control pid 4
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D.Saez. EL42D Control de Sistemas. U. Chile
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EL 42D Control de Sistemas
Profesora: Dra. Doris Sáez H.Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad de Chile
D.Saez. EL42D Control de Sistemas. U. Chile
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Unidad 1: Diseño de Controladores
Proporcional, Derivativo, Integral :
Elaborado por: D. SáezColaboradores: N. Castro, J. Contreras& G. Sáez
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Controlador Proporcional, Integral, Derivativo:PID Continuo
))t(e(f)t(u)t(y)t(r)t(e
=−=
Controlador
PIDe(t)r(t) y(t)u(t)
Gp(S)-
+
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)STST
11(K)S(E)S(U
dt)t(deTKdt)t(e
TK)t(eK)t(u
di
P
t
0dP
i
PP
++=
++= ∫
Controlador PID Continuo
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baSS1)S(G 2P ++
=
)t(eK)t(u p=
P2
P
cP
cP
KbaSSK
)S(G)S(G1)S(G)S(G
)S(R)s(Y
+++=
+=
a) Control Proporcional
Caso planta de 2º orden
Pc K)S(E)s(U)S(G ==
Controlador PID Continuo
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Ecuación característica
02S
0KbaSS2
nn2
P2
=ω+ξω+
=+++
KP
KP ξωn
SP
TS
21P
ns
eMovS
2.3T
ξ−
πξ−
==
ξω= ξ<0.69
Controlador PID Continuo
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Elimina el error permanente ess.
∫=t
0i
P dt)t(eTK)t(u
b) Acción integral
SK
STK
)S(E)S(U)S(G i
i
PC ===
Controlador PID Continuo
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Caso planta de 2º orden
STK)S(G
i
PC =
baSS1)S(G 2P ++
=
conSK)S(G i
C =i
Pi T
KK =
Controlador PID Continuob) Acción integral
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i2
i
KS)baSS(K
)S(R)S(Y
+++=
S1
KS)baSS(S)baSS(
)S(RKS)baSS(
S)baSS()S(Y)S(R)S(E
i2
2i
2
2
+++++
=
+++++
=−=
SiS1)S(R = 0
KS)baSS()baSS(S)S(SEe
i2
2
SSS =
+++++
==∞→
Controlador PID Continuo
b) Acción integral
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• Elimina error permanente.• Agrega un polo en el origen de la función de
transferencia en lazo abierto (lazo directo)• Además, la acción integral es
desestabilizadora, razón por la cual va siempre acompañada por la acción proporcional
Controlador PID Continuob) Acción integral
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c) Acción derivativa
dt)t(deTK)t(u dP=
Caso planta de 2º orden
SK)S(G
STK)S(G
dC
K
dPC
d
=
=321
baSS1)S(G 2P ++
=baSS
SK)S(G)S(G 2d
PC ++=⋅
Controlador PID Continuo
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c) Acción derivativa
STKbaSSSTK
)S(R)S(Y
dP2
dP
+++=
Ecuación característica02S
0bS)TKa(S2
nn2
dP2
=ω+ξω+
=+++
SP, TsModifica ξ
Controlador PID Continuo
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• Agrega un cero en el origen de la función de transferencia en lazo abierto.
• La acción derivativa representa la tendencia del cambio, es decir, es una proyección hacia donde se desplazará el proceso en el futuro.
