Convergencia con variables aleatorias

Virgilio L. Foglia

November 25, 2007

Octubre 2006

Contents

1 Lema de Borel-Cantelli 21.1 De�niciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Desigualdades con variables aleatorias 42.1 Desigualdad de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Teorema de Tchebichev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Desigualdad de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Convergencia con variables aleatorias 53.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Conjunto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Convergencia punto a punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Convergencia en casi todo punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4.1 Dos de�niciónes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Convergencia en Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6 Convergencia en media Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7 Convergencia en Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Relación entre los tipos de Convergencia 104.0.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 Ejemplos de implicaciones que no son válidas . . . . . . . . . . . 12

4.1.1 Ejemplo 1 (Xnc:t:p�! X : Xn

P�! X) . . . . . . . . . 12

4.1.2 Ejemplo 2 (Xnmc�! X : Xn

P�! X) . . . . . . . . . 13

4.1.3 Ejemplo 3 (Xnmc�! X : Xn

c:t:p:�! X) . . . . . . . . . 13

1

5 Conservación por Funciones continuas 14

6 Leyes de los grandes números 156.1 Ley débil de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.1.1 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Ley fuerte de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2.1 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Teorema de la Convergencia Dominada 177.0.2 Ejemplo Xn

p�! X ; E(Xn) �! E(X) . . . . . . . . . . 17

8 Alcances de los tipos de convergencia 17

9 Problemas 189.0.3 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.0.4 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.0.5 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1 Lema de Borel-Cantelli

1.1 De�niciones previas

Sea (; A; P ); un espacio de probabilidad, y A1; A2; :::; An; :: una sucesión desucesos. Notar que cuando se efectúa el experimento aleatorio ", y surge comoresultado un ! 2 ; habrán algunos An; de la sucesión de sucesos, que serealizarán, y otros que no. Si estamos interesados en los ! 2 ; que hacen quese realicen por lo menos uno de los An de la sucesión, estaremos interesados

en el suceso A =1Si=1

Ai: Por otro lado si nos interesan los ! 2 ; que hacen

que se realicen todos los An de la sucesión, estaremos interesados en el suceso

A =1Ti=1

Ai: En relación a estos sucesos valen las siguientes proposiciones:

Si An � An+1 y A =1[i=1

Ai =) P (A) = l�{mn!1

P (An) (1)

Si An � An+1 y A =1\i=1

Ai =) P (A) = l�{mn!1

P (An) (2)

Aunque no se demuestran, son bastante naturales. Pero en temas de convergen-cia con variables aleatorias suelen interesar otros sucesos, también construidoscon los An. Por ejemplo pueden intereasar los ! 2 ; que hacen que se realicenin�nitos An. De otra manera, no importa cuanto avancemos el indice k; siem-pre encontraremos más adelante, sucesos que se realizarán. Se de�ne entoncesel límite superior (A1)de una sucesión de sucesos así:

2

Límite superior

A1 =1\k=1

1[n= k

An = f! 2 : ! está en in�nitos Ang (3)

Por último, pueden interesar los ! 2 ;que hacen que se realicen todos los An apartir de cierto indice.Se de�ne entonces el límite inferior (A1)de una sucesiónde sucesos así:Límite inferior

A1 =1[k=1

1\n= k

An = f! 2 : ! está todos los An a partir de cierto n0g (4)

1.2 Lema de Borel-Cantelli

Sea (; A; P ); un espacio de probabilidad, y A1; A2; :::; An; :: una sucesión desucesos.

� (a) Si1Xn=1

P (An) <1 =) P (A1) = 0

� (b) Si1Xn=1

P (An) =1 y An son independientes =) P (A1) = 1

Para ambas demostraciones usamos que:

P (A1) = P (1\k=1

1[n= k

An) pero1[n= k

An es una sucesión decreciente

en k ya que1[n=1

An �1[n=2

An �1[n=3

An � :::: y usando (2) P (A1) = l�{mk!1

P (1[n= k

An)

Dem(a):

P (A1) = l�{mk!1

P (1[n= k

An) � l�{mk!1

1Xn= k

P (An) = 0 (usando la hipótesis)

Dem(b):

P (A1) = l�{mk!1

P (1[n= k

An) = 1� l�{mk!1

P (1\n= k

Acn)

Pero P (1\n= k

Acn) = l�{mm!1

P (m\

n= k

Acn) = l�{mm!1

mYn= k

(1� P (An))

pero 8p; 0 � p � 1 vale 1� p � e�p luego

P (1\n= k

Acn) � l�{mm!1

mYn= k

e�P (An) = l�{mm!1

e�

mXn= k

P (An)

= 0 (por hipótesis)

Luego resulta que P (A1) = 1:

3

1.2.1 Corolario

Si aplicamos leyes de Morgan a A1 =1[k=1

1\n= k

An resulta

(A1)c =

1\k=1

1[n= k

Acn = (Ac)1

Luego si en lugar de la sucesión A1; A2; :::; An; ::consideramos la sucesión decomplementos, o sea Ac1; A

c2; :::; A

cn; :el Lema de Borel-Cantelli queda

expresado:

� (a) Si1Xn=1

P (Acn) <1 =) P (A1) = 1

� (b) Si1Xn=1

P (Acn) =1 y An son independientes =) P (A1) = 0

2 Desigualdades con variables aleatorias

Ahora se presentan algunos teoremas que permiten en condiciones muy gen-erales, acotar el calculo de ciertas probabilidades.Como no se asume el conocimientode las distribuciones de las v.a. involucradas, solo algunas medias y desvíos, lascotas proporcionadas son en general muy malas desde un punto de vista práctico.Sin embargo, son muy útiles para estudiar convergencia con variables aleatorias.

