control estad stico de calidad -...
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Control Estadıstico de Calidad
Guillermo Ayala Gallego
24 de mayo de 2005
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Indice general
1. Estadıstica y control de la calidad 5
2. Introduccion a los graficos de control 112.1. Principios basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Diseno del grafico de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Subgrupos racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Analisis de patrones en graficos de control . . . . . . . . . . . . . 20
3. Graficos de control X y R 213.1. Grafico de control X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Grafico R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Lımites de control y lımites de especificacion . . . . . . . . . . . . 283.4. Lımites probabilısticos para los graficos de control X y R . . . . 283.5. Estimacion de la capacidad del proceso . . . . . . . . . . . . . . . 283.6. Graficos de control X y S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7. Tiempo hasta la deteccion. Longitud de la racha media . . . . . . 323.8. Graficos de control para mediciones individuales . . . . . . . . . . 333.9. Grafico de control de suma acumulada . . . . . . . . . . . . . . . 353.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Graficos de control de atributos 414.1. Grafico p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1. Tamanos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Grafico C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Grafico U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Muestreo de aceptacion 495.1. Planes de muestreo de aceptacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6. Conceptos basicos de Probabilidad y Estadıstica 536.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2. Estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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Capıtulo 1
Estadıstica y control de la calidad
La Estadıstica es la ciencia que se ocupa de realizar inferencias y tomar deci-siones a partir de datos que estan sujetos a variacion.
La variacion aleatoria esta presente en la industria, en la ingenierıa, en laciencia en general. La cuestion no es si uno va a realizar las funciones de unestadıstico, lo vamos a hacer. El problema es como de bien vamos a realizar eltrabajo.
La calidad de los productos y los servicios es uno de los factores de decisionfundamentales en las empresas. La mejora de la calidad es un aspecto fundamentalen la empresa actual. Nos ocupamos en esta parte de la asignatura del controlestadıstico de la calidad
Calidad significa idoneidad de uso. Los consumidores esperan que los pro-ductos y servicios cumplan con sus requerimientos que son los que definen laidoneidad de su uso. La mejora de la calidad significa la sistematica eliminaciondel desperdicio. Una mejora de la calidad supone la reduccion del desperdicio y enconsecuentemente: una mayor productividad, una mayor satisfaccion del cliente,mayor reputacion en la empresa, mayor competitividad y en definitiva, una mayorganancia.
El control de calidad se lleva practicando, en distintas formas, desde hacemiles de anos (en la construccion de las piramides de Egipto ya se hacıa). Lopropio del siglo XX es la utilizacion de metodos estadısticos de ahı el adjetivode estadıstico. Podemos datar este hecho fundamental en los anos 20 en los BellTelephone Laboratories (Walter A. Shewhart, Harold F. Dodge, Harry G. Romigentre otros).
El control estadıstico de la calidad lo podemos definir como: conjunto demetodos de ingenierıa y estadısticos que se emplean en la medicion, vigilancia,control y mejora de la calidad.
Una razon basico para la utilizacion del control estadıstico de la calidad esque la industria cada vez trabaja con tolerancias cada vez menores. Fabricar conun grado de precision grosero no es difıcil. Lo difıcil es fabricar con un objetivodeterminado y hacerlo con una tolerancia mınima.
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Otra forma de variacion a controlar es la presencia de piezas fabricadas queno verifican los requerimientos, piezas no conformes. La produccion de piezasno conformes es el ideal de fabricacion. Sin embargo, esto puede ser innecesario,anti economico o, simplemente, imposible. En ocasiones, no podemos saber si lapieza verifica los estandares porque el control es destructivo. Ejemplos de estoson pruebas de tension, tests de vida de componentes electronicos entre otros.Si verificamos cada pieza en un lote y finalmente vemos que cada una de ellasestaba en perfectas condiciones, estaremos muy contentos pero sin ninguna piezautilizable.
De un modo resumido el creciente interes por el control estadıstico de lacalidad viene determinado por:
1. El incremento en la competitividad entre las distintas empresas.
2. La necesidad de evitar las perdidas de material y ahorrar el numero dehoras de las personas.
3. Incremento en el beneficio de la empresa.
4. Incremento en el consumismo. En la decision de compra de un consumidor,la calidad de un producto puede tener la misma importancia, o superior,que el coste o el tiempo de entrega del mismo.
5. Incremento en las demandas como consecuencia del mal funcionamientodel producto y la necesidad de tener informacion documentada sobre elproceso de fabricacion para una posterior defensa legal frente a demandasde consumidores.
6. La necesidad de conocer la capacidad real del proceso de fabricacion.
7. Los cada vez mas exigentes requerimientos legales para que el productopueda ser comercializado.
8. La proliferacion de estandares industriales de obligado cumplimiento.
9. El incremento en estandares internacionales para el comercio internacional.
En la seccion 6 se incluye un breve resumen de conceptos de Probabilidad yde Estadıstica que vamos a utilizar en lo que sigue. Se asume este mınimo deconocimientos. El texto basico de control de calidad que vamos a utilizar es [1] yel texto disponible en la red [2]. Tambien es de interes, y lo usaremos sobre todoen practicas, la pagina web http://www.sqconline.com/ que incorpora ayudasinteractivas.
Notas de R 1 Todo el analisis estadıstico lo realizamos con el lenguaje R,version de libre disposicion del lenguaje SPLUS.
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Es un interprete de comandos con una gran cantidad de funciones orientadofundamentalmente al analisis estadıstico.
Se puede obtener en
http://cran.R-project.org/
Dentro del control estadıstico de la calidad nos vamos a centrar en dos partesconcretas: (i) el control estadıstico de procesos y (ii) el muestreo de aceptacion.
En todo analisis estadıstico de datos hemos de empezar viendo ¿como sonlos datos?, esto es, haciendo algun tipo de analisis descriptivo de los mismos. Elcodigo R que nos darıa un analisis basico podrıa ser el siguiente.
Notas de R 2 #Basico en R
#Ayuda
help.start()
#Salir
q()
#Fijar directorio de trabajo
setwd(’c:\directorio_de_trabajo’)
#Una empresa produce cinta adhesiva y
#esta realizando un control de
#la fortaleza de la misma.
#Se ha observado la fortaleza de 100 muestras
x = scan(file=’ls_pag24.dat’)
#Histograma
postscript(file=’ls24hist.ps’,horizontal=T)
hist(x)
dev.off()
#Un resumen numerico basico
summary(x)
sd(x)
var(x)
#Otras opciones graficas
stem(x)
boxplot(x)
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density(x)
plot(density(x))
En la figura 1.1 podemos ver algunas de las representaciones graficas asoci-adas.
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(a)
(b)
Figura 1.1: (a) Histograma y (b) densidad de los datos de resistencia
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Capıtulo 2
Introduccion a los graficos decontrol
En cualquier proceso de produccion, por bien disenado y bien mantenido queeste siempre tenemos una variabilidad natural (consecuencia del efecto conjuntode muchas causas pequenas e incontrolables).
Otros tipos de variabilidad pueden estar influyendo en el proceso. Basicamentetres son las causas: (i) maquinas mal ajustadas, (ii) errores de los operarios y(iii) materias primas defectuosas. Estas causas producen una variabilidad muchomayor que la anteriormente considerada y produce un funcionamiento inaceptableen el proceso. Estas causas reciben el nombre de causas asignables. Un proceso quefunciona con causas asignable se dice que esta fuera de control. Ese es el objeto delos graficos de control que vamos a ver. La deteccion rapida de causas asignablesque eviten el malgasto de producir unidades de producto que no verifique losrequerimientos.
Es frecuente ver en fabricas, graficos en donde se representa como funcion deltiempo alguna medida de funcionamiento del proceso productivo. Estos graficosson actualizables cada dıa o cuando tenemos nueva informacion. Estas medidaspueden ser: dimensiones, resistencias, porcentajes de rechazos o defectos encon-trados en una inspeccion final.
Notas de R 3#Media y rangos en .0001" de diametros de rodamientos en muestras
de n=5 con especificaciones dadas por .4710" \pm .0010
x = read.table(file=’burr.p25a.dat’,header=F)
medias = x[,1]
rangos = x[,2]
plot(1:length(medias),medias,type=’l’,main=’Medias de 5
rodamientos’,
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xlab=’Numero de muestra’,
ylab=’Medias del diametro de cinco rodamientos en 0.0001 pulgadas’)
plot(1:length(rangos),rangos,type=’l’,main=’Rangos de 5
rodamientos’,
xlab=’Numero de muestra’,
ylab=’Rangos del diametro de cinco rodamientos en 0.0001 pulgadas’)
#Fracciones de defectuosas en dos factorıas . Tama~no muestral
alrededor de 1340
x = read.table(file=’burr.p25b.dat’,header=F)
fecha = x[,1]
fracdef = x[,2]
plot(fecha,fracdef,type=’l’,main="Fraccion de defectuosas")
#Numero de alineamientos incorrectos
x = read.table(file=’burr.p25c.dat’,header=F)
muestra = x[,1]
alineamientos = x[,2]
plot(muestra,alineamientos,type=’l’,main="Alineamientos incorrectos")
Las representaciones graficas que obtenemos aparecen recogidas en la figuras2.1 y2.2 .
De los dibujos (comandos plot) considerados anteriormente notemos que elprimero nos da la media de los diametros obtenidos en las sucesivas muestrasde tamano 5. El segundo atiende a la variabilidad de la muestra, en concreto,mostrando el rango de la muestra. El tercer dibujo corresponde a datos de atrib-uto o de estado del producto (correcta o incorrectamente fabricado). En concretotenemos la fraccion de piezas incorrectamente fabricadas en un dıa. Cada dıa sefabrican alrededor de 1340 piezas. En el ultimo dibujo recogemos el numero obser-vado de alineamientos incorrectos que se han realizado en una serie de montajesdistintos. En definitiva, en este dibujo recogemos el numero de defectos observa-dos.
