contribution au dimensionnement optimal d’une machine ... · les machines à aimants permanents...

Thèse

présentée pour l’obtention du titre deDOCTEUR de l’Université de Technologie de Compiègne

Contribution audimensionnement optimal d’unemachine électrique sans aimantpour la propulsion de véhicules

hybrides

Leila NGUIMPI LANGUEVersion provisoire

Soutenue publiquement le ././. devant un jury composé de :

Rapporteurs Carole HENAUX ENSEEIHTFrédéric GILLON Centrale Lille

Examinateurs Pascal BROCHET Centrale LilleSophie PERSONNAZ ValeoVincent LANFRANCHI UT CompiègneKhadija EL KADRI BENKARA UT Compiègne

Co-directeurs de thèse Guy FRIEDRICH UT CompiègneStéphane VIVIER UT Compiègne

LEC

Remerciements

« Pour qu’un enfant grandisse, il faut tout un village ! », proverbeafricain.Alors merci à tout « mon village » : famille, amis, connaissances,

professeurs, collègues, coéquipières...« Le chef d’oeuvre de Dieu c’est le coeur d’une mère », Johann Wolf-

gang Von Goethe

iii

« Les gens qui veulent fortement une chose sont presque toujoursbien servis par le hasard »

Honoré de Balzac

v

Table des matières

Remerciements iii

v

Table des matières vii

Introduction 1

1 Contexte et problématique 51.1 Projet ESSENCYELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Hybridation à faible coût du GMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Positionnement des machines à aimants permanents (terresrares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Solutions possibles de structures sans aimants terres rares . 111.2.2.1 Machines à courant continu (MCC) à rotor bobiné 111.2.2.2 Machines asynchrones (IM : Induction Machines) . 121.2.2.3 Machines synchrones à rotor bobiné . . . . . . . . 141.2.2.4 Machines à réluctance variable (MRV) . . . . . . . 151.2.2.5 Autres types de machines . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Etat de l’art des machines synchro-réluctantes 192.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Architectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Machines à rotor massif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Machines à rotor axialement laminé . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Machines à rotor à barrières de flux . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Matériaux magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Matériaux magnétiques doux . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1.1 Les matériaux laminés . . . . . . . . . . . . . . . . 24

vii

TABLE DES MATIÈRES

2.3.1.2 Les matériaux composites ou en poudre . . . . . . 252.3.2 Matériaux magnétiques durs : ferrites . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Matériau « Dual Phase » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Commande scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Commandes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.2.1 Commande à flux orienté . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2.2 Commande directe du couple (DTC) . . . . . . . . 32

2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Conception optimale des machines synchro-réluctantes 353.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Etat de l’art des methodologies d’optimisation . . . . . . . . . . . . 363.3 Stratégie de conception optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Démarche générale d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2 Comparaison de 3 types de machines . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Mise en oeuvre de la démarche d’optimisation . . . . . . . . . . . . 403.4.1 Optimisation de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1.1 Modèle d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1.2 Paramétrisation du rotor . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.1.3 Point de fonctionnement et calcul de la commande 463.4.1.4 Fonctions d’optimisation : objectifs et contraintes . 493.4.1.5 Algorithmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . 513.4.1.6 Formulation finale du problème d’optimisation . . . 55

3.4.2 Commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2.1 Modèle d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.2.2 Données et variables d’entrée . . . . . . . . . . . . 603.4.2.3 Fonctions d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.2.4 Algorithme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . 643.4.2.5 Formulation du problème d’optimisation de la com-

mande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 Application : comparaison de 3 types de machines . . . . . . . . . . 67

3.5.1 Cahier des charges complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.1.1 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.1.2 Alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.1.3 Caractéristiques générales . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.2 Choix effectués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.2.1 Cahier des charges réduit . . . . . . . . . . . . . . 683.5.2.2 Architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.2.3 Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

viii

TABLE DES MATIÈRES

3.5.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.3.1 Résultats à la suite de l’optimisation de la géométrie 733.5.3.2 Résultats de la commande optimale des machines . 75

3.6 Analyse et retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Prise en compte des contraintes mécaniques 834.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2 Etat de l’art de l’étude mécanique des machines électriques . . . . . 854.3 Rappel sur différentes méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1 Résistance des matériaux : Théorie des poutres . . . . . . . 884.3.1.1 Hypothèses de la RdM . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.1.2 Définition d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.1.3 Torseur de cohésion d’une poutre . . . . . . . . . . 894.3.1.4 Quelques sollicitations usuelles . . . . . . . . . . . 904.3.1.5 La concentration de contraintes . . . . . . . . . . 93

4.3.2 Modèles éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.2.1 Hypothèses de résolution . . . . . . . . . . . . . . 954.3.2.2 Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Démarche suivie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors . . . . . . . . . . . . 98

4.5.1 Modèle d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5.1.1 Géométrie et maillage . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5.1.2 Conditions limites et de contact . . . . . . . . . . . 1004.5.1.3 Propriétés des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5.1.4 Efforts mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.6 Calcul analytique des contraintes maximales dans les ponts magné-tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.6.1 Modèle d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.6.1.1 Définition du sytème (poutre) . . . . . . . . . . . . 1064.6.1.2 Calcul des efforts mécaniques . . . . . . . . . . . . 1074.6.1.3 Hypothèse sur la nature des contraintes dans les

ponts magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.6.2 Calibrage du calcul analytique des contraintes mécaniques . 108

4.6.2.1 Relation entre N, Mf, T et FCentrifuge . . . . . . . . 1084.6.2.2 Coefficients Kt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7 Intégration des contraintes mécaniques au modèle électromagnétique 1154.8 Analyse et retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

ix

TABLE DES MATIÈRES

Conclusions et Perspectives 123

Annexes 127

A Transformation de Park 129

B Calculs des coefficients de pertes fer 131

C Calcul de la résistance de phase statorique 133

D Résolution éléments finis d’un problème d’élasticité plane 135D.1 Hypothèses de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

D.1.1 Hypothèse de contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . 135D.1.2 Hypothèse de déformations planes . . . . . . . . . . . . . . . 137

D.2 Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137D.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

D.3.1 Formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138D.3.2 Formulation discrétisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Bibliographie 141

x

Introduction

1

Introduction

En 2011, le monde et la France particulièrement se trouvent au carrefour deplusieurs enjeux environnementaux, économiques et sociaux :— Les émissions de CO2 continuent de croître, et sa concentration est de plus

en plus élevée dans l’atmosphère dont près du quart est imputable aux trans-ports notamment celui routier

— 3 ans après la crise des sub-primes, le revenu moyen des foyers est toujours auplus bas. De plus en plus de familles vivent à la limite du seuil de pauvretéet ne peuvent donc plus se permettrent des « extravagances » comme parexemple une voiture électrique ou hybride à cause de son coût.

La mobilité est une des clés du developpement d’une société moderne. Ainsi, afin derelancer l’économie, les foyers doivent pouvoir recommencer à consommer, c’est-à-dire que les prix des véhicules soient plus abordables. Et pour préserver la planète,cette consommation se doit d’être plus « eco-friendly ».Dans ce cadre, le projet ESSENCYELE (moteur ESSENCe injection directe

hYbride Electrique abordabLE), au sein duquel cette thèse s’intègre, vise à créerune synergie de compétences au niveau national afin de proposer des solutions devoitures plus « propres » et à des prix abordables. Il consiste, grâce à une approcheinnovante et globale du système groupe moto-propulseur (GMP), à associer unmoteur thermique essence à haut rendement et une chaîne de traction électriquede type mild-hybrid basse tension. D’une part, ceci permettra de répondre auxproblématiques sus citées, mais également de se positionner en leader en termesd’innovation et économique dans un marché mondial ultra conccurentiel.En ce qui concerne la chaîne de traction électrique, l’accent dans cette thèse

est mis sur la machine tournante. De part sa nature multiphysique la conceptiond’une machine électrique pour une telle application est un problème complexe qu’ilconvient de formaliser afin d’obtenir une méthodologie efficace de déterminationde solution optimale.Le premier chapitre détaille les enjeux auxquels doit faire face le secteur auto-

mobile français, afin de mettre en exergue le bien fondé de ce projet. Nous y faisonsune analyse des technologies de machines électriques servant déja à l’hybridationdu GMP des véhicules présents sur le marché, et proposons des solutions alterna-tives plus en accord avec les contraintes socio-économiques et environnementalesprécédemment enoncées.Le second chapitre est un état de l’art de la technologie alternative de machine

choisie, ainsi que des différents moyens d’améliorer cette solution (architectures,matériaux, commande) afin qu’elle réponde aux cahier des charges du projet.Dans le troisième chapitre, nous proposons une méthodologie de conception

optimale de l’architecture et de la commande de la technologie de machine choisie.Nous appliquons ensuite cette méthodologie à 3 machines de même architecture,

2

mais utilisant différents types de matériaux et procédons à une comparaison deleurs performances par rapport au cahier des charges.Le dernier chapitre est consacré à l’analyse mécanique des structures précédem-

ment optimisées. Nous calibrons également un modèle analytique pour le calculdes contraintes mécaniques qui sera directement intégré au processus de conceptionoptimale de l’architecture des machines.Finalement, une conclusion générale sur ces travaux est formulée et des perspec-

tives sont discutées.

3

Chapitre 1

Contexte et problématique

5

Chapitre 1 Contexte et problématique

1.1 Projet ESSENCYELECompte tenu de la croissance des émissions de CO2 et sa concentration de plus

en plus élevée dans l’atmosphère dont près du quart sont imputables aux trans-ports notamment celui routier (Fig. 1.1.1), l’amélioration du rendement énergé-tique des groupes Moto-Propulseurs (GMP) devient une préoccupation majeuredes constructeurs et équipementiers automobiles. L’hybridation du moteur ther-mique est également devenue incontournable pour atteindre les objectifs réglemen-taires fixés à l’horizon 2020 (SET-plan).

Figure 1.1.1 – Répartition des sources d’émissions de gaz à effet de serre

Dans ce cadre, le projet ESSENCYELE (moteur ESSENCe injection directehYbride Electrique abordabLE) qui fait partie des programmes d’investissementd’avenir (PIA), est une initiative encadrée par l’ADEME (Agence de l’Environne-ment et de la Maîtrise de l’Energie) regroupant industriels et universitaires sur lathématique du « Véhicule du futur » (Fig. 1.1.2). Il a débuté en Juillet 2011 et lafin était prévue pour 2016 avec 79M€ de budget.Grâce à une approche innovante et globale du système GMP, le projet vise

l’association d’un moteur thermique essence à haut rendement et d’une chaîne detraction électrique de type mild-hybrid basse tension. L’objectif est de réduire de25% la consommation de carburant, tout en utilisant des technologies abordables,en s’appuyant sur :— Un GMP essence mild hybrid exploitant pour chaque usage toutes les syner-

gies des 2 motorisations thermique/électrique

6

1.1 Projet ESSENCYELE

— Un moteur thermique « downsizé » à haut rendement, mettant en œuvre destechnologies abordables

— Une hybridation à faible coût fonctionnant sous une tension de 48V, et ca-pable de roulage tout électrique dans certains cas d’usage

— Une rupture technologique associant des supercapacités aqueuses au pack debatteries.

Figure 1.1.2 – Objectifs projet ESSENCYELE

Les résultats attendus sont de plusieurs ordres :— En termes d’innovation

— Des systèmes d’amélioration du rendement du moteur thermique (com-bustion, gestion de l’air-EGR d’admission)

— Une chaîne de traction électrique mild-hybrid basse tension (48V) inno-vante

— Un réducteur optimisé pour l’accouplement de la machine électrique— Un stockage électrique en rupture par supercapacités acqueuses

— En termes economique et social— Des véhicules mild-hybrid avec des fonctionnalités étendues, écologiques

et accessibles au plus grand nombre— Des technologies génériques, facilement adaptables à un grand nombre de

moteurs, pour une large diffusion des technologies développées— Des technologies 100% françaises.

— En termes d’environnement

7


— Diminution de 25% de CO2 émis— 10 millions de tonnes de CO2 économisées grâce au programme d’ici 2020— Une amélioration de la sûreté du stockage électrique (électrolyte aqueux).

ESSENCYELE propose une approche innovante d’architecture hybride basse ten-sion s’adressant à l’ensemble de la filière automobile. Le projet vise égalementla mise sur le marché à l’horizon 2017-2020 de composants développés par Valeoet ses partenaires, offrant de nouvelles fonctionnalités pour un coût modéré. Lagamme de l’offre permettra d’intégrer ces composants sur les nouveaux véhicules duparc européen, tous segments confondus. Par ailleurs, les avancées technologiquesdu projet permettront à chaque partenaire, industriel et académique, d’accroîtreson expertise dans le domaine hybride essence. ESSENCYELE donnera lieu à defutures collaborations sur d’autres projets de recherche et développement, pourl’électrification générale des véhicules.Notre tâche, à l’UTC, gravite donc autour du point qui consiste en l’hybrida-

tion à faible coût du moteur thermique. Pour ce faire la solution des machinesélectriques sans terres rares a été privilégiée et bon nombre de recherches ont déjàété menées dans ce sens [Küttler 13]. Ce travail consiste donc à poursuivre cestravaux et à proposer une structure de machine qui réponde au mieux au cahierdes charges du projet.

1.2 Hybridation à faible coût du GMP

1.2.1 Positionnement des machines à aimants permanents(terres rares)

Les machines à aimants permanents terres rares ( [Coey 95, Leveque 05]) sontlargement utilisées pour l’hybridation (ou le remplacement) du moteur thermiquedans l’automobile, leur principal atout étant leur puissance massique élevée. LaToyota Prius de 2004 par exemple intègre une machine de 50 kW pour environ 107kg. La figure 1.2.1 regroupe les caractéristiques des différents moteurs équipant lesprincipaux modèles de véhicules hybrides du marché [El-Refaie 13].[Galioto 15a] a réalisé une étude afin de quantifier l’impact du type d’aimants

utilisés sur la taille et les performances des machines. [Reddy 12] a comparé lesmachines à aimants surfaciques (SPM, Fig. 1.2.3a) et ceux à aimants enterrés(IPM, Fig. 1.2.3b) [El-Refaie 14a]. Il en est ressorti que, pour les mêmes objectifsà atteindre, ces 2 configurations sont équivalentes, chacune ayant des avantages etinconvénients (Fig. 1.2.3c). En termes d’encombrement par exemple, la SPM a undiamètre extérieur plus important que la IPM, mais cette dernière est plus longueque la SPM.

8


Figure 1.2.1 – Machines équipant les principaux véhicules hybrides du marché

(a) MAPI : alterno-démarreur Va-leo

(b) Cartographie de rendement de la MAPI

(c) Caractéristiques de la MAPI issue d’une collaboration UTC-Valeo

Figure 1.2.2

9


(a) SPM (b) IPM

(c) Comparaison caractéristiques SPM et IPM

Figure 1.2.3

Le Laboratoire d’Electromécanique de Compiègne a dimensionné dans le cadredu programme de recherche commun LEC-Valeo une IPM (appelé « MAPI », Fig.1.2.2a) pour une application « mild-hybrid »[Chedot 04]. Elle assure les fonctionsde stop-start et freinage regénératif, et la tension de bus continu est de 42 V. Cette

10


machine possède 8 aimants NdFeB disposés tranversalement, sans concentrationde flux. Elle délivre un couple de 140 Nm à 100 tr/min et une puissance de 8.1kW en mode générateur (Fig. 1.2.2c), pour un rendement supérieur à 90% sur unelarge plage de fonctionnement (Fig. 1.2.2b).On trouve également dans la littérature des études visant à réduire la masse

d’aimants de terres rares dans les machines [Kato 14, Raminosoa 14]. Avec l’ex-plosion du prix des terres rares de 2011 (Fig. 1.2.4) et plus généralement de fortesvariations de leur cours dans le temps, le besoin s’est fait ressentir d’être moinsdépendant de cette matière première dont les gisements sont détenus et exploitésà près de 90% par la Chine, et à terme de trouver des technologies de machinessans ce type d’aimants et aux performances équivalentes.

Figure 1.2.4 – Evolution du prix des terres rares de 2007 à 2014

1.2.2 Solutions possibles de structures sans aimants terresrares

1.2.2.1 Machines à courant continu (MCC) à rotor bobiné

Ces machines bénéficient d’une électronique de commande simple et d’un dé-fluxage aisé. Cependant leurs nombreux inconvénients : faible puissance massique,difficulté de refroidir un induit tournant, nécessité d’utiliser un collecteur méca-nique induisant une forte diminution de la durée de vie (usure par frottementsmécaniques aux hautes vitesses et par arcs électriques lors de l’inversion du cou-rant entre 2 lames du collecteur), ont contribué à l’abandon de ce type de machine

11


Figure 1.2.5 – Coupe transversale d’une MCC à rotor bobiné

pour la traction hybride.

1.2.2.2 Machines asynchrones (IM : Induction Machines)

Ce sont des machines brushless, peu coûteuses à fabriquer en raison d’un processd’industrialisation parfaitement maîtrisé depuis des années. Elles sont très robustes(mécanique), particulièrement pour des applications à haute température.Néanmoins, les IM possèdent un couple massique, volumique, ainsi qu’un rende-

ment plus faibles que les machines à aimants. Mais cette différence est à nuanceren fonction de l’augmentation de la température ambiante (dégradation de la qua-lité des aimants avec la température). Les machines asynchrones nécessitent uncourant magnétisant important, ce qui réduit fortement leur facteur de puissance,de l’ordre de 0.8 à 0.9 dans la gamme 5 à 10 kW (Fig. 1.2.6). Cette contrainte sereporte alors sur l’électronique de puissance qui doit être dimensionnée en consé-quence. De plus, les pertes Joule rotoriques sont difficiles à évacuer. Enfin, la zonede fonctionnement à puissance constante est réduite par rapport à certaines ma-chines à aimants, et même par rapport aux machines synchrones à rotor bobiné[Friedrich 02] (Cf. 1.2.2.3).Le LEC a développé un prototype d’IM pour une application d’alterno-démarreur

intégré (ADI), alimentée en 42 V pour un poids de 18 kg. La machine génère uncouple de démarrage de 140 Nm et une puissance de 5 kW à une vitesse de 3 000tr/min (Fig. 1.2.7). Dans la plage de fortes puissances, le rendement est supérieurà 75%, mais celui-ci chute à 65% en survitesse [Ly 03]. Pour un cahier des chargessimilaire, une machine à aimants présente un rendement de 91 % et il est de 80 %pour une machine synchrone à rotor bobiné [Legranger 09].Notons tout de même que les véhicules électriques de Tesla Motors sont équipés

12


Figure 1.2.6 – Comparaison des rendements et facteurs de puissances de ma-chines asynchrone (IM) et à aimants en surface (PMSM), 55 kW,1 500 tr/min à 25 °C [Parviainen 05a]

Figure 1.2.7 – Données de la IM du LEC

de machines asynchrones. Le moteur du modèle S par exemple (berline familiale fig.1.2.8) présente une puissance maximale comprise entre 238 et 446 kW (dépendantde la gamme), un couple maximal entre 440 et 1 074 Nm, un onduleur de puissanceavec mécanisme d’entraînement à fréquence variable et système de freinage dotéd’un système de récupération d’énergie cinétique.

13


Figure 1.2.8 – Modèle S Tesla Motors

1.2.2.3 Machines synchrones à rotor bobiné

Ces machines bénéficient d’une variable de commande supplémentaire par rap-port aux structures à aimants : le courant d’excitation rotorique. Il permet de fairevarier le flux d’excitation et élimine les problèmes de force électromotice (FEM)élevée à haute vitesse [Friedrich 02]. De plus, elles peuvent fonctionner en redres-seur pur en mode générateur, la variable de contrôle de la puissance électrique étantle courant d’excitation. L’absence d’aimants lui confère une zone de défluxage pluslarge que les machines à aimants et une zone à puissance constante plus étendueque les machines asynchrones avec une meilleure puissance massique.

Figure 1.2.9 – Cartographie de rendement de la MAPI à gauche et de la machineà rotor bobiné à droite [Legranger 09]

Cependant, la présence d’un bobinage au rotor provoque des pertes Joule su-plémentaires, qui sont d’une part difficiles à évacuer et d’autre part pénalisent

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le rendement par rapport aux machines à aimants. De plus elles nécessitent unhacheur dédié au pilotage du courant d’excitation.Dans le cadre du programme de recherche commun LEC-Valeo, une machine

synchrone à rotor bobiné (demarreur et freinage récupératif) a été dimensionnée :encombrement limité à 255 mm (diamètre extérieur), longueur totale 70 mm, ten-sion de bus continu 42 V. La machine est capable de débiter 3 kW dès 900 tr/minet plus de 6.5 kW à partir de 3 000 tr/min. Les rendements sont supérieurs à70 % à partir de 2.5 kW et culminent à 80 % sur une large plage de fonctionne-ment. Pour un dimensionnement équivalent, le rendement de la MAPI est de 91%[Chedot 04](Fig. 1.2.9).

1.2.2.4 Machines à réluctance variable (MRV)

On distingue 2 grandes familles de machines à réluctance variable :— Les machines à double saillance statorique et rotorique et alimentées par des

créneaux de courant ou des courants sinusoïdaux (Fig. 1.2.10)

(a) Machines 6/4 (6 dents ausator et 4 au rotor)

(b) Machine mixte plots-dents

Figure 1.2.10 – MRV à double saillance [Moreau 05]

— Les machines à simple saillance rotorique, aussi appelées machines synchro-réluctantes (SyR) (Cf. 2.2), avec en général un stator à bobinage répartiidentique à une machine synchrone à aimants ou asynchrone

Le rotor passif des MRV favorise le fonctionnement à haute vitesse, ainsi qu’à tem-pérature élevée ; l’essentiel des pertes est localisé au stator, et est donc plus facile àévacuer. De plus elles, ne sont pas sujettes au problème de démagnétisation des ai-mants. Enfin ces machines possèdent en général une plus faible inertie, leurs coûtsde fabrication sont relativement bas (sauf pour la machine axialement laminée Cf.2.2.2), voire bon marché, en comparaison avec les machines à aimants. En termesde robustesse, elles se rapprochent du standard des machines asynchrones.

15


Cependant, les ondulations de couple inhérentes aux saillances magnétiques deces machines sont importantes, particulièrement pour une alimentation en cré-neaux de courant. Ces machines possèdent un facteur de puissance assez moyenet connaissent des problèmes de vibrations et de bruits acoustiques. On observede fortes ondulations de courant sur le bus continu ou à l’entrée de l’onduleurpour la machine à double saillance, susceptibles de perturber le fonctionnementdes organes auxiliaires du véhicule [Legranger 09].

Machines à double saillance

On retrouve dans la littérature des études menées sur cette technologie de ma-chine pour l’hybridation du GMP [Chiba 15, Raminosoa 14]. Si les performancesen terme de puissance sont au niveau des machines à aimants, ils ont tout demême rencontré ces mêmes soucis de bruit acoustique, vibrations et ondulationsde couple.Les machines a double saillance peuvent disposer d’un circuit d’excitation au ro-

tor (rotor bobiné [Azar 13]), induisant donc en sus les inconvénients de la machinesynchrone à rotor bobiné.