2.1 Desigualdad de Markov

Sea X una v.a.g : R! R�0; y parg no decreciente en móduloE(g(x)) <1

9>>=>>; =) P (jXj � ") � E(g(x))=g(")

Dem:

Como g(x) � g(") para jXj � "y g(x) � 0 para jXj < "Resultará g(x) � g(") IjXj�"(X)luego E(g(x)) � g(") E(IjXj�"(X)) = g(")P (jXj � ")

2.2 Teorema de Tchebichev

Si X es una v.a. con �2 <1 =) P (jX � �j � ") � �2="2

Dem:

Resulta de tomar en la desigualdad de Markov la v.a, X � � y g(x) = x2:

4

2.3 Desigualdad de Kolmogorov

X1; X2; ::; Xn v.a. indep.E(Xi) = 0 V ar(Xi) <1

Si =iX

k=1

Xk

9>>>=>>>; =) P (m�ax jSij1� i �n

� ") � V ar(Sn)="2

2.3.1 Observación

Si aplicamos la desigualdad de Tchebichev a la v.a. Sn resulta

P (jSnj � ") � V ar(Sn)="2

Pero en la desigualdad de Kolmogorov aparece P (m�ax jSij1� i �n

� "). Sin embargocomo

fjSnj � "g �(m�ax jSij1� i �n

� ")

resulta P (jSnj � ") � P (m�ax jSij1� i �n

� ")

Luego la a�rmación de Kolmogorov es más fuerte, ya que

P (jSnj � ") � P (m�ax jSij1� i �n

� ") � V ar(Sn)="2

3 Convergencia con variables aleatorias

3.1 Introducción

Sea un experiento aleatorio ", y un espacio de probabilidad (; A; P ). Se de�nela sucesión de variables aleatorias

X1: �! RX2: �! R. . . . . . . . . . . .Xn: �! R. . . . . . . . . . . .

y X : �! R

Queremos analizar en que sentido podemos hablar de convergencia de la se-cuencia X1; X2; :::Xn:::: a X: Obviamente la intención es ver si para n grande,podemos reemplazar Xn por X en algún sentido y, en caso a�rmativo, precisarel alcance de este reemplazo. O sea podremos para n grande:� aproximar P (Xn 5 a) por P (X 5 a) ?� aproximar E(Xn) por E(X) ?� si Z es otra v.a. de�nida en el mismo espacio, aproximar �Xn;Z

por �X;Z ?

5

Ejemplo Sea el experimento ":"tirar in�nitas veces una moneda", y supóngasede�nido un espacio de probabilidad (; A; P ):Luego, un resultado del experimento ", tiene el aspecto:

! = (c; s; s; c; s; c; c; c:s; s; c; s; ::::::)

Sea la variable aleatoria X: "probabilidad de cara en el primer tiro", que enrealidades la constante 1/2.Se de�nen para cada ! 2 :X1(!): "(número de caras en la primera tirada de ! )/ 1"X2(!): "(número de caras en las dos primeras tiradas de ! )/ 2"X3(!): "(número de caras en las tres primeras tiradas de ! )/ 3".......................................................................................Xn(!): "(número de caras en las n primeras tiradas de ! )/ n"....................................................................................En este ejemplo queremos investigar, la posible convergenciade la secuencia de variables aleatorias a la constante 1/2.

3.2 Conjunto de convergencia

Como las variables aleatorias X1; X2; :::Xn; ::y X, son en realidad todas fun-ciones de �! R; notar que para cada ! 2 , X1(!); X2(!); :::Xn(!); ::es unasucesión de números reales, y X(!) es también un número real. Entonces ! 2 será un punto de convergencia de la sucesión Xn(!) a X(!) sii

8" > 0;9no 2 N; tq. si n � no =) jXn(!)�X(!)j < "

Si designamos �; el conjunto de puntos ! 2 ; en que se da la convergenciapuntual

� = f! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; tal que si n � no =) jXn(!)�X(!)j < "g

en palabras: ! será un punto de convergencia, si 8" > 0; a partir de cierto nose cumple siempre

jXn(!)�X(!)j < "

Pero se expresará este conjunto de otra forma.

� =

8<:! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; con \n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ")

9=;� =

8<:! 2 : 8" > 0;1[

n0=1

\n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ")

9=; (5)

6

Como nos vemos en la necesidad de veri�car el cumplimiento de una in�nidadde condiciónes, de�nimos para cada " > 0; la sucesión de sucesos

A"n = f! 2 : jXn(!)�X(!)j < "g

y entonces como[n0=1

\n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ") =[n0=1

\n=n0

A"n = A"1

� = f! 2 : 8" > 0; ! 2 A"1g (6)

3.3 Convergencia punto a punto

Esta de�nición de convergencia es la clásica del análisis, para la convergenciade sucesiones de funciones

Xn �! X sii � = (7)

O sea, la sucesión de variables aleatorias X1; X2; :::Xn; ::converge a la variablealeatoria X, cuando la sucesión real X1(!); X2(!); :::Xn(!); ::converge a X(!),en todo punto ! 2 .�Notar que en esta de�nición, si bién suponemos que tanto lasX1; X2; :::Xn; :como

X; pertenecen a un mismo espacio de probabilidad (; A; P ); no interviene paranada el P del espacio de probabilidad.

