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Corrente alternada em Circuitos monofásicos
Forma de onda
◼ A forma de onda de uma grandeza elétrica é representada pelo
respectivo gráfico em função do tempo.
◼ Por exemplo, a tensão u1(t) dada por:
u1(t)=U1.sen(at)
corresponde a uma forma de onda senoidal:
Formas de ondas
◼ Formas de ondas periódicas: são formas de ondas oscilatórias cujos
valores se repetem a intervalos de tempo iguais.
◼ Formas de ondas oscilatórias: são formas de ondas que crescem
e decrescem alternadamente ao longo do tempo de acordo com
alguma lei definida.
Categorias de formas de ondas
(a) oscilatória (a) periódica
Forma de onda alternada
◼ Formas de ondas alternadas: são formas de ondas periódicas cujos
valores médios são nulos.
◼ É possível identificar uma forma de onda alternada através de uma
interpretação intuitiva de valor médio.
Qual seria essa interpretação intuitiva?
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Ciclo: é o conjunto completo de valores instantâneos que se
repetem a intervalos de tempo iguais.
◼ Em linha contínua, é destacado um ciclo da corrente senoidal i(t).
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Período: é o intervalo de tempo T em que ocorre um ciclo.
◼ Frequência: medida em Hertz (Hz), esta grandeza corresponde à
quantidade de ciclos por unidade de tempo, sendo portanto dada
por:
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ A figura abaixo mostra a forma de onda de uma corrente senoidal
expressa pela função:
i(t)=Imax.sen(t) ou i(t)=Imax.sen(wt)
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Tanto faz considerar que o período desta forma de onda é T
segundos ou que o período desta forma de onda é wt = 2 rad.
◼ A grandeza w corresponde à velocidade (ou frequência) angular da
corrente i(t).
Exemplo
◼ No Brasil, a freqüência da tensão senoidal gerada nas usinas
(hidrelétricas ou termelétricas) é 60 Hz.
◼ Calcular o período e a velocidade angular.
◼ Velocidade angular:
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Valor de Pico: é o valor instantâneo máximo que a forma de onda
atinge no ciclo.
◼ Valor de Pico: Ip = Imax
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Ângulo de fase ou simplesmente fase, é um ângulo arbitrário
definido para a forma de onda de modo a estabelecer um
referencial de tempo para a mesma.
◼ Para estas formas de onda:
i(t)= Ip.sen(wt + α) i(t) = Ip .sen(wt - α)
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Nas duas formas de onda, α corresponde ao ângulo de fase e no
instante t = 0 o valor instantâneo da corrente é:
i(0)= Ip.sen(α) i(0) = Ip .sen(-α)
◼ α corresponde ao valor do deslocamento horizontal da onda em
relação à referência “zero”.
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Diferença de fase ou defasagem: É a diferença entre os ângulos de
fases de duas formas de ondas.
◼ Para i1(t)= I1.sen(wt + α) e i2(t)= I2.sen(wt + β) a diferença de fase
φ é dada por: φ = |β – α|
◼ Por que φ é calculado em módulo?. Porque o sinal de φ depende da
referência.
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Na figura qual das formas de onda está adiantada?
◼ Identifica-se os picos das formas de onda mais próximos entre si
(ambos positivos ou negativos).
◼ O ponto que se encontra à esquerda do outro indica que a
respectiva forma de onda está adiantada, que na figura corresponde
ao ponto P2 e portanto i2(t) está adiantada em relação a i1(t) ou
ainda, i1(t) está atrasada em relação a i2(t).
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Vimos que φ é calculado em módulo: φ = |β – α|, e que o sinal de φ
depende da referência
◼ Se i1(t) for a referência, φ é positivo.
◼ Se i2(t) for a referência, φ é negativo.
Exemplo
◼ Analisemos as formas de onda das correntes indicadas neste
circuito:
◼ Quem está adiantada ou atrasada?
Exemplo
◼ Em relação à tensão na fonte:
◼ A corrente no resistor está em fase
◼ A corrente no indutor está atrasada de 900
◼ A corrente no capacitor está adiantada de900
Exemplo
◼ Tomando-se como referência de ângulo de fase, a tensão fornecida
pela fonte:
u(t) = Up . sen(wt)V
iR(t) = IR . sen(wt)A
iL(t) = IL . sen(wt - /2)A
iC(t) = IC . sen(wt + /2)A
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Valor Médio: É definido para uma forma de onda periódica u(t) de
período T como:
◼ A integral desta equação corresponde à área total da forma de onda
em relação ao eixo das abscissas no período.
