controle de processos professor: argimiro facilitador: perez
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4
O que é o Controle Preditivo Multivariável
PC
carga
split-range
líquido condensado
gás nãocondensado
CA
TriSolutions [2]
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6
FI
Controladavazão
Manipulada(Abertura)
retiradaproduto
TriSolutions [2]
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7
FI
Setpoint FC
retiradaproduto
FC
Controladavazão
Manipuladaabertura
TriSolutions [2]
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8
FI
Controladatemperatura
manipulada Setpoint FC
retiradaproduto
FC
TI
TriSolutions [2]
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9
FI
retiradaproduto
FC
TI TC manipulada Setpoint FC
Controladatemperatura
TriSolutions [2]
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10
FI
controlada
retiradaproduto
FC
TI TC
manipulada Setpoint TC
TriSolutions [2]
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11
FI
retiradaproduto
FC
TI TC
manipulada Setpoint TC
ControladaPfe e vazão produtoCPM
Faixasde controle
TriSolutions [2]
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12
OBJETIVOS
• Conceitos Básicos de Controle Preditivo• Fases de Implantação
– Elaboração do Projeto conceitual– Identificação de Processos– Ajustes dos modelos– Implantação– Sintonia
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14
Problema de otimização
Elementos importantes na Otimização:• Função Objetivo• Variáveis• Restrições• Graus de Liberdade
Otimização
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15
Função Objetivo
• Indicador quantitativo da solução• É um escalar• Funções econômicas (lucros,custos)• Critérios de desempenho
somatório dos erros ao quadrado
Otimização
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16
Variáveis
• Dimensões de equipamentos• Condições de operação• Saídas para o controle regulatório (u)• As variáveis podem ser:
•Variáveis Independentes ou de decisão ou de otimização•Variáveis Dependentes
Otimização
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17
Restrições
• Relação entre variáveis• Podem ser inequações ou equações
• Balanços geram equações• Limites de Operação geram inequações
Otimização
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18
Graus de Liberdade
• Número de variáveis – Número de equações • Em uma simulação, o grau de liberdade é zero• Em um problema de otimização, o grau de liberdade deve ser maior que zero.
Otimização
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19
O Problema de OtimizaçãoMin f(y,u,x)sujeito a:
h(y,u,x) = 0g(y,u,x) < 0onde:y: variáveis discretasx: variáveis contínuasu: variáveis de decisão
Otimização
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20
Resolução de um Problema de OtimizaçãoPara resolver o problema de otimização:1. Programação Linear (LP)2. Programação Não Linear (NLP)3. Programação Quadrática (QP)4. Programação Mista Inteira Linear (MILP)5. Programação Mista Inteira Não Linear
(MINLP)
Otimização
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21
1. Programação Linear (LP)
Todas funções são lineares → f, g e h são lineares
Não há variáveis discretas (y=0)
Otimização
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22
2. Programação Não Linear (NLP)
Pelo menos uma função é não linear → f, g e/ou h não linear
Não há variáveis discretas (y=0)
Otimização
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23
3. Programação Quadrática (QP)
É um caso especial da NLP onde a função objetivo é do tipo quadrática
Não há variáveis discretas (y=0)
Otimização
AXXXCxf TT
Quadrático
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24
Otimização
2
222212121122
111
222121
21211121
2
1
2221
121121
xaxxaxxaxa
xaxaxaxa
xxxx
aaaa
xx
AXX T
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25
4. Programação Mista Inteira Linear (MILP)
Todas funções são lineares → f, g e h são lineares
Há variáveis discretas (y≠0)
Otimização
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26
5. Programação Mista Inteira Não Linear (NMILP)
Pelo menos uma função não é linear → f, g e/ou h não lineares
Há variáveis discretas (y≠0)
Otimização
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27
Controladores Preditivos• Histórico dos MPC’s:
o MAC – Model Algorithmic Control – 1976o DMC – Dynamic Matrix Control – Cutler,
1979o LDMC – Linear Dynamic Matrix Control,
1983 - utilizado no SICON da Petrobraso QDMC – Quadratic Dynamic Matrix
Control – Morshedt, 1985
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28
Algoritmo de Um MPC 1 - Através de um modelo implementado no controlador,
o MPC é capaz de realizar a predição do comportamento da saída do processo, levando em consideração as entradas de controle atuais e futuras.
2 - Esta predição deve ser corrigida, a cada intervalo de instante, por uma leitura da planta. Um MPC opera, tipicamente, com intervalos de tempo na faixa de um minuto.
3 - Em cada iteração, o controlador calcula uma sequência de ações de controle que minimiza a função do erro das saídas previstas até um horizonte definido como horizonte de predição. O tamanho desta sequência é definido como horizonte de controle.
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29
Algoritmo de Um MPC
4 - Após resolver o problema de otimização descrito no item 3, o controlador implementa na planta apenas a primeira ação de controle dentre a sequência de ações calculadas que vão do intervalo de instante atual até o intervalo correspondente ao horizonte de controle m ajustado no controlador.
5 - O controlador aguarda o próximo intervalo de tempo para retornar ao item 1.
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30
Controladores Preditivos• O MPC é baseado em modelos lineares.
• Representação do processoo Resposta ao impulsoo Resposta ao degrauo Através de funções de transferência
Contínua Y(s)/u(s) = GP(s)=Q(s)/P(s) Discreta Y(z)/u(z) = HGP(z)=Q(z)/P(z)
o Através de variáveis de estado (equações em espaço de estados) x(k+1)=Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) → um sistema normalmente não
responde imediatamente a entrada. Portanto, em um sistema real, D = 0.
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33
Resposta ao FIR
u y
1 2 3 41 2 3 4
1 pulso unitário
h1
h2
h3
h4
t t
Modelo obtido a partir da resposta ao impulso (FIR: Finitive Impulse Response)Não tem sentido se falar em impulso em um sistema digital. Apenas em pulso
unitário.hi : Valor da saída no instante i após a aplicação do pulso – coeficientes da
resposta ao impulso.
