นายอิทธิเดช มลูมั่งม ี

นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล

มหาวทิยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบรุี

แนวคิดของการหาจุดตรึง (fixed point) มาจากวิธีการหาผลเฉลยโดยประมาณที่เรียกวา Successive Approximation ซึ่งเปนวิธีการหาผลเฉลยโดยการคํานวณวนรอบซ้ํา (iteration) จากความสัมพันธ

เมื่อ เมื่อการกําหนดเงื่อนไขเริ่มตน มาให กลาวคือผลลัพธที่ไดจากการคํานวณในรอบกอน( ) จะถูกสงคาไปยังรอบถัดๆไป(

( )nn xTx =+1 ,...2,1,0=n 0x

n 1+n ) จนกระทั่งคาของผลลัพธลูเขาสูคงที่คาหนึ่ง เราเรียกคาคงที่นี้วา จุดตรึง ทฤษฎีบทการสงแบบดึงดูด (contraction mapping theorem) หรือ ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค (Banach fixed point theorem) เปนทฤษฎีบทที่อธิบายผลของการสงแบบดึงดูด (contraction mapping) เมื่อพิจารณาบนปริภูมิเมตริกบริบูรณ (complete metric space) ซึ่งจะใหเงื่อนไขเพียงพอ (sufficient condition) สําหรับการมีอยู (existence) และมีเพียงคาเดียว (uniqueness) ของจุดตรึง จากการสง T ขางตน การคํานวณซ้ําจะทําใหลําดับ { } ลูเขาจุดตรึง ดังบทนิยามตอไปนี้

*x

nx *x

บทนิยาม 1 (Fixed point)

ให เปนการสงบนปริภูมิเวกเตอร กลาวคือ เรานิยาม วาเปนจุดตรึง (fixed T X XXT →: Xx ∈*

point) ถา และนิยมเขียนแทนดวยสัญลักษณ ( ) ** xxT = ** xxT =

บทนิยาม 2 (Contraction)

ให เปนปริภูมิเมตริก เราจะกลาววา การสง เปนการสงแบบดึงดูด( dXX ,= ) XXT →:

(contraction mapping) ถามีจํานวนจริงบวก 1<α ซึ่งทําให

( ) ( )yxdyTxTd ,, α≤ สําหรับทุกคา Xyx ∈,

โดยที่จํานวนจริงบวก α เรียกวา คาคงที่การดึงดูด (contraction constant) ของการสง T

d(x,y)

x

yd(Tx,Ty)

ปริภูมิ X

Ty

Tx

รูปที่ 1 แสดงใหเห็นตัวอยางการสงแบบดึงดูดบนปริภูมิ ใดๆ X

เมื่อพิจารณาเฉพาะกรณีที่ จากนิยามการสงแบบดึงดูดสามารถเขียนไดเปน ℜ→ℜ:T

( ) ( )α≤

−

−

xyxTyT

ซึ่งความหมายทางเรขาคณิตคือ เสนตรงที่เชื่อมระหวางสองจุดใดๆ ของฟงกชั่น T ( ) จะตองมีความชัน

ไมเกิน

⋅

α ( 10 << α หรือ 45 ) ดังรูปที่ 2 o

x y

T(x)

T(y)

α

รูปที่ 2 แสดงความหมายทางเรขาคณิตของคาคงที่การดึงดูด

โดยอาศัยความรูทางแคลคูลัส ความชันของเสนโคงที่จุดใดๆ ก็คือคาอนุพันธของเสนโคงที่จุดนั้น

นั่นคือ ( ) 10 <≤< αdx

xdT

กลาวคือ เราสามารถกําหนดคา α ไดจากเงื่อนไขคาอนุพันธของฟงกชั่นขางตน

ทฤษฎีบท 3 (Banach fixed point theorem หรือ Contraction Mapping Theorem)

กําหนดปริภูมิเมตริกบริบูรณ โดยที่ ( dXX ,= ) ≠X Ø และสมมติใหการสง เปนการXXT →:

สงแบบดึงดูดบนเซต X จะไดวาการสง T มีผลเฉลย Xx ∈* เปนจุดตรึงเพียงคาเดียว

พิสูจน

เริ่มตนโดยการกําหนดลําดับ { } และแสดงใหเห็นวา ลําดับดังกลาวเปนลําดับโคชี (Cauchy

sequence) ที่ลูเขาหาคา ซึ่งเปนจุดตรึงของการสง

nx

*x T ในปริภูมิเมตริกบริบูรณ X และจุดตรึง ที่

ไดมีเพียงคาเดียว (uniqueness)