◼ Interpretação gráfica do valor médio.
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Valor Eficaz: Analisemos a potência absorvida por uma lâmpada
que pode ser conectada a uma:
◼ fonte c.c. (chave ch1) ou
◼ fonte c.a. (chave ch2).
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Com ch1 fechada, circula c.c. de valor Icc pela lâmpada.
◼ A potência absorvida corresponde a:
◼ R é a resistência do filamento da lâmpada.
◼ Tomando como referência um instante de tempo t0, a energia
consumida pela lâmpada em um intervalo de tempo T vale:
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Com ch2 fechada, circula c.a. do tipo:
◼ Neste caso, a potência absorvida é dada pelo produto de uma
tensão por uma corrente variáveis no tempo, sendo, portanto,
também variável no tempo:
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ A energia consumida pela lâmpada em um intervalo de tempo T a
partir de t0 é dada por:
◼ Impondo-se a condição de que a energia consumida pela lâmpada
nos dois casos seja a mesma, tem-se:
◼ Assim, sendo T o período da corrente i(t), o valor eficaz da
corrente alternada i(t):
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Conclusão: Se a corrente fornecida por uma fonte c.c. ( Icc ) for
igual ao valor eficaz (Ief) da corrente alternada i(t), a energia
consumida pela lâmpada é a mesma, tanto em c.a. como em c.c.
◼ O valor eficaz é também conhecido como valor rms (root-mean-
square).
◼ A relação entre o valor de pico e o valor eficaz, para uma onda
alternada senoidal, é:
Valores característicos das formas de ondas periódicas
◼ Valores nominais: Os equipamentos eletro-eletrônicos e
componentes de um circuito elétrico devem ser comercializados
dispondo de informações mínimas com relação aos valores das
respectivas grandezas elétricas.
◼ Exemplo: No caso da lâmpada incandescente, no bulbo devem
estar gravadas a potência e a magnitude da tensão, como por
exemplo, 100 W e 127 V, respectivamente.
Exemplo
Calcular o valor eficaz (rms) da função senoidal i(t)=Imaxsen(wt)
Por definição:rms
T
i2 (t)dt0
1
TI =
Fasores
◼ A resolução de circuitos de corrente alternada no domínio do
tempo, através da manipulação de equações diferenciais pode
apresentar níveis de dificuldade e trabalho bastante elevados.
◼ A resolução e análise de circuitos c.a. através dos conceitos de
fasor e de impedância é vantajosa na maioria das análises por
propiciar uma maneira simples de manipular essas grandezas.
Fasores
◼ Considerando a frequência fixa (como é o caso usual), as
grandezas senoidais podem ser definidas por dois parâmetros
M M – representa o módulo (valor eficaz)
- representa a fase de M, em graus
◼ Em termo fasorial (para tensão e corrente) temos:
Valores Instantâneos
v (t)=Vm sen ( t + )→
i (t)= Im sen ( t +)
V =Vm e I =
Im
2 2
Fasores
V = V
I= I
Fasores
◼ Os fasores também têm representação cartesiana, valendo todas as
relações trigonométricas usuais, por exemplo, para a corrente:
I= (Ix ) + (I )2 2
y
yI = Isen()
I = I = I x + j I y
j = −1
Ix =I cos( )
x
I
−1 I y = tg
Impedância
◼ Em determinada carga/bipolo tem-se:
v (t)=Vm sen ( t + )
i (t)= Im sen ( t +)
◼ Os fasores associados à tensão e à corrente são:
V&=V I&= I
Impedância
◼ Com base na Lei de Ohm, define-se o conceito de impedância de
um bipolo:
I IV&= Z I& V = Z I Z =
V =
V − = Z sendo − =
◼ A unidade da impedância é o Ohm (Ω).
◼ Nota-se que:
o O módulo da impedância (|z|) fornece a relação entre os valores
eficazes de tensão e corrente
o O ângulo da impedância () representa a defasagem entre os fasores da tensão e da corrente.
Impedância
◼ Para o Resistor (R):
◼ Impedância ZR.
Impedância
◼ Para o Indutor (L):
◼ A corrente em um indutor está atrasada de 90o em relação à tensão
( = 90o), e o valor eficaz da corrente em um indutor é dado por:
◼ Impedância ZL.
XL corresponde à reatância indutiva.
Note que a impedância do indutor é um número complexo com
parte real nula.