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34
Resposta ao FIR
Considerando um período de estabilização N
1
N
jj
y k i h u k i j
iy k i hu k
Para um dado instante i
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35
Resposta ao FIRSe considerarmos que a cada novo instante j, o MPC aplica um
pulso de valor u(k+j)
1 2 31 2 3
i
y k i h u k i h u k i h u k i
hu k
1
i
jj
y k i h u k i j
Portanto, no instante i genérico
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37
Controladores Preditivos• Para a obtenção do modelo incremental (a partir de Δu), ao
invés do modelo posicional:
onde: u u uk i k i k i 1 1
y h uk ii
N
k i
11
1
y y h uk k ii
N
k i
11
1
y h uk ii
N
k i
1
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39
Controladores Preditivos• Equação da Predição
'Pk N k
y Pk N k
y u
S1u S2u
y
kT
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40
Controladores Preditivos• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a 1
'1 1 1
P Pk kk k
y h u k y
'2 1 2 21P P
k kk ky h u k h u k y
'2 1 2 2
P Pk kk k
y h h u k y
'2 2 2
P Pk kk k
y S u k y
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41
Controladores Preditivos
'3 1 2 3 32 1P P
k kk ky h u k h u k h u k y
'P Pk N N k Nk k
y S u k y
' '3 1 2 3 3 3 3
P P Pk k kk k k
y h h h u k y S u k y
• Generalizando para o instante N
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42
Controladores Preditivos
• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a 2
'Pk N k
y Pk N k
y u(k)
S1u S2u
y
kT
u(k+1)
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43
Controladores Preditivos• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a m
'1 1 1
P Pk kk k
y S u k y
'2 2 1 21P P
k kk ky S u k S u k y
'3 3 2 1 31 2P P
k kk ky S u k S u k S u k y
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44
Controladores Preditivos• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a m
1
'2 1
1
2 1
Pk m m mk
Pk m k
y S u k S u k
S u k m S u k m y
1 1
'2 1
1
+ 1
Pk m m mk
Pk m k
y S u k S u k
S u k m S u k m y
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45
Controladores Preditivos• Equação da Predição
'11 1
'2 12 2
'1 1
Matriz Dinamica
0 010
1
P Pk kP Pk k
P PN N N mk N k Nk
u kSy yu kS Sy y
u k mS S Sy y
'P Py S u y 1Py N ' 1Py N 1u m
S N m
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46
Função Objetivo
2 2 2 21 2 3min npJ e e e e
ondeei: erro entre setpoint e predição no instante
k+i
min TJ e e 1e np
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48
DMC Caso SISO
'1 1 2 3 11 2P P
k kk ky h u k h u k h u k y
'1 11
P P Pk kk k kk
y y y
1 2 31 1 2P
kk
y h u k h u k h u k
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49
DMC Caso SISO
11
1 (1)NP
ikk i
y hu k i
1 1
(2)NP
ikk i
y hu k i
11 1 1
1N NP P
i ik kk k i i
y y hu k i hu k i
11 1
1NP P
ik kk k i
y y h u k i u k i
11 1
1 (3)NP P
ik kk k i
y y h u k i
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50
DMC Caso SISO
1 21 1 2
P P
k j k jk k
N
y y h u k j h u k j
h u k j N
11
(4)NP P
ik j k jk k i
y y h u k j i
Para um instante j qualquer
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51
DMC Caso SISOIncluindo a realimentação
11
(5)NC C
ik j k jk k i
y y h u k j i
1 1
C C P P
k j k j k j k jk k k k
y y y y
1 1
C P C P
k j k j k j k jk k k k
y y y y
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52
Predição do DMC Caso SISO
11
1NC C
ik kk k i
y y h u k i
1 2 31 1 2
C
k kk
y y h u k h u k h u k
1
112
1NC
ik kk i
y y h u k h u k i
1 11 (6)C
k kk
y y S u k
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53
Predição do DMC Caso SISO
2 11
2NC C
ik kk k i
y y h u k i
1 2 3 42 1
desconhecido desconhecido conhecido conhecido
1 1 2C C
k kk k
y y h u k h u k h u k h u k
2
1 22 13
1 2NC C
ik kk k i
y y h u k h u k h u k i
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54
Predição do DMC Caso SISO 1 1 1 2 22 1
C
k kk
y y S u k h u k h u k
1 1 2 1 22 1C
k kk
y y h u k S h u k
2 1 1 22 1 (7)C
k kk
y y S u k S u k
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55
Predição do DMC Caso SISO
3 21
3NC C
ik kk k i
y y h u k i
1 2 3 43 2
desconhecido desconhecido desconhecido conhecido
2 1 1C C
k kk k
y y h u k h u k h u k h u k
3
1 2 33 24
2 1 3NC C
ik kk k i
y y h u k h u k h u k h u k i
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56
Predição do DMC Caso SISO
1 2 1 2 1 2 3 33 1 2 1C
k kk
y y S u k S u k h u k h u k h u k
3 2 1 1 2 33 1 2 (8)C
k kk
y y S u k S u k S u k
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57
Predição do DMC Caso SISO
1
j
j nn
P
1 11
C
k kk
y y S u k P
2 1 22 1C
k kk
y y S u k S u k P
3 2 1 33 1 2C
k kk
y y S u k S u k S u k P
1 2 11 2 1C
j j j jk j kk
y y S u k S u k S u k S u k j P
![Page 58: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Predição do DMC Caso SISO
1
11
22 12
3 2 13
1 2 3 11
1 2 2 1
0 0 0 00 0 0 1
0 0 2
0 21
C kkC
kkCk
Cnp np npk np
Cnp np npk np k
y PS u kyy PS S u ky
S S S u ky
S S S S u k npyS S S S S u k npy
3
1
(9)k
npk
npk
y P
y P
y P
Ck
y S u y P
![Page 59: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Predição do DMC Caso SISO
11
2 12
3 2 13
1 2 3 11
1 2 2 1
