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Excelencia Acadmica I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma
III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE COMPENDIO ACADMICO
170
Nace en Polonia, BenoitMandelbrot.
1.ergobierno de Alberto Fujimori.
1982
1924
1986
1968
1985
1.ergobierno de AlanGarca Prez.
Recibe la Medallanevada
Matanza de terroristas de SanJuan de Lurigancho y el Frontn.
Publica en Science Cunto mide la costa
de Gran Bretaa?, donde expone sus ideastempranas sobre los fractales.
Public su libro FractalGeometry of Nature.
Recibe el premio BarnardMedal for Meritorious Service
to Science.
Recibe el premio AlexanderVon Humboldt.
2.ogobierno de FernandoBelande Terry.
1.ergobierno de Fernando
Belande Terry.
Es presidente del PerAugusto B. Legua.
1987
1991
Lnea de Tiempo:Benoit B. Mandelbort
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I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma Excelencia Acadmica
COMPENDIO ACADMICO III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE
171
Observacin
Relaciones Mtricas
en los TringulosRectngulos
Proyeccin Ortogonal La proyeccin ortogonal de un puntoviene a ser el pie de la perpendicular
trazada por dicho punto a la recta.
P
P A B C D L
A
B D
C
Observacin
AH : Proyeccin ortogonalde AB sobre AC.
A
B
CH
A
B CH
a2+b2=c2
Teorema II:
a . b=h . c
Teorema III:
h2=n . m
Teorema IV:
a2= c.mb2= c.n
Teorema I:
Teorema V:
1h2 =
1a2 +
1b2
BA
C
n mc
b
a
h
Objetivos
1) Conocer las principalesrelaciones entre las longitudesde un tringulo.
2) Conocer las diferentes manerasde medir las longitudes de lasproyecciones de segmentos.
: Proyeccin ortogonal deCD sobre L.
CD
: Proyeccin ortogonal deAB sobre L.AB
: Eje de proyeccin.L
: ProyectantePP
PROPIEDADES
Naci en 1596, en el seno de una familia noble y acomodada. Se educ desde 1604
hasta 1612 en el colegio de los jesutas de la Flche. En 1617 se alist como voluntarioen el ejrcito de Mauricio de Nassau, en 1619 en el del elector de Baviera y en 1621 en
el del conde de Bucquoy. Su moderada fortuna le permiti dedicar su vida al estudio, a
la ciencia y a la filosofa. De 1628 a 1649 permaneci en Holanda. Este ao se traslad
a Estocolmo, donde muri al ao siguiente. Descartes aplica los mtodos algebraicos al
estudio de las curvas; llegando a establecer la ecuacin de una curva y distinguiendo
curvas geomtricas y curvas mecnicas. Estudi slo las primeras, aqullas en las que
las dos coordenadas, x e y, estn enlazadas por una ecuacin algebraica.
Ren Descartes
Nota
x2= (AH) (HB)
Bd H
x
P
R
A
= 2 Rr
x2= m . d
BO
x
dmA
BH : Proyeccin ortogonal deAB sobre BC.
R r
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Excelencia Acadmica I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma
III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE COMPENDIO ACADMICO
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Nivel I
1) Calcula x.
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
1) Calcula a.
a
4 12
Resolucin:
Aplicando el teorema I de R.M. :a2=4(16) a=8
2)
Calcula h.
h
818
Resolucin:
Por el teorema IV de R.M. :h2=18(8)
h=12
3) Calcula h.
Resolucin:
La hipotenusa AC=25(tringulonotable de 37 y 53) por el teorema
III de R.M. :15.20=h.25
12=h
h
A C
B
15 20
4) Calcula x.
Resolucin:
Por el Teorema de Pitgoras:(x-2)2+(x-9)2=x2
x2-22x+85=0x -17 x=17x -5 x=5(No cumple)
x-9x-2
x
Demostracin:
h
n mH
qA C
B
a
aqh2=m.n
x
9 16
2) Calcula h.
a) 20 b) 18 c) 16d) 19 e) 13
h
12 27
3) Calcula x.
a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8
x
9
7
4) Calcula x.
a) 20 b) 10 c) 12d) 13 e) 15
x
x-8 x-1
5) Calcula x.
a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24
x
8
12
6) Calcula x.
a) 30 b) 21 c) 25d) 23 e) 24
5
29
x7
7) Calcula h.
a) 4,67 b) 5,18 c) 6,72d) 3,28 e) 6,12
8) En la figura se pide la proyeccinde AB sobre la recta L.
a) 12 b) 10 c) 15d) 16 e) 17
h
25
24
(Teorema IV)
I) m C=m ABH ; m A=m HBC.II) AHB BHC (Semejantes)
= n.m=h.h
h2=n.m
nh
hm
AB17
10 18
L
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I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma Excelencia Acadmica
COMPENDIO ACADMICO III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE
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9) Calcula el radio x de lacircunferencia si O es centroy T es punto de tangencia.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
A B
O
T8 2
x
10) Calcula x si ABCD e s u nrectngulo.
a) 9 b) 4 c) 5d) 10 e) 6
11) Calcula x.
a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
24
x15
20
4,5 8
x
A
B C
D
12) Calcula x si P y Q son puntosde tangencia y O es centro de lasemicircunferencia.
a) 5,1 b) 5,3 c) 6,4d) 6,8 e) 10,3
x
10
P
6
O Q
13) Calcula x si O y O1son centrosde las circunferencias y T espunto de tangencia.
a) 5 b) 5,6 c) 6d) 6,3 e) 7
O
5O1
x
T9
14) Calcula x.
a) 2 b) 3 c) 2,4d) 3,6 e) 5
x3
94
15) La suma de los cuadradosde los lados de un tringulorectngulo es 200 m2. Calcula
la hipotenusa.
a) 5 m b) 10 m c) 10 2md) 10 3me) 5 2m
16) Calcula a.
a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 13
a
716
17) Calcula x.
a) 8 b) 10 c) 9d) 6 e) 5
Nivel II
6
4x
18) Calcula h.
a) 4 b) 6 c) 7,2
d) 5,4 e) 4,8
12h9
19) Calcula x+y.
a) 20 b) 18 c) 21d) 24 e) 25
12
h
8
y
1
x
20) Calcula x si AC=8 y AO=10,adems O es centro y C y B sonpuntos de tangencia.
a) 6 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
O
x
AB
C
21) Halla h en la figura mostrada.
a) 8 b) 12 c) 18d) 6 e) 10
h
8 18
B
A CH
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22) Calcula n, segn el grfico.
a) 8 b) 16 c) 6d) 10 e) 12
8
n 4
B
23) Halla m.
a) 10 b) 8 c) 12d) 5 3 e) 10 2
24) Calcula a.
a) 6 b) 2 10 c) 5d) 9 e) 8
12 a
4 10
25) Calcula x.
a) 160 b) 150 c) 140d) 164 e) 148
96
x
128
26) Calcula a.
a) 100 b) 120 c) 144d) 132 e) 112
312
288a
27) Calcula h en la figura mostrada.
a) 2 b) 1 c) 2,5d) 1,5 e) 2,4
m
5 10
4h
3
28) Halla h, segn el grfico.
a) 60/13 b) 4 c) 3d) 4 2 e) 3 2
12h
5
29) Calcula d si las circunferenciasson tangentes exteriores.
a) 35 b) 40 c) 41d) 38 e) 37
Nivel III
31) Los lados de un tringulomiden 6,7 y 8. Cunto se ledebe disminuir a cada ladopara que resulte un tringulorectngulo?
a) 1 b) 2 c) 1,5d) 3 e) 4
30) Halla r, en la figura mostrada.
a) 4,5 b) 4 c) 3 3d) 3 e) 3 2
2 4
x
32) Ca l cu l a x , en l a f i gu r amostrada.
a) 2 3 b) 2 c) (4 3)/3d) 5 3 e) 3
8 18
h
33) Halla h, segn el grficomostrado.
a) 3 13 b) 9 c) 8d) e) 9 236 13
13
34) Calculaa, en la figura mostrada.
a) 60 b) 37 c) 53d) 45 e) 30
a 3a
a
35) En la figura mostrada, calcula PQsi P y Q son puntos de tangencia.
a) 8 b) 6 c) 10d) 6 3 e) 5 2
4
P10
Q
r
18
3r
16
d
25
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36) Halla AB, si A y B son puntosde tangencia.
a) 25 b) 30 2 c) 24 2d) 20 e) 24
37) Halla h si O es centro.
a) 3 2 b) 4 c) 5d) 4 2 e) 3 3
O
h6
3
38) Halla R si O es centro.
a) 16 b) 24 c) 15d) 20 e) 13
39) Halla PH si BH=4, HC=16 yCD=11.
a) 1 b) 2 c) 5,5d) 3 e) 4
25
A
18
B
O
12R
8
HB C
A D
P
40) Calcula R si AP=1 y BQ=8.
a) 12 b) 13 c) 15d) 20 e) 10
O B
Q
P
A
R
R
41) Halla BQ si AQ=18 y PQ=16.
a) 9 b) 10 c) 12d) 16 e) 13
Q
A C
B
Paa
m nA C
B
h
42) Halla h, en la figura.
a) m d) n
b) e)
c)
n(n+m)2
m-n2
m-n2
m(m-n)2
n(m-n)2
43) Calcula AB/AD si EC/AE=7/5.
a) 2 5/3 d) 2 15/3b) 2 15/5 e) 2 3/5c) 2 5
A C
B
H E
D
44) Calcula BC si AB=PQ=8u.
a) 10 b) 16 c) 8 3d) 12 3 e) 12
A
B C
DP
Q
D
A C
B
E
F
46) Segn el grfico, halla la longituddel radio de la semicircunferenciamenor si OB=R.
a) R b) R/2 c) R/3d) R/4 e) R/5
47) En la siguiente figura, ABCD esun cuadrado. Halla x.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
A
B C
D
x+3x+5 x
A C
B
H
E F
P
2
3
6x
5
4
BO
A
T
B
A
CO
50) En el grfico, AB=6 y BC=10.Calcula la distancia de O a AC.
a) 31 b) 21 c) 33d) 39 e) 41
45) En la figura, si AF=1 y DC=8,calcula AC.
a) 5 5 b) 6 5 c) 7 5d) 8 5 e) 9 5
48) En la figura, P es un puntointerior cualquiera del tringuloABC. Halla x.
a) 2 2 b) 3 c) 6d) 22 e) 3 2
49) En un tringulo ABC, se traza laaltura BH. Si (AB)2-(BC)2=10,
calcula (AH)2-(HC)2.
a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20
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Relaciones Mtricas
en los TringulosOblicungulos
Teorema de Euclides
Objetivos
1) Reconocer en qu tipo deproblema se aplica el teoremade Euclides o Hern.
2) El alumno debe lograr rapidezen la resolucin de losproblemas.
Matemtico griego. Poco seconoce a ciencia cierta de lavida de quien fue el matemticoms famoso de la antigedad.Euclides se educ probablementeen Atenas, lo que explicarasu buen conocimiento de la
geometra elaborada en la escuelade Platn, aunque no pareceque estuviera familiarizadocon las obras de Aristteles.Ense en Alejandra, dondealcanz un gran prestigio enel ejercicio de su magisteriodurante el reinado de TolomeoI Soter; se cuenta que ste lorequiri para que le mostrara unprocedimiento abreviado paraacceder al conocimiento de lasmatemticas, a lo que Euclidesrepuso que no exista una varegia para llegar a la geometra.