3.3.1 Observación

Esta de�nición de convergencia es demasiado fuerte. Notar que exige, paratodo resultado ! 2 ;la convergencia de la sucesión de números reales X1(!);X2(!); X3(!); :::::::Xn(!)::: a X(!) Si en el ejemplo, al efectuar el experimentoaleatorio, el resultado es

! = (c; c; c; c; c; c; c; c:c; c; c; c; :::::)

(o sea salen todas caras), la sucesión de valores de lasXn(!) sería 1,1,1,1,1,1,: : :queclaramente no converge a 1/2. La pregunta aquí es: ¿serán "muchos" los ! 2 en que no se da la convergencia?

3.4 Convergencia en casi todo punto

Esta es la primera de�nición de convergencia en que haremos uso del conceptode probabilidad. Aquí sí interviene el P del espacio (; A; P ): Debemos aceptarque a veces, como en la observación anterior, obtendremos como resultado delexperimento aleatorio, un ! 2 en que no se logra la convergencia. Pero si elconjunto de estos resultados tiene probabilidad cero, no estaremos restringiendomucho la de�nición de convergencia (o, lo que es lo mismo, si el conjunto �;de resultados en que se da la convergencia tiene probabilidad 1).De�niremosentonces:

Xnc:t:p:�! X sii P (�) = 1 (8)

7

3.4.1 Dos de�niciónes equivalentes

Si recordamos el conjunto de ! 2 ; en que se da la convergencia puntual

� = f! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; tal que si n � no =) jXn(!)�X(!)j < "g

que en (5) lo expresamos como:

� =

8<:! 2 : 8" > 0;1[

n0=1

\n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ")

9=;obviando detalles, la condición P (�) = 1; equivale a pedir que

8" > 0; P (1[

n0=1

\n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ")) = 1

o sea

Primera de�nición: 8" > 0; P (A"1) = 1(9)

y también usando (1), esto equivale a:

Segunda de�nición: 8" > 0; l�{mn0!1

P (\n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ")) = 1 (10)

� Notar que para veri�car el cumplimiento de la primera de�nición, se puedeusar la parte (a) del Corolario de Borel-Cantelli, ya que si se cumple :

8" > 01Xn=1

P (A"cn ) =1Xn=1

P (jXn(!)�X(!)j � ") <1 =) P (A"1) = 1

Por otro lado, el cumplimiento de la parte (b) del Corolario de Borel-Cantelli da una condición su�ciente para el no cumplimiento de la con-vergencia en c.t.p. ya que implica P (A"1) = 0 6= 1:

� Respecto de la segunda de�nición, quiere decir que 8" > 0; se podráencontrar un n0; tal que el conjunto de los ! en que vale jXn(!)�X(!)j <" desde n0 en adelante, tendrá probabilidad tan cercana a 1 como sequiera.

3.5 Convergencia en Probabilidad

Analizando el último comentario, todavía podemos disminuir las exigencias enuna de�nición de convergencia, que sin embargo sea útil para las variables aleato-rias. Eliminando la parte en negrita del comentario (a la segunda de�nición deconvergencia en casi todo punto), queda la de�nición de convergencia en prob-abilidad:

XnP�! X sii 8" > 0; l�{m

n!1P (jXn �Xj < ") = 1 (11)

8

Ejemplo En el problema de las monedas, si Cn :"número de caras en las nprimeras tiradas de !" resulta Cn v Bi(n; 1=2): Y como Xn = Cn=n; tambiénE(Xn) = 1=2; y �(Xn) = 1=(2

pn). Luego por Tchebishev

8" > 0; 1 � P (jXn(!)� 1=2j < ") � 1� 1=(4n"2)

y tomando límite para n!1; resulta que XnP�! 1=2

3.6 Convergencia en media Cuadrática

Dada la sucesión X1; X2; ::; Xn; :: y X; todas en el mismo espacio (; A; P ): Sede�ne convergencia en media cuadrática:

XnMC�! X sii l�{m

n!1E(Xn �X)2 = 0 (12)

� Notar que esta de�nición de convergencia, a diferencia de la convergencia enprobabilidad, requiere la existencia de las esperanzas E(Xn �X)2:

3.6.1 Teorema

l�{mn!1

E(Xn) = �

l�{mn!1

V ar(Xn) = 0

)=) Xn

MC�! �

Dem:

E(Xn � �)2 = V ar(Xn) + (E(Xn)� �)2 y tomando límite.� Este teorema es útil en estadística, ya que si se tiene una sucesión de

estimadores que son asintóticamente insesgados,o sea X1; X2; : : : ; Xn; : : : con

E(Xn)! �; cuya varianza V ar(Xn)! 0; resultará XnMC�! �; y también, como

se verá en (14) esto implica que Xnp�! �; o sea la sucesión de estimadores será

consistente.

