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Controladoria e Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
© Almir Carvalho dos Reis, 2005
Programação LinearResolução Gráfica
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Conteúdos
Problemas de Programação Linear Resolução pelo método gráfico O Problema do Pintor
Caso Alumilâminas S.A. Caso Esportes Radicais S.A.
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Programação Linear Solução Gráfica
Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.
Max Z x x 5 21 2
1x (b)42
x x (c) 2 91 2
s r x (a)3. .
x x (d) 0 01 2,
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Programação Linear Solução Gráfica
21 4
12
x13
x2
x 4 234
x 3 1
x0 1
x0 2
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x 42
Programação Linear Solução Gráfica
92 12 xx -
121
29
2 xx -
x 31
x1
92 21 xx
x 01
x 02
x2
(3,0)(0,0)
(0,4)(3,4)
Limite
Reta92 21 xx
121
29
2 xx -Região Limitada
(1,4)
(3,3)
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Programação Linear Solução Gráfica
x2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
SoluçãoViável
(3,3)
21 2510 xxZ
= Solução Ótima
21 2521 xxZ
(3,3)21 250 xxZ
(0,0)
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Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
Considere o seguinte o problema de LP
Encontre a solução ótima.
0, 2446 1242 ..
33
21
21
21
21
xxxxxxrsxxMax
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Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
02 x
01 x x1
(0,3)
(6,0)1242 21 xx
(4,0)
(0,6)2446 21 xx5
4
6
7
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Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
x1
5
4
6
7
21 330 xxZ
21 336 xxZ
21 335,13 xxZ
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Exercício Recomendado 1
Max 4x1 + 3x2
s.r.x1 + 3x2 72x1 + 2x2 8x1 + x2 3x2 2x1, x2 0
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Solução do Exercício 1
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Exercício Recomendado 2
Max 4x1 + 8x2
s.r.3x1 + 2x2
18x1 + x2 5x1 4x1, x2 0
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Solução do Exercício 2
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Max 21 3xx s.r.
0,10216
304
21
21
21
xxxx
xx
Exercício Recomendado 3
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Solução do Exercício 3
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O Problema do Pintor
Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?
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A Decisão do Pintor
O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua
receita?
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A Decisão do Pintor
O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua
receita?
A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.
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A Decisão do Pintor
Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo;
Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente.
O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.
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O Modelo para a Decisão do Pintor
Max Z x x 5 31 2 Função-objetivo
Maximizar a receita
1s r x 3. . Restrição de vendas de quadros grandes
x 42 Restrição de vendas de
quadros pequenos
x x 1,8 81 2 Restrição de tempo
x 01 , x 02 Não negatividade
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O Modelo para a Decisão do Pintor
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Programação Linear Solução Gráfica - Minimização
0, 2045 1553
6 5
2 ..97
21
21
21
2
1
21
21
-
xxxxxx
xx
xxtsxxMin
Encontre a solução ótima:
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Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
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Programação Linear Solução Gráfica - Exercício
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Caso Alumilâminas S.A.
A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
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Variáveis de Decisão X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo
X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de
Janeiro
Função-Objetiva Minimizar Custo de Produção (mil R$) = 21 200100 xx
Caso Alumilâminas S.A.
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Restrições de Demanda Placas Finas
Placas Médias
Placas Grossas
Restrições de Não Negatividade
1628 21 xx
611 21 xx
2872 21 xx
0, 21 xx
Caso Alumilâminas S.A.
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0,2872
6111628
200100
21
21
21
21
21
xxxxxxxx
xxMin
Caso Alumilâminas S.A.O Modelo
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Caso Alumilâminas S.A.Solução Gráfica
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Caso Esportes Radicais S.A.
A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
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Caso Esportes Radicais S.A.
Variáveis de Decisão X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos
X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos
Função-Objetiva Max 60x1 + 40x2
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Caso Esportes Radicais S.A.
Restrição de Produção
Linha 1
Linha 2
Restrição de Não Negatividade
1001010 21 xx
4273 21 xx
0, 21 xx
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Caso Esportes Radicais S.A.O Modelo
0,4273
10010104006
21
21
21
21
xxxxxx
xxMax
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Caso Esportes Radicais S.A.Solução Gráfica