Euclides
PRIMER CASO:
SEGUNDO CASO:
a2= b2+ c2+ 2bm
a2+ c2= 2m2+ b2/2
CA
B
n Hb
a
c a
ac
CA
B
aH
m b
CA
B
c a
bb/2 b/2
M
m
Si: BM : mediana
CA
B
c a
H
h
b
ac
CA
B
H
h
b
Si: a< 90 yAH: Proyeccin de AB sobre AC
a2= b2+ c2-2bn
Si: a> 90 yAH: Proyeccin de AB sobre AC
Teorema de la mediana
Teorema de Hern
Si BH: altura relativa al lado ACy p = ; semipermetro de
la regin triangular ABC.
a+b+c
2
h = p(p-a)(p-b)(p-c)2b
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Nivel I
1) Calcula n en la figura mostrada.
a) 2 b) 4 c) 5/2d) 3 e) 3/2
Caso (I)
Demostracin
2) Halla m segn el grfico.
a) 10/3 b) 8 c) 88/9d) 6 e) 90/13
3) Halla x en el grfico mostrado.
a) 5,8 b) 3,8 c) 4,5d) 6 e) 5
Teorema de la BisectrizInterior
c
m n
B
A C
axq
q
x2= a . c -m . n
Teorema de la BisectrizExterior
x2= m . n -c . a
c
n m
B
A C
F
a
Teorema de Euclides
1410
h
12
B
A C
76 h
9
B
A CM
n
108
9
m
127
9
x
158
8
10
4) Calcula a.
a) 4 b) 3,8 c) 4,2d) 4,5 e) 5
5) Halla h con los datos mostrados.
a) 110 b) 110 c) 110
d) 110 e) 110
45
23
56
59
49
7) Los dados de un tringulo ABCmiden AB = 13 u, BC = 15 u,AC = 14 u. Calcula la longitudde la altura relativa al lado quemide 14 u.
a) 8 u b) 9 u c) 10 ud) 12 u e) 5 3 u
8) Del problema anterior, calcula lamedida del ngulo ACB.
a) 37 b) 45 c) 30d) 53 e) 60
9) En la figura, calcula la medida BM.AB = 8u, BC = 12 u , AC = 14u.
a) 3 3 u b) 5 5 u c) 55 ud) 2 14 u e) 65 u
a
12
5
9
I) BHC: CH Teorema de Pitgoras
h2+n2=a2 ... 1
II) CHA: HA=c-n Teorema de Pitgoras h2+(c-n)2=b2 ... 2
1 - 2
n2-(c-n)2=a2-b2(n-c+n) (n+c-n)=a2-b2
(2n-c)c=a2-b2 2nc-c2=a2-b2 b2=a2+c2-2nc
b2=c2+a2-2cn
a
c-n
C
B A
bh
q
Hnc
q
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III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE COMPENDIO ACADMICO
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Nivel II
Q
M
P R
11) Los lados de un tringulomiden 9u, 10u y 11u. Calcula la
proyeccin del lado menor sobreel lado mayor.
a) 51/11u b) 4u c) 5ud) 9/2 u e) 53/11u
12) Los lados de un tringulo miden12u, 13u y 15u. Calcula laproyeccin del lado mayor sobreel lado menor.
a) 25/4 u b) 6 u c) 25/3 ud) 9 u e) N.A.
13) Los lados de un tringulomiden 4u, 9u y 6u. Calcula laproyeccin del lado menor sobreel lado intermedio.
a) 2 u d) -29/12 ub) -2 u e) 3 uc) 29/12u
P
B
R
A
r
Q
B
MC
D
A
14) Los lados de un tringulomiden 4, 10 y 8cm. Calcula laproyeccin del lado intermediosobre el lado menor.
a) 4cm b) -5/2cm c) -4cmd) 5/2cm e) 3cm
15) Calcula la mayor altura de untringulo cuyos lados miden 10,
12 y 14u.a) 6 u b) 4 6 u c) 9 u
d) 8 u e) 6 u
247
245
16) Calcula la menor altura de untringulo cuyos lados miden 8,13 y 11u.
a) 30 u d) 30 u
b) 3 30u e) 6 30u
c) 5u
1613
125
17) Los lados de un tringulo miden7, 9 y 14u. Calcula la longitud de
la menor mediana.
a) 3 u b) 4,5 u c) 4 ud) 7,2 u e) 5 u
18) Los lados de un tringulo miden6, 8 y 7cm. Calcula la longitudde la mayor mediana.
a) 4 3 cm d) cm
b) 3 5 cm e) 4 6 cm
c) cm
953
952
19) Halla a.
a) 60 b) 30 c) 45d) 53 e) 37
28
4
39
10
a
20) Halla q.
a) 30 b) 37 c) 53d) 60 e) 45
6
10
q134
21) Calcula el lado del rombo ABCDsi AM=6, DM = 8, BM = MC.
a) 5 b) 2 5 c) 2 15d) 15 e) 2 10
22) Halla PQ si AB = 21, R = 17y r = 10.
a) 8 b) 16 c) 9d) 18 e) 12
23) Calcula uno de los ngulosinteriores de un tringulo ABC,donde a2= b2+ c2+ bc 2.
a) 120 b) 135 c) 60d) 45 e) 137
24) Las bases de un trapecio miden4 y 18 cm y los lados lateralesmiden 13 y 15cm. Calcula laaltura del trapecio.
a) 12 cm b) 13 cm c) 10 cmd) 9 cm e) 8 cm
25) En un trapecio, las bases miden4 y 16u y los lados no paralelosmiden 10 y 14u. Calcula lalongitud del segmento que unelos puntos medios de las bases.
a) 4 11u b) 3 6u c) 4 7ud) 4 13u e) 3 13u
10) En el grfico mostrado, calculala longitud de la mediana RM.
QR = 10uPR =13u
PQ = 6u
a) 134 u b) 11 u c) 12 ud) 125 u e) u251
2
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I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma Excelencia Acadmica
COMPENDIO ACADMICO III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE
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Nivel III
26) Los lados de un tringulo miden6cm, 8cm y 12cm. Halla lamedida de la proyeccin delmenor lado sobre el mayor.
a) 12/5cm b) 13/7cmc) 29/6cmd) 31/3cme) N.A.
27) Los lados de un tringulo miden4cm, 6cm y 9cm, entonces eltringulo es:
a) Acutngulob) Obtusnguloc) Rectngulo
d) No se puede sabere) F.D.
28) En un tringulo se sabe que suslados miden 5u, 7u y 9u. Hallala medida de la altura relativa allado intermedio.
a) 0,5 u b) 1 u c) 1,5 ud) 2 u e) N.A.
29) Los lados de un tringulomiden 13m, 14m y 15m. Hallala medida de la altura relativaal lado intermedio.
a) 9m b) 10 m c) 11 md) 12 m e) 14 m
30) Los lados de un tringulo miden
10u, 12u y 8u. Halla la medidade la mediana relativa al ladointermedio.
a) 79 u b) 83 u c) 2 7 ud) 8 u e) 6 2 u
31) Las medianas de un tringuloABC, son AP=6u; BM=12u yCN=9u. Halla AC.
a) 20 u b) 2 10 u c) 13 ud) 2 7 u e) N.A.
33) En un tringulo ABC:AB=c; BC=a y AC=bSi: a2=b2+c2-bc 2,halla la mBC.
a) 30 b) 45 c) 60
d) 75 e) 120
32) Se tiene un trapecio ABCD.(BC//AD). SiAB=13m; CD=15m yAD-BC=14 m,halla la altura del trapecio.
a) 9 m b) 12 m c) 3 7 md) 4 5 m e) N.A.
34) En un tringulo ABC:AB=c; BC=a y AC=bSi: a2=b2+c2-bc,halla la mBC.
a) 30 b) 45 c) 60d) 75 e) 120
A C
B
H M
P
35) En el grfico, halla (BC2-AB2) siAP=4 cm y AM=MC= 6 cm.
a) 4 cm b) 4 7 cm c) 11 cmd) 80 cm e) N.A.
37) Calcula la menor altura de untringulo cuyos lados miden 5u;7 u y 8u.
a) 3 b) 2 3 c) 4 3d) 5 e) 6
39) En un tringulo ABC: AB= 13dm; BC= 15 dm, y AC= 14 dm.Tomando como dimetro AC,se traza una semicircunferenciaque interseca a la altura BH enP.Halla PH.
a) 2 5dm b) 3 5dm c) 4 7dmd) 8 5dm e) N.A.
40) Los lados de un tringulo miden10 cm, 12 cm y 14 cm. Halla lamedida de la menor mediana.
a) 11cm b) 73cm c) 2 11cmd) 3 13cm e) N.A.
41) Los lados de un tringulo midenAB= 4m; BC= 6m y AC= 5m.
Halla la proyeccin del menor
lado sobre el mayor.
a) 2,25 m b) 0,75 m c) 1 md) 1,25 m e) 1,5 m
42) Los lados de un tringulo
miden 4u, 7u y 9u, entonces eltringulo es:
a) Acutngulob) Obtusnguloc) Rectngulod) No se puede sabere) N.A.
36) En un trapecio ABCD(BC//AD)AB= 6 dm; CD=8 dm y AD-BC=
8 dm. Halla la medida del segmento
que une los puntos medios de las
bases BC y AD.
a)17 dm b) 34 dm c) 7 5 dmd) 5 3 dme) 7 7 dm
38) Calcula la mayor altura de untringulo cuyos lados miden 5u,..6u y 7u.
a) u b) u c) u
d) u e) u
237 267 3271305
307
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43) Los lados de un tringulomiden 7m, 8m y 11m. Halla laproyeccin del menor lado sobreel intermedio.
a) 0,5 m b) 0,75 m c) 1,25 md) 1,50 m e) 2 m
44) Halla la medida de la menormediana de un tringulo cuyoslados miden 8u, 12u y 10u.
a) 17 u b) 2 13 u c) 23 ud) 46 u e) N.A.
45) Si los lados de un tringulomiden 8cm; 12cm y 6cm, calculala medida de la altura relativa almenor lado.
a) 455cm d) 721cm
b) 113 cm e) 271cm
c) N.A.
13
1214
46) En un tringulo ABC; AB=c;BC=a y AC=b.
Si se cumple: a2b2+c2+bc 2.Halla la mBC.
a) 45 b) 30 c) 75d) 105 e) 135
47) Las bases de un trapecio miden
8 cm y 22 cm; los lados noparalelos miden 13 cm y 15 cm.Halla la medida de la altura deltrapecio.
a) 9 cm b) 10 cm c) 12 cmd) 14 cm e) 23 cm
48) En un tringulo ABC, se trazanlas medianas AN, BM y CP.
Si: AN= 9cm; BM= 6cm y CP=12 cm, halla AC.
a) 21 cm d) 2 21 cmb) 3 17 cm e) N.A.c) 2 46 cm
49) En un trapecio, se sabe que lasbases se diferencian en 12 cm ylos lados no paralelos miden 8cm y 12 cm. Calcula la medidadel segmento que une los puntosmedios de las bases.
a) 2 17 b) 13 c) 2 13d) 15 e) N.A.
50) Los lados de un tringulo miden10 cm; 12 cm y 8 cm. Halla lamedida de la mayor mediana.
a) 101cm d) 3 17cmb) 106 cm e) N.A.c) 2 29 cm
Ingeniero griego, destac en Alejandra, posiblemente en elsiglo primero, despus de la decadencia del Imperio Alejandrinoy de la ciencia griega; mostr algunos destellos de genialidad,que despleg en una actitud casi moderna para la mecnica,descubriendo de forma arcaica la ley de accin y reaccin,mediante experimentos con vapor de agua. Describi un grannmero de mquinas sencillas y generaliz el principio de la
palanca de Arqumedes.En matemticas pas a la historia sobre todo por la frmula quelleva su nombre y que permite calcular el rea de un tringuloconociendo sus tres lados, aparecida por primera vez en suobra La Mtrica.
Hern de Alejandra(10 d.C - 70 d.C)
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Teorema de las Cuerdas
Objetivos
1) Conocer las relaciones entrelongitudes de lneas asociadasa la circunferencia.
2) Reconocer el desarrollo decada uno de los teoremas encada problema.
Relaciones Mtricas
en la Circunferencia yPolgonos Regulares
a . b = m . n
Si AB y CD son cuerdas,se cumple:
Calcula n + 1.
a n
bm O
A
C
D
B
3
n5
n+2
Por el teorema de las cuerdas:
Si PAB y PCD son rectas secantesa la circunferencia:
Por el teorema de las secantes:
A
C
D
B
b
nP
m
a
(n+2)(n) = (5)(3)n2+ 2n = 15n2+ 2n -15 = 0(n + 5) (n -3) = 0n + 5 = 0 n = -5 (F) n - 3 = 0 n = 3 (V) n + 1 = 4
Calcula AC si MC = 2 AR = 8 PR = 5
R
P
M
C
A
x (x-2) = 8(3)x = 6
Calcula m (T: punto de tangencia)
A
B
C
Tm-1
5
4
A
B
T a
n
m
P
Por el teorema de la tangente y la secante: (m-1)2= 9.4 (m-1)2= 36 m -1 = 6 m = 7
Ejemplo:
Resolucin:
Teorema de las Secantes
a . b = m . n
Ejemplo:
Resolucin:
A
C
5 P
R8
3
xM
2
(x-2)
Teorema de la Tangentey la Secante
a2 = m . n
Ejemplo:
Resolucin:
Si PT es recta tangentey PAB es recta secante.