0 0 0 00 0 0 1
0 0 2
0 21
C kkCkCkSP SP
Cnp np npk np
Cnp np npk np k
yS u kyS S u kyS S S u ky
y y
S S S S u k npyS S S S S u k npy
1
2
3
1
k
k
npk
npk
P
y P
y P
y P
y P
11
2 12
3 2 13
1 2 3 11
1 2 2 1
0 0 0 00 0 0 1
0 0 2
0 21
SP Ck
SP Ck
SP Ck
SP Cnp np npk np
SP Cnp np npk np
S u ky yS S u ky yS S S u ky y
S S S S u k npy yS S S S S u k npy y
1
2
3
1
SPk
SPk
SPk
SPnpk
SPk npk
y y P
y y P
y y P
y y P
y y P
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60
Predição do DMC Caso SISO
1 11
2 1 22
3 2 13
1 2 3 11
1 2 2 1
0 0 0 00 0 0 1
0 0 2
0 21
kk
kk
kk
np np npk np
np np npk np k
S e Pu keS S e Pu keS S S e Pu ke
S S S S u k npeS S S S S u k npe
3
1k np
k np
e Pe P
ke S u e P 'ke e P
' (10)e S u e
Definindo
![Page 61: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Predição do DMC Caso SISO
11
2 12
3 2 13
1 2 3 11
1 2 2 1
0 0 0 00 0 0 1
0 0 2
0 21
k
k
k
np np np np mk np
np np np np m np mk np k
S eu keS S u keS S S u ke
S S S S u k meS S S S S u k me
1
2
3
1
k
k
k
k np
k np
Pe Pe P
e Pe P
1e np
1u m
' 1e np
S np m
![Page 62: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Função Objetivo
' 'TJ S u e S u e
' ' ' 'T TT TJ S u e S u e u S e S u e
' ' ' 'T TT T T TJ u S S u u S e e S u e e
' (10)e S u e TJ e e
![Page 63: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Função Objetivo
' '2 0 0TT TJ S S u S e e S
u
'2 2T TS S u S e 1 ' (11)T Tu S S S e
1u m
' 1e np
S np m
![Page 64: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Função Objetivo Modificada
(12)T TJ e e u R u
1
2
00 0
0 0 m
RR
R
R
1 ' (13)T Tu S S R S e
![Page 65: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/65.jpg)
65
k
Leitura da planta yk
e'=ySP- yk - Pk=k+1
Cálculo das ações de controle
Predição
Cálculo das ações passadas
Fluxograma DMC
1 'T Tu S S R S e
Ck
y S u y P 1
N
n ii n
h u k n i
1
j
j nn
P
![Page 66: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/66.jpg)
66
O Problema MIMO
MIMO (nu X ny)
.
.
....
DMC Caso MIMO
1 2
TTnyy y y y
1 2TT
nuu u u u
![Page 67: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/67.jpg)
67
DMC Caso MIMO
1 1
(2)NP
ikk i
y hu k i
, ,,1 1 1
N nuP
j l i lj kk i l
y h u k i
![Page 68: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Para a variável controlada j = 1
DMC Caso MIMO
1,1,1 1 1,2,1 2 1, ,11,1
1,1,2 1 1, ,2
1,1, 1 1,2, 2 1, ,
1 1 1
2 2
P
nu nukk
nu nu
N N nu N nu
y h u k h u k h u k
h u k h u k
h u k N h u k N h u k N
, ,1 1
ny nu
j l iij l
H h
Para cada variável controlada j de 1 a ny
![Page 69: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/69.jpg)
69
• Definindo
DMC Caso MIMO
11, 12, 1 ,
21, 22, 2 ,
1, 2, ,
i i nu i
i i nu ii
ny i ny i nynu i
h h hh h h
H
h h h
iH ny nu
![Page 70: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/70.jpg)
70
DMC Caso MIMO
1 1
NP
ikk i
y H u k i
, ,,1 1 1
N nuP
j l i lj kk i l
y h u k i
![Page 71: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/71.jpg)
71
A predição para o instante k+1
DMC Caso MIMO
1
1
1NP
ikk i
y H u k i
1
1 1 1 1
1 1N N NP P
i i ik kk k i i i
y y H u k i H u k i H u k i
1 1
NP
ikk i
y H u k i
![Page 72: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Generalizando a predição para o instante k+j
DMC Caso MIMO
1 1
NP P
ik j kk k j i
y y H u k j i
![Page 73: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Corrigindo a predição
DMC Caso MIMO
1 1
C P C P
k j k j k j k jk k k k
y y y y
1 1
C C P P
k j k j k j k jk k k k
y y y y
1
1
NC C
ik j k jk k i
y y H u k j i
![Page 74: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Predição j=1
DMC Caso MIMO
1
1
Valor Atual lido da Planta
1NC C
ik kk k i
y y H u k i
![Page 75: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Predição j=1
DMC Caso MIMO
1 2 31Valor desconhecido Passado
1 2C
k kk
y y H u k H u k H u k
1
112
1NC
ik kk i
y y H u k H u k i
1
1 11
C
k kk P
y y S u k
![Page 76: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Predição j=2
DMC Caso MIMO
2 1
1
2NC C
ik kk k i
y y H u k i
1 121
2NC
ik kk i
y y S u k H u k i
1 1 1 2 321 1
C
k kk
y y S u k H u k H u k H u k
1 1 2 1 321 1
C
k kk
y y H u k H H u k H u k
![Page 77: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Predição j=2
DMC Caso MIMO
1 1 2 1 321 1
C
k kk
y y H u k H H u k H u k
2
1 2 123
1 2NC
ik kk i
y y S u k S u k H u k i
2
1 2 1 221
C
k kk
P
y y S u k S u k
![Page 78: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Predição j=3
DMC Caso MIMO
3 2
1
3NC C
ik kk k i
y y H u k i
1 2 1 231
1 3NC
ik kk i
y y S u k S u k H u k i
1 2 1 2 1 2 33
4
1 2 1
1
C
k kk
y y S u k S u k H u k H u k H u k
H u k
![Page 79: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Predição j=3
DMC Caso MIMO
1 2 3 1 2 432 1 1
C
k kk
y y S u k S u k S u k H u k
3
1 2 3 1 234
2 1 3NC
ik kk i
y y S u k S u k S u k H u k i
3
1 2 3 1 2 332 1
C
k kk
P
y y S u k S u k S u k
![Page 80: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/80.jpg)
80
Predição um instante j genérico
DMC Caso MIMO
1 2 3
1 2 3
1 2 3
j
C
k j kk
i j j
P
y y S u k j S u k j S u k j
S u k j i S u k
![Page 81: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/81.jpg)
81
• Montando a predição em modelo de matriz
