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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE INGENIERÍA

CONTRIBUCIONES A LA GEODESIA APLICADA

Publicación del Instituto de Geodesia de la Facultad deIngeniería de la Universidad de Buenos Aires

DIRECTOR

Dr. Ing. EZEQUIEL PALLEJÁ

1 / 2004

Buenos Aires

Cuerpo docente y de investigación del Instituto de Geodesia de la Facultad de Ingeniería de la

Universidad de Buenos Aires

Dr. Ing. Ezequiel PallejáIng. Jorge A. R. PardoIng. Eusebio H. RuizIng. Enrique E. D’OnofrioAgrim. Raúl Días

Índice

EDITORIAL I

LA GRAVEDAD DE LA TIERRA – 1ra PARTE.Agrim. Raúl Días. 1

CÁLCULO DE ALTURAS GEOIDALES Y DE LA SUPERFICIEMEDIA DEL MAR PARA SER APLICADAS A UN MODELONUMÉRICO.Enrique E. D’Onofrio; Mónica E. Fiore; Jorge A. R. Pardo; Eusebio H. Ruiz 9

ESTUDIO DE VECTORES GPS LARGOS – 1ra PARTE.Ezequiel Pallejá 21

CONTROL DE CALIDAD DE MODELOS NUMÉRICOS DE BASESDE DATOS EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICOS.José Francisco Zelasco; Miriam Nuñez 33

LOCALIZACIÓN DE PUNTOS SINGULARES EN FLUIDOS MEDIANTEIMÁGENES DINÁMICAS.Tomas Crivelli – Bruno Cernuschi Frías 46

Contribuciones a la Geodesia Aplicada

- I -

EditorialLa geodesia estudia la forma y dimensiones de la Tierra. La geofísica estudia

los fenómenos físicos que se producen en nuestro planeta. Ambas ciencias estánprofundamente relacionadas. El nexo más significativo lo constituye el estudiocomún del campo de gravedad terrestre, es decir la gravimetría.

Asistimos hoy a un “renacimiento” de la gravimetría, tanto desde el punto devista geofísico, en lo que hace a la prospección de hidrocarburos y exploraciónminera, como desde la perspectiva geodésica, en lo referente a la modelización delgeoide, por mencionar sólo algunas de las más actuales aplicaciones.

La gravimetría se presenta como un exponente ejemplar de la mencionadaligazón existente entre la geodesia y la geofísica, recordándonos que no es posibleseparar netamente estas disciplinas, habida cuenta de que no es posible conocer laforma de la Tierra y medir puntos en ella sin el auxilio de conocimientos geofísicos,y tampoco se pueden utilizar con propiedad las tecnologías geofísicas sin respaldogeodésico.

El geoide constituye en sí mismo la prueba irrefutable de este parentescocientífico. Se define como una superficie equipotencial del campo de gravedad de laTierra, y es a su vez la forma “física” de la Tierra. Su conocimiento está en el centrode la definición misma de la geodesia, y su estudio requiere el uso de conceptos,técnicas y procedimientos geofísicos.

Por estas razones, geodesia y geofísica están unidas en las más importantesorganizaciones del mundo. La Unión Geodésica y Geofísica Internacional es elejemplo más visible, al que podríamos agregar nuestra Asociación Argentina deGeofísicos y Geodestas, y más cerca aún nuestra carrera de Ingeniero GeodestaGeofísico.

Las décadas del 80 y del 90 parecieron alejarse un poco de esta concepción,y el advenimiento del Sistema de Posicionamiento Global (GPS) pareció eclipsarlos aspectos geofísicos, ofreciendo soluciones netamente “geométricas”, ypriorizando los aspectos métricos sobre los físicos. Esta situación era aparente,pues en el fondo los sistemas de referencia geodésicos exigían desde el vamosdefiniciones claras sobre la ubicación y comportamiento dinámico de la Tierra, sucentro de masas, su eje de inercia, sus movimientos y otros aspectos macrogeofísicos.

La otra señal de alerta que obligaba a volver sobre temas geofísicos era lanecesidad de comprender y utilizar sistemas altimétricos conceptualmentecorrectos. El GPS proporciona valores de alturas sobre un elipsoide de referencia,pero muchas aplicaciones requieren otro tipo de cotas, y para definirlas esindispensable hacer participar conceptos gravimétricos.


- II -

Basta recorrer con la memoria los temarios de los cursos, seminarios oconferencias de las últimas décadas, para comprender que los temas vitales erannetamente geométricos: cálculos de coordenadas en diversos sistemas,transformación de datums, compensación de redes. Mientras que en la actualidad,se agregan con fuerza temas como el de la gravimetría en su relación con laproblemática geodésica.

Desde el punto de vista de los trabajos de prospección de hidrocarburos ominera, también es notable la importancia que hoy se asigna al conocimientopreciso del geoide así como a las sutiles diferencias en las definiciones de ciertosparámetros y conceptos gravimétricos cuando se los aborda desde las perspectivasgeofísica o geodésica.

El mejoramiento de los gravímetros estáticos, la disponibilidad degravímetros portátiles de caída de cuerpos, el desarrollo de nuevos y potentespaquetes de programas de computación, la posibilidad actual de simulación yanálisis, y los aportes de las nuevas tecnologías relacionadas con la complejidad, elcaos y la geometría fractal nos van completando un panorama que explica de algúnmodo el renacimiento apuntado al iniciar estas líneas.

Cabría entonces preguntarnos si va llegando el momento de cambiar elnombre de nuestra publicación -e incluso de nuestro Instituto- por otro queevidencie más claramente esta relación íntima entre geodesia y geofísica.

Ezequiel Pallejá


- 1 -

LA GRAVEDAD DE LA TIERRA

Raúl Ernesto Días (1)

(1) Agrimensor FIUBA, docente de las asignaturas Topografía y Geodesia en las carreras deAgrimensura e Ingeniería Civil e Instituto de Geodesia de FIUBA. Ex funcionario de la EmpresaAgua y Energía Eléctrica, actualmente Director de Obras Especiales del GCBA.

Resumen:

Este trabajo reúne temas de diversas fuentes con el propósito de ofrecer alos lectores interesados en la Geodesia y Geofísica, una aproximación al modelodel campo de gravedad con que opera la Gravimetría. Se han evitado losdetallados desarrollos matemáticos en beneficio de la brevedad, procurandomantener el rigor expositivo.

Abstract:

An approach to the gravity field model, from several sources, is offered to thereaders interested both in the geodesic and geophysical gravimetry aspects.Detailed equation expansions were avoided in order to bring simplicity andbriefness, trying to keep conceptual accuracy all along this paper.

LA GRAVEDAD

La gravedad es una de las cuatro fuerzas, que según el estado actual dedesarrollo de la ciencia, gobiernan el mundo físico. Las otras tres fuerzas son: elelectromagnetismo, la acción débil y la acción fuerte. Los conceptos básicos parala definición de la gravedad fueron desarrollados por Newton en el siglo XVII, comoresultado del análisis de las Leyes de Kepler del movimiento de los astros.Quedan por descubrir los mecanismos intrínsecos que determinan la atracciónentre las masas, en particular las características de la transmisión en el espacio dela acción gravitacional.

La atracción gravitacional es parte de la experiencia cotidiana, y susvariaciones espaciales proveen información sobre el interior de la Tierra. Ladirección del vector gravedad, por otra parte, es fuente de información sobre laforma de la Tierra.

Newton postuló la Ley Universal de Gravitación expresada por la ecuación:


- 2 -

F = 221

rmmGF =

F = módulo de la fuerza de atracción actuante entre la masas m1 y m2,separadas de la distancia r

G = Constante universal de gravitación = 6,67 . 10-11 N.m2.kg-2 [unidad defuerza por unidad de superficie sobre unidad de masa], ó (6.672,59 ± 0,30).10-14m3.seg-2.kg-1, (tal como fue definida en 1999 por la Unión Geodésica y GeofísicaInternacional, IUGG).

El campo gravitacional se define en función de la fuerza actuante en cadapunto sobre la unidad de masa, de modo que la intensidad (módulo del vector) delcampo generado por una masa puntual “m” en un punto a la distancia “r”, vienedada por la expresión:

g = 2rmGg = [Nkg-1]; o más frecuentemente [m.seg-2]

(F = m.g ⇒ g = F/m; fuerza por unidad de masa).

La ecuación de campo es aproximadamente válida también para la Tierra demasa M y radio R, de modo que para un punto de la superficie terrestre, lagravedad debida exclusivamente a la masa resulta:

2RMGg =

Desde el punto de vista de la composición geológica, la densidad de la Tierratiene carácter predominante. Siendo ρ la densidad promedio de la Tierra, resulta:

3334 R4

M3]R[

Mvolumen

masaπ

=π

=

=ρ

Sustituyendo M por su valor, según la: G

gRM2

= , resulta:

RG4g3

π=ρ

Con lo cual, midiendo g y conocidos R y G, puede calcularse ρ, resultandocon los valores obtenidos de mediciones:

ρ = 5,52 . 103 kg.m-3 = 5,52 gr/cm3

El hecho de que las rocas de la corteza a las que tiene acceso lainvestigación geológica y geofísica registren valores medios de densidad del orden


- 3 -

de 2,70 gr/cm3, son evidencia directa de la no uniformidad de distribución de masasen el interior terrestre.

El objeto de estudio de la gravimetría es el campo de potencial de la masaterrestre en rotación. Desde el punto de vista de la Geofísica, el campo de potencialobservado se compone de las contribuciones de las formaciones geológicas queconstituyen la corteza terrestre hasta cierta profundidad, determinada por el alcancedel método gravimétrico, por el cual no se pueden, en general, distinguir lascontribuciones a este campo provenientes de una formación o una estructurageológica específica de aquellas de las otras formaciones o estructuras geológicas.Sólo en casos especiales se puede lograr una separación de los efectos causadospor una formación o estructura geológica individual.

LA GRAVEDAD, LA GEODESIA Y LA FORMA DE LA TIERRA

La forma de la Tierra se halla en el centro de interés de la geodesia. Si laTierra fuera una esfera perfecta de densidad uniforme, el valor de la gravedad, g,resultaría teóricamente constante sobre la totalidad de su superficie. En cambio sila forma se desvía de la esfera (R variable), o si las densidades varían localmente(anomalías), g también varía, no sólo en intensidad sino también en dirección.

La Tierra de densidad uniforme tampoco sería esférica sino elipsóidica(cumpliendo ciertas condiciones de distribución y homogeneidad de masa), valedecir achatada en los polos como resultado de la rotación, con un radio ecuatorial:a = 6.378,137 km y radio polar: b = 6 356 752,3141 km, de lo que resulta unachatamiento: α = 1/ 298,257222 (dimensiones del elipsoide WGS 84).

De las observaciones, que confirman los supuestos teóricos, surge que elvalor de g es mayor en los polos que en el Ecuador, siendo la fuerza gravitacionalneta la resultante de la combinación de las acciones de la atracción de masa y laaceleración centrífuga, resultando la superficie equipotencial del elipsoide (ideal).

De modo similar a como se ha definido cierto elipsoide de revolución comosuperficie geométrica que mejor se adapta a la forma real de la Tierra, puededefinirse una superficie física de nivel del campo de gravedad teórico de la Tierra.

Para ello, además de los parámetros puramente geométricos, eje mayor yachatamiento, se requieren los parámetros físicos de masa total de la Tierra, M, ysu velocidad angular de rotación ω.

Existen ciertas dificultades teóricas vinculadas a la definición de la forma deequilibrio de esa superficie de nivel en función de la homogeneidad y distribución delas masas de un cuerpo en rotación, de modo que una superficie límite elipsoidal,pueda servir también como modelo geofísico ideal de la Tierra.

A fin de compatibilizar resultados observacionales de distintas disciplinas(astronomía, geodesia, geofísica), la Unión Geodésica y Geofísica Internacional ,


- 4 -

UGGI, define para su adopción por los países miembros, los parámetrosgeométricos del Elipsoide y la Fórmula de Gravedad Internacional (IGF) óInternational Gravity Formula, que provee el valor de la gravedad NORMAL a nivelde la superficie del elipsoide, habiéndose adoptado, como resultado de la puesta envigencia del modelo WGS 84 la Fórmula de Somigliana, que en la forma siguientese conoce también como: Fórmula de Gravedad Elipsóidica WGS84:

ϕ−

ϕ+γ=γ

22

2

esene1

senk1

en la cual:

1ab

ke

p −γ

γ=

a, b = semiejes mayor y menos del elipsoide

γe, γp = gravedad teórica normal en el Ecuador y los polos

e2 = cuadrado de la Primera Excentricidad

ϕ = Latitud Geodésica (en la nomenclatura del NIMA se utiliza φ)

De modo que tal como se ha expresado, el elipsoide, además de un objetopuramente geométrico, constituye una entidad física como superficie límite de lamasa de la Tierra sólida supuesta de densidad constante, uniforme e isótropa,rotando a velocidad ω.

CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE

Se define como tal la composición de los campos de atracción de la masaterrestre y el campo centrífugo debido a la rotación diurna.

Ambos campos poseen un cierto valor, prácticamente constante en eltiempo, en cada punto del espacio, alterado con un ciclo aproximadamentesemidiurno debido a las acciones perturbadoras del Sol y la Luna.

Para el estudio del campo de gravedad, se requiere la construcción de unmodelo en el cual se refiere la Tierra a una terna cartesiana derecha, centrada en elcentro de masa de aquella, con el eje Z coincidente con el eje de rotación terrestre,sentido positivo hacia el Norte, y el plano (X, Y) normal al eje Z, (coincidente con elplano ecuatorial terrestre), conforme con el esquema de la figura 1.