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1. Polgonos Regulares
2. Polgonos Regulares Notables
TRINGULO EQUILTERO
CUADRADO
B
O
A
4
D Q C
R
mAC : Arco = 120
AB : Lado = R 3= 3
OQ : Apotema = R2
mAD : Arco = 90
BC : Lado = R 2= 4OQ : Apotema = R 2
2
R
O
B
3
A Q C
ap3
Clculodelosnguloscentrales,ladosyapotemasenfuncindelcircunradiodelospolgonosregulares
3 4 5 6
6=
R
8 10
12
ap3=
R2
LADODELPOLGONOREGULAR
(n
)
APOTEMADELPOLGONO
REGULAR
(apn
)
NDELADO
S
NGULOCENTRAL
(acn
)
TringuloEquiltero
Cuadrado
PentgonoRegular
HexgonoRegular
OctgonoRegular
DecgonoRegular
DodecgonoRegular
120
90
72
60
45
36
30
3=
R
3
4=
R
2
5=
10-2
5
R2
8=
R
2-2
10=
R2(
5-1)
12=
R
2-
3
ap4=
2
R2
ap5=
5+
1
R4
ap6=
3
R2
ap8=
2+
2
R2
ap10=
10+2
5
R2
ap12=
2+
3
R2
NOMBRE
A1
Ln
apn
q
A2 A3
A4
Rr
An
Ln
Ln
Ln
O
Elementos:
* Vrtices: A1, A2, A3, ..., An* Lados: A
1A
2, A
2A
3, ..., A
nA
1
* r: Inradio* R: Circunradio* ap
n: Apotema
* Tringulo OA3A4
ap4
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183
Nivel I
1) En la figura, halla PB si AP =PB, PC = 18, DP = 8.
a) 8 b) 10 c) 18d) 12 e) 16
HEXGONO REGULAR
mAB : Arco = 60
BC : lado = R= 6OQ : apotema = R 3
2
C
OA
6
FQ
E
R
D
B
ap6
OCTGONO REGULAR
C
A E
R
DBap8
H F
G
8
O
mAB =45
DE = R 2- 2
ap8= 2+ 2R2
BA
D
C
P
A
P
B
C
E
D
C B
A
2) Halla AB si CQ = 10u, DQ =6u y AQ = 5u.
a) 17 u b) 12 u c) 10 ud) 18 u e) 15 u
3) Calcula BC si AB = 10 yBC = CD.
a) 4 2 b) 10 c) 8d) 5 2 e) 5
4) Halla AP si AB = 4cm yBC = 12 cm.
a) 8cm b) 4 3cm c) 6cmd) 3 3cm e) 6 2cm
5) En la figura, AB = 9 cm, AD =8cm y BC = 7cm. Halla ED.
a) 8 cm b) 9 cm c) 6 cmd) 7 cm e) 10 cm
QR
D
P
E
6) Halla PQ en el grfico mostrado.
PR = RQ PD =4 cm
DE =8 cm
a) 6cm b) 5cm c) 8cmd) 4 6cm e) 6 2cm
B
A
D
C
Q
A
D
C
B
7) Se tiene dos circunferenciass e c a n t e s e n P Q , e n l aprolongacin de PQ se toma elpunto T y se traza las tangentes
TA y TC a cada circunferencia.Si: TA=2 2 u, halla TC.
a) 2 u b) 2 2 u c) 1 ud) 1,5 u e) N.A.
8) El dimetro de una circunferenciamide 13 cm y divide a una cuerdade 5 cm en partes iguales, hallael menor segmento determinadoen el dimetro.
a) 2 cm b) 1,5 cm c) 1 cmd) 0,5 cm e) N.A.
9) En el grfic o si AT=3m yCI=4m, halla TC.
a) 1,5 m b) 2 m c) 2,5 md) 3 m e) N.A.
MC
TA
NI
10) S e t i e n e u n t r i n g u l oequiltero ABC inscrito en unacircunferencia, en el arco BCse toma un punto T. Tal queSi BT+TC=4 2 u. Halla AT.
a) 3 u b) 4 u c) 4 2 ud) 6 u e) N.A.
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Nivel II11) Desde un punto I a unacircunferencia exterior , se trazalas secantes ILD y IHC; en laprolongacin de IC se toma elpunto A y se traza la tangenteAT. Si IL=3u ; LD=CA=5u yIH=4u, halla AT.
a) 35 u b) 3 3 u c) 7 2 ud) 4 u e) N.A.
12) Se tiene una semicircunferenciade dimetro AB y centro O,se traza otra semicircunferenciainterior con dimetro AO.
Desde B se traza la tangenteBT a la menor. Si AB=6 2 m,halla TB.
a) 6 m b) 30 m c) 18 md) 24 m e) 3 6 m
13) En un cuadrado ABCD, se uneB con M punto medio de CD,intersecando a la circunferenciainscrita en P. Halla BP si el
radio de la circunferencia mide10 cm.
a) 2cm b) 2 5cm c) 3 3cmd) 5cm e) N.A.
15) En una circunferencia de15m de radio, dos cuerdas seintersecan dando por productode sus segmentos 200 m 2
respectivamente. Encuentra
la distancia del punto deinterseccin al centro.
a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) 6 m
16) Una cuerda de 14m dista delcentro de la circunferencia
2m; otra cuerda que se cortacon la anterior, dista del centro4m y la distancia del centro alpunto de interseccin de las doscuerdas es 5m. Luego, uno delos segmentos en que se dividela cuerda de 14m es:
a) 7+ 21 d) 7+ 17b) 7+ 19 e) N.A.c) 7+ 15
17) En una circunferencia undimetro divide a una cuerdaen dos segmentos de 6u y 12u.Si la cuerda dista del centro 4u,halla la medida del radio.
a) 97 u b) 2 17 u c) 7 7 ud) 6 6 u e) N.A.
18) En una circunferencia de 13 cmde dimetro, un arco subtiende
una cuerda de 12cm. Calculala longitud de la cuerda quesubtiende el arco mitad.
a) 52 cm b) 17 cm c) 8 cmd) 11 cm e) N.A.
19) En una circunferencia, las sagitascorrespondientes a los catetosdel tringulo rectngulo inscritomide 1m y 2m, si la hipotenusa
miden 10m. Halla la medida delinradio del tringulo.
a) 1 m b) 2 m c) 2 md) 3 m e) 3 m
20) En el grfico, halla EO si EF. EC= 36 m2y AC=16 m
a) 8 m b) 9 m c) 10 md)12 m e) 6 6 m
O
E
A C
F
T
21) Se tiene el cuadriltero ABCDinscrito en una circunferencia.
Si AB=BD=AD; BC=3dm y
CD= 7dm, halla AC.
a) 6 dm b) 8 dm c) 10 dmd) 12 dm e) N.A.
22) Se tiene un segmento AB secantea una circunferencia en C yE, se traza AP y BQ tangentesa dicha circunferencia.
Si AC= 3cm ; EB=4 cm y CE= 5 cm, halla (AP) (BQ).
a) 6 6 b) 8 5 c) 12 6
d) 12 e) N.A.
23) Se tiene un cuadrado ABCD,se une A con el punto medioM de CD, intersecando a lacircunferencia inscrita en elpunto P. Si AB= 10 cm, hallaAP.
a) 2 5 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm
24) En una circunferencia se tomalas cuerdas secantes AB y CD,que se intersecan en P. Si BP=4 dm; PA= 9 dm y DP=12 dm,halla CP.
a) 1 dm b) 2 dm c) 3 dmd) 4 dm e) 6 dm
25) Se tiene una semicircunferencia
d e d i m e t r o A B , e n l aprolongacin de AB se toma elpunto P, y se traza la tangentePT. Si PT mide igual que el radio
y BP= 2 cm, halla el dimetro.
a) 2 cm b) 4 cm c) 3 cmd) 2 cm e) N.A.
26) Desde un punto E, exterior auna circunferencia, se traza lassecantes EAB y ECD. Si EA=2m; AB= 6m y EC= 1m, hallala medida de CD.
a) 10 m b) 12 m c) 7 md) 9 m e) 15 m
14) Desde un punto A exteriora una circunferencia, se trazala tangente AT y la secantediametral ACI. Si AI= 3(AC)
y AT=4 3 m, halla la medidadel radio de la circunferencia.
a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) N.A.
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Nivel III
27) En el grfico, R=2r; AB=8 cmy CD= 4 cm. Halla r.
a) 1 cm d) 32,5 cmb) 1,5 cm e) 3 cmc) 2 cm
O
A
Rr
D BC
28) S e t i e n e u n c u a r t o d ecircunferencia AOB. Se prolonga
el radio OB hasta un puntoE y se une E con A, EAinterseca al arco AB en P. SiBE=AO=R, halla EP.
a) R 5 b) 2R 5 c) 5 R
d) 5 R e) N.A.
35
29) Se tiene 2 circunferenciastangentes exteriores de radios
R y 2 cm. La tangente comnexterior PQ mide R. Halla R.
a) 4 cm b) 6 cm c) 8 cmd) 10 cm e) N.A.
30) Se tiene dos circunferenciassecantes en M y N, se trazauna recta secante que intersecaa la primera en A y D; a lasegunda en B y E y a MN
en C. Si AB=6 cm, BC= 2 cmy CD= 1 cm, halla DE.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) 5 cm
31) Halla x.
a) 120 b) 75 c) 80d) 60 e) 45
4
x
3
32) Halla x.
a) 90 b) 45 c) 120d) 60 e) 75
33) Halla el circunradio de untringulo equiltero si su ladomide 3.
a) 3 b) 3/3 c) 3/2d) 3 e) 6
34) Halla x si AB=3y CD=6.
a) 40 b) 45 c) 25d) 30 e) 15
B
A D
C
x
R
A
B
C
R
Ox
E D
37) El ngulo A de un tringuloA B C , i n s c r i t o e n u n acircunferencia de 6u de radio,mide 60, entonces BC mide:
a) 2 3u b) 4 3u c) 4 2ud) 5 2u e) 6 3u
38) El radio de una circunferenciamide 4cm. Halla la suma delos permetros del tringuloequiltero y el cuadrado inscritosen dicha circunferencia.
a) 4(3 3 + 4 2)m
b) 18 3 mc) 28 6 md) ( 6 + 3) me) N.A.
39) En una circunferencia de radioR, se traza las cuerdas AB yAC. Si AB=R 3 u y AC=Ru y ambas cuerdas estn a unmismo lado del dimetro, halla
la mCB.
a) 30 b) 15 c) 20d) 60 e) N.A.
40) Se tiene un tringulo ABCinscrito en una circunferenciatal que m= 45 y BC=8 u.Halla la medida del radio de lacircunferencia.
a) 4 u b) 4 2 u c) 4 3 ud) 8 3 u e) N.A.
41) En el grfico, halla x si AC= 10y BD=3
a) 74 b) 60 c) 53d) 37 e) N.A.
D
A
C
B
xE
6
x
3
Q
DA
CB
x
35) Si CD=R 2 y AB=R 3, calcula x.
a) 60 b) 75 c) 120d) 45 e) 150
36) Si AB=R y BC=R 2, calcula x.
a) 20 b) 25 c) 18d) 15 e) 45/2
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42) Calcula las medidas del ladoy la apotema de un tringuloequiltero inscrito a unacircunferencia de dimetro 6m.
a) 1m; 3 mb) 2,5m; 1mc) 3 3m; 1,5md) 2 3m; 1me) N.A.
43) En una circunferencia de radioR, se trazan dos cuerdas AB yCD que miden R 3 y R 2.
Si las prolongaciones de AD y
BC se intersecan en E, calculala mBD.
a) 72 b) 75 c) 90d) 15 e) 150
44) Halla la medida de la apotemadel hexgono regular de 60m depermetro.
a) 5 3 m b) 7 3 c) 3 3
d) 6 3 e) N.A.
