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CONTROLE DO TRANSPORTE CONVECTIVO DE ESPÉCIES QUÍMICAS EM
MATERIAIS POROELÁSTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS
Fabio Blaser
Rio de Janeiro
Setembro de 2016
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Fernando Pereira Duda
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
CONTROLE DO TRANSPORTE CONVECTIVO DE ESPÉCIES QUÍMICAS EM
MATERIAIS POROELÁSTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS
Fabio Blaser
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA DE MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2016
Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.
Profa. Lavínia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.
Prof. Daniel Onofre Cruz, D.Sc.
ii
Blaser, Fabio
Estudo da Pressão no Transporte de Espécies Químicas
em Materiais Poroelásticos/ Fabio Blaser – Rio de janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.
IX, Paginas p.40.: il.; 29,7cm
Orientador: Fernando Pereira Duda
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Mecânica, 2016.
Referencia Bibliográficas: p.38.
1. Poroelástico. 2. Elementos finitos. 3. Transporte.
4. Espécies químicas. 5. Simulação numérica I. Duda,
Fernando Pereira II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica.
III. Controle do transporte convectivo de espécies químicas
em materiais poroelásticos utilizando o método de
elementos finitos
iii
Para minha mãe Cristina
e meu irmão Stefan.
iv
“Se eu vi mais longe, foi por estar
sobre ombros de gigantes.”
-Isaac Newton
v
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a minha família, que me apoio e me incentivou durante
toda a minha vida, minha mãe Cristina por sempre acreditar em mim e me orientar nos
momentos mais difíceis, me aconselhando e me dando forcas para continuar, e ao meu
irmão Stefan por me divertir e me ajudar nos meus momentos de estresse, sei que foram
muitos.
Agradeço aos meus amigos de colégio que continuam ao meu lado até hoje, aos
meus amigos das caronas entre Petrópolis e Fundão , sem eles as viagens não teriam
sido tão divertidas. A todos que conheci na Fluxo Consultoria que me mostraram a
capacidade de um aluno e o meu potencial. A todos os amigos do meu intercambio em
Deggendorf, nunca esquecerei nossos momentos e as nossas viagens.
Por fim agradeço a todos os professores que fizeram parte dessa incrível
caminhada, que me ensinaram não só matérias, mas também como um profissional deve
agir e o que é ser um Engenheiro formado pela UFRJ, a todos sou muito grato.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de engenheiro Mecânico.
CONTROLE DO TRANSPORTE CONVECTIVO DE ESPÉCIES QUÍMICAS EM
MATERIAIS POROELÁSTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS
Fabio Blaser
Setembro/2016
Orientador: Fernando Pereira Duda
Curso: Engenharia Mecânica
O presente trabalho tem como objetivo demonstrar, que para a nutrição de um
tecido humano, de um biomaterial, ou no tratamento de um tumor, é necessário que o
nutriente, oxigênio ou o fármaco alcance todo o tecido. A espécie química depois que é
entregue pela corrente sanguínea ainda deverá ser transportada para toda a estrutura do
tecido. Esta espécie química pode ser transportada dentro do tecido por dois processos:
de difusão ou por convecção, a difusão é um processo mais lento, por esta razão o
processo de convecção é o mais eficaz para o transporte das espécies químicas. Os
tecidos aos quais se faz referência serão representados aqui pelo modelo poroelástico.
Neste trabalho apresentaremos as simulações feitas através do programa COMSOL,
baseado no método de elementos finitos, onde serão simuladas cargas mecânicas
aplicadas em materiais poroelásticos para o transporte convectivo de espécies químicas
através do tecido. Foram estudados os perfis de pressão e velocidades gerados pela
aplicação de diferentes carregamentos mecânicos, traçando-se a trajetória da espécie
química e identificando o melhor carregamento para o transporte.
Palavras-chaves: Poroelástico, Elementos finitos, Transporte, Espécies químicas,
Simulação numérica
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer
CONTROL OF CONVECTION TRANSPORT OF CHEMICAL ESPICIES IN
POROELASTIC MATERIALS USING THE METHOD OF FINITE ELEMENTS
Fabio Blaser
September/2016
Advisor: Fernando Pereira Duda
Course: Mechanical Engineering
The present work has the objective to demonstrate that for the nutrition of a
tissue, a biomaterial or in the treatment of a tumor, it is necessary that the nutrient,
oxygen or medicament reach all parts of the tissue. After chemical specie is delivered
by the blood stream, still has to be transported through the entire tissue. This chemical
specie can be transported within the tissue by two differences transport processes:
diffusion or convection. The diffusion is a slow process, for this reason the convection
is more effective in the transport of chemical species. The tissues that are referenced in
this work will be represented by the poroelastic model. The simulations will be done
using the COMSOL, a program based in the finite elements method. The simulations
consist in the application of mechanical loads in poroelastic materials to the convective
transport of chemical species through the tissue. It was studied the pressure and velocity
profiles generated by different mechanical loadings, and after the pathway of the
chemical specie was traced to identify the best mechanical load for the transport.
Keywords: Poroelastic, Finite elements, Transport, Chemical specie, Numerical
simulation
viii
Sumário
1. Introdução ..................................................................................................................... 1
1.1. Motivação .............................................................................................................. 1
1.2. Objetivos ................................................................................................................ 2
1.3. Organização do trabalho ........................................................................................ 3
2. Revisão bibliográfica .................................................................................................... 4
3. Modelo Teórico ............................................................................................................ 6
3.1. Modelo poroelástico .............................................................................................. 7
3.1.1. Mecânica ......................................................................................................... 7
3.1.2. Permeação ....................................................................................................... 8
3.2. Equações na forma fraca........................................................................................ 9
3.2.1. Forma fraca do problema mecânico ............................................................... 9
3.2.2. Forma fraca do problema de permeação ....................................................... 10
3.3. Trajetória da espécie química .............................................................................. 11
4. Modelo Numérico ....................................................................................................... 12
4.1. Definição da geometria ........................................................................................ 12
4.2. Programação das equações na forma fraca .......................................................... 13
4.2.1. Forma fraca da equação mecânica ................................................................ 13
4.2.2. Forma fraca da equação de permeação do fluido ......................................... 13
4.3. Trajetória da partícula .......................................................................................... 13
4.4 Malha .................................................................................................................... 14
4.5. Estudo .................................................................................................................. 15
4.6. Parâmetros ........................................................................................................... 15
5. Resultados e discussões .............................................................................................. 17
5.1. Forçamento cíclico com um lado aberto para o meio .......................................... 17
5.2. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio ..................................... 21
ix
5.2.1. Trajetória da partícula ................................................................................... 25
5.3. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio e com a aplicação de uma
diferença de pressão.................................................................................................... 28
5.3.1. Trajetória da partícula ................................................................................... 30
5.4. Corpo só com aplicação de uma diferença de pressão ........................................ 32
5.4.1. Trajetória da partícula ................................................................................... 34
6. Considerações Finais .................................................................................................. 36
6.1 Conclusões ............................................................................................................ 36
6.2 Trabalhos futuros .................................................................................................. 37
7. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 38
Apêndice A ..................................................................................................................... 39
A.1 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com um lado aberto para o
meio ............................................................................................................................ 39
A.2 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com dois lados abertos para
o meio ......................................................................................................................... 39
1
1. Introdução
1.1. Motivação
A engenharia não é somente o estudo do funcionamento de maquinas, cálculos
estruturais para edificações, construção de navios ou gerenciamento de uma produção,
como o conhecimento popular costuma nos dizer. É uma ciência que permeia outras
áreas. Na realidade, a engenharia é usada para a resolução de problemas não apenas na
área das ciências exatas, mas nas áreas biomédicas e humanas da mesma maneira.
