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Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell
n Corrente di spostamento n Modifica della legge di Ampere n Equazioni di Maxwell n Onde elettromagnetiche
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Corrente di spostamento
n La legge di Ampere e` inconsistente con la legge di conservazione della carica elettrica
!!"!B = µ0
!J
!! "!J = # $!
$t!! "!!#!B( ) = 0 sempre
!! "!J = 0 solo per correnti stazionarie
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Corrente di spostamento n Maxwell: l’equazione di continuita` della
carica elettrica deve valere sempre
!! "!J = # $!
$t! = "0
!! "!E
(a rigore vale nel solo caso elettrostatico)
!! "!J = #!0
!! "
$!E$t!!" #!J +!0
$!E$t
%
&'
(
)* = 0
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Corrente di spostamento n La corrente totale da considerare e`
!J +!0
!!E!t
!JS ! !0
"!E"t
n Maxwell predisse che le variazioni nel tempo di un campo elettrico, anche in assenza di correnti di conduzione, avrebbero generato un campo magnetico
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Corrente di spostamento
n Se in un punto dello spazio la corrente di conduzione e` zero, ma esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato da
!!E!t
" 0 #
!!"!B = µ0!0
#!E#t
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Legge di Ampere-Maxwell
n La legge di Ampere e` modificata in
!!"!B = µ0
!J +!0
#!E#t
$
%&
'
()
non associata a moto di cariche
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Legge di Ampere-Maxwell
n La legge di Ampere e` modificata in
!!"!B = µ0
!J +!0
#!E#t
$
%&
'
()
n 1887: Hertz compie esperimenti che dimostrano l’esistenza di onde elettromagnetiche, previste dalle nuove equazioni
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Forma integrale
!B !d!l"" = µ0
!J +!0
#!E#t
$
%&
'
()" !!ndA = µ0 i + is( )
µ0iS = µ0!0!!E!t
"!ndA# = µ0!0
!"(!E)
!t
µ0iS ! 1.1 !10"17 #$(
"E)
#t V /ms
e` necessaria una variazione molto rapida nel tempo del campo elettrico
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Corrente di spostamento
n Durante il processo di carica si accumula la cairca dq su una armatura e viene prelevata la carica –dq dall’altra
n Le correnti corrispondenti sono i=dq/dt entrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente
n Si puo` usare la legge di Ohm, ma tra le armature non c’e` corrente di conduzione
n Il flusso della densita` di corrente attraverso una superficie che racchiude entrambe le armature e` nullo (se le derivate rispetto al tempo non sono troppo grosse) come se ci fosse continuita`
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Corrente di spostamento !B !d!l = i
C ("1 )"# =
dqdt
!B !d!l =
C ("2 )"#
!B !d!l
C ("1 )"#
! = !1 + !2
1Σ 2Σ
i
=!"2(!J ) = 0
poggia sullo stesso contorno
!J non e` solenoidale
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Corrente di spostamento ! = !1 + !2
1Σ 2Σ
in Il termine di corrente di spostamento risolve la contraddizione
n Oltre alla corrente di conduzione i esiste un campo elettrico E che varia nel tempo tra le armature (supponiamo solo li’)
!J1 =
!J +!JS =
!J
!J1 =
!J +!JS = !0
!!E!t
!J +!JS e ̀solenoidale
i due flussi devono essere uguali
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Equazioni di Maxwell n Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti di
conduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioni che descrivono i campi elettrico e magnetico per fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono:
!! "!E = !
"0 !!#!E = $ %
!B%t
!! "!B = 0
!!#!B = µ0
!J +µ0!0
%!E%t
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Equazioni di Maxwell n Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti
di conduzione si ha:
!! "!E = 0
!!#!E = $ %
!B%t
!! "!B = 0
!!#!B = µ0!0
%!E%t
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Equazioni di Maxwell
n Realizzano la sistemazione e unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici
n In generale campi elettrici e magnetici non possono essere zero simultaneamente, sono descrivibili come aspetti di un’unica interazione fondamentale legata all’esistenza della carica elettrica
n Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz: non e` possibile stabilire il proprio stato di moto inerziale attraverso esperimenti di elettromagnetismo
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Equazione delle onde (d’Alembert)
!2 f!x2
"1v2!2 f!t 2
= 0
f (t, x) = A!1(x " v t)+ B! 2(x + v t)
quantita` che si propaga lungo l’asse x positivo con velocita` v
quantita` che si propaga lungo l’asse x negativo con velocita` v
supponiamo B=0 (condizioni al contorno e iniziali)
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Equazione delle onde (d’Alembert)
!(t " xv) fissato t-x/v la funzione ha un valore
costante
t ! xv" t̂ # x = v(t ! t̂ ) perturbazione che si muove con
velocita` v=dx/dt
analogamente Ψ(t+x/v) descrive una perturbazione che si muove con velocita` -v
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Onde elettromagnetiche
n Si possono derivare le equazioni delle onde per i campi elettrico e magnetico direttamente dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione delle onde per i potenziali
!!E "µ0!0
#2!E
#t 2= 0 !
!B "µ0!0
#2!B
#t 2= 0
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Onde elettromagnetiche
n Si possono derivare le equazioni delle onde per i campi elettrico e magnetico direttamente dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione delle onde per i potenziali
!!E " 1
c2#2!E
#t 2= 0 !
!B " 1
c2#2!B
#t 2= 0
c = 1µ0!0