45) El polgono regular cuyo ladomide el doble de su apotema sellama:
a) Hexgonob) Cuadradoc) Octgonod) Tringulo equilteroe) N.A.
47) Un tringulo equiltero estinscrito en un circunferencia deradio 2u. Calcula la medida dela altura del tringulo.
a) 2u b) 3u c) 4ud) 5u e) N.A.
48) En una circunferencia de radioR se traza dos cuerdas paralelasAB y CD. Halla la mAPC siAB=R 2; CD=R 3 y P es elpunto de interseccin de AD yBC.
a) 75 b) 110 c) 90
d) 102 e) 114
50) Se tiene un tringulo equilteroy un cuadrado inscritos en lamisma circunferencia. Si elpermetro del tringulo es 15 3u,halla el permetro del cuadrado.
a) 5 2 u b) 15 2 u c) 20 2 u
d) 25 2 u e) 20 u
Las abejas para almacenar lamiel, construyen sus panalescon celdas individuales, quehan de formar un mosaicohomogneo sin dejar espaciovaco. Eso lo pueden conseguircon celdas tr iangulares ,cuadradas y hexagonales. Otracuestin es qu forma es msrentable para que empleando la misma cantidad de cera, se logre la
mayor superficie y capacidad de la celda.Veamos cules son las superficies de un tringulo, un cuadrado, unhexgono y un crculo, todos de igual permetro: 12 cm.
Las celdas de las abejas
La opcin ms favorable de mayorsuperficie a igualdad de permetrono dejando huecos entre celdas, esel HEXGONO. Es la empleadapor las abejas.
S = 6,93 cm2
= 4 cm
S = 10,39 cm2
= 2 cm
S = 9 cm2
= 3 cm
S = 11,46 cm2
R = cm6
46) Se tiene un cuadrado cuyolado mide 8 2 cm, si a partir decada vrtice se disminuye unacierta longitud x, se formarnen cada vrtice tringulosrectngulos, que al eliminarlosnos quedar un polgono de 8lados, halla x para que estepolgono sea regular.
a) 8(2+ 2)cmb) 8( 2-1)cmc) 8(2- 2)cmd) 8( 2+ 1)cme) N.A.
49) A un hexgono regular de 2u delado se le prolonga 3 lados noconsecutivos. Halla la medidadel apotema del polgono queresulta de estas prolongaciones.
a) 1,5 u b) 2 u c) 3 ud) 2 3 u e) 3 u
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Repaso
Nivel I
2) En la figura, ABCD es unrectngulo. Halla AP si BD=12y PC=5.
a) 13 b) 11 c) 9d) 7 e) 5
a
B
A D P
C
a
3) En e l s iguiente g r f ico ,4(DE)=EF y AF=4. Calcula
la longitud del inradio del
tringulo OFE si C es puntode tangencia.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
C
E
A O B
D
F
4) Las bases de un trapecio isscelescircunscrito a una circunferenciamiden 9 y 16. Canto mide
el radio de la circunferenciainscrita?
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 10
5) Segn el grfico, halla la longituddel radio de la semicircunferenciamenor si OB=R.
a) R b) R/2 c) R/3d) R/4 e) R/5
BO
A
T
6) En la figura, halla R si AD=8y DC=1.
a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
BO
A
CR
D
q
B
A
C
qD
7) En e l s i gu i ente g r f i co ,AB=BC=6 y AD=CD+4.Calcula la distancia de B a AD.
a) 2 2 b) 3 2 c) 4 2d) 5 e) 3
B
AC
P H
8) En la figura, AB=13, BC=15y AC=14. Calcula PH si su
longitud es mxima.
a) b) c)
d) e)
134
132
157
72
95
10) E n u n t r i n g u l o A B C ,A B = 6 , A C = 8 y l a
mBAC=2(mACB).Calcula
BC.
a) 2 21 b) 3 17 c) 5 11
1) En un tringulo ABC, se traza laaltura BH. Si (AB)2-(BC)2=10,calcula (AH)2-(HC)2.
a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20
9) En un tringulo acutngulo ABCse traza la altura BH, siendoAH=1 y BC=5. Calcula AB sila mACB=2 (mABH).
a) 10 b) 7 c) 5d) 11 e) 13
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11) En la figura, ABCD es unrectngulo donde AB=2(AD).Calcula PA si BH=6 y (PD)2-(BC)2=40.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
Nivel II
AHP
D
BC
13) En la figura, BC=2(DE). CalculaBD si BM=6 y DN=2. Adems,B y D son puntos de tangencia.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
M
N
C
A
B
E
D
B
A C
P
14) En la siguiente figura, AB=10 yPB=3. Calcula PT si P y T sonpuntos de tangencia.
a) 10 b) 15 c) 17d) 21 e) 31
15) En el siguiente grfico, PQ=1;QR=4 y RO=6. Calcula r.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
O
P Q R
r
16) En la figura mostrada, calcula PTsi BC=2 y AB=1. Adems,T yB son puntos de tangencia.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
TA
B
C
P
17) En el grfico mostrado, calculaCD si la mBD=2(mBC); AC=4y BD=6.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
A B
D
C
18) En el siguiente grfico, AL=LCy HC=1. Calcula DA.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
A
B C
D L
H
19) En el grfico mostrado, ABCDes un cuadrado de centro O.Calcula (AP)(AQ) si AB=2.
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
Q
C
O
B
A D
P
20) En la figura, la mALD=180 y Des punto de tangencia. Si AB=2y BC=4, calcula BD.
a) 2 2 b) 2 3 c) 2 5d) 3 e) 4
21) En la siguiente figura, AB=CDy T es punto de tangencia. SiPQ=5 y QD=4, halla AT.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10
Q
D
P
T
CBA
B
D C
A
L
12) En el siguiente grfico, AB=7,BC=9 y AC=12. Calcula BP sila mBP=2(mACB).
a) b) c)
d) 5 e) 7
7 53
5 32
3 25
T
A
B
OP
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Nivel III
22) En la figura, T es punto detangencia. Calcula CT si AC=6,CE=2 y CD=3.
a) 3 b) 4 c) 6d) 7 e) 8
A
B
C D
E
T
23) En el grfico adjunto, O espunto de tangencia. Si OP=2 yPQ=10, calcula r.
a) 2 6 b) 3 2 c) 4 5d) 2 e) 3
24) Se tiene en el arco AB deuna circunferencia, en lacircunferencia circunscrita
al tringulo equiltero ABC
se ubica el punto P. Calcula
P C s i A P = 2 y P B = 1 .
a) 3 b) 4 c) 5
25) En el arco BC de la circunferenciacircunscrita a un cuadradoABCD se ubica el punto P demodo que PB= 2 y PC=1.Calcula PA.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
26) En la figura, P,A y T son puntos detangencia y AT=2. Calcula AP.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
3r
AP
Tr
A
BD
C
27) En el grfico, la mAB=60 yBC=3. Calcula BD si B y D sonpuntos de tangencia.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
28) En la figura, B y C son puntos detangencia, calcula mAB.
a) 53 b) 37 c) 30d) 60 e) 50
A
C
B
2r
3r
29) En un trapecio ABCD (BC//AD)de altura CH=12, las longitudesde los lados AB, BC y CD sonnmeros consecutivos, siendoBC el intermedio y AD=2(BC).Determina el permetro deltrapecio ABCD.
a) 70 b) 80 c) 60d) 50 e) 40
31) Calcula la longitud del radiode una circunferencia, si ladistancia del centro a una cuerdaque mide 24 u es 5 u.
a) 13 u b) 14 u c) 15 ud) 16 u e) 20 u
32) Se tiene un trapecio ABCD(BC//AD), AB=13, BC=10,CD=19 y AD=32. Halla lalongitud de la distancia entre lospuntos medios de sus bases.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
33) Las longitudes de los lados de
un paralelogramo estn en larelacin de 1 a 2 y la suma delos cuadrados de las diagonaleses 250 u2. Calcula el permetrodel paralelogramo.
a) 25 u b) 35 u c) 30 ud) 40 u e) 150 u
34) En un tringulo ABC sus ladosmiden AB=6, BC=4 y AC=8,entonces la longitud de la mayormediana es:
a) 10 b) 31 c) 42d) 46 e) 52
Q
O
P r
30) En la siguiente figura, T es puntode tangencia. Calcula PQ si lamMQ=60 y R=2r.
a) r( 6-2) d) 2b) r( 3-1) e) 3c) r( 2+3)
R
M
r
Q
P
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35) Las longitudes de los ladosde un tringulo son nmerosconsecutivos. Si la medida delmayor ngulo es el doble dela medida del menor ngulo,entonces la longitud de lamediana relativa al lado mayor es:
a) 5 5 b) c)
d) e)
382
304
522
462
37) En el grfico, si (OA) 2 -(OL)2=12. Calcula (BL)(LN).
a) 16 b) 12 c) 20d) 10 e) N.A.
38) Segn el grfico, calcula ABsi AL=5 y LC=4(A y D sonpuntos de tangencia).
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) N.A.
B
A C
OL
B
A
C
O
L
D
39) Calcula (PA).(PB) si OP=3;r=5 y O es centro.
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
B
A
Or
P
40) Segn el grfico, AOB es uncuadrante de centro O, calculaAT si TF=2 y FE=7 (T, A y Fson puntos de tangencia).
a) 5 b) 2 c) 2 2d) 3 e) 3 2
BO
A T
E
F
P T CA
Q R
42) S e g n e l g r f i c o , l o scuadrilteros AQRP y PQRCson paralelogramos. CalculaPQ si (AP)2-(AQ)2=15 y (PC)(TC)=7,5.
a) 29 b) 31 c) 30d) 33 e) 35
41) En un trapecio rectngulo ABCD
m BAD=m ABC=90. Hallala longitud de la base media siBC=11, BD=20 y CD=13.
a) 12 b) 11 c) 13,5d) 14 e) 15
44) Segn el grfico, AB=15, AC=13y CT=8. Calcula la m NTL (L,
N y T, son puntos de tangencia).
a) 10 b) 15 c) 16d) e) 1853
2
B
A T
L
C
N
46) En el grfico EM= 8u, MC=25u,AB=18u y EP // AD. Calcula PD.
a) 2 2 u b) 12 u c) 2 29 ud) 11 u e) 3 15 u
47) Se tiene un tringulo ABC.donde la medida del ngulo
A es dos veces la medidadel ngulo B. Si AC=4u yAB=5u, calcula:
a) 2/3 u b) 5/6 u c) 6/5 ud) 3/2 u e) 6/2 u
BCAC
48) Las diagonales AC y BD de untrapecio ABCD miden 5u y7u, respectivamente. Calculala longitud de la mediana. SiAC BD.
a) 3 u b) u c) 4 u
d) u e) 5 u
742
452
45) Se tiene el tringulo ABC, setraza la semicircunferencia de
dimetro AC, que interseca aBC en T. Calcula MN, siendo My N los puntos medios de AB ydel arco TNC, BC=6 y AC=8.
a) 5 b) 41 c) 37d) 77 e) 5 2
A D
B CM
E P
36) En un tringulo ABC, AB=4,BC=5 y AC=6. Si D es unpunto sobre BC tal que AD=BC,calcula BD.
a) d) 3,5
b) e) 4
c)
1+ 352
1+ 372
1+ 392
43) En un rombo ABCD sea Mpunto medio de AD, tal que
(BM)2
+(CM)2
=80. Calcula elpermetro de la regin limitadapor el rombo.
a) 16 b) 16 2 c) 18d) 20 e) 28
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Objetivos
1) Conocer las principalesregiones planas.
2) Aprender a comparar las reasde ciertas figuras.
reas de Regiones
Triangulares y Relacionesde reas
REGIN PLANA
Porcin de plano limitada por unalnea cerrada, llamada frontera de laregin.
R1
Superficie
R1 : Regin plana
rea de una regin plana:
Es la medida numrica de una reginplana.La unidad convencional del rea esuna regin cuadrada cuyo lado tienepor longitud la unidad.
REGIONES EQUIVALENTES
Son regiones planas que tienen lamisma rea.
R1 R2
A2A1
Si: R1< > R
2 A1= A2
reas de RegionesTriangulares
Regin Triangular:Es una regin plana cuyo contorno esun tringulo.
h
B
A Cb
CA
B
D
H
b
1) FRMULA BSICA
2) FRMULA TRIGONOMTRICA
c
B
A Cbq
3) FRMULA DE HERN
b
c
B
A C
a
p: semipermetro de la regin ABC.