Durante o percorrer deste trabalho, esta afirmativa ficará cada vez mais clara com a
exposição de nosso estudo dentro da área biomédica.
Este trabalho apresenta o controle do transporte de espécies químicas como
nutrientes, partículas, medicamentos e lipossomos, em biomateriais e tecidos [1] que
estão sendo estudados através do modelo poroelástico, como o disco intervertebral [2-
3], ossos [4], tecidos cerebrais [5], cartilagem [6] e certos tipos de tumores [7]. Podem
existir outras estruturas onde este modelo é capaz de ser estudado, mas não fazem parte
do trabalho aqui desenvolvido.
O transporte de espécies químicas através dos tecidos se faz necessário, como
por exemplo, para um tumor, existe, e é mais eficiente quando o medicamento é capaz
de penetrar em todo o tecido [7]. A engenharia de construção de tecidos tem como um
de seus principais desafios, o transporte de nutrientes e oxigênio para as estruturas
citadas acima [1].
As espécies químicas quando estão dentro de um tecido, tem como mecanismos
de transporte a difusão e a convecção [7], onde a difusão tem sua velocidade de
transporte principalmente governada pela concentração da espécie química, e a
convecção é governada principalmente pelo movimento de um fluido, que transporta
essa espécie química dentro do tecido. A escala de tempo da difusão é muito maior que
a escala de tempo da convecção, ou seja, para uma espécie química ser transportada de
um ponto A para um ponto B, leva muito mais tempo pelo mecanismo da difusão do
que pela convecção.
O movimento convectivo de uma espécie química em um biomaterial ou tecido,
que pode ser descrito pelo modelo poroelástico, sofre grande influencia da pressão [1]
2
interna e externa ao material. Caso o material esteja em repouso e a pressão interna se
iguale a pressão externa não há o transporte convectivo. Se o material não estiver em
repouso, por exemplo, sob um carregamento que deforme o material, o modelo
poroelástico nos mostra que há uma alteração da pressão interna do material com
relação ao meio externo. Essa diferença de pressão é capaz de gerar um transporte
convectivo de uma espécie química.
A motivação é criar um modelo em elementos finitos capaz de representar de
maneira satisfatória matérias poroelásticos. O modelo será validado a partir de
comparações com resultados encontrados na literatura onde o modelo se baseia. Em
posse do modelo validado, para poder estudar e descrever o transporte convectivo de
uma espécie química em materiais poroelásticos, sob diferentes circunstancias como, a
aplicação de uma diferença de pressão entre dois pontos no material, ou um
carregamento, axial ou de flexão, ou ainda uma combinação dos anteriores.
1.2. Objetivos
Este trabalho tem como objetivo estudar a influencia da pressão em matérias
poroelásticos para o transporte convectivo de espécies químicas sob as seguintes
circunstancias:
Sob um carregamento axial cíclico [1];
Sob uma diferença de pressão aplicada entre dois pontos, e;
Sob um deslocamento axial cíclico e uma diferença de pressão aplicada
entre dois pontos [1].
Para analisar veremos os perfis de pressão e de velocidade do fluido, associadas
à pressão pela lei de Darcy [1], e mostrar qual será a trajetória percorrida pela espécie
química sob tais circunstancias. Isso será estudado através do uso do método de
elementos finitos, usando como ferramenta computacional, o COMSOL.
Analisando a trajetória da partícula em todas as circunstancias listadas acima
podemos concluir qual seria a melhor circunstancia que o material estaria subjugado
para o transporte de uma espécie química em seu interior, ou seja, em que situação a
partícula leva menos tempo para penetrar no material.
3
1.3. Organização do trabalho
Este trabalho é dividido em 6 capítulos. O primeiro capítulo dedica-se a
introduzir o assunto, apresentar as motivações e objetivos do referido trabalho. O
segundo capítulo trata de uma revisão bibliográfica para situar o leitor e, facilitar a
compreensão deste. No capítulo 3 é apresentado o modelo poroelástico, o
comportamento solido-fluido, as equações de governo e as condições de contorno, a
forma fraca das equações e o calculo para a trajetória da espécie química. O capítulo 4
apresentará como foi feita a solução do modelo poroelástico pelo método de elementos
finitos, utilizando o COMSOL, como as equações foram introduzidas, qual a malha que
foi utilizada, e o solver empregado para solução. O capítulo 5 trata de apresentar os
resultados obtidos das simulações do COMSOL, bem como as deformações, as
pressões, velocidades e a trajetória da partícula. No capítulo 6, desenvolveremos as
conclusões obtidas, baseadas nos resultados que foram alcançadas através do estudo.
Neste capítulo também apresentaremos sugestões de trabalhos futuros. Ao final são
apresentadas as referencias bibliográficas utilizadas neste projeto de trabalho.
4
2. Revisão bibliográfica
O controle do transporte de uma espécie química através de um tecido já é foco
de estudo há vários anos como pode ser comprovado pelos artigos em que este trabalho
se baseia.
No artigo de Vaughan et al.[1] está apontado um dos desafios primários para o
sucesso na engenharia de tecidos, que é o transporte de oxigênio e nutrientes através de
sua estrutura, mesmo que os métodos para aumentar a vascularização desses matérias já
estejam bastante avançados, ainda não é suficiente para alcançar todas as áreas
pretendidas. Ramanujan et al.[7] discutem a importância da penetração de um
medicamento na matriz intersticial de um tumor para que o tratamento seja ainda mais
eficaz, como esta mesma matriz intersticial do tumor inibe a difusão de agentes
anticancerígenos grandes como lipossomos e “gene vectors” e ainda, a hipertensão do
interstício inibe também a convecção, é necessário outro método para o transporte dos
referidos agentes, ou seja outro maneira de induzir o transporte convectivo.
A utilização do modelo da poroelástico tem se mostrado muito útil para
descrever o comportamento de tecidos e biomateriais, bem como os perfis de pressão e
o transporte convectivo nos mesmos. Ferguson et al. [2] e Basser [5] descrevem o papel
da convecção para o transporte de moléculas para dentro de um disco intervertebral [2]
e tecido cerebral [5] modelados em elementos finitos usando o modelo poroelástico,
mostrando que o tema já vem sendo estudado.
