http://people.csail.mit.edu/jaffer/SimRoof/Convection

Convection From a Rectangular Plate

IntroductionSitesWeatherNet Radiative TransferLambertian Perfromance LimitsCoolRoofConvection From a Rectangular Plate

AbstractIntroduction

MotivationConvective Heat TransferTypes of Convection

1997 ASHRAE FundamentalsThermal EmissivityStill Air

2009 ASHRAE FundamentalsPhysical ParametersThermodynamic and Transport Properties of AirCharacteristic LengthDimensionless Quantities

Natural ConvectionVertical PlateHorizontal Plate

T9.9Inclined Plate

Downward ConvectionUpward Convection

Natural Convective Surface ConductanceDoubleSided Natural ConvectionNatural Convection Summary

Forced ConvectionLaminarTurbulent ProgressionLaminarTurbulent TransitionLaminar ConvectionConvection in a DuctSurface Roughness Data

Surface RoughnessForced Convection in a PipeBoundary LayerForced Convection from a Rough PlateColebrookWhite Equation AsymptotesScaled Colburn Analogy AsymptoteForced Convection SummaryNatural Convection from a Rough Plate

OffAxis ConvectionForced OffAxis ConvectionEffective LengthNatural OffAxis Convection

http://people.csail.mit.edu/jaffer/SimRoof/Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Introductionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Siteshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Weatherhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/NRThttp://localhost/~jaffer/SimRoof/PerfectLambertianhttp://localhost/~jaffer/cool/CoolRoofhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Abstracthttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Introductionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Motivationhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Convective Heat Transferhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Types of Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#1997 ASHRAE Fundamentalshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Thermal Emissivityhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Still Airhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#2009 ASHRAE Fundamentalshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Physical Parametershttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Thermodynamic and Transport Properties of Airhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Characteristic Lengthhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Dimensionless Quantitieshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Vertical Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Horizontal Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#T9.9http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Inclined Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Downwardhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Upwardhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convective Surface Conductancehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Double-Sided Natural Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convection Summaryhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Laminar-Turbulent Progressionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Laminar-Turbulent Transitionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Laminar Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Convection in a Ducthttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Surface Roughness Datahttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Surface Roughnesshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Convection in a Pipehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Boundary Layerhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Convection from a Rough Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Colebrook-White Equation Asymptoteshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Scaled Colburn Analogy Asymptotehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Convection Summaryhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convection from a Rough Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Off-Axis Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Off-Axis Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Effective Lengthhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Off-Axis Convection

Mixed ConvectionLocal Mixed ConvectionCorrelations From Field MeasurementsVertical PlatesVertical Plates with OffAxis FlowInclined PlatesMixed Convection Summary

Application to RoofsWindFlat RoofsPeaked RoofsRoof Performance

ConclusionFuture Work

Flat Convex PlatesConvection with PhaseChangeExperiments

BibliographySolar Screen ModelSolar Screen PerformanceThermal Infrared Optics (footnotes and supplemental information)

Abstract

A complete model for singlephase (noncondensing) convection from an isothermal rectangular plate is developed andtested against available published experimental data. It generalizes Fujii and Imura[76]'s natural convection model to the fullrange of inclinations (−90° to +90°) while eliminating the use of their of adhoc formula for the laminarturbulent threshold.The forced convection model finds a correlation for roughsurface convection by applying the Colburn analogy to flat plates.Through the use of effectivecharacteristiclength, the theory is extended to natural convection for all orientations of a plate,not just those having a horizontal edge, and offaxis forced (but inplane) flows. For mixed convection a correspondence isfound between forced convection and the verticalplate mode of natural convection which allows them to be combined andused within the multimode natural convection solution.

A related model for convection from symmetrical peaked roofs is also developed.

A plan for (an apparatus and) experiments to test the roughsurface correlations is presented.

Introduction

Motivation

The most important thermal processes for a building's roof are insolation, convection, and thermal radiation. The mostcomplicated to compute is convection because it depends on so many variables: air and surface temperatures, humidity,wind, and roof size, shape, orientation, and (surface) roughness.

There are additional complications: total heat transfer is not equal to the sum of heat transfer from a shape's parts consideredindividually; wind usually varies both in speed and direction, but convective surface conductance is not a linear function ofwindspeed.

In 2011, established theory was not sufficient to compute convection from roof parameters and meteorologicalmeasurements. This work rectifies that situation.

Convective Heat Transfer

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Mixed Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Local Mixed Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Correlations From Field Measurementshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Vertical Plateshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Vertical Plates with Off-Axis Flowhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Inclined Plateshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Mixed Convection Summaryhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Application to Roofshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Windhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Flat Roofshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Peaked Roofshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Roof Performancehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Conclusionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Future Workhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Flat Convex Plateshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Convection with Phase-Changehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Experimentshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Bibliographyhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/SolarScreenhttp://localhost/~jaffer/cool/SolarScreenshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/ThermalOpticshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Mixed Convection Summaryhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Inclined Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#76http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Surface Roughnesshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Effective Lengthhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Vertical Plateshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Peaked Roofshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Experimentshttp://en.wikipedia.org/wiki/Insolationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_radiation

Says Wikipedia:

Convective heat transfer, often referred to simply as convection, is the transfer of heat from one place toanother by the movement of fluids. Convection is usually the dominant form of heat transfer in liquids andgases.

To model the thermal dynamics of roofs we are interested in the convective flow of heat to or from the top surface of theroof. For a flat plate at a uniform temperature T, the rate of heat flow (in Watts) due to convection from one side of the plateis:

h ⋅ A ⋅ ΔT 

h W/(K⋅m2)  convective surface conductanceA m2  area of one side of plate

ΔT K T − TenvT K plate temperatureTenv K fluid temperature

The complication is that the value of h depends on temperatures, fluidvelocity, and the area, shape, orientation, androughness of the plate surface. A value of h for a 1 m by 1 m plate will usually be larger (and never smaller) than h for a 2 mby 2 m plate under otherwise identical conditions. The larger plate will transfer more heat because it has four times the areaof the smaller plate, but not more than 4 times the heat.

Types of Convection

Convection is natural (free), forced, or mixed. In natural convection, fluid motion is driven by the difference in temperaturebetween the plate and the fluid. In forced convection, fluid motion is driven by an external force such as wind. Mixedconvection is a mixture of natural and forced convection occurring at low fluid speeds.

(Natural) upward convection is produced by an upwardfacing plate which is warmer than the fluid, or a downwardfacingplate which is colder than the fluid. (Natural) downward convection is produced by an upwardfacing plate which is coolerthan the fluid, or a downwardfacing plate which is warmer than the fluid.

A correlation (approximate equation relating dimensionless quantities) can model an isothermal surface or a constant heatflux through the surface. The correlations for these two regimes usually differ only in coefficients and additive constants.This article addresses convection from isothermal plates.

A forced convection correlation can be for local heat flow or for heat flow averaged across the surface. Section "LaminarTurbulent Progression" gives the derivation for average heat flow from the local heat flow which appears in several texts.While it produces the customary averaged correlations for purely laminar or purely turbulent flow, the correlation it producesfor transitional flows requires a Reynoldsnumber threshold from measurement of the specific configuration underinvestigation, which limits its predictive ability.

Convection correlations can be derived from theory, numerical simulation, or experiment (empirical). The acceptedcorrelations for natural convection are empircal.

At the plate surface, the fluid velocity is near zero. At some distance from the plate surface the fluid velocity approaches thebulk fluid velocity. In between is the boundary layer. Flow in the boundary layer is laminar or turbulent. The h values forturbulent regions of the plate (boundary layer) are larger than h values for laminar regions. Natural upward convection (froma horizontal plate) transitions from laminar to turbulent at Rayleigh numbers (Ra) near 107 (Clear et al[82]), placing itbetween the ranges for correlations T9.7 and T9.8 (which intersect at 4.7×106). Convection from a vertical plate has atransition around Gr=Ra/Pr=109. Natural downward convection (from a horizontal plate) is always laminar (its sole

http://en.wikipedia.org/wiki/Convective_heat_transferhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fluidhttp://en.wikipedia.org/wiki/Natural_convectionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Forced_convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Laminar-Turbulent Progressionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Laminar-Turbulent Transitionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Laminar_flowhttp://en.wikipedia.org/wiki/Turbulencehttp://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_numberhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Rahttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#82http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convection

correlation having the exponent 1/5).

Natural convection is strongly affected by the inclination of a plate. The natural convective surface conductivity from avertical plate is between the conductivities of upward facing and downward facing level plates of the same size. Upwardconvection has the largest heat flow. Forced convection is insensitive to inclination.

Forced convection is greater for rough surfaces than for smooth ones. Natural convection is insensitive to roughness whosemean height is much less than the dimensions of the plate.

1997 ASHRAE Fundamentals

The 1997 ASHRAE Fundamentals Handbook (SI) takes anengineering approach to convective heat transfer. Fig. 24.1(reconstructed to the right) has a graph of surfaceconductance h as a function of wind velocity V for 6building materials. That conductance is for a ΔT of 5.5°C at amean temperature of −6.7°C and includes blackbodyemissions, which add a constant amount to each curve.About Fig. 24.1, the Handbook also states:

Other tests on smooth surfaces show that the averagevalue of the convection part of the surfaceconductance decreases as the length of the surfaceincreases.