Nociones Previas
A ABC=b . h
2
A ABC=b . H
2
A ABC=a . c
2
B
A C
ac
AABC
= b . c2
sen q
p =a+b+c2
A ABC= p(p-a)(p-b)(p-c)
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TRINGULO EQUILTERO
r
ba
c
L2 34
A= =h2 33
EN FUNCIN DEL INRADIO (r)
A=p.r p= a+b+c2
p: semipermetro
EN FUNCIN DEL
CIRCUNRADIO (R)
R
b
ac
O
A= p= a+b+c2
abc4R
EN FUNCIN DE UNEXRADIO (ra)
ra
cA
B
Cb
a
A= ra(p-a) p= a+b+c
2
Relaciones de reas
Am n
N C
B
=mn
AABNABNC
An n
D C
B
AABD=ABDC
A C
B
SP Q
R
S
S
SS
S
c
c
a
a
b b
1.
2.
3.
4.
c
B
A C
a
b
Q
P R
r p
q
Si ABC ~ PQR
= = =b2
q2AABCAPQR
c2
r2a2
p2
5.
S
3S
6.
S S
G
G: Baricentro
Resolucin:
1) Halla el rea de la regin de untringulo ABC si m A=37,m C=45 y AC=28 cm.
AH
C
B
53
37
45
45
3a
3a4a
28
4a+3a=28 7a=28 a=4Luego:
BH=3(4)=12
rea ABC= =168 cm228(12)
2
2) Calcula el rea de la regin deun tringulo rectngulo si lahipotenusa y su inradio miden 17y 3u, respectivamente.
Resolucin:
B A
C
3
17
a b
hL
L
L
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Nivel I
Por Poncelet: a+b=17+2(3)
a+b=23
Sabemos: A ABC=p.r= .3
A ABC= .3=60 u223+17
2( )
a+b+17
2( )
1) Calcula el rea de un tringuloequiltero cuyo permetro es36 cm.
a) 36 cm2 b) 72 cm2c) 36 3 cm2 d) 27 3 cm2e) 32 cm2
2) Calcula el rea de un tringuloequiltero cuya altura mide 6 cm.
a) 12 cm2 b) 18 cm2c) 18 3 cm2 d) 9 3 cm2e) 12 3 cm2
3) Halla el rea de un tringuloequiltero cuyo circunradio mide8 cm.
a) 36 3 cm2 b) 36 cm2c) 48 3 cm2 d) 48 cm2e) 32 cm2
4) La base y la altura de un tringuloestn en proporcin de 2 a 5 ysuman 28 cm. Calcula el rea dela regin triangular.
a) 80 cm2b) 60 cm2c) 56 cm2
d) 96 cm2e) 90 cm2
9
8
10
B
HC53
A
8
C
HB
120
A
5) La base y la altura de un tringuloestn en proporcin de 3 a 10 ysuman 39 cm. Calcula el rea dela regin triangular.
a) 90 cm2 d) 135 cm2b) 110 cm2 e) 150 cm2c) 120 cm2
6) En la figura, calcula el rea de laregin triangular ABC.
a) 32 u2 b) 36 u2 c) 30 u2
d) 40 u2 e) 42 u2
8) Halla el rea de un tringuloequiltero cuyo permetro es30cm.
a) 20 3 cm2 d) 30 cm2b) 25 3 cm2 e) 30 3 cm2c) 27 cm2
7) Calcula el rea de la reginsombreada si AB=12cm y BC=16cm.
a) 24 cm2 d) 48 3 cm2b) 28 cm2 e) 32 3 cm2c) 48 cm2
9) En un tringulo se sabe que subase y su altura se encuentran
en relacin de 1 a 3. Si el rea dedicho tringulo es 24 m2, calculala medida de dicha altura.
a) 16 m b) 12 m c) 8 md) 6 m e) 4 m
10) Si los lados de un tringulomiden 5u; 6u y 7u. Halla su rea.
a) 6 u2 b) 2 6 u2 c) 3 6 u2
d) 18 u2 e) 6 6 u2
13) Halla el rea de la regin de untringulo cuyas alturas miden 12;15 y 20 cm.
a) 130cm2b) 180cm2 c) 150cm2
d) 120cm2e) 160cm2
14) Si el rea de la regin sombreadaes 32 cm2, calcula el rea de laregin triangular ABC (G esbaricentro).
a) 96 cm2 d) 130 cm2b) 64 cm2 e) 72 cm2c) 128 cm2
A C
B
G
11) En un tringulo rectngulolas medidas de los catetos son
entre si como 2 es a 3. Calculala medida de la hipotenusa si elrea de dicha regin es 24m2.
a) 107 m d) 2 13 mb) 2 26 m e) N.A.c) 4 26 m
12) Si los lados de un tringulomiden 5dm, 7dm y 8dm. Hallala medida de su inradio.
a) 2 dm d) dm
b) 3 dm e) N.A.c) dm
4 33
2 33
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Nivel II
15) Calcula el rea de la regintriangular ABC si el rea de laregin sombreada es 24 cm2.
a) 36 cm2 d) 32 cm2b) 48 cm2 e) 40 cm2c) 30 cm2
A C
B
N
M
16) Calcula el rea de la reginsombreada si el rea de la regintriangular PQR es 80 u2.
a) 40 u2 b) 50 u2 c) 60 u2
d) 64 u2 e) 48 u2
P Q
R
NM
17) Si AB=BC y CD=DE, halla elrea de la regin sombreada.
a) 25 u2 b) 50 u2 c) 75 u2
d) 45 u2 e) 60 u2
DB
A C E
b
10
a
18) Calcula el rea de la reginsombreada s i e l rea nosombreada es 35 cm2.
a) 12 cm2 d) 10 cm2b) 16 cm2 e) 8 cm2c) 15 cm2
A C
B
2n 7n
19) Calcula el rea de la regin
triangular ABC, si el rea de laregin sombreada es 18 cm2.
a) 66 cm2 d) 48 cm2
b) 62 cm2
e) 54 cm2
c) 72 cm2
A C
B
8k 3k
20) Si el lado del cuadrado ABCD es12u, calcula el rea de la reginsombreada.
a) 12 u2 b) 16 u2 c) 18 u2
d) 24 u2 e) 32 u2
A
B C
D
M
A C
B
22) En un tringulo ABC, m A= 2m C. Si AB=5 y AC=11,
calcula el rea de la regintriangular ABC.
a) 11 u2 b) 12 u2 c) 24 u2
d) 22 u2 e) 18 u2
23) Dos lados de un tringulo miden9m y 12m. Halla la medida deltercer lado, sabiendo que eltringulo posee el mximo valorde su rea.
a) 15 m b) 5 3 m c) 3 5 m
d) 18 m e) N.A.
24) Calcula el rea de un tringuloequiltero, sabiendo que sucircunradio mide 4m.
a) 12 3m2b) 6 m2 c) 6 3m2
d) 4 3m2 e) N.A.
25) Halla el rea de la regin de
un tringulo ABC si AB=8 u;BC=10 u y m B=60.
a) 20 u2 b) 20 3u2 c) 40u2
d) 40 3u2 e) 30u2
26) En un tringulo ABC, se sabe quem=30 y mC=53Si AB=16m, halla el rea de estaregin.
a) 8(4 3+3)b) 8(2 3+3)c) 4( 3+3)d) 4(2 3+3)e) N.A.
27) En tringulo ABC se ha inscritouna semicircunferencia cuyodimetro se encuentra contenidoen el lado AC.
Si AB=13m; AC=14m yBC=15m, halla la medida delradio de la semicircunferencia.
a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 6 m e) 7 m
21) Calcula el rea de la reginsombreada si AB=6u y BC=8u.
a) 6 u2 b) 8 u2 c) 4 u2
d) 10 u2 e) 6 2 u2
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195
Nivel III
28) Los lados de un tringulo ABCmiden AB=21m; BC=35m yAC=28m. Si las bisectrices de By C se intersecan en I. Calculael rea del tringulo AIC.
a) 84 m2 d) 120 m2b) 98 m2 e) 122,5 m2c) 100 m2
29) Los lados de un tringulo miden5m, 6m y 7m. Halla la medida desu circunradio.
a) m d) m
b) m e) N.A.
c) 3 m
35 6
24
13 7
8
157
30) En una circunferencia dedimetro AB=20 m, se trazala cuerda AC que mide 12m.Calcula el rea de la regintriangular ABC.
a) 84 m2 b) 96 m2 c) 102 m2
d) 106 m2 e) N.A.
31) En un tringulo rectngulo, uncateto mide 4m y la altura sobre
la hipotenusa 2,4m. Cul es elrea de dicha regin triangular?
a) 9,6 m2 b) 8 m2 c) 7 m2
d) 6 m2 e) 5 m2
32) El inradio de un tringulo mide4 cm y la circunferencia inscritadetermina sobre uno de loslados, segmentos de longitudes
6 cm y 8 cm. Halla el rea dedicha regin triangular.
a) 60 cm2 b) 70 cm2c) 84 cm2
d) 94 cm2 e) N.A.
33) Halla el rea de un tringulorectngulo si su inradio mide 3my su hipotenusa 15m.
a) 16 m2
b) 21 m2
c) 48 m2
d) 54 m2 e) 62 m2
34) Se tiene un cuadrado ABCD,exteriormente se dibuja eltringulo rectngulo BEC. SiBE= 4m, halla el rea de laregin triangular ABE.
a) 4 m2 b) 8 m2 c) 12 m2
d) 16 m2 e) N.A.
35) Dos lados de un tringulo miden8m y 10m; y sus respectivasalturas se diferencian en 1m.Halla el rea del tringulo.
a) 10 m2 b) 15 m2 c) 20 m2
d) 25 m2 e) 30 m2
37) Si el permetro de un tringuloes 24m y el dimetro de lacircunferencia inscrita mide 4m.Halla su rea.
a) 12 m2 b) 16 m2 c) 18 m2
d) 24 m2 e) 36 m2
38) En un tringulo rectngulo, laaltura relativa a la hipotenusamide 2m y la hipotenusa midelos 5/4 de uno de los catetos.
Cul es el rea del tringulo?
a) 12 m2 d) 4 1/3 m2b) 6 m2 e) 25/6 m2c) 4 1/6 m2
41) Halla el rea de la reginsombreada si BC=AB=10 cmy M es punto medio.
a) 10 cm2b) 12 cm2c) 15cm2
d) 18 cm2e) 16 cm2
36) Halla el rea de un terreno deforma triangular si sus ladosmiden 8m; 9m y 7m.
a) 6 15 m2 d) 13 m2b) 2 31 m2 e) N.A.c) 12 5 m2
A
B C
D
M
42) Las alturas de un tringulo
miden 24 u, 30 u y 40 u. Hallael rea de la regin triangular.
a) 900 u2 b) 400 u2c) 600 u2
d) 800 u2 e) 900 u2
43) Se tiene un tringulo isscelescuyos lados de igual longitudmiden b. Para obtener untringulo con la mayor reaposible, el tercer lado debe tener
una longitud de:
a) b b) 2 b c) b
d) b e) b 3
22
13 28
39) Dos lados de un tringulo miden8m y 10m. Si su rea es la mayorposible. Halla la medida deltercer lado.
a) 2 41 m d) 11 mb) 3 17 m e) 12 mc) 7 13 m
40) Los lados de un tringulo miden9m, 11m y 6m. Halla la medidade su inradio.
a) 1 m d) mb) 7 m e) N.A.
c) m
1713
2 18213
-
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44) En un tringulo issceles, la basemide 15u y la altura relativa auno de los lados iguales mide12u. Halla el rea de la regindel tringulo.
a) 50 u2 b) 75 u2 c) 90 u2
d) 100 u2 e) 150 u2
A C
B
R H
46) Halla el rea de la regin
sombreada si AB=5u.
a) 8 u2 b) 10 u2 c) 15 u2
d) 20 u2 e) 25 u2
A
B C
D
47) Halla el rea de la reginsombreada si ABCD es uncuadrado de lado 8cm.
a) (16 3-1)cm2 d)16( 3-1)cm2
b) (16 3-2)cm2 e)(16 3-4)cm2
c) (8 3-16)cm2
A
B C
D
48) En un tringulo ABC, se sabeque AB=6 u y BC=7 u. Paraqu valor de AC el rea de laregin triangular ABC sermxima?