DMC Caso MIMO
11
2 12
3 2 13
1 2 1
0 0 0
0 0 10 2
1
C
ny nu ny nu ny nuk kC
ny nu ny nuk kC
ny nukk
C np np np np mkk np
y S yu k
S Sy yu kS S S u k yy
u k mS S S S yy
1
2
3
np
P
P
P
P
Cky S u y P
1
i
i nn
P
1
N
n lj n
H u k n j
![Page 82: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/82.jpg)
82
DMC Caso MIMO• Cada matriz kS
2 1 2S H H 1
k
k ll
S H
11, 12, 1 ,
21, 22, 2 ,
1, 2, ,
l l nu l
l l nu ll
ny l ny l nynu l
h h hh h h
H
h h h
![Page 83: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/83.jpg)
83
DMC Caso MIMO• Subtraindo o set point para gera o vetor de erros
CSP SPky y y S u y P
'
k
e
e S u e P
'e S u e
![Page 84: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/84.jpg)
84
DMC Caso MIMO• Função Objetivo
' 'T TJ S u e S u e u R u
' ' ' 'T TT T T T TJ u S S u u S e e S u e e u R u
' '2 2 0TT TJ S S u S e e S R u
u
1 'T Tu S S R S e
![Page 85: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/85.jpg)
85
DMC Caso MIMO• Vetor de soluções
,
1
1
k
k
k j
k m
uu
uu
u
1,
2,
,
, 0,1 1
k j
k jk j
nu k j
uu
u j m
u
,
![Page 86: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/86.jpg)
86
DMC Caso MIMO• Matriz R
1
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
nu nu nu nu nu nuk
nu nu nu nu nu nuk
nu nu nu nu nu nuk j
nu nu nu nu nu nu k m
R
R
RR
R
1 0, 0,1 1
0k j
nu k j
rR j m
r
,
![Page 87: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/87.jpg)
87
DMC Caso MIMO• Derivando e igualando a zero a função objetivo
T T TJ e W W e u R u
1 'T T T Tu S W W S R S W We
0Ju
![Page 88: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/88.jpg)
88
DMC Caso MIMO• Função Objetivo Modificada
T T TJ e W W e u R u
1
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
kny ny ny ny ny ny
kny ny ny ny ny ny
k jny ny ny ny ny ny
k npny ny ny ny ny ny
W
W
WW
W
1
2
0 00 0
, 1,2
0 0
k j
ny
WW
W j np
W
![Page 89: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/89.jpg)
89
QDMC
T T TJ e W W e u R u
'e S u e
'
' ' '
TT T T T
TT T T T
J u S W W S R u e W W S u
u S W We e W We
![Page 90: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/90.jpg)
90
QDMC
' ' '2T TT T T T TJ u S W W S R u e W W S u e W We
'2Tf
TT T T T
CH
J u S W W S R u e W W S u
![Page 91: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/91.jpg)
91
QDMC• Problema QDMC
2T TfJ u H u C u
max maxu u u
min maxu u u
min max
Cy y y
T TH S W W S R
'T TTfC e W W S
s.a
![Page 93: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/93.jpg)
93
DMC por realinhamentoInício
Leitura da planta yk
yP= yk
Cálculo das ações de controle
Leitura da planta yk
1
1
1C P
k k
P C
k
y y S u k d k
y M y
min 2T Tfu
J u H u C u
1
P P
k
u k
y y S u k
k k
1 111
P
k kkk
d y y S u k
'
'
sp p
TT Tf
T T
e y y
c e W WS
H S W WS R
![Page 95: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/95.jpg)
95
DMC por realinhamento
11 1
2 1 22
3 2 1 33
1 2 1
0 0 0
0 0 10 2
1
C
ny nu ny nu ny nuk kC
ny nu ny nuk k
Cny nu
kk
C np np np np mk
k np
y S y Pu k
S Sy y Pu kS S S u k y Py
u k mS S S S y Py
np
![Page 96: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/96.jpg)
96
DMC por realinhamento
1 2
1
P P
k kk k
y y
• Cuttler propôs o realinhamento
• Inserindo as ações de entrada
21 21
P P
k kk k
y y S u k
![Page 97: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/97.jpg)
97
DMC por realinhamento• A predição em k+1 para um instante genérico j
111
P P
jk j k jk k
y y S u k
![Page 98: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/98.jpg)
98
DMC por realinhamento• Predição até o horizonte np
1
2
3
1
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0
P
ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyk
Pny ny ny ny ny ny ny ny ny ny
kny ny ny ny ny ny ny ny ny nyP
k
ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyP
ny ny ny ny ny ny nyk np k
y IIy
y
I
y
1
2
3
0 0 0 00 0 0 00 0 0
P
k
P
k
P
k
Pny ny ny
k np kM
ny ny ny ny ny ny ny ny ny ny
ny ny ny ny ny ny ny ny ny ny
ny ny ny ny ny
y
y
y
I y
II
1
2
3
0 0
0 0 0 00 0 0 0
ny ny ny ny ny
ny ny ny ny ny ny ny ny ny ny
npny ny ny ny ny ny ny ny ny nySM
S
S
S u k
ISI
1
P P
k ky M y M S u k
. .M np ny np ny
.S np ny nu
![Page 99: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/99.jpg)
99
DMC por realinhamento• Predição para o instante np
1
1 1
P P P
k np k np k npk k k
y y y
• Correção da Predição
1 11 1
P
k k kk
d y y S u k
![Page 100: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/100.jpg)
100
DMC por realinhamento
1
2
3
1
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0
C
ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyk
Cny ny ny ny ny ny ny ny ny ny
kny ny ny ny ny ny ny ny ny nyC
k
ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyC
ny ny ny ny ny ny nyk np k
y IIy
y
I
y
11 1
2 2 1
133
1
P
kkP
k kP
kk
kP npny ny nyk np k
M
y S dy S d
S u k dy
dSI y
![Page 101: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/101.jpg)
101
LDMC• Função Objetivo do LDMC
' ' '2TT T T T T TJ u S W W S R u S W W e u e W We
'2 2T T T TJ S W W S R u S W W eu
'T T T TS W W S R u S W W e
![Page 103: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/103.jpg)
103
LDMC• Função Objetivo do LDMC
.
