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Controle de Sistemas DinâmicosTeoria e Laboratório

Vilma A. Oliveira, Manoel L. Aguiar

Departamento de Engenharia ElétricaEscola de Engenharia de São Carlos/USP

Copyright@2004

Projeto Gráfico: Alexander MunaiarClaudinei F. Fabrício

Editoração, fotolitos: Serviço Gráfico EESC-USP

Sumário

1 Introdução 11.1 Objetivo de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Análise e projeto de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Escopo e Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Organização do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Modelos Matemáticos de Sistemas Dinâmicos 72.1 Descrição Entrada-Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Sistemas relaxados, causais e lineares descritos por operadores . 92.1.3 Equações a diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4 Sinais e sistemas amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.5 Funções de transferência para sistemas discretizados . . . . . . . 162.1.6 Aproximação de sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Descrição Espaço de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Sistemas contínuos no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Sistemas discretos no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Aproximação de sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Sistemas Lineares com Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Equações lineares com coeficientes e retardos constantes . . . . 302.3.2 Localização das raízes de quasipolinômios . . . . . . . . . . . . . 312.3.3 Polinômios exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.4 Zeros de polinômios exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.1 Aproximação de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Fórmula de linearização de Teixeira & Żak . . . . . . . . . . . . 35

3 Exemplos de Sistemas Dinâmicos 393.1 Motor de Corrente Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Princípio de funcionamento do motor CC . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Modelo do motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Obtenção dos parâmetros do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Sistema de Suspensão Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

iv SUMÁRIO

3.2.1 Equações dinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.3 Sistema e componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.4 Sensores de posição e de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.5 Obtenção dos parâmetros do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Sistema Térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Experimentos de Laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Experimento 1: Amostragem de sinais . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Experimento 2: Obtenção modelo de um motor CC . . . . . . . 623.4.3 Experimento 3: Obtenção parâmetros de um sistema de suspen-

são magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.4 Experimento 4: Obtenção parâmetros de um sistema térmico . . 65

4 Respostas Típicas de Sistemas Lineares 674.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Resposta Transitória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Resposta em Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.1 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.2 Sistemas com pólos e zeros na origem . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.3 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Experimentos de Laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.1 Experimento 1: Respostas de sistemas de 1a ordem e 2a ordem . 804.4.2 Experimento 2: Análise de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Fundamentos de Sistemas Dinâmicos 855.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.1 Caso multivariável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Estabilidade de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 O teorema de Hermite-Biehler e generalizações. . . . . . . . . . . 885.2.2 Caracterização analítica do teorema de Hermite-Biehler . . . . . 92

5.3 Resultados de Estabilidade para Quasipolinômios . . . . . . . . . . . . . 935.3.1 Critério de Nyquist e quasi-polinômios . . . . . . . . . . . . . . . 945.3.2 Entrelaçamento em altas frequências . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Estabilidade de Sistemas na Forma Espaço de Estado . . . . . . . . . . 975.5 Definições de Estabilidade Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.6 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.6.1 Sistemas lineares invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 1005.7 Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.8 Equação de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.8.1 Análise de estabilidade usando LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9 Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.9.1 Polos e zeros de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.9.2 Zeros invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.9.3 Zeros de desacoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.9.4 Zeros e polos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

SUMÁRIO v

5.10 Ganho para Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.10.1 Valores singulares de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.10.2 Ganhos principais de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6 Realimentação de Estado 1196.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2 Posicionamento de Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2.1 Caso uma entrada - uma saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3 Regulador Linear Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.1 Formulação do problema do regulador quadrático . . . . . . . . . 1226.3.2 Problema de horizonte finito: equação matricial de Riccati . . . . 1236.3.3 Problema LQR estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.3.4 Complemento de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4 Realimentação de Estado com Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.4.1 Observador de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.4.2 Controlador baseado em observador . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7 Controle Robusto 1317.1 Funções de Sensibilidade e Sensibilidade Complementar . . . . . . . . . 131

7.1.1 Relações fundamentais obtidas da configuração típica . . . . . . 1327.1.2 Rejeição de perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.3 Rejeição de erros de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.1.4 Requisitos de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.1.5 Ponderação especificações de projeto . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2 Estabilidade Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3 Modelagem de Incertezas e Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.3.1 Representação de incertezas na forma padrão . . . . . . . . . . . 1377.3.2 Transformações fracionárias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.3.3 Estrutura geral de controle robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.4 Representação espaço de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.4 Robustez de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4.1 Valor singular estruturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.4.2 Robustez de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.5 Robustez de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.5.1 Robustez de desempenho com valores singulares estruturados . . 147

7.6 Controlador H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.6.1 Problema de controle H∞ com realimentação de estado . . . . . 1517.6.2 Problema de controle H∞ com realimentação da saída . . . . . . 1517.6.3 Incorporando funções pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.7 Síntese μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.8 Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.8.1 Escolha das Matrizes de Ponderação . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.8.2 Incertezas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.8.3 Controlador H∞ padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.8.4 Controlador μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.8.5 Testes de robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

vi SUMÁRIO

8 Estabilização de Sistemas com Atraso 1638.0.1 Controlador proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.0.2 Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9 Controle Digital 1759.1 Síntese Controladores Digitais no Tempo Contínuo . . . . . . . . . . . . 1769.2 Controlador PID Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.3 Controlador de Tempo Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.3.1 Projeto do controlador de tempo mínimo . . . . . . . . . . . . . 1799.4 Realimentação de Estado no Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.4.1 Controlador com observador de estado . . . . . . . . . . . . . . . 1859.4.2 Problema de seguimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.5 Experimentos de Laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.5.1 Experimento 1: Processo analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.5.2 Experimento 2: Sistema de suspensão magnética . . . . . . . . . 1969.5.3 Avaliação experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10 Modelagem e Controle Fuzzy 20510.1 Princípios de Lógica Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.1.1 Conjuntos fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20710.1.2 Operações lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.1.3 Inferência fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.1.4 Controlador fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21010.1.5 Controlador fuzzy Mandami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.1.6 Controlador fuzzy TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21610.1.7 Verificação da estabilidade de um sistema autônomo usando LMI’s 219

10.2 Construção de Modelos Fuzzy TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

A Propriedades e Tabela de Transformadas Z 231

B Introdução ao Labview 233B.1 Aquisição e Processamento de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

B.1.1 Leitura ou conversão de sinais de entrada . . . . . . . . . . . . . 234B.2 Geração de Saídas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

B.2.1 Saída por conversor D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236B.2.2 Saída por porta digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

B.3 Estrutura Geral do Equipamento de Aquisição . . . . . . . . . . . . . . 237B.3.1 Características específicas do equipamento utilizado . . . . . . . 239

B.4 Tratamento de Sinais Analógicos Entrada e Saída . . . . . . . . . . . . . 240B.4.1 Entrada analógica e VIs de leitura analógica . . . . . . . . . . . . 240

B.5 Saída Analógica e VI’s de Escrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

C Interfaces Gráficas do Toolbox Fuzzy Logic do MATLAB 243C.1 FIS Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243C.2 Editor de Funções de Pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

C.2.1 Editor de Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245C.3 Visualizador de Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Capítulo 1

Introdução

1.1 Objetivo de Controle

Na nomenclatura de controle os modelos de sistemas físicos são denotados sistemas eos sistemas físicos plantas ou processos. O objetivo de controle é gerar entradas parauma dada planta ou processo usando medições da saída e a referência para forneceruma saída com características ou comportamento desejado. A Figura 1.1 ilustra estaidéia com os sinais r(t) designando a referência, u(t) a entrada controle, w(t) a entradaperturbação, z(t) a saída regulada e y(t) a saída realimentada.

z(t)r(t)

u(t)

Controlador Planta

w(t)

y(t)

Figura 1.1: Diagrama esquemático de um sistema de controle com entradas e saídas.

Os problemas básicos de controle podem ser divididos em duas classes, quais sejam,estabilização e seguimento de trajetória, este último é também chamado de problemade servomecanismo. No primeiro caso o problema de controle pode ser formulado daseguinte forma. Obter a entrada de controle u(t) tal que a saída da planta a ser estabi-lizada y(t) tenda a zero quando t tende ao infinito. Caso deseja-se uma saída constantediferente de zero faz-se uma mudança de variável para buscar a estabilização na origemda variável transladada. A Figura 1.2 ilustra o problema de estabilização de um pênduloinvertido e do nível de aço em uma planta de lingotamento contínuo de tiras. Nesteexemplo, o objetivo de controle é estabilizar o pêndulo na posição vertical θ = π/2,medida em relação ao eixo horizontal. No segundo caso, o objetivo de controle é fazer asaída y(t) acompanhar uma referência, em geral, pré-estabelecida. Pode-se ilustrar esteobjetivo com o problema de transporte de um conteiner de líquido para uma posição

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

desejada seguindo uma trajetória ótima de referência, conforme ilustra a Figura 1.3.

Controlador

Condicionamento

sinal

Válvula Tampão

Cilindro Hidráulico

Tanque Submerso

Célula de cargaPiscina

Controlador

Condicionamento

sinal

Válvula Tampão

Cilindro Hidráulico

Tanque Submerso

Célula de cargaPiscina

Figura 1.2: Diagramas esquemáticos de um pêndulo invertido (acima) e planta de lin-gotamento contínuo de tiras (abaixo).

1.2 Análise e projeto de controle

Diferentes métodos de análise e projeto de sistemas foram desenvolvidas. O método daresposta em frequência e o método do lugar das raízes foram introduzidos na década de1940 e são o cerne da teoria de controle clássico. Estes métodos são aplicáveis a sistemasuma entrada uma saída. A análise de sistemas no domínio do tempo com o sistemadescrito na forma de variáveis de estado foi desenvolvida posteriormente na década de 60para poder tratar de sistemas multivariáveis (Ogata 1997). O problema básico da teoriade controle linear de obter uma entrada de controle a partir da minimização de umaintegral de uma função quadrática usando realimentação de estado foi rigorosamente

1.3. ESCOPO E OBJETIVOS 3

x[m

]

t[s]

x[m

]

t[s]

Figura 1.3: Modelo de oscilação de um conteiner (esquerda) com x(t) o deslocamento eα(t) a aceleração, e referência de posição (direita) (Yano e Terashima 2001).

formulado por Kalman (1960). Este problema é referenciado como regulador quadráticolinear (LQR, do inglês). O projeto do regulador quadrático permitiu a sistematizaçãoda solução do problema de controle a partir da escolha de matrizes de ponderação dovetor de estado e entrada. Mais recentemente, a partir de 1980, a teoria de controletem centrado em controle robusto (Zhou 1998) combinando as abordagens de análise eprojeto no domínio do tempo e frequência.

1.3 Escopo e Objetivos

Controle automático é hoje uma importante área tecnológica apresentando enormesavanços nas duas últimas décadas principalmente no desenvolvimento de técnicas avan-çadas de projeto e ferramentas computacionais. Controle automático constitui temamultidisciplinar estando presente em diversos cursos de engenharia tais como engenha-ria elétrica, mecânica, química e aeronáutica. A principal dificuldade encontrada noensino de controle é a variedade de conceitos tratados em uma simples aula. O es-tudante precisa integrar conceitos de álgebra linear, equações diferenciais e sistemasdinâmicos. Se por um lado, controle automático requer uma base matemática forte poroutro requer conhecimentos de plataformas de desenvolvimento e instrumentação paraa implementação prática de controladores.

Muitos livros didáticos existentes são muito bem escritos e trazem toda a teoria decontrole junto com uma variedade de exemplos de fixação mas poucos incluem materialde laboratório. Na medida que a aprendizagem deve ser apoiada na conceituação e naexperiência com exemplos concretos, a dosagem de teoria e laboratório é extremamenteimportante para introduzir o aluno a problemas de controle envolvendo não só o projeto,mas também a modelagem e escolha de especificações para a sua implementação prática.Com o objetivo de contribuir para o ensino de controle, este livro apresenta um textocom teoria e laboratório para cursos de engenharia visando auxiliar o aluno a assimilaros conceitos básicos e a disseminar a aplicação de técnicas de controle. Tendo em vistaa existencia de muitos livros didáticos acerca dos métodos da resposta em frequência e


lugar das raízes, estes não são incluídos aqui.

Este livro é baseado nos cursos de controle oferecidos pelo Departamento de Enge-nharia Elétrica da Universidade de São Paulo do Campus de São Carlos podendo serutilizado principalmente nos cursos básicos e avançados de controle em nível de gra-duação. Alguns capítulos porém, podem ser utilizados em cursos de pós-graduação.O presente texto portanto cobre desde experimentos simples até experimentos maisavançados com controle digital e controle robusto. Os principais circuitos utilizados ecomandos Matlab são fornecidos para permitir a pronta reprodução dos experimentosem outras instituições de ensino. Para auxiliar o acompanhamento dos tópicos mi-nistrados em controle robusto exercícios de análise e síntese são propostos de formaa permitir resolver exercícios em classe com a participação de um ou dois alunos porvez sob orientação. O estudante introduz a sua solução aos outros estudantes os quaiscompletam esta solução na classe.

1.4 Organização do Texto

O texto contém material para cobrir mais do que um curso de um semestre em controle.Considerando que os conceitos e propriedades de transformada de Laplace e matrizesusados largamente em cursos de controle podem ser encontradas na grande maioria doslivros textos existentes, material de revisão destes tópicos não são incluídos. O Capítulo2 apresenta, em uma forma compacta, a descrição matemática de sistemas contínuos ediscretos por função de transferência e espaço de estado incluindo conceitos de amos-tragem de sinais e sistemas e linearização de sistemas a ser usado em um primeiro cursode controle exceto a Seção 2.3 a qual trata de sistemas com atraso aprsentando umconteúdo mais especializado. Com o objetivo de relacionar a descrição matemática asistemas físicos, o Capítulo 3 apresenta exemplos de sistemas dinâmicos incluindo expe-rimentos de laboratório. O Capítulo 4 apresenta as características básicas de sistemasde 1a e 2a ordens com análise de características de sistemas no domínio do tempo efrequência e da análise de estabilidade e de margens de estabilidade também incluiexperimentos de laboratório. No Capítulo 5 os principais conceitos e propriedades desistemas são apresentadados e no Capítulo 6 as técnicas de realimentação de estadomais conhecidas como posicionamento de polos e regulador quadrático são descritas.No Cápitulo 7 são dadas as ferramentas de análise e projeto de controle robusto nocontexto de transformações fracionárias lineares. O Capítulo 8 apresenta resultadosoriginais sobre a obtenção da família de controladores P, PI e PID para plantas comatraso. O Capítulo 9 inclui a implementação de controladores digitais, considerandoum um sistema de 2a simulado com circuitos analógicos, um protótipo em escala labo-ratorial de um sistema de suspensão magnética de uma esfera com sensores de posição,corrente e fonte de luz, e um sistema térmico com sensores do tipo termoresitores. Asdiferentes plantas utilizadas permite abordar a análise e projeto de sistemas com atrasoe fase não mínima, caso do sistema mini-forno e sistema de suspensão magnética, res-pectivamente. Finalmente, no Capítulo 10 os conceitos de modelagem e controle fuzzysão introduzidos.

1.5. AGRADECIMENTOS 5

1.5 AgradecimentosAgradecemos ao Professor Jerson Barbosa de Vargas pela valiosa colaboração dada napreparação do material de apoio às aulas de laboratório apresentado, ao Professor EdsonGesualdo pelo suporte técnico e sugestões dadas para a elaboração de experimentos e àprofessora Lúcia Valéria Cossi pela contribuição no tópico sistemas com atraso. Agra-decemos também, a todos que contribuíram para que este livro fosse possível, alunos degraduação e pós-graduação que trabalharam conosco, dentre os quais gostaríamos decitar Maurício dos Santos Pupo, Eduardo Fontoura Costa, Wilson da Silva Jr, EvandroToshio Morita, Alexandre Scishum Iramina, Willians Jorge Rodrigues, Vinicius da SilvaDalben, Mário Celso Gonella, Daniel Siqueira, José Roberto Caon, Renato do Nasci-mento Rosa, Natache Arrifano, Eduardo Stockler Tognetti. Finalmente, agradecemosao técnico de laboratório Alessandro Rodrigo Locatti pela assistência e implementaçãode diversos circuitos.

Capítulo 2

Modelos Matemáticos deSistemas Dinâmicos

Para o propósito de análise e projeto um sistema físico é em geral representado porum modelo matemático simplificado que retém os atributos relevantes para o problemaem questão. Um sistema físico pode ter diferentes modelos dependendo das condiçõesda sua operação e aplicação. Na nomenclatura de controle os modelos de sistemasfísicos são denotados sistemas e os sistemas físicos plantas ou processos. Por sua vez, osmodelos podem ter diferentes representações ou descrições matemáticas. Neste capítulosão introduzidas as representações entrada/saída e espaço de estado de modelos desistemas físicos bem como as suas propriedades principais. As principais referênciasusadas neste capítulo foram (Chen 1998) e (Isermann 1989).

2.1 Descrição Entrada-SaídaA descrição entrada-saída fornece uma relação matemática entre a entrada e saída dosistema. As propriedades do sistema são obtidas através da aplicação de entradas deteste. A entrada é denotada por um vetor mx1, u = [u1, u2, ..., um] e a saída por umvetor q × 1, y = [y1, y2, ..., ym]. A representação simplificada do sistema na forma dediagrama de blocos é mostrada na Figura 2.1.

u

Figura 2.1: Esquema entrada-saída.

Notação 2.1 u ou u(.) denota um vetor definido em (−∞,∞); u(t) é usado pararepresentar o valor de u no tempo t; u[t0, t1] significa que u é definido em [t0, t1].

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8 CAPÍTULO 2. MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS

2.1.1 Equações diferenciaisSistemas dinâmicos contínuos são descritos por equações diferenciais as quais podem serobtidas a partir das leis que descrevem o seu comportamento no tempo. Por exemplo,a lei de Newton e a lei de tensão e corrente de Kirchhoff são a base da construção dasequações de movimento para sistemas mecânicos e para sistemas elétricos, respectiva-mente.

A forma mais geral de escrever uma equação diferencial linear de coeficientes cons-tantes de ordem n é

andny(t)dtn

+ an−1dn−1y(t)dtn−1

+ an−2dn−2y(t)dtn−2

+ · · · + a1dy(t)dt

+ a0y(t) =

bmdmu(t) + · · · + b1du(t) + b0u(t) (2.1)

onde y(t) é a saida e u(t) é a entrada e ai, i = 1, · · · , n, bi, i = 0, · · · ,m constantes comm < n.

Exemplo 2.1 Considere o motor de corrente contínua (CC) descrito pelo diagramaeletromecânico equivalente mostrado na Figura 2.2 com parâmetros definidos na Tabela2.1. Obter as equações de movimento do rotor, circuito elétrico da armadura e obter aequação diferencial do motor CC para a velocidade e tensão aplicada na armadura.

Solução. Utilizando a lei de Newton para sistemas rotacionais obtém-se

Te(t) = Ktia(t) = Jd

dtω(t) +Bω(t) + F. (2.2)

Por sua vez, utilizando a lei de tensão de Kirchhoff obtém-se

va(t) = Raia(t) + Lad

dtia(t) +Keω(t). (2.3)

Usando o operador p = ddt pode-se obter ia(t) de (2.2) o qual substituído em (2.3)

fornece uma equação diferencial de ordem 2 relacionando a velocidade ω e a tensão vaaplicada na armadura

a2d2y(t)dt2

+ a1dy(t)dt

+ a0y(t) = u(t) (2.4)

com a2 = LaJ , a1 = (RaJ + LaB), a0 = (RaB +KtKb) e u(t) = Ktva.

Tabela 2.1: Parâmetros do motor.Parâmetros Elétricos Parâmetros MecânicosRa resistência armadura [Ω] J momento inércia [N m s2/rad]La indutância armadura [H ] B coeficiente atrito viscoso [N m s/rad]Ke constante f.c.e.m [V s/rad] F coeficiente atrito estático estático [N m]Kt constante torque [N m/A]

Diversos exemplos da construção do modelo de equações diferencias de sistemaspodem ser encontrados em Franklin et al. (1994) e Ogata (1997).

2.1. DESCRIÇÃO ENTRADA-SAÍDA 9

Figura 2.2: Diagrama eletromecânico do motor CC.

2.1.2 Sistemas relaxados, causais e lineares descritos por ope-radores

Se a saída de um sistema em t = t1 depender somente da entrada aplicada em t = t1 osistema é chamado sistema instantâneo ou sistema sem memória.

Definição 2.1 Um sistema é dito ser relaxado em t0 se e só se a saída y[t0,∞) éexcitada unicamente por u[t0,∞).

Pode-se escrever:y[t0,∞) = Hu[t0,∞) (2.5)

ou simplesmente y = Hu com H um operador.

Definição 2.2 Um sistema é dito ser causal ou não antecipatório se a saída do sistemano instante t não depender da entrada aplicada depois do tempo t; depende apenas daentrada aplicada no tempo t e antes do tempo t.

Para um sistema causal e relaxado pode-se escrever:

y = Hu(−∞,t) para t0 em (−∞,∞) (2.6)

Definição 2.3 Um operador é linear se para entradas u1 e u2 obter-se:

H(α1u1 + α2u2) = α1Hu1 + α2Hu2 (2.7)

Integral de superposição

Para sistemas lineares e relaxados o operador H pode ser descrito em termos de umaintegral de superposição, usando a função delta ou impulso de Dirac definida a seguir.Seja a função

δΔ(t− t1) =

⎧⎨⎩0, t < t11Δ , t1 ≤ t < t1 + Δ0, t ≥ t1 + Δ

(2.8)

Δ(t− t1) é a chamada função pulso. Se faz-se Δ → 0 tem-se a chamada função impulsode Dirac ou função delta δ(t− t1) := limΔ→0 Δ(t− t1).


Sejay = Hu (2.9)

Aproximando u por uma série de funções pulsos:

u =∑i

δΔ(t− ti)u(ti)Δ (2.10)

e substituindo u em (2.9), para H linear, tem-se

Hu =∑i

[HδΔ(t− ti)]u(ti)Δ (2.11)

fazendo Δ → 0 e∑ → ∫

tem-se

y =∫ ∞

−∞HδΔ(t− τ)u(τ)dτ (2.12)

Definindo Hδ(t − τ) := g(t, τ), onde τ é o tempo em que a função δ é aplicada e t otempo em que a saída é observada, tem-se

y =∫ ∞

−∞g(t, τ)u(τ)dτ (2.13)

onde g(t, τ) é a chamada resposta impulsional do sistema. A integral (2.13) é a tambémchamada integral de superposição. Portanto, se g(t, τ) for conhecida, a saída y(t) podeser obtida para todo t. No caso multivariável a integral de superposição fica:

y =∫ ∞

−∞G(t, τ)u(τ)dτ (2.14)

com G(t, τ) uma matriz formada pelas respostas impulsionais gij(t, τ) entre a saída i ea entrada j.

Observação 2.1 Um sistema linear relaxado pode ser interpretado como um operadorlinear que mapeia o espaço de funções continuas por parte em (−∞,∞) em outro espaçode funções contínuas por parte.

Integral de convolução

Para chegar-se à conhecida integral de convolução do sistema este deve ser fixo, ouestacionário o que significa que as suas características não mudam com o tempo. Umsistema fixo ou estacionário é dito ser invariante no tempo. A definição de invariânciano tempo é dada a seguir.

Definição 2.4 Um sistema linear e relaxado é invariante no tempo se e só se

HQαu = QαHu = Qαy (2.15)

para ∀u e ∀α com Qα o operador de deslocamento definido por Qαu(t) = u(t+ α), ∀t.


A resposta impulsional g(t, τ) de um sistema relaxado e invariante no tempo dependeapenas da diferença t− τ . De fato, pela definição de invariância no tempo tem-se

Qαg(t, τ) = QαHδ(t− τ) = HQαδ(t− τ) (2.16)

e, usando a definição de g(t, τ), pode-se escrever

Hδ(t− (τ + α)) = g(t, τ + α) (2.17)

Agora, pela definição de Qα a equação Qαg(t, τ) = g(t, τ + α) implica g(t, τ) = g(t +α, τ+α), ∀τ, t, α. Escolhendo α = −τ , tem-se g(t, τ) = g(t−τ, 0) = g(t−τ), ∀t, τ . Pode-se concluir então que a resposta impulsional de um sistema linear relaxado e invarianteno tempo depende apenas da diferença entre t e τ .

Portanto, pode-se obter a resposta y(t) em termos da chamada integral de convolução

y =∫ ∞

−∞g(t− τ)u(τ)dτ (2.18)

Funções de transferência

Considere a integral de convolução (2.18). Aplicando a transformada de Laplace emambos os lados tem-se

y(s) = G(s)u(s) (2.19)

onde G(s) denota a função de transferência entre a entrada u e a saída y do sistemadada pela transformada de Laplace de g(t) definida como

G(s) =∫ ∞

0

g(t)e−stdt (2.20)

Os valores de s = zi tais que G(zi) = 0 são chamados zeros e os valores de s = pi taisque G(pi) = ∞ são chamados polos.

2.1.3 Equações a diferença

Sistemas dinâmicos discretos podem ser descritos por equações a diferença. A formamais geral de escrever uma equação a diferença linear de coeficientes constantes deordem n é

any(k + n) + an−1y(k − n− 1) + · · · + a2y(k − 2) + a1y(k − 1) + a0y(k) =bmu(k −m) + · · · + b1u(k − 1) + b0u(k) (2.21)

onde k é o instante de tempo, y(k) é a saída e u(k) a entrada e ai, i = 1, · · · , n,bi, i = 0, · · · ,m são constantes com m < n.

Exemplo 2.2 Considere o ciclo de uma população de plantas daninhas mostrado naFigura 2.3 onde a dinâmica de plantas daninhas anuais é descrita através de fatoresdependentes e independentes da densidade de plantas e do número de sementes porárea (densidade de sementes) nos sucessivos ciclos a partir do número de sementes do


ciclo inicial (Sakai 2001). Assim, a densidade de sementes existentes no ciclo k + 1 édeterminado pela densidade de sementes do ciclo anterior k

y(k + 1) = gosy(k) + (1 − g)vy(k) (2.22)= (gos+ v − g)y(k)

onde y é o número de sementes por área, g, o, s e v são as taxas de sucesso de germina-ção, floração, fecundidade (número de sementes produzidas por planta) e de sementesviáveis no solo no ciclo seguinte, respectivamente, com g, o e s constantes. O segundotermo representa as gerações sobrepostas e portanto, se não ficaram sementes no solodurante um ciclo implica v = 0. O modelo descrito em 2.22 pode ser reconhecido comouma equação a diferença do tipo (2.21) com n = 1 e u = 0

Sementes enterradas no ano ky k

Sementes enterradas no ano k+1

k+1y

Númer o de plântulas

kq

Florações individuais

g

o

s

v

Competição intra-específicaHerbicidasPredadores herbívorosPr edação das sementesDispersão de sementesColheita da cultura

HerbicidasAgentes patogênicosGerminação

Práticas de cultivo

Competição intra-específicaHerbicidasPr edador es herbívor osPráticas de cultivo

HerbicidasPr edador es herbívor osPráticas de cultivo

Predadores herbívoros

Figura 2.3: Ciclo de vida de plantas daninhas anuais

A densidade de plântulas de daninhas denotada q pode ser expressa por q(k) =gy(k). Em geral, q afeta a taxa de crescimento da população e os parâmetros o e s em(2.22) são dependentes de y levando a um modelo não linear em x.

2.1.4 Sinais e sistemas amostradosNesta seção são tratados os sistemas amostrados caracterizando-se a discretização desistemas e técnicas de amostragem de sinais e sistemas. A discretização de sistemaspermite proceder à análise e projeto de controladores de sistemas utilizando estruturasdigitais, dando origem aos controladores digitais.

A realização de controladores digitais pode ser implementada a partir de micro-computadores, micro-controladores ou mesmo por microprocessadores. Em geral osmicrocomputadores são empregados na fase de desenvolvimento e análise e, uma vezfinalizado o projeto, transfere-se a estrutura e lógica de controle para um hardwarecomposto por microprocessadores ou microcontroladores.


A utilização de micro-computadores para implementação de estruturas de controleteve início já por volta de 1960. Porém computadores dessa época não eram apropria-dos para aplicação industrial, pois tinham uma arquitetura voltada para gerenciamentode dados, de certa forma lentos e não se dispunha de aplicativos adequados para arealização de uma estrutura de controle. Já na década de 70 surgiram os chamados mi-croprocessadores com uma arquitetura digital voltada para um interfaceamento entre oprocesso a ser controlado (analógico) e o microprocessador. Desde então, o microproces-sador passou a ser um elo integrante da malha de controle. Na Figura 2.4 é representadoum sistema de controle digital com um microcomputador como um elemento da malhade controle.

Planta

Figura 2.4: Diagrama geral de um sistema de controle digital.

Para a implementação de controle digital torna-se necessário a compatibilizaçãodos vários sinais analógicos e digitais. Na sua forma digital, opera-se com númerosou entidades numéricas, os quais podem ser manipulados como se queira através deaplicativos específicos. Na sua forma analógica os sinais representam grandezas físicas econtínuas no tempo e que só podem - se necessário - ser processadas por dispositivos oucircuitos analógicos. A compatibilização destas formas de sinais é realizada pelo blocoA/D para a conversão Analógica-Digital e pelo bloco D/A para a conversão Digital-Analógica. Determinados processos ou ações de controle são inerentemente do tipodigital, não necessitando propriamente de uma conversão. Nesse caso, tais processossão ditos naturalmente amostrados.

A integração de um microprocessador na estrutura de controle possibilita a execu-ção de outras tarefas além do controle propriamente dito, como supervisão do processo,emissão de relatórios, proteção, alarmes, coordenação, etc, permitindo a realização desistemas com um alto grau de automação. Outra característica muito importante é ograu de flexibilidade dos sinais digitais. Isto é, um determinado sinal pode ser redimen-sionado para fornecer um melhor rendimento ou desempenho, simplesmente através dareprogramação do algoritmo de controle ou de supervisão.

Uma primeira implicação da incorporação do microprocessador na malha de controle


é que nos sinais digitais as operações matemáticas que devem ser realizadas necessitamde um certo tempo para serem processadas pelo microprocessador. Durante esse pe-ríodo o microprocessador fica “desligado” do ambiente externo analógico. Desse modo aconexão efetiva entre o microprocessador e o processo é realizada apenas em instantesdeterminados e periódicos, de onde surge então o conceito de amostragem ou discreti-zação. Entre dois instantes de amostragem é realizada conversão A/D do sinal a serprocessado, o microprocessador processa o algoritmo de controle e fornece o comandode controle para a conversão D/A. Todo esse processo deve ser sincronizado e repetidoa cada período de amostragem.

Para processar uma grandeza analógica através de um microcomputador, é necessá-rio introduzir um processo de amostragem da grandeza a ser processada e posteriormenteuma conversão desta amostra em uma quantidade digital. Após o processamento destaquantidade digital por um determinado algoritmo de controle, a quantidade processadaque ainda se encontra na forma digital deve ser aplicada ao processo analógico, atravésde um processo inverso que a converte em uma grandeza analógica. Este processo deconversão pode ser representado como indicado na Figura 2.5.

A/D D/AGc(z)y yd u*ud

k T0 kT0 + TR

y yd ud u*

Figura 2.5: Amostragem e caracterização de sinais em processos discretos.

O processo de amostragem é periódico, com período denominado T0, para que sepossa estabelecer a descrição do processo pela transformada Z e pela equação a diferençaa serem vistos na próxima seção. A saída processada digitalmente será fornecida aoprocesso analógico também de forma periódica com o mesmo período T0, porém atrasadaem relação à amostragem de entrada de um tempo TR que é o tempo necessário aoprocesso de conversão mais o processamento pelo algoritmo de controle. Normalmente otempo do processo de conversão dos dispositivos atuais é muito pequeno em comparaçãocom T0, tal que TR só é devido ao tempo de processamento do algoritmo de controle.

Na Figura 2.5 são indicadas também a forma representativa do sinal ao longo docaminho contendo o processo e a estrutura de controle digital. Na parte intermediáriaos pontos indicam a forma discreta do sinal na forma discreta. Nesta forma, o sinal setransforma em números que são processados iterativamente a cada passo do algoritmode controle.

Uma vez que o sinal original, contínuo no tempo, é definido para qualquer instante detempo, este carrega consigo um certo nível de informação a respeito do comportamentoinstantâneo deste sinal. A partir do processo de amostragem e conversão A/D, pode-se dizer que apenas poucas porções deste sinal estão disponíveis, ou seja, na formadiscreta apenas poucos pontos do sinal original estão disponíveis. Para que se possa


executar uma estratégia de controle adequada, é necessário que suficiente quantidadede informação esteja disponível nesta forma discreta. Isto determina que a amostragemdo sinal a ser analisado ou controlado deve seguir algumas regras, de tal forma que estepossa ser devidamente reconhecido e interpretado dentro da estrutura digital.

O processo de amostragem, descrito nas figuras e nos itens anteriores, pode serrepresentado por um processo de modulação entre o sinal contínuo e uma portadoraperiódica como um trem de pulsos de amplitude 1 e freqüência w0. Matematicamente,a modulação é representada pelo produto entre o sinal e a portadora. O sinal contínuodenotado x(t) é definido em qualquer instante de tempo.

A portadora considera um trem de pulsos unitários de período T0 dado por

p(t) =∞∑k=0

[u(t− kT0) − u(t− kT0 − hT0)] (2.23)

onde u(t) é a função degrau unitário. Admitindo h � T0, o sinal p(t) pode ser aproxi-mado por uma seqüência de impulsos, dada por

p(t) =∞∑k=0

δ(t− kT0). (2.24)

No caso ideal então, obtém-se o sinal amostrado como sendo dado pela convoluçãodo sinal com o trem de pulsos

xT (t) = x(t) ∗ p(t) = x(t)∞∑k=0

δ(t− kT0). (2.25)

Como resultado do processo de modulação, verifica-se em (2.25) que do sinal ori-ginal, resta apenas uma seqüência de impulsos de amplitude equivalente àquela dosinal original. Também como resultado da modulação, sabe-se que o sinal moduladoirá apresentar as características do sinal contínuo acrescido das mesmas característicascentradas em freqüências harmônicas em ±w0. Para que não ocorra sobreposição dasfreqüências originais com aquelas harmônicas, a freqüência de modulação, aqui no caso,a freqüência de amostragem, deve ser elevada o suficiente.

O limite da freqüência de amostragem, para que não haja sobreposição de espectrosé dado pelo teorema da amostragem (Isermann 1989).

Teorema 2.1 Um sinal x(t) com espectro limitado em banda ou seja X(w) = 0 para|w| ≤ wS pode ser reconstruído a partir dos seus valores amostrados X(kws) se afreqüência de amostragem w0 for tal que w0/2 ≥ wS ou w0 ≥ 2wS.

O teorema da amostragem estabelece então que a freqüência de amostragem deveser pelo menos o dobro a da freqüência (máxima) do espectro do sinal a ser amostrado.

Para uma análise mais detalhada do aspecto de informação contida no sinal amos-trado, empregam-se as técnicas de análise de Fourier dos sinais envolvidos. Desta formaé possível estabelecer relações matemáticas que determinam os fundamentos do teoremade amostragem.


2.1.5 Funções de transferência para sistemas discretizadosSejam a seqüência de entrada {u(kT0)} e a seqüência de saída {y(kT0)}, com k ∈ Z+ eT0 o período da amostragem. Para simplificar a notação usamos a seguir u(kT0) := u(k)e y(kT0) := y(k). Tratando-se de sistemas lineares pode-se descrever a saída como umaseqüência ponderada da entrada

y(k) =∞∑m=0

g(k,m)u(m) (2.26)

com

u(m) ={

1, i = m0, i = m

(2.27)

Supondo causalidade tem-se g(k,m) = 0 para k < m e portanto

y(k) =k∑

m=0

g(k,m)u(m) (2.28)

e supondo invariância no tempo tem-se g(k,m) = g(k −m) para k ≤ m e portanto

y(k) =k∑

m=0

g(k −m)u(m), k = 0, 1, ... (2.29)

Considere a sequência discreta descrita em (2.25). Utilizando a transformada deLaplace obtém-se

xT (s) = L[x(t) ∗ p(t)] = x(t)∑∞

k=0 δ(t− kT0)

=∑∞k=0 x(kT0)e−kT0s

(2.30)

lembrando que

L[δ(t− kT0)] =∫ ∞

k=0

δ(t− kT0)estdt = e−kT0s (2.31)

Diferentemente do caso contínuo, a transformada de Laplace dos sinais discretiza-dos resulta numa seqüência representada no somatório em (2.30). Da mesma forma,considerando-se o somatório de convolução em (2.29), o uso da transformada de Laplacecom auxílio de (2.30) produz a representação discretizada da função de transferência

G∗(s) :=y(s)u(s)

=∞∑k=0

g(kT0)e−kT0s (2.32)

A função de transferência relacionando entrada e saída discretas é então dada emtermos de uma seqüência infinita descrita no somatório em (2.32) e não na formulaçãoalgébrica de razão de polinômios como no caso contínuo. A análise de sistemas discretosportanto com o uso da transformada de Laplace não oferece simplificação do tratamentomatemático comum aos sistemas contínuos. A solução para isto é o uso da transformadaZ definida a seguir.


Transformada ZA transformada Z é uma aplicação matemática que faz corresponder a cada seqüênciade números, uma função da variável complexa z. A variável complexa “z” é definidacomo segue.

z = eT0s = eT0(τ+jω)

= eT0τ [cos(T0ω) + jsen(T0ω)](2.33)

ou s = 1T0ln(z). Usando (2.33) em (2.30) obtém-se a seguinte representação do sinal

discreto na variável “ z”

X(z) = Z[xT (t)] = Zx(kT0) =∑∞

0 x(kT0)z−k

= x(0) + x(T0)z−1 + x(2T0)z−2 + · · · (2.34)

x(z) é então uma série infinita de potências da variável “ z ” denominada transformada Zdo sinal discretizado em (2.30). Da mesma forma usando (2.33) obtém-se a transformadaZ da função discretizada em (2.32).

Em muitos casos é possível obter uma função explicita em “z ” que representa estasérie, utilizando propriedades de séries de potências, ou progressões aritméticas ou geo-métricas. A função assim obtida é referenciada como função em “ z ”.

Exemplo 2.3 Seja a função degrau unitário u(t) = 1(t). Na forma discreta tem-se

xT (t) = x(kT0) = 1(kT0) (2.35)

Aplicando a definição de transformada Z dada em (2.34) obtém-se

X(z) = 1 + z−1 + z−2 + · · · (2.36)

Observa-se que a função X(z) acima representa uma série geométrica do tipo

f(r) = a+ ar−1 + ar−2 + · · · (2.37)

e para tal série, sabe-se que,

f(r) =a

1 − r. (2.38)

No caso acima diz-se que a série f(r) converge para a função dada por a1−r . Assim,

fazendo a = 1 e r = z−1 tem-se a transformada Z da da função degrau

X(z) =1

1 − z−1=

z

z − 1. (2.39)

No Apêndice A são apresentadas as principais propriedades da transformada Z assimcomo uma tabela das transformadas de funções básicas. Um texto completo e didáticoem transformadas pode ser encontrado em Geromel e Palhares (2004).


2.1.6 Aproximação de sistemas contínuos

Aproximação da integração

A seguir resumimos os métodos usuais de obtenção de modelos discretos no tempo apartir de sistemas contínuos no tempo. Considerando constante o período de amostra-gem T0 := tk − tk−1 podemos aproximar a integral pela área sob uma curva contínuacomo um somatório de retângulos ou trapézios. No primeiro caso pode-se utilizar a fór-mula retangular anterior ou a fórmula retangular posterior e no segundo caso a fórmulatrapezoidal. Para exemplificar estas aproximações considere a integral do erro

u(t) =∫ t

0

e(τ)dτ. (2.40)

Fórmula retangular. Aplicando a aproximação retangular (2.40) anterior tem-se

u(k) =k−1∑j=0

e(j). (2.41)

Pode-se chegar então à seguinte equação recursiva a partir de (2.41)

u(k) = u(k − 1) + T0e(k − 1). (2.42)

A aproximação (2.42) é também referenciada como diferença anterior. Aplicando atransformada Z em (2.42), chega-se à seguinte função de transferência

u(z)e(z)

=T0z

−1

1 − z−1

=T0

z − 1. (2.43)

Finalmente, lembrando que a transformada de Laplace da integração é dada por 1s ,

para a obtenção da aproximação da forma discreta pode-se fazer para o caso da fórmularetangular anterior

s =z − 1T0

. (2.44)

Fórmula trapezoidal. A partir dosomatório dos trapézios formados nos instantes deamostragem k e k − 1 obtém-se o somatório das áreas obtidas com o valor médio dasamostras multiplicado pelo valor do período de amostragem T0, ou seja

e(k) =k−1∑i=0

(u(i) − u(i+ 1)

2

)T0.

A forma recursiva para u(k) é dada por

u(k) = u(k − 1) +T0

2(e(k) + e(k − 1)). (2.45)


A aproximação (2.45) é também referenciada como aproximação de Tustin ou bilinearcorresponde à aproximação da integral usando a regra trapezoidal. Na sua formulaçãoem termos da transformada Z vale então a aproximação dada por

u(z)e(z)

=T0

21 + z−1

1 − z−1(2.46)

=T0

2z + 1z − 1

Assim, usando a correspondência a (2.46) tem-se a equivalência

s =T0

2z − 1z + 1

. (2.47)

Aproximação da derivada

Esta aproximação pode ser obtida de maneira similar ao já visto ou substituindo aderivada contínua por uma equação a diferença da forma

de

dt≈ e(k) − e(k − 1)

T0. (2.48)

Usando a propriedade de transformada Z de um atraso no tempo, obtém-se a transfor-mada Z da aproximação da derivada (2.48) como segue

Z

[e(k) − e(k − 1)

T0

]=

1 − z−1

T0x(z) (2.49)

=z − 1T0z

x(z).

Lembrando que a aproximação (2.48) refere-se à derivada no tempo contínuo, no domíniode Laplace esta equivale a s, ou seja

d

dt→ s. (2.50)

Assim, para a obtenção da aproximação discreta da derivada pode-se fazer

s =z − 1T0z

. (2.51)

Mapeamento de pólos e zeros

Neste método, faz-se o mapeamento do plano s ao plano z pela definição da transfor-mada Z. Isto equivale a mapear os pólos/zeros do controlador do plano s para o planoz, tal que

z = eT0s (2.52)

sendo T0 adequadamente escolhido de forma a atender o teorema da amostragem. Por-tanto, se o controlador for obtido na sua forma contínua, por exemplo,

Gc(s) = Kc

∏mj=1(s+ βj)∏mi=1(z + αi)

(2.53)


através do mapeamento polo/zero chega-se a

GD(z) = KD

∏mj=1(z − eT0βj )∏mi=1(z − e−T0αi)

. (2.54)

O valor do ganho discreto KD equivalente deve ser obtido da condição de regime per-manente. Para a devida correspondência deve-se ter

|Gc(s)|s→0 = |GD(z)|z→1 . (2.55)

Método da resposta invariante ao degrau

Os procedimentos acima apresentam as técnicas usuais de discretização e fornecemresultados aproximados. Porém, é possível obter um modelo discreto exato amostrandoo sistema contínuo. A técnica mais usual é aquela que emprega a invariância ao degrau,pois produz uma resposta mais próxima à forma contínua e independe do período deamostragem. Neste caso, ambas G(s) e G(z) apresentam a característica de que as suasrespostas ao degrau y(t) e y(k) são iguais em t = kT0. Isto é conseguido quando

Z−1

[G(z)

11 − z−1

]= £−1

[G(s)

1s

]t=kT0

(2.56)

onde o lado esquerdo de (2.56) é igual a y(kT0) e o lado direito é igual a y(t) em t =kT0. Todos os outros procedimentos têm forte dependência do período de amostragem.Aplicando a trnasformada Z em (2.56) obtem-se

G(z) = (1 − z−1)Z[G(s)s

]= Z

[1 − e−sT0

sG(s)

]= Z[Gh(s)G(s)] (2.57)

onde Gh(s) é a função de transferência de um amostrador (em inglês, sample hold) deordem zero. Um segurador amostrador de ordem zero, como o próprio nome sugere,amostra o sinal e o retém por um período de amostragem. A Figura 2.6 ilustra oprocedimento de amostragem. Na Figura 2.6, o bloco D/A representa a conversãodigital/analógica e pode ser realizada com um decodificador e um segurador amostrador.Por outro lado, a conversão analógica/digital representada pelo bloco A/D pode serrealizada por um segurador amostrador, um quantizador e um codificador (Hemerley1996).

u(t) y(kT )y(t)u(kT )

A/DD/ASistema

G(s)

0 0

Figura 2.6: Diagrama de blocos de sistema a malha aberta amostrado.


A função de transferência do segurador amostrador de ordem zero pode ser obtidaa partir da transformada de Laplace de um trem de pulso de peso 1 e duração T0

p(t) = 1(t) − 1(t− T0) (2.58)

onde 1(t) é a função degrau unitário. Assim, obtém-se

ZOH(s) = £(p(t)) (2.59)= (1 − e−sT0)/s.

obtendo o diagrama da Figura 2.7, com δ(t) designando a função impulso de Dirac.

� (t-kT )

y(t)u kT )( u(t)

(1-e ) /sSistema

G(s)

y kT )(

0

00-sT

0

Figura 2.7: Diagrama de blocos do procedimento de conversão de sinais.

A função de transferência de u(kT0) a y(kT0) na Figura 2.6 incluindo os componentesA/D e D/A pode ser dada por

G(z) = Z(1 − e−sT0

s)G(s)) (2.60)

= (1 − z−1)Z(G(s)s

).

usando a relação entre os planos s e z dada por z = esT0 e a transformada de LaplaceZOH(s). No Matlab pode-se usar o comando c2d (com hold).

Obtenção da função transferência discreta a partir da equação a diferença

Considere a descrição de um determinado processo dada na forma de uma equaçãodiferença do tipo

y(k)+a1y(k−1)+a2y(k−2)+· · ·+amy(k−m) = b0u(k−1)+b1u(k−2)+· · ·+bmu(k−m)(2.61)

através das propriedades do operador avanço e/ou atraso da transformada Z, pode-serescrever (2.61) como

y(z)+y(z)a1z−1+y(z)a2z

−2+ · · ·+y(z)amz−m = u(z)b0+u(z)b1z−1+ · · ·+u(z)bmz−m

(2.62)Então, a sua função de transferência é dada por

G(z) =b0 + b1z

−1 + · · · + bmz−m

a1z−1 + a2z−2 · · · + amz−m(2.63)


2.2 Descrição Espaço de Estado

2.2.1 Sistemas contínuos no tempoEquações diferenciais podem ser descritas como um conjunto de equações diferenciaisde 1a ordem simultâneas. Estas equações são representadas na forma espaço de estadocomo uma equação vetorial

x = f(t, x, u)y = h(t, x, u) (2.64)

com u ∈ �m a entrada, y ∈ �q a saída e x ∈ �n o chamado estado e f(., ., .) e g(., ., .)funções vetoriais. Para o caso linear pode-se escrever

x = A(t)x +B(t)uy = C(t)x +D(t)u (2.65)

com A(.), B(.), C(.) e D(.) matrizes n×n, n×m, q×n e q×m e t ∈ (−∞,∞). Para sim-plificar a notação, em geral refere-se a este sistema como sistema (A(.), B(.), C(.), D(.)).A primeira equação é a equação de estado e a segunda a equação da saída. Para qualquerrealização (A(.), B(.), C(.), D(.)) existe a realização dual dada por (A′(.), C′(.), B′(.), D′(.)).

Definição 2.5 O estado de um sistema em t0, x(t0), é a quantidade de informaçãoem t0 que, juntamente com u ∈ [t − 0,∞) determina unicamente o comportamento dosistema para todo t ≥ t0.

Considerando a invariância no tempo tem-se a representação na forma espaço deestado

x = Ax+Buy = Cx+Du

(2.66)

com A,B,C e D matrizes constantes.Um sistema com uma entrada (m = 1) e uma saída (q = 1) é chamado sistema SISO

das iniciais de single input and single output, se não for o caso o sistema é chamadoMIMO das iniciais de multiple input and multiple output.

A obtenção da relação entrada/saída é feita e aplicando a transformada de Laplaceem (2.66) considerando x0 = 0

G(s) = [C(sI −A)−1B +D]u(s) (2.67)

o qual pode ser escrito na forma

G(s) =C[adj(sI − A)]B

det(sI −A)+D =

Cadj[(sI −A)]B +D det(sI −A)det(sI −A)

(2.68)

Supõe-se queG(s) tem posto completo e que Posto(G(s) = min(p,m) := r. O polinômiodado por det(sI−A) é o chamado polinômio característico de A e é denotado por Δ(s).

A seguinte notação para sistemas dinâmicos lineares é freqüentemente usada.[A BC D

]:= C(sI −A)

2.2. DESCRIÇÃO ESPAÇO DE ESTADO 23

�

Figura 2.8: Diagrama de blocos do sistema dinâmico.

O modelo espaço de estado (A,B,C,D) tal que G(s) = C(sI−A)B−1+D é denominadouma realização espaço de estado de G(s). O diagrama de blocos do sistema para arepresentação espaço de estado é mostrado na Figura 2.8.

Teorema 2.2 A solução x(t) do sistema (2.66) é dada por

x(t) = eA(t−t0)x0 +∫ t

o

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.69)

Prova. Aplicando a transformada de Laplace em (2.69) obtém-se

sx(s) − x0 = Ax(s) + Bu(s) (2.70)

o que fornecex(s) = (sI −A)−1x0 + sI −A)−1Bu(s) (2.71)

ey(s) = (sI −A)−1x0 + [C(sI −A)−1B +D]u(s) (2.72)

A partir da aproximação em série de Taylor em t = 0 para eAt dada por

eAt = eAt|t=0 +∂

∂teAt|t=0t+ ...+

∂n

∂tneAt|t=0t

n (2.73)

pode-se obter

(sI − A)−1 =I

s+A

s2+A2

s3+ ... (2.74)

pode-se obter

eAt =∞∑k=0

1k!tkAk (2.75)

A partir da transformada de Laplace

L[eAt] =∫ ∞

0

∞∑k=0

1k!tkAkdt (2.76)


e usando L[ tk

k! ] = s−(k+1) pode-se verificar que L[eAt] = s−1∑

(s−1A)k. Uma vez que(f(s) = (1−s)−1 = 1+s+s2+ .... =

∑∞k=0 s

k pode-se obter∑

(s−1A)k = (I−s−1A)−1.Desta forma pode-se escrever s−1(I − s−1A)−1 = s−1 (sI−A)−1

s−1 = (sI −A)−1 e portanto

L[eAt] = (sI −A)−1. (2.77)

Considerando a aproximação de eAt em torno de t = t0 obtém-se

x(t) = eA(t−t0)x0 +∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ) (2.78)

notando que o segundo termo de x(t) é a convolução de exp(At) com Bu(t).A solução y(t) é dada por

y(t) = CeA(t−t0)x0 +∫ t

0

[CeA(t−τ)B +Dδ(t− τ)]u(τ)dτ (2.79)

�

Suponha u(t) = 0. Tem-se então a resposta à entrada nula:

x(t) = eA(t−t0)x0 (2.80)

DenotandoΦ(t, t0) = eA(t−t0) (2.81)

pode-se escrevers(t) = Φ(t, t0)x0 (2.82)

A matriz (2.81) é a chamada matriz de transição de estado a qual descreve a propagaçãodo estado de t0 ao tempo t. Pode ser interpretada como um operador.

Suponha agora x0 = 0, tem-se então a resposta ao estado zero

x(t) =∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ) (2.83)

y(t) =∫ t

0

[CeA(t−τ)B +Dδ(t− τ)]u(τ)dτ (2.84)

s(t) = Φ(t, t0)x0 é chamada resposta à entrada nula e G(t) = CeA(t−τ)B + Dδ(t) é achamada resposta impulsional.

Notação 2.2 A solução do sistema (A,B) é dada por s(t) = s(t; t0, x0, 0)+s(t; t0, 0, u)

Polos e zeros sistems multivariáveis

Para os sistemas SISO conforme já visto os valores de zi tais que G(zi) = 0 são os zerose os valores de pi tais que G(pi) = ∞ os polos. Note que estes valores de pi são as raízesdo denominador de G(s). Para uma realização (A,B,C,D) mínima os polos do sistemasão as raízes de det(sI −A), i.e. os autovalores da matriz A.


A função de transferência para o caso MIMO é uma matriz de funções de transfe-rência de sistemas SISO. Os polos são dados pela união dos polos de cada elemento deG(s) e correspondem aos autovalores da matriz A. Para uma realização mínima, a mul-tiplicidade dos polos é dada pela multiplicidade dos autovalores de A. Os polos podemtambém ser obtidos a partir dos valores de s tal que posto[G(s)] = min[q,m]. No casode matrizes quadradas quando o sistema tem o mesmo número de entradas e saídas,os zeros zi podem ser obtidos resolvendo det(G(zi)) = 0. Para sistemas controláveis eobserváveis esta condição implica que a saída deve ser zero para alguma entrada u(zi)não nula i. e. G(zi)u(zi) = y(zi) = 0. Na forma matricial os zeros zi podem ser obtidosa partir da solução do sistema de equações algébricas[

sI −A −BC D

] [x(s)u(s)

]=

[00

](2.85)

o que implica [sI −A −BC D

]= 0 (2.86)

Uma boa discussão de polos e zeros pode ser encontrada em Kailath (1980) e Zhou(1998). No caso de matrizes quadradas quando o sistema tem o mesmo número deentradas e saídas, os zeros zi podem ser obtidos resolvendo det(G(zi)) = 0.

Exercício 2.1 Dado o sistema (A,B,C,D) abaixo

x = Ax+Bu (2.87)y = Cx+Du (2.88)

com A=[], B=[ ], C=[] e D=[], pede-se a) os zeros usando as 2 maneiras dadas e ospolos.

Modos

A resposta impulsional de um sistema dinâmico é composta de uma combinação determos chamados modos os quais são determinados pelos polos pi. Os modos são do tipoepit, i = 1, 2, ..., n, epit, tepit, t2epit, ..., tmepit, eRe(pi)t cos(Im(pi)t), eRe(pi)tsen(Im(pi)t)para o caso de polos reais simples, polos de multiplicidade m e polos complexos.

Exemplo 2.4 Considere a função de transferência

G(s) =s+ 4

(s+ 1)(s2 + 2s+ 5)

A resposta impulsional g(t) é da forma

g(t) = c1e−2t + c2e

−1+2j + c3e−1−2j (2.89)

Pede-se os polos pi e os coeficientes c1, c2, c3 usando a transformada inversa de Laplace.


Solução. Por inspeção da resposta impulsional tem-se que os polos são −2,−1 ± 2j.No Matlab utiliza-se os comandos� syms t s;� num = (s+ 1); den = (s+ 2) ∗ (s2 + 2 ∗ s+ 5);� ilaplace(num, den);fornecendo

g(t) =34e−t − 3

4e−tcos2t+

12e−tsen2t

�

2.2.2 Sistemas discretos no tempoSimilarmente ao caso contínuo, as equações a diferença podem ser descritas como umconjunto de equações a diferenca de 1a ordem simultâneas. A forma espaço de estadoum sistema discreto linear e invariante no tempo para T0 = 1 é da forma

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)y(k) = Cx(k) +Du(k) (2.90)

com A,B,C e D matrizes constantes.

Solução da equação de estado discreta

Similarmente ao caso contínuo pode-se obter a solução da equação de estado no domínioda freqüência via transformada Z. A transformada Z de x(k) denotada por x(z) édefinida como

x(z) = Z[x(k)] =∞∑k=0

x(k)z−k (2.91)

Então,

Z[x(k + 1)] =∞∑k=0

x(k + 1)z−k = z

∞)∑k=0

x(k + 1)z−(k+1) (2.92)

Definindo = k + 1, somando e subtraindo x(0) no somador tem-se

Z[x(k + 1)] = z[∞∑�=1

x()z−� − x(0)] = z[x(z) − x(0)] (2.93)

desde que∑∞�=1 x() = x(z) − x(0). Aplicando portanto a transformada Z na equação

espaço de estado acima tem-se:

zx(z) − zx0 = Ax(z) +Bu(z) (2.94)

A solução da equação de estado (2.90) é da forma

x(z) = (zI −A)−1zx0 + (zI −A)−1Bu(z) (2.95)

e daqui,y(z) = C(zI −A)−1zx0 +G(z)u(z) (2.96)


O primeiro termo de y(z) é a saída devido a entrada nula e o segundo termo a saídadevido ao estado zero.