The graph is based on [84] which gives the dimensions ofthe plate as a 0.305 m square. Without a quantitative relation between surface conductance and plate size, application tosurfaces as large as roofs is uncertain.

Two of the lines are bent: "Clear pine" and "Glass and white paint on pine". The formulas I fit for glass and pine are:

h(V) =(b2 − 4 a c + 4 a V)1/2 − b

2 a

hg Glass hp Clear Pinea = 1/882 a = 4/3999b = 257/882 b = 973/3999c = −1060/441 c = −2680/1333

Thermal Emissivity

The first task is to separate the surface conductivity due to convection from that due to radiative transfer. Measurements ofconvective surface conductance take place in a large enclosure whose temperature matches the fluid (air) inside it. To theright is plotted the difference in blackbody radiance between the plate and enclosure divided by the temperature difference.Plots for temperature differences of 1°C, 5°C, and 25°C are superimposed and look identical at this scale.

The maximum surface conductivity due to radiation at −6.7°C±2.75°C is 4.29 W/(K⋅m2). If the surface and test apparatusboth have emissivity of 0.95, it is 3.87 W/(K⋅m2). But the suite of materials tested do not necessarily have the sameemissivity.

There are multiple books and webpages offering tables of emissivity for building materials. Of the five excerpted below,those that cite a source cite handbooks or textbooks, so they are not original data. [85] gives emissivities at specifiedtemperatures. None of these five sources provided a value for stucco.

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Surface Roughnesshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convection from a Rough Platehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#28http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#84

source citing[E1] EMISSIVITY EXPLAINED IN LAYMAN'S TERMS,

Fig 1.2 EMISSIVITY OF BUILDING MATERIALS,Horizon Energy Systems.

Handbook of Chemistry

[85] A Heat Transfer Textbook, Third Edition [PDF],by John H. Lienhard IV and John H. Lienhard V,,Cambridge, MA, Phlogiston Press, 2008

[E3] Emissivity Coefficients of some common Materials,The Engineering Toolbox

[E4] Emissivity Table,ThermoWorks Inc., 2012

[70] 2009 ASHRAE Fundamentals Handbook (SI)American Society of Heating Refrigerating and Airconditioning Engineers Inc.ISBN: 9781931862707 (IP); 9781931862714 (SI)ISSN: 15237222 (IP); 15237230 (SI)

Mills, A.F., 1999.,Basic heat and mass transfer.Prentice Hall, Saddle River, NJ.

glass paint wood plaster plaster brick concrete[E1] .94 .94 avg 16 colors .95 .91 rough coat .92 common red .95[85] .94 smooth .92.96 var. oils .90 oak planed .92 rough lime .93 red rough .94 rough[E3] .92.94 smooth .96 .95 pine .98 .91 rough .93 red rough .94 rough[E4] .92 .97 oil, grey, flat .90 planed .86.90 .91 rough coat .93 common red .92[70] .91 smooth .90 white acrylic .89 rough .90 .91 rough

E1  E4 consensus values:.93 .95 .92 .91 .93 .94

Source [70] gives emissivities which are less than those given by the other sources; so I didn't use it in finding consensusvalues. For six of the seven materials the spread in emissivity values is small enough for consensus values. Although nonmetallic paints are given emissivity values from 0.80 to 1.00, both 0.80 values are for enamel; the 1.00 value is only forblack velvet coating 9560 series optical black, neither of which was used in the 1930 experiments.

In the figure to the right I have subtracted out the radiative conductances as moderated by the consensus emissivities andpainted apparatus (ε=.95). The emissivity for plaster (.91) is used for stucco. Thus this is a plot of surface conductivities dueonly to convection, ie. ε=0.0.

http://www.savenrg.com/efactorfacts.htmhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#85http://web.mit.edu/lienhard/www/ahttv131.pdfhttp://www.engineeringtoolbox.com/emissivity-coefficients-d_447.htmlhttp://www.thermoworks.com/emissivity_table.htmlhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#70http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[E1]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[85]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[E3]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[E4]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[70]

Convective Surface Conductance h (Theory)

ΔTMean Temperature

10°C 50°C 90°C

10 K 3.66 W/(m2⋅K) 3.43 W/(m2⋅K) 3.25 W/(m2⋅K)20 K 4.49 W/(m2⋅K) 4.20 W/(m2⋅K) 3.97 W/(m2⋅K)

Table 1 of chapter 24 gives two numbers for convection inmoving air (any position) of a surface with emissivity ε=.9 at21°C, but without specifying the surface material. These twopoints, with radiative conductance subtracted out, are markedwith dots on the graph. They are closest to the curve for clearpine.

Still Air

At V=0, the surface conductance is due to natural, not forced, convection.

Table 24.1 gives stillair conductance for flat plates in fivepositions with emissivities .90, .20, and .05 which, being collinear(chart at right), allow the stillair conductances to be extrapolatedto zero emissivity, h0.0.

Table 1 Surface ConductivityW/(m2⋅K)

θ orientation heatflow h0.0−90° horizontal up 4.03

−45° inclined up 3.86

0° vertical up 3.06

+45° inclined down 2.27

+90° horizontal down 0.96

Surface Conductances as Affected by Air Velocity, Temperature and Character of Surface[84] by F.B. Rowley, A.B.Algren, and J.L. Blackshaw is the source for Fig. 24.1. Their test plate was inserted (flush with interior) into a .305 m by.305 m opening cut from one vertical side of a .152 m by .305 m rectangular duct over 7 m long.

Rowley at al take and report measurements with the flow shut off. In such a long duct with no forced airflow, equilibriummust involve conduction through the walls of the (insulated) duct. The equilibrium temperature range they report for 0 m/sflow is 9°C to 40°C, while for forced flow the equilibrium temperatures range is −16°C to 31°C. Fig. 24.1 specifies atemperature of −6.7°C; so they must have extrapolated the 0 m/s values.

As shown to the right, natural convective surface conductance ismuch more sensitive to temperature difference than meantemperature (average of surface and air temperatures); but only meantemperatures are revealed in their graphs. The mean temperature inthis case uses the air temperature 25 mm from the center of thesurface.

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#84

30 K 5.06 W/(m2⋅K) 4.73 W/(m2⋅K) 4.47 W/(m2⋅K)Table 1. Test Data for Smooth Plaster Surface

Temperature

Test TestSurface

25 mmFrom TestSurface

Mean Difference SurfaceConductance

257 30.3°C 1.6°C 15.9°C 28.7 K 10.90 W/(m2⋅K)264 52.3°C 26.9°C 39.6°C 25.4 K 11.48 W/(m2⋅K)

Table 1 Test Data for Smooth Plaster Surface shows onepage of their measurements. Two of its rows are for still air.Here they are converted to metric units. The surfaceconductance column includes both the convective andradiative surface conductances. The radiative surfaceconductance depends on the inner wall temperature of theduct, which is not provided. Rowley et al write:

In order to obtain average radiation conditions, the inside surface of the test duct was painted a dull gray, and allof the pipe outside the refrigerator was covered with a oneinch [25 mm] thick blanket insulating material. Withthis arrangement, the surfaces immediately around the test surface were at substantially the same temperature asthe surrounding air, practically the same as that for the average wall...

Preliminary tests had shown that when the thermocouple was placed in contact with the test surface andgradually moved away from it, the temperature steadily dropped until the couple was about 1/2in [13 mm].from the surface, after which this temperature remained uniform and equal to the air temperature, regardless ofdistance.

The air temperature they refer to is that of the refrigerated room connected through more than 5 m of level duct. It seemsclear from the article that the "preliminary tests" were conducted with forced air, calling into question whether the duct innersurface temperature is the same as the air temperature 25 mm from the plate center when flow is unforced.

So how would convection from a vertical plate in a horizontal duct compare with convection from an openair vertical plate?Inside the duct heated rising air is obstructed and so accumulates in the duct. This reduces the heat transfer from the heatedplate, but also raises the temperature of the air which is 25 mm from the plate. When the heat transfer is divided by ΔT, itincreases the reported h values.

With processes driving h in opposite directions, these stillair measurements can be justified as neither upper nor lowerbounds for natural convective surface conductance. Particularly disappointing is that the relationship between submillimetersurface roughness and natural convection from a flat vertical plate remains unquantified (the lack of measured emissivitiesalso contributes uncertainty).

2009 ASHRAE Fundamentals

The 2009 ASHRAE Fundamentals Handbook (SI) takes an entirely different approach, characterizing convective heattransfer using correlations (equations) of dimensionless quantities. Surface roughness is treated only for forced convectioninside pipes and ducts. For external plates only horizontal and vertical orientations are covered. It has no examplecalculations of unobstructed convection from a plate.

It appears that with the move to a more theoretical treatment, 2009 Fundamentals lost practical applicability to roofs. Theintent of this article is to develop a theory sufficient to predict convection from rough inclined rectangular roofs.