Los cuatro dibujos muestran variacion en las cantidades representadas. Losresultados varıan de dıa a dıa, de material a material. La variacion es inevitable.Hemos de convivir con ella. En el primer dibujo valores o muy grandes o muypequenos no son deseables. En los otros tres dibujos no son deseables los valoresgrandes. Es erroneo atribuir la variacion observada a que las condiciones deproduccion son variables.
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(a)
(b)
Figura 2.1: Graficos de control X y R para diametros de rodamientos incorrectos
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(a)
(b)
Figura 2.2: Grafico p para fracciones de piezas defectuosas (a) y (b) grafico Cpara numero de alineamientos incorrectos
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La representacion en funcion del tiempo (recogido como el numero de la mues-tra, la fecha de fabricacion) tiene como objetivo observar la evolucion y detectar(en el tiempo) cuando se produce un comportamiento anormal, un comportamien-to fuera de control (valores o muy grandes o pequenos en el primer dibujo o valoresmuy grandes en los tres restantes). Cuando se detecte la situacion hay que actuar.
¿Cuando es anormal el funcionamiento del proceso de fabricacion? Hemos deutilizar procedimientos que detecten situaciones en las que hay que intervenir conobjeto de evitar:
1. Tomar acciones cuando no es necesario hacer nada (error tipo I que deno-taremos por α.
2. No actuar cuando es necesario perdiendo la oportunidad de conocer porque secomporta el proceso de esa forma anormal y, por supuesto, perder parte dela produccion. Tenemos un error tipo II denotado por β.
2.1. Principios basicos
En cualquier proceso de produccion, sin importar lo bien disenado que este ocon cuanto cuidado se mantenga, siempre existe cierta cantidad de variabil-idad natural o inherente producto de un conjunto de causas aleatorias.Son aquellas causas que producen variaciones en las medidas de calidad quecontrolamos pero que no es, al menos en el nivel tecnico presente, controlar.
Un proceso que opera solamente con causas aleatorias esta bajo controlestadıstico. Obviamente no es constante la medida de calidad. Variacionsiempre tendremos.
Pueden existir otras fuentes de variabilidad como maquinas mal ajustadas,errores del operador o materias primas defectuosas. Son las causas asignables.
Uno de los objetivos fundamentales del control de calidad es la deteccionrapida de las causas asignables con objeto de eliminarlas.
El grafico de control es una tecnica de vigilancia en lınea que puede serutilizada para:
1. La deteccion rapida de causas asignables.
2. Estimar los parametros del proceso de produccion.
3. Obtencion de informacion para la mejora del proceso, por ejemplo,reduciendo la variabilidad.
Notas de R 4 (Grafico de control basico) A las representaciones anterior-mente consideradas incorporamos unos lımites de control.
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Figura 2.3: Grafico de control de Shewhart
tiempo = 1:100
media = 10
des.est = 1
tamanyo.muestra = 5
y = rnorm(length(tiempo)*tamanyo.muestra,mean=media,sd=des.est)
dim(y) = c(tamanyo.muestra,length(tiempo))
mean.y = apply(y,2,mean)
mean.des.est = des.est / sqrt(tamanyo.muestra)
pdf(file=’gcteo.ps’)
plot(tiempo,mean.y,ylim=c(media-3.5*mean.des.est,media+3.5*mean.des.est),
type=’l’)
abline(h=media)
abline(h=media+3*mean.des.est)
abline(h=media-3*mean.des.est)
El dibujo que obtenemos con el codigo anterior aparece en la figura 2.3.
¿Que es un grafico de control? Como hemos visto es una representacion dela cantidad (media, rango, proporcion, numero de defectos) en funcion del tiempoo numero de muestra con unos lımites de control. ¿Que limites de control son losadecuados? ¿Cuando un proceso esta bajo control?
1. Los puntos de la grafica estan entre los lımites de control.
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2. Aunque los puntos de la grafica se encuentren entre los lımites de control,si se comportan de manera sistematica o no aleatoria, entonces tambien esun indicador de que el proceso esta fuera de control.
Existe una clara relacion entre los graficos de control y el contraste de hipotesis.
1. En cada punto del grafico estamos contrastando la hipotesis de que el pro-ceso se encuentra en estado de control estadıstico.
2. Tenemos la probabilidad de error tipo I (concluir que el proceso esta fuerade control cuando no lo esta) y la probabilidad del error tipo II (concluirque el proceso esta bajo control cuando no lo esta).
Veamos un primer modelo (teorico) del grafico de control. Sea W el estadısticomuestral que mide la caracterıstica de calidad en la que se tiene interes. Las lıneacentral, inferior y superior vienen dadas por
LSC = µW + kσW , (2.1)
LC = µW , (2.2)
LIC = µW − kσW , (2.3)
donde
µW = media de W, (2.4)
σW = desviacion tıpica de W. (2.5)
Estamos suponiendo que tanto la media, µW , como la desviacion tıpica de Wson conocidas. Obviamente habitualmente esto no es ası. Los parametros sontıpicamente desconocidos y los habremos de estimar a partir de la muestra. Sepuede comprobar que
P (LIC ≤ W ≤ LSC) = P (µW − kσW ≤ W ≤ µW + kσW ) = 0,9973 (2.6)
La idea de utilizar estos graficos se debe a Walter A. Shewhart y se habla delgrafico de control de Shewhart.
Notas de R 5tiempo = 1:100
media = 10
des.est = 1
tamanyo.muestra = 5
y = rnorm(length(tiempo)*tamanyo.muestra,mean=media,sd=des.est)
dim(y) = c(tamanyo.muestra,length(tiempo))
mean.y = apply(y,2,mean)
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Figura 2.4: Grafico de control con parametros conocidos
mean.des.est = des.est / sqrt(tamanyo.muestra)
pdf(file=’gcteo2.ps’)
plot(tiempo,mean.y,ylim=c(media-3.5*mean.des.est,media+3.5*mean.des.est),
type=’l’)
abline(h=media)
abline(h=media+3*mean.des.est)
abline(h=media-3*mean.des.est)
abline(h=media+2*mean.des.est)
abline(h=media-2*mean.des.est)
abline(h=media+1*mean.des.est)
abline(h=media-1*mean.des.est)
dev.off()
El dibujo que obtenemos con el codigo anterior aparece en la figura 2.4.
En la mayor parte de las ocasiones un grafico de control se utiliza para elcontrol en lınea del proceso. Tomamos datos muestrales y construimos el grafico.Tambien podemos querer determinar si los datos historicos corresponden a unproceso bajo control y lo mismo para los datos futuros.
Como hemos visto los graficos de control se pueden clasificar en dos grupos:
1. Graficos de control de variables en donde la caracterıstica de calidad es unavariable cuantitativa. A su vez tendremos graficos de control para la ten-
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dencia central (grafico x) y para la variabilidad (graficos para la desviaciontıpica y para el rango).
2. Graficos de control de atributos: corresponden a aquellas situaciones enque la caracterıstica de calidad no puede ser medida cuantitativamente.Podemos decidir si la unidad observada es conforme o no sobre la basede verificar o no unos ciertos atributos. Posiblemente podamos contar elnumero de defectos que aparece en una unidad de producto.
2.2. Diseno del grafico de control
Hemos visto para que puede servir el grafico de control. Hemos de disenarlo,esto es, elegir los lımites de control, elegir el tamano de la muestra y elegir lafrecuencia de muestreo. Notemos que unos lımites de control mas alejados de lalınea central suponen un menor error tipo I y un mayor error tipo II. Es habitualutilizar k = 3, lımites de control 3-σ.
Ejemplo 1 (Fabricacion de anillos para pistones de motor de automovil)Observamos X, el diametro interior de los anillos y vamos a suponer que X ∼N(µ = 74mm, σ = 0,01mm). Tomamos cada hora una muestra de cinco anillosy tomamos el diametro medio de la muestra. La caracterıstica que controlamos es
W =1
n
n∑
i=1
Xi (2.7)
con n = 5 de modo que
W ∼ N(µW = µ, σW =σ√n
). (2.8)
Los lımites de control 3 − σ vienen dados por
LSC = µW + kσW = 74,0135 (2.9)
LIC = µW − kσW = 73,9865 (2.10)
Dos problemas basicos son determinar el tamano de la muestra y la frecuen-cia de muestreo. ¿Cuantos items muestreamos cada vez? ¿Cada cuanto tiempo ocada cuantos items muestreamos? Lo ideal: mucha muestra tomada con muchafrecuencia. Lo habitual: pequenas muestras con alta frecuencia. Los procedimien-tos automatizados nos van acercando a la situacion en que muestreamos cadaitem.
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2.3. Subgrupos racionales
Pretendemos seleccionar muestras que, en la medida de lo posible, recojala variabilidad aleatoria o natural y excluya la variabilidad asignable. El ordentemporal de la produccion es una base logica para la formacion de subgruposracionales. Sin embargo, una muestra puede parecer obtenida bajo control y unaparte de la misma corresponder la final de un corrimiento y la otra al princi-pio del siguiente. No obstante, lo mas natural es que podamos detectar causasasignables en el tiempo y por lo tanto podamos construir subgrupos racionalesen el tiempo. Dos son las opciones basicas para obtener subgrupos racionales: (i)Cada subgrupo esta formado por unidades producidas al mismo tiempo (o lo mascercanas posibles). Tenemos una instantanea del proceso en el instante temporalen que tomamos la muestra. (ii) Cada subgrupo esta formado por unidades delproducto que son representativas de todas las unidades producidas desde que setomo la ultima muestra.