O modelo poroelástico foi formulado por Biot [9] para descrever o
comportamento de solos, com os poros saturados por fluidos, submetidos a cargas
uniformes, o modelo descreve o comportamento mecânico do solido através de
pequenas deformações e o transporte de fluido, onde os fenômenos solido-fluido estão
ligados pela pressão do poro.
Riches et al.[3] e Manfredini et al.[4] discutem que diferentes tecidos, como
cartilagem [3-5] e ossos [4], podem ser descritos pelo modelo poroelástico e sofrem
cargas cíclicas tanto axiais quanto de momentos fletores em situações cotidianas, como
ficar em pé e andar.
5
Dessa maneira já existem estudos como os de Vaughan et al.[1] e Kameo et
al.[8] que estudaram a pressão de matérias poroelásticos, [1] usando um hidrogel que
simula um tecido, sob carga axial cíclica mergulhado em um fluido para analisar a
pressão, a velocidade e a penetração de uma partícula após um numero de ciclos,
enquanto que [8] estudou a pressão interna do material sob carregamentos com
diferentes frequências, e diferentes proporções de carregamentos cíclicos axiais e
momentos fletores.
Assim o estudo de materiais modelados pelo modelo poroelástico não é um
estudo novo, porém poucos estudam a penetração de espécies químicas sob diferentes
cenários, como por exemplo, a aplicação de um forçamento cíclico e uma diferença de
pressão.
6
3. Modelo Teórico
Considerando um corpo B poroso isotrópico delimitado pelo contorno B,
demostrada na Figura 3.1. O corpo B está saturado de um líquido qualquer e, imerso
neste mesmo líquido incompressível newtoniano, de maneira que os espaços
intersticiais, os poros, do corpo B estão completamente preenchidos pelo liquido. Este
fluido por si só pode carregar consigo diferentes tipos de espécies químicas.
Figura 3.1 - Corpo B
As espécies químicas presentes no fluido se deslocam com velocidade relativa
zero em relação ao mesmo, o que significa que estas espécies químicas tem a mesma
velocidade do fluido, ou seja, se movem juntas. A presença de fluido preenchendo o
corpo B modifica seu comportamento, quando o mesmo sofre um carregamento que
causa deformação do contorno, essa deformação do contorno causa uma deformação
dos poros induzindo uma mudança de pressão no fluido intersticial que o movimenta. A
mudança de pressão acarreta o transporte de fluido para dentro ou para fora do corpo B
através do seu contorno B, alterando o seu volume, porém a escala de tempo do
transporte do fluido é maior que a da deformação do corpo, isso significa que o corpo se
deforma e o fluido que está perto das regiões abertas sai através do contorno, enquanto
que o fluido que está no meio não escoa tão rápido.
Para descrever o comportamento do corpo poroso B e do fluido usamos o
modelo poroelástico. O Modelo poroelástico foi primeiro formulado por Biot [9] para a
B
B
7
descrição de solos sob carregamentos uniformes, e depois foi utilizada para descrever o
comportamento de corpos porosos como hidrogel [1], e biomateriais e tecidos [2-6].
3.1. Modelo poroelástico
O modelo poroelástico descreve o comportamento mecânico de um corpo poroso
e do transporte do fluido que preenche seus poros, esses comportamentos estão
acopladas pela pressão do fluido.
3.1.1. Mecânica
O comportamento mecânico descrito por Biot [9] usa a teoria de pequenas
deformações, onde as forcas de inércia são desconsideradas,
(3.1)
o tensor de tensões T foi formulado com as constantes de Lamé como utilizadas por [1]
para descrever o hidrogel. Os Tensores e vetores são representados em negrito para
diferenciar de escalares.
(3.2)
onde λ e μ são as constantes de Lamé, p é a pressão do fluido nos poros e tr(ε) é o traço
do tensor de deformação definido como:
(3.3)
onde u é o vetor deslocamento.
Dessa maneira quando fazemos o divergente do tensor de tensões temos a
seguinte equação:
(3.4)
A equação (3.4) é a equação de governo do comportamento mecânico de um
corpo poroso saturado e que utilizaremos na simulação do modelo. O corpo pode sofrer
deslocamentos e carregamentos em seu contorno, como carregamentos axiais, ou pode
estar em repouso.
div 0,T
tr( ) 2 p ,T ε I ε I
2 ( ) ( ) pu u
tr( ) div( ),ε u
8
3.1.2. Permeação
Para o comportamento da permeação do fluido no modelo poroelástico, podemos
fazer uma analogia à concentração de um soluto. Como o sólido e o líquido são
incompressíveis, o sólido só mudara de volume caso haja uma variação na concentração
do líquido no corpo. O volume do corpo é dado por,
(3.5)
onde c é a concentração de fluido e v uma constante, no momento que derivarmos a
equação 3.5 com relação ao tempo teremos
(3.6)
assim, vemos que o volume do sólido só mudará caso haja variação da concentração do
fluido. A variação de concentração do fluido está relacionada com o fluxo do fluido,
saída ou entrada de fluido através das fronteiras do sólido.
(3.7)
onde o fluxo J é representado da seguinte maneira
(3.8)
onde m representa uma mobilidade e γ é o potencial químico. A pressão do fluido para
entrar e sair pode ser representada pela diferença, de potencial γ para um potencial de
referencia constante γ0,dividido por uma velocidade v,
(3.9)
derivando a equação (3.9) temos que
(3.10)
Dessa maneira substituindo a equação (3.10) na (3.8), e depois substituindo na
(3.7) temos que a variação de concentração será
(3.11)
Substituindo a equação (3.3) e a (3.11) na equação (3.6) teremos,
(3.12)
cdivJ,
t
J m
0pv
v p
cdiv(mv p)
t
2(div( ))k p
t
u
tr( ) vc,ε
tr( ) cv ,
t t
ε
9
onde k é a condutividade hidráulica dada pela razão entra a permeabilidade do material
e a viscosidade do fluido (K/μf). A equação (3.12) é a equação que governa a permeação
do fluido no material poroelástico, esta equação também foi utilizada dessa forma por
[1], e será utilizada na simulação do modelo.
Para a equação (3.12) temos como condições de contorno a permeabilidade ou
impermeabilidade das paredes, ou seja, o fluido é capaz ou não de atravessar o contorno
do corpo. A outra condição de contorno é quando a parede é permeável, ou seja, aberta
para o meio externo, onde há pressão aplicada naquela parte do contorno.
Para calcularmos a velocidade do fluido no sistema, usaremos lei de Darcy [1 e
9], que relaciona a velocidade com o gradiente de pressão a condutividade hidráulica k e
a porosidade .
(3.13)
onde a porosidade , que normalmente seria uma função que varia com a deformação
do solido, nesse caso foi tratado, com base em [1] para o calculo da velocidade no pós
processamento como uma propriedade constante do material, então é uma constante.