Machines synchro-réluctantes (SyR)

[Raminosoa 06] a montré que pour les mêmes pertes Joule, le même stator et lemême état de saturation, et à température ambiante (25°C), la SyR fournit plus depuissance qu’une machine asynchrone mais avec un facteur de puissance légèrementplus faible. A titre d’exemple, une machine asynchrone de 11 kW dispose d’unfacteur de puissance de 0.87 tandis qu’il est de 0.85 pour une SyR équivalente[Haataja 03]. L’ensemble de ses atouts, ajoutés à un meilleur rendement font de laSyR un concurrent des machines asynchrones, particulièrement pour des alterno-démarreurs hautes vitesses et/ou hautes températures (pas de pertes Joule au rotoret robustesse).Cependant, la machine synchrone à aimants à pôles lisses, par exemple, garde

de bien meilleures peformances à température ambiante (couple et facteur de puis-sance). La SyR est aussi sujette à de fortes ondulations de couple (20 % du couplede base [Haataja 03]), des bruits acoustiques et des vibrations. Toutefois, elle neconnaît pas de souci de démagnétisation (courant de défluxage et à températureélevée) et reste moins chère à fabriquer. Enfin elle présente un meilleur comporte-ment en court-circuit.Ces dernières années, de plus en plus d’études ([Ferrari 13, Reddy 15, Vagati 12])

ont été menées sur cette technologie de machines car elles semblent avoir le poten-tiel pour challenger les machines à aimants dans le domaine de l’hybridation duGMP.

16

1.3 Conclusions

1.2.2.5 Autres types de machines

On peut également penser à d’autres technologies de machines plus complexes enremplacement des machines à aimants. Les machines à double excitation [Amara 01](commande complexe), les machines à flux transverse [Dehlinger 07] (constructiondes machines délicate et parfois très coûteuse), les machines axiales [Parviainen 05b](problèmes mécaniques de maintien des hauteurs d’entrefer et choix des matériauxisotropes). Nous faisons d’ores et déjà le choix de ne pas les mettre dans la balancelors du choix de la technologie de machine à étudier.

1.3 ConclusionsCompte-tenu des avantages et inconvénients de chaque structure et du contexte

de notre étude, nous faisons le choix de concentrer nos efforts sur l’étude des ma-chines synchro-réluctantes. Que ce soit en termes d’innovation, économique, socialet environnemental, cette technologie montre un fort potentiel pour concurrencerles machines à aimants permanents.Dans la suite de ce rapport, nous ferons un état de l’art des études sur les

machines synchro-réluctantes et proposerons des choix et des méthodes de dimen-sionnement optimal afin de répondre à la problématique de l’hybridation du GMPproposée par le projet ESSENCYELE.

17

Chapitre 2

Etat de l’art des machinessynchro-réluctantes

19

Chapitre 2 Etat de l’art des machines synchro-réluctantes

2.1 IntroductionComme son nom le fait deviner, la machine synchro-réluctante est une struc-

ture dont le fonctionnement est régi par la réluctance magnétique. Par définition,la réluctance permet de quantifier l’aptitude d’un circuit magnétique à s’opposerà la circulation d’un champ magnétique. D’autre part, la physique stipule qu’unchamp magnétique est toujours à la recherche du chemin de circulation le plusaisé. Ces 2 postulats forment le principe de base du fonctionnement des machinessynchro-réluctantes. Ainsi en créant des circuits magnétiques avec des réluctancesdifférentes, plongés dans un champ magnétique tournant, on peut induire un mou-vement de rotation.Le stator de la machine synchro-réluctante est bobiné de la même manière que

celui d’une machine synchrone : bobinage triphasé (généralement réparti) avec ppaires de pôles et alimenté par un système triphasé (équilibré) de courants. Cebobinage crée alors une force magnéto-motice (f.m.m) tournante. Le rotor de lamachine quant à lui présente 2 axes bien distincts : un axe par lequel le passage duchamp magnétique est aisé (axe d), et un axe de réluctance plus forte par lequelle champ magnétique circule plus difficilement (axe q). Le rotor se positionne parrapport à la f.m.m de manière à ce que le champ magnétique circule par le cheminde plus faible réluctance [Raminosoa 06].De ce fait, 2 questions primordiales se posent : Comment créer ces axes de

faible et forte réluctance ? Comment et avec quels outils analyser et quantifier,et donc avoir la possibilité d’améliorer le fonctionnement des machines synchro-réluctantes ? Ainsi dans une optique d’optimisation dans un contexte industriel, 3éléments clés permettent de répondre à ces questions : l’architecture (topologie)de la machine, les matériaux utilisés et la commande de la machine.

2.2 ArchitecturesOn dénombre différentes architectures de machines synchro-réuctantes regrou-

pées principalement en 3 familles : les machines à rotor massif, les machines à rotoraxialement laminé, les machines (à rotor) à barrières de flux.

2.2.1 Machines à rotor massifLe rotor massif est constitué d’un bloc de matériau ferromagnétique. En général,

il s’agit d’un cylindre sur lequel ont été réalisées des coupes pour créer un effetde saillance. Simple à fabriquer et également très robuste car constitué d’un blocsolidaire, ce type de rotor est très économique et adapté pour des régimes defonctionnement à haute vitesse [Zaim 09]. Par ailleurs, l’axe de passage du flux

20

2.2 Architectures

Figure 2.2.1 – Rotors massifs

(axe d) est assez large pour que le rotor soit peu saturé. Pour réduire les pertesaérodynamiques, le rotor peut être caréné avec un matériau amagnétique, ou peutêtre à trous (Fig. 2.2.1). Cependant, le principal défaut de cette structure est sonfaible rapport de saillance ξ (jusqu’à 4.5 pour une machine à 1 paire de pôles).Il s’agit du rapport d’inductances propres entre l’axe d et l’axe q qui permet de

quantifier le niveau de déséquilibre magnétique entre ces 2 axes.

ξ = LdLq

2.2.2 Machines à rotor axialement laminé

Figure 2.2.2 – Rotor axialement laminé

Le laminage axial permet d’augmenter le rapport de saillance de la machine. Lerotor se compose d’une succession de feuilles ferromagnétiques en forme d’hyper-bole dont la dimension principale est suivant l’axe de la machine (Fig. 2.2.2). Il se

21


comporte alors comme un matériau homogène anisotrope ; cette anisotropie créele déséquilibre d’inductance d’un axe par rapport à l’autre. On peut modifier lerapport de saillance en faisant varier l’épaisseur de chaque feuille et ainsi pouvoirmultiplier sa valeur par 5 par rapport à un rotor massif dans le cas d’une machineéquivalente à 1 paire de pôles et par 2.5 pour 2 paires de pôles.Du fait du nombre élevé d’éléments à assembler, cette structure est très en-

dessous en terme de tenue mécanique. Elle reste limitée à un fonctionnement àfaibles vitesse (< 5000 tr/min) et puissance (< 2 kW). D’autre part elle est trèsonéreuse à fabriquer. Mais dans sa gamme de fonctionnement, elle présente lesmeilleures performances de toutes les machines synchro-réluctantes [D.A.Staton, T.J.E.Miller 93,Boldea 10].

2.2.3 Machines à rotor à barrières de flux

Figure 2.2.3 – Rotors à barrières de flux

Les barrières de flux sont des cavités amagnétiques réalisées dans le corps durotor qui permettent de dévier la circulation du champ magnétique afin qu’il par-coure le plus de distance possible dans le rotor avant de reboucler vers le statorFig. 2.2.3. Elles constituent un autre moyen d’améliorer le rapport de saillanced’une machine synchro-réluctante (jusqu’à 3 fois supérieur à une machine à rotormassif équivalente pour 1 paire de pôles [Raminosoa 06]). Il est augmenté surtoutpar la réduction de l’inductance quadrature Lq (axe q). Ce rotor constitue un boncompromis entre les 2 familles précédentes ; il allie un bon rapport de saillance etune bonne tenue mécanique. Il est certes moins performant que le rotor axialementlaminé, mais jouit d’une meilleure robustesse et est moins couteux à la fabrication.Il est certes moins solide et plus onéreux qu’un rotor massif, mais avec un rapportde saillance nettement meilleur [Hofmann 00, Oh 01].

22

2.3 Matériaux magnétiques

Figure 2.2.4 – Ponts magnétiques

Pour une machine à barrières de flux classique, les cavités sont en général lais-sées vides (air). Un dimensionnement soigneux est alors nécessaire pour assurer lasolidité du rotor et la réduction de l’inductance Lq. La tenue mécanique du rotorest assurée par des renforts mécaniques qui sont de fines jonctions entre les diffé-rentes parties fer (Fig. 2.2.4, les RRi sont les ponts centraux et les TRi les pontsd’entrefer). Cependant et d’un point de vue magnétique, ces ponts fer se com-portent comme des court-circuits magnétiques : les lignes de champ qui y circulentne participent pas à la création du couple car ne traversent pas l’entrefer, ayantpour effet de réduire les performances de la machine. Cet impact peut néanmoinsêtre amoindri par l’utilisation de matériaux spécifiques.

2.3 Matériaux magnétiquesLa réluctance (équation (2.3.1)) d’un circuit dépend non seulement de la topo-

logie du circuit par rapport au champ magnétique, mais également et fondamen-talement de la perméabilité des matériaux [Kedous-Lebouc 06] qui le constituent.

< =∫ dl

µ ∗ S[H−1] (2.3.1)

Avec :— l : la longueur moyenne de la ligne de champ [m]— S : la section du circuit [m2]— µ : la perméabilité magnétique du matériau [H.m-1]

23


2.3.1 Matériaux magnétiques doux

Figure 2.3.1 – Exemple de courbe B(H) d’un matériau magnétique doux

Les matériaux magnétiques doux permettent de canaliser le champ magnétique,ils ne le produisent pas. Leurs caractéristiques principales reposent sur le choix deleur induction à saturation Bsat, leur perméabilité relative µr dans la zone linéaire(Fig. 2.3.1), leur niveau de pertes Pfer. Il existe 2 grandes familles de matériauxferromagnétiques doux :— Les matériaux laminés : tôles FeSi (fer Silicium), FeNi (Fer Nickel), ou FeCo

(Fer Cobalt)— Les matériaux composites ou poudres : Soft Magnetic Composites (SMC)

2.3.1.1 Les matériaux laminés

Les rotors et stators des machines électriques sont constitués d’un empilementtôles laminées et séparées les unes des autres avec un isolant électrique. De partleur disponibilité et leur ancienneté, les tôles Fe-Si constituent le matériau par ex-cellence de la machine électrique. L’ajout de Silicium, non magnétique, à des tauxinférieurs à 6.5 % au fer permet d’accroître la résistivité électrique (et donc dediminuer les pertes par courants de Foucault) et de rendre les tôles plus facilementmanipulables et usinables que le fer pur au détriment toutefois de l’induction à sa-turation. En outre elles sont mieux adaptées aux traitements à haute température(laminages, recuits...). Les alliages FeCo sont plus coûteux à cause du Cobalt maispossèdent une polarisation à saturation plus élevée, ce qui permet une réductiondu volume et de la masse du circuit magnétique. Ces matériaux bénéficient enoutre d’une perméabilité plus importante et d’une forte résistivité entrainant laréduction des pertes fer en comparaison avec les tôles FeSi.

24


Il existe de nombreuses nuances de tôles différentes par des caractéristiques ad-ditionnelles comme une perméabilité améliorée, une haute conductivité thermique,de plus faibles pertes à haute fréquence ou une meilleure tenue mécanique. Danssa gamme iCARe, aciers électriques pour l’automobile, ArcelorMittal propose parexemple ces différentes nuances :— la série “save”, contenant des aciers présentant des faibles pertes. Ils sont

particulièrement destinés aux machines hautes vitesses pour des applicationsde traction hybride ou électrique.

— la série “torque”, contenant des aciers présentant une meilleure perméabi-lité. Ils permettent aux machines de développer une puissance mécaniqueutile plus importante. La polarisation minimum à 5 000 A/m est de 1.65T. Cette série est destinée à des applications nécessitant de forts couples àbasse vitesse. Ils répondent aux exigences de fortes accélérations des véhiculeshybrides et électriques.

— la série “speed”, contenant des aciers électriques spécifiques à haute résis-tance qui maintiennent un haut niveau de performance magnétique. Ils per-mettent à la machine d’être plus compacte et d’avoir une puissance massiqueplus élevée. Cette série permet un bon compromis entre tenue mécanique etpertes fer.

2.3.1.2 Les matériaux composites ou en poudre

Les SMC sont des matériaux ferromagnétiques doux plus récents (années 1970).Leur principal avantage est leur isotropie magnétique associée à une bonne usi-nabilité, permettant de réaliser des formes complexes en 3D impossibles à réaliseravec des matériaux laminés [Lipo 04]. Par conséquent, le facteur de remplissagedes encoches peut s’en trouver augmenté. Les SMC agissent comme des isolantsélectriques et présentent une isotropie thermique. Enfin il sont plus facilementrecyclables car aisément compressibles sous forme de poudre.Néanmoins, à cause de leur faible perméabilité relative en général comparée

aux matériaux laminés, ils sont dédiés aux machines avec un circuit magnétiquefortement réluctant comme les machines à aimants. Par ailleurs, ils présentent engénéral une plus faible induction à saturation. Enfin d’un point de vue mécanique,la résistance (à la traction par exemple) des SMC est plus faible que celle observéeavec les tôles FeSi.

2.3.2 Matériaux magnétiques durs : ferritesLes aimants ferrites sont apparus dans les années 1950. Ce sont des matériaux

ferrimagnétiques céramiques isolants (résistivité électrique ≈ 104Ω.m et conduc-tivité thermique ≈3 W/m.K), très stables (résistants à la corrosion et à l’oxyda-

25


Figure 2.3.2 – Ferrites dans l’axe q d’un rotor à barrières de flux

tion) et peu denses (ρ ≈ 5000kg.m-3). Ils sont massivement utilisés dans l’industrieen raison de leur prix relativement bas par rapport aux aimants terres rares, etmalgré des performances magnétiques bien plus modestes (induction rémanenteBr≈0.4T). Mais ils sont cassants, se dilatent facilement et sont donc plus difficile-ment usinables que les aimants à base de terres rares. Toutefois, ils présentent uneparticularité unique : leur coefficient de température du champ coercitif est positif,ils sont donc moins facilement démagnétisables lorsque la température augmente.Ils sont ainsi très appropriés dans des applications moyenne température (jusqu’à250°C) et à faible induction, et particulièrement pour les structures à concentrationde flux.Ainsi les ferrites font partie des matériaux utilisés afin de pallier l’effet court-

circuit des ponts magnétiques de la machine synchro-réluctante à barrières de flux(Cf partie(2.2.3)). Cette opération consiste à garnir les barrières de flux d’aimantspermanents ferrites orientés suivant l’axe q d’une part afin d’accélérer la saturationdes ponts magnétiques et d’autre part de diminuer la valeur de l’inductance de l’axeq (Lq) en créant une augmentation de la saturation magnétique, tout en conservantcelle de l’axe d (Ld) (Fig. 2.3.2). Grâce à eux, il a été noté une nette améliorationdu couple, du facteur de puissance et du rendement [Langue 16b, Morimoto 01,Barcaro 12].

2.3.3 Matériau « Dual Phase »Les aciers « Dual Phase » (DP) sont constitués de 2 phases : la ferrite (α) et

le martensite (α′). Deux traitements thermomécaniques sont possibles pour lesobtenir [Krebs 09] :— un laminage à froid suivi d’un chauffage et d’un maintien dans le domaine

26


Figure 2.3.3 – Cycle de température après laminage à froid

austénitique (γ) puis un refroidissement contrôlé et d’une trempe (Fig. 2.3.3)— un laminage à chaud dans le domaine austénitique suivi d’un reforidissement

contrôlé et d’une trempe.La clé des performances mécaniques de ces aciers est à rechercher dans leur micro-structure composite biphasée. Cette microstructure est obtenue par un procédé detraitement thermomécanique caractérisé par des vitesses de refroidissement supé-rieures à 1000°C.s-1 après un maintien à haute température. Plusieurs paramètrestels que la composition chimique, la température de traitement thermique ou ladurée du traitement participent à la formation de cette microstructure. Ces para-mètres sont connus pour influencer la morphologie et la microstructure des phaseset donner lieu à différentes catégories d’aciers DP aux propriétés mécaniques dis-tinctes. La maîtrise du procédé de fabrication de ces aciers, en particulier du contôledu cycle thermique, est nécessaire afin d’assurer l’obtention de microstructures bi-phasées de qualité (distribution et composition homogène des phases) et la repro-ductibilité des caractéristiques et des propriétés d’usage attendues dans le cadredes applications visées [Mballa 13].La présence de plusieurs phases de natures différentes crée une perturbation

locale du champ magnétique imposé à chacune des phases (α, α′). Le champ lo-cal ne vaut ainsi généralement pas le champ moyen. On parle de localisation duchamp macroscopique considéré. Une modélisation magnétique a été effectuée par[Mballa 13] pour déterminer le comportement magnétique du matériau DP (Fig.

27


2.3.4).

Figure 2.3.4 – Comparaison courbe d’aimantation M(H) : DP780, C38 (marten-site), ferrite

Figure 2.3.5 – Machine synchro-réluctante à barrières de flux : zone en vert ma-gnétique, zone en rouge amagnétique

Par ailleurs, des travaux ont été menés sur cet aspect magnétique des DP et 2brevets ont été déposés sur ce matériau pour une application machines électriques[El-refaie 14b, Galioto 15b]. Une étude a été faite par cette même équipe sur unetopologie de machine synchro-réluctante à barrières de flux [Reddy 15]. Il est iciquestion de pouvoir modifier localement les propriétés magnétiques d’un acier DPafin qu’il s’y comporte comme de l’air dans le cas limite idéal, tout en conservant

28

2.4 Commande

ses propriétés mécaniques (Fig. 2.3.5). Cela peut constituer une solution aux pontsmagnétiques qui font défaut à cette catégorie de machines (Cf 2.2.3) : ils conserventleurs vertus mécaniques tout en se comportant magnétiquement parlant commede l’air (plus de court-circuit magnétique). Une courbe B(H) de ce matériau estpresentée sur la figure 2.3.6.

Figure 2.3.6 – Courbe B(H) du DP [Reddy 15]

2.4 CommandeIl existe 2 principales méthodes de commande des machines électriques : la com-

mande scalaire et la commande vectorielle. Le tableau 2.1 récapitule les principauxavantages et inconvénients de chaque famille.

Commande scalaire Commande vectorielle+ Simple à implanter Rapide et précise quel que soit le régime- Dynamique lente Chère (nécessité d’un capteur de position)

Contrôle des grandeurs en amplitude Contrôle des grandeurs en amplitude et en phase

Table 2.1 – Comparaison des différentes familles de commandes

2.4.1 Commande scalairePlusieurs commandes scalaires sont possibles, selon qu’on agisse sur le courant

ou sur la tension. Ce choix dépend surtout du type d’onduleur utilisé. Lorqu’on aune alimentation en tension, on applique un contrôle en « V/f ». Celui consiste à

29


garder ce rapport constant, et donc implicitement à garder le flux constant (Fig.2.4.1a). Lorqu’il s’agit d’une alimentation en courant, on applique une commandescalaire en courant et le contrôle du flux est direct (Fig. 2.4.1b).

(a) Commande scalaire en tension (b) Commande scalaire en courant

Figure 2.4.1 – Commandes scalaires

Cette méthode de commande n’est pas très répandue pour le contrôle des ma-chines synchro-réluctantes. Ses lacunes en dynamique n’en font pas une bonnecandidate, surtout pour des applications automobiles [Caron 95].

2.4.2 Commandes vectoriellesIl existe 2 types de commande vectorielle : la commande à flux orienté et la

commande directe du couple. Ces deux stratégies de commande (commande vec-torielle à flux orienté et la commande directe du couple) visent le même objectif :émuler le comportement des machines à courant continu à excitation séparée, oùle courant et le flux sont naturellement découplés et peuvent être commandés in-dépendamment.De manière générale, la méthode à flux orienté offre une meilleure gestion du

courant statorique (moins d’ondulations) tandis que la méthode de contrôle directedu couple permet de meilleures dynamique et précision dans l’établissement desgrandeurs [Youb 07].

2.4.2.1 Commande à flux orienté

Les premiers développements théoriques de la méthode du flux orienté ont étéréalisés au début des années 70 par Blaschke et ses applications effectives ont vule jour grâce à Léonard dix ans plus tard [Guy 00]. Cependant, elle n’a pas pu êtreimplantée et n’est utilisée réellement qu’avec les avancées en micro-électronique.En effet, elle nécessite des calculs de transformée de Park, évaluation de fonctions

30

2.4 Commande

Figure 2.4.2 – Exemple de commande vectorielle à flux orienté

trigonométriques, des intégrations, des régulations, ce qui ne pouvait pas se faireaisément en pure démarche analogique (Fig. 2.4.2).Le principe de la commande vectorielle est d’arriver à commander toute machine

comme une machine à courant continu, à excitation indépendante, pour laquelle il ya un découplage naturel entre la grandeur commandant le flux et celle commandantle courant. Reprenons l’expression du couple électromagnétique en fonction ducourant statorique et le flux rotorique :

Cem = p ∗ (ψd ∗ iq − ψq ∗ id)

On souhaite par exemple orienter le flux de telle sorte qu’il n’y ait qu’une compo-sante selon l’axe « d », il faut alors annuler la composante selon l’axe q. L’expressiondu couple dans ce cas devient alors :

Cem = p ∗ ψd ∗ iq

La stratégie consiste alors à contrôler le courant et le flux de façon indépendantepour imposer le couple. On a alors deux variables d’action comme dans le cas d’unemachine à courant continu. La commande vectorielle à flux rotorique orienté, estdite directe ou indirecte selon la méthode d’estimation du vecteur flux rotorique.Dans la méthode indirecte, le flux n’est ni mesuré, ni reconstruit. Son orientation

31


est réalisée par la position déduite par intégration de la pulsation d’auto pilotage.En revanche, l’inconvénient de l’estimation indirecte du flux, c’est que sa précisionest affectée par la variation de la résistance rotorique due à la variation de latempérature, ainsi qu’à la saturation dans le régime transitoire.La commande vectorielle directe nécessite une bonne connaissance du module du

flux et de sa phase. Le vecteur flux est mesuré directement soit par des capteurs(rarement) dont la réalisation pratique est délicate (précision médiocre, filtragedu signal mesuré, coût élevé, . . . ), soit grâce à des techniques d’estimations oud’observations du flux à partir des grandeurs mesurables (modèle de la machine).

2.4.2.2 Commande directe du couple (DTC)

Figure 2.4.3 – Commande directe du couple

Le principe de base de la commande directe du couple repose sur l’applicationd’une séquence particulière de tensions via un onduleur de tension, dont les ondessont générées à travers des comparateurs à hystérésis par lesquels le flux et le couplesont conduits à suivre des références [Schofield 95]. La commande directe du coupleest basée sur la détermination «directe» de la séquence de commande, appliquéeaux interrupteurs d’un onduleur de tension. Ce choix est généralement basé surl’utilisation des régulateurs à hystérésis dont la fonction est de contrôler l’état dusystème, à savoir ici l’amplitude du flux statorique et du couple électromagnétique(Fig. 2.4.3). Ce type de stratégie se classe donc, dans la catégorie des commandesen amplitudes, par opposition aux lois de commande en durée, plus classiqueset basées sur un réglage de la valeur moyenne du vecteur tension par la largeurd’impulsion (MLI). A l’origine, les commandes DTC étaient fortement basées sur

32

2.5 Conclusions

le «sens physique» et sur une approche relativement empirique de la variationdes états (couple, flux) sur un intervalle de temps très court (intervalle entre deuxcommutations). Ce raisonnement s’est depuis nettement affiné et repose désormaissur des fondements mathématiques de plus en plus solides.