El primer procedimiento es mas sensibles a leves corrimientos. Mediante elsegundo podemos decidir si aceptar toda la produccion desde la ultima muestra.Los lımites de control estan mas alejados en el segundo procedimiento.
2.4. Analisis de patrones en graficos de control
Un grafico de control puede indicar una condicion fuera de control cuando: (i)Uno o mas puntos caen fuera de los lımites de control. (ii) Los puntos exhibenalgun patron no aleatorio de comportamiento. El comportamiento no aleatorio dela secuencia se puede describir vıa el concepto de racha. Racha es una secuenciade observaciones de un mismo tipo. Permiten detectar secuencias no aleatorias.Pueden ser crecientes o decrecientes. Pueden ser secuencias de puntos que estanpor encima o por debajo de la lınea central. En general, rachas de longitud 8 osuperior son sospechosas.
Se han desarrollado distintas procedimientos empıricos. El mas importanteson las reglas de la Western Electric. Segun estas reglas un proceso esta fuera decontrol cuando:
1. Un punto cae fuera de los lımites de control 3-sigma.
2. Dos de tres puntos consecutivos caen fuera de los lımites 2-sigma.
3. Cuatro de cinco puntos consecutivos estan fuera de los lımites 1-sigma.
4. Entendemos que en las dos reglas anteriores los puntos que caen fuera delos lımites de control estan en el mismo lado, esto es, o son todos mayoresque el lımite superior correspondiente o menor que el lımite inferior.
5. Ocho puntos consecutivos de la grafica estan en el mismo lado de la lıneacentral.
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Capıtulo 3
Graficos de control X y R
En caracterısticas de calidad cuantitativas controlamos tanto su valor mediocomo su variabilidad. ¿Que efectos tiene la modificacion de la media y de lavarianza? El valor medio se controla mediante el grafico X. La variabilidad secontrola mediante el grafico de rangos (R) o el grafico de desviacion estandar (S).
3.1. Grafico de control X
Si suponemos que la caracterıstica de calidad X tiene una distribucion normalcon media y varianza conocidas:
X ∼ N(µ, σ), (3.1)
entonces la lınea central del grafico X es µ y los lımites inferior y superior son
LSC = µ + 3σ√n
, (3.2)
y
LIC = µ − 3σ√n
. (3.3)
¿Que hacemos cuando no conocemos los parametros µ y σ?
Tomamos m muestras previas de tamano n.
Usualmente: m entre 20 y 25; n entre 4 y 6.
Si Xi es la media de i-esima muestra entonces µ es estimada mediante
¯X =1
m
m∑
i=1
Xi. (3.4)
La lınea central del grafico X es ¯X.
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Con objeto de obtener los lımites de control necesitamos una estimacion de ladesviacion tıpica σ. Lo podemos hacer con dos procedimientos, bien utilizandolas desviaciones estandar de las distintas muestras o bien utilizando los rangosde dichas muestras. Veamos la segunda opcion.
Definicion 1 Sean Xi con i = 1, . . . , n independientes e identicamente distribui-dos (iid) con distribucion normal con media µ y desviacion tıpica σ conocidas.
R = maxi
Xi − mıni
Xi, (3.5)
es el rango de la muestra aleatoria considerada y
W =R
σ(3.6)
es el rango relativo.
Los parametros de la distribucion del rango relativo W depende solamente deltamano muestral n que es conocido. En particular, se tiene que
EW = d2. (3.7)
Existen tablas con los valores de d2 como funcion de n. Pero
EW = ER
σ=
ER
σ. (3.8)
La esperanza del rango, ER, la estimamos mediante
ER = R =1
m
m∑
i=1
Ri, (3.9)
donde Ri es el rango correspondiente a la i-esima muestra. Finalmente estimare-mos la desviacion tıpica como:
σ =R
d2. (3.10)
En consecuencia los lımites inferior y superior de control del grafico X son
LSC = ¯X +3
d2
√n
R, (3.11)
y
LIC = ¯X − 3
d2
√n
R. (3.12)
Denotando
A2 =3
d2
√n
, (3.13)
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Cuadro 3.1: Factores necesarios para el calculo de los graficos de control X y R
n A2 D3 D4
2 1.880 0 3.2673 1.023 0 2.5754 0.729 0 2.2825 0.577 0 2.1156 0.483 0 2.0047 0.419 0.076 1.9248 0.373 0.136 1.8649 0.337 0.184 1.81610 0.308 0.223 1.777
y ¯x, r los valores muestrales de los correspondientes estadısticos entonces el valorcentral y los valores superior e inferior del grafico de control X son
LSC = ¯x + A2r (3.14)
LC = ¯x (3.15)
LIC = ¯x − A2r (3.16)
Los valores de A2 tambien aparecen tabulados. En particular, aparecen en latabla 3.1
La segunda opcion consistente en estimar la desviacion tıpica mediante ladesviacion tıpica muestral es mas eficiente. Sin embargo, la diferencia no es apre-ciable para los tamanos muestrales habituales de n = 4, 5, 6.
3.2. Grafico R
En el caso de conocer la media y la desviacion tıpica del rango entoncespodrıamos tener un grafico R sin necesidad de estimar los parametros. El graficotendrıa como valores centrales y lımites superior e inferior los siguientes
LSC = µR + 3σR (3.17)
LC = µR (3.18)
LIC = µR − 3σR, (3.19)
donde µR y σR son la media y desviacion tıpica del rango y la caracterıstica decalidad a utilizar es el rango de los valores observados. Si asumimos no conocidosla media y desviacion estandar (como es lo habitual) del rango R entonces: µR esestimada mediante r. Puesto que la desviacion tıpica de W , que se suele denotarmediante d3, es un funcion de n conocida entonces:
R = Wσ, (3.20)
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de donde,σR = d3σ. (3.21)
La desviacion tıpica σ es estimada como antes mediante
σ =R
d2, (3.22)
y el estimador de σR es
σR = d3R
d2. (3.23)
Finalmente la lınea central y los lımites de control superior e inferior de un graficoR vienen dados por
LSC = R + 3d3
d2R = (1 + 3
σW
d2)R (3.24)
LC = R (3.25)
LIC = R − 3d3
d2
R = (1 − 3d3
d2
)R (3.26)
Si denotamos
D3 = 1 − 3d3
d2
(3.27)
y
D4 = 1 + 3d3
d2
(3.28)
y sustituimos los estimadores por las estimaciones tenemos
LSC = D4r (3.29)
LC = r (3.30)
LIC = D3r. (3.31)
Los valores de D3 y D4 para distintos valores de n aparecen recogidos en la tabla3.1.
Notemos que estamos estimando unos parametros asumiendo que las muestrasde que disponemos estan bajo control. Sin embargo, si existen sospechas sobre lasmuestras podemos realizar un procedimiento iterativo para la determinacion delos lımites del grafico de control. De este modo si encontramos causas asignablesa muestras que aparecen fuera de control se eliminan y recalculan los lımites decontrol. Veamos la construccion con R de los graficos de control considerados.
Notas de R 6 #Graficos de control bar-x y R
#Datos de pagina 177 de Montgomery 1985
#Anillos de pistones
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x = read.table(file=’mont177.dat’,header=FALSE)
dim(x)
bar.x = apply(x,1,mean)
rango = apply(x,1,range)
rango = rango[2,] - rango[1,]
bar.rango = mean(rango)
D3 = 0
D4 = 2.115
#Grafico R
LCC = bar.rango
LSC = bar.rango * D3
LIC = bar.rango * D4
plot(1:nrow(x),rango,ylim=c(LIC,LSC),type=’l’)
abline(h=LCC)
abline(h=LIC)
abline(h=LSC)
#Grafico bar-X
LCC = mean(bar.x)
A2 = 0.577
LSC = LCC + A2*bar.rango
LIC = LCC - A2*bar.rango
plot(1:nrow(x),bar.x,ylim=c(LIC,LSC),type=’l’)
abline(h=LCC)
abline(h=LIC)
abline(h=LSC)
En la figura 3.1 tenemos los dibujos correspondiente al codigo anterior.
Tomamos muestras adicionales de anillos y los analizamos utilizando los lımitesde control previamente determinados. Los graficos correspondientes aparecen enfigura 3.2. ¿Que conclusiones podemos obtener? ¿Tenemos un proceso bajo con-trol?
25
(a)
(b)
Figura 3.1: Grafico de control R y X
26
(a)
(b)
Figura 3.2: Graficos de control X (a) y R (b) correspondientes a datos en Mont-gomery, pagina 182
27
3.3. Lımites de control y lımites de especificacion
Un punto a considerar es que no hay relacion entre los lımites de control delos graficos de control X y R y los lımites de especificacion. Los lımites de controlestan basados y por lo tanto describen la variabilidad presente en el proceso,son los lımites de tolerancia natural del proceso. Los lımites de especificacion sondeterminados externamente: por el usuario, por el empresario, por una normativa,por el disenador. No existe ningun tipo de relacion matematica o estadıstica entrelımites de control y lımites de especificacion.