*x

โดยการเลือก พิจารณาการสง Xx ∈0 nn xTx =+1 สําหรับทุกจํานวนเต็ม 0≥n

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( 01322

212

21111

,,,

,,,,

xxdxTxTdxxd

xTxTdxxdTxxTdxxd

nnnnn

nnnnnnnx

ααα )

αα

≤≤=≤

=≤=

−−−−

−−−−+

K

อาศัยอสมการสามเหลี่ยม (triangle inequality) และอนุกรมเรขาคณิตจํากัด (finite geometric series)

โดยกําหนดให rn <

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )10

1011

1211

,1

1

,

,,,,

xxd

xxd

xxdxxdxxdxxd

nrn

rnn

rrnnnnrn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

+++≤

+++≤

−

−+

−+++

ααα

ααα K

K

เนื่องจาก 10 << α จึงทําให 1 ดังนั้น 1<− −nrα

( )rn xxd , ( 10 ,1

xxdn

αα−

≤ ) (1)

และพบวา เมื่อ ดังนั้น { } เปนลําดับโคชี Xxx rn ∈→ ∞→n nx

ตอไปจะแสดงใหเห็นวา ลําดับโคชีลูเขาสูคา ซึ่งเปนจุดตรึงของการสง *x T

จากอสมการสามเหลี่ยม ( ) ( ) ( )*,*,**, xxdxxdxTxd nn +≤

และพิจารณาการสง จะไดวา nn xxT =−1 ( ) ( )*,*, 1 xxTdxTxd nn −=

ดังนั้น ( ) ( ) ( )*,*,**, 1 xxdxxdxTxd nn −+≤ α

เมื่อ มีคามากพอ จะทําใหดานขวาของอสมการมีคาเปนศูนย n ( )*xxn →Q

แสดงวา นั่นคือ เปนจุดตรึงของการสง ( ) 0**, =xTxd ** xTx = T

เพื่อที่จะพิสูจนวาจุดตรึงดังกลาวมีเพียงคาเดียว โดยการพิสูจนแบบขอขัดแยง (contradition)

สมมติใหมีจุดตรึงสองคา และ ** xTx = ** yTy =

จะไดวา ( ) ( ) ( )**,**,**, yxdyTxTdyxd α≤= เมื่อ 10 <≤ α

นั่นคือ ซึ่งเกิดการขัดแยง ดังนัน้มีจุดตรึงคาเดียว □ ** yx =

หมายเหต ุ ทฤษฎีบท 3 ใหเงื่อนไขเพียงพอที่จะบอกไดเพียงวา“ มีจุดตรึง ถาสอดคลองตามขอกําหนดขางตน” แตเราไมสามารถใหขอสรุปเกี่ยวกับการมีอยูของจุดตรึงได หากไมสอดคลองกับ เงื่อนไขดังกลาว ตัวอยาง 1 จงพิจารณาวาฟงกชันที่กําหนดใหตอไปนี้เปนการสงแบบดึงดูดหรือไม ถาไมเปนให