Formulas not leading to the final derivations have a gray background.

Physical Parameters

symbol units descriptionTF K Fluid (Air) TemperatureTS K Plate Surface Temperature

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#70

T K Mean Temperature (TF+TS)/2P Pa Fluid (Atmospheric) PressureV m/s Fluid VelocityRair J/(kg⋅K) Gas Constant for Dry Air = 287.058 J/(kg⋅K)Φ Pa/Pa Relative Humidity

From these parameters are derived density ρ, thermal conductivity k, specific heat cp, and viscosity μ. For dry air, Kadoya,Matsunaga, and Nagashima[93] is the authoritative source for viscosity and thermal conductivity.

The example calculations in this text were performed before the model incorporated humidity. Calculations with a relativehumidity of 41% at sea level match the example calculations within 2%.

symbol forced natural formula units descriptioncp ✓ ✓ [see text] J/(kg⋅K) specific heat at constant pressureρ ✓ ✓ P/(Rair ⋅ T) kg/m3 densityk ✓ ✓ [see text] W/(m⋅K) thermal conductivityμ ✓ ✓ [see text] Pa⋅s dynamic viscosityν ✓ ✓ μ/ρ m2/s kinematic viscosityα ✓ k/(ρ⋅cp) m2/s thermal diffusivity

β ✓ 1/T K−1 coefficient of thermal expansion

The moist air values of these properties are computed by combining the values for dry air and water vapor in proportion totheir presence in the moist air mixture, in some cases with correction factors. What is true of all the mixture formulas is that at0% relative humidity the mixture values are identical with the dry air values and at 100% relative humidity at 100°C themixture values are identical with the steam (water vapor) values.

These mixture formulas come from Tsilingiris[91] and Morvay and Gvozdenac[92] (not ASHRAE). Both sources containerrors; the obvious errors don't occur in the corresponding quantities. Wexler[94] is the authoritative source for watervapor(partial) pressure versus temperature.

Thermodynamic and Transport Properties of Air

At 100% relative humidity, the pressure and mass fraction of vaporincrease with temperature, but remain less than 10% at 45°C. Sohumidity will not be a major influence on air's properties atoutdoor temperatures.

Model moist air as a mixture of ideal gases. The relativehumidity,Φ, is the ratio of the partialpressure of water vapor to Psat. Psat isthe partial pressure of saturated water vapor at temperature TF(Kelvins):

Psat = 610.78 ⋅ 107.5 (TF−273.15)/(TF−35.85)

Over the temperature range of interest, this formula for Psat is wellwithin 1% of the values returned by formula 16b in Wexler[94]:

Psat = exp( −0.63536311×104/TF +0.3404926034×102 −0.19509874×10−1⋅TF +0.12811805×10−4⋅TF2 )

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#93http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#specific heathttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#densityhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#thermal conductivityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conductivityhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#viscosityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivityhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#coefficient of thermal expansionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#91http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#92http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#94http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#94

Density ρ, thermal conductivity k, specific heat cp, and viscosity μ are computed at temperature T, the average of TF and TS.But Psat must be evaluated at the bulk fluid temperature TF because the amount of watervapor in the fluid doesn't changewhen heated to intermediate temperature T. If TS is colder than TF, then condensation may occur.

Simulation of roofs can sidestep the issue by constraining the roof temperature to not drop below the ambient dewpointtemperature. Because of water's high latent heat, this treatment should not result in large errors.

For an ideal gas, density ρ is:

ρ=P M/(R T) R=8.314 J/(kg⋅mol)

Model moist air as a mixture of dry air and water vapor:

ρ =(P − Φ Psat) Ma + Φ Psat Mv

R TR = 8.314 J/(kg⋅mol)Ma = 0.028964 kg/molMv = 0.018016 kg/mol

The specific heat at constant pressure cp for dry air and watervapor each vary little over our temperature range. But the mixtureat a given relative humidity is sensitive to temperature. cpa and cpvare the specific heat of air and watervapor, respectively. Theseformulas from Tsilingiris[91] take temperature t in degrees Celsius.xv(T) takes temperature in Kelvins.

cpa(t) = 1034 −.2849⋅t +.7817×10−3⋅t2 −.4971×10−6⋅t3+.1077×10−9⋅t4

cpv(t) = 1869−2.578×10−1⋅t +1.941×10−2⋅t2

cp=cpa(t) (1−xv) Ma + cpv(t) xv Mv

(1−xv) Ma + xv Mv

xv(T) = Φ Psat(T)/P

The "trunc" traces are with the two higher order terms of cpa(t) dropped.

Both [91] and [92] give formulas for the viscosity of dry air. [91] matches the data from [93] better; the values from [92] areabout 1% lower. The formula from [91] is:

μa = −9.8601×10−7 +9.080125×10−8⋅T −1.17635575×10−10⋅T2 +1.2349703×10−13⋅T3 −5.7971299×10−17⋅T4

A line for the viscosity at half air pressure (P=50 kPa) overlays [93]Dry air; so air pressure variations don't significantlyaffect viscosity at roof conditions. A linear fit to [93] data over the range of interest is:

μa = 16.74×10−6 Pa⋅s + (t − 10°C) ⋅ 49.25×10−9 Pa⋅s/K

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#91

The viscosity of saturated water vapor is less studied.Tsilingiris[91] gives a formula which returns a viscosity value for100 C around half of that shown in his own graph of viscosity!Morvay and Gvozdenac[92] give a formula for the viscosity ofwater vapor which matches Tsilingiris' graph well. Withγ=647.27/T:

μv =γ−1/2 Pa⋅s

018158.3 + 017762.4 γ + 010528.7 γ2 −003674.4 γ3

Over the temperature range of interest, μv is hardly different from:

μv = 9.2173×10−6 Pa⋅s + (T − 273.15 K) ⋅ 25.713×10−9 Pa⋅s/K

Morvay and Gvozdenac introduce a parameter they call absolute humidity, the ratio of masses of water vapor and dry air:

χ=Mv Psat

Ma (P−Psat)

The dynamic viscosity of the moist air mixture is:

μ =μa

1 + ΦAV ⋅ χ+

μv

1 + ΦVA / χ

The terms ΦAV and ΦVA are complicated expressions having values ranging from 1.064 to 1.073 and .93 to .923respectively over the roof range of interest (25°C to 45°C). The simplified 99% RH curve, which is nearly identical to the99% RH curve, uses the linear μv and μa models and substitutes 1.07 and 0.93 for ΦAV and ΦVA.

The authoritative formula for the thermalconductivity of dry air isfrom Kadoya, Matsunaga, and Nagashima[93]:

ρr = P / (287.058 ⋅ 314.3 ⋅ T)Tr = T / 132.5

ka = 0.0259778 ⋅ ( 0.239503⋅Tr +0.00649768⋅Tr1/2 +1.0−1.92615⋅Tr−1 +2.00383⋅Tr−2 −1.07553⋅Tr−3

+0.229414⋅Tr−4 +0.402287⋅ρr +0.356603⋅ρr2 −0.163159⋅ρr3 +0.138059⋅ρr4

−0.0201725⋅ρr5 )

A line for the k at half air pressure (P=50 kPa) overlays [93]Dry air on the graph; so air pressure variations don't significantlyaffect k at roof conditions. Over the roof range of interest this is hardly different from:

ka = 0.02241 W/(m⋅K) + (T−250 K) ⋅ 76.46×10−6 W/(m⋅K2)

Tsilingiris[91] gives a formula for the thermal conductivity of water vapor:

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#91http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#92http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#93http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#91

kv = 1.761758242×101 +5.558941059×102 T +1.663336663×104 T2

Morvay and Gvozdenac[92] also give a formula for the thermal conductivity of water vapor:

kv = 1.74822×102 +7.69127×105 t −3.23464×107 t2 +2.59524×109 t3 −3.17650×1012 t4

They diverge mostly at the dry end of the curve, where kv has insignificant effect on the moist air thermalconductivity (km).Over the roof range of interest the latter curve is hardly different from:

kv = 0.0174822 W/(m⋅K) + (T−273.15 K) ⋅ 69.4587305×10−06 W/(m⋅K2)

Morvay and Gvozdenac[92]'s formula for moist air thermal conductivity is like the formula for viscosity, but with morecomplicated expressions for ΦAV and ΦVA. Tsilingiris[91]'s formula uses the same ΦAV and ΦAV as the viscosity formula:

k =ka

1 + ΦAV ⋅ χ+

kv

1 + ΦVA / χ

The simplified 99% RH curve, which is nearly identical to the 99% RH curve, uses the linear ka and kv models andsubstitutes 1.07 and 0.93 for ΦAV and ΦVA.

For an ideal gas with pressure held constant, the volumetricthermal expansivity (i.e. relative change in volume due totemperature change) is the inverse of temperature. For naturalconvection from a horizontal plate it is:

β=1/T

For natural convection from a vertical plate (T9.2, T9.3) it is:

β=1/TF

Characteristic Length

For a flat rectangular plate, Lc is the length of the side parallel to the direction of flow.