2.5 ConclusionsCompte tenu des différentes caractéristiques de chaque topologie de machines

synchro-réluctantes et de commandes, nous faisons d’ores et déjà le choix d’étudierles machines à barrières de flux, contrôlées par une commande vectorielle.La machine à barrières de flux est effectivement un bon compromis en termes

de performances, robustesse et coût par rapport aux machines à rotor massif etaxialement laminé. Elle réunit les avantages de chacune de ces structures touten étant moins sensible à leurs défaut. Pour notre étude qui vise l’hybridationà faible coût d’un GMP, l’analyse du potentiel de cette machine en termes deperformances peut nous conduire à proposer une solution alternative et viable auxmachines intégrant des aimants terres rares.Quant à la commande, l’option vectorielle apparaît comme la stratégie de contrôle

la plus appropriée. Comparée à la méthode scalaire par rapport à l’application dedestination (véhicule hybride en milieu urbain), le fait qu’elle soit plus rapide etprécise lui donne un avantage certain.Dans la suite de cet exposé, nous mettrons en place une méthodologie d’optimi-

sation de cette structure et de sa commande et analyserons l’impact de différentsmatériaux sur les performances et la robustesse du rotor.

33

Chapitre 3

Conception optimale des machinessynchro-réluctantes

35

Chapitre 3 Conception optimale des machines synchro-réluctantes

3.1 IntroductionL’hybridation à faible coût du groupe motopropulseur (GMP) dans le cadre du

projet ESSENCYELE nécessite de repenser les méthodes de conception des ma-chines électriques. La technologie synchro-réluctante requiert particulièrement defaire des choix judicieux et stratégiques afin d’aboutir à des machines performantesgrâce à des méthodes rapides et efficaces, qui peuvent être aisément applicablesdans un environnement industriel. Tout au long de ce chapitre, nous allons exposeret justifier les choix qui ont été faits, ainsi qu’expliquer leur mise en oeuvre.

3.2 Etat de l’art des methodologies d’optimisationDe nombreuses études ont été réalisées afin de procéder à l’optimisation des

machines synchro-réluctantes. Comme pour tout problème d’optimisation, 2 ques-tions se posent : quels objectifs à atteindre et comment les atteindre ? En ce quiconcerne les machines synchro-réluctantes à barrières de flux, l’éventail de réponsespossibles à ces questions est large et bon nombre de chemins ont été explorés depuisune vingtaine d’années.En plus de l’objectif « naturel » qui est d’obtenir le couple recherché, la problé-

matique de la réduction des ondulations de couple est largement abordée dans lalittérature [Bianchi 09, Bianchi 15, Ibrahim 16, Moghaddam 12, Ferrari 13]. Pouratteindre cet objectif, l’accent a été principalement mis sur la modification degéométrie du rotor. L’autre problématique que l’on retrouve également dans lalittérature est la démagnétisation des aimants dans le cas d’une machine assistée.L’accent est une fois de plus mis sur la géométrie du rotor, mais également surla recherche du vecteur de courant d’alimentation adéquat [Vagati 12, Vagati 14,Yamazaki 14, Imamura 13]. Ainsi, compte tenu de l’importance qu’est donnée aurotor, on devine que le niveau de paramétrisation de ce dernier est primordial, etexcepté pour des études de sensibilité, les optimisations faites dans les référencescitées ne comptent pas plus de 9 paramètres géométriques indépendants.Une autre approche a préconisé de plutôt s’appuyer sur la méthode des « ratios ».

Ainsi au lieu de résoudre le problème directement avec les paramètres géométriquesdéfinissant le design des barrières de flux, on se réfère plutot aux ratios caractéris-tiques du rotor ; le ratio air/fer par exemple. Cette méthode fait toujours appel auxparamètres indépendants, mais de manière indirecte [Ferrari 15, Moghaddam 12].On retrouve néanmoins quelques études centrées plutôt sur d’autres critères commele nombre de pôles ou la technique de bobinage statorique [Widmer 14, Spargo 15].D’autre part, en termes de moyens, on retrouve dans la littérature aussi bien

des optimisations basées sur des modèles analytiques [Raminosoa 06, Prieto 14a]qu’éléments finis. Pour les calculs éléments finis, le choix de l’algorithme a fait

36

3.3 Stratégie de conception optimale

l’objet d’une attention particulière ces dernières années. Il est question de trouver lebon compromis temps de calcul/précision des résultats dans un contexte industriel[Cupertino 12, Bramerdorfer 16].L’étude [Duan 13] particulièrement a fait l’état des lieux de l’adéquation de

chaque famille d’algorithme (méthodes déterministes et stochastiques) en fonctiondu cas étudié (objectif, niveau de paramétrisation du rotor...).Enfin [Lei 14, Lei 15] a proposé une stratégie qui vise à optimiser le système

global. La démarche séquentielle proposée inclut non seulement l’optimisation dela géométrie, mais également accorde une importance à la commande des machinesdans le processus de conception. Il s’agit d’une méthode complète qui tient comptedes aspects statique et dynamique : la machine elle-même et son fonctionnement.C’est cette approche qui a servi de point de départ pour la stratégie de conceptionoptimale que nous avons developpée.


Figure 3.3.1 – Schéma synoptique de la chaîne de transmission de puissance

Un des indicateurs clé attestant des performances d’une machine électrique estle couple qu’elle peut developper. Ce couple dépend des qualités intrinsèques de lamachine, mais également du fonctionnement de chacun des élements de la chaînede transmission de puissance (Fig. 3.3.1). D’un point de vue quantitatif, le coupleest dépendant d’un ensemble de variables :

Cem = f (ξ, (Ieff , β) , ψf ) (3.3.1)

Le rapport de saillance ξ _ Il est défini comme le rapport entre l’induc-tance directe et Ld et quadrature Lq (ξ = Ld/Lq). Plus ce rapport est élevé, plusle couple réluctant que pourra developper la machine sera important. D’un pointde qualitatif, un bon rapport de saillance signifie qu’il existe dans la machine unaxe priviligié de circulation du champ magnétique. Ce déséquilibre est principale-ment le résultat d’une géométrie judicieusement conçue. Dans le cas de la machine

37


synchro-réluctante à barrières de flux, ce sont ces dernières qui permettent de réa-liser ce déséquilibre, et donc leurs géometries doivent faire l’objet d’une attentiontoute particulière.Le vecteur de commande (Ieff , β) _ Une machine géométriquement bien

conçue, et donc dotée notamment d’un bon rapport de saillance ne peut être per-formante que si elle est correctement pilotée. Ainsi la problématique du calcul duvecteur de commande fait partie intégrante du problème de conception optimaledes machines synchro-réluctantes. Notons que (id, iq) et (Ieff , β) sont respective-ment les coordonnées cartésiennes et cylindriques du même vecteur courant −→I(Fig. 3.3.2)Source de flux rotorique ψf _ La présence d’une source de flux au rotor

participe non seulement à la création du couple grâce à l’interaction des champsmagnétiques rotor et stator, mais permet également d’améliorer le facteur de puis-sance de la machine [Bianchi 09, Langue 16b]. Comme présenté sur la figure 3.3.2(alimentation sinusoïdale et hors saturation magnétique) le vecteur de flux roto-rique (ψf ) peut permettre de réduire l’angle ϕ entre les vecteur tension et courantet ainsi augmenter le facteur de puissance.Dans le cas particulier des machines synchro-réluctantes à barrières de flux,

l’ajout d’une source de flux au rotor permet plutôt d’accélerer la saturation dumatériau ferromagnétique au niveau des ponts magnétiques et ainsi réduire l’ef-fet court-circuit que ces dernièrs induisent [Langue 16a]. Ce champ magnétiquesupplémentaire, orienté suivant l’axe q vient globalement augmenter le nombre delignes de champ qui circulent dans le rotor, et plus particulièrement dans ces zonesde faible épaisseur qui atteindront donc la saturation plus rapidement.L’utilisation d’un matériau type « Dual phase » peut conduire également à amé-

liorer le niveau de couple des machines en supprimant totalement l’effet court-circuit magnétique des ponts fer (Cf. partie (2.3.3)).

Figure 3.3.2 – Diagramme vectoriel d’une SyR

38


Ces trois principaux éléments intervenant dans le calcul du couple électroma-gnétique permettent de mettre en evidence trois potentiels axes d’optimisation desmachines synchro-réluctantes à barrières de flux. D’une part l’optimisation de lagéométrie afin d’avoir un impact direct sur le rapport de saillance, d’autre partl’optimisation de la commande pour un contrôle optimal de la machine, et en-fin l’apport de l’utilisation de matériaux nouveaux ou innovants permettant deremédier aux faiblesses innées de cette technologie de machine.

3.3.1 Démarche générale d’optimisation

Figure 3.3.3 – Démarche globale d’optimisation

En termes de méthodologie, nous avons fait le choix d’effectuer une double op-timisation découplée et séquentielle de la machine (Fig. 3.3.3) .— La première étape consiste en l’optimisation de la géométrie seule de la ma-

chine afin d’obtenir le meilleur rapport de saillance possible. Cependant etcomme précédemment évoqué, la géométrie et les propriétés électriques (cou-rant/tension) de la machine sont très fortement couplées [Langue 17a]. Ainsi,afin d’isoler l’action sur la topologie du rotor, cette optimisation doit êtreréalisée à commande fixe. Ceci implique donc qu’il existe une zone de fonc-tionnement (plage de vitesses) dans laquelle pour un vecteur de commandesensiblement identique, 2 machines ayant la même topologie (même nombre

39


de barrières de flux par exemple) mais des valeurs de paramètres géomé-triques différentes, atteignent leur couple maximal. L’objectif intermédiaireest donc de trouver une vitesse où le couplage géométrie/physique est le plusfaible possible et de calculer la commande correspondante.

— La deuxième séquence s’attache au calcul d’une commande optimale de latopologie précédemment optimisée pour plusieurs points de fonctionnement.Durant cette étape, la géométrie de la machine n’évolue pas et pour chaquepoint de fonctionnement (duo couple et vitesse) un vecteur de commandeoptimal (id, iq) est déterminé.

— Enfin nous traçons les cartographies de performances qui nous servent desupport pour des comparaisons entre différentes structures de machines.

3.3.2 Comparaison de 3 types de machinesLe dernier point de conception optimale des machines sont les matériaux qu’elles

intègrent. Nous ferons une étude comparative de leur apport quant aux perfor-mances des machines et par rapport au cahier des charges. Ainsi la démarched’optimisation présentée dans (3.3.1) sera rigoureusement et identiquement appli-quée à une machine synchro-réluctante à barrières de flux classique (SyRC), à unemachine à barrières de flux utilisant le matériau « Dual Phase » (SyRDP) et à unemachine à barrières de flux assistée d’aimants ferrites (SyRA).

3.4 Mise en oeuvre de la démarche d’optimisation

3.4.1 Optimisation de la géométriePour une machine synchro-réluctante à barrières de flux, le déséquilibre axe

direct et quadrature, pilier du bon fonctionnement, dépend principalement de lagéométrie des barrières de flux. Cette partie vise donc à identifier les paramètresgéométriques garants d’un bon dimensionnement, ainsi que les outils nécessairesau calcul d’une géométrie optimale (Fig. 3.4.1). Ainsi à partir du modèle initial,le processus d’optimisation de la géométrie se déroule comme suit :— Construction d’un modèle géométrique paramétré du rotor (barrières de flux)— Détermination de la vitesse de faible couplage géométrie/physique et calcul

de la commande— Evaluation des fonctions d’optimisation— Choix de l’algorithme d’optimisation— Obtention des paramètres géométriques optimaux optimisant la/les fonc-

tion(s) objectif(s)

40


Figure 3.4.1 – Démarche d’optimisation de la géométrie

3.4.1.1 Modèle d’analyse

Le dimensionnement des machines synchro-réluctantes à barrières de flux est trèscomplexe, non seulement à cause du grand nombre de paramètres indépendants(géométriques et électriques) mis en jeu, mais également du fait de fortes nonlinéarités des phénomènes électromagnétiques qui en régissent le fonctionnement.Ainsi dans un souci d’efficacité dans la méthodologie d’analyse et de précision(fiabilité) des résultats, il devient nécessaire de se tourner vers une modélisationéléments finis. Nous avons fait le choix de mettre en place un modèle éléments finisà 2 dimensions, avec les hypothèses que ceci implique.Une modélisation 2D suggère que tous les phénomènes qui se déroulent dans le

plan de modélisation se répètent à l’identique dans tous les autres plans le longde l’axe de la machine (invariance de la géométrie, des sources et des matériaux).D’autre part, le dispositif est également supposé infiniment long dans la directionaxiale ; ceci signifie que le flux est canalisé dans le plan de coupe. Le flux fuiten’est donc pas pris en compte dans la direction axiale. La condition géométriquequi valide ces hypothèses est que les dimensions des entrefers dans le plan decoupe sont faibles par rapport à la dimension axiale de la machine. Dans le cadrede notre projet, nous pouvons conjecturer un rapport d’au moins 200 entre cesdimensions, nous plaçant donc dans des conditions favorables à l’utilisation d’unemodélisation 2D. Nous allons donc pouvoir bénéficier de tous les avantages d’untel modèle : rapidité de maillage et de calcul, sans pour autant sacrifier la précisiondes résultats.

41


Néanmoins dans le cas de la machine assistée de ferrite, nous sommes amenés àêtre plus vigilants dans l’analyse des résultats, car d’après [Raminosoa 14] le fluxmagnétisant est en réalité inférieur à celui calculé en 2D. La présence d’aimantspermanents accentue les effets d’extrémités (flux de fuite) et cette étude a estiméque pour une machine de 40 kW, utilisant des aimants terres-rares à 1T d’inductionrémanente, le flux magnétisant est en réalité de 10% inférieur à celui calculé.Les logiciels Flux2D [Cedrat 15a, Cedrat 15b] et Got-It [Cedrat 15c] on été uti-

lisés afin de mener cette optimisation.

Géométrie et maillage

Les machines étudiées présentent une cyclicité, nous donnant ainsi la possibilitéde ne representer qu’un seul pôle avec des conditions de périodicités anticycliques[Cedrat 15a] : le sens des courants et de l’aimantation des ferrites d’un pôle àl’autre est inversé. D’autre part, les conditions aux limites [Dhatt 05, EL01 09]sont prises en compte à travers l’outil « boîte infinie » de Flux2D.En ce qui concerne le maillage, il utilise des éléments du 2e ordre [Cedrat 15a]

et le projet comporte 9 000 noeuds (Fig. 3.4.2) .

Figure 3.4.2 – Géométrie et maillage de la SyR

Couplage champ-circuit

Les grandeurs magnétiques et électriques du modèle sont traitées simultanémentpar l’intermédiaire d’un circuit électrique équivalent qui schématise toute la chaînede transmission de puissance (Fig. 3.4.3). La batterie et l’onduleur sont représentéspar des sources de courant, la machine par 3 conducteurs bobinés (1 par phase)et des inductances de fuites. Ces conducteurs bobinés sont directement couplés àla géométrie et au maillage et toutes les grandeurs magnétiques calculées dans lecircuit résultent de la quantification des phénomènes magnétiques réalisée à partirdu maillage.

42


Figure 3.4.3 – Circuit électrique équivalent de la chaîne de transmission de puis-sance

Calcul des grandeurs électromagnétiques

Les équations utilisées pour la résolution du modèle sont 3 des équations deMaxwell (l’équation Maxwell-Gauss n’est pas utile dans ce cas) et les équationsconstitutives de la matière (Cf. Tableau (3.1)).Pour résoudre ce système d’équations, on utilise une formulation en potentiel

vecteur [Cedrat 15b], qui s’appuie sur le potentiel vecteur magnétique noté −→A .L’équation de Maxwell-Faraday −→rot

(−→E)

= −∂−→B∂t

implique également l’existenced’un potentiel scalaire électrique V [EL01 09] tel que :

−→E = −∂

−→A

∂t−−−→gradV (3.4.1)

L’équation résolue par la méthode des éléments finis [Dhatt 05, Ida 13] dansune application magnétique transitoire (en supposant les matériaux homogènes etisotropes) s’écrit :

−→rot

([ν]−→rot

(−→A)−−→Hc

)+ [σ]

∂−→A∂t

+−−→gradV = 0 (3.4.2)

où

43


Maxwell-Faraday : −→rot(−→E)

= −∂−→B∂t

E : champ électrique [V/m]

Maxwell Thomson : div(−→B)

= 0 B : induction magnétique [T]

Maxwell-Ampère : −→rot(−→H)

= −→J H : champ magnétique [A/m]

Milieux conducteurs : −→J = σ−→E J : densité de courant [A/m2]

Milieux magnétiques : −→B = µ−→H +−→Br σ : conductivité électrique du milieu [S/m]

µ : perméabilité magnétique du milieu [H/m]

Br : induction rémanente (aimants) [T]

Table 3.1 – Equations servant à la résolution du modèle

— [ν] est le tenseur de réluctivité magnétique du milieu [m/H]— −→

A est le potentiel vecteur magnétique [Wb/m]— −→

Hc est le champ coercitif (aimants) [A/m]— [σ] est le tenseur de conductivité électrique du milieu [S/m]— V est le potentiel scalaire électrique [V]

Avec l’outil éléments finis, les grandeurs exploitables après résolution se répar-tissent en 2 groupes : les quantités locales calculables en n’importe quel point dudomaine d’étude et les grandeurs globales qui résultent d’une intégration, calcu-lables sur tout ou partie du domaine d’étude (Cf. tableau (3.2)).Le couple électromagnétique est calculé par la méthode des travaux virtuels

[Curnier 93], tandis que les pertes fer sont obtenues sur la base de la théorie deBertotti [Bertotti 88, Bertotti 91, Fiorillo 90]. Dans Flux2D, les pertes fer volu-miques [W/m3], à un instant t, sont calculées comme décrit dans l’équation 3.4.3.

pfer = kfoi ∗

kh ∗B2m ∗ fe + σ ∗ d

2

12

(dB

dt(t))2

+ ke ∗(dB

dt(t))3/2

(3.4.3)

Avec :— Bm l’induction maximale atteinte [T]— kfoi : le coefficient de foisonnement— kh : le coefficient de pertes par hystérésis [m.Ω−1.s-1]— σ : la conductivité électrique du matériau [S.m-1]

44


Grandeurs locales Grandeurs globalesDensité de courant :−→

J = σ(−d−→Adt−−−→gradV

)[A/m2]

Couple magnétique : Cem = ∂W′

∂θ|I=cte

[N.m]Avec W’ la coénergie magnétique [J]

Champ électrique : −→E =−→Jσ

[V/m] Puissance active [W]Densité volumique d’énergie :

w =∫ |−→B |0−→Hd−→B [J/m3]

Flux magnétique à travers unconducteur bobiné [Wb]

Pertes fer (Formule de Bertotti) [W]

Table 3.2 – Grandeurs exploitables par éléments finis

— d : l’épaisseur de la tôle [m]— ke : le coefficient de pertes par excès [W.s3/2.T-3/2.m-3]

3.4.1.2 Paramétrisation du rotor

Figure 3.4.4 – Variables géométriques d’optimisation

Nous avons isolé 5 paramètres distincts pour le design d’une barrière de flux.Ainsi pour un rotor à 3 barrières on a donc au total 15 variables géométriquesindépendantes (Fig. 3.4.4).

45


— Angle d’ouverture de barrière « Ebo » : ce paramètre décrit l’ouverture an-gulaire de la barrière de flux. Il est défini entre l’axe central d’un pôle et lapointe extrême de la barrière.

— Largeur d’extrémité de barrière « Eba » : ce paramètre fait référence à lalargeur de la pointe extrême de la barrière en vis-à-vis avec l’entrefer.

— Largeur de fond de barrière « Bbw » : dans le cas du rotor assisté, ce para-mètre représente également la largeur de l’aimant ferrite.

— Hauteur de fond de barrière « Bbh » : cette dimension décrit aussi la hauteurde l’aimant ferrite.

— Position de fond de barrière « Bbp » : cette variable définit la position dufond de barrière par rapport à l’axe de la machine.

Ces paramètres ont une influence directe et dominante sur la circulation deschamps magnétiques, et par conséquent sur les caractéristiques intrinsèques dela machine (rapport de saillance). Qualitativement parlant, différentes études ontété réalisées sur la sensibilité de certaines performances (couple, ondulations decouple...) par rapport aux variables que nous avons identifiées. [Bianchi 15, Ibrahim 16]ont montré que tous ces paramètres ont un impact dans des proportions variablesdépendant de la grandeur considérée. On note également que ces grandeurs sontdes fonctions fortement non linéaires des variables géométriques d’optimisation.

3.4.1.3 Point de fonctionnement et calcul de la commande

Comme le préconise la démarche d’optimisation précédemment décrite, l’opti-misation de la géométrie du rotor se fait à commande fixe, ceci dans le but d’éviterque les contraintes d’alimentation (courant, tension...) n’interfèrent dans le pro-cessus de dimensionnement du rotor. Afin de déterminer la vitesse appropriéepour cette optimisation (Cf. partie (3.3.1)), nous avons réalisé une étude compara-tive consistant à optimiser de manière géométrique et électrique une machine testpour différentes vitesses. Nous en avons choisi 6, 3 vitesses pour chaque mode defonctionnement : 2 000 tr/min, 6 000 tr/min, 12 000 tr/min en mode moteur etgénérateur.La machine test comporte 8 pôles et les variables géométriques d’optimisation

sont celles présentées sur la figure 3.4.4. A ce stade, la commande ne peut être im-posée car elle n’est pas connue. Ainsi, les éléments du vecteur de contrôle (Ieff , β),rentrent dans les variables d’entrée de l’optimisation portant le nombre total devariables d’optimisation à 17 (15 géométriques et 2 électriques). L’objectif est demaximiser la puissance utile ; il s’agit de la puissance mécanique en mode moteuret de la puissance électrique en mode générateur. L’unique contrainte concerne latension aux bornes de la machine qui doit rester inférieure à la limite imposée parla batterie (bus continu) et l’électronique de puissance. Pour superviser le calcul,on fait le choix d’un algorithme à évolution différentielle [Prieto 13], de la famille

46


des algorithmes stochastiques.La figure 3.4.5 présente les géométries obtenues pour chaque point de fonction-

nement, et le tableau 3.3 regroupe les rapports de saillance des machines ainsi quele vecteur de contrôle au point de fonctionnement correspondant. Les inductancesdirect Ld et quadrature Lq sont calculées comme décrit dans [Bianchi 05]. L’induc-tance L est la grandeur établissant la proportionnalité entre le flux magnétique ψet le courant i qui lui a donné naissance (ψ=L*i). Pour le calcul de Ld, on alimentela machine de telle sorte de id= Imax et iq= 0 (cf. annexe A). On détermine leflux dans l’axe d ψd par éléments finis et l’inductance Ld est donnée par l’équation(3.4.4). Pour le calcul de Lq, on opère de la même manière, mais cette fois on forcele vecteur courant à s’aligner sur l’axe q.

Ld = ψdid

= ψdImax

(3.4.4)

Le temps de calcul pour chaque optimisation est de 36 heures.

Figure 3.4.5 – Machines optimisées pour chaque point de fonctionnement

47


2 000G 2 000M 6 000G 6 000M 12 000G 12 000Mξ 3.9 3.8 3.8 3.5 2.9 3.1

Ieff (A) 200 200 200 200 200 200β(o) 222.8 138 207.6 162.6 190.6 169.2

Table 3.3 – Caractéristiques des machines optimisées

Notons que la contrainte en tension est fixe en mode générateur, quelle que soitla vitesse de rotation. Tandis qu’en mode moteur, elle dépend de la résistanceinterne de la batterie et de l’amplitude du courant efficace (Cf. partie (3.4.2.1)).En première analyse, les points de fonctionnement à 2 000 tr/min et à 6 000

tr/min en mode générateur sont équivalents et permettent d’obtenir les meilleursrapports de saillance (Cf. Tableau 3.3). On peut d’ores et déjà éliminer les pointsà 12 000 tr/min et à 6 000 tr/min en mode moteur car ils présentent des rapportsde saillance plus faibles.