c) Acción derivativa
Controlador PID Continuo
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)STST
11(K)S(E)S(U
dt)t(deTKdt)t(e
TK)t(eK)t(u
di
P
t
0dP
i
PP
++=
++= ∫
Controlador PID Continuo
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Controlador PID discreto
T: tiempo de muestreo
TTK
K
TTK
K
T2TK
KK
)Z(E)Z1(KZ1
KK)Z(U
STST
11K)S(U
dPDd
i
PId
i
PPPd
1Dd1
IdPd
di
P
=
=
−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
−−
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Efectos de las acciones de control integral y derivativo sobre el desempeño de un sistema
H
Ru
Ejemplo: Control integral de los sistemas de control de nivel de líquido
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Efectos de las acciones de control integral y derivativo sobre el desempeño de un sistema
E(S)R(S)H(S)U(S)
-
)S(RKRSRCS
SRCS)S(H)S(R)S(E
KRSRCKR
)S(R)S(H
2
2
22
+++
=−=
++=
1RCsR
+SK
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Si U(s)=1/s escalón
elimina el error de régimen permanente
0S1
)KRSRCS()SRCS(Slim)S(Elime 2
2
0S0SSS =+++
==→→
Efectos de las acciones de control integral y derivativo sobre el desempeño de un sistema
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Control Proporcional: Respuesta a perturbaciones (D)
KPE(S)R(S) Y(S)
-+
+
D
Si R(s)=0 )))S(Y(K)S(D()bJS(S
1)S(Y P −++
=
)bJs(s1+
( )
P2
P
KbSJS1
)S(D)S(Y
)S(DK)bJS(S)S(Y
++=
=++⋅
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El error en régimen permanente producido por una perturbación escalón de magnitud δ0 es:
La salida en régimen permanente es yss=δ0/KP
P2
P2
KbSJS1
)S(D)S(E
KbSJS)S(D)S(Y)S(E
++−
=
++−
=−=
p
00
P20S0SSS KSKbSJS
Slim)S(SElime δ−=
δ++
−==
→→
* El ess se reduce si KP se aumenta
Control Proporcional: Respuesta a perturbaciones (D)
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Control proporcional-integral: Respuesta a perturbaciones (D)
( )
SDYTK
SKbSJS
SDTY)1ST(KST)bJS(S
)Y)(ST
11(KD)bJS(S
1)S(Y
i
PP
23
iiPi
iP
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++
+=
E(S)R(S) Y(S)
-+
+
D
)bJs(s1+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sT11Ki
p
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Control proporcional-integral: Respuesta a perturbaciones (D)
)S(D
TKSKbSJS
S)S(Y)S(E
TK
SKbSJS
S)S(D)S(Y
i
PP
23
i
PP
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
−=−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=
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0S1
TKSKbSJS
SSlim)S(SElime
i
PP
230S0SSS =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
−==
→→
tiene raíces con partes reales negativas, entonces el error en régimen permanente ante la perturbación escalón unitario es:
Si el sistema de control es estable, es decir, la ecuación característica 0
TK
SKbSJSi
PP
23 =+++
Control proporcional-integral: Respuesta a perturbaciones (D)
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Si hay sólo acción integral para este caso, la ecuación característica sería
SK)S(G C =0KbSJS 23 =++
Control proporcional-integral: Respuesta a perturbaciones (D)
Esto entrega raíces con parte real positiva por lo tanto, el sistema sería inestable.
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P2
P
KJSK
)S(R)S(Y
+=
Control proporcional: Sistema de carga de inercia
Ecuación característica:
0KJS2 =+
KPR(S) Y(S)1/JS2
-
Sistema oscila indefinidamente
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( )PdP
2dP
KSTKJSST1K
)S(R)S(Y
+++
=
Control proporcional-derivativo: Sistema de carga de inercia
La ecuación característica: 0KSTKJS PdP2 =++
KP(1+TdS)R(S)
Y(S)1/JS2
-
tiene 2 raíces con parte real negativa para J, KP, Td > 0
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Control proporcional-derivativo: Sistema de carga de inercia
t
y(t)
El control derivativo predice el sobre paso adelantándose en el tiempo y produce una respuesta adecuada antes de que ocurra un sobrepaso demasiado grande.
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Sintonización de Controladores PID
• La mayoría de los controladores industriales que se usan hoy en día utilizan esquemas de control PID.
• Estos controladores aportan un control satisfactorio en la mayoría de los sistemas de control.