3.2. Equações na forma fraca
As equações de governo do modelo poroelástico para serem resolvidas serão
passadas para a sua forma fraca.
3.2.1. Forma fraca do problema mecânico
Para a resolução do problema mecânico do modelo poroelástico à equação (3.1)
deve ser formulada na forma fraca, para isso multiplica-se a equação pela função de
teste w1 e integra-se no domínio.
(3.14)
Para a formulação da forma fraca utilizou-se a integração por partes, dessa maneira a
equação 3.14 fica
(3.15)
onde n é o vetor normal a superfície do material.
kp,v
1 1
B B
w dV w dA 0,T Tn
1
B
w div dV 0,T
10
O tensor T é definido abaixo para um estado plano de deformação como em [1]
(3.16)
onde usando a definição 3.4 temos que cada componente do tensor T é
(3.17)
E o tensor ε é definido com relação ao vetor deslocamento u,
(3.18)
A forma fraca que iremos solucionar para o problema mecânico é a integral no
domínio da equação (3.15), onde o produto escalar do divergente de w1 com o tensor T
é dado abaixo
(3.19)
3.2.2. Forma fraca do problema de permeação
Para encontramos a forma fraca da equação (3.12), será usado o mesmo
procedimento para encontrar a forma fraca da equação da parte mecânica, para tal
multiplicasse a equação por uma função teste arbitrária, para não confundir com a
função teste da parte mecânica a função agora será representada por w2, e integramos
com relação ao domínio
(3.10)
xx xy
yx yy
,T
2
2 2
B B
(div( ))w dV k w pdV 0
t
u
1xx
1 2xy
1 2yx
2yy
u
x
u u0.5
y x
u u0.5
y x
u
y
1,y 1,y1,x 1,x
1,y1,x
1 xx xy xy yy
w ww w
ww y x y xw t t t t
x 2 2 yT
xx xx
xy xy
yx yx
yy yy
tr 2 p
2
2
tr 2 p
ε
ε
11
Para a parte da pressão que tem derivadas de segunda ordem será usada a
integral por partes.
(3.21)
O primeiro termo do lado esquerdo da igualdade (3.21) será resolvido com as
condições de contorno e, não é utilizada para formulação da forma fraca. Dessa maneira
utilizando a igualdade (3.21) na equação (3.20) temos
(3.22)
que de maneira similar a equação da parte mecânica, a equação na forma fraca 3.22,
será solucionada.
3.3. Trajetória da espécie química
Como em [1] o único mecanismo de movimento da espécie química será devido
à velocidade do fluido ao qual ela está inserida, considerando também baixas forças de
arrasto e inércia, a espécie química terá a mesma velocidade do fluido. A velocidade
deste, já discutida no item 3.1.2, segue a lei de Darcy.
Definindo a posição da espécie química como “q”, e a velocidade sendo a
mesma da velocidade do fluido tem-se a seguinte relação
(3.23)
Através da integração da equação 3.23 pode se chegar a trajetória da espécie
química ao longo do tempo.
2 2
B B
(div( ))w dV k w pdV 0,
t
u
kp
t
qv
2
2 2 2
B B B
w pdV w pdA w pdV
12
4. Modelo Numérico
Para solucionar o modelo de um corpo poroelástico, em diferentes circunstâncias
de carregamentos e a aplicação de uma diferença de pressão, foi utilizado o método de
elementos finitos através do programa COMSOL Multiphysics 4.4.
4.1. Definição da geometria
Primeiro definimos a geometria que será utilizada para calcular o modelo,
usando como base o experimento de [1], onde um pedaço retangular de hidrogel é
simulado, então definimos uma região retangular no espaço como mostrado na figura
4.1.
Figura 4.1 - Geometria (Retirado do COMSOL)
Ainda com base no experimento [1] para definir o tamanho do retângulo, com a
altura 8mm e a largura de 10mm, ambas adimensionalizadas utilizando como
comprimento característico a altura, de maneira que a região demostrada na figura 4.1
tem altura 1 e largura 1,25. A origem do sistema de coordenadas está localizada no
centro da geometria.
13
4.2. Programação das equações na forma fraca
As equações de governo do modelo poroelástico serão programadas no
COMSOL, ou seja, introduziremos as formas fracas das equações de governo e, das
condições de contorno deduzidas no Capítulo 3.
4.2.1. Forma fraca da equação mecânica
Para programarmos a equação 3.19 da parte mecânica do modelo poroelástico
será utilizada a opção de “weak form PDE” que terá duas variáveis que serão as
variáveis de deslocamento u1 e u2, que representa o vetor deslocamento u. O tensor T e
ε serão programados em função das variáveis de deslocamento u1 e u2.
Após a introdução da equação de governo, serão introduzidas as condições de
contorno, nas regiões que não há restrição de movimento ou força aplicada, será
utilizada para esses contornos a opção “zero flux”. Quando a condição de contorno
impõe ou restringe o deslocamento de alguma das variáveis “u1” e/ou “u2”, em alguma
das paredes do contorno, se usa a opção “Dirichlet Boundary Condition”.
De maneira similar, para o carregamento cíclico também se utiliza a opção
“Dirichlet Boundary Condition” com um deslocamento cíclico definido de uma
amplitude A multiplicando um seno de frequência multiplicado pelo tempo (Asen(ωt)).
4.2.2. Forma fraca da equação de permeação do fluido
A equação de permeação do fluido (3.22) será introduzida no COMSOL,
utilizando a opção de “weak form PDE” que terá agora só uma variável que será a
pressão p.
Com a equação de governo inserida serão programadas as condições de
contorno. Para a condição de impermeabilidade das paredes, similar ao usado para a
parte mecânica, se usa a opção “zero flux”. Nos contornos que foram abertos para o
meio, permeáveis, a condição de contorno é a pressão que o meio aplica a parede e é
programada pela opção “Dirichlet Boundary Condition”.
4.3. Trajetória da partícula
A trajetória da espécie química se calcula utilizando a opção “Particle Tracing
for Fluid Flow” que permite introduzir no sistema um número de partículas definidas
14
pelo usuário. Desta maneira, não será necessário passar para forma fraca a equação
(3.23) para calcular a trajetória, como feito para as equações de governo, pois o módulo
do COMSOL já tem essa formula programada, só é necessário atribuir à partícula a
velocidade do fluido, que é dada pela lei de Darcy [1].
Porém, o COMSOL não é capaz de criar um gráfico da posição da partícula pelo
tempo. Então, as posições da partícula em cada intervalo de tempo foram exportadas
para um arquivo de texto, e depois, passadas para um Excel e, gerado um gráfico através
da função de dispersão.
4.4 Malha
De acordo com [10] a ideia básica do método de elementos finitos é a de dividir
o corpo em elementos conectados por “nós” e obter a solução aproximada, quanto maior
número de nós, mais a solução encontrada se aproxima da solução exata, porém
demanda mais tempo computacional.