Calcul magnétostatique

En parallèle de cette optimisation, nous avons entrepris de réaliser un calculmagnétostatique à partir de la géométrie initiale de la machine test. Ce calcul aconsisté à évaluer le couple developpé par la machine en fonction du vecteur decontrôle (Ieff, β) (Fig. 3.4.6). Pour un courant efficace de 200 A, le couple maximalest atteint pour un β = 223° en mode générateur et β = 138° en mode moteur(on rappelle que la position des axes d et q est donnée par la figure 2.2.3). Encomparant ces valeurs à celles obtenues après optimisation (Tableau 3.3), on endéduit donc que la plage de vitesses dans laquelle la géométrie et la commandesont faiblement liées se situe à très basses vitesses (< 3 000 tr/min). Ceci peuts’expliquer par le fait que dans cette zone, la machine est dans le Mode I (cf.partie (3.4.2.3)), et donc la tension à ses bornes y est inférieure à la limite imposéepar la batterie et l’électronique de puissance. De plus le vecteur de contrôle peutêtre obtenu en amont de l’optimisation grâce à ce calcul magnétostatique. Onpeut ainsi éliminer le point à 6 000 tr/min et revenir à 15 variables exclusivementgéométriques.Enfin, le choix entre le mode moteur ou générateur s’est fait par retour d’ex-

périence industriel par rapport au projet ESSENCYELE. Le point basse vitesseen mode générateur semble être à la fois très dimensionnant pour les construc-teurs automobiles, mais également très difficile à satisfaire en termes de puissanceutile. C’est donc sur ce point de fonctionnement que nous allons concentrer nosefforts d’optimisation. Le tableau 3.4 regroupe les caractéristiques de la machineoptimisée sur le point de fonctionnement choisi.

48


Figure 3.4.6 – Cartographie du couple en fonction du vecteur de contrôle

Puissance utile Ondulations de couples Facteur de puissance3.1 kW 5.9 % 0.62

Table 3.4 – Caractéristiques à 2 000 tr/min en mode générateur de la machinetest optimisée

Ainsi, le point sur lequel est menée l’optimisation est donc celui à basse vitesse 2000 tr/min en mode générateur (on l’appelle point P1). La machine est alimentéeen courant dont la valeur efficace est déduite de la densité maximale de courantadmissible dans les conducteurs en régime permanent (Cf. partie (3.5.1.2)). Dece fait, on prend donc implicitement aussi en compte les contraintes et limitesthermiques.

3.4.1.4 Fonctions d’optimisation : objectifs et contraintes

Outre les puissances utiles requises, les machines synchro-réluctantes présententcertaines faiblesses auxquelles nous allons essayer de remédier à travers le dimen-sionnement de la géométrie. Comme exposé dans (1.2.2.4), les machines synchro-réluctantes présentent en général de fortes ondulations de couple et un faible fac-teur de puissance. La question est de savoir si dans l’optimisation de la géométrie,on doit/peut les considérer comme des fonctions objectifs ou seulement les traitercomme des contraintes.

49


Nous avons donc mené une nouvelle étude comparative sur la même machinetest, au point de fonction précédemment identifié (2 000 tr/min en mode généra-teur). Dans cette étude, on mène deux optimisations distinctes, la première aveccomme objectif de minimiser les ondulations de couple ∆C et la seconde avecpour objectif de maximiser le facteur de puissance f . Les ondulations de couplesont calculées comme décrit dans l’équation (3.4.5) et le facteur de puissance par(3.4.6).

∆C =∣∣∣∣Cmax − CminCmax + Cmin

∣∣∣∣ (3.4.5)

f = Pactive3 ∗ Veff ∗ Ieff

(3.4.6)

Comme contraintes, en plus de celle sur la tension aux bornes de la machine,on en rajoute une sur la puissance utile. Cette dernière ne doit pas être inférieureà celle obtenue dans la partie (3.4.1.3) après optimisation. On conserve le mêmealgorithme à évolution différentielle pour superviser les calculs.Les figures 3.4.7b et 3.4.7c présentent les rotors obtenus pour chaque fonction

objectif et le tableau 3.5 regroupe les caractéristiques de chaque rotor.

(a) Machine initiale optimisée(b) Machine optimisée pourles ondulations de couple

(c) Machine optimisée pourle facteur de puissance

Figure 3.4.7 – Machines optimisées pour différentes fonctions objectif

L’examen des figures 3.4.7a et 3.4.7b montre qu’avec une légère modification dela géométrie, sur la largeur d’extrémité de barrière (paramètre « Eba ») notamment[Bianchi 09, Bianchi 15], il est possible de réduire les ondulations de couple d’untiers. Ceci conforte l’idée de la forte dépendance des performances par rapport à lagéométrie de la machine. D’autre part, cette diminution des ondulations de couplen’a quasiment pas impacté la puissance utile de la machine (la contrainte sur lapuissance n’a pas pu être respectée, on a perdu 100 W de puissance utile (Cf.

50


Machine initiale Machine « ∆C » Machine « f »Puissance utile (kW) 3.1 3.0 3.0

∆C (%) 5.9 1.9 8.5f 0.62 0.60 0.64

Table 3.5 – Caractéristiques des machines optimisées pour différentes fonctionsobjectif

tableau 3.5). On peut en conclure que ces deux grandeurs ne sont que faiblementcouplées et qu’il est donc possible de les optimiser en parallèle [Moghaddam 12].Pour ce qui est du facteur de puissance, on ne note qu’une amélioration mi-

neure suite à l’optimisation de la géométrie (Cf. Tableau 3.5). Nous en concluonsque cette dernière n’a presque aucune influence sur cette grandeur et qu’il n’estdonc pas nécessaire de l’inclure dans les fonctions d’optimisation à ce stade de ladémarche.En définitive, il ressort de cette analyse qu’une des manières de dimensionner

la géométrie des machines synchro-réluctantes de manière optimale passe par uneoptimisation bi-objectif : maximiser la puissance utile tout en minimisant les on-dulations de couple.

Contraintes mécaniques

La tenue mécanique des rotors est un élément clé dans la conception des ma-chines électriques, qui plus est quand les rotors étudiés incluent des parties fineset extrêmement sensibles que sont les ponts magnétiques. Les différents partiesdu rotor, dont les dimensions découlent des variables géométriques d’optimisation,doivent donc pouvoir résister aux couples et vitesses élevés. D’autre part, les pos-sibles déformations de ces organes ne doivent mettre en péril ni les performances,ni la robustesse globale de la structure.Le calcul de ces contraintes est complexe et son intégration dans un modèle élec-

tromagnétique est délicate. Elles seront spécifiquement étudiées dans le chapitre4 afin de les prendre en compte au mieux au cours du processus de conceptionoptimale des machines.

3.4.1.5 Algorithmes d’optimisation

Jusque-là nous avions eu recours à un algorithme stochastique de type évolutiondifférentielle afin de superviser l’optimisation. Cette famille d’algorithmes présentede nombreux avantages, mais est aussi très gourmande en temps de calcul. Dansune approche industrielle, ce facteur temps est primordial et donc se doit d’êtremaîtrisé au mieux.

51


Ainsi nous avons entrepris une dernière étude comparative afin de déterminerl’algorithme d’optimisation le mieux adapté pour le dimensionnement du rotor.Toujours sur la même machine test, nous avons comparé 2 optimisations utilisant2 algorithmes : la première avec un optimiseur SQP (Optimisation Quadratique Sé-quentielle) qui appartient à la famille des algorithmes déterministes, et la deuxièmesupervisée par un algorithme à évolution différentielle (DE) qui appartient à la fa-mille des méthodes stochastiques.L’algorithme SQP [Cedrat 15c] est une méthode newtonienne appliquée aux

conditions d’optimalités du premier ordre d’un problème sous contraintes. Il bé-néficie donc d’une convergence locale rapide à condition que ses points initiauxsoient dans le voisinage d’un point stationnaire et de ses multiplicateurs associés.Il est cependant possible de globaliser cet algorithme, c’est-à-dire ajouter une étapeaméliorant la convergence même si le premier itéré n’est pas proche d’une solution.Mais ceci ne garantit toujours pas d’aboutir à un optimum si les points initiauxne sont pas proches d’une solution.L’évolution différentielle quand à elle est inspirée des algorithmes génétiques et

par les stratégies évolutionnistes combinées avec une technique géométrique de re-cherche. Dans la méthode DE, la population initiale est générée par tirage aléatoireuniforme sur l’ensemble des valeurs possibles de chaque variable. Le DE standardutilise 3 techniques (croisement, mutation,sélection) à l’instar des algorithmes gé-nétiques. Ces trois techniques sont successivement appliquées sur chaque vecteurafin de produire un vecteur d’essai. Une opération de sélection permet de choi-sir les individus à conserver pour la nouvelle génération. L’évolution différentielleest devenue une méthode incontournable pour une grande quantité de problèmesscientifiques et industriels [Prieto 14b].Ces deux optimisations sont formulées comme suit :— Point de fonctionnement : 2 000 tr/min en mode générateur— Optimisation bi-objectif :

— Maximiser la puissance utile : foP = max(Putile)— Minimiser les ondulations de couple : fo∆C = min(∆C)

— Contrainte en tension : gV = Veff − Vlim < 0Les figures 3.4.8a et 3.4.8b présentent les rotors obtenus pour ces 2 optimisations,et le tableau 3.6 récapitule les performances des machines ainsi que les temps decalcul.Les 2 optimisations aboutissent à 2 machines de même puissance utile (3.1 kW).

SQP met 2.5 fois moins de temps de calcul que DE. Cependant, dans notre casde figure (machine initiale choisie, réglage des paramètres de l’optimiseur), lesondulations de couple du rotor SQP sont 2 fois plus élevées. Certes le temps decalcul avec SQP est très attractif, cependant partant d’une feuille blanche, il estpréférable d’utiliser l’algorithme à évolution différentielle. En effet le fait d’aboutir

52


(a) Rotor optimisé avec SQP (b) Rotor optimisé avec DE

Figure 3.4.8 – Machines optimisées avec différents algorithmes

à un optimum global avec SQP est très dépendant de la machine initiale. Alorsqu’avec DE, la probabilité est plus forte car le point de départ est en réalité unepopulation de départ. En général DE est utilisé en premier rideau et SQP ensurcouche afin de raffiner localement l’optimum obtenu [Cupertino 12]. Dans lasuite de notre travail nous avons conservé l’utilisation unique de l’algorithme DE.

Rotor SQP Rotor DEPuissance utile (kW) 3.1 3.1

∆C (%) 7 2.9Temps de calcul (H) 20 50

Table 3.6 – Performances des machines optimisées avec différents algorithmes

Optimisation multi-objectif

Les méthodes stochastiques sont très bien adaptées au traitement d’un problèmed’optimisation multi-objectif [Collette 11]. Les figures 3.4.9a et 3.4.9b présententles schémas de fonctionnement d’un algorithme pour la résolution d’un problèmemono-objectif et multi-objectif respectivement. La différence importante concernel’étape de « transformation vecteur/efficacité ». Elle permet de transformer un vec-teur (qui contient les valeurs de fonctions objectif pour chaque individu) en uneefficacité (une efficacité correspond à la performance d’un individu dans la résolu-tion d’un problème posé ; par exemple, si l’on considère un problème de maximi-sation d’une fonction, l’efficacité de l’individu croît avec sa capacité à maximisercette fonction).

53


(a) Fonctionnement de l’algorithme pourun problème monoobjectif

(b) Fonctionnement de l’algorithme pourun problème multiobjectif

Figure 3.4.9

Pour résoudre un problème multiobjectif, diverses stratégies peuvent être adop-tées. On a :— Les méthodes dites « agrégatives » qui permettent de se ramener à un pro-

blème d’optimisation monoobjectif en utilisant une fonction objectif équi-valente. La fonction monoobjectif équivalente est obtenue en effectuant unesomme pondérée des différents objectifs.

F (x) =∑i

αi ∗ fobj,i 0 < αi < 1 et∑i

αi = 1 (3.4.7)

54


Avec :— x : le vecteur des variables d’entrées— αi : coefficient de pondération de chaque fonction objectif

— Les méthodes dites « non agrégatives » qui n’opèrent pas de fusion des dif-férentes fonctions objectif pour se ramener à un problème d’optimisationmonoobjectif.

Sans rentrer dans les détails, nous avons fait confiance à la méthode « agréga-tive » proposée par Got-It. Dans notre cas, et sachant que nos deux objectifs sontquasiment indépendants (Cf. partie (3.4.1.4)), nous avons affecté le même poids àchacun.

3.4.1.6 Formulation finale du problème d’optimisation

Compte tenu des paramètres et variables d’entrée que nous avons identifiés,des différentes fonctions objectifs et contraintes que nous avons déterminées, nousfaisons le choix de réaliser une optimisation bi-objectif (résolue en monoobjectifdu fait de l’agrégation) avec contraintes.Pour résumer, le problème d’optimisation de la géométrie des machines synchro-

réluctantes à barrières de flux reprend les éléments suivants :— Seule la géométrie évolue au cours de cette optimisation (la commande est

fixe (Cf. partie(3.4.1.3)) et le dimensionnement des barrières de flux reposesur 5 variables indépendantes pour chaque barrière de flux

— Le point de fonctionnement sur lequel les machines sont optimisées est celuià 2 000 tr/min en mode générateur

— Les machines sont alimentées en courant, dont le vecteur (Ieff , β) est déter-miné en amont par un calcul magnétostatique et conditionné par la densitéde courant maximale admissible dans les conducteurs (Cf. partie (3.5.1.2)).

— La première fonction objectif est de maximiser la puissance utile :

foP = max(Putile)

— La deuxième fonction objectif est de minimiser les ondulations de couple :

fo∆C = min(∆C)

La fonction monoobjective équivalente s’écrit alors :

F (x) = 0.5 ∗ (1− foP ) + 0.5 ∗ fo∆C

La fonction F(x) est à minimiser. foP et fo∆C sont les fonctions objectifsnormées, afin qu’elles fournissent des valeurs de même ordre de grandeur.

55


— La contrainte en tension :

gV = Veff − Vlim < 0

— Contrainte sur les ondulations de couple, on veut les minimiser tout en lesgardant en-dessous d’un certain seuil (5%) :

g∆C = ∆C − 0.05 < 0

— L’optimisation est réalisée par un algorithme à évolution différentielle (DE)

3.4.2 Commande optimale

Figure 3.4.10 – Principe de la commande en couple

Afin d’exploiter pleinement une machine bien dimensionnée, il est nécessaireque la commande soit aussi optimisée par rapport aux besoins de l’application.Les consignes d’alimentation envoyées à la machine doivent pouvoir permettre àcelle-ci soit de fournir les puissances utiles maximales, soit de developper les couplesmaximaux, soit d’atteindre les vitesses maximales tout en minimisant les pertes(équivalant à maximiser le rendement) ou en maximisant le facteur de puissance.L’optimisation de la commande permet de contrôler la puissance que la batterie a

à fournir pour atteindre les consignes de couple et/ou de vitesse pour chaque pointde fonctionnement tout en respectant les limites physiques du système (tension etcourant).Nous avons fait le choix de mettre en place une commande vectorielle à flux

orienté avec régulation du couple (Fig. 3.4.10). Les consignes de couple positivescorrespondent au mode moteur et les consignes négatives au mode générateur.Les lois de contrôle prennent la forme de tables contenant les valeurs de courantsoptimaux (id, iq) en fonction de la consigne de couple et de la mesure de vitesse.

56


3.4.2.1 Modèle d’analyse

Compte-tenu du fait que la géométrie n’évolue pas au cours de cette étape deconception, nous faisons le choix d’un modèle hybride pour le calcul de la com-mande optimale. Les grandeurs électromagnétiques sont majoritairement calculéesde manière analytique, et seuls les flux et l’induction magnétique sont déterminéspar éléments finis.

Onduleur

L’onduleur est considéré comme idéal : son rendement est égal à 1, et il n’en-gendre pas de chute de tension en charge. Les interrupteurs sont conmmandés àtravers une stratégie MLI [Séguier 99].

Batterie

Figure 3.4.11 – Modèle électrique de la batterie

La batterie est modélisée par une source de tension Eb en série avec une résis-tance interne Rb (Fig. 3.4.11). La puissance maximale qu’elle peut déliver vaut :

Pbmax = E2b

4 ∗Rb

(3.4.8)

La tension aux bornes de la batterie en mode moteur vaut :

Ub =Eb +

√E2b − 4 ∗Rb ∗ Pb

2 (3.4.9)

Où Pb représente la puissance soutirée à la batterie, égale à la puissance élec-trique divisée par le rendement de l’onduleur.En mode générateur, cette tension (et donc l’ensemble du réseau de bord) est ré-

gulée autour d’une valeur constante appelée tension de charge (Cf. partie (3.5.1.2)).Dans ce cas, le modèle de la batterie se résume à une tension Vch et la puissancen’est plus limitée.

57


En considérant les différentes tensions comme parfaitement sinusoïdales (pasde sur-modulation), et le point neutre des enroulements stabilisé à Ub

2 , la tensionmaximale disponible aux bornes de chaque phase vaut en valeur efficace (en modemoteur et générateur respectivement) :

VlimM = Ub

2 ∗√

2VlimG = Vch

2 ∗√

2(3.4.10)

Modélisation de la machine

La machine (celle optimisée dans la partie 3.4.1) est représentée par 3 fonctionsnon linéaires :— ψd = f(id, iq) pour le flux direct— ψq = f(id, iq) pour le flux en quadrature— Bm = f(id, iq) qui est l’induction maximale atteinte dans le matériau ferro-

magnétique de la machine (au rotor ou au stator) et servant pour le calculdes pertes fer.

Calculs des grandeurs électromagnétiques

Les grandeurs utiles calculées grâce aux équations analytiques des machinessynchrones (Park) [Chatelain 89] sont les suivantes :— Courant efficace :

Ieff =√i2d + i2q

3 (3.4.11)

id =√

3 ∗ Ieff ∗ cos (β) (3.4.12)

iq =√

3 ∗ Ieff ∗ sin (β) (3.4.13)

— Tension efficace :vd = Rs ∗ id − ωe ∗ ψq (3.4.14)

vq = Rs ∗ iq + ωe ∗ ψd (3.4.15)

avec Rs la résistance électrique statorique (1 phase) et ωe la pulsation des

58


signaux électriques.

Veff =√v2d + v2

q

3 (3.4.16)

— Couple électromagnétique :

Cem = p ∗ (ψd ∗ iq − ψq ∗ id) (3.4.17)

— Puissances électrique et électromagnétique :

Pe = vd ∗ id + vq ∗ iq (3.4.18)

Pem = Cem ∗Ω (3.4.19)

avec Ω la vitesse de rotation du rotor.— Les pertes fer sont calculées à partir de la méthode de Bertotti, dans une

hypothèse d’une induction sinusoïdale (B(t)=Bm*sin(ωe ∗ t) et ωe= 2*π*fe).L’induction maximale et la masse du rotor (pour le calcul du volume) sontdéterminées grâce au modèle éléments finis. La relation suivante calcule lespertes fer volumiques [W/m3] :

pfer = kfoi ∗(kh ∗

(fe ∗B2

m

)+ kF ∗ (fe ∗Bm)2 + ke ∗ (fe ∗Bm) 3

2)

(3.4.20)

avec :— kfoi : le coefficient de foisonnement— kh : le coefficient de pertes par hystérésis [m.Ω−1.s-1]— kF : le coefficient de pertes par courants de Foucault [m.Ω−1]— ke : le coefficient de pertes par excès [W.s3/2.T-3/2.m-3]L’annexe (B) explicite comment obtenir chacun de ces coefficients pour unmatériau donné.

— Dans cette phase de conception, nous avons considéré que les pertes méca-niques (Pmec) représentent 10% de la puissance électromagnétique sur toutela plage de vitesse. On obtient une puissance utile mécanique :

Pm = 0.9 ∗ Pem (3.4.21)

— Pertes totales :Ptot = Pfer + Pmec + 3 ∗Rs ∗ I2

eff (3.4.22)

59


— Le rendement :

η =(PmPe

)sign(Cem)(3.4.23)

— Facteur de puissance :f = Pe

3 ∗ Ieff ∗ Veff(3.4.24)

Les flux et l’induction maximale dans l’entrefer sont calculés par éléments finis.En effet, la notion d’inductance ne peut plus être utilisée pour le calcul des flux.La complexité de la machine et des phénomènes qui s’y produisent (saturation,effets croisés...) rendent cette notion inappropriée. Nous avons plutôt besoin d’unoutil nous donnant la valeur des flux dans chaque axe : direct et quadrature touten prenant en compte toutes les non linéarités qui régissent la physique de cetype de machine. Les éléments finis sont en mesure de répondre efficacement àcette problématique. Nous utilisons le logiciel Flux2D pour calculer les grandeursmagnétiques (flux et inductance).

3.4.2.2 Données et variables d’entrée

Variables de commande

Les variables de commande sont les éléments du vecteur de courant (Ieff, β). Pourdes raisons pratiques, nous faisons le choix d’utiliser les coordonnées cartésiennes(id, iq) (Cf. Fig. 3.4.10).

Flux

Figure 3.4.12 – Cartographies de flux

60


Les flux font partie des grandeurs principales décrivant le fonctionnement de lamachine électrique (celle précedemment optimisée notamment). Du fait des fortesnon linéarités des machines synchro-réluctantes, ces flux doivent être calculés paréléments finis afin de garantir une certaine précision des résultats.En magnétostatique, on réalise une étude paramétrique sur le vecteur de contrôle

(id,iq) (Fig. 3.4.13) et on peut par la suite tracer les surfaces de réponse de ψd et ψqen fonction des courants (Fig. 3.4.12). Sur ces cartographies, on observe clairementla saturation magnétique, mais également les effets croisés des courants (effet ducourant id sur l’axe q et du courant iq sur l’axe d). Grâce à des outils classiquesd’interpolation, il devient ensuite aisé d’obtenir la valeur du flux dans chaque axepour n’importe quel courant.

Figure 3.4.13 – Schéma synoptique du calcul des flux et de l’induction maximale

Induction maximale

Figure 3.4.14 – Cartographie d’induction maximale

61


Tout comme les flux, l’induction maximale est déterminée par un calcul paramé-trique sur les courants en magnétostatique (Fig. 3.4.13). On trace alors la surfacede réponse (Fig. 3.4.14) et par interpolation, on peut déterminer Bm pour chaquevecteur courant. Comme précisé dans la partie (3.4.2.1), cette induction sert àcalculer les pertes fer (équation 3.4.20).

Résistance statorique

La résistance électrique Rs de phase est calculée comme suit :

Rs = 2 ∗ ρcu ∗Ncond

Sfil∗ (p ∗ (l + 2 ∗ lTB) + π ∗ rmoy) (3.4.25)

— ρcu : la resistivité électrique du cuivre [Ω.m]— Ncond le nombre de conducteurs par pôle par phase— Sfil : la section d’un conducteur [m2]— p : le nombre de paire de pôles— l : la longueur du paquet de tôle [m]— lTB : la longueur de tête de bobine [m]— rmoy : le rayon moyen de tête de bobine [m]

L’annexe (C) explique comment a été établie cette relation.