CAMPO GRAVITACIONAL

En el punto P (figura1) de coordenadas espaciales (x; y; z) de la figura 1, lamasa terrestre M da lugar a una aceleración gravitacional A dirigida hacia el centrode la Tierra, que teóricamente podría calcularse integrando las aceleraciones


- 5 -

diferenciales producidas por cada volumen elemental, dm, de la masa terrestre, decoordenadas espaciales (ξ; η; ζ).

El elemento de masa, dm, provoca en P(x; y; z) una aceleración elemental dA:

2qdmGdAAd −==

r

El signo negativo denota que el sentido es contrario al del segmento dirigido,q, de dm a P.

Las componentes cartesianas de los vectores que se originan son,introduciendo los cosenos directores de q:

qz

qy

qx ζ

γη

βξ

α−

=−

=−

= cos;cos;cos

Z

ωPN

d

P(X;Y;Z)dA

dm(ξ;η;ζ)q

rρ

η

ζ

ξ Yy

y

x

z

d

x

z

Ω

Ωy

Ωx

M

Ω

ε

ψ

X

Figura 1


- 6 -

Luego: 32x qxGdm

qx

qdmGcosAdAd ξξ

α−

−=−

−==rr

; por lo que la

componente del vector A en la dirección del eje X, resulta:

dmq

xGAM

3x ∫−

−=ξr

; y procediendo análogamente con las otras dos

componentes, resulta el valor de A:

zdmq

zGydmq

yGxdmq

xGAM

3M

3M

3 ∫∫∫−

−−

−−

−=ζηξr

Conocida como Ecuación Vectorial del Campo Gravitacional:

rA 3rMG−=

POTENCIAL GRAVITACIONAL TERRESTRE

En cada punto del espacio que rodea la masa M se halla entonces unaacción gravitacional representada por un vector que “apunta” hacia la Tierra,constituyendo el Campo de Atracción Gravitacional de Masa de la Tierra, tal que sucirculación es nula:

0=∫LdlA

r, de donde surge que existe una función escalar de punto:

V = V(x; y; z) ; tal que:

grad V = Ar

; para todo punto del espacio donde se asienta el campo.

Se define: q

dmGdV = ; como el potencial inducido en el punto P por la masa

elemental dm, de modo que el potencial total será:

∫=M q

dmGV

Toda vez que: zzVy

yVx

xVVdgra

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ; derivando parcialmente V

respecto de x:


- 7 -

dmxq

q1Gdm

xq

q1G

xV

M2

M2 ∫∫ ∂

∂−=

∂∂

−=

∂∂

Pero: ( ) ( ) ( )2222 zyxq ζηξ −+−+−= ; por ser diagonal del paralelepípedorectángulo.

Derivando respecto de x:

( )q

xxqx2

xqq2 ξ

ξ−

=∂∂

∴−=∂∂

Reemplazando en la última integral:

xM

3 Admq

xGxV

=−

−=∂∂

∫ξ ; y análogamente, derivando respecto de las otras

dos variables:

Azdmq

zGzV

Admq

yGyV

M3

yM

3

=−

−=∂∂

=−

−=∂∂

∫

∫

ζ

η

Con lo cual se ha verificado que:

grad V = Ar

,

Siendo consecuentemente V la función potencial.

CAMPO DE ACELERACIÓN CENTRÍFUGA

Los puntos P que participan de la rotación diurna, están sometidos también ala aceleración centrífuga Ω

r, tal que:

d2 ⋅=Ω ωr

; perpendicular al eje de rotación y de sentido “hacia fuera”.

La componente: xxxdxdxcosd 222

x ωωεω ===Ωr

Análogamente: yy2y ω=Ω

r

Y obviamente: 0z =Ωr


- 8 -

Con lo cual la ecuación que expresa este otro campo vectorial centrífugoserá:

yyxx ˆ2ˆ2 ωω +=Ωr

FUNCION POTENCIAL CENTRÍFUGO

Se demuestra que el potencial del campo centrífugo vale:

)yx(2

d2

Z 222

22

+==ωω

El campo de gravedad será entonces la combinación de ambos: W = V + Z


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CÁLCULO DE ALTURAS GEOIDALES Y DE LA SUPERFICIE MEDIADEL MAR

PARA SER APLICADAS A UN MODELO NUMÉRICODE NIVELES DEL RÍO DE LA PLATA

D’Onofrio E.E. (1) (2) - Fiore M. E. (1) (3) - Pardo J.A.R. (2) - Ruiz E.H. (2)

(1) Servicio de Hidrografía Naval Avda. Montes de Oca 2124 1271, Buenos Aires [email protected]

(2) Instituto de Geodesia Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires Avda. Las Heras 2214 [email protected]

(3) Departamento de Ciencias de la Atmósfera y los Océanos Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Ciudad Universitaria – Pabellón II [email protected]

Resumen

En este trabajo se calculan la altura geoidal y la superficie media del mar,para el recinto de un modelo numérico, que será utilizado en la predicción del niveldel Río de la Plata y su Frente Marítimo. Para ello se ajusta la salida del modeloEGM96 con distancias geoidales determinadas a partir de alturas elipsoidales y dealturas niveladas (cotas IGM). La superficie media del mar se determina a partir dealturas corregidas de la superficie del mar (CORSHH) provenientes del altímetroTOPEX/Poseidon. Finalmente, se comparan las alturas geoidales determinadas,con las correspondientes de la superficie media del mar, resultando que esta última,en el área de interés, está en promedio 0.55 m sobre las alturas geoidalesobtenidas con un desvío standard de ±0.32 m.

Abstract

In this work, geoidal heights and mean sea surface are calculated to predictwater levels in a numerical model domain covering the Río de la Plata and its FrenteMarítimo. Data from EGM96 are corrected with elipsoidal heights (calculated fromGPS measurements and IGM leveling). The mean sea surface is obtained fromTOPEX/Poseidon Corrected Sea Surface Heights (CORSSH). Finally geoidal


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heights and mean sea surface are compared, resulting that the mean sea surface inthis area is in average 0.55 m above the geoidal surface with standard deviation of±0.32 m.

1. INTRODUCCIÓN

En las últimas décadas los avances tecnológicos especialmente en el campode la informática y de los satélites artificiales, han permitido desarrollar modelosnuméricos de geopotencial cada vez más precisos. Un ejemplo de estos avanceses el proyecto Gravity Recovery And Climate Experiment (GRACE) de la NationalAeronautics and Space Administration (NASA), que utiliza un par de satélites en lamisma órbita, para detectar pequeñas variaciones del campo gravitacional denuestro planeta. En 30 días la información así obtenida ha excedido a la recopiladadurante los 30 años previos al proyecto.

En la actualidad existen numerosos modelos numéricos de geopotencial.Uno de los más difundidos dentro de la comunidad científica es el EGM96 (Lemoineet al.,1998). Este modelo fue desarrollado en forma conjunta por la NASA y por laNational Imagery and Mapping Agency (NIMA) de Estados Unidos de América. Sucomportamiento en Sudamérica fue analizado, con resultados positivos, porBlitzkow (1997).

La diferencia de altura entre el geoide y la superficie media del mar se laconoce como topografía dinámica o topografía de la superficie del mar (SST, seasurface topography). Esta superficie se ve afectada por variaciones anuales,estacionales y de corto período que se producen en diferentes escalas. La SSTpuede determinarse, directamente a partir de datos obtenidos con satélitesaltimétricos referidos a un elipsoide de referencia, restándole la distancia geoidal.

La aparición de los satélites altimétricos ha posibilitado la determinación deobservaciones globales del nivel del mar, con excepción de las regiones polares.Un ejemplo lo constituye el satélite TOPEX/Poseidon que fue lanzado en 1992como un proyecto conjunto entre NASA, Jet Propulsion Laboratory (JPL) y el CentreNational d'Etudes Spatiales (CNES). Su principal objetivo es mejorar elconocimiento de la circulación oceánica global y determinar su interacción con laatmósfera terrestre. Las órbitas del satélite a una altitud de 1336 km sobre la Tierratienen una inclinación de 66°. Un ciclo se completa en 9,9156 días luego de 127órbitas, volviendo a pasar por la misma posición con un error de aproximadamente±1 km (Fu et al., 1994).

En este trabajo se determina la altura geoidal y la de la superficie media delmar, para el recinto del modelo numérico del Río de la Plata y su Frente Marítimoque está siendo desarrollado por Re et al. (2003a y 2003b). Los resultados aquíobtenidos serán utilizados en este modelo cuya finalidad es la predicción de losefectos del cambio climático en los niveles del Río de la Plata, en el marco delproyecto “Impact of global change on the coastal areas of the Río de La Plata: Sealevel rise and meteorological effects” (AIACC - LA26).


- 11 -

2. ZONA DE ESTUDIO

Las costas de la provincia de Buenos Aires dentro del recinto considerado(Figura 1) se caracterizan por ser zonas de llanura, con extensas playas de arenaque se extienden entre los 36° S y los 39°S (Lanfredi et al., 1998).

El Río de la Plata es un extenso estuario con orientación general NNO –SSE. Su longitud es de aproximadamente 320 km con un ancho variable desde 35km (La Plata – Colonia) hasta 220 km (Punta Rasa – Punta del Este), con un áreatotal cubierta de alrededor de 30212 km2 (Rodriques Vieira et al., 1996). Seencuentran profundidades (referidas al cero del Riachuelo) de menos de 5 mfrente a la ciudad de Buenos Aires, de 5 a 10 m para la zona intermedia ocupadapor varios bancos de arena, hasta 10 a 20 m para la región exterior donde semezclan las aguas dulce y salada (Gagliardini et al., 1984).

A medida que se avanza dentro de la plataforma continental lasprofundidades van aumentando, inicialmente con una pendiente suave, que luegova incrementándose. Las profundidades varían desde alrededor de los 20 m en ladesembocadura del Río de la Plata hasta aproximadamente 4000 m en el borde delrecinto elegido (Carta Argentina H–1, 1999).

Figura 1. Zona de estudio. Ubicación de puntos con distancia geoidal conocida.


- 12 -

3. DETERMINACIÓN DE ALTURAS GEOIDALES

Una forma clásica de calcular la altura geoidal (N) es utilizando la expresión :

N = h – H [1]

donde h es la altura elipsóidica y H la altura ortométrica del mismo punto.

Se cuenta con alturas elipsoidales y niveladas (con cota IGM) en 11 puntosdistribuidos a lo largo de la costa de la provincia de Buenos Aires (Perdomo et al.,2002). La ubicación de los mismos puede observarse en la Figura 1. Estainformación es utilizada para determinar alturas geoidales utilizando la expresión [1].

Generalmente en zonas de llanura las diferencias entre altura ortométrica ynivelada se reducen considerablemente, debido a que se mantiene sensiblementeel paralelismo entre las superficies geopotenciales. Esta aproximación justificautilizar en estos casos alturas niveladas en lugar de alturas ortométricas. Si bien elobjetivo de este trabajo no requiere de precisión geodésica, se decidió realizar unasimulación para calcular las cotas ortométricas de los puntos mencionados,utilizando gravedad normal en lugar de gravedad observada, dado que no se poseeinformación de esta última. Para ello se siguió el procedimiento indicado por Torge(2001), resultando las diferencias entre cotas niveladas y cotas ortométricasinferiores a 3 mm en todos los casos.

Debido a la carencia de datos de campo en el resto del recinto, paradeterminar las alturas geoidales, se utiliza el modelo de geopotencial EGM96(Lemoine et al.,1998).

Esta elección se fundamenta en el hecho de que autores tales comoPerdomo et al. (1999, 2002) y Burgués et al. (2002), estudiaron el comportamientode este modelo en el área de la provincia de Buenos Aires, obteniendo resultadosque justifican su utilización en este trabajo.

La Figura 2 muestra la comparación entre las alturas geoidales determinadascon la fórmula [1] y aquellas obtenidas con el EGM96. En la misma se representa enabscisas la distancia geodésica entre puntos y en ordenadas, las respectivasalturas geoidales unidas con una línea llena al sólo efecto de lograr una mejorvisualización.

La diferencia media entre las alturas geoidales mencionadas es de 0.86 mcon un desvío standard de ±0.12 m. De acuerdo con estos resultados se decideaplicar esta corrección a la totalidad de las alturas geoidales obtenidas con elmodelo EGM96, para el recinto de la Figura 1. Siguiendo esta metodología secalcularon las alturas geoidales para una grilla de 837 nodos, con una equidistanciaen latitud y longitud de 15 minutos. Con los resultados obtenidos se confeccionó unmapa de curvas de nivel de alturas geoidales, con una equidistancia de 1 m(Figura 3).


- 13 -

12

13

14

15

16

17

18

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Distancia geodésica (km)

N (m

)

h - H EGM96

Figura 2. Comparación entre alturas geoidales determinadas con la fórmula [1]

y aquellas obtenidas con el EGM96.

Figura 3. Mapa de curvas de nivel de alturas geoidales expresadasen metros.


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De la observación de la Figura 3 surge que las alturas geoidales vanaumentando a medida que se acercan al continente. En la entrada del Río de laPlata la altura geoidal es del orden de los 14 m, para luego aumentar a 15 m en suparte media llegando a los 16 m en el Río de la Plata interior.

4. DETERMINACIÓN DE LA SUPERFICIE MEDIA DEL MAR

Las mediciones altimétricas incluyen muchas fuentes de error que necesitanser corregidas. Ellas se deben a errores del instrumental, perturbaciones del medioambiente (tropósfera húmeda, tropósfera seca y efectos ionosféricos), la influenciade las olas oceánicas (estado del mar) e influencia de las mareas (mareasoceánicas y mareas terrestres) y el efecto de barómetro invertido.