a) 12 u b) 10 u c) 9 ud) 85 u e) 89 u
49) Los lados de un tringulo miden...26 u, 18 u y 20 u. Halla elrea de la regin triangular.
a) 6 u2 b) 9 u2 c) 12 u2
d) 15 u2 e) 18 u2
50) En un tr ingulo ABC elsegmento que une el incentro yel baricentro es paralelo a la baseAC y el inradio mide 2 u. Hallael rea de la regin triangularABC si AC=8u.
a) 21 u2 b) 24 u2 c) 18 u2
d) 16 u2 e) 12 u2
El mtodo egipcio para hallar el rea del crculo
se considera desde hace mucho tiempo como unode los progresos ms notables de la poca; en el
problema 50 del Papiro de Ahmes admite que
el rea de un campo circular de 9 unidades de
dimetro es la misma que el rea de un cuadrado
de lado 8 unidades. Si comparamos esta manera
de proceder con la que se obtiene de la frmula
moderna A = r2, nos encontramos con que la
regla egipcia es equivalente a tomar como valor de
= 3,16 o aproximadamente 3 1/6 que es sin duda
una aproximacin muy aceptable; pero de nuevo aqu carecemos de cualquier
indicio que nos permita suponer que Ahmes fuera consciente de que las reas desu crculo y su cuadrado no eran exactamente iguales. Es posible que el problema
48 nos d una pista sobre la manera como los egipcios se vieron conducidos a su
sencilla receta para calcular el rea del crculo: en este problema, el escriba parece
construir un octgono a partir de un cuadrado de lado 9 unidades, dividiendo cada
lado en 3 partes iguales y suprimiendo despus los cuatro tringulos rectngulos
issceles que quedan en las esquinas, cada uno de los cuales tiene rea igual a
4 1/2 unidades; entonces el rea del octgono, que no difiere mucho de la del
crculo inscrito en el cuadrado inicial, es de 63 unidades, la cual a su vez no difiere
demasiado del rea de un cuadrado de lado ocho unidades. El hecho de que el
nmero 4 (8/9)2 jug realmente un papel comparable al de nuestra constante
parece confirmarse por la regla egipcia para hallar la circunferencia de un crculo,
segn la cual la razn del rea de un crculo a su circunferencia es la misma quela razn del rea del cuadrado circunscrito a su permetro. Esta soprendente
observacin correcta representa una relacin geomtrica de una importancia
matemtica y de una precisin mucho mayores que la de la relativamente buena
aproximacin de .
El rea de un crculo no es nada nuevo
45) Halla el rea de la reginsombreada si AR=5u, HC=3u,m ABR=m RBH=m HBC.
a) 9 u2 b) 12 u2 c) 15 u2
d) 18 u2 e) 21 u2
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197
Nota
reas en Regiones
Cuadrangulares yRelaciones de reas
REGIN CUADRANGULAREs una regin plana cuyo contorno esun cuadriltero convexo o no convexo.
B
A
C
D
q
d1d2
1) FRMULA GENERAL
ABCD: Convexo
rea de RegionesCuadrangulares
MNLP : Concavo
d1. d22
A ABCD=senq
2) REA DEL PARALELOGRAMO
A
B C
HDb
a h
q
3) REA DEL ROMBO
A
B
C
D
d2
d1
N
M L
m
P
n
B
A
D
d1
d2
C
m . n2
AMNLP
= senb
d1. d22
AABCD
=
N
M Lnb
P
m
m . n
2A
MNLP
=
oA ABCD= b . h
AABCD
= absenq
d1. d22
AABCD
=
4) TRAPECIO
b
h
a
a+b2
A= h( (
1.B
A D
S2
S3S1
S4
C
S1 x S3 = S2 x S4
Relaciones de reas
-
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Nivel I
Resolucin:
1) Halla el rea de la regin de un
rombo si su permetro es 116 cm yuna de sus diagonales 42 cm.
1) En un rombo de lado 5u, unadiagonal es el doble de la otra.Halla el rea de la regin delrombo.
a) 25 u2 b) 20 u2 c) 15 u2
d) 30 u2 e) 22,5 u2
3.
A
B
SS
A
B C
D
S2= A . B
Si ABCD: Trapecio
A
B C
D
M
Si ABCD: Trapecio
A
B C
D
P
P: punto que pertenece a BC
Si ABCD: Paralelogramo
2. B
A D
C
Sx
S ABCD2
Sx=
A ABCD2
AABM
=
A ABCD2
AAPD
=
4.
5.
Si ABCD: Paralelogramo
SBCP
+SAPD
=S ABCD
2
6.
A
B C
D
P
A
C
B
29
D
29
29 29
21
21n nO
40(42)2
* En elAOB
:n2+212=292
n=20 BD=40
* Luego:
reaABCD
= =840 cm2
Resolucin:
*AHB
: Issceles AB=8 2
AB=CD=8 2rea ABCD=8 2(12)
A ABCD=96 2 u
2
3) Calcula el rea de la regin deun trapecio rectngulo ABCD, sim A= m B=90; m D=60;CD=16 u y BC=3 u.
Resolucin:
B C
A H D60
3
3 8
168 3 8 3
(3+11)2
A ABCD= 8 3=7(8 3)
A ABCD=56 3 u2
2) En un trapecio rectngulo la basemayor mide 18 u, la base menor ysu altura tienen la misma mediday la diagonal menor mide 8 u.Halla el rea de su regin.
a) 24 u2 b) 20 u2 c) 16 u2
d) 28 u2 e) 26 u2
3) El rea de la regin de unrectngulo es 1500 u2. Si seaumenta el largo en 10 u y elancho aumenta en 30 u, resultaun cuadrado. Halla el lado mayordel rectngulo.
a) 50 u b) 30 u c) 60 ud) 70 u e) 80 u
2) Calcula el rea de la regin deun paralelogramo ABCD si m
A=45 y la distancia del centro del
romboide al lado mayor es 4 u y allado menor es 6u.
A
B C
D45
12
8 H
8 2
46O8
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199
4) En la figur a, A y B soncuadrados y C es rectngulo,las reas de A y C son 196m2y48m2, respectivamente (SE>ET).Halla el rea de la regin QRST.
a) 312 m2b) 304 m2c) 300 m2
d) 308 m2e) 298 m2
R
AB
C
S
Q T
E
5) En el rectngulo ABCD, AD=3uy AF=1u. Halla el rea de laregin sombreada.
a) u2 b) u2 c) u2
d) u2 e) u2
57
2
47
2
37
2272
172
6) Si ABCD es un cuadrado y el reade la regin de cada tringuloes 12 m2. Halla el rea de laregin del cuadrado sombreadosi 2(AM)=MB.
a) 6 u2 b) 9 u2 c) 12 u2
d) 15 u2 e) 18 u2
D
AB
C
M
8) El rea de la regin de uncuadrado es 50m2, se inscribed i cho cua d r a d o en unacircunferencia. Cul es el reade la regin del cuadrado que sepuede inscribir en la mitad de lamisma circunferencia?
a) 24 m2 b) 25 m2 c) 15 m2
d) 30 m2 e) 20 m2
9) El rea de la regin de uncuadrado AEFD es 81 cm2y elrea de la regin de EBCF es63 cm2. Halla el permetro del
rectngulo ABCD.
a) 144 cm b) 48 cm c) 50 cmd) 72 cm e) 75 cm
A B
D CF
E
10) Halla el rea de la reginsombreada si ABCD es unrectngulo.
a) 6 u2 b) 8 u2 c) 9 u2d) 13 u2 e) 15 u2
C
DA
B 2 3
2
4
11) Halla el rea de la reginsombreada.
a) 3 u2 b) 1 u2 c) u2
d) 2 u2 e) 4 u2
13
1 1
2
2
2
2
2
12) El rea de la regin de untringulo equiltero ABC es
36 3 u2. Calcula ED si AE=EC.
a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u
A
B
D C
E
B
A D
C
M
14) En el paralelogramo mostrado,el rea de la regin sombreadaes 48 u2. Calcula el rea delparalelogramo ABCD.
a) 86 u2 b) 84 u2 c) 72 u2d) 96 u2 e) 124 u2
A
B C
D
P
A B
D C
F
7) Un t e r r eno t i ene fo r m arectangular y se sabe que supermetro mide 46 m y su diagonal17m. Cul es el rea del terreno?
a) 100 m2 d) 23 17m2
b) 120 m2 e) 23 17m2
c) 210 m2
13) Si M es punto medio de CD,ABCD es un cuadrado de lado4 cm. Halla el rea de la reginsombreada.
a) 6 cm2 b) 8 cm2 c) 10 cm2d) 12 cm2e) 4 cm2
15) En un rectngulo ABCD, seubica un punto F en BC demodo que: mAFD=90. Si BF=2 cm y FC=8 cm, halla el reade la regin de dicho rectngulo.
a) 30 cm2b) 32 cm2c) 36 cm2d) 60 cm2e) 40 cm2
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200
Nivel II 20) En el siguiente grfico ABCD esun cuadrado de lado 4 u. Hallael rea de la regin sombreada.
a) 8 u2 b) 4 u2 c) 10 u2
d) 5 u2 e) 9 u2
25) En qu relacin se encuentranlas reas de las regionesdeterminadas por los hexgonosregulares inscrito y circunscritoa una misma circunferencia?
a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3d) 3/4 e) 3/5
16) En un cuadriltero inscriptibleABCD, AB=7u, BC=24u,
CD=15u y AD=20u. Halla elrea de la regin del tringulo ABC.
a) 50 u2 b) 64 u2 c) 84 u2d) 48 u2 e) 42 u2
18) Los lados de un rombo sondos radios y dos cuerdas deun crculo de 16 cm de radio.Calcula el rea de la regin que
encierra dicho rombo.
a) 128 cm2 b) 512 cm2c) 128 3 cm2 d) 512 3 cm2e) 256 cm2
A
C
M
BN
O
45
D
A B
C
A
D C
B
M
2
2
22 N
21) Halla el rea de la regin de un
rombo de permetro 32 u, si unode sus ngulos mide 45.
a) 36 u2 b) 64 2u2 c) 32 2u2
d) 64 u2 e) 32 u2
22) La suma de las reas de lasregiones de dos cuadrados es218 u2 y el producto de susdiagonales es 182 u2. Halla lalongitud del lado mayor.
a) 12 u b) 13 u c) 15 ud) 16 u e) 14 u
23) Las bases de un trapecio miden10 y 24 cm, los otros lados miden13 y 15 cm. Halla el rea de suregin.
a) 654cm2 b) 658cm2 c) 204cm2
d) 656cm2
e) 650cm2
24) ABCD es un cuadrado cuyarea de su regin es 36 cm2y el
tringulo AHF el rea de su regin
es igual a 4cm2. Calcula FD.
a) 2 cm b) 2 2 cm c) 3 cmd) 3 2 cm e) 4 cm
B
A
C
M
N
P D
27) Si ABCD es un cuadrado, el rea
de la regin BCMP es 60 u
2
yCM=MD, calcula el rea de laregin triangular APD.
a) 18 u2
b) 24 u2
c) 30 u2
d) 32 u2 e) 36 u2
A
B C
D
MP
28) En el paralelogramo ABCD,halla el rea del tringulo ABPsi las reas de los tringulos PMCy AMD suman 18 u2.
a) 9 u2 b) 12 u2 c) 24 u2
d) 36 u2 e) 18 u2
A
B C
D
P
M
17) Halla el rea de la regin COMN,si AB y BC son tangentes yAB=2+2 2cm.
a) 4cm2 b) 4 3cm2c) 6cm2
d) 4 2cm2e) 8 3cm2
19) En el paralelogramo ABCD,AB=2 u, BC=4 u y m C=60.Halla el rea de la regin dedicho paralelogramo.
a) 3 u2 b) 2 3 u2c) 4 3 u2
d) 3 3 u2 e) 6 3 u2B
A D
C
H
F
26) En el trapecio ABCD(BC//AD),BC=15 y AD=27. Calcula APpara que las regiones M y N seanequivalentes.
a) 6 b) 5 c) 8d) 7 e) 9
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201
Nivel III
31) Si ABCD es un paralelogramode rea 36m2, calcula el rea dela regin sombreada. Adems:AM=BM y CN=ND.
a) 32 m2 b) 20 m2 c) 24 m2
d) 18 m2 e) 30 m2
A
D
B
C
M h
30) Calcula el rea del tringuloABC si las reas de las regiones
sombreadas son cuadrados de169, 196 y 225m2.
a) 64 m2 b) 72 m2 c) 84 m2
d) 60 m2 e) 90 m2
A B
C
A
B C
D
M N
32) En los siguientes ejercicios, hallael rea de la regin sombreada.
a) 150 cm2 d) 100 cm2b) 140 cm2 e) 90 cm2c) 130 cm2
10cm
45
33) Trapecio ABCD.
a) 37 cm2 d) 87 cm2b) 47 cm2 e) 77 cm2c) 57 cm2
34) Trapecio ABCD.
a) 23 cm2 b) 25,5 cm2c) 29,5 cm2 d) 30,5 cm2e) N.A.