3.4.2.3 Fonctions d’optimisation

Le but de la commande optimale est d’injecter les courants qui permettrontde fournir un couple désiré (consigne de couple) en respectant les différentes li-mitations. Les possibilités de fonctions objectifs permettant de répondre à cetteproblématique sont multiples. En se référant aux caractéristiques générales desmachines synchro-réluctantes on peut maximiser la puissance utile, le rendement,le facteur de puissance, minimiser les ondulations de couple etc. Cependant lecouple étant une consigne d’entrée et les ondulations de couple ne pouvant pasêtre calculées par les équations de Park, il ne reste plus que le rendement et lefacteur de puissance.Le rendement et le facteur de puissance sont deux grandeurs clés dans le proces-

sus de conception des machines électriques. N’ayant pas eu un impact significatifsur ces élements au cours de l’optimisation de la géométrie, la partie commandeoptimale constitue donc un bon complément pour une optimisation complète dela machine. Mais contrairement à l’optimisation de la géométrie, nous avons faitle choix de ne pas mener une optimisation bi-objectif. Nous faisons 2 optimisa-tions distinctes avec comme objectif de minimiser les pertes (donc maximiser lerendement) et de maximiser le facteur de puissance ; ensuite nous comparons les 2résultats.

62


En ce qui concerne les contraintes, elles sont principalement liées aux limites ded’alimentation (batterie et onduleur), de la densité maximale de courant admis-sible mais également à l’asservissement en couple au cours du calcul des lois decommande.

Contraintes physiques de la machine

Figure 3.4.15 – Limites physiques de la machine

Tout comme le vecteur de commande, les limites physiques de la machine évo-luent en fonction du point de fonctionnement (Fig. 3.4.15). Le courant maximaldans les enroulements varie en fonction de la vitesse de rotation de la machine(Cf. Fig. 3.5.2a), en raison de considérations thermiques. La tension est limitée àla fois par la tension du bus continu, mais aussi par la chute de tension interneà la batterie. Elle dépend du courant soutiré à la batterie et donc du point defonctionnement de la machine. Comme le montre la figure 3.4.15, les courbes detension en fonction des courants id et iq sont des ellipses dont les grand et petitrayons diminuent quand la vitesse augmente [Chedot 04]. Morimoto et ses col-lègues [Morimoto 90] ont proposé une répartition des modes de fonctionnementdes machines basée entre autres sur ces différentes contraintes physiques.

63


— Mode I : zone de fonctionnement à puissance maximum par ampère. Ce modeest uniquement limité par le courant maximal admissible par la machine. Ilpeut être maintenu tant que pour les mêmes courants injectés, la tension auxbornes de la machine reste inférieure à la tension disponible aux bornes dela batterie.

— Mode II : c’est le mode de défluxage. La puissance y est constante et lescourants sont contrôlés de manière à se trouver en permanence en limite detension et/ou de courant.

— Mode III : zone de fonctionnement à puissance maximale par volt. Dansce mode, c’est la tension seule qui limite le fonctionnement et la puissancen’est plus constante. Ce mode est maintenu jusqu’à la vitesse limite de fonc-tionnement de la machine, c’est-à-dire quand au moins une des contraintesphysiques ne peut plus être respectée.

3.4.2.4 Algorithme d’optimisation

Pour réaliser ces optimisations, nous utilisons les fonctions proposées par latoolbox d’optimisation de Matlab, en particulier la fonction « fmincon » qui permetd’effectuer une optimisation sous contraintes de fonctions non linéaires à plusieursvariables [MATLAB 12]. Cette fonction s’appuie sur l’algorithme SQP déjà évoquédans la partie (3.4.1.5) et qui fait partie de la famille des méthodes déterministes.Il est assez bien adapté à la situation car la plupart des grandeurs sont calculéesde manière analytique et les surfaces de réponse sont lissées et interpolées. Dansces conditions, la recherche de l’optimum peut être efficace.

3.4.2.5 Formulation du problème d’optimisation de la commande

Compte tenu des paramètres et variables d’entrée que nous avons identifiés,des différentes fonctions objectifs et contraintes que nous avons déterminées, nousfaisons le choix de réaliser 2 optimisations mono-objectif avec contraintes.Pour résumer, le problème d’optimisation de la commande des machines synchro-

réluctantes à barrières de flux reprend les éléments suivants :— Seul le vecteur de commande (id, iq) évolue au cours de chaque calcul sur

un point de fonctionnement donné (la géométrie de la machine a déjà étépréalablement optimisée dans la partie (3.4.1) et n’évolue pas)

— La première optimisation a pour objectif de minimiser les pertes totales Ptot :

foPtot = min(Ptot)

— La deuxième optimisation a pour objectif de maximiser le facteur de puis-sance :

foλ = max(f)

64


— Contrainte sur l’asservissement en couple ; le couple final doit être égal aucouple consigne. Ainsi :

gC = |Cem − C∗| − ε |C∗| < 0

ε est un pourcentage définissant la précision, l’égalité parfaite étant impos-sible numériquement.

— Contrainte en courant ; le courant doit être inférieur à la limite admissible :

gI = Ieff − Ilim < 0

Cette limite est calculée à partir de la limite en densité de courant (Cf. partie(3.5.1.2)).

— Contrainte en tension :


Les tensions limites sont données par les équations (3.4.10).— Contrainte en puissance ; en mode moteur, la puissance électrique doit rester

inférieure à la puissance maximale que peut délivrer la batterie :

gP = Pe − Pbmax < 0

Pbmax est donnée par l’équation (3.4.8)— Le calcul est supervisé par un algorithme d’optimisation quadratique séquen-

tielle (SQP)

La Fig. 3.4.16 présente l’algorithme de détermination des lois de commande [Chedot 04].

65


Figure 3.4.16 – Algorithme de calcul des lois de commande

66

3.5 Application : comparaison de 3 types de machines

3.5 Application : comparaison de 3 types demachines

3.5.1 Cahier des charges completDans le cadre du projet ESSENCYELE, la machine électrique destinée à la

« mild-hybridation » du GMP doit répondre au mieux à un cahier des chargesbien défini.

3.5.1.1 Performances

Figure 3.5.1 – Gabarits de performances souhaitées. A gauche mode moteur ; àdroite les 3 modes générateur

En termes de performances, la machine à concevoir doit pouvoir intégrer 4 modesde fonctionnement (Fig. 3.5.1) :— 1 mode moteur impliquant un fonctionnement durant 2 à 10s pour une puis-

sance maximale de 12 kW— 3 modes générateur (1 mode en continu et 2 en transitoire). En fonctionne-

ment continu, la puissance nominale requise est de 8 kW. Le premier modetransitoire de 10 min requiert une puissance maximale de 10.5 kW et lesecond de 10 s une puissance de 12.5 kW.

3.5.1.2 Alimentation

— La tension de bus continu Vdc est de 48 V en mode moteur et de 52 V (Vch)en mode générateur.

— Le courant d’alimentation dépend de la vitesse de rotation et du régime defonctionnement de la machine (Fig. 3.5.2a), que ce soit en mode moteur ou

67


(a) Courant d’alimentation (b) Double système triphasé

Figure 3.5.2 – Alimentation de la machine

générateur. La densité de courant maximale dans les conducteurs en fonc-tionnement nominal est de 10 A/mm2.

— La machine est alimentée par un double système triphasé (Fig. 3.5.2b) etl’électronique de puissance est contrôlée par une stratégie MLI.

3.5.1.3 Caractéristiques générales

— Vitesse maximale de 18 000 tr/min, survitesse jusqu’à 22 000 tr/min— Facteur de puissance à 55 Nm, 1 500 tr/min à 20oC supérieur à 0.85

3.5.2 Choix effectuésCompte-tenu de la rigueur du cahier des charges et du fait que nous avons

commencé ce dimensionnement d’une « feuille blanche », nous avons été amenés àfaire certains choix au préalable.

3.5.2.1 Cahier des charges réduit

En termes de performances, nous avons concentré nos efforts sur le mode defonctionnement en mode moteur (régime transitoire) et sur 1 seul mode de fonc-

68


Figure 3.5.3 – Gabarit de puissance réduit

tionnement en mode générateur, en régime permanent. Toutes les performancescalculées seront comparées à ces 2 seuls gabarits (Fig. 3.5.3). Le point P1 est lepoint de fonctionnement sur lequel on procède à l’optimisation de la géométrie :2000 tr/min en mode générateur.On y retrouve bien les différents modes de fonctionnement décrits dans la partie

(3.4.2.3). La difficulté de conception réside alors dans le fait que les machinesétudiées doivent pouvoir fonctionner sur toute la plage de vitesse, malgré lescontraintes physiques relatives à chaque mode.Nous allons comparer les 3 machines (SyRC, SyRDP, SyRA) sur 5 critères :

puissance utile au point P1 (2 000 tr/min en mode générateur), ondulations decouple ∆C au point P1, rendement η au point P1, facteur de puissance f au pointP1, puissance utile à 15 000 tr/min en mode générateur (point P2, cf. fig. 3.5.3).

3.5.2.2 Architecture

En ce qui concerne la géométrie des machines, nous avons également fait deschoix de conception en amont de l’optimisation.

69


Rotor

Certes le rotor est l’élément au coeur de notre processus d’optimisation. Cepen-dant des pré-études et élements présents dans la littérature nous ont amenés àfiger certains paramètres.— Compte-tenu de l’encombrement dont nous disposons, et de pré-études réa-

lisées, le nombre de barrières de flux a été fixé à 3 (Fig. 3.5.4a) [Ferrari 13].— Les épaisseurs de ponts magnétiques (Fig. 2.2.4) ont été fixées aux valeurs

minimales technologiquement réalisables (ea = ec = 0.3 mm).— Le diamètre d’arbre a été fixé à 20 mm pour des considérations de tenue

mécanique en charge de la machineLe tableau 3.5.4b récapitule toutes les caractéristiques générales du rotor pourcette étude.

(a) Rotor à 3 barrières de flux avant optimisation

Paramètre Symbole Valeur UnitéNombre de barrières 3

Epaisseur pont magnétique d’entrefer ea 0.3 mmEpaisseur pont magnétique central ec 0.3 mm

Diamètre d’arbre Da 20 mmLongueur du paquet de tôles l 67 mm

Hauteur d’entrefer e 0.35 mm(b) Caractéristiques générales du rotor

Figure 3.5.4 – Géométrie du rotor et ses caractéristiques générales

70


Stator

(a) Stator complet (b) Un pôle du stator

Paramètre Symbole Valeur UnitéDiamètre extérieur Dext 151 mmLongueur machine L 127 mmHauteur de culasse Hcul 20 mmLongueur d’encoche Lenc 11.4 mmLargeur d’encoche lenc 2.7 mmHauteur d’isthme Histh 1 mmLargeur d’isthme listh 1.6 mmNombre de pôles p 12

Nombre d’encoches Nenc 72Type de conducteur EpingleSection de conducteur Scond 10 mm2

Nombre de conducteurs/encoche Ncond 2(c) Caractéristiques générales du stator

Figure 3.5.5 – Géométrie du stator et ses caractéristiques générales

Dans le cadre du projet ESSENCYELE, le stator (Fig. 3.5.5a) est fixé et donctoutes les données s’y rapportant sont figées en amont :— Les nombres de pôles et d’encoches choisis résultent de contraintes indus-

trielles (12 pôles et 2 encoches par pôle et par phase).— Les dimensions extérieures de la machine, à savoir le diamètre extérieur et la

longueur du paquet de tôles (+ les chignons de chaque côté) ont été imposéespar l’application de destination.

— Les encoches sont droites (dents trapezoïdales) (Fig. 3.5.5b).

71


Le tableau 3.5.5c récapitule toutes les caratéristiques du stator pour cette étude.

3.5.2.3 Matériaux

Les matériaux utilisés pour la conception des machines synchro-réluctantes sontle fer doux, les ferrites ainsi que le fer Dual Phase.

Figure 3.5.6 – Courbe de première aimantation du fer classique en bleu et dumatériau DP en magenta

Les caractéristiques du fer doux (Fig.3.5.6) utilisé pour les paquets de tôle rotoret stator sont :— Epaisseur de tôle : d = 0.35 10-3 m— Induction à saturation : Br=1.8 T (cette valeur vaut 1.5 T pour le rotor de la

machine utilisant le matériau Dual Phase (Cf. figure (3.5.6) et partie(2.3.6))— Excitation coercitive : Hc = 50 A/m— Perméabilité relative : µr= 7 000— Résistivité électrique : ρe = 42.10−8 Ω.m— Masse volumique : ρm= 7 650 kg.m-3

Les caractéristiques du matériau Dual Phase (Fig.3.5.6) sont :— Induction à saturation : Br=1.5 T (cette valeur vaut 1.5 T pour le rotor de la

machine utilisant le matériau Dual Phase (Cf. figure (3.5.6) et partie(2.3.6))— Perméabilité relative : µr= 1500

Ces données ont été estimées à partir de la courbe de la figure 2.3.6 issue de lalittérature.

72


Figure 3.5.7 – Courbe B(H) des ferrites

En ce qui concerne la machine assistée, la caractéristique magnétique des ferritesest considérée linéaire (Fig. 3.5.7).— Induction rémanente : Br = 0.47 T— Perméabilité relative : µr= 1.05— Température de Curie : Tc = 460oC— ∆B/B/∆T : -0.18 %/oC— Masse volumique : ρm= 5 500 kg.m-3

3.5.3 RésultatsLe processus de dimensionnement optimal appliqué à la SyRC, à la SyRDP et

à la SyRA donne les résultats présentés ci-après.

3.5.3.1 Résultats à la suite de l’optimisation de la géométrie

L’analyse des tableaux 3.7 et 3.8 (l’indice « n » fait référence à une alimenta-tion en fonctionnement nominal, et l’indice « max » à une alimentation maximaleadmissible) montre tout d’abord que les rapports de saillance sont quasiment équi-valents pour toutes les machines. Cependant le couple de la machine assistée estnettement supérieur à celui des 2 autres structures. En effet en plus de la saillance,une partie du couple provient de l’interaction entre les champs magnétiques stator(issu de l’alimentation triphasée) et rotor (ferrites). On estime que cette interactionparticipe à environ 35 % du couple. En effet lorsqu’on évalue par éléments finisle couple nominal de cette machine dans cette configuration, mais en éteignantl’induction rémanente (Br= 0) des ferrites, on obtient une valeur de 18 Nm.

73


Les performances de la machine utilisant le materiau Dual Phase sont plus enretrait. Ceci s’explique par le fait que l’induction de saturation est plus faible, 1.5T au lieu de 1.8 T pour l’acier traditionnel.

Machine initiale SyRC

SyRDP SyRA

Table 3.7 – Géométries optimisées

Machines CdC Machine initiale SyRC SyRDP SyRAξ / 2.7 3.2 2.9 2.9

Cn [Nm] / 18.3 20 19 28∆Cn [%] / 8.5 4.5 5.0 3.8Cmax [Nm] 55 45 58 47 71∆Cmax [%] / 23.9 6.0 14.0 8.2

Table 3.8 – Caractéristiques des machines optimisées

Cette optimisation nous a permis de significativement améliorer les caractéri-siques intrinsèques des différentes machines étuidiées. A ce stade de l’analyse, laSyRA apparaît comme la machine la plus appropriée compte-tenu du cahier descharges imposé. Cette structure présente les meilleurs couples et les ondulationsles plus faibles. La SyRC remplit également les conditions du cahier des chargesen terme de couple maximal.

74


Afin de compléter notre analyse, nous allons comparer les performances desdifférentes structures sur toute la plage de vitesse au moyen du calcul des lois decommande optimales.

3.5.3.2 Résultats de la commande optimale des machines

Les figures 3.5.8, 3.5.9 et 3.5.10 présentent les lois de commande optimale pourles trois structures étudiées ainsi que les courbes d’isopuissances à partir du pointde base. Ces cartographies nous permettent de constater que le courant dans l’axeq augmente avec le couple et a le même signe.Concernant le courant dans l’axe direct, on note que dans le mode I (basse vi-

tesse/fort couple), il est non nul. Une commande vectorielle vise à faire en sorte quetoute machine émule le comportement naturel d’une machine à courant continu àexcitation séparée, c’est-à-dire que les vecteurs courant et flux soient en quadrature(Cf. partie(2.4.2)). Le flux magnétique étant aligné sur l’axe d, on a donc β = 90°et de l’équation (3.4.12), id= 0. Mais du fait de la saillance, le vecteur courantn’est donc pas en quadrature avec l’axe d de la machine pour obtenir un couplemaximal.D’autre part on constate que les machines à rotor passif ne sont pas en mesure

de tenir le mode de défluxage. Après le point de base, elles entrent directementdans le mode III. En effet l’unique source de flux étant le stator, il devient difficileavec un seul degré de liberté (le flux généré des enroulements du stator) de régulerà la fois le couple et la tension aux bornes de la machine.

(a) Courant direct dans l’espace de fonctionnement (b) Courant en quadrature dans l’espace de fonction-nement

Figure 3.5.8 – Lois de commande en courant de la SyRC

75



Figure 3.5.9 – Lois de commande en courant de la SyRDP


Figure 3.5.10 – Lois de commande en courant de la SyRA

Les figures 3.5.11a et 3.5.11b présentent respectivement les couples et puissancesutiles des trois machines optimisées. Comme entrevu à la suite de l’optimisationde la géométrie, elles montrent que les performances sur toute la plage de vitesse

76


de la machine assistée sont nettement supérieures aux deux autres types de ma-chine. Celle-ci satisfait le cahier des charges en mode générateur et s’en rapprocheen mode moteur. Les figures 3.5.12-3.5.17 regroupent les cartographies de ren-dement et de facteur de puissance pour chaque fonction objectif (minimiser lespertes et maximiser le facteur de puissance) de l’optimisation de la commande. Lerendement de la SyRA est majoritairement supérieur à 90 % sur tout l’espace defonctionnement, de même pour le facteur de puissance.

Pour ce qui est des machines à rotor passif, même si les performances sont enretrait par rapport aux exigences du cahier des charges, on note tout de mêmeque la machine utilisant le materiau Dual Phase présente un meilleur facteur depuissance et permet d’atteindre des vitesses de rotation plus élevées, malgré sonniveau de saturation plus élevé. D’autre part, on note que l’objectif de maximi-ser le facteur de puissance qui n’avait pas été significatif lors de l’optimisationde la géométrie (Cf. partie(3.4.1.4)), prend maintenant toute son importance ence qui concerne la commande. On note sur les cartographies de rendement qu’ilest possible de l’augmenter jusqu’à 10%, mais au détriment du rendement de lamachine.

(a) Couples utiles des machines optimisées (b) Puissances utiles des machines optimisées

Figure 3.5.11 – Performances des machines optimisées

77


(a) Cartographie de rendement pour un rendementoptimal

(b) Cartographie de rendement pour un facteur depuissance optimal

Figure 3.5.12 – Cartographies de rendement de la SyRC

(a) Cartographie de facteur de puissance pour unrendement optimal

(b) Cartographie de facteur de puissance pour unfacteur de puissance optimal

Figure 3.5.13 – Cartographies de facteur de puissance de la SyRC

78




Figure 3.5.14 – Cartographies de rendement de la SyRDP


(b) Cartographie de facteur de puissance pour un fac-teur de puissance optimal

Figure 3.5.15 – Cartographies de facteur de puissance de la SyRDP

79




Figure 3.5.16 – Cartographie de rendement de la SyRA


(b) Cartographie de facteur de puissance pour unfacteur de puissance optimal

Figure 3.5.17 – Cartographies de facteur de puissance de la SyRA

80

3.6 Analyse et retour sur conception

3.6 Analyse et retour sur conceptionDans ce chapitre nous avons entrepris une optimisation sur le plan électromagné-

tique des machines synchro-réluctantes à barrières de flux, dans le but de satisfaireaux exigences de performances pour une hybridation du GMP d’un véhicule. Nousavons opté pour une optimisation séquentielle consistant à découpler la géométriede la commande. L’optimisation de la géométrie à commande fixe a permis d’obte-nir des géométries optimales, tandis que la commande optimale a permis de piloterces machines de la manière la plus adéquate afin d’exploiter tout leur potentiel.En termes de temps de calcul, l’optimisation de chaque machine a nécessité envi-ron 48h, mise en place du modèle et post traitement compris. Ce délai est correctsurtout pour des modèles aussi précis. Cette méthodologie pourrait donc aiséments’inscrire dans une routine industrielle.

SyRC SyRDP SyRAPu (P1) [kW] 1.5 1.9 3.1

∆C [%] 4.5 5.0 3.8η 0.89 0.90 0.93f 0.6 0.57 0.77

Pu (P2) [kW] / 1.6 8.5

Table 3.9 – Tableau comparatif des différentes machines optimisées

Figure 3.6.1 – Schéma radar normalisé des performances des 3 machines

81


Nous avons appliqué cette méthodologie d’optimisation à 3 machines utilisantdifférents matériaux et avons comparé leurs performances entre elles et vis-à-visdu cahier des charges. Il s’agit de la machine classique à air (SyRC), de la machineutilisant le matériau Dual Phase (SyRDP) et de la machine assitée par ferrites(SyRA). Le tableau 3.9 présente le comparatif des 3 machines sur 5 critères :puissance utile au point P1 (2 000 tr/min en mode générateur), ondulations decouple ∆C au point P1, rendement η au point P1, facteur de puissance f au pointP1, puissance utile à 15 000 tr/min en mode générateur (point P2).La figure 3.6.1 présente le schéma radar normé (par rapport au cahier des

charges) des performances des 3 machines. Les grandeurs réduites sont calculéescomme suit :— PUr = Pu

Puref

— ∆Cr = 1− ∆C∆Cref

— fr = ffref

La SyRA présente l’aire la plus grande. Elle présente les meilleures caractéristiquesélectromagnétiques des trois et satisfait à la majorité des critères de performancespour être intégrée au GMP.Cependant, les ponts magnétiques, un des aspects clés des machines synchro-

réluctantes à barrières de flux n’ont été traités que d’un point de vue magnétique.Mais compte-tenu des vitesses de rotation élevées, ces parties fines sont mécanique-ment très sollicitées, qui plus est avec l’ajout des ferrites. Ainsi, afin de compléterla conception des machines synchro-réluctantes, nous devons prendre en comptedans l’optimisaton ces contraintes mécaniques fortes liées aux ponts magnétiques.

82

Chapitre 4

Prise en compte des contraintesmécaniques

83

Chapitre 4 Prise en compte des contraintes mécaniques

4.1 IntroductionL’analyse et la prise en compte des contraintes mécaniques dans un processus de

conception optimale des machines électriques est impérative. En effet le dimension-nement doit non seulement garantir les performances, mais également l’intégritémécanique de la structure. Dans le cas des machines synchro-réluctantes à bar-rières de flux, ce sont les ponts magnétiques (Cf. fig. 2.2.4) qui constituent laprincipale faiblesse mécanique. L’optimisation du modèle électromagnétique tendà réduire leur épaisseur quand la mécanique préconise qu’ils soient plus épais,surtout lorsque les vitesses de rotation sont élevées. La Figure 4.1.1 présente lescourbes de puissances utiles d’une machine test en fonction de l’épaisseur desponts magnétiques. On constate qu’on peut perdre jusqu’a 75% de puissance utilelorqu’on augmente l’épaisseur des ponts magnétiques. Il devient donc crucial depouvoir intégrer ces contraintes mécaniques lors de l’optimisation de la géomé-trie des machines synchro-réluctantes, afin d’obtenir des machines performantes etrobustes.Tout au long de ce chapitre, nous allons donc analyser la robustesse des machines

précédemment optimisées et par la suite mettre en place une méthode précise etrapide afin d’intégrer ces contraintes de robustesse directement dans le processusd’optimisation de ces machines.

