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Controle de Sistemas MecânicosControle de Sistemas MecânicosIntroduçãoIntrodução
Sistemas de controle
Malha aberta
Malha fechada
Realimentação
Visão histórica
Controle hoje
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Sistemas de ControleSistemas de Controle
Controlar é atuar sobre um dado sistema de modo a atingirresultados de acordo com objetivos previamenteestabelecidos.
O sistema controlado é chamado de planta ou processo.
Há um atuador transformando os objetivos em esforço deatuação
Os resultados obtidos na saída da planta, devem seaproximar dos objetivos desejados.
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Métodos BásicosMétodos Básicos
● Controle em malha aberta– disparo de uma flecha
– chuveiro elétrico comum
– máquina de lavar
● Controle em malha fechada– nível do tanque/pressão d’água
– míssil teleguiado
– ar-condicionado
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Controle em malha abertaControle em malha aberta
● Esquema geral
PlantaControlador
atuaçãoobjetivos resultados
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Controle em malha fechadaControle em malha fechada
● Esquema geral
PlantaControlador
atuação resultados
-
objetivos erro
medição
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RealimentaçãoRealimentação negativa negativa
● Sistemas de controle– Controle de temperatura
– Controle de nível
● Sistemas naturais– relação predador/presas
– temperatura do corpo/evaporação do suor
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Visão históricaVisão histórica
● Interação leme/vela em embarcações
● Controle de nível
● Fontes decorativas
● Relógios mecânicos
● Caixas de música
● Controle de temperatura e pressão
● Controle de rotação de máquina a vapor
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Visão históricaVisão histórica
● Controle de nível
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Visão históricaVisão histórica
● Controle de rotação de máquina a vapor
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Modelagem de Sistemas LinearesModelagem de Sistemas Lineares
Equação Diferencial Geral
Solução da Equação Homogênea
Solução da Equação Particular
Solução Completa
Diagrama de Blocos
Resposta ao Impulso e Convolução
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Modelagem matemáticaModelagem matemática
● Linearidade– obedece aos princípios da superposição e
homogeneidade
● Parâmetros concentrados– equações diferenciais ordinárias no tempo contínuo
● Invariância no tempo– coeficientes da equação constantes
● Causalidade– sistemas só respondem após a excitação
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LinearizaçãoLinearização
Quando o modelo matemático de um dado sistema é nãolinear, adota-se um método de linearização.
O método mais comum é a linearização pela expansão dafunção em série de Taylor em torno do ponto de operaçãoda planta.
Trunca-se a série de Taylor respectiva, desprezando-se ostermos de derivadas de segunda ordem e acima.
Os resultados são bons apenas para pequenas variações emtorno do ponto de operação.
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Expansão em serie de TaylorExpansão em serie de Taylor
�+−′′+−′+=!2
)()(
!1
)()()()(
20
00
00
xxxf
xxxfxfxf
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Equação Diferencial GeralEquação Diferencial Geral
● Sistemas Lineares
● Parâmetros concentrados
● Invariantes no tempo
● Mônico (an = 1)
u t( ) y t( )
)(...)(
)()(
...)()(
0
011
1
1
tubdt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyd
m
m
m
n
n
nn
n
++
=++++ −
−
−
R
nm ≤● Admite-se sempre
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Operador derivativoOperador derivativo
)(...)(
)()(
...)()(
0
011
1
1
tubdt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyd
m
m
m
n
n
nn
n
++
=++++ −
−
−
)()...(
)()...(
01
011
1
tubpbpb
tyapapapm
m
nn
n
+++
=++++ −−
Definindo o operadorderivativo dt
dp =
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Equação Geral SimplificadaEquação Geral Simplificada
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
)()...()()...( 01011
1 tubpbpbtyapapap mm
nn
n +++=++++ −−
)( pD )( pN
O resultado fica
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Operador do SistemaOperador do Sistema
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
)()(
)()( tu
pD
pNty =
)()()( tupLty =
)( pL Operador do Sistema
Sistema próprionm ≤
Sistema bi-próprionm =
Sistema estritamente próprionm <
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Comportamento do sistemaComportamento do sistema
● Excitação nula– Equação homogênea
– Condições iniciais nulas: permanece em repouso
– Condições iniciais não nulas: resposta natural
● Excitação não nula– Integral particular
– Resposta forçada
– Resposta completa: natural+forçada
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Solução da Equação DiferencialSolução da Equação Diferencial
● Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
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Equação HomogêneaEquação Homogênea
● Equação diferencial
● Equação característica
● Polinômio característico
D p y t( ) ( ) = 0
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
0... 011
1 =++++ −− apapap n
nn
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Sistema mecânico deSistema mecânico de translacão translacão
A figura abaixo apresenta um sistemamassa/mola/amortecedor, para o qual é aplicadauma força u(t) e obtido como resposta odeslocamento y(t).
