ∀ X ∈ Rn)

Esercizio 3.5.6

Siano X una variabile aleatoria normale di media E(X) = 0 e varianza V (X) = 1

e Y = −X + 1 una sua trasformazione lineare di media E(Y ) = 1 e varianza

V (Y ) = 1.

a) Calcolare Cov(X,Y )


c) Calcolare ρ(X, Y )

d) Calcolare fY (y) a) −1

b) No

c) −1

d)1√2π

exp−1

2(y − 1)2



Siano X e Y due variabili aleatorie di covarianza:

C =

(3 1

1 2

)



a) Le due variabili aleatorie sono indipendenti?

b) Calcolare la varianza della variabile aleatoria Z = X + Y

[a) No

b) 7

]


Si lancino due dadi: sia X il punteggio del primo dado e Y la somma dei punti dei

due dadi. Calcolare:

a) V (Y )

b) Cov(X, Y )

a)35

6

b)35

12


Sia X una variabile aleatoria reale con densita:

fX(x) =

x 0 ≤ x ≤ 1

x + c 1 < x ≤ 2

0 altrove

a) Determinare la costante c in modo tale che f sia la densita della variabile

aleatoria X

b) Determinare l’espressione della funzione di ripartizione di X

c) Calcolare media e varianza di X


a) −1

b) FX(x) =

0 x < 0

x2

20 ≤ x < 1

x2

2− x +

1

21 ≤ x < 2

1 x ≥ 2

c)7

6;

11

36


Sia X una variabile aleatoria reale con densita:

fX(x) =

cx2 −2 ≤ x ≤ 2

0 altrove

a) Determinare la costante c in modo tale che f sia la densita della variabile

aleatoria X

b) Calcolare media e varianza di X

c) Determinare la funzione di ripartizione di X

d) Calcolare media e varianza di Y = 2X + 3

a)3

16

b) 0;12

5

c) FX(x) =

0 x < −2

x3

16+

1

2−2 ≤ x < 2

1 x ≥ 2

d) 3;48

5


La produzione di latte (in ettolitri) di una fattoria si puo rappresentare come una



variabile aleatoria X con densita:

fX(x) =

cx 0 ≤ x < 3

c(6− x) 3 ≤ x ≤ 6

0 altrove


b) Gli eventi:

A = Si producono piu di 3 ettolitri di latte e

B = La produzione di latte e compresa tra 1.5 e 4.5 ettolitrisono indipendenti? a)

1

9b) Si


Siano X e Y due variabili aleatorie con densita congiunta:

fX,Y (x, y) =

a

(y2

2− xy + x2

)−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2

0 altrove

a) Determinare la costante a in modo che si tratti effettivamente di una densita

b) Calcolare le densita marginali di X e Y e verificare se le due variabili sono

indipendenti

c) Determinare media e matrice delle covarianze di (X,Y )

a)1

32

b) No

c) E(X) = E(Y ) = 0; V (X) =92

45

V (Y ) =76

45; Cov(X, Y ) = −8

9



Siano X e Y due variabili aleatorie con densita congiunta:

fX,Y (x, y) =

cy2e−x 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

0 altrove

a) Determinare la costante c in modo che si tratti effettivamente di una densita

b) Calcolare le densita marginali di X e Y e verificare se le due variabili sono

indipendenti

c) Determinare media e matrice delle covarianze di (X, Y )

d) Calcolare la probabilita che X ≤ Y

e) Determinare E(X|Y = 1) e E(Y |X = 1)

a)3e

e− 1

b) Si

c) E(X) =e− 2

e− 1; E(Y ) =

3

4;

V (X) =2e− 5

e− 1−(

e− 2

e− 1

)2

; V (Y ) =3

80

Cov(X, Y ) = 0

d)15− 5e

e− 1

e)e− 2

e− 1;3

4


Siano (X1, X2, X3) variabili aleatorie congiuntamente gaussiane con matrice delle

covarianze:

C =

1 0 2

0 1 3

2 3 1

e attesa uguale a zero.