A solução do sistema discreto espaço de estado pode ser obtida a partir da funçãode transferência discreta a qual pode ser obtida como

G(z) = C(zI −A)−1B +D (2.97)

Pode-se tirar a transformada inversa de x(z) e y(z) para obter, similarmente ao casocontínuo as soluções para k > 0

x(k) = Akx0 +k−1∑i=0

Ak−i−1Bu(i) (2.98)

e

y(k) = CAkx0 +k−1∑i=0

CAk−i−1Bu(i) +Du(k) (2.99)

A resposta impulsional pode ser então obtida como

G(k) ={D, k = 0CAk−1B, k > 0 (2.100)

2.2.3 Aproximação de sistemas contínuosResposta invariante ao degrau

Como no caso da representação entrada-saída de sistemas, podemos obter o sistemana forma espaço de estado discreto a partir de um sistema contínuo via um segurador-amostrador. Considerando um conversor D/A segurador de ordem zero tem-se

u(t) = u(kT0), kT ≤ kT0 + T0. (2.101)

Seja t ∈ (kT0, kT0 + T0). Pode-se então, escrever a solução das equações discretaspara t = kT0 + T0 e t0 = kT0 a partir da solução do sistema contínuo no tempo x(t)apresentada anteriormente como

x(kT0 + T0) = eAT0x(kT0) +∫ kT0+T0

kT0

eA(kT0+T0−τ)Bu(τ)dτ (2.102)

agora definindo η = kT0 + T0 − τ , tem-se dη = −dτ e τ → kT0 e η = τ ; τ → kT0 + T0

tem-se η = 0então

x(kT0 + T0) = eAT0x(kT0) +[∫ 0

T0

eAηdη

]Bu(kT0) (2.103)

e, finalmente

x(kT0 + T0) = eAT0x(kT0) +

[∫ T0

0

eAηdη

]Bu(kT0) = Fx(kT0) +Gu(kT0) (2.104)

com as matrizes F e G definidas de acordo.


Transformação bilinear ou aproximação de Tustin

Na transformação de Tustin, a relação entre a variável s da transformada de Laplace ea variável z da transformada Z é dada por (2.47). Se o sistema é dado na forma espaçode estado

x = Ax+Buy = Cx+Du

(2.105)

utiliza-se a transformada de Laplace, a relação entre s e z apresentada acima e Z[x(s)] :=Z[L−1[x(s)]] para obter a equação no domínio do tempo

x(k + 1) − x(k) =AT0

2(x(k + 1) + x(k)) +

BT0

2(u(k + 1) + u(k)). (2.106)

Agrupando os termos em k+ 1, tem-se x(k+ 1)− AT02 x(k + 1)− BT0

2 u(k+ 1) = x(k) +AT02 x(k) + BT0

2 u(k).Definindo

x(k + 1) − AT0

2x(k + 1) − BT0

2u(k + 1) :=

√T0z(k + 1) (2.107)

no tempo k tem-se

(I − AT0

2)x(k) =

√T0z(k) +

BT0

2u(k) (2.108)

que fornece

x(k) = (I +AT0

2)−1

√T0z(k) + (I − AT0

2)−1B

√T0u(k). (2.109)

Substituindo x(k) acima na equação para x(k + 1) obtém-se

z(k + 1) = (I +AT0

2)(I +

AT0

2)−1z(k) + (I +

AT0

2)−1B

√T0u(k). (2.110)

Para obter a equação de saída discretizada substitui-se x(k) na equação de saídacontínua.

Em resumo, podemos escrever o sistema discretizado correspondente

z(k + 1) = Fz(k) +Gu(k)y(k) = Hz(k) + Ju(k) (2.111)

com F = [I + AT02 ][I + AT0

2 ]−1, G = (I − AT02 )−1B

√T0, H =

√T0C(I − AT0

2 )−1,J =

{D + C(I − AT0

2 )−1BT02

}.

No Matlab a seguinte forma espaço de estado é dada para a transformação Tustin[Ad BdCd Dd

]=

[(βA − δI)(αI − γA)−1 (αβ − γδ)(αI − γA)−1BC(αI − γA)−1 D + γC(αI − γA)−1B

](2.112)

com s = az+δγz+β e α = 2, δ = −2, γ = T0, β = T0 .

Comandos Matlab para esta transformação: sysd = c2d(sysc, T0,′ tustin′), com sysc

o sistema contínuo na forma sysc = ss(A,B,C,D) e T0 o tempo de amostragem. Paraobter as matrizes do sistema discretizado utilizar [Ad,Bd,Cd,Dd] = ssdata(sysd)

2.3. SISTEMAS LINEARES COM ATRASO 29

2.2.4 Sistemas equivalentes

É fácil verificar que um dado sistema de equações diferenciais pode ter muitas descriçõesespaço de estado. A realização espaço de estado de uma função de transferência não éúnica. Através de uma mudança de variáveis

x = T x (2.113)

com T não singular pode-se obter outra realização. Desde que existe uma infinidade dematrizes T existe uma infinidade de realizações.

Definição 2.6 Seja T uma matriz n × n não singular com coeficientes no corpo dosnúmeros complexos C, e defina x = T x. Então

x = Ax+ Buy = Cx+ Du

(2.114)

é equivalente ao sistema (A,B,C,D) com A = T−1AT , B = T−1B, C = CT , D = De T é a transformação de equivalência.

A relação A = T−1AT é conhecida como transformação de similaridade, A e A sãochamadas matrizes similares representando o mesmo operador.

Definição 2.7 Dois sistemas são estado-zero equivalentes se e só se têm a mesmamatriz resposta impulsional. São entrada-nula equivalentes se e só se para qualquercondição inicial x(t0) existir um estado inicial e vice-versa tal que os dois sistemastenham a mesma resposta a entrada-nula.

Teorema 2.3 Dois sistemas equivalentes a saída é estado-zero e entrada-nula equiva-lentes.

Prova. A primeira parte do teorema pode ser mostrada da seguinte forma. A matrizresposta impulsional do sistema (A,B,C,D) é da forma G(t) = CeAtB +Dδ(t) e parao sistema (A, B, C, D) é G(t) = CeAtB + Dδ(t). Se os dois sistemas são equivalentes,tem-se A = T−1AT , B = T−1B, C = CT , D = D. Conseqüentemente, eAt = T−1eAtTe CeAtB + Dδ(t) = CeAtB + Dδ(t). Assim, os dois sistemas são estado-zero equiva-lentes. A segunda parte é mostrada como segue. A resposta entrada-nula do sistema(A,B,C,D) é y(t) = CeA(t−t0)x0 e a resposta do (A, B, C, D) é y(t) = CeA(t−t0)x0.Então, se escolhermos x0 = T−1x0 os dois sistemas apresentam a mesma resposta aoestado-zero. �

2.3 Sistemas Lineares com Atraso

Os sistemas lineares com atraso podem ser descritos por equações do tipo diferencial-diferença, uma equação em variáveis com argumentos que diferem por um número fixode valores. Considera-se equações nas quais derivadas e diferenças aparecem em váriasordens com ordens diferencial e diferença significando a ordem da mais alta derivada e o


número dos argumentos distintos, respectivamente. Uma equação diferencial-diferençapossui a forma

F (t, u(t), u(t− ω1), ..., u(t− ωm), ·, u(t), · · · , u(t− ω1), · · · , u(t− ωm), · · · , u(n)(t),u(n) (t− ω1), · · · , u(n)(t− ωm)) = 0 (2.115)

onde F é uma função dada de 1+(m+1)(n+1) variáveis, e os números reais ω1, ..., ωmsão chamados retardos.

Exemplo 2.5 Considere as equações diferencial-diferença

1. u(t) − u(t− 1) + u(t) = 0

2. u(t) − u(t− 1) + u(t−√2) = 0

3. u(t) − 2u(t) + u(t− 1) − 2u(t− 1) = 0.

A primeira possui ordem 2 nas derivadas e ordem 1 nas diferenças, a segunda ordem 1nas derivadas e ordem 2 nas diferenças e a terceira ordem 1 nas derivadass e ordem 1nas diferenças.

2.3.1 Equações lineares com coeficientes e retardos constantesUma equação diferencial-diferença linear de ordem differential n e ordem diferença mpode ser escrita na forma

n∑j=0

m∑i=0

aij(t)u(j)(t− ωi) = f(t). (2.116)

A equaçãon∑j=0

m∑i=0

aiju(j)(t− ωi) = 0 (2.117)

é chamada equação diferencial linear homogênea com coeficientes e retardos constantes.Considera-se que 0 = ω0 < ω1 < ω2 < ... < ωm−1 < ωm. Na literatura encontra-se aseguinte classificação (El’sgol’ts e Norkin 1973).

1. Se an0 = 0, enquanto o outro ain = 0,i = 1, ...,m, isto é,

un(t) +n−1∑j=0

m∑i=0

aiju(j)(t− ωi) = 0

então (2.116) é uma é uma equação diferencial-diferença do tipo retardo.

2. Se an0 = 0, mas, se somente para i0 ∈ {1, ...,m}, ai0n = 0, isto é

ai0nun(t− ωi0) +

n−1∑j=0

m∑i=0


então (2.116) é uma equação diferencial-diferença do tipo avançado.


3. Se an0 = 0, e, se somente para um i0 ∈ {1, ...,m}, ai0n = 0, isto é

a0nun(t) + ai0nu

n(t− ωi0) +n∑j=1

m∑i=0


então (2.116) é uma é uma equação diferencial-diferença do tipo neutral.

Uma solução particular (2.116) é da forma

u(t) = est (2.118)

onde s é uma constante. Substituindo (2.118) em (2.116) e cancelando est, obtém-se aequação característica

m∑i=0

n∑j=0

aije−wissj = 0 (2.119)

O lado esquerdo de (2.119) denotado Δ(s)

Δ(s) =m∑i=0

n∑j=0

aije−wissj (2.120)

é chamado função característica. Multiplicando (2.120) por eωms, obtém-se

δ(s) = eωmΔ(s) =m∑i=0

n∑j=0

aije(ωm−ωi)ssj (2.121)

o qual é chamado quasipolinômio característico. O quasi-polinômio (2.121) possui umconjunto infinito de raízes, cada raiz sk corresponde à solução u(t) = eskt. Combinaçõeslineares de soluções

∑Mk=0 Cke

skt com coeficientes constantes e mesmo a soma das sériesinfinitas ∞∑

k=0

Ckeskt (2.122)

de soluções, se a série (2.122) converge e admite n successivas differenciações, são solu-ções de (2.116).

Se todos os coeficientes aij são reais, então as raízes complexas s = p ± iq de(2.121) correspondem à solução complexa u(t) = e(p±iq)t ou às soluções reais eptcos(qt) eeptsin(qt), as quais são as partes reais e imaginárias correspondentes da solução e(p±iq)t.

2.3.2 Localização das raízes de quasipolinômiosO quasi-polinômio é uma função analítica. Se a função δ(s) não degenera em umpolinomial, então δ(s) possui um conjunto de zeros infinitos, o único ponto limite é oinfinito. Se (2.116) é uma equação com o argumento retardo, então todas as raízes skdo quasi-polinômio δ(s) situam-se no semi-plano esquerdo, i.e., Re(sk) ≤ N .

No caso (2.116) é do tipo avançado, então todas as raízes sk do quasi-polinômio δ(s)situam-se no semi-plano direito, i.e., Re(sk) ≥ −σ, com σ um escalar positivo. No caso(2.116) é do tipo neutral, então todas as raízes sk do quasi-polinômio δ(s) situam-seno semi-plano direito Re(sk) ≤ σ. Uma peculiaridade das localização das raízes doquasi-polinômio δ(s) correspondendo a (2.116) do tipo neutral é que sempre existemsequências de raízes assimptóticas para as quais k → ∞, Re(sk) → α <∞.


Exemplo 2.6 Obter as raízes assimptóticas do quasi-polinômio correspondente de u(t)+au(t − 1) = 0. A equação característica da equação diferencial-diferença acima és+ ae−s = 0, e o quasi-polinômio característico é δ(s) = ses + a. As raízes de δ(s) são

sk = −ln∣∣∣∣2πka

∣∣∣∣± (12sgn(a) + 2k)πi+O(

ln(k)k

) (2.123)

com O(.) a ordem de grandeza do erro e k = 0,±1,±2, · · · .Exemplo 2.7 Obter as raízes assimptóticas do quasi-polinômio para a seguinte equaçãodo tipo neutral

u(t) + au(t− 1) + bu(t− 1) = 0, a = 0.

A equação característica desta equação tem a forma s + (as + b)e−s = 0. Obtém-seentão as seguintes raízes para δ(s) = ses + (as+ b)

sk = +ln(−a)± 2kπi+O(1k

), a < 0

sk = +ln(a) ± (2k + 1)πi+O(1k

), a > 0 (2.124)

Para investigar a estabilidade da solução de (2.116) do tipo neutral dois casos im-portantes precisam ser considerados:

1. Caso assimptótico crítico: Para todas as raízes do quasi-polinômio caracte-rístico δ(s), tem-se a desigualdade Re(sk) < 0 e existe uma sequência de raízesarbitrariamente próximas do eixo imaginário.

2. Case supercrítico : Para todas as raízes do quasi-polinômio característico δ(s),tem-se a desigualdade Re(sk) ≤ 0 e existe uma sequência infinita de raízes simplesimaginárias puras.

2.3.3 Polinômios exponenciaisSeja h(z, t) um polinômio nas variáveis z e t com coeficientes constantes

h(z, t) =∑mi=0

∑nj=0 aijt

izj

= (∑m

i=0 ainti) + (

∑j=0m ai n−1t

i)zn−1 + ...+ (∑j=0

m ai0ti)

= (amntm + am−1,ntm−1 + ...+ aa,nt+ a0,n)zn

+(am,n−1tm + am−1 n−1 + ...+ a1n−1t+ a0 n−1)zn−1

...+(am,1tm + am−1 1t

m−1 + ...+ a11t+ a01)z+(am,0tm + am−1 0t

m−1 + ...+ a10t+ a00).

(2.125)

O termo amntmzn é denominado termo principal do polinômio h(z, t), se amn = 0. Afunção da forma h(z, ez), onde h(z, t) é um polinômio em duas variáveis z e t, é chamadopolinômio exponencial.

Exemplo 2.8 Considere os seguintes polinômios

1. h(z, t) = t2z3 − t4 + 9z5,m = 5, n = 4


2. h(z, t) = t2z3 − 4tz3 + 6t2 + 3z3 − 10,m = 2, n = 3

3. h(z, t) = 2tz − t+ z,m = 1, n = 1

Exceto o primeiro caso o qual não tem termo principal pois a54 = 0, os termos principaisdo segundo e terceiro quasipolinomial são t2z3, 2tz, respectivamente.

Teorema 2.4 Se o polinômio h(z, t) não possui termo principal, a função h(z, ez) pos-sui um número ilimitado de zeros com parte real positiva arbitrariamente grande.

2.3.4 Zeros de polinômios exponenciaisConsidere novamente o problema da localização dos zeros de h(z, ez) na presença determo principal. O polinômio correspondente pode ser escrito na forma

h(z, t) = znX ∗(n)(t) +m∑i=0

n−1∑j=0

aijtizj (2.126)

onde X ∗(n)(t) =∑mj=0 ajnt

i = amntm + am−1,nt

m−1 + · · · + a1,nt+ a0n.

Exemplo 2.9 Considere os seguintes polinômios.

1. h(z, t) = z2t3 − zt+ 5z2 − t3

2. h(z, t) = z5t7 − 4z4t6 + 6z5t3 − 5t2z5

3. h(z, t) = 2zt− t+ z

Os polinômios X ∗(n)(t) correspondentes são, respectivamente, X ∗(2)(t) = t3 + 5,X ∗(5)(t) = t7 + 6t3 − 5t2 e X ∗(1)(t) = 2t+ 1.

Seja a função característica H(z). Para z = jω com ω real, a função H(jω) podeser escrita em termos de sua parte real e imaginária, H(jω) = fr(ω, cos(ω), sin(ω))+jfi(ω, cos(ω), sin(ω)), com fr(ω, u, v) e fi(ω, u, v) polinômios com coeficientes reais econstantes com respeito a ω, u e v.

Considere f(z, u, v) um polinômio representado na forma

f(z, u, v) =∑i,j

ziφ(j)i (u, v) (2.127)

com φ(j)i (u, v) denotando o polinômio de grau j, o qual é homogênio em u e v, isto é, a

soma dos expoentes de u e v é j. O termo principal no polinômio f(z, u, v) é o termoznφ

(m)n (u, v) para o qual i and j atingem os seus valores máximos. Seja φ∗(m)(u, v) o

coeficiente de zn em f(z, u, v) tal que

φ∗(m)(u, v) =∑i≤m

φ(i)n (u, v) (2.128)

e defina Φ∗(m)(z) = φ∗(m)(cos z, sin z). A notação acima é esclarecida no seguinteexemplo.


Exemplo 2.10 Considere H(z) = aez + b− sez. Para ω real escreva H(jω) em termosde suas partes reais e imaginárias fr(ω, u, v) = au + ωv + b e fi(ω, u, v) = av − ωu,respectivamente, com n = 1, m = 1. Também, fr(ω, u, v) e fi(ω, u, v) tem φ∗(1)(u, v) =v e φ∗(1)(u, v) = −u, respectivamente.

Supondo u = cos(z) e v = sin(z) em (2.127) define-se F (z) = f(z, cos(z), sin(z)).O resultado de Pontryagin sobre os zeros da função F (z) é enunciado com segue(Pontryagin 1955) and (Bellman e Cooke 1963).

Teorema 2.5 Seja f(z, u, v) um polinômio com termo principal znφ(m)p (u, v). Se ε é

tal que Φ∗(m)(ε + jω) não assume o valor zero para ω real, então na faixa −2π + ε ≤x ≤ 2π + ε, z = x + jω a função F (z) = f(z, cos(z), sin(z)) terá, para todos valoressuficientemente grandes de , exatamente 4m + n zeros. Assim, para a função F (z)possuir somente raizes reais, é necessário e suficiente que no intervalo −2π+ ε ≤ x ≤2π+ ε tenha exatamente 4m+n raízes reais iniciando com . suficientemente grande.

Seja F (ω) = f(ω, cos(ω), sin(ω)) uma função transcendental inteira no argumentoreal ω, o qual assume valores reais. Para encontrar o número de zeros de F (ω) nointervalo, Theorem 2.5 é enunciado na seguinte forma.

Teorema 2.6 Considere funções transcendentais reais fr(ω, cos(ω), sin(ω)) efi(ω, cos(ω), sin(ω)) tal que H(jω) = fr(ω, cos(ω), sin(ω)) + jfi(ω, cos(ω), sin(ω)). Su-ponha que fr(ω, u, v) e fi(ω, u, v) sejam polinômios com termo principal da formaωnφ

(m)n (u, v). Seja η uma constante apropriada tal que φ∗(m)(u, v) in fr(ω, u, v) e fi(ω, u, v)

não se anula em ω = η. então, para as equações Fr(ω) = 0 ou Fi(ω) = 0 só possui-rem raízes reais é necessário e suficiente que no intervalo −2π + η ≤ ω ≤ 2π + η,fr(ω, u, v) e fi(ω, u, v) tem exatamente 4m+ n raízes reais iniciando com sufficien-temente grande.

A aplicação do Teorema 2.6 é ilustrada no seguinte exemplo (Oliveira et al. 2003).

Exemplo 2.11 Considere o Exemplo 2.10 dado anteriormente para a < 1 e a < −b <√a21 + a2 onde a1 é a raiz de ω = a tan(ω) tal que 0 < ω < π. Se a = 0 adota-se

a1 = π/2. Afirma-se que Fi(ω) = a sin(ω) − ω cos(ω) = 0 tem somente raízes reais esimples. De fato, a partir de Fi(ω) = 0 pode-se escrever tan(ω) = ω/a. Usando oTeorema 2.6 escolhe-se η = 0 uma vez que Φ∗(1)(ω) = − cos(ω) = 0 para ω = η. Éfácil ver graficamente que quando a < 1, Fi(ω) tem 4 + 1 raízes reais no intervalo−2π ≤ ω ≤ 2π , = 1, 2, . . .. Segue, portanto, que Fi(ω) tem somente raízes reais.

2.4 LinearizaçãoConsidere um sistema da forma

x = F (x;u) (2.129)

onde x é o vetor de estado, u o vetor de controle e F (., .) uma função suave.

Definição 2.8 Um estado x0 é um estado de equilíbrio ou ponto de equilíbrio do sistemase uma vez igual x(t) igual a x0, x(t) permanece em x0 para todo tempo futuro.

2.4. LINEARIZAÇÃO 35

Podemos estudar o comportamento de sistemas na vizinhança do ponto de equilí-brio), fazendo uma linearização neste ponto. Suponha que xe, ue seja um ponto fixo de(2.129). Para uma pequena perturbação ξ e v tem-se

x = xe + ξ, u = ue + v. (2.130)

Substituindo agora (2.130) em (2.129) obtém-se

ξ = F (xe + ξ, ue + v) (2.131)

Assim, transforma-se o ponto de equilíbrio (xe, ue) de (2.129) no ponto (ξe, ve) de(2.131).

2.4.1 Aproximação de TaylorSupondo F na classe de funções diferenciáveis C2, no mínimo, pode-se expandir (2.131)em uma série de Taylor em torno do ponto (xe, ue), e então

ξ = F (xe, ue) + [gradxF ]T∣∣xe,ue

ξ + [graduF ]T∣∣xe,ue

v + (termos ordem superior)

onde [gradxF ]T = ∂F∂x e [graduF ]T = ∂F

∂x são as matrizes Jacobianas de F (x, u) emrelação a x e u, respectivamente. Dessa forma

ξ ≈ [gradxF ]T∣∣xe,ue

xi+ [graduF ]T∣∣xe,ue

v = Aξ +Bv (2.132)

com A e B calculadas em (xe, ue)

A =

⎡⎢⎢⎢⎣∂F1∂x1

∂F1∂x2

· · · ∂F1∂xn

∂F2∂x1

∂F2∂x2

· · · ∂F2∂xn

· · · · · · ... · · ·∂Fn

∂x1

∂Fn

∂x2· · · ∂Fn

∂xn

⎤⎥⎥⎥⎦x=xe,u=ue

B =

⎡⎢⎢⎢⎣∂F1∂u1

∂F1∂u2

· · · ∂F1∂um

∂F2∂u1

∂F2∂u2

· · · ∂F2∂um

· · · · · · ... · · ·∂Fn

∂u1

∂Fn

∂u2· · · ∂Fn

∂um

⎤⎥⎥⎥⎦x=xe,u=ue

Exercício 2.2 A equação para o nível do sistema de escoamento ilustrado na Figura2.9 é da seguinte forma

h =1AT

(Qi −Qo) (2.133)

onde Qo é a vazão de saída e Qi = K√

(h) é a vazão de entrada com K = nfAf√

(2g)para nf o número de furos e AT a área do trapézio. Para K = 0.13E − 2m3s−1/2 eAT = 6.75E−3m2 pede-se a equação do sistema linearizado para o nível em torno dehe = 0.08m.

2.4.2 Fórmula de linearização de Teixeira & ŻakConsidere x um ponto de operação, não necessariamente um ponto de equilíbrio. Oobjetivo é obter matrizes A e B de dimensões apropriadas, tais que na vizinhança de xo sistema (10.7) possa ser descrito por

F (x) +G(x)u ≈ Ax+Bu


Figura 2.9: Sistema de escoamento.

eF (x) +G(x)u = Ax+Bu

para F (.), G(.), x e u como anteriormente definidos. Dado que u é arbitrário, tem-seG(x) = B. Desta forma o procedimento se reduz a encontrar a matriz A tal que navizinhança de x tem-se

F (x) ≈ Ax (2.134)

eF (x) = Ax. (2.135)

Seja aTi a i-ésima linha da matriz A. Então (2.134) pode ser representado por

Fi(x) ≈ aTi x e Fi(x) ≈ aTi x, i = 1, 2, · · · , n (2.136)

onde o i-ésimo componente de F é Fi : �n → �. Expandindo (2.136) em torno de x edesprezando os termos de ordem superior a dois tem-se

Fi(x) + ∇TFi(x)(x− x) ≈ aTi (x− x) (2.137)

O objetivo é encontrar ai que seja o mais próximo possível de ∇TFi(x) e satisfaz aTi x =∇TFi(x). Seja

E =12‖∇TFi(x) − aTi ‖ (2.138)

sendo [gradxF ]T = ∂F∂x o vetor gradiente de Fi(x). Pode-se chegar ao seguinte problema

de otimização convexo

minimizarai Esujeito a aTi x = Fi(x). (2.139)

Uma condição necessária de primeira ordem para o mímino de E é também suficiente(Chong e Zak 1996). As condições de primeira ordem para o problema de otimização(2.139) são

∇aiE + λ∇ai(aTi x0 − Fi(x)) = 0,

2.4. LINEARIZAÇÃO 37

aTi x = Fi(x).

A solução do problema de otimização acima é dada por

ai = ∇Fi(x) +Fi(x) − xT∇Fi(x)

‖x‖2 x; x = 0

onde ai são as colunas da matriz A, ∇Fi(x) : Rn → Rn é o gradiente, um vetor coluna deFi(.) calculado em relação a x, x é o ponto de linearização escolhido e ‖x‖ é a norma-2do vetor x. Esta formula é referencida como fórmula de linearização de Teixeira e Żak(1999) e produz aproximações lineares em vez de afins, geralmente obtidas da fórmula delinearização de Taylor. Para verificar esta afirmação, considere a fórmula de linearizaçãode Taylor apresentada acima

A = ∇F (x) :=∂F (x)∂x

∣∣∣∣x = x

cuja aproximação de F (x) é dada por

F (x) ≈ F (x) + ∇F (x)(x− x).

Desta forma, quando F (x) = 0 esta aproximação produz modelos afins em vez de linea-res, como mencionado. Utilizando a fórmula de linearização de Teixeira & Żak, pode-seobter várias representações lineares do sistema em pontos de linearização escolhidos.

Exemplo 2.12 Considere o sistema x = f(x) com x ∈ R4.� % Variáveis simbólicas� syms H Pm K1q K2q K3q z1 z2 z3 z4 xe1 xe2 xe3 xe3 xe4� % Vetor deslocado em relação ao equilíbrio z=x-xe�z = [z1; z2; z3; z4];% Ponto de linearização xL nxL = norm(xL)% 2a componente de f(x) na variável deslocada em relação ao equilíbrio� f2 = 1/(2*H)*(Pm - (x3 + xe3)*(K1q*cos(z1 + xe1) + K2q*sin(z1 + xe1) + K3q*(z3+ xe3)));% Cálculo do gradiente�gradf2 = jacobian(f2,z);% Fórmula de Teixeira e Zak para obter a coluna 2 da matriz de estado do sistemalinearizado� a2 = gradf2’ + (f2-xL’*gradf2’)*xL/nxL;Repetindo este procedimento para as demais funções não-lineares do sistema para oponto de linearização escolhido obtém-se a matriz de estado do sistema linearizado.

Capítulo 3

Exemplos de Sistemas Dinâmicos

3.1 Motor de Corrente Contínua

O motor de corrente contínua (CC) foi uma das primeiras máquinas idealizadas paraconverter potência elétrica em potência mecânica, concebida inicialmente por M. Fa-raday. Estas máquinas elétricas foram bastante utilizadas e aperfeiçoadas até 1880,quando a principal forma de energia elétrica era em corrente contínua. Com o adventodos sistemas de geração e transmissão de energia elétrica em corrente alternada (60 Hz)e a invenção do motor de corrente alternada de baixo custo de manutenção, os motoresde corrente contínua passaram a ter menos importância, de modo que os motores decorrente alternada passaram a ter um uso generalizado em aplicações eletromecânicas.

Atualmente, entretanto, certas aplicações tais como, posicionamento, velocidadevariável, tração, alto torque de partida, etc, fazem o uso de motores de corrente contínuadevido às suas características particulares que justificam o seu alto custo. Sendo omotor de corrente contínua um dispositivo conversor eletromecânico com característicasbastantes lineares, este é um componente importante em sistemas de controle em uso(Krishnan 2001).

3.1.1 Princípio de funcionamento do motor CC

Para entender o princípio de conversão eletromecânica do motor de corrente contínua énecessário rever alguns conceitos de eletromagnetismo.

Considere inicialmente a ilustração da Figura (3.1). A estrutura magnética produzna região entre os polos magnéticos (Norte-Sul) um fluxo magnético de intensidade �ψ edireção indicada. Um fio condutor de comprimento e direção indicada (perpendiculara �ψ), se percorrido por uma corrente de intensidade i(t), irá sofrer a ação de uma forçacuja magnitude é dada por

�f = �ψ ×�i. (3.1)

e cuja direção é obtida pela regra da mão esquerda. Se �ψ, �i e são constantes, o fio demassa m sofrerá um deslocamento com velocidade v.

Considere agora a nova situação ilustrada na Figura 3.2, onde o fio é substituído poruma espira cujo plano faz um ângulo θ com o plano do fluxo magnético. A espira é de

39

40 CAPÍTULO 3. EXEMPLOS DE SISTEMAS DINÂMICOS

N S

B

F

i

Figura 3.1: Representação da força �f sobre um fio condutor.

i

�

�

Bd

F

i

SN

F

Figura 3.2: Torque sobre uma espira.

alguma forma pivotada, de modo que possa girar sobre um eixo de simetria da espira.Se uma corrente circula pela espira, então como no caso anterior, aparecerão agora duasforças como indicadas na Figura 3.2, e de modo que tendem a girar o plano da espira.Cada uma das forças terá uma intensidade como aquela da expressão (3.1). Se a espirativer largura d, o torque (força × distância radial do eixo de rotação) que aparece sobreesta é dado por

T = |ψ| |i| ld cos θ. (3.2)

Desde que a direção de �ψ é sempre perpendicular à direção �i, a intensidade da forçaé sempre constante, porem a intensidade do torque desenvolvido T varia com a variaçãodo ângulo θ. Deste modo, devido a ação das forças �f , quando o plano da espira forperpendicular ao plano de �ψ, o torque será nulo e o movimento cessa.

Entretanto, na constituição real do motor de corrente contínua, existem várias espi-ras em diversos planos formando um conjunto cilíndrico, o qual através de um disposi-tivo mecânico (comutador + escovas) alimenta sempre a espira que está no plano maispróximo da direção paralela ao plano de �ψ. Deste modo, o torque resultante sobre aestrutura girante é sempre constante se �ψ e �i são constantes.

Atualmente a tecnologia de construção de motores de corrente contínua utiliza cone-xões e distribuições mais complexas das espiras de modo a otimizar a geração de torque,porém o princípio de operação é o mesmo.

A estrutura cilíndrica que constitui as espiras e o suporte destas espiras irá entãoter um movimento de rotação, e portanto apresenta um momento de inércia J . Sob aação do torque T teremos uma velocidade de rotação ω(t). Devemos considerar ainda

3.1. MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA 41

que esta estrutura girante deve estar apoiada em uma estrutura fixa (rolamentos) demodo a mantê-la sob a região do fluxo magnético. Esta situação caracteriza a existênciade um atrito viscoso que dependerá da velocidade de rotação. Além disso, pode havertambém um atrito estático.

Estando a estrutura das espiras em movimento dentro do campo magnético, ocorreoutro fenômeno eletromagnético, que é o surgimento de uma tensão induzida nas espirasdevido ao seu deslocamento dentro do campo magnético (lei de Faraday). Esta tensãogerada terá sinal oposto ao da tensão que produziu a tensão nas espiras.

A intensidade desta tensão induzida obviamente é proporcional à velocidade derotação da estrutura girante. Através dos fundamentos do eletromagnetismo, pode serdeterminado que esta tensão induzida é dada por

e = �ψ × v (3.3)

onde v é a velocidade de deslocamento das espiras.

3.1.2 Modelo do motor CCNos motores de corrente contínua, a estrutura girante (rotor) recebe a denominaçãode armadura, enquanto que na parte fixa (estator) fica situado o campo magnético.Com base na constituição e princípio de operação do motor de corrente contínua comodescrito acima, pode-se identificar vários parâmetros de interesse para o modelo domotor de corrente contínua.

Primeiramente temos o conjunto de espiras que constitui a armadura. Estas espirascaracterizam uma resistência (elétrica) de armadura denominada Ra e também umaindutância de armadura denominada La. A tensão induzida nas espiras pode ser dedu-zida como sendo diretamente proporcional à velocidade de rotação ω(t), desde que �B,l e d sejam constantes. Logo

e(t) = Keω(t) (3.4)

onde Ke é denominada constante de tensão ou constante de força contra-eletromotriz(fcem). Também, pelo fato de �B, l, d e θ serem constantes, obtém-se que o torquedesenvolvido no motor de corrente contínua é diretamente proporcional à intensidadeda corrente que circula na armadura, isto é

Te = Ktia(t) (3.5)

ondeKt é denominado constante de torque e ia(t) é a corrente instantânea de armadura.Desde que o torque Te e a tensão induzida e(t) dependem de �ψ, , d e θ no sistema

internacional de unidades o valor de Ke é numericamente igual ao valor de Kt. Aestrutura que compõe a armadura representa uma massa em rotação e portanto define-se para esta: momento de inércia J , coeficiente de atrito viscoso (proporcional a ω) B,e o coeficiente de atrito estático denotado F . A Tabela 2.1 apresenta os parâmetros erespectivas unidades no sistema internacional. O diagrama eletromecânico equivalentepara o motor de corrente contínua é mostrado na Figura 2.2. Através do diagramaeletromecânico do motor de corrente contínua, obtém-se as seguintes equações do motorde corrente contínua

va(t) = Raia(t) + Lad

dtia(t) +Keω(t); (3.6)


Te(t) = Ktia(t); (3.7)

Te(t) = Jd

dtω(t) +Bω(t) + F. (3.8)

A seguir são analisados os vários tipos de modelos lineares dos motores CC, obtendo-se as várias configurações e características dos modelos.

Modelos lineares do motor CC

A representação esquemática do motor CC em função de suas características de operaçãoe de construção é repetida na Figura 3.3 a seguir. A partir desta representação eequacionando-se a velocidade angular como grandeza de saída e admitindo-se a tensãode armadura como grandeza de entrada, chega-se ao modelo matemático representativodo motor CC. Considerando-se ainda a Figura 3.3, em função da magnitude relativa deum determinado parâmetro em relação aos outros, pode-se obter diferentes configuraçõesde modelo para o mesmo motor CC, como será visto a seguir.

Figura 3.3: Diagrama eletromecânico do motor CC com excitação independente.

Matematicamente, o comportamento do modelo linear completo (incluindo atrito eamortecimento) apresentado na Figura 3.3 é governado por duas equações diferenciaislineares simultâneas. Dependendo da magnitude do atrito estático, o comportamentodo motor pode ser dividido em duas fases, uma em que a corrente de armadura aindanão atingiu o valor necessário para vencer o atrito estático e portanto o motor aindapermanece parado, e uma segunda fase a partir da qual o motor inicia seu movimentode rotação. Considerando td o instante em que o motor sai do repouso, as duas fasesdo comportamento do motor são descritas por

Fase 1: 0 ≤ t ≤ td e iavaria de 0 a Id quando t = td

Lad

dtia(t) = va −Raia(t) (3.9)

Fase 2: td ≤ t ≤ ∞ e ω(t) = 0

va(t) = Keω(t) +Raia(t) + Lad

dtia(t) (3.10)

T = Ktia(t) = Jd

dtω(t) +Bω(t) + F. (3.11)


Dependendo da magnitude relativas dos efeitos de resistência, indutância, inércia,amortecimento e atrito, vários termos podem ser desconsiderados nas equações (3.10)e (3.11), resultando em oito modelos práticos caracterizados na Figura 3.4. Pode-seobservar que os modelos 1, 2 e 3 são formas menos complexas do modelo 4, o qualconfigura um sistema de primeira ordem, e que os modelos 5, 6 e 7 são relacionadossimilarmente ao modelo 8, o qual configura um sistema de segunda ordem. Por estarazão os procedimentos de determinação dos parâmetros serão desenvolvidas somentepara os modelos mais complexos, já que os modelos mais simples se encaixam comogeneralizações dos modelos completos.

1

Ra

1

L s Ra a+

1

J s B+

1

J sKt

Ke

V sa ( ) i a T

F

�( )s

1

L s Ra a+

1

L s Ra a+

1

L s Ra a+

1

Ra

1

Ra

1

Ra

1

J s B+

1

J s B+

1

J s B+

1

J s

1

J s

1

J s

Kt

Kt Kt

Kt Kt

Kt Kt

Ke

Ke Ke

Ke Ke

Ke Ke

�( )s

�( )s

�( )s

�( )s

�( )s

�( )s

�( )s

V sa ( )

V sa ( )

V sa ( )

V sa ( )

V sa ( )

V sa ( )

V sa( )

i a

i a

i a

i a

i a

i a

i a T

T

T

T

T

T

TF F

F

modelo 1

modelo 2

modelo 4

modelo 5

modelo 6

modelo 8

modelo 3 modelo 7

Figura 3.4: Representação dos modelos lineares para o motor CC.

Tomando-se como base os modelos apresentados na Figura 3.4, é possível gerar umconjunto de gráficos representando as respostas transitórias de corrente e velocidadeem cada modelo, com relação a uma excitação de entrada tipo degrau. Para os váriosmodelos da Figura 3.4, as respostas de corrente e velocidade são indicadas na Figura3.5. Portanto, se um motor com excitação independente apresenta uma resposta degraude corrente, similar a alguma das mostradas na Figura 3.5, então pode ser classificadoquanto a ordem de modelo, bem como quanto ao número de parâmetros envolvidos.A Figura 3.6 mostra a resposta degrau típica da corrente e da velocidade referente aomodelo 8, isto é, de um modelo de segunda ordem completo, incluindo-se todos os parâ-metros. Esta figura será referenciada nos itens seguintes que tratam dos procedimentosalternativos de obtenção de parâmetros.

Como será descrito a seguir, se somente as constantes de tempo do modelo são de in-teresse, então a resposta da velocidade é tudo o que se precisa. Duas medidas adicionais(o valor do degrau de tensão e a velocidade angular final) são requeridas para determinar


ia( )t

modelo 1 (a)

t

modelo 6 (f)modelo 2 (b)

modelo 5 (e)

modelo 3 (c) modelo 7 (g)

modelo 8 (h)modelo 4 (d)

t

t

t

t

Is

Va

Ra

Is

Is =Id

Is >IdIs >Id

Is =Id

t

t

t

Va

Ra

Va

Ra

Va

Ra

Va

Ra

ia( )t

ia( )t

ia( )t ia( )t

ia( )t

ia( )t

ia( )t

Figura 3.5: Respostas de corrente típicas para todos os modelos, com Is a corrente deregime permanente e Id a corrente em t = td.

Figura 3.6: Resposta de corrente e velocidade.


todos os outros parâmetros. Os 8 tipos de modelos (4 de 1a. ordem e 4 de 2a. ordem),mostrados na Figura 3.4 possuem as seguintes funções de transferência para a velocidade

Modelos 1 e 3

G1(s) =Ke/τm

(s+ 1/τm)(3.12)

Modelos 2 e 4

G2(s) =Ke/τm

[s+ (1/τm + 1/τb)](3.13)

Modelos 5 e 7

G3(s) =1

Keτmτa(s2 + 1

τas+ 1

τmτa

) (3.14)

Modelos 6 e 8

G4(s) =1

Keτmτa[s2 +

(1τa

+ 1τb

)s+ 1

τmτa+ 1

τaτb

] (3.15)

onde

τa = La/Ra (3.16)

τb =J

B(3.17)

τm = RaJ/(KeKt). (3.18)

3.1.3 Obtenção dos parâmetros do sistema

Métodos clássicos convencionais para a determinação dos parâmetros do modelo domotor requerem geralmente um teste para cada parâmetro (resistência e indutância dearmadura, constantes do torque e da tensão, inércia, amortecimento viscoso, atrito eas constantes de tempo mecânica e elétrica). Este procedimento consome muito tempoe como a maioria dos testes são feitos sob condições de regime, os parâmetros obtidosnestas condições quando utilizados na análise da resposta dinâmica podem produzirresultados insatisfatórios.

Uma proposta alternativa de obtenção de parâmetros baseada em algoritmos deinterpolação numérica baseia-se na realização de um ensaio de tensão para a obtençãoda resposta do motor à excitação degrau. Com base em uma função pré-estabelecida epontos medidos da resposta de corrente ou de velocidade obtém-se as contantes de tempoe ganho do motor CC. O ensaio de tensão deve ser realizado de acordo com o indicado nodiagrama da Figura 3.7. O que se necessita é o registro simultâneo do comportamentotransitório da corrente de armadura e da velocidade angular. Na Figura 3.7, este registroé indicado com auxílio de um osciloscópio de aquisição e memória digital.


R<<= 1 �Bateria12 V

�( )t

Motor sob

teste

Tacogerador

Campo

constante

Osciloscópio de

memória digital ou

aquisição com o

Labview

Canal 1 – ia t( )

Canal 2 – �( )t

Figura 3.7: Diagrama esquemático do ensaio de tensão.

Método de interpolação

Este procedimento é uma opção para a obtenção dos parâmetros do motor CC. Oprocedimento de interpolação de curvas utiliza um algoritmo numérico de interpolaçãode funções baseado no conhecimento da função a ser interpolada e um conjunto depontos desta função. O algoritmo de interpolação pode ser de várias formas, envolvendoo método dos mínimos quadrados e o método Simplex. O procedimento de interpolaçãodescrito na seqüência se refere ao Método Simplex de Nelder-Mead que é utilizado narotina‘fmins” do programa MATLAB.

A função a ser interpolada é escolhida de forma a descrever o comportamento tran-sitório da velocidade do motor, relativo a uma excitação degrau.

Desde que os modelos do motor CC são de primeira ou de segunda ordem, é relativa-mente fácil obter a resposta degrau teórica e usá-la então como a função de interpolação.Para o algoritmo de interpolação será escolhida uma função que represente um sistemade segunda ordem, já que uma resposta de primeira ordem pode ser vista como umcaso particular de segunda ordem, com uma das constantes de tempo nula. Esta funçãopode ser obtida pela solução do sistema de equações diferenciais (3.6) a (3.8), ou atravésdas funções de transferência (3.12) a (3.18). Rescrevendo as funnções de transferênciadadas em (3.12) a (3.18) em uma forma compacta, obtém-se

GM (s) =Km

(s+ γ)(s+ δ)(3.19)

sendo 1/γ e 1/δ , constantes de tempo e Km o ganho global do motor, envolvendo osparâmetros do motor. Para obter o ganho Km e as constantes de tempo 1/γ e 1/δ pode-se utilizar o programa “param.m” disponível no portal http://www.sel.eesc.usp.br/lac.A forma geral da função de interpolação utilizada no programa “param.m” é dada por

f(t) = c1e−tλ1 + c2e

−tλ2 + c3e−tλ3 . (3.20)

Comparando-se (3.20) com a resposta típica ao degrau de um sistema de segundaordem

w(t) = a0 + a1e−t/T1 + a2e

−t/T2 (3.21)

3.2. SISTEMA DE SUSPENSÃO MAGNÉTICA 47

verifica-se que λ1 deve ser nula, e λ2 , λ3 devem corresponder às constantes de tempodo sistema de segunda ordem. Caso o motor tenha um modelo de primeira ordem, λ2

ou λ3 devem ser nulas. As constantes a0, a1 e a2 que são função dos parâmetros domotor, devem corresponder aos coeficientes c1, c2 e c3 da função de interpolação.

O método de interpolação produz uma aproximação bastante satisfatória da funçãoproposta com os pontos medidos do ensaio degrau, e portanto as constantes de temponeste caso retratam adequadamente o comportamento do motor.

3.2 Sistema de Suspensão MagnéticaO sistema de suspensão magnética é um sistema que, além de possuir várias aplicaçõespráticas importantes, como em rolamentos magnéticos e transportes de alta velocidade,apresenta características de fase não-mínima e é um sistema instável, constituindo assimum bom exemplo para verificar as características de sistemas e o resultado da ação decontrole.

Figura 3.8: Protótipo de suspensão magnética.

3.2.1 Equações dinâmicasConsidere uma esfera de massa m posicionada abaixo de um eletromagneto a umadistância h como mostrado na Figura 3.9. O modelo do sistema de suspensão é baseadonas suas equações eletomecânica, elétrica e elétrica. O protótipo do sistema de suspensãomagnético apresentado aqui utiliza a força de atração eletromagnética (Oliveira et al.1999).

Quando uma corrente i circula pela bobina, um campo magnético é gerado, este,por sua vez, origina uma força eletromagnética sobre a esfera denotada f dada pelaconhecida equação

f(h, i) =i2

2dL

dh(3.22)

De acordo com (3.22), há uma relação diretamente proporcional entre a força f e aderivada da indutância da bobina em relação à posição h. Com a variação da posiçãoda esfera, a indutância descreve uma curva como a da Figura 3.10. A índutância podeser descrita pela equação

L(h) = L∞ +L0

1 + h/a(3.23)


Bobina

Bola de Açom

Z

V

Figura 3.9: Diagrama esquemático do sistema de suspensão.

com L0 = L(0) − L∞ e a é uma constante. A partir de (3.22) e (3.23) obtém-se aequação eletromecânica do sistema

f(h, i) =−L0

2ai2

(1 + h/a)2(3.24)

e a partir da lei de Newton obtém-se a equação mecânica do sistema como segue

md2h

dt2= mg + f(h, i). (3.25)

Finalmente, a equação elétrica é obtida a partir o modelo da bobina como ilustrado naFigura 3.11.

kav = Ri+d(L(h)i)

dt(3.26)

onde ka o ganho do amplificador de potência, v a tensão de entrada em um amplificadorde potência, R é a resistência da bobina.

L0

L 0( )

L

h

L h( )

Figura 3.10: Variação da indutância.


+

-

R

L

v

Figura 3.11: Circuito elétrico da bobina.

3.2.2 Linearização

As equações dinâmicas do sistema são linearizadas em um ponto de operação (h0, i0).Uma vez que h é mantido em torno de h0 a indutância L(.) é aproximada por umaconstante L. Definindo h� = h− h0, i� = i− i0 e u = v − Ri0

ka, as equações linearizadas

no ponto de equilíbrio (h0, i0) são dadas por

u = Ri� + Ldi�dt

(3.27)

md2h�dt2

= f�(h�, i�) = k2h� − k1i� (3.28)

onde

k1 :=∂f

∂i

∣∣∣∣(h0,i0)

=L0i0

[a(1 + h0/a)2]; (3.29)

k2 :=∂f

∂h

∣∣∣∣(h0,i0)

=L0i

20

[a2(1 + h0/a)3]. (3.30)

Observação 3.1 No ponto de equilíbrio (h0, i0) tem-se mg = −f(h0, i0).

Definindo as variáveis de estado do sistema de suspensão como x1 = h, x2 = h ex3 = i e usando (3.24) - (3.26) pode-se escrever as equações de estado e saída do sistema

x = F (x, v) (3.31)y = Cx

onde

F (x, v) =

⎡⎢⎣ x2

g −(L0(x1)2am

)(x3

1+(x1)/a

)2

−Rb

L x3 + ka

L v

⎤⎥⎦ (3.32)

eC =

[c1 0 0

](3.33)


com c1 o ganho do sensor de posição. A função F (x, v) em (3.32) linearizada em tornodo ponto de equilíbrio (h0, i0), resulta em

.x = Ax+Bu

y = Cx (3.34)

onde

A =

⎡⎣ 0 1 0k2/m 0 −k1/m

0 0 −R/L

⎤⎦com k1 e k2 como em (3.29) e (3.30), respectivamente.

3.2.3 Sistema e componentesA seguir são descritas a bobina, estrutura, o sensor ótico e a fonte de luz de um protótipoem escala laboratorial montado em uma estrutura de madeira.

Bobina e estrutura

A estrutura da bobina é mostrada na Figura 3.12, os valores estão em centímetros. Abobina foi enrolada com fio de cobre de 0,75 mm de diâmetro, com aproximadamente2400 voltas e possui núcleo de material magnético.

Figura 3.12: Bobina e estrutura.

Sensor óptico e fonte de luz

A fonte de luz usada foi um emissor de infravermelho. A dimensão da “janela” do emissorde infravermelho foi determinada experimentalmente, observando-se a sombra da esferano sensor e procurando-se uma boa definição sem comprometimento da intensidade deluz incidente.

Optou-se por usar como sensor ótico o fototransistor MRD-300, após tentativasde utilização de um fotoresistor e um fotodiodo. O fototransistor foi colocado dentro


de um tubo PVC dimensionado para alojá-lo com precisão. Também envolveu-se acâmara do fototransistor em uma capa de latão torneada ligada ao terra do circuitopara proporcionar blindagem. Um tubo também de PVC, foi dimensionado para alojaro emissor de infravermelho e para ajustar o foco. Este tubo também foi fixado naestrutura de madeira de forma a possuir grau de liberdade na horizontal para possívelajuste de foco. Sua altura de fixação na estrutura de madeira é a mesma do fotoreceptor,o fototransistor.

A posição do sensor dentro da câmara deve ser escolhida de forma a levar em con-sideração, os seguintes pontos: quanto mais próximo da esfera o sensor estiver, maiorserá o intervalo de variação de posição no qual ele atuará, entretanto, quanto mais dis-tante estiver, maior será a amplitude do sinal para uma mesma variação da posição,melhorando a relação sinal-ruído. A Figura 3.13 ilustra este raciocínio.

Figura 3.13: Efeito do posicionamento do sensor.

A posição escolhida (indicada na Figura 3.14a, com valores em centímetros), foideterminada na prática, obtendo-se atuação linear do sensor numa faixa de posição deaproximadamente 1,5 mm, correspondendo a uma variação na saída do sensor de cercade 2,2 V, com um ruído em torno de 50 mV, o que representa 2,27 % da variação totalna saída do sensor.

Figura 3.14: a) Módulo do sensor ótico e fonte de luz; b) escala de posição

Fixou-se o sensor ótico, assim como a fonte de luz, em uma estrutura de madeira quese encaixa na estrutura da bobina. Na estrutura foram fixadas também duas réguas paraa medida de posição da esfera, como visto na Figura 3.14b. O posicionamento verticaldo sensor foi determinado na prática procurando-se a maior distância da bobina semque a corrente i necessária para estabilizar a esfera (dentro do intervalo em que o sensoratua) não superasse aproximadamente 0,7 A, o que causaria aquecimento excessivo dabobina. Um diagrama da estrutura completa é apresentado na Figura 3.15.


A - bobinaB - extrutura mafeiraC - esfera de açoD - emissor infra vermelhoE - sensor posição

Figura 3.15: Diagrama esquemático do sistema completo.

3.2.4 Sensores de posição e de corrente

Sensor de posição

Como descrito na seção anterior, inicialmente foram feitas tentativas de utilização deum fotoresistor e um fotodiodo como sensores de posição. O fotoresistor de sulfeto decádmio apresentou um tempo de resposta de cerca de 80 ms, demasiadamente lento paraa aplicação desejada, já que as constantes de tempo do sistema eletromagnético são daordem de 20 ms. Concluiu-se, portanto, que o dispositivo é inadequado à aplicação.Um fotodiodo testado também mostrou ineficiência devido ao fato de apresentar umnível de sinal na saída bastante baixo, o que acarretou aumento da influência do ruído.

Dentre os sensores testados, o fototransistor MRD-300 exibiu ampla superioridade:apresentou tempo de resposta desprezível (sendo indicado até mesmo para aplicaçõescomo leituras de cartão e sistemas de contagem, entre outras), nível de sinal na saídade grande amplitude (cerca de 2,2 V na configuração utilizada). Além disto, dispensoua necessidade de compensação de não-linearidade.

A Figura 3.16 exibe o esquema completo do sensor de posição, incluindo um ampli-ficador operacional com a função principal de proporcionar isolamento.

Esta configuração foi obtida através de ensaios práticos, testando-se diferentes va-lores de Rs e observando-se a variação máxima na tensão Vs quando da incidência ouobstrução total do feixe de luz no sensor. Também observou-se a influência do ruído nosinal. Assim, obteve-se um sinal Vs com amplitude máxima de aproximadamente 2,2 Ve um ruído de 50 mV, significando cerca de 2,27 % do sinal, como antes descrito.

Sensor de corrente

Como sensor de corrente pode-se utilizar um sensor de efeito Hall com circuito deamplificação, NW-SC-50 para possibilitar ajuste de nível e ganho. Na Figura 3.17encontra-se um circuito comercial completo para um sensor de corrente.


Figura 3.16: Configuração do sensor de posição.

Observação 3.2 As tensões +9 V e -9 V do circuito do sensor de corrente foramobtidas, respectivamente, através de um CI 7808 e seu complementar, lembrando que asfontes de alimentação (do circuito global) trabalham com 15 volts.

Figura 3.17: Circuito comercial do sensor de corrente.

Os potenciômetros do circuito foram ajustados de forma que a tensão na saída fossenula para corrente nula e apresentasse um ganho de 10 V/A.

Observou-se que o sensor é ideal para a aplicação, pois testes do sensor revelaram asseguintes características: alta linearidade de resposta (característica de tensão de saídaversus corrente), resposta em freqüência elevada para a aplicação, com freqüência decorte da ordem de 30 kHz e tempo de subida da ordem de poucos micro-segundos.


3.2.5 Obtenção dos parâmetros do sistema

Os valores da massa de esfera m, resistência da bobina R e indutância L são facilmenteobtidos. Uma balança de precisão é usada para medir m. O valor de R pode ser medidoatravés de um multímetro ou do levantamento da curva de tensão versus corrente.

O valor de L é determinado medindo-se a constante de tempo da resposta de correnteda bobina a um degrau de tensão como ilustrado na Figura 3.18. A fim de obter aresposta ao degrau da bobina, aplica-se um degrau de 10 V nos seus terminais. Aindutância L é apresentada pela bobina quando a esfera estiver no ponto de equilíbrio.Portanto deve-se colocar a esfera em posição z0 usando um suporte plástico.

Figura 3.18: Resposta da bobina ao degrau.

Os parâmetros constantes a, k1 e k2 são obtidos a partir do equilíbrio f(h, i) = mgpelo seguinte procedimento (Oliveira et al. 1999). Aplica-se inicialmente uma correntede baixa amplitude nos terminais da bobina a fim de manter a esfera na base próximoao ponto de operação, onde é tomado o valor de z, o qual é chamado heq. Com a esferaem heq aumenta-se a corrente até que a bola suba em t = teq quando é tomado o valorde i, que é chamado ieq. A Figura 3.19 ilustra este procedimento. O procedimentoé repetido várias vezes e o valor de ieq é tomado como seu valor médio. Repetindo omesmo procedimento para diferentes valores de h foram encontrados novos valores deheq e ieq, produzindo a curva heq× ieq. Denotando (h′eq, i

′eq) e (h′′eq , i

′′eq) dois pontos

da curva heq× ieq na qual a força f(., .) é igual à força gravitacional e, usando (3.24),pode-se escrever

i′2eq(1 + h′eq/a)2

=i′′2eq

(1 + h′′eq/a)2(3.35)

e pode-se determinar a. Finalmente, o valor de L0 pode ser calculado como

L0 =2amg(1 + h0/a)2

i20(3.36)

onde g é a aceleração devida a gravidade e h0 é adotado tal que i0 não cause excessivoaquecimento na bobina. Assim, com L0 e a os valores de k1 e k2 podem ser calculadosa partir de (3.29) e (3.30).

Os valores numéricos dos parâmetros do sistema experimental são mostrados naTabela 3.1.


A

v

i

Base

- (.,.)f

mg

mg - (.,.) = 0f

Diagrama de força em t = teq

z

Figura 3.19: Determinação dos parâmetros constantes L0 e a.