En este trabajo la superficie media del mar, en el recinto de estudio, fueobtenida a partir de alturas corregidas de la superficie del mar (Corrected SeaSurface Heights, CORSSH) determinadas por AVISO (1998), donde se hanconsiderado todas las correcciones mencionadas anteriormente.

Se seleccionaron los datos CORSSH correspondientes a la zona de interés,agrupándolos en celdas de 15 por 15 minutos en latitud y longitud. Se destaca queen este proceso no se tuvo en cuenta la información de los ciclos 118 y 237, talcomo lo recomienda AVISO (1998).

Con el propósito de controlar la calidad de las CORSSH se determinaronanomalías de la superficie del mar como diferencias entre las alturas CORSSH ylas correspondientes generadas por el modelo de superficie media del marOSUMSS95 (Yi, 1995), eliminando aquellas que son mayores o iguales a 5 m. Esteúltimo valor obedece a que la amplitud de la marea en la zona de estudio es delorden de 1 m (Simionato et al., 2002) , luego los 4 m restantes pueden atribuirse alas olas que contribuyen a aumentar la rugosidad de la superficie del mar y porconsiguiente el tamaño de la huella del altímetro, disminuyendo así la precisión lasalturas medidas.

En el recinto considerado se determinaron 150 celdas con informaciónaltimétrica para el período 1992–2001. Se eliminaron, en cada celda, los registroscorrespondientes a los años en los cuales faltaba información para algún mescalendario. Luego, en cada celda y para la totalidad del período, se determinó lamedia aritmética correspondiente a cada mes calendario. Finalmente se realizaronlos promedios ponderados, por el número de días de cada mes, de las mediasmensuales obtenidas. De esta manera los valores calculados son representativosde la superficie media del mar en cada celda.

La Figura 4, por razones de presentación, muestra las alturas de la superficiemedia del mar, en metros, correspondientes al punto central de la mitad de lasceldas evaluadas.


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Figura 4. Alturas de la superficie media del mar. Se separó en distintos colores las alturas correspondientes a los

siguientes rangos: alt. ≥ 12 m, 8 m ≤ alt.< 12 m, 4 m ≤ alt.< 8 m y alt. < 4 m

5. RESULTADOS FINALES Y CONCLUSIONES

En el punto 3 se obtuvieron alturas geoidales ajustando el modelo EGM96con alturas correspondientes a 11 puntos fijos en Tierra. Posteriormente en el punto4 se determinó la superficie media del mar a partir de datos altimétricosprovenientes de los altímetros TOPEX/Poseidon. Si bien las superficies definidasno tienen porque coincidir exactamente deben estar estrechamente relacionadas.

Para estudiar el comportamiento de ambas superficies se calculó para lascoordenadas de cada altura de la superficie media del mar, la altura geoidal segúnlo establecido en el punto 3. Con esta información se obtuvieron las diferenciasentre ambas superficies, es decir la SST. La Figura 5, por razones de presentación,muestra las alturas de la SST, en metros, correspondientes al punto central de lamitad de las celdas evaluadas.


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Figura 5. Alturas correspondientes a la SST en metros.Se separó en distintos colores las alturas correspondientes a los

siguientes rangos: alt. ≥ 1 m, 0.5 m ≤ alt.< 1 m, 0 m ≤ alt.< 0.5 m y alt. < 0 m

En general se observó que las diferencias se mantienen dentro del rango1.22 m / -0.34 m. La superficie media del mar está en promedio 0.55 m por encimade la superficie geoidal calculada, con un desvío standard de ±0.32 m. Si bien losresultados obtenidos cumplen con el objetivo de este trabajo los mismos podrán seroptimizados cuando se disponga de nueva información para ajustar el modeloEGM96 y la determinación de la superficie media del mar.

AGRADECIMIENTOS

Los autores desean expresar su agradecimiento al Licenciado Raúl Perdomode la Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas de la Universidad de La Platapor la cesión de los datos que fueron empleados en este trabajo. Por otra parte se


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agradece las sugerencias brindadas por el Lic. G. Acuña del Laboratorio deGeodesia Física y Satelital de Venezuela y el Dr. W. Bosch del DeutschesGeodätisches Forschungsinstitut de Alemania.

6. Referencias

AVISO/Altimetry ,1998. AVISO user handbook, corrected sea surface heights(CORSSHs), AVI–NT–0011-311-CN, Edition 3.2.

Blitzkow, D., 1997. NASA (GSFC) / NIMA Model Evaluation. Report SpecialWorking Group. International Geoid Service Bull., 6: 71-81.

Burgués, L., Jiménez, B. y Pacino, M.C., 2002. Analisis del comportamiento delEGM96 en la Provincia de Buenos Aires. Trabajo presentado en la XXI ReuniónCientífica de la Asociación Argentina de Geofísicos y Geodestas. Rosario, 23 a 27de Setiembre de 2002. Pág. 159-163.

Carta Argentina H-1. Publicación del Servicio de Hidrografía Naval, 5ta. Edición,1992. Reimpresión 1999.

Fu, L.L., Christensen, E.J., Yamarone, Jr C.A., Lefebvre, M., Menard, Y., Dorrer, M.and Escudier, P., 1994. TOPEX / POSEIDON mission overview. J. Geophys. Res.,99(C12), 24, 379-24, 381.

Gagliardini, D.A., Karszenbbaum, H., Legeckis, R., Klemas, V., 1984. Application ofLansat MSS, NOAA/TIROS AVHRR, and Nimbus CZCS to study the La Plata Riverand its interaction with the ocean. Remote Sensing Environment, 15, 21-36.

Lanfredi, W.N., Pousa J.L. and D’Onofrio E.E.,1998. Sea – level rise and relatedpotential hazards on the Argentine coast. Journal of Coastal Research. Vol 14, N°1,47-60.

Lemoine, F., Kenyon, S.C., Factor, J.K., Trimmer, R.G., Pavlis, N.K., Chinn, D.S.,Cox, C.M., Klosko, S.M., Luthcke, S.B., Torrence, M.H., Wang, Y.M., Williamson,R.G., Pavlis, E.C., Rapp, R.H., Olson, T.R., 1998. The Development of the JointNASA GSFC and the National Imagery and Mapping Agency (NIMA) GeopotentialModel EGM96, NASA Technical Paper NASA/TP-1998-206861; Goddard SpaceFlight Center, Greenbelt.

Re M. y Menéndez A.N., 2003a. Modelo Hidrodinámico del Río de la Plata y suFrente Marítimo, Informe INA-LHA 03-216-03, Comitente: Proyecto Freplata.Re M. y Menéndez A.N., 2003b. Modelo Numérico del Río de la Plata y su FrenteMarítimo para la Predicción de los Efectos del Cambio Climático. Aceptado para supresentación en el XIII Congreso sobre Métodos Numéricos y sus Aplicaciones(ENIEF 2003), Bahía Blanca, Argentina, 4-7 noviembre de 2003.


- 18 -

Perdomo R. y Del Cogliano D., 2002. Nuevos avances en la determinación de unmodelo de transformación de alturas para la Provincia de Buenos Aires.Mendoza, Actas de la XXI Reunión Científica de la Asoc. Arg. deGeof. y Geod., Rosario, setiembre de 2002.

Perdomo R. y Del Cogliano D., 1999. The geoid in Buenos Aires region.International Geoid Service Bull.(IgeS). N°9: 109-120.

Rodriques Vieira J. and Lanfredi W.N., 1996. A hydrodynamic model for the Río dela Plata, Argentina. Journal of Coastal Research. Vol 12, N°2, 430-446.

Simionato C.G., Dragani W., Nuñez M., Engel M., 2002. A set of 3-d nested modelsfor tidal propagation from the Argentinean Continental Shelf to the Río de la PlataEstuary. Enviado a Continental Shelf Research.

Torge W., 2001. Geodesy – Third completely revised and extended edition. Walterde Gruyter. Berlin. New York. 416 pág.

Yi Y., 1995. Determination of gridded mean sea surface from TOPEX, ERS-1 andGEOSAT altimeter data. Report N° 434. Department of Geodetic Science andSurveying, The Ohio State University.


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ESTUDIO DE VECTORES GPS LARGOS.

Dr. Ing. Ezequiel Pallejá (*)(*) Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires - Escuela SuperiorTécnica - Universidad de Morón

Primera Parte

Resumen

El propósito de este trabajo es contribuir al conocimiento del comportamientoreal de las determinaciones GPS diferenciales por medición de fase de lasportadoras (L1 y L2) en distancias largas (250-1600 km), bajo diferentescondiciones de observación y de procesamiento. Más de mil vectores de diversalongitud y orientación fueron procesados, generando una base de datos quepermitió evaluar su comportamiento en comparación con los valores de controlprovistos por la "Subred geodésica minera", una red GPS de primer orden, mediday compensada durante el desarrollo del proyecto minero "PASMA" (**).

Abstract

The purpose of this paper is to contribute to the knowledge of the actualbehaviour of GPS phase L1 - L2 differential measurements in long distances (250-1600 km), under different observation and processing conditions. More than athousand of different size and orientation vectors were computed, generating a database that allows to evaluate their precision by comparing with the control valuesprovided by the "Subred Geodésica Minera", a GPS first order network measuredand adjusted during the development of the mining argentine project called"PASMA" (**).

INTRODUCCIÓN

Las determinaciones GPS diferenciales con fase utilizando receptores desimple o doble frecuencia constituyen una técnica precisa y actualizada paradeterminar posiciones con óptimo rendimiento en términos de precisión y exactitud.

Usualmente se recomienda no extender las distancias entre estación base yestación remota más allá de 30 o 40 km en mediciones con receptoresmonofrecuencia (L1) y unos 100 km en mediciones con receptores de doblefrecuencia (L1 y L2). Además, las observaciones deben ser recogidas durante unperíodo suficientemente extendido, generalmente no menor a 1 hora ypreferentemente de 2 horas o más.

En estas condiciones estándar existe una muy alta probabilidad de obtenerprecisiones relativas mejores a 1 parte por millón en planimetría y a 2 ppm enaltimetría. A las distancias indicadas, estos valores se traducen en errores de unospocos centímetros.


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Los marcos de referencia utilizados por los países para materializar lossistemas adoptados deben permitir a los usuarios, disponer de puntos basesuficientemente próximos como para no exceder estas distancias permitidas por lautilización normal de receptores geodésicos GPS.

Las mediciones GPS de vectores largos, es decir, superiores a los límitesusualmente aceptados, abren un abanico de dudas en cuanto a su realcomportamiento. A pesar de ello, su utilización puede ser útil en lugares donde nohaya llegado la red básica con suficiente densificación, o en lugares de difícilacceso, como zonas polares, océanos, desiertos muy extendidos, etc. Por otraparte, la tecnología de transmitir correcciones diferenciales desde estacionesactivas puede verse beneficiada con el conocimiento de los rendimientos obtenidossobre distancias largas.

2. DATOS UTILIZADOS

Durante la realización de la llamada “Obra Topo geodésica” del Proyecto deAsistencia al Sector Minero Argentino(PASMA), se pudo recopilar lainformación relativa a numerosasestaciones de observación GPS.

Estas observaciones estabandestinadas a la determinación decoordenadas de una extensa redgeodésica o de esquineros deconcesiones mineras, trabajos queinvolucraban distancias entreestaciones de no más de 40 km. Estetrabajo se basa en parte del materialde medición y cálculo utilizado en eldesarrollo de la “Obra Topogeodésica” del PASMA dentro de laprimera región encarada, que fuedenominada PASMA I.

PASMA I abarca una vastaregión al oeste y noroeste de laArgentina, y fue ejecutada en primerlugar por la importancia minera de lasprovincias que la componen.

La provincia de Salta linda conChile al oeste y con Bolivia al norte.Precisamente en zonas próximas aestos límites se encuentra gran partede la explotación y exploraciónmineras. La falta de apoyo geodésico en estas zonas era prácticamente total, lo

Provincias del PASMA I, donde se indican losvértices de la Subred Geodésica. De N a S: Jujuy,Salta, Catamarca, La Rioja, San Juan, San Luis yMendoza

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que obligó a planificar una gran cantidad de puntos de la Subred. La parte nominera de la provincia se dejó librada a una futura densificación geodésica previstapor el Catastro Rural próximo a ejecutarse por otro organismo (el cual a su veztomará la red PASMA como apoyo en donde ésta existe).

Catamarca y La Rioja son provincias también extensas y faltas de apoyogeodésico previo. En estos casos se cubrió la totalidad del territorio con la Subred,habida cuenta que la minería se extiende amplia y generosamente sobre estasprovincias, por otra parte muy escasas de población y de otros recursos.

San Juan, probablemente la provincia del país con mayor potencial minero,está separada de La Rioja por una abrupta topografía. Fue enteramente cubiertapor la Subred.

Mendoza requería un amplio apoyo geodésico en la zona occidental y sur,donde se encuentra la mayor parte de los emprendimientos mineros, lo quecondicionó el desarrollo de la Subred en esas zonas.

San Luis, la tercera provincia de Cuyo, posee un potencial minero muyimportante en su porción centro y norte.

Con excepción de San Luis, el resto de las provincias de PASMA I tienen ensu sector occidental la Cordillera de los Andes, imponente marco topográfico degran altura sobre el nivel del mar, donde se conjuga la dificultad de tránsito yacceso con la potencialidad minera y petrolera. Precisamente, la Cordillera de losAndes separa la Argentina de Chile, y es conocido el desarrollo minero del paísvecino del otro lado del macizo andino. Existen, inclusive, emprendimientos minerosque atraviesan el límite internacional.