3.4. Lımites probabilısticos para los graficos de
control X y R
Una vez elegida la caracterıstica W de calidad que vamos a controlar hemosdeterminado los lımites basandonos en un numero entero de desviaciones tıpicasde dicha caracterıstica o, mejor, del valor estimado de su desviacion tıpica. ¿Porque no considerar un intervalo en donde especifiquemos la probabilidad de perte-nencia de la variable al intervalo? Parece mas natural tomar unos lımites talesque
P (LL ≤ W ≤ UL) = 1 − α, (3.32)
con α un valor predeterminado. Esto es habitual en el Reino Unido y algunospaıses del este europeo.
En el caso del grafico X la solucion no es difıcil ya que la variable X tieneuna distribucion aproximadamente normal. Los lımites de control serıan los dadosanteriormente sustituyendo el valor de k por el percentil 1−α/2 de la distribucionnormal. Concretamente, tomarıamos k = Z1−α/2. Realmente un valor k = 3corresponde con α = ,0027. Cuando se especifican los lımites en terminos deprobabilidad es habitual tomar α = ,002 o, lo que es equivalente, k = Z1−α/2 =3,09. Vemos que son maneras alternativas de expresar un mismo grafico.
Algo similar se puede hacer para el grafico R.
3.5. Estimacion de la capacidad del proceso
Cuando hablamos de la capacidad del proceso nos estamos refiriendo a lacuantificacion de la capacidad que nuestro proceso de fabricacion tiene de fabricarpiezas que verifican los lımites de especificacion.
Volvamos al ejemplo de los anillos. Habıamos estimado una media ¯x = 74,001mm.La desviacion estandar venıa dada por σ = R
d2= ,0099. Los lımites de especifi-
cacion del proceso venıan dados por 74 ± ,03, en consecuencia, bajo la hipotesisde normalidad tendrıamos que la fraccion de piezas no conformes serıa de
p = P (X < 73,970) + P (X > 74,03) = ,00256. (3.33)
28
Aproximadamente, el .256% de las piezas no son utilizables. Notemos que conuna gran produccion podemos estar hablando de bastantes piezas. Otra formade cuantificar la produccion aprovechable serıa con el cociente de capacidad delproceso (abreviadamente, CCP) dado por
CCP =LSE − LIE
6σ, (3.34)
donde LSE y LIE son los lımites superior e inferior de especificacion. El ancho6σ (3 σ a cada lado de la media) recibe el nombre de capacidad basica delproceso mientras que los lımites 3σ de cada lado de la media reciben el nombrede lımites de tolerancia naturales. 1
CCP100 es el porcentaje del ancho de las
especificaciones utilizadas por el proceso.
(a) CCP > 1: pocas unidades defectuosas.
(b) CCP = 1: 0.27% de unidades defectuosas.
(a) CCP < 1: muchas unidades defectuosas.
La definicion de CCP asume que el proceso esta centrado en la dimension nom-inal. Es razonable considerar CCP como una medida de la capacidad potencial(si estuviera centrado entonces sı que medirıa su capacidad). En un proceso nocentrado la capacidad es menor. Definimos CCPk como un indicador mas robustofrente a la no centralidad del proceso:
CCPk = maxLSE − µ
3σ,µ − LIE
3σ. (3.35)
Notemos que si CCP = CCPk entonces el proceso esta centrado en µ. Sepuede calcular (hay tablas) el porcentaje de piezas que no cumplen las especi-ficaciones para un valor dado de CCP asumiendo que: (i) La caracterıstica decalidad sigue una distribucion normal. (ii) El proceso esta centrado. (ii) El pro-ceso esta bajo control estadıstico (no hay causas asignables).
En muchas companıas se suele utilizar: CCP=1.33 de un modo generico yCCP=1.66 si la caracterıstica de calidad se refiere a resistencia o seguridad. Tam-bien se utiliza CCPk = 2 que recibe el nombre de proceso 6-sigma ya que ladistancia entre la media y la especificacion mas cercana es de seis desviacionesestandar.
Veamos como analizar la capacidad del proceso utilizando el paquete qcc.
3.6. Graficos de control X y S
Se utilizan cuando n es moderadamente grande, en concreto, para valores de nmayores de 10 o 12. En estas situaciones, estimar la desviacion tıpica basandonos
29
en el rango es poco eficaz. En estos casos, sustituimos el control de la variabilidadbasada en el grafico R por el grafico S. Tambien modificamos el modo en quese calcula el grafico X. Esencialmente lo que vamos a modificar es el proced-imiento utilizado para estimar la desviacion tıpica lo que supondra que tambienmodifiquemos el grafico X.
Ahora vamos a calcular para cada grupo de tamano n la media y la desviacionestandar, S, dada por
S2 =
∑ni=1(xi − x)2
n − 1. (3.36)
S no es estimador insesgado de σ. En concreto tenemos que
ES = c4σ, (3.37)
donde
c4 =
√2
n − 1
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2), (3.38)
donde Γ denota la funcion gamma. Ademas tenemos que
σS =√
var(S) = σ√
1 − c24. (3.39)
Vamos a utilizar estas igualdades para construir los graficos de control. Si cono-cemos el valor de σ (cosa poco frecuente) los lımites de control vendrıan dadospor
LSC = c4σ + 3σ√
1 − c24, (3.40)
LC = c4σ, (3.41)
LIC = c4σ − 3σ√
1 − c24. (3.42)
(3.43)
Se suele denotar
B5 = c4 − 3σ√
1 − c24, (3.44)
B6 = c4 + 3√
1 − c24, (3.45)
de modo que el grafico de control quedarıa
LSC = B6σ (3.46)
LC = c4σ, (3.47)
LIC = B5σ. (3.48)
(3.49)
30
Los valores de B5 y B6 estan tabulados. En la situacion mas habitual en que σhay que estimarla tendremos m muestras de tamano n siendo Si la desviaciontıpica de la muestra i-esima. Estimaremos ES mediante
S =1
m
m∑
i=1
Si, (3.50)
y σ lo estimamos mediante
σ =S
c4
. (3.51)
Sustituyendo los valores teoricos por las estimaciones que acabamos de dar ten-dremos que el grafico S vendra dado por
LSC = S + 3S
c4
√1 − c2
4 (3.52)
LC = S, (3.53)
LIC = S − 3S
c4
√1 − c2
4. (3.54)
(3.55)
Si denotamos
B3 = 1 − 31
c4
√1 − c2
4, (3.56)
B4 = 1 + 31
c4
√1 − c2
4. (3.57)
(3.58)
Y el grafico de control serıa
LSC = B4S, (3.59)
LC = S, (3.60)
LIC = B3S. (3.61)
(3.62)
Notemos que B4 = B6/c4 y B3 = B5/c4. Teniendo en cuenta que σ = Sc4
entonces
el grafico X queda como
LSC = ¯x + 3S
c4
√n
(3.63)
LC = ¯x, (3.64)
LIC = ¯x − 3S
c4
√n
. (3.65)
(3.66)
31
Denotando
A3 =3
c4
√n
, (3.67)
tenemos que el grafico X serıa
LSC = ¯x + A3S (3.68)
LC = ¯x, (3.69)
LIC = ¯x − A3S. (3.70)
(3.71)
3.7. Tiempo hasta la deteccion. Longitud de la
racha media
En graficos de control hay dos cuestiones fundamentales que son:
1. ¿Con que frecuencia tendremos falsas alarmas? Entendemos por falsa alar-ma que tenemos un punto fuera de los lımites de control o bien detectamosun patron no aleatorio (reglas de la Western Electric) pero sin embargo elproceso de fabricacion esta bajo control.
2. ¿Con que rapidez vamos a detectar cambios sistematicos (como una modi-ficacion en la media) en el proceso de fabricacion?
La longitud de la racha media nos da el numero medio de muestras que hemosde tomar hasta obtener un punto fuera de los lımites de control. En un graficoX si suponemos que el proceso esta bajo control entonces el numero medio demuestras es igual a 1/p donde p es la probabilidad de que el estadıstico quecontrolamos este fuera de los lımites. Si trabajamos con lımites 3σ entonces p =0,0027 y la longitud de la racha media serıa de 371. Cada 371 muestras o puntos decontrol tendremos una falsa alarma. Si la media de la variable que controlamos semodifica entonces detectaremos mas rapidamente una situacion fuera de control.El numero de puntos de control que realmente necesitamos para una cambiodado de la media es una variable aleatoria. Se tiene interes en la media de estavariable en la longitud de la racha media. No es tan facil responder cual sera lalongitud de la racha media cuando incorporamos procedimientos de deteccion depatrones no aleatorios (como reglas de la Western Electric por ejemplo). En lapagina http://www.sqconline.com/runplot.html tenemos un programa que nosda interactivamente las probabilidades p correspondientes. Recordemos que elvalor que buscamos es 1/p.
Tambien el paquete qcc incorpora una funcion que nos puede servir de ayudaen este sentido. La funcion caracterıstica de operacion da la probabilidad dedeclarar bajo control un proceso que esta fuera de control cuando la media se
32
modifica. Medimos el cambio en la medio en terminos del numero de veces quese modifica la desviacion estandar como es habitual. El siguiente codigo con losdatos habituales de los diametros de los anillos de los pistones nos muestra el usoen graficos X.
data(pistonrings)
attach(pistonrings)
diameter = qcc.groups(diameter, sample)
beta = oc.curves.xbar(qcc(diameter, type="xbar", nsigmas=3,
plot=FALSE))
print(round(beta, digits=4))
# or to identify points on the plot use
## Not run: oc.curves.xbar(qcc(diameter, type="xbar", nsigmas=3,
##plot=FALSE), identify=TRUE)
detach(pistonrings)
3.8. Graficos de control para mediciones indi-
viduales
En ocasiones el tamano de la muestra de control utilizada para el control delproceso es n = 1, por ejemplo:
1. Se utiliza tecnologıa de medicion e inspeccion automatizada, con lo que seanaliza cada unidad producida.
2. El ritmo de produccion es lento, y resulta inconveniente permitir que mues-tras de tamano n > 1 se acumulen antes de ser analizadas.