1
minm nu
iu i
0 0i i i ix z
0 0i i i iz x
i i ix z
![Page 104: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/104.jpg)
104
LDMC• Problema LDMC
.
1
minm nu
i i iu i
x z
'T T T Ti ix z S W W S R u S W W e
max maxu u u
min maxu u u
0; 0;i ix z
sujeito a
![Page 105: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/105.jpg)
105
LDMC• Se não tivermos restrições ativas
' 0T T T Ti ix z S W W S R u S W W e
'T T T TS W W S R u S W W e
1 '
DMC
T T T T
K
u S W W S R S W W e
'DMCu K e
![Page 106: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/106.jpg)
106
LDMC'
DMCu K e
11 12 1 '
'21 22 2
'
1 2
11 2
1
np
np
m m mnp
K K Ku k e k
K K Ku k e k
u k m e k npK K K
'11 12 1 1Nu k K K K e k
![Page 107: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/107.jpg)
107
MPC em Malha Fechada• Equação de Predição do DMC com matriz de
realinhamento
1
1C P
k ky M y M S u k d k
1x k Ax k Bu k
y k Cx k
0 0ny ny nyC I
![Page 108: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/108.jpg)
108
MPC em Malha Fechada
1
1
planta k
P
prediçao k
y k C y S u k
y k C y S u k
1 2
T
k k k k N ky y y y
1 2
T
NS S S S
![Page 109: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/109.jpg)
109
MPC em Malha Fechada
1P
k kd k C y S u k C y S u k
1
1
planta k
P
prediçao k
y k C y S u k
y k C y S u k
![Page 110: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/110.jpg)
110
MPC em Malha Fechada
1
1C P
k ky M y M S u k d k
1P
k kd k C y S u k C y S u k
1
C P P
Fk k k ky M y M S u k K C y S u k C y S u k
![Page 111: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/111.jpg)
111
MPC em Malha FechadaT
F ny ny nyK I I I
1 2
TP P P P
k k k k Nk
y y y y
![Page 112: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/112.jpg)
112
1
C P
F F F Fk k ky M K C y M S K CS K CS u k K C y
MPC em Malha Fechada
1
C P P
Fk k k ky M y M S u k K C y S u k C y S u k
1
C P P
F F F Fk k k ky M y M S u k K C y K CS u k K C y K CS u k
1
C P
F F Fk k ky M K C y M S K C S S u k K C y
• Predição do modelo no controlador
![Page 113: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/113.jpg)
113
MPC em Malha Fechada
1
C P P
Fk k k ky M y M S u k K C y S u k C y S u k
• Predição para a planta
1
P
k ky M y M S u k
![Page 114: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/114.jpg)
114
MPC em Malha Fechada• Sistema Controlador e Processo
10
PCFF F
k k
M S K C S SM K C K C yyu k
M yy M S
1x k Ax k B u k
y k Cx k
![Page 115: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/115.jpg)
115
MPC em Malha Fechada• Subtraindo do set point
10
PCSP SPFF F
SP SP
k k
M S K C S Sy y M K C K C yyu k
My y yy M S
10 0
PCSP SPFF F F F
SP SP
k k
M S K C S Sy yM K C K C M K C K C yyu k
M My y yy M S
![Page 116: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/116.jpg)
116
MPC em Malha Fechada
' '
' '1
0
FF F
k k
M S K C S Se eM K C K Cu k
Me e M S
'
DMCu K e
'' '
' ' '1
0
DMCFF F
DMCk kk
K eM S K C S Se eM K C K C
Me e K eM S
![Page 117: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/117.jpg)
117
MPC em Malha Fechada• Autovalores de A definem a estabilidade da malha
fechada
*
' '
' '1
1
F F DMC F
k kDMCx kx k
A
M K C M S K C S S K K Ce e
e eM SK M
![Page 118: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/118.jpg)
118
MPC em duas camadas• Autovalores de A definem a estabilidade da malha
fechada
Camada de Otimização (LP ou QP)
MPC (DMC, QDMC, LDMC)
ySP uirv
ySS
uk-1
![Page 119: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/119.jpg)
119
MPC em duas camadas• Predição do MPC
11 1
2 1 22
3 2 1 33
1 2 1
0 0 0
0 0 10 2
1
C
ny nu ny nu ny nuk kC
ny nu ny nuk k
Cny nu
kk
C np np np np mk
k np
y S y Pu k
S Sy y Pu kS S S u k y Py
u k mS S S S y Py
np
1 2 1
12
1
C
npnp np np np mk np k
u ku k
y S S S S u k y P
u k m
P
k npy
![Page 120: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/120.jpg)
120
MPC em duas camadasnp→∞
1 2 1
12
1
C P
mk k
u ku k
y S S S S u k y
u k m
NS S
P P
k k Ny y
12
1
C P
N N N Nk k N
u ku k
y S S S S u k y
u k m
![Page 121: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/121.jpg)
121
MPC em duas camadas
12
1
C P
N N N Nk k N
u ku k
y S S S S u k y
u k m
1
0
mC P
Nk k Ni
y S u k i y
![Page 122: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/122.jpg)
122
MPC em duas camadas
1
0
mC P
Nk k Ni
y S u k i y
1
0
1 1 1 1m
i
u k i u k u k u k m u k m u k
1 1C P
Nk k Ny S u k m u k y
1u k u k
![Page 124: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/124.jpg)
124