La Subred llega ahora hasta estos sectores limítrofes. Incluso se hanincorporado algunos hitos limítrofes internacionales, con el consiguiente aporte alconocimiento preciso de las fronteras.

En este contexto es comprensible que la condición de “fácil acceso” a losvértices sea poco menos que una simple expresión de deseos. La falta de caminosadecuados, la destrucción de los pocos existentes, obliga a desplazarse por huellaso cauces secos a menudo cortados por vastos cañadones. Muchas veces el únicovehículo posible de usar es de tracción a sangre, en especial las mulas. Hasta elhelicóptero es inadecuado en algunos parajes.

Además, la falta de poblaciones o asentamientos estables obliga a instalarcampamentos, de manera de barrer cada zona con adecuado apoyo logístico.

La Obra Topo geodésica se fue desarrollando en las seis provinciasmencionadas como componentes del PASMA I, alternando las tareas de mediciónde la Subred con la de localización, eventual monumentación y medición de losesquineros de las concesiones. En general, en cada área, el orden de ejecuciónconsistía en la medición de la Subred y luego la medición de esquineros. Sin


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embargo, la magnitud del área a relevar motivó que coexistieran ambas tareas en eltiempo, teniendo en cuenta que no había una sola empresa contratista para las seisprovincias.

Por ejemplo, tareas de Subred en Mendoza podían coexistir con tareas deSubred en Salta o tareas de medición de esquineros de minas en La Rioja.

Estas características de superposición espacial y temporal de los trabajos,sumadas a lo extenso de la región PASMA I, obligaron a plantear un especialsistema de inspección y verificación por parte del Proyecto.

Además de los controles in situ, se planificó un “control cruzado” de lasmediciones, aprovechando la posibilidad del sistema GPS de poder posicionarpuntos en forma relativa, adistancias largas. De manera quecruzando las observaciones de unay otra zona, se pudo controlar conéxito en forma general, laconfiabilidad de la obra. A esto seagregaron estaciones maestrasestratégicamente ubicadas fuera dela zona de trabajo, con idénticafinalidad y resultados.

La Inspección de Obra pudoasí cumplir su cometido dentro deun plan racional que optimizó losmovimientos y la logística, evitandola duplicación de tareas con buenrendimiento en cuanto al logro delos objetivos y los medios utilizadosa tal fin.

Estos procedimientos que,como queda dicho, se idearon yejecutaron con vistas a facilitar lainspección de la obra topogeodésica, dieron origen además ala realización de este trabajo deinvestigación.

La inspección de obra delproyecto detectó que en muchasocasiones, existía simultaneidadentre los trabajos realizados en las distintas provincias argentinas involucradas.Esta simultaneidad permitió generar vectores (líneas de base) no previstos deantemano, sobre distancias entre 250 y 1600 km, y comparar los resultados de los

Ejemplo de algunos vectores largoscalculados a partir de observacionessimultáneas en provincias diferentes

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respectivos procesamientos con los obtenidos a partir del proceso normal demedición y ajuste geodésicos.

Como este proceso no estaba previsto de antemano, los datos tienen laparticularidad de representar fielmente las condiciones normales de trabajo, y lasconclusiones están libres de preconceptos o intencionalidad.

3. ESTRATEGIA DE PROCESAMIENTO.

Sobre la base de los archivos GPS “crudos” obtenidos en estacionesdistantes, se procedió a detectar aquellos que presentaban simultaneidad. Secalculó luego cada vector, asignando coordenadas a uno de los extremos y dejandolibre el otro. Luego se compararon las coordenadas de este último con lascorrespondientes al ajuste de la Subred Geodésica o, si se trataba de esquinerosde minas, a las calculadas para ellos a partir de la Subred.

La diferencia entre las coordenadas del extremo libre obtenidas a partir devectores largos con respecto a las compensadas y adoptadas, era representativadel comportamiento del proceso de estos vectores, que se quería investigar.

Traducidas estas diferencias a unidades lineales (metros) y a expresionesrelativas (partes por millón) se analizó estadísticamente cada componente,separando la discrepancia planimétrica de la altimétrica, y dentro de la primera, lacomponente Norte-Sur de la Este–Oeste.

Se procesaron los vectores incluyendo las portadoras L1 y L2 y tomando encuenta sólo la frecuencia L1. Se analizó la influencia de parámetros tales como lacantidad de observaciones útiles procesadas, el tiempo de observación, lageometría de la constelación de satélites, los datos internos del proceso dedeterminación de ambigüedades, la distancia entre estaciones, la orientación de losvectores, etc.

Se volcó toda la información en una planilla de cálculo, lo que permitió lamanipulación de alrededor de 3000 procesamientos de unos 1500 vectores.

Los resultados se graficaron de manera tal de hacer comprensible lavisualización general de los comportamientos estadísticos estudiados.

4. DETECCIÓN DE MEDICIONES CONTEMPORÁNEAS

Para generar vectores GPS fue necesario, en primer lugar, buscar lasobservaciones que hubieran sido efectuadas sobre puntos distantes entre sí, almismo tiempo y en condiciones compatibles de recepción. Esta información seencontraba dispersa, puesto que cada empresa contratista, y cada comisión decampo de ellas, trabajaba de acuerdo al plan de avance de obra, y proporcionabalos archivos generados a medida que terminaba de medir la Subred y losesquineros de minas en cada zona geográfica. Los vectores generados eransiempre menores a 50 km, usualmente de 10 a 30 km, La tarea encarada consistió


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en “cruzar” la información proveniente de diferentes zonas, por lo que pudo sercompletada sólo cuando la totalidad de los trabajos de campo concluyeron en laregión PASMA I.

Como se describió más arriba, la Región PASMA I está integrada por lasprovincias de Salta, Catamarca, La Rioja, San Juan, Mendoza y San Luis. Estasprovincias ocupan la franja occidental de la Argentina, desde el límite con Bolivia,unos 22 grados de latitud sur, hasta los 38 grados de latitud sur. Es decir, tiene unaextensión total en el sentido Norte–Sur del orden de 16 grados de latitud,equivalentes a 1600 km En cuanto a su .extensión Este–Oeste, tiene un desarrollomáximo de 500 km, aproximadamente.

En principio, se determinó que el trabajo simultáneo en diferentes provinciaspermitía la formación de las líneas de base largas (más de 150 km) que sebuscaba. La estrategia consistió entonces en agrupar los archivos “crudos” porfecha y por provincia, generando una carpeta por cada día de trabajo, con lainformación de todas las provincias que habían efectuado observaciones GPSdentro de esas 24 horas.

5. PROCESAMIENTO DE LOS VECTORES

Seleccionados los archivos a utilizar, se borraban todos los demás de cadacarpeta y se volvía a correr el GPPS.

En esta oportunidad, se fijaban las coordenadas de un extremo de cadavector largo. Esto se efectuaba operando sobre el “archivo de proyecto” (Projectfile), en el que se insertaban las coordenadas latitud, longitud y altura oficialmentedeterminadas por el proyecto PASMA, en reemplazo de las que el software ofrecepor defecto, obtenidas a su vez por procesamiento rápido del código C/A.

El procesamiento de cada vector “largo” originó un archivo con lainformación. En general, cada vector se calculó dos veces, adoptando en un caso lasolución “L1” que utiliza la frecuencia simple, y en otro caso la solución “L1c” queagrega la frecuencia L2 en la modalidad “wide lane”. De esta manera se generaronaproximadamente 1500 vectores en proceso L1 y 1300 en proceso L1c, con 1250vectores sobre los que fue posible desarrollar ambos procesos.

Los campos constituyentes de la base de datos de vectores largos son lossiguientes:

BASE: Es el nombre del punto considerado “conocido” en el procesamiento de cadavector. El nombre se compone de 4 caracteres alfanuméricos, y corresponde a ladesignación utilizada originalmente por el operador del receptor GPS. Usualmente,el primer carácter del nombre corresponde a la provincia (J= San Juan; S= Salta;M= Mendoza; C= Catamarca; R= La Rioja; San Luis no antepone ningún carácter).Cuando los dos primeros caracteres son “PR”, significa que el punto es “Punto deReferencia”, perteneciente a la Subred en cualquiera de las provincias. Una sigladel tipo “GNDL” corresponde a puntos del marco POSGAR.


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LATBASE: Latitud del punto base en grados, minutos, segundos y fracción. Suvalor corresponde a las coordenadas obtenidas luego de completarse el procesocompleto de medición, cálculo y compensación de la Subred. Como todas lascoordenadas consignadas en esta base, el sistema de referencia adoptado es elWGS84 dentro del marco POSGAR.

LATBASEg: Latitud del punto base en grados y fracción. Es calculada por elsoftware GPPS.

LONBASE: Longitud del punto base en grados, minutos, segundos y fracción. Suvalor corresponde a las coordenadas obtenidas luego de completarse el procesocompleto de medición, cálculo y compensación de la Subred. Como todas lascoordenadas consignadas en esta base, el sistema de referencia adoptado es elWGS84 dentro del marco POSGAR.

LONBASEg: Longitud del punto base en grados y fracción. Es calculada por elsoftware GPPS.

COTABASE: Altura del punto base sobre el elipsoide WGS84, en metros. Su valorcorresponde a las coordenadas obtenidas luego de completarse el procesocompleto de medición, cálculo y compensación de la Subred.

ANTBASE: Altura de la antena del equipo receptor sobre el punto de referencia. Elsoftware GPPS la obtiene del valor oportunamente consignado por el operador, yque está contenida en el archivo “S”. En los casos en que esta información faltase,se indica “****” en el campo respectivo.

REMOTA: Es el nombre del punto considerado “desconocido” en el procesamientode cada vector. El nombre se compone de 4 caracteres alfanuméricos, ycorresponde a la designación utilizada originalmente por el operador del receptorGPS. Usualmente, el primer carácter del nombre corresponde a la provincia (J =San Juan; S = Salta; M = Mendoza; C = Catamarca; R = La Rioja). Cuando los dosprimeros caracteres son “PR”, significa que el punto es “Punto de Referencia”,perteneciente a la Subred en cualquiera de las provincias. Una sigla del tipo“GNDL” corresponde a puntos del marco POSGAR.

LATREMOTA/calc: Latitud del punto remota en grados, minutos, segundos yfracción. Su valor corresponde a las coordenadas obtenidas del cálculo del vectorpor parte del software GPPS. Como todas las coordenadas consignadas en estaremota, el sistema de referencia adoptado es el WGS84 dentro del marcoPOSGAR.

LATREMOTAg/calc: Latitud del punto remota en grados y fracción. Es calculada porel software GPPS.

LONREMOTA/calc: Longitud del punto remota en grados, minutos, segundos yfracción. Su valor corresponde a las coordenadas obtenidas del cálculo del vector


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por parte del software GPPS. Como todas las coordenadas consignadas en estaremota, el sistema de referencia adoptado es el WGS84 dentro del marcoPOSGAR.

LONREMOTAg/calc: Longitud del punto remota en grados y fracción. Es calculadapor el software GPPS.

COTAREMOTA/calc: Altura del punto REMOTA sobre el elipsoide WGS84, enmetros. Su valor corresponde a las coordenadas obtenidas del cálculo del vectorpor parte del software GPPS.

ANTREMOTA: Altura de la antena del equipo receptor sobre el punto de referencia.El software GPPS la obtiene del valor oportunamente consignado por el operador, yque está contenida en el archivo “S”. En los casos en que esta información faltase,se indica “****” en el campo respectivo.

LATº, LAT´ y LAT”: Latitud de la estación remota en grados, minutos y segundos.Su valor corresponde a las coordenadas obtenidas luego de completarse el procesocompleto de medición, cálculo y compensación de la Subred.

LONº, LON´ y LON”: Latitud de la estación remota en grados, minutos y segundos.Su valor corresponde a las coordenadas obtenidas luego de completarse el procesocompleto de medición, cálculo y compensación de la Subred.

ALTURA: Altura de la estación remota en metros, sobre el elipsoide WGS84. Suvalor corresponde a las coordenadas obtenidas luego de completarse el procesocompleto de medición, cálculo y compensación de la Subred.

DISTANCIA: distancia entre el punto base y el punto remota, en metros. Es elmódulo del vector calculado, y su valor es obtenido por el software GPPS.

AZIMUT: azimut del vector, en grados y fracción, medido con origen en la direcciónNorte en el sentido horario.

DELTA N-S: Diferencia en metros entre la coordenada latitud de la estación remotaajustado y compensado y la latitud de la estación remota obtenida por cálculo delvector a partir de la estación base.

DELTA E-W: Diferencia en metros entre la coordenada longitud de la estaciónremota ajustado y compensado y la longitud de la estación remota obtenida porcálculo del vector a partir de la estación base.

DELTA ALTURA: Diferencia en metros entre la altura elipsóidica de la estaciónremota ajustada y compensada y la altura elipsóidica de la estación remotaobtenida por cálculo del vector a partir de la estación base.

PPM PLANIM: Error relativo planimétrico obtenido por división error absolutoplanimétrico (composición cuadrática de los campos DELTA N-S y DELTA E-W) por


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la distancia obtenida del campo DISTANCIA, multiplicada por 1.000.000 para serexpresada en partes por millón (ppm).

PPM ALTIM: Error relativo altimétrico obtenido por división del contenido del campoDELTA N-S por la distancia obtenida del campo DISTANCIA, multiplicada por1.000.000 para ser expresada en partes por millón (ppm).

MIN de inf.: Duración del período de observaciones comunes en minutos. Seobtiene a partir de los campos HINI, MINI, HFIN y MFIN.