3. Las mediciones repetidas de un proceso difieren solo debido a errores enel laboratorio o a errores en el analisis, como sucede en muchos procesosquımicos.
4. En cualquier proceso donde la variabilidad entre muestras tenga una desviacionestandar muy pequena.
En situaciones como las descritas es de interes un grafico de control para indi-viduos. Este grafico utiliza el rango movil de dos observaciones consecutivas paraestimar la variabilidad del proceso. El rango movil se define como
MRi =| Xi − Xi−1 | (3.72)
La idea es: construir grupos artificiales formados por una observacion y la sigu-iente. Podemos generalizar la idea anterior tomando una observacion y tres ocuatro o mas consecutivas a ella. Hablarıamos de rangos moviles de orden mayor
33
a uno. ¿Como vamos a contruir el grafico de control de rango movil? Recordemosque el grafico de control de rango viene dado por
LSC = D4r (3.73)
LC = r (3.74)
LIC = D3r. (3.75)
Sustituimos r por mr y tenemos en cuenta que n = 2, de donde, D3 = 0 yD4 = 3,267. Tenemos el grafico de control de rango movil:
LSC = 3,267mr (3.76)
LC = mr (3.77)
LIC = 0. (3.78)
Vamos a determinar el grafico de control para individuos. Recordemos que elgrafico de control X es:
LSC = ¯x + A2r (3.79)
LC = ¯x (3.80)
LIC = ¯x − A2r (3.81)
donde
A2 =3
d2
√n
. (3.82)
Si sustituimos r por mr, n = 1 y que ¯x = x entonces el grafico de control paraindividuos viene dado por
LSC = x + 3mr
d2
(3.83)
LC = x (3.84)
LIC = x − 3mr
d2(3.85)
Ejemplo 2 (Mediciones de concentracion de un proceso quımico) Medimosla concentracion cada hora. Si tomamos varias mediciones simultaneamente en-tonces la variabilidad observada responde al error de medicion que es pequeno. Elgrafico de control de rango movil es
LSC = 3,267mr = 8,46 (3.86)
LC = mr = 2,59 (3.87)
LIC = 0. (3.88)
34
Todos los puntos estan entre los lımites de control. Construimos el grafico decontrol para individuos como
LSC = x + 3mr
d2
= 105,99 (3.89)
LC = x = 99,1 (3.90)
LIC = x − 3mr
d2= 92,21 (3.91)
ya que para n = 2: d2 = 1,128. Notemos que todos los puntos estan entre loslımites de control.
La interpretacion del grafico de control para individuos es analoga a la del graficoX. Debe tenerse cuidado con la interpretacion de patrones en el grafico de controlde rango movil ya que:
1. Los distintos rangos moviles estan correlacionados.
2. Esta correlacion induce patrones que no se deben a causas asignables.
3. Los patrones no aleatorios hay que buscarlos en el grafico de individuos.
El grafico de control para individuos es poco sensible a pequenos corrimientos enla media del proceso. Por ejemplo: un corrimiento en la media de una desviacionestandar, da lugar a una longitud de racha promedio LCP = 43,9 muestras. Seha sugerido utilizar lımites de control mas estrechos que los 3-sigma en este tipode graficos de control. Sin embargo, se aumentan las falsas alarmas e inutiliza engran media el uso del procedimiento. Una alternativa mejor es utilizar el graficode control de suma acumulada.
3.9. Grafico de control de suma acumulada
Los graficos de control de Shewhart son poco sensibles a pequenos corrimientosde la media (del orden de 1,5σ o inferiores). ¿Por que? Utilizan informacion delultimo punto. No consideran toda la secuencia. Alternativas como las reglas dela Western Electric tienen inconvenientes: (i) Se complica la interpretacion delgrafico. (ii) La longitud de corrida promedio bajo control se reduce por debajode 370. El incremento de las falsas alarmas puede tener consecuencias practicasserias.
Una alternativa es utilizar los graficos de control de sumas acumuladas ograficos cusum. Tomamos muestras de tamano n ≥ 1 con Xj la j-esima mediamuestral y sea µ0 el valor nominal o media deseada del proceso. El grafico de con-trol de suma acumulada consiste en representar las sumas dadas por la siguienteecuacion
Si =
i∑
j=1
(Xj − µ0), (3.92)
35
con i = 1, . . . , m. Notemos que las sumas Si combinan informacion de distintasmuestras. El punto basico a tener en cuenta es que si el proceso esta bajo controlalrededor de µ0, los distintos Si han de fluctuar alrededor de cero. Si la media sedesplaza a µ1 mayor que µ0 entonces los Si tenderan a tomar valores positivosy cada vez mayores. Si la media se desplaza a µ1 menor que µ0 entonces losSi tenderan a tomar valores negativos y cada vez menores. En consecuencia, laobservacion de una tendencia en el grafico es un indicativo de que ha habido unamodificacion de la media y la busqueda de alguna causa asignable debiera dehacerse. Nos vamos a centrar en el grafico de sumas acumuladas para la mediadel proceso. Se pueden plantear para el numero de defectos, para la desviacionestandar o para el rango.
¿Como disenar un procedimiento formal para determinar si el proceso esta fuerade control? La mascara V es un procedimiento habitual. Fue propuesto por Barn-hard en 1959. En la figura 3.3 aparece la mascara que utilizamos para controlar lassumas acumuladas. El origen se coloca en cada una de las sumas y los puntos an-teriores han de estar contenidos entre los brazos de la mascara. El funcionamientodel procedimiento depende de la distancia d y el angulo θ que definen la mascaraV. Si denotamos por σX la desviacion tıpica de X, α la probabilidad de errortipo I (se ha producido un corrimiento pero no es cierto que se ha producido),β la probabilidad del error tipo II (no detectamos un corrimiento que si se haproducido) y ∆ el corrimiento mınimo en la media del proceso que deseamosdetectar entonces valores habituales de la mascara V son los siguientes:
d =2
δ2ln(
1 − β
α) (3.93)
y
θ = arctan(∆
2k) (3.94)
con
δ =∆
σX
(3.95)
la magnitud del corrimiento expresado en unidades de desviacion estandar de lamedia. k es un factor de escala que relaciona la unidad del eje de ordenadas conla unidad del eje de abscisas. Habitualmente k esta entre σX y 2σX siendo unvalor razonable 2σX .
Veamos una implementacion tabular para el grafico de suma acumulada. Esutil para la programacion del procedimiento. Tomamos
b = tan(2θσX) (3.96)
yh = 2dσX tan θ (3.97)
Definimos la suma acumulada unilateral superior en el periodo i como:
SH(i) = max0, xi − (µ0 + b) + SH(i − 1), (3.98)
36
y la suma acumulada unilateral inferior como
SL(i) = max0, (µ0 − b) − xi + SL(i − 1). (3.99)
dondeSH(0) = SL(0) = 0. (3.100)
SH(i) y SL(i) acumulan las desviaciones, respecto al valor deseado, que son may-ores que b, con ambas cantidades puestas a cero cuando se convierten en negativas.Si SH(i) o SL(i) exceden el valor h entonces el proceso esta fuera de control.
3.10. Problemas
1. Se toman muestras de tamano n = 8 en un proceso de manufactura en in-tervalos regulares. Se mide una cierta caracterıstica de calidad y denotamospor x y r los valores que calculamos en cada muestra. Despues de tomar 50muestras tenemos que
50∑
i=1
xi = 2000, y
50∑
i=1
ri = 250. (3.101)
Suponemos que la caracterıstica de calidad tiene una distribucion normal.Se pide:
a) Determinar los lımites de control para los graficos X y R.
b) Suponemos que todos los puntos caen entre los lımites de control de-terminados en el punto anterior. ¿Cuales son los lımites de tolerancianaturales del proceso?
c) Si los lımtes de especificacion son 41±5,0, ¿cuales son tus conclusionessobre la capacidad que tiene el proceso de fabricar piezas dentro de loslımites de especificacion?
d) Supongamos que si una pieza supera el lımite superior de especificacionentonces puede ser reelaborado. Sin embargo, si esta por debajo dellımite inferior ha de ser desechado. . ¿Que porcentaje hemos de rec-hazar y que porcentaje hemos de reelaborar?
2. Se toman muestras de tamano n = 6 en un proceso de manufactura en in-tervalos regulares. Se mide una cierta caracterıstica de calidad y denotamospor x y s los valores de la media muestral y la desviacion tıpica calculadasen cada muestra. Despues de tomar 50 muestras tenemos que
50∑
i=1
xi = 1000, y
50∑
i=1
si = 75. (3.102)
37
(a)
(b)
Figura 3.3: Metodo de sumas acumuladas: la mascara V (a). El angulo θ es elformado por cada brazo con la horizontal. (b) Uso del metodo
38
Suponemos que la caracterıstica de calidad tiene una distribucion normal.Se pide:
a) Determinar los lımites de control para los graficos X y S.
b) Suponemos que todos los puntos caen entre los lımites de control de-terminados en el punto anterior. ¿Cuales son los lımites de tolerancianaturales del proceso?
c) Si los lımtes de especificacion son 19±4,0, ¿cuales son tus conclusionessobre la capacidad que tiene el proceso de fabricar piezas dentro de loslımites de especificacion?
d) Supongamos que si una pieza supera el lımite superior de especificacionentonces puede ser reelaborado. Sin embargo, si esta por debajo dellımite inferior ha de ser desechado. . ¿Que porcentaje hemos de rec-hazar y que porcentaje hemos de reelaborar?
e) Si el proceso estuviera centrado en µ = 19,0, ¿que efecto tendrıa sobreel porcentaje de piezas a desechar y a reelaborar?