Tabela 3.1: Valores numéricos dos parâmetros físicos.massa da esfera m [kg] 22.6 × 10−3

resistência da bobina R [Ω] 21indutância da bobina aproximada L [mH ] 520indutância da bobina em torno equilíbrio L0 [mH ] 24.9corrente da bobina no ponto de operação i0 [A] 0.577posição da bola no ponto de operação h0 [m] 4.50 × 10−3

constante a a [m] 6.72 × 10−3

constante k1 k1 [N/A] 0.770constante k2 k2 [N/m] 39.6ganho sensor de posição c1 −1.7361× 103

máxima tensão aplicada à bobina vmax[V ] 24.0Ganho PWM ka 2.1


Ganho e faixa do sensor de posição

O ganho e a faixa dos sensores de posição são obtidos a seguir. Primeiro encontra-se acurva característica do sensor de posição Vh×h com Vh representando a tensão de saídado sensor e então escolhe-se uma região linear, fornecendo os intervalos [Vhmin Vzmax]e [hmin hmax] como visto na Figura 3.20. Finalmente, o ganho do sensor de posiçãodenotado como c1 (3.33), é obtido a partir da derivada da curva característica em h0 aqual fornece c1 = tan(α). Note que a montagem do sensor de posição é tal que h = h0

corresponde a Vh = (Vhmin + Vhmax)/2 como pode ser visto pela Figura 3.20. Notetambém, que a saída do sistema y1 (3.34) é igual a Vh − (Vhmin + Vhmax)/2.

Para implementar a técnica de controle de realimentação de estado é necessário alémde medir y1 também medir y2 e y3. Neste caso a matriz de saída C em (3.34) toma aforma

C =

⎡⎣ c1 0 00 c2 00 0 c3

⎤⎦ . (3.37)

Desde que.

h é estimado a partir de h, o valor de c2 (3.37) é igual a c1. Para medir acorrente, pode-se utilizar un sensor de efeito Hall, que é quase linear. Assim, o ganhodo sensor c3, pode ser calculado pela taxa de variação da tensão de saída pela variaçãoda corrente na entrada. Similarmente às saídas y1 e y2 (3.34), a saída y3 é o valor dosensor de corrente escalonado.

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

z[mm]

Vz[

V]

α

Figura 3.20: Curva característica do sensor de posição.

Ganho do amplificador de potência

O amplificador de potência utilizado é um amplificador chaveado com PWM e isoladoróptico e estágio de saída como mostrado na Figura 3.21 acionando um transistor depotência da família TIP 120 da Texas Instruments (Manual Power Data Book e ManualLinear Data Book) para a alimentação da bobina L. Experimentalmente pode-se obtero ganho ka a partir de medidas de VM e vc

Ka =VMvc

(3.38)

3.3. SISTEMA TÉRMICO 57

onde vc é o sinal de controle (entrada) e VM é o valor médio da forma de onda nabobina.

POW124V

Q3TIP 122

R241K8

LD11N4007

R234K7

OPT1

TIL111

PulsosPWM

Q2BC547

Isolador optico e estágio de saída

+VCC -VCC

C82200uF

C9470uF

Filtros de linha

Figura 3.21: Circuito estágio de alimentação da bobina e isolação óptica.

3.3 Sistema Térmico

Muitos processos industriais podem ser aproximados por uma função de transferênciade primeira ordem mais atraso. Suas respostas caracterizam uma resposta temporal mo-nótona ou essencialmente monótona, isto é, monótona exceto para uma pequena parteinicial. Tais processos podem ser divididos em duas amplas classes. A primeira corres-ponde aos processos estáveis. A dinâmica destes processos é aproximada pela função detransferência dada em (3.39), com L o atraso, T a constante de tempo e KP o ganhoestático do processo. Estes parâmetros podem ser obtidos pelo experimento da respostaao degrau, por exemplo. Estes processos são também denominados processos com auto-regulação. A segunda classe corresponde aos processos com ação integral, e a funçãode transferência que aproxima esta dinâmica é dada em (3.40). Processos com pólosressonantes não apresentam resposta temporal ao degrau essencialmente monótona, porisso não fazem parte desta classificação.

Deve-se notar que, da maneira posta, as funções de transferência apresentadas em(3.39)-(3.40) possuem ordem infinita, devido ao termo que modela o atraso ser da formaexponencial. Uma aproximação deste termo pode ser obtida utilizando por exemplo aaproximação de Padé de 2a. ordem para o atraso, como mostrado em (3.41).


G =Ke−sL

Ts+ 1; (3.39)

G =Ke−sL

s(Ts+ 1); (3.40)

e−sL ≈ L2s2 + 6Ls+ 12L2s2 − 6Ls+ 12

. (3.41)

Com base na função de transferência em (3.39), alguns números adimensionais sãoestabelecidos na literatura para completar a caracterização deste tipo de função detransferência, sendo os dois principais o atraso normalizado e o ganho do processo nor-malizado, apresentados abaixo. Segundo Khan e Lehman (1996), da experiência práticatem-se observado que processos com um valor pequeno para o atraso normalizado são“fáceis” de controlar, enquanto que valores grandes do atraso indicam processos “difí-ceis” de controlar. O atraso normalizado denotado θ e o ganho do processo normalizadodenotado k, podem ser obtidos da seguinte forma

θ = LT ;

k = G(0)|G(jwCR)| = KKCR

(3.42)

onde KCR é o ganho crítico do processo e wCR é a freqüência crítica (arg[G(jwCR)] =−π).

Para saber como é o comportamento deste tipo de função de transferência em relaçãoà freqüência, é obtida a resposta em freqüência do tempo de atraso. O módulo do atrasoé igual a unidade para qualquer freqüência∣∣e−jwL∣∣ = |cos(wL) − jsen(wL)| = 1. (3.43)

Portanto, o logarítimo do módulo do termo do tempo de atraso é 0db. O ângulo de faseé fase de (e−jwL) = −wL (radiano) ou −57.3wL em graus. Assim tem-se que o ângulode fase varia linearmente com a freqüência. Assim, a resposta em frequência (diagramade Bode) da função de transferência dada em (3.39) é da forma da Figura 3.22. Paracompletar a caracterização deste tipo de função de transferência é analisado também odiagrama polar (ou diagrama de Nyquist). O diagrama de Nyquist é o lugar dos vetores|G(jw)| ejφ, com φ a fase de G(jw) conforme w (a freqüência angular) varia de −∞ a ∞.Este tipo de diagrama é importante, pois permite obter de maneira rápida a estabilidadeabsoluta do sistema por inspeção. O diagrama de Nyquist da função de transferência(3.39) pode ser então obtido tomando o módulo e ângulo de fase resultando na Figura3.23.

O critério de Nyquist , conforme já mencionado, fornece o número de raízes carac-terísticas do sistema a malha fechada no semiplano direito em termos do número deenvolvimentos do ponto −1+ j0 mas este não é aplicável a sistemas com atraso com umnúmero infinito de raízes características no semiplano-direito. As condições de utiliza-ção do critério de Nyquist em sistemas com atraso derivadas em (Xu et al. 2003) sãoapresentadas a seguir.

3.3. SISTEMA TÉRMICO 59

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

−80

−60

−40

−20

0

Frequência (rad/s)

Mag

nitu

de

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

4

Frequência (rad/s)

Mag

nitu

de

Figura 3.22: Diagrama de Bode da função de transferência de primeira ordem maistempo morto para os valores L = 33, T = 484 e K = 0.77.

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Real G(jw)

Imag

G(jw

)

Figura 3.23: Diagrama de Nyquist da função de transferência de (3.39) para para K =0.77, L = 33 e T = 484.


Teorema 3.1 Considere um sistema com realimentação unitária com uma função detransferência dada por

G(s) =N(s)D(s)

e−Ts (3.44)

com N(s) := amsm + am−1s

m−1 + · · · + b0 e D(s) := ansn + an−1s

n−1 + · · · + a0 e Tum atraso constante. Então,

1. Se n < m ou n = m e∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≥ 1 são os coeficientes de maior grau de N(s) eD(s), respectivamente, o critério de Nyquist não se aplica e o sistema é instávelde acordo com os resultados de Pontryagin (Pontryagin 1955).

2. Se n > m ou n = m e∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≤ 1 o critério de Nyquist é aplicável.

A resposta de um processo de 1a. ordem mais atraso pode apresentar um formatoS como na Figura 3.24. O tempo de atraso L e a constante de tempo T podem serestimados a partir da reta tangente ao ponto de inflexão da curva determinando-se aintersecção com o eixo do tempo e com a reta K.

TL

K

Figura 3.24: Curva experimental de um processo de temperatura.

3.4 Experimentos de Laboratório

3.4.1 Experimento 1: Amostragem de sinais

Como forma de verificar o teorema de amostragem são propostas as atividades a seguircom sinais senoidais, onda quadrada e triangular.

3.4. EXPERIMENTOS DE LABORATÓRIO 61

A onda senoidal é de especial interesse, pois esta possui somente sua freqüênciafundamental e assim, a eficácia ou não do Teorema de Amostragem pode ser beminterpretada. Os sinais de onda quadrada e triangular possuem por sua vez um espectrode freqüências harmônicas, as quais pelo teorema indicado, devem ser devidamenteconsideradas.

Na realização desta prática é utilizado um gerador de sinais (senoidal, de ondaquadrada e triangular) com freqüência de pelo menos 1 Hz. O uso de baixas freqüênciase deve a dois fatos: em primeiro lugar, sinais de baixa freqüência podem ser facilmentevisualizados e interpretados (1 Hz corresponde a um período de 1 seg.). A outra razãoé que será empregado um procedimento de amostragem digital como o uso de Labviewatravés do equipamento LabAcquisition, o qual apresenta limitações de operação emaltas freqüências em tempo real.

Para a realização do experimento é fornecido então um Instrumento Virtual ou VIque fornece duas telas gráficas, o resultado do sinal original, adquirido em alta freqüênciae o sinal amostrado adquirido com as freqüências e amostragem sugeridas no roteiro. Opainel do VI usado é indicado na Figura 3.25. Na tela superior será mostrado o sinalreal (senóide, onda quadrada ou triangular de 1Hz) adquirido com freqüências entre10 e 20 Hz. A tela inferior indicará a forma do mesmo sinal, porém amostrado coma freqüência dada pelo controle “Freq. Amostr.”. O sinal proveniente de um geradorde sinais deverá ser conectado ao canal “0” do LabAcquisition. Com um VI do tipo

Figura 3.25: Painel Labview para análise da frequência de amostragem.

indicado acima, realizar as seguintes formas de amostragem

1. Utilizando um gerador de funções selecionar a função de senóide com freqüência1Hz e amplitude inferior a 10 V

2. Executar o VI de amostragem usando freqüências de 1 Hz, ou seja igual àquelado sinal de entrada, com 2Hz ou seja o dobro que corresponde ao Teorema de


Amostragem e ainda com freqüências de 4Hz, 8Hz e 10Hz. Em cada caso, gravaros dados das telas gráficas em um arquivo de documentação do experimentos.

3. Comutar a função do gerador de sinais para onda quadrada e repetir o item 2.

4. Comutar a função de gerador de sinais para onda triangular e repetir o item 2.

3.4.2 Experimento 2: Obtenção modelo de um motor CCNeste experimento devem ser realizados diversos ensaios para determinação dos parâ-metros do motor e tacogerador, incluindo o ensaio para utilização do método de interpo-lação de curvas. O motor utilizado é um motor Eletrocraft de 60V com corrente de pico29A, velocidade de operação máxima 6000rpm e torque nominal 0.353Nm, acoplado aum tacogerador. A Tabela 3.2 fornece os parâmetros nominais deste motor.

Tabela 3.2: Parâmetros do motor EletrocraftR(Ω) L(H) J(Nms2/rad) Ke(V s/rad) F (Nm) B(Nms/rad)1.63 3 3.6720e-5 0.0678 0.02147 1.12387e-6

1. Aplicar um pulso de tensão conectando a chave S como indicado na montagemdada na Figura 3.7 com R � 1Ω e Va = 12V e capturar a corrente e tensão, utili-zando o esquema da Figura 3.26 e o instrumento virtual VI (NATINST 1996) comum painel como o ilustrado Figura 3.27. Construir um vetor de tempo utilizandoa taxa de amostragem e número de amostras capturadas. Organizar os valoresde tensão e tempo em um arquivo .dat para utilizar o método de interpolação decurvas.

Observação 3.3 Utilizar o programa param.m para a identificação das constan-tes de tempo e ganho do motor CC via método de interpolação executável noMATLAB disponível em http:// www.sel.eesc.sc.usp.br/lac.

2. Obter a constante Ktg do tacogerador utilizando um encoder óptico. Com auxíliode um osciloscópio medir a freqüência fornecida nos terminais do encoder, a qualchamamos fe e a tensão de saída do tacogerador para pelo menos 4 valores de Va.Para um encoder óptico de 1024 linhas, a freqüência de uma rotação do motor édada por fe/1024. Obter as frequências em rad/s. Apresentar os valores obtidoscomo na Tabela 3.3.

Tabela 3.3: Determinação de Ktg e Ke

Va ω Vtg Ktg

(V ) (rad/s) (V) (V s/rad)

3. Apresentar o diagrama de blocos, o diagrama Simulink, a função de transferênciae equações espaço de estado do motor de corrente contínua.


+5VCC

1 2 3 4 5 6 7

13 12 11 10 9 814

1 2 3 4 5 6 7

13 12 11 10 9 814

+5VCC

6K8

R6

10 pfC1

CI-4CI-3

74121

+5VCC

7400

+5VCC

R4

R5 1K

1K

Chave

+VA

Motor

Motor

+12V (Fonte motor)

0,33

R7/R8/R9

Saída para placa de aquisicao

Canal 0

-

+

+15 Vcc

GND

-15Vcc

Canal 1

-

+

Sada para microí

GND

Sinal do taco

Condicionamentode sinal

Entrada dosinal do tacogerador

Circuito ensaio de tensão

Conctor 50 vias

Sinal de trigger

Saída para placa de aquisicao

Figura 3.26: Esquema de ligações para aquisição de corrente e velocidade.

3.4.3 Experimento 3: Obtenção parâmetros de um sistema desuspensão magnético

1. Obter o valor da massa da esfera m utilizando uma balança de precisão.

2. Obter o valor da resistência da bobina R utilizando um ohmímetro e a caracterís-tica V × I.

3. Utilizando a configuração do sensor de posição, faça o esboço da curva caracterís-tica de transferência do sensor (posição da esfera (h)× tensão de saída do sensor(vh)), Figura 3.20. Construa uma tabela com pelo menos 5 valores para o par(h[mm] vh[V ]).

4. Obter o ganho do sensor de posição c1. Para isto, considere a linearização dacurva traçada no item 3 em torno de um ponto de equilíbrio h0 escolhido entreos extremos da região da curva em que o sensor atua mais linearmente traçandouma reta tangente à curva passando por este ponto.

5. Obter as constantes a, L0, k1 e k2, seguindo o procedimento dado anteriormente,resumido a seguir.

(a) Aplique nos terminais da bobina uma tensão v contínua tal que a força fexercida sobre a esfera, mantenha-a no ponto de equilíbrio escolhido z0. Parafazer este experimento mantenha a esfera na base, ou seja, erguida por umsuporte plástico, conforme Figura 3.19 e aumente gradativamente a tensão v,monitorando sempre a corrente i até que a esfera suba. Neste instante, medir


Figura 3.27: Tela Labview para aquisição de corrente e tensão.

a corrente e tensão correspondente. No momento imediatamente anterior àsubida da esfera, a força peso desta equivale à força de atração exercidapela bobina, Figura 3.19. Repetir este procedimento duas vezes para h0 eobter a corrente e tensão como o seu valor médio denotados i0[A] e v0[V ],respectivamente.

(b) Novamente, aplique nos terminais da bobina uma tensão v contínua tal quea força f exercida sobre a esfera, mantenha-a próxima do ponto de equilíbrioescolhido h0. Anote o valor de h nomeado heq e aumente gradativamentea tensão v, monitorando sempre a corrente i até que a esfera suba. Nesteinstante, anote a corrente nomeada ieq.

(c) Repetir este procedimento duas vezes para a mesma posição h e obter itomando seu valor médio e para quatro diferentes valores de h na vizinhançado ponto de equilíbrio h0. Anote os valores de heq[mm] e os valores de ieq[A].

(d) Para qualquer par medido (heq , ieq), o valor da função f(heq, ieq) é igual aovalor da força peso. Através da equação (3.35) obter os valores de a paraseis possíveis combinações entre os 4 pares de (h′eq , i′eq) e (h”

eq, i”eq) obtidos.

O valor de a é tomado como o seu valor médio

a =i”eqh

′eq − i′eqh

”eq

i′eq − i”eq. (3.45)

(e) Pela equação (3.36), calcule L0.(f) Pelas equações (3.29) e (3.30), calcule k1 e k2 respectivamente.

6. Determinação da indutância. Para a obtenção de L colocar a esfera na posição h0

usando um suporte plástico. Medir a indutância através da resposta de corrente


da bobina a um degrau de tensão em seus terminais medindo-se a tensão em umresistor externo inserido na malha da bobina ou através de um sensor de correntecomo ilustrado na Figura 3.17. No último caso, ajustar P1 e P2 de forma a tertensão nula na saída para a corrente nula e ganho 10V/A. Utilizar uma fontesimétrica para gerar 9V e −9V . Aplique um degrau de 10V nos terminais dabobina. Monitore pelo osciloscópio os pontos de corrente. Repetir cinco vezes oprocedimento descrito. Indicar os valores obtidos de V/R[A], t[s], τ [ms] e L[mH ]em forma de tabela. Considere L como a média dos valores obtidos.

3.4.4 Experimento 4: Obtenção parâmetros de um sistema tér-mico

Nesta parte devem ser realizados diversos ensaios para determinação dos parâmetros deum sistema mini-forno.

1. Aplicar um degrau de potência no mini-forno e registrar a variação da temperaturaem função do tempo.

2. tempo de atraso e constante de tempo utilizando a curva da resposta ao degrausupondo que o mini-forno pode ser representado por um sistema de 1a ordem maisum atraso simples. Obter a função de transferência aproximada.

3. Plotar em um mesmo gráfico as respostas experimental obtida no ensaio e assimuladas usando os parâmetros obtidos em (2).

Capítulo 4

Respostas Típicas de SistemasLineares

4.1 Introdução

A seguir são dadas algumas características gerais do comportamento dos sistemas de1a e 2a ordem, mais detalhes podem ser encontrados em Dorf e Bishop (2000), Ogata(1997) e Franklin et al. (1990). A ordem de um sistema em consideração é dada pelaordem da equação diferencial que o representa. Para o estudo de sistemas de 1a ordeme 2a ordem utilizam-se circuitos elétricos montados em um painel didático.

4.2 Resposta Transitória

4.2.1 Sistemas de primeira ordem

Para o propósito de análise pode-se representar matematicamente um sistema linear einvariante de 1a ordem e 2a ordem pela equação diferencial

T.y(t) + y(t) = Ku(t) (4.1)

onde T é a constante de tempo do sistema e K o ganho.

Representação por função de transferência

Considerando condições iniciais nulas y(0) = 0, pode-se obter a função de transferênciado sistema, definida pela transformada de Laplace de y sobre a transformada de Laplacede u.

G(s) =y(s)u(s)

=K

Ts+ 1. (4.2)

A solução y(t) para uma entrada degrau unitário é da forma

y(t) = K −Ke−t/T . (4.3)

67

68 CAPÍTULO 4. RESPOSTAS TÍPICAS DE SISTEMAS LINEARES

Do gráfico de y(t) da Figura 4.1 observa-se que para t = T , y(t) atinge 63,2% da entradadegrau e para t = 2T , 86,5%. Para ilustrar um sistema de primeira ordem utilizar-se-áo circuito RC mostrado na Figura 4.2.

0.865KK

y(t)

0.632K

T 2T t

Figura 4.1: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem.

u(t)

R

C y(t)

u(s) y(s)

1

1

�RCs

Figura 4.2: Circuito RC e respectiva função de transferência, R = 6K8 e C = 22nF.

Representação por variáveis de estado

Considere (4.1). Escolhendox1 = y (4.4)

tem-se

x1 = y = − 1Tx1 +

K

Tu (4.5)

x = Ax+ bu

y = cx (4.6)

Na forma matricial tem-se

.x = Ax+ bu

y = cx (4.7)

4.2. RESPOSTA TRANSITÓRIA 69

com

A =[− 1T

], b =

[K

T

]c = 1

onde x representa o estado do sistema; u a entrada ou excitação do sistema e y a saída.A solução x(t) e y(t) de (4.7) é da forma (Dorf e Bishop 2000)

x(t) = eAtx(0) +∫ t

0

eA(t−τ)bu(τ)dτ, x(0) = x(t0)

y(t) = cx(t). (4.8)

4.2.2 Sistemas de segunda ordem

Seja o circuito RLC mostrado na Figura 4.3 o qual é regido por uma equação diferencialde 2a ordem, sendo portanto um sistema de 2a ordem. Este circuito corresponde aosistema de 2a ordem onde

iR = iL = ic = i (4.9)

vR = Ri, vL = Ldi

dt. (4.10)

Aindau = vR + vL + y (4.11)

u = RCdvCdt

+ Ld

dt

[CdvCdt

]+ y (4.12)

ou

u = LCd2vCdt2

+RCdvCdt

+ y. (4.13)

R

u

L

yC

Figura 4.3: Circuito RLC.

A equação diferencial de 2a ordem que representa o circuito RLC mostrado na Figura4.3 é descrita em (4.13).


Representação por função de transferência

Tomando-se a transformada de Laplace de (4.13), com condições iniciais nulas, obtém-sea função de transferência

G(s) =y(s)u(s)

(4.14)

=1LC

s2 + RL s+ 1

LC

.

Esta função de transferência pode ser colocada sob a forma padrão ou forma canônicade um sistema de 2a ordem

G(s) =w2n

s2 + 2ξwns+ w2n

(4.15)

onde ξ denota a constante de amortecimento e wn a freqüência natural. O polinômiocaracterístico de G(s) é dado por

Δ(s) = s2 + 2ξwns+ w2n. (4.16)

As raízes deste polinômio característico representam os pólos do sistema e podem serde três tipos: complexas conjugadas, reais e distintas ou reais e iguais. A cada umadestas situações está associada uma determinada dinâmica para a saída vc(t) do sistema.Genericamente, as raízes do polinômio característico Δ(s) são dadas por

s1,2 = −ξwn ± wn√ξ2 − 1 (4.17)

ous1,2 = −ξwn ± wd (4.18)

onde

wd ={

wn√ξ2 − 1; ξ ≥ 1

wn√

1 − ξ2; ξ < 1.

Se ξ > 1, as raízes do polinômio característico são reais e distintas, caracterizando umaresposta dinâmica sobre-amortecida para o sistema. Se ξ = 1, as raízes são reais eiguais, caracterizando uma resposta criticamente amortecida. Se 0 < ξ < 1, as raízessão complexas conjugadas, caracterizando uma resposta sub-amortecida. A seguir écaracterizada a saída vc(t) em termos da natureza das raízes do polinômio característicodo sistema.

Caso 1 - Sistema sobre-amortecido (ξ > 1)

Neste caso, tendo o sistema duas raízes reais e distintas, tem-se

y(s)u(s)

=w2n

(s+ s1) (s+ s2). (4.19)

4.2. RESPOSTA TRANSITÓRIA 71

Para uma entrada degrau unitário, a saída é da forma

y(t) = 1 −K1e−s1t +K2e

−s2t (4.20)

ondeK1 =

wn

2s1√ξ2 − 1

e K2 =wn

2s2√ξ2 − 1

.

Caso 2 - Sistema criticamente amortecido (ξ = 1)

Neste caso, tendo o sistema duas raízes reais e iguais, tem-se

y(s)u(s)

=w2n

(s+ wn)2. (4.21)


y(t) = 1 − ewnt (1 + wnt) . (4.22)

Caso 3 - Sistema sub-amortecido

Neste caso, tendo o sistema duas raízes complexas conjugadas, tem-se

y(s)u(s)

=w2n

(s+ ξwn + jwd) (s+ ξwn − jwd). (4.23)


y(t) = 1 − e−ξwnt

(coswdt+

ξ√1 − ξ

senwdt

)(4.24)

que também pode ser escrita como

y(t) = 1 − e−ξwnt

√1 − ξ

sen(wn√

1 − ξt+ θ); θ = cos−1(ξ).

Neste último caso, nota-se que a saída terá um comportamento senoidal amortecido.A Figura 4.4 mostra a resposta típica de um sistema de segunda ordem para diversosvalores da constante de amortecimento ξ. Pode-se definir vários índices de desempenhode um sistema de controle como tr, ts,Mp, tp, onde

tr é o tempo de subida, definido como o tempo necessário para a resposta passarde 0% a 100% do seu valor final para sistemas subamortecidos e de 10% a 90% parasistemas sobre-amortecidos;

Mp é o sobre-sinal máximo em percentagem, definido para sistemas sub-amortecidos;tp é o tempo em que ocorre o sobre-sinal máximo;ts é o tempo de acomodação, definido como o tempo decorrido até que a resposta

do sistema y(t) atinja uma faixa de 5% ou 2% do seu valor de regime.


A Figura 4.5 ilustra a obtenção dos índices de desempenho do caso sub-amortecido.Para sistemas de segunda ordem tem-se

tr =π − tan−1(

√1−ξ2ξ )

wn√

1 − ξ2;

ts(5%) =3ξwn

; ts(2%) =4ξwn

;

tp =π

wn√

1 − ξ2;

Mp =y(tp) − y(∞)

y(∞)100%.

Para uma entrada degrau unitário tem-se Mp = e−ξπ√1−ξ2 + 1.

Representação por variáveis de estado

Considere (4.13). Escolhendo

x1 = y

x2 =.x1 =

.y

tem-se.x2 =

..x1 = − 1

LCx1 − R

Lx2 +

1LC

u. (4.25)

Na forma matricial tem-se

.x = Ax+ bu

y = cx

com

x =[x1

x2

], A =

[0 1

− 1LC −R

L

], b =

[01LC

], c =

[1 0

]onde x representa o estado do sistema; u é a entrada ou excitação do sistema e y asaída.

4.3 Resposta em Freqüência

A saída em regime de um sistema linear a uma entrada exponencial complexa é dadapelo produto da entrada pela função de transferência na freqüência correspondente.Seja

u(t) = u0est

y(t) =∫ t−∞ g(t− τ)u0e

sτdτ

=∫ t−∞ g(t− τ)esτdτu0

(4.26)

4.3. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 73

(S)

��

��

��

��

Figura 4.4: Resposta ao degrau típica de sistemas de segunda ordem para diferentes ξ.

t s

Figura 4.5: Especificações de desempenho no domínio do tempo.

fazendo t1 = t− τ tem-se

y(t) =∫ ∞

0

g(t1)es(t−t1)dt1u0 (4.27)

=∫ ∞

0

g(t1)e−st1dt1u0est (4.28)

Reconhecendo a última integral como a transformada de Laplace da resposta impulsionaltem-se

y(t) = G(s)u0est. (4.29)

Para s = jw tem-se y(t) = G(jw)u0ejwt com G(jw) a transformada de Fourier do

sistema.

Exemplo 4.1 Para u(t) = αsen(wt+ θ) verificar que

y(t) = |G(jw)|sen(wt + θ + φ) (4.30)

φ = αtan

(Im G(jw)RealG(jw)

)(4.31)


A partir da fórmula de Euler tem-se αsen(ωt) = α2j (e

jωt − e−jωt). Assim, usando(4.29) para s = jω tem-se

y(t) =α

2j[G(jω)ejωt −G(−jωt)e−jωt] . (4.32)

Usando a notação fasorial para G(jω) = |G(jω)| ejφ pode-se escrever

y(t) = α |G(jω)| sen(ωt+ φ+ θ) (4.33)

com φ a fase de G(jω). A magnitude e fase de G(jω) são chamadas de resposta emfrequência do sistema com resposta impulsional g(t).

Para u = αsen(ωt) tem-se

y(t) = |G(jω)|αsen(ωt+ φ). (4.34)

Portanto, um sistema linear e invariante no tempo estável submetido a uma entradasenoidal u(t) apresenta uma saída y(t) também senoidal, com a mesma freqüência daentrada e amplitude e fase modificadas pelo módulo e fase da função de transferência.A Figura 4.6 mostra a relação entre entrada e saída em regime permanente. A saíday(t) em regime pode ser representada da seguinte forma

y(t) = Y sen(wt+ φ(w) (4.35)

onde

Y = |G(jw)| e φ(w) = tan−1 Im(G(jw))Re(G(jw))

G(jw) = y(jw)/u(jw) = |G(jw)| ejφ(w)

φ(w) é a defasagem entre u(t) e y(t). A resposta em frequência de um sistema podeser facilmente interpretada com base no diagrama de Bode. Trata-se de um par degráficos que representam o logaritmo do módulo e a fase da função de transferência, emfunção da freqüência em escala logaritmica. A principal vantagem de se usar gráficoslogarítmicos é que a multiplicação e divisão dos módulos de pólos e zeros, constituintesda função de transferência G(s) de um sistema, podem ser convertidos em adição esubtração respectivamente. Este fato possibilta a construção aproximada da curva demódulo da função de transferência baseada em aproximações assintóticas dos diferentesfatores básicos que a constituem. Os fatores básicos são: ganho, zeros e pólos na origeme, zeros e pólos reais e complexos. Para obter a reposta em freqüência, substitui-se spor jw na equação de G(s).

4.3.1 Sistemas de primeira ordem

G(jw) =K(1 + T1jw)(1 + T2jw)

(4.36)


entrada

X

Y

saida

Tempo (s)

Figura 4.6: Resposta em frequência de um sistema linear invariante no tempo e estável.

Ganho K

A contribuição no módulo é de 20logK. Não há contribuição angular conformevaria-se a freqüência.

Fator (1 + T2jw)−1

Equação de módulo

20 log∣∣∣∣ 11 + T2jw

∣∣∣∣ = −20 log√

1 + w2T 22 dB (4.37)

A representação logarítmica da resposta em freqüência do fator 1/(1 + jwT ) pode seraproximada por duas assíntotas, uma em 0dB na faixa de freqüência 0 < w < 1/T, eoutra com inclinação de −20dB/decada para a faixa de freqüência de 1/T < w <∞.

Equação de faseφ(G(jw)) = − tan−1 wT2 (4.38)

Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0◦. Na freqüência de corte o ângulo de fase é 45◦.No infinito, o ângulo de fase torna-se −90◦. A função de transferência estudada temcaracterísticas de um filtro passa-baixa, ou seja, nas baixas freqüências o sinal de saídasegue fielmente o sinal de entrada e, nas altas freqüências, o sinal de saída é atenuadotendendo à zero com fase −900.

Fator (1 + T1jw)Equação de módulo

20 log |1 + T1jw| = +20 log√

1 + w2T 21 dB (4.39)

Equação de faseφ(G(jw)) = tan−1 wT1 (4.40)

Neste caso, a inclinação da assíntota de alta freqüência é 20dB/decada e o ângulo defase varia de 0 a 90◦ quando a freqüência varia de 0 a ∞. A Figura 4.7 mostra osdiagramas de módulo e fase para os fatores acima.


10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

w rad/s[ ]

Mód

ulo

Fa

se

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

0

10

20

30

40

50

60

70

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

w rad/s[ ]

Fa

se

Mód

ulo

Figura 4.7: Resposta em freqüência. Diagramas de módulo e fase (T1 = 1, T2 = 1) dosfatores (1 + T2jw)−1 (esquerda) e (1 + T2jw) (direita).

4.3.2 Sistemas com pólos e zeros na origemPólo na origem

G(jw) =1jw

(4.41)


|G(jw)| = 20 log∣∣∣∣ 1jw

∣∣∣∣ = −20 logw dB (4.42)

Equação de faseφ(G(jw)) = −900 (4.43)

A curva de módulo é uma linha reta com inclinação de −20dB/década. A contribuiçãoângular é de −90◦ enquanto a freqüência varia de 0 a ∞.

Zero na origemG(jw) = jw (4.44)

Equação de módulo|G(jw)| = 20 log |jw| = 20 logwdB (4.45)

Equação de faseφ(G(jw)) = 90◦ (4.46)

A curva de módulo pussui inclinação de 20dB/decada. A contribuição ângular é de90◦ quando a freqüência varia de 0 a ∞. A Figura 4.8 mostra os diagramas de móduloe fase de um polo e um zero na origem.


10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

101

102

103

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

w rad/s[ ]()

Mó

du

loF

ase

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

101

102

103

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

w rad/s[ ]

Módulo

Fase

Figura 4.8: Resposta em freqüência de jw. Diagramas de módulo e fase dos fatores 1jw

(esquerda) e jw (direita).

4.3.3 Sistemas de segunda ordem

G(jw) =1

1 + 2ξ(jwwn

)+

(j wwn

)2 (4.47)


|G(jw)| =1√(

1 − w2

w2n

)2

+(2ξ w

wn

)2(4.48)

Equação de fase

φ(jw) = − tan−12ξ w

wn

1 −(wwn

)2 (4.49)

Para ilustrar a relação entre resposta em freqüência e resposta no domínio do tempo,as Figuras 4.9 e 4.10 mostram a localização dos pólos do sistema no plano s e ascorrespondentes respostas no domínio do tempo e freqüência em termos do coeficientede amortecimento ξ. Nas Figuras 4.9 e 4.10 “ ∗ ” denota conjugado complexo.

A Figura 4.11 mostra respostas típicas de um sistema de segunda ordem para diver-sos valores da constante de amortecimento ξ. Pode-se definir vários índices de desem-penho no domínio da freqüência a saber, Mr, wr, wb onde Mr é a magnitude de pico de


Figura 4.9: Localização de polos de um sistema de 2a ordem no plano s.

Resposta PólosSobreamortecida S4, S5

Criticamente amortecida S3, S3

Subamortecida (S1, S1* ),(S2, S2* )

Figura 4.10: Respostas ao degrau de sistemas de 2a ordem com polos como na Figura4.9.


Figura 4.11: Respostas em freqüência típicas para sistemas de 2a ordem com polos comona Figura 4.9. Diagramas de módulo e fase.

ressonância; wr é a freqüência de ressonância; wb é a largura de faixa, medida quando oganho do sistema cai 3dB em relação ao valor w → 0. A Figura 4.12 ilustra a obtençãodos índices de desempenho do caso sub-amortecido. Para sistemas de segunda ordemtem-se

Mr = |G (jw)|max = |G (jwr)| =1

2ξ√

1 − ξ2(4.50)

e

wr = wn√

1 − 2ξ2 (0 < ξ < 0, 707) . (4.51)

Para ξ > 0, 707, Mr = 1. Conforme ξ tende a zero, Mr tende a infinito.


Circuitos com amplificadores operacionais são fáceis de serem montados em laborató-rio e são comumente usados para realizar uma grande variedade de funções lineares.Estes circuitos são freqüentemente referenciados como circuito integrado linear básico(Millman e Halkias 1996). Neste capítulo, experimentos de análise e síntese são rea-lizados a partir de circuitos com amplificadores operacionais montados em um paineldidático como ilustrado na Figura 4.13.


Figura 4.12: Especificações de desempenho do domínio da freqüência.

Circuitos em

placas

modulares

Figura 4.13: Painel modular com circuitos lineares.

4.4.1 Experimento 1: Respostas de sistemas de 1a ordem e 2a

ordem

Resposta transitória

1. Utilizando um isolador entre o circuito RC e a fonte, aplicar um sinal de ondaquadrada vi(t) de amplitude 2V pico a pico com freqüência conveniente ou, apliqueum degrau vi(t) de mesma amplitude. Anote a forma de onda da saída vo(t) emeça a constante de tempo T .

2. Utilizando um isolador entre o circuito RLC e a fonte, aplicar um sinal de ondaquadrada vi(t) de amplitude 2V pico a pico com freqüência conveniente ou, apliqueum degrau vi(t) de mesma amplitude. Anote a forma de onda da saída vo(t) emeça os índices de desempenho aplicáveis para ξ = 2, 1 e 0, 2, ajustando-se Rapropriadamente.

Os itens 3) e 4) abaixo devem ser feitos no MATLAB para facilitar a comparaçãocom os resultados experimentais correspondentes a serem obtidos nos itens 1) e


2). Utilize os comandos MATLAB: step ou lsim.

3. Obter a resposta do circuito RC, ao degrau unitário e compará-la ao resultadoexperimental do item 1).

4. Obter a resposta do circuito RLC, ao degrau unitário e compará-la ao resultadoexperimental do item 2).

Resposta em freqüência

Os itens 5) a 7) abaixo devem ser feitos no MATLAB para facilitar a comparaçãocom os resultados experimentais correspondentes a serem obtidos nos itens 8) e9). Utilize o comando bode.

5. Obter as equações de módulo e ângulo de fase do circuito RC da Figura 4.2 paraos valores de R e C do circuito RC. Obter os gráficos da resposta em freqüênciaG(jw) em dB e φ(w) em grau.

6. Obter as equações de módulo e ângulo de fase do circuito RLC, para os valoresde R, L e C dados. Calcule R para obter ξ = 2. Obter a resposta em freqüênciaG(jw) em dB e φ(w) em graus.

7. Repetir o item 4) calculando R para obter ξ = 1 e ξ = 0, 2.

8. Aplicar uma entrada senoidal vi(t) de amplitude 1V pico a pico no circuito daFigura 4.3, com um isolador entre gerador de sinais e o circuito RC, variando fde 10 Hz a 5 kHz. Esta escolha de faixa de freqüências deve ser feita a partirde considerações sobre a faixa de operação do circuito RC. Organizar os valoresmedidos como na Tabela 4.1, com c e b parâmetros da figura de Lissajous.

9. Aplicar uma entrada senoidal vi(t) de amplitude 1 V pico a pico no circuito daFigura 4.3, com um isolador entre o gerador e o circuito variando f de 10 Hz a20 kHz, para ξ = 0, 2, ajustando R apropriadamente. Esta escolha de faixa defreqüências foi feita a partir de considerações sobre a faixa de operação do circuitoRLC. Organizar os valores medidos como na Tabela 4.1, com c e b parâmetrosda figura de Lissajous. Medir wr e Mr.

Tabela 4.1: Valores experimentais para o diagrama de Bode dos sistemas RC e RLCdas Figuras 4.2 e 4.3.

Freqüência vi(t) vo(t) vo(t)/vi(t) 20log c = φ =de Excitação f(Hz) a b b/a vo/vi bsenφ sen−1c/b


4.4.2 Experimento 2: Análise de polos

O objetivo deste experimento é estudar as características de sistemas que apresentampólos na origem e pólos dominantes. Na primeira parte simula-se um sistema queapresenta um pólo na origem e estuda-se a influência deste pólo no comportamentodo sistema no domínio do tempo e no domínio da freqüência. Em seguida realiza-seum sistema de 3a ordem associando um circuito RLC a um integrador ativo do tipoencontrado no painel mostrado na Figura 4.13.

Polo na origem

Considere a função de transferência do tipo

G(s) =K

s(T2s+ 1). (4.52)

O termo 1/s representa o polo na origem, um integrador ideal, que é não realizável naprática. Portanto, deve-se usar aproximações para obter um integrador como descritoa seguir.

Suponha dois integradores reais e que portanto, apresentam as seguintes funções detransferências

G1(s) =1

T1s+ 1(4.53)

eG2(s) =

1T2s+ 1

(4.54)

onde wc1 = 1/T1 e wc2 = 1/T2 são respectivamente suas freqüências de corte, (como osintegradores representam filtros passa-baixas, wc1 e wc1, representam as freqüências decorte destes filtros). Tomando-se (4.53) e (4.54), substituindo a variável s pela variávelcomplexa jw e rearranjando-as em funções de wc1 e wc2 obtém-se

G1(jw) =1

(jw/wc1 + 1)(4.55)

eG2(jw) =

1(jw/wc2 + 1)

. (4.56)

Analisando G1(s) em função da variável complexa jw, tem-se:

1. Quando w/wc1 � 1 ou w � wc1, |G1(jw)| ≈ 1, ou seja, qualquer sinal senoidalde entrada de freqüência w � wc1, não altera a saída seja em amplitude ou fase.

2. Quando w/wc1 � 1 ou w � wc1, G1(jw) ≈ 1/(jw/wc1), ou seja, qualquer sinalsenoidal de entrada de freqüência w � wc1, altera a fase e amplitude da saída.Nesta situação, a amplitude será sensivelmente atenuada e a fase sofrerá um des-locamento de −90◦, isto é, se o sinal de entrada for uma senóide, a saída será umacossenóide de amplitude bastante reduzida.

3. Em qualquer outra situação, diferente daquelas em 1 e 2 acima, G1(s) deve serdada por (4.53).


Tabela 4.2: Levantamento de valores experimentais para o diagrama de Bode.

Freqüência vi(t) vo(t) vo/vi(t) 20log c = φ =Excitação f(Hz) a b b/a vo/vi bsenφ sen−1c/b

Considere a associação em cascata de dois integradores com wc2 � wc1. Desta forma,para efeito de análise, se a freqüência w for em torno de wc2, a condição w � wc1 ésatisfeita e, portanto, pode-se considerar a função de transferência da associação como

G12(s) =1

T1s(T2s+ 1). (4.57)

A expressão (4.57) representa então um sistema com pólo na origem que deseja-seestudar. No painel mostrado na Figura 4.13 dispõe-se de dois integradores ativos, quesatisfazem a condição wc2 � wc1.

1. Utilizando dois integradores ativos com R1 = 1Ω, C1 = nF e R2 = Ω, C2 = nF ,implemente o sistema que simule a seguinte função de transferência

G(s) =K

T1s(T2s+ 1)(4.58)

onde T1 = R1C1 e T2 = R2C2.

(a) Obtenha os valores de KMIN e KMAX . Obtenha a resposta transitória e osinal entre os dois integradores. Aplicar uma onda quadrada vi(t) de am-plitude 2V pico a pico com freqüência conveniente à entrada deste sistema.Anote as respostas para K = KMIN e K = KMAX .

(b) Faça um levantamento da resposta em freqüência paraK = KMAX , organizeos dados de acordo com a Tabela 4.2 para w dentro da faixa de freqüênciade atuação do sistema. Lembre que w � 1/T1.

2. A partir do sistema G(s), implemente no painel uma realimentação unitária.

(a) Obtenha a resposta transitória ao degrau e anote as respostas obtidas paraK = KMIN e K = KMAX . Verifique como o ganho K altera a dinâmica dosistema.

(b) Atuando no ganho do sistema obtenha na tela do osciloscópio a condição emque o sistema apresenta uma resposta criticamente amortecida. Meça o valordo ganho K nesta condição.

Pólos dominantes

Pólos dominantes são os pólos de malha fechada que têm efeitos dominantes no compor-tamento da resposta transitória. Esta dominância está relacionada com a magnitudedas partes reais destes pólos, quando não há zeros na vizinhança. Estabelece-se que


quando a relação da magnitude das partes reais excede a 10, os pólos mais próximosdo eixo jw do plano S são os pólos dominantes. Freqüentemente os pólos dominantesocorrem na forma de complexos conjugados (Desoer 1979). Pode-se secionar no planos as regiões nas quais os pólos são mais e menos dominantes como na Figura 4.14.

polos nãodominantes

polosdominantes

plano s

região instável

jw

0

2

1105

12

Figura 4.14: Plano s e região de dominância.

Os pólos próximos ao eixo imaginário no semiplano esquerdo do plano S resultamem respostas transitórias que decaem lentamente, enquanto que os pólos distantes dospólos dominantes resultam em respostas transitórias que decaem rapidamente. Paracaracterizar sistemas com pólos dominantes implementa-se um sistema com a seguintefunção de transferência

G(s) =w2n

(T2s+ 1)(s2 + 2ζwns+ w2n). (4.59)

1. Associar em cascata um sistema de primeira ordem realizado pelo integrador ativo(wc maior) com um sistema de segunda ordem realizado pelo circuito RLC comR um potenciômetro variável de 20KΩ, C = nF e L = mH. Dessa forma tem-seum sistema de terceira ordem, onde o polo do bloco de primeira ordem é fixo e osdois pólos de segunda ordem são ajustáveis.

2. Com relação ao bloco de segunda ordem, calcule o valor de R = RCR para queeste sistema (isolado) seja criticamente amortecido. Com o multímetro, ajusteeste valor de R no potenciômetro.

(a) Obtenha a resposta transitória ao degrau para o sistema de terceira ordem.

3. Ajuste e meça um novo valor de R� RCR.

(a) Repita o item 2a.

4. Ajuste e meça um novo valor de R� RCR.

(a) Repita o item 2a.

Capítulo 5

Fundamentos de SistemasDinâmicos

Durante as últimas duas décadas a estrutura de sistemas lineares tem sido exaustiva-mente estudada por diversos autores em diferentes contextos. Destacam-se as contri-buições de Wolovich (1967), Kailath (1980), Wonham (1985) e Rosenbrock (1970). Aspropriedades estabilidade, controlabilidade, estabilizabilidade, observabilidade, detec-tabilidade desempenham um papel importante no projeto de sistemas de controle.

5.1 Estabilidade

O conceito de estabilidade é extremamente importante porque os sistemas de controlesão projetados para atenderem especificações de estabilidade e de desempenho. A es-tabilidade será vista em termos da descrição entrada-saída e espaço de estado, sendointroduzido o conceito de estabilidade entrada limitada saída limitada (BIBO, do inglês),estabilidade de estado de equilíbrio, estabilidade via equação de Lyapunov e estabili-dade no domínio da freqüência. As referências básicas utilizadas foram os livros Chen(1999) e Zhou (1998). As definições e resultados de BIBO estabilidade dadas seguemChen (1999).

Definição 5.1 Um sistema linear relaxado é dito ser BIBO estável se e só se paraqualquer entrada limitada a saída for limitada.

Teorema 5.1 Um sistema monovariável relaxado descrito por

y(t) =∫ t

∞g(t, τ)u(τ)dτ (5.1)

é BIBO estável se e só se existir um finito k tal que

y(t) =∫ t

∞|g(t, τ)| u(τ)dτ ≤ k <∞, t ∈ (−∞,∞) (5.2)

85

86 CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DINÂMICOS

Se para algum k

y(t) =∫ t

∞|g(t, τ)|u(τ)dτ ≤ k <∞, t ∈ (−∞,∞) (5.3)

então tem-se

1. Se u for uma função periódica com período T , u(t) = u(t + T ) para todo t ≥ 0então a saída y(t) tende a uma função periódica com o mesmo período T .

2. Se u(t) for limitada e tender para uma constante então a saída tende para umaconstante.

3. Se u for de energia finita

u(t) =(∫ t

∞|u(t)|2 d(t)

)1/2

≤ k1 <∞ (5.4)

então a saída é também de energia finita, existe k2 dependente de k1 tal que

y(t) =(∫ t

−∞|u(t)|2 d(t)

)1/2

≤ k2 <∞ (5.5)

Observação 5.1 A saída apresenta as mesmas propriedades da entrada em um sistemaBIBO estável.

Corolário 5.1 (Resposta em freqüência) Seja o sistema invariante no tempo

y(t) =∫ t

0

g(t, τ)u(τ)dτ (5.6)

se y(t) =∫ t−∞ |g(t− τ)| u(τ)dτ ≤ k < ∞ para algum k e se u(t) = sen(ω0t), t ≥ 0

entãoy(t) → |g(jω0)| sen(ω0t+ θ) (5.7)

onde θ = tan−1 Img(jω0)Reg(jω0) com Re e Im denotando a parte real e a parte imaginária,

respectivamente.

Prova. Lembrando que sen(t− τ) = sen(t)cos(τ) − cos(t)sen(τ) e que

y(t) =∫ t

0

g(t− τ)u(τ)dτ =∫ t

0

g(τ)u(t− τ)dτ (5.8)

tem-se

y(t) =∫ t0 g(τ)u(t− τ)dτ

= sen(ω0t)∫ ∞0 g(τ)cos(ω0τ)dτ − cos(ω0t)

∫ ∞0 g(τ)sen(ω0τ)dτ −

∫∞t g(τ)sen(ω0(t− τ))dτ.

Observe que∣∣∣∣∫ ∞

t

g(τ)sen(ω0(t− τ))∣∣∣∣ dτ ≤

∫ ∞

t

|g(τ)| |sen(ω(t− τ))| dτ ≤∫ ∞

t

|g(τ)| dτ

5.1. ESTABILIDADE 87

como (g é integrável) ∫ ∞

t

|g(τ)| dτ → 0 quando t→ ∞

e

g(jω) =∫ ∞

0

g(t)e−jω0tdt.

Assim, quando t→ ∞ tem-se

y(t) → senω0t

∫ ∞

0

g(τ)cosω0τdτ − cosω0t

∫ ∞

0

g(τ)senω0τdτ.

E então para g(t) real usando o fato de que

Re[g(jω)] =∫ ∞0 g(τ)cosωτdτ

Im[g(jω)] = − ∫∞0 g(τ)senωτdτ

tem-sey(t) → senω0tReg(jω0) + cosω0tImg(jω0)

= |g(jω0| sen(ω0t+ θ)

onde θ = tan−1 Img(jω0)Reg(jω0) . �

Teorema 5.2 Um sistema monovariável e relaxado descrito por g(s) é BIBO estávelse e só se todos os polos de g(s) estiverem no semiplano lateral esquerdo do plano s ou,equivalentemente, se todos os polos de g(s) tiverem a parte real negativa.

5.1.1 Caso multivariável

Seja gij como a resposta impulsional entre a j-ésima entrada e i-ésima saída.

Teorema 5.3 Um sistema relaxado

y(t) =∫ t

−∞G(t, τ)u(τ)dτ (5.9)

é BIBO estável se e só se existir k finito tal que

y(t) =∫ t

−∞‖G(t, τ)‖ dτ = k <∞, ∀t (5.10)

onde ‖G(t, τ)‖ := ‖G(t, τ)‖∞ ou qualquer outra norma.

Teorema 5.4 Um sistema multivariável e relaxado descrito por y(s) = G(s)u(s) ondeG(s) é uma matriz racional própria, é BIBO estável se e só se todos os polos de cadaelemento de G(s) tiverem parte real negativa.


5.2 Estabilidade de Polinômios

Esta seção restringe-se aos resultados de estabilidade relacionados ao teorema de Her-mite Biehler. Os resultados de Routh-Hurwitz podem ser encontrados em vários livrostextos de controle. O teorema de Hermite Biehler fornece condições necessárias e sufi-cientes para a estabilidade de polinômios a partir da satisfação de uma certa condiçãode entrelaçamento.

Propriedade 1 Se P (s) é um polinômio real de Hurwitz então todos os seus coefici-entes são não zero e têm o mesmo sinal, ou positivo ou negativo.

Propriedade 2 Se P (s) é um polinômio real de Hurwitz de grau n, o arg[P (jw)] éuma função contínua e estritamente crescente de ω ∈ (−∞,∞ . Além disso, a fase paraω ∈ (−∞,∞ é nπ.

5.2.1 O teorema de Hermite-Biehler e generalizações.

Seja δ(s) = δ0 + δ1s+ ...+ δnsn um polinômio real dado de grau n

δ(s) = δe(s2) + sδo(s2)

onde δe(s2), sδo(s2) são os componentes de δ(s) formados pelas potências pares e ím-pares de s respectivamente. Para cada freqüência � ∈ R, denota-se

δ(jω) = p(ω) + jq(ω)

onde p(ω) = δe(−ω2), q(ω) = ωδo(−ω2). Sejam ωe1, ωe2, ... os zeros reais, distintos enão negativos de δe(−ω2) e sejam ωo1, ωo2, ... os zeros reais, distintos e não negativosde δo(−ω2), ambos organizados em ordem ascendente de magnitude.

Teorema 5.5 Seja δ(s) = δ0+δ1s+...+δnsn um polinômio real dado de grau n. Entãoδ(s) é Hurwitz estável se e somente se todos os zeros de δe(−ω2), δo(−ω2) são reais edistintos, δn e δn−1 são de mesmo sinal, e os zeros reais e não negativos satisfazem aseguinte propriedade de entrelaçamento

0 < ωe1 < ωo1 < ωe2 < ... (5.11)

Prova. A prova pode ser encontrada em Datta et al. (2000). �

Exemplo 5.1 Sejam os seguintes polinômios

1. δ(s) = s7 + 5s6 + 14s5 + 25s4 + 31s3 + 26s2 + 14s+ 4

2. δ(s) = s5 + 13s4 + 66s3 + 162s2 + 188s+ 80.

3. δ(s) = s6 + 12s5 + 53s4 + 96s3 + 26s2 − 108s− 80.

Pede-se verificar a sua estabilidade usando o Teorema 5.5.

5.2. ESTABILIDADE DE POLINÔMIOS 89

Solução. No primeiro caso obtém-se

p(ω) = −5ω6 + 25ω4 − 26ω2 + 4q(ω) = ω(−ω6 + 14ω4 − 31ω2 + 14)

Neste polinômio δn e δn−1 possuem o mesmo sinal, as raízes de δe(jω) e de δo(jω) sãosimples e reais e as raízes reais e não negativas de δe(jω) e de δo(jω) são:

ωe1 = 0.4311 ωo1 = 0.7841ωe2 = 1.0895 ωo2 = 1.4142ωe3 = 1.9045 ωo3 = 3.3742

A ocorrência do entrelaçamento pode ser verificada visualmente na Figura 5.1. Concluí-se então que este polinômio é Hurwitz.

0 1 2 3 4 5

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

� (rad/s)

p(�)q(�)

Figura 5.1: Gráficos de p(jω) e q(jω).

No segundo caso δn e δn−1 possuem o mesmo sinal, as raízes de δe(jω) e de δo(jω)são simples e reais e as raízes reais e não negativas de δe(jω) e de δo(jω) são

ωe1 = 0.7177 ωo1 = 1.7272ωe2 = 3.4564 ωo2 = 7.9383

Ocorre entrelaçamento, como pode-se verificar pela Figura 5.2 e portanto este polinômiotambém é Hurwitz.

No último caso o polinômio δn e δn−1 possuem o mesmo sinal e as raízes de δe e δosão simples, mas δe e δo possuem raízes complexas. As raízes reais e não negativas deδe(jω) e de δo(jω) são

ωe1 = 1.2347 ωo1 = 3.0000ωe2 = 7.2440

Ocorre entrelaçamento, como podemos verificar na Figura 5.2 à direita, mas o polinômionão é Hurwitz, pois δe e δo possuem raízes complexas. �


0 2 4 6 8 10 12

-10

-5

0

5

10

15

�(rad/s)

p(�)q(�)

0 2 4 6 8 10 12

-15

-10

-5

0

5

10

15

�(rad/s)

p(�)q(�)

Figura 5.2: Gráficos de p(ω) e q(ω).

Algoritmo 5.1 O algoritmo utilizado para verificar o Teorema 5.5 é dado a seguir.

1. Ler os coeficientes do polinômio δ(s).

2. Verificar se sgn(δn) = sgn(δn−1).

3. Obter os polinômios δe(s2) e δo(s2).

4. Verificar se as raízes de δe(−ω)2) e δo((−ω)2) são simples.

5. Verificar se todas as raízes de δe((jω)2) e δo((−ω)2) são reais.

6. Obter as raízes reais e não negativas de δe((−ω)2) e δo((−ω)2).

7. Verificar a ocorrência de entrelaçamento.

8. Gerar gráficos de p(ω) e q(ω) normalizados.

Para verificar se as raízes de δe(jω)2) e δo((−ω)2) são simples (passo 4), verifica-se acoprimidade entre os polinômios δe((−ω)2) e δo((−ω)2) e suas respectivas derivadas.Assim basta verificar a coprimidade do polinômio com sua derivada. Com este objetivoutilizamos o teorema a seguir, que pode ser encontrado em Chen (1984), pp 577.

Teorema 5.6 Considere dois polinômios D(s) e N(s) com D(s) = 0. Então D(s) eN(s) são coprimos se e somente se qualquer uma das seguintes condições for válida:

1. Para cada s em C, ou para cada raiz de D(s), a matriz 2 × 1[D(s)N(s)

]possui

posto 1.

2. Existem dois polinômios X(s) e Y (s) tais que

X(s)D(s) + Y (s)N(s) = 1 (5.12)

5.2. ESTABILIDADE DE POLINÔMIOS 91

3. Não existem polinômios A(s) e B(s) tais que

N(s)D(s)

=B(s)A(s)

(5.13)

ou, de forma equivalente,

−B(s)D(s) +A(s)N(s) =[ −B(s) A(s)

] [ D(s)N(s)

]= 0 (5.14)

e deg(A(s)) < deg(D(s)).