TIPO: Indicador del tipo de procesamiento adoptado. (Ej. 3=L1c 1=L1)

GEOM: Indicador de la geometría de la constelación satelital utilizada.

CANTID: Cantidad de observaciones (épocas) útiles.

RMS: Error medio cuadrático (root mean square) del procesamiento interno.

RATIO: Relación de errores internos de procesamiento (solución fija)

SX, SY, SZ: Errores estándar internos del procesamiento (solución fija), en lascoordenadas geocéntricas.

FECHA: Fecha de la observación.

HINI, MINI: Hora y minutos del comienzo de la observación.

HFIN, MFIN: Hora y minutos del fin de la observación.

A partir de esta estructura básica se fueron agregando diversos cálculosadicionales, que se detallan en el análisis correspondiente.

Un primer ordenamiento por TIPO, permitió generar dos basesindependientes, una por procesamiento L1c y otra por L1. La cantidad de vectoresde cada una es distinta, por cuanto existen algunos vectores que sólo pudieronprocesarse por alguno de los dos procedimientos. Sin embargo, un refinamientoulterior permitió generar un banco auxiliar que contiene exactamente los mismosvectores procesados de ambas maneras.


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Remota Latrem/calc Latrem/calc Lonrem/calc Lonrem/calc Cotar/calc Antrem Distancia Dist km Azimut Azim º Delta N-S Abs N-S Delta E-W Abs E-W Abs plan.0159 32 57 33.17442 32.95921512 65 55 48.86740 65.93024094 1236.4980 1.3500 962996.3335 963 177.04145 177,0 -0,32 0,32 0,32 0,32 0,45S015 25 4 12.60244 25.07016734 67 44 38.54710 67.74404086 3711.2746 1.0140 453147.1740 453 325.57520 325,6 0,29 0,29 0,80 0,80 0,855875 32 50 20.73122 32.83909201 66 6 19.28951 66.10535820 1652.8107 0.5100 945668.9355 946 176.10180 176,1 0,00 0,82 0,82 0,82T32O 29 12 21.75690 29.20604358 69 52 54.37243 69.88177012 4167.7008 0.3000 429980.8069 430 203.38432 203,4 0,95 0,95 1,76 1,76 2,00R038 29 10 57.72422 29.18270117 68 27 23.94495 68.45665137 1596.0568 1.1640 659401.0217 659 7.90043 7,9 0,49 0,49 -2,44 2,44 2,49R038 29 10 57.72070 29.18270019 68 27 24.11220 68.45669783 1594.3830 1.1640 614215.2419 614 7.86230 7,9 0,59 0,59 -6,82 6,82 6,858062 32 48 28.34944 32.80787484 66 1 55.03396 66.03195388 1675.2315 0.2300 352406.7714 352 85.97089 86,0 -2,71 2,71 53,61 53,61 53,68S003 25 1 54.94257 25.03192849 68 13 2.32868 68.21731352 4074.0601 1.3210 547180.1988 547 328.87045 328,9 0,15 0,15 -0,06 0,06 0,165875 32 50 20.72608 32.83909058 66 6 19.31864 66.10536629 1653.0531 0.5100 965808.4716 966 175.22748 175,2 -0,29 0,29 0,09 0,09 0,30S024 24 35 17.02007 24.58806113 67 23 12.17258 67.38671460 3566.9379 1.3330 968432.5677 968 14.53860 14,5 0,29 0,29 0,20 0,20 0,35R038 29 10 57.72120 29.18270033 68 27 23.90517 68.45664033 1595.1843 1.1640 655520.1473 656 10.04907 10,0 0,58 0,58 -1,40 1,40 1,51S003 25 1 54.94137 25.03192816 68 13 2.33918 68.21731644 4073.7537 1.3210 520380.1161 520 328.44661 328,4 0,18 0,18 -0,34 0,34 0,390703 32 57 46.88422 32.96302339 65 58 44.55938 65.97904427 1297.0626 0.0500 963178.0986 963 177.31476 177,3 0,10 0,10 -0,81 0,81 0,815902 32 48 41.47815 32.81152171 66 2 57.57059 66.04932516 1782.5765 0.0500 303893.3304 304 85.85053 85,9 0,32 0,32 0,00 0,00 0,325902 32 48 41.47815 32.81152171 66 2 57.57059 66.04932516 1782.5765 0.0500 303893.3304 304 85.85053 85,9 0,32 0,32 0,00 0,00 0,32M118 35 53 0.40128 35.88344480 69 29 51.64970 69.49768047 2179.6018 1.2440 749270.4468 749 187.22168 187,2 1,59 1,59 2,46 2,46 2,947798 32 47 50.40962 32.79733600 66 3 38.91601 66.06081000 1765.9796 1.0000 795441.7844 795 168.17071 168,2 -0,10 0,10 0,11 0,11 0,15C157 28 42 53.82409 28.71495114 65 19 26.02783 65.32389662 495.9083 1.1530 482966.4154 483 144.95396 145,0 -0,13 0,13 0,13 0,13 0,18M104 35 36 28.50344 35.60791762 69 30 29.57392 69.50821498 1406.1244 0.9480 719747.8896 720 192.07780 192,1 0,26 0,26 -0,49 0,49 0,555902 32 48 41.48917 32.81152477 66 2 57.57048 66.04932513 1783.4450 0.0000 923255.7352 923 165.19613 165,2 -0,01 0,01 0,00 0,00 0,015902 32 48 41.48741 32.81152428 66 2 57.57173 66.04932548 1783.1451 0.0000 951465.6071 951 167.22656 167,2 0,04 0,04 -0,03 0,03 0,055902 32 48 41.48448 32.81152347 66 2 57.56800 66.04932444 1783.2434 0.0000 906350.3752 906 166.34619 166,3 0,13 0,13 0,06 0,06 0,15M076 35 7 21.63561 35.12267656 70 11 12.32626 70.18675729 2732.3335 1.5520 837271.9794 837 193.66329 193,7 0,06 0,06 0,16 0,16 0,17M077 35 0 30.16535 35.00837926 69 48 51.61897 69.81433860 2618.4769 1.1560 816953.8715 817 191.57850 191,6 -0,09 0,09 0,17 0,17 0,195902 32 48 41.48962 32.81152489 66 2 57.56114 66.04932254 1783.3551 0.0000 935105.8544 935 165.81569 165,8 -0,02 0,02 0,24 0,24 0,245921 32 49 48.24856 32.83006905 66 0 19.84352 66.00551209 1679.3121 0.8300 843738.7720 844 173.29465 173,3 0,29 0,29 0,05 0,05 0,30M049 33 56 53.06348 33.94807319 69 4 40.55751 69.07793264 1105.7015 1.3850 1295963.6516 1296 197.35393 197,4 -0,05 0,05 0,31 0,31 0,31M085 35 10 10.57091 35.16960303 69 52 46.74603 69.87965168 1907.9992 1.1150 835631.5484 836 191.71136 191,7 0,00 0,00 0,34 0,34 0,34PT31 30 22 32.67701 30.37574361 69 35 11.02562 69.58639601 3537.3735 0.6330 686877.1124 687 203.16509 203,2 -0,01 0,01 -0,49 0,49 0,495902 32 48 41.51102 32.81153084 66 2 57.51226 66.04930896 1777.4397 0.0500 307383.7931 307 82.10150 82,1 -0,66 0,66 1,47 1,47 1,615902 32 48 41.51102 32.81153084 66 2 57.51226 66.04930896 1777.4397 0.0500 307383.7931 307 82.10150 82,1 -0,66 0,66 1,47 1,47 1,61T32O 29 12 21.76351 29.20604542 69 52 54.34694 69.88176304 4165.2171 0.3000 451830.8695 452 201.99967 202,0 0,76 0,76 2,43 2,43 2,54M128 36 3 51.78328 36.06438424 68 58 3.74183 68.96770607 1497.2999 1.0090 764393.3265 764 183.46038 183,5 1,64 1,64 2,45 2,45 2,955916 32 49 59.13284 32.83309245 66 2 59.19177 66.04977549 1765.2000 1.5000 924306.4868 924 172.02813 172,0 175,56 175,56 -65,14 65,14 187,25

Ejemplo de datos de un registro de la base.


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Registro de cada vector medido en el campo

Base PR29 Remota PR06 Tipo 1Latbase 24 43 42.47790 Latrem/calc 32 49 28.65285 Geom 0.198179Latbase 24.72846608 Latrem/calc 32.82462579 Cantid 1555Lonbase 66 47 38.09100 Lonrem/calc 65 58 18.95973 rms 0.130064Lonbase 66.79391417 Lonrem/calc 65.97193326Cotabase 3809.3790 Cotatr/calc 1584.7646Antbase 1.1460 Antrem 0.5000 ratio 56.575

sx 0.010sy 0.021

Remota PR06 Distancia 9000523.5155 sz 0.018Lat0 32 Azimut 175.08258Lat' 49 Delta N-S -0.66492 fecha 1998/02/04Lat" 28.63068 Delta E-W 0.320772202 h ini 18Lon0 65 Delta altura -1.5113 m ini 45Lon' 58 ppm planim 0.819801175 h fin 20Lon" 18.97246 ppm altim -1.678246014 m fin 31Altura 1583.2533 min. De inf. 106 tot m 106

Vista general de una muestra de registros de base


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CONTROL DE CALIDAD DE MODELOS NUMÉRICOS DE BASES DEDATOS EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICOS

José Francisco Zelasco 1-2-3

Myriam Nuñez 4

1- Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires.2- Laboratorio de Esteriología, Dto. de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires.3- Facultad de Ciencias Exactas, Universidad del Centro de la Provincia de Buenos Aires.4- Facultad de Farmacia y Bioquímica, Universidad de Buenos Aires.

Resumen

Los modelos numéricos de terreno almacenados en sistemas de informacióngeográficos no tienen, normalmente, el mismo error en altimetría que enplanimetría. Después de haber encarado varias soluciones derivadas de estudiosde error en planimetría, y realizar diversas simulaciones con resultados nosatisfactorios, se decidió estudiar el problema desde otra óptica. La soluciónpropuesta consiste en determinar los parámetros de las elipses o de los elipsoidesde error centrados en la superficie de referencia.

Primeramente, y en lo que concierne a este artículo, el estudio se limitó aelipses de error centrados en perfiles de referencia. Se determinan los parámetrosde dicha elipse a partir de la distancia que separan tangentes a la elipse del centrode la misma. Notemos que esta distancia es la raíz cuadrada de la varianzamarginal en la dirección de la tangente. Se generaliza a los elipsoides derevolución. Es el caso en que el error en planimetría tiene el mismo valor en todaslas direcciones del plano horizontal (no es el caso de los MNT producidos v.g. porinterferometría radar).

Finalmente, para evaluar los tres parámetros de un elipsoide, caso en el quelos errores son diferentes en las tres direcciones, se observa que la cantidad depuntos necesaria para la simulación es importante y la superficie debe ser muyaccidentada. En caso contrario es muy difícil estimar los errores en x e y. Sinembargo, en todos los casos, ya sea que se trate de un elipsoide de revolución ono, la estimación del error en z (altimetría) da resultados muy satisfactorios.

Abstract

In a Digital Elevation Model (DEM) the mean square error has not necessarilythe same value in height and in the horizontal direction. We have tried severalsolutions for evaluating these errors separately. These solutions were derived fromstudies concerning the error in the horizontal plane. The quality of these solutions,evaluated by simulations, is not very up to standard. We try a new way that is toevaluate the parameters of the ellipsoid error centered in the reference surface. In afirst step, we limit our study to the ellipse error; then, we generalize the result to therevolution ellipsoid.


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We find out the ellipse parameters by calculation using the distancesbetween the tangent to the ellipse and the line passing through the center of theellipse and parallel to the tangent. These distances are the mean squares ofdistances between the points of the DEM and the reference profile in the tangentdirection. We show that this distance is also the square root of the variance in thetangent direction. This mean square solution is canonical. When the error inplanimetry is not the same in the x and in the y axes, we need an important numberof points and a quite rough surface for an acceptable estimation. The simulationresults in several cases are adequate and satisfactory.

Palabras clave: Calidad MNT, Control superficies, MNT, estimador mínimoscuadrados.

Introducción

Las diversas técnicas utilizadas para generar modelos de terreno producennormalmente dos tipos de error en altimetría y en planimetría. En fotografías aéreasy teledetección se han realizado estudios para estimar a priori esos errores, pero noexiste conocimiento de métodos eficaces para controlar la calidad, a posteriori, demodelos numéricos mediante estas técnicas.

El control de cartas a partir de una cierta referencia, es decir, el control aposteriori de la calidad geométrica de las cartas, es un problema que después demuchos años ha acaparado la atención de los investigadores. Varias fueron laspropuestas: el control puntual, el control lineal y otros métodos. En efecto,anteriormente, el control a partir de una referencia se resolvía mediante el controlpuntual, pero se ha demostrado [Abbas, 1994 – Grussenmeyer 1994 – Hottier,1996], después de muchas experiencias, que no es adecuado. Entre otros: laelección de puntos homólogos entre la carta (modelo a evaluar) y la referencia, laexistencia de puntos aberrantes, la sistematización, y la no verificación de leyesestadísticas clásicas sobre los errores accidentales.

A partir de ahí, la literatura propone algunos métodos de calidad pococonvincentes según [Abbas, Grussenmeyer y Hottier 1994]: criterio de superficie,“Spurious polygons”, el método de la banda ε, etc., para finalmente caer en elmétodo lineal que se aplica a la planimetría. Este método se basa en la utilizaciónde la distancia de Hausdorff entre el contorno de la carta (modelo) y el contorno dereferencia [Hottier, 1996]. Recordemos que la distancia de Hausdorff entre 2objetos definidos como un conjunto de puntos es la mayor de todas las pequeñasdistancias de cada punto de un conjunto con respecto a los puntos del otroconjunto. Luego, la distancia de Hausdorff no es necesariamente una funciónsimétrica.