Figure 4.1.1 – Courbes de puissances utiles en fonction de l’épaisseur des pontsmagnétiques

84

4.2 Etat de l’art de l’étude mécanique des machines électriques

4.2 Etat de l’art de l’étude mécanique des machinesélectriques

Cette dernière décennie, de nombreuses études ont été menées sur l’analyse etla modélisation des contraintes mécaniques de diverses topologies de machines etpour des applications variées.La problématique de la robustesse mécanique des rotors de machines hautes vi-

tesses notamment fait l’objet d’une attention particulière. Le cas des machines à ai-mants permanents pour les véhicules hybrides a été et continue d’être massivementexploré [Yang 17, Langue 17b, Taghavi 14]. Toujours pour une application machinehybride, [Besharati 14] a présenté une étude sur un moteur à réluctance variablepouvant atteindre 50 000 tr/min. Des machines pour des applications de pompe oude compresseur ont également nécessité des études mécaniques. [Jannot 11] a pré-senté une analyse et une modélisation multiphysique, dont mécanique d’un moteurà aimants permanents enterrés de compresseur, pouvant tourner à 20 000 tr/minet [Burnand 17] une machine à aimants surfaciques atteignant 500 000 tr/min.En ce qui concernent les machines synchro-réluctantes :— [Zaim 09] a proposé une étude mécanique d’un rotor massif à trous de 20

000 tr/min (Fig. 4.2.1)

Figure 4.2.1 – Contraintes mécaniques dans des rotors massif à trous (Cf. 2.2.1)[Pa]

85


— [Ferrari 15] a observé les déformations des ponts magnétiques d’un rotorclassique à 3 barrières de flux (Fig. 4.2.2)

(a) Déformations des ponts magnétiques à 1 400tr/min

(b) Déformations des ponts magnétiques à 5 000tr/min

Figure 4.2.2 – Déformations des ponts magnétiques d’une machine synchro-réluctante à 3 barrières de flux

— [Spargo 15] a mis en évidence le fait que les contraintes maximales dans unemachine synchro-réluctante classique à 4 barrières de flux sont principale-ment localisées dans les ponts magnétiques (Fig. 4.2.3)

Figure 4.2.3 – Mise en évidence des contraintes mécaniques maximales dans lesponts magnétiques

— [Reddy 17] a observé le comportement mécanique d’une machine à barrièresde flux de 14 000 tr/min utilisant le matériau Dual Phase en comparaison

86

4.3 Rappel sur différentes méthodes de calcul

avec une tôle « classique » (Fig. 4.2.4). La partie dans le carré rouge montreun des ponts magnétiques ayant subi un traitement pour le rendre presqueamagnétique.

(a) Contraintes dans les ponts magnétiquesavec une tôle « classique »

(b) Contraintes dans les ponts magnétiques avecune tôle en matériau Dual Phase

Figure 4.2.4 – Contraintes dans les ponts magnétiques : Comparaison matériau« classique » et Dual Phase

On retrouve aussi dans la littérature des analyses mécaniques pour des machinesfortes puissances basses vitesses, notamment [Parviainen 05a] qui s’est intéressé àdes machines devant fournir jusqu’à 500 kW à 600 tr/min.En termes de méthode d’analyse, les éléments finis sont majoritairement utilisés

dans un but d’observation des contraintes maximales et de vérification de tenuemécanique du rotor. On trouve néanmoins dans la littérature des propositions demodèles afin d’évaluer de manière analytique ces contraintes mécaniques et de lesintégrer dans un processus d’optimisation. [Burnand 17, Chai 16, Jannot 11].

4.3 Rappel sur différentes méthodes de calculIl existe différentes approches pour l’étude mécanique des milieux continus, en

fonction de la complexité des solides, des efforts mis en jeu, mais également du ni-veau de précision souhaité. Les modèles éléments finis sont majoritairement utilisésafin d’évaluer les contraintes maximales et les déformations des parties les plus fra-giles du rotor (ponts magnétiques) [Di Nardo 16, Kimiabeigi 16, Taghavi 14]. Mais

87


des méthodes plus simples à mettre en œuvre comme "La théorie des poutres" per-mettent d’avoir une bonne approximation des efforts qui peuvent fragiliser le rotorpendant le fonctionnement de la machine [Jannot 11]. Ainsi, dépendant du solideétudié et des objectifs visés, le choix de la méthode la plus adéquate est un élémentclé.

4.3.1 Résistance des matériaux : Théorie des poutresLa résistance des matériaux (RdM) est un cadre restreint mais applicable pour

traiter la plupart des problèmes de mécanique des structures [Courbon 88]. Il s’agitd’une approche qui considère des hypothèses simplificatrices afin d’obtenir plusrapidement des solutions dans des cas particuliers, les poutres notamment.

4.3.1.1 Hypothèses de la RdM

Les hypothèses de la RdM (appliquées aux poutres) portent sur des conditionsde réversibilité et de linéarité.— Les materiaux sont homogènes, continus, élastiques linéaires, isotropes.— Hypothèse de petites perturbations : petits déplacements et déformations.— Hypothese de Barré Saint-Venant : en un point eloigné des appuis et des

points d’application des efforts, l’effet de la charge est presque indépendantde la façon dont cette dernière est appliquée.

— Principe de superposition : un effet particulier sous l’action d’une combi-naison de chargements est la somme des effets causés par chacun de ceschargements pris individuellement. Ce principe dépend particulièrement del’hypothèse d’élasticité linéaire du matériau.

4.3.1.2 Définition d’une poutre

Figure 4.3.1 – Définition d’une poutre

Est considéré comme poutre tout solide engendré par une surface plane (S)dont le centre de gravité (G) décrit une courbe (C). Deux des dimensions d’unepoutre sont petites par rapport à la troisième, et la section peut être constante oucontinûment variable (Fig. 4.3.1).

88


Figure 4.3.2 – Torseur de cohésion d’une poutre

L’hypothèse de Bernoulli suggère qu’après déformation, les sections droites d’unepoutre restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne. Ceci rejoint l’hypo-thèse globale de petites pertubations.

4.3.1.3 Torseur de cohésion d’une poutre

Le torseur de cohésion permet de représenter les contraintes internes à la poutre,c’est-à-dire celles qui s’établissent dans la structure même du matériau lorsque lapoutre est soumise à des efforts externes. En reprenant l’hypothèse de Barré Saint-Venant, toute sollicitation appliquée en un point éloigné de la section d’étudepeut être ramenée à cette surface. Ainsi les actions intérieures (efforts internes)à la poutre dépendent directement des contraintes extérieures qu’elle subit. Si onconsidère un plan perpendiculaire à la ligne moyenne (C) et qui coupe une poutreen 2 parties (P1) et (P2), le torseur de cohésion associé représente l’action de (P1)sur (P2) ou l’inverse et ce sont ces actions (contraintes) réciproques qui, jusqu’àune certaine limite, maintiennent la cohésion du matériau (Fig. 4.3.2). En fonctionde la nature de la sollicitation (extension/compression, cisaillement, flexion...),certains éléments du torseur de cohésion deviennent nuls.

−→T Cohesion =

−→RG−→MG

On appelle « contraintes » la densité surfacique des efforts exercés sur la poutre

(Equation 4.3.1) .−→σ = lim

dS→0

d−→T Cohesion

dS(4.3.1)

Le vecteur contraintes peut être décomposé en sa composante normale suivant−→n

89


et sa projection sur la surface de coupure. On a la relation (théorème de Pythagore)entre les deux composantes décrite par l’équation 4.3.2.

−→σ∣∣∣∣∣ −→σn : contrainte normale−→σt : contrainte tangentielle

‖−→σ ‖2 = ‖−→σn‖2 + ‖−→σt‖2 (4.3.2)

4.3.1.4 Quelques sollicitations usuelles

Extension/compression

Figure 4.3.3 – Poutre en extension

La figure 4.3.3 illustre un exemple de poutre en extension. Elle est encastrée àune extrémité et on exerce une force F normale à la section à l’autre extrémité dela poutre. Lorsqu’une poutre est sollicitée en extension/compression, seul l’effortnormal −→N du torseur de cohésion est non nul, et avec les hypothèses de Bernoulliet de Saint-Venant, on considère que cet effort est constant le long de la poutre(Fig. 4.3.3). Le torseur des actions de cohésion s’écrit alors :

−→RG =

∣∣∣∣∣∣−→N 6= −→0−→T = −→0

et−→MG =

∣∣∣∣∣∣−→Mt = −→0−→Mf = −→0

Une fois les efforts identifiés et quantifiés, nous pouvons alors évaluer les contraintesau sein de la poutre, ainsi que l’amplitude des déformations de cette dernière :— La contrainte d’extension/compression s’écrit comme décrit dans l’équation

(4.3.3)

σn = F

S(4.3.3)

90


— Evaluation de la déformation ε : Loi de Hooke. Il s’agit d’une loi de comporte-ment (Equation 4.3.4) qui permet de relier les contraintes aux déformationsde la poutre dans le cas d’une sollicitation en extension/compression (Fig.4.3.4). La déformation est définie suivant l’équation 4.3.5, ∆L étant la va-riation de longueur et L0 la longueur initiale de la poutre. E représente lemodule de Young, une caractéristique propre à chaque matériau.

σn = E ∗ ε (4.3.4)

ε = 4LL0

(4.3.5)

Figure 4.3.4 – Courbe de déformation d’un matériau en extension/compression

Cisaillement pur

La figure 4.3.5 illustre un exemple de poutre en cisaillement. L’effort F est ap-pliqué à une distance d de l’extrémité d’encastrement et cette fois est tangent à lasection de la poutre. Dans le cas idéal (d=0), un cisaillement pur se traduit par untorseur de cohésion dont seul l’effort tangentiel est non nul. Le torseur des actionsde cohésion s’écrit :

−→RG =

∣∣∣∣∣∣−→N = −→0−→T 6= −→0

et−→MG =

∣∣∣∣∣∣−→Mt = −→0−→Mf = −→0

Une fois les efforts identifiés et quantifiés, nous pouvons alors évaluer les contraintesau sein de la poutre, ainsi que l’amplitude des déformations de cette dernière :

91


Figure 4.3.5 – Poutre en cisaillement

— La contrainte de cisaillement pur s’écrit comme décrit dans l’équation 4.3.6

σt = F

S(4.3.6)

— Evaluation de la déformation γ : Loi de Coulomb. C’est l’équivalent de laloi de Hooke dans le cas d’un cisaillement (Equation 4.3.7). La déformationγ est l’angle de déformation de la poutre (Fig. 4.3.6) et G est le module decisaillement propre au matériau.

σt = G ∗ γ (4.3.7)

Figure 4.3.6 – Angle de déviation de la poutre en cisaillement

Flexion simple

Dans le cas réel (d 6=0, Fig. 4.3.5), la poutre est en flexion et ceci se traduit parun moment de flexion non nul. Le torseur de cohésion s’écrit alors :

−→RG =

∣∣∣∣∣∣−→N = −→0−→T 6= −→0

et−→MG =

∣∣∣∣∣∣−→Mt = −→0−→Mf 6=

−→0La contrainte normale en flexion s’exprime alors comme décrit dans l’équation

4.3.8.

92


σMf = Mf ∗ yI

(4.3.8)

Avec :— I : le moment d’inertie quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par

le centre de gravité de la section, perpendiculairement au chargement— y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre (Fig. 4.3.7)

et un point de la section de la poutrePour une section rectangulaire, on a I = b∗h3

12 et y = h2 (Cf Fig. 4.3.7) [Courbon 88].

La contrainte tangentielle est la même que celle de l’équation (4.3.6). Ainsi pourune sollicitation en flexion, la contrainte totale s’écrit :

σf =√σ2t + σ2

Mf (4.3.9)

Figure 4.3.7 – Poutre à section rectangulaire

4.3.1.5 La concentration de contraintes

La concentration de contrainte est un phénomène survenant lorsque la sectiond’une pièce varie de manière brutale (trou, rainure, congé...) [Lu 98]. Il en résulteune augmentation locale des contraintes dans cette zone. La zone de concentrationde contraintes est souvent le site d’amorçage des fissures de fatigue, mais peut aussiêtre à l’origine d’une rupture brutale dans le cas d’un matériau fragile. Pour illus-trer ce problème de manière simple, prenons l’exemple d’une plaque en présenced’un trou et sollicitée en traction. Si on utilise la densité des lignes comme indica-teur de niveau des contraintes en traction, sans la présence du trou, les lignes de

93


(a) Plaque sans trou en traction (b) Plaque avec trou en traction

Figure 4.3.8 – Illustration schématique qualitative montrant l’origine de laconcentration de contraintes

contraintes sont homogènes. Après réalisation du trou, on constate que ces lignessont perturbées autour du trou et que la densité augmente (Fig.4.3.8).Pour la suite, on notera :— σnom pour la contrainte nominale maximale (telle que calculée dans la (4.3.1.4))— σreelle pour la contrainte réelle maximale

Coefficient théorique de concentration de contraintes Kt

Les définitions qui suivent reposent sur une constatation fondamentale. Pour untype de chargement donné, le rapport entre la contrainte réelle (dans le cas oùelle est inférieure à la limite d’élasticité) et la contrainte nominale en un pointne dépend pas de la valeur de la charge appliquée. L’indice « t » est employépour indiquer que ces coefficients sont théoriques et que leur calcul repose sur leshypothèses de la théorie de l’élasticité. L’expression mathématique a été donnéepar Peterson [Pilkey 08] à la suite des travaux de Neuber [Neuber 61], pour desformes de pièces simples, pour les cas en traction. Il propose :

Kt = 1 + 2√a

r

avec « a » la demi-longueur de l’entaille et r le rayon de courbure de l’entaille.Dans le cas d’un trou, a=r et donc Kt=3.Kt est défini comme le rapport de la contrainte maximale réelle dans la zone de

discontinuité (entaille, trou, par exemple) à la contrainte maximale nominale :

Kt = σreelleσnom

(4.3.10)

94


σreelle est calculable par les méthodes numériques comme la méthode des élé-ments finis ou par les méthodes analytiques pour les géométries simples. Elle estégalement mesurable par les techniques d’analyses de contraintes expérimentalescomme la photoélasticimétrie, l’extensométrie ou encore les méthodes thermiques.σnom est calculable à l’aide des formules de résistance des matériaux (Cf. 4.3.1.4),

en considérant la pièce comme une barre ou une plaque sans prendre en compte ladiscontinuité géométrique.Le coefficient théorique de concentration de contraintes Kt dépend uniquement

de la géométrie de la pièce et du type de sollicitation. Dans ce cas, on supposeque le matériau du composant mécanique est homogène et continu. Insistons surla limite d’utilisation de Kt :— les sollicitations sont statiques— les contraintes réelles sont calculées comme si le matériau avait un compor-

tement purement élastique— Kt est une valeur relative, donc sans unité.

4.3.2 Modèles éléments finis

Les outils éléments finis permettent d’évaluer les contraintes et déformations demanière précise dans tout type de solide soumis à tout type d’effort [Gmür 00].Dans l’étude des machines électriques, aux géométries et efforts très complexes,ces méthodes sont particulièrement bien adaptées et plus précises que celles issuesde la RdM.

4.3.2.1 Hypothèses de résolution

Les hypothèses générales de la RdM sont aussi appliquées pour la résolutionéléments finis des problèmes d’élasticité plane des structures. On se place dansun espace où tous les points son reférencés par rapport à un repère O,x,y,z.Un point M de coordonnées (x, y, z), à l’instant t, est susceptible de bouger. Cedéplacement est noté par le vecteur −→u , tel que :

−→u (M, t) =

uvw

95


Hypothèse de déformations planes

Cette hypothèse considère que le champ de déplacement de tout point M dusolide soit de la forme :

u (x, y, t))v (x, y, t)

0

(4.3.11)

Le tenseur de déformation se réduit alors à :

[ε (M)] =

εxx12 .γxy 0

12 .γyx εyy 0

0 0 0

(4.3.12)

Afin d’obtenir ce type de déformation, le tenseur des contraintes doit être par-tiellement tridimensionnel ; on a donc maintenant σzz 6= 0 :

[σ(M)] =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 σzz

(4.3.13)

Hypothèse de contraintes planes

Toutes les composantes du tenseur de contraintes en un point M du solide [σ(M)]sont relatives à uniquement 2 coordonnées du repère (x et y par exemple et toutesles composantes suivant z sont nulles). On écrit donc :

[σ(M)] =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 0

(4.3.14)

Toutes les composantes non nulles sont indépendantes de z et compte-tenu deshypothèses générales, σxy = σyx.L’absence de contrainte suivant z peut tout de même induire des déformations

dans cette direction. Ainsi le tenseur de déformation s’écrit :

[ε (M)] =

εxx12 .γxy 0

12 .γyx εyy 0

0 0 εzz

(4.3.15)

Pour la suite de notre étude, on se place dans le cadre d’une hypothèse decontraintes planes.

96

4.4 Démarche suivie

4.3.2.2 Définition du problème

Soit un solide de volume V, limité par la frontière S et soumis à :

— un champ de forces volumiques fV =fV xfV y

— des déplacements imposés sur la frontière Su avec −→u =uv

— des forces surfaciques imposées sur la frontière fσ =fσxfσy

Résoudre un problème d’élasticité plane revient à chercher un champ de déplace-ment comme décrit dans l’équation (4.3.11) en tout point du solide, tel que : ρ∂

2u∂t2

= ∂σxx

∂x+ ∂σxy

∂y+ fV x

ρ∂2v∂t2

= ∂σyy

∂y+ ∂σxy

∂x+ fV y

(4.3.16)

L’annexe (D) explicite comment l’équation (4.3.16) est résolue par la méthodeéléments finis [Dhatt 05].

4.4 Démarche suivie

Figure 4.4.1 – Démarche de prise en compte des contraintes mécaniques dans ledimensionnement optimal

97


La figure 4.4.1 présente la démarche que nous avons suivie afin de prendre encompte les contraintes mécaniques dans le dimensionnement optimal des machinessynchro-réluctantes à barrières de flux.— A partir de la géométre initiale issue de l’optimisation de la géométrie sans

prise en compte des considérations mécaniques, on calcule par éléments finisles contraintes maximales dans le rotor de la machine à vitesse maximale.

— Sur la base des déformations subies par le rotor à cette vitesse de rota-tion, on propose un modèle analytique et on calibre le calcul analytique descontraintes maximales par rapport aux valeurs obtenues grâce aux élémentsfinis

— Enfin le modèle mécanique analytique obtenu est inséré comme fonction decontrainte dans la formulation du problème de dimensionnement de la géo-métrie de la machine présentée dans le chapitre 3.

4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotorsTant sur le plan électromagnétique que mécanique, la complexité de la géométrie

du rotor nécessite bien souvent l’utilisation de l’outil éléments finis pour l’analyse.D’un point de vue mécanique, des subtilités topologiques peuvent entrainer desconcentrations de contraintes et seul l’outil éléments finis peut les localiser et lesquantifier de manière précise. Nous allons donc utiliser la méthode éléments finisafin d’évaluer les contraintes mécaniques dans le rotor des machines. Pour notrecalcul, nous nous plaçons dans le cadre d’une hypotèse de contraintes planes (Cf4.3.2.1).

4.5.1 Modèle d’analyse

4.5.1.1 Géométrie et maillage

La géométrie et le maillage des rotors sont réalisés sous Ansys [Workbench 11].La machine présentant une périodicité circulaire, on ne représente qu’un seul pôle.De plus, il est possible d’effectuer un modèle 2D (exemple Fig. 4.5.1). En admet-tant que la géométrie est identique dans chaque plan perpendiculaire à l’axe dela machine, que le matériau est homogène, et dans le cadre d’une hypothèse decontraintes planes (Cf. 4.3.2.1), on suppose donc que le calcul des contraintes estidentique dans chaque plan du rotor. Tout ceci permet de réduire significativementle temps de calcul.La distance entre chaque noeud du maillage est fixée à 0.25 mm pour le corps

du rotor. Pour les ponts magnétiques, le maillage est réalisé de telle sorte qu’il yait au moins 2 éléments dans l’épaisseur du fer (exemple Fig. 4.5.2).

98

4.5 Analyse éléments finis de l’élasticité des rotors

Figure 4.5.1 – Passage d’une géométrie 3D à un modèle 2D

Figure 4.5.2 – Maillage du rotor

99


4.5.1.2 Conditions limites et de contact

(a) Conditions limites du do-maine d’étude

(b) Conditions de contact

Figure 4.5.3 – Conditions limites et de contact

L’utilisation de cette périodicité en 2D induit la nécessité d’imposer des condi-tions limites qui définissent la nature des liaisons mécaniques avec les pôles adja-cents. Il s’agit d’une liaison de type « support sans frottements » (Fig. 4.5.3a).Pour ce qui est de la SyRA, du fait de la présence des aimants, des conditions

de contact doivent être définies aux interfaces fer/ferrite (A, B, C, D, E, F) (Fig.4.5.3b). Nous y avons défini des liaisons de type « contact sans frottement ». Nousavons en plus imposé que le corps du rotor et les aimants restent toujours encontact à ces endroits.

4.5.1.3 Propriétés des matériaux

Le tableau 4.1 regroupe les caractéristiques mécaniques des matériaux du rotor.

100


Matériau Fer doux FerriteE 200 000 MPa 158 585 MPaρ 7 650 kg.m-3 5 500 kg.m-3

ν 0.3 0.3Limite domaine élastique σe 410 MPa /

Limite de rupture σr 535 MPa /

Table 4.1 – Caractéristiques mécaniques des matériaux

4.5.1.4 Efforts mécaniques

(a) Force centrifuge et résultante tangentielle (b) Pression magnétique

Figure 4.5.4 – Efforts excercés sur le rotor

En fonctionnement, nous avons identifié 3 principales sources de sollicitationmécanique qui agissent sur le système : la force centrifuge, la résultante des ef-forts magnétiques tangentiels et la pression magnétique (Fig. 4.5.4). Mais à vitessemaximale, la force centrifuge est la seule significative. A vitesse élevée, lorsque lamachine est dans le mode III, le flux magnétisant y est très réduit et donc lesefforts magnétiques aussi [Taghavi 14]. Nous avons estimé que les efforts d’originemagnétique représentent 1% de la force centrifuge à 18 000 tr/min pour la SyRAprécédemment optimisée.

4.5.2 RésultatsLa figure 4.5.5a présente les contraintes dans le rotor de la SyRC à 12 000

tr/min. A cette vitesse, la puissance utile est inférieure a 1 kW (cf. figure 3.5.11b).Nous faisons donc le choix d’y établir sa limite de fonctionnement d’un point devue électromagnétique. On note tout d’abord que le phénomène de concentrationde contraintes est distinctement visible sur les congés liés aux ponts magnétiques.Néanmoins, les contraintes maximales sont en-dessous de la limite élastique du

101


matériau (σe= 410 MPa). Le rotor peut se déformer localement jusqu’à 0.06mm à100°C, soit environ 20% de la hauteur de l’entrefer (Fig. 4.5.5b). Cette valeur estdue non seulement aux contraintes mécaniques, mais également à la dilation ther-mique (on rappelle que la température sous capot moteur peut atteindre 120°C).

Les figures 4.5.6a-4.5.8a présentent les contraintes dans le rotor de la SyRA dansdifférents cas (ea/c= 0.3 mmm N=18 000 tr/min, ea/c= 0.3 mm N = 10 000tr/min, ea/c = 1.5 mm N = 18 000 tr/min). De l’analyse de ces trois cas, onconstate que l’intégrité mécanique du rotor n’est pas assurée avec une épaisseurde pont magnétique de 0.3 mm à 18 000 tr/min (Fig. 4.5.6a). Les contraintesmaximales atteignent 1 662 MPa, soit 3 fois supérieures à la limite de ruptureσr du matériau. La vitesse maximale qu’autorise cette configuration est de 10000 tr/min (Fig. 4.5.7a). A cette vitesse, les contraintes maximales sont de 513MPa, c’est-à-dire à la limite de la rupture. Afin de pouvoir atteindre la vitessemaximale préconisée par le cahier des charges (18 000 tr/min), il faut augmenterl’épaisseur de pont magnétique jusqu’au moins 1.5 mm (Fig. 4.5.8a). Avec cettevaleur d’épaisseur de ponts magnétiques, les contraintes maximales sont de 471MPa. Le rotor y est dans le domaine plastique, c’est-à-dire que les déformationssont irréversibles.

