coordinate polari
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COORDINATE POLARI. Sia P ha coordinate cartesiane Le coordinate polari di P sono:. COORDINATE POLARI. P ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono:. COORDINATE POLARI. Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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COORDINATE POLARI• Sia P ha coordinate cartesiane
Le coordinate polari di P sono:
1
O
P
1P
2P
x Px
Py
y
OP POxasse ˆ
),( PP yx
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COORDINATE POLARI• P ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono:
2
O
P
1P
2P
x 1Px
1Py
4
2
y
)4
,2(,
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COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:
• si osservi che:
3
cosx siny
22 yx
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4
PRODOTTO SCALARE• Si chiama prodotto internoprodotto interno ( o moltiplicazione scalaremoltiplicazione scalare) tra due
vettori il numero numero definito da:
• Si chiama norma euclidea norma euclidea di un vettore idi un vettore il numero numero definito da:
• La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del vettore.
n
iii yxyx
1
,
2/1
1
2 ,)(
xxxxn
ii
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5
NORMA• Possono essere definite altri tipi di norma.
• La norma di un vettore è una funzione che soddisfa:
1.
2.
3.
00,0 xxx
Rxx
212121 , xxxxxx
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6
PRODOTTO SCALARE
• Si considerino i due vettori :
La lunghezza (la norma euclidea) dei due vettori è data da:
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4x
24
x
21
y
xy
541
20416
y
x
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7
PRODOTTO SCALARE• Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate
polari si ha :
• Il prodotto scalare dei due vettori diventa:
sin20
cos2024
x
sin5
cos521
y
)cos(
)sinsincos(cos520
cos5sin20cos5cos20
,
yx
yx
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8
PRODOTTO SCALARE• Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli:
• è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui
24
x
21
y
0)cos(
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9
VETTORI ORTONORMALI
• Dato un qualunque vettore di norma si può introdurre il vettore normalizzato espresso da:
• Due vettori e si dicono ortonormali se sono ortogonali e ciascuno ha norma unitaria.
• Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2 ortonormali la matrice è ortogonale.
xxx *
x x*x
*x *y
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10
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• EsempioSi considerino i due vettori e costituiti dai prezzi di chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime settimane.Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di prezzi può essere espresso da:
dove rappresenta la media aritmetica dei prezzi di chiusura del titolo i-esimo.
)()()(),(
21
21
yMyxMxyMyxMxr
x yn
,2,1),( ixM i
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11
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4 settimane sono stati:
• Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica
59810
14131110
yx
84
59810)(
124
14131110)(
2
1
yM
xM
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12
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli è utile costruire i 2 vettori:
• Per cui si ha:
-0,760643,7416573,1622789
)()()(),(
21
21
yMyxMxyMyxMxr
31
02
858988810
)(
2112
1214121312111210
)( 21 yMyxMx
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SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi
Si considerino 2 insiemi V e K.Si introducano 2 operazioni:• “composizione interna” tra elementi di V;• “composizione esterna” tra elementi di V ed elementi di K.Esempio 1.
Composizione interna = somma tra matrici quadrate;Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno
scalare.
13
RKeMV n
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Esempio 2Sia V l’insieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n.
Composizione interna = somma tra polinomi;Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno
scalare.N.B.Controllare cosa succede se V è l’insieme dei polinomi
algebrici di grado n.
14
RKexpV n )(
SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi
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SPAZI VETTORIALI
Un vettore in Fisica è definito come un ente costituito da un punto di applicazione (O), una direzione (retta per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza (misura di OP).
15
O
P
1P
2P
xPx
Py
OP
y
x
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SPAZI VETTORIALII vettori nella figura che segue sono equivalenti al vettore .
Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati nell’origine.
16
O
P
1P
2P
xPx
Py
OP
y
x
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SPAZI VETTORIALI
Dati i due vettori e si definiscono il vettore somma e il vettore differenza come i vettori che hanno come componenti rispettivamente la somma e la differenza delle componenti di e di ; geometricamente sono le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO.