Foi usada uma malha com 7200 elementos quadrados com aproximações
bilineares. Os elementos foram distribuídos de maneira uniforme na horizontal, porém
na vertical, há um acumulo maior de elementos nas bordas que no centro, foi feito desta
maneira, pois é esperado que as pressões nas bordas vão variar mais do que no centro,
dessa maneira temos uma aproximação melhor da pressão nas bordas do corpo.
15
Figura 4.2 - Geometria (Retirado do COMSOL)
4.5. Estudo
Foi utilizado o estudo “Time Dependent” com tolerância absoluta de 0.001, para
as variáveis u1, u2 e p, utilizando o método BFD, pois foi o único disponibilizado pelo
COMSOL que pode ser usado junto com o “Particle tracing”. Foi usado para calcular a
interação direta, com o MUMPS solver com estimativa de erro automática.
4.6. Parâmetros
Para definir e resolver o problema, são necessários parâmetros geométricos do
corpo, parâmetros elásticos e de permeação do material e, do carregamento que o corpo
estará submetido. Para que o modelo desenvolvido no COMSOL seja validado, é
necessário que sejam utilizados os mesmos parâmetros de [1], porém as equações e
parâmetros foram adimensionalizadas, então será necessário utilizar os parâmetros da
mesma maneira.
Neste trabalho estamos trabalhando com um estado plano de deformação, ou
seja, um problema bidimensional, assim só é necessário como parâmetros geométricos
para definir a forma do objeto à altura H e o comprimento L, que tem valor em [1]
respectivamente de 8 mm e 10 mm. Para a adimencionalização foi escolhido como
16
comprimento característico a altura, dessa forma a altura adimencionalizada será 1 e o
comprimento adimencionalizado será 1,25.
Os parâmetros das propriedades elásticas do material, que definem a parte
mecânica do problema, foi formulado pelos parâmetros de Lamé, logo as constantes de
Lamé λ e μ são necessárias, onde λ é o primeiro parâmetro de Lamé e μ é o modulo de
cisalhamento, em [1] λ é 11027,5 MPa e μ é 5680,8 MPa. Os parâmetros que serão
usados serão os adimensionais, em [1] a adimensionalização dos parâmetros de Lamé
foram feitas de seguinte maneira
onde k é a condutividade hidráulica do material e ω é a frequência do carregamento
cíclico.
O problema de permeação do fluido precisa para definir as velocidades, a
condutividade hidráulica k e a porosidade do material . A condutividade hidráulica
em [1] é 1,43 x 10-11
m4/Ns, e a porosidade , como já mencionada no item 3.1.2 é um
valor constante igual a 0,996.
Os parâmetros do carregamento cíclico axial, já comentado no item 1.2 e 4.2.1,
são definidos pela frequência ω e a amplitude do movimento definido como A. Em [1] a
frequência é de 2π Hz e a amplitude A 10% do comprimento adimensional L.
A pressão e a velocidade também foram adimensionalizadas em [1], de forma
que possamos comparar os resultados obtidos com os de [1] é necessário que as
pressões e velocidades também sejam adimensionalizadas no modelo. As
adimensionalizações para a pressão e velocidade em [1] são respectivamente
k*
H
k*
H
2pHp* ,
k
* H .v v
17
5. Resultados e discussões
Com o modelo pronto no COMSOL, é necessário verificar se o mesmo está
correto, isso será feito nos itens 5.1 e 5.2 através da comparação com os resultados de
[1] e, os resultados obtidos através da simulação. Depois do modelo validado os itens
5.3 e 5.4 mostrarão os resultados de simulações idealizadas para este trabalho.
5.1. Forçamento cíclico com um lado aberto para o meio
Essa primeira simulação será para verificar se o modelo desenvolvido no
COMSOL está correto e condiz com a realidade, para que seja possível simular outros
casos.
O corpo está imerso e saturado no liquido e uma de suas paredes sofre um
deslocamento cíclico. Primeiro o corpo esta em repouso, ou seja, como condições
iniciais, todas as fronteiras estão paradas, e a pressão interna do corpo é igual a pressão
externa do meio. O corpo tem as paredes esquerda, inferior e direita impermeáveis, ou
seja, não há a passagem do líquido. O deslocamento vertical só está impedido pela
parede inferior, o movimento horizontal é impedido pela parede direita e um movimento
cíclico é aplicado na parede esquerda, a parede superior está livre pare se deslocar nas
duas direções. As condições de contorno estão demostradas na Figura 5.1 para melhor
entendimento.
1
xy
u A sin( t)
0
p0
x
xy 0 yy 0 p 0
1
xy
u 0
0
p0
x
xy 0 2u 0p
0y
18
Figura 5.1 – Concisões de contorno para o primeiro cenário (Retirado do
COMSOL)
Com as condições de contorno definidas, é necessário definir o intervalo de
tempo da simulação, com base em [1], o intervalo de tempo será de 0 a 7π/4 segundos,
com passos de π/4 segundos. Dessa maneira teremos o que vamos definir como um
ciclo, que é quando o corpo é comprimido uma vez e, depois tracionado uma vez.
Após as simulações obtemos os seguintes resultados mostrados nas figuras
abaixo
Figura 5.2 – O corpo sendo comprimido, a legenda de cor representa a pressão no
interior do corpo, representado no instante t=2π/4s
19
Figura 5.3 – O corpo sendo tracionado, a legenda de cor representa a pressão no interior
do corpo, representado no instante t=6π/4s
a)
b)
Figura 5.4 – Representa a pressão no interior do corpo ao longo de uma linha vertical
em diferentes instantes onde compressão ocorre nos tempos t=0, π/4, 2π/4, 3π/4 e a
tração nos tempos t= π, 5π/4, 6π/4, 7π/4: a) simulado no COMSOL c) retirada do artigo
[1] para comparação.
20
a)
b)
Figura 5.5 – Representa a velocidade no interior do corpo ao longo de uma linha vertical
em diferentes instantes onde compressão ocorre nos tempos t=0, π/4, 2π/4, 3π/4 e a
tração nos tempos t= π, 5π/4, 6π/4, 7π/4: a) simulado no COMSOL c) retirada do artigo
[1] para comparação.
Pode ser observado nas figuras 5.2, 5.3 e 5.4 que tanto durante a compressão
quanto durante a tração, que a pressão é constante em grande parte do corpo, da base,
y=-0,5 até aproximadamente y=0,4. Deste ponto em diante durante a compressão a
pressão cai conforme se aproxima da extremidade aberta e, durante a tração a pressão
sobe. O comportamento que pode ser observado condiz com a intuição, de que quando o
corpo é apertado, a pressão em seu interior aumenta e o liquido tende a sair do corpo,
por isso a velocidade positiva durante a compressão e, quando tracionada a pressão
diminui e o líquido tende a entrar no corpo, durante a tração observa-se que a
velocidade é negativa. Isso pode ser visto pelo gráfico da velocidade na figura 5.5, onde
a velocidade é na direção y positiva durante a compressão e, y negativa durante a tração.