3.7 Convergencia en Distribución

En los cuatro tipos de convergencia estudiados hasta ahora teníamos la sucesiónX1; X2; X3; :::Xn; :: y X; todas de�nidas en el mismo espacio (; A; P ); yla convergencia resultaba de exigir distintas condiciones de cercanía entre losmiembros de la sucesión y X: Y en el caso de convergencia en casi todo punto,y en probabilidad, la veri�cación de la convergencia solía no ser tarea fácil, yaque exigía conocer el comportamiento probabilístico conjunto de los elementosde la sucesión y de X: Que tal si ahora consideramos la sucesión de funcionesde distribución de las variables que integran la secuencia:

FX1; FX2

; FX3; ::::::FXn

; :::

y que esta sucesión de funciones converge a una función de distribución FY ;(queno tiene porque coincidir con FX ; ya que no hicimos intervenir para nada a Xen esta convergencia, es mas, podemos desconocer a X).Se dice entonces que

XnD! Y: Pero notar que esto es un abuso de notación por dos motivos:

9

� en realidad la convergencia es entre FXn ! FY

� la variable Y es una variable dummy, representa cualquier variable aleato-ria que tenga por función de distribución a FY : No tiene porqué estarde�nida en el espacio (; A; P ): La de�nición de convergencia en distribu-ción exige además una condición de continuidad:

XnD! Y sii

8<:9FY función de distribución, tal que8y; punto de continuidad de FYl�{mn!1

FXn(y)! FY (y)(13)

Observación Considerese dos variables aleatorias X; e Y;ambas N(0;1),independientes, y de�nidas en un mismo espacio de probabilidad (; A; P ):Se de�ne la sucesión:X;X;X; ::::; X; :::: (o sea X1 = X; X2 = X; :::: etc.)

Notar que XnD! Y pero Xn no converge a Y en ninguno de los cuatro

primeros tipos de convergencia.Y esto es debido a que al ser Xn e Yindependientes, no es posible asegurar su cercanía para ningun ! 2 :(por supuesto, aunque es trivial, vale la convergencia Xn ! X;para loscuatro tipos de convergencia estudiados).

4 Relación entre los tipos de Convergencia

Si X1; X2; :::Xn; ::y X, están de�nidas en un mismo espacio (; A; P ) :

Xn �! X =)(a)

Xnc:t:p�! X =)

(b)Xn

P�! X =)(c)

XnD! X

(d)

*Xn

mc�! X

(14)

Dem(a):

Si � = entonces P (�) = P () = 1

Dem(b):

Como\n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ") � (jXn0(!)�X(!)j < "); resultará

P

0@ \n=n0

(jXn(!)�X(!)j < ")

1A � P (jXn0(!)�X(!)j < ") � 1

como 8" > 0 el lado izquierdo tiende a 1, resulta la tesis.

Dem(c):

10

tomando x, punto de continuidad de FX ; notar que si

jXn �Xj < " y X > x+ "

resultaráX � " < Xn < X + " y X > x+ "

luego x = (x+ ")� " < X � " < Xn < X + " =) Xn > x; o sea:

(jXn �Xj < ") \ (X > x+ ") � (Xn > x)

y complementando

(Xn � x) � (jXn �Xj � ") [ (X � x+ ")

luego FXn(x) � P (jXn �Xj � ") + FX(x + ") y tomando l�{m

n!1(ya que en x;

no tenemos asegurada la convergencia de FXn(x))

l�{mn!1

FXn(x) � FX(x+ ") (usando que Xn

P�! X)

y tendiendo "! 0; (usando la continuidad de FX en x)

l�{mn!1

FXn(x) � FX(x) (15)

en forma similar, pero partiendo de

(X < x� ") � (Xn � x) [ (jXn �Xj � ")

y tomando límite inferior se llega a:

FX(x) � l�{mn!1

FXn(x) (16)

luego juntando (15) y (16)

___

l�{mn!1

FXn(x) � FX(x) � l�{mn!1

FXn(x)

y de aquí sale que l�{mn!1

FXn(x) = FX(x)

Dem(d):

Si usamos la desigualdad de Markov aplicada a Xn �X y g(x) = x2;

P (jXn �Xj � ") � E(Xn�X)2"2 que por hipótesis ! 0; cuando n!1:

11

4.0.1 Observación

� En la de�nición de convergencia en distribución se exigió una condiciónde continuidad. Veamos el porqué de esta exigencia. Consideremos lasucesión de v.a. constantes

Xn =1

n; o sea:

1

1;1

2;1

3; : : : : : : ;

1

n; : : :

Claramente Xn converge a X = 0; en los cuatro primeros tipos de con-vergencia. Pero veamos que pasa con la convergencia en distribución:

para x > 0; FXn(x)! 1 = FX(x)para x < 0; FXn(x)! 0 = FX(x)

pero para x = 0; que no es punto de continuidad de FX(x), resultaFXn

(0) ! 0 6= 1 = FX(0): Luego la exigencia de convergencia solo enlos puntos de continuidad de FX(x), permite la validez de la implicación(c) anterior.

� En (c), si X es una constante, vale el () : O sea vale:

XnP�! c () Xn

D! c

Se verán ahora algunos ejemplos de implicaciones que no son ciertas.