Discute-se agora um método de resolver a equação 5.14. Sejam

D(s) = D0 +D1s+D2s2 + ...+Dns

n Dn = 0 (5.15)N(s) = N0 +N1s+N2s

2 + ...+Nmsm Nm = 0 (5.16)

e sejam

A(s) = A0 +A1s+ ...+An−1sn−1 (5.17)

B(s) = B0 +B1s+ ...+Bm−1sm−1 (5.18)

onde de forma alguma especificamos que An−1 = 0 e Bm−1 = 0. Definamos

S :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢D0 D1 D2 · · · Dn−1 Dn 0 0 · · · 0 00 D0 D1 · · · Dn−2 Dn−1 Dn 0 · · · 0 0...

......

......

......

......

0 0 0 · · · 0 D0 D1 D2 · · · Dn−1 Dn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ m linhas

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣N0 N1 N2 · · · Nm−1 Nm 0 0 · · · 0 00 N0 N1 · · · Nm−2 Nm−1 Nm 0 · · · 0 0...

......

......

......

......

0 0 0 · · · 0 N0 N1 N2 · · · Nm−1 Nm

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ n linhas

(5.19)S é uma matriz quadrada de ordem n+m denominada Matriz de Sylvester. Substituindo(5.15)- (5.18) em (5.14) e igualando os coeficientes si, i = 0, 1, ..., n+m− 1 obtemos[

−B0 −B1 −B2 · · · −Bm−1

... A0 A1 A2 · · · An−1

]S =

[−B ... A

]S = 0 (5.20)

Este é um conjunto de n + m equações algébricas lineares homogêneas. Transfor-mamos assim a equação polinomial −B(s)D(s) +A(s)N(s) = 0 em (5.20). Se a matrizS é não-singular a única solução de (5.20) é a solução trivial A(s) = B(s) = 0. Emoutras palavras, não existe nenhum polinômio A(s) de grau menor ou igual a n − 1tal que N(s)/D(s) = B(s)/A(s). Desta forma, de acordo com o Teorema 5.6, D(s) eN(s) são coprimos. Se S é singular, existe uma solução não trivial [−B A] em (5.20).Existem, portanto, polinômios A(s) de grau menor ou igual a n − 1 e B(s) tais queN(s)/D(s) = B(s)/A(s), e assim D(s) e N(s) não são coprimos. Podemos estabelecerentão o seguinte corolário:

Corolário 5.2 Os polinômios D(s) e N(s) são coprimos se e somente se a sua matrizde Sylvester definida em 5.19 é não-singular.


5.2.2 Caracterização analítica do teorema de Hermite-Biehler

A caracterização analítica equivalente do teorema de Hermite-Biehler dada por H. Cha-pellat e Bhattacharyya (1990) é apresentada a seguir. Seja a função sinal padrãosgn : R → −1, 0, 1, definida como

sgn[x] =

⎧⎨⎩−1 se x < 00 se x = 01 se x > 0

Lema 5.1 Seja δ(s) = δ0 + δ1s+ ...+ δnsn um polinômio real dado de grau n. Escreva

δ(s) = δe(s2) + sδo(s2) onde δe(s2) e sδo(s2) são as componentes de δ(s) associadas àspotências ímpares e pares de s, respectivamente. Para toda frequência ω ∈ � denoteδ(jω) = p(ω+ jq(ω) com p(ω) = δe(−ω2), q(ω) = ωδo(−ω2). Sejam ωe1, ωe2, ... os zerosreais, distintos e não negativos de δe(−ω2) e sejam ωo1, ωo2, ... os zeros reais, distintose não negativos de δo(−ω2), ambos organizados em ordem ascendente de magnitude.Então as seguintes condições são equivalentes

1. δ(s) é estável Hurwitz

2. δn e δn−1 possuem o mesmo sinal

3.

n =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩sgn[δ0]{sgn[p(0)]− 2sgn[p(ωo1)] + 2sgn[p(ωo2)] + · · ·+(−1)m−12sgn[p(ωom−1)] + (−1)msgn[p(∞)]}para n = 2msgn[δ0]{sgn[p(0)] − 2sgn[p(ωo1)] + 2sgn[p(ωo2)] + · · ·+(−1)m−12sgn[p(ωom−1)] + (−1)msgn[p(ωom)]}para n = 2m+ 1

(5.21)

4. δn e δn−1 possuem o mesmo sinal e

n =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩sgn[δ0]{2sgn[p(ωe1)] − 2sgn[q(ωe2)] + · · ·+(−1)m−22sgn[q(ωem−1)] + (−1)m−1sgn[q((ωem)]}para n = 2msgn[δ0]{2sgn[q(ωe1)] − 2sgn[e(ωe2)] + · · ·+(−1)m−12sgn[q(ωem)] + (−1)msgn[q(∞)]}para n = 2m+ 1

(5.22)

A generalização do Lema 5.1 para o caso de polinômios não necessariamente Hurwitzé apresentada em Datta et al. (2000) a qual segue. Seja δ(jω) um dado polinômio realde grau n e Pf (jω) a sua normalização por 1

f(ω) onde f(ω) = (1 + ω2)n2 e escreva

Pf (jω) = pf (ω) + jqf (ω) (5.23)

onde pf (ω) e qf (ω) denotam parte real e imaginária de Pf (ω), respectivamente.

Teorema 5.7 Seja δ(s) um dado polinômio real de grau n sem raízes no eixo jω excetopossivelmente uma na origem. Sejam 0 = ωo0 < ωo1 < ωo2 < · · · < ωom−1 reais, não-negativos e distintos zeros finitos de qf (ω) com multiplicidade par. Também defina

5.3. RESULTADOS DE ESTABILIDADE PARA QUASIPOLINÔMIOS 93

ωm = ∞. Então

σ(P ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

{sgn[pf(ωo0)] − 2sgn[pf(ωo1)] + 2sgn[pf(ωo2)] + · · ·+(−1)m−12sgn[pf(ωom−1)] + (−1)msgn[pf(ωom)]}.(−1)m−1sgn[q(∞)]if n impar{sgn[pf(ωo0)] − 2sgn[pf(ωo1)] + 2sgn[pf(ωo2)] + · · ·+(−1)m−12sgn[pf(ωom−1)]}.(−1)m−1sgn[q(∞)]if n par

(5.24)onde σ(δ) := número de zeros de δ(s) no semi-plano aberto esquerdo - número de zerosde P (s) no semi-plno aberto direito, σ(δ) denota a assinatura de δ(s).

Observação 5.2 No Teorema 5.7 se o polinômio é Hurwitz estável então σ(δ) = n.

Seja Δ∞0 θ a variação líquida no argumento θ(ω) := arctan[ q(ω)

p(ω) ] quando ω cresce de0 a ∞. Então, pode-se estabelecer o seguinte lema de Gantmacher (1959).

Lema 5.2 Seja δ(s) um polinômio real sem raízes no eixo imaginário. Então, Δ∞0 θ =

π2σ(δ).

5.3 Resultados de Estabilidade para QuasipolinômiosOs resultados de Pontryagin (1955) são apresentados a seguir.

Teorema 5.8 Seja H(z) = h(z, ez) com h(z, t) um polinômio com termo principalamnt

mzn. Seja H(iω) = F (ω)+ iG(ω). Se todos os zeros de H(z) estiverem à esquerdado eixo imaginário, o vetor v = H(iω) com ω real em −∞ a +∞ continuamenteevolui na direção positiva com velocidade positiva. Esta condição pode ser expressapor G′(ω)F (ω) − G(ω)F ′(ω) > 0, com G′(ω) a derivada de G com respeto a ω. Alémdisso, para ω no intervalo −2kπ ≤ ω ≤ 2kπ, o vetor v = H(iω) descreve um ângulo4πnk+ πm+ δ1, com δ1 → 0. Se, ao contrário, o vetor v = H(iω) descreve um ângulo4πnk + πm + δ1, quando ω varia no intervalo −2kπ ≤ ω ≤ 2kπ, então v roda nadireção positiva com velocidade positiva e os zeros da função H(z) são todos distintose situam-se à esquerda do eixo imaginário.


mzn. Seja H(iω) = F (y) + iG(y). Se todos os zeros da função H(z) estiveremà esquerda do eixo imaginário, então os zeros de F (y) e G(y) são reais e entrelaçam,cada uma destas funções não tem zeros mútiplos, entre cada dois zeros de uma destasfunções existe somente um da outra, e estas funções nunca são simultaneamente zero,e

G′(ω)F (ω) −G(ω)F ′(ω > 0) (5.25)

para cada ω. Além disso, para que todos os zeros de H(z) estejam à esquerda do eixoimaginário, é suficiente que uma das seguintes condições sejam satisfeitas:

1. Todos os zeros das funções F (ω) e G(ω) são reais e alternam e a desigualdade(5.25) é satisfeita para pelo menos um valor de ω.


2. Todos os zeros da função F (ω) são reais, e para cada zero ω = ω0, desigualdade(5.25) é satisfeita, isto é, G(ω0)F ′(ω0) < 0.

3. Todos os zeros da função G(ω) são reais, e para cada um destes zeros ω = ω0,desigualdade (5.25) é satisfeita, isto é, G′(ω0)F (ω0) > 0.

Teorema 5.10 Se h(z, t) não tiver termo principal então a função H(z) = h(z, ez)tem um número ilimitado de zeros com parte real positiva arbitrariamente grande.


mzn. Se a função X ∗(n)(ez) definida em (2.126) tem polos no semiplano direitoaberto, então a função H(z) tem um número ilimitado de zeros no semiplano direitoaberto. Se todos os zeros de X ∗(n)(ez) estiverem no semiplano esquerdo aberto então afunção H(z) tem um número limitado de zeros no semiplano direito aberto.

Como discutido em (Xu et al. 2003), no Teorema 5.11 não se analisa quando X ∗(n)(ez)possui zeros no eixo imaginário. Observe que quando |z| → ∞ tem-se que as raízes deH(z) = 0 são determinadas pelas raízes de X ∗(n)(ez) = 0. Então, se X ∗(n)(ez) pos-sui zeros no eixo imaginário, existem cadeia de zeros de H(z) aproximando do eixoimaginário.

5.3.1 Critério de Nyquist e quasi-polinômios

O critério de Nyquist é um critério que fornece o número de raízes características dosistema a malha fechada no semiplano direito em termos do número de envolvimentosdo ponto −1 + j0. O critério de Nyquist não é aplicável a sistemas com atraso comum número infinito de raízes características no semiplano-direito. As condições deutilização do critério de Nyquist em sistemas com atraso derivadas em (Xu et al. 2003)são apresentadas a seguir. A notação utilizada aqui é a mesma introduzida na Seção2.3.1.

Teorema 5.12 Considere um sistema com realimentação unitária com uma função detransferência dada por

G(s) =N(s)D(s)

e−Ts (5.26)

com N(s) := bmsm + bm−1s

m−1 + · · · + b0 e D(s) := ansn + an−1s

n−1 + · · · + a0 e Tum atraso constante. Então,

1. Se n < m ou n = m e∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≥ 1 são os coeficientes de maior grau de N(s) eD(s), respectivamente, o critério de Nyquist não se aplica e o sistema é instávelde acordo com os resultados de Pontryagin (Pontryagin 1955).

2. Se n > m ou n = m e∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≤ 1 o critério de Nyquist é aplicável.

Prova. O quasipolinômio característico do sistema realimentado é

δ(s) = D(s) + e−sTN(s). (5.27)

5.3. RESULTADOS DE ESTABILIDADE PARA QUASIPOLINÔMIOS 95

Multiplicando δ(s) por esT e definindo z = Ts obtém-se

δ(z) = Dz(z)ez +Nz(z). (5.28)

com Dz(z) := D(s)T−n e Nz(z) := N(s)T−m. Observe que δ(z) e δ(s) possuem osmesmos zeros.

Para a condição 1 do teorema, δ(z) não possui termo principal e de acordo como Teorema 5.10 o sistema possui um número ilimitado de zeros no semiplano direitoaberto e portanto o critério de Nyquist não se aplica.

Para a condição 2 do teorema, δ(z) possui o termo principal anT−nezzn e X ∗(1) =an

Tn ez e a solução X ∗(1) = 0 é z = −∞ e portanto pelo Teorema 5.11 δ(z) possui

um número limitado de zeros no semiplano direito aberto e o critério de Nyquist seaplica. Resta analisar o caso n = m para

∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≥ 1 e∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≤ 1. Neste caso tem-se

X ∗(1) = an

Tn ez + bn

Tn .Então, tem-se que X ∗(1) = 0 para ez = − bn

an . Assim, somente para o caso em que∣∣∣ bn

an

∣∣∣ ≤ 1 tem-se zeros de X ∗(1) no semiplano esquerdo aberto quando o critério de

Nyquist de aplica. Para ver isto, considere a solução de X ∗(1)(z), a qual, para bn

an> 0 é

dada por x = ln∣∣∣ bn

an

∣∣∣ e y = 2kπ + π, e para bn

an< 0 por x = ln

∣∣∣ bn

an

∣∣∣ e y = 2kπ + π comk ∈ Z e z = x+ jy. �

5.3.2 Entrelaçamento em altas frequênciasConsidere um caso especial da classe (2.120) comum em problema de engenharia decontrole.

Δ(s) = d(s) +M∑k=1

e−sTknk(s) (5.29)

com 0 < T1 < T2 < · · · < TM , nk(s) = bMksMk + bMk−1s

Mk−1 + · · ·+ b0k, k = 1, · · · ,Me d(s) = sn + an−1s

n−1 + · · · + a0. Multiplicando Δ(s) por esTM resulta

δ(s) = esTMd(s) +M∑k=1

es(TM−Tk)nk(s). (5.30)

O quasipolinômio (5.30) tem o termo principal aMn o qual é igual a 1. Suponha aseguinte suposição

A1) Mk < n for k = 1, · · · ,M .Sob suposição A1), observe que o quasi-polinômio (5.30) é do tipo retardo. Existem

funções reais transcedentais p(ω) e q(ω) na variável real ω associada com (5.30) tal queδ(jω) = p(ω) + jq(ω), com p(ω) e q(ω) denotando a parte real e imaginária de δ(jω).De acordo com a terminologia usual, diz-se que os zeros das funções reais p(ω) e q(ω)interlaçam, ou alternam, ao longo do eixo ω se cada uma destas funções não possuizeros multiplos e se entre cada dois zeros de uma destas funções existe somente um zeroda outra e se estas funcões não forem simultaneamente iguais a zero.

Uma extensão do teorema de Hermite-Biehler foi desenvolvida para estudar a esta-bilidade do quasipolinômio (5.30), a qual é enunciada como segue (Silva et al. 2002).


Teorema 5.13 Sob a suposição A1), a função inteira δ(s) em (5.30) é estável se e sóse

i) p(ω) and q(ω) tem somente raízes reais simples e estas se interlaçam;ii) q′(ω∗)p(ω∗) − q(ω∗)p′(ω∗) > 0 para algum ω∗ ∈ (−∞,∞)

com p′(ω) e q′(ω) denotando a primeira derivada de p(ω) e q(ω) com respeito a ω,respectivamente.

Lema 5.3 Considere o quasi-polinômio (5.30). Sejam p(ω) e q(ω) parte real e imagi-nária de δ(jω), respectivamente. Sob hipótese A1), existe 0 < ω0 < +∞ tal que em[ω0,∞) as funções p(ω) e q(ω) têm somente raízes reais e estas se interlaçam.

Prova. Apresentamos aqui a prova dada em (Oliveira et al. 2003). Em (5.30) se |s| égrande, o quasipolinômio torna-se

δ(s) � esTM sn +M∑k=1

bMkes(TM−Tk)sMk . (5.31)

De fato, tem-se δ(s) = esTM sn[1 + ε0(s)] +∑M

k=1 bMkes(TM−Tk)sMk [1 + εk(s)], com

ε0(s) := an−1s + · · · + a0

sn e εk(s) := 1bMk

( bMk−1

s + · · · + b0k

sMk), k = 1, · · · ,M (Bellman e

Cooke 1963). Assim, εk(s) → 0 quando |s| → +∞, k = 0, 1, · · · ,M.

Pode-se daqui supor que os zeros de δ(s)e os zeros de esTM sn+∑Mk=1 bMk

es(TM−Tk)sMk

estão próximos para |s| grande. A partir de (5.31) tem-se δ(s) � esTM sn[1 + ε∗(s)] comε∗(s) =

∑Mk=1

bMk

esTksn−Mk. Substituindo s = jω e usando o fato de que ε∗(jω) → 0

quando ω → ∞ pode-se escrever

δ(jω) = ejωTM (jω)n para ω > ω0; ω0 suficientemente grande. (5.32)

Espandindo o termo exponencial pode-se escrever

δ(jω) = (cos(ωTM ) + j sin(ωTM ))(jω)n.

Suponha agora n even. Então

δr(ω) = (−1)n/2 cos(ωTM )ωn (5.33)

δi(ω) = (−1)n/2 sin(ωTM )ωn. (5.34)

Usando o Teorema 2.6, as soluções de δr(ω) e δi(ω) são raízes reais e interlaçam. Defato, substituindo ω1 = ωTM em (5.33) e (5.34), e definindo u = cos(ω1) e v = sin(ω1)pode-se escrever

δr(ω1, u, v) =(−1)n/2

T nMuωn1 (5.35)

δi(ω1, u, v) =(−1)n/2

T nMvωn1 . (5.36)

O termo principal em δ(w1, u, v) de δr(ω1) e δi(ω1) são ωn1 φ(q)p (u, v) = ωn1

(−1)n/2

TnM

u e

ωn1(−1)n/2

TnM

v, respectivamente, e p = n e q = 1 em ambas funções. A seguir, escolhe-se

5.4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS NA FORMA ESPAÇO DE ESTADO 97

η = π/4 uma vez que φ∗(1)(π/4) = 0. É fácil ver que φ(q)p (ω1) in (5.35) tem 4 raízes reais

no intervalo [−2π+π/4, 2π+π/4]. Também, o zero na origem de ωn1 tem multiplicidaden. Assim, segue que δr(ω1) tem 4 + n raízes reais no intervalo [−2π + π/4, 2π + π/4].Consequentemente, δr(ω1) tem 4 + n raízes no intervalo [−2π + π/4, 2π + π/4] for = 1, 2, · · · . Usando o Teorema 2.5 tem-se que δr(ω1) possui somente raízes reais. Pode-se usar o mesmo raciocínio para mostrar que este resultado vale para δi(ω1). Observeque ambos δr(ω1) e δi(ω1) possuem somente raízes reais simples exceto pela raiz naorigem.

As soluções de δi(ω1) = 0 são dadas por ω = 0 com multiplicidade n + 1 e ω1 =π, = 1, 2, · · · e as soluções δr(ω1) = 0 são dadas por ω1 = 0 com multiplicidade n eω1 = (2+ 1)π/2, = 0, 1, 2, · · · Entretanto, tem-se que δr(ω1) e δi(ω1) interlaçam paraω1 > ω0 com ω0 suficientemente grande. Similarmente, o resultado segue para n ímpar.

�

Observação 5.3 Com o resultado do Lema 5.3, sob hipótese A1) os zeros suficiente-mente grandes de p(ω) e q(ω) interlaçam em [ω0,+∞), seja estável ou não o quasi-polinômio (5.30).

Em (5.30) considere o caso de um atraso simples, isto é, k = 1. Considere tambémque o grau de n1 pode ser igual ao grau do polinômio d(s), isto é, M1 ≤ n. Pelo Lema5.3 para |s| → ∞ e ω → ∞ tem-se

δr(ω1, u, v) =(−1)n/2

T n1uωn1 − bM1(−1)n/2

T nωn1 (5.37)

δi(ω1, u, v) =(−1)n/2

T n1vωn1 − bM1(−1)n/2

T nωn1 . (5.38)

No intervalo [−2π+π/4, 2π+π/4] verifica-se que para bM1 < 1, δr possui 4+n raízese em [−2π+ π/4, 2π+ π/4] 4+ n, mas, para bM1 = 1 no mesmo intervalo δr possui3 + n raízes e para bM1 > 1 apenas n raízes. Aplicando agora o Teorema 2.6 tem-seque δr, exceto pelas raízes na origem, possui somente raízes reais no caso bM1 < 1. Omesmo raciocínio pode ser feito para mostrar que este resultado vale para δi. Assim,as soluções de δr(ω1) são dadas por ω = 0 com multiplicidade n e ω1 = acos(−bM1) eas soluções de δi são dadas por ω1 = 0 com multiplicidade n + 1 e ω1 = asin(−bM1).Assim, tem-se que o entrelaçamento ocorre para ω1 > ω0, ω0 suficientemente grandequando bM1 < 1.

Este resultado poderia ser mostrado de outra forma, usando o Teorema 5.12 e ofato de que raízes indo para o semiplano esquerdo implicam entrelaçamento em altasfreqüências.

5.4 Estabilidade de Sistemas na Forma Espaço de Es-tado

Considere o sistema (A,B,C,D)

x = Ax+Bx

y = Cx. (5.39)


A solução de (A,B,C,D) pode ser expressa como

x(t) := s(t; t0, x0, 0) + s(t; t0, 0, u). (5.40)

A resposta ao estado zero é da forma

y(t) =∫ t

t0

C(t)Φ(t, r)B(τ)u(τ)dτ (5.41)

=∫ t

t0

G(t, τ)u(τ)dτ (5.42)

onde Φ(t, τ) é a matriz transição de estado.

Teorema 5.14 A resposta ao estado zero de (A,B,C,D) é BIBO estável se e só existirum número finito k tal que∫ t

t0

‖ C(t)Φ(t, τ)B(τ) ‖ dτ ≤ k <∞ (5.43)

para todo t0 e para todo t ≥ t0

A resposta à entrada nula de (A,B,C,D) é da forma x(t) := s(t; t0, x0, 0) = Φ(t, t0)x0.

Definição 5.2 Um estado xe de (A,B,C,D) é um estado de equilíbrio em t0 se e sóse x = s(t; t0, xe, 0), para todo t ≥ t0 e xe = 0, para todo t ≥ t0.

Observação 5.4 O estado de equilíbrio é solução de Ax = 0, t ≥ t0 e o estado zero 0é sempre um estado de equilíbrio de x = Ax.

5.5 Definições de Estabilidade LocalConsidere o sistema

x = f(t, x), x(0) = x0, t ≥ 0 (5.44)

onde x ∈ Rn e f : R ×Rn → Rn com f tal que (5.44) tem solução única para cadax(0). Seja x = s(t; t0, x0, 0) a solução de (5.44). O vetor xe é um equilíbrio de (5.44) sef(t, xe) = 0.

Definição 5.3 Um estado de equilíbrio xe é estável em t0 se e só se para todo ε > 0,existir um número positivo δ(ε, t0) tal que se ‖x0 − xe‖ < δ, então

‖s(t; t0, x0, 0) − xe‖ ≤ ε para todo t ≥ t0 (5.45)

O estado de equilíbrio xe é uniformemente estável sobre [t0,∞] se e só se para cadaε > 0, existir um δ positivo que depende de ε mas não de t0 tal que ‖x0 − xe‖ < δ,então

‖s(t; t1, x0, 0) − xe‖ < ε para todo t1 ≥ t0 e para todo t ≥ t1. (5.46)

O estado de equilíbrio é instável se não for estável.

5.5. DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE LOCAL 99

Figura 5.3: Órbita oscilador de Van der Poll do Exemplo 5.2.

Pode-se interpretar estabilidade segundo a Definição 5.3 da seguinte forma. Parauma bola Bε associada a cada ε deve existir uma bola Bδ associada a δ tal que trajetóriasiniciando dentro de Bδ para t = t0 não escapam de Bε, para todo t ≥ t0.

Definição 5.4 O estado de equilíbrio xe é assintoticamente estável em t0 se for estávelem t0 e se toda trajetória iniciando suficientemente próximo de xe converge para xequando t → ∞. Dado algum γ > 0 tal que se ‖x(t1) − xe‖ ≤ γ, então para qualquerε > 0 existe um T (ε, γ, t1) > 0 tal que se

‖s(t; t1, x(t1), 0) − xe‖ < ε, todo t ≥ t1 + T (5.47)

O estado de equilíbrio xe é uniformemente assintóticamente estável sobre (t0,∞) se Tna Definição 5.4 independe de t1.

Para sistemas autônomos, f em (5.44) não depende explicitamente do tempo, nãoexiste distinção entre estabilidade e estabilidade uniforme uma vez que alterando acondição inicial meramente translada-se a sua solução.

Exemplo 5.2 Considere o oscilador de Van der Poll

x1 = 5x2; x2 = −x1 + (1 − x21)x2 (5.48)

A origem é um ponto de equilíbrio. A solução apresenta uma órbida periódica isoladacomo ilustrado na Figura 5.3. Usando a Definição 5.3 tem-se que não se consegue obterum δ para ε > 0 suficiente pequeno e portanto a origem é instável.

Exemplo 5.3 Considere novamente o oscilador de Van der Poll mas no tempo reverso,isto é, com t substituído por −t

x1 = −5x2; x2 = x1 + (x21 − 1)x2 (5.49)

Este sistema tem a origem como equilíbrio e esta é assintoticamente estável.


Figura 5.4: Órbita oscilador de Van der Poll do Exemplo 5.3

5.6 Estabilidade de Sistemas LinearesAs definições de estabilidade de estado de equilíbrio dadas anteriormente têm uma na-tureza local porque não sabemos quão pequenas as constantes δ e γ devem ser. Entre-tanto, para sistemas lineares por causa da propriedade de homogeneidade δ e γ podemser estendidas para o inteiro espaço de estado. O que significa que em sistemas linearesestabilidade local implica estabilidade global.

Teorema 5.15 O estado de equilíbrio xe de x = A(t)x é estável no sentido de Lyapunov(i.s.L) em t0 se e só se existir alguma constante k(t0) tal que

‖Φ(t, t0)‖ ≤ k <∞ para todo t ≥ t0 (5.50)

se k for independente de t0 tem-se estabilidade uniforme i s L.

Observação 5.5 Se o estado zero for assintoticamente estável, então o estado zero éo único estado de equilíbrio do sistema. Se existir outro, escolhendo-o como condiçãoinicial este não se aproxima do estado zero.

Teorema 5.16 O estado zero de x = A(t)x é assintoticamente ou exponencialmenteestável em t0 se e só se ||Φ(t, t0)|| ≤ k(t0) < ∞ e ‖Φ(t, t0)‖ → 0 quando t → ∞. Oestado zero é uniformemente assintoticamente estável sobre [t0,∞] se e só se existemnúmeros positivos k1 e k2 tais que

‖Φ(t, t0)‖ ≤ k1e−k2(t−t0) (5.51)

para qualquer t0 ≥ 0 e para todo t ≥ t0.

5.6.1 Sistemas lineares invariantes no tempoTeorema 5.17 O estado de equilíbrio xe de x = Ax é estável no sentido de Lyapunovou marginalmente estável se todos os autovalores de A tiverem parte real zero ou negativae aqueles com parte real zero forem raízes simples do polinômio mínimo de A.

5.7. CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE 101

Teorema 5.18 O estado de equilíbrio xe de x = Ax é assintoticamente estável se todosos autovalores de A tiverem parte real negativa.

Sistemas discretos no tempo

Sejax(k + 1) = Ax(k). (5.52)

A solução de (5.52) é da formax(k) = Akx0. (5.53)

Teorema 5.19 O sistema x(k + 1) = Ax(k) é marginalmente estável ou estável nosentido de Lyapunov se todos os autovalores de A tiverem magnitudes menores ou iguaisa 1 e aqueles com magnitudes iguais a 1 forem raízes simples do polinômio mínimo deA.

Teorema 5.20 O sistema 5.52 é assintoticamente estável se todos os autovalores de Ativerem magnitudes menores do que 1.

5.7 Controlabilidade e ObservabilidadeO conceito de controlabilidade está relacionado com entradas e estado e o conceitode observabilidade com saídas e estado. São propriedades estruturais dos sistemas(A(.), B(.), C(.), D(.)) que fornecem informações relevantes para o projeto de controle.Considere o sistema

x = A(t)x +B(t)u,y = C(t)x +D(t)u (5.54)

onde u ∈ Rm é a entrada, y ∈ Rp, a saída, x ∈ Rn o estado, (A(.), B(.), C(.), D(.))matrizes n× n, n×m, p× n e p×m e t ∈ (−∞,∞).

Definição 5.5 Um sistema (A(.), B(.), C(.), D(.)) é controlável em t0 se existir umalei de controle u (contínua por partes) que transfira qualquer estado inicial x0 e Rn aum estado arbitrário x1 em um tempo finito t1 > t0

Teorema 5.21 (Chen 1999) Seja uma função fi contínua de valor complexo definidaem [t1, t2]. Seja F uma matriz nxp com fi sendo sua i-ésima linha. Defina a matriz

W (t1, t2) =∫ t2

t1

F (t)F ∗(t)dt (5.55)

então fi,...,fn são linearmente independentes em [t1, t2] se e só se W (t1, t2) for nãosingular.

Teorema 5.22 (Chen 1999) Seja fi uma função contínua de valor complexo definidaem [t1, t2]. Seja F uma matriz n× p com fi sendo sua i-ésima linha. Defina a matriz

W (t1, t2) =∫ t2

t1

F (t)F ∗(t)dt (5.56)


então fi,..., fn são linearmente independentes em [t1, t2] se e só se W (t1, t2) for nãosingular.

Teorema 5.23 (Chen 1999) Um sistema (A(.), B(.), C(.), D(.)) é controlável em t0 see só se existir um t1 > t0 finito tal que as n linhas da matriz n ×mΦ(t0, )B(), sejamlinearmente independentes em [t0, t1].

Prova. Suficiência. Se as linhas de Φ(t0, )B() forem linearmente independentes em[t0, t1], pelo Teorema 5.22 a matriz

W (t0, t1) =∫ t1

t0

Φ(t0, τ)B((τ)∗Φ∗(t0, τ)dτ (5.57)

é não singular. Para qualquer x(t0) = x0 e qualquer x1 pode-se mostrar que a entrada

u(t) = −B∗(t)Φ∗(t0, t)W−1(t0, t)[x0 − Φ(t0, t)x1] (5.58)

leva x0 ao estado x1 em t = t1.Necessidade. Por contradição. Suponha (A(.), B(.), C(.), D(.)) controlável em t0

mas com as linhas Φ(t0, )B() linearmente dependentes em, [t0, t1], t1 > t0 finito. Entãoexiste um vetor α = 0 tal que

αΦ(t0, )B() = 0, t ∈ [t0, t1] (5.59)

Escolha x(t0) = x0 = α′ = 0 :

Φ(t0, t1)x(t1) = α′ +∫ t1

t0

Φ(t0, τ)B(τ)u(τ)dτ (5.60)

premultiplicando por α:

Φ(t0, t1)x(t1) = αα′ +∫ t1

t0

Φ(t0, τ)B(τ)u(τ)dτ (5.61)

Por hipótese, (A(.), B(.), C(.), D(.)) é controlável em t0. Assim, para qualquer estadox1, em particular x(t1 = 0, existe u(t), t em [t0, t1] tal que x(t1 = 0. Entretantox(t1) = 0 implica α = 0 o que é uma contradição. �

A seguir, os resultados mais conhecidos testes de controlabilidade para sistemas linearese invariantes no tempo são apresentados.

Teorema 5.24 As seguintes proposições são equivalentes.

1. O sistema (A,B,C,D) é controlável em qualquer instante t0 ∈ [0,∞).

2. As linhas de e−AtB são linearmente independentes em [0,∞) sobre o corpo dosnúmeros complexos.

3. A matriz [B AB A2B ... An−1 B] possui posto n.

4. A matriz Wc(t) =∫ t0 e

AτBBT eATτdτ é não singular para qualquer t > 0.


Teorema 5.25 O sistema dinâmico (A,B,C,D) ou ou equivalentemente o par (A,B)é controlável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas

1. PBH teste posto[sI −A B

]= n, ∀s

o conjunto de autovalores da parte não controlável de (A,B) coincide com o con-junto de valores de s para os quais a matriz acima perde posto.

2. Kalman teste posto[B AB...(A)n−1B

]= n

3. Wonham testeDado um conjunto arbitrário simétrico ∧ de n números complexos, existe umamatriz K tal que o espectrum de A+BK coincide com ∧.

A seguir, introduz-se os resultados de estabilização de sistemas a partir dos testes decontrolabilidade já apresentados.

Teorema 5.26 O sistema dinâmico (A,B,C,D) ou equivalentemente o par (A,B) éestabilizável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas

1. Popov Beleirtch-Hautus (PBH) testeposto

[sI −A B

]= n, Re(s) ≥ 0

2. Kalman testeA parte não controlável do sistema é estável. Isto é, para todo λ e correspondenteautovetor v tal que v∗A = v∗λ e Re(λ) ≥ 0 tem-se v∗B = 0.

3. Wonham testeExiste uma matriz K tal que A+BK é estável.

Considerando que a saída y e a entrada u são conhecidas e o estado inicial é des-conhecido, se x(t0) for conhecido o estado pode ser computado para t > t0 e, tem-se aseguinte definição de observabilidade.

Definição 5.6 Um sistema é observável em t0 se e só se existir um instante tempofinito t1, t1 > t0, tal que para qualquer estado inicial a entrada u e a saída y sãosuficientes para determinar unicamente x(t0).

Um teorema análogo ao Teorema 5.23 pode ser estabelecido para a observabilidadeutilizando a dualidade entre controlabildade e observabilidade a ser estabelecida. Aseguir, encontram-se os testes de observabilidade mais conhecidos para sistemas linearese invariantes no tempo .

Teorema 5.27 O sistema dinâmico (A,B,C,D) ou equivalentemente o par (A,C) éobservável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas (Kailath 1980)

1. PHP teste

posto[sI −AC

]= n, ∀s

o conjunto de autovalores da parte não observável de (A,C) coincide com o con-junto de valores de s para os quais a matriz acima perde posto


2. Kalman teste

posto[CTATCT ... (AT )n−1CT

]= n

3. Wonham testeDado um conjunto arbitrário simétrico Λ de n números complexos, existe umamatriz L tal que o espectrum de A+LC coincide com Λ

A seguir introduz-se a definição de detetabilidade de sistemas a partir dos testes deobservabilidade já apresentados.

Teorema 5.28 O sistema dinâmico (A,B,C,D) ou equivalente o par (A,C) é detec-tável se e só se as condições equivalentes seguintes forem verificadas

1. PHP teste

posto[sI −AC

]= n, Re(s) ≥ 0

2. Kalman testeA parte não observável do sistema é estável. Isto é, para todo λ e correspondenteautovetor v tal que Av = λv e Re(λ) ≥ 0 tem-se Cv = 0

3. Wonham testeExiste uma matriz L tal que A+ LC é estável

Teorema 5.29 (Teorema da dualidade) O par (A,B) é controlável se e só se o par(AT , BT ) for observável.

Prova. O par (A,B) é observável se e só se Wc(t) =∫ t

0 eAτBBT eATτdτ for não-

singular para qualquer t. O par (A,C) é observável se e só seW0(t) =∫ t0 e

ATτCTCeAτdτ

for não singular. Substituindo A por AT e C por BT em W0(t) tem-se W0(t) =∫ t0 e

AτBBT eAT τdτ que é não-singular. Assim, W0(t) e Wc(t) são idênticas e o teorema

segue. �

Exemplo 5.4 (Kailath 1980) Considere um carrinho com dois pêndulos invertidoscomo mostrado na Figura 5.5 As equações do movimento são da forma

mv = −mgθ1 −mgθ2 + u (5.62)m(v + iθi) = mgθi, i = 12 (5.63)

onde v é a velocidade e u a força externa aplicada. Pergunta-se:

1. É possível controlar os 2 pêndulos (mantê-los na vertical com u())?

2. O sistema é observável com y = θ1?

Solução. Definindo x1 = θ1, x2 = θ2, x3 = θ1, x4 = θ2 e eliminando v nas equações demovimento tem-se:

x = Ax+ bu (5.64)


�1

2�1�

Figura 5.5: Carrinho com dois pêndulos invertidos.

onde

A =

⎡⎢⎢⎣0 0 1 00 0 0 1a1 a2 0 0a3 a4 0 0

⎤⎥⎥⎦ , B =

⎡⎢⎢⎣00

−1/M1−1/M2

⎤⎥⎥⎦ (5.65)

com

a1 =(M +m)gM1

, a2 =mg

M1, (5.66)

a3 =mg

M2, a4 =

(M +m)gM2

(5.67)

1. Para manter os pêndulos na vertical, a realização tem de ser controlável: θ1 =0 = θ2. Uma vez que det(U) = 0, com U a matriz de controlabilidade, quando1 = 2, quando se tem M2g2l21

22(1 − 2)2 =) e portanto, se 1 = 2 o sistema

não é controlável.

2. y = θ1, c = [1 0 0 0]det(V ) = −a2

2 = − (mg)2

Ml1= 0 com V a matriz de observabilidade. Portanto o

sistema é observável.

Considere as equações de espaço de estado discretas

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), x(0) = x0, k ≥ 0y(k) = Cx(k) +Du(k). (5.68)

A natureza recursiva das equações espaço de estado discretas torna fácil a verificaçãoda controlabilidade e observabilidade. A partir das equações de estado pode-se escrever


a sua solução para k no intervalo [0, n− 1]

x(n) = An = Anx0 + [B AB A2B ... An−1B]

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

u(n− 1)u(n− 2)

.

.

.u(1)u(0)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(5.69)

ou

x(n) −An = Anx0 + [B AB A2B ... An−1B]

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

u(n− 1)u(n− 2)

.

.

.u(1)u(0)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(5.70)

A equação acima pode ser rescrita para o intervalo [0, k] como segue

x(k) −Akx0 = Uk

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

u(k − 1)u(k − 2)

.

.

.u(1)u(0)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(5.71)

com

Uk = [B AB A2B ... Ak−1B].

onde Un ∈ Rn×mn é a chamada matriz de controlabilidade. Analisando a equação acima,qualquer estado inicial pode ser transferido para um estado qualquer em no máximon passos se e só se a matriz de controlabilidade Uk tiver posto n. Em outras palavrasexiste [uk−1, uk−2, ..., u1, u0]T para quaisquer x(k) e x0 se e só se o posto Uk = n. E,pelo Teorema de Cayley Hamilton precisa-se verificar se posto Uk = n até k = n.

A partir da equação de saída pode-se escrever a sua solução para k no intervalo[0, n− 1]

y(0) = Cx(0)y(2) = Cx(2) = CAx(1) + CBu(1)y(3) = Cx(3) = C(Ax(2) +Bu(2)) = C(CAx(1) + CBu(1)) = CA2x(1) + CABu(1)

...

y(n− 1) = CAn−1Bx(0) + ...+ CAn−2Bu(n− 1) + ...+ CABu(0) + CBu(0)

5.8. EQUAÇÃO DE LYAPUNOV 107

Na forma matricial tem-se⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣y(0)y(1)...

y(n− 1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = V x(0) + T

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣u(0)u(1)...

u(n− 1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (5.72)

com V ∈ Rpn×n e T dadas por

V =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

CCACA2

.

.

.CAn−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, T =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 0 ... 0 0CB 0 ... 0 0CAB CB ... 0 0

... ... ... 0 0CAn−2 CAn−1 ... CB 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .

Analisando (5.72) acima pode-se afirmar que o estado em t = k pode ser recupe-rado a partir das entradas e saídas se e só se a matriz de observabilidade V tiver postocompleto.

A equação acima pode ser rescrita para a entrada u(.) igual a zero e solução y(.) nointervalo [0, k − 1]. ⎡⎢⎢⎢⎣

y(0)y(1)

...y(k − 1)

⎤⎥⎥⎥⎦ = Vkx(0) (5.73)

onde

Vk =

⎡⎢⎢⎢⎣CCA...

CAk−1

⎤⎥⎥⎥⎦ (5.74)

De acordo com resultados da álgebra linear, x(0) pode ser recuperado se e só seposto Vk = n, para algum k. E, pelo Teorema de Cayley Hamilton precisa-se verificarse posto Vk = n até k = n.

Teorema 5.30 Uma realização é mínima se (A,B) for controlável e (C,A) observável.

5.8 Equação de LyapunovConsidere o sistema linear homogêneo

x = Ax (5.75)


com A real. No estudo da estabilidade de (5.75) pergunta-se se todas as trajetóriasdeste sistema convergem para 0 quando t → ∞. Uma condição suficiente para isto éa existência de uma função quadrática do tipo energia V (x) = xTPx, P = PT , P > 0que decresce ao longo das trajetórias de (5.75). Se existir esta P diz-se que o sistema(5.75) é quadraticamente estável e V é referenciada como uma função de Lyapunovquadrática. Uma vez que V = xT (ATP + PA)x uma condição necessária e suficientepara estabilidade quadrática de (5.75) é P > 0 e (ATP + PA) < 0.

Teorema 5.31 Considere o sistema linear x = Ax com det(A) = 0 e xe = 0. ConsidereV (x) = xTPx, P = PT > 0. Então, V (x) é uma função de Lyapunov do sistema linearse e só se para qualquer Q = QT > 0 existe P = PT > 0 tal que

ATP + PA = −Q. (5.76)

Prova. Para V (x) = xTPx temos V (x) = xTPx + xTP x. Usando x = Ax podemosescrever V (x) = xTATPx + xTPAx. Então, V (x) = xT [ATP + PA]x = −xTQx <0, ∀x = 0. �

A equação (5.76) é referenciada como equação de Lyapunov. Os testes de estabilidade,controlabilidade e observabilidade podem ser feitos indiretamente via a equação deLyapunov. Considere a equação de Lyapunov (5.76) com A eQmatrizes quadradas reaisconhecidas. Sabemos que esta equação possui solução única quando λi(A) + λj(A) =0, ∀i, j = 1, 0, . . . , n. A seguir estuda-se a relação entre a estabilidade e a solução P(Zhou et al. 1996 Colaneri et al. 1997).

Lema 5.4 Suponha A estável. Então, as seguintes afirmações são verdadeiras.

1. P =∫∞0 eA

T tQeAt

2. P > 0 se Q > 0 e P ≥ 0 se Q ≥ 0

3. se Q ≥ 0 então (Q,A) é observável se P > 0

Prova. A afirmação 1) segue substituindo P na equação de Lyapunov:

ATP + PA =∫ ∞

0

AT eAT tQeAtdt+

∫ ∞

0

eAT tQeAtAdt

=∫ ∞

0

d

dteA

T tQeAtdt

= eAT tQeAt|∞0

= 0 −Q = −Q.Para verificar as afirmações 2) e 3) suponha λ um autovalor de A e v um autovetor

correspondente tal que Av = λv. Pré-multiplicando ATP + PA + Q = 0 por v∗ epós-multiplicando por v usando v∗AT = v∗λ∗ obtém-se:

2Re(λ)(v∗Xv) + v∗QV = 0. (5.77)

Agora desde que A é estável tem-se P > 0 se Q > 0 e P ≥ 0 se Q ≥ 0 e portanto 1)segue. O resultado 3) pode ser mostrado usando o teste de Kalman. Suficiência. Desdeque A é estável e Q ≥ 0 tem-se Qv = 0 se P > 0. Necessidade. Suponha P > 0 entãoQv = 0 e (Q,A) é observável. �

5.8. EQUAÇÃO DE LYAPUNOV 109

Corolário 5.3 Se A for estável o par (C,A) é observável se a solução da seguinteequação de Lyapunov for definida positiva.

ATL0 + L0A+ CTC = 0 (5.78)

A solução L0 é chamada de Gramiano de observabilidade. Similarmente, o par (A,B)é controlável se a solução da seguinte equação de Lyapunov for definida positiva.

ATLc + LcA+BTB = 0 (5.79)

A solução L0 é chamada de Gramiano de controlabilidade.

Lema 5.5 Suponha P é a solução da equação de Lyapunov ATP +PA+Q = 0, então

1. Re λi(A) ≤ 0 se X > 0 e Q ≥ 0

2. A é estável se P > 0 e Q > 0

3. A é estável X ≥ 0, Q ≥ 0 e (Q,A) é detetável

Prova. Suponha λ um autovalor de A e v um autovetor correspondente tal que Av =λv. Pré-multiplicando ATP + PA + Q = 0 por v∗ e pós-multiplicando por v usandov∗A∗ = v∗λ∗ obtém-se:

2Re(λ)(v∗PV ) + v∗QV = 0 (5.80)

Agora se P > 0 então v∗PV > 0 e fica claro que Re(λ) ≤ 0 se Q ≥ 0 e Re(λ) < 0se Q > 0 Daqui 1) 2) seguem. O resultado 3) segue usando contradição. SuponhaRe(λ) ≥ 0. Isto implica v∗Qv = 0 i. e., Qv = 0. Isto implica que λ é um modo instávele não observável contradizendo a suposição (Q,A) observável. �

Lema 5.6 Sejam

G =[

A BC D

]e Lc, L0 os gramianos de controlabilidade e observabilidade, respectivamente. A norma2 de G(s) é dada por

‖G‖22 = tr(CLcCT ) = tr(BTL0B) (5.81)

Prova. A norma 2 do sistema G pode ser escrita em termos da resposta impulsionalg(t)

‖G‖22 =

∫ ∞

0

tr[gT (t)g(t)]dt (5.82)

esta integral existe se o sistema for estável. Substituindo a resposta impulsional em(5.82) tem-se

‖G‖22 =

∫ ∞

0

tr[BT eAT tCTCeAtB]dt =

∫ ∞

0

tr[CeAT tBBT eA

T tC]dt (5.83)

Assim, usando

L0 =∫ ∞

0

eAT tCTCeAtLc =

∫ ∞

0

eAT tBBT eAt (5.84)

chega-se ao resultado. �


5.8.1 Análise de estabilidade usando LMIsBaseado no Teorema 5.31, a verificação de estabilidade do sistema (5.75) resume-se emverificar se as seguintes desigualdades são verdadeiras

ATP + PA < 0 (5.85)

P = PT > 0 (5.86)

Exercício 5.1 Utilizando o módulo LMI do Matlab escrever um programa para verificaras desigualdades (5.85) simultaneamente para uma dada matriz A.� A = [0 1 0; 0 0 1;−6 − 11 − 6];� setlmis([ ]); Inicio da obtenção das LMIs� P = lmivar(1, [length(A)1]); Declaração que P é uma matriz simétrica� lmiterm([1 1 1 P ], 1, A,′ s′); LMI1 : P ∗A+A′ ∗ P < 0� lmiterm([−211P ], 1, 1); LMI2 : P > 0� lmiestabilidade=getlmis; Termino da obtenção das LMIs� [tmin, xfeasp] = feasp(lmiestabilidade); %Teste da existência de solução ou dafactibilidade da LMI. Se tmin < 0: a LMI é factível� if tmin < 0� Pf = dec2mat(lmiestabilidade,xfeasp,P);� disp(’Sistema estável’);� disp(′P =′), disp(Pf)� disp(’Autovalores de P’), disp(eig(Pf))� disp(’Autovalores de A’), disp(eig(A))� else� disp(’Sistema instável’)�end

Exercício 5.2 Mostrar que a norma 2 pode ser calculada resolvendo o problema deotimização

‖G‖22 = min tr[BTXB]

sujeito a

ATX +XA+ CTC < 0X > 0.

5.9 Polos e ZerosOs polos e zeros de um sistema SISO descrito pela função de transferência g(s) são dadospelas raízes do polinômio do denominador e do numerador de g(s), após os cancelamen-tos, se houverem. Para um sistema MIMO por inspeção da matriz de transferênciaG(s) pode-se saber a localização dos polos examinando cada elemento de G(s). Porém,a multiplicidade dos polos não é tão facilmente determinada. Já os zeros, por inspeçãonão se pode saber nem a respeito da sua localização, uma vez que G(s) é uma matrizpolinomial p×m. Os zeros de cada função de transferência significam pouco do ponto

5.9. POLOS E ZEROS 111

de vista de controle multivariável e não podem ser utilizados na generalização do con-ceito de zeros para sistemas MIMO. Para exemplificar o conceito de zeros considere oexemplo a seguir dado em (Zhou et al. 1996).

Exemplo 5.5 Seja

G(s) =[ 1s+1

1s+2

2s+2

1s+1

](5.87)

onde cada elemento de G é estável e não possui zeros finitos. Suponha um K(s) instável:

K(s) =[ s+2s−2 − s+1

s−√2

0 1

]. (5.88)

Entretanto, K(s)G(s) é estável,

K(s)G(s) =

[− s+

√2

(s+1)(s+2) 02s+2

1s+1

]. (5.89)

Isto implica que G tem um zero instável em√

2 o qual cancela o polo instável de K. Oszeros de G são:

√2 e −√

2.Se p = m, G(s) é uma matriz quadrada e os zeros podem ser definidos como as

raízes da equação polinomial

det[C(adj(sI −A)) +D det(sI −A)] = 0. (5.90)

Se p = m os zeros ocorrem quando G(s) perde posto.

5.9.1 Polos e zeros de transmissãoPara um sistema MIMO descrito pela função de transferência G(s) a forma de McMillanpermite encontrar os zeros e polos de G(s).

Definição 5.7 Considere a matriz racional G(s) e a sua forma McMillan

M(s) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣f1(s) 0 · · · 0 0

0 f2(s) · · · 0 0

0 0. . . 0 0

0 0 · · · fr(s) 00 0 · · · 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (5.91)

onde fi = εi(s)ψi(s)

, i = 1, 2, ..., r, εi(s) divide εi+1(s) e ψi+1(s) divide ψi(s).

Os polos de G(s) são definidos como as raízes de∏yi=1 ψi(s) e os zeros como as

raízes de∏yi=1 εi(s). A definição de polos e zeros de G(s) coincide com aquela de polos

e zeros de transmissão de um sistema tendo G(s) como função de transferência. Écostumeiro chamar os polos de transmissão de polos.

Observação 5.6 Em geral, εi(s) e ψi(s), i = j podem ter raízes comuns e portanto sis-temas MIMO podem apresentar polos e zeros coincidentes mesmo no caso de realizaçõesmínimas.


Exemplo 5.6 Considere a forma de Smith Mcmillian de G(s)

M(s) = U(s)G(s)V (s) =

⎡⎣ 1(s−1)2(s+1) 0 0

0 s+1s+2 0

0 0 0

⎤⎦ (5.92)

onde U(s) e V (s) são matrizes unimodulares (possuem determinante constante e dife-rente de zero). Os polos de G(s) são 1, 1,−1,−2 e os zeros de transmissão −1.

Zeros de transmissão de um sistema quadrado

No caso particular quando G(s) é quadrada det[G(s) =Qy

i=1 εi(s)Qyi=1 ψi(s)

. Observe, entretanto,que na presença de cancelamentos o determinante não fornece todos os zeros e polos deG(s).

Lema 5.7 (Propriedade de posto de zeros de transmissão) Considere G(s) de postor = min[p,m]. Um número complexo λ é um zero de transmissão de G(s) se e só seexistir um vetor z diferente de zero tal que

G(λ)z = 0 se p ≥ m (5.93)GT (λ)z = 0 se p ≤ m (5.94)

Observação 5.7 O posto de G(s) diminui quando s = λ, se λ for um zero de G(s).Daqui existe um vetor não zero u0 tal que G(λ)u0 = 0. E por isto, os zeros de transmis-são têm a propriedade de bloquear a transmissão ou seja fornecer saída zero em respostaa entradas pertencentes a uma classe de sinais exponenciais e impulsivos.

Caracterização no domínio do tempo de zeros de transmissão

Teorema 5.32 Seja G(s) a função de transferência de um sistema (A,B,C,D). En-tão,

1. O número complexo λ é um polo de G(s) se e só se existir uma entrada impulsiva

u(t) =v∑i=0

αiδi(t) (5.95)

com αi constantes adequadas, v ≥ 0, tal que a saída forçada yf (.) de (A,B,C,D)é yf (t) = y0e

λt, ∀t > 0, com δ(t) = δ(0)(t) a função impulsiva e δk(t) a sua k-ésima derivada (lembre que a transformada de Laplace de δ(k)(t) é δ

L(k) = sk).

2. O número complexo λ é um zero de transmissão de G(s) se e só se existir umaentrada exponencial/impulsiva

u(t) = u0eλt +

v∑i=0

αiδ(i)(t) (5.96)

com αi constantes adequadas, v ≥ 0, u0 = 0 tal que a saída forçada yf ( ) de(A,B,C,D) é yf(t) = 0, ∀t > 0.

5.9. POLOS E ZEROS 113

A denominação zeros de transmissão é porque estes são referenciados à função detransferência (transmitância) do sistema. No caso de sistemas SISO pode-se escrever

G(s) =Cadj[sI −A]Bdet[sI −A]

+D (5.97)

Os zeros de transmissão coincidem com as raízes do numerador feitos todos os cance-lamentos possíveis. As raízes de Cadj[sI − A]B + Ddet[sI − A] são ainda chamadoszeros do sistema. Estas raízes constituem na realidade os chamados zeros invariantesdo sistema. Os pólos e zeros de um sistema podem ser caracterizados em termos de suarealização espaço de estado.

5.9.2 Zeros invariantes

Definição 5.8 Os autovalores de A são chamados pólos da realização de G(s). Os zerosinvariantes são definidos via uma matriz polinomial, a chamada matriz do sistema

P (s) =[sI −A −BC D

](5.98)

Definição 5.9 Considere o sistema (A,B,C,D) e seja P (s) a matriz do sistema asso-ciada com v = posto P (s). Seja S(s) a forma de Smith de P (s). Um número complexoλ é um zero invariante de (A,B,C,D) se ele for uma raiz do polinômio

∏vi=1 αi(s) com

αi(s) polinômios da forma de Smith de P (s).

Definição 5.10 Um número complexo λ é um zero invariante de (A,B,C,D) se satis-faz

posto[λI −A −BC D

]<posto normal

[sI −A −BC D

]. Posto normal é o maior posto

possível para pelo menos um s ∈ C.

Lema 5.8 (Propriedade de posto de zeros invariantes) Seja P (s) a matriz do sistemaassociada com G(s) = C(sI − A)−1B + D com posto [G(s)] = min[p,m]. O númerocomplexo λ é um zero invariante do sistema se e só se P (s) perde posto em s = λ, istoé, se e só se existir um vetor z = [x, u]T diferente de zero tal que

P (λ)[xu

]= 0 se p ≥ m (5.99)

pT (λ)[xu

]= 0 se p ≤ m (5.100)

Prova. Por definição λ é um zero invariante se existir z = 0 tal que[λI −A −BC D

]z =

0 desde que[sI −A −BC D

]tem posto normal coluna completo. Suponha λ é um zero

invariante, então existe z = [x, u]T = 0 tal que[λI −A −BC D

]z = 0. Podemos mostrar


que x = 0. Se não for o caso tem-se que[BD

]u = 0 ou u = 0 desde que

[sI −A −BC D

]tem posto normal coluna completo o que daria z = 0 o que é uma contradição. Observe

que, se u = 0, então[λI −AC

]x = 0 e λ é um modo não-observável pelo PBH teste.

�

Observação 5.8 Os zeros invariantes não se alteram por realimentação de estado enem por transformação de similaridade.

Caracterização no domínio do tempo de zeros invariantes

Teorema 5.33 O número complexo λ é um zero invariante de (A,B,C,D) se e só sepelo menos uma das duas condições se mantêm

1. λ é um autovalor da parte não observável de (AT , CT , BT , DT );

2. Existem dois vetores x0eu0 = 0 tal que a saída forçada de (AT , CT , BT , DT )correspondente à entrada u(t) = u0e

λt, t ≥ 0 e estado inicial, x0, é identicamentezero para t ≥ 0.

Teorema 5.34 (zeros de transmissão versus zeros invariantes) Um zero de transmissãode G(s) é um zero invariante das suas realizações.

Teorema 5.35 (zeros de transmissão versus zeros invariantes de uma realização mí-nima) Os zeros invariantes e zeros de transmissão de uma realização mínima coincidem.

Os zeros invariantes e zeros de transmissão não esgotam a totalidade de zeros quepodem ser definidos para um sistema não quadrado.