A pressão em grande parte do corpo é constante, esta se modifica apenas
próximo à parede aberta para o meio externo, isto ocorre devido a diferença de escala de
tempo da permeação do fluido e da deformação mecânica do corpo. Caso o
deslocamento fosse só uma compressão e fosse mantido, gradualmente toda a pressão
no interior do corpo cairia para zero. Podemos observar que não há velocidade em
grande parte do corpo já que a pressão em seu interior é constante, de acordo com a lei
de Darcy não terá velocidade.
21
Com a comparação que podemos fazer nas figuras 5.4 e 5.5, podemos observar
que o perfil de pressão e o perfil de velocidade são muito semelhantes e assim
validamos o modelo junto com os resultados de [1].
5.2. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio
A seguir simula-se outro cenário que também pode ser visto em [1], onde há dois
lados abertos para o meio externo, onde a parte superior e a inferior do corpo são
permeáveis, permitindo ao líquido atravessar essas paredes. Além disso, também se é
retirada a restrição de movimento vertical (u2=0) da parede inferior. Este novo cenário
já pode representar, por exemplo, a situação de um osso sobre cargas cíclicas [4] ou
discos intervertebrais [5].
Porém como não há mais restrição para o movimento vertical do corpo, pode
haver um movimento de corpo rígido. Com o corpo capaz de realizar um movimento de
corpo rígido o COMSOL não é capaz de encontrar uma solução para o modelo. Assim,
foi criada uma restrição do deslocamento vertical em um ponto da parede esquerda.
Esse ponto está localizado no meio, pois como o movimento é simétrico, essa restrição
não influenciará o resultado.
Figura 5.6 – Concisões de contorno para o segundo cenário (Retirado do
COMSOL)
1
xy
u A sin( t)
0
p0
x
xy 0 yy 0 p 0
1
xy
u 0
0
p0
x
xy 0 yy 0 p 0
2u 0
22
Como no cenário do item anterior o intervalo de tempo será de 0 a 7π/4
segundos, com passos de π/4 segundos, ou seja, um ciclo. Após simularmos foram
obtidos os resultados a seguir.
Figura 5.7 – O corpo sendo comprimido, a legenda de cor representa a pressão no
interior do corpo, representado no instante t=π/2s
23
Figura 5.8 – O corpo está tracionado e, a legenda de cor representa a pressão no interior
do corpo, representado no instante t=6π/4s.
24
a)
b)
Figura 5.9 – Representa a pressão no interior do corpo ao longo de uma linha vertical
em diferentes instantes onde compressão ocorre nos tempos t=0, π/4, 2π/4, 3π/4 e a
tração nos tempos t= π, 5π/4, 6π/4, 7π/4: a) simulado no COMSOL c) retirada do artigo
[1] para comparação.
25
a)
b)
Figura 5.10 – Representa a velocidade no interior do corpo ao longo de uma linha
vertical em diferentes instantes onde compressão ocorre nos tempos t=0, π/4, 2π/4, 3π/4
e a tração nos tempos t= π, 5π/4, 6π/4, 7π/4: a) simulado no COMSOL c) retirada do
artigo [1] para comparação.
De maneira similar ao item anterior o perfil da pressão se mantem constante no
interior e se aproxima de zero, pressão do meio exterior, conforme se aproxima das
laterais abertas, e de maneira também similar, só há velocidade nas regiões perto das
laterais abertas, onde existe uma variação da pressão.
Similar ao caso anterior, podemos fazer a comparação entre os resultados
alcançados com o modelo desenvolvido no COMSOL e o resultado obtido no artigo [1]
para pressão figura 5.9 e para a velocidade 5.10, podemos observar que o perfil de
pressão e o perfil de velocidade são muito semelhantes e assim validamos novamente o
modelo junto com os resultados de [1].
5.2.1. Trajetória da partícula
Agora para simular a trajetória de uma partícula que seja solta bem próxima a
lateral aberta superior do corpo e esteja sobre a ação da velocidade gerada pela pressão
26
depois de tantos ciclos, chegamos ao seguinte resultado, que pode ser comparado ao
encontrado em [1].
Figura 5.11 – Trajetória de uma partícula após 2800 ciclos.
Figura 5.12 – Um zoom do gráfico na figura 5.11 entre o inicio e o fim do 35° ciclo
27
Figura 5.13 – Mostra o resultado alcançado em [1]
Pelo gráfico da figura 5.11 vemos que a partícula penetra no corpo, porém, ela
tende a parar em algum lugar próximo de 0,4, isso faz sentido quando se analisa o perfil
das pressões da figura 5.9, que a pressão no interior é constante e só há mudança de
pressão perto das laterais abertas, e assim como vemos também na figura 5.10 só há
velocidade perto da borda aberta.
Na figura 5.12, sendo um zoom do inicio do movimento da partícula, podemos
ver que a trajetória da partícula não é linear, mas oscilatória. Em cada ciclo a partícula é
empurrada para cima, durante a compressão, velocidades positivas, e puxada para baixo
durante a tração, velocidades negativas. Porém, como a partícula sempre desce mais que
sobe, a mesma vai aos poucos penetrando no corpo.
Na figura 5.13 vemos o resultado obtido por [1] para a penetração da partícula.
Em [1] a origem está localizada no vértice inferior esquerdo do corpo, diferente do
nosso modelo que está no centro do corpo, então dessa forma em [1] a posição 1
representa no nosso modelo a posição 0,5. Comparando os resultados podemos ver que
houve o mesmo comportamento. Validando mais uma vez o modelo desenvolvido no
COMSOL.
Então, o que pode ser feito para que a partícula penetre mais no corpo? Para isso
é necessário mudar a pressão no seu interior, isso é possível através da aplicação de uma
diferença de pressão entre as duas partes abertas do corpo, e é o que será explorado no
item a seguir.
28
5.3. Forçamento cíclico com dois lados abertos para o meio e com a
aplicação de uma diferença de pressão
Como no item anterior a partícula não será capaz de penetrar por todo o corpo,
queremos ver como alterar a pressão interna de maneira que não seja mais constante e,
que então possa haver o transporte de partículas para o seu interior. Dessa forma serão
aplicadas nas duas laterais abertas pressões diferentes de maneira que haja um gradiente
de pressão através do corpo.
Para a condição de contorno da pressão na lateral superior será de uma pressão
P1>0 enquanto a pressão na parte de baixo continuará zero. Além disso, a lateral direita
do corpo restringirá também o movimento vertical do corpo. As condições de contorno
estão ilustradas na figura 5.14.
Figura 5.14 – Concisões de contorno para o terceiro cenário (Retirado do COMSOL)
Como nos itens anteriores primeiro foi simulado só no intervalo de tempo de um
ciclo, ou seja, de 0 a 7π/4 segundos, com passos de π/4 segundos. Após simularmos
foram obtidos os resultados a seguir.