4.1 Ejemplos de implicaciones que no son válidas

4.1.1 Ejemplo 1 (Xnc:t:p�! X : Xn

P�! X)

Sea la sucesión X1; X2; ::; Xn; :: de v.a. independientes con: P (Xn = 0) = 1� 1n

y P (Xn = 1) = 1n probar que Xn

P�! 0 pero sin embargo Xnc:t:p9 0:

Solución:

Como 8" > 0; l�{mn!1

P (jXn � 0j < ") = l�{mn!1

(1 � 1n ) = 1 resulta que

XnP�! 0: Veamos la convergencia en casi todo punto. De�no

8" > 0; A"cn = fjXn � 0j � "g ; con P (A"cn ) =1

n

Como1Xn=1

P (A"cn ) =1Xn=1

1n =1 =) P (A"1) = 0 6= 1. Luego Xn

c:t:p9 0:

Observación:

Notar que si la función de probabilidad de las Xi fuese P (Xn = 0) = 1� 1n2

y P (Xn = 1) = 1n2 resultaría también que Xn

P�! 0 (ya que l�{mn!1

(1� 1n2 ) = 1)

y además Xnc:t:p�! 0 ya que ahora

1Xn=1

P (A"cn ) =1Xn=1

1n2 <1 =) P (A"1) = 1:

12

4.1.2 Ejemplo 2 (Xnmc�! X : Xn

P�! X)

Sea la sucesión X1; X2; ::; Xn; :: de v.a. independientes con: P (Xn = 0) = 1� 1n

y P (Xn = n) = 1n probar que Xn

P�! 0 pero sin embargo Xnmc9 0:

Solución

Como 8" > 0; l�{mn!1

P (jXn � 0j < ") = l�{mn!1

(1 � 1n ) = 1; resulta que

XnP�! 0: Veamos ahora la convergencia en media cuadrática.

l�{mn!1

E(Xn � 0)2 = l�{mn!1

E(Xn)2 = l�{m

n!1

�02(1� 1

n) + n2

1

n

�= l�{m

n!1n =1

luego no se cumple la convergencia en media cuadrática.

4.1.3 Ejemplo 3 (Xnmc�! X : Xn

c:t:p:�! X)

Sea U v U(0; 1) y se de�ne la sucesión de v.a. Xn = n IfU < 1ng.Veri�car que

la sucesión converge c.t.p. a 0; pero no en media cuadrática.

Solución:

Por de pronto notar que se trata de una sucesión de v.a. no independientes,ya que todas las Xi; dependen de la misma variable aleatoria U: Para aplicar elcorolario de Borel-Cantelli de�no:

8" > 0; A"cn = fjXn � 0j � "g =nn IfU < 1

ng � "o=nIfU < 1

ng �"

n

ocomo siempre "

n > 0;

P (IfU < 1ng �

"

n) = P (IfU < 1

ng = 1) = P (U <1

n) =

1

n

luego1Xn=1

P (A"cn ) =1Xn=1

1n =1: Como esta serie no es convergente, no podemos

concluir que P (A"1) = 1; como queríamos. Pero tampoco que P (A"1) = 0; ya

que la segunda implicación del corolario de Borel-Cantelli exige que los A"n seanindependientes, y aquí esto no es cierto. Sin embargo notar que 8u > 0; todaslas Xn = 0 a partir de n > 1

u . Luego Xnc:t:p:�! 0: Veamos la convergencia en

media cuadrática.

l�{mn!1

E(Xn � 0)2 = l�{mn!1

E(n IfU < 1ng)

2 = l�{mn!1

n2E( I2fU < 1ng)

= l�{mn!1

n2P (U <1

n) = l�{m

n!1n21

n= l�{m

n!1n =1

Luego no se cumple la convergencia en media cuadrática.

13

5 Conservación por Funciones continuas

Tanto la convergencia punto a punto, en casi todo punto como en probabilidadse conservan a través de las funciones continuas.O sea:

Si g : R2 �! R es continua, valen:Xn �! X; Yn �! Y =) g(Xn; Yn) �! g(X;Y )

Xnc:t:p�! X; Yn

c:t:p�! Y =) g(Xn; Yn)c:t:p�! g(X;Y )

Xnp�! X; Yn

p�! Y =) g(Xn; Yn)p�! g(X;Y )

(17)

Dem: (solo para convergencia c.t.p.)Sea

�X = f! : Xn(!)! X(!)g con P (�X) = 1�Y = f! : Yn(!)! Y (!)g con P (�Y ) = 1

como0 � P (�X \�Y )c = P (�cX [�cY ) � P (�cX) + P (�cY ) = 0

Luego resulta también que P (�X \�Y ) = 1. Pero si ! 2 �X \�Y ;es punto deconvergencia deXn(!) y de Yn(!);y al ser g continua, será punto de convergenciatambién de g(Xn; Yn). O sea,

! 2 f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g

luego vale la inclusión

�X \�Y � f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g

y tomando probabilidad

1 = P (�X \�Y ) � P f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g � 1

Luego P f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g = 1; y resulta la tesis.