MPC em duas camadas• A camada interna do MPC está preocupada com a dinâmica para se atingir o setpoint definido pela camada externa, tendo como índice o
somatório quadrático dos erros durante o horizonte de predição do controlador.• A camada externa de otimização está preocupada em definir esse setpoint, também chamado de target, observando, normalmente,
aspectos econômicos. Dentro desta camada de otimização tem-se apenas a informação do ganho estático, visto que a dinâmica não é relevante para esta camada, enquanto que na camada do MPC a informação completa do processo, dinâmica e estática, é importante.
![Page 125: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/125.jpg)
125
MPC em duas camadas
1 1C P
Nk k Ny y S u k m u k
1
C PSS kNSS k N
y y S u u
![Page 126: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/126.jpg)
126
MPC em duas camadasC
SSy
P
k Ny
NS
1ku
SSu irvu
: predição para o novo estado estacionário obtido de uma função objetivo econômica
: situação no futuro N caso nenhuma ação de controle seja tomada
: ganho estático do processo
: valor atual das manipuladas
: valor desejado para as variáveis manipuladas,
![Page 128: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/128.jpg)
128
MPC em duas camadas• Programação Linear na camada superior
,minCSS SS
T C TSSy SS uy u
p y p u
1
C PSS kNSS k N
y y S u u
min maxSSu u u
min max
C C C
SSy y y
s. a. C
SSy
SPy
SSu irvu
![Page 129: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/129.jpg)
129
MPC em duas camadas• Se o modelo fosse exatamente o real, ao definir a controlada, fica definida a manipulada e vice-versa. Como isso não ocorre, não conseguimos satisfazer o par controlada-
manipuladas desejado.
• Ex: Se o ganho estático do modelo for maior que o real, tem-se, para um dado yss, um valor menor de u1 que poderia ser retirado:
1
C PSS kNSS k N
y y S u u
1
C P
SS k NSS k
N
y yu u
S
![Page 130: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/130.jpg)
130
MPC em duas camadas• Para resolver este problema, a função objetivo do MPC
pode ser alterada:
1 1TT T T
k m irv k m irvuJ e W W e u u R u u u R u
![Page 131: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/131.jpg)
131
QDMC em duas camadas• Função objetivo do QDMC em duas camadas
1 11
1
1
k kk m nu nu nu
u ku k
u I I I u I u u
u k m
1 1 1 1
TTk m irv k m irv k irv k irvu u
u u R u u I u u u R I u u u
![Page 132: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/132.jpg)
132
QDMC em duas camadas 1 1 1 1
TTk m irv k m irv k irv k irvu u
u u R u u I u u u R I u u u
1 1 1
1 1 1 1 1
T TT T Tk irv k irv k irvu u u u
T TT T T T T Tk k k irv k irv k irv irv irvu u u u u u
I u u u R I u u u u I R I u u R I u u R I u
u I R u u R u u R u u I R u u R u u R u
1 1 1
1 1
2T T TT
k irv k irv k irvu u u
Tk irv k irvu
I u u u R I u u u u I R I u u u R I u
u u R u u
![Page 133: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/133.jpg)
133
QDMC em duas camadas• Função objetivo do QDMC com a inclusão de uirv
2T TfJ u H u C u
1 1 1
1 1
2T T TT
k irv k irv k irvu u u
Tk irv k irvu
I u u u R I u u u u I R I u u u R I u
u u R u u
12T TT T
k irvfu uJ u H I R I u C u u R I u
![Page 134: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/134.jpg)
134
Controle de saídas por faixa• Nos processos a serem controlados, a maioria das saídas não tem um setpoint bem definido e sim uma faixa onde a saída, variável
controlada, tem que ser mantida. • Essa faixa é conhecida como restrição leve ou, do inglês, “soft constraints”. • Desta forma, permite-se um grau de liberdade para as controladas, o que “relaxa” o problema de otimização. Estas variáveis só passam a
ser efetivamente controladas pelas manipuladas disponíveis quando uma das restrições for atingida (ymax, ymin).
![Page 136: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/136.jpg)
136
Controle de saídas por faixa• Função objetivo do MPC por faixa
1
1 11 0
np mT TC b T C b Tk m irv k m irv k j k juk j k j k j k j
j j
J y y W W y y u u R u u u R u
min maxP
k jy y y
max,Pi k j iy y max
,bi k j iy y
, 0i k jW
min,Pi k j iy y
min,bi k j iy y
![Page 137: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/137.jpg)
137
MPC com ações não igualmente espaçadas• Para processos com período de estabilização N muito grande, o horizonte de controle m tende ao
valor unitário, pois tudo se passa como, apesar de ter ocorrido várias ações de controle, esta ação fosse única. Se a ação de controle fosse executada em tempos maiores, mais espaçados, teríamos uma ação mais eficaz do controlador.
