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Sílvia Mara da Costa Campos Victer
Concurso: Matemática da Computação
UERJ - Friburgo
Convolução,
Série de Fourier e
Transformada de Fourier contínuas
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Tópicos
Sinais contínuos no tempo
Função impulso
Sistema lineares e invariantes sob translação (SLIT)
Convolução Contínua
Série de Fourier Contínua
Transformada de Fourier Contínua
Definição
Propriedades
Exemplos
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Sinais contínuos
Sinais contínuos
Um sinal contínuo, denotado x(t), é uma função (real ou complexa)
cujo domínio é o conjunto dos reais ℝ.
Função impulso unitário ou delta de Dirac (fundamental
no estudo de sistemas lineares)
Propriedade de filtragem
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Sinais contínuos
Propriedades da função impulso:
Integral com impulso: Exemplos:
Integral com impulso deslocado
Integral com impulso escalonado
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Sistemas contínuos
Sistemas cujas entradas e saídas são funções escalares (sinais reais
ou complexos) contínuas no tempo.
Notação:
Exemplo: Sistema integrador
A relação entre uma entrada x(t) e a saída
define um sistema contínuo (integrador)
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Sistemas contínuos
Definições
Linearidade: um sistema é linear se satisfaz o princípio da
superposição:
‘
Invariância no tempo: Um sistema é invariante no tempo se um
deslocamento da entrada produz igual deslocamento na saída.
Causalidade: um sistema é dito (ou não-antecipativo) quando a
saída não depende de valores futuros da entrada.
Estabilidade: a saída é estável para toda entrada limitada
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Sistemas contínuos
Resposta ao impulso:
Saída do sistema quando a entrada é a função impulso e as
condições iniciais são nulas (sistema em repouso), isto é
A resposta impulso do integrador é
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Convolução contínua
Convolução é a operação:
A convolução opera com duas funções ou com dois sinais, x(t) e
h(t), para gerar uma terceira função ou sinal como resultado da
operação, y(t). A interpretação para a função h(t), na
engenharia - resposta impulsiva de um sistema linear e
invariante no tempo, mas também é uma função matemática
que descreve as características intrínsecas de um sistema.
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Convolução
Exemplo de operação da convolução para sinais contínuos
infinitos, onde x(t) é o sinal de entrada e h(t) é a resposta
impulsiva:
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Convolução
Resultado desta convolução: Sinal contínuo infinito
x(t)
h(t)
y(t)
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Exemplo de convolução
Convolução de sinal contínuo finito com sinal contínuo infinito
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Exemplo de convolução
Resultado: sinal contínuo infinito
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Convolução A Convolução é linear: Substituir x(t) = ax1(t) + bx2(t)
A Convolução é invariante no tempo: Substituir x(t – t0)
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Convolução contínua
Propriedades:
O impulso é o elemento neutro da convolução
Comutativa
Associativa
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Convolução contínua
Distributiva em relação à soma
Deslocamento no tempo:
Convolução com a degrau: integração
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Convolução com a Resposta ao Impulso de
um sistema SLIT
A saída de um sistema linear e invariante no tempo é a
convolução da resposta ao impulso com a entrada, isto é
Sendo a resposta ao impulso do sistema
Prova:
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Propriedade da representação da
resposta ao impulso
Conexão paralela de sistemas (propriedade distributiva)
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Propriedade da representação da
resposta ao impulso
Conexão série de sistemas (propriedade associativa)
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Propriedade da representação da
resposta ao impulso
Propriedade comutativa
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Convolução contínua
Sistemas inversíveis e desconvolução
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Série de Fourier contínua
Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente (Série de Fourier)
Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)
Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação.
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Série de Fourier contínua
Funções periódicas:
Qualquer função que satisfaça
T : constante chamada de período da função
Série de Fourier:
Decomposição de um sinal periódico de entrada em componentes
periódicas primitivas.