� En particular si Xnctp�! X; Yn

ctp�! Y valdrán también:

Xn + Ynctp�! X + Y

XnYnctp�! XY

Xn=Ynctp�! X=Y (si P (Y = 0) = 0)

� Y si Xnp�! X; Yn

p�! Y valdrán también:

Xn + Ynp�! X + Y

XnYnp�! XY

Xn=Ynp�! X=Y (si P (Y = 0) = 0)

14

Notar que este teorema de conservación no vale para la convergencia endistribución, o sea

Xnd�! X; Yn

d�! Y ; g(Xn; Yn)d�! g(X;Y )

ya que al ser tanto X como Y; variables dummy, no conocemos su compor-tamiento conjunto, y por lo tanto tampoco el de g(X;Y ):Sin embargo vale

Xnd�! X =) g(Xn)

d�! g(X)

6 Leyes de los grandes números

6.1 Ley débil de los grandes números

Sea la sucesión de v.a.no correlacionadas X1; X2; X3; :::; Xn; :::con

E(Xi) = �i y V ar(Xi) = �2i

Sea Xn =1n

nPi=1

Xi; y la nueva sucesión X1; X2; X3; :::; Xn; : : : Luego si:

l�{mn!1

V ar(Xn) = 0 =)�Xn � E(Xn)

� p�! 0

Dem:

Usando Tchebichev P (��Xn � E(Xn)

�� � ") � V ar(Xn)="2;y tomando límite.

6.1.1 Comentarios

� Notar que si las �2i están acotadas, o sea si 8i; �2i � K

V ar(Xn) =1

n2(�21 + ::+ �

2n) �

1

n2nK = K=n! 0

luego vale la ley débil.

� Sean X1; X2; X3; :; Xn; observaciones i.i.d de una v.a. X con media �;y desvío �: Como E(Xn) = � y V ar(Xn) = �

2=n! 0. Resulta que�Xn � �

� p�! 0

o seaXn

p�! �

Notar que esto justi�ca el tomar el promedio de observaciones independi-entes de una v.a. X; como una estimación de su media �:

15

� Supóngase un experiento aleatorio ", y un espacio de probabilidad (; A; P ):SeaA � ; un suceso del cual queremos estimar P (A): Ahora se repite enforma independiente el experimento ", registrando cada vez el valor de lav.a.

Xi = IA(!i) =

�1 si !i 2 A0 si !i =2 A

luego

E(Xi) = E(IA(!i)) = P (A) y V ar(Xi) = V ar(IA(!i)) = P (A)(1�P (A))

Se tiene entonces la sucesión de v.a. i.i.d. IA(!1); IA(!2); :::; IA(!n)::conmedia P (A) y desvío

pP (A)(1� P (A)): Según el resultado anterior re-

sultará IA(!n)p�! :P (A):Pero:

IA(!n) = (IA(!1) + IA(!2) + :::+ IA(!n))=n= (# realizaciones de A en las n repeticionesde ")=n= frecuencia relativa de A = frA

LuegofrA

p�! P (A)

6.2 Ley fuerte de los grandes números

Sea la sucesión de v.a.independientes X1; X2; X3; :::; Xn; :::con

E(Xi) = �i y V ar(Xi) = �2i

Sea Xn =1n

nPi=1

Xi; y la nueva sucesión__X 1;

__X 2;

__X 3; :::;

__X n : : : ; :Luego si:

1Xi=1

�2i =i2 <1 =) �

Xn � E(Xn)� c:t:p�! 0

6.2.1 Comentarios

� Notar que si las �2i están acotadas, o sea 8i; �2i � K;1Xi=1

�2i =i2 �

1Xi=1

K2=i2 � K21Xi=1

1=i2 <1

luego vale la ley fuerte.

� Por este motivo se aplican los comentarios hechos respecto de la ley débily valdrán

Xnc:t:p:�! � y frA

c:t:p:�! P (A) :

16

� Se mencionará la Ley fuerte de Kolmogorov. Sea la sucesión de v.aiid X1; X2; X3; :::; Xn; :::con E(Xi) = �. Sea Xn =

1n

nPi=1

Xi;y la nueva

sucesión X1; X2; X3; :::; Xn; :Luego :

Xnc:t:p:�! �

Notar que este teorema agrega la exigencia que las variables esten idén-ticamente distribuídas,con media común �, pero que no requiere laexistencia de �2:

7 Teorema de la Convergencia Dominada

Una sucesión de v.a.Xn puede converger a otra v.a. X; sin embargo no siempreocurre que la sucesión de medias E(Xn) converge a E(X):Las condiciones paraesto se dan en el siguiente Teorema(Lebesgue).Sean la sucesiónX1; X2; :::; Xn; :::y las v.a. X y Z; todas en el espacio (; A; P ):Con

Z � 0; E(Z) <1; y jXnj � Z 8n

Luego sí:Xn

p�! X =) E(Xn) �! E(X)

7.0.2 Ejemplo Xnp�! X ; E(Xn) �! E(X)

Sea X1; X2; : : : ; Xn; : : :con P (Xn = 0) = 1 � 1n y P (Xn = n) =

1n . Probar que

Xnp�! 0 pero E(Xn)9 E(X) = 0:Como:

8" > 0; l�{mn!1

P (jXn � 0j < ") = l�{mn!1

(1� 1

n) = 1 luego Xn

p�! 0

pero:

8n; E(Xn) = 0(1�1

n) + n

1

n= 1 luego E(Xn) �!

n!11 6= 0 = E(X)

8 Alcances de los tipos de convergencia

Planteamos en la introducción, en el caso de convergencia, si para n grandepodremos en algún sentido reemplazar Xn; por X; precisando el alcance deeste reemplazo. O sea si podemos:

� Aproximar P (Xn 5 a) por P (X 5 a) ?