3. Tomamos muestras de tamano n = 6 en un proceso cada media hora.Despues de haber recogido 50 muestras obtenemos que ¯x = 20,0 y s =1,5. Supongamos que ambos graficos muestran que el proceso esta bajocontrol. Tambien asumimos que la caracterıstica que controlamos tiene unadistribucion normal. Se pide
a) Estimar la desviacion estandar del proceso.
b) Determinar los lımites de control de los graficos X y S.
c) Si la media del proceso se traslada a 22, ¿que probabilidad tenemosde concluir que el proceso todavıa esta bajo control?
4. Un grafico X tiene una lınea central de 100, utiliza lımites de control 3-sigma y esta basado en un tamano muestral de 9. Se sabe que la desviacionestandar es 6. Si la media del proceso se traslada de 100 a 92, ¿que probabili-dad tenemos de detectar este corrimiento de la media en la primera muestraque lo sigue? ¿Cual serıa el numero esperado de muestras necesarias paradetectar el corrimiento?
5. Se tienen graficos de control para X y para S. El tamano de cada muestraes n = 7. Despues de tomar 30 muestras, tenemos que
50∑
i=1
xi = 12,870, y50∑
i=1
si = 426. (3.103)
Se pide:
39
a) Determinar los lımites 3-sigma para el grafico S.
b) Suponiendo que ambos graficos muestran control, estimar los paramet-ros µ y σ.
6. Un grafico X se realiza asumiendo que los valores de los parametros sonµ = 100, σ = 8 y n = 4. Se pide:
a) Determinar los lımites de control 2-sigma.
b) Determinar los lımites probabilısticos 0,005.
40
Capıtulo 4
Graficos de control de atributos
Se utilizan cuando la caracterıstica de calidad no puede ser cuantificada. Noshemos de limitar a indicar si la unidad es conforme o no con unas especificaciones.Las caracterısticas de calidad de este tipo reciben el nombre de atributos.
Vamos a ver tres graficos de control de atributos. El primero es el grafico decontrol para la fraccion de defectuosos (o no conformes) tambien llamado graficop.
El segundo grafico va a trabajar con el numero de defectos por cada unidadmuestreada. Sera el grafico c.
4.1. Grafico p
Es un grafico de control para la fraccion de artıculos defectuosos o que nocumplen con las especificaciones. A menudo es deseable clasificar un producto co-mo defectuoso o no defectuoso comparandolo con un estandar. Se logra economıay simpleza en la inspeccion. Por ejemplo, verificar el diametro de un cojineteviendo si pasa por un probador que consiste en agujeros circulares cortados enuna plantilla. En resumen, el producto ha de verificar diversas caracterısticas decalidad simultaneamente. Si esto no es ası entonces la unidad es clasificada comono conforme.
El grafico de control para la fraccion de unidades no conformes se basa en ladistribucion binomial. Denotamos por p la fraccion de piezas no conformes que seproducen cuando el proceso esta funcionando de un modo estable. El resultadocon cada unidad es una variable Bernoulli con parametro p. Si seleccionamos unamuestra de tamano n y D es el numero de unidades no conformes entonces
D ∼ Bi(n, p), (4.1)
es decir, tiene una distribucion binomial con parametro n y p.Estimamos p mediante la fraccion de artıculos defectuosos en la muestra
p =D
n. (4.2)
41
Tenemos queEp = µ = p, (4.3)
y la varianza de p viene dada por
var(p) =p(1 − p)
n. (4.4)
El grafico p para la fraccion de artıculos defectuosos serıa, si conocemos p,
LSC = p + 3
√p(1 − p)
n(4.5)
LC = p (4.6)
LIC = p − 3
√p(1 − p)
n(4.7)
Normalmente p es desconocido y lo que hacemos es tomar m muestras de tamanon. Normalmente m suele variar entre 20 y 25. Sea Di el numero de unidadesno conformes en la muestra i. Entonces pi = Di
nes la proporcion de artıculos
defectuosos en la muestra i. Estimaremos p mediante
p =1
m
m∑
i=1
pi =1
mn
m∑
i=1
Di. (4.8)
El grafico p para la fraccion de artıculos defectuosos es
LSC = p + 3
√p(1 − p)
n(4.9)
LC = p (4.10)
LIC = p − 3
√p(1 − p)
n. (4.11)
El grafico de control anterior esta basada en la aproximacion normal a la dis-tribucion binomial. Con p pequeno puede no ser adecuada. En estos casos puedenemplearse las probabilidades binomiales directamente. Si p es pequeno, el lımiteinferior puede ser negativo: tomamos el valor 0.
En principio, puede parecer innecesario controlar inferiormente. Si una mues-tra cae por debajo del lımite inferior significarıa en principio un mejor fun-cionamiento del proceso. En muchas ocasiones, esto se debe a errores de inspeccionmas que a una mejora real.
Tambien podemos controlar el total de unidades no conformes en lugar dela fraccion. Es incluso mas facil de interpretar por el personal que realiza lainspeccion. Tendrıamos el grafico np que vendrıa dado por
LSC = np + 3√
np(1 − p) (4.12)
LC = p (4.13)
LIC = np − 3√
np(1 − p) (4.14)
42
El siguiente codigo muestra como podemos obtener estos graficos de controlcon el paquete qcc.
data(orangejuice)
attach(orangejuice)
qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p")
inc = setdiff(which(trial), c(15,23))
q1 = qcc(D[inc], sizes=size[inc], type="p")
qcc(D[inc], sizes=size[inc], type="p", newdata=D[!trial],
newsizes=size[!trial])
detach(orangejuice)
data(orangejuice2)
attach(orangejuice2)
names(D) = sample
qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p")
q2 = qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p",
newdata=D[!trial], newsizes=size[!trial])
detach(orangejuice2)
oldpar = par(no.readonly = TRUE)
par(mfrow=c(1,2), mar=c(5,5,3,0))
plot(q1, title="First samples", ylim=c(0,0.5), add.stats=FALSE,
restore.par=FALSE)
par("mar"=c(5,0,3,3), yaxt="n")
plot(q2, title="Second sample", add.stats=FALSE, ylim=c(0,0.5))
par(oldpar)
Tambien podemos evaluar la curva caracterıstica de operacion.
data(orangejuice)
attach(orangejuice)
beta <- oc.curves(qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p",
plot=FALSE))
print(round(beta, digits=4))
# or to identify points on the plot use
## Not run: oc.curves(qcc(D[trial], sizes=size[trial], type="p",
## plot=FALSE), identify=TRUE)
detach(orangejuice)
43
4.1.1. Tamanos variables
¿Que ocurre cuando el numero de unidades que componen nuestra muestra esvariable? En este caso, el grafico de control debiera de considerar este hecho. Dosson las opciones que se emplean. La primera consiste en estimar la proporcion pglobalmente y luego ajustar la desviacion tıpica de cada muestra considerando sutamano. Si denotamos ni el tamano de la i-esima muestra entonces estimamos pmediante
p =
∑mi=1 Di∑mi=1 ni
. (4.15)
Los lımites de control para la muestra i-esima serıan
LSC = p + 3
√p(1 − p)
ni(4.16)
LC = p (4.17)
LIC = p − 3
√p(1 − p)
ni
. (4.18)
Esto produce unos lımites de control que no son constantes de muestra a muestra.En el caso en que los tamanos no sean muy distintos puede ser mas practicotomar una especie de tamano promedio que aproxime mas o menos bien a todoslos puntos. En concreto, tomarıamos
n =
∑mi=1 ni
m(4.19)
y lo utilizarıamos para todos los puntos. Esta aproximacion solo serıa utilizablecuando los tamanos no son muy distintos.
4.2. Grafico C
Una unidad no conforme es una unidad de producto que no satisface una omas de una especificacion del producto. Cada punto en el cual no se verifica unaespecificacion constituye un defecto o no conformidad. Una unidad o item noconforme tiene como mınimo una no conformidad o defecto.
Un ejemplo, supongamos que revisamos un monitor TFT. Concretamente elnumero de pıxeles en mal estado. Si el numero de pıxeles no es muy grande el pro-ducto puede prestar su servicio con una buena calidad. Obviamente, un numeroexcesivo de pıxeles que no funcionan adecuadamente sera algo desagradable parael usuario y finalmente repercutira en la venta del mismo.
Se puede trabajar con graficos de control para el numero total de defectos enla muestra o bien con el numero de defectos por unidad que compone la muestra.
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En un grafico de control del numero de defectos controlamos el numero totalde defectos en la muestra de n unidades, C. El modelo probabilıstico que sesuele asumir para el numero de defectos es una distribucion de Poisson. Esto esadecuado si el numero de puntos en donde puede aparecer una no conformidad esmuy grande (recordar el ejemplo del monitor) y la probabilidad de que se presentees muy pequena. Ademas la unidad de inspeccion ha de ser la misma en cadamuestra.
SuponemosC ∼ P (λ), (4.20)
es decir, que la funcion de probabilidad viene dada por
P (C = x) = e−λ λx
x!con x = 0, 1, . . . (4.21)
Es un hecho bien conocido que la media y la varianza de la distribucion coincideny son iguales a λ: EC = var(C) = λ.