5.9.3 Zeros de desacoplamento

Os autovalores de A correspondentes aos modos não controláveis ou não observáveis sãochamados de zeros de desacoplamento da entrada ou saída de P (s), respectivamente.

Lema 5.9 (zeros invariantes versus zeros de desacoplamento para um sistema qua-drado) O conjunto de zeros de desacoplamento é um subconjunto do conjunto dos zerosinvariantes. O conjunto dos zeros do sistema coincidem com o conjunto dos zeros in-variantes.

5.9.4 Zeros e polos no infinito

Polos em s = ∞ correspondem a sistemas impróprios. Lembre que para sistemas SISOcom o grau do numerador m,m < n,m dos polos do sistema a malha fechada irão paraos zeros finitos quando o ganho da realimentação vai para infinito e o restante dos polosn−m para o infinito. Para obter a estrutura de polos e zeros no infinito pode-se fazeruma mudança de variável H(λ) = G(1/λ) e os polos e zeros de G(s) em s = ∞ são ospolos e zeros de H(λ) em λ = 0.

5.10. GANHO PARA SISTEMAS MIMO 115

Conjunto de zeros do sistema (A, B, C, D)

Zeros de (A,B,C,D)=zeros de transmissão+zeros de desacoplamento da entrada quenão são zeros de desacoplamento da saída+zeros de desacoplamento da saída que nãosão zeros de desacoplamento da entrada+ zeros de desacoplamento entrada/saída+zerosno infinito.

Exemplo 5.7

A =

⎡⎢⎢⎣0 1 0 0

−10 7 0 00 0 5 01 −1 1 0

⎤⎥⎥⎦ , B =

⎡⎢⎢⎣0120

⎤⎥⎥⎦ C =[−13 5 0 0

0 0 1 0

], D =

[11

](5.101)

A matriz do sistema P (s) é da forma

P (s) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣s −1 0 0 010 s− 7 0 0 −10 0 s− 5 0 −2−1 1 −1 s− 6 0−13 5 0 0 10 0 1 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (5.102)

Os zeros invariantes de (A,B,C,D); sistema com 1 entrada (m = 1) e 2 saídas(p = 2) podem ser obtidos via a propriedade de posto de zeros invariantes Lema 5.8.Assim, obtém-se os zeros invariantes λ = 3, λ = 6. Os zeros de desacoplamento saída(modo não observável): λ = 6(é um zero invariante) e os zeros de desacoplamentoentrada (modo não controlável): λ = 5 (não é um zero invariante).

5.10 Ganho para Sistemas MIMOO ganho é uma relação entra/saída e pode ser definido como

Ganho =‖y‖||u|| =

∥∥G(jw)u0ejwt

∥∥‖u0ejwt‖

=‖G(jw)u0‖

‖u0‖ (5.103)

com ‖ ‖ a norma Euclidiana. Observe que multiplicando a entrada por um escalar nãoaltera o ganho do sistema, assim

minu0

‖G(jw)u0‖‖u0‖ ≤ Ganho ≤ maxu0

‖G(jw)u0‖‖u0‖

ou min‖u0‖=1 ‖G(lw)u0‖ ≤ Ganho ≤ max‖u0‖=1 ‖G(jw)u0‖

Não existe uma definição útil de fase para sistemas MIMO. A resposta em freqüênciade sistemas MIMO é limitada portanto pelo máximo e mínimo ganho do sistema.


5.10.1 Valores singulares de matrizesSeja a decomposição

H = Y

[∑0

0 0

]U∗ (5.104)

onde H ∈ Cm×p, Y ∈ Cp×p, U ∈ Cm×m são matrizes unitárias e∑

= diag(σ1, ..., σrcom σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0 e min(m, p) ≥ r. As colunas de U são formadas porautovetores ortonormais de H∗H e as colunas de Y por autovetores ortonormais deHH∗.

Notação 5.1 σ(H) = σi : i = 1, ...r, σmax(H) = σ1 e σmin(H) = σr .

Pode ser verificado que σ(H) = max[λi(H∗H)]1/2 e σ(H) = min[λi(H∗H)]1/2 comλ(.) denotando autovalor.

Definição 5.11 Uma matriz U ∈ Fn×n é dita uma matriz unitária se e só se U∗U =UU∗ = 1n . Equivalentemente, as n colunas de U formam uma base ortonormal de Fn,i. e.

u∗iuj = δij =

{1 i = j

0 i = j.(5.105)

Se F = R, a matrix U é chamada ortogonal.

Observação 5.9 Matrizes unitárias preservam o produto interno e daqui a norma devetores: U ∈ Fn×n é unitária então ∀x, y ∈ Fn(Ux,Uy) = (x, y) e daqui ‖Ux‖2 = ‖x‖2.

Observação 5.10 A matriz H não possui valores singulares zero (σ(H) > 0) se e só seH tiver posto coluna completo. Quando a matriz H for quadrada tem-se σmin(H) > 0se e só se H for não singular.

Interpretação da matriz H como operador

Sejam

H : Cp �→ Cm U = [U1U2], U1 ∈ Cm×r

u �→ Hu Y = [Y1Y2], Y1 ∈p×r (5.106)

Assim, H [U1U2] = [Y1

∑ ...0] onde HU1 = Y1

∑ou H = Y1

∑U∗

1 ou na forma didática

H =r∑i=1

σiyiu∗i (5.107)

com ui e yi e colunas de U e Y , respectivamente. Os vetores ui e yi são chamadosvetores singulares à direita e à esquerda de H , respectivamente. Uma vez que U éunitária u∗i uj = δij e segue que uj é mapeado em σjyj por H

Huj = (r∑i=1

σiyiu∗i )uj (5.108)

= σjyj (5.109)

5.10. GANHO PARA SISTEMAS MIMO 117

então, H rotaciona (uj → yj) e escalona (yj → σjyj). Em R2 pode-se visualizargraficamente o efeito de H em u na Figura 5.6

u

u2

Figura 5.6: Interpretação geométrica do valor singular

Exercício 5.3 Mostrar que o valor singular pode ser computado a partir do problemade autovalor, uma vez que σ2

i é um autovalor de H∗H, ou seja H∗Hyi = σ2i yi. Sugetão.

Utilizar a forma diádica de H e H∗

O máximo valor singular σmax(H) e o mínimo valor singular σmin(H) desempenhamum papel importante na análise e projeto de sistemas de controle multivariáveis.

Lema 5.10 σmax(H) e σmin(H) são dados pelas identidades

σmax(H) = max‖u‖=1 ‖Hu‖σmin(H) = min‖u‖=1 ‖Hu‖ (5.110)

Prova. H pode ser escrita com

‖Hu‖2 = u∗U∑Y ∗Y

∑U∗u

= x∗∑2 x

(5.111)

com x = U∗u. Desde que ‖x‖ = ‖U∗u‖ = ‖u‖ e max‖u‖=1 ‖Hu‖ = max‖x‖=1 ‖∑x‖

Agora ‖∑ x‖2 =∑r

i=1 σ2i |xi|2, sujeito a ‖x‖2 = 1, é maximizado com x1 = 1 e xi = 0

para todo i = 1 e é minimizado com xr = 1 e xi = 0 para todo i = r e entãoσmax(H) = max‖u‖=1 ‖Hu‖ e σmin(H) = min‖u‖=1 ‖Hu‖σmin(H) = min‖u‖=1 ‖Hu‖.

O ganho do sistema para todas as entradas é menor do que o máximo valor singular‖Hu‖‖u‖ ≤ σ1. Uma maneira intuitiva de entender este resultado é notando que σ1 é o

máximo ganho sobre o conjunto ortogonal de direções da entrada definido pelos vetoressingulares à direita. Assim, o ganho máximo pode ser obtido quando a entrada u éproporcional a u1. O cálculo do ganho da matriz para a entrada αu1 fornece

‖H(αu1)‖‖αu1‖ = ‖Pr

i=1 αiyiu∗iαu1‖

‖αu1‖= ‖ασ1y1‖

‖αu1‖= |α|σ1‖y1‖

|α|‖u1‖= |α|σ1

|α| = σ1

uma vez que ||yi|| = ||ui|| = 1. �


Observação 5.11 A decomposição de valor singular tem a seguinte propriedade: σmax(H) =‖H‖ = max‖u‖=1 ‖Hu‖ =max

u=0‖Hu‖‖u‖ ou seja σmax(H) é a norma do operador H induzida

pela norma Euclidiana.

5.10.2 Ganhos principais de um sistemaSeja y(t) = G(jw)u0e

jwt. A decomposição de valores singulares da matriz de função detransferência é dada por G(jw) =

∑ri=1 σiyiu

∗i para cada w. Os valores singulares em

função da freqüência são chamados valores principais.

Exercício 5.4 Dado o sistema (A, B, C) abaixo obter a matriz de transferência G(jw)e os seus ganhos principais. Utilizar os comandos sys = ss(A,B,C,D), sysf = tf(sys)e sigma(sys).

A=[−1 3

0 −2

], B=

[1 00 2

], C=

[1 1−1 1

].

Capítulo 6

Realimentação de Estado

6.1 IntroduçãoUm problema de interesse e importância em controle é o problema de modificar um dadosistema visando melhorar o seu comportamento dinâmico. A representação espaço deestado de sistemas introduziu o conceito de estado interno ao sistema e permitiu o de-senvolvimento de técnicas de controle multivariável no domínio do tempo. O problemamais básico da teoria de controle no domínio do tempo para sistemas lineares é o pro-blema de obtenção de uma lei de controle a realimentação de estado utilizando a técnicade posicionamento de polos ou a técnica de minimização de uma função quadrática dedesempenho. Esta última é o chamado regulador quadrático linear. Diversos livrostextos trazem ambas as técnicas (Dorf e Bishop 2000 Ogata 1997) e apenas o reguladorlinear quadrático (Dorato et al. 1995) e apenas posicionamento de polos (Chen 1999).

Seja a representação espaço de estado (A,B,C,D) onde a matriz do sistema D ézerada por razões de simplicidade:

x = Ax+Bu

y = Cx (6.1)

com A ∈ �m×n, B ∈ �n×m, C ∈ �p×n e (A,B) controlável. O polinômio característicode A é dado porΔ(s) = det(sI − A) = sn + αns

n−1 + . . .+ α1, com αi real. A lei de realimentação deestado é da forma u = −Kx+ vcom K ∈ �m×n e v ∈ �m, a matriz de realimentação e v a nova entrada do sistema.

6.2 Posicionamento de PolosFormulação do problema de posicionamento de polos: Obter K tal que o polinômiocaracterístico do sistema realimentado tenha as raízes desejadas.

As equações do sistema realimentado podem ser obtidas substituindo a lei de controleno sistema a malha aberta:

x = (A−BK)x+Bv

y = Cx. (6.2)

119

120 CAPÍTULO 6. REALIMENTAÇÃO DE ESTADO

A matriz A − BK gera o polinômio característico do sistema realimentado. Pode-semostrar que para qualquer polinômio mônico:

π(s) := det(sI − A) = sn + πn−1n−1 + . . .+ π0 (6.3)

existe uma matriz de realimentação de estado K se e só se (A,B) for controlável. Osistema de controle com u = −Kx + v é mostrado abaixo na forma de diagrama deblocos.

6.2.1 Caso uma entrada - uma saída

Teorema 6.1 Se (A,b,c) for controlável, então existe uma transformação de equiva-lência x = Tx, T não singular tal que o sistema equivalente (A, b, c) esteja na formacontrolável

˙x =

⎡⎢⎣ 0 1 0 · · · 0... 0 0 0 1

−an −an−1 . . . −a2 −a1

⎤⎥⎦ x+

⎡⎢⎣ 0...1

⎤⎥⎦u, y =[bn . . . b1

]x (6.4)

onde os as são os coeficientes do polinômio característico de A e os bs são computadosde (A,b,c).

Prova. Usando a suposição de controlabilidade a matriz U = [bAb · · ·An−1b] é nãosingular e portanto existe um vetor linha h o qual é solução da seguinte equação linear

hU = h[bAb · · · An−1b] = [hbhAb · · ·hAn−1b] = [0 · · · 1] (6.5)

a qual é dada porh = [0 · · · 1]U−1 (6.6)

Sejadet(sI −A) = sn + an−1s

n−1 + · · · + a1s+ a0 (6.7)

o polinômio característico da matriz A. Do Teorema de Cayley-Hamilton que diz queAn+an−1A

n−1+ · · ·+a1A+a0I = 0 tem-se An = −an−1An−1−· · ·−a1A−a0I. Defina

uma matriz não singular P = [hhA · · ·hAn−1]T . Para mostrar que T é não singularverifique que N = PU abaixo é não singular desde que pela definição de h tem-se

hAi−1b = 0; 0 ≥ i ≤ n− 2hAn−1b = 0.

N = PU = [hhA · · ·hAn−1]T [bAb · · ·An−1b] =

⎡⎢⎢⎢⎣hb hAb · · · hAn−1bhAb hA2b · · · hAnb

......

......

hAn−1b hAnb · · · hA2n−2b

⎤⎥⎥⎥⎦ (6.8)

6.2. POSICIONAMENTO DE POLOS 121

Uma vez que U é não singular por suposição, P = NU−1 é também não singular ex = Px x ∈ Rn. Na coordenada x tem-se

˙x1 = hx = hAx+ hbu = hAx = x2

...˙xn−1 = hAn−2x = hAn−1x+ hAn−2bu = hAn−1x = xn˙xn = hAnx+ hAn−1bu = hAnx+ u = h(−an−1A

n−1 − · · · − a1A− a0I) + u= −an−1xn − an−2xn−2 − · · · − a0x1 + u

E então chega-se à forma canônica facilmente. A necessidade pode ser mostrada porcontradição e não será apresentada. �

No Matlab pode-se usar as seguintes funções.� C=ctrb(A,B);% testando a controlabilidade� Rank(C)� O=obsv(A,C);%testando a observabilidade�Rank(O)% Posicionamento de pólos: obtenção de matriz de ganho K�Kc=-place(A,B,p) %p é o vetor de autovalores desejados�Kc=-acker(A,B,p)

Algoritmo 6.1 ((Chen 1999)) Dado um sistema (A,b,c) controlável e um conjuntode autovalores (λi), i = 1 . . . n , encontrar um vetor real K, 1×n tal que a matriz A−bKpossua o conjunto de autovalores (λi), i = 1 . . . n.

1. Obter polinômio característico de A: det(sI −A) = sn + a1sn−1 + . . .+ an

2. Calcularn∏i−1

(s− λi) = sna1sn−1 + . . .+ an

3. Calcular K := [an − an an−1 − an−1 . . . a1 − a1]

4. Construir Q = UΛ onde

U =[B AB A2B . . . An−1B

]e Λ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣an−1 an−2 . . . a1 1an−2 an−3 . . . 1 0...

... . . . 0 0a1 1 . . . 0 01 0 . . . 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦(6.9)

5. Obter T := Q−1

6. Calcular K = KT


Fórmula de Ackerman

K = eTU−1ΔD(A) (6.10)

onde e = [0, . . . , 0, 1]T ; U a matriz de controlabilidade; ΔD(A) o polinômio característicodesejado calculado em A; uma matriz polinomial n× n:

ΔD(A) = An + a1An−1 + . . . anI (6.11)

Os seguintes comandos do Matlab podem ser utilizados� C=ctrb(A,B);� O=obsv(A,C);� K=-place(A,B,P): P é o vetor de autovalores desejados.� K=-acker(A,B,P)

6.3 Regulador Linear QuadráticoA teoria de controle linear quadrático fornece uma ferramenta analítica para o projetode controladores multivariáveis. O problema foi primeiro tratado por Wiener nos anos40 com trabalhos em filtragem pelo método da média quadrática, referenciado comoproblema de controle de média quadrática. O nome regulador quadrático linear (LQR,do inglês) só aparece na literatura no final da década de 50 com Kalman. O problemabásico envolvido é a obtenção de uma lei de controle de realimentação de estado queminimize uma função custo.

6.3.1 Formulação do problema do regulador quadráticoSeja o sistema linear invariante no tempo (A,B, I, 0)

x = Ax+Bu, x(0) = x0 (6.12)

com x ∈ �n, u ∈ �m e (A,B) estabilizável e a lei de realimentação de estado:

u = −Kx (6.13)

onde K ∈ �m×n é a chamada matriz de realimentação de estado. Substituindo a lei derealimentação de estado no sistema (A,B,C) tem-se

x = (A−BKx) (6.14)y = Cx

Formulação do problema do regulador: Obter u(.), uma função contínua por partes em�, que minimiza a função de custo quadrática J(x0, u) associada ao sistema (A,B, I, 0):

J(x0, u) =∫ T

0

(xTQx+ uTRu)dt+ xT (T )Mx(T ) (6.15)

onde Q = QT ≥ 0, M ≥ 0, R = RT > 0 são matrizes de ponderação e x(.) solução de(A,B, I, 0) em resposta à lei de controle u(.) e condição inicial x0; T é fixo e x(T ) livre.

6.3. REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO 123

Solução: Utiliza-se o princípio de otimalidade e as equações de Hamilton-Jacobi.Princípio de otimalidade: Se u∗(τ) é ótimo no intervalo [t, T ], iniciando em x(t), entãou∗(τ) é necessariamente ótimo no subintervalo [t+δt, T ] para qualquer δt tal que T−δ ≥δt > 0Seja

J∗(x, t) = minu[t,t+δt]{∫ t+δt

t

(xTQx+ uTRu)dτ + J∗(x(t + δt), t+ δt)} (6.16)

Note que para escrever a equação acima usamos o fato que o valor mínimo de J iniciandono estado x(t + δt) no tempo é dado por J∗(x(t + δt), t + δt). Note também que pelopríncipio de otimalidade, o problema de obter um controle ótimo no intervalo [t, T ]foi reduzido ao problema de obter um controle ótimo no intervalo reduzido [t, t + δt].Aproximando a última integral por (xTQx+uTRu)δt e fazendo uma expansão por sériede Taylor de J∗(x(t+ δt), t+ δt) no ponto (x(t), t) com x(t+ δt)− x(t) aproximada por(Ax+Bu)δt, obtém-se

J∗(x, t) = minu(t){(xTQx+ uTRu)δt+ J∗(x(t) + [∂J∗

∂t]T δt+ [

∂J∗

∂x]T (Ax+Bu)δt}.

(6.17)No limite quando δt → 0, com J∗(x(t), T ) = xT (T )Mx(T ) obtém-se a equação deHamilton-Jacobi

−∂J∗

∂t= minu(t){xTQx+ uTRu+ [

∂J∗

∂x]T (Ax+Bu)} (6.18)

com J∗(x, T ) = xTMx, ∀x condição de contorno.

6.3.2 Problema de horizonte finito: equação matricial de RiccatiA minimização pode ser feita fazendo-se o gradiente em relação a u de xTQx+uTRu+[∂J

∗∂x ](Ax+Bu) igual a zero e resolvendo para u, o que fornece

u∗ = −12R−1BT [

∂J∗

∂x] (6.19)

Utilizou-se aqui:∂

∂u[(uTRu) + BT

∂J∗

∂xu] = 2Ru+BT

∂J∗

∂x. (6.20)

A solução u∗ é dada em termos J∗(x, t). Sabe-se que a integral de uma formaquadrática para um sistema linear é quadrática na condição inicial. Assim, é razoávelconsiderar a seguinte forma para J∗(x, t).

J∗(x, t) = xTP (t)x (6.21)

com P (t) simétrica. O gradiente de J∗(x, t) é então 2P (t)x. Substituindo o gradientede J∗(x, t) na equação de Hamilton-Jacobi obtém-se:

−∂J∗

∂t= minu(t){xTQx+ uTRu+ [

∂J∗

∂x]T (Ax+Bu)} (6.22)


Substituindo u∗ = − 12R

−1BT [∂J∗

∂x ] na equação acima fornece (usando a identidade2xTPAx = xT (AT p+ PA)x)

−xT ˙P (t)x = xT (ATP + PA− PBR−1BTP +Q)x (6.23)

A condição de contorno é dada por:

J∗(x, T ) = xTP (T )x = xTMx (6.24)

Então, obtém-se a equação de Riccati e a condição de contorno

˙P (t) = (ATP + PA− PBR−1BTP +Q) (6.25)P (T ) = M. (6.26)

E, finalmente obtém-se a lei de controle ótimo em função de P (t)

u∗ = −K(t)x (6.27)

com K(t) = R−1BTP (t).

6.3.3 Problema LQR estacionárioPara o caso estacionário tem-se P = 0 em (6.25) e chega-se à equação algebrica deRiccati (ARE do inglês)

0 = ATP + PA− PBR−1BTP +Q (6.28)u∗ = −Kx (6.29)

(6.30)

com K = R−1BTP

A solução do problema LQR de estado estacionário é geralmente dada em duaspartes. Primeiro estabelece-se condições de existência de uma solução única positivadefinida da equação de Riccati tal que A− PBR−1BT seja estável e então o problemaLQR é solucionado pela lei de realimentação ótima u = R−1BTPx.

Teorema 6.2 Considere o problema LQR. Suponha (A,B) estabilizável e (A,D) dete-tável com Q = DTD. Então, existe P única semidefinida positiva e simétrica satisfa-zendo:

ATP + PA− PBR−1BTP +Q = 0 (6.31)

e a lei de controle dada por u = R−1BTPx é ótima e estabiliza o sistema realimentadocom o custo para condição inicial x0 dado por J(x0, u

∗) = xT0 Px0.

Prova. Usando a seguinte candidata de função de Lyapunov V (x) = xTPx pode-se mostrar que V (x) = d

dtxTPx < 0 para x = 0. Calculando a derivada de V (x) e

usando (6.31) obtém-se V (x) = −xT (Q+ PBR−1BTP )x a qual pode ser escrita comoV (x) = −xT (Q+ (R−1BTP )TR(R−1BTP ))x. Uma vez que V (x) = 0 implica Dx = 0e R−1BTPx, usando a condição e detetabilidade tem-se que Dx = 0 só para x = 0 eentão segue que V (x) < 0 e V (x) = 0 para x = 0 e o sistema é assintoticamente estável.

6.3. REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO 125

Para verificar que a lei u = −R−1BTPx é ótima, em (6.19) substituir o gradiente deJ∗(x, t) = xTPx. Finalmente, o custo total pode ser calculado verificando-se que

J(x0, u∗) =

∫∞0 V (x)dt = −V (x)|∞0 = V (x0)

= xT0 Px0

comJ(x0, u

∗) =∫ ∞

0

[xT (t)[Q+ PBR−1BTP ]x(t)dt. (6.32)

Resta mostrar que P é única e semidefinida positiva. �

Observação 6.1 A solução do LQR padrão reduz-se ao problema de obter a soluçãopositiva definida da equação de Riccati.

O módulo Control System contém subrotinas para o cálculo do ganho de realimen-tação K e da solução da equação de Riccati:� [K,P ] = lqr(A,B,Q,R)� [K,P ] = lqr2(A,B,Q,R)Este último comando a solução da ARE é obtida via a matriz Hamiltoniana do sistema

H =[

A −BR−1BT

−Q −AT]

(6.33)

Outras rotinas úteis são reg; are; ric.Considere o sistema dinâmico

x = Ax+Bu (6.34)

sendo x o vetor de estado, u o vetor de entradas, A e B matrizes constantes. O objetivoagora é projetar uma lei de controle por realimentação de estado do tipo

u = −Fx (6.35)

que estabilize o sistema dinâmico. O sistema dinâmico com realimentação de estado édado por

xAx−BFx = (A−BF )x (6.36)

Pode-se então utilizar o Teorema 5.31 para encontrar os ganhos de realimentação deestado F . Por analogia, as condições que devem ser checadas agora são

(A−BF )TP + P (A− BF ) < 0 (6.37)

P = PT > 0 (6.38)

Note que a primeira desigualdade não é uma LMI, pois aparece o produto entre asvariáveis P e F . No entanto, usando de uma manipulação algébrica, podemos reescreveresta desigualdade como

ATP − FTBTP + PA− PBF < 0P−1[ATP − FTBTP + PA− PBF ]P−1 < 0P−1AT − P−1FTBT +AP−1 −BFP−1 < 0 (6.39)


e definir X = P−1 e G = FP−1, que resulta em

XAT −GTBT +AX −BG) < 0 (6.40)

Agora baseado no Teorema 5.31, para verificar se obter os ganhos de realimentação deestado F para o sistema dinâmico seja assintoticamente estável, precisamos verificar seas seguintes desigualdades são verdadeiras:

XAT −GTBT +AX −BG) < 0 (6.41)

X = XT > 0 (6.42)

Exercício 6.1 (proposto) Utilizando o módulo LMI do Matlab escreva um programapara obtenção dos ganhos de realimentação de estado para o sistema dinâmico repre-sentado por:

A =

⎡⎣1 0 00 −1 00 0 4

⎤⎦ ;B =

⎡⎣111

⎤⎦ (6.43)

Sugestão

1. O programa tem a mesma estrutura do programa apresentado no Exemplo 5.1,para o sistema autônomo.

2. Declare as variáveis X e G como variáveis LMI, utilizando o comando lmivar.

3. A primeira LMI tem que ser dividida em duas, uma para representar a variávelX e outra para representar a variável G. Utilize os comandos lmiterm([1 1 1X],A,1,’s’) e lmiterm([1 1 1 G],B,-1,’s’), respectivamente.

4. Para recuperar as variáveis X e G, utilize o comando dec2mat para ambas. Ocontrolador pode então ser obtido como F = G*inv(X).

6.3.4 Complemento de SchurO complemento de Schur permite converter desigualdades não-lineares matriciais con-vexas em LMI. A idéia do complemento de Schur é apresentada a seguir. Seja a desi-gualdade matricial não-linear

Q(x) − S(x)R(x)−1S(x)T > 0, R(x) > 0 (6.44)

sendo que Q(x) = Q(x)T , R(x) = R(x)T e S(x) são funções afins em x. Esta desigual-dade é equivalente a [

Q(x) S(x)S(x)T R(x)

]> 0 (6.45)

Assim, (6.44) pode ser representada pela LMI (6.45 ).

6.4. REALIMENTAÇÃO DE ESTADO COM OBSERVADOR 127

Exercício 6.2 Usando o complemento de Schur mostrar que a desigualdade

−Q−k∑i=1

PiR−1i PTi > 0

é equivalente à LMI ⎡⎢⎢⎢⎣−Q P1 · · · Pk−1 PkPT1 R1 0 · · · 0... 0 · · · 0 0PTk 0 · · · 0 Rk

⎤⎥⎥⎥⎦ .

6.4 Realimentação de Estado com Observador

6.4.1 Observador de estado

Problema 6.1 Estimar ou gerar o estado x(t) a partir da entrada u(t) e saída y(t)conhecendo-se (A,B,C).

Suponha o sistema (A,B,C) duplicado como na configuração da Figura 6.1 com ey :=y − y : erro de observação. Obtém-se então o chamado observador de estado

˙x = Ax+Bu +Kf(y − Cx) (6.46)

ou

˙x = (A−KfC)x+Kfy +Bu (6.47)

cujo erro de estimação ε := x− x é regido por

ε = (A−KfC)ε (6.48)

Com o par (A,C) observável tem-se que existe Kf tal que limt→∞ε = 0.

B (sI-A )-1 C

B (sI-A )-1 C

L

uy

ey

x

+ +

+

-

y

x y

Figura 6.1: Observador de estado


6.4.2 Controlador baseado em observadorA combinação de um observador de estados com a realimentação de estado dá origem aoque é costumeiro chamar controlador baseado em observador. Considerando a utilizaçãode um observador de estado, a lei de controle de realimentação de estado torna-se

u = −Kcx (6.49)

e a estrutura de controlador mostrada na Figura 6.2 pode ser obtida.

B

(sI-A )-1 -K

C

Lue + ++

-

u

y

r

Figura 6.2: Estrutura do controlador.

As equações do controlador/observador possui a representação de estado

˙x = (A−KfC −BKc)x+Kfy

u = −Kcx (6.50)

e função de transferência de −u a y:

K(s) = Kc(sI −A+BKc +KfC)−1Kf (6.51)

a qual por conveniência pode ser escrita como:

K(s) =[A−BKc −KfC Kf

Kc 0

](6.52)

O sistema com controlador e observador combinado é ilustrado na Figura 6.3.As equações do sistema realimentado possuem a representação de estado[

xε

]=

[A−BKc BKc

0 A−KfC

] [xε

]+

[B0

]r

y =[C 0

] [xε

]O comportamento do sistema combinado com controlador/observador depende da

equação característica:

Δ(s) = det(sI −A+BKc)det(sI −A+KfC) = 0 (6.53)

6.4. REALIMENTAÇÃO DE ESTADO COM OBSERVADOR 129

B

(sI-A )-1 -Kc

C

Kf

u+

+

+

-

rG(s)

+-

K s( )

Figura 6.3: Sistema com controlador/observador.

Entretanto, os pólos do sistema de controle e observador são os pólos do sistema decontrole sem observador com os pólos do observador. Os pólos do sistema de controlepodem ser determinados independentemente uma vez que não são influenciados unspelos outros. Esta característica é conhecida como Propriedade de Separação.

Exemplo 6.1

Capítulo 7

Controle Robusto

Neste capítulo os conceitos e ferramentas principais do problema de controle robusto sãoapresentados. Ênfase é dada na modelagem e formulação do problema de controle paradescrever as especificações de projeto em uma abordagem unificada usando funções deponderação e transformações fracionárias lineares.

7.1 Funções de Sensibilidade e Sensibilidade Comple-mentar

Considere o diagrama típico formado pela interconecção da planta G e controlador Kcomo na Figura 7.1. Com r entradas de referência, di perturbações entrada planta, dperturbações saída da planta e n ruído de sensores. A matriz de sensibilidade é definidacomo a função de transferência entre di e u+p para o caso em que a malha KG é obtidaabrindo-se a entrada da planta e como a função de transferência entre d e y para o casoem que a malha é obtida abrindo-se a saída da planta.

Si = (I −KG)−1, up = Sidi (7.1)So = (I −GK)−1, up = Sod (7.2)

A matriz sensibilidade complementar T é definida como segue

Ti = I − Si = KG(I −KG)−1 (7.3)To = I − So = GK(I −GK)−1 (7.4)

com Ti obtida para a malha aberta na entrada da planta e To obtida para a malhaaberta na saída da planta.

Observação 7.1 No caso monovariável não se distingue a função sensibilidade Si ob-tida para abertura da malha na entrada da planta daquela So obtida para abertura damalha na saída da planta.

131

132 CAPÍTULO 7. CONTROLE ROBUSTO

r uK s( ) G s( )

d

uP

di

y

n

e

Figura 7.1: Diagrama típico de um sistema de controle.

7.1.1 Relações fundamentais obtidas da configuração típica

y = To(r − n) + SoGdi + Sod (7.5)r − y = So(r − d) + Ton− SoGdi (7.6)

u = KSo(r − n) −KSod− Tidi (7.7)up = KSo(r − n) −KSod+ Sidi, up = u+ di (7.8)

7.1.2 Rejeição de perturbaçõesAs seguintes condições para rejeição de perturbações podem ser estabelecidas particu-larmente em baixas freqüências onde os sinais d e di são normalmente significativos.

1. Rejeição a perturbações d e di na saída da planta y: pequenos valores singularesmáximos para S e SG, com

S = (1 +GK)−1

2. Rejeição a perturbações d e di na entrada da planta up: pequenos valores singu-lares máximos para S e SK. Supondo G e K possuem inversa tem-se

σ(GK) � 1 ⇔ σ(SG) ≈ 1/σ(K)σ(GK) � 1 ⇔ σ(KS) ≈ 1/σ(G)

3. Rejeição de perturbações d e di na saída y

σ(GK) � 1, eσ(K) � 1

4. Rejeição de perturbações d e di na entrada up

σ(GK) � 1, eσ(G) � 1

7.1. FUNÇÕES DE SENSIBILIDADE E SENSIBILIDADE COMPLEMENTAR 133

7.1.3 Rejeição de erros de medidaPode-se observar agora que existe um conflito entre rejeição de perturbações d e di erejeição de erro de medida (tipicamente grande em alta freqüência)

y = T (r − n) + SPdi + Sdi

≈ r − n para |KG| � 1

Esta situação é piorada fora da faixa passante da planta: σ(KG) � 1 e σ � 1 quandou torna-se inaceitável, podendo provocar saturação do atuador, desde que

u = KS(r − n− d) − Tdi = SK(r − n− d) − Tdi

≈ G−1(r − n− d) − di

Amplificam-se, portanto as perturbações e erros de medida uma vez que nesta faixa defreqüência σ(G) � 1. Pelo mesmo motivo não se pode fazer σ(K) muito grande ondeσ(GK) � 1, pois,

u = KS(r − n− d) − Tdi = K(r − n− d)

7.1.4 Requisitos de desempenhoTendo em vista a análise das relações fundamentais apresentada, os requisitos típicosde bom desempenho são resumidos a seguir. Em baixa freqüência [0, w�] requer-se:

σ(GK) � 1σ(KG) � 1σ(K) � 1

Em alta freqüência [w�,∞) requer-se:

σ(GK) � 1; σ(KG) � 1σ(K) �M

onde M não deve ser tão grande. As condições de projeto acima podem ser graficamenteilustradas como na Figura 7.2.

Observação 7.2 No caso multivariável, o tamanho de GK é especificado via valoressingulares, por exemplo, fazendo-se σ(GK) � 1 em uma faixa de freqüência significaque neste intervalo o sistema rejeita o efeto da perturbação d na saída da planta.

7.1.5 Ponderação especificações de projetoÉ conveniente refletir os objetivos de projeto em funções de ponderação apropriadas.Pode-se, por exemplo, desejar ponderar diferentemente componentes de um vetor dosinal de interesse e por outro lado deve-se tornar os sinais comparáveis em termos deunidades. Além disso, pode-se desejar trabalhar com o conteúdo de freqüência do sinale escolher funções de ponderação dependentes da freqüência.


( )GK

( )GK

Figura 7.2: Limitantes da malha aberta

Considere, por exemplo, a especificação

‖S(jw)‖∞ ≤ ε, ∀w ≤ w0

‖S(jw)‖∞ ≥M, ∀w > w0

Esta especificação pode se escrita como

‖We(jw)S(jw)‖∞ ≤ 1, ∀wcom

‖We(jw)‖∞ ={

1/ε, ∀w ≤ w0

1/M, ∀w > w0

Em geral o diagrama do sistema de controle típico é modificado para incluir asfunções de conformação de sinais. As funções de ponderação são escolhidas de formaa refletir os objetivos de projeto e conhecimento das perturbações e ruído de medição.Por exemplo, pode-se escolher matrizes Wd e Wi para refletir o conteúdo de freqüênciadas perturbações d e di, matriz Wn para modelar o conteúdo de freqüência do ruídode medição n enquanto uma matriz We pode ser escolhida para refletir os requisitosdo erro de regime e. Da mesma forma, uma matriz Wu pode ser usada para refletir asrestrições sobre o sinal de controle ou sinais do atuador.

7.2 Estabilidade InternaSeja o sistema realimentado mostrado na Figura 7.1. Se todos os elementos da matrizde transferência forem estáveis o sistema é dito ser internamente estável. Agrupando

7.3. MODELAGEM DE INCERTEZAS E PERTURBAÇÕES 135

as entradas externas na malha de realimentação como w1 e w2 e os sinais de entradada planta e controlador como e1 e e2, respectivamente, o sistema realimentado pode serdescrito como na Figura 7.3 que é comumente utilizado para análise de estabilidade.

Lema 7.1 Suponha K e G estáveis. Então o sistema descrito na Figura 7.3 é inter-namente estável se e só se os zeros de det(I +GK) possuem parte real negativa.

w1 e1

Figura 7.3: Diagrama de análise de estabilidade externa.

7.3 Modelagem de Incertezas e PerturbaçõesÉ mais realista supor que o modelo da planta pertença a uma família de sistemasem vez de ser completamente conhecido. A descrição da família pode ser realizadaparametrizando este conjunto por uma função de transferência Δ(s) pertencente a umconjunto de incertezas. A incerteza pode ser normalizada incorporando um limitante daincerteza na função de transferência da planta. Assim, para um limitante da incertezadado por |W (jω)| , pode-se escrever

σ{Δ(jω)} ≤ |W (jω)| (7.9)

onde σmax{Δ(jω)} é o valor singular máximo, tem-se∥∥∥∥ 1W (s)

Δ′(s)∥∥∥∥∞

≤ 1 (7.10)

Definindo a incerteza normalizada como

‖Δ(s)‖∞ =∥∥∥∥ 1W (s)

Δ′(s)∥∥∥∥∞

(7.11)

tem-se

‖Δ(s)‖∞ =∥∥∥∥ 1W (s)

Δ′(s)∥∥∥∥∞

≤ 1 (7.12)

e Δ′(s) = W (s)Δ(s) com ‖Δ(s)‖∞ < 1.

Considera-se a seguir incertezas do tipo estruturadas descritas pelo conjunto

D = {Δ(s)|Δ(s) ∈ RH∞, ‖Δ(s)‖∞ < 1} (7.13)


com RH∞ denotando o conjunto de funções racionais estáveis.Sejam G(s) a função de transferência real e Gn(s) a nominal. Os seguintes modelos

de incerteza são os mais comuns.

G(s) = Gn(s) +W (s)Δ(s)G(s) = [I +W (s)Δ(s)]Gn(s)G(s) = Gn(s)[I +W (s)Δ]G(s) = [I +W (s)Δ]−1Gn(s)G(s) = [I +Gn(s)WΔ]−1Gn(s)

(7.14)

onde Δ representa a incerteza. A incerteza multiplicativa representa o erro relativo domodelo ao passo que a aditiva erro absoluto. Por esta razão, a incerteza multiplicativaé a mais usada. A incerteza pode ser normalizada incorporando-se um limitante daincerteza na função de transferência real. As representações do sistema a malha abertae realimentado com incertezas são dadas nas Figuras 7.4 e 7.5.

W(s) (s)

Figura 7.4: Incerteza aditiva e incerteza multiplicativa na saída.

Figura 7.5: Incerteza multiplicativa na entrada e realimentada na saída.


7.3.1 Representação de incertezas na forma padrão

Considere o sistema a malha fechada com incerteza multiplicativa na saída mostradona Figura 7.6 a esquerda. A função de transferência entre wd e zd, função vista pelaincerteza pode ser obtida considerando o diagrama da Figura 7.6 a direita é dada porM(s) = −GnK

1+GnK. Finalmente, a representação padrão na forma de diagrama de blocos

como o sistema é visto pela incerteza é dada na Figura 7.7.

Figura 7.6: Sistema realimentado com incerteza multiplicativa na saída da planta.

Figura 7.7: Representação 2 blocos padrão.

Exercício 7.1 Considere a família de plantas dada por

G(s) =1

τs+ 1G0(s), τmin ≤ τ ≤ τmax. (7.15)


Pede-se obter a descrição destas plantas usando o modelo de incerteza multiplicativapara o parâmetro incerto e uma função de ponderação Wf0 .

Solução. Escreva τ = τm(1 + rτΔ), |Δ| ≤ 1

com

τm =τmin + τmax

2; rτ =

τmax − τminτmin + τmax

. (7.16)

Assim,

G(s) =G0(s)

1 + τms+ rτ τmsΔ(7.17)

(7.18)= [1 +Wf0(s)Δ]−1Gn(s)

comGn(s) =

G0(s)1 + τms

, Wf0(s) =rττms

1 + τms.

Esta representação da incerteza é do tipo incerteza realimentada na saída descrita an-teriormente. �

Exercício 7.2 Considere a família de plantas com incertezas paramétricas dada porG(s) = 1

s2+as+b , 1 ≤ a ≤ 3; 2 ≤ b ≤ 6. Pede-se obter a descrição destas plan-tas usando o modelo de incerteza multiplicativa com uma simples função peso W (s). Inicialmente escolha a planta nominal usando os valores médios dos parâmetros:Gn(s) = 1

s2+2s+4 . Considere então diversas plantas dentro da família para obter o

erro multiplicativo∣∣∣G(jw)−Gn(jw)

Gn(jw)

∣∣∣ e escolher com auxílio gráfico uma função peso W (s). Assim, pode-se chega à seguinte descrição com modelos de incerteza multiplicativosG(s) = Gn(s)[1 +W (s)Δ(s)]. No MATLAB pode-se utilizar a seguinte rotina.

% Geração da função de ponderação para a incerteza multiplicativa

� mf = ginput(50)% pegar 50 pontos no gráfico do erro multiplicativo do pior caso� magg = vpck(mf(:, 2),mf(:, 1))%organizar os pontos em matriz�W = fitmag(magg)%escolha a ordem da função� [A,B,C,D] = unpack(W )% converter para a forma espaço de estado� [Z,P,K] = ss2zp(A,B,C,D)% converter para a forma polo/zero/ganho

Exercício 7.3 Considere o seguinte problema de controle de um helicóptero CH-47 [ref ]. O seu modelo nominal (A,B,C,D) em uma determinada faixa de operação é dadopor

x =

⎡⎢⎢⎣−0.02 0.005 2.4 −32−0.014 0.44 −1.3 −30

0 0.018 −6 1.20 0 1 0

⎤⎥⎥⎦ x+

⎡⎢⎢⎣0.14 −0.120.36 −8.60.35 0.0090 0

⎤⎥⎥⎦u


y =[

0 1 0 00 0 0 57.3

]x

O erro de modelagem predominante está associado à dinâmica do rotor, de forma quea planta real possa ser aproximadamente representada como na Figura 7.8 com

Grotor =625

s2 + 50ζs+ 625, 0.1 ≤ ζ ≤ 1, (7.19)

com I2 a matriz identidade 2 × 2. Pede-se obter o modelo de incerteza multiplicativapara o sistema utilizando G(s) = Gn(s)[1 +W (s)Δ(s)] com W (s)Δ(s) = Δ′(s) sendoque ‖Δ(s)‖∞ < 1, Δ′(jω) = inv(Gn(jω))[G(jω) − Gn(jω)] e 1/W (jω) um limitantepara Δ′(jω). O modelo nominal está na forma espaço de estado e a família de modelosé dada pelo sistema (A,B,C,D) em série com o sistema Grotor.

u

Figura 7.8: Planta.

7.3.2 Transformações fracionárias linearesAs transformações fracionárias lineares (LFT, do inglês) são ferramentas poderosaspara representar muitos objetos matemáticos. Nesta seção fundamentos de LFT parautilização no projeto de controladores robustos são revistos.

Definição 7.1 Um mapeamento F : C �→ C da forma

F (s) =as+ b

cs+ d

é chamado uma transformação fracionária linear.

Para d = 0 tem-se a representação alternativa de F (s): F (s) = bd−1 + (a −bd−1c)s(1 + d−1cs)−1d−1. Esta representação pode ser interpretada como a função detransferência entre z e w do sistema dado na Figura 7.9 como mostrado a seguir. DaFigura 7.9 tem-se [

zy

]= P

[wu

]=

[P11 P12

P21 P22

] [wu

], u = sy (7.20)

eliminando u e y obtém-se a relação entre z e w:

z

w= P11 + P12s(1 − P22s)−1P21 (7.21)

e pode-se portanto relacionar P aos coeficientes dos polinômios de F (s) da seguintemaneira


P =[bd−1 a− bd−1cd−1 −d−1c

].

A função de transferência Tzw entre z e w é dada pela LFT inferior com respeito as, isto é, F�(P, s) := P11 +P12s(1−P22s)−1P21 onde o subescrito em F�(P, s) vem delower do inglês por causa da forma inferior da transformação fracionária linear.

Figura 7.9: Forma LFT inferior.

Considere agora o sistema de controle na forma 2 blocos - padrão na Figura 7.10 comentrada da planta: u sinal de controle e w entradas externas, por exemplo perturbações,sinal de ruído de sensores, sinais de comando ou referência; saída da planta: y sinaismedidos (realimentados tornam-se entradas do controlador e z saídas reguladas, porexemplo variável de estado, sinal de controle e erro; P (s): planta aumentada e K(s):controlador.

P s( )

K s( )

Figura 7.10: Diagrama 2-blocos padrão.

Utilizando o procedimento dado anteriormente, pode-se obter, para um sistema in-ternamente estável (todas as suas funções de transferências estáveis) a matriz de trans-ferência entre z e w para o sistema realimentado como

Tzw = P11 + P12K(1 − P22K)−1P21. (7.22)

A LFT com respeito a K associada é definida formalmente como segue.

Definição 7.2 Sejam w ∈ Rq1 , u ∈ Rq2 as entradas e z ∈ Rp1 , y ∈ Rp2 as saídasde P , respectivamente. A LFT inferior de P com respeito a K é um mapeamentoF(P, •) : Cq2×p2 �→ Cp1×q1 .


Os vetores entrada-saída na representação 2 blocos-padrão são descritos por

z = P11w + P12uy = P21w + P22uu = Ky

(7.23)

ou na forma vetorial[zy

]= P

[wu

]=

[P11 P12

P21 P22

] [wu

], u = Ky (7.24)

Considerando o modelo típico para projeto como na Figura 7.11 com funções deponderação W1, W2 e W3, a matriz de transferência Tzw é dada por

Tzw := F�(P,K) =

⎡⎣ W1SW2KSW3T

⎤⎦ . (7.25)

w e u

Planta aumentada P(s)

n

2

z

z

1

3z

Figura 7.11: Planta aumentada com funções de ponderação.

Na Figura 7.11, P (s) define uma planta aumentada com w e u entradas, z e y saidas.A saída z é denotada variável regulada. Note que aqui w e y correspondem ao sinal dereferência r e erro e no diagrama típico da Figura 7.1, respectivamente.

7.3.3 Estrutura geral de controle robustoIncertezas podem ser modeladas de duas maneiras na estrutura geral mostrada na Fi-gura 7.1, como entradas externas ou como perturbações ao modelo nominal (Zhou 1998).A análise é determinada pelo tipo de incerteza, desempenho e modelo nominal adotados.

O modelo da Figura 7.12 pode ser descrito na forma entrada-saída como a seguir⎡⎣ zdzy

⎤⎦ = P

⎡⎣ wdwu

⎤⎦ =

⎡⎣ PzdwdPzdw Pzdu

PzwdPzw Pzu

PywdPyw Pyu

⎤⎦⎡⎣ wwdu

⎤⎦ , u = Ky. (7.26)


P (sw

)(s w

d d

_

Figura 7.12: Estrutura de blocos geral.

A análise de robustez de estabilidade pode ser feita a partir da análise de estabilidadede

z = Fu(M,Δ)w := M22 +M21Δ(1 −M11Δ)−1M12, ∀Δ, ‖Δ‖∞ ≤ 1 (7.27)

onde o sobrescrito u em Fu(., .) vem de upper do inglês por causa da forma superior datransformação fracionária linear e M(s) incorpora o controlador K da forma

M(s) = F�(P (s),K(s)) (7.28)

com

M11 = [Pzw]M12 = [Pzwd

Pzu](7.29)

M21 =[Pzdw

Pyw

](7.30)

M22 =[Pzdwd

Pzdu

PywdPyw

]. (7.31)

Desta forma, o sistema conectado da Figura 7.12 pode ser então descrito por[zdz

]= M

[wdw

]=

[M11 M12

M21 M22

] [wdw

], wd = Δzd. (7.32)

De (7.27) obtém-se Tzw = F(M,Δ) com z = [zd z] e w = [wd w]. O diagrama de blocoscorrespondente é mostrado na Figura 7.13.

(s)

wd

Figura 7.13: Sistema M-Δ.

7.4. ROBUSTEZ DE ESTABILIDADE 143

7.3.4 Representação espaço de estadoA representação espaço de estado do sistema na forma 2 blocos-padrão é da forma

x = Ax+B1w +B2uz = C1x+D11w +D12uy = C2x+D21w +D22u

(7.33)

com w := [wd w]T e z := [zd z]T e matrizes A,B1, B2, C1, C2, D11, D12, D21, D22 dedimensões apropriadas.

Exercício 7.4 Considere um modelo de incerteza multiplicativa na entrada da planta.Suponha que a planta nominal seja razoavelmente precisa (desvio de cerca de 0.5%)em freqüências abaixo de 10rad/s, mas imprecisa em freqüências acima de 1000rad/s(desvio de 50%). Considere um modelo de incerteza da planta entre estes dois extremos.A partir desta especificação, verificar que o limitante para a incerteza pode ser da forma(ordem 1)

Wd(jw) = 0, 5(jw + 10)

(jw + 1000). (7.34)

O sistema aumentado na forma 2- blocos padrão com incerteza sem o controlador éapresentado na Figura 7.14. Pede-se obter P (s) com[

zdz

]= P

[wdw

]=

[Pzdwd

Pzdw

PzwdPzw

] [wdw

], wd = Δzd (7.35)

A transferência entre z e w a malha fechada é dada por Tzw = Pzw + PzwdΔ[I −

PzdwdΔ]−1Pzdw.

w

d

Planta aumentada P( )s

wd

z

z

Figura 7.14: Diagrama 2-blocos padrão.

7.4 Robustez de EstabilidadeConsidere o sistema realimentado com incerteza multiplicativa normalizada descrito porG(s) = [1+Wu(s)Δ(s)]Gn(s), |Δ(s)‖∞ < 1. Pode-se utilizar o critério de Nyquist para


obter as condições de robustez de estabilidade do sistema realimentado. Considere ográfico típico de Nyquist de K(s)Gn(s) na Figura 7.15 para o caso monovariável em queK(s) e Gn(s) não possuem pólos no semi-plano lateral direito e portanto estabilidadesignifica que o ponto crítico −1 + j0 não é envolvido.

-1+j0

)()( �� jGjK n�1 )()( �� jGjK n

)()()( �� jGjKjW n

Figura 7.15: Condição de robustez de estabilidade a partir do diagrama de Nyquist casomonovariável.

Utilizando a descrição da planta por incerteza multiplicativa pode-se representar aincerteza sobreKGn(s) no diagrama de Nyquist por círculos de de raio |Wu(jw)K(jw)Gn(jw)|uma vez que G(s) = [1 + Wu(s)Δ(s)]Gn(s) e K(s)Gn(s) + Wu(s)K(s)Gn(s)Δ =K(s)G(s). Portanto, para evitar o envolvimento do ponto crítico −1 + j0 nenhum doscírculos de raio |Wu(jw)K(jw)Gn(jw)|, ∀w pode cruzar este ponto crítico. Por ins-peção da Figura 7.15, conclue-se que o envolvimento é evitado para |WuK(s)Gn(s)| <|1 +K(s)Gn(s)|, ou equivalentemente se∣∣WuK(s)Gn(s)(1 +K(s)Gn(s))−1

∣∣ < 1. (7.36)

Pode-se, assim, escrever a condição de robustez de estabilidade da seguinte forma

|WuT | < 1 (7.37)

onde T = K(s)Gn(s)(1 +K(s)Gn(s))−1 é a função sensibilidade complementar.

Exercício 7.5 (Burl 1999) Seja o modelo simplificado de uma aeronave consideradacomo um corpo rígido (sem ressonâncias)

Gn(s) =1s2

e compensador K(s) =20(s+ 1)(s+ 10)

.

Suponha que a planta real seja

G(s) =2(s+ 1)

s2(s2 + s+ 1)

Pede -se

7.4. ROBUSTEZ DE ESTABILIDADE 145

1. Obter o modelo de incerteza multiplicativa para a planta

2. Obter M(s) a função de transferência vista pela incerteza

3. Verificar a estabilidade do sistema a malha fechada quando sujeito à incertezacalculada em 1.

Uma forma mais geral para estabelecer um critério de robustez de estabilidade utilizao valor singular estruturado definido a seguir.

7.4.1 Valor singular estruturadoConsidere uma estrutura bloco diagonal, com blocos escalares repetidos e blocos com-pletos, para a incerteza Δ, definindo-se Δ como

Δ ={diag [δ1Ir1 , ..., δsIrS ,Δ1, ...,ΔF ] : δi ∈ C,Δj ∈ Cmj×mj

}com S e F o número de blocos escalares e blocos completos, respectivamente. Considereagora um subconjunto de Δ com norma limitada

BΔ = {Δ ∈ Δ : σ(Δ) ≤ 1} .

7.4.2 Robustez de estabilidadeA estabilidade de um sistema sujeito à perturbação Δ é determinada a partir da análisedo sistema realimentado da Figura 7.12. Supondo-se o sistema realimentado nominalestável, quaisquer polos instáveis devem ser soluções de

det(I +M11(s)Δ(s)) = 0. (7.38)

Robustez de estabilidade é avaliada pela menor perturbação Δ desestabilizante queleva à uma solução de (7.38) localizada no eixo imaginário. A menor perturbação Δ édefinida em termos de σ(Δ) como segue

infw{ minΔ∈BΔ

[σ(Δ) tal que det(I −M11Δ) = 0]}.

Uma medida da menor perturbação Δ desestabilizante é dada pelo SSV, conhecidocomo μ. O SSV pode ser interpretado como uma margem de estabilidade com respeitoà incerteza Δ e é definido formalmente como segue.

Definição 7.3 (Zhou 1998) For M ∈ Cn×n, μΔ(M) is given by

μΔ(M) ={ 1

min{σ(Δ)|det(I−MΔ)=0} , ∃Δ ∈ BΔ| det(I −MΔ) = 00, det (I −MΔ) = 0, ∀Δ ∈ BΔ.

Um sistema realimentado descrito na forma padrão é estável internamente (todasas suas funções de transferências são estáveis) para todas as possíveis perturbaçõesΔ ∈ BΔ se e só se o sistema nominal a malha fechada for internamente estável esupω{μΔ[M11(jω)]} < 1 como estabelece o seguinte teorema.


Teorema 7.1 (Pequenos Ganhos) Um sistema realimentado representado na forma2-blocos padrão da Figura 7.13 é internamente estável para Δ ∈ BΔ e M(s) estável see só se

supω

[μΔ(M11(jω))] < 1 (7.39)

Prova. A seguir é apresentado um esboço da prova seguindo Zhou et al. (1996). Umavez que M(s) é estável, a instabilidade só pode ser causada pela malha fechada daperturbação Δ e a análise de estabilidade pode ser feita a partir do digrama da Figura7.16. Assim, usando Δ admissível e supω[μΔ(M11)] < 1 tem-se det(I −M11Δ) = 0. Defato,

infω[σ(I −M11Δ)] ≥ 1 − supω[σ(M11Δ)]= 1 − ‖M11Δ‖∞ > 0. (7.40)

e a suficiência segue. A necessidade pode ser mostrada usando contradição supondo quesupω[σ(M11Δ)] ≥ 1 e mostrando que existe Δ admissível tal que det(I −MΔ) tenhaum zero no eixo imaginário usando decomposição de valores singulares. �

Figura 7.16: Análise de estabilidade.

7.5 Robustez de DesempenhoConsidera-se inicialmente o desempenho do sistema nominal e em seguida robustez dedesempenho. Consideram-se as especificações de desempenho mais comuns: acompa-nhamento de referência, rejeição de perturbações e restrição na amplitude dos valoresda saída do controlador. Considere as relações fundamentais a partir da configuraçãotípica mostrada na Figura 7.1

y = To(r − n) + SoGdi + Sod (7.41)e = So(r − d) + Ton− SoGdi (7.42)u = KSo(r − n) −KSod− Tidi (7.43)

com e = r − y.Para o acompanhamento de referência deve-se impor que o erro de acompanhamento

seja tal que (Cruz 1996)‖e‖2

‖r‖2≤ εr. (7.44)

7.5. ROBUSTEZ DE DESEMPENHO 147

De outra forma, utilizando a matriz sensibilidade pode-se escrever ‖Wr(jw)So(jw)‖∞ ≤1 para Wr(jw) escolhido adequadamente. Equivalentemente, para a rejeição de pertur-bação na saída da planta, deve-se impor

‖y‖2

‖d‖2≤ εd (7.45)

e consequentemente ‖Wd(jw)So(jw)‖∞ ≤ 1, Wd(jw) escolhido adequadamente. Pararestringir a amplitude do sinal de controle ou atuador deve-se impor ‖Wu(jw)KS0(jw)‖∞ ≤1 para Wu(jw) escolhido adequadamente.

As especificações de desempenho descritas acima podem ser representadas na matrizde transferência entre z e w dada por

‖Tzw‖∞ = ‖F�(P,K)‖∞ =

∥∥∥∥∥∥WrSoWdS0

WuKSo

∥∥∥∥∥∥∞

< 1 (7.46)

para saídas do diagrama 2 blocos-padrão dadas por z1 = Wre, z2 = Wdy, z3 = Wuue entradas w1 = r e w2 = d. Outras especificações podem ser incorporadas nestaformulação 2 blocos- padrão.