a) Dire quali variabili sono correlate e quali scorrelate

b) Calcolare E(X1X2)

c) Nell’ipotesi che le attese siano rispettivamente E(X1) = 4, E(X2) = 5,

E(X3) = 6, calcolare E(X1X2), E(X2X3), E(X1X3) [b) 0

c) 20; 26; 33

]


Il punteggio ottenuto dagli studenti alla prova scritta di un esame universitario puo

essere modellizzato con una variabile aleatoria gaussiana di media 21 e varianza 9

(sono previste anche frazioni di voto).

a) Con quale probabilita uno studente scelto a caso ha ottenuto un voto mag-

giore o uguale a 24?

b) Con quale probabilita uno studente scelto a caso ha ottenuto un voto insuf-

ficiente? [a) 0.15866

b) 0.09176

]


Una macchina confeziona barattoli di caffe del contenuto netto di 250 grammi. Il

peso reale e una variabile aleatoria normale di media 250 grammi. Calcolare:

a) La deviazione standard del peso, sapendo che il 5% dei barattoli pesa piu di

252 grammi

b) La probabilita che un barattolo pesi meno di 245 grammi [a) 1.2159

b) 0

]

Capitolo 4

Statistica inferenziale

4.1 Stimatori corretti e consistenti

Esercizio 4.1.1

Sia (X1, X2, . . . , Xn) un campione casuale di variabili aleatorie di legge normale:

X ∼ N(θ, 1), θ ∈ R, parametro incognito.

Verificare che X =1

n

n∑i=1

Xi e uno stimatore corretto e consistente per θ.

Esercizio 4.1.2

Sia dato lo stimatore della media T =X1 + Xn

2.

Verificare che e corretto ma non consistente.

Esercizio 4.1.3

Sia dato lo stimatore della media T =1

n

n∑i=1

(Xi − 1).

Verificare che e non corretto ma consistente.

Esercizio 4.1.4

Sia dato lo stimatore della varianza T =1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2.

Verificare che e corretto e consistente (se V (X) e E(X4) sono finiti). Si supponga

44 Statistica inferenziale

E(X) = µ, costante nota.

Esercizio 4.1.5

Sia data la statistica:

S2n :=

1

n− 1

n∑i=1

(Xi −X

)2Verificare che e uno stimatore corretto della varianza (se V (X) e E(X4) sono fini-

te). Si supponga µ = 0 e σ2 = 1.

4.2 Le distribuzioni χ2(n) e N(0,1)

Esercizio 4.2.1

Relazione tra i quantili della χ2(n) e della N(0, 1).

Esercizio 4.2.2

Sia X ∼ χ2(50) e a tale che P (X < a) = 0.9.

Determinare la costante a.

[62.816]

4.3 Intervalli di confidenza

Esercizio 4.3.1

Si consideri uno sportello di una banca e sia:

X = #persone servite in un’ora

X ∼ Poisson(λ)

2000 = #persone servite in 4 settimane

Si assume che il numero di persone servite in un ora sia indipendente dal numero

di persone servite nelle altre ore.


a) Stimare il numero medio di persone servite ogni ora

b) Calcolare l’intervallo di confidenza di livello α = 99%[a) 12.5

b) 11.32; 13.68

]



Sia X ∼ Bernoulli(1, θ) e (X1, . . . , Xn) un relativo campione casuale. Verficare se

lo stimatore Y =

n∑i=1

Xi

nrisulta corretto.

[Si]


Sia X ∼ Bernoulli(1, θ) e (X1, . . . , Xn) un relativo campione casuale. Verficare se

lo stimatore Y =

n∑i=1

Xi

n + 1e:

a) Corretto

b) Consistente [a) No

b) Si

]


In ciascuno degli esempi successivi, costruire un intervallo di confidenza al livello

95% per la media µ di una popolazione normale la cui deviazione standard si

assume pari a σ = 14.5:

a) n = 36

xn = 100.25


b) n = 100

xn = 99.75

c) n = 500

xn = 100.75

d) n = 1000

xn = 100.5 a) (95.51, 104.99)

b) (96.91, 102.59)

c) (99.48, 102.02)

d) (99.6, 101.4)


Un ispettore vuole stimare il peso medio del contenuto in una partita di barattoli

di conserve di 450 grammi. Un campione di 200 barattoli viene percio ispezionato.

