Contraste de Hipótesis para medias poblacionales

Métodos y aplicaciones

Contraste para medias poblacionales

Por ahora, supondremos que disponemos de

x1, ... ,xn (v.o.m.a.) [que han sido recolectados de una población N(;), donde se conoce , con el fin de llevar a cabo el contraste

Ho: = o

H1: > o

Atención: la alternativa puede ser < o o o

Contraste para medias poblacionales

• Se propone como estadístico de prueba

• Si se decide que el nivel de significancias es , entonces la región de rechazo consiste en aquellos valores mayores o iguales a z

n

x o

_

z0

Contraste para medias poblacionales

Atención: si la hipótesis alternativa hubiera sido H1: < , usamos el mismo estadístico de prueba, pero la región de rechazo sería

Para el caso H1: la región de rechazo sería

0-z

-z 0 z

Contraste para medias poblacionales: Ejemplo

Consideremos la situación planteada en el ejercicio 3 pag. 299 del texto. Para el fabricante la variable aleatoria de interés es

X : contenido de impureza en una píldora (en porcentaje) y se supone que X ~ N(;) con = 0,4 Antes de recolectar los datos, el fabricante se ha planteado el

siguiente contraste:

Ho: = 3 (en realidad es Ho: 3 ) H1: > 3

Contraste para medias poblacionales: Ejemplo

Con el propósito de hacer una “comprobación”, diseña un muestreo aleatorio y cuando lo lleva a cabo obtiene 64 observaciones (cada observacion corresponde al contenido de impureza de una pastilla). Calcula la media aritmética de estas y obtiene 3,09 (se cambió). Suponiendo que el fabricante escoja = 0,05 entonces (independientemente de los datos) la región de rechazo es

1,6450

Contraste para medias poblacionales: Ejemplo

En este caso:

como el valor de estadístico de prueba cae en la región de rechazo, se rechaza Ho y se concluye de la siguiente manera: con base en lo datos y para un nivel de significancia de 0,05 podemos afirmar que el contenido promedio de impurezas en las píldoras es superior a 3%

80,1

644,0

309,3_

n

x o

Contraste para medias poblacionales: p-valor

¿Se hubiera rechazado si el fabricante escoge

=0,04?

¿Se hubiera rechazado si el fabricante escoge

= 0,03?

1,750

1,880

1,80

1,80

Contraste para medias poblacionales: p-valor

¿Hasta qué nivel de significancia se seguiria rechazando la hipótesis nula?

La respuesta a esta pregunta es lo que se conoce como el valor p ( p-valor), y en nuestro caso es 0,0360. Es decir, mientras el nivel de significancia de la prueba se mantenga por encima de este valor, con base en los datos recolectados se podrá rechazar la hipótesis nula.

Contraste para medias poblacionales: Ejemplo

Para el caso anterior (H1: > o)

p-valor = P{Z > valor del estadístico de prueba}

Para el caso en el que H1: < o entonces

p-valor = P{Z < valor del estadístico de prueba}

Para el caso en el que H1: o entonces

p-valor = 2P{Z > valor del estadístico de prueba}

Contraste para medias: varianza desconocida

¿Qué hacer si no se conoce la desviación estandar poblacional?

A partir de los datos, además de calcular la media muestral , habrá que calcular la desviación estandar muestral y usar el estadístico de prueba

Asociado a la distribución t-studen con n-1 grados de libertad

ns

x o_

Contraste para medias : varianza desconocida

Para las diferentes opciones de hipótesis alternativa ( > o , < o y o) tendremos como región de rechazo:

t0

-t 0

-t0-t

Contraste para medias: muestras grandes

¿Qué hacer si no se puede sugerir la normalidad de las observaciones

Debe tomarse una muestra grande (por lo menos 30 observaciones, aunque en ocasiones conviene mas) y usar el estadístico de prueba

Asociado, en este caso (muestras grandes), a la distribución normal típica ( Z )

ns

x o_