For a flat plate, L* is the area (of one side) of the plate divided by its perimeter. Here are formulas for L* of four shapes. l isthe length; w is the width; D is the diameter.

rectangle square infinite strip circular disk

L*(w, l) =w⋅l

2 (w+l)L*(w, w) =

w

4L*(w, ∞) =

w

2

π D2 / 4

π D=D

4

It is interesting that a square and the maximal circle inscribed within it have the same L*.

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#92http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#92http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#91http://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_thermal_expansion#Expansion_in_gases

The plot to the right shows how the length of a side (sqrt(A/r)) andL* (area/perimeter) vary with aspectratio for a rectangular platewith an area of 1 m2. As the aspectratio r grows, L* tends tosqrt(A/r)/2.

The hydraulicdiameter, used as the characteristic length DH inducts, is related to L*, being 4 times the crosssection area dividedby the crosssection perimeter.

Dimensionless Quantities

Below are formulas for dimensionless quantities governing convection along with ranges for air under the conditions:

DryBulb Temperaturebetween −25°C and +45°C

Temperature difference between the roof and drybulbbetween −10 K and +50 K

Atmospheric Pressurebetween 88300 Pa and 103600 Pa

Wind Speedbetween 1 m/s and 15 m/s

Characteristic Length Lcbetween .5 m and 50 m height for a vertically oriented plate;between .5 m and 50 m length for forced convection;an areatoperimeter ratio between 0.25 m and 12 m for natural convection from a horizontally oriented plate;

Mean Height of Roughness εbetween 0 mm and 2 mm.

gravitational acceleration g9.80665 m/s2

Ranges for vertical plates, where Lc is the height, are marked with a subscripted V. Ranges for horizontal plates, where Lc isthe ratio of area to perimeter, are marked with a subscripted H. The Prandtl number is insensitive to Lc, depending only onfluid (air) properties. The Lc for Reynolds and Nusselt numbers in forced convection is the length of the plate in the directionof flow.

Both Gr and Ra have factors of |ΔT|; they will be zero when ΔT is zero. In order to get an idea of the dynamic range of Grand Ra, the minimum ΔT used for rangeofinterest is 1 K rather than 0 K. Re will be zero when the windspeed is zero. Inorder to get an idea of the dynamic range of Re, the minimum V used for rangeofinterest is 1 m/s rather than 0 m/s.

In convection calculations, Nu is computed from the other dimensionless quantities; then solved for h, the surfaceconductance (having units W/(m2⋅K)).

symbol formula expansion roof range of interest descriptionPr ν/α cp⋅μ/k 0.719≤Pr≤0.735 Prandtl number

Gr

β⋅|ΔT|⋅g⋅Lc3 |ΔT|⋅g⋅Lc3⋅ρ29.35×107≤GrV≤2.02×1015 Grashof number for natural

convection

http://en.wikipedia.org/wiki/Hydraulic_diameterhttp://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionless_quantityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Standard_gravityhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prandtl_numberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Grashof_number

ν2 T⋅μ2 1.17×107≤GrH≤2.79×1013

Ra Gr⋅Pr|ΔT|⋅g⋅Lc3⋅ρ2⋅cp

T⋅μ⋅k

6.72×107≤RaV≤1.49×1015

8.40×106≤RaH≤2.05×1013Rayleigh number for naturalconvection

Re V⋅Lc/ν V⋅Lc⋅ρ/μ 2.46×104≤Re≤6.79×107 Reynolds number for forcedconvection

Nu

SCAAT8.9, T8.11

(forced rough)(forced smooth)

1.25×102≤Nu≤3.46×105

1.08×102≤Nu≤6.13×104Nusselt number

HHT*T9.3 (natural)

33.4≤NuH≤3.63×103

54.4≤NuV≤1.22×104

hNu⋅k/Lc (forced rough)(forced smooth)

2.38≤h≤202.2.38≤h≤68.4 convective surface conductance

W/(m2⋅K)Nu⋅k/L*Nu⋅k/Lc (natural)

3.02≤hH≤7.582.43≤hV≤6.18

It is worth noting that a larger h value doesn't necessarily correspond to a larger Nu value because Nu gets divided bydifferent L values.

Natural Convection

The table below excerpts those sections of Table 9 from chapter 4 of 2009 ASHRAE Fundamentals Handbook (SI) whichdeal with natural convection from isothermal (uniform ts) flat plates. HHT* is my generalization of T9.5 through T9.8.

Table 9 Natural Convection Correlations

II. Vertical plate Properties at (ts+t∞)/2 except β at t∞.

L=height 0.1

Sources: aChurchill and Chu (1975a), bLloyd and Moran (1974), Goldstein et al. (1973)

Vertical Plate

The range for T9.2 is supposed to cross over to T9.3 atRa=109, but the two curves don't match at Ra=109. AboutT9.3, Churchill and Chu (1975a)[75] conclude that:

Equation (9) [T9.3] based on the model of Churchilland Usagi provides a good representation for the meanheat transfer for free convection from an isothermalvertical plate over a complete range of Ra and Pr from0 to ∞ even though it fails to indicate a discretetransition from laminar to turbulent flow.

Roofs aren't vertical. But this formula is a component formodeling the cases of roofs which are neither horizontal nor vertical.

The stipulation: "Properties at (ts+t∞)/2 except β at t∞." is not in Churchill and Chu [75]. On this subject their paper saysonly:

For large temperature differences such that the physical properties vary significantly, Ede [2] recommends thatthe physical properties be evaluated at the mean of the surface and the bulk temperature. Wylie [18] providesmore detailed theoretical guidance for the laminar boundarylayer regime.

The maximum relative error for Nu in T9.3 if β is 1/t∞ instead of 2/(ts+t∞) is

(ts+t∞

2 t∞)1/3  

−1 = (Δt

2 t∞+1 )

1/3  

−1

At t∞=20°C and ts=70°C the maximum error is less than 3%.

Horizontal Plate

Formulas T9.5 through T9.8 give the horizontal hot topcorrelations in 4 segments with a gap between 104 and 2.2×104. Afunction (dashed line) constructed like T9.3 shows goodagreement:

Nu* range

{0.65 + 0.36 Ra1/6}2 1

(1973)[73], which both state "The present results apply to either the heated upward facing heat transfer surface or thecooled downward facing heat transfer surface." Brucker and Majdalani (2005)[72] misattribute T9.9 to Lloyd and Moran(1974)[74]. Whitaker (2005) [71] also perpetuates T9.9.

With the Lc values which generate curves matching Fig. 24.1, T9.9 yields h values much larger than Table 24.1. Fujii andImura[76] treat downward convection in their 1972 paper Freeconvection heat transfer from a plate with arbitraryinclination, analyzed next.

Inclined Plate

Fujii and Imura(1972)[76] provide convincing measurements that downward facing convection can be treated as scaling ofRa values by cosine of θ. Downward convection from a horizontal plate is thus the limit of θ approaching 90°. But havingbeen written several years before the appearance of T9.2 and T9.3 in Churchill and Chu (1975a)[75], their model of thenatural convection from a vertical plate does not include a minimum constant value.

Abstract An experimental study is described concerning freeconvection heat transfer from a plate witharbitrary inclination. The heat is transferred from one side surface of two plates of 30 cm height, 15 cm widthand 5 cm height, 10 cm width. The main flow in the boundary layer is restricted twodimensionally.

width height area/perimeterLW LH L* LH/L*

15 cm 30 cm 450/90 = 5 cm 610 cm 5 cm 50/30 = 1.67 cm 3

In their paper, L (LH here) is the length of an edge of the plate which is parallel to the sidewalls which restrict the flow totwo dimensions. For both plates, LH is significantly larger than the L* used by Lloyd and Moran (1974)[74] and Goldstein etal. (1973)[73].

Downward Convection

The straight line, equation (4) below, on Fujii and Imura's figure 6 is reproduced as the bottom trace. It is a good fit for therange of angles from 0° to 86.8°, but the measurements for an angle of 89° veer increasingly above the line as Gr⋅Pr⋅cosθfalls below 107. With Pr=5, the top trace is T9.2(Gr⋅Pr⋅cosθ), which has a minimum value of 0.68, causing a barely visibleflare to the left. Fujii and Imura remark:

The fact that the experimental Nu value is smaller than the theoretical one seems to be caused by estimating therepresentative wall temperature too high and heat loss too large.

Another explanation is that the sidewalls responsible for the "twodimensionally" restriction reduce the flow, both bypreventing flow around the sides and from drag with the sidewalls.

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#73http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#72http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#74http://books.google.com/books?id=DSHSqWQXm3oC&pg=PA1140&lpg=PA1140&dq=%22Nu+%3D+C%28Ra%29n%22&source=bl&ots=o_QVEPHF7Q&sig=As_wh9dF5Py0pE6YsHSF4gZj45w&hl=en&ei=9qNmTZD7G8P58Abjqq3iCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBMQ6AEwAA#v=onepage&q=%22Nu%20%3D%20C%28Ra%29n%22&f=falsehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#71http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#76http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#76http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#76http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#75http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#74http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#73

Nu range

0.56 (Gr Pr cos θ)1/4 105  107, in which case T9.3 is likely the right one. Churchill and Chu(1975a)[75] assert that the vertical isothermal plate behaves as T9.3. Because the convection at vertical (0°) must matchbetween the downward and upward facing formulas, T9.3 must be used for both.