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Série de Fourier contínua
Encontrar o período da função
deve ser um número
racional
A função não é periódica:
pois não é um número racional
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Série de Fourier contínua
Encontrar o período da Função
Menor T
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Séries de Fourier
Exemplo de uma sequência periódica:
Propriedades das Representações de Fourier
Sinais periódicos de tempo contínuo ou discreto têm uma representação por série de Fourier, dada pela soma ponderada de senóides complexas com frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. Desta forma, um conjunto discreto de frequências está envolvido em sua representação.
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Séries de Fourier Síntese
parte DC parte par parte ímpar
T é um período de todos os sinais acima
(Série trigonométrica de Fourier para sinais reais)
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Série de Fourier
Decomposição
Frequência angular fundamental
n-ésimo harmônico da função periódica
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Séries de Fourier
Funções ortogonais
Para conjunto de funções ortogonais {Ф} em um intervalo
a < t < b :
Obs: A escolha de exponenciais complexas como uma base ortogonal é apropriada pois:
sinais complexos são periódicos
relativamente fáceis de manipular matematicamente
o resultado tem interpretação física significativa
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Séries de Fourier
Conjunto ortogonal de funções senoidais
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Série de Fourier Exemplo (onda quadrada)
-0,5
0
0,5
1
1,5
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Série de Fourier
Amplitudes e ângulos de fase
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Forma complexa da série de Fourier
Exponenciais complexas
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Forma complexa da série de Fourier
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Forma complexa da série de Fourier
Espectro de Frequência complexa
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Trem de impulso
Séries de Fourier: Forma complexa:
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Série de Fourier
Análise de Formas de onda periódicas:
Simetria das formas de onda:
Decomposição: Qualquer função f(t) pode ser expressa como a soma
de uma função par e uma função ímpar:
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Série de Fourier
Exemplo:
Para sinais reais: espectro de magnitude – simetria par;
espectro de fase – simetria ímpar
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Séries de Fourier contínua Exemplo: Trem de pulso retangular
Sinal periódico com período fundamental T = 2
Espectros de linha (de amplitude e de fase, respectivamente)
Simetria
par
Simetria
ímpar
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Série de Fourier contínua
Condições de Dirichlet:
Um Sinal periódico, tem uma série periódica se ele satisfaz as seguintes condições:
1. Ser absolutamente integrável sobre qualquer período:
2. ter apenas um número finito de máximos e mínimos em qualquer período.
3. ter apenas um número finito de descontinuidades em qualquer período.
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Série de Fourier Contínua
Representação de uma onda quadrada: com apenas 5
componentes já se consegue uma boa aproximação.
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Teorema de Parseval
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Fenômeno de Gibbs
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Transformada de Fourier
Descreve sinais periódicos e aperiódicos.
Pulso retangular e um trem de pulso
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Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
Exemplo de um sinal exponencial complexo:
b>0
( ) ( )
0 0
( ) ( )
1
bt j t
t
b j t b j t
t
X e u t e dt
e dt eb j
( ) ( )
0 0
( ) ( )
1
bt j t
t
b j t b j t
t
X e u t e dt
e dt eb j
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Transformada de Fourier
Espectro de amplitude e de fase do sinal exponencial:
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Transformada de Fourier
Forma polar
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Transformada de Fourier
Se x(t) é um sinal real:
do pulso
retangular
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Transformada Inversa de Fourier
Dado um sinal x(t) com transformada de Fourier
x(t) pode ser recalculado de pela transformada
Inversa de Fourier
Par de transformada
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Transformada de Fourier
Propriedades
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Transformada de Fourier
Propriedades
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Transformada de Fourier
Propriedades
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Transformada de Fourier
Propriedades
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Transformada de Fourier
Exemplo da propriedade da escala
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Pares da Transformada de Fourier
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Próxima aula:
Escolher 4 pares da transformada de Fourier, provar a
fórmula e desenhar o espectro de magnitude.
Provar as fórmulas da convolução e multiplicação no tempo.
Qualquer dúvida: [email protected]
Obrigada pela atenção