7.5.1 Robustez de desempenho com valores singulares estrutu-rados

Como visto anteriormente, a especificação de desempenho pode ser feita a partir danorma H∞ da matriz de transferência Tzw. A norma H∞ possui a vantagem de ser defácil aplicação. Diz-se que um sistema realimentado possui desempenho robusto se osistema conservar-se internamente estável e a especificação ‖Tzw‖∞ < 1 for satisfeitapara as perturbações admissíveis. Assim, a partir do Teorema 7.1 e (7.47) as condiçõespara desempenho robusto podem ser expressas em termos de

‖Tzw‖∞ < 1 (7.47)supωμΔ[M11] < 1. (7.48)

O problema de robustez de desempenho pode ser convertido em um problema equi-valente de robustez de estabilidade através da inclusão de um bloco de incerteza fictícioao sistema. O bloco de desempenho conecta a saída z à entrada ω. Portanto, introdu-zindo um bloco fictício de perturbação Δf associado às especificações de desempenho,uma estrutura aumentada de incerteza pode ser formada

ΔP ={[

Δ 00 Δf

]: Δ ∈ Δ,Δf ∈ Cnw×nz . (7.49)

Um resultado importante para a análise de robustez é dado a seguir.

Teorema 7.2 O sistema da Figura 7.17 atende as condições de robustez de desempenho(7.47) e (7.48) se e só se este for internamente estável.


� �s

�� sf

0

0

Figura 7.17: LFT do sistema com pertubação aumentada.

Prova. Suponha o sistema internamente estável para a estrutura de perturbação au-mentada (7.49). Assim, tem-se

det(I −MΔP ) = 0. (7.50)

Para o caso especial de ΔP

ΔP =[

Δ 00 0

](7.51)

tem-se det(I −MΔP ) = det(I −M11Δ) = 0 o que implica (7.48). Expandindo (7.50)

det(I −MPΔ) = det[I −M11Δ −M12Δf

−M21Δ I −M11Δf

](7.52)

e usando a identidade

det[A BC D

]= det(A) det(D − CA−1B) (7.53)

obtém-sedet(I −MΔp) = det(I −M11Δ)det(I − TzwΔf ). (7.54)

Tendo em vista (7.50) chega-se a

det(I − TzwΔf ) = 0. (7.55)

E então, pelo Teorema 7.1 chega-se à condição (7.47). �

Exercício 7.6 Seja o sistema realimentado da Figura 7.18 com a planta G(s) apresen-tando um polo incerto.

G(s) =1

s+ 2 + δ, δ ∈ [−0.2, 0.2] (7.56)

Esta incerteza pode ser descrita na forma separada da planta nominal para Δ ∈ [−1, 1]como na Figura 7.19. Sabe-se que a referência varia lentamente com banda-limitada em

7.5. ROBUSTEZ DE DESEMPENHO 149

u

-

K s( ) G s( )

Figura 7.18: Sistema realimentado.

menos de 10rad/seg. O objetivo do controle é fazer a saída seguir a referência com errode regime menor que -20dB. Uma função de ponderação para a função sensibilidadepode ser do tipo

We(jω) =150

jω + 10(7.57)

a qual garante um ganho maior do que 20dB na faixa [0, 10rad/seg]. A forma padrãopara o sistema normalizando a incerteza em 1 é como a seguir na Figura 7.20. A

- 2

1

�s

�

- 2

1

�s

0.2

Figura 7.19: Incluindo incertezas no diagrama de blocos.

especificação de desempenho foi incorporada como incerteza Δ(s). Pede-se:

1. A matriz aumentada M e o seu valor singular estruturado para K = 50 e K = 200com M(s) = F�(P (s),K(s))

2. Plotar o diagrama do valor singular estruturado e verificar se a condição de ro-bustez de desempenho é satisfeita.


0.2

2

1

�s

wd

� �s

�� sf

w

0

0

M (s)

Figura 7.20: Sistema realimentado na forma LFT.

7.6 Controlador H∞O problema de controle H∞ foi formulado primeiramente por Zames (1981) a partirda minimização da norma H∞ da função sensibilidade do sistema realimentado, nomederivado de espaços de Hardy da teoria de análise funcional. A norma H-infinto de umafunção de transferência é definida como

‖G(jw)‖∞ = supw |G(jw)|

Considere a representação padrão 2-blocos (7.10) com P (s) a matriz de transferênciaaumentada. Do digrama acima tem-se

z = P11w + P12u

y = P21w + P22u ou[zy

]= P

[wu

]=

[P11 P12

P21 P22

] [wu

](7.58)

u = Ky

A seguir obtém-se a matriz de transferência entre a saída regulada z e a entradaexterna w. Substituindo u na equação de y tem-se

y = P21w + P22Ky e assim y = (1 − P22K)−1P21w.

E, pode-se escrever

u = Ky = K(1 − P22K)−1P21w.

Finalmente, substituindo u na equação de z tem-se

7.6. CONTROLADOR H∞ 151

z = P11w + P12K(1 − P22K)−1P21w = [P11 + P12K(1 − P22K)−1P21]we então z = Tzww, com Tzw = P11 + P12K(1 − P22K)−1P21.

A planta aumentada na forma espaço de estado é da forma

x = Ax+B1w +B2u

z = C1x+D11w +D12u

y = C2x+D21w +D22u.

7.6.1 Problema de controle H∞ com realimentação de estado

Considere o sistema

x = Ax+B1w +B2u

z = C1x+D12u

y =[xw

]Condição simplificadora do projeto: DT

12

[C1 D12

]=

[0 1

]O problema de controle H∞ com realimentação de estado consiste na obtenção de umcontrolador que minimize

J = ‖Tzw‖∞ = sup‖w(t)‖2 =0

‖z(t)‖2

‖w(t)‖2

.

Uma função objetivo quadrática tratável pode ser obtida considerando um limitantepara a norma

‖Tzw‖∞ = sup‖w(t)‖2 =0‖z(t)‖2

‖w(t)‖2

< γ (7.59)

γ é chamado de limitante de desempenho. O controlador que satisfaz este limitante échamado controlador H∞ sub-ótimo.

Teorema 7.3 Existe um controlador admissível tal que ‖Tzw‖∞ < γ para um dado γse e só se existe uma matriz definida positiva P satisfazendo

ATP + PA− P (B2BT2 − γ−2B1B

T1 )P + CT1 C1 ≥ 0

com Ac = A−B2BT2 P +γ−2B1B

T1 )P estável. O controlador é dado por u(t) = −Kx(t)

com K = −BT2 P .

7.6.2 Problema de controle H∞ com realimentação da saída

Seja P (s) a realização espaço de estado de uma planta aumentada descrita na formacompacta


P (s) :=

⎡⎣ A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

⎤⎦ . (7.60)

O problema pode ser formulado como obter um controlador estabilizante u = Ky tal quea norma da função de transferência de malha fechada Tzw = P11+P12K(1−P22K)−1P21

seja pequena, isto é, ‖Tzw‖∞ < γ, com γ um escalar positivo.

Condições de existência de solução simplificada

a) O par (A,B1) é estabilizável e o par (C1, A) é detetável (condições mais fracas doque controlabilidade e observabilidade).

b) O par (A,B2) é estabilizável e o par (C2, A) é detetável. Esta condição é umacondição necessária para o controlador existir.

c) DT12

[C1 D12

]=

[0 1

],

[B1

D21

]DT

21 =[01

].

d) D11 = 0 e D22 = 0.

As condições c) e d) não são necessárias, mas simplificam a solução.

Teorema 7.4 Existe um controlador admissível tal que ‖Tzw‖∞ < γ se e só se asseguintes três condições forem satisfeitas:

1. ATP + PA − P (B2BT2 − γ−2B1B

T1 )P + CT1 C1 ≥ 0 com Ac = A − B2B

T2 P +

γ−2B1BT1 P estável

2. SAT+AS−S(CT2 C2−γ−2CT1 C1)S+B1BT1 ≥ 0 com Af = A−SCT2 C2+γ−2SCT1 C1

estável

3. ρ(PS) < γ2.

O controlador é dado por

K =[A∞ −Z∞F∞ 0

],

com A∞ = A + γ−2B1BT1 P + B2F∞ + Z∞L∞C2 e F∞ = BT2 P,L∞ = −SCT2 , Z∞ =

(1 − γ−2SP )−1

7.6.3 Incorporando funções pesosDadas as especificações de desempenho e estabilidade em termos da função sensibilidadee sensibilidade complementar

‖W1S‖∞ < 1 ou ‖S‖∞ <∥∥W−1

1

∥∥∞e (7.61)

‖W3T ‖∞ < 1 ou ‖T ‖∞ <∥∥W−1

3

∥∥∞

7.6. CONTROLADOR H∞ 153

o problema de controleH∞ pode ser formulado em termos da minimização da função

objetivo ‖Tzw‖∞ dada por Tzw =[W1SW3T

], ou em termos de encontrar um γ pequeno

tal que ‖Tzw‖∞ < γ. O diagrama do sistema na forma 2-blocos padrão é mostrado naFigura 7.21 abaixo.

Planta aumentada ( )G sW s1( )

W s3( )

y

z3

z1

w e u

-G sn( )

K s( )controlador

Figura 7.21: Diagrama planta aumentada.

Observação 7.3 Os comandos MATLAB augtf e augss fornecem a planta aumentada,e os comandos hinf e h2lqg fornecem os controladores H2 e H∞.

Exercício 7.7 [] Considere a configuração de controle da Figura (7.11) com

Gn =(s− 1)(s− 2)

(7.62)

W1 =0.1(s+ 100)(100s+ 1)

(7.63)

W2 = 0.1 (7.64)W3 = [] (7.65)

Pede-se

1. Obter um controador H-infinito usando o MATLAB com a função hinfopt.

2. Verificar se as condições de projeto dadas por W1 e W2 foram satisfeitas.

3. Plotar a resposta ao degrau do sistema a malha fechada com o controlador obtidono tem anterior.

4. Obter as margens de ganho e fase do sistema com controlador.

Exercício 7.8 Considere a configuração de controle mostrada na Figura (7.11) mascom entradas de perturbações di e d na entrada da planta e saída da planta, respectiva-


mente e com (Zhou 1998)

Gn =50(s+ 1.4)

(s+ 2)(s+ 1)(7.66)

W1 =2

s+ 0.2(7.67)

W2 =(s+ 1)(s+ 10)

(7.68)

W3 = [] (7.69)

Com w = [d di]T e z = [z1 z2]T , projetar um controlador para minimizar ‖Tzw‖∞.

7.7 Síntese µ

O objetivo de projeto é obter um controlador estabilizante K, tal que para todas aspertubações Δ o sistema em malha fechada seja estável e satisfaz

‖ F� [Fu (P,Δ) ,K] ‖∞≤ 1. (7.70)

O objetivo da síntese μ é minimizar sobre todos os controladores estabilizantes K, opico do valor de μΔ (.) da função transferência de malha fechada F� (P,K), ou seja

minK

estabilizavel

maxw

μΔ (F� (P,K) (jw)) . (7.71)

No problema min max (7.71), a redução do limitante superior de μ permite aumentara menor perturbação desestabilizante Δ assim, aumentando a margem de robustez deestabilidade. A computação direta de μΔ(M) fazendo-se uma busca sobre todos osΔ ∈ BΔ não é praticável. Portanto, um limitante superior de μΔ(M) é usado no projetode controladores robustos. Um limitante superior de μΔ(M) é σ(M) como pode ser vistono Exercício 7.9. Entretanto, este limitante é bastante conservador. Para superar esteproblema, em (Safanov 1981) o conceito de escalonamento diagonal é utilizado paracomputar um limitante para μΔ(.). A motivação para este escalonamento é que se Δ eD são matrizes diagonais tem-se ‖Δ‖∞=

∥∥DΔD−1∥∥∞ mas

∥∥DMD−1∥∥∞ pode ser feita

bem menor do que ‖M‖∞. Portanto, como os polos do sistema realimentado Figure7.12b não são afetados pelo escalonamento, tem-se

μΔ(M) = μΔ(DMD−1). (7.72)

Isto leva ao seguinte limitante superior para μΔ(M)

μΔ(M) ≤ infD∈D

σ(DMD−1

)(7.73)

com D um conjunto de matrizes de escalonamento diagonais com a propriedade DΔ =ΔD para todo D ∈ D e Δ ∈ Δ ∈ BΔ.

Pode-se enxergar (7.71) como um problema de minimização do limitante superiorμΔ mostrado em (7.73) e formar a chamada iteração D −K.

minK

estabilizavel

minD−1∈H∞

‖DF�(P,K)D−1‖∞ (7.74)

A Figura 7.22 ilustra o problema de otimização.

7.7. SÍNTESE μ 155

uy

Figura 7.22: Síntese D −K.

Algoritmo 7.1 (Iteração D −K )

1. Fixar uma estimativa inicial da matriz de escalonamento Dω = diag(dω1 I, ..., dωF−1I, I) ∈

D, dωi , i = 1, ..., F − 1 escalares positivos ;

2. Encontrar funções de transferência escalares estáveis di(s), d−1i (s) para i = 1, 2, ..., (F−

1) de forma que |di(jω)| ≈ dωi ;

3. Seja D(s) = diag(d1(s)I, ..., dF−1(s)I, I);

4. Construir um modelo espaço de estado para o sistema P = (D(s)I)P (D−1(s)I);

5. Solucionar o problema de otimização H∞

minK

‖F�(P ,K)‖∞ (7.75)

e denotar o controlador encontrado por K;

6. SolucionarminDω∈D

σ[DωF�(P, K)(jω)D−1ω ] (7.76)

e denotar o novo Dω por Dω;

7. Comparar Dω com o anterior Dω e retornar ao passo 2 até atingir convergência.

Exercício 7.9 Mostrar que o SSV é limitado acima pelo valor singular máximo, isto é

μΔ(M) ≤ σ(M).

Solução. Suponha μΔ(M) = 0 Pela Definição 7.3 tem-se que

1μΔ(M)

= min[Δ ∈ BΔtal quedet(I + MΔ) = 0].

Suponha um Δ∗ ∈ BΔ satisfazendo (refmuDelta). Assim, (I +MΔ∗)x = 0 implicando‖x‖2 = ‖MΔ∗x‖2. Uma vez que

1 =‖MΔ∗‖2

‖x‖2 ≤ σ(MΔ∗)


tem-se 1 ≤ σ(M)σΔ∗) e assim,

μΔ(M) =1

σ(Δ∗)≤ Δ(M)

Pode-se verificar também que o SSV é limitado abaixo pelo raio espectral ou sejaμΔ(M) ≥ ρ(M). Para isto considere o caso extremo em que Δ é dado por

Δ = {δI : δC}(S = 1, F = 0, r1 = n)

Desta forma, os únicos Δ′s ∈ Δ que satisfaz det(I −MΔ) = 0 são os recíprocos dosautovalores não zeros de M . O menor destes está associado ao maior autovalor emmódulo e assim, μΔ(M) ≥ ρ(M).

A teoria de síntese μ é encontrada em (Zhou 1998), (Burl 1999) e a documentaçãopara o MATLAB em (Balas et al. 1995).

7.8 ProjetoPara aplicar técnicas de controle robusto em problemas práticos, os conceitos de plantaaumentada, especificação de desempenho e funções de ponderação são fundamentais.A seguir utiliza-se o mesmo sistema de suspensão apresentado na Seção 3.2 para refor-çar estes conceitos a partir da realização de um projeto completo de um controladorincluindo testes de desempenho e estabilidade e simulações.

O projeto de um controlador μ para o sistema de suspensão magnética supõe aexistência de variações paramétricas na massa da esfera e distúrbios externos. A plantaaumentada é então construída com as funções de ponderação W1, W2 e W3 mencionadasanteriormente e uma entrada e saída adicional para modelar a incerteza na massa.

7.8.1 Escolha das Matrizes de PonderaçãoA escolha das matrizes de ponderação W1, W2 e W3 tem por base as características dosistema a ser controlado e no caso tratado observa-se o seguinte. W1 deve limitar S, embaixas frequências estabelece um ganho minímo necessário para estabilizar o sistema emmalha fechada para que tenha boa rejeição a pertubações externas, apresente pequenoerro de regime e tenha desempenho insensível a variações da planta. O ganho nesta faixanão pode ser muito elevado para evitar a saturação do PWM. A localização do pólodeve proporcionar a velocidade desejada. A função W2 deve ter um ganho suficientepara limitar a entrada de controle para uma faixa aceitável, evitando a saturação doatuador. Entretanto, um ganho alto pode deteriorar o desempenho. Este ganho deveatenuar os ruídos de alta frequência, porém manter aceitável a velocidade da resposta.A função W3 deve minimizar o pico da função sensibilidade complementar T, reduzindoas oscilações e garantindo a estabilidade, entretanto é conflitante comW1, especialmenteem baixas frequências. Após simulações e ajustes, as funções escolhidas foram

W1 =2.25s+ 0.1

, (7.77)

W2 =0.0045s+ 0.09

s+ 150, (7.78)

W3 =0.095s+ 1.9s+ 190

. (7.79)

7.8. PROJETO 157

7.8.2 Incertezas paramétricasIncertezas paramétricas podem ser representadas por LFTs. Para o modelo de suspen-são magnética escolhido é razoável considerar a variação da massa m suspensa para umaaplicação de um veículo suspenso magneticamente no qual a entrada e saída de passa-geiros representaria uma variação real e prevista da massa. Considera-se uma variaçãode 10% na massa da esfera

m = m+ 0.1δm, δ ∈ [−1, 1] (7.80)

onde m é a massa nominal e m a massa real. Esta perturbação é descrita na plantaaumentada da Figura 7.23 por uma LFT em Δ. De fato, o termo 1

m pode ser escritocomo

1m

=1m

− 0.1δm

(1 + 0.1δ)−1. (7.81)

Comparando (7.27 com (7.81), a matrix LFT correspondente denotada M1 pode serobtida como

M1 =[ −0.1 1

−0.1m

1m

]. (7.82)

A LFT pode ser representada na forma

1m+ 0.1δm

⇔ Fu(δ,

[ −0.1 1− 0.1

m1m

]).

7.8.3 Controlador H∞ padrãoO problema de controleH∞ padrão é formulado em termos de encontrar um controladoradmissível K, se existir um, tal que, para um dado γ > 0

‖Tzw‖∞ :=

∥∥∥∥∥∥W1SW2KSW3T

∥∥∥∥∥∥∞

≤ γ. (7.83)

Para modelar as especificações de desempenho e estabilidade, uma planta aumentadaé obtida a partir da planta nominal G e funções de ponderação. Para considerar omodelo perturbado para a planta em termos de incerteza multiplicativa a qual refletea variação da massa m, gera-se um função de transferência estável Wu e ajusta-se afunção de ponderação W3 de forma que a condição de stabilidade para a incertezamultiplicativa é garantida ‖WuT ‖∞<1 e W3 é alterada para

W3 =0.095s+ 1.9s+ 190

. (7.84)

A planta aumentada segue a estrutura mostrada na Figura 7.11 obtida com a funçãoaugtf

�[tss_]=augtf(Gn,W1,W2,W3);e o controldaor H∞ é então obtido via as seguintes funções

�[ss_cp,ss_cl]=hinf(tss_);


P

Figura 7.23: Diagrama em blocos no Simulink para gerar a planta aumentada P(Pmu.mdl).

�[syscc]=ss(ss_cp);onde ss_cp=mksys(Ac,Bc,Cc,Dc) com Ac,Bc,Cc,Dc as matrizes do controlador obtidase ss_cl o sistema de malha fechada resultante. O controlador encontrado é de ordem 6.A função “hinf” utiliza um algoritmo com 2 equações de Riccati (Zhou 1998). Figura7.24 ilustra os limitantes de desempenho e estabilidade especificado em termos de W1

and W−13 .

7.8.4 Controlador µ

A matriz P para o problema de controle de acordo com a Figura 7.23 descreve o sistemainterconectado ⎡⎢⎢⎢⎢⎣

zdz1z2z3y

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = P

⎡⎣ wdwu

⎤⎦

7.8. PROJETO 159

10−2

100

102

104

−60

−40

−20

0

20

40

(dB

)

(rad/sec)

inv(W3)

inv(S)

KG

W1

T

Figura 7.24: Especificações de projeto.

A solução de (7.74) leva à minimização de ‖W1S‖∞, ‖W2KS‖∞, ‖W3T ‖∞ e ‖Tzdwd‖∞.

A síntese do controlador pode ser obtida no MATLAB através dos comandos (Balaset al. 1995)�[Ap,Bp,Cp,Dp]=linmod(‘Pmu’);� P=pck[Ap,Bp,Cp,Dp];� dk_def_name = ‘G_dk.m’;� dkit;O arquivo G_dk.m é descrito a seguir� nominal_dk = P ; %estrutura de interconexão da planta nominal;� nmeas_dk = 1; % número de saídas;� ncont_dk = 1; % número de entradas de controle;� blk_dk = [-1 0;1 3]; % estrutura de Δ para o cálculo de μΔ;� omega_dk = logspace(-1,4,200); % faixa de frequência de resposta.

Encontra-se assim um controlador de sexta ordem, na sétima iteração, com o menor picode μΔP . Um controlador de ordem maior poderia ser encontrado no escalonamentoda matriz de transferência D porém acarretaria um tempo de processamento maiorcompromentendo a implementação em tempo real do controlador.

7.8.5 Testes de robustez

A resposta em frequência do limitante superior de μ para o teste de robustez de desem-penho é obtida através dos comandos

�M=starp(P,K,1,1);�[bnds]= mu(M,[-1 0; 1 3]); %calcula μΔp(M) para o teste de robustez de desempenho.�[Af, Bf, Cf, Df]=linmod(’M11’);�[mu,LOGD]=SSV(Af,Bf,Cf,Df,w,[-1 -1]); %calcula μΔ(M11) para o teste de robustez


de estabilidade.Segundo o teste de estabilidade robusta (7.39) mostrado na Figura 7.25 o sistema é

robustamente estável para os dois controladores uma vez que μΔ ≤ 1. Observa-se que ocontrolador μ tem maior tolerância a variações de massa em relação ao H∞. Enquantoo primeiro atinge a instabilidade com δ = 1/0.1768 = 5.65, ou seja, a massa pode variarno intervalo de 0.44m ≤ m ≤ 1.56m para m = m+ 0.1δm, o segundo é desestabilizadocom δ = 1/0.2118 = 4.72 que resulta na faixa admissível 0.53m ≤ m ≤ 1.47m.

10−1

100

101

102

103

104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Frequencia(rad/s)

Mag

nitu

de

H−infSintese mu

Figura 7.25: Teste de robustez de estabilidade.

O teste de robustez de desempenho é feito com a perturbação aumentada ΔP , paraconsiderar as condições (7.47) e (7.48). Na Figura 7.26 observa-se que ambos temdesempenho robusto mas o controlador μ apresenta vantagens conside-ráveis. O picode μΔP do controlador μ é 0.275 enquanto para o controlador H∞ é de 0.534, o querepresenta uma faixa de tolerância da massa de 0.64m ≤ m ≤ 1.36m e 0.81m ≤ m ≤1.19m, respectivamente. A Figura 7.27 apresenta o diagrama Simulink utilizado para arealização de simulações com perturbações.

7.9 Exercícios Propostos1. Análise e síntese

(a) Análise da estabilidade do equilíbrio (h0, i0) das equações não-lineares usandoo sistema linearizado com os parâmetros dados na Seção 3.2.

(b) Descrição da planta perturbarda e escolha de funções de ponderação seguindoas sugestões apresentadas na Seção 7.8.2 e 7.8.1.

(c) Construção da planta aumentada mostrada na Figura 7.23 para projetousando o procedimento dado na Seção 7.8.3 e 7.7, respectivamente.

(d) Desenvolver um programa MATLAB para obter o controlador padrão H∞ eo controlador μ usando os passos fornecidos na Seções 7.6 and 7.7, respecti-vamente.

7.9. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 161

10−1

100

101

102

103

104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Frequencia(rad/s)

Mag

nitu

de(d

B)

H−infSintese u

Figura 7.26: Teste de robustez de desempenho.

di

G

�

Figura 7.27: Modelo Simulink para simulação de pertubações.


(e) Desenvolver um programa MATLAB para realizar os testes de robustez emtermos de limitantes para μ. Gráficos típicos obtidos pelos estudantes sãomostrados na Figura 7.26.

2. Simulação

(a) Desenvolver um diagrama Simulink do tipo mostrado na Figura 7.27 paraobter respostas a um degrau de perturbação.

(b) Considerar diferentes amplitudes do distúrbio e ruido e variar a massa.

Capítulo 8

Estabilização de Sistemas comAtraso

Recentemente, novos resultados para a síntese de controladores PID foram obtidosusando a extensão do teorema de Hermite-Biehler derivado por Pontryagin (Pontryagin1955) (Silva et al. 2002). Esta solução apresentada passa pela solução de equações trans-cedentais. Nesta seção, a familía de controladores PI estabilizantes para uma classe desistemas é obtida a partir de equações lineares usando os resultados do caso propor-cional o qual é apresentado primeiro. O método proposto é baseado na assinatura doquasi-polinomio aparecendo no problema de estabilização. Este metodo usa o fato doquasi-polinômio, o qual é uma função inteira, posuir um número finito de zeros na regiãodo plano complexo.

Considere um polinômio P (s) e escreva P (jω) = Pr(ω) + jPi(ω). Seja a assinaturade P (s) denotada σ(P ) definida pelo número de zeros de P (s) no semiplano esquerdoaberto do plano complexo − número de zeros de P (s) no semiplano aberto direito (Hoet al. 1997).

Na sequência, apresentam-se os resultados principais de projeto do controlador pro-porcional publicado anteriormente em (Oliveira et al. 2003) mas com as provas dosLemas 8.1 e 8.2 dadas com mais detalhes.

8.0.1 Controlador proporcional

Considere o quasi-polinômio δ(s) como em (5.30) sob suposição A1). Analisa-se asraízes de δ(jω) na faixa de frequência determinada por ω0. Diferindo dos polinômios,os quasi-polinômios possuem infinitas raízes. Os resultados apresentados em Ho et al.(1997) tratam com polinômios fazendo uso do número de raízes para estabelecer umprocedimento para projeto de controladores PID. Neste trabalho, o número de raízesdo polinômio relaciona-se com os zeros reais de Pr(ω) and Pi(ω). Para o caso do quasi-polinômio, sejam δ(jω) = p(ω)+ jq(ω), com p(ω) e q(ω) como antes, e 0 = ωq0 < ωq1 <ωq2 < · · · < ωqm and ωp1 < ωp2 < · · · < ωpr zeros finitos reais, distintos de q(ω) e p(ω),respectivamente. A definição seguinte é crucial para selecionar a faixa de frequência deanálise da distribuição das raízes de δ(s).

163

164 CAPÍTULO 8. ESTABILIZAÇÃO DE SISTEMAS COM ATRASO

Definição 8.1 Sejam m+1 e r o número de zeros de q(ω) e p(ω), respectivamente, comm e r suficientemente grande tal que estes zeros entrelacem em [ωqm ,∞) e [ωpr ,∞).Para m+ r par define-se ω0 = ωqm , em outros casos define-se ω0 = ωpr .

Definição 8.2 Seja δ(s) um dado quasi-polinômio descrito com em (5.30) sem raízesno eixo jω exceto possivemente por uma na origem. Para um suficientimente grande ω0,suponha 0 = ωq0 < ωq1 < ωq2 < · · · < ωqm ≤ ω0 and ωp1 < ωp2 < · · · < ωpr ≤ ω0 sejamzeros reais, distintos e finitos de q(ω) e p(ω), respectivamente. Então, a assinatura deδ(s) denotada σq(δ) é dada por

σq(δ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

{sgn[p(ωq0)] − 2sgn[p(ωq1)] + 2sgn[p(ωq2)] + · · ·+(−1)m−12sgn[p(ωqm−1)] + (−1)msgn[p(ωqm)]}.(−1)m−1sgn[q(ω+

qm−1)]

se m+ r é par{sgn[p(ωq0)] − 2sgn[p(ωq1)] + 2sgn[p(ωq2) + · · ·+(−1)m2sgn[p(ωqm)]}.(−1)msgn[q(ω+

qm)]

sem+ r é impar(8.1)

com sgn a função sinal padrão e sgn[q(ω+i )] denota o sinal de q(ω) logo após a ocorrência

do zero q(ωi).

Observação 8.1 A assinatura σq(δ) como na Definição 8.2 é a contrapartida da assi-natura de polinômios.

Lema 8.1 Considere um quasi-polinômio estável δ(s) descrito como em (5.30) sob hi-pótes A1). Sejam m e r como antes. Então, a assinatura do quasi-polinômio δ(s) édada por σq(δ) = m+ r.

Prova. Sejam q(ω) e p(ω) como antes definidos e 0 = ωq0 < ωq1 < ωq2 < · · · <ωqm ≤ ω0 zeros reais, distintos e finitos de q(ω) in [0, ω0]. Seja Δω0

0 θδ, a variação noargumento θδ(ω) := arctan[ q(ω)

p(ω) ] as ω cresce de 0 a ω0. Tem-se o seguinte resultado.

1. Se ωqi e ωqi+1 são ambos zeros de q(ω) na faixa [0, ω0], então

Δωqi+1ωqi

θδ =π

2[sgn[p(ωqi)] − sgn[p(ωqi+1)]]sgn[q(ω+

qi)] (8.2)

2. Se ωqi é um zero de q(ω) na faixa [0, ω0] enquanto ωqi+1 não é, então

Δωqi+1ωqi

θδ =π

2[sgn[p(ωqi)] sgn[q(ω+

qi)]. (8.3)

3. Para i = 0, 1, 2, · · · ,m− 1 tem-se

sgn[q(ω+qi+1

)] = −sgn[q(ω+qi

)]. (8.4)

Considere o caso em que m+ r é par. Usando a Definição 8.1 para ω0, suficiente-mente grande pode-se escrever

Δω00 θδ =

m−1∑i=0

Δωqi+1ωqi

θδ (8.5)

165

onde ω0 = ωqm . Daqui, substituindo (8.2) em (8.5) e usando (8.4) obtém-se

Δω00 θδ =

m−1∑i=0

π

2sgn[p(ωqi) − sgn[p(ωqi+1)]](−1)m−1−isgn[q(ω+

qm−1)]. (8.6)

Considere agora o caso em que m+ r é par. Novamente, usando Definição 8.1 para ω0,suficientemente grande pode-se escrever

Δω00 θδ =

m−1∑i=0

Δωqi+1ωqi

θδ + Δω0ωqm

θδ (8.7)

com ω0 = ωpr . Substituindo (8.3) em (8.7) e usando (8.4) resulta

Δω00 θδ =

m−1∑i=0

π

2sgn[p(ωqi)−sgn[p(ωqi+1)]](−1)m−isgn[q(ω+

qm)]+

π

2sgn[p(ωqm)]sgn[q(ω+

qm)].

(8.8)assim, a partir da Definição 8.2 tem-se

Δω00 θδ =

π

2σq(δ). (8.9)

Finalmente, usando a propriedade de interlaçamento de quasi-polinômios estáveis es-tabelecida na condição i) do Teorema 5.13 e Definição 8.1, tem-se para m + r par,0 = ωq0 < ωp1 < ωq1 < ωp2 < · · · < ωpr < ωqm = ω0 or 0 = ωq0 < ωp1 < ωq1 < ωp2 <· · · < ωqm < ωpr = ω0, para m + r impar. Então, a variação líquida no argumentoθδ(w) as ω cresce de 0 a ω0 is Δω0

0 θδ = (m+ r)π2 . Usando (8.9) o resultado segue.�

Considere a descrição da planta a ser controlada

G(s) =n1(s)e−sT

d(s). (8.10)

Para esta planta, a função característica do sistema realimentado com o controladorC(s) = kp é então dada por

δ∗(s, kp) = d(s) + kpe−sTn1(s) (8.11)

onde d(s) e n1(s) são como em (5.29) com M = 1. Supondo T > 0 obtém-se umquasi-polinômio da forma de (5.30). Agora, multiplicando (8.11) por esT resulta noquasi-polinômio da forma

δ(s, kp) = esT d(s) + kpn1(s). (8.12)

Na sequência, retiramos o subscrito de n1(s) e novamente considera-se o quasi-polinômioδ(s, kp) sob hipótese A1). No problema de estabilização constróe-se um quasi-polinômioda forma δ(s, kp)n(−s) com apenas a parte real em função de kp

δ(jw, kp)n(−jw) = p(ω, kp) + jq(ω) (8.13)


com p(ω, kp) = p1(ω) + kpp2(ω).O Lema 8.2 abaixo fornece uma assinatura para uma faixa de freqüência para o

produto (8.13) usada no problema de estabilização formulado pelo Teorema 8.1. Paraum kp estabilizante, pode-se associar à m e r o número de zeros de δ(s, kp) na faixa defrequência determinada por ω0 usando o teorema de Hermite-Biehler. Assim, o produtoδ(s, kp)n(−s) introduz um número finito de zeros na faixa de freqüência considerada.De fato, a variação líquida no argumento de δ(jω, kp)n(−jω) é dado por Δω0

0 θδn =Δω0

0 θδ + Δω00 θn. Usando (8.9) e o Lema 5.2 obtém-se Δω0

0 θδn = π2 [σq(δ) − σ(n)], com

σ(n) a assinatura do polinômio n(s).

Lema 8.2 Sejam m + 1 e r definindo o número de zeros reais, distintos e finitos daspartes imaginária e real de δ(jω, kp) in (8.12), respectivamente, para um kp estabilizantee ω0 suficientemente grande dado pela Definição 8.1 . Então, δ(s, kp) é estável se e só separa algum kp estabilizante a assinatura de δ(s, kp)n(−s) para ω0 é dada por m+r−σ(n).

Prova. Das Definições 8.1 e 8.2, a assinatura σq(δ) do quasi-polinômio (8.12) para umkp estabilizante é dada em termos dos zeros das partes reais e imaginárias de δ(jω, kp)na freqüência determinada por ω0, denotada com ωq0 , ωq1 , .., ωqm para m + r par ouωq0 , ωq1 , .., ωqm , ωpr param+r ímpar. Usando a Definição 8.1, sempre é possível escolheros mesmos m e r para definir os zeros das partes reais e imaginárias de δ(jω, kp) paraserem usados para qualquer estabilizante kp. Note que tem-se a diferente ω0 para adiferente kp estabilizante. Isto mostra a invariância de σq(δ) da escolha de ω0 para me r dados. Pelo Lema 8.1, encontra-se que na faixa determinada por ω0, a assinaturade δ(s, kp)n(−s) é m+ r−σ(n) para qualquer estabilizante kp. É fácil mostrar a volta;isto é, se a assinatura de δ(s, kp)n(−s) é dado por m+ r−σ(n), com m+ r a assinaturade δ(s, kp), então δ(s, kp) é estável. Usando contradição, suponha que exista um kp queinstabiliza δ(s, kp) mas fornece o mesmo m + r no intervalo [0, ω0] considerado. Umavez que a variação líqüida no argumento é dada por Δω0

0 θδ = (m+ r)π2 , chega-se a umamesma variação liquida para ambos estável e instável caso do quasi-polinômio, o que éum absurdo. �

Baseado nos resultados dados em Ho et al. (1997) introduz-se a seguinte definição.

Definição 8.3 Sejam 0 = ωo0 < ωo1 < ωo2 < · · · < ωoi zeros finitos reais e distintosde q(ω). Então, o conjunto de estringues AI na faixa de freqüência determinada por ω0

é definida porAI = {z0, z1, · · · , zi}

onde zt ∈ {−1, 1} identifica-se com sgn[p(ωot)] na Definição 8.2.

Teorema 8.1 Considere p(ω) e q(ω) as partes real e imaginária de δ(jω, kp)n(−jω),respectivamente, e o quasi-polinômio δ(s, kp) como já definido. Sejam 0 = ω0 < ω1 <ω2 < · · · < ωi os zeros finitos reais e distintos de q(ω) em uma faixa de frequência.Suponha que existe um kp e estabilizante e adote ω0 associada a δ(s, kp) como na De-finição 8.1. Então, o conjunto de todos os kp tal que δ(s, kp) é estável pode ser obtidousando a seguinte expressão para a assinatura de δ(s, kp)n∗(s)

167

σq(δ(s, kp)n∗(s)) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩{z0 − 2z1 + 2z2 + · · ·+(−1)i−12zi−1 + (−1)izi}.(−1)i−1sgn[q(ω+

i−1)]

se m+ r +m′ é par{z0 − 2z1 + 2z2 + · · · + (−1)i2zi}(−1)isgn[q(ω+

i)]

se m+ r +m′ é ímpare

kp = ∪kp�

com m e r o número de zeros reais e distintos da parte imaginária e real de δ(jω, kp)no intervalo definido por ω0, respectivamente, {z0, z1, · · · } ∈ AI tal que

maxzt∈AI ,zt.sgn[p2(ωt)]=1

[− 1G(jωt)

] < minzt∈AI ,zt.sgn[p2(ωt)]=−1

[− 1G(jωt)

]),

kp�= ( max

zt∈AI ,zt.sgn[p2(ωt)]=1[− 1

G(jωt)], minzt∈AI ,zt.sgn[p2(ωt)]=−1

[− 1G(jωt)

])

com o número de possíveis estringues, δ(jω, kp)n∗(s) = p1(ω) + kpp2(ω) + jq(ω),n∗(s) = n(−s), m′ o grau de n(s) e σq(δ(s, kp)n(−s)) dado por m+ r − σ(n).

Prova. Considerando a faixa de freqüência determinada por ω0 e usando Lema 8.2, aprova segue a mesma linha da prova do caso polinomial dada em Ho et al. (1997). �

O exemplo seguinte ilustra a aplicação do Teorema 8.1.

Exemplo 8.1 Considere a estabilização de um dado sistema com atraso usando umcontrolador proporcional. O sistema é um sistema de 5a. ordem mais atraso na entradae de fase não mínima

G(s) =e−0.1s(s4 + 4s3 + 23s2 + 46s− 12)s5 + 2s4 + 23s3 + 44s2 + 97s+ 98

.

Neste caso, n(s) = s4 + 4s3 + 23s2 + 46s− 12, d(s) = s5 + 2s4 + 23s3 + 44s2 + 97s+ 98and T = 0.1. Usando o critério de Nyquist escolha um kp = 6 estabilizante. Agora,adotem = 4 e r = 4 fornecendo σq(δ) = 8 com ω0 = ωq4 = 47.65. Obtém-se m + r +deg(n(s)) = 12, que é par. Finalmente, deve-se ter σq(δ(s, kp)n(−s)) = m+ r−σ(n) =6, com σ(n) = 2. Escrevendo δ(jω, kp)n(−jω) = p1(ω) + kpp2(w) + jq(ω) encontra-seos zeros de q(ω) e de δ(jω, kp)n(−jω) como 0, 1.972, 4.126, 5.044, 14.199, 46.693, res-pectivamente. A Figura 8.1 apresenta os gráficos de p(ω) e q(ω) de δ(s, kp) para kp = 6e os gráficos de q(ω) of δ(s, kp)n(−s). Para obter os zeros de q(ω) pode-se usar a função“fzero” do Matlab. Os estringues AI = {{−1, 1,−1, 1, 1, 1}, {−1, 1,−1,−1,−1, 1}, {−1,−1,− 1, 1,−1, 1}, {−1, 1, 1, 1,−1, 1}} satisfazem −z0 + 2z1 − 2z2 + 2z3 − 2z4 + z5 = 6e Teorema 8.1. Assim, obtém-se o conjunto de ganhos estabilizantes kp ∈ [−0.589,−0.508]∪ [2.967, 8.166].

8.0.2 Controladores PID

Considere inicialmente o controlador PI da forma C(s) = kp + ki

s . Para a planta G(s)em (8.10), a função caracteristica do sistema realimentado torna-se

δ∗(s, kp, ki) = sd(s) + (ki + kps)e−sTn(s) (8.14)


Figura 8.1: Gráficos de p(ω) e q(ω) para δ(s, kp)(superior) e de q(ω) para δ(s, kp)n(−s)(inferior) com kp = 6.

com d(s) e n1(s) como já definidos. Novamente, supondo T > 0, após multiplicar (8.14)por esT , obtém-se um quasi-polinômio da forma

δ(s, kp, ki) = esT sd(s) + (ki + kps)n(s). (8.15)

O problema de estabilização com um controlador PI envolve a determinação doconjunto de kp para o qual o quasi-polinômio δ(s, kp, ki) é estável. Seguindo o casoproporcional, um novo quasi-polinômio do tipo δ(s, kp, ki)n(−s) é construído tal que asua parte real dependa somente de ki e a parte imaginária somente de kp. Substituindos = jω em (8.15) obtém-se

δ(jω, kp, ki)n(−jω) = p(ω, ki) + jq(ω, kp) (8.16)

com

p(ω, ki) = p1(ω) + kip2(ω) (8.17)q(ω, kp) = q1(ω) + kpq2(ω) (8.18)p1(ω) = −ω[ω2Do(−ω2)no(−ω2) + de(−ω2)ne(−ω2)] sin(Lω) (8.19)

+ω2[no(−ω2)de(−ω2) − do(−ω2)ne(−ω2)] cos(Lω) (8.20)p2(ω) = ne(−ω2)ne(−ω2) + ω2no(−ω2)no(−ω2) (8.21)q1(ω) = ω[ω2do(−ω2)no(−ω2) + de(−ω2)ne(−ω2)] cos(Lω) (8.22)

+ω2[no(−ω2)de(−ω2) − do(−ω2)ne(−ω2)] sin(Lω) (8.23)q2(ω) = ω[ne(−ω2)ne(−ω2) + ω2no(−ω2)no(−ω2)] (8.24)

Para todo fixado kp, os zeros de q(ω, kp) não dependem de ki e os resultados do casoproporcional podem ser usados para obter ki. Assim, o conjunto de todos os (kp, ki)

169

estabilizantes para o sistema pode ser obtido a partir de uma varredura sobre os valoreskp reais resolvendo-se o caso proporcional para ki.

A procura da faixa de ki para kp fixados pode ser simplificada a partir da obtençãodos pontos de separação do lugar das raízes q1(ω)+kpq2(ω) = 0. Os pontos de separaçãocorrespondem a raízes múltiplas reais e satisfazem dkp

dω = 0 para q(ω, kp) = 0. Alémdisso, note que uma condição necessária para a existência de um ki estabilizante éque q(ω, kp) tem de ter no mínimo m+r−σ(n(s))

2 ou m+r−σ(n(s))+12 zeros finitos reais

distintos, non-negativos, de multiplicidade ímpar, segundo m′ + m + r seja par ouímpar, respectivamente. Esta condição elimina a necessidade de procurar todas aspossibilidades de faixas para cada kp estabilizante.

Exemplo 8.2 Considere o mesmo exemplo dado em (Silva et al. 2002)

G(s) =e−s

4s+ 1(8.25)

com n(s) = 1, d(s) = 4s + 1 e T = 1. O problema é obter o conjunto (kp, ki) estabili-zante para o controlador C(s) = kp + ki

s . Para obter a assinatura do quasi-polinômiocorrespondente encontra-se primeiro um valor de kp e ki que estabilizam o sistema re-alimentado. Para encontrar estes valores pode-se usar o critério de Nyquist. Usando oconjunto de (kp, ki) dado em Silva et al. (2002) escolhe-se kp = 3 e ki = 1. De p(ω, ki)e q(ω, kp) obtém-se para m = 4 e r = 4, ωe1 = 0.5, ωe2 = 1.6, ωe3 = 4.8, ωe4 = 7.8,ωo0 = 0, ωo1 = 1, ωo2 = 3, ωo3 = 6.4, ωo4 = 9.3. Estes valores fornecem σq(δ) = 8 eω0 = ωo4 = 9.3. Para encontrar os pontos de separação do lugar das raízes escreva

q(ω, kp) = −4ω2 sin(ω) + ω cos(ω) + kpω (8.26)

eq1(ω)q2(ω)

= −4ω sin(ω) + cos(ω) = −kp. (8.27)

Obtém-se entãodkpdω

= 5 sin(ω) + 4ω cos(ω). (8.28)

Os zeros positivos de dkp

d� são 0, 2.1064, 4.9593, 8.0088. De (8.27) obtém-se kp0 =−1.0000, kp1 = 7.7560, kp2 = −19.4800, kp3 = 31.8062. Agora, a partir de q1(ω)

q2(ω) , −kp0 ,−kp1 , −kp2 , −kp3 pode-se obter a distribuição dos zeros reais não negativos de q(ω, kp)no intervalo [0, ω0], exceto o zero na origem. No exemplo tem-se que buscar m+r

2 = 4 oszeros reais, distintos e não negativos de q(ω, kp). Os gráficos são mostrados na Figura8.2. Portanto, os valores aceitáveis de kp estão entre kp0 = −1 e kp1 = 7.756 ondeexistem no mínimo 4 zeros reais, distintos e não negativos de q(ω, kp). Varrendo sobrekp ∈ (−1, 7.756), encontra-se −1 < kp < 6.93, de acordo com os resultados obtidos emSilva et al. (2002) onde utilizou-se outro método. A região estabilizante no plano kpkié mostrada na Figura 8.3.

Um algoritmo para a busca dos valores estabilizantes de (kp, ki) a partir da varredurade valores para kp é apresentado a seguir.

Algoritmo 8.1 (Controlador PI)


0 2 4 6 8 10 12−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

ω

q (ω,0) /ω

−kp1

−kp2

−kp0

−kp3

Figura 8.2: Distribuição dos zeros reais de q(ω, kp).

Passo 1. Adotar um valor para o par (kp, ki) para estabilizar a planta dada G(s).Selecione m e r e escolha ω0 como na Definição 8.1.Passo 2. Entrar com as funções de p1(ω) e p2(ω) como em (8.19) e (8.21).

Passo 3. Encontrar ωoi para kp(1) usando q1(ω)q2(ω) = −kp(1).

Passo 4. Inicializar n = 2.Step 5. Obter min ki(n−1) e max ki(n−1) usando o Teorema 8.1 para p1(ω), p2(ω)

no Passo 1. Se max ki(n−1) < min ki(n−1) faça max ki(n−1) = 0 e max ki(n−1) = 0.Passo 6. Se n < dimensão(kp(n)) + 1 encontrar ωoi para kp(n) usando q1(ω)

q2(ω) =−kp(n).

Passo 7. Faça n = n+ 1.Passo 8. Se n < dimensão(kp(n) + 1 vá para o Passo 5. Fim.

Figura 8.3: Região de estabilização para kp e ki.

O resultado do Exemplo 8.2 pode ser verificado pelo critério de Nyquist via gráficode Nyquist de G(s). Entretanto, foi dada uma caracterização analítica de todos osganhos PI estabilizantes o que é útil na obtenção de soluções ótimas com critérios de

171

desempenho como norma H∞ de certas funções de transferência de malha fechada. Odesenvolvimento de controladores PID segue a mesma linha do projeto PI com a novacaracterização da assinatura de δ(s) como em (8.1).

Para o controlador PID controller tem-se

C(s) = kp +kis

+ kds. (8.29)

A função característica correspondente tem a forma

F (s, kp, ki, kd) = sd(s) + (ki + kps+ kds2)e−sLn(s) (8.30)

e, como antes pode-se obter

δ(s, kp, ki, kd) = sesLd(s) + (ki + kps+ kds2)n(s). (8.31)

Agora, considere a mesma abordagem usada para o problema PI. Substituindo s = jωem (8.31) obtém-se

δ(jω, kp, ki, kp)n(−jω) = p(ω, ki, kd) + jq(ω, kp) (8.32)

onde

p(ω, ki, kd) = p1(ω) + (ki − kdω2)p2(ω) (8.33)

p(ω, ki, kd) = p1(ω) + (ki − kdω2)p2(ω) (8.34)

q(ω, kp) = q1(ω) + kp q2(ω) (8.35)p1(ω) = −ω[ω2do(−ω2)no(−ω2) + de(−ω2)ne(−ω2)] sin(Lω)

+ω2[no(−ω2)de(−ω2) − do(−ω2)ne(−ω2)] cos(Lω) (8.36)p2(ω) = ne(−ω2)ne(−ω2) + ω2no(−ω2)no(−ω2) (8.37)q1(ω) = ω[ω2do(−ω2)no(−ω2) + de(−ω2)ne(−ω2)] cos(Lω)

+ω2[no(−ω2)De(−ω2) − do(−ω2)ne(−ω2)] sin(Lω) (8.38)q2(ω) = ω[ne(−ω2)ne(−ω2) + ω2no(−ω2)no(−ω2)] (8.39)

com ne(ω), de(ω), no(ω), do(ω) como antes. Observe que q(ω, kp) não depende de kie kd se kp for fixado. Assim, pode-se utilizar a solução dada para o caso proporcionalpara obter os ganhos estabilizantes ki e kd a partir da solução de um problema deprogramação linear para cada kp.

Lema 8.3 Para m + 1 e r o número de zeros finitos reais e distintos da parte ima-ginária de δ(jω, kp, ki, kd) em (8.31), respectivamente, para (kp, ki, kd) estabilizante eω0 suficientemente grande como definido anteriormente. Então, δ(s, kp, ki, kd) é está-vel se e só se para qualquer conjunto (kp, ki, kd) a assinatura de δ(s, kp, ki, kd)N(−s)determinada n a faixa de frequência dada por ω0 é m+ r − σ(N).

Teorema 8.2 Sejam p(ω, ki, kd) e q(ω, kp) a parte real e imaginária do quasipolinomialδ(jω, kp, ki, kd)N(−jω), respectivamente. Suponha que existe um conjunto (kp, ki, kd)que estabiliza a planta dada G(s) satisfazendo Suposição A1). Escolha ω0 associada aδ(s, kp, ki, kd) como na Definição 8.1. Para um kp fixado, seja 0 = ω0 < ω1 < ω2 <· · · < ω

izeros finitos reais e distintos de q(ω, kp) na faixa de frequência considerada.


Então, os valores de (ki, kd) tais que δ(s, kp, ki, kd) é estável podem ser obtidos a partirda solução do seguinte problema de programção linear para zt ∈ AI tal que a assinaturade δ(s, kp, ki, kd)N∗(s) equala m+ r − σ(N)) e t = 0, 1, ..., i

p1(ωt) + (ki − kdω2t )p2(ωt) > 0, for zt = 1 (8.40)

p1(ωt) + (ki − kdω2t )p2(ωt) < 0, for zt = −1 (8.41)

Algoritmo 8.2 (Controlador PID)Passo 1) Adotar um valor para o par (kp, ki) para estabilizar a planta dada G(s). Sele-cione m e r e escolha ω0 como na Definição 8.1..Passo 2) Entrar com as funções de p1(ω) e p2(ω) as in (8.36-8.37).Passo 3) Na faixa de frequência determinada por ω0 obter os zeros de q(ω, kp) definidaem (8.32) para kp fixo.Passo 4) Usando Definição 8.2 para δ(s, kp, ki, kd)N∗(s), obter os estringues em AI quesatisfazem

σq(δ(s, kp, ki, kd)N∗(s)) = m+ r − σ(N))

.

Exemplo 8.3 Como em (Xu et al. 2003), considere o problema de obter o conjuntodos ganhos PID para estabilizar a planta

G(s) =e−sLn(s)d(s)

com n(s) = s3 − 4s2 + s+ 2, d(s) = s8 + 8s4 + 32s3 + 46s62 + 46s+ 17 e L = 1. Parakp = 1, ki = e kd = 0 tem-se

qw = inline(′3.∗w.3+3∗w−(w.6−32∗w.4+46∗w.2).∗sin(w)+(8∗w.5−46∗w.3+17∗w).∗cos(w)′,′ w′)

. Escolha m = 8 and r = 8 para obter σq(δ) = 16 e w0 = 16.2095. Como m + 4 −deg(N(s)) = 17, que é par, os estringues em AI devem satisfazer z0 − 2z1 + 2z2 −2z3 + 2z4 − 2z5 + 2z6 − 2z7 +2z8 = 17. A parte imaginária de δ(jω, kp, ki, kd) denotadaq(w, kp) é afim em kp e assim, para kp fixo pode-se obter os zeros de q(w, kp) via afunção inline do Matlab

inline([′w. ∗ (−w.8 + 65 ∗ w.6 − 246 ∗ w.4 + 22 ∗ w.2 + 34). ∗ cos(w) + (−12 ∗ w.8 + 180 ∗w.6 −149 ∗ w.4 − 75 ∗ w.2). ∗ sin(w) + kp ∗ (w.7 + 14 ∗ w.5 + 17 ∗ w.3 + 4 ∗ w)′],′ w′,′ kp′)

Assim, encontram-se os zeros de q(ω) of δ(jω, kp)N(−jω) como 0, 0.5377, 1.1764,2.5880, 4.3155, 6.6001, 9.1734, 12.0136, 14.9422. De (8.36) e(8.37) obtém-se p1(w) ep2(w) como segue

p1 = inline([′−w. ∗ (−w.8 + 65 ∗ w.6 − 246 ∗ w.4 + 22 ∗ w.2 + 34). ∗ sin(w)+(−12 ∗ w.8 + 180 ∗ w.6 − 149 ∗ w.4) − 75 ∗ w.2). ∗ cos(w)′],′ w′)

p2 = inline(′w.6 + 14 ∗ w.4 + 17 ∗ w.2 + 4′,′ w′).

173

Finalmente, as desigualdades afins em ki e kd obtidas através do Teorema 8.2 são

ki − 0kd > 0ki − 0.289135kd < 3.11984ki − 1.38400kd > −4.83381ki − 6.69759kd < 27.1568ki − 18.6231kd > −84.5249ki − 43.5614kd < 271.696ki − 84.1517kd > −732.245ki − 144.328kd < 1669.5ki − 223.271kd > −3247.82

e a solução é como na Figura 8.4.

Ki

Kd

−10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Figura 8.4: Conjuntos (ki, kd) estabilizantes para kp = 1.

Capítulo 9

Controle Digital

Neste capítulo controladores do tipo PID, tempo mínimo (dead-beat em inglês) e arealimentação de estado na forma digital incluindo controladoresH∞ são tratados. Paraa implementação destes são consideradas técnicas de síntese com o MATLAB/Simulinke o uso do LabVIEW para a fase de execução.

Dentre as classes de síntese de controladores digitais distinguem-se a abordagem pa-ramétrica e a estrutural. No primeiro caso, a forma e a ordem da equação do controladorcontrolador são dadas e os parâmetros do controlador são ajustados à planta usandocritérios de otimização ou regras de sintonia. Na abordagem estrutural, a estrutura e aordem do controlador não são restringidos a priori e os parâmetros do controlador sãoajustados à estrutura e parâmetros do modelo. Os controladores na primeira classe sãoreferenciados com controladores paramétricos e englobam os controladores P, PI, PID,avanço, atraso e avanço-atraso, por exemplo. Na última classe incluem-se o controladora realimentação de estado e o controlador H∞, por exemplo.

A estrutura típica de controladores paramétricos é indicada a seguir na Figura 9.1,onde a estrutura do controlador aparece em cascata com o processo. Eventualmente ocontrolador pode ser colocado no ramo da realimentação.

-

y t( )u t( )e k( )r k( )G s( )G z( )

Processo

A/D

D/A

Figura 9.1: Estrutura de um sistema de controle de malha simples.

175

176 CAPÍTULO 9. CONTROLE DIGITAL

9.1 Síntese Controladores Digitais no Tempo Contí-nuo

As metodologias de síntese de controladores digitais, em geral, seguem aquelas utili-zadas para o caso de controladores de tempo contínuo. Alguns controladores digitais,entretanto, são projetados por técnicas discretas não aplicáveis ao caso contínuo, comoé o caso dos controladores de tempo mínimo.

Se o tempo de amostragem for suficientemente pequeno, o projeto ou síntese docontrolador em geral pode ser realizado no domínio de tempo contínuo e discretizadoem seguida para a obtenção da lei de controle discreta ou digital. Os procedimentosde discretização introduzidos na Seção 2.1.6 quais sejam o método de aproximaçãoda diferença anterior, posterior e bilinear ou Tustin, mapeamento de polos e zeros doplanos s para o plano z e transformada z com segurador de ordem zero, chamadométodo da resposta invariante ao degrau, podem ser empregados. As diferenças básicasde procedimentos são relacionadas com a técnica de discretização utilizada.