17
O
P
R
x
x
y
Q y
x y
x y
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COMBINAZIONE LINEARE
Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K, allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V. Dati n elementi (vettori) di uno spazio vettoriale V ed n scalari si definisce combinazione lineare il vettore di V espresso da :
18
nxxx ,...,, 21n ,...,, 21
nnxxxz ...2211
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LINEARE INDIPENDENZA
Gli n vettori dello spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se risulta
se e solo se gli n scalari sono tutti contemporaneamente nulli. Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori si dicono linearmente dipendenti.
19
nxxx ,...,, 21
n ,...,, 21
0...2211 nnxxx
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LINEARE DIPENDENZA
Gli n vettori dello spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, e supponiamo che
allora , dividendo per , si ottiene:
ovvero è combinazione lineare degli altri vettori.
20
nxxx ,...,, 2101
0...2211 nnxxx 1
nn xxx1
21
21 ...
1x
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ESEMPIO DI L.D.
Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei seguenti 3 vettori:.
21
0121
1x
0242
2x
1210
3x
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SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.
Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3 vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema:
22
0022
04202
3
321
321
21
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SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.
La matrice dei coefficienti:
ha rango 2, quindi il sistema ammette soluzioni :
e risulta:
23
100221142
021
A
1 TT 02/11321
12 2xx
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ESEMPIO 2 DI L.D.
Si vuole esprimere il polinomio
come combinazione lineare dei seguenti polinomi:
24
34)( 2 xxxp
52)( 2)1( xxxp
xxxp 32)( 2)2(
3)()3( xxp
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GENERATORI E BASI
Dati gli n vettori dello spazio vettoriale V Sia l’insieme delle combinazioni lineari
è un sottospazio vettoriale di e i vettori sono chiamati generatori di .Se h vettori tra gli n generatori sono linearmente indipendenti lo spazio vettoriale da essi generato coincide con . I vettori costituiscono una base di
25
nxxx ,...,, 21
nnxxx ...2211
1x
*V
*V Vnxxx ,...,, 21
*V
**V*V
hxxx ,...,, 21
hxxx ,...,, 21*V
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GENERATORI E BASI
I vettori costituiscono una base di . Il numero h dei vettori della base viene chiamato dimensione di . Dato un qualunque vettore esso può essere scritto come e i coefficienti della combinazione lineare vengono denominati coordinate (sono uniche!) del vettore rispetto alla base .Dato lo spazio vettoriale di dimensione h, esistono più basi.
26
*Vhxxx ,...,, 21
*V*Vx
hhxxxx ...2211
h ,...,, 21 xhxxx ,...,, 21
*V
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GENERATORI E BASI
Si considerino 2 basi di
Un vettore può essere espresso nelle 2 basi da
Ovvero come:
Dove :
27
*Vhvvv ,...,, 21
*Vx
hhvvvx ...2211
Th ...21
Bx
hvvvB 21
hwww ,...,, 21
hhwwwx ...2211
*Bx
hwwwB 21*
Th ...21
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GENERATORI E BASI
Uguagliando si ha
da cui : ovvero
La matrice è denominata matrice di cambiamento di base.
28
*BB
*1 BBA
*1BB BB 1*)(
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ESEMPIO DI GENERATORI E BASI
Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a 3:
Si considerino i vettori di V :
Essi sono generatori di V.Non sono linearmente indipendenti.I vettori sono linearmente indipendenti.
29
31
22
13
0)( axaxaxaxp
31 xz 2
2 xz 13 xz 1
4 2xz 05 xz
5321 ,,, zzzz
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BASE CANONICA
Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2. Una base è costituita da
Si considerino i vettori di V :
Sono una base per V, detta canonica.
30
0001
1e
0010
2e
0100
3e
1000
4e
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ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE
Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle matrici 2x1:
Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto alla base canonica.
31
23)1(v
3
2)2(v
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TRASFORMAZIONI LINEARI
Dati due spazi vettoriali W e si definisce trasformazione lineare di W in ogni funzione tale che:• • Nucleo di T, ker(T), l’insieme dei vettori di W che hanno come immagine il vettore nullo di .Immagine di T, Im(T), l’insieme di vettori di che provengono da vettori di W.
32
)()()( yTxTyxT
)()( xkTkxT
*W*W
*W*W
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ESEMPIO DI T.L.