Impedância
◼ Para o Capacitor (C):
◼ A corrente em um capacitor está adiantada de 90o em relação à
tensão ( = -90o), e o valor eficaz da corrente em um capacitoré
dado por:
◼ Impedância ZC.
XC corresponde à reatânciacapacitiva.
Note que a impedância do capacitor é um número complexo com
parte real nula.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Conceitos básicos.
◼ Nos terminais da fonte tem-se uma
tensão senoidal expressa por:
◼ A impedância Z pode ser expressa por:
◼ Nesse caso, a corrente em regime permanente corresponde a:
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Potência instantânea fornecida pela fonte:
◼ Substituindo u(t) e i(t) tem-se:
◼ Através de algumas relações trigonométricas, obtém-se:
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ O Termo A tem uma componente constante:
◼ e uma componente “cossenoidal” cuja frequência é o dobro da
frequência da tensão:
◼ O Termo B é “senoidal” com frequência dupla:
Potência em circuitos de corrente alternada◼ Exemplo:
As expressões para a tensão, corrente e potência são:
VA
OBS.: Fatores de multiplicação foram utilizados para tornar adequada a visualização.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Valor médio da potência fornecida à carga:
◼ Genericamente:
◼ Unidade de Pm Watt (W)
◼ Conclusão: A potência média corresponde à componente constante
do termo A:
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Impedância Resistiva:
◼ Se a impedância Z corresponde a
uma carga puramente resistiva:
◼ A expressão da potência instantânea:
◼ reduz-se a:
◼ verifica-se que o termo B é igual a zero.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ A figura abaixo mostra as formas de onda de tensão, corrente e
potência instantânea para uma impedância resistiva.
◼ Pode-se obter facilmente o valor médio da potência fornecida pela
fonte através da expressão:
◼ Sendo = 0o (impedância resistiva), a potência média corresponde
a Pm =Uef .Ief
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Impedância Indutiva:
◼ Se a impedância Z corresponde a
uma carga puramente indutiva:
◼ A expressão da potência instantânea:
◼ reduz-se a:
◼ Verifica-se que o termo A é igual a zero e que o valor médio da
potência também é igual a zero.
Potência em circuitos de corrente alternada◼ A figura abaixo mostra as formas de onda de tensão, corrente e
potência instantânea para uma impedância indutiva.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ No intervalo de tempo em que a potência assume valores positivos
o indutor recebe energia da fonte. No intervalo de tempo seguinte,
em que a potência assume valores negativos, o indutor fornece
energia à fonte.
◼ O indutor é um elemento armazenador de energia, no sentido de
que a energia armazenada durante um período de tempo é
totalmente devolvida à fonte no período de tempo seguinte.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Impedância capacitiva:
◼ Se a impedância Z corresponde a
uma carga puramente capacitiva:
◼ A expressão da potência instantânea:
◼ reduz-se a:
◼ Da mesma forma que no caso indutivo, também são iguais a zero,
o termo A da equação e o valor médio da potência instantânea.
Potência em circuitos de corrente alternada◼ A figura abaixo mostra as formas de onda de tensão, corrente e
potência instantânea para uma impedância capacitva.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ No intervalo de tempo em que a potência assume valores positivos
o capacitor recebe energia da fonte. No intervalo de tempo
seguinte, em que a potência assume valores negativos, o capacitor
fornece energia à fonte.
◼ O capacitor também é um elemento armazenador de energia, no
sentido de que a energia armazenada durante um período de tempo
é totalmente devolvida à fonte no período de tempo seguinte.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Comportamento elétrico do capacitor e do indutor sob o ponto de
vista da energia armazenada.
capacitorindutor
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Impedância RLC.
◼ Se a impedância Z corresponde a
um RLC série com as formas de
onda indicadas abaixo.
◼ Carga RLC com comportamento
capacitivo.
Potência em circuitos de corrente alternada
A potência assume
valores positivos e
negativos ao longo
do tempo e o valor
médio da potência
fornecida é dado
por:
◼ Comparando-se a área sob a parte positiva da curva p(t) com a área
contida na parte negativa, conclui-se que a energia fornecida pela
fonte é maior do que a energia que lhe é devolvida, indicando que
ao longo do tempo há uma energia líquida que é consumida pela
carga, devido à existência de bipolos resistivos na composição da
carga.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Definições:
◼ Retomando a expressão da potência instantânea:
◼ O termo A, representado por pA(t), é denominado potência ativa
instantânea.
◼ O termo B, representado por pR(t), é denominado potência
reativa instantânea.