Exemplo 9.1 Considere o seguinte controlador tipo avanço de fase obtido no domíniode tempo contínuo para um determinado processo

Gc(s) =u(s)e(s)

=10(s+ 0.5)(s+ 0.1)

As respectivas formas discretas do mesmo controlador segundo os procedimentos vistosna Seção 2.1.6, são dadas por

• Aproximação da derivada

u(k) = 0.81812u(k− 1) − 13.6364e(k)− 4.5454e(k− 1)

• Integral sob a curva

u(k) = 0.9u(k − 1) + 10e(k)− 5e(k − 1)

• Integração trapezoidal

u(k) = 0.904762u(k− 1) + 11.904762e(k)− 7.142857e(k− 1)

• Mapeamento (s:z)

u(k) = 0.904863u(k− 1) + 12.093e(k)− 7.334e(k − 1)

• Invariância ao degrau

u(k) = 0.9048u(k− 1) + 10e(k)− 5.242e(k − 1).

Neste exemplo, o valor do período de amostragem T0 = 1seg é bastante pequeno paraa dinâmica do controlador em questão. Desta forma alguns dos coeficientes da lei decontrole digital apresentam pouca diferença. Com o aumento do período de amostra-gem, a tendência é que os coeficientes obtidos para cada aproximação sejam ainda maisdiferentes.

9.2. CONTROLADOR PID DISCRETO 177

9.2 Controlador PID DiscretoA lei de controle PID contínuo no tempo é descrita por

u(t) = K

[e(t) +

1Ti

∫ t

0

e(τ)dτ + TDde(t)dt

]. (9.1)

No caso discreto, supondo um tempo de amostragem pequeno, (9.1) pode ser descritaem forma de uma equação a diferenças, por exemplo, aproximando-se a integral pelafórmula retangular anterior e a derivada pela aproximação anterior

u(k) = K

⎡⎣e(k) +T

Ti

k−1∑j=0

e(j) +TDT

(e(k) − e(k − 1))

⎤⎦ . (9.2)

A partir de (9.2) obtém-se a forma recursiva correspondente para u(k)

u(k) − u(k − 1) = q0e(k) + q1e(k − 1) + q2e(k − 2) (9.3)

comq0 = K

(1 +

TDT

); (9.4)

q1 = −K(

1 + 2TDT

− T

TI

); (9.5)

q2 = KTDT0. (9.6)

A respectiva função transferência para o controlador PID discreto (9.3) é da forma

GPID(z) =u(z)e(z)

=q0 + q1z

−1 + q2z−2

1 − z−1. (9.7)

Uma função de transferência diferente pode ser encontrada quando se usa a aproxi-mação da integral pelo método trapezoidal, ou por aplicação de um dos outros proce-dimentos de discretização descritos anteriormente. Os controladores PID são utilizadosem cascata como indicado na Figura 9.1.

O controlador PID digital pode ainda ser obtido através de análise/síntese direta-mente no domínio de tempo discreto. Desta forma parte-se da respectiva forma discre-tizada do processo a ser controlado e agregando-se a estrutura do PID, por exemplo,obtém-se a função de transferência em malha fechada. Com base nos requisitos de pro-jeto tipo, resposta transitória e de regime, estabelece-se procedimentos de ajuste dosparâmetros q0, q1 e q2 do PID.

Através de solução analítica, deve-se estabelecer 3 condições de desempenho para seobter as 3 parâmetros do PID. Como em geral as condições de desempenho do processocomo um todo não são independentes, a solução analítica pode ser trabalhosa. Nesteponto, a utilização de ferramentas computacionais de análise/síntese como o MATLABé de grande valia. A função rltool das versões recentes do Matlab permite o estudo everificação simultânea de desempenho de diversas formas e estruturas de controladores.A função rltool utiliza a descrição do processo/controlador a partir do lugar das raízes


e também a partir do diagramas de Bode, onde se pode então estipular índices dedesempenho em termos da frequência. Esta função opera para descrição do processotanto na forma contínua como discreta e ainda permite a conversão de uma descriçãopara a outra.

Exemplo 9.2 Dado a estrutura de controle mostrada na Figura 9.2 encontrar um con-trolador tipo PI ou PID discreto, para obter uma resposta a mais rápida possível, porémsem sobresinal na saída controlada. Adotar T0 = 0.1seg.

r(k) e(k)G

PID(z)

-

G s( )

Figura 9.2: Estrutura de controle.

Utilizando a resposta invariante ao degrau com o segurador de ordem zero, obtém-sea função de transferência do processo

H0G(z) =z

z − 1Z

{G(s)s

}=

z

z − 1Z

{10

s(s+ 1)(s+ 2)

}T0=0.1

=0.0453(z + 0.9048)

(z − 0.9048)(z − 0.8187)(9.8)

Adotando-se um PID da forma a seguir

GPID(z) = q0+q1z−1+q2z

−2

1−z−1 = q0z2+q1z+q2z(z−1)

= q0(z2+q1/q0)z+(q2/q0)

z(z−1) = q0(z−zq1)(z−zq2)

z(z−1)

e usando os dois zeros do controlador para cancelar os pólos lentos do processo e aindaimpondo uma dinâmica criticamente amortecida, chega-se ao resultado

GPID(z) =4.0572− 6.9916z−1 + 3.0072z−2

(1 − z−1)

Com este controlador, o processo realimentado passa a ser

GMF (z) =0.0453(z + 0.9048)

z2 + (0.0453q0 − 1)z + 0.041q0

Para este processo, a resposta a uma entrada degrau é da forma indicada na Figura9.3 a seguir. Nesta figura está também indicada a resposta de um PI equivalente paracomparação.

9.3. CONTROLADOR DE TEMPO MÍNIMO 179

Figura 9.3: Resposta do sistema com controlador PI e PID.

9.3 Controlador de Tempo Mínimo

Controladores de tempo mínimo (TM), chamados muitas vezes pela sua denominaçãoem inglês, controladores dead beat, são projetados quase que exclusivamente no domíniodiscreto e permitem impor que a resposta do sistema controlado seja extremamenterápida. De outra forma, define-se o controlador de tempo mínimo, tal que o sistemacontrolado reproduza exatamente a entrada, embora com um atraso puro. Podemosformular o problema de obter um controlador de tempo mínimo fazendo

y(z)r(z)

= z−n (9.9)

para um processo de ordem n. Isto representa que para um processo de ordem n,após n-períodos de amostragem, a saída segue exatamente a entrada. Para este tipode controlador não se estipula como deve se comportar o sistema controlado entre osinstantes 0 e n− 1. Os controladores de tempo mínimo são utilizados em cascata comoindicado na Figura 9.1.

9.3.1 Projeto do controlador de tempo mínimo

A partir de procedimentos analíticos que imponham as condições de desempenho detempo mínimo, encontra-se para este tipo de controlador a seguinte função de transfe-rência

GTM (z) =Q(z)

1 − P (z)

=q0 + q1z

−1 + q2z−2 + · · · + qnz

−n

1 − p1z−1 − p2z−2 − · · · − pnz−n(9.10)

onde os coeficientes ou parâmetros do controlador são obtidos diretamente da formulaçãodiscreta ou discretizada do processo a ser controlado. Desta forma, se o processo é


descrito pela sua função de transferência em z

B(z)A(z)

=q0 + q1z

−1 + q2z−2 + · · · + qnz

−n

1 − p1z−1 − p2z−2 − · · · − pnz−n(9.11)

os parâmetros do controlador são obtidos como sendo

q1 = a1q0 p1 = b1q0

q2 = a2q0 p2 = b2q0

q3 = a3q0 p3 = ab3q0qn = anq0 pn = bnq0

(9.12)

en∑i=1

pi = q0

n∑i=1

bi = 1 (9.13)

que fornece

q0 =1∑ni=1 bi

= u(0). (9.14)

Substituindo os coeficientes do controlador tempo mínimo dados em (9.12) na funçãode transferência (9.10), esta pode ser rescrita como

GTM (z) =u(z)e(z)

=q0A(z)

1 − q0B(z). (9.15)

A partir de (9.15) obtém-se então a lei de controle digital que denominamos controleTM(n) a ser executada na estrutura de controle digital.

Considerações sobre a síntese do controlador TM

1. Da dedução realizada acima, observa-se que os parâmetros (coeficientes) do con-trolador TM(n) são obtidos diretamente a partir dos coeficientes da função detransferência do processo discreto ou discretizado.

2. Através de (9.14), observa-se que o primeiro termo da lei de controle TM, u(0) = q0para k = 0, será inversamente proporcional à soma dos coeficientes bi do processodiscretizado.

3. Desde que os coeficientes bi do processo discretizado serão tanto menores quantomenor for o intervalo de amostragem T0, deve-se ter um estreito compromisso naescolha de T0 para este tipo de controlador.

Dedução do controlador TM com limitação da açao de controle

Com base em (9.14), nota-se que a primeira ação de controle é igual ao coeficienteq0, u(0) = q0, a qual geralmente resulta muito elevada. Por questões de realizaçãoprática ou limitações físicas do processo, é usual impor-se uma certa limitação da ação

9.3. CONTROLADOR DE TEMPO MÍNIMO 181

de controle. Isto pode ser conseguido, permitindo-se um tempo maior para que a saídaacompanhe a entrada.

No caso do controlador TM, adota-se para um processo de ordem n que somentea partir do instante n + 1 a saída acompanhe a entrada. controle. Utilizamos a no-tação controlador TM(n + 1) para o controlador TM com esta característica. Por umprocedimento analítico equivalente ao realizado na dedução do TM(n), obtém-se que osparâmetros do TM(n+ 1) é dado por

q0 = u(0) condição imposta pelo projeto

q1 = q0 (a1 − 1) +1∑ni=1 bi

q2 = q0 (a2 − a1) +a1∑ni=1 bi

q3 = q0 (a3 − a2) +a2∑ni=1 bi

... =...

qn = q0(an − an−1) +an−1∑ni=1 bi

qn+1 = an(−q0 +1∑ni=1 bi

)

(9.16)

e

p1 = q0b1

p2 = q0 (b2 − b1) +b1∑ni=1 bi

p3 = q0 (b3 − b2) +b2∑ni=1 bi

... =...

pn = q0(bn − bn−1) +bn−1∑ni=1 bi

pn+1 = bn(−q0 +1∑ni=1 bi

)

(9.17)


A formulação do controlador TM(n+1), tal como no caso anterior será descrita por

GTM(n+1)(z) =Q(z−1)

1 − P (z−1)

=q0 + q1z

−1 + q2z−2 + · · · + qnz

−n + qn+1z−(n+1)

1 − p1z−1 − p2z−2 − · · · − pnz−n − pn+1z−(n+1)

=q0A(z−1)(1 − z−1

α )

1 − q0B(z−1)(1 − z−1

α )(9.18)

com1α

= 1 − 1q0

∑ni=1 bi

.

No caso do controlador TM(n + 1), a primeira ação de controle será imposta poru(0) = q0. Porém a segunda ação de controle u(1), para k = 1, pode ser equacionadacomo sendo

u(1) = q0 + q1 = a1u(0) +1∑ni=1 bi

. (9.19)

Caso se exagere na redução da primeira ação de controle em k = 0, pode ocorrer quea segunda, em k = 1, extrapole os níveis desejados, ou se esta não for executável,o desempenho esperado não será atingido. Para se ter u(1) < u(0), deve-se escolherq0 = u(0), tal que

u(0) = q0 ≤ 1(1 − a1)

∑ni=1 bi

.

Exemplo 9.3 Calcular um controlador DB(n) para o processo abaixo, com T0 = 4seg.

G(s) =K

(T1s+ 1)(T2s+ 1)(T3s+ 1)

onde K = 1.0, T1 = 10.0, T2 = 7.5, T3 = 5.0. O processo discretizado é da forma

H0G(z) =z

z − 1Z

{G(s)s

}=

b1z−1 + b2z−2 + b3z

−3

1 + a1z−1 + a2z−2 + a3z−3b1 = 0.0186 (9.20)

com a1 = −1.7063, a2 = 0.9580, b2 = 0.0486, a3 = −0.1767, b3 = 0.0078. Osparâmetros do DB(n) podem ser obtidos a partir de (9.16) e (9.17)

q0 =1∑bi

= 13.3333

q1 = a1q0 = −22.7507 p1 = b1q0 = 0.2480q2 = a2q0 = 12.7733 p2 = b2q0 = 0.6480q3 = a3q0 = −2.3560 p3 = b3q0 = 0.1040

A função de transferência do controlador DB(n) é

9.4. REALIMENTAÇÃO DE ESTADO NO TEMPO DISCRETO 183

Gc(z) =13.3333− 22.7507z−1 + 12.7733z−2 − 2.3560z−3

1 − 0.248z−1 − 0.648z−2 − 0.104z3

e a resposta transitório ao degrau do processo controlado, a partir de (9.19) é

y(z)r(z)

= q0B(z−1)

y(z) = q0B(z−1)r(z) = 0.248r(k − 1) + 0.648r(k − 2) + 0.104r(k − 3)y(0) = 0y(1) = 0.248y(2) = 0.896y(3) = 1.000y(4) = 1.000

e o gráfico da resposta transitória é mostrado na Figura 9.4.

0.890

1.0

y(k)

Figura 9.4: Resposta do sistema com controlador DB(n).

9.4 Realimentação de Estado no Tempo Discreto

O problema de controle por realimentação de estado pode ser formulado da seguintemaneira. Dado um processo descrito por variáveis de estado discretas

x(k + 1) = Fx(k) +Hu(k)y = Cx(k) (9.21)

com F ∈ Rn×n deseja-se obter uma lei de realimentação de estado da forma u(k) =−Kx(k) para o estado e/ou a saída y(k) atendam a requisitos de desempenho ou deprojeto. A representação esquemática em diagrama de blocos do sistema a malha abertae do sistema com realimentação de estado são mostradas nas Figuras 9.5 e 9.6.


x(k+1) x(k)

x(0)

H

F

Cu(k) y(k)

z-1

I

Figura 9.5: Diagrama de blocos sistema na forma espaço de estado.

x(k+1) x(k)

x(0)

H

F

Cu(k) y(k)

z-1

I

K

r (k)

Figura 9.6: Diagrama de blocos sistema a malha fechada com realimentação de estado.

Para o caso monovariável (SISO de single-input single-output em inglês), o sistemacontrolado com u(k) = −Kx(k) tem a representação

x(k + 1) = (F −HK)x(k) +Hu(k)y(k) = Cx(k) (9.22)

com equação característica dada por

det(zI − F +HK) = 0 (9.23)

sendoK = [kn kn−1 · · · k2 k1].

A síntese do controlador via realimentação de estado, resume-se então na escolhaadequada do ganho de realimentação K.

Supondo o caso de um processo SISO (9.22), a forma canônica controlável possui aforma

x(k + 1) =

⎡⎢⎢⎢⎣0 1 · · · 0...

......

...0 0 · · · 1

(−an − kn) (−an−1 − kn−1) · · · (−a1 − k1)

⎤⎥⎥⎥⎦x(k) +

⎡⎢⎢⎢⎣0...01

⎤⎥⎥⎥⎦ u(k).

(9.24)Com u(k) = −Kx(k) a equação característica para a representação (9.24) pode ser


obtida como

det(zI − F +HK) = (an + kn) + (an−1 + kn−1)z + · · · + (a1 + k1)zn−1

= αn + αn−1z + · · · + α1zn−1 + zn

= (z − zα1)(z − zα2)(z − zα3) · · · (z − zαn)= 0

onde o polinômio em z é um polinômio com as características de desempenho dinâmicodesejado para o sistema de controle. Este polinômio é definido, imposto ou previamentecalculado pelo projetista para atender as especificações de controle desejadas. A partirde (9.25), resulta a solução para o vetor de ganhos do controlador

ki = αi − ai, i = 1, · · · , n (9.25)

Caso o sistema não esteja na forma canônica controlável a obtenção dos ganhos k′isnão será tão trivial como em (9.25). O procedimento envolve a obtenção de uma matrizde transformação de equivalência. Utilizando o Matlab, este problema é resolvido como comando acker ou place que resolvem exatamente este problema, bastando especificaras matrizes F , G e o vetor com os pólos desejados, que chamamos z′αis para o sistemacontrolado.

9.4.1 Controlador com observador de estadoDado que em muitos processos o acesso à medição de determinadas variáveis de estadoé muito difícil e ou resulta em um sensoriamento muito caro, torna-se interessante o usode um observador de estado, que utiliza informações apenas da entrada e da saída doprocesso. A combinação do observador com um controlador de realimentação de estadoé indicada na Figura 9.7. O procedimento de obtenção do observador de estado seráindicado a seguir tomando-se como base o diagrama desta mesma Figura 9.7.

Considerando o processo descrito por (9.21) e admitindo u(k) e y(k) exatamenteconhecidos ou mensuráveis pode-se definir o erro de observação como

e(k) = y(k) − y(k) (9.26)

com y(k) = Cx(k). Da Figura 9.7, tem-se as equações do observador de estado

x(k + 1) = F x(k) +Hu(k) + Le(k) (9.27)= F x(k) +Hu(k) + L(y(k) − Cx(k)). (9.28)

Definindo o erro de estimação como

x(k) := x(k) − x(k) (9.29)

tem-se que a escolha da matriz L do observador deve ser feita tal que o erro de estimaçãox(k) → 0 a medida que k → ∞.

A partir de (9.21) e (9.29) obtém-se,

x(k + 1) = (F − LC)x(k). (9.30)


Figura 9.7: Processo com observador de estado.

Para ter o erro de estimação de estado nulo x(k) → 0, deve-se garantir que (9.30) sejaassintoticamente estável, ou seja, que as raízes da equação característica

det[zI − (F − LC)] = (z − z1)(z − z2) · · · (z − zn) = 0= γnn + γn−1z + · · · + zn = 0 (9.31)

localizem-se no interior do círculo unitário |zi| < 1, i = 1, ..., n. Para o par (G,C)observável tem-se que existe L tal que F − LC seja estável.

Obtenção da matriz L do observador de estado

Dado que o determinante de uma dada matriz W é igual ao determinante de sua trans-posta WT , vale então

det[zI − F + LC)] = det[zI − FT + CTLT ]. (9.32)

Comparando o lado direito de (9.23) com (9.32), observa-se que se substituirmos F porFT , G por CT e K por LT a obtenção da matriz do observador de estado pode seguiro procedimento de obtenção da matriz de realimentação de estado K. Com base em(9.27) podemos escrever

x(k + 1) = (F − LC)x(k) +Hu(k) + Ly (9.33)= F x(k) +Hu(k) + L(y − Cx). (9.34)


Supondo o sistema dado na forma canônica observável, e considerando as substituiçõesF por FT , H por CT e K por LT , segue que

x(k + 1) =

⎡⎢⎢⎢⎣0 0 · · · 0 (−an − n)1 0 · · · 0 (−an−1 − n−1)...

.... . .

......

0 0 · · · 1 (−a1 − 1)

⎤⎥⎥⎥⎦x(k) +Hu(k)

⎡⎢⎢⎢⎣nn−1

...1

⎤⎥⎥⎥⎦ . (9.35)

Igualando a equação característica de (9.35) a (9.32) obtém-se

i = γ1 − ai, i = 1, ..., n (9.36)

onde γi, i = 1, ..n são escolhidos para estabelecer o desempenho do observador de estado.No Matlab basta novamente usar os comandos place ou acker tendo-se como parâ-

metros as matrizes FT e CT indicando os pólos desejados para o observador.

Exemplo 9.4 No exemplo a seguir obtém-se um controlador baseado em observadorrealizado no Simulink. O processo considerado possui duas entradas e duas saídas sendodescrito na forma espaço de estado por

A =

⎡⎣ 0 1 00 0 1−6 −11 −6

⎤⎦; B =

⎡⎣1 00 20 1

⎤⎦ ; C =[0 1 01 −1 0

];D =

[0 00 0

]. Adotar

a freqüencia de amostragem como 4Hz e os pólos desejados para o observador e parao controlador PO = {−5, −6, −6} e PC = {−9 ,−10, −10} e respectivamente. Aprimeira etapa do projeto envolve a discretização do processo e dos pólos desejados parauma frequência de amostragem adotada. No Matlab utiliza-se os comandos� T0 = 0.25� [F,H,C,D] = c2dm(A,B,C,D, T0,

′ zoh′)resultando

F =

⎡⎣ 0.9892 0.2294 0.0191−0.1143 0.7796 0.1151−0.6907 −1.3805 0.0889

⎤⎦H =

⎡⎣ 0.2493 0.0616−0.0108 0.4779−0.1143 −0.3257

⎤⎦com C e D inalterados. Os pólos desejados em ambos os casos são discretizados pelatécnica de mapeamento do plano s ao plano z usando os comandos� PDO = exp(T0 ∗ PO)resultandoPDO = [0.2865 0.2231 0.2231]PDC = [0.1054 0.0821 0.0821]Usando os comandos abaixo obtém-se a matriz L do observador� L = (place(F ′, C′, PC))′

resultandoL =

[0.9584 0.2180 −1.80990.7608 −0.1461 −0.6536

]e usando os comandos do Matlab abaixo obtém-se a matriz K do controlador� K = place(F,H, PO)


resultandoK =

[3.9440 1.2521 −0.0556−0.1582 1.4662 0.2419

]A Figuras 9.8 mostra as variáveis de estado do sistema contínuo e as variáveis

observadas para diferentes dinâmicas do observador e a Figura 9.9 mostra a respostado sistema realimentado com e sem observador.

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figura 9.8: Variáveis de estado do sistema e observador com x(0) = [0.1 0.1 0.1] ex(0) = [0 0 0] para PO=[-5 -6 -6] (esquerda) e PO=[-1.5 -1.6 1.-6] (direita)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figura 9.9: Saída do sistema realimentado com observador para x(0) = [0.1 0.1 0.1],x(0) = [0 0 0], PO=[-5 -6 -6] e PC = [−9 − 10 − 10]

9.4.2 Problema de seguimento

O problema de controle de posição quando se deseja erro nulo entre o comando dereferência tipo degrau e a saída controlada é geralmente referenciado como problema


de servomecanismo. Aqui o termo posição não necessita ser a grandeza posição física(escalar ou angular), mas o estado fixo de referência.

Todo sistema tipo-0 (sem pólos na origem em malha aberta) responde com erro deregime de posição finito e proporcional ao recíproco do ganho CC de malha aberta. Jáum sistema tipo-1 (um pólo na origem em malha aberta) apresenta erro nulo de posiçãoe erro finito de velocidade, ou seja, erro finito para entrada rampa. Este raciocíniose estende para os demais tipos de sistemas. Portanto se o sistema em malha abertanão possui um pólo na origem, o controle de realimentação estado não fornecerá erronulo de saída para entradas tipo degrau. A solução neste caso é adicionar à malha derealimentação de saída um controlador integral. Esta ação integrativa, caracterizadopor um pólo na origem, irá garantir que a saída apresente erro nulo de posição. Estaestrutura de controle é ilustrada na Figura 9.10 a seguir, onde a saída é realimentada ecomparada com a referência de posição desejada. O erro desta comparação é operadopela ação integrativa em cascata.

x k( )x(0)

G H

u k( ) y k( )r k( )

K

Ik

q k( +1) q k( )

I

x k+( 1)

PROCESSOF

Figura 9.10: Representação do processo com realimentação de estado.

A inserção da ação integrativa irá aumentar a ordem do sistema e do ponto de vistade controle haverá um estado a mais a ser processado na etapa de projeto do controlador.Com base na Figura 9.10 além da ação de controle obtida pela realimentação de estado,uma componente adicional da ação de controle é obtida pela realimentação de saídacom ponderação ki. A obtenção deste termo de ganho adicional é conseguida atravésda formulação do novo sistema

x(k + 1) = (F −HK)x(k) +Hu(k) (9.37)q(k + 1) = Iq(k) + r(k) − Cx(k) (9.38)

Associando-se o novo estado q(k) ao processo original, obtém-se[x(k + 1)q(k + 1)

]=

[F −HK Hki

−C I

] [x(k)q(k)

]+

[0I

]r(k). (9.39)

O processo controlado (9.39) pode ainda ser reescrito de forma a evidenciar a açãode controle em função dos ganhos de realimentação. Com isto, esta nova formulaçãopermite aplicar o mesmo procedimento de obtenção do ganho de realimentação tal comousado na Figura 9.6 e 9.21.

[x(k + 1)q(k + 1)

]=

[F −HK 0

−C I

] [x(k)q(k)

]+

[H0

]u(k) +

[0I

]r(k). (9.40)


Assim, tem-sex′(k + 1) = F ′x′(k) + C′u(k) +H ′r(k) (9.41)

com

x′(k) =[x(k)q(k)

];F ′ =

[F −HK HK

−C I

];C′ =

[H0

];H ′ =

[0I

]sendo a ação de controle dada por

u(k) = K ′x′(k) (9.42)

comK ′ = [K ki]. (9.43)

Portanto a partir do sistema (9.40) obtém-se com auxílio dos comandos acker ouplace do Matlab, a matriz de realimentação de estados K ′.

A lei de controle a ser implementada deve ser aquela expressa por (9.42) enquantoque a saída do processo permanece a mesma. Este procedimento pode ainda ser utilizadoassociado a um observador de estados, tal que somente os estados observados sejamrealimentados através do ganho K e as saídas sejam realimentadas pelos ganhos ki.


Para as aulas de laboratório cada grupo de dois alunos deverá apresentar uma lista coma solução e procedimentos de resolução dos problemas teóricos e experimentais. Cadagrupo receberá um conjunto de critérios de desempenho diferentes a serem atingidospelos diferentes controladores. Nos tópicos a seguir são enumerados alguns itens obri-gatórios de execução e apresentação e que deverão ser descritos na ordem indicada. Osprocessos a serem utilizados são uma rede passiva analógica de segunda ordem e umprotótipo de suspensão magnética utilizado anteriormente.

9.5.1 Experimento 1: Processo analógico

A rede passiva utilizada no experimento é descrita a seguir e está montada, com pe-quenas diferenças nos valores em placa de circuito impresso, em um módulo do painelFigura 4.13 já utilizado em outras aulas. A Figura 9.11 apresenta a configuração darede.

O circuito isolador foi montado com amp. ops. e tem a configuração mostrada naFigura 9.12.

Para o devido tratamento de sinais, o circuito real é montado a partir de vários está-gios isoladores de impedância de modo a adequar os sinais ao equipamento de aquisição.Desta forma, lembrar que os sinais na placa operam na faixa [-15V, 15V]. Todo memo-rial de cálculo, etapas de projeto e procedimentos experimentais deverão ser descritosna apresentação final. Os tópicos estabelecidos a seguir determinam as etapas míni-mas necessárias e que serão avaliadas. Os procedimentos teóricos poderão ser apenasindicados e resumidos no relatório de laboratório, porém deverão ser detalhadamenteindicados da lista. A seguir são apresentadas sugestões para os parâmetros da rede e


Figura 9.11: Rede passiva de 2a. ordem.

ei

e e=o i

Figura 9.12: Configuração de isolador de efeito de carga.

especificações de projeto.

Grupo 01R1 = 470KΩ, R2= 470KΩ; C1= 2.2μ F; C2= 2.2μF; erro regime caso P 50; % sobresinalno caso PID 4% controle TM(m) com T e (0.75T )

Grupo 02R1 = 560KΩ;R2 = 560KΩ; C1 = 2.2μF; C2 = 2.2μF; erro regime caso P 60%; sobresinalno caso PID 5%; TM (m+ 1) com u(0) TM(m+ 1) = 0.7u(0)TM(m)

Grupo 03R1 = 390KΩ;R2 = 390KΩ; C1 = 2.2μF; C2 = 2.2μF; erro regime caso P 75% sobresinalno caso PID 6%, TM(n) com T e (0.8T )

Grupo 04R1 = 390KΩ; R2 = 470KΩ;C1 = 2.2μF; C2 = 2.2μF; erro regime caso P 55%; sobresinalno caso PID 4,5%; TM (m+ 1) com u(0)TM(m+ 1) = 0.6u(0)TM(m)

Grupo 05R1 = 470KΩ; R2 = 390KΩ; C1 = 2.2μF; C2 = 2.2μF; erro regime caso P 80%; sobre-sinal no caso PID 5.5 %; TM (m) com T e (0.7T )

Grupo 06R1=560KΩ; R2 = 470KΩ; C1 = 2.2μF; C2 = 2.2μF; erro regime caso P 70%; sobresinal


no caso PID 6%; TM(m+ 1) com u(0)TM(m+ 1) = 0.8u(0)TM(m)

Preparação do experimento

Nesta seção propõem-se os procedimentos de preparação dos experimentos para análisedo processo sob estudo, modelagem e simulação do mesmo através do MATLAB/Simulinke implementação com o LabVIEW.

1. Descrever o processo descrito na Figura 9.11 por uma função de transferênciacontínua e também por sua respectiva representação espaço de estado contínua.Indicar a configuração completa do sistema e valores dos componentes RC.

Observação 9.1 Na obtenção da representação espaço de estado, respeitar a de-signação dos estado tal como indicado na Figura (9.11). Para o caso de formu-lação por função de transferência, atentar para o estágio isolador entre os doiscapacitores.

2. Elaborar um diagrama de simulação no Simulink com o processo a malha abertana formulação por função de transferência e variáveis de estado.

Observação 9.2 Lembrar que o processo na prática não se tornará discreto como fato de se realizar um controlador discreto.

3. Investigar uma taxa de amostragem adequada para o processo em malha aberta,gerar os respectivos modelos discretos do processo em formulação por função detransferência e variáveis de estado e implementar simulações com os modelos dis-cretos e comparar com os modelos contínuos em função de suas resposta ao degrau.

Observação 9.3 Avaliar no sistema em malha aberta o desempenho dinâmico emtermos de tempo de resposta, sobre-sinal, localização dos pólos e valor de regime.

4. Implementar no LabVIEW um instrumento virtual (VI) que gere um sinal de-grau e faça a aquisição da resposta do sistema em malha aberta semelhante aoestudado no Simulink no item anterior. Apresentar os resultados de simulação eexperimentais. Indicar o VI usado para acionar e medir a resposta no LabVIEW.

Observação 9.4 Na simulação observar que o processo deve ser representadopela sua descrição no tempo contínuo.

5. Sugere-se que o VI seja implementado com três estágios: inicialização, programaprincipal e registro de dados. Como exemplo de um VI com estas característicasé apresentado na Figura 9.13 um controlador PID. Os diagramas correspondentessão apresentados nas Figuras 9.14 - 9.16.


Figura 9.13: Painel LabVIEW dos três estágios: inicialização, programa principal eregistro de dados.

Figura 9.14: Diagrama LabVIEW de inicialização.

Figura 9.15: Diagrama LabVIEW do Programa principal.


Figura 9.16: Diagrama LabVIEW do registro.

Controlador proporcional

1. Realizar uma realimentação unitária sem ganho (ganho = 1) e investigue o de-sempenho do sistema em malha fechada.

2. Investigar teórica e experimentalmente o desempenho com ganhos 5 e 8. Observeque a ação de controle não pode ultrapassar 10V. Se isso ocorrer, reduza o nívelde referência de entrada.

3. Avaliar e realizar um controlador proporcional que reduza o erro do caso ganho=1de acordo com o indicado para o seu grupo de estudo. Avalie ainda se a taxa deamostragem inicialmente estabelecida para a malha aberta ainda é adequada paraa malha fechada.

4. Apresentar os resultados simulados e experimentais, bem como o VI de execução.Os resultados deverão conter a resposta de saída, da ação de controle e do erroem função do tempo. Se necessário reavalie e justifique uma alteração da taxa deamostragem.

Observação 9.5 Faça os cálculos analíticos inicialmente e avalie os resultadosem termos de simulação no Simulink. Use este procedimento para todos os tópicosseguintes e só passe à fase de preparação de experimento quando tiver os dadossimulados prontos.

Avaliar, já na fase de simulação, se a ação de controle determinada pelo controladorserá possível de ser realizada. As limitação principais são com relação ao módulo D/Aque só fornecem valores de saída analógica entre ±10V. Muito provavelmente as taxasde amostragens irão se alterar em função do tipo de controlador. Indicar e justificarestes casos. Apresentar sempre o diagrama Simulink utilizado nas simulações. A taxade amostragem final deve ser adequada para a resposta do sistema em malha fechada.Avaliar a partir do processo contínuo em malha fechada ganho=1, qual o desempenhodinâmico em termos de tempo de resposta, sobre-sinal, coeficiente de amortecimento,localização dos pólos, etc. Estes dados serão necessários para o desempenho em malhafechada discreto.


Controlador PID

Visto que um controlador P não resolve o problema de erro de regime, neste item seráinvestigado um controlador PID que proporcione portanto erro de regime nulo.

1. Obter um controlador PID que proporcione além de erro de regime nulo, um tempode subida semelhante daquele em malha fechada ganho =1 e sobre-sinal máximode acordo como indicado para seu grupo (ζ ≈ 0.7). Investigue inicialmente noMATLAB com auxílio da função rltool .

2. Verificar o desempenho em termos de simulação através do Simulink e então passeà etapa de execução, implemetando um VI que execute a lei de controle PIDobtida.

3. Apresentar os resultados simulados e experimentais, bem como o VI de execução.Os resultados deverão conter a resposta de saída, da ação de controle e do erroem função do tempo. Se necessário reavalie e justifique uma alteração da taxa deamostragem.

Observação 9.6 Avaliar o PID diretamente no plano-z com o comando rltoolusando a formulação discretizada do processo contínuo. Lembrar de verificar sea ação de controle inicial é realizável, ou seja, q0 = u(0) ≤ 10, ou então useexcitação degrau inferior a 1.

Controlador tempo mínimo

1. Investigar com auxílio do Matlab um controlador que possa ser realizado com atécnica Dead-Beat seguindo os critérios indicados para seu grupo. Lembrar que oprocesso será sempre analógico e que portanto o desempenho será aproximado.

2. Investigar o desempenho do controlador através de simulações com o Simulink.

3. Realizar um VI com o LabVIEW para executar a lei de controle TM investigadano item anterior. Apresente os resultados simulados e experimentais, bem comoo VI de execução. Os resultados deverão conter a resposta de saída, da ação decontrole e do erro em função do tempo. Se necessário reavalie e justifique umaalteração da taxa de amostragem.

Observação 9.7 Lembrar sempre que o processo não é naturalmente discreto edeve ser mantido contínuo nas fases de simulação, ou então os resultados não se-rão coerentes. Lembrar que neste caso, a taxa de amostragem deve ser reavaliadapara que tal controlador seja realizável. O controle TM só irá funcionar corre-tamente se as condiccões iniciais forem coerentes. Neste caso mantenha os doiscapacitores da placa com carga nula até o instante de aplicar o ensaio.

Controlador por realimentação de estado

1. A partir da representação de estados relativa ao processo, obtenha um controlepor realimentação de estados tal que os polos em do sistema controlado sejam osmesmos (dominantes) da Seção 9.5.1, ou seja, do sistema com controlador PIDem malha fechada.


2. Investigue o controlador com auxílio do Matlab (rltool, place, acker) e Simulink.

3. Obtenha um observador de estados para o seu processo seguindo os mesmos pro-cedimentos do item anterior e execute as simulações devidas.

4. A partir do observador do item anterior, refaça o controle de estados com osestados observados. Simule e avalie os resultados.

5. Prepare a etapa de execução experimental para os itens investigados acima. Apre-sente os resultados simulados e experimentais, bem como o VI de execução. Osresultados deverão conter a resposta de saída, da ação de controle e do erro emfunção do tempo. Se necessário reavalie e justifique uma alteração da taxa deamostragem.

Observação 9.8 Lembrar que para que este controlador opere corretamente, devese usar a representação de estado tal como indicada em (9.11), que representama tensão nos capacitores, pois estes são as variáveis de estado medidas.

9.5.2 Experimento 2: Sistema de suspensão magnética

Controlador robusto

1. Obter uma função de ponderação Wu utilizando o Simulink para a Figura 9.17.Considerar uma variação de 10% na massa da esfera adotando a massa real comodescrita em (7.80)

m = m+ 0.1δm, −1 ≤ δ ≤ 1 (9.44)

onde m é a massa nominal.

Figura 9.17: Diagrama Simulink do sistema de suspensão magnética.

2. Adotando as mesmas funções de ponderação dadas em (7.77) obter um controladorH∞ usando o procedimento dado na Seção 7.6.


3. Testar a robustez de estabilidade, apresentando o gráfico em freqüência da funçãosensibilidade complementar juntamente com o gráfico de 1/W3 e 1/Wu. Apesarda condição |W3(jw)| ≥ |Wu(jw)|, ∀w não precisar ser satisfeita em toda a faixade frequências, a condição de robustez de estabilidade (7.37) deve ser atendida.Este relaxamento ajuda a não prejudicar o avanço de fase proporcionado pelocontrolador, já que a robustez de estabilidade continua sendo garantida.

4. Obter o diagrama para análise μ do sistema controlado para verificar robustez dedesempenho e estabilidade. Os limitantes de μ fornecem informações do efeito daperturbação δm na matriz M . A matriz M dever ser obtida a partir do diagramaapresentado na Figura 9.18 ⎡⎢⎢⎣

zdz1z2z3

⎤⎥⎥⎦ = M

[wdw

].

5. Obter a resposta em freqüência do limitante superior de μ para o teste de robustezde desempenho. Utilizar os seguintes passos�[Af, Bf, Cf, Df]=linmod(‘MHinf’)�[mu,LOGD]=SSV(Af,Bf,Cf,Df,w,[-1 0;1 3])onde w é a faixa de freqüência selecionada e [-1 0;1 3] é a descrição dos blocos deincerteza.

6. Testar a robustez de estabilidade usando o bloco de incertezas [-1 0] e a submatrizM11, obtida por� M11=sel(M,1,1).

7. Obter o controlador discreto na forma espaço de estado usando os procedimentosde discretização apresentados Subseção 2.2.3.

8. Construir um VI em três estágios para implementar o controlador no LabVIEWcomo nas Figuras 9.14-9.16 com o controlador H∞ no lugar do controlador PID.

9. Obter a resposta do sistema a um degrau de perturbação de 0.1V na tensão nabobina.

10. Testar a robustez do controlador adicionando um anel na esfera de metal ouutilizando uma outra esfera com massa em torno da massa nominal.

Controlador μ

O presente experimento pode servir também como um projeto de final de curso paraum grupo de dois alunos. A apresentação do projeto deve incluir uma descrição daplataforma computacional utilizada, componentes do sistema de controle empregados,discretização do controlador e principais vantagens e desvantagens dos controladoresobtidos. Este experimento pode ser reproduzido a partir dos seguintes passos.


Figura 9.18: Diagrama simulink para obter a planta aumentada M .

A técnica de projeto por síntese μ geralmente leva a controladores contínuos deordem elevada, não sendo viável a sua implementação analógica. A partir da repre-sentação contínua em espaço de estado usa-se a transformação de Tustin descrita naSubseção 2.2.3 para a obtenção do controlador na forma de espaço de estado discreta

xc(k + 1) = Acxc(k) +Bcu(k)u(k) = Ccxc(k) +Dcu(k). (9.45)

A função bilin do Matlab é empregada para realizar a discretização na forma deespaço de estado, e a implementação deste é realizada através de registradores de des-locamento, somadores e multiplicadores, como na Figura (9.19).

u(k)

D

x(k+1)

Figura 9.19: Realização em diagrama de blocos.

Para a implementação do sistema de controle, pode-se utilizar programação Lab-VIEW com um painel e um diagrama em blocos como mostrado nas Figuras 9.21 e9.22. Como anteriormente, foi utilizada uma sequência de dois subprogramas que sãoexecutados sequencialmente, sendo que o primeiro implementa o controlador e o se-gundo salva os dados em arquivos para posterior análise. A configuração do sistema decontrole digital empregado consiste de uma placa de aquisição da família 6020E com


conversor A/D de 12 bits e 12 kHz da National Instruments instalada no barramentoISA de um microcomputador Pentium III usado para realizar a aquisição do sinal e ocontrole (ver Figura 9.20). Ogata (1995) e Phillips e Nagle (1995) são bons textos decontrole digital, e o último também apresenta o aplicativo LabVIEW.

9.5.3 Avaliação experimentalOs resultados de simulação típicos encontrados pelos alunos são mostrados nas FigurasXX-XX. Estes estão de acordo com os resultados experimentais mostrados nas Figuras9.23 - 9.25. Note na Figura 9.25 (left) o efeito de um distúrbio degrau de amplitudeelevada na posição de equilíbrio, a qual sai da região linear do sensor, deteriorando odesempenho do sistema realimentado. Entretanto, este desvio não acontece com o μcontroller, como ilustrado na Figura 9.25 (right), indicando que este controlador produzuma ação rápida o suficiente para evitar grandes flutuações na posição da esfera. Ocontrolador avanço-atraso não conseguiu estabilizar a planta para grandes variações namassa e amplitude do degrau de perturbação. Os gráficos mostrados foram obtidos apartir de dados armazenados em arquivo.

A partir das Figuras 9.23 - 9.25 pode-se observar que os controladores robustosfornecem melhor rejeição a perturbações do que o controlador avanço-atraso e que estesconseguem trazer a esfera de volta ao ponto de equilíbrio adotado mesmo quando osistema sofre variações na massa m. Com os controladores robustos, de acordo comos testes de robustez realizados, as especificações são atendidas para outras esferas dediferentes tamanhos e massas. Além disso, o controlador μ mostrou-se mais eficientepara atenuar o efeito de perturbações quando comparado com o controladorH∞ padrão.Entretanto, o controlador μ não mostrou-se tão eficiente quanto o controlador H∞ emsuprimir ruidos no sinal de controle o que se deve ao fato deste apresentar um ganhomais alto.

Este simples experimento de laboratório usando Matlab e LabVIEW mostrou a apli-cabilidade de projetos de controle mais avançados. O teste de robustez usando análise μevidenciou as limitações dos projetos de controladores. O controlador μ mostrou melhoratenuação de perturbações mas mostrou-se menos eficiente na supressão de ruido. Ospassos de implementação incluindo a modelagem do problema de controle com funçõesde ponderação e programação em LabVIEW são apresentados em detalhe para facilitara reprodução do experimento.

Figura 9.20: Diagrama do aparato experimental.


Figura 9.21: Painel desenvolvido no LabVIEW.


Figura 9.22: Controlador implementado no LabVIEW.


0 1 2 3 4 5 64

5

6

7

8

tempo(s)

tensão

de

contr

ole

(V)

0 1 2 3 4 5 63

3.5

4

4.5

5x 10

-3

posiç

ão(m

)

tempo(s)

0 1 2 3 4 5 64

5

6

7

8

tempo(s)

tensão

de

contr

ole

(V)

0 1 2 3 4 5 63

3.5

4

4.5

5x 10

-3

posiç

ão(m

)

Figura 9.23: Respostas do sistema a um degrau de amplitude 0.1V com a controla-dor avanço-atraso sem variação de massa (esquerda) e com 7% de variação na massa(direita).

0 0.5 1 1.5 24

5

6

7

8

tempo(s)

Ten

são

de c

ontr

ole(

V)

0 0.5 1 1.5 23

3.5

4

4.5

5x 10

−3

tempo(s)

Pos

ição

(m)

0 0.5 1 1.5 24

5

6

7

8

tempo(s)

Ten

são

de c

ontr

ole(

V)

0 0.5 1 1.5 23

3.5

4

4.5

5x 10

−3

tempo(s)

posi

ção(

m)

Figura 9.24: Respostas do sistema a um degrau de amplitude 0.5V com o controladorH∞ (esquerda) e controlador μ (direita) para 25% de variação da massa.


0 0.5 1 1.5 24

5

6

7

8

tempo(s)

Ten

são

de c

ontr

ole(

V)

0 0.5 1 1.5 23

3.5

4

4.5

5x 10

−3

tempo(s)

posi

ção(

m)

0 0.5 1 1.5 24

5

6

7

8

tempo(s)

Ten

são

de c

ontr

ole(

V)

0 0.5 1 1.5 23

3.5

4

4.5

5x 10

−3

tempo(s)

Pos

ição

(m)

Figura 9.25: Respostas do sistema a um degrau de amplitude 0.7V o controlador H∞(esquerda) e controlador μ (direita)

Capítulo 10

Modelagem e Controle Fuzzy

Esta seção apresenta as principais técnicas de modelagem fuzzy para aproximação desistemas dinâmicos não-lineares e incertos com ênfase a aplicações em sistemas reais.Ilustramos a aplicação da modelagem fuzzy Mamdani e modelagem fuzzy Takagi-Sugeno(TS) em problemas de controle. Os projetos e as simulações apresentadas são realizadasno ambiente Matlab e Simulink. A maioria das técnicas de projeto de controle parasistemas reais baseia-se em modelos matemáticos que descrevem a dinâmica do sistemaem condições de operação reais. Assim, a modelagem é uma etapa fundamental no pro-jeto de controladores. No entanto, modelos que representem fielmente o comportamentode um sistema em geral são modelos complicados do ponto de vista matemático, quedificultam o projeto por serem não-lineares. Sendo assim, um modelo não-linear obtidoé geralmente linearizado em torno de um único ponto de operação do sistema real parao qual os parâmetros do controlador são sintonizados.

A fase posterior à modelagem e projeto de controle é a verificação do desempenho dosistema controlado. Nesta fase, o desempenho do controlador projetado tipicamente éavaliado através de simulações da operação do sistema real para um número limitado decondições de operação e distúrbios. Na ocorrência de grandes distúrbios, as condiçõesde operação do sistema podem significantemente se desviar das condições de operaçãoutilizadas no projeto de controle e conseqüentemente o sistema deixa de atender asespecificações de projeto desejadas. Neste caso, o controlador pode até levar o sistemaà instabilidade.

Considerando que os parâmetros do sistema linearizado dependem dos pontos deoperação, existem incertezas significativas em relação ao sistema real, logo é desejávelque o controlador também seja capaz de estabilizar o sistema diante das variações es-peradas em seus parâmetros. Além disso, perturbações menos estruturadas no modelonominal (ocasionadas pelo truncamento de um modelo de alta ordem, retendo apenasalguns modos dominantes que geralmente operam numa região de baixa freqüência)também devem ser toleradas sem destruir a estabilidade do sistema de controle emmalha fechada. Estes tipos de incertezas geralmente são denominadas de incertezasestruturadas e não-estruturadas, respectivamente, e a tolerância a elas é um problemade estabilidade robusta (Zhou e Doyle 1998). A fim de considerar a presença de incer-tezas nos parâmetros de sistemas lineares, surgiram muitos trabalhos em estabilizaçãoquadrática e controle robusto (Costa e Oliveira 2002 Jadbabaie et al. 1998b Moheimani

205

206 CAPÍTULO 10. MODELAGEM E CONTROLE FUZZY

e Petersen 1998 Moheimani e Petersen 1996).Para atenuar o conservadorismo das soluções disponíveis de controle para sistemas

reais, o projeto deve combinar informações quantitativas e qualitativas do processo. Asinformações qualitativas são geralmente dadas por um especialista na operação e nocontrole do processo, enquanto que as informações quantitativas provêm da modelagemdo sistema real. A combinação de informações qualitativas e quantitativas é a principalmotivação para o uso de sistemas inteligentes ou inteligência artificial em sistemas decontrole.

Existem basicamente dois tipos de controle fuzzy, o controle fuzzy Mamdani (Mamdanie Assilan 1975a) e o controle fuzzy TS (Takagi e Sugeno 1985). Ambos tipos têm comocaracterística a flexibilidade. A diferença entre estes está basicamente no projeto, o pri-meiro apresenta uma estrutura de projeto heurística, praticamente baseada no conheci-mento humano e o segundo apresenta uma estrutura de projeto sistemática, totalmentebaseada nas teorias de controle não-linear e robusto já existentes. Por isso, o primeirotornou-se popular nos últimos anos principalmente na indústria.

O sistema fuzzy TS compõe-se de uma família de relações de entrada-saída lineareslocais com agregações, que aproximam a dinâmica de um sistema não-linear. Utilizandoeste tipo de representação, surgiram técnicas de projeto de controle mais eficientes doponto de vista computacional, pois combinam LMI’s (do Inglês, Linear Matrix Ine-qualities) e técnicas de programação convexa na busca de melhores resultados (Tanakae Wang 2001 Hong e Langari 1998a Hong e Langari 1998b Li et al. 2000 Jadbabaieet al. 1998a Tanaka et al. 1998 Wang et al. 1996). Seguindo esta tendência, a estabiliza-ção robusta de sistemas não-lineares com incertezas tornou-se um ativo campo de pes-quisa (Tanaka e Wang 2001 Hong e Langari 1998a Li et al. 2000 Cao et al. 1997 Tanakaet al. 1998 Tanaka et al. 1996), onde técnicas de controle não-linear e robusto disponíveispara o tratamento de sistemas lineares com incertezas foram adaptadas para sistemasfuzzy TS com incertezas paramétricas. Algumas técnicas de projeto de controle esta-bilizante para sistemas fuzzy TS com incertezas foram obtidas tanto com incertezas dotipo norma-limitada (Lee et al. 2001 Teixeira e Żak 1999 Tanaka et al. 1996) quanto comincertezas do tipo politópica (Arrifano e Oliveira 2002a Arrifano e Oliveira 2002b Caoet al. 2001).

10.1 Princípios de Lógica Fuzzy

A lógica fuzzy teve início com base na teoria de conjuntos fuzzy postulada por Zadehem meados da década de 60. Esta teoria está fundamentada no fato de que muitosfenômenos que ocorrem na natureza não possuem limites ou fronteiras precisamentedefinidos. Logo, um conjunto fuzzy é um agrupamento impreciso e indefinido, onde atransição de não pertinência para pertinência é gradual e não abrupta como no caso dosconjuntos ordinários definidos pela teoria de conjuntos clássica. Em geral, os conjuntosfuzzy recebem rótulos ou adjetivos que os caracterizam de acordo com a sua faixa deextensão ou variação. Por esse motivo, os conjuntos fuzzy também são denominados devariáveis lingüísticas, ou seja, variáveis cujos valores são palavras em lugar de números.Como exemplo podem ser citados alguns conceitos peculiares à linguagem humana, taiscomo, quente, morno, muito longe, mais ou menos próximo, altura mediana, meia idade,quase impossível, improvável, etc. A seguir são apresentados alguns conceitos básicos

10.1. PRINCÍPIOS DE LÓGICA FUZZY 207

Figura 10.1: Função característica do conjunto S.

de lógica fuzzy importantes para a compreensão da modelagem e controle fuzzy.

10.1.1 Conjuntos fuzzyUm conjunto fuzzy basicamente é a generalização do conjunto ordinário definido pelopar binário {0, 1}. Entende-se por conjunto ordinário, o conjunto definido a partir dateoria clássica de conjuntos. Um conjunto fuzzy pode ser entendido por um atributo ougrau de pertinência no conjunto, cujo valor exato é parte do intervalo unitário [0, 1] emvez de ser parte do conjunto ordinário {0, 1}. Um conjunto ordinário é sempre definidoem relação a um universo de discurso, também conhecido como domínio, que também éum conjunto ordinário. Em particular, um conjunto ordinário é definido por uma funçãocaracterística, que descreve a pertinência dos elementos neste conjunto. Como exemplo,sejam X o domínio, S um subconjunto de X, isto é, S ⊂ X e a função característicadefinida pelo mapeamento nS : X → {0, 1}, tal que, para qualquer elemento x dodomínio nS(x) = 1, se x é um membro de S e nS(x) = 0, se x não é um membro de S,ou seja, se X ∈ R+, R+ o conjunto dos números reais não-negativos e S ⊂ X : S = {x ∈R+ |0 ≤ x ≤ 20}, então

nS(x) ={

1 ↔ x ∈ X e x ∈ S,0 ↔ x ∈ X e x /∈ S.

(10.1)

A Figura 10.1 ilustra a função característica do conjunto S. Formalmente, os conjuntosfuzzy são definidos como segue.

Definição 10.1 Um conjunto fuzzy é caracterizado por uma função de pertinência quemapeia os elementos de um domínio, espaço ou universo de discurso X para o intervalounitário [0, 1] (Zadeh 1965)

A : X → [0, 1].

Desta forma, seja nA a função característica do conjunto fuzzy A, então nA ca-racteriza o mapeamento dos elemento do conjunto A no domínio X que é dada pornA : X → [0, 1]. Na teoria de conjuntos fuzzy, a função característica recebe o nomede função de pertinência. Esta terminologia força a idéia de que para cada elementox, nA(x) indica o grau de que x é um membro do conjunto A. Exemplos típicos deconjuntos fuzzy cujas de funções de pertinência são definidas no domínio dos númerosreais R são

nA(x) =1

1 + x2(10.2)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Gra

u de

per

tinên

cia

nA

Figura 10.2: Função de pertinência do conjunto fuzzy A.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Gra

u de

per

tinên

cia

"frio" "morno" "quente"

Figura 10.3: Exemplos de funções de pertinência dos conjunto fuzzy das temperaturasde um objeto.

ounA(x) = e−(x−5)2 . (10.3)

A Figura 10.2 ilustra outro tipo de função de pertinência de um conjunto fuzzy definidono domínio dos números reais R.

10.1.2 Operações lógicas

Um exemplo da descrição de conjuntos fuzzy via variáveis lingüísticas pode ser dadoem termos da temperatura de um objeto, que pode variar na faixa de 0◦ a 100◦C(X ∈ R e S ⊂ X : S = {x ∈ R |0 ≤ x ≤ 100}, onde x é a temperatura do objeto).Nestas condições, denomina-se “frio” o conjunto para temperaturas entre 0◦ a 20◦C,“morno” o conjunto para temperaturas entre 20◦ a 60◦C e “quente” o conjunto paratemperaturas entre 60◦ a 100◦C. Desta forma, os adjetivos “frio”, “morno” e “quente”são variáveis lingüísticas dos conjuntos que relacionam as temperaturas do objeto. A Fi-gura 10.3 apresenta exemplos de funções de pertinência para os conjuntos “frio”, “morno”e “quente”.

Note que os conjuntos ordinários são casos especiais dos conjuntos fuzzy, visto queseus graus de pertinência somente assumem valores 0 ou 1, é o que se chama de transiçãoabrupta (indicando que um elemento do conjunto pertence ou não a determinado domí-nio). Logo, conjuntos fuzzy que não são conjuntos ordinários, são denominados apenasde conjuntos fuzzy, ou seja, conjuntos cujos graus de pertinência apresentam transiçõesgraduais, não assumindo apenas os valores 0 ou 1. Mais detalhes sobre conjuntos fuzzy


Figura 10.4: Resumo das operações da lógica Booleana padrão.

podem ser encontrados em Shaw e Simões (1999) ou em Wang (1997). As operaçõesenvolvendo conjuntos fuzzy são realizadas utilizando um superconjunto de lógica Boo-leana padrão, ou seja, um conjunto de operações de lógica Booleana aumentado. Asoperações envolvendo a lógica Booleana padrão são efetuadas através dos operadoresE, OU e NÃO, as quais são resumidas na Figura 10.4. Além destes operadores, nalógica fuzzy existem outros operadores para efetuar as operações lógicas que são basica-mente: os operadores das normas triangulares (normas-t) e os operadores das normasduais (normas-s ou ainda co-normas-t). Desta forma, caso seja mantido os valores depertinência nos extremos do conjunto fuzzy, isto é, 1 (completamente verdadeiro) e 0(completamente falso), as operações lógicas E, OU e NÃO são asseguradas. No en-tanto, além destas operações, o projetista de controle ainda dispõe de outras operaçõespara especificar as implicações ou regras fuzzy para o sistema de controle. Detalhes so-bre as operações envolvendo conjuntos fuzzy podem ser encontrados em Shaw e Simões(1999) ou em Wang (1997).

10.1.3 Inferência fuzzy

A lógica fuzzy tem por objetivo fazer um mapeamento de um espaço de entrada paraum espaço de saída, tendo como mecanismo primário uma lista de declarações do tipoSE-ENTÃO chamadas regras de inferência. Todas as regras são avaliadas em paralelo,ou simultaneamente, não sendo por este fato importante a imposição de ordem entreestas. Em geral, as regras se referem às variáveis e aos adjetivos que as descrevem,por isso o processo de inferência fuzzy deve ser construído para a interpretação destasregras com base nas variáveis envolvidas. Na Figura 10.5 é apresentado um diagrama deum processo de inferência fuzzy padrão. Detalhes sobre o processo de inferência fuzzypodem ser encontrados em Shaw e Simões (1999) ou em Wang (1997).