พิจารณาตอไปวามีจุดตรึงหรือไม

1. ให กําหนดโดย ℜ→ℜ:1F ( ) 121 += xxF

เนื่องจาก ( ) ( ) yxyxyFxF −⋅=−=− 22211

พบวา 12 >=α ดังนั้น ไมเปนการสงแบบดึงดูด แตเราไมสามารถใชทฤษฎีบท 3 สรุปวาฟงกชัน

ไมมีมีจุดตรึง ( ดูหมายเหตุขางบน ) ตรวจสอบคาของจุดตรึงโดย สมมติให เปนจุดตรึงของ

ฟงกชัน จะได

1F

1F *1x

1F ( ) 1*2** 1111 +== xxxF ซึ่งมี = -1 เปนจุดตรึงของฟงกชัน *1x 1F

2. ให กําหนดโดย ℜ→ℜ:2F ( ) 12 += xxF

เนื่องจาก ( ) ( ) yxyxyFxF −⋅=−=− 122 พบวา 1=α ดังนั้น ไมเปนการสงแบบดึงดูด 2F

ดวยวิธีเดียวกัน ตรวจสอบคาของจุดตรึงโดย สมมติให เปนจุดตรึงของฟงกชัน *2x 2F

โดยบทนิยาม1 จะได ( ) 1*** 2222 +== xxxF ซึ่งพบวาสมการขางตนไมเปนจริง

ดังนั้น จึงไมมีจุดตรึง 2F

3. ให ( ]41,0=X และ กําหนดโดย XXF →:3 ( ) 2

3 xxF =

เนื่องจาก ( ) ( ) ( )( ) ( ) yxyxyxyxyxyxyFxF −≤++≤+−=−=− 2122

33

ดังนั้น เปนการสงแบบดึงดูด แตการสงนี้ไมมีจุดตรึงเนื่องจากไมสอดคลองกับทฤษฎีบท 3 โดยพิจารณาจาก 0 หรือ 1 ที่เราคิดเปนวาจุดตรึงของฟงกชัน ไมไดเปนสมาชิกของ

3F

3F X ดังนั้น ไมบริบูรณ (not complete) ■

3F

บทแทรก 4 (Iteration and Error Bounds)

ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 3 ลําดับ { } ของการคํานวณซ้ํา โดยคาเริ่มตน จะลูเขาสู nx Xx ∈0

จุดตรึง เพียงคาเดียวจากการสง *x T และสามารถประมาณคาความคลาดเคลื่อน (error estimates)

ไดจาก

การประมาณขั้นกอน (prior estimate) : ( ) ( 10 ,1

*, xxdxxdn

n αα−

≤ ) (2)

การประมาณขั้นหลัง (posterior estimate) : ( ) ( nnn xxdxxd ,1

*, 1−−≤

α)α (3)

พิสูจน

เห็นไดชัดวา จากสมการ (1) เมื่อกําหนดให ∞→r จะได ตามสมการ (2) *xxr →

เราจะพิสูจนสมการ (3) โดยแทนคา 1=n ลงใน (2) และกําหนดให 1100 , xyxy ==

จะได ( ) ( 101 ,1

, yydxydα

)α−

≤ โปรดสังเกตวา 10 −= nxy และ □ nxyTy == 01

จากบทแทรก 4 การประมาณขั้นกอน จะถูกใชในการตรวจสอบจํานวนรอบ (n) ของการคํานวณซ้ํา เมื่อ

กําหนดคาความผิดพลาด (ε ) โดยประมาณมาให โดยพิจารณาจากผลตางของคาที่ไดจากการคํานวณซ้ําครั้ง

ที่ n (หรือ xn ) กับคาจุดตรึง (x*) กลาวคือ

จากสมการ (2) ( ) ( ) ≤−

≤ 10 ,1

, xxdxxdn

n αα

ε

จะได ( )( )

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≤⇒

−≤

1010 ,1lnln

,1

xxdn

xxdn αεααεα

( 10 <<αQ ⇒ 0ln <α )

( )( )

α

αε

ln

1ln10

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

≥xxd

n (2)

โดยทั่วไปคาความผิดพลาดจริง (actual error ; eact ) หาไดจาก

eact = คาจริง – คาที่คํานวณได (3)

สําหรับในทางปฏิบัติ หลายๆปญหาเราจะไมทราบคาความผิดพลาดจริง จึงจําเปนตองใชการประมาณ

คาความผิดพลาด (error estimate ; eest )ในระหวางการคํานวณซ้ํา โดยมี 2 วิธีดังนี้

1. อาศัยวิธีการประมาณขั้นหลัง

( ) ( ) ≤−

≤ − nnn xxdxxd ,1

, 1αα eest (4)

2. อาศัยวิธีการประมาณโดยใชคาความผิดพลาดสัมพัทธ (relative error ; erel )

เมื่อพิจารณาจากบทแทรก (4) พบวาการประมาณขั้นหลังจะใหคาความผิดพลาดนอยกวาการ

ประมาณขั้นกอน

กลาวคือ ( ) ≤− − nn xxd ,

1 1αα ( 10 ,

1xxd

n

αα−

)

ดังนั้น ( ) ( )101

1 ,, xxdxxd nnn

−− ≤ α (5)

สมการนี้บอกวาความผิดพลาดสัมพัทธครั้งที่ n-1 กับครั้งที่ n จะมีคาไมเกิน ( )101 , xxdn−α

ตัวอยาง 2 ให { } ℜ⊂≥ℜ∈= 1: xxX พิจารณาการสง XXT →:

กําหนดโดย x

xxT 12

+= จงแสดงใหเห็นวา T เปนการสงแบบดึงดูด และประมาณรอบของการ

คํานวณซ้ํา เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1 และคาความผิดพลาดไมเกิน 10-3

วิธีทํา ตรวจสอบวา T เปนการสงบนเซต X หรือไม

เนื่องจาก ดังนั้น จึงเปนการสงบนเซต ∞≤≤ xT5.1 Xx∈∀ xT X

หรือ พิจารณาคาคงที่การดึงดูด XXT →: ( )xTXx

′=∈

supα เมื่อ ( ) 2

121

xxT −=′

(หมายเหตุ : α พิจารณาจากคาขอบเขตบนของฟงกชั่น T ′ ) จะได 1211

21sup 2 <=−=

∈ xXxα

ดังนั้น T เปนการสงแบบดึงดูด

การประมาณจํานวนรอบการคํานวณซ้ํา อาศัยสมการ (2) เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1

และคาความผิดพลาดไมเกิน 10-3 ( ) เราจะได 310−=ε 5.1121

01 =+== xTx

ดังนั้น

( )( )

( )

9.9

2ln

15.12

1110ln

ln

1ln

3

10

≥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

≥

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

≥

−

α

αεxxd

n

10 ครั้ง ≈

Note เมื่อพิจารณาคาจุดตรึงของการสง *

12***

xxxxT +==

จะได ( ) 2*2* 2 ±=⇒= xx ซึ่งเปนรูปแบบการคํานวณหารากที่สองนั่นเอง ■

ตัวอยาง 3 พิจารณาฟงกชั่น ( ) xxf cos= บนโดเมน [ ]1,0∈x จงแสดงใหเห็นวา เปนการ

สงแบบดึงดูด และประมาณรอบของการคํานวณซ้ํา เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x

f

0 = 0 และคาความ

ผิดพลาดไมเกิน 5×10-7

วิธีทํา ตรวจสอบวา เปนการสงบนเซต f [ ]1,0 หรือไม

โดยพิจารณาจาก 1cos1cos0 ≤≤≤ x [ ]1,0∈∀ x ดังนั้น เปนการสงบนเซตเดิม f

ตอไปหาคาคงที่การดึงดูด จาก เพราะวา ( ) xxf sin−=′ ( ) 11sin <≤′ xf [ ]1,0∈∀ x

ดังนั้น เปนการสงแบบดึงดูด โดยเลือกคาคงที่การดึงดูด f 1sin=α

จากสมการ (2) เมื่อ x0 = 0 และ เราจะได 7105 −×=ε 10cos)( 01 === xfx

ดังนั้น

( )( )

( )

7.94

)1(sinln01

1sin1105ln

ln

1ln

7

10

≥

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−×

≥

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

≥

−

α

αεxxd

n

95 ครั้ง ■ ≈

ตัวอยาง 4 พิจารณาขั้นตอนการคํานวณซ้ําของ ( ) 013 =−+= xxxf

ก) จงแสดงใหเห็นวา ( ) ( ) 1211 1 −

−− +== nnn xxgx และถากําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1

จงคํานวณหาคําตอบออกมา 3 คา

ข) ประมาณคาความผิดพลาดจากคําตอบที่ไดจากขอ ก.

ค) ถากําหนดให ในรูปของ เราสามารถใชกระบวนการดังกลาวในการคํานวณซ้ํา

ไดหรือไม

( ) 0=xf 31 xx −=

วิธีทํา ก) จาก ( ) ( ) 0112 =−+= xxxf จะได 1

12 +

=x

x

นั่นคือ เปนรูปแบบ (scheme) ของการคํานวณซ้ํา ( ) ( 1211 1 −

−− +== nnn xxgx )

เมื่อกําหนดเงื่อนไขคาเริ่มตน x0 = 1

จะได ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 609.08.01

8.05.01

5.011

133

122

1201

=+==

=+==

=+==

−

−

−

xgx

xgx

xgx

ข) พิจารณา ( )xg

x′=

ℜ∈maxα (หมายเหตุ : α พิจารณาจากคาสูงสุดของฟงกชั่น g ′ )

เมื่อ ( ) ( )( )22

12

121xxx

dxdxg

+−=+=′ − และ ( ) ( ) ( )