◼ Valores médios de pA(t) e pR(t):
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Simplificando, define-se:
◼ como a potência ativa, que corresponde ao valor médio de pA(t) e
de p(t).
◼ Define-se
como a potência reativa, que corresponde ao valor de pico de pR(t).
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Retomando os fasores associados à tensão e à corrente:
◼ define-se o número complexo S (potência complexa) como:
◼ Retomando as expressões definidas para a P e para a Q:
◼ a expressão para a potência complexa resulta:
◼ |S| é denominado potência aparente.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ A potência aparente é a grandeza utilizada no dimensionamento de
instalações elétricas industriais e de equipamentos em geral
(transformadores, motores, etc.).
◼ A potência ativa é associada à energia que, ou nos circuitos ou nos
equipamentos, é convertida em outras formas: mecânica, térmica,
acústica, etc.
◼ A potência reativa é associada à energia necessária para formar os
campos elétricos e/ou magnéticos necessários em determinados
equipamentos, como por exemplo, nos motores.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Unidades:
◼ Potência complexa (S)
◼ Potência Aparente (|S|)
Volt-Ampère (VA)
kilo-volt-ampère (kVA)
Mega-volt-ampère (MVA)
◼ Potência Reativa (Q)
Volt-Ampère reativo (VAr)
kilo-volt-ampère reativo (kVAr)
Mega-volt-ampère reativo (MVAr)
◼ Potência Ativa (P):
Watt (W)
kilo-Watt (kW)
Mega-Watt (MW)
Fator de potência
◼ Potência complexa:
◼ Potência ativa:
Fator de potência◼ Potência complexa:
◼ Potência ativa:
◼ O cos() pode ser interpretado como um fator que define a parcela
da potência aparente que é dissipada nos elementos resistivos do
circuito. Este fator é denominado de fator de potência.
◼ Da definição de potência ativa, tem-se:
O fator de potência é o cosseno do ângulo de defasagem entre a
tensão e a corrente do circuito.
Fator de potência - Convenção
Para tornar explícita a diferença entre as características das cargas,
diz-se que:
1. para uma carga indutiva, o fator de potência é indutivo ou
atrasado, indicando que a corrente está atrasada em relação à
tensão.
2. Para a carga capacitiva, o fator de potência é capacitivo ou
adiantado, indicando que a corrente está adiantada em relação à
tensão.
Potência em circuitos de corrente alternada
Potência em circuitos de corrente alternada
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ A Potência Ativa (W) representa a porção líquida do copo, ou seja,
a parte que realmente será utilizada para matar a sede.
◼ Como na vida nem tudo é perfeito, junto vem uma parte de
espuma, representada pela Potência Reativa (VAr).
◼ Essa espuma está ocupando lugar no copo, porém não é utilizada
para matar a sede.
◼ O conteúdo total do copo representa a Potência Aparente(VA).
◼ A analogia da cerveja pode ser utilizada para tirarmos algumas
conclusões iniciais:
◼Quanto menos espuma tiver no copo, haverá mais cerveja.
◼Da mesma maneira, quanto menos Potência Reativa for
consumida, maior será o Fator de Potência.
◼ Se um sistema não consome Potência Reativa, possui um Fator
de Potência unitário, ou seja, toda a potência drenada da fonte
(rede elétrica) é convertida em trabalho.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Resumindo:
◼A AMBEV é uma usina;
◼O caminhão é uma linha de transmissão;
◼O boteco é uma Subestação;
◼A chopeira é um Transformador;
◼O garçom é uma linha de distribuição;
◼Você é o consumidor;
◼ Seu pai e sua mãe são a ANEEL: “a AgênciaReguladora”
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Exemplo: Um circuito RL série é composto por um resistor de 10
Ω e um indutor de 1 / 37,7 H e está conectado a uma fonte de
tensão alternada, 60 Hz:
Obter:
a) a corrente i(t) fornecida pela fonte;
b) a potência p(t) na carga;
c) as potências complexa, ativa e reativa;
d) o triângulo de potências.
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Note que o ângulo de 45o da impedância total da carga, também é o
ângulo da defasagem entre a corrente e a tensão na fonte.
VAr
Potência em circuitos de corrente alternada
Potência em circuitos de corrente alternada◼ Exemplo: Repetir o exemplo anterior acrescentando um capacitor
de 1 / 7540 F em série com a carga RL.
◼ A potência reativa resultou em um valor negativo. Porquê?
VAr
Potência em circuitos de corrente alternada
Potência em circuitos de corrente alternada
◼ Convenção:
Fluxos das potências ativa e reativa