cK
m
y
u
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Exemplo Lei de Exemplo Lei de NewtonNewton
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se a equaçãodiferencial do sistema
Aplicando o operador derivativo a equação fica
ukyycym =++ ���
uykcpmp =++ )( 2
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Polinômio característicoPolinômio característico
Dividindo-se pela massa (para a eq. ficar mônica)
os seguintes polinômios são obtidos
m
kp
m
cppD ++= 2)(
um
ym
kp
m
cp
12 =
++
mpN
1)( =
)(
)()(
pD
pNpL =
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Visualização do operadorVisualização do operador
● Esquema geral
PlantaControlador
atuação resultados
-
objetivos erro
medição
2
1
( ) mL pc k
p pm m
=+ +
cK
m
y
u
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Circuitos elétricosCircuitos elétricos
Aplica-se as leis de Kirchhoff: das malhas e dos nós;
Aplica-se a lei de cada elemento: resistência,capacitor e indutância.
Circuito RC:
+
-
C
R
v(t) vC(t)
+
-
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Solução do circuito RCSolução do circuito RC
Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas, obtém-se aequação
considerando a lei de Ohm
e do capacitor
e notando que estão em série
CR vvv +=
dt
dvCi
Riv
CC
RR
=
=
CR ii =
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Continuação circuito RCContinuação circuito RC
Levando em conta o operador derivativoa segunda equação fica
Substituindo na lei das malhas, obtém-se
CC Cpvi =
CC vRCpvv +=
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Continuação RCContinuação RC
Conduzindo à seguinte EDG
e respectivo operador do sistema
uRC
yRC
p11 =
+
RCpRC
pD
pNpL
1
1
)(
)()(
+==
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●
2
1
( ) mL pc k
p pm m
=+ +
Visualização do operadorVisualização do operador
PlantaControlador
atuação resultados
-
objetivos erro
medição
cK
m
y
u
+
-
C
R
v(t) vC(t)
+
-
1( )
1RCL p
p RC
=+
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Sistemas Mecânicos RotativosSistemas Mecânicos Rotativos
Modelo de um pêndulo torcionalConsiderando uma inércia associada a uma mola
torcional e um amortecimento viscoso
c
J
K
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Exemplo RotativoExemplo Rotativo
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se aequação diferencial do sistema
Aplicando o operador derivativo a equação fica
τθ =++ )( 2 kcpJp
τθθθ =++ kcJ ���
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Polinômio característicoPolinômio característico
Dividindo-se pela inércia
os seguintes polinômios são obtidos
J
kp
J
cppD ++= 2)(
uJ
yJ
kp
J
cp
12 =
++
JpN
1)( =
)(
)()(
pD
pNpL =
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Circuitos RLCCircuitos RLC
Aplicando-se a lei das malhas para o circuito abaixo
obtém-se
+
-
C
R
v(t)
+
-
vC(t)
L
CLR vvvv ++=
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Solução do circuito RLCSolução do circuito RLC
Considerando a lei de Ohm, do capacitor
e do indutor
e notando que estão em série
LL
L
CC
C
RR
Lpidt
diLv
Cpvdt
dvCi
Riv
==
==
=
LCR iii ==
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Continuação RLCContinuação RLC
Substituindo na lei das malhas, obtém-se
com a EDG
e o operador
CCC vvLCpRCpvv ++= 2
uLC
yLC
pL
Rp
112 =
++
( ) ( )( )
LCpRLp
LCpD
pNpL
1)(
1
2 ++==
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Uso do MatlabUso do Matlab
● Definição de vetor e matriz– usar exemplo MMA: m=1, c=1, k=25
– pc=[1 1 25]; t=0:0.05:4; rz=[-1 -2];
● Processamento de raízes de polinômio– r=roots(pc); pol=poly(rz);
● Determinação da função seno e cosseno– y=sin(t); z=cos(t);
● Traçar gráficos de função– plot(t, y,’r’, t, z,’b’)
– usar help comando