Exemplo 10.1 Determine o valor da saida u correspondente a um instante particulart para o controlador fuzzy descrito pelas seguintes regrasRegra 1: SE é Negativo e é Negativo ENTÃO u é NegativoRegra 2: SE é Zero e é Zero ENTÃO u é ZeroRegra 3: SE é Positivo e é Positivo ENTÃO u é Positivo

Considere a inferência max-prod, ou seja o produto como método de implicação emáximo como método de agregação, o método de defuzzificação centro de área e as


Figura 10.5: Diagrama de um processo de inferência fuzzy.

funções de pertinência para as variáveis lingüísticas.

ZERO = exp[− (x−50)2

(2σx)2 ]

NEGATIVO = exp[− x2

(2σx)2 ]

POSITIVO = exp[− (x−100)2

(2σx)2 ]

com σx = 20.

10.1.4 Controlador fuzzyOs controladores fuzzy combinam informações qualitativas e quantitativas da operaçãode um sistema real através de alguma hierarquia. Existem basicamente dois tipos decontroladores fuzzy:

• o controlador fuzzy Mamdani (Mamdani e Assilan 1975b);

• o controlador fuzzy Takagi-Sugeno (TS) (Takagi e Sugeno 1985).

Ambos tipos de controladores têm como característica básica a flexibilidade na soluçãode controle, visto que utilizam informações da operação do sistema em sua estrutura,porém diferem entre si no procedimento de projeto. O controlador fuzzy Mamdanié um controlador empírico, cujo projeto segue um procedimento de ajuste heurísticobaseado no conhecimento humano sobre a operação do sistema. O controlador fuzzyTS, além de contar com o conhecimento humano sobre a operação do sistema, segueum procedimento de ajuste sistemático baseado na modelagem fuzzy e nas teorias decontrole não-linear e robusto já existentes.

A estrutura básica de um controlador fuzzy é apresentada na Figura 10.6. A assimchamada ‘fuzzyficação’ consiste no processo de transformação das variáveis definidas nodomínio dos números reais, que é o domínio das variáveis do sistema, para o domíniodos números fuzzy, que é o domínio onde são realizadas as operações envolvendo lógicafuzzy. Para ‘fuzzyficar’ uma variável é necessário que se estabeleça uma relação entreos valores numéricos associados aos termos lingüísticos de conjuntos fuzzy. Esta relaçãoé dada através de funções de pertinência. A base de conhecimento e a inferência sãousadas nas tomadas de decisões de controle. A base de conhecimento é constituída por


Figura 10.6: Diagrama em blocos de um controlador fuzzy.

uma base de dados e uma base de regras fuzzy lingüísticas. A base de dados relacionaos valores numéricos associados às funções de pertinência. A base de regras caracterizaos objetivos e a estratégia de controle a ser utilizada, além de conter todas as possíveiscombinações das ações de controle relativas às entradas e saídas do sistema. A inferênciausa as operações envolvendo lógica fuzzy para simular tomadas de decisões humanas.Finalmente, a ‘defuzzyficação’ tem o objetivo de realizar transformações de ações decontrole fuzzy inferidas em ações de controle reais.

Os controladores fuzzy Mamdani podem estimar variáveis de entrada e saída atra-vés de procedimento de ajuste heurístico, onde uma variável de entrada aciona umainferência fuzzy que por conseguinte gera uma variável de saída. Todas as possíveisdecisões que um controlador fuzzy Mamdani pode tomar são definidas a partir do co-nhecimento da operação do sistema e dispostas em uma tabela, chamada tabela deregras. A inferência fuzzy lingüística composta de agregação, implicação e composi-ção é geralmente realizada aplicando a operação máximo-minimo ou máximo-produto(Shaw e Simões 1999). Os métodos de ‘defuzzyficação’ mais utilizados são o centro deárea, centro de máximo, média do máximo. As saídas obtidas para cada um destesmétodos podem ser visualizadas na interface gráfica do módulo fuzzy do Matlab.

Especificamente para o caso de controladores fuzzy Mamdani, a etapa de projetonão necessita de um modelo explícito do sistema, somente do conhecimento de como osistema se comporta frente às ações de controle manuais, que fica descrita em termosde regras fuzzy. Como já mencionado, estes controladores são sistemas empíricos, ondeum conjunto de regras fuzzy é acionado como um mecanismo de decisão para ajuste dosefeitos causados por certas variações na operação do sistema. A ausência de um modeloexplícito torna mais fácil a tarefa do projetista e permite a produção de controladoressatisfatórios, com o mínimo de esforço. No entanto, esta ausência de modelo causa umcerto ceticismo a respeito deste tipo de controlador, no sentido de que tanto a dinâmicado sistema quanto as tarefas de controle são descritas por regras, o que aparentementeé uma estratégia de alto nível. Logo, é necessário a inclusão de um controlador conven-cional, considerado de baixo nível, para desempenhar a tarefa de uma regulação maisdetalhada, visando a confiabilidade da operação. Em adição, a ausência de um modelotorna muito difícil a formulação de provas e demonstrações, estas importantes princi-palmente quando é necessária uma operação mais confiável. Em virtude disso, foramintroduzidas modelagens matemáticas para os controladores fuzzy. O uso de modela-


gem fuzzy se justifica pelo fato de que é possível formular condições que garantam odesempenho dos controladores fuzzy expressando tanto o sistema quanto o controladorno domínio fuzzy. Esta é a idéia principal do controlador fuzzy TS, que será abordadocom mais particularidades no que segue.

10.1.5 Controlador fuzzy Mandami

Os principais componentes de um sistema fuzzy são a fuzzificação, a base de conhe-cimento, a inferência e a defuzzificação. A fuzzificação consiste em caracterizar asvariáveis de entrada em termos de um conjunto fuzzy. Para fuzzificar uma variável énecessário que se estabeleça uma relação entre os valores numéricos e os termos linguís-ticos de conjuntos fuzzy. A base de conhecimento é constituída de uma base de dadosjuntamente com uma base de regras fuzzy lingüísticas. A base de dados fornece asdefinições numéricas necessárias às funções de pertinência usadas no conjunto de regrasfuzzy. A base de regras caracteriza os objetivos e a estratégia de controle utilizadose contém todas as situações possíveis relativas às entradas e saídas. A inferência usaimplicações fuzzy para simular tomadas de decisão humanas. Uma regra ou inferênciafuzzy relaciona conjuntos fuzzy da seguinte maneira

SE < condição > ENTÃO < conclusão >

Desta forma, os sistemas fuzzy podem estimar funções de entrada e saída através detécnicas heurísticas, onde uma variável de entrada aciona uma inferência fuzzy que, porconseguinte gera uma variável de saída. Todas as possíveis decisões que o controladorfuzzy pode tomar são obtidas desta heurística e organizadas em uma tabela, chamadatabela de regras. A inferência fuzzy lingüística é geralmente realizada aplicando aoperação de max-min proposta por Zadeh em 1973 (Zadeh 1973). Finalmente, adefuzzificação tem o objetivo de realizar transformações de ações de controle fuzzyinferidas em ações de controle não fuzzy, ou seja, obter um único valor discreto quepossa ser utilizado como ação de controle real.

Exemplo de projeto de controlador fuzzy Mamdani

Nesta seção introduzimos o projeto de um controlador fuzzy para regular o nível de umreservatório(Figura 10.7) a fim de ilustrar a utilização de inferência fuzzy em controle.No Apêndice A apresenta-se uma breve descrição da interface gráfica do Matlab utilizadano desenvolvimento (FLToolbox 1999).

O projeto do controlador fuzzy Mamdani é baseado na experiência do projetista.Desta forma, é necessário um conhecimento prévio do comportamento do sistema quantoàs perturbações que possam ocorrer. Uma forma de conhecer o comportamento do sis-tema é projetar um controlador do tipo PD, por exemplo, e através de simulações com omodelo do sistema, observar como as variáveis de interesse se comportam em resposta aperturbações. Assim, este projeto de controlador divide-se em (1) projeto de um contro-lador do tipo PD, cujos parâmetros serão ajustados de acordo com uma aproximaçãolinear do sistema real em torno de um ponto de operação escolhido e (2) projeto docontrolador fuzzy Mamdani a partir da simulação do sistema não-linear com controlePD.


Figura 10.7: Sistema de nível em um reservatório.

Equações dinâmicas para o nívelUtilizando o princípio da conservação de massa pode-se descrever a variação de nívelde líquido no reservatório na Figura 10.7 pelas equações

m = ρ(Qin −Qout) (10.4)

onde m é a massa [kg], ρ é a densidade do fluido [kg/m3], Qin é a vazão de entrada[m3/s] e Qout a vazão de saída [m3/s]. A vazão de saída Qout é dada pelo produtoQout =

√2gxAs com x o nível de líquido do reservatório [m], g a aceleração devido

à gravidade [m/s2] e As a área da seção por onde o líquido está escoando [m2]. Adensidade ρ é dada por ρ = m/ATx com AT a área do reservatório [m2]. Utiliza-seos seguintes valores numéricos dos parâmetros físicos: AT = 1, g = 9.8 e As = 0.005.Substituindo a expressão de ρ em (10.4) tem-se

x =1AT

(Qin −Qout) (10.5)

onde Qout = k√x.

Uma aproximação linear do sistema (10.5) pode ser obtida aplicando-se a fórmula deTaylor, resultando

x ≈ a(x− x) + b(Qin − Qin) (10.6)

na vizinhança de um ponto de operação (x, Qin), com a := k√x

2AT xe b := 1

AT.

O projeto do controlador deve considerar também a válvula, que é colocada em sériecom o sistema. A válvula pode ser modelada como um integrador e um ganho igual a0.5. Os parâmetros do controlador PD podem ser obtidos através de posicionamento depólos da função de transferência do sistema controlado. Com estes parâmetros pode-seutilizar o Simulink (Mat 1997) para analisar as faixas das variáveis e = xd − x, de/dte Qin, com xd o valor de nível desejado, para construir a base de dados e a base deregras do controlador fuzzy Mamdani. O diagrama de simulação utilizado é mostradona Figura 10.8 e a estrutura do módulo fuzzy do Matlab na Figura 10.9.

Neste exemplo, o controlador fuzzy Mamdani foi totalmente projetado utilizando osrecursos do Sistema de Inferência Fuzzy (FIS, do Inglês) do Matlab. Foi utilizado ométodo de interseção por produto, a implicação do tipo produto, a agregação do tipomáximo e a defuzzificação do tipo centróide. Para construir a base de dados do contro-lador fuzzy escolhe-se as funções de pertinência e as faixas que delimitam os conjuntosfuzzy (variáveis lingüísticas). A Figura 10.10 ilustra uma função de pertinência do tipogaussiana utilizada na maioria dos casos estudados para as entradas e e de/dt. Para a


Figura 10.8: Sistema de nível com controlador PD.

Figura 10.9: Estrutura do controlador fuzzy Mamdani usando o módulo FIS do Matlab.

saída Qin utilizou-se uma função do tipo triangular na maioria dos casos. Definiu-seos intervalos [0 2]m para o nível x, [-1 1]m para o erro e e [-0.1 0.1]m/s para de/dt.Para construir a base de regras é necessário estabelecer as relações entre as variáveislingüísticas de entrada com a de saída. Segue uma das bases de regras escolhidas

SE (e é certo) e (de/dt é negativo) ENTÃO (Qin é abreválvuladevagar);SE (e é certo) e (de/dt é positivo) ENTÃO (Qin é fecheválvuladevagar);SE (e é baixo) ENTÃO (Qin é abreválvularápido);SE (e é certo) ENTÃO (Qin é nãomuda);SE (e é alto) ENTÃO (Qin é fecheválvularápido).

Observação 10.1 Após especificar o controlador fuzzy Mamdani nomeado nomear-quivo.FIS, este deve ser carregado na área de trabalho do Matlab a partir da tela doFIS Editor usando o comando export (file » export » to workspace) e epecificado dentrodo bloco fuzzy correspondente no ambiente de simulação.


Figura 10.10: Funções de pertinência para a variável e.

Figura 10.11: Sistema de nível com controlador fuzzy Mamdani.

As principais especificações da resposta do sistema são em geral dadas em termosda velocidade e erro de regime. A resposta da Figura 10.12 foi obtida com funções depertinência do tipo gaussiana para o e e de/dt associadas às três condições de operação"alto", "certo" e "baixo"com desvio padrão para o erro e 0.5, 0.2 e 0.5, respectivamente,e 0.04, 0.03 e 0.04 para a derivada do erro de/dt.

Observação 10.2 O desvio padrão da função de pertinência referente ao nível "certo"deveser menor para diminuir o erro de regime e as funções de pertinência referentes a nívelalto e baixo devem ser maiores para aumentar a ação de controle para desvios menoresem relação à referência, tornando o sistema mais rápido. Para reduzir as oscilaçõescausadas pelo aumento na ação de controle, deve-se aumentar o desvio padrão funçãode pertinência de de/dt referentes ao níveis "alto"e "baixo".

Para melhorar a atuação do controle, pode-se prever condições de operação queresultem em outras associações das variáveis de entrada com a variável de saída ouentão escolher outros tipos de funções de pertinência ou até mesmo adicionar outrasvariáveis de entrada ao projeto. Daí a flexibilidade do controlador fuzzy Mamdani


Figura 10.12: Resposta do nível a perturbação na referência com 5 regras.

comparado ao controlador PD convencional. Para ilustrar outras possibilidades obteve-se a resposta da Figura 10.13 alterando-se as funções de pertinência do erro e para otipo triangular e trapezoidal e acrescentando duas regras e duas condições de operaçãopara o erro e e para a sáida Qin, como a seguir

SE (e é muitobaixo) ENTÃO (Qin é abreválvulamuitorápido);SE (e é muitoalto) ENTÃO (Qin é fecheválvulamuitorápido).

Estabilidade

10.1.6 Controlador fuzzy TS

Considere o sistema não-linear descrito por

x = F (x) +G(x)u (10.7)

onde F (.) e G(.) são funções suaves conhecidas, x ∈ Rn é o vetor de estado do sistemae u ∈ Rm é o vetor de entrada.

O modelo fuzzy TS é descrito por regras fuzzy do tipo SE - ENTÃO, que representamrelações entrada-saída lineares locais do sistema não-linear (10.7), cuja -ésima regra édada por

Regra i :SE x1 é Mi1 E x2 é Mi21 E · · · E xn é Min

ENTÃO.x= Aix+Biu

(10.8)


Figura 10.13: Resposta do nível a perturbação na referência com 7 regras.

com i = 1, · · · , r sendo r o número de modelos lineares locais, Ai ∈ �n×n, Bi ∈�n×m, Ci ∈ �p×n, Mij , j = 1, · · · , n é o j-ésimo conjunto fuzzy associado à regra i. Aparte SE do modelo fuzzy T-S é denominada premissa e a parte ENTÃO consequente.

Seja μij(xj) o grau de pertinência de xj no conjunto fuzzy Mij , e

wi(x) = Πnj=1μij(x).

Considerando μij(x) ≥ 0 tem-se wi(x) ≥ 0 e Σri=1μij(xj) > 0. Desta forma, o sistemafuzzy T-S global é representado como a média ponderada dos modelos lineares locais,como segue

.x =

Σri=1wi(x)(Aix+Biu)Σri=1wi(x)

(10.9)

= Σri=1αi(x)(Aix+Biu)

onde

αi(x) =wi(x)

Σri=1wi(x), i = 1, · · · , r (10.10)

denota a função de pertinência normalizada. Observe que para cada regra i, αi(x) ≥ 0e Σri=1αi(x) = 1.

Na modelagem fuzzy TS apresentada, quanto maior o número de modelos lineareslocais que compõem o modelo fuzzy TS (10.9), melhor será a representação da não-linearidade do sistema (10.7). O projeto do controlador fuzzy TS é mais sistemáticoque o projeto do controlador fuzzy Mamdani e utiliza o conceito de compensação distri-buída paralela (CDP). A CDP consiste no projeto distributivo de controladores locais


para a compensação dos sistemas lineares locais que compõem o sistema fuzzy TS. Ocontrolador resultante é uma combinação fuzzy dos controladores locais, sendo, por-tanto, em geral, um controlador não-linear. A seguir detalha-se o procedimento daCDP e a obtenção do controlador baseado no modelo fuzzy TS.

Considere a i−ésima representação linear do sistema (10.9), que é dada por

x = Aix+Biu (10.11)

onde x, u e o par (Ai, Bi) são como já definidos. Um controle natural para o sistema(10.11) é o controle do tipo realimentação de estado, que é dado por

u = −Kix (10.12)

onde Ki é a matriz de ganhos de realimentação de estado com dimensões apropriadas.Substituindo (10.12) em (10.11), obtém-se o sistema local realimentado

x = (Ai −BiKi)x. (10.13)

Agora este mesmo procedimento será empregado para o sistema fuzzy global TS. Usandoo conceito da CDP, o controle fuzzy compartilha a mesma estrutura de regras do modelofuzzy, i.e.,

Regra i : SE x1 é Mi1 E . . . E xp é Mip

ENTÃO u = −Kix

i = 1, 2, . . . , r (10.14)

para r e Ki como já definidos. Assim como o sistema fuzzy TS, o controle fuzzy tambémé uma média ponderada dos controadores locais, ou seja,

u = −r∑i=1

αi(x)Kix (10.15)

com αi(.) dado em (10.10). Substituindo (10.15) em (10.9) obtém-se

x =r∑i=1

r∑j=1

αi(x)αj(x) (Ai −BiKj)x. (10.16)

Usando as propriedades de αi(.), (10.16) pode ser reescrita como

x =r∑i=1

α2i (x)Giix+ 2

r∑i<j=1

αi(x)αj(x)[Gij +Gji

2

]x (10.17)

ondeGij := Ai−BiKj e∑r

i<j indica, por exemplo para r = 3,∑3

i,j aij ⇔ a12+a13+a23.

Modelagem e projeto

O projeto de controle fuzzy TS é geralmente feito com base na teoria de estabilidadede Lyapunov. Visando a obtenção de um projeto de controle fuzzy TS sistemático,


apresenta-se no que segue os principais resultados de estabilidade via método direto deLyapunov para sistemas lineares (Chen 1998).

Estabilidade de um sistema autônomo. Considere o sistema autônomo

x = Ax (10.18)

sendo x o vetor de estado e A uma matriz de sistema constante. Se a matriz A énão-singular, então o único estado de equilíbrio é a origem x = 0. Para este sistema,define-se uma função de Lyapunov do tipo

V (x) = xTPx

com P é uma matriz simétrica positiva definida de dimensões apropriadas. A derivadade V (.) em relação ao tempo é dada por

V (x) = xTPx+ xTP x

= (Ax)TPx+ xTP (Ax)= xT (ATP + PA)x.

Com V (.) positiva definida, para se ter estabilidade assintótica é necessário que V (.)seja negativa definida, ou seja,

V (x) < 0.

Estas condições são resumidas no seguinte Teorema.

Teorema 10.1 Considere o sistema autônomo (10.18). Uma condição necessária esuficiente para que o estado de equilíbrio x = 0 seja assintoticamente estável é queexista uma matriz P simétrica positiva definida, tal que

ATP + PA < 0.

10.1.7 Verificação da estabilidade de um sistema autônomo usandoLMI’s

Baseado no Teorema 10.1, para verificar se um sistema autônomo é estável, é precisoverificar se as seguintes desigualdades são verdadeiras

P = PT > 0ATP + PA < 0.

Exemplo 10.2 Exemplo de estudo de estabilidade usando o módulo LMI do Matlab.Dada a matriz A

A =

⎡⎣ 0 1 00 0 1

−6 −11 −6

⎤⎦encontrar a solução P tal que o sistema autônomo x = Ax seja assintóticamente estável.

Solução. Para facilitar a obtenção das LMI’s, utiliza-se o editor de LMI’s cha-mado LMIEDIT. As Figuras 10.14 e 10.15 mostram a tela de entrada de variáveis e


Figura 10.14: Tela 1 do editor de LMI’s do Matlab

expressões e tela de comando deste editor. Os comandos obtidos são listados a seguir.A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];setlmis([ ]); % Início da montagem das LMIsP=lmivar(1,[length(A) 1]); % Declaração que P e uma matriz simétricalmiterm([1 1 1 P],1,A,’s’); % LMI 1: P*A+A’*P < 0lmiterm([-2 1 1 P],1,1); % LMI 2: P >0lmiestabilidade=getlmis; % Término da montagem das LMIs[tmin,xfeasp ]=feasp(lmiestabilidade); % Teste da factibilidade das LMIs.% Se tmin<0: a LMI é factivel:if tmin<0Pf = dec2mat(lmiestabilidade,xfeasp,P);disp(’Sistema estável’); disp(’P= ’), disp(Pf);disp(’Autovalores de P’), disp(eig(Pf)); disp(’Autovalores de A’), disp(eig(A));else disp(’Sistema instável’);end


Figura 10.15: Tela 2 do editor de LMI’s do Matlab.

Estabilidade

Agora extende-se o conceito de estabilidade dado no Teorema 10.1 para a i−ésima re-presentação linear do sistema (10.9). Considere o sistema dinâmico (10.11). O objetivoé projetar uma lei de controle por realimentação de estado (10.12) que estabilize este sis-tema dinâmico. Usando a representação (10.13), pode-se então utilizar o Teorema 10.1para encontrar os ganhos de realimentação de estado Ki. Por analogia ao caso dossistemas autônomos, as condições que devem ser verificadas agora são

P = PT > 0(Ai −BiKi)TP + P (Ai −BiKi) < 0.

Note que a segunda desigualdade não é uma LMI, pois aparece o produto entre asvariáveis Ki e P . No entanto, usando uma manipulação algébrica, pode-se reescrever


esta desigualdade como

ATi P + PAi −KTi B

Ti − PBiKi < 0

P−1(ATi P + PAi −KT

i BTi P − PBiKi

)P−1 < 0

P−1ATi +AiP−1 − P−1KT

i BTi −BiKiP

−1 < 0

e definir X := P−1 e Yi := KiP−1, que resulta em

XATi +AiX − Y Ti BTi −BiYi < 0

Finalmente, baseado no Teorema 10.1, para se obter o ganho de realimentação de estadoKi tal que o sistema dinâmico (10.13) seja assintoticamente estável, precisa-se verificarse as seguintes desigualdades são verdadeiras

X = XT > 0XATi +AiX − Y Ti B

Ti −BiYi < 0

Usando o conceito de CDP e a modelagem fuzzy apresentada anteriormente, apresenta-se o projeto de controle fuzzy estabilizante no que segue.

Teorema 10.2 (Tanaka et al. 1998) Se existe uma matriz simétrica positiva definidaX e matrizes Yi, i = 1, 2, . . . , r de dimensões apropriadas satisfazendo as seguintesLMI’s

X = XT > 0XATi + AiX − Y Ti B

Ti −BiYi < 0

∀i = 1, 2, . . . , rXATi +AiX − Y Tj B

Ti −BiYj +

XATj +AjX − Y Ti BTj −BjYi < 0

∀i < j; i, j = 1, 2, . . . , r (10.19)

onde

Yi = KiX

X = P−1

então o sistema fuzzy TS com realimentação de estado (10.16) é assintoticamente estávelno equilíbrio x = 0.

Prova. A prova deste teorema pode ser facilmente obtida utilizando uma função deLyapunov candidata do tipo V (x) = xTPx. �

Observação 10.3 A obtenção de um controle fuzzy estabilizante usando as condiçõesapresentadas no Teorema 10.2 pode não ser ser possível para sistemas fuzzy TS consti-tuídos por um elevado número de regras. No caso de sistemas fuzzy TS com número deregras elevado o projeto de controle fuzzy estabilizante pode ser obtido utilizando con-dições de estabilidade mais relaxadas que a apresentada anteriormente, para maioresdetalhes vide (Tanaka et al. 1998).


Exemplo 10.3 Utilizando o módulo LMI do Matlab escreva um programa para obten-ção dos ganhos de realimentação de estado para o sistema dinâmico representado por

A =

⎡⎣ 1 0 00 −1 00 0 4

⎤⎦ , B =

⎡⎣ 111

⎤⎦ (10.20)

Solução. Para obter os ganhos de realimentação de estado F para o sistema dinâ-mico, precisamos verificar se as seguintes desigualdades são verdadeiras:

XAT +AX −GTBT −BG < 0 (10.21)X = XT > 0 (10.22)

com X = P−1 e G = FP−1. Estas desigualdades foram escritas na forma de LMIsutilizando o LMIEDIT no MATLAB. A partir das LMIs obtidas, foi escrito o seguinteprograma para encontrar o controlador:

% Projeto de realimentacao de estados usando LMIs� A=[1 0 0; 0 -1 0; 0 0 4 ];�B=[1; 1; 1]�setlmis([]); % Inicicio da montagem das LMIs�X=lmivar(1,[length(A) 1]); % Declaracao que X e uma matriz simetrica�G=lmivar(2,[1 3]); % Declaracao que G e uma matriz retangular

�lmiterm([1 1 1 G],B,-1,’s’); % LMI 1: -B*G-G’*B’�lmiterm([1 1 1 X],A,1,’s’); % LMI 1: A*X+X*A’

�lmiterm([-2 1 1 X],1,1); % LMI 2: X

�lmiestabilidade=getlmis; % Termino da montagem das LMIs�[tmin,xfeasp]=feasp(lmiestabilidade); % Teste da factibilidade da lmi.% Se tmin<0: a LMI e factivel�if tmin<0Gf=dec2mat(lmiestabilidade,xfeasp,G); % obtem G na forma matricialXf=dec2mat(lmiestabilidade,xfeasp,X); % obtem X na forma matricialdisp(’Sistema estavel’);disp(’G= ’), disp(Gf)disp(’X= ’), disp(Xf)F=Gf*inv(Xf) % obtem F, a matriz de realimentacao de estadosteste=A-B*F %teste para verificar se o sistema realimentado e estaveleig(teste)elsedisp(’Sistema instavel’)end

O controlador encontrado é F = [−6.24−1.414.4] e os autovalores para o sistema comcontrolador são λ(A−BF ) = {−1.20± j4.07,−0.37}. Portanto, o sistema realimentadoé estável.


10.2 Construção de Modelos Fuzzy TSEm geral existem duas abordagens para construção de modelos fuzzy TS (Tanaka eWang 2001)

• Identificação usando dados de entrada-saída do sistema;

• Equações do sistema não-linear.

O processo de identificação consiste de duas etapas: identificação da estrutura e iden-tificação paramétrica obtenção dos parâmetros modelo. Esta aproximação é adequadapara plantas cuja dinâmica é difícil ou até impossível de ser representada por equaçõesanalíticas. Entretanto, para muitos sistemas dinâmicos não-lineares as equações dinâ-micas podem ser obtidas prontamente e neste caso, a segunda abordagem pode ser maisapropriada.

A construção de modelos fuzzy a partir de equações que representam o sistemanão-linear é a abordagem apresentada neste trabalho. Existem duas aproximações dis-poníveis na literatura para obtenção de um modelo fuzzy, que são

• Aproximação por não-linearidade setorial;

• Aproximação local em espaços de partição fuzzy.

A aproximação por não-linearidade setorial garante uma construção de modelo fuzzyexata a partir de setores globais. Entretanto, muitas vezes é difícil encontrar setoresglobais associados a sistemas não-lineares gerais. Nestes casos, setores locais podem serconsiderados e a aproximação obtida pode ser razoável quando as variáveis do sistemafísico forem limitadas. Esta aproximação resulta em um grande número de regras domodelo fuzzy. Em contrapartida, a outra aproximação para obtenção de modelos fuzzyé uma aproximação local em partições do espaço, cuja essência é obter relações linearesda planta não-linear em várias regiões do seu espaço de estados. Este procedimento levaa uma redução considerável no número de regras do modelo fuzzy resultante. Neste con-texto (Teixeira e Żak 1999) introduziram uma fórmula de aproximação local de sistemasnão-lineares, que produz uma boa aproximação do sistema na vizinhança do pontos deoperação escolhidos, mesmo que estes não sejam pontos de equilíbrio. A fórmula delinearização de Teixeira & Żak introduzida na Seção 2.4.2 pode ser empregada para aobtenção dos modelos lineares locais do sistema fuzzy TS.

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Apêndice A

Propriedades e Tabela deTransformadas Z

1. Linearidade

Z[αx1(k) + βx2(k)] = αZx1(k) + βZx2(k) (A.1)

2. Operador Avanço (Deslocamento para direita)

Z[x(k − d)] = z−dZ, d ≥ 0 (A.2)

3. Operador atraso (Deslocamento para esquerda)

Z[x(k + d)] = zd[X(z) −d−1∑q=0

x(q)z−q], d ≥ 0 (A.3)

4. AmortecimentoZ[x(k)e−akT0 ] = X(zeaT0 (A.4)

5. Valor inicialX(0) = limz→∞X(z) (A.5)

6. Valor final

X(0) = limk→∞x(k) = limz→1z − 1z

X(z) = limz→1(z − 1)X(z) (A.6)

A propriedade do valor final somente é válida se x(∞) existe. De outra forma, só existevalor final para processos estáveis.

231

232 APÊNDICE A. PROPRIEDADES E TABELA DE TRANSFORMADAS Z

Apêndice B

Introdução ao Labview

O Labview é um produto da empresa National Instruments e é largamente empregadoem sistemas industriais de automação, supervisão e controle de processos. Foi inicial-mente desenvolvido como ferramenta de apoio para gerenciamento/supervisão de módu-los de circuitos programáveis desenvolvidos pela própria empresa. O desenvolvimentoe aprimoramento continuado deste aplicativo proporcionou que o mesmo se tornassereferência em termos de aplicativos de gerenciamento/supervisão de circuitos ou equi-pamentos programáveis. É um aplicativo muito versátil e dirigido para aquisição dedados, análise de sinais, monitoramento e controle de processos, gerenciando a comuni-cação e interfaceamento com os processos via placas de aquisição. Todo arquivo geradono Labview é designado como Instrumento Virtual, ou VI da notação em inglês e apre-senta a extensão VI. Um instrumento virtual consiste de uma seqüência de comandos deprogramação em uma linguagem específica que determina a ação de aquisição/geraçãode sinais em uma atividade específica. O aplicativo Labview disponibiliza portanto umasérie de comandos em linguagem gráfica, chamada interface de usuário, possibilitando aimplementação de uma enorme diversidade de instrumentos de medição ou geração desinais. Outra importante caraterística do Labview é a possibilidade de se gerar painéisou telas gráficas de entrada e saída dos dados adquiridos ou fornecidos ao InstrumentoVirtual. Através da combinação da aquisição, geração de sinais e dos equipamentos deentrada e saída, obtém-se então os mais diversos dispositivos de comando e ou controlede processos. Para gerar um arquivo VI o usuário dispõe de duas janelas distintas, maspertencentes ao mesmo programa/arquivo ou VI, e portanto com mesmo nome. Estasjanelas são designadas por janela diagrama e janela painel. Na janela diagrama sãorealizadas as operações/funções matemáticas, conexões ou fiação entre os vários blocosoperacionais, gerenciamento dos sinais, pré e pós processamento do VI. Na janela painelsão alocados as telas de resultados (numéricas ou gráficas) e de indicação de sinalização.Aqui também são programados e definidos as entradas de dados, por meio de botão ourotatória e teclado. Quando a janela diagrama está ativa, dispõe-se de dois menus(acionados pelo botão direito do mouse): TOOLS e FUNCTIONS. No menu TOOLSdispõe-se de funções de edição do diagrama em termos de fiação, movimentação, ediçãode textos e texturas de cor. Já o menu FUNCTIONS permite inserir blocos de operaçõesmatemáticas, estruturas de programa ção, manipulação de arquivos e principalmente aescolha e definição dos blocos periféricos. Informações detalhadas podem ser obtidas

233

234 APÊNDICE B. INTRODUÇÃO AO LABVIEW

no portal http://www.ni.com/labview/. Várias opções de ajuda estão disponíveis nopróprio aplicativo.

A Figura B.1 abaixo ilustra a conexão do processo com o computador em umaconfiguração padrão. No âmbito do laboratório de ensino, o Labview é configuradopara controle de processos simples e locais. O manual do Labview traz em detalhe aconstrução e configuração de arquivos executáveis (NATINST 1996).

Pla

caaq

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ConversorD/A

Amplificadorpotência

ConversorA/D

Processo

Sensoresy

u

Figura B.1: Configuração básica sistema de controle e componentes com u designandoo sinal de controle e y a saída regulada ou controlada.

Na seqüência é apresentada a arquitetura do sistema de aquisição com o Labviewpara conexão com o processo a partir de sensores e atuadores ou amplificadores depotência.

B.1 Aquisição e Processamento de Sinais

A aquisição e processamento de sinais pode envolver a leitura de sinais analógicos oudigitais e a geração de sinais analógicos ou digitais.

B.1.1 Leitura ou conversão de sinais de entrada

Por leitura de entradas entendam-se os procedimentos de passar ao processador umagrandeza física em forma digital para ser processada. Uma das formas é através deconversão analógica/digital (A/D), quando o sinal original é de natureza analógica oucontínua, ou através de portas digitais quando a grandeza física é de natureza digitalou amostrada em níveis discretos.

Entrada por conversor A/D

Os procedimentos para realização de conversão de sinais analógicos para a forma digitalenvolvem os conceitos de amostragem e digitalização. Os dispositivos que fazem aconversão analógica/digital são os chamados conversores A/D encontrados em diferentestecnologias e configurações de operação. Os conversores A/D podem atender desderequisitos de uma única entrada de sinal em 8 bits de discretização, até requisitos demúltiplas entradas em 16 bits em um único circuito integrado. Discretização em 8 bitssignifica 28 = 256 diferentes níveis de discretização, enquanto que 16 bits implicam216 = 65536 níveis de discretização em amplitude. Considerando que os CI’s comerciaisA/D operam com sinais de entrada entre 0 a 5V, ou 0 a 10V para configuração unipolar eentre -5 a 5V ou -10 a 10V para configuração bipolar, os níveis de discretização podem

B.2. GERAÇÃO DE SAÍDAS 235

variar entre os níveis de 78.125 mV a 76 μ V dependendo do caso. A configuraçãode operação pode ser pré-definida para um determinado chip ou pode ser estabelecidapor meio de programação em tempo real dos circuitos integrados A/D programáveis.Alguns circuitos integrados possuem ainda tecnologia para configurar os níveis de ganhoanalógico necessário nas entradas de sinais.

As taxas de amostragem ou intervalos entre conversões são determinados basica-mente pelo usuário final em função da aplicação em questão, desde que obedecendo oslimites operacionais da pastilha de circuito integrado em uso. Neste aspecto existemcircuitos integrados A/D’s que podem operar a uma taxa de amostragem de até dezenasde MHz. Um aspecto que também determina a taxa de amostragem é a capacidade doprocessador principal de gerenciar dados a uma elevada freqüência.

Entrada por porta digital

Neste caso, o sinal já é de natureza digital. Neste aspecto o sinal pode ser natural-mente discreto e que é diretamente quantizado em níveis lógicos, como por exemplo,estados lógicos de chaves multicanal ou de estado simples, sinalizadores ou sensores deestado. Outros tipos de sinais digitais possuem características pulsantes com determi-nada freqüência ou não.

Para sinais de estado lógico, o meio de entrada convencional é por meio das chamadasportas I/O, que somente processam sinais digitais e também podem operar em doissentidos, ou seja, também podem ser portas de saída digital como será visto adiante.Portas do tipo I/O são acessadas via uma estratégia seqüencial ou temporizada definidana estrutura do programa em uso. Para o caso de chaves ou dispositivos de estado lógicodiscreto, os sinais podem ainda entrar sem que sejam previstos, tais como aqueles queprovocam interrupções na CPU do processador principal, mas também podem ser lidosde acordo com uma estratégia de programação. Neste último caso, portas lógicas den-bits são disponibilizadas ao processador, que então são lidas de acordo. Quando umsinal discreto não se encontra em um nível de tensão adequado aos estados lógicos daunidade de processamento digital, este deve ser compatibilizado antes de ser conectadoaos pontos de entrada digital.

Os sinais do tipo pulsante, novamente, se não estiverem em níveis de amplitude ade-quados aos níveis de estado lógico, devem passar por uma conformação de níveis. Destaforma, os sinais pulsantes podem ser processados em unidade que promova contagem depulsos ou contadores, tal que o valor da contagem possa ser lido, periodicamente ou nãopelo processador digital. A leitura do contador pode ser utilizada para obter o valor dafreqüência do sinal, da largura do pulso ou simplesmente a taxa de variação de contagemde pulsos, por exemplo, na medição de velocidade angular de motores elétricos atravésde um encoder incremental.

B.2 Geração de Saídas

Por geração de saída entendam-se os procedimentos de passar um valor ou grandeza naforma digital no ambiente da CPU do processador para o ambiente externo à CPU naforma digital ou analógica, normalmente para os módulos periféricos de saída. Periféri-cos de saída típicos dos sistemas de controle são circuitos eletrônicos que providenciam


isolação elétrica e conversão da entidade digital em níveis de tensão. Este valor de ten-são é então conduzido a um bloco de saída pertinente que executa alguma ação em umdispositivo externo. Novamente tal como no caso de entrada digital, pode-se realizara saída digital por conversão digital para analógica (D/A) ou por porta digital, sendoque esta última opção pode ser temporizada ou não.

B.2.1 Saída por conversor D/A

Para este caso são empregados conversores D/A que operam também com várias tec-nologias e promovem uma conversão do nível lógico de n-bits em um sinal de tensãoproporcional. Também é usual que os conversores D/A sejam unipolares ou bipolares,obedecendo também a níveis de amplitude de saída descritos no caso dos A/D e apre-sentam resolução em bits semelhante aos A/D. Na operação do conversor D/A, umaestratégia definida por programação transfere ao circuito integrado ou unidade D/A umvalor digital de n-bits que é convertido em tensão “dentro” deste bloco ou módulo. Osinal analógico é então disponibilizado na pinagem do módulo de saída. A característicade resposta em freqüência dos conversores D/A é função da tecnologia empregada nasua construção, podendo atingir 18 bits de resolução com 10 ns de tempo de transiçãoou então menor do que 10 ns para resoluções entre 10 e 8 bits.

Normalmente o nível de potência do sinal analógico de saída é o mínimo possível porrazões construtivas do circuito integrado em tamanho reduzido. Desta forma é sempreusual a propagação do sinal de saída através de um estágio de isolação que também provêum certo nível de potência para os circuitos eletrônicos subseqüentes. Se o sistema aser acionado por este sinal for de potência ainda mais elevada, o sinal do D/A deve sernovamente amplificado ou servir de comando para um bloco de potência, por exemplo,um circuito PWM analógico ou um módulo de disparos de SCR’s de potência.

B.2.2 Saída por porta digital

As portas de saída digitais podem ser basicamente de dois tipos: as temporizadas enão temporizadas, associadas a clock’s externos ou internos e que podem ou não sersincronizados.

Porta de saída não-temporizada

Uma porta de saída digital não temporizada é simplesmente um barramento de dados“bufferizado” disponível como porta I/O digital, na qual o sinal digital é convertidobit-a-bit em um nível de tensão de acordo com os níveis de estado lógico. Neste caso,cada bit de saída irá comutar (ligar ou desligar) o estado de um dispositivo de saídaespecífico através de relés eletrônicos ou mecânicos. As ações de comando e controle sãodo tipo estanque em que o módulo de saída é apenas comutado em estado. O uso daporta de saída digital também é possível em forma de palavra digital, quando os n-bitsda porta comanda um módulo de saída, por exemplo, um decodificador de segmentosde telas digitais ou conjuntos de leds de sinalização.

B.3. ESTRUTURA GERAL DO EQUIPAMENTO DE AQUISIÇÃO 237

Porta digital temporizada

Porta digital temporizada é na realidade um dispositivo periférico que é acessado deforma freqüente por programação, o qual disponibiliza dados em forma digital e quedetermina o modo de operação deste periférico. Elementos típicos desta classe são ostimers e contadores, os quais devidamente programados executam ou sintetizam formasde ondas de tensão disponibilizadas nos dispositivos finais de saída. Nos módulos desaída, estas formas de ondas são amplificadas para comandar módulos de potência,ou ainda são recombinadas para gerar outros padrões diferentes de formas de onda.Uma aplicação típica é a geração de PWM digital com o uso de timers programáveis,cujos sinais pulsantes operam diretamente ou através de isoladores ópticos nas bases desemicondutores de potência.

B.3 Estrutura Geral do Equipamento de Aquisição

Para o propósito de controle e acionamento digital de sistemas, uma estrutura adequadade equipamentos deve ser desenvolvida e, normalmente é definida pelo usuário. O usuá-rio deve então projetar sua estrutura de forma a obter um equipamento dedicado, ou ob-ter no mercado um conjunto de sub-sistemas necessários e configurá-los adequadamente.Os diversos fornecedores e fabricantes de sistemas digitais para controle e acionamentode processos possuem uma grande variedade de módulos, em muitos casos intercam-biáveis entre diferentes marcas, estes compatíveis com software de apoio/gerenciamentodisponível no mercado.

O sistema disponível no laboratório é um conjunto de equipamentos e aplicativosda empresa National Instruments. A placa de aquisição é uma placa da família 6020Ede 12 bits com 16 entradas analógicas (A/D) a 100KHz de amostragem, 2 canais desaídas analógicas (D/A), porta digital I/O TTL de 8 bits (linhas) e 2 timers/countersup/down de 24 bits. Este modelo de placa é instalado no barramento PC-ISA de micro-computadores e é configurada para operar na região de memória de I/O do PC. A placadisponibiliza todos os sinais de entrada e saída por meio de um conector de 50 vias, queé ligado a uma placa da família SC 20-50 para conectar as linhas I/O da placa 6020Ea condicionadores de sinal, incluindo as séries 5B e SC 20-60. Esta placa distribui ossinais analógicos, entradas digitais, saídas digitais e os próprios 50 sinais em conectoresde cabos planos. Cada conjunto de dados é conduzido a uma outra placa com con-dicionadores de sinais. Estes condicionadores de sinais são basicamente isoladores deproteção e conformadores de sinais tipo amplificador. Esta configuração de distribuiçãode sinais é indicada na Figura B.2 a seguir.

O painel 5B41 da Figura B.3 é um módulo de conexão no qual estão fixados oscondicionadores de sinais da classe 5B que podem configurar ou adaptar sinais analó-gicos de entrada e também de saída (portas 14 e 15). Os elementos 5B são padrõese podem ser simples isoladores até complexos circuitos de conformação de sinais comoamplificadores/atenuadores incluindo filtragem, etc.

O módulo SC 20-60 é uma placa de isolação óptica bidirecional para a porta I/O deentrada/saída digital. Esta placa disponibiliza as 8 linhas de I/O individualmente.

Os sinais de saída dos 2 conversores D/A da placa podem ser acessados via painelde 5B nas portas 14 e/ou 15 com devidos elementos 5B ou diretamente no conectorde 50 vias disponível. No caso de acesso no conector, estes sinais serão obtidos nos


Família 6020E

Conexão I/O

SC 20-50

Isoladores ópticos

digitais p/ I/O SC

20-60

Condicionado-

res de sinal 5B

e módulo 5B41

Conector

50 vias

Figura B.2: Diagrama de conexões entre a placa 6020E e os módulos de conexão acondicionadores de sinal.

Figura B.3: Painel de ligação 5B41 de 8 entradas e módulos B5(http://www.ni.com/products).

B.3. ESTRUTURA GERAL DO EQUIPAMENTO DE AQUISIÇÃO 239

pinos 23, 20 e 21 respectivamente AOGND, DAC0OUT e DAC1OUT, ou seja o terraou ponto comum analógico, a saída do D/A-0 e do D/A-1. Os pontos de acesso en-trada/saída dos 2 timers/counters são disponibilizados exclusivamente no conector de50 vias. Estes sinais são obtidos nos pinos 45, 43 e 33 respectivamente GPCTR0_OUT,GPCTR1_OUT e DGND, ou seja saída do timer1, saída do timer2 e terra digital.

O Labview pode funcionar independente do equipamento de aquisição. Neste caso sóé possível a realização de simulações com a linguagem G do Labview. Para entender ascaracterísticas básicas da linguagem G, encontra-se disponível na documentação básicado Labview os procedimentos de programação.

B.3.1 Características específicas do equipamento utilizado

As principais configurações de operação do equipamento de aquisição são listadas aseguir.

• Entradas analógicas: Operam nos canais 0 e 1 via elementos de isolação 5B41-03. Este elemento 5B só admite sinais entre ±10V e transfere para a placa deaquisição um sinal de ±5V, portanto apresenta um fator de escala (atenuação) de0.5. Cada um dos canais é isolado entre si.

• Saídas analógicas: Estas estão disponíveis somente no conector de 50 vias, comsaída entre ±10V.

• Portas digitais I/O: Todas as linhas são disponibilizadas na placa SC-2060, cujaoperação como entrada/saída é definida por programação.

• Sinais temporizados timer/counter : Estes sinais somente são disponíveis no co-nector de 50 vias em sinal TTL.

As placas SC-2050, SC-2060 e o painel de conexão de sinais entrada/saída 5B sãoacondicionadas em um gabinete com uma fonte de alimentação exclusiva de 5V paratodas as placas como ilustrado na Figura B.4.

Figura B.4: Módulo de conexões entrada/saída.


B.4 Tratamento de Sinais Analógicos Entrada e SaídaOs recursos de tratamento de sinais analógicos como entrada e saída por meio do La-view e sistema de aquisição de dados são resumidos a seguir. Todas as formas deentrada e saída de dados são acessadas na janela diagrama e na primeira linha do menuFUNCTIONS. Na ordem, são disponibilizados as entradas analógicas, saídas analógicas,entrada/saída digital e os timers/counters, tal como indicado na Figura B.5.

Figura B.5: Sinais entrada e saída no ambiente Labview.

B.4.1 Entrada analógica e VIs de leitura analógicaEm função do elemento de isolação 5B41 apresentados anteriormente, os sinais analó-gicos de entrada podem excursionar com amplitudes entre 10V .

A leitura do valor é feita pelo conversor A/D instalado na placa que opera comamplitudes ±5V , portanto como já dito ocorre uma atenuação de sinais na entrada.O acesso e modo de operação do A/D é estabelecido pelo usuário de acordo com aaplicação necessária. A leitura pode ser isolada a cada comando ou pode ser periódica epara isto diferentes formas de programação deve ser desenvolvida. No Labview existemvários elementos ou sub-VI’s exemplos de leitura e configuração do A/D.

As formas de leitura e configuração do A/D são disponibilizadas no sub-menu AnalogInput da primeira linha do menu FUNCTIONS e são descritas ou denominadas deacordo com a função específica: AI One Pt - AI Sample Channel, AI One Pt - AISample Channels respectivamente a configuração do A/D para aquisição de um pontoem um canal específico e um ponto em vários canais simultâneos. Em seguida tem-se AIMult Pt - AI Acquire Waveform e AI Mult Pt - AI Acquire Waveforms respectivamentepara aquisição de formas de onda em um canal ou em vários canais. Dentre estas váriasformas, somente algumas delas serão de utilidade nos experimentos de controle, porémum resumo das suas características é apresentado a seguir.

A diferença entre aquisição de ponto ou forma de onda é que no primeiro casoo A/D irá digitalizar um único ponto no canal ou canais especificados. No caso dewaveform o A/D é configurado para adquirir e digitalizar um conjunto de pontos deuma forma de onda ou sinal qualquer. Neste caso especifica-se um tamanho de memória

B.5. SAÍDA ANALÓGICA E VI’S DE ESCRITA 241

correspondente ao número de pontos desejados a uma taxa de amostragem definida.Operacionalmente, o caso waveform é indicado para aquisição de transitórios muitorápidos e não repetitivos. A operação é semelhante ao se fazer a captura de uma janelade tempo relativo a um sinal. Portanto não é muito indicado para operação em ciclo,pois a cada ciclo o A/D irá preencher o conjunto de dados de tamanho especificado antesde passar à operação seguinte. No caso de necessitar operar em ciclo com freqüênciasnão muito elevadas o sub-VI de aquisição de pontos em um ou mais canais é o maisindicado.

Na seqüência é indicada a forma de conexão do VI AI One Pt e que pode servir debase para a execução de outros modos de aquisição (Figura B.6). A primeira conexão deentrada é a conexão device para configurar a placa A/D. Se houver várias placas, cadauma delas é numerada de acordo.A segunda conexão refere-se ao canal de entrada dosinal. Isto corresponde a uma ligação física de um sinal analógico neste canal. O canalpadrão é o canal zero. As duas próximas conexões de entrada high limit e low limitreferem-se ao nível de amplitude do sinal de entrada. Como este valor é pre-estabelecidopelo isolador 5B41, não é necessário utilizar esta ligação.

A conexão de saída denominada sample fornece o valor digitalizado do sinal conec-tado ao canal estabelecido. A magnitude do valor lido estará entre os limites estabele-cidos pelo isolador. Este valor digitalizado pode então ser manipulado algebricamentee armazenado num vetor ou simplesmente ser indicado numa tela. Se utiliza-se umaconexão de saída do tipo forma de onda duas outras entradas devem ser especificadas, onúmero de amostras desejadas e a taxa de amostragem. A saída neste caso é um vetorde dimensão estabelecida pelo número de amostras. Em ambos os casos de aquisição deum ponto e de forma de onda, quando for requerido a aquisição de mais de um canal,será solicitado a designação dos respectivos canais que não necessitam ser seqüenciais.

Figura B.6: VI entrada do tipo um ponto.

B.5 Saída Analógica e VI’s de Escrita

O equipamento disponível permite produzir duas saídas analógicas a partir de um VIdesenvolvido no aplicativo Labview. Assim como os VIs de leituras, os VIs de escritarepresentam os modos de programação que configuram e operam os dois conversoresD/A da placa. As formas de geração de saídas analógicas são definidas pelos sub-VIsdisponíveis no menu FUNCTIONS Analog Output da janela Diagrama. Estas formassão equivalentes àquelas de entrada analógica, permitindo a saída de pontos ou formade onda em um ou mais canais simultâneos. Os valores analógicos em forma de tensãoserão coletados ou disponibilizados no conector de 50 vias (cabo plano) do gabinete deligaç ões externas. No nosso caso estes sinais poderão ser medidos nos terminais 20 ou21 com relação ao terminal terra 23.


Como exemplo é indicado na Figura B.7 a forma de conexões de um sub-VI de saídatipo forma de onda em vários canais simultâneos ou seja, AO Generate Waveforms, porexemplo no canal 2 e no 7 a uma taxa de atualização de 100 Hz. As respectivas formasde ondas geradas não são mostradas.

Figura B.7: VI saída do tipo forma de onda.

Apêndice C

Interfaces Gráficas do ToolboxFuzzy Logic do MATLAB

No Toolbox Fuzzy Logic há cinco GUI (Grafical User Interface) para construir, editare analisar sistemas fuzzy: Fuzzy Inference System Editor ou FIS Editor, MembershipFunction Editor, Rule Editor, Rule Viewer e Surface Viewer. Na tela de comando doMatlab deve-se digitar fuzzy para inicializar o Toolbox Fuzzy. Segue descrição de cadauma das interfaces citadas.

C.1 FIS Editor

O FIS Editor mostra informações gerais sobre um modelo fuzzy. A Figura C.1 ilustrao ambiente do editor FIS. Os diagramas no topo mostram os nomes de cada variávelde entrada na esquerda, e o nome das variáveis de saída na direita. Abaixo destediagrama há o nome do sistema e o tipo de inferência usada (Mamdani no caso). Abaixodo nome do sistema, podem ser selecionados os métodos interseção (and), união (or),implicação (implication), agregação (aggregation) e defuzzificação (defuzzification). Naárea "current variable", pode-se visualizar as características de cada uma das variáveis.A seguir, são explicados resumidamente cada um dos métodos, na seqüência em queeles são executados pelo controlador.

• Métodos de interseção (and method) - são empregados para funções de pertinênciade universos diferentes, quando existir mais de uma premissa com conectivo "e":min: mínimo entre as funções de pertinência;prod: produto entre as funções de pertinência;Custom: pode ser definida pelo usuário.

• Métodos de união (or method) - são empregados para funções de pertinência deuniversos diferentes, quando existir mais de uma premissa com conectivo "ou":

max: máximo entre as funções de pertinência;probor: método probabilístico, é calculado de acordo com a equação;Custom: pode ser definida pelo usuário.

243

244APÊNDICE C. INTERFACES GRÁFICAS DO TOOLBOX FUZZY LOGIC DO MATLAB

• Métodos de implicação - são empregados na inferência fuzzy para determinara função de pertinência da saída em função do valor assumido pela função depertinência da variável de entrada para uma determinada entrada:min: mínimo entre o valor assumido pela função de pertinência de entrada e afunção de pertinência de saída;prod: produto entre o valor da função de pertinência da entrada e a função depertinência da saída.

• Métodos de agregação - é o modo de combinar funções de pertinência de saídacaso mais de uma condição seja atendida:max: máximo entre as funções de ponderação;sum: soma entre as funções de ponderação;probor: probabilístico;Custom: definida pelo usuário.

• Métodos de defuzzificação - é o modo como uma variável do domínio fuzzy é trans-formada para uma variável do domínio real:centroid: centro de massa das áreas delimitadas pelas funções de pertinência, é omais utilizado e não produz descontinuidades, mas exige grande esforço computa-cional para o cálculo da integral;bisector: determina o ponto que divide a área delimitada pelas funções de perti-nência em duas partes iguais, não é muito utilizado em controle porque apresentafortes descontinuidades;mom: média do máximo u final é a média dos valores de saída referentes aos picosdas funções de pertinência;lom: maior dos máximos u final é o maior dos valores de saída em módulo refe-rentes aos picos das funções de pertinência, também apresenta fortes descontinui-dades;som: menor dos máximos u final é o menor dos valores de saída em móduloreferentes aos picos das funções de transferência, também apresenta fortes des-continuidades.Custom: definida pelo usuário.

C.2 Editor de Funções de Pertinência

A interface de funções de pertinência permite adicionar e editar as funções de perti-nência relacionadas a cada uma das entradas e saídas do sistema, Figura C.2. Paraadicionar funções de pertinência relacionadas a uma determinada entrada ou saída, se-lecione uma destas na região "FIS Variables", no item Edit do menu selecione AddMFs.... Uma nova janela aparecerá, onde poderão ser selecionados o tipo e número defunções de pertinência que se deseja adicionar. Na área "Current Membership Func-tions", pode-se alterar o nome, tipo e parâmetros (forma), da função de pertinênciapreviamente selecionada na área "Membership Functions Plots". Na área "Current Va-riable", estão descritos o nome e o tipo (saída/entrada) da variável selecionada. Nocapo "Range"pode-se definir o universo de discurso da variável em questão.

C.3. VISUALIZADOR DE REGRAS 245

Figura C.1: Estrutura do FIS editor.

C.2.1 Editor de RegrasUma vez definida a estrutura de entrada e saída do sistema de inferência, a base de regrasé construída utilizando-se o editor de regras ilustrado na Figura C.3. Para adicionaruma regra, deve-se selecionar os itens de entrada, um item no campo da saída e umtipo de conectivo. O número entre parênteses representa o peso de cada regra.

C.3 Visualizador de RegrasO visualizador de regras pode ser usado para simular uma determinada escolha para osvalores das entradas, e então, verificar o resultado nos processos de fuzzificação, impli-cação, agregação e defuzzificação. Na Figura C.4 é mostrado o resultado da inferênciafuzzy para uma situação específica das variáveis de entrada e e de/dt.

246APÊNDICE C. INTERFACES GRÁFICAS DO TOOLBOX FUZZY LOGIC DO MATLAB

Figura C.2: Estrutura do editor de funções de pertinência.

Figura C.3: Estrutura do editor de regras.

C.3. VISUALIZADOR DE REGRAS 247

Figura C.4: Estrutura do editor de regras.

controle de sistemas dinâmicos teoria e laboratório · figura 1.1: diagrama esquemático de um...

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