Los lımites (teoricos y desconocidos) del grafico de control serıan
LSC = λ + 3√
λ
LC = λ
LIC = λ − 3√
λ
Si el lımite de control inferior es negativo tomarıamos el valor 0 en su lugar. Unpunto importante a destacar es que al no ser simetrica la distribucion de Poissonno tenemos el mismo riesgo de falsa alarma por arriba que por abajo. Algunosautores sugieren mas razonable trabajar en este grafico con lımites probabilısticos.
Si no conocemos λ entonces tomaremos, como es habitual, m muestras siendoCi el numero de defectos en la i-esima muestra y consideraremos el siguienteestimador.
λ = C =1
m
m∑
i=1
Ci. (4.22)
El grafico de control C viene dado por
LSC = c + 3√
c
LC = c
LIC = c − 3√
c
Tambien siguiendo el procedimiento habitual de contruccion de los graficos decontrol si no tenemos valores estandar tomaremos una primera muestra. A partirde esta muestra inicial determinaremos los lımites anteriores como lımites deprueba. Quitaremos las muestras que aparecen fuera de control y recalculamoslos lımites. Aplicaremos el procedimiento iterativamente. Veamos un ejemplo deanalisis con el grafico C utilizando la librerıa qcc.
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data(circuit)
attach(circuit)
qcc(x[trial], sizes=size[trial], type="c")
## Quitamos los puntos fuera de control
inc <- setdiff(which(trial), c(6,20))
qcc(x[inc], sizes=size[inc], type="c", labels=inc)
qcc(x[inc], sizes=size[inc], type="c", labels=inc,
newdata=x[!trial], newsizes=size[!trial], newlabels=which(!trial))
qcc(x[inc], sizes=size[inc], type="u", labels=inc,
newdata=x[!trial], newsizes=size[!trial], newlabels=which(!trial))
detach(circuit)
Finalmente tambien podemos utilizar la curva caracterıstica de operacion.
data(circuit)
attach(circuit)
q <- qcc(x[trial], sizes=size[trial], type="c", plot=FALSE)
beta <- oc.curves(q)
print(round(beta, digits=4))
# or to identify points on the plot use
oc.curves(qcc(x[trial], sizes=size[trial],
type="c", plot=FALSE), identify=TRUE)
detach(circuit)
4.3. Grafico U
Es un grafico de control de defectos por unidad. Utilizamos el promedio dedefectos por unidad en la muestra. Si tenemos n unidades y un total de defectosC entonces
U =C
n, (4.23)
es el promedio de defectos por unidad. Un detalle curioso: podemos tener unacantidad no entera de unidades. En este caso tenemos EU = λ/n y var(U) = λ/n2
por lo que var(U) = EU/n. Con m muestras preliminares y valores observadosu1, . . . , um entonces estimamos la media U , EU , mediante
u =1
m
m∑
i=1
ui. (4.24)
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Teniendo en cuenta que la desviacion tıpica de U verifica σU =√
var(U) =√EU/n estimaremos σU mediante
√u/n. El grafico de control U es el siguiente:
LSC = u + 3
√u
nLC = u
LIC = u − 3
√u
n
Acabamos la seccion con el analisis de unos datos utilizando la librerıa qcc.
data(pcmanufact)
attach(pcmanufact)
qcc(x, sizes=size, type="u")
detach(pcmanufact)
4.4. Problemas
1. Un grafico de control indica que la fraccion de items no conformes es de0,02. Inspeccionamos 50 items cada dıa: ¿cual es la probabilidad de detectarun corrimiento en la fraccion de no conformes a 0,04 el primer dıa despuesde producirse? ¿Y al final del tercer dıa despues del corrimiento?
2. Un grafico de control para el numero de piezas no conformes es mantenidopara un proceso donde np = 16. Tomamos un tamano muestral diario de100 unidades.
a) ¿Cual es la probabilidad de detectar un corrimiento de la media delproceso a np = 20 el primer dıa despues del corrimiento? ¿Y la prob-abilidad de detectarlo como mucho al final del tercer dıa?
b) Determinar el tamano muestral necesario para que tengamos un lımiteinferior de control positivo.
3. Un grafico de control para la fraccion de no conformes se ha disenado conuna lınea central de p = 0,1 ¿Que tamano muestral es necesario si queremosdetectar un corrimiento en la fraccion de no conformes de a p = 0,16 conuna probabilidad de 0,5?
4. Un proceso es controlado con grafico de control de fraccion de no conformesy lımites 3-sigma, n = 100, LSC = 0,161, LC = 0,08 y LIC = 0. Se pide:
a) Determinar el grafico de control equivalente para el numero de noconformes.
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b) Utilizar la aproximacion de Poisson a la binomial para determinar laprobabilidad de un error tipo I.
c) Determinar la probabilidad de un error tipo II si la fraccion de noconformes para a ser de 0,2.
d) ¿Cual es la probabilidad de detectar el corrimiento del apartado ante-rior como mucho en la cuarta muestra despues del mismo?
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Capıtulo 5
Muestreo de aceptacion
Tenemos un lote de unidades fabricadas. De ese lote tomamos una muestra yutilizando la informacion de esta muestra hemos de tomar la decision de aceptaro rechazar todo el lote. Esta tecnica de control de calidad recibe el nombre demuestreo de aceptacion de lotes o simplemente muestreo de aceptacion.
Existen dos tipos de planes de muestreo de aceptacion: por atributos o porvariables. Notemos que el muestreo de aceptacion simplemente trata de decidir siel lote es aceptable o no lo es. No pretende estimar la calidad del lote. ¿Cuandoempleamos muestreo de aceptacion?
1. Cuando el testeo de una unidad destruye la unidad examinada.
2. Cuando el coste de inspeccionar todas las unidades del lote es muy alto.
3. Cuando lleva mucho tiempo inspeccionar todas las unidades del lote.
5.1. Planes de muestreo de aceptacion
Un plan de muestreo de aceptacion de lotes es un procedimiento de muestreo yun conjunto de reglas para tomar decisiones. La decision, que ha de estar basadaen el numero de unidades defectuosas en la muestra, puede ser:
1. Aceptar el lote.
2. Rechazar el lote.
3. Tomar otra muestra y repetir el proceso.
Veamos algunos tipos de planes de muestreo.
Planes de muestreo simples: Tomamos una sola muestra del lote. Se les de-nota como planes (n, c) donde n denota el tamano de la muestra y c elnumero de defectuosos. Si hace al menos c defectuosos rechazamos el lote.Son los mas utilizados y los mas sencillos.
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Planes de muestreo dobles: Tomamos una muestra y tomamos una de tresopciones posibles:
1. Aceptamos el lote.
2. Rechazamos el lote.
3. Ninguna decision.
En el tercer caso tomamos una segunda muestra y la decision se tomacombinando los resultados de las dos muestras.
Planes de muestreo multiples: Extendemos los planes de muestreo dobles amas de dos muestras antes de tomar una decision.
Planes de muestreo secuenciales: Seleccionamos los items del lote de uno enuno. Despues de muestrear cada unidad tomamos una de las tres posiblesdecisiones: rechazar el lote, aceptar el lote o muestrear otra unidad.
Veamos tambien alguna terminologıa basica en el muestreo de aceptacion.
Nivel de calidad aceptable (AQL, acceptable quality level): AQL es el por-centaje de defectuosos. El productor quiere un plan de muestreo que de unaalta probabilidad de aceptar un lote cuya proporcion de unidades defectu-osas sea menor o igual a AQL.
Porcentaje de defectuosos para tolerancia del lote: (LPTD, lot tolerancepercent defective). LTPD es un nivel alto de defectos que es inaceptablepara el consumidor. El consumidor desea un plan de muestreo con una bajaprobabilidad de aceptar un lote con un nivel de unidades defectuosas talalto como LTPD.
Error tipo I, riesgo del productor: Es la probabilidad, para un plan de muestreo(n, c), de rechazar un lote que tiene un nivel de defectuosos igual a AQL.El productor pierde ya que un lote de calidad aceptable es rechazado. Sedenota por α y los valores habituales van de 0,2 a 0,01.
Error tipo II, riesgo del consumidor: Probabilidad, para un plan (n, c), deaceptar un lote con un nivel de defectos igual a LTPD. El consumidor pierdeya que acepta un lote con una calidad inaceptable. Se denota con β y tomavalores de 0,2 a 0,01.
Curva caracterıstica de operacion: Representamos la probabilidad de acep-tar el lote frente al porcentaje de unidades defectuosas en el lote.
Calidad de salida media (AOQ, average outgoing quality): Cuando el muestreono es destructivo entonces es habitual muestrear todas las unidades de loslotes rechazados y sustituirlas todas las unidades defectuosas por unidades
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correctas o conformes. De este modo solo tenemos defectos en los lotes queson aceptados. AOQ es el nivel de defectos en este procedimiento. Supong-amos que la proporcion de defectuosas es p y que la curva caracterıstica deoperacion para el plan (n, c) nos da una probabilidad pa de aceptar el lote.Entonces tenemos que
AOQ =pap(N − n)
N, (5.1)
donde N es el tamano del lote.
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52
Capıtulo 6
Conceptos basicos deProbabilidad y Estadıstica
6.1. Probabilidad
Dadas un conjunto de condiciones, un experimento, no siempre podemos pre-decir exactamente lo que va a ocurrir. La Probabilidad es la disciplina matematicaque estudia estos experimentos.