Media e deviazione standard calcolate sul campione sono xn = 447 grammi e

sn = 9 grammi. Costruire un intervallo di confidenza al livello del 99% per il peso

medio di µ su tutta la partita.

[(445.36, 448.64)]


Si sono fatti dei test per confrontare l’affidabilita di tre diverse marche di floppy

disk. Per ciascuna dlle tre marche, A, B, C, si e preso in considerazione un cam-

pione di 100 esemplari, che sono stati sottoposti a varie prove. Per ogni dischetto

si e misurato il tempo, in ore, dopo il quale si e verificato il primo errore. I risultati

sono i seguenti:

Marca A Marca B Marca C

xn = 49h xn = 55h xn = 53h

sn = 8.2h sn = 10.1h sn = 7.5h

Costruire intervalli di confidenza al livello del 95% per il tempo medio di funziona-

mento senza errori dei dischetti delle tre marche, in modo da eseguire un confronto


di prestazioni. Cosa si puo concludere? Per la validita del procedimento seguito,

e necessario supporre che la variabile aleatoria “Tempo di funzionamento senza

errori”sia distribuita normalmente. a) (47.38, 50.62)

b) (53, 57)

c) (51.52, 56.48)


La proprozione di pezzi difettosi trovata in un campione di 100 articoli selezionati

a caso da una linea produttiva e 0.1. Costruire intervalli di confidenza per la

proporzione di pezzi difettosi sull’intera produzione ai seguenti livelli di confidenza:

a) 90%

b) 95%

c) 99% a) (0.05, 0.15)

b) (0.04, 0.16)

c) (0.03, 0.17)


I controlli in una birreria richiedono qualche aggiustamento quando la proporzione

p di lattine di birra riempite troppo poco raggiunga o superi 0.015. Non c’e

modo di conoscere il valore esatto della proporzione di lattine sottopeso. Percio,

periodicamente, si estrae un campione di 100 lattine e se ne misura il contenuto.

a) Su un campione sono state trovate 6 lattine sottopeso. Costruire un intervallo

di confidenza al livello del 95% per il valore vero di p

b) Calcolare la probabilita di trovare almeno 6 lattine sottopeso in un campione

di 100, se il valore vero di p e in effetti solo 0.01 [a) (0.01, 0.11)

b) 0.00054

]

Capitolo 5

Esercitazione di statistica

descrittiva

La tabella che segue mostra le misure delle stature di un campione di padri e figli:

50 Esercitazione di statistica descrittiva

Statura Statura Statura Staturapadri in cm figli in cm padri in cm figli in cm

(X) (Y ) (X) (Y )165 167 169 167170 169 180 178180 181 181 181172 171 180 181179 180 165 169174 176 170 169176 180 174 176168 171 179 178181 182 180 181173 174 173 175182 173 172 173178 176 181 178176 178 179 181163 167 176 180165 169 172 176180 180 174 175179 180 169 171181 183 165 169182 183 180 181172 175 181 180174 173 172 171179 181 176 178181 178 170 169174 176 172 174168 171 181 180

1. Dire quali sono le variabili e di quale tipo

2. Calcolare la distribuzione delle frequenze (assolute, relative, percentulai e

cumulate) per le due variabili, anche dopo aver suddiviso l’intervallo nel

quale le variabili assumono valori in opportuni sottointervalli

3. Rappresentare graficamente le variabili nel modo che si ritiene piu adeguato

51

4. Calcolare opportuni indici di posizione, di dispersione e di forma e tracciare

i boxplot delle due variabili

5. Calcolare la correlazione tra le stature dei padri e quelle dei figli ed interpre-

tare il risultato

6. Verificare tramite un diagramma di dispersione (o scatterplot) l’esistenza di

una relazione lineare tra le stature dei padri e quelle dei figli

7. Si dica che statura ci si aspetta per il figlio di un padre alto 170.5 cm

corso di probabilit`a e statistica -...

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