Si se cumple XnD! X; resultará l�{m

n!1FXn

(x) = FX(x) en todo x de

continuidad.de FX(x):Esto es l�{mn!1

P (Xn 5 a) = P (X 5 a) O sea, ya

que la convergencia en distribución es la más débil de los cuatro tipos de

17

convergencia estudiados, la aproximación de P (Xn 5 a) por P (X 5 a)será válida para las cuatro convergencias, solo con la restricción que FX(x)sea continua en a:

� Aproximar E(Xn) por E(X) ?Vimos que si se cumplen las hipótesis del Teorema de Convergencia Dom-inada la aproximación de E(Xn) por E(X) sí será posible.

� si Z es otra v.a. en el mismo espacio, aproximar �Xn;Z por �X;Z ?

Dado que �Xn;Z = [E(XnZ)� E(Xn)E(Z)] =pE(X2

n)� E2(Xn)p�2Z aquí

nuevamente necesitaremos el Teorema de Convergencia Dominada, paraasegurar el cumplimiento de:

E(XnZ)p! E(XZ); E(Xn)

p! E(X); E(X2n)

p! E(X2)

y desde ya, suponiendo que �2X 6= 0; y �2Z 6= 0:

9 Problemas

9.0.3 Problema 1

Supongase que la concentración de una substancia en un productomedicinal es una variable aleatoria C v N(�c;�c); en p.p.m.(partespor millón).Y que para determinar esta concentración se utiliza uninstrumento, que tiene un error aleatorio E v N(0;�e):Para atenuarel efecto del error del instrumento, se propone efectuar n determi-naciones de concentración y promediarlas. Dado que en cada deter-minación el valor que proporciona el instrumento es Xi = C + Ei;el promedio de n determinaciones será

__X n =

(C + E1) + (C + E2) + (C + E3) + ::::+ (C + En)

n

= C +E1 + E2 + E3 + :::En

n

Se quiere estudiar la posible convergencia de

X1; X2; X3; :::::; Xn; : : : �! C

Notar que en términos prácticos, esto justi�caría la propuesta deefectuar n determinaciones y promediarlas, ya que esto atenua elefecto del error del instrumento. Podemos tomar como experimentoaleatorio a

" : "tomar un producto y determinar la concentración una in�nidad de veces"

y el espacio muestral en que están de�nidas todas estas variablesaleatorias a:

= f! : ! = (c; e1; e2; e3; :::::; en; :::::); c = "concentración"; ei = "errores"g

18

(a) Convergencia punto a punto

Tomemos un producto cuya concentración es c =10 ppm, y supongamos queen todas las determinaciones del instrumento el error es ei =2 ppm, luego

! = (10; 2; 2; 2; :::::; 2; :::::)

y la sucesión X1; X2; X3; :::::; Xn; : : :quedaría 12; 12; 12; :::; 12; :::9 10claramente no convergente. Luego no se cumple la convergencia funcional.ya que � 6= :

(b) Convergencia en probabilidad

Tenemos que ver si 8" > 0; l�{mn!1

P (��Xn � C

�� < ") = 1pero P (

��Xn � C�� < ") = P (��C + E1+E2+E3+:::En

n � C�� < ")

= P (��E1+E2+E3+:::En

n

�� < ")= �("

pn=�e) � �(�"

pn=�e)

= 1� 2�(�"pn=�e) �! 1(para n!1)

Luego XnP�! C:

(c) Convergencia en casi todo punto

Habría que ver sí

8" > 0; l�{mn0!1

P (\n=n0

(���__X n � C

��� < ")) = 1Pero mejor utilicemos la otra de�nición: 8" > 0; P (A"1) = 1;tratando de

apoyarnos en el corolario del Lema de Borel-Cantelli. De�nimos

A"cn =n! 2 :

���__X n � C��� � "o

Luego

P (A"cn ) = P (���__X n � C

��� � ") = 2�(�"pn=�e)O sea:

1Xn=1

P (A"cn ) =1Xn=1

2�(�"pn=�e)

Pero a partir de cierto u0 vale �(�u) � 1=u4 luego ( PROBARLO)

1Xn=1

P (A"cn ) �n0�1Xn=1

2�(�"pn=�e) +

2�4e"4

1Xn=n0

1

n2

que es convergente, entonces por el corolario de Borell-Cantelli resulta que

P (A"1) = 1; y de aquí sale que__X n

c:t:p:�! C:

19

(d) Convergencia en media cuadrática

Tengo que analizar l�{mn!1

E(__X n � C)2 = l�{m

n!1E(E1+E2+E3+:::Enn )2 =

l�{mn!1

�E2(E1+E2+E3+:::Enn ) + V ar(E1+E2+E3+:::Enn )

�= l�{m

n!1

h0 +

�2en

i= 0

Luego__X n

mc�! C:

(e) Convergencia en distribución

Consideremos la sucesión F_ _X 1; F_ _

X 2; F_ _

X 3; ::::::F_ _

X n; :::

Como__X n = C +

E1+E2+E3+:::Enn resultará

__X n~N(�c ;

p�2c + �

2e=n)

Luego F_ _

Xn(u) = �((u� �c)=

p�2c + �

2e=n)

pero l�{mn!1

(u� �c)=p�2c + �

2e=n = (u� �c)=�c y al ser � función continua

resulta l�{mn!1

F_ _

Xn(u) = �((u� �c)=�c) = FC(u)

Luego__X n

d�! C:

(b) y (c) de otra forma

Considérese la sucesión de variables aleatorias independientes

E1; E2; E3; :::; En; ::: conE(Ei) = 0 V ar(Ei) = �2e

y la sucesión de__E n =

1n

nPi=1

Ei como

V ar(__E n) =

�2en�!n!1

0 vale la Ley débil y__E n

p�! 0

Además como1Xi=1

�2e=i2 = �2e

1Xi=1

1=i2 <1 vale también la Ley fuerte y

__E n

c:t:p:�! 0

Consideremos ahora la sucesión de variables aleatorias C;C;C; :::; C; :::se tendrátambién que

Cp�! C y C

c:t:p:�! C

Luego aplicando la conservación de la convergencia a través de funciones con-tinuas(y la suma lo es)

Cp�! C;

__E n

p�! 0 =) (C +__E n)

p�! C o sea__X n

p�! C

Cc:t:p:�! C;

__E n

c:t:p:�! 0 =) (C +__E n)

c:t:p:�! C o sea__X n

c:t:p:�! C

20

9.0.4 Problema 2

Sean X1; X2; :::; Xn; :: v.a. i.i.d. U(0; �): Se de�nen:

X(1)n = m�{n(X1; X2; ::; Xn); X(n)n = m�ax(X1; X2; ::; Xn)

Un = nX(1)n; Vn = n(� �X(n)n)Probar que:(a) X(1)n

p! 0

(b) X(n)np! �

(c) Und! U; con U v G(1; 1� )

(d) Vnd! V; con V v G(1; 1� )

En lo que sigue se usará lo siguiente:FX(1)n

(x) = P (X(1)n � x) = 1� P (X(1)n > x)= 1�P [(X1 > x) \ (X2 > x) \ � � � \ (Xn > x)]

= 1�nQi=1

P (Xi > x) = 1���� x�

�n= 1�

�1� x

�

�nFX(n)n

(x) = P (X(n)n � x) = P [(X1 � x) \ (X2 � x) \ � � � \ (Xn � x)]

=nQi=1

P (Xi � x) = (x� )n

Sol(a):

8" > 0; l�{mn!1

P (��X(1)n � 0�� < ") = l�{m

n!1P (X(1)n < ")

= l�{mn!1

FX(1)n(") = l�{m

n!1

�1�

�1� "

�

�n�= 1

Sol(b):

8" > 0; l�{mn!1

P (��X(n)n � ��� < ") = l�{m

n!1P (�(X(n)n � �) < ")

= l�{mn!1

P (X(n)n > � � ") = 1� l�{mn!1

P (X(n)n � � � ")= 1� l�{m

n!1FX(n)n

(� � ") = 1� l�{mn!1

( ��"� )n = 1� l�{m

n!1(1� "

� )n = 1

Sol(c):

Analicemos FUn(u) = P (Un � u) = P (nX(1)n � u) = P (X(1)n � un )

= FX(1)n(un ) = 1�

�1� u

n�

�n= 1�

�1� u=�

n

�nl�{mn!1

FUn(u) = l�{mn!1

h1�

�1� u=�

n

�ni= 1� e�u

�

pero si FU (u) = 1� e�u� resulta U~G(1; 1� ); luego resulta la tesis.

Sol(d):

Analicemos FVn(v) = P (Vn � v) = P (n(��X(n)n) � v) = P (X(n)n � �� vn )

= 1�FX(1)n(�� v

n ) = 1� (1�vn� )

n = 1��1� v=�

n

�nluego l�{m

n!1FVn(v) = l�{m

n!1

h1�

�1� v=�

n

�ni= 1� e� v

�

pero si FV (v) = 1� e�v� resulta V v G(1; 1� ); luego resulta la tesis.

21

9.0.5 Problema 3

Sean X1; X2; :::; Xn; :: v.a. i.i.d. U(0; �): Hallar el límite en c.t.p. de

Yn = (nY

i=1

Xi)1n

Sol: expresando

Yn = e1n

nPi=1

lnXi

y como la sucesión de v.a. independientes .lnX1; lnX2; ::; lnXn; ::tiene

E(lnXi) =

Z �

0

lnx1

�dx = ln � � 1; y V ar(lnXi) = �

2 <1

y1Xi=1

�2i =i2 = �2

1Xi=1

1=i2 <1

por la Ley Fuerte resulta 1n

nPi=1

lnXic:t:p:�! ln � � 1; y por el Teorema

de Conservación. de Convergencia para funciones continuas

Yn = e1n

nPi=1

lnXi c:t:p:�! eln ��1 = �e�1

22