Se ha probado [Grussenmeyer, 1994 – Hottier 1996b] que el método decontrol lineal es un método de control de calidad eficaz en planimetría. No obstante,


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el método de control lineal que parece muy útil para determinar la precisióngeométrica de las cartas a pequeña escala, no puede aplicarse a la altimetría.

Extensión a la altimetría

Para la extensión a la altimetría pueden considerarse dos casos:• caso de líneas homólogas.• caso de modelos numéricos de terreno.

En este trabajo nos interesaremos en los modelos numéricos de terreno ydespués de que hayamos podido determinar las líneas homólogas a partir de MNT(líneas de cresta, líneas de talweg, etc.) habremos analizado el problema y noslimitaremos a los puntos. Notemos que para los perfiles, pueden considerarse losdos casos: el caso de las líneas homólogas y el caso de MNT. En efecto, por unlado podemos considerar los dos perfiles como líneas correspondientes, por otrolado podemos considerar el caso hipotético, y más bien teórico (por ejemplo:modelo numérico del eje de una ruta), dentro del cual el modelo numérico deterreno se reduce a un perfil tan bueno para los modelos a evaluar como para lareferencia.

En el caso del control lineal en planimetría, la distancia de Hausdorff da unvalor proporcional al error planimétrico. Sin embargo, aplicado a dos perfileshomólogos, según nuestras simulaciones, las componentes en altimetría y enplanimetría del vector distancia Hausdorff no toman los valores esperados.

El problema de evaluación de la calidad de un modelo numérico encomparación a una referencia, permanece entonces abierto. Desarrollaremos unpaso para evaluar la calidad geométrica de los modelos numéricos. Presentaremos,en una primera etapa, el paso geométrico que converge a la solución y después,los principios estadísticos sobre los cuales se basa el estimador propuesto. Luegodescribiremos los métodos de simulación teniendo en cuenta ciertos efectos deborde. Finalizaremos con la presentación de tablas de simulación, con el análisis delos resultados.

Calidad geométrica de los modelos numéricos: error en altimetría y enplanimetría

Presentación de la solución propuesta.

Si suponemos conocido el error en planimetría y en altimetría de un modelonumérico de superficie, es posible construir una elipsoide de error centrada sobrecada punto de la superficie. Como veremos, la superficie envolvente del conjuntode estas elipsoides corresponde a la media cuadrática de las distancias de lospuntos del modelo numérico a la superficie de referencia en las diferentesdirecciones que adopte la componente del vector error en la dirección normal a lasuperficie.


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Presentaremos los fundamentos estadísticos y finalmente probaremosmediante diferentes simulaciones la buena calidad del estimador que hallamos.

Los fundamentos estadísticos.

Se trata de determinar σp2 (planimetría) y σz

2 (altimetría) y, en los casosexcepcionales determinar σx

2 , σy2 , σz

2 .

Recordemos:

Tomemos una matriz diagonal de varianza σ2 de una variable aleatoriatridimensional:

3

2

12

000000

λλ

λσ =

donde: λ1 = σx2 ; λ2 = σy

2 ; λ3 = σz2

En un nuevo referencial la matriz de varianza – covarianza será: σref2 = Uσ2UT

U: matriz ortogonal, sus filas son las componentes de los nuevos ejes sobre losviejos ejes.

Sobre un nuevo eje x’ el valor de la varianza será, entonces:

2213

2212

2211

2' zyxx aaa σσσσ ++= (1)

donde 213

212

211 ,, aaa son los cuadrados de los cosenos directores de los vectores

unitarios en la dirección de 2'xσ .

Pero, la varianza en una dirección cualquiera i es: ∑ 21ie

nLa raíz de la varianza en la dirección x’ es igual a la distancia entre el plano quepasa por el centro del elipsoide de parámetros a = 'xσ b = 'yσ c = σz y un planoparalelo a este y tangente al elipsoide (por definición de varianza marginal en unadirección dada).

Basta entonces con tomar como estimador de la varianza marginal a los valores dedistancia di para poder expresar la ecuación:

γσβσασ 2222222 coscoscos zyxid ++= (2)

Esto se justifica debido a que es suficiente agrupar los n di en la misma direcciónpara obtener su suma:


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22222222 coscoscos izyxi nnnnd σγσβσασ =++=∑

El plano que pasa por el centro del elipsoide es aquel definido por trespuntos del modelo numérico de referencia ya que el punto exacto correspondienteal modelo numérico a evaluar se encuentra sobre la superficie definida por lareferencia. Esta superficie estará entonces definida por triángulos.

Si los errores en planimetría son independientes de la dirección, el problemase puede ver como bidimensional. Para determinar α (bidimensional), tomemos ladirección de la pendiente máxima sobre cada plano (ver Figura 1).Dado que:

γσβσασ 2222222 coscoscos zyxid ++=

γσβσασ 2222222 coscoscos zyxid ++=

di2 = σp

2 (cos 2 α + cos 2 β )+ σz2 cos 2 γ

di2 = σp

2 sin2 γ + σz2 cos 2 γ

Luego, p2 es la variancia en planimetría.

El estimador es entonces:ασασαα 2222222 coscos zp senAsenBd +=+= (3)

Figura 1: Elipsoide de revolución.

En efecto, la distancia de un punto del modelo a evaluar en la superficie dereferencia es un elemento de la muestra que permite determinar la varianzacorrespondiente a la dirección de la recta x’, siempre constante si el ángulodeterminado por la recta x’ y la recta vertical (coincidente con la dirección z de laelipse generatriz) es la misma. Lo mismo si tomamos:

σx2 = σy

2 en la fórmula general tendríamos, entonces, α = 90° - γ. La dirección αcorrespondiente es, por lo tanto, aquella de pendiente máxima del plano dereferencia.

Como expresado en tres dimensiones se podrían agrupar las ecuacionesque tienen los mismos valores de dirección α (ó los valores de direcciones muypróximas), calcular la media cuadrática d2 y dar a la nueva ecuación un peso


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proporcional a la cantidad i de distancias en cada dirección α dada, pero, esevidente que el resultado del estimador por cuadrados mínimos será el mismo.

Es interesante de verificar, que esta fórmula permite obtener los parámetrosa y b de una elipse a partir de un conjunto de puntos que la describen de una formaaproximada. Es suficiente tomar cada valor igual a la dirección determinada por losdos puntos Pi-1 y Pi+1 que se encuentra de cada lado del punto Pi elegido, ysuficientemente próximo de él. Y d será la distancia entre el punto Pi y una recta dedirección α que pase por el origen. Muchos métodos pueden utilizarse paradeterminar este origen.

Simulaciones

Al comienzo hicimos las simulaciones sobre los perfiles homólogos, si elerror en planimetría es independiente de la dirección, el problema puede serconsiderado como bidimensional. A partir de los perfiles de referencia generamoslos puntos del modelo a evaluar. Para esto utilizaremos el método de Box yMüller que permite generar variables aleatorias normales N(0;1) [Hottier, 1996b].Sean U y V dos variables uniformes de intervalo [0,1], las variables X e Y sonN(0,1):

VUX π2cos)ln2( 2/1−=VsenUY π2)ln2( 2/1−=

Para evaluar la bondad de nuestro método desarrollaremos una aplicaciónque permita medir las distancias de los puntos al sistema de referencia. Ladirección α tiene una distribución uniforme entre dos valores preestablecidos quepermiten simular los perfiles más o menos accidentados. Luego, con la distancia decada uno de sus puntos al perfil de referencia y la dirección α, obtenemos unsistema de ecuaciones prolífico. Por otra parte habíamos aplicado al método demínimos cuadrados para obtener los parámetros a y b de la elipse o de la elipsoide–de revolución– de error.

De manera análoga hicimos la simulación en 3D, pero la cantidad de puntosnecesarios para la simulación debe ser importante y la superficie muy accidentada.El caso es delicado, son difíciles de estimar separadamente los errores en x y en y.Finalmente comparamos los valores obtenidos por aquel método - σp

2 y σz2 – con

los valores introducidos para realizar el ruido, o más bien, con los valores obtenidosdirectamente de la muestra de los puntos ruidosos.

En efecto, se puede proceder al cálculo de la media de los errores enplanimetría y en altimetría de la muestra de los puntos generados aleatoriamente.Estos últimos son ligeramente diferentes de los valores introducidos en la fórmulade Box y Müller σp y σz. En todos los casos, los valores estimados para el error enaltimetría son extremadamente próximos a los valores de la muestra. La buenacalidad del estimador en planimetría (o en x e y en el caso 3D), depende de los


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coeficientes -α u otros- adoptados por simular un terreno más o menosaccidentado.

Existen ciertos problemas de borde que pueden evitarse. Es suficiente sacarlos puntos que se encuentran próximos, ya sea del extremo del segmento en elcaso de los perfiles, ya sea cerca del borde de los triángulos en el caso en que elerror planimétrico sea anisótropo.

La noción de proximidad está ligada al error esperado en planimetría o al errorobtenido sin tener en cuenta los problemas de borde. La distancia límite aceptablede los puntos del borde podría ser del orden de 2 ó 3 veces esos errores. (Figura2).

Figura 2: En este esquema el punto Pi es aceptado y el punto Pj es rechazado.

Resultados

∆σz (%) y ∆σp (%) son los errores relativos (porcentajes) de la estimación delmétodo propuesto por la distribución de la muestra. Para cada test, se hanrealizado siete ensayos para mostrar las variaciones. El intervalo angularexpresado en grados.

Test 1:

Cantidad de puntos: 500 ; σp : 15 ; σz : 10; (σp > σz) y terreno poco accidentado:intervalo angular: -10/10.Distribución de la muestra: σp : 14,84 ; σz : 9,89; (resultado real del ruido).

∆σz (%) 1,12% 3,82% 2,20% 0,77% 3,15% 0,32% 2,22%∆σp (%) 38,61% 50,36% 84,00% 15,13% 70,23% 4,31% 27,56%

Terreno plano: resultados en planimetría no satisfactorios.

Test 2:

Cantidad de puntos: 500 ; σp : 10 ; σz : 15; (σp < σz) y terreno poco accidentado:intervalo angular: -10/10.Distribución de la muestra: σp : 9,58 ; σz : 15,26; (resultado real del ruido).


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∆σz (%) 1,92% 3,68% 2,11% 2,5% 7,57% 5,10% 5,52%∆σp (%) 205,16% 354,23% 260,26% 237,66% 524,0% 412,33% 410,80%

Terreno plano y con σp < σz resultados en planimetría son muy malos.

Test 3:

Cantidad de puntos: 500 ; σp : 15 ; σz : 10; (σp > σz) y terreno ligeramenteaccidentado: intervalo angular: -20/20.Distribución de la muestra: σp : 14,84 ; σz : 9,89; (resultado real del ruido).

∆σz (%) 2,23% 3,93% 3,23% 2,56% 0,69% 3,26% 4,78%∆σp (%) 15,83% 51,10% 33,74% 20,14% 15,16% 13,58% 83,57%

Terreno ligeramente accidentado: resultados en planimetría no satisfactorios.

Test 4:


∆σz (%) 2,20% 2,14% 0,52% 4,07% 6,47% 5,76% 0,96%∆σp (%) 7,03% 10,29% 41,71% 70,89% 144,65% 111,04% 7,87%

Terreno plano: resultados en planimetría no satisfactorios.Test 5:


∆σz (%) 0,70% 0,88% 2,76% 4,10% 0,94% 2,50% 5,56%∆σp (%) 9,08% 15,71% 32,17% 49,50% 6,32% 39,48% 44,29%

Terreno ligeramente accidentado: resultados en planimetría no satisfactorios.

Test 6:



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∆σz (%) 0,57% 0,70% 0,32% 1,33% 0,33% 1,80% 0,21%∆σp (%) 26,18% 18,28% 2,82% 56,66% 12,24% 12,28% 7,56%

Terreno plano: resultados en planimetría no satisfactorios.

Test 7:


∆σz (%) 2,52% 0,91% 2,11% 2,74% 0,93% 3,27% 1,46%∆σp (%) 46,73% 6,76% 16,91% 18,27% 6,32% 33,49% 16,86%

5000 puntos, terreno ligeramente accidentado: resultados alentadores.

Test 8:

Cantidad de puntos: 5000 ; σp : 10 ; σz : 10; (σp < σz) y terreno bastanteaccidentado: intervalo angular: -30/30.Distribución de la muestra: σp : 10,03 ; σz : 15,03; (resultado real del ruido).

∆σz (%) 0,87% 1,43% 0,48% 0,97% 2,88% 1,69% 0,72%∆σp (%) 11,02% 9,17% 0,78% 4,78% 18,00% 5,36% 2,83%

5000 puntos, terreno bastante accidentado: resultados satisfactorios en planimetría,también con (σp < σz).

Test 9:

Cantidad de puntos: 10000 ; σp : 10 ; σz : 10; (σp = σz) y terreno bastanteaccidentado: intervalo angular: -30/30.Distribución de la muestra: σp : 9,95 ; σz : 10,06; (resultado real del ruido).

∆σz (%) 0,37% 1,26% 0,62% 0,01% 1,57% 0,11% 0,67%∆σp (%) 0,90% 9,72% 6,48% 3,30% 8,84% 1,96% 7,32%

10000 puntos, terreno bastante accidentado: resultados satisfactorios enplanimetría, con (σp = σz).