![Page 139: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/139.jpg)
139
MPC com ações não igualmente espaçadas
• Exemplo para m=3. 1 2, ,u k u k n u k n
11
11
2 2 1
2
2 2 1
2
1
1 1
2 2
1 11
2 22
1 11
2 1 2
2
0 0
0 0
0
0
C
k ny nu ny nuC
k ny nu ny nu
C
n ny nuk n
Cn ny nu
k n
Cn n n
k n
C n n n
k n
np np n npC
k np
y S
y S
S Sy
S Sy
S S SyS S S
y
S S Sy
2
1
2
1 3
2
k
k
k
npk
n
y P
y Pu ku k n y Pu k n
y P
![Page 140: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/140.jpg)
140
MPC com ações não igualmente espaçadas
• Exemplo para m=3. 1 2, ,u k u k n u k n
11
11
2 2 1
2
2 2 1
2
1
1 1
2 2
1 11
2 22
1 11
2 1 2
2
0 0
0 0
0
0
C
k ny nu ny nuC
k ny nu ny nu
C
n ny nuk n
Cn ny nu
k n
Cn n n
k n
C n n n
k n
np np n npC
k np
y S
y S
S Sy
S Sy
S S SyS S S
y
S S Sy
2
1
2
1 3
2
k
k
k
npk
n
y P
y Pu ku k n y Pu k n
y P
2 12n n
![Page 141: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/141.jpg)
141
Sistema Integrador com Espaço de Estados
1
quanto y aumentou no periodoatual e no periodo anterior
1 1y k y k y k y k S u k
11 2 1y k y k y k S u k
12
y kx k y k
y k
1 0 0y k x k
![Page 142: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/142.jpg)
142
Sistema Integrador com Espaço de Estados
1
1
1
1 2 1 01 0 0 1 00 1 0 01 2
k kA Bx k x k
Sy k y k
y k y k u k
y k y k
1x k Ax k B u k
![Page 143: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/143.jpg)
143
Sistema Integrador com Espaço de Estados
• Colocando a correção da leitura da planta
Predicao feita no instante k-1
11
1 1
Pplanta F planta
planta
y k calculox k y k y k K y k y k
y k y k
![Page 144: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/144.jpg)
144
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Equação de predição para o instante 1
1x k Ax k B u k
• Equação de predição para o instante 2
2 1 1x k Ax k B u k
y k Cx k
2 1x k A Ax k B u k B u k
![Page 145: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/145.jpg)
145
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Equação de predição para o instante 2
22 1x k A x k AB u k B u k
2 2y k Cx k
22 1y k C A x k AB u k B u k
22 1y k CA x k CAB u k CB u k
![Page 146: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/146.jpg)
146
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Equação de predição para o instante 3
2
2
3 2
3 2
3 2
3 3
onde 3 2 2
2 1
3 1 2
3 1 2
3 1 2
3 1 2
y k Cx k
x k Ax k B u k
x k A x k AB u k B u k
x k A A x k AB u k B u k B u k
x k A x k A B u k AB u k B u k
y k C A x k A B u k AB u k B u k
y k CA x k CA B u k CAB u k CB u k
![Page 147: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/147.jpg)
147
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Equação de predição para o instante np
1 2 31 2
1
np np np np
np m
y k np CA x k CA B u k CA B u k CA B u k
CA B u k m
2
23
1 2 3
1 0 0 00 02
03
np np np np mnp
CAy k CBCAB CBCAy kCA B CAB CBx k uCAy k
CA B CA B CA B CA By k np CA
![Page 148: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/148.jpg)
148
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Um modelo pode ser escrito no domínio discreto z
1
0
i nbi
ii
i nai
ii
b zY zU z a z
1 2 1 21 2 1 21 na nb
na nbY z a z a z a z b z b z b z U z
1 2 1 21 2 1 2
na nbna nbY z a z Y z a z Y z a z Y z b z U z b z U z b z U z
![Page 149: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/149.jpg)
149
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Transformando em equações de diferenças
1 2 1 21 2 1 2
na nbna nbY z a z Y z a z Y z a z Y z b z U z b z U z b z U z
1 2 1 21 2 1 2na nby k a y k a y k a y k na bu k b u k b u k nb
1 1
na nb
i ii i
y k A y k i B u k i
![Page 150: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/150.jpg)
150
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• Estado não mínimo
1 1 1 1T
x k y k y k y k na u k u k nb
1 2 1 21 2 1 2
na nby k A y k A y k A y k na B u k B u k B u k nb
• Predição para um instante genérico k
![Page 151: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/151.jpg)
151
MPC com Modelo em Espaço de Estados
• As leituras do passado podem ser obtidas a partir das informações disponíveis da planta
1 2 3 1 2 2 1
1 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 02
0 0 0 0 0 0 0 01
na na nb nb nb
k
y k A A A A A B B B By k Iy k I
Iy k na
u kIu k
Iu k nb
1
1
1
2 03 0
10
203
0k
y k By k
y k
u ky k naIu k
u k
u k nb
1 1x k Ax k Bu k
![Page 152: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/152.jpg)
152
1 2 1 2 2 1( )0 0 0 0 0 0 0( 1)
0 0 0 0 0 0 0( 2)
( 1)( 1)( 2)
( 2)( 1)
na na nb nb nb
ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu
ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu
a a a a b b b by kIy k
Iy k
y k nau ku k
u k nbu k nb
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu
I
I
II
1( 1)0( 2)0
( 1)( ) 0 ( 1)( 2)
0( 2)( 1) 0
( ) 00
ny nu
ny nu
ny nu
nu
nu
nu
nunu nu
by ky k
y k nay k na u ku k I
u k nbu k nbu k nb
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) Tx k y k y k y k na u k u k u k nb u k nb
MPC com Modelo em Espaço de Estados
![Page 153: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/153.jpg)
153
MPC com Modelo em Espaço de Estados na forma incremental
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 2 ... 1
1 2 ... 1
1 2 3 ...