En primer lugar determinamos el conjunto de posibles resultados que se puedeproducir en la experiencia, es el espacio muestral, Ω. Los posibles subconjuntosde A ⊂ Ω son los sucesos aleatorios y la probabilidad no nos dice si cada suce-so si va a producir o no sino que se limita a cuantificar para cada experimentola mayor o menor certidumbre que tenemos en la ocurrencia de A antes de re-alizar la experiencia. P (A) es como se suele denotar habitualmente la probabilidaddel suceso A. Obviamente cada suceso tiene asignada una probabilidad. Han dedarse unas condiciones de consistencia mınimas que han de verificar las distintasprobabilidades de los sucesos aleatorios. Son las siguientes
Definicion 2 (Medida de probabilidad) P funcion de conjunto definida so-bre los sucesos es una medida de probabilidad si:
1. (No negativa) P(A) ≥ 0 para todo A ⊂ Ω.
2. (La probabilidad del espacio muestral es uno) P(Ω) = 1.
3. (Numerablemente aditiva o σ aditiva) Si Ann≥1 es una sucesion de suce-sos disjuntos entonces
P(⋃
n≥1
An) =∑
n≥1
P(An). (6.1)
Supongamos el experimento consistente en elegir a una individuo al azar dela Comunidad Valenciana. Obviamente el espacio muestral esta formado por los
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distintos individuos. Si los numeramos tendrıamos Ω = ωiNi=i donde N es el
numero total de personas de la Comunidad. Eleccion al azar supone que cadaindividuo tiene la misma probabilidad de ser elegido y viene dada por P (ωi) =1N
. Obviamente cuando se elige una muestra de personas pensamos en algunacaracterıstica numerica de la misma por ejemplo su edad. Denotemos por X → <la aplicacion tal que X(ω) es la edad de la persona ω. Puesto que el individuo ωes seleccionado de un modo aleatorio, tambien sera aleatoria la cantidad X(ω).La aplicacion X recibe el nombre de variable aleatoria. Si B es un subconjuntoarbitrario de numeros reales entonces cualquier afirmacion de interes sobre lavariable aleatoria X suele poderse expresar como P (ω : X(ω) ∈ B). Porejemplo, si nos interesa la proporcion de personas que tienen 37 o mas anos estosupone plantearse el valor de P (ω : X(ω) ∈ [37, +∞)).
Dos son los tipos de variables de mayor interes practico, las variables aleato-rias discretas y las continuas. Una variable aleatoria se dice discreta si toma unconjunto de valores discreto, esto es, finito o si infinito numerable. Si el conjuntode valores que puede tomar lo denotamos por D entonces se define la funcion deprobabilidad de X como P (X = x). En estas variables se tiene que
P (a ≤ X ≤ b) =∑
a≤x≤b
P (X = x), (6.2)
para cualesquiera valores reales a ≤ b.Una variable aleatorio se dice continua cuando
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx, (6.3)
para cualesquiera valores reales a ≤ b. La funcion f recibe el nombre de funcionde densidad de la variable X.
De un modo generico cuando se habla de la distribucion de una variable aleato-ria X hablamos de las probabilidades P (X ∈ B) para cualquier subconjunto Bde <. Obviamente, para variables discretas,
P (X ∈ B) =∑
x∈B
P (X = x) (6.4)
y para variables continuas
P (X ∈ B) =
∫
A
f(x)dx. (6.5)
En resumen, si conocemos la funcion de probabilidad o la de densidad conocemosla distribucion de la variable.
Se define la funcion de distribucion de una variable aleatoria X como la funcionreal de variable real dada por F (x) = P (X ≤ x) con x ∈ <.
54
Una variable suele describirse de un modo simple mediante su media y suvarianza. La media nos da una idea de alrededor de que valor se producen losvalores aleatorios de la variable mientras que la varianza cuantifica la disper-sion de estos valores alrededor de la media. Se definen para variables discretascomo: la media es EX = µ =
∑x∈D xP (X = x); mientras que la varianza es
var(X) = σ2 = E(X − µ)2 =∑
x∈D(x − µ)2P (X = x). Habitualmente ademasde la varianza se suele utilizar para medir variabilidad la desviacion tıpica dadapor σ =
√var(X).
En variables continuas las definiciones de media y varianza son las analogassustituyendo sumatorios por integrales, de modo que la media se define comoEX = µ =
∫ +∞−∞ xf(x)dx mientras que la varianza sera var(X) = σ2 =
∫ +∞−∞ (x −
µ)2f(x)dx.En tablas 6.1 y 6.2 presentamos un breve resumen de las distribuciones que
vamos a utilizar en este curso.
6.2. Estadıstica
Pretendemos estimar la proporcion de personas que estan a favor del euro enEspana. Sea p dicha proporcion de personas. Es una cantidad desconocida quepretendemos conocer a partir de una muestra de personas seleccionadas al azar eindependientemente una de otra. Esto es lo que se conoce como un problema deestimacion en Estadıstica. La persona i que seleccionemos al azar producira unvalor aleatorio (porque la persona que elegimos lo hacemos de un modo aleato-rio) que denotamos Xi que tomara los valores 1 (a favor del euro) o cero (encontra de la moneda) con probabilidades p y 1 − p respectivamente. Cuando se-leccionamos los individuos no tenemos valores aleatorios X1, . . . , Xn sino valoresfijos x1, . . . , xn. Una estimacion puntual natural o logica de p serıa
p =n∑
i=1
xi
n. (6.6)
Esto es una estimacion puntual. Obviamente diferentes selecciones aleatorias pro-ducen distintos valores de modo que el estimador sera
X =n∑
i=1
Xi
n, (6.7)
es decir, un valor aleatorio que produce distintas estimaciones.Suele ser mas interesante dar, en lugar de un valor, un intervalo como esti-
macion del valor desconocido de p. Es lo que se conoce como intervalo de confi-anza. Esencialmente consiste en determinar un valor c tal que
P (X − c ≤ p ≤ X + c) ≥ 1 − α, (6.8)
55
Cuadro 6.1: Distribuciones discretas
Distribucion Funcion de probabilidad Media VarianzaBernoulli f(x|p) = px(1 − p)1−x si x = 0, 1 p p(1 − p)
Binomial f(x|n, p) =
(nx
)px(1 − p)n−x si x = 0, 1, . . . , n np np(1 − p)
Hipergeometrica f(x|A, B, n) =
0
@
Ax
1
A
0
@
Bn − x
1
A
0
@
A + Bn
1
A
si x = 0, . . . , n. nAA+B
nAB(A+B−n)(A+B)2(A+B−1)
Geometrica f(x|p) = p(1 − p)x si x = 0, 1, 2, . . . 1−pp
1−pp2
Binomial Negativa f(x|r, p) =
(r + x − 1
x
)pr(1 − p)x si x = 0, 1, 2, . . . r(1−p)
pr(1−p)
p2
Poisson f(x|λ) = e−λλx
x!si x = 0, 1, . . . λ λ
56
Cuadro 6.2: Distribuciones continuas
Distribucion Funcion de densidad Media Varianza
Uniforme f(x|α, β) = 1β−α
si α < x < β α+β2
(β−α)2
12
Normal, N(µ, σ2) f(x|µ, σ2) = 1σ√
2πe−
12(
x−µσ )
2
x ∈ < µ σ2
Gamma Ga(α, β) f(x|α, β) = βα
Γ(α)xα−1e−βx si x > 0 a α
βαβ2
Exponencial Expo(λ) f(x | λ) = 1λ
exp−xλ
si x ≥ 0 λ λ2
Ji-Cuadrado χ2(ν) X ∼ χ2(ν) si X ∼ Ga( ν2, 1
2) ν 2ν
Beta Be(α, β) f(x|α, β) = Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)
xα−1(1 − x)β−1 si 0 < x < 1 αα+β
αβ(α+β)2(α+β+1)
t-Student t(ν) f(x) =Γ( ν+1
2)√
νπΓ( ν2)
(1 + x2
ν
)− ν+12 ∀x ∈ < 0 si ν > 1 ν
ν−2si ν > 2
F-Snedecor F (m, n) f(x) =Γ( m+n
2)
Γ( m2
)Γ( n2)mm/2nn/2 xm/2−1
(mx+n)(m+n)/2 si x > 0 n(n−2)
si n > 2 2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)
si n > 4
Weibull(α, β) f(x | α, β) = αβ−αxα−1 exp−( xβ)α si x > 0 β
αΓ( 1
α) β2
α(2Γ( 2
α) − 1
αΓ2( 1
α))
Lognormal X ∼ N(µ, σ2) → eX ∼ LN(µ, σ2)
aLa funcion gamma se define como Γ(α) =∫ +∞
0xα−1 exp−xdx, que existe y es finita ∀α > 0
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donde [X − c, X + c] serıa el intervalo de confianza con nivel de confianza 1− α.Valores habitualmente utilizados para α son 0,01, 0,05 o 0,1. En el ejemplo quenos ocupa el valor de c es, para muestras n razonablemente grandes,
c = Z1−α2
√p(1 − p)
n, (6.9)
donde Z1−α2
es el 1 − α cuantil de la normal estandar (normal con media 0 yvarianza 1).
Una situacion especialmente interesante son las poblaciones normales. Si X1, . . . , Xn
son n valores independientes y con la misma distribucion N(µ, σ2). De los dosparametros µ y σ2 suele interesar fundamentalmente estimar la media µ. El in-tervalo de confianza para la media en poblaciones normales viene dado por
P (X − tn−1,1−α/2S√n≤ µ ≤ X + tn−1,1−α/2
S√n
) = 1 − α
2. (6.10)
La demostracion de este resultado se puede encontrar en cualquier libro de intro-duccion a la estadıstica.
58
Bibliografıa
[1] D.C. Montgomery. Introduction to Statistical Quality Control. Wiley, secondedition edition, 1991.
[2] NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods.http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/, 5-5-2003.
59