Análisis y Conclusiones

El análisis de los resultados tomados de las tablas precedentes conduce alas siguientes conclusiones: la diferencia, entre los resultados en altimetría,obtenidos por el estimador propuesto en este artículo y el valor de la muestra,excede muy raramente el 10%. Además, en función de la cantidad de puntos (1000


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ó más) esas diferencias son francamente inferiores al 1%. La estimación de loserrores en altimetría es además, muy satisfactoria también en los casos de losterrenos muy accidentados.

Los métodos simples (por ejemplo: medida de las distancias verticales entreel modelo y la referencia) no dan buenos resultados en terreno accidentado.Recordar que existen métodos para estimar error altimétrico cuando la superficie esplana o ligeramente ondulada, pero la literatura no menciona métodos satisfactoriospara estimar el error planimétrico haciendo intervenir un muestreo representativo.

En planimetría, aunque el problema sea resuelto para planos y cartas, enrelación con una referencia, con el método de la distancia de Hausdorff, cuandoéste se aplica a los MNT no parece dar resultados satisfactorios. Sin embargo, elestimador presentado en este artículo da buenos resultados, bajo ciertascondiciones: terreno suficientemente accidentado y cantidad de puntos abundante.Estos resultados parecerían ser aún mejores si el error en planimetría es superior alerror en altimetría.

En el caso de MNT obtenido por interferencia de Radar donde el error en Xes normalmente diferente al error en Y, necesitaremos de un terreno que presentefuertes irregularidades y de una cantidad considerable de puntos, para que losresultados obtenidos tengan una distancia relativa inferior al 10 ó 15%. Porsupuesto, hay que tener presente la correlación de la altimetría con el eje Y enplanimetría (normal al plano definido por la trayectoria del satélite y su traza en elplano XY).

Con las dos semillas de puntos, el del modelo y el de la referencia, esconveniente notar, finalmente, que la aplicación informática que permite estimar loserrores del modelo en comparación a la referencia, no posee problemas mayores.

Presentamos en Tabla I y II la síntesis de los tests elaborados y los gráficosde las Figuras 3 y 4.

La desviación estándar normal real de las muestras es conocida. En todoslos casos se observó que los valores de discrepancias (∆σα % entre el valor real dela muestra y el estimado con el método acá propuesto) parece poco dependientedel tipo de terreno, mientras que el comportamiento en la evaluación de σπ es muysensible y dependiente de la irregularidad, como se puede ver en las Tablas I y II.Las discrepancias en altimetría y planimetría según los casos se observan en losgráficos de las Figuras 3 y 4.


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Errores apriori

σα’=10, σπ’=15 σα’=15, σπ’=10

Muestra σα=10.18, σπ=15.02 σα=15.09, σπ=10.11Terreno Plano Ondulado Plano OnduladoAngulo [-10,10] [-20,20] [-10,10] [-20,20]

# ∆σα % ∆σπ % ∆σα % ∆σπ % ∆σα % ∆σπ % ∆σα % ∆σπ %Angulo 0.62 77.65 0.24 30.76 2.20 7.03 0.70 9.08

2 3.05 288.10 2.48 20.27 2.14 10.29 0.88 15.713 1.82 176.35 1.39 7.01 0.52 41.71 2.76 32.174 1.75 149.62 1.45 43.37 4.07 70.89 4.10 19.505 4.81 357.83 2.99 97.54 6.47 144.65 0.94 6.326 7.58 79.27 0.106 19.29 5.76 111.04 2.50 39.487 0.19 20.96 2.52 68.44 0.96 7.87 5.56 44.29

TABLA I: Discrepancias (%) entre "muestra" y "a posteriori" desviación estándar normal con 1000 puntos.

ErroresA priori

σα’=10, σπ’=15 σα=15, σπ’=10

Muestra σα=10.18, σπ=15.02 σα=15.09, σπ=10.11Terreno Plano Ondulado Accidentado Plano Ondulado AccidentadoAngulo [-10,10] [-20,20] [-30,30] [-10,10] [-20,20] [-30,30]

# ∆σα %

∆σπ %

∆σα

%∆σπ %

∆σα %

∆σπ %

∆σα %

∆σπ %

∆σα %

∆σπ %

∆σα %

∆σπ %

1 0.90 87.67 0.95 51.16 0.87 11.02 0.57 26.18 2.52 46.73 0.42 3.302 0.26 11.53 1.65 44.92 1.43 9.17 0.70 18.28 0.91 6.67 0.27 1.023 1.00 127.53 0.68 41.28 0.48 0.78 0.32 2.82 2.11 16.91 1.33 8.874 0.54 93.61 0.29 18.50 0.97 4.78 1.33 56.66 2.74 18.26 0.65 14.035 0.43 56.22 2.50 87.31 2.88 18.00 0.33 12.24 0.93 6.32 0.26 2.776 0.98 72.74 1.89 67.48 1.69 5.36 1.80 12.28 3.27 33.49 0.78 0.887 0.269 11.35 0.83 94.68 0.72 2.83 0.21 7.56 1.46 16.86 1.21 2.208

TABLA II: Discrepancias (%) entre "muestra" y "a posteriori" desviación estándar normal con 5000puntos.

Leyenda: terreno casi plano terreno ondulado terreno accidentado

Figura 3: diagrama de barras para ∆σa % Figura 4: Diagrama de barras para con los datos de la Tabla II, muestra ∆σp % con los datos de la Tabla II σα=10.18, σπ=15.02. muestra:σα=10.18, σπ=15.02.

D i s c r e p a n c I a - a l t I m é t r i c a.

01234

1 2 3 4 5 6 7

m u e s t r a.

D i s c r e p a n c i a - p l a n i m é t r i c a.

0

50100

150

1 2 3 4 5 6 7m u e s t r a.


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Bibliografía

ABBAS IYAD, 1994.Base de données vectorielles et erreur cartographique:problèmes posés par le contrôle ponctuel; une méthode alternative fondée sur ladistance de Hausdorff: le contrôle linéaire. Thèse, Université Paris 7.

ABBAS IYAD, GRUSSENMEYER PIERRE, HOTTIER PHILIPPE, 1994. Base deDonnées géolocalisées: estimation de l'erreur cartographique: une méthode fondésur la distance Hausdorf: le contrôle linéaire. Remarques sur le contrôle ponctuel.Notes de cours, ENSG IGN, France.

DUNN,R., HARRISON,A.R. AND WHITE, J.C., 1990. Positional accuracy andmeasurement error in digital databases of land use: an empirical study. InternationalJournal of Geographic Information Systems 4 (4) : 385- 398.

GRUSSENMEYER PIERRE, HOTTIER PHILIPPE, ABBAS IYAD, 1994. Le contrôletopographique d'une carte ou d'une base de données constituées par voiephotogrammétrique. Journal XYZ 59, Association Française de Topographie, 39-45.

HABIB MOHAMED, 1997. Etude, par simulation, de la précision altimétrique etplanimétrique d'un MNT obtenu par corrélation d'images spatiales (capteur àbalayage) - Précision d’un MNT régulier -Erreur de rendu d'un semis régulier -Description d'une structure de MNT régulier. Thèse, Univerisité Paris 7.

HIRANO AKIRA, WELCH ROY AND LANG HAROLD, 2002. Mapping from ASTERstereo image data: DEM validation and accuracy assessment. Photogrammetry andRemote Sensing, in press.

HOTTIER PHILIPPE, 1996. Qualité géométrique de la planimétrie. Contrôleponctuel et contrôle linéaire. Dossier: La notion de précision dans le GIS, JournalGéomètre 6, juin, Ordre des Géomètres-Experts Français, 34-42.

HOTTIER PHILIPPE, l996. La méthode du contrôle linéaire en planimétrie -Propositions pour une typologie des détails anormaux. Rapport de recherche,ENSG, IGN, France.

HOTTIER PHILIPPE, 1996. Précis de statistiques. ENSG, IGN, France.

LESTER M. AND CHRISMAN, N. 1991. Not all slivers are skinny: a comparison oftwo methods for detecting positional error in categorical maps. GIS/LIS 2 648-656.

ZELASCO, JOSÉ FRANCISCO, ENNIS KEVIN, 2000. Solución de un problema enla estimación de variancias en un caso especial en el que no se pueden aplicarestimadores habituales. XXVIII Coloquio Argentino de estadística, Posadas,Misiones, Argentina.


- 43 -

ZELASCO JOSÉ FRANCISCO, ENNIS KEVIN AND BLANGINO EUGENIA, 2001.Quality Control in Altimetry and Planimetry for 3D Digital Models. 8th EuropeanCongress for Stereology and Image Analysis. Bordeaux, France.

ZELASCO JOSÉ FRANCISCO, 2002. "Contrôle de qualité des modèlesnumériques des bases de données géographiques," Journal XYZ 90, AssociationFrançaise de Topographie, 50-55.


LOCALIZACION DE PUNTOS SINGULARES EN FLUIDOS MEDIANTEIMAGENES DINAMICAS

Tomas Crivelli∗ y Bruno Cernuschi Frıas ∗ †∗Laboratorio de Investigacion en procesamiento de senales e imagenes y redes neuronales, Facultad deIngenierıa, Universidad de Buenos Aires y † CONICET

Resumen:Los campos de flujo deformables constituyen sistemas muy caoticos y los modelos

matematicos que los describen son de una complejidad tal que su analisis se vuelve unproblema complicado. En este contexto, el procesamiento de imagenes dinamicas defluıdos aparece como un enfoque cada vez mas importante de ser abarcado. Presenta-mos aquı un metodo de deteccion de puntos singulares, donde el campo de velocidadesse anula, basado en un estimador afin y robusto de movimiento global. Se describe el al-goritmo y se presentan resultados de su aplicacion a imagenes satelitales meteorologicas.

Abstract:Deformable flow fields are chaotic systems and the mathematical models which de-

scribe them are so complex that its analisys becomes an intricate problem. In this contextdynamic image processing of fluid flows appears as an important tool to be analysed. Wepresent here a method for detecting singular points, where the velocity field becomes null,based on a robust and affine global motion model. The algorithm is described and sup-ported by meteorological images.

INTRODUCCION

El estudio de sistemas fısicos complejos en general implica la necesidad de procesargrandes cantidades de informacion provenientes de la observacion de la naturaleza. Enese sentido, obtener datos concretos y significativos que permitan predecir el compor-tamiento de dichos sistemas se torna una tarea complicada que requiere su procesamien-to automatico en forma eficiente.

El analisis digital de imagenes dinamicas es una herramienta cada vez mas relevantey poderosa para cumplir con esta dificultosa tarea, debido al avance en la potencia decalculo disponible y al desarrollo de algoritmos optimizados para automatizar el procesode estudio de la informacion obtenida.

En este contexto, las imagenes satelitates meteorologicas deben ser procesadas con-tinuamente y en grandes cantidades para el estudio de fenomenos climaticos en formaprecisa, constituyendo un elemento fundamental en cualquier sistema de prediccion entiempo real.

En este trabajo presentamos un algoritmo de estimacion de modelos de movimientoglobal sobre la base de secuencias de imagenes bidimensionales de fluıdos que permitendescribir el campo de velocidades asociado. Se consideran modelos lineales parametriza-dos robustos, basados en las variaciones temporales-espaciales de intensidad de bri-llo entre dos imagenes consecutivas. La obtencion de estos campos de movimiento seconoce como el problema de estimacion del flujo optico (optical flow) (Horn and Schunk,1981).

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A partir de estos modelos, mas alla de la velocidad estimada para cada punto de laimagen, se puede obtener una descripcion del tipo de movimiento (Maurizot 1994,1995)(rotatorio, traslacional, divergente, etc) y especıficamente aquellos puntos donde la veloci-dad se anula, denominados puntos singulares. Si consideramos imagenes de fluidos, en lavecindad de estos puntos es probable que se encuentren vortices generados por ejemplopor centros de baja presion atmosferica y que pueden dar lugar a fenomenos climaticosparticulares. Localizar estos puntos de velocidad nula es, por lo tanto, de gran importancia.

En primer lugar, se describe un algoritmo de estimacion del flujo optico. Se aplicaeste metodo a deteccion de puntos singulares y se presentan resultados sobre imagenessatelitales meteorologicas.

ESTIMACION DE MODELOS LINEALES

MODELO AFIN

Consideremos un modelo afın de la velocidad asociada a cada punto de la imagen. Enconsecuencia podemos escribir:

V(x,y) =[

Vx

Vy

]

= A[

xy

]

+ b (1)

en el que se pueden distinguir dos terminos: el primero, donde A ∈ <2x2 es la matriz de latransformacion afin y X = (x, y)T define un punto sobre la imagen, es el componente develocidad dependiente de la posicion; y el segundo, donde b es un vector independientede X, es un componente de traslacion global.

Un modelo de estas caracterısticas permite simplificar el problema, a la vez que esuna buena aproximacion a la descripcion del flujo optico. Ademas, en el entorno de unpunto singular se puede demostrar que el movimiento real del fluido es topologicamenteequivalente al modelo considerado (Kambe 2002), es decir que la aproximacion lineal esvalida.

El objetivo, entonces, es estimar la matriz A y el vector b utilizando dos imagenesconsecutivas, It y It+1, para que el modelo quede determinado completamente, en elinstante t+1, donde I es la funcion de nivel de intensidad de brillo que representa unaimagen bidimensional. Para ser mas precisos, llamamos I a una region contenida enla imagen considerada, de modo que la estimacion del flujo optico total se realiza porbloques, cada uno con un modelo asociado.