1 2 3 ...
na
nb
na
nb
y k a y k a y k a y k a y k na
b u k b u k b u k b u k nb
y k a y k a y k a y k a y k na
b u k b u k b u k b u k nb
1 2 1 3 2
1
1 2 3
1 1 2 ...
1
1 2 ... 1
ny
na na na
nb
y k y k I a y k a a y k a a
y k na a a a y k na
b u k b u k b u k b u k nb
![Page 154: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/154.jpg)
154
MPC com Modelo em Espaço de Estados na forma incremental
1 2 1 3 2 4 3 1 2 3 4... ...0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0
10 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0
1
1
2
ny na na na nb
ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu
ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu n
a I a a a a a a a a a b b b bI
y kI
y ky k
y k nau k
u k nb
0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0
y nu
ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu
ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu
nu ny nu n
I
I
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0
y nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu
nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu
nu ny nu ny nu ny
II
I
10010
...10
100
2 01 ...
00 0 0 0 0 0
ny nu
ny nu
ny nu
ny nu
nu
nu
nu
nu
nunu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu
b
y ky k
y k nay k na
Iu k
u k nbu k nb
I
u k
![Page 155: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/155.jpg)
155
MPC com Modelo em Espaço de Estados na forma incremental
2
23
1 2 3
1 0 0 00 02
03
np np np np mnp
CAy k CBCAB CBCAy kCA B CAB CBx k uCAy k
CA B CA B CA B CA By k np CA
![Page 156: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/156.jpg)
156
Melhorias no MPC• Redução dos parâmetros de sintonia• Robustez quanto a estabilidade
– o modelo real da planta não coincidir com o modelo previsto no controlador, que é considerado o caso nominal;– quando uma saída do processo se tornar ativa ou inativa no controle de faixas;– quando uma entrada do processo comutar da condição de restrição para a condição de não restrição, ou vice-versa;
![Page 157: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/157.jpg)
157
Melhorias no MPC• Portanto, a robustez quanto à estabilidade deve ser analisada em 3 condições distintas
– Chaveamento das variáveis controladas da situação ativa para a situação inativa, ou da condição inativa para a condição ativa– Chaveamento das entradas da situação disponível para a situação indisponível ou da situação indisponível para a situação disponível– Incerteza de modelo – um controlador sintonizado para a condição nominal é robusto para variações em torno de 20% do modelo esperado pelo
controlador. Além disso, a estabilidade pode ficar comprometida;
![Page 158: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/158.jpg)
158
Controladores Nominalmente Estáveis
• A literatura fornece diversos controladores nominalmente estáveis, mas, devido a incertezas de modelo ou restrições nas entradas de processo, tornam-se instáveis;
• Como a estabilidade de um controlador pode ser garantida para o caso nominal?
![Page 159: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/159.jpg)
159
Controladores Nominalmente Estáveis
• Introdução de restrições que garantam que o estado final do sistema seja nulo.
1x k Ax k Bu k
y k Cx k
0x k np
![Page 160: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/160.jpg)
160
Controladores Nominalmente Estáveis
• Introdução de restrições que levem o estado final a um conjunto de estados onde existe um controlador estável.
A
MPC DMC sem restrições
![Page 161: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/161.jpg)
161
MPC de Horizonte Infinito
1x k Ax k Bu k
y k Cx k
C é a matriz identidade, ou, em outras palavras, o estado é medido
x e u representam variáveis incrementaisPortanto, para um sistema estável, ,o que traz, como consequência, desde que não hajam perturbações desconhecidas, ou simplesmente,
0u k m
![Page 162: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/162.jpg)
162
Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito
1
, 1 , 1 1 0
minm
T Tku k u k u k m j j
J x k j Qx k j u k j Ru k j
1
1 1
mT T T
j j j m
x k j Qx k j x k j Qx k j x k j Qx k j
0
T T
j m j
x k j Qx k j x k m j Qx k m j
![Page 163: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/163.jpg)
163
Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito
0
T T
j m j
x k j Qx k j x k m j Qx k m j
1x k Ax k Bu k
2
1
2 1 1 1
j
x k m Ax k m Bu k m Ax k m
x k m Ax k m Bu k m Ax k m A x k m
x k m j A x k m
![Page 164: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/164.jpg)
164
Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito
0
T T
j m j
x k j Qx k j x k m j Qx k m j
0
TT j j
j m j
x k j Qx k j A x k m QA x k m
0
TTT j j
j m j
x k j Qx k j x k m A QA x k m
![Page 165: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/165.jpg)
165
Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito
0
TTT j j
j m j
x k j Qx k j x k m A QA x k m
0
TT T j j
j m j
x k j Qx k j x k m A QA x k m
0
Tj j
j
P A QA
![Page 166: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/166.jpg)
166
Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito
0
Tj j
j
P A QA
2 2 3 3
0
T T T TTj j
j
P A QA Q A QA A QA A QA A QA
2 2 3 3 4 4 1 1T T T TT TA PA A QA A QA A QA A QA A QA
Δ
1 1TTA PA P A QA Q TA PA P Q
![Page 167: Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062502/570638661a28abb823902550/html5/thumbnails/167.jpg)
167
Formulação do MPC de Horizonte Infinito
1 1
, 1 , 1 1 0
minm m
T T Tku k u k u k m
j j
J x k j Qx k j x k m Px k m u k j Ru k j
min max , 0,1,2 1u u k j u j m
0 u k j j m
sujeito a