The streamlines which Fujii and Imura show for horizontal downflow (Fig.14 c) have two cylindrical rollers with axesperpendicular to the sidewalls. These will arise freely from a flow where heated air spreads from the center of the plate. For arectangular plate without sidewalls, these two rollers should arise parallel to the longer edges. If a toroidal rolling Ra1/6mode were possible for a square plate, then it would be even more likely for a circular plate. But Schulenberg [77] does notfind it in correlation (47) below.

We need to incorporate the perpendicular 1/5 mode, which has a potentially different characteristic length than used inUCT1. How should the heat flow from perpendicular modes be compared? The h value (having units W/(m2⋅K)) for eachconvection component is found using its L value through its computation.

h = k⋅max(Nu9.3(Ra(LH) cos θ)

,0.58 Ra(LH/2)1/5

,0.58 Ra(LW/2)1/5

) 0°≤θ≤+90° UCT2

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#75http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#77http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#(47)

LH LH/2 LW/2

In Natural convection heat transfer below downward facing horizontal surfaces [77], Schulenberg develops correlations fordownward convection for an infinite strip and circular plate (I added the equivalent T9.2style expressions):

plateshape Schulenberg T9.2style

infinite strip Nu =0.571 Ra1/5 ⋅ Pr1/5

[1+1.156 Pr3/5]1/3=

0.544 Ra1/5

[1+(0.785/Pr)3/5]1/3(45)

circular disk Nu =0.705 Ra1/5 ⋅ Pr1/5

[1+1.48 Pr3/5]1/3=

0.619 Ra1/5

[1+(0.520/Pr)3/5]1/3(47)

In Schulenberg's derivation, the characteristiclength used for computing the Rayleighnumber (Ra) is R:

R halfwidth of the infinite strip or radius of the circular plate

R for formula (45) is half of the strip width, which is the same as L*.R for formula (47) is the radius of the disk, which is twice L*.

Replacing Nu5 with Nu45 in UCT2 results in a formula for convective surface conductance (h) for a heated downwardfacing or a cooled upwardfacing LH by LW rectangular plate inclined θ from vertical around a level LW edge, 90°(horizontal) to 0°(vertical). Because the derivative of h45* is monotonically decreasing as a function of L, its two terms arecollapsed to one term dependent on min(LH, LW).

R = min(LH, LW)/2

h = k⋅max(Nu9.3(Ra(LH) cos θ)/LH , Nu45(Ra(R))/R) 0°≤θ≤+90° UCT3

Both the 5 cm and 30 cm plates (of FujiiImura) tilt around an axis (the θaxis) parallel to the fluid axes of rotation (asrestricted by sidewalls perpendicular to the fluid axes). At the lowest edge of a heated plate, the flow due to the T9.3 modeof convection opposes the flow due to the Nu45 mode of convection. This explains why these modes are mutually exclusivewhen flow is restricted by sidewalls.

Without sidewalls, Nu45 flow can organize so its rotation axes are perpendicular to the θaxis, and coexist with T9.3 flow

from the lower edge. Taking the maximum of h45 and h9.3, which is equivalent to the L∞norm, ignores mode cooperation.Finite norms blend the inputs. Putting LH Nu45 in competition with LW Nu45 blended with T9.3 results in a formula like:

‖x,y‖p = (xp+yp)1/p x ≥ 0; y ≥ 0; p > 0

h = k⋅max(Nu45(Ra(LH/2))

LH/2,‖

Nu45(Ra(LW/2) sin θ)

LW/2,Nu9.3(Ra(LH) cos θ)

LH‖p)

The sin θ factor is included in order to make the formula continuous with T9.3 at θ=0. It will have negligible effect nearθ=90°

There appears to be no published experimental data for slightly tilted downward convection without sidewalls. Not only is p

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#77http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space

unknown, the accuracy of Lnorms for this application is unknown. Additionally, theformula above will be difficult to extend to cases where the lower edge is not horizontal.So I return to a simpler formulation, even if might not be as accurate as the one aboveonce p is known.

The graph to the right shows the natural convective surface conductance at angles near90° (horizontal downfacing square plate) using five different Lnorms. The L4normlooks to be midway between L2 and L∞.

UCT4 is the formula resulting from replacing the L∞norm (max) with the L4norm inUCT3. The maximum relative error from using UCT4 where modes were actuallyexclusive is +19% at the point where the Nu9.3 and Nu45 terms are equal. Away fromthe crossover points the error is smaller.

R = min(LH, LW)/2

‖x,y‖p = (xp+yp)1/p

h = k⋅‖Nu45(Ra(R) sin θ)

R,Nu9.3(Ra(LH) cos θ)

LH‖4 0°≤θ≤+90° UCT4

Upward Convection

The FujiiImura treatment of convection from upward facing plates is more difficult than the other orientations. Whileexpression (7) is in line with the expressions from other sources, expression (6) is not. The problem they report with lowerthan expected Nu values seems to particularly affect their upwardfacing 30 cm plate.

The flow patterns in figure 14 (e) and (f) show plumes rising from the center of the (heated) 5 cm plate. Those plumes woulddraw from the longer sides of the plate; but such flow is impeded by the sidewalls of the long plate. Having its long sidesobstructed could well explain the 30 cm plate's convection deficit.

Nu range

0.13 (Gr Pr)1/3 5×108 

0.16 (Gr Pr)1/3 Gr Pr 

 

Expressions (8) and (9) describe a regime combining verticalplate mode of convection from 0 to Rac(θ) with horizontalplatemode of convection from Rac(θ) to Ra. Expressing the equations

in terms of h, x, and xc. Let Ra(x)=C⋅x3; then C=Pr⋅β⋅|ΔT|⋅g/ν2.

Rac(θ) = Ra(xc) = C⋅xc3

xc = {Rac(θ)

C

}1/3

xc is independent of Lc. At the conditions of Fig.14(e), θ=85°,

Ra=5.93×107, C=1.19×109, and Lc=50 mm, xc is 7.7 mm, whichis 15% of the plate height Lc.

When xc ≤ LH, the plate is considered in two pieces: LW by LH−xc and LW by xc. Support for this treatment can be seen incomparing Fujii and Imura's Fig.14(e) and Fig.14(f); in (e) the plume of the inclined plate is shifted up the slope comparedwith the level plate (f). Less certain is the validity of this adhoc formula for Rac(θ) in convection which is not restricted totwodimensional flows.

Express correlation (9) as the sum of surface conductances for correlations (7) and (4):

h7(x) = 0.16 k⋅(C⋅x3)1/3 / LHh4(x, θ) = 0.56 k⋅(C⋅x3⋅cos θ)1/4 / LH

h = h7(LH) − h7(xc) + h4(xc, θ)

= h7(LH−xc) + h4(xc, θ) −90°≤θ≤0° H9

The most negative angle Fujii and Imura treat is −85°. The spike at −90° may be due tomy adhoc function for Rac(θ). In any case, hθ needs to be generalized to plates withoutsidewalls.

To generalize H9, substitute surfaceconductance expressions derived from HHT* and T9.3 for h7 and h4, respectively:

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#FI8http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#FI9

L*(LW, LH) = LH⋅LW / (2 (LH+LW))hHHT*(x)=k⋅HHT*(C⋅x3) / L*(LW, LH)h9.3(x, θ)=k⋅T9.3(C⋅x3⋅cos θ) / LHh = h9.3(LH, θ) LH ≤ xc −90°−90° too large. The L4norm (UHT4) yields a believable curve; as θ becomes more negative, T9.3 mode is assisted by HHT*, which eventuallydominates the flow. The conductance is flat around −90° because small tilts (from level) won't much affect the HHT* modeof convection (see the Boundary Layer section).

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#L*http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#HHThttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#L*http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#HHThttp://en.wikipedia.org/wiki/Lp_spacehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Boundary Layer

h = k⋅‖NuHHT*(Ra(L*) |sin θ|)

L*,Nu9.3(Ra(LH) cos θ)

LH‖4 −90°≤θ≤0° UHT4

UHT4 has similarities with UCT4. Both use the L4norm and T9.3. In both, the Ra arguments to correlations are multipliedby |sin θ| and cos θ. For an infinite strip, the characteristic lengths of the left terms are equal (R=L*).

In A heat transfer textbook[85], Lienhard and Lienhard attribute the use of g⋅cos θ for inclined laminar convection to:

B. R. Rich.An investigation of heat transfer from an inclined flat plate in free convection.Trans. ASME, 75:489–499, 1953.

They attribute the use of g⋅cos θ and g⋅sin θ for inclined turbulent convection to:

G. D. Raithby and K. G. T. Hollands.Natural convection.In W. M. Rohsenow, J. P. Hartnett, and Y. I. Cho, editors,Handbook of Heat Transfer, chapter 4.McGrawHill, New York, 3rd edition, 1998.