ESTIMACION DE PARAMETROS

Definamos una funcion error para cada punto de la siguiente forma:

ξ(X) = It+1(X + (AX + b)∆t)− It(X) (2)

donde para una secuencia discreta consideraremos que ∆t = t + 1 − t = 1. Esta funcionda la diferencia de intensidades entre un punto de la primera imagen y la posicion en lasegunda hacia donde el modelo estima que se ha desplazado. Para poder decir esto,

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estamos haciendo una suposicion que no es trivial: el punto que se desplaza no varıasu intensidad (Odobez 1994, Horn 1981). Sin embargo lo normal es que en la escenahaya cambios de luminosidad, efecto particularmente presente en imagenes satelitales.En consecuencia introduciremos un nuevo parametro εt(X) a estimar, que tiene en cuentael cambio de intensidad para el punto considerado ubicado en X, entre dos instantesconsecutivos. Es decir que (2) la escribiremos como:

ξ(X) = It+1(X + (AX + b))− It(X) + εt(X) (3)

Podemos definir nuestro modelo optimo como aquel que minimiza la suma de las fun-ciones error cuadratico para todo punto de la imagen:

E =∑

X∈I

ξ(X)2 (4)

Sin embargo esta claro que el problema de minimizar la ecuacion (3) es altamente nolineal debido a que la funcion I tiene una forma arbitraria. Para solucionar esto, podemoslinealizar la ecuacion en cada punto X y aplicar un proceso de estimacion incremental quesucesivamente aproxime el modelo a la solucion optima (Odobez 1994,1995).

Para un punto del fluido que se desplaza por la imagen escribimos la variacion temporaltotal de intensidad debido a las variaciones parciales temporales y espaciales, es decir(Horn, 1981):

dIt(X)dt

=∂X∂t

∂It(X)∂X

+∂It(X)

∂t= VT

t (X)∇It(X) + It(X) (5)

donde Vt es la velocidad del punto X en el instante t, ∇It(X) es el gradiente espacial deintensidad y It(X) es la derivada parcial temporal de It(X). Supongamos una variacionde intensidad temporal constante igual para todo punto de modo que εt(X) = εt:

VTt (X)∇It(X) + It(X) = εt (6)

Considerando el modelo (1) podemos escribir (6) de la siguiente forma:

(XTAT + b)∇It(X) + It(X) = εt (7)

A =(

a11 a12

a21 a22

)

, b =(

b1

b2

)

Esta ecuacion podemos reescribirla como en Odobez (1994):

ΘT

(

MT (X)∇It(X)−1

)

+ It(X) = 0 (8)

en donde:

ΘT =(

b1 a11 a12 b2 a21 a22 εt)

, MT(X) =(

1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

)

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La ecuacion (8) es valida para un unico punto X. Tendremos en consecuencia n ecua-ciones de este tipo, siendo n la cantidad de puntos considerados. Podemos, como hicimosantes, definir una funcion error que llamaremos residuo:

r(X) = ΘTU(X) + It(X) (9)

U(X) =(

MT (X)∇It(X)−1

)

buscando minimizar la suma de los cuadrados de error para todo punto de la imagen:

E =∑

X∈I

r(X)2 (10)

Se trata de un problema de cuadrados mınimos donde el modelo estimado Θ queminimiza E esta dado por:

Θ =[

ΦTΦ]−1

ΦT∑

X∈I

U(X)It(X) (11)

Φ =∑

X∈I

U(X)U(X)T

ENFOQUE INCREMENTAL

Cabe destacar que todo el desarrollo anterior se basa en la condicion (6). Sin embar-go muchas veces ocurre que esta aproximacion no es valida cuando los desplazamientosson grandes; en ese caso el problema se debe remitir a la ecuacion (3), donde no se hizoninguna otra suposicion ademas de considerar un modelo afin.

Podemos decir que el resultado (11) es correcto si consideramos un entorno pequenodel punto X (Maurizot). De esta forma adoptamos un algoritmo de estimacion incrementalaproximando la ecuacion (3) por una expansion de primer orden.

Sea Θ un estimado del modelo Θ tal que Θ = Θ+ ∆Θ. Dada la estimacion actual nosencontramos ubicados en el punto X + AX + b para t + 1, y aproximando en primer ordenpara un punto X + AX + b + ∆AX + ∆b

ξ(X) ∼= It+1(X + (AX + b))− It(X) + εt +∇It+1(X + (AX + b))∆X

∆X = ∆AX + ∆b

Reordenando terminos se puede llevar esta ecuacion a la forma de (9):

ξ(X) = ∆ΘT˜U(X) + It+1(X + (AX + b))− It(X) + εt (12)

y minimizar la suma de errores cuadraticos como en (10) para obtener una estimacionde ∆Θ donde ˜U(X) es equivalente a U(X) pero para t + 1 y en el punto X + AX + b.Iterativamente se corrige la estimacion del modelo con los sucesivos incrementos hastaque el algoritmo converge al Θ optimo. El proceso es iniciado con el estimador dado por(11).

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ESTIMACION ROBUSTA MULTIRESOLUCION

La estimacion incremental se realiza siguiendo un enfoque multiresolucion: se cons-truye una piramide de imagenes (Burt and Adelson, 1983) cada una con mayor resolucionque la superior, sobre las cuales se aplica el algoritmo propagandose el estimado hastallegar a la imagen original. Esto permite lidiar con grandes desplazamientos a la vez queacelera la convergencia del proceso, ya que en los niveles mas altos se logra estimar loscomponentes de movimiento mas generales rapidamente, debido a la menor cantidad depuntos considerados, dejando el refinamiento de la estimacion a los niveles bajos.

El proceso de minimizacion presentado en la seccion anterior, se realiza en formarobusta de manera que los puntos que se alejan demasiado del modelo tienen menorpeso en el proceso de estimacion. Es decir que (10) se escribe de la siguiente forma:

E =∑

X∈I

r(X)2 =∑

X∈I

w(X)r(X)2 (13)

Los pesos w(X) se calculan iterativamente (Odobez, 1994) utilizando el estimadorrobusto de Tukey (Hubert, 1981).

DETECCION DE PUNTOS SINGULARES

Una vez obtenido el modelo afin para una region dada de la imagen, podemos encon-trar aquellos puntos X donde la velocidad se anula. Utilizando (1) podemos escribir:

X = −A−1b (14)

Hay dos parametros fundamentales en el proceso de localizacion, de los cuales de-pende el funcionamiento del algoritmo: el tamano de la region o ventana donde se estimael modelo y la posicion de dicha ventana. Es importante lograr ajustar estos parametroscorrectamente hasta encontrar un punto singular con error acotado y donde la aproxi-macion lineal sea valida.

Inicialmente la imagen se divide en N bloques iguales los cuales son procesados unoa la vez. El algoritmo converge para cada bloque cuando el tamano y la posicion de laventana no debe ser modificada en la siguiente iteracion.

Algoritmo de detecci on

Supongamos que en el paso k del algoritmo contamos con un modelo (A y b) de la ve-locidad para una ventana Vk, con centro Ck y tamano Tk. El punto singular X se obtiene de(14). Si dicho punto se encuentra dentro de la ventana Vk , tomaremos como nuevo centroCk+1 = X. En caso que X se estime fuera de la ventana actual, se considerara comonuevo centro a la interseccion del segmento que une Ck y X con el borde de la ventanaϑV (Maurizot 1994,1995). Se opta por esta decision mas conservadora que mover el cen-tro directamente al punto singular ya que puede ocurrir que X no represente un punto develocidad nula real del fluido y la ventana comience a trasladarse en forma erratica por laimagen.

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Ahora debemos determinar el tamano Tk+1 de la nueva ventana. Por un lado debe sersuficientemente grande como para acotar la varianza de la estimacion y por otro la regionconsiderada no debe extenderse demasiado de modo que el modelo lineal sea valido.Asociado al modelo, se obtienen las incertezas de los parametros, y a partir de estos sepuede calcular la varianza de la estimacion de X, suponiendo que los mismos siguen unadistribucion Gaussiana. En consecuencia se puede hacer la siguiente aproximacion paralos intervalos de confianza: ∆aij ≈ 3∗σaij y ∆bi ≈ 3∗σbi. Podemos calcular ∆X utilizando(14):

∆X = ∆A−1 | b | + | A−1 | ∆b (15)

donde | M | representa el valor absoluto de cada componente de M . La varianza delos parametros esta dada por la diagonal de la matriz de covarianza C del estimador decuadrados mınimos:

C = σ2rΓ

−1 (16)

Γ =∑

X∈V

UUT

siendo σ2r la varianza de los residuos.

Combinando (15) y (16) se puede obtener σx y σy de los componentes de X: σx ≈ 3∗∆xy σy ≈ 3 ∗∆y. Ahora que conocemos la varianza del punto singular estimado, aplicamosel siguiente proceso de decision para determinar el tamano Tk+1. Tomamos un conjuntode tres tamanos posibles T p

k+1 de la siguiente forma:

T 1k+1 =

23Tk , T 2

k+1 = Tk , T 3k+1 =

32· Tk

y elegimos la ventana mas grande posible, TMk+1 tal que se cumpla:

‖ XMk+1 −Xp

k+1 ‖2≤ k ∗ σ2(Xpk+1) ∀ p < M (17)

siendo Xpk+1 el punto singular calculado para la ventana Vk+1 de tamano T p

k+1. El valorde k se toma entre k = 4 y k = 8. Este criterio tiene la siguiente justificacion: mientraslos puntos estimados entre dos ventanas de distinto tamano no esten muy distantes entresı se puede considerar que el modelo describe correctamente el movimiento, y en conse-cuencia podemos utilizar una ventana mayor para disminuir la varianza de la estimacion.Si los puntos se encuentran alejados, significa que la estimacion esta muy sesgada, esdecir la aproximacion lineal no es valida y debemos considerar una region mas pequena.

El algoritmo se resume a continuacion:

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1. i = 12. Para el bloque Bi computar el modelo3. para k ≥ 1

Calcular Xk

Si Xk ∈ Vk ⇒ Ck+1 = Xk

de otra forma Ck+1 = ( ~CX) ∩ ϑVk

Tk+1 ⇒ ec.(17)Xk+1 = −A−1b

5. repite 3 hasta Vk+1 = Vk.6. repite 2 con i = i + 1, hasta i=N

EXPERIMENTOS CON IMAGENES METEOROLOGICAS

Se aplico el algoritmo de deteccion de puntos singulares en imagenes reales, sobrelas cuales se observan zonas de gran vorticidad. Se consideraron bloques iniciales deprocesamiento de [50x50] pixels de la imagen original.

En la figura (1), se representan los campos de movimiento estimado para la regionindicada sobre la imagen conrrespondiente. Notar como el movimiento global rotacionales capturado por el algoritmo, asi como el punto de velocidad nula.

Con respecto a la figura (2), se grafica la estimacion secuencial de puntos singularesy la trayectoria seguida por la ventana V . Algunos puntos caen lejos del vortice buscado,lo cual justifica no desplazar la ventana directamente a dicha posicion.

CONCLUSIONES

Hemos presentado un metodo iterativo de localizacion de puntos de velocidad nulaentre dos imagenes consecutivas basado en algoritmos de estimacion del flujo optico. Sehicieron uso de tecnicas de estimacion robusta multiresolucion de modelos lineales paraencontrar los parametros que describen el movimiento. Los resultados obtenidos sonsatisfactorios en cuanto se lograron detectar los puntos singulares predominantes de lasformaciones de nubes. Gracias al avance en la potencia de calculo, estos algoritmos sonrealizables y se buscara optimizarlos en futuras investigaciones.

BIBLIOGRAF IA

ODOBEZ J.M.; BOUTHEMY P. 1994. Robust multiresolution estimation of parametricmotion models in complex images sequences. Proceedings of 7th European Conferenceon Signal Processing. Edinburgh.

ODOBEZ J.M.; BOUTHEMY P. 1995. Robust multiresolution estimation of parametric mo-tion models. International Journal of Visual Communication and Image Representation.Vol. 6, No. 4. pp 348-365.

HORN B.K.P.; SCHUNCK B.G. 1981. Determining optical flow. Artificial Intelligence.Vol.17, pp 185-203.

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KAMBE T. 2002. Gemoetric theory of fluid flows and dynamical systems. Fluid DynamicsResearch, Institute of Dynamical Systems, Japan.

MAURIZOT M.; BOUTHEMY P.; DEYLON B.; JUDITSKI A.; ODOBEZ J.M. 1995 Determi-nation of singular points in 2D deformable flow fields. 2nd IEEE International Conferenceon Image Processing. 1995.

MAURIZOT M.; BOUTHEMY P.; DEYLON B.; JUDITSKI A.; ODOBEZ J.M. 1994. Locatingsingular points and characterizing deformable flow fields in image sequences. No.891.

MAURIZOT M. Analyse du mouvement fluide 2D dans des sequences dımages numeriques:localisation, caracterisation et suivi des points singuliers. Phd thesis LUniversite de Rennes.

BURT P.; ADELSON E. 1983 The Laplacian pyramid as a compact image code. IEEETransactions on Communications. Vol.31, No.4.

HUBERT P.J. 1981. Robust Statistics.Wiley.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 1: Las figuras (b) y (d) representan el campo de velocidades estimado para las re-giones delimitadas en (a) y (c) respectivamente junto con la estimacion del punto singularasociado al vortice en la nube.

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(a)

(b)

Figura 2: Estimacion de puntos singulares. Se indica la trayectoria de la ventana V y losvortices estimados con un punto blanco. La estimacion final se indica con un cırculo. Parala figura (a) el bloque inicial se encuentra debajo del vortice (donde comienza la lıneablanca). Para la figura (b), se inicia en la parte baja izquierda.

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