1
xy
p0
x
u A sin( t)
0
p P
p 0
1
2
p0
x
u 0
u 0
yy P xy 0
yy 0 xy 0
29
a)
b)
Figura 5.15 – Representa a pressão no interior do corpo ao longo de uma linha vertical
de comprimento 1 que vai de baixo a cima no corpo em diferentes instantes: a) durante a
compressão b) durante a tração.
a)
b)
30
Figura 5.16 – Representa a velocidade no interior do corpo ao longo de uma linha
vertical de comprimento 1 que vai de baixo a cima no corpo em diferentes instantes: a)
durante a compressão b) durante a tração.
Para facilitar à compreensão a parte da compressão e a parte da tração foram
apresentadas separadamente. Com a aplicação de uma diferença de pressão, o perfil da
pressão mostrado na figura 5.15 não é mais constante no interior, agora é um
crescimento quase que linear da parte de baixo para a parte de cima. Assim, como pode
ser observado nos gráficos da figura 5.16, por mais que as velocidades sejam
influenciadas pelo carregamento, e se alterem em cada momento nas bordas, no interior
há uma velocidade constante negativa.
5.3.1. Trajetória da partícula
Uma partícula novamente é solta próxima da extremidade aberta superior do
corpo, o corpo está sob um carregamento cíclico axial e uma diferença de pressão.
Foram simulados vários ciclos para traçar a trajetória da partícula.
Figura 5.17 – Trajetória de uma partícula após 1800 ciclos.
O gráfico da figura 5.17 mostra que uma partícula foi solta na parte superior do
corpo, que está sob um carregamento cíclico axial e uma diferença de pressão aplicada
em dois lados do mesmo, após 1800 ciclos a partícula foi capaz de atravessar o corpo
por inteiro, foi da extremidade superior à extremidade inferior. Se for feita a
comparação do caso da figura 5.17 com o da figura 5.11, percebemos que no primeiro a
partícula em um número menor de ciclos consegue atravessar o corpo, pois a pressão
31
em seu interior não era constante e, que na simulação anterior isto não ocorre devido a
uma pressão constante em seu interior.
Figura 5.18 – Ampliação dos primeiros 50 ciclos da trajetória da partícula.
Figura 5.19– Ampliação dos últimos 50 ciclos da trajetória da partícula.
Figura 5.20 – Ampliação de 50 ciclos no meio da trajetória da partícula.
32
Pelas figuras 5.18 e 5.19, pode-se observar que no inicio e no fim, ou seja, perto
das bordas, a partícula tem muita influência das pressões que são geradas pelo
movimento cíclico do material, pode ser observado o comportamento oscilatório do
movimento como visto no item 5.2.1. Porém, podemos observar que na figura 5.20, a
partícula move-se de maneira linear no interior do corpo, não sofre qualquer influência
das pressões geradas pelo carregamento cíclico axial. Porém em todas as 3 regiões do
corpo, superior, meio e inferior, o deslocamento total após 50 ciclos foi semelhante,
próximo a 0.02.
5.4. Corpo só com aplicação de uma diferença de pressão
Há tecidos no corpo que não sofrem carregamentos cíclicos, mas estão sob o
efeito constante da pressão do meio externo, é o caso do disco intervertebral quando o
corpo está em repouso [2], ou o tecido cerebral [5]. Dessa maneira é interessante estudar
como se comporta um corpo poroelástico somente sobre uma diferença de pressão, e
como uma espécie química seria transportada nesse corpo.
Para simularmos esse cenário é preciso mudar as condições de contorno, agora
ambos os lados direito e esquerdo impedirão o deslocamento vertical. A pressão
aplicada na parte superior no item anterior, P1>0, será mantida igual para fins de
comparação. As condições de contorno estão ilustradas na figura 5.21.
Figura 5.21 – Concisões de contorno para o terceiro cenário (Retirado do COMSOL)
1
2
p0
x
u 0
u 0
p P
p 0
1
2
p0
x
u 0
u 0
yy P xy 0
yy 0 xy 0
33
Como neste cenário não há um carregamento cíclico não faz sentido o uso do
intervalo de tempo de 0 a 7π/4 segundos, com passos de π/4 segundos, então o intervalo
de tempo será de 0 a 30 segundos, em intervalos de 0,5 segundos, o intervalo de tempo
foi maior que nos itens anteriores (7π/4 ≈ 5,49), pois sem o carregamento cíclico a
pressão no interior do corpo demora mais para se estabelecer. Após simularmos foram
obtidos os resultados a seguir.
Figura 5.22 – O corpo deformado pela diferença de pressão aplicada, a legenda de cor
representa a pressão no interior do corpo, o instante representado é o t=30s (Retirado do
COMSOL).
Figura 5.23 – Representa a pressão no interior do corpo através de uma linha
vertical (Retirado do COMSOL).
34
Figura 5.24 – Representa a velocidade no interior do corpo através de uma linha
vertical (Retirado do COMSOL)
Como pode ser visto na figura 5.23, a aplicação de uma pressão maior na parte
superior do corpo o deforma, essa deformação como vista nos casos anteriores gera uma
pressão, como a parte superior do corpo foi comprimida a pressão aumentou e foi aos
poucos se igualando a do meio exterior, como pode ser visto no lado direito da figura
5.24. Enquanto que na parte inferior do corpo que foi tracionada, houve uma diminuição
na pressão que depois se estabilizou para se igualar ao meio externo. Assim aos poucos
foi formando um perfil linear de pressão. Com esse perfil linear de pressão que se
estabelece ao longo de todo o corpo, gera uma velocidade constante como pode ser visto
na figura 5.23.
5.4.1. Trajetória da partícula
Similar aos outros itens, solta-se uma partícula no topo do corpo. O corpo está
sob uma diferença de pressão. Simula-se durante um certo período de tempo para traçar
a trajetória da partícula.
35
Figura 5.25 – Trajetória de uma partícula após 10000 segundos.
Como esperado a trajetória é simplesmente linear já que não há o carregamento
cíclico, e após aproximadamente 10.000 segundos a partícula foi capaz de transpassar o
corpo. Pois, como visto antes a aplicação de uma diferença de pressão altera a pressão
interna do corpo de forma que não é mais constante, sendo assim tendo uma velocidade
diferente de zero, capaz de transportar uma partícula de uma superfície a outra.
36
6. Considerações Finais
6.1 Conclusões
Um corpo poroelástico é capaz de transportar espécies químicas dependendo das
condições as quais está submetido. Um corpo poroelástico, somente com a influência de
um carregamento axial cíclico, não é capaz de transportar uma espécie química de uma
superfície a outra, mas a transporta até chegar a um ponto e desse ponto não passará,
pois como a pressão no interior do corpo é constante, não haverá mais velocidade,
ficando assim a espécie química parada.
Porém quando uma diferença de pressão é aplicada juntamente com o
carregamento cíclico, a espécie química é capaz de atravessar o corpo por inteiro, pois,
a diferença de pressão alterou a o perfil de pressão interna do corpo de maneira que não
era mais constante e assim gerando uma velocidade constante no seu interior.