37
4cm
CB
A D45
5cm
B
D
A C
20 5cm
36) En un rombo, sus diagonalesestn en la relacin de 5 a 12.Halla su rea si su permetro es52m.
a) 100 m2 b) 120 m2c) 140 m2 d) 150 m2e) 180 m2
37) Trapecio issceles ABCD.
a) 40 cm2 b) 50 cm2c) 60 cm2
d) 80 cm2 e) 70 cm2
B
A
C
D
5cm
6cm 8cm
38) Rombo ABCD.
a) 70 cm2 b) 80 cm2c) 30 cm2
d) 50 cm2 e) N.A.
16 cm
37
B C
A D
39) El permetro de un rombo es272m. La diagonal menor es los
8/15 de la mayor. Encuentra elrea del rombo.
a) 3840 m2 b) 3000 m2c) 3870 m2 d) 2860 m2e) N.A.
40) En un rectngulo, sus lados soncomo 3 es a 4 y la suma de suslongitudes es 20m mayor que lalongitud de la diagonal. Halla surea.
a) 1000 m2 b) 1500 m2c) 1200 m2 d) 1900 m2e) N.A.
29) Si AB//CD; AB=6m, CD=18my h=10m, calcula el rea de laregin sombreada.
a) 80 m2 b) 60 m2 c) 50 m2
d) 40 m2 e) 70 m2
12cm
6 cm
20 cmA D
B C
35) Rombo ABCD; m ABC=53
a) 1200 cm2 b) 1300 cm2c) 1500 cm2 d) 1600 cm2e) N.A.
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202
41) Halla el rea del trapecio ABCD, siel cuadrado CDEF tiene rea k.
a) 5k b) 3k c) 2kd) k e) k/2
C
F
45
EB
DA
42) Halla el rea del cuadrado
ABCD si el rea de la regin nosombreada excede en 12cm2alrea de la parte sombreada.
a) 48 cm2 b) 36 cm2c) 24 cm2
d) 12 cm2 e) 6 cm2
B C
A D
E
53
43) Si las longitudes de un rectnguloson 270 cm de largo por 30 cmde ancho, cuntos cm habrque aumentar al ancho y cuantosdisminuir al largo para que resulteun cuadrado de igual rea?
a) 160 cm ; 240 cmb) 300 cm ; 200 cmc) 60 cm ; 180 cmd) 40 cm ; 180 cme) 90 cm ; 160 cm
B
A
C
D12cm
E F
45) Los cuadrados ABCD yBEFH tiene reas 81 y 25cm2respectivamente. Halla el reade la regin sombreada.
a) 19 cm2 b) 20 cm2c) 22 cm2
d) 21 cm2 e) 18 cm2
H F
E CB
A D
46) En la figura, ABCD y EFHB
son cuadrados. JH=25; JA=15JB=17, halla el rea de la reginsombreada.
a) 32 b) 41 c) 16d) 12 e) 18
H F
B
A D
EC
J
47) Halla el rea de la reginsombreada si (AP)(PL)=8m2.
a) 2 m2 b) 8 m2 c) 6 m2
d) 4 m2 e) 16 m2
48) En la figura mostrada, ABCDes un romboide. Halla el reade la regin ABCD si x= 4cm2,y=13cm2y z= 3cm2.
a) 18 cm2 b) 30 cm2c) 36 cm2
d) 27 cm2 e) 42 cm2
49) El rea de la regin limitadapor el cuadrilongo ABCD es16cm2. Halla el rea de la reginsombreada.
a) 1 cm2 b) 2 cm2 c) 3 cm2
d) 4 cm2 e) 5 cm2
50) En un romboide ABCD se tomael punto medio M de AD,
calcula el rea de la regin MCDsi el rea de la regin romboidales de 40 m2.
a) 10 m2 b) 5 m2 c) 15 m2
d) 8 m2 e) 20 m2
M N
L
BO
AP
A
B C
D
x y z
B C
A D
P
44) En la siguiente figura se tieneun trapecio issceles ABCD yun cuadrado EBCF. Adems,m CAD=37. Halla el rea dela regin sombreada.
a) 1200 m2 b) 810 m2c) 420 m2 d) 806 m2e) 900 m2
-
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203
reas de RegionesCirculares
1.- REA DEL CRCULO
AB: Dimetro = dR : Radio
A = R2
2.- REA DEL SECTORCIRCULAR
R
O q
B
A
3.- CORONA CIRCULAR
RrA B
R
O RR
Objetivos
1) Diferenciar los tipos de reasque se generan en el crculo.
2) Aprender a comparar reas deciertas regiones.
Regin CircularPorcin del plano cuyo contorno es unacircunferencia.
A =d2
4
=3,1416
AAOB
= qR2
360
ACORONA= (R2-r2)
S=S1+S2
Trapecio CircularEs la porcin de corona circulardeterminada al trazar dos radiosmayores.
C D
R r
A B
1
S
q d
O
2
S= (R2-r2)q
360
Adems, si 1y 2son las longitudes delos arcos AB y CD respectivamente yR-r=d, se cumple:
S= d1+2
2( )
LnulasSon regiones encerradas dentro dedos arcos de diferentes dimetro quese intersecan. Los centros de los arcosestn aun mismo lado.
A B
Lnula
Lnula de HipcratesAl tomar los lados de un tringulorectngulo ABC, recto en B, comodimetros de semicircunferencia, secumple:
L
S1
S2
S
-
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204
B O
AP
O130
Nivel I
2) Calcula el rea de un sectorcircular de ngulo central 45 yde radio 8 cm.
a) 4cm2 d) 10 cm2b) 6cm2 e) 12cm2c) 8cm2
3) Calcula el rea del sector circularsombreado (O es centro).
a) 6cm2 d) 8 cm2b) 9cm2 e) 15cm2c) 12cm2
10) Si el lado del cuadrado ABCDmide 4cm, calcula (S1-
S2).
a) (3-8) cm2b) (6+8) cm2
c) 2(3-8) cm2d) (6-8) cm2e) 2(6-8) cm2
S=S1+S
2
Por teorema: S1+M+S2+N=M+S+N
Demostracin:
L
S1
S2
SM N
1) Halla R para que las reas de laregin sombreada y el de la nosombreadas sean iguales.
a) 3 b) 3 2 c) 2d) 2 2 e) 2 3
12 cm32 58O
4) Calcula el rea de la reginsombreada si O y O1son centros.Adems OA=OB=8 cm.
a) 16cm2 d) 8cm2b) 12cm2 e) 9cm2c) 6cm2
6
R
BO
A
O1
5) Halla el rea de un crculo inscritoen un tringulo equiltero depermetro 18 3 cm.
a) 2cm2 d) 9cm2b) 4cm2 e) 16cm2c) 6cm2
6) Calcula el rea de un crculoinscrito en un hexgono regular
cuyo permetro es 36 cm.
a) 27cm2 d) 16cm2b) 9cm2 e) 25cm2c) 36cm2
7) Calcula el rea de un crculodonde la long i tud de sucircunferencia es 16 cm.
a) 32cm2 d) 48cm2
b) 64cm2
e) 16cm2
c) 36cm2
8) Halla el rea de la regin circularmostrada si la longitud de sucircunferencia mide 24 cm.
a) 49cm2 d) 81cm2b) 64cm2 e) 100cm2c) 144cm2
R
9) Calcula el rea del semicrculo;si el rea del tringulo ABC es51 u2, AB=8u y BC=9u.
a) 36u2 d) 14u2b) 16u2 e) 20u2c) 18u2
B
OA C
B
A D
C
S2S1
11) Calcula el rea de la reginsombreada: si OA=OB=6cm.
a) /2cm2 d) 3/2 cm2b) 2cm2 e) cm2c) 3cm2
-
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205
12) Si el permetro de un crculo es24cm, halla su rea.
a) 12cm2 d) 144cm2
b) 24cm2 e) N.A.c) 100cm2
13) Halla el rea de la coronadeterminada por los crculosinscrito y circunscrito a uncuadrado de 16 cm2de rea.
a) cm2 d) 4cm2b) 2cm2 e) 6cm2c) 3cm2
14) Halla la medida del ngulocentral de un sector circular de10dm. de radio y 25dm2de rea.
a) 60 b) 30 c) 45d) 90 e) 100
16) Halla el rea del crculo inscritoen un cuadrado cuya diagonalmide 6dm.
a) 4,5dm2 d) 3,6dm2b) 3dm2 e) N.A.c) 5,6dm2
Nivel II
B C
A D
17) En el grfico, halla el reade la regin sombreada siAB=BC=2cm y los lados delcuadrado son dimetros de lasemicircunferencias.
a) /2 cm2 d) 2cm2
b) /4 cm2 e) N.A.
c) cm2
18) En un tringulo equiltero ABC,se toma los puntos medios M, Ny P de los lados AB, BC y ACrespectivamente. Con centroen A y radio AM se traza elarco MP; con centro en B yradio BM se traza el arco MN ycon centro en C y radio CNse traza el arco NP. Halla el reade la regin limitada entre estostres arcos si AB=4 cm.
a) (4 3-2)cm2b) (2 3+)cm2c) (3 2-)cm2d) (+2)cm2e) N.A.
19) En un cuadrado ABCD;AB=4cm, tomando como
dimetro los lados AD y BC setraza dos semicrculos internos.Halla el rea de la regin internaal cuadrado y externa a lossemicrculos.
a) (12-)cm2 d) 2(+2)cm2b) (16-)cm2 e) N.A.c) 4(4-)cm2
22) En el grfico, AB=BC=4u.Halla el rea de la reginsombreada.
a) u2 d) (8-)u2b) 2 u2 e) (2-3)u2
23) Sean las regiones A1 y A
2
limitadas por dos circunferenciasde igual radio tal que:
A1A2=100 m2 y
A1A2=400 m2
Halla la medida del radio de lascircunferencias.
a) 5 m d) 1m
b) 3 m e) m
c) 2 m
10
1
5
B C
A D
21) Halla la medida del radio de
una circunferencia interior aun crculo de radio 4 dm quedetermina regiones equivalentes.
a) 2 2dm b) 2 dm c) 2 dmd) dm e) N.A.3 2
2
15) Se tiene un crculo de 36m2de rea, halla el rea limitada
por una cuerda que subtiendeun arco de 60.
a) (6- 3)m2 d) m2b) (6-9 3)m2 e) N.A.c) (3-4 3)m2
20) En un cuadrado ABCD, de ladoL, con centro en A y radio ABse traza el arco BD y con centroen C y radio BC se traza el arcoBD. Halla el rea de la reginlimitada por stos dos arcos.
a) L2 (-1) d) (-2)
b) (-2) e) N.A.
c) (-1)
L2
2L2
3
L2
3
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Nivel III
25) Si el permetro y el rea de uncrculo son numricamenteiguales, halla el rea del crculo.
a) u2 b) 2 u2 c) 3 u2
d) 4 u2 e) N.A.
24) Halla el rea del crculo inscritoen un tringulo equiltero de9 3dm2de rea.
a) dm2
b) 2dm2
c) 3dm2
d) 4 dm2e) 3dm2
26) Si el rea de un sector circulares de 3 u2 , halla la medida de
su ngulo central, sabiendo quesu radio mide 6u.
a) 15 b) 20 c) 30d) 45 e) 60
27) Halla el rea de la corona quedeterminan los crculos inscritoy circunscrito a un cuadrado de16 cm de permetro.
a) cm2
b) 2 cm2
c) 3 cm2
d) 4 cm2e) 6 cm2
28) Se tiene un sector circular conngulo central igual a 30 y radio6cm. Halla la medida del radiodel crculo equivalente al sector.
a)1 cm b) 2 m c) 2 cmd) 3 cm e) N.A.