Motivación
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Métodos de Sintonización
1) Límite de Estabilidad – Ziegler & Nichols2) Curva de Reacción – Ziegler & Nichols3) Criterio de López4) Control por Modelo Interno (IMC)
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Ziegler-Nichols
• Los métodos de Ziegler-Nichols proponen encontrar los parámetros de un controlador PID en base a un modelo especifico de una planta.
• En ambos métodos se pretende obtener un 25% de sobrepaso máximo en la respuesta al escalón.
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Límite de EstabilidadZiegler &Nichols
1. Utilizando sólo control proporcional, comenzando con un valor pequeño, incrementar la ganancia hasta que el sistema comience a oscilar.
pK Planta( )r t ( )y t+
−
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2. Registrar la ganancia crítica del controlador(crítico) y el período de oscilación de la salida delcontrolador .
p cK K=
cP
( )y t
t
cP
Límite de EstabilidadZiegler &Nichols
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PID
PI
P
Tipo de controlador pK iT dT
0.50 cK
0.45 cK
0.60 cK
∞ 0
0/1.2cP
0.5 cP /8cP
3. Ajustar los parámetros del controlador según la siguiente tabla.
Límite de EstabilidadZiegler &Nichols
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• Para resolver el problema analíticamente, y se pueden encontrar mediante Routh-Hurwitz
cK
cω
Límite de EstabilidadZiegler &Nichols
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Curva de ReacciónZiegler &Nichols
• La respuesta del proceso (lazo abierto) puede ser caracterizada por la siguiente aproximación de primer orden con retardo:
( )( ) 1
LsY s KeU s Ts
−
=+
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• A partir de la respuesta al escalón de la planta se obtienen los parámetros K, L y T que caracterizan la aproximación.
K
L T
Línea tangente en el punto de inflexión
t
Curva de ReacciónZiegler &Nichols
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• Los valores L y T además se pueden calcular fácilmente de las siguientes ecuaciones:
2 11.5( )T t t= −
11 231.5( )L t t= −
Curva de ReacciónZiegler &Nichols
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• Los valores y se obtienen del siguiente gráfico.
K
L T2t t1t
6 3 .2 %
2 8 .3 %
1t 2t
Curva de ReacciónZiegler &Nichols
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• Conocidos L y T, los parámetros del controlador se obtienen de la siguiente tabla.
PID
PI
P
Tipo de controlador pK iT dT
TL
0.9 TL
1.2 TL
∞ 0
00.3L
2L 0.5L
Curva de ReacciónZiegler &Nichols
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Criterio de López
• Según el criterio de López los parámetros del PID se encuentran en base a la minimización de los índices de funcionamiento.
• Para esto se asume que la respuesta se aproxima por una función de transferencia de primer orden con retardo.
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Índices de FuncionamientoCriterio de López
Medida cuantitativa del funcionamiento de un sistema y se elige de forma que resalte las especificaciones del sistema
y(t)r(t)e(t)
)t(eIMinT
0
21
−=
= ∫ ( ISE )
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y(t)
t
e(t)
t
e2(t)
t
∫ )t(e2
t
Índices de FuncionamientoCriterio de López
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20
30
24
0
0
T
T
T
T
Min I e(t)dt
Min I t e(t)dt
Min I te (t)dt
Forma general : I f(e(t),r(t), y(t),t)dt u(t)
u(t) f(y(t),....)