Natural Convective Surface Conductance

Here are the conditions for the Table 1 of chapter 24 stillair convection points, which are plotted in the lower right graph.

symbol value units or L descriptionT 296.9 K mean of plate and ambient temperature

ΔT 5.5 K temperature difference between plate and ambientP 101325 Pa air pressure (assumed, not specified)μ 1.86×105 Pa⋅s dynamic viscosityk 0.0260 W/(m⋅K) thermal conductivity of airρ 1.19 kg/m3 air densityPr 0.723 Prandtl numberRa 8.43×106 LH = 0.25 m

Rayleigh numbers of smooth 0.25 m square plate

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#UCT4http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#85http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Still Air

Ra* 1.32×105 L* = 0.0625 m

Ra 2.31×107 LH = 0.35 mRayleigh numbers of smooth 0.35 m square plate

Ra* 3.61×105 L* = 0.0875 m

The shape and size of the plate are not specified by Table 24.1. The graph to the left shows what the various correlationspredict for a smooth square plate with side length from 0.24 m to 0.71 m. The top two traces are for horizontal upwardconvection using composite correlation HHT* and Table 9 correlation T9.7 respectively. The middle trace is for a verticalplate (hT9.3). The bottom three traces are for a horizontal downward facing hot plate or upward facing cold plate. Asdiscussed above, hT9.9 appears to have no basis in theory or published measurement; it is over 50% larger than surfaceconductances based on Fujii and Imura (Nu5) and Schulenberg (Nu45).

The hHHT* curve matches the Table 24.1 −90° value at a squareside length of 0.35 m, while the hT9.3 curve matches theTable 24.1 vertical value at a squareside length of 0.37 m. The Nu45 and Nu5 curves match the +90° value around 0.7 m.The upper left plot shows that all of the conductances grow with decreasing length of the square's side; so simply adjustingthe square's dimensions will not improve the fit.

Would nonsquare rectangular plates bring these points closer to their targets? We are looking to reduce h45* while notreducing hHHT* and hT9.3. For the vertical plate, the width does not affect its surface conductance hT9.3. So lets leave theheight fixed and adjust the width. The conductance h45* uses the length of whichever side is shorter. So h45* does notchange with increasing width. And h45* increases with decreasing width, which degrades the match. Therefore downwardfacing surface conductance cannot be reduced by changing the aspectratio from 1 (square).

From this, we can conclude that the plateundertest in Table 24.1 was most likely square. In addition to coming within afew percent of the Table 24.1 values, a 0.35 m square is a practical size for measuring convection, requiring an enclosure nomore than a few cubic meters in size. For the rest of this article, I will assume that the Table 24.1 plate was a 0.35 m square.

LH=LW=0.35 m; L*=87.5 mmθ h calculated Table 24.1 relative error

−90° hHHT* 4.037 4.03 +0.2%

−90° h7 3.382 4.03 −16.1%

−45° hUHT4 3.906 3.86 +1.2%

−45° hUHT3 3.672 3.86 −4.9%

−45° hUHT2 2.671 3.86 −30.8%

0° hT9.3 2.952 3.06 −3.5%

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#HHThttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#T9.9

0° h4 2.881 3.06 −5.8%

+45° hUCT4 2.694 2.27 +18.7%

+45° hUCT3 2.671 2.27 +17.7%

+45° h9 2.642 2.27 +16.4%

+90° hT9.9* 1.965 0.96 +105%

+90° h5 1.278 0.96 +32.7%

+90° h45* 1.245 0.96 +30.0%

The plot of surface conductance is linked to a larger, highresolution version. The UHT2, UHT3, and UHT4 curves applyfrom −90° to 0°; the UCT3 and UCT4 curves apply from 0° to +90°.

The FujiiImura curve is not monotonic. This implies, and looking at Figure 10 confirms, that the lines of Nu values for59.9° and 44.8° cross.

At θ values between −90° and −58°, the UHT2, UHT3 and UHT4 curves have significantly more conduction than the FujiiImura curve; this may be due to Fujii and Imura's device having sidewalls which restrict flow. Both FujiiImura and UHT2reach a local minimum where xc(θ)=LH=.35 m at a θ value near −58°. At θ values greater than −58°, the T9.3 and (4) modeof convection flows along the full height of the plate, even though the HHT* mode has a higher surface conductance nearθ=−58°. UHT3 uses whichever mode has higher convective heat transfer, and comes within 5% of the Table 24.1 value at−45°. UHT4 blends the modes using the L4norm and comes within 1.2% of the the −45° value.

Small tilts around −90° should not change h much. And that is the behavior of hUHT3 and hUHT4. hUCT3 and hUCT4 arevery sensitive to tilts away from horizontal (+90°). Both curves exceed the Table 24.1 value by more than 16% at +45°(inclined facing down). The downward convection from a level plate exceeding the Table 24.1 value by more than 30% isunfortunate, but the natural convection from horizonatal and vertical plates is established by theory and experiment frommultiple sources.

The asymmetry of the curve near vertical (0°) is interesting. As fluid heated at the bottom of a vertical plate rises, it stays nearthe plate, creating a thermal boundary layer which is wider at the top of the plate than at the bottom. Fig.14(a) from Fujii andImura(1972)[76] shows that the hydraulic boundary layer is also thicker at the top than the bottom of heated vertical plate.

As the plate tilts up, buoyancy of heated fluid pulls parcels away from the plate, increasing convective transport and surfaceconductance. Further upwardtilting promotes more (HHT*) vertical mixing at the expense of (T9.3) fluid flowing the lengthof the plate.

Because the layer of heated fluid is thick at the upper end of a vertical plate, as the plate is tilted downward, the furtherthickening of the boundary layer does not much affect convection. Further downwardtilting reduces the buoyancy of fluidparcels traveling along the plate.

DoubleSided Natural Convection

A correspondent wonders what the convection from both sides of a solarcell panel is. For natural convection, the doublesided panel shows much less variation with angle than the singlesided case.

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/H-VS-ANG.pnghttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Fig.10http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#76

Natural Convection Summary

Natural convection correlations for inclined rectangular plates involve characteristiclengths derived from LH and LW. Thederivation of Leff is in the section Natural OffAxis Convection Each correlation is computed using its own characteristiclength. Flows are then compared and selected as convective surfaceconductances (h).

Proposed is the complete natural convective surface conductance for one side of a flat LH by LW rectangular isothermal platerotated φ around the center of the plate (in its plane) and inclined θ from vertical.

L* = LH⋅LW / (2 (LH+LW))R = min(LH, LW)/2

Leff =LH LW

|cos φ| LW + |sin φ| LHLVRR

Pr = cp⋅μ/kRa(L) = |ΔT|⋅g⋅ρ2⋅cp⋅L3 / (T⋅μ⋅k)

NuHHT*(Ra*) = {0.65 + 0.36 Ra*1/6}2 1≤Ra*≤1.5×109 θ=−90°

T9.3(Ra) = {.825 +.387 Ra1/6

[1+(.492/Pr)9/16]8/27}2 1≤Ra≤1012 θ=0°

Nu45(Ra) =0.544 Ra1/5

[1+(0.785/Pr)3/5]1/3θ=+90°

‖x,y‖p = (xp+yp)1/p x ≥ 0; y ≥ 0; p > 0

h = k⋅‖Nu45(Ra(R) sin θ)

R,Nu9.3(Ra(Leff) cos θ)

Leff‖4 0°≤θ≤+90° UCT4E

h = k⋅‖NuHHT*(Ra(L*) |sin θ|)

L*,Nu9.3(Ra(Leff) cos θ)

Leff‖4 −90°≤θ≤0° UHT4E

These equations assume that T9.3 and Nu45 are independent of surface roughness (with meanheightofroughness muchsmaller than the characteristic length). Evidence from Clear et al supports the independence of HHT* from surface

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Off-Axis Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#L*http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Off-Axis Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Prhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Rahttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#HHThttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convectionhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Schulenberghttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#UCT4http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#UHT4http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Fig. 9

roughness. The section "Natural Convection from a Rough Plate" addresses the effects of surface roughness on T9.3 andNu45.

Forced Convection

For a flat plate there is much less experimental data available for forced convection than for natural convection. Toaccurately measure forced convection requires all the equipment necessary for measuring natural convection incorporated ina very uniform, laminar windtunnel. Wind speed and direction add two independent variables, multiplying the number ofmeasurements which must be taken.

The common correlations for forced convection are due to Blasius' 1908 mathematical analysis.

Recalling Dimensionless Quantities, we introduce local versions of Nu and Re:

symbol formula expansion descriptionNux hx⋅x/k local Nusselt numberNu h⋅Lc/k averagePr ν/α cp⋅μ/k fluid Prandtl numberRex V⋅x/ν V⋅x⋅ρ/μ local Reynolds numberRe V⋅Lc/ν V⋅Lc⋅ρ/μ average

The table below excerpts those sections of Table 8 from chapter 4 of 2009 ASHRAE Fundamentals Handbook (SI) whichdeal with convection from flat plates. The plate orientation is not specified. L is the length of the plate [assumed in thedirection of fluid flow]. No citations are given for these 5 correlations. Rec does not appear in the text.