Também pode-se usar um corpo poroelástico apenas com uma diferença de
pressão aplicada para transportar uma espécie química, mesmo que no início, devido a
deformação a espécie química tenda a sair do corpo, depois que a pressão na superfície
se estabiliza a partícula irá de um lado ao outro do corpo.
Comparando os tempos decorridos para uma espécie química atravessar o corpo,
não houve diferença relevante entre os casos dos itens 5.3.1 e 5.4.1, ambos levaram
aproximadamente um tempo de 10.000 segundos (1800 ciclos = 9896 segundos).
Com os resultados podemos concluir que a diferença de pressão aplicada tem
maior influência no tempo e na capacidade de uma espécie química penetrar no
material. Pois, quando há apenas o movimento cíclico a espécie química não passa de
um certo ponto, mas quando apenas há a diferença de pressão aplicada a espécie
química é capaz de atravessar o corpo em um determinado tempo. Além disso, o modelo
criado no COMSOL se prova eficiente para simular as pressões e velocidades de um
corpo poroelástico em diferentes circunstâncias, o que pode ser usado para estudos mais
profundos do transporte de nutrientes ou de medicamentos.
37
6.2 Trabalhos futuros
Ainda há muitas possibilidades, combinações de parâmetros que não foram
estudados nesse trabalho, mas que influenciam diretamente o transporte de uma espécie
química através de um material poroelástico. Neste trabalho só foi simulado um material
sob diferentes circunstâncias de carregamentos e pressão, porém utilizando-se de
matérias poroelásticos com diferentes constantes de Lamé ou permeabilidades
diferentes, ou com diferentes permeabilidades em um mesmo material, assim analisando
quais materiais são melhores para o transporte de espécies químicas. Ou como a
alteração da frequência do carregamento ou da amplitude influenciaria no perfil de
pressão e no transporte de espécies químicas. Todos os exemplos citados podem ser
simulados com o modelo apresentado neste trabalho.
Outras considerações que necessitam de um pouco mais de aprimoramento do
modelo seria a influência das características da espécie química no seu transporte, como
a carga, as dimensões e o formato que podem dificultar ou facilitar o seu transporte
dependendo do material ao qual estão sendo transportados.
38
7. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS
[1] Vaughan, B. L., Galie, P. A., Stegemann, J. P., & Grotberg, J. B. (2013). “A
poroelastic model describing nutrient transport and cell stresses within a cyclically
strained collagen hydrogel”. Biophysical journal, v. 105(9), pp. 2188-2198.
[2] Ferguson, S. J., Ito, K., & Nolte, L. P. (2004). “Fluid flow and convective transport
of solutes within the intervertebral disc”. Journal of biomechanics, v. 37(2), pp. 213-
221.
[3] Riches, P. E., Dhillon, N., Lotz, J., Woods, A. W., & McNally, D. S. (2002). “The
internal mechanics of the intervertebral disc under cyclic loading”. Journal of
biomechanics, v. 35(9), pp. 1263-1271.
[4] Manfredini, P., Cocchetti, G., Maier, G., Redaelli, A., & Montevecchi, F. M. (1999).
“Poroelastic finite element analysis of a bone specimen under cyclic loading”. Journal
of biomechanics, v. 32(2), pp. 135-144.
[5] Basser, P. J. (1992). “Interstitial pressure, volume, and flow during infusion into
brain tissue”. Microvascular research, v. 44(2), pp. 143-165.
[6] Haider, M. A., & Guilak, F. (2007). “Application of a three-dimensional poroelastic
BEM to modeling the biphasic mechanics of cell–matrix interactions in articular
cartilage”. Computer methods in applied mechanics and engineering, v. 196(31), pp.
2999-3010.
[7] Ramanujan, S., Pluen, A., McKee, T. D., Brown, E. B., Boucher, Y., & Jain, R. K.
(2002). “Diffusion and convection in collagen gels: implications for transport in the
tumor interstitium”. Biophysical journal, v. 83(3), pp. 1650-1660
[8] Kameo, Y., Adachi, T., & Hojo, M. (2009). “Fluid pressure response in poroelastic
materials subjected to cyclic loading”. Journal of the Mechanics and Physics of
Solids, v. 57(11), pp. 1815-1827.
[9] Biot, M. A. (1941). “General theory of three-dimensional consolidation”. Journal of
applied physics, v. 12(2), pp. 155-164.
[10] Fish, J. and Balytschko, T. (2007). “A First Course In Finite Elements”. 1° ed,
England, John Wiley & Sons, Ltd.
39
Apêndice A
Em [1], onde os itens 5.1 e 5.2 do projeto foram baseados, resolve os problemas
de forma analítica.
A.1 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com um
lado aberto para o meio
O modelo do Item 5.1 foi resolvido em [1] utilizando as mesmas equações de
governo adimensionalizadas e condições de contorno. Desta forma foram resolvidos os
deslocamentos nas direções horizontal (u1) e vertical (u2), a pressão (p) e a velocidade
na direção vertical (v2) da seguinte forma.
onde CL e CT são definidos a seguir
onde ν é
A.2 Resolução analítica do corpo com forçamento cíclico com dois
lados abertos para o meio
Em [1] o item 5.2 também é resolvido de maneira analítica, porém em [1] são
definidas as pressões aplicadas como condições de contorno nas paredes permeáveis
como P1 e P2. Para ilustrar, retiramos de [1] a figura a seguir.
1
xu (x, t) A 1 sin(t)
L
L TC CAp(y, t) 2sin(t)
L y y
2 2
L T2 2 2
C CAv (y, t)
L y y
it it
L
1 i sinh( (1 i)y) 1 i sinh( (1 i)y)C (y, t) e e
2 cosh( (1 i)) 2 cosh( (1 i))
2 L T
Au (y, t) ysin(t) (C (y, t) C (y, t))
L 2
n
ns t
T 2n 1 n
( 1)C (y, t) 4( 2 ) sin (2n 1) y e
1 s 2
0,5(2( 2 ))
40
Figura A.1 – Condições de contorno em [1]
O deslocamento na direção horizontal (u1) é o mesmo do item anterior, porém o
deslocamento vertical (u2), a pressão (p) e a velocidade na direção vertical (v2) serão
resolvidos de maneira diferente, apresentados abaixo.
onde p0 e νn são
n t
2 n2n 1 n n
A 1 1u (y, t) ( y )sin(t) 8 [ (cos(t) e ) sin(t)]cos((2n 1) y)
L 2 ( 1)
0p(y, t) P1 (P1 P2)y p (y, t)
n t
0 n
n 1 n 2
A (2n 1)p 8 ( 2 ) [ (cos(t) e ) sin(t)]cos((2n 1) y)
L (v 1)
n t
2 n2n 1 n
1 A 1v (P2 P1) 8 [ (cos(t) e ) sin(t)]cos((2n 1) y)
L 1
2 2( 2 )(2n 1)