=
=
=
= →
=
∫
∫
∫
∫
( IAE )
( ITAE )
( ITSE )
Índices de FuncionamientoCriterio de López
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r(t) y(t)+- )2s(s
1ξ+
)1( 1s2s
1)s(R)s(Y
n2 =ω+ξ+
=
Ejemplo
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I
0.7
I1I2I3
ξ = 0.7 óptimo para I3, que para un sistema de segundo orden produce una respuesta rápida ante un escalón con un sobre nivel del 5%
ξ
Índices de FuncionamientoCriterio de López
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1.131.000.991.0
0.4820.5600.3810.5
0.7490.7710.7381.0
1.1390.9171.1762.0
0.9210.9450.9471.0
1.4351.4951.3571.20
IAEISE
ITAEZ&N
PID
0.7070.7390.6801.0
1.6442.0331.4843.333
0.9860.9520.9171.0
0.9841.3050.8590.909
IAEISE
ITAEZ&N
PI
0.9850.9171.0841.0
0.9021.4110.4901.0
IAEISE
ITAEZ&N
P
fedcbaCriterioControl
Índices de FuncionamientoCriterio de López
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• A partir de la tabla y las siguientes relaciones, se obtienen los parámetros del PID:
b f d
p d ia L L LK T Te T TcK T T T
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Índices de FuncionamientoCriterio de López
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• Ejemplo PI con ITAE: 10( )2 1
seG ss
−
=+
0.917 0.6800.859 1 12 1.48410 2 2
1.62 1.85
p iK T−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
Índices de FuncionamientoCriterio de López
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_
)s(G p
yu+_
r
e
+
)s(Gm
)s(Gm+)s(G f
Control por Modelo Interno(IMC)
•Donde:
Inverso aproximado de
Modelo de la Planta
Filtro Pasabajos:)s(G:)s(G:)s(G
f
m
m+ )s(Gm
• Si• Además, si existe un
perfecto seguimiento.
• En general se escoge como Filtro Pasabajos a un sistema de primer orden:
sT11)s(G
ff +
=
0e)s(G)s(G pm ≡⇒=1
mmf G)s(G1)s(G −+ =∧=
Control por Modelo Interno(IMC)
• La Función de Transferencia del Controlador:
• Si se considera que la planta se comporta como un sistema de Primer Orden con Retardo, es factible encontrar controladores PI o PID equivalentes.
)s(G)s(G)s(G1)s(G)s(G
)s(Gmmf
mfc ⋅⋅−
⋅= +
+
Control por Modelo Interno(IMC)
• En efecto, sea
• Aproximando el retardo por Serie de Taylor:
• El controlador queda:
pm K
1Ts)s(G +=+
( ) )PI(,TLsK
1Ts)s(Gfp
c ++
=
sLpm e
1TsK
)s(G −
+=
sL1e sL −≈−
Control por Modelo Interno(IMC)
• Aproximando el retardo por Padé (1er orden):
• El controlador queda:
( )
( ) )PID(,TLsK
1Ts2
sL1)s(G
fpc +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
≈
2sL12
sL1e sL
+
−≈−
Control por Modelo Interno(IMC)
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MODIFICACIONES DE LOS ESQUEMAS DE CONTROL PID
• En ausencia de perturbaciones y ruido:
1
sT1i
sT1sT
d
d
γ+
+ pK )s(Gp
)s(Y)s(U+
_
)s(R
)s(B
)s(D
+
+
)s(N
)s(GKsT1
sTsT
111
)s(GKsT1
sTsT
11)s(R)s(Y
ppd
d
i
pp
d
d
i⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ+
+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ+
++=
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55
PI-D:
• En ausencia de perturbaciones y ruido:
)s(GKsTsT
111
)s(GKsT
11)s(R)s(Y
ppdi
pp
i⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
sT1i
sT d
+
pK )s(Gp
)s(U+
_
)s(R
)s(B
)s(D
+
+
)s(N
+_
D.Saez. EL42D Control de Sistemas. U. Chile
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I-PD:
• En ausencia de perturbaciones y ruido:
)s(GKsTsT
111
)s(GKsT
1)s(R)s(Y
ppdi
pp
i⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1
sT1i
sT d
_ pK )s(Gp
)s(U+
_
)s(R
)s(B
)s(D
+
+
)s(N
+_
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Antiwindup en Controladores PID
PIDe
Saturador
Actuador
PlantaG (s)
yr
-
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Actuadoru
Antiwindup en Controladores PID: Solución
-y
p
i
KT
ls
e
p dK T s⋅
pK
+- +
es+
D.Saez. EL42D Control de Sistemas. U. Chile
59
-y
p
i
KT
ls
- +
es
Modeloactuador
uActuadore
p dK T s⋅
Antiwindup en Controladores PID: Solución
pK
++