Table 8 ForcedConvection Correlations

III. External Flows for Flat Plate: Characteristic length = L = length of plate. Re = VL/ν. All properties at arithmetic mean of surface and fluid temperatures.

Laminar boundary layer:Re5×105 Nu = 0.0296 Re

4/5 Pr1/3 Local value of h (T8.10)

Turbulent boundary layerbeginning at leading edge:

All ReNu = 0.037 Re4/5 Pr1/3 Average value of h (T8.11)

Laminarturbulent boundary layer:Re>5×105 Nu = (0.037 Re

4/5−871) Pr1/3 Average value Rec=5×105 (T8.12)

Chapter 4 of 2009 ASHRAE Fundamentals[70] states:

For a flat plate with a smooth leading edge, the turbulent boundary layer starts at distance xc from the leadingedge where the Reynolds number Re=V⋅xc/ν is in the range 300000 to 500000 (in some cases, higher). In a

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Natural Convection from a Rough Platehttp://en.wikipedia.org/wiki/Blasius_boundary_layerhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Dimensionless Quantitieshttp://en.wikipedia.org/wiki/Nusselt_numberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prandtl_numberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_numberhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#70http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#70

plate with a blunt front edge or other irregularities, it can start at much smaller Reynolds numbers.

At 15°C, the kinetic viscosity of air is ν=15.7 ×106 m2/s. At V=10 m/s and Re=4×105, xc=Re⋅ν/V=.63 m. At V=2.5 m/sxc=2.5 m. The higher wind speeds will induce a mixture of laminar and turbulent convection on smooth panels larger than1 m. But the smooth L=0.35 m panel posited for Fig. 24.1 would be entirely laminar.

LaminarTurbulent Progression

Local Re changes with distance (x) from the leading edge of the plate. Casting T8.8 and T8.10 in terms of h and x:

hL =0.332 k⋅(x⋅V/ν)1/2 Pr1/3

xlaminar x⋅V/ν5×105

The boundary position, xc, is the minimum of Lc and 5×105 ν/V.

xc = min(Lc, 5×105 ν/V)

Integrate along the direction of flow from leading edge to Lc; then divide by Lc to obtain the average value of h for the plate.

h =1

Lc(xc

∫ 0

hL(x) dx +

Lc

∫ xc

hT(x) dx )

=k ⋅ Pr1/3

Lc(xc

∫ 0

.332 (V/ν)1/2 x1/2 dx +

Lc

∫ xc

.0296 (V/ν)4/5 x1/5 dx )

=k ⋅ Pr1/3

Lc( 0.664 (V/ν)1/2 ⋅ xc1/2 + 0.037 (V/ν)4/5 ⋅ (Lc4/5−xc4/5) ) (FH)

FH can be cast as a dimensionless correlation by reversing the previous substitutions:

Nu = 0.664 Rec1/2 Pr1/3 + 0.037 (Re4/5−Rec4/5) Pr1/3 (FC)

When Rec=5×105, T8.12 results. When the flow is entirely laminar, xc=Lc, and T8.9 results. If the impinging flow isturbulent, then the boundary layer is all turbulent, xc=0, and T8.11 results.

LaminarTurbulent Transition

For a characteristiclength (Lc) of 0.305 m, FH yields a curve (lower red) which matches the Fig. 24.1 curves for glass andclearpine (black) only at windspeeds less than 2 m/s. If the impinging flow were laminar, the Reynolds numbers for thissize smooth plate are low enough that the boundary layer would not progress to turbulence. If the data is valid, thenturbulence must have been present (confirmed in Convection in a Duct)

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Convection in a Duct

The upper red curve is h8.11 (all turbulent).

The conventional Reynoldsnumber threshold Rec=5×105 istoo high to affect a 0.305 m square smooth plate under theseconditions. The description of Rec in 2009 ASHRAEFundamentals is quite tentative. Perhaps Rec has a smallervalue in this situation.

The graph to the right plots FH with Rec held constant at

seven values from 0 to 3×105. The top curve is for Rec=0,which is the same as T8.11.

In the abstract for A comprehensive correlating equation for forced convection from flat plates[86], Stuart Churchill writes:

A correlating equation was developed which provides a continuous representation for all Pr and Re. Differentconstants are suggested for the local and mean Nusselt numbers and for uniform wall temperature and heating.These constants are based on the best available theoretical and experimental results.

Churchill expresses his correlations in terms of Φ, which multiplies Re by a function of Pr:

Φ =Re Pr2/3

[ 1 + (0.0468 / Pr)2/3 ]1/2(3)

Too complicated to reproduce here, his formula (17) takes a parameter Φum to determine the transition from laminar toturbulent flow, but gives no insight on how to predict Φum, which varies more than an order of magnitude fitting the datasets plotted in his Fig. 2, shown here:

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Re_chttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#86

On Fig. 2 have been plotted his laminar and turbulent asymptotes (.667 Φ1/2 and .04 Φ4/5), T8.12 (FC with Rec=5×105),

FC with Rec=105, and the scaledColburnanalogy (developed later in Forced Convection from a Rough Plate) adapted to

Φ: fD(Φ/9.5,0)⋅Φ/8.  Correlation T8.12 (in cyan) breaks sharply from .667 Φ1/2, unlike the curves produced by Churchill'scorrelation.  T8.12 has negative curvature while Churchill's curves have positive curvature at the bottom of the laminarturbulent transition regions.

It is troubling that, although there are many points on the turbulent asymptote, there are only nine measured points on thelaminar asymptote. Those nine points are reported by only two of the sources: Parmelee and Huebscher; and Jakob andDow. The lack of points on the laminar asymptote from the other two experimental sources (one has one close point) couldindicate that their apparatus was producing only turbulent, not laminar flow. That could have been caused by turbulence inthe impinging flow, surface roughness, dullness of the leading edge, or vibration[85]. With the small number of laminarpoints, there doesn't seem to be enough evidence in Fig. 2 to justify Churchill's formula (17) over correlation FC withadjustable Rec.

The FC curves (cyan and green) stay under the turbulent asymptote because they model part of the plate being in laminarconvection (contributing lower Nu values to the average). All but one of the points where Φ≥2×106 also are less than theturbulent asymptote. This stands in support of FC over Churchill's formula (17).  Note that many points are on or above theturbulent asymptote where Φ

Note that Churchill's data points are for smooth plates. The Scaled Colburn Analogy Asymptote puts Nu for rough surfaceson linear asymptotes of Φ above the (smooth) turbulent asymptote.

Transition to turbulence seems to be a phenomena like supercooling. When pure water lacks nucleation particles, it can becooled below its freezing point. Its not that the freezing point is below 0°C; but that nucleation particles are required as well.In forced flatplate convection, transition to turbulence requires requires Φ greater than 104 and some surface or leadingedgeroughness.

Laminar Convection

Forced Convection Heat Transfer at an Inclined and Yawed Square Plate—Application to Solar Collectors[80] by Sparrowand Tien applies only to square (or nearly square) plates. This paper uses a different correlation regime for heat transfer thanChapter 4 of 2009 ASHRAE Fundamentals:

j = St Pr2/3   St = h / (ρ cp V) (2a)

Sparrow and Tien write:

In view of the insensitivity of the results to the angles of attack and yaw, a single formula can be given whichrepresents all the data to an accuracy of 2.5 percent. The formula is

j=0.931 Re−1/2 (6)

Lc is the side of the square, 7.62 cm in the experiment. V ranged from 4.5  to 24 m/s; Re varied from 2×104 to 105. Thusthey tested only laminar flow.

The Stanton Number, St, can be expressed in terms of dimensionless quantities:

St=Nu / (Pr⋅Re)

Combining these equations and solving for Nu:

Nu=0.931 Re1/2 Pr1/3 FCLY

Although the exponents match, the coefficient of FCLY (topred trace) is 40% higher than the coefficient of T8.9(Nu=0.664 Re1/2 Pr1/3). hFCLY (top red trace) and hT8.9(lower red trace) are compared to Fig. 24.1 curves for pineand glass (black) in the graph to the right.

Correlation FCLY computes the same convective surface conductance as Sparrow and Tien do for their example application(1.22 m and 2.44 m square solarcells), assuming a temperature of 15°C. However, even with a temperature difference (ΔT)

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Scaled Colburn Analogy Asymptotehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#80http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#70http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#FCLY

as low as 1 K, the Rayleigh numbers for plates this large (Ra=2×108 and Ra=1.6×109) are far in excess of the naturalconvection turbulence threshold Ra=107. Clear et al[82] write:

In retrospect, it seems likely that any time natural convection is turbulent, then the mixed natural/forcedconvection should be turbulent also.

If that is correct, then FCLY won't apply to the large plates because natural convection from them is turbulent.

Given T8.9's poor match to Fig. 24.1, Sparrow and Tien's correlation not matching Fig. 24.1 is not troubling. But Sparrowand Tien's correlation coefficient being 40% higher than T8.9's is indeed troubling. Sparrow and Tien measured masstransfer, not heat transfer, and presented their data only in terms of dimensionless quantities. The information in their paperseems insufficient to resolve this discrepancy. An additional problem with this paper is detailed below.