Dati i due spazi vettoriali e si consideri la trasformazione lineare di in :• L’immagine della t.l. è l’insieme . Il nucleo di T, ker(T), è l’insieme dei vettori di che hanno come immagine il vettore nullo di , ovveroDa cui si ricava:
Quindi
33
2121 ),( xxxxT
2RR
2RR 0),( 2121 xxxxT
RxxxT 111 );,()ker(
12 xx
2R R
R
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ESEMPIO DI T.L.
Dati i due spazi vettoriali e si dimostri che la legge seguente è una trasformazione lineare :• dove
Analogamente si dimostra che la trasformazione che associa al vettore la media aritmetica delle componenti è una trasformazione lineare:
34
xuxxxxTn
iin ,),...,,(
121
nR R
x
Tu 1...11 Tnxxxx ...21
n
iin x
nxxxT
121
1),...,,(
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ESEMPIO DI T.L.
Si determini la trasformazione lineare tra e che fa corrispondere ad ogni vettore il vettore degli scarti dalla media aritmetica.•
35
nRx
nR
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TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE
Si consideri la trasformazione lineare tra i due spazi vettoriali e , si può dimostrare il seguente teorema di rappresentazione:
Se
La trasformazione lineare viene denominata isomorfismo.
36
T1W 2W
TTW kerdimImdimdim 1
2Im WT 0ker T
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EQUAZIONE CARATTERISTICA L’equazione caratteristica è data da:
ovvero:
Le soluzioni vengono denominate autovalori. Le soluzioni del sistema:
vengono denominate autovettori corrispondenti all’autovalore .
37
0...)1()det( 011 n
nnnIA
0...11
nnn cc
n ,...,, 21
0)( xIA i
i
![Page 38: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/38.jpg)
EQUAZIONE CARATTERISTICAPer l’equazione caratteristica valgono i seguenti teoremi:1.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli minori principali di ordine i della matrice A moltiplicata per .
2.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli prodotti degli
autovalori presi i alla volta moltiplicata per .
38
i)1(
in
in
ic
ic in
in
i)1(
![Page 39: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/39.jpg)
• Si verifichino i teoremi nel caso della matrice:
EQUAZIONE CARATTERISTICA
67363
2176
021A
![Page 40: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/40.jpg)
Teorema 3“Una matrice quadrata ammette l’autovalore
nullo se e solo il determinante è nullo”.
Teorema 4“Ogni matrice quadrata soddisfa la sua
equazione caratteristica”.
EQUAZIONE CARATTERISTICA
![Page 41: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/41.jpg)
Teorema 5“Se il rango di una matrice quadrata è r allora
l’autovalore nullo ha molteplicità algebrica ”.
Teorema 6“Gli autovalori di una matrice triangolare
coincidono con gli elementi della diagonale principale”.
EQUAZIONE CARATTERISTICA
rnh
![Page 42: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/42.jpg)
Teorema 7“Ad autovalori diversi corrispondono autovettori
linearmente indipendenti ”.Molteplicità algebricaMolteplicità geometricaTeorema 8“La molteplicità algebrica dell’autovalore è
maggiore o uguale alla moteplicità geometrica ”.
MOLTEPLICITA’
ih
igi
igih
![Page 43: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/43.jpg)
Si definisce matrice modale della matrice A la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A”
Teorema 9“Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali”Teorema 10“La matrice modale di una matrice simmetrica è
ortogonale.”
MATRICE MODALE
![Page 44: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/44.jpg)
Un sistema di equazioni differenziali lineari è:
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)()(...)()(
...)()(...)()(
)()(...)()(
2211
222221212
112121111
tgtxatxatxax
tgtxatxatxax
tgtxatxatxax
nnnnnnn
nn
nn
![Page 45: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/45.jpg)
Un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo è:
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(...)()(
...)(...)()(
)(...)()(
2211
22221212
12121111
txatxatxax
txatxatxax
txatxatxax
nnnnnn
nn
nn
![Page 46: COORDINATE POLARI](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061422/56815dd2550346895dcbfbd2/html5/thumbnails/46.jpg)
Esempio 2.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(3)(2)(4
)(2)(2
)(4)(2)(3
3213
312
3211
txtxtxx
txtxx
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Esempio 3.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(2)(6)(3
)()(4
)(
3213
212
11
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Esempio 4.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
)(2)(17)(7
)()(7)(3
)(4)(9)(9
3213
3212
3211
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