31) Halla el rea del crculo inscritoen un tringulo rectngulo,cuyos catetos miden 6u y 8u.
a) u2 b) 2 u2 c) 3 u2
d) 4 u2 e) 6 u2
32) Si el rea de la regin de untringulo equiltero es de 9 3dm2. Halla el rea del crculocircunscrito al tringulo.
a) 6 dm2 d) 12 dm2b) 3 dm2 e) N.A.c) 9 dm2
33) Halla el rea de la coronadeterminada por los crculosinscrito y circunscrito a untringulo equiltero de 12cm depermetro.
a) cm2 b) 2 cm2 c) 4 cm2
d) 6 cm2e) N.A.
34) Halla la relacin de las medidasde los radios de dos sectorescirculares equivalentes dengulos centrales 120 y 60respectivamente.
a) b) c) 2
d) e)
12
13
22
32
35) Se tiene un tringulo equilteroABC de 4 3cm2de rea, se trazala latura BH y con centro en By radio BH se traza un arco queintersecta a AB en T y a BCen I. Halla el rea del sectorcircular TBI.
a) cm2 d) 4 cm2
b) cm2 e) N.A.
c) 2 cm2
2
36) En el grfico, ABCD es uncuadrado, AB=4cm. Halla elrea de la regin limitada porlos arcos MN, NP, PQ y QM.
a)4(4-) cm2 d) 3(-1) cm2
b) 3 cm2 e) N.A.c) (4+) cm2
B C
A DQ
M P
N
A
B C
37) Halla el rea del crculosombreado si:
a) b) c)
d) e)
925
916
34
916
94
1AB
1BC
23
+ =
38) Halla x en funcin de S.
a) 3S d) (+3)
b) S(2-3) e) 2S(+2)
c) (3+2)S4
S2
29) Se tiene un cuadrado ABCD de4cm de lado, haciendo centro enD se traza el arco AC, halla elrea de la regin limitada por AB,
BC y el arco AC.
a) 4(+2)cm2 d) 4cm2b) 4(4-)cm2 e) N.A.c) 3(-2)cm2
30) Halla el rea del crculocircunscrito a un cuadrado de
24m2de rea.
a)3 m2 d) 12 m2b) 2 3 m2 e) 6 6 m2c) 3 3 m2
x
S
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39) En la figura se muestra unc u a d r a n t e A O B y u n asemicircunferencia de dimetroOB. Calcula x si S=4m2
a) 2 m2 b) 4 m2 c) 3 m2
d) 5 m2 e) 6 m2
40) Calcula el rea del semicrculo
si BC=2m y CD=10m.
a) 9/8 m2b) 6 m2 c) 7 m2
d) 7/8 m2e) 6/7 m2
C DBA
41) Calcula el rea de la reginsombreada si M es punto detangencia, AM=a y MB=b.
a) d) (a2+b2)b) e) N.A.
c)
(a+b)2
4ab
a+bab
a+b( )2
42)
a) 26cm2 d) 16cm2
b) 25cm2 e) 9cm2c) 21cm2
10cm
43)
a) 9cm2 d) 6cm2
b) 7cm2 e) 5cm2c) 8cm2
En los siguientes ejercicios halla el reade la regin sombreada.
15cm
8cm
44)
a) 20cm2 d) (20 - 4)cm2
b)(20+3)cm2 e) 20+8cm2c) cm2
OA BM
r=4cm
6cm
46)
a) 25cm2 d) 40cm2
b) 30cm2 e) 18cm2c) 10cm2
10cm
45)
a) 20cm2 d) 30cm2
b) 18cm2 e) 8cm2c) 40cm2
r=6cm
47)
a) 6cm2 d) 5cm2
b) 4cm2 e) cm2c) 2cm2
5cm
72
48) Si ABCD es un cuadrado de8cm de lado, calcula el rea dela regin sombreada.
a) 16(4-)cm2 d) 4(32-)cm2b) 32(4-)cm2 e) 16(2-)cm2c) 32(2-)cm2
B C
A D
49) Halla el rea de la reginsombreada si AB=16cm.
a) 16(-2)cm2 d) 32cm2b) 24(
-2)cm2 e) 12(
-3)cm2
c) 32(-1)cm2
OA B
50) Halla el rea de la reginsombreada si AB=BC y ABCes un tringulo rectngulo (rectoen B).
a) 4(2-1)cm2 d) 6(-1)cmb) 8(-2)cm2 e) 8(-1)cm2c) 4(-3)cm2
B
A C4 2cm
X
A
O B
S
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Nivel I
3) Calcula x si R=16u y r=4u.
a) 16/9 u b) 15/8 u c) 2 ud) 3/2 u e) 8/3 u
Repaso
R r
x
5) Dado un rectngulo ABCD,AD=30 cm y AB=25 cm, calculael radio de la circunferenciatangente a BC que contiene a A
y D.
a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cmd) 20 cm e) 21 cm
M
C A
B
d
x
h
7) Se tiene un cuadrado ABCD cuyolado tiene una longitud igual aL. Se traza una circunferencia
que pasando por los vrtices By C, es tangente al lado AD.Calcula la longitud del radio dela circunferencia.
a) 4L/7 b) 5L/8 c) 3L/5d) 2L/3 e) 8L/10
8) En un pentgono ABCDE, loslados AE y DE miden 16u y 8urespectivamente y m A+m B
+m C+m D=480. Calculala distancia del vrtice E a ladiagonal AD.
a) 4 3 u b) 8 u c) 10 ud) 12 u e) 3 3 u
9) Sea ABC un tringulo rectngulocuyos catetos miden AB=40 u yAC=30 u. Se traza la altura ADrelativa a la hipotenusa. Calcula
la diferencia entre los permetrosde los tringulos ABD y ACD.
a) 24 u b) 30 u c) 48 ud) 20 u e) 26 u
1) En un tringulo PQR (m Q=90),los catetos PQ y QR miden 30 m
y 20 m respectivamente. Calcula
la distancia del vrtice Q a la
mediana RM.
a) 8 m b) 9 m c) 10 md) 11 m e) 12 m
2) En una circunferencia de 5m deradio, se traza una cuerda ABy sobre sta se ubica un punto
M, de modo que AM=3m yMB=5m. Calcula a qu distanciaest M del centro.
a) 10 m b) 11 m c) 13 md) 15 m e) 3 m
4) El lado de un cuadrado ABCD,inscrito en una circunferencia,mide 4u. M es un punto del
arco AB, de modo que MD=5u.Calcula MB.
a) 6 u b) 5 u c) 2 2 ud) 7 u e) 3 u
6) En el tringulo de la figura, lasuma de las longitudes BM yMA es igual a la suma de laslongitudes BC y CA. Si BM=x,BC=h y CA=d, calcula x.
a) d -h d) h2+d2-h
b) e) h+d- 2d
c)
hd2h+dd2
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Nivel II
10) Una circunferencia es tangentea dos lados adyacentes de uncuadrado y divide a cada uno delos otros lados en dos segmentoscuyas longitudes son 2cm y23cm. Calcula la longitud delradio de la circunferencia.
a) 15 cm b) 16 cm c) 17 cmd) 14 cm e) 19 cm
11) Las medianas de un tringulorectngulo ABC trazadas a partirde los vrtices de los ngulosagudos tienen longitudes de 5my 40m. Calcula la longitud dela hipotenusa.
a) 15,0 m d) 13,58 mb) 12,60 m e) 10,1 mc) 7,21 m
12) En un tringulo rectnguloABC, recto en B, se traza laaltura BH; de tal manera queAH=5u y HC=7u. Calcula laslongitudes de los catetos.
a) 2 13 u y 2 15 ub) 2 15 u y 2 21 uc) 3 7 u y 3 5 ud) 2 5 u y 2 7 ue) 7 2 u y 5 2 u
13) En un tringulo rectngulo, lasproyecciones de los dos catetosestn en relacin de 4 a 5. Calculala relacin de dichos catetos.
a) b) c)
d) 5 e)
25
2 5
35
45
14) En un romboide ABCD, si BC=8u, CD=5u y AC=10 u. Calculala proyeccin de BD sobre AC.
a) 1,9 u b) 2,9 u c) 3,9 ud) 4,9 u e) 5,9 u
15) S e a A B C u n t r i n g u l orectngulo recto en B, cuyas
m e d i a n a s B M y C N s o n
perpendiculares entre s. Calcula
el valor de AB, si BC=6dm .
a) 3 2dm b) 2 3dm c) 6 2dm
16) En la figura, 2AB=AC=CD=DEy las rectas horizontales son
paralelas. Sea x=rea de la
regin triangular ABH y sea
z=rea del cuadriltero FGCE.
Luego, es:
a) 1/16 b) 5/72 c) 1/14d) 1/32 e) 3/32
xz
A
F E
D
CG
BH
A B
D C
S
Q
RM N
T
18) Se tiene un tringulo ABC,inscrito en una circunferencia.La tangente en A, a l acircunferencia, corta en Pa la prolongacin de CB. Si3(AC)(CP)=(AB)(AP) y el reade la regin triangular APC esk unidades cuadradas. Halla elrea de la regin triangular APB.
a) u2 b) u2 c) u2
d) u2 e) k u2
k3
2k5
k7
k5
34
20) El rea de la regin del tringulo
ABC es S. Si AM=MB yAE=EF=FC, halla el rea dela regin sombreada.
a) b) S c)
d) e)
S20
320
S10
S8
7S20
B
FE C
M
A
17) La figura ABCD es un cuadradode lado a. El vrtice A se unecon los puntos medios de loslados BC y CD; luego se trazael segmento que une los puntosmedios de AB y AD. Halla el reade la regin triangular ARQ.
a) a2/9 b) 3a2/8 c) a2/24d) a2/6 e) a2/12
19) Dos circunferencias se encuentran
separadas y la distancia entre suscentros, A y B, es 8cm, siendosus dimetros de 4 y 10 cm,respectivamente. De A, se trazauna secante que corta en R y Sa la otra circunferencia, dondeRS=6cm. Si P es la proyeccinde R sobre AB, calcula el reade la regin triangular RPB.
a) (18+4 3)cm2
b) cm2
c) cm2
d) cm2
e) cm2
12+7 38
24+7 38
20+5 34
28+4 34
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210
29) Si ABCD es un romboide, hallala relacin de las reas S1,S2,S3y S4si MP//AB.
a) S1+S2=S3+S4
b) S1+S
4=S
2+S
3
c) S1+S3=S2+S4
d) S1.S2=S3.S4
e) S1.S3=S2.S4
21) Dado un cuadrado ABCD, sobrelos lados BC y CD se toman los
puntos M y N respectivemante tal
que: m MAN=45; y adems BD
interseca a AM y AN en los puntos
P y Q, respectivamente. Si {PN}
{MQ}=F y la prolongacin
de AF corta a MN en k tal que
AF=10 y FK=2, halla el rea de
la regin triangular MCN.
a) 12 b) 24 c) 20d) 40 e) 42
22) Del grfico: m TPQ=60,
m T M = m A M y A N = N Q .Calcula el rea de la reginsombreada en funcin de R.
a) 3 R2 b) 3 R2 c) 5 R2
d) 5 R2 e) R2
7
818 7
573
RP
T
Q
OB
M
A
N
23) En un tringulo ABC, se trazanBP y BQ perpendiculares a lasbisectrices exteriores de losngulos A y C, respectivamente.Luego se traza IM perpendiculara AC (I: incentro del tringuloABC). Calcula el rea de la
regin triangular ABC si el reade la regin PIQM es 64 u2.
a) 64 u2 b) 32 u2 c) 16 u2
d) 128 u2 e) 24 u2
24) Grafica el cuadriltero ABCD yubica M y N puntos medios deBD y AC, respectivamente. EnMN, ubica el punto P. Si las reasde las regiones triangulares DAP,APB, CPD y CPB son S
1,S
2,S
3
y S4, respectivamente, halla la
relacin que cumplen S1,S
2,S
3y S
4.
a) S1.S3=S2.S4