In view of the insensitivity of the results to the angles of attack and yaw, a single formula can be given whichrepresents all the data to an accuracy of ±2.5 percent.

Sparrow and Tien's claim that the sensitivity of laminar convection to flow angle is less than 2.5% raises the question ofwhat variation the theory expects from rotation of the square plate. For flows parallel to the plate's surface (angleofattack=0°), this can be computed by summing the heat contributions from strips of the plate (with L equal to strip length)which are parallel to the impinging flow. The worst case variation should be in comparing an edgeparallel flow hp to adiagonal flow hd.

hp = k ⋅ 0.664 (V⋅L/ν)1/2 Pr1/3 / L HP

For flow in the diagonal direction, integrate h times the strip length (2w), then divide by the area (L2/2):

hd =21/2L

∫0

(k ⋅ 0.664 (2w⋅V/ν)1/2 Pr1/3 / 2w) 2 w dw / (L2 / 2)

hd = k ⋅ 0.664 Pr1/3 (V/ν)1/2 23/221/2L

∫0

w1/2 dw / L2

= k ⋅ 0.664 Pr1/3 (V/ν)1/2 (23/2) (2/3) (21/2L)3/2 / L2

= k ⋅ 0.664 Pr1/3 (V⋅L/ν)1/2 (27/4/3) / L= (27/4/3) hp

hd ≈ 1.12 hp

Theory expects the diagonal flow to convect 12% more heat than the axisaligned flow, more than double Sparrow andTien's 5% range. Reviewing their figures, it turns out that the minimum angleofattack they measured was 25°. Nothingthey report can be tested against established correlations. Neither can their results be applied to cases where the flow mightbe inclined less than 25° from the plate surface.

Convection in a Duct

Surface Conductances as Affected by Air Velocity, Temperature and Character of Surface[84] by F.B. Rowley, A.B.Algren, and J.L. Blackshaw is the source for Fig. 24.1. Their test plate was inserted (flush with interior) into a .305 m by

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#82http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#84

.305 m opening cut from one vertical side of a .152 m by .305 m rectangular duct fed by a fan through 5.18 m of this duct.They claim:

This arrangement provided a flow of air past the test surface without turbulence.

The pipe and duct correlations assume that a laminar flow enters the test section from open space. Their 5.18 m of ductpreceding the test plate does not meet that criteria. The interior of this duct's hydraulic diameter (4 times crosssectional areadivided by its perimeter) is: DH=.2032 m. At the minimum nonzero flow they used for measurements, 3.6 m/s, the duct hasa Rynolds number of 56985, well in excess of the laminar cutoff of 2300 at V=0.15 m/s.

So the flow is certainly turbulent. Moreover, flowing through 5.18 m of duct makes it a fullydeveloped turbulent flow(turbulent through whole crosssection), which enables modeling of convection using the Colburn analogy (see SurfaceRoughness).

The duct correlations assume that the test section is heated on all sides; but only one side is heated in the apparatus ofRowley et al. Unlike natural convection, forced flow is not much affected by heat convection. So the surface conductancefor one heated side should be close to that for four sides.

However, forced flow is affected by the surface roughness. So the surfaceconductance values for rough foursided testsegments may differ from rough onesided segments (with three smooth unheated sides).

Rowley et al's curve for glass (with radiative transfer removed) is very close to the Colburn analogy curve with ε=0 and theT8.5a curve above 3 m/s (see Surface Roughness). It shows the expected Re4/5 curvature. The ε values for the other (red)lines were picked to make them close to the Fig. 24.1 curves (in black). These meanheightofroughness (ε) values areplausible (see next section) for their respective materials. The three roughest surfaces have nearly straight trajectories, asexpected from the Moody Chart. As cautioned earlier, the Fig. 24.1. curves diverge from those predicted by the Colburnanalogy as the roughness increases.

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Surface Roughnesshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Convection in a Pipehttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Surface Roughness

Below Re=2300 the flow is laminar, Nu=3.66, and h=0.42 W/(m2⋅K).

Surface Roughness Data

Here are mean height of roughness (ε) values from six sources for three materials called out in Fig. 24.1.

source[R1] [83] S Beck and R Collins, University of Sheffield,

File:Moody diagram.jpg,Wikipedia, the free encyclopedia, 2008,Linked from: http://en.wikipedia.org/wiki/Moody_chart

[R2] Walter BenensonHandbook of Physics (2006)

[R3] Chapter 8 Steady Incompressible Flow in Pressure Conduits (Part B)Shandong University

[R4] Fluid Flow in Pipesscribd.com, andCIVE2400 Fluid Mechanics, Section 1: Fluid Flow in PipesUniversity of Leeds

[R5] Table 14–2*Yunus A. Çengel and Robert H. TurnerFundamentals of ThermoFluid SciencesMcGrawHill Science/Engineering/Math; 3 edition (Jun 29 2007)also from University of Oslo.*The uncertainty in these values can be as much as ±60 percent.

[R6] Moody, L. F.,Friction factors for pipe flow,Transactions of the ASME 66 (8): 671–684 1994

glass wood concrete[R1] 0.0025 mm 0.0250.25 mm[R2] 13 mm[R3] 0.0015 mm 0.180.6 mm[R4] 0.003 mm 0.03 mm[R5] 0 mm 0.5 mm 0.9–9 mm[R6] 0 mm 0.180.9 mm 0.33 mm

Surface Roughness

There appears to be no published theory or measurements relating meanheightofroughness to forced convective heattransfer of open plates (Rowley et al[84] measured a duct). Someone trying to compute forced surface conductance of arough plate has only the smooth plate conductance as a lower bound; the rest will be guesswork.

As mentioned earlier, measuring convective heat transfer from flat plates is difficult. Measuring (forced) convective heattransfer from flow inside pipes and ducts is comparatively easy; theory and experimental data are abundant. Can forcedconvection pipe correlations be adapted to flat plates?

Forced Convection in a Pipe

http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#1997 ASHRAE Fundamentalshttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#83http://en.wikipedia.org/wiki/File:Moody_diagram.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Moody_charthttp://www.cah.sdu.edu.cn/article/pdf/fluid/ch8%20Steady%20Incompressible%20Flow%20in%20Pressure%20Conduits%20(partB).pdfhttp://www.cah.sdu.edu.cn/http://www.scribd.com/doc/12721601/Fluid-Flow-in-Pipeshtpp://scribd.comhttp://www.efm.leeds.ac.uk/CIVE/CIVE2400/pipe_flow2.pdfhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/mhhe.com/cengelhttp://203.158.253.140/media/e-Book/Engineer/Fluid%20Mechanic/Fundamentals%20of%20Thermo-Fluid%20Sciences/cen54261_ch14.pdfhttp://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MEK4450/h11/undervisningsmateriale/modul-5/Pipeflow_intro.pdfhttp://www.chem.mtu.edu/~fmorriso/cm310/MoodyLFpaper1944.pdfhttp://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[R1]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[R2]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[R3]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[R4]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[R5]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#[R6]http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#84http://localhost/~jaffer/SimRoof/Convection/#Forced Convection

The ratio of the mean height of roughness in a pipe to the pipe diameter (its characteristic length) affects the friction factorused to compute head loss in pipes. The Chilton and Colburn Jfactor analogy relates friction factors to forced convectiveheat transfer. Citing Dittus and Boelter (1930), the ASHRAE Fundamentals 2009 Table 4.8 gives correlations for a smoothpipe which are similar to the correlations resulting from Colburns's analogy:

II. Internal Flows for Pipes and Ducts: Characteristic length = D, pipe diameter, or Dh, hydraulic diameter.

Nu = (f/2) Re Pr1/3 Colburn's analogy (T8.1) Turbulent:    Fully developed

Nu = 0.023 Re4/5Pr0.4 Heating fluidRe ≥ 10000

(T8.5a)b

Nu = 0.023 Re4/5Pr0.3 Cooling fluidRe ≥ 10000

(T8.5b)b

Combining equation T8.1 with T8.5 and solving for the Darcy friction factor (which is 4 times the Fanning friction factor)yields:

fD = 4⋅2⋅0.023 Re−1/5 DF5

The Moody chart (from Wikipedia) shown below is for the Darcy friction factor, which is 4 times the Fanning friction factor.The Moody chart consists of two segments: 64/Re for Re values less than 2300, and solutions of the ColebrookWhite equation:

1

fD1/2= −2 log10 (

ε

3.7 DH+

2.51

Re ⋅ fD1/2)

In the Colburn analogy, Nu is proportional to the product of the friction factor and Re. Thus horizontal sections of thefriction factor curve produce Nu and h values which increase linearly with Re. DF5 is shown in red on the Moody chart. It isa good match for the middle of the smooth pipe curve.

http://en.wikipedia.org/wiki/Moody_charthttp://en.wikipedia.org/wiki/Chilton_and_Colburn_J-factor_analogyhttp://en.wikipedia.org/wiki/Moody_charthtt