( )42

222

1

212212

x

xxxxxg+

⋅+⋅++−=′′

เนื่องจาก ( ) ( ) 0max =′′⇔′ xgxg จะได ( )3

1128 22 =∴+= xxx

ดังนั้น ( )xgx

′=ℜ∈

maxα = 9

16

323

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′g = 0.64 65.0< < 1

เราอาจเลือก 65.0=α เปนคาคงที่การดึงดูด

สําหรับปญหานี้ เราทราบคาที่แทจริงของรากสมการ คือ 16.134.0,6823.0 3,21 ixx ±−==

คาความผิดพลาดจริง

การคํานวณซ้ํารอบที่ 1 : eact 18.06823.05.0 =−=

การคํานวณซ้ํารอบที่ 2 : eact 12.06823.08.0 =−=

การคํานวณซ้ํารอบที่ 3 : eact 07.06823.0609.0 =−=

จาก การประมาณขั้นหลัง ( ) ( ) =−

≤ − nnn xxdxxd ,1

, 1αα eest

การคํานวณซ้ํารอบที่ 1 : eest 93.015.065.01

65.01 10 =−

−=−

−= xx

αα

การคํานวณซ้ํารอบที่ 2 : eest 56.05.08.065.01

65.01 21 =−

−=−

−= xx

αα

การคํานวณซ้ํารอบที่ 3 : eest 36.08.0609.065.01

65.01 32 =−

−=−

−= xx

αα

ค ) จ ากรู ปแบบที่ กํ าหนด สมมติ ให ( ) 31 xxh −= พิ จ า รณาช ว งของ x ที่ ทํ า ให

( ) 1max <′=ℜ∈

xhx

α ( ซึ่งเกิดการดึงดูดเขาสูจุดตรึง )

เมื่อ ( ) ( ) 23 31 xxdxdxh −=−=′ จะได 13 2 <− x หรือ ( )

31

31 ,−∈x

กลาวคือ เราสามารถหาจุดตรึงไดจากการคํานวณซ้ํา โดยใชคาเริ่มตนภายในชวง ( )3

13

1 ,− ■

ในบทความนี้เราไดเห็นการนําทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค (Banach fixed point theorem) มาประยุกตใชในการประมาณจํานวนรอบการคํานวณซ้ํา ซึ่งจะพบไดบอยในการแกสมการคณิตศาสตร โดยการกําหนดรูปแบบ (scheme) ของฟงกชันที่เหมาะสม ทําใหเปนการสงแบบดึงดูด สามารถประมาณจํานวนรอบการคํานวณซ้ําได โดยปกติจะใหจํานวนรอบที่มากกวาความเปนจริง ทั้งนี้ขึ้นอยูกับการเลือกคาคงที่การดึงดูด และสามารถบอกคาความผิดพลาดไดสองแบบ อยางไรก็ตามเนื้อหาของบทความนี้ตองอาศัยความรูในเรื่องปริภูมิเมตริก (metric space) ซึ่งไมไดกลาวไว นอกจากนั้นยังมีทฤษฎีบทจุดตรึง (fixed point theorem) ในเวอรชั่นอื่นอีก เชน Brouwer , Leray-Schauder and Kakutani Fixed Point Theorem เปนตน ซึ่งขึ้นอยูกับการนําไปประยุกตใช โดยหัวเรื่องหลักที่มีการนําทฤษฎีบทจุดตรึงมาใช ไดแก สมการพีชคณิตเชิงเสน (linear algebraic equations) สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential equations) สมการอินทิกรัล (integral equations) และ Incremental Small Gain Theorem ในทฤษฎีระบบควบคุมไมเชิงเสน (nonlinear control theory) เปนตน สําหรับผูอานที่สนใจในรายละเอียดเรื่อง ทฤษฎีบทการสงแบบดึงดูด (contraction mapping theorem) หาอานไดจากหนังสือของ D.R. Smart. ˝Fixed Point Theorems.˝Cambridge University Press, 1973

เอกสารอางอิง 1. E.Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley, New York, 1978. 2. J.T.Oden. Applied Functional Analysis. A First Course for Students of Mechanics and Engineering Science. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1979. 3. S.Sastry. Nonlinear Systems. Analysis, Stability, and Control. Springer-Verlag, New York, 1999.

ขอมูล ชื่อบัญชี นายสมเกียรติ มูลมั่งมี เลขท่ีบัญชีฝากประจําธนาคารไทยพาณิชย 077-106204-2 ที่อยูที่สามารถติดตอได 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม เขตบึงกุม กทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103