(a) Contraintes (MPa) dans la SyRC à 12 000tr/min

(b) Déplacement total (mm) du ro-tor à 100°C

Figure 4.5.5 – Comportement mécanique de la SyRC à 12 000 tr/min

102


(a) Contraintes (MPa) dans la SyRA (aimantsnon représentés) à 18 000 tr/min

(b) Déplacement total (mm) du ro-tor de la SyRA à 18 000 tr/min

Figure 4.5.6 – Comportement mécanique de la SyRA à 18 000 tr/min

(a) Contraintes (MPa) dans la SyRA (aimants nonreprésentés) à 10 000 tr/min

(b) Déplacement total (mm) du ro-tor de la SyRA à 10 000 tr/min

Figure 4.5.7 – Comportement mécanique de la SyRA a 10 000 tr/min

103


(a) Contraintes (MPa) dans la SyRA (aimantsnon représentés) à 18 000 tr/min - 1.5mm

(b) Déplacement total (mm) de la SyRAà 18 000 tr/min - 1.5 mm

Figure 4.5.8 – Comportement mécanique de la SyRA à 18 000 tr/min - Epaisseurde pont magnétique d’1.5 mm

4.5.3 ConclusionsEn ce qui concerne la SyRDP, étant donné que le fer au niveau des ponts magné-

tiques se comporte magnétiquement comme de l’air tout en conservant ses proprié-tés mécaniques, la question de robustesse ne se pose plus. Nous pouvons augmenterl’épaisseur des ponts magnétiques sans pour autant compromettre les performancesélectromagnétiques. C’est en ce point précis que réside l’intérêt d’utiliser ce typede matériau ; la problématique mécanique nécessite une attention moins impor-tante pendant le processus de conception car quelle que soit la vitesse de rotationde la machine l’augmentation des ponts magnétiques ne remet pas en cause lesperformances calculées.L’analyse éléments finis de robustesse des géométries précédemment optimisées

a revélé que la tenue mécanique de la SyRC est garantie sur toute sa plage defonctionnement, validant ainsi la conception optimale de cette structure.Au sujet de la SyRA, la vitesse maximale requise de 18 000 tr/min ne peut être

atteinte d’un point de vue mécanique. Dans sa conception actuelle, les contraintesdans les ponts magnétiques notamment sont très largement supérieures aux limitesélastique et de rupture du matériau. De ce fait, et en conservant l’optimisationélectromagnétique faite dans le chapitre 3, 2 choix s’offrent à nous :

104


— Soit on limite la plage de fonctionnement de la machine à 10 000 tr/min, nerespectant ainsi plus la vitesse maximale exigée. Ainsi la zone grisée (Fig.4.5.9a) devient inaccessible du fait des contraintes mécaniques dans les pontsmagnétiques.

— Soit on augmente l’épaisseur des ponts magnétiques pour ainsi atteindre les18 000 tr/min mais avec jusqu’à 75% de puissance utile en moins (en modegénérateur et 50% en mode moteur) (Fig. 4.5.9b). Lorsqu’on passe de 0.3mm à 1.5 mm, la puissance utile en mode générateur passe de 10 kW à 2.5kW. En mode moteur, la puissance mécanique décroît de 8 kW à 4 kW.

(a) Limitation de la plage de vitesse de la SyRA (b) Augmentation de l’épaisseur des ponts magné-tiques de la SyRA

Figure 4.5.9 – Choix de conception de la SyRA

Nous envisageons néanmoins un troisième choix, celui d’intégrer le calcul descontraintes mécaniques directement dans le processus d’optimisation de la géo-métrie. L’idée est de trouver une géométrie robuste sans pour autant réduire lesperformances, en mettant en jeu toutes les variables géométriques, et pas seule-ment les ponts magnétiques. Pour ce faire tout en restant dans le cadre d’un projetindustriel (bon compromis entre précision et temps de calcul), il est impératif dedevelopper un modèle précis mais moins gourmand en temps de calcul. Nous allonsdonc pour la suite developper une méthode analytique de calcul des contraintesmécaniques qui puisse s’insérer plus aisément dans l’optimisation de la géométrie.

105


4.6 Calcul analytique des contraintes maximalesdans les ponts magnétiques

Le calcul éléments finis nous a permis d’évaluer de manière précise les contrainteset déformations des rotors précédemment optimisés. Cependant et dans une op-tique d’optimisation multiphysique dans un contexte industriel, l’association demodèles éléments finis de différentes physiques (électromagnétique et mécanique)se révèle fastidieuse en termes de préparation, de calcul et d’exploitation des ré-sultats. Ainsi, nous ambitionnons de mettre en place un modèle analytique plussimple et qui peut être intégré plus aisément au processus de dimensionnementde la géométrie présenté dans le chapitre 3. Nous allons donc nous baser sur lesprincipes de la théorie des poutres afin d’estimer les contraintes maximales dansle rotor de la SyRA à vitesse maximale.

4.6.1 Modèle d’analyse

4.6.1.1 Définition du sytème (poutre)

(a) Liaisons encastrement (b) Représentation schématique de la partie active d’un pôle

Figure 4.6.1 – Schémas des poutres

Le calcul éléments finis a mis en lumière que les contraintes maximales dans lerotor (1 pôle) sont localisées à trois endroits précis. Il s’agit des ponts magnétiquesd’entrefer et du pont magnétique central extérieurs, et ceux-ci sont des poutressimples à section rectangulaire. Nous sommes donc ainsi dans une configurationpermettant l’utilisation de la théorie des poutres.

106

4.6 Calcul analytique des contraintes maximales dans les ponts magnétiques

En se référant à la figure 4.3.7, le paramètre h correspond à l’épaisseur du pontmagnétique (ec pour le pont central et ea pour les ponts d’entrefer) et le paramètreb à la longueur du paquet de tôle « l » (Cf Tableau 3.5.4b). Chaque pôle du rotorest considéré en liaison encastrement avec les pôles adjacents au niveau des pontsmagnétiques d’entrefer (K1 et K2), et avec le corps du rotor au niveau du pontmagnétique central (K3) (Fig. 4.6.1a).

4.6.1.2 Calcul des efforts mécaniques

Comme expliqué dans (4.5.1.4), la force centrifuge est prépondérante à vitessemaximale. Elle est calculée à partir de la vitesse de rotation du rotor et des carac-téristiques du système (masse, dimensions).

FCentrifuge = m ∗RG ∗Ω2 (4.6.1)

Avec :— m la masse de la partie active (centrifugée) (Fig. 4.6.1a) du pôle [kg]— RGla distance entre le centre du rotor et le centre de gravité G de la partie

active du pôle (Fig. 4.5.4a) [m]— Ω la vitesse de rotation du rotor [rad.s-1]

Notons que la masse et le rayon de rotation de la partie active dépendent desvariables géométriques identifiées pour l’optimisation de la géométrie décrite dansle chapitre 3. Ainsi, le calcul de la force centrifuge dépend directement de l’opti-misation de la géométrie. Si Pi est le vecteur des variables géométriques, on adonc :

FCentrifuge(Pi) = m(Pi) ∗RG(Pi) ∗ Ω2

4.6.1.3 Hypothèse sur la nature des contraintes dans les ponts magnétiques

La force centrifuge est le seul effort appliqué sur le rotor. Elle est appliquée aupoint G, centre de gravité de la partie active du rotor. De ce fait, nous supposonsque celle-ci est sollicitée en traction au niveau de l’encastrement de la poutre 3et en flexion simple du fait de l’encastrement au niveau des poutres 1 et 2 (Fig.4.6.2). Leur torseur d’action de cohésion s’écrit alors :

−−−→RK12 =

∣∣∣∣∣∣−→N = −→0−→T 6= −→0

−−−→MK12 =

∣∣∣∣∣∣−→Mt = −→0−→Mf 6=

−→0et−−→RK3 =

∣∣∣∣∣∣−→N 6= −→0−→T = −→0

−−→MK3 =

∣∣∣∣∣∣−→Mt = −→0−→Mf = −→0

107


(a) Image déformée du rotor (b) Efforts sur la partie active du rotor

Figure 4.6.2 – Nature des contraintes

4.6.2 Calibrage du calcul analytique des contraintesmécaniques

Afin de déterminer de manière analytique les contraintes maximales réelles dansles ponts magnétiques, il faut :

— Trouver la relation liant l’effort normal N, le moment de flexion Mf et l’efforttangentiel T à la force centrifuge. Ceci nous permet alors de calculer σnom(Cf. 4.3.1.5) grâce aux équations (4.3.3), (4.3.6), (4.3.8), et (4.3.9).

— Déterminer les coefficients théoriques de concentration de contraintes Kt, etaboutir avec l’équation (4.3.10) à σreelle.

4.6.2.1 Relation entre N, Mf, T et FCentrifuge

Nous allons utiliser les calculs éléments finis réalisés dans la partie précédente(4.5.2). Les tableaux 4.2b, 4.3a, 4.3c et 4.3b regroupent la force centrifuge calculéegrâce à l’équation (4.6.1) et aux éléments du tableau 4.2a, ainsi que les donnéeséléments finis recueillies pour les différents cas de calculs : différentes vitesses etvaleurs d’épaisseur de pont magnétique.

108


épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.5m [kg] (fer+aimants) 0.145 0.146 0.147

maimants[kg] 0.071 0.071 0.071RG[mm] 48 48 48

(a) Masse et rayon de rotation de la partie active

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 7 632.5 7 685.1 7 737.814 000 14 959.7 15 062.8 15 166.018 000 24 729.3 24 899.8 25 070.4

(b) Force Centrifuge [N] en fonction de la vitesse et de l’épaisseur des pontsmagnétiques

Table 4.2

(a) Courbe d’effort normal en fonction de laforce centrifuge

(b) Courbe d’effort tangentiel en fonction dela force centrifuge

(c) Courbe de moment de flexion en fonction dela force centrifuge

Figure 4.6.3

109


Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 5 145.8 5 230 5 26514 000 10 086 10 251 10 31918 000 16 672 16 946 17 058

(a) Effort normal N [N] calculé par éléments finis

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 7 264.8 7 467.2 7 732.114 000 14 239 14 636 15 15518 000 23 538 24 194 25 052

(b) Effort tangentiel T [N] calculé par éléments finis

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 0.16 0.16. 0.1514 000 0.31 0.31 0.3018 000 0.51 0.51 0.50

(c) Moment de flexion Mf [Nm] calculé par éléments finis

Table 4.3

On constate tout d’abord que les fonctions reliant la force centrifuge à l’effortnormal, au moment de flexion et à l’effort tangentiel sont indépendantes des épai-seurs de ponts magnétiques (Cf. tableaux 4.3a, 4.3b, 4.3c). Ensuite, les courbesdes figures 4.6.3a, 4.6.3c, 4.6.3b montrent qu’il existe une relation linéaire entre laforce centrifuge et l’effort normal, le moment de flexion et l’effort tangentiel. On adonc :

N = A ∗ FCentrifuge A = 0.67 (4.6.2)Mf = B ∗ FCentrifuge B = 2 ∗ 10−5 m (4.6.3)

T = C ∗ Fcentrifuge C = 1 (4.6.4)L’effort normal vaut donc 2/3 de la force centrifuge, tandis que les poutres 1 et

2 subissent un effort tranchant dont la valeur est à hauteur de cette même forcecentrifuge.

4.6.2.2 Coefficients Kt

Traction

Les tableaux 4.4a et 4.4b regroupent les données de contraintes maximales no-minales et réelles en traction. On en déduit donc les coefficients de concentration

110


de contraintes en traction Ktn regroupés dans le tableau 4.4c.

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 246 86.7 52.414 000 501.8 170 102.718 000 829.5 281.0 169.7

(a) Contraintes maximales nominales en traction σn [MPa]

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 335.3 154.9 125.414 000 657.2 303.5 245.718 000 1 086.4 501.8 406.2

(b) Contraintes maximales réelles en traction σnreelle [MPa]

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 1.3098 1.7866 2.393114 000 1.3097 1.7853 2.392418 000 1.3097 1.7858 2.3936

(c) Tableau des coefficients de concentration de contraintes pour la tractionKtn

Table 4.4

Figure 4.6.4 – Courbe des coefficients de concentration de contraintes en tractionKtn

On constate tout d’abord que ce coefficient ne dépend effectivement pas de la

111


charge ; ici il s’agit de la force centrifuge qui est l’image de la vitesse. Il ne dépendque de l’épaisseur des ponts magnétiques. On constate ensuite que la relation avecl’épaisseur pont magnétique est quasiment linéaire (Fig. 4.6.4). On en déduit doncque :

Ktn = D ∗ ec +H D = 103 m−1 H = 1 (4.6.5)

Flexion simple

Vitesse (tr/min)\epaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 160 17.7 5.914 000 310 34.3 11.818 000 510 56.4 19.7

(a) Contribution des contraintes nominales maximales du momentde flexion [MPa]

Vitesse (tr/min)\epaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 379.7 127.4 77.014 000 744.3 249.8 150.918 000 1 230.3 412.9 249.5

(b) Contribution des contraintes nominales maximales de l’effort tangen-tiel [MPa]

Table 4.5 – Contribution de chaque effort dans le calcul des contraintes nominalesmaximales de flexion

Les contraintes en flexion simple sont la somme quadratique (équation 4.3.9)des contributions des sollicitations dues au moment de flexion Mf (Tableau 4.5a)et à l’effort tangentiel T (4.5b). Notre première observation est que la contributionde chaque effort pour la contrainte globale varie en fonction de l’épaisseur de pontmagnétique. Le rapport Rσ entre σt et σMf est une fonction linéaire de l’épaisseurde pont magnétique (Fig. 4.6.5).

Rσ = σtσMf

= υ ∗ ea υ = 8.7 ∗ 103 m−1 (4.6.6)

Les tableaux 4.6a et 4.6b regroupent les données de contraintes maximales no-minales et réelles en flexion. On en déduit donc les coefficients de concentrationde contraintes en flexion Ktf regroupés dans le tableau 4.6c. Tout comme pour latraction, il ne dépend pas de la charge (force centrifuge). La figure 4.6.6 présenteKtf en fonction de l’épaisseur de pont magnétique. La loi entrée/sortie entre ces

112


2 grandeurs n’est pas parfaitement linéaire, mais peut être linéarisée sans grandesconséquences sur l’estimation des contraintes maximales réelles. Ainsi :

Ktf = J ∗ ea +M J = 0.2 ∗ 103 m−1 M = 1.23 (4.6.7)

Figure 4.6.5 – Rapport entre σt et σMf en fonction de l’épaisseur de pont ma-gnétique

Figure 4.6.6 – Courbes de coefficient de concentration de contraintes pour laflexion Ktf

Pour résumer, les formules permettant de déterminer les contraintes maximalesréelles en traction et en flexion s’écrivent :

113


Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 412.0 128.6 77.214 000 806.3 252.2 151.418 000 1 331.8 416.7 250.3

(a) Contraintes maximales nominales en flexion σf [MPa]

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 513.1 187.4 115.614 000 1 005.7 367.2 226.618 000 1 662.4 607.2 374.6

(b) Contraintes maximales réelles en flexion σfreelle [MPa]

Vitesse (tr/min)\épaisseur (mm) 0.3 0.9 1.510 000 1.2454 1.4572 1.497414 000 1.2473 1.4560 1.496718 000 1.2488 1.4572 1.4966

(c) Tableau des coefficients de concentration de contraintes pour la flexionKtf

Table 4.6

σnreelle = A ∗ Ω2

l∗m ∗RG ∗ (D + H

ec) (4.6.8)

σfreelle =

√C2 + (6 ∗B/ea)2 ∗ Ω2

l∗m ∗RG ∗ (J + M

ea) (4.6.9)

Les constantes utiles pour les equations (4.6.8) et (4.6.9) sont regroupées dans letableau 4.7. Ce sont ces équations que nous intègrerons au modèle électromagné-tique. La masse et le rayon de rotation seront calculés au cours de l’optimisationde la géométrie.

A B C D H J M0.67 2*10-5m 1 103m-1 1 0.2*103m-1 1.23

Table 4.7 – Constantes de calcul des contraintes

114

4.7 Intégration des contraintes mécaniques au modèle électromagnétique

4.7 Intégration des contraintes mécaniques aumodèle électromagnétique

Au lieu de simplement augmenter l’épaisseur des ponts magnétiques de la SyRAafin de satisfaire aux limites mécaniques du système, et par la même occasionperdre jusqu’à 75% de la puissance utile, nous avons fait le choix de modéliser demanière analytique les contraintes mécaniques (équations 4.6.8 et 4.6.9) et de lesintégrer au processus d’optimisation de la géométrie décrit dans le Chapitre 2.Ainsi le problème d’optimisation de la géométrie de la SyRA reprend les éléments

suivants :— Seule la géométrie évolue au cours de cette optimisation et le dimensionne-

ment des barrières de flux repose sur 5 variables indépendantes pour chaquebarrière de flux

— Le point de fonctionnement sur lequel les machines sont optimisées est celuià 2 000 tr/min en mode générateur (point P1)

— Les machines sont alimentées en courant, dont le vecteur (Ieff , β) est déter-miné en amont par un calcul magnétostatique et conditionné par la densitéde courant maximale admissible dans les conducteurs (Cf. 3.5.1.2).

— La première fonction objectif cherche à maximiser la puissance utile :

foP = max(Putile)

— La deuxième fonction objectif vise la minimisation des ondulations de couple :

fo∆C = min(∆C)

— La contrainte en tension :


— Contrainte sur les ondulations de couple que l’on veut minimiser tout en lesgardant en-dessous d’un certain seuil (5%) :

g∆C = ∆C − 0.05 < 0

— Contraintes sur la tenue mécanique des ponts magnétiques.

gσn = σnreelle − σe < 0 et gσf = σfreelle − σe < 0

Elles sont calculées analytiquement pour une vitesse de rotation compriseentre 15 000 et 18 000 tr/min. La valeur retenue est celle maximale et pourlaquelle toutes les contraintes sont respectées.

115


— L’optimisation est supervisée par un algorithme à évolution différentielle(DE)

La figure 4.7.1 présente le rotor obtenu ainsi que ses performances comparées àcelles de la figure 4.5.9b et le tableau 4.8 quelques caractéristiques du rotor aprèsintroduction des contraintes mécaniques dans l’optimisation de la géométrie.On constate tout d’abord que malgré l’intégration de contraintes mécaniques,

l’intégrité du rotor ne peut être assurée au-delà de 15 000 tr/min (Cf. Tableau 4.8).La machine pour laquelle nous avons augmenté l’épaisseur des ponts magnétiquesà 1.5 mm peut atteindre 18 000 tr/min, tandis que celle issue de l’optimisationdu chapitre 3 sans prise en compte des contraintes mécaniques et dont les pontsmagnétiques ont une épaisseur de 0.3 mm ne va pas au-delà de 10 000 tr/min(Cf. figure 4.7.1b). Ce tableau nous indique également que les épaisseurs de pontsmagnétiques ea et ec ont pu être maintenues à leur valeur minimale de 0.3 mm. Cecia permis d’atténuer la perte de puissance utile, en comparaison avec la machineà 1.5 mm d’épaisseur de ponts magnétiques. La masse m de la partie active (cf.figure 4.6.1a) a été divisée par 3 (la masse des ferrites a également été divisée par3).On note cependant, au point d’optimisation de la géométrie P1, une diminution

de la puissance utile. En effet on passe de 3.1 kW (puissance obtenue à la suitede l’optimisation sans contraintes mécaniques du chapitre 3) à 2.1 kW, soit uneréduction de 30%.

(a) Géométrie du rotor (b) Performances du rotor

Figure 4.7.1 – Rotor de SyRA obtenu suite à l’optimisation mécanique

116

4.7 Intégration des contraintes mécaniques au modèle électromagnétique

m Nmax RG ea ec σn σf

0.054 kg 15 000 tr/min 49 mm 0.3 mm 0.3 mm 276.7 MPa 409.8 MPa

Table 4.8 – Caractéristiques après introduction des contraintes mécaniques dansl’optimisation de la géométrie

On note tout de même que cette machine satisfait au gabarit du cahier descharges sur la majorité de la plage de vitesse en mode générateur.Les figures 4.7.2 présentent les contraintes et les déformations totales dans le

rotor à 15 000 tr/min. Les contraintes maximales réelles sont de 376 MPa enflexion soit un écart de 40 MPa en moins par rapport au modèle analytique (9 %d’erreur) et 314 MPa en traction, soit un écart de 40 MPa en plus (12 % d’erreur).

(a) Contraintes (MPa) à 15 000 tr/min (b) Déplacement total (mm) à 15000 tr/min

Figure 4.7.2 – Comportement mécanique de la nouvelle SyRA à 15 00 tr/min

117


4.8 Analyse et retour sur conceptionDans ce chapitre nous avons tout d’abord entrepris d’analyser par la méthode

éléments finis la tenue mécanique des machines optimisées dans le chapitre 3.Cette analyse mécanique éléments finis nous a permis de valider la conception de

la machine synchro-réluctante à barrières de flux classique (SyRC). Les contraintesmécaniques dans le rotor de cette machine sont inférieures à la limite élastique dufer sur toute sa plage de vitesse (vitesse maximale à 12 000 tr/min).Ensuite nous avons mis en évidence l’intérêt du matériau Dual Phase dans la

conception des machines synchro-réluctantes à barrières de flux hautes vitesses. Depart les caractéristiques de ce matériau (Cf. partie(2.3.3)), les ponts magnétiquesne posent aucun problème mécanique et donc l’optimisation de la géométrie faitedans le chapitre 3 est suffisante.

(a) SyRA

(b) SyRDP (c) SyRC

Figure 4.8.1 – Géométries finales optimisées

Enfin l’évaluation mécanique de la machine assistée d’aimants ferrites a misen lumière que cette structure n’est mécaniquement pas viable à la suite de la

118


seule optimisation du modèle électromagnétique. Il faut impérativement prendre encompte des critères de robustesse mécanique pendant le processus d’optimisationde la géométrie afin de garantir à la fois la tenue mécanique et le maintien desperformances de la machine. Nous avons réalisé ceci à travers la mise en placed’un modèle analytique de calcul des contraintes mécaniques que nous avons insérécomme fonction contrainte dans la formulation du problème d’optimisation de lagéométrie. A l’issue de cette nouvelle optimisation, il est ressorti que pour unemachine à 3 barrières de flux, la vitesse maximale atteignable d’un point de vuemécanique tout en maintenant les performances dans le gabarit du cahier descharges est de 15 000 tr/min.

(a) Puissances utiles des machines finales (b) Couples utiles des machines finales

Figure 4.8.2 – Performances des machines finales

SyRC SyRDP SyRAξ 3.2 2.9 2.7

Cn [Nm] 20 19 23∆Cn [%] 4.5 5.0 4.8Cmax [Nm] 58 47 58∆Cmax [%] 6.0 14.0 10.0

Table 4.9 – Caractéristiques des machines finales

La figure 4.8.1 présente les géométries finales optimisées et la figure 4.8.2 pré-sente les performances de chaque machine sur leur plage de fonctionnement. Letableau 4.9 présente les caractéristiques finales en statique des machines optimi-sées : l’indice « n » fait référence à une alimentation maximale en fonctionnement

119


SyRC SyRDP SyRAPu (P1) [kW] 1.5 1.9 2.1

∆C (%) 4.5 5.0 4.8η 0.89 0.90 0.91f 0.60 0.53 0.62

Pu (P2) [kW] / 1.6 6.5

Table 4.10 – Tableau comparatif des machines finales

Figure 4.8.3 – Schéma radar normalisé des performances des machines finales

nominal, et l’indice « max » à une alimentation maximale admissible (cf. partie(3.5.3.1)). Le tableau 4.10 permet de faire la comparaison des performances desmachines optimisées (cf. partie (3.6). Enfin la figure 4.8.3 présente le schéma ra-dar normalisé (par rapport au cahier des charges) des performances des machinesfinales. Même si le rapport de saillance de la SyRA à une barrière de flux a dimi-nué (il était de 2.9), ses performances restent tout de même supérieures à cellesdes autres structures. Nous avons calculé que les ferrites participent dans ce casà hauteur du tiers du couple produit (lorsqu’on évalue le couple nominal de cettemachine dans cette configuration, mais en éteignant l’induction rémanente (Br=0) des ferrites, on obtient une valeur de 16.3 Nm). En termes d’ondulations decouple et de facteur de puissance au point P1, la SyRA présente des performanceséquivalentes aux autres structures.Pour conclure, même si toutes les exigences du cahier des charges ne sont at-

teintes par aucune des machines étudiées, la machine synchro-réluctante assistée

120


de ferrites est la mieux adaptée pour le projet ESSENCYELE. Tant sur le planélectromagnétique que mécanique, elle permet d’atteindre la vitesse de rotationla plus élevée et présente une meilleure capacité de défluxage, particulièrement enmode générateur.

121

Conclusions et Perspectives

123


Cette thèse s’inscrit dans le cadre du projet ESSENCYELE, piloté par l’ADEMEet qui réunit bon nombre d’industriels du secteur automobile en France. L’objectifprincipal de ce travail de recherche a été de proposer une machine électrique pourune “mild hybridation” faible coût du groupe moto-propulseur d’un véhicule, etcette solution se devait d’être innovante et à prix abordable.Pour ce faire, nous avons tout d’abord dressé un état des lieux des machines

électriques venant assister (ou remplacer) les moteurs thermiques sur les véhiculesdéjà présents sur le marché. Il en est ressorti que les machines à aimants per-manents terres-rares sont toujours largement utilisées. Bien qu’elles présentent lesmeilleures performances, le fait qu’elles intègrent des terres rares les désanvantagedans ce cas précis. En effet, le prix de cette matière première est d’une part élevé,mais aussi très fluctuant dans le temps pour qu’on puisse s’en accommoder. Nousavons ensuite dressé une liste de technologies de machines pouvant challenger lesmachines à aimants permanents, et nous sommes arrivés à la conclusion que lesmachines synchro-réluctantes, en termes de coût et d’innovation, présentent desatouts intéressants.De ce fait, nous avons approfondi l’état de l’art sur les machines synchro-

réluctantes : les architectures existantes (rotor massif, axialement laminé, à bar-rières de flux), les matériaux avec lesquels on peut les associer (ferrites, DualPhase), ainsi que la commande de ce type de machines. De cette analyse, nousavons fait le choix des machines synchro-réluctantes à barrières de flux, contrôléespar une commande vectorielle à orientation de flux directe.Compte-tenu du fait que les machines synchro-réluctantes à barrières de flux sont

très sensibles à la topologie du rotor, et que cette dernière est fortement coupléeaux contraintes physiques (courant et tension), la suite de notre travail a consisté àmettre en place une méthodologie de conception optimale de la géométrie du rotor(barrières de flux) et de la commande. Nous avons opté pour une optimisationséquentielle, c’est-à-dire optimiser successivement la géométrie et le contrôle de lamachine.Pour l’optimisation de la géométrie, il a fallu trouver un point de fonctionnement

sur lequel la géométrie et la commande sont faiblement liées, déterminer un moyende calculer la commande sur ce point de fonctionnment et enfin optimiser lesvariables géométriques à commande fixe. Toute cette opération a été réalisée grâceà l’outil élements finis.Nous avons ensuite recherché la commande optimale. Il s’agit de contrôler la

puissance que la batterie a à fournir pour atteindre les consignes de couple et/oude vitesse pour chaque point de fonctionnement tout en respectant les limitesphysiques du système (tension et courant). Nous avons fait le choix de mettreen place une commande à flux orienté avec régulation du couple. Cette opérationa été réalisée de manière hybride : le calcul des flux et de l’induction maximale

124

par éléments finis et toutes les autres grandeurs par les équations analytiques desmachines synchrones (Park).Enfin, nous avons appliqué ce processus à 3 machines intégrant des matériaux

différents : la machine classique à air, la machine assistée de ferrites et la machineutilisant le matériau Dual Phase. L’analyse des performances de ces 3 machines amontré qu’à ce stade de l’étude, c’est la machine assistée de ferrites qui répond lemieux aux exigences du cahier des charges du projet, sous réserve de la tenue mé-canique de la structure. En effet un des éléments clés de la topologie des machinessynchro-réluctantes à barrières de flux correspond aux ponts magnétiques : ce sontdes parties fines qui permettent de garantir la tenue mécanique, mais à l’inverseentrainent une réduction des performances électromagnétiques des machines.

Dans la dernière partie de notre travail, nous nous sommes penchés sur la ques-tion de robustesse mécanique des machines précédemment optimisées. Nous avonstout d’abord fait une évaluation élements finis des contraintes mécaniques danschaque structure. Il est ressorti que les machines classique et Dual Phase ne pré-sentent aucun souci de tenue mécanique sur leur plage de fonctionnement. Ce-pendant, la machine assistée de ferrites qui pourtant montre les meilleures perfor-mances, ne peut mécaniquement pas atteindre sa vitesse maximale de fonctionne-ment. Ceci nous a conduit à nous poser 2 questions : doit-on limiter la plage devitesse et garder les performances, ou limiter les performances en augmentant lesépaisseurs de ponts magnétiques et garder la plage de vitesse étendue ?Nous avons plutôt choisi de procéder à une optimisation de la géométrie en pre-

nant en compte ces considérations mécaniques. Nous avons ainsi mis en place unmodèle analytique pour le calcul des contraintes mécaniques dans les ponts ma-gnétiques, que nous avons inséré dans le processus d’optimisation de la géométrie.Grâce à ce nouveau modèle, nous avons obtenu une machine qui répond toujoursle mieux aux exigences du cahier des charges du projet (par rapport à la machineclassique et la machine Dual Phase), et dont la tenue mécanique est garantie surla plage de fonctionnement la plus large (jusqu’à 15 000 tr/min).Ce travail a démontré que les machines synchro-réluctantes (assistées de ferrites)

peuvent légitimement prétendre à une place de challenger des machines à aimantspermanents terres rares pour l’hybridation du GMP des véhicules. Même si lesperformances ne sont pas encore équivalentes, le critère coût de production luidonne un argument supplémentaire à faire valoir.

Afin de compléter ce travail, plusieurs perspectives nous paraissent utiles et/ounécéssaires :— Une validation expérimentale des modèles développés tout le long de cet

exposé. La construction d’un prototype pourra permettre de valider nonseulement les performances annoncées, mais également les méthodes décritespour les évaluer

125


— Réfléchir à de nouvelles manières d’insérer les ferrites dans le rotor afin derenforcer la tenue mécanique de la structure et atteindre de plus grandesvitesses

— L’évaluation des performances qu’on pourrait atteindre avec le matériau DualPhase, doublée du fait qu’il permet de presque totalement occulter les consi-dérations mécaniques, quelle que soit la vitesse, laisse entrevoir de nouvellesréalisations intéressantes de machines électriques.

126

Annexes

Annexe A

Transformation de Park

La transformation de Park permet de trouver les composantes directe et enquadrature de grandeurs liées aux bobinages (statoriques) triphasés. On note δAdl’angle d’avance de l’axe d (rotor) sur l’axe de la phase A (stator) (Fig. A.1).

Figure A.1 – Axes principaux d’une machine électrique

Cela permet de donner l’expression de la matrice de Park :

[TABC→dqo] = [T32] = 23 ∗

cos δAd cos(δAd − 2 ∗ π/3) cos(δAd + 2 ∗ π/3)− sin δAd − sin(δAd − 2 ∗ π/3) − sin(δAd + 2 ∗ π/3)

1/2 1/2 1/2

La transformation inverse permet de trouver les grandeurs réelles relatives au

bobinage triphasé à partir des composantes directe et en quadrature :

[Tdqo→ABC ] = [T23] =

cos δAd − sin δAd 1cos(δAd − 2 ∗ π/3) − sin(δAd − 2 ∗ π/3) 1cos(δAd + 2 ∗ π/3) − sin(δAd + 2 ∗ π/3) 1

= 32 ∗ [T32]T

129

Annexe A Transformation de Park

Ces transformations s’appliquent aux courants, tensions et flux. Ainsi en notant :

vABC =

vAvBvC

, iABC =

iAiBiC

, ψABC =

ψAψBψC

vdq =

vdvq

, idq =

idiq

, ψdq =

ψdψq

Les transformations possibles sont résumées ci-dessous :vABC = [T23] . vdq, iABC = [T23] . idq, ψABC = [T23] . ψdqvdqo = [T32] . vABC, idqo = [T32] . iABC, ψdqo = [T32] . ψABCSi l’on note par exemple de la manière suivante le système triphasé de courants

circulant dans les phases A, B, C, et de valeur crête Imax :iA (t) = Imax*sin (δAd)iB (t) = Imax*sin (δAd - 2*π/3)iC (t) = Imax*sin (δAd + 2*π/3)Avec la transformée de Park, on obtient :id = 2

3 ∗ Imax ∗ (cos δAd ∗ sin δAd + cos(δAd − 2 ∗ π/3) ∗ sin(δAd − 2 ∗ π/3)+ cos(δAd + 2 ∗ π/3) ∗ sin(δAd + 2 ∗ π/3))

iq = −23 ∗ Imax ∗ (sin2 δAd + sin2(δAd − 2 ∗ π/3) + sin2(δAd + 2 ∗ π/3))

Pour δAd= π/2, id = Imax et iq = 0, et pour δAd= 0, id = 0 et iq = - Imax.

130

Annexe B

Calculs des coefficients de pertes fer

L’évaluation des pertes fer est réalisée à partir de la méthode de Bertotti, dansune hypothèse d’une induction sinusoïdale (B(t) = BM *sin (ω.t) et ω = 2.π.f). Larelation suivante calcule les pertes fer volumiques [W/m3] :

Pfer = kfoi ∗(kh ∗

(fe ∗B2

m

)+ kF ∗ (fe ∗Bm)2 + ke ∗ (fe ∗Bm) 3

2)

(B.0.1)

kfoi correspond au coefficient de foisonnement (ratio épaisseur empilement tôlesseules sur épaisseur empilement total (incluant les isolants inter-tôles)). Une valeur« habituelle » est : kfoi = 0.97.Le premier terme de la parenthèse décrit les pertes par hystérésis (sans prise en

compte des cycles mineurs), le deuxième correspond aux pertes par courants deFoucault et le dernier termes aux pertes « par excès ».

Détermination des coefficients

Dans le cas d’utilisation de tôles ferromagnétiques d’épaisseur d et de résisti-vité électrique ρtole, et toujours avec l’hypothèse d’une induction sinusoïdale, lecoefficient kF est approché par :

kF = (π ∗ d)2

6 ∗ ρtoleLes coefficients de pertes par hystérésis kh et par excès ke peuvent être appro-

chés connaissant les pertes massiques πtole [W/kg] de la tôle utilisée (informationconstructeur). Celles-ci sont généralement mesurées pour une fréquence fmes donnéepour un niveau d’induction limité Bmes.On suppose tout d’abord que :

πtole(f,BM) = kfoimv−tole

∗ (kh ∗ f ∗BαM + kF ∗ f 2 ∗B2

M + ke ∗ f 3/2 ∗B3/2M )

131

Annexe B Calculs des coefficients de pertes fer

avec mv-tole : la masse volumique du matériau [kg/m3]D’autre part :— le coefficient de pertes par excès ke doit être positif ou nul— l’exposant α des inductions dans l’évaluation des pertes par hystérésis peut

être ajusté (autour de la valeur 2) afin d’améliorer l’ajustement des autrescoefficients.

Compte-tenu du fait qu’on a 3 inconnues dans cette équations (α, kh et ke), ildevient nécessaire de connaître (au moins) 3 points de caractérisations des pertesmassiques (données par le constructeur), identifiées pour 3 ensembles différents(numérotés 1, 2, 3) de fréquences et d’inductions :

Pfer,i = πtole,i ∗mv−tole = kfoi ∗ (kh ∗ fi ∗BαM,i + kF ∗ f 2

i ∗B2M,i + ke ∗ f 3/2

i ∗B3/2M,i)

On construit alors le vecteur des réponses connues :

Y = mv−tole

kfoi∗

πtole,1πtole,2πtole,3

− kF ∗

(f1 ∗BM,1)2

(f2 ∗BM,2)2

(f3 ∗BM,3)2

On définit le vecteur des inconnues comme :

x =

khkeα

Le vecteur des réponses est calculé en fonction des coefficients restant à déter-

miner :

Yinc(kh, ke, α) = Yinc(x) = kh ∗

f1 ∗Bα

M,1f2 ∗Bα

M,2f3 ∗Bα

M,3

+ ke ∗

(f1 ∗BM,1)3/2

(f2 ∗BM,2)3/2

(f3 ∗BM,3)3/2

Pour réaliser la recherche de ces inconnues, on recourt à une procédure d’opti-

misation sous contrainte :

x∗ = argx min fobj(x)

Où la fonction objectif est une mesure de la distance (i.e. le résidu ε) entre lesvecteurs Y et Yinc, compte tenu de tous les points de caractérisation connus :

fobj(x) =∑‖ε(x)‖2

2 =∑‖Y − Yinc‖2

2

132

Annexe C

Calcul de la résistance de phasestatorique

En premier lieu, sans tenir compte des têtes de bobines, on peut écrire succes-sivement :— Résistance d’un brin :

Rbrin = ρcu ∗ LzSbrin

;

— Résistance d’un conducteur (Nbrin en parallèle) :

Rcond = Rbrin

Nbrin

= ρcu ∗ LzSfil

;

— Résistance de Ncond conducteurs-spires (en série, pour la phase i et le pôlereprésentés) :

RNcond = Ncond ∗Rcond = Ncond ∗ρcu ∗ LzSfil

;

— Résistance du bobinage de la phase i, pour tous les pôles (sans têtes debobine) :

Rbob,i = 2 ∗ p ∗RNcond = 2 ∗ p ∗Ncond ∗ρcu ∗ LzSfil

= ρcu ∗Ncond ∗ (2 ∗ p ∗ Lz)Sfil

Avec :— Lz : la longueur du paquet de tôle de la machine— Sfil=Nbrin*Sbrin— p : le nombre de paires de pôles

La forme des têtes de bobine peut être approchée :

133

Annexe C Calcul de la résistance de phase statorique

— par des arcs de cercle, de rayon rmoy (partie orthoradiale)— par des segments droits, de longueur dTB (partie radiale, correspondant au

débordement de chaque bobinage en sortie d’encoche).Dans ce cas :— Longueur des têtes de bobine de la phase i, pour le pôle représenté :

LTB = 2 ∗ π ∗ rmoy + 4 ∗ p ∗ dTB2 ∗ p = π ∗ rmoy

p+ 2 ∗ dTB;

— Résistance de Ncond conducteurs-spires en tête de bobine (en série, pour laphase i et le pôle représentés) :

RNcondTB = Ncond ∗RTB = Ncond ∗ρcu ∗ LTBSfil

;

— Résistance du bobinage en tête de bobine de la phase i, pour tous les pôles :

RTB,i = 2∗p∗RNcondTB = 2∗p∗Ncond∗ρcu ∗ π ∗ rmoy

p ∗ Sfil= ρcu ∗Ncond

Sfil∗(2∗π∗rmoy+4∗p∗dTB)

D’où une estimation de la résistance totale du bobinage de la phase i :

Rbob,i = 2 ∗ ρcu ∗Ncond

Sfil∗ (p ∗ (Lz + 2 ∗ dTB) + π ∗ rmoy)

134

Annexe D

Résolution éléments finis d’unproblème d’élasticité plane

Les outils éléments finis permettent d’évaluer les contraintes et déformations demanière précise dans tout type de solide soumis à tout type d’effort [Gmür 00].Dans l’étude des machines électriques, aux géométries et efforts complexes, cesméthodes sont particulièrement plus pertinentes en comparaison à la RdM.

D.1 Hypothèses de résolutionLes hypothèses générales de la RdM sont aussi appliquées pour la résolution

éléments finis des problèmes d’élasticité plane des structures. Les caractéristiquespropres des matériaux sont :— E : module d’Young [MPa]— ν : coefficient de Poisson [-]— α : coefficient de dilatation [K-1]— ρ : masse volumique du matériau [kg.m-3]

On se place dans un espace où tous les points son reférencés par rapport à unrepère O,x,y,z. Un point M de coordonnées (x, y, z), à l’instant t, est susceptiblede bouger. Ce déplacement est noté par le vecteur −→u , tel que :

−→u (M, t) =

uvw

D.1.1 Hypothèse de contraintes planesToutes les composantes du tenseur de contraintes en un point M du solide [σ(M)]

sont relatives à uniquement 2 coordonnées du repère (x et y par exemple et toutes

135

Annexe D Résolution éléments finis d’un problème d’élasticité plane

les composantes suivant z sont nulles). On écrit donc :

[σ(M)] =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 0

(D.1.1)

Toutes les composantes non nulles sont indépendantes de z et compte-tenu deshypothèses générales, σxy = σyx.L’absence de contrainte suivant z peut tout de même induire des déformations

dans cette direction. Ainsi le tenseur de déformation s’écrit :

[ε (M)] =

εxx12 .γxy 0

12 .γyx εyy 0

0 0 εzz

(D.1.2)

on montre que l’on a :

εzz = −νE

(σxx + σyy) + α ∗∆T (D.1.3)

où ∆T est la variation de température.La loi de comportement s’écrit alors :

σ = [D] (ε − εth) (D.1.4)

où— ε est le vecteur des déformations :

ε =

εxxεyy

γxy = 2 ∗ εxy

=

∂u∂x∂v∂y

∂u∂y

+ ∂v∂x

(D.1.5)

— σ est le vecteur des contraintes :

σ =

σxxσyyσxy

(D.1.6)

— [D] est la matrice des coefficients élastiques :

[D] = E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

(D.1.7)

— εth représente les déformations d’origine thermique :

εth = α.∆T

110

(D.1.8)

136

D.2 Définition du problème

D.1.2 Hypothèse de déformations planesCette hypothèse considère que le champ de déplacement de tout point M du

solide soit de la forme : u (x, y, t))v (x, y, t)

0

(D.1.9)

Le tenseur de déformation se réduit alors à :

[ε (M)] =

εxx12 .γxy 0

12 .γyx εyy 0

0 0 0

(D.1.10)

Afin d’obtenir ce type de déformation, le tenseur des contraintes doit être par-tiellement tridimensionnel ; on a donc maintenant σzz 6= 0 :

[σ(M)] =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 σzz

(D.1.11)

On montre que :σzz = ν (σxx + σyy)− E ∗ α ∗∆T (D.1.12)

L’équation D.1.4 décrivant la loi de comportement du milieu mécanique resteinchangée. Par contre la définition de la matrice [D] évolue :

[D] =

λ+ 2µ λ 0λ λ+ 2µ 00 0 µ

λ = E ∗ ν(1 + ν) (1− 2 ∗ ν) , µ = E

2 (1 + ν) (D.1.13)

λ et µ (aussi connu comme G : module de cisaillement), sont les coefficients deLamé du matériau.

D.2 Définition du problèmeSoit un solide de volume V, limité par la frontière S et soumis à :

— un champ de forces volumiques fV =fV xfV y

— des déplacements imposés sur la frontière Su avec −→u =uv

— des forces surfaciques imposées sur la frontière fσ =fσxfσy

137

Annexe D Résolution éléments finis d’un problème d’élasticité plane

Résoudre un problème d’élasticité plane revient à chercher un champ de déplace-ment comme décrit dans l’équation en tout point du solide, tel que : ρ∂

2u∂t2

= ∂σxx

∂x+ ∂σxy

∂y+ fV x

ρ∂2v∂t2

= ∂σyy

∂y+ ∂σxy

∂x+ fV y

(D.2.1)

La loi de comportement (équation D.1.4), les relations cinématiques (équationD.1.5), et les conditions aux limites permettent de trouver une solution au problèmeposé.

D.3 Résolution

D.3.1 Formulation faibleEn appliquant la méthode des résidus pondérés [Dhatt 05] aux équations (4.3.16),

on aboutit à la relation intégrale suivante :

W (u, u∗) =∫∫∫

ρ u∗T u dV+∫∫∫ε∗T σ dV−

∫∫∫u∗T fV dV−

∫∫u∗T fσ dS

(D.3.1)u* est le champ de déplacements virtuels qui induit un le champ de déforma-

tions virtuelles ε∗. Ces grandeurs correspondent aux pondérations imposées parla méthodes des résidus pondérés.

D.3.2 Formulation discrétiséeLe volume V et la surface S sont maillés. En chacun des éléments e du maillage,

l’outil éléments finis permet de calculer le vecteur de déplacement −→u sur chaquenoeud. Pour un point M placé dans un élément, on y détermine le vecteur dépla-cement par interpolation. Par exemple, pour un élément de type T3 ; triangulaireà 3 noeuds pour un modèle 2D, on a :

u(x, y, t)v(x, y, t)

=[N e

1 0 N e2 0 N e

3 00 N e

1 0 N e2 0 N e

3

]

ue1(t)ve1(t)ue2(t)ve2(t)ue3(t)ve3(t)

(D.3.2)

où uei est la valeur du déplacement suivant la direction x du noeud i de l’élémente et vei le déplacement suivant la direction y du même noeud du même élément.

138

D.3 Résolution

L’équation (D.3.2) peut se résumer à :

u(M, t) = [N(M)] . u(t) (D.3.3)

On constate que la matrice [N], qui regroupe les charges réparties sur chaquenoeud, n’est constituée que de 3 termes non nuls dfférents (pour un élément detype T3), elle peut donc être entièrement déterminée à partir du vecteur N0 :

N e0 =

N e

1 (M)N e

2 (M)N e

3 (M)

Etant donné la définition du vecteur de déformation ε, relative aux déplace-

ments (equation D.1.5), on obtient :

ε(M, t) =

∂N1∂x

0 ∂N2∂x

0 ∂N3∂x

00 ∂N1

∂y0 ∂N2

∂y0 ∂N3

∂y∂N1∂y

∂N1∂x

∂N2∂y

∂N2∂x

∂N3∂y

∂N3∂x

ue1(t)ve1(t)ue2(t)ve2(t)ue3(t)ve3(t)

= [B(M, t)] . U(t)

(D.3.4)On notera que cette matrice [B] ne contient que 6 termes non nuls différents

issus de la matrice :[B0] =

[∂N1∂x

∂N2∂x

∂N3∂x

∂N1∂y

∂N2∂y

∂N3∂y

]Compte-tenu des relations matricielles qui viennent d’être présentées, l’équation

(D.3.1) devient :

W (U , U∗) = U∗T .([M ] .

U

+ [K] . U − F)

(D.3.5)

avec :— U le vecteur des déplacements nodaux [m]—

Ule vecteur des accélérations nodales [m.s-2]

— [M] la matrice de masse [kg]— [K] la matrice de rigidité [N.m-1]— F le vecteur force équivalent aux charges réparties [N]

L’équation (D.3.5) est unique pour le problème de mécanique des structures pourun solide donné. Elle tient en compte l’assemblage, c’est-à-dire la mise en communde la contribution de tous les éléments du maillage du système étudié.

139

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contribution au dimensionnement optimal d’une